Der Wiener Prozess und Der Wiener Prozess und seltene Ereignisse seltene Ereignisse

Markus SeidlerMarkus Seidler

markus.seidler@chello.atmarkus.seidler@chello.at

InhaltInhalt Normal und rare eventsNormal und rare events Wiener ProzessWiener Prozess Poisson ProzessPoisson Prozess Charakteristik von normal bzw. rare Charakteristik von normal bzw. rare

eventsevents Erweiterung der SDEErweiterung der SDE MomenteMomente

Gewöhnliches EreignisGewöhnliches Ereignis(normal event)(normal event)

Betrachtungszeitraum h wird kleinerBetrachtungszeitraum h wird kleiner Größe der Ereignisse wird kleiner Größe der Ereignisse wird kleiner

Werden fast unbedeutend wennWerden fast unbedeutend wenn h h 00

aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird aber Eintrittswahrscheinlichkeit wird nicht nullnicht null

Seltenes EreignisSeltenes Ereignis(rare event)(rare event)

In stetiger Zeit (h In stetiger Zeit (h 0) 0) Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit 0 0

ABER Größe muss nicht kleiner ABER Größe muss nicht kleiner werdenwerden

Kapitel 7Kapitel 7 Asset Preis „Überraschunskomponente“Asset Preis „Überraschunskomponente“

Varianz Varianz

Erwartete Größe Erwartete Größe

Varianz proportional zu hVarianz proportional zu h Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige Wahrscheinlichkeit (abhängig von h) x unabhängige

Größe Größe SELTENES Ereignis SELTENES Ereignis Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe Unabhängige Wahrscheinlichkeit x abhängiger Größe

GEWÖHNLICHES Ereignis GEWÖHNLICHES Ereignis

hWE ttt22][

tt W

ht

Modellieren von asset Preisen Modellieren von asset Preisen in stetiger Zeitin stetiger Zeit

Wiener Prozess Wiener Prozess (oder Brownsche (oder Brownsche Bewegung)Bewegung) Stetiger stochastischer Prozess Stetiger stochastischer Prozess

Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Verwendung: Markt dominiert von gewöhnlichen Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten Ereignissen und extreme Bewegungen sind selten

(tail area – Normalverteilung) (tail area – Normalverteilung) Poisson ProzessPoisson Prozess

UnstetigUnstetig Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch Verwendung: systematische Sprünge verursacht durch

seltene Ereignisseseltene Ereignisse Kombination beider ModelleKombination beider Modelle

Wiener ProzessWiener Prozess Zufallsvariable kann sich nur stetig Zufallsvariable kann sich nur stetig

verändernverändern

Kleiner Zeitintervall h Kleiner Zeitintervall h kleine kleine Änderungen von Änderungen von

Ereignisse gewöhnlichEreignisse gewöhnlich

tW

tW

Wiener ProzessWiener Prozess ist ein quadratisch integrierbares ist ein quadratisch integrierbares

Martingal mit = 0 undMartingal mit = 0 und

Die Abbildungen von sind stetig über tDie Abbildungen von sind stetig über t

tW0W

stWWE st 2

tW

s ≤ t

Eigenschaften Wiener Eigenschaften Wiener ProzessProzess

hat nicht korrelierende unvorhersehbare hat nicht korrelierende unvorhersehbare Zunahmen weil es ein Martingal istZunahmen weil es ein Martingal ist

hat Null Erwartungswert, weil es bei Null hat Null Erwartungswert, weil es bei Null startetstartet

hat Varianz that Varianz t Da Prozess stetig, gibt es in unendlich Da Prozess stetig, gibt es in unendlich

kleinen Intervallen, unendlich kleine kleinen Intervallen, unendlich kleine VeränderungenVeränderungen

tW

tW

tW

Poisson ProzessPoisson Prozess gesamte Anzahl an „extremen gesamte Anzahl an „extremen

Schocks“ in einem FinanzmarktSchocks“ in einem Finanzmarkt sind die Veränderungen in sind die Veränderungen in

während einer unendlichen kleinen während einer unendlichen kleinen Zeitperiode Zeitperiode

dtlichkeitWahrscheinmitdtlichkeitWahrscheinmit

dNt 10

1

tdN

tN

dt

Poisson ProzessPoisson Prozess Annahme: Rate der Erscheinungen Annahme: Rate der Erscheinungen

während = ist der Prozess während = ist der Prozess definiert als definiert als

ist ein quadratisch integrierbares ist ein quadratisch integrierbares MartingalMartingal

Dabei ist Dabei ist

dt tNM tt

tMEME

t

t

]²[0][

UnterschiedeUnterschiede Die Abbildungen sind unterschiedlichDie Abbildungen sind unterschiedlich

Stetige Graphen vs. SprüngeStetige Graphen vs. Sprünge Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h Die Wahrscheinlichkeit von Sprüngen wenn h

0, geht Richtung null. 0, geht Richtung null. D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es D.h. Abbildung ist weniger irregular. Obwohl es

zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner zu diskreten Sprüngen kommt es zu keiner unbegrenzten Variation im Gegensatz zum unbegrenzten Variation im Gegensatz zum Wiener ProzessWiener Prozess

Deswegen ist die Definierung des Integrals auch Deswegen ist die Definierung des Integrals auch einfacher.einfacher.

Charakteristik seltener und Charakteristik seltener und normaler Ereignissenormaler Ereignisse

Kapitel 7: SDEKapitel 7: SDE

Annahme:Annahme: nur eine endliche nur eine endliche

ZahlZahl

kkkkk WkShkSaSS ,1,11

kW

mm plichkeitWahrscheinmitw

plichkeitWahrscheinmitwplichkeitWahrscheinmitw

Wk

22

11

Varianz von Varianz von

Da endliche Nummer an WertenDa endliche Nummer an Werten

kW

hWE kkk ²]²[

²][1

i

m

iikk wpWVar

kk W

hwp ki

m

ii ²²

1

hwp ki

m

ii ²²

1

Linke Seite proportional zu hLinke Seite proportional zu h Jeder Term der Summe ist proportional zu h Jeder Term der Summe ist proportional zu h

deswegendeswegen

wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion wobei c > 0 ist und einen Faktor der Proportion darstelltdarstellt

sind lineare Funktionen von h deswegensind lineare Funktionen von h deswegen

Laut Merton spezielle exponentiale Formen Laut Merton spezielle exponentiale Formen

hcwp iii ²

²iiwphchwhp iii )²()(

qhphp

rhwhw

i

i

ii

ii

)(

)( Wobei r und q nicht negative Konstanten sind und w und p in Abhängigkeit von i oder k, jedoch nicht von h.

Varianz: bzw. Varianz: bzw.

Das bedeutet:Das bedeutet: undund

mit folgenden Einschränkungen für mit folgenden Einschränkungen für und und

Deswegen zwei Arten von Ereignissen:Deswegen zwei Arten von Ereignissen: Gewöhnliche: Seltene: Gewöhnliche: Seltene:

ii qriiii hhpwwp 2²² hchpw i

rqii

ii )2(²

12 ii rq iii pwc ²iq ir

210 ir 10 iq

021

i

i

q

r

10

i

i

qr

Normal EventNormal Event Annahme: = 0,5Annahme: = 0,5

Größe wird Größe wird kleiner, wenn h kleiner, wenn h kleiner wirdkleiner wird

Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit bleibt konstantbleibt konstant

ii

iii

pp

hwhww

5,0

ir

iw

ip

Smoothness („Glätte“)Smoothness („Glätte“) Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt Eine Funktion ist „glatt“, wenn sie sich nicht abrupt

verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio verändert. f(x) ist „glatt“, wenn im Punkt die ratio endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h. endlich bleibt, trotz kleiner werdenden h.

Mit = 0,5 Mit = 0,5

D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich D.h. Intervall h wird kleiner, W verändert sich unendlich Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.Asset Preise verhalten sich STETIG, aber unregelmäßig.

hxfhxf )()( 00

hw

hw

hWW

i

h

itht

0lim

5,00

1lim

:

hw

rtsubstituie

hi

0x

ir

Rare EventRare Event Mit = 0 und = 1Mit = 0 und = 1

Wahrscheinlichkeit verschwindet Wahrscheinlichkeit verschwindet wenn h wenn h 00

WährendWährend die Größe konstant die Größe konstant bleibtbleibt

Die Abbildung beinhaltet Sprünge, Die Abbildung beinhaltet Sprünge, die nicht kleiner werden.die nicht kleiner werden.

ir iq

ii

ii

ww

hpp

Modelle für rare eventsModelle für rare events SDE wenn h kleiner wirdSDE wenn h kleiner wird Rare event fehltRare event fehlt Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen Verwendung von Poisson Prozess mit Modifikationen

(Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich (Konstante Rate von Ereignisse, Erwartungswert ungleich null,..)null,..)

Die Zunahmen haben Erwartungswert 0Die Zunahmen haben Erwartungswert 0 Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie Multipliziert man mit einer zeitabhängigen Konstante wie

wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. wird die Größe der Sprünge auch zeitabhängig. Ergebnis:Ergebnis:

tttt dWtSdttSadS ,,

)( tNJ tt

kJ

tJ ),( 12 kSk

kk JkS ),( 12

SDE für normale und seltene SDE für normale und seltene EventsEvents

wenn h kleiner wirdwenn h kleiner wird

nk

kktttt JkSdWtSdttSadS

,......2,1

12,, ),(

tttttt dJtSdWtSdttSadS ),(2,,

MomenteMomente Momente sind verschiedene Momente sind verschiedene

Erwartungen des zugrunde liegenden Erwartungen des zugrunde liegenden ProzessesProzesses 1. Ordnung: Erwartungswert 1. Ordnung: Erwartungswert 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der 2. Ordnung: Varianz (Darstellung der

Volatilität)Volatilität) 3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung3. Ordnung: zeigt die Schräge der Verteilung 4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“4. Ordnung: Ausmaß der „heavy tails“

,4,3,2

]][[

k

ktt XEXE

MomenteMomente Bei Prozessen mit normalen Bei Prozessen mit normalen

Ereignissen, kann man höhere Ereignissen, kann man höhere Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da Ordnung (ab zwei) vernachlässigen. Da sie von h abhängig sind, konvergieren sie von h abhängig sind, konvergieren sie zu null bei h sie zu null bei h 0. 0.

Bei seltenen Ereignissen können sie Bei seltenen Ereignissen können sie nützliche Informationen liefern, da die nützliche Informationen liefern, da die Momente unabhängig von h sind.Momente unabhängig von h sind.

ZusammenfassungZusammenfassung nk

kktttt JkSdWtSdttSadS

,......2,1

12,, ),(

Erwartete Veränderung Reguläre

Ereignisse mit bedeutungsloser Größe

„Große“ Events, die selten vorkommen

Die Kombination von Wiener und Poisson Prozess kann all die Störungen darstellen, die einen Finanzmarkt beeinflussen