DIE CHAOS-THEORIE Einleitung

Einleitung

E

Chaos - griechisch Schlund, Leere, Abgrund Ungeformtes, Urstoff

Chaos - mathematisch von extrem vielen Faktoren abhängig nicht vorhersehbar

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Bedeutung des Wortes Chaos

geboren:20.11.1924 in Warschau

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung – Fraktale

Benuît B. Mandelbrot

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Was ist ein Fraktal?

Eine geometrische Figur mit

• gebrochen rationaler Dimension

• und Selbstähnlichkeit

nennt man Fraktal.

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung – Mandelbrot-Menge

Annäherung für den Umfang eines Kreises:

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Beispiel: Küstenlinie

Annäherung für die Länge der Küste einer Insel:

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Beispiel: Küstenlinie

21 nn aaBeispiel für einerekursive Funktion:

...

92

72

12

01

aa

aa

50 aStartwert:

DIE CHAOS-THEORIE Einleitung - Rekursive Funktionen

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge

Die Verlust-Menge

V

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Grundlage / Idee

nn xrx 1 1;0nx nx1 4;0, r

r: Wachstumsrate

xn: Anzahl der Tiere nach n Jahren im Verhältnis zur Maximalanzahl der möglichen Tiere

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Grundlage / Idee

(x0 = 0,2)Verlauf der Tier-Population über einen Zeitraum von 50 Jahren:

r = 2,75 r = 3 r = 3,25

r = 3,5 r = 3,75 r = 4

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Feigenbaumdiagramm

r1 2 3 4

Wachstumsrate

0

1

0

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Feigenbaumdiagramm

r3,25 3,5 3,75 4

Wachstumsrate

3

1

0

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Programm

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DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck

S

DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck – Geschichte

geboren:14.03.1882 in Warschau

gestorben:21.10.1969 in Warschau

Waclaw Sierpinski

01238Iterationsschritt:

DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Grundlage / Idee

chcA

2

10

c

n

n hcA2

1

4

3

Allgemein für n Iterationen:

Für n Iterationen:

02

1

4

3lim

c

n

n

hc

Setzt man die Konstruktionbis ins Unendliche fort, strebtdie Fläche gegen Null.

DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Die Fläche

01 4

3AA

chc

2

1

4

3

chc

2

1

4

3

4

312 4

3AA

chc

2

1

4

32

cba 2

3

2

3 cba

2

2

3

cbaUn

n

2

3

Allgemein für n Iterationen:

)(2

3lim cba

n

n

Für n Iterationen: Setzt man die Konstruktion bisins Unendliche fort, strebt derUmfang gegen Unendlich.

DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Der Umfang

cbaU 0 cba 2

312 2

3UU 01 2

3UU

3logSierpinskiD

2log58496.1

Formel zur Bestimmung der Dimension

r

kD

log

log

k - Anzahl der Teilfigurenr - Skalierungsfaktor

DIE CHAOS-THEORIE Sierpinski-Dreieck - Dimension

DIE CHAOS-THEORIE Verlust-Menge - Programm

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DIE CHAOS-THEORIE Jörg Ludwig, Felix Klose

Ende.