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Der Wiener Prozess und Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse seltene Ereignisse
Markus SeidlerMarkus Seidler
markus.seidler@chello.atmarkus.seidler@chello.at
InhaltInhalt Normal und rare eventsNormal und rare events Wiener ProzessWiener Prozess Poisson ProzessPoisson Prozess Charakteristik von normal bzw. rare Charakteristik von normal bzw. rare
eventsevents Erweiterung der SDEErweiterung der SDE MomenteMomente
Gewöhnliches EreignisGewöhnliches Ereignis(normal event)(normal event)
Betrachtungszeitraum h wird kleinerBetrachtungszeitraum h wird kleiner Größe der Ereignisse wird kleiner Größe der Ereignisse wird kleiner
Werden fast unbedeutend wennWerden fast unbedeutend wenn h h 00
aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht nullnicht null
Seltenes EreignisSeltenes Ereignis(rare event)(rare event)
In stetiger Zeit (h In stetiger Zeit (h 0) 0) Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit 0 0
ABER Größe muss nicht kleiner ABER Größe muss nicht kleiner werdenwerden
Kapitel 7Kapitel 7 Asset Preis „Überraschunskomponente“Asset Preis „Überraschunskomponente“
Varianz Varianz
Erwartete Größe Erwartete Größe
Varianz proportional zu hVarianz proportional zu h Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige
Größe Größe SELTENES Ereignis SELTENES Ereignis Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe
GEWÖHNLICHES Ereignis GEWÖHNLICHES Ereignis
hWE ttt22][
tt W
ht
Modellieren von asset Preisen Modellieren von asset Preisen in stetiger Zeitin stetiger Zeit
Wiener Prozess Wiener Prozess (oder Brownsche (oder Brownsche Bewegung)Bewegung) Stetiger stochastischer Prozess Stetiger stochastischer Prozess
Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten
(tail area – Normalverteilung) (tail area – Normalverteilung) Poisson ProzessPoisson Prozess
UnstetigUnstetig Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch
seltene Ereignisseseltene Ereignisse Kombination beider ModelleKombination beider Modelle
Wiener ProzessWiener Prozess Zufallsvariable kann sich nur stetig Zufallsvariable kann sich nur stetig
verändernverändern
Kleiner Zeitintervall h Kleiner Zeitintervall h kleine kleine Änderungen von Änderungen von
Ereignisse gewöhnlichEreignisse gewöhnlich
tW
tW
Wiener ProzessWiener Prozess ist ein quadratisch integrierbares ist ein quadratisch integrierbares
Martingal mit = 0 undMartingal mit = 0 und
Die Abbildungen von sind stetig über tDie Abbildungen von sind stetig über t
tW0W
stWWE st 2
tW
s ≤ t
Eigenschaften Wiener Eigenschaften Wiener ProzessProzess
hat nicht korrelierende unvorhersehbare hat nicht korrelierende unvorhersehbare Zunahmen weil es ein Martingal istZunahmen weil es ein Martingal ist
hat Null Erwartungswert, weil es bei Null hat Null Erwartungswert, weil es bei Null startetstartet
hat Varianz that Varianz t Da Prozess stetig, gibt es in unendlich Da Prozess stetig, gibt es in unendlich
kleinen Intervallen, unendlich kleine kleinen Intervallen, unendlich kleine VeränderungenVeränderungen
tW
tW
tW
Poisson ProzessPoisson Prozess gesamte Anzahl an „extremen gesamte Anzahl an „extremen
Schocks“ in einem FinanzmarktSchocks“ in einem Finanzmarkt sind die Veränderungen in sind die Veränderungen in
während einer unendlichen kleinen während einer unendlichen kleinen Zeitperiode Zeitperiode
dtlichkeitWahrscheinmitdtlichkeitWahrscheinmit
dNt 10
1
tdN
tN
dt
Poisson ProzessPoisson Prozess Annahme: Rate der Erscheinungen Annahme: Rate der Erscheinungen
während = ist der Prozess während = ist der Prozess definiert als definiert als
ist ein quadratisch integrierbares ist ein quadratisch integrierbares MartingalMartingal
Dabei ist Dabei ist
dt tNM tt
tMEME
t
t
]²[0][
UnterschiedeUnterschiede Die Abbildungen sind unterschiedlichDie Abbildungen sind unterschiedlich
Stetige Graphen vs. SprüngeStetige Graphen vs. Sprünge Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h
0, geht Richtung null. 0, geht Richtung null. D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es
zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten Variation im Gegensatz zum unbegrenzten Variation im Gegensatz zum Wiener ProzessWiener Prozess
Deswegen ist die Definierung des Integrals auch Deswegen ist die Definierung des Integrals auch einfacher.einfacher.
Charakteristik seltener und Charakteristik seltener und normaler Ereignissenormaler Ereignisse
Kapitel 7: SDEKapitel 7: SDE
Annahme:Annahme: nur eine endliche nur eine endliche
ZahlZahl
kkkkk WkShkSaSS ,1,11
kW
mm plichkeitWahrscheinmitw
plichkeitWahrscheinmitwplichkeitWahrscheinmitw
Wk
22
11
Varianz von Varianz von
Da endliche Nummer an WertenDa endliche Nummer an Werten
kW
hWE kkk ²]²[
²][1
i
m
iikk wpWVar
kk W
hwp ki
m
ii ²²
1
hwp ki
m
ii ²²
1
Linke Seite proportional zu hLinke Seite proportional zu h Jeder Term der Summe ist proportional zu h Jeder Term der Summe ist proportional zu h
deswegendeswegen
wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion darstelltdarstellt
sind lineare Funktionen von h deswegensind lineare Funktionen von h deswegen
Laut Merton spezielle exponentiale Formen Laut Merton spezielle exponentiale Formen
hcwp iii ²
²iiwphchwhp iii )²()(
qhphp
rhwhw
i
i
ii
ii
)(
)( Wobei r und q nicht negative Konstanten sind und w und p in Abhängigkeit von i oder k, jedoch nicht von h.
Varianz: bzw. Varianz: bzw.
Das bedeutet:Das bedeutet: undund
mit folgenden Einschränkungen für mit folgenden Einschränkungen für und und
Deswegen zwei Arten von Ereignissen:Deswegen zwei Arten von Ereignissen: Gewöhnliche: Seltene: Gewöhnliche: Seltene:
ii qriiii hhpwwp 2²² hchpw i
rqii
ii )2(²
12 ii rq iii pwc ²iq ir
210 ir 10 iq
021
i
i
q
r
10
i
i
qr
Normal EventNormal Event Annahme: = 0,5Annahme: = 0,5
Größe wird Größe wird kleiner, wenn h kleiner, wenn h kleiner wirdkleiner wird
Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit bleibt konstantbleibt konstant
ii
iii
pp
hwhww
5,0
ir
iw
ip
Smoothness („Glätte“)Smoothness („Glätte“) Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt
verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h. endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h.
Mit = 0,5 Mit = 0,5
D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.
hxfhxf )()( 00
hw
hw
hWW
i
h
itht
0lim
5,00
1lim
:
hw
rtsubstituie
hi
0x
ir
Rare EventRare Event Mit = 0 und = 1Mit = 0 und = 1
Wahrscheinlichkeit verschwindet Wahrscheinlichkeit verschwindet wenn h wenn h 00
WährendWährend die Größe konstant die Größe konstant bleibtbleibt
Die Abbildung beinhaltet Sprünge, Die Abbildung beinhaltet Sprünge, die nicht kleiner werden.die nicht kleiner werden.
ir iq
ii
ii
ww
hpp
Modelle für rare eventsModelle für rare events SDE wenn h kleiner wirdSDE wenn h kleiner wird Rare event fehltRare event fehlt Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen
(Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich (Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..)null,..)
Die Zunahmen haben Erwartungswert 0Die Zunahmen haben Erwartungswert 0 Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie
wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. Ergebnis:Ergebnis:
tttt dWtSdttSadS ,,
)( tNJ tt
kJ
tJ ),( 12 kSk
kk JkS ),( 12
SDE für normale und seltene SDE für normale und seltene EventsEvents
wenn h kleiner wirdwenn h kleiner wird
nk
kktttt JkSdWtSdttSadS
,......2,1
12,, ),(
tttttt dJtSdWtSdttSadS ),(2,,
MomenteMomente Momente sind verschiedene Momente sind verschiedene
Erwartungen des zugrunde liegenden Erwartungen des zugrunde liegenden ProzessesProzesses 1. Ordnung: Erwartungswert 1. Ordnung: Erwartungswert 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der
Volatilität)Volatilität) 3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung 4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“
,4,3,2
]][[
k
ktt XEXE
MomenteMomente Bei Prozessen mit normalen Bei Prozessen mit normalen
Ereignissen, kann man höhere Ereignissen, kann man höhere Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da sie von h abhängig sind, konvergieren sie von h abhängig sind, konvergieren sie zu null bei h sie zu null bei h 0. 0.
Bei seltenen Ereignissen können sie Bei seltenen Ereignissen können sie nützliche Informationen liefern, da die nützliche Informationen liefern, da die Momente unabhängig von h sind.Momente unabhängig von h sind.
ZusammenfassungZusammenfassung nk
kktttt JkSdWtSdttSadS
,......2,1
12,, ),(
Erwartete Veränderung Reguläre
Ereignisse mit bedeutungsloser Größe
„Große“ Events, die selten vorkommen
Die Kombination von Wiener und Poisson Prozess kann all die Störungen darstellen, die einen Finanzmarkt beeinflussen