Post on 05-Apr-2015
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DIE CHAOS-THEORIE Einleitung
Einleitung
E
Chaos - griechisch Schlund, Leere, Abgrund Ungeformtes, Urstoff
Chaos - mathematisch von extrem vielen Faktoren abhängig nicht vorhersehbar
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Bedeutung des Wortes Chaos
geboren:20.11.1924 in Warschau
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung – Fraktale
Benuît B. Mandelbrot
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Was ist ein Fraktal?
Eine geometrische Figur mit
• gebrochen rationaler Dimension
• und Selbstähnlichkeit
nennt man Fraktal.
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung – Mandelbrot-Menge
Annäherung für den Umfang eines Kreises:
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Beispiel: Küstenlinie
Annäherung für die Länge der Küste einer Insel:
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Beispiel: Küstenlinie
21 nn aaBeispiel für einerekursive Funktion:
...
92
72
12
01
aa
aa
50 aStartwert:
DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Rekursive Funktionen
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge
Die Verlust-Menge
V
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Grundlage / Idee
nn xrx 1 1;0nx nx1 4;0, r
r: Wachstumsrate
xn: Anzahl der Tiere nach n Jahren im Verhältnis zur Maximalanzahl der möglichen Tiere
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Grundlage / Idee
(x0 = 0,2)Verlauf der Tier-Population über einen Zeitraum von 50 Jahren:
r = 2,75 r = 3 r = 3,25
r = 3,5 r = 3,75 r = 4
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Feigenbaumdiagramm
r1 2 3 4
Wachstumsrate
0
1
0
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Feigenbaumdiagramm
r3,25 3,5 3,75 4
Wachstumsrate
3
1
0
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Programm
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DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck
Das Sierpinski-Dreieck
S
DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck – Geschichte
geboren:14.03.1882 in Warschau
gestorben:21.10.1969 in Warschau
Waclaw Sierpinski
01238Iterationsschritt:
DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Grundlage / Idee
chcA
2
10
c
n
n hcA2
1
4
3
Allgemein für n Iterationen:
Für n Iterationen:
02
1
4
3lim
c
n
n
hc
Setzt man die Konstruktionbis ins Unendliche fort, strebtdie Fläche gegen Null.
DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Die Fläche
01 4
3AA
chc
2
1
4
3
chc
2
1
4
3
4
312 4
3AA
chc
2
1
4
32
cba 2
3
2
3 cba
2
2
3
cbaUn
n
2
3
Allgemein für n Iterationen:
)(2
3lim cba
n
n
Für n Iterationen: Setzt man die Konstruktion bisins Unendliche fort, strebt derUmfang gegen Unendlich.
DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Der Umfang
cbaU 0 cba 2
312 2
3UU 01 2
3UU
3logSierpinskiD
2log58496.1
Formel zur Bestimmung der Dimension
r
kD
log
log
k - Anzahl der Teilfigurenr - Skalierungsfaktor
DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Dimension
DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Programm
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DIE CHAOS-THEORIE Jörg Ludwig, Felix Klose
Ende.