Universit�at Koblenz� Wintersemester ���������
Theoretische Physik�
Einf�uhrung in die spezielle Relativit�atstheorie
Vorlesungsskript und Aufgaben �ohne L�osungen�
Udo Backhaus
Flug durch�Albert Einstein mit kleiner oben� bzw� sehr gro er v � ����c�
Geschwindigkeit nach R� Thiel� Examensarbeit�
i
INHALTSVERZEICHNIS ii
Inhaltsverzeichnis
Literatur v
Lernziele vii
� ��� Oktober ���� Einf�uhrung ���� Warum Relativit�atstheorie� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �Uberraschende Aussagen der Relativit�atstheorie � � � � � � � � � � � � � � � ���� Einsteins Postulate � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� � November ���� Newton�sche Relativit�at ���� Tr�agheit und Relativit�at � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Geometrische Darstellung von Bewegungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Die Galilei�Transformation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ��� November ���� Elektromagnetismus ����� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Die Galilei�Invarianz der Newton�schen Gesetze � � � � � � � � � � � � � � � ����� Elektrodynamik� Die Maxwell�Gleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Die Wellengleichung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� November ���� Der Licht�ather � ��� Wiederholung und Erg�anzung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Licht als elektromagnetische Welle � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Maxwell�Gleichungen und Galilei�Invarianz � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Die Lichtgeschwindigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Galilei � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Die Methode von Ole R�omer � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� �� Dezember ���� Der Michelson�Versuch ����� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Eine moderne Messung der Lichtgeschwindigkeit � � � � � � � � � � � � � � � ����� Der Versuch von Michelson und Morley � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� �� Dezember ���� Der Verlust des �Athers ����� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Versuche� die �Ather�Hypothese zu halten � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� noch einmal� Die Einsteinschen Postulate � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Erste Folgerungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
INHALTSVERZEICHNIS iii
� ��� Dezember ���� Relativit�at � qualitativ ����� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Qualitative Folgerungen aus den Grundpostulaten � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Die Relativit�at der L�angenmessung � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� �� Januar � Die Relativit�at der Zeit ���� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Zeitdilatation � qualitativ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �Ubung� L�angenkontraktion und Zeitdilatation � quantitativ � � � � � � � � � ��
� ��� Januar � Minkowski�Diagramme ����� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Bewegte Uhren � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Experimente zur Zeitdilatation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Das Maryland�Experiment Sexl� S� ���� � � � � � � � � � � � � � � � ������� Das Hafele�Keating�Experiment Sexl� S� ���� � � � � � � � � � � � � ������� Myonen�Experimente Sexl� S� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Minkowski�Diagramme Sexl� S� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� � � Januar � Anwendung von Minkowski�Diagrammen ������ Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Folgerungen aus den Minkowski�Diagrammen � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Die L�angenkontraktion und ihre Symmetrie � � � � � � � � � � � � � �������� �Uberlichtschnelle Signale � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Vergangenheit und Zukunft � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Koordinatentransformation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� ��� Januar � Die Lorentz�Transformation ������ Ableitung der Transformationsgleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Anwendungen der Transformationsgleichungen � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ L�angenkontraktion � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Relativistische Geschwindigkeitsaddition � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Das Zwillings�Paradoxon � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �Ubung� Weitere Folgerungen aus den Transformationsgleichungen � � � � � ��
������ Relativit�at der Synchronisation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Zeitdilatation � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Lichtaberration � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� �� Februar � Das Aussehen schnell bewegter Objekte ������ Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Lichtaberration � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Der Dopplere�ekt � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Retardierung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
INHALTSVERZEICHNIS iv
������ Scheinbare Geschwindigkeit � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Unsichtbarkeit der L�angenkontraktion � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Verformung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
������ Scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden K�orpers � � � � �������� Scheinbare L�angen�anderung bei Abstands�anderung � � � � � � � � � �������� Hyperbelartige Verformung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
���� Visualisierung von Laufzeite�ekten durch Raycasting � � � � � � � � � � � � ������ Demonstrations�lme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�� � � Februar � Die Masse in der Relativit�atstheorie � ���� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Lichtlaufzeite�ekte in der klassischen Physik � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ noch einmal� relativistische Geschwindigkeitsaddition � � � � � � � � � � � � ������ Die relativistische Masse � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �Ubung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ��� Februar � Relativistische Dynamik � ���� Wiederholung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Das relativistische Kraftgesetz � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Beispiel� Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung � � � � � � � � � � � � � ������� Die kinetische Energie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Die ber�uhmteste Formel der Welt� Masse und Energie � � � � � � � � � � � � ������� �Ubung� Elektronen im transversalen Magnetfeld � � � � � � � � � � � � � � � ���
�� Schlussbemerkungen ��
�� Anhang ������� Roemers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit � � � � � � � � � � ���
������ Einleitung � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������� Etwas Theorie � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������� Etwas Literatur � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������� Aufgaben � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������� Beobachtbare Io�Ver�nsterungen ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
���� Zur Sichtbarkeit relativistischer E�ekte � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Parameter der Filme � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Parameter der Bilder � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Folien � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
LITERATUR v
Literatur
��� S� Bergia� Einstein � Das neue Weltbild der Physik� Spektrum�Biographi� VerlagSpektrum der Wissenschaft� Heidelberg ����
��� M� Born� Die Relativit�atstheorie Einsteins� Springer� Berlin usw� ����
��� I� N� Bronstein� K� A� Semendjajew� Taschenbuch der Mathematik� Teubner� Stutt�gart ����
��� A� Einstein� Grundz�uge der Relativit�atstheorie� Vieweg� Braunschweig ����
��� A� Einstein� L� Infeld� Die Evolution der Physik� Rowohlt ����
��� L� C� Epstein� Relativit�atstheorie � anschaulich dargestellt� Birkh�auser� Basel usw�����
��� G� Falk� W� Ruppel� Mechanik� Relativit�at� Gravitation� Springer� Berlin usw� ����
��� A� F�olsing� Albert Einstein� Eine Biographie� suhrkamp ����
��� H� Fritzsch� E � mc� � Eine Formel ver�andert die Welt� Newton� Einstein und dieRelativit�atstheorie� Piper ����
���� H� Goenner� Einsteins Relativit�atstheorien� Beck� M�unchen ����
���� B� Ho�mann� Einsteins Ideen� Das Relativit�atsprinzip und seine historischen Wur�zeln� Spektrum Akademischer Verlag� Heidelberg usw� ����
���� R� d�Inverno� Einf�uhrung in die Relativit�atstheorie� VCH� Weinheim ����
���� G� Kahan� Einsteins Relativit�atstheorie zum leichten Verst�andnis f�ur jedermann� du�mont� K�oln ����
���� B� Kanitscheider� Das Weltbild Albert Einsteins� B�uchergilde Gutenberg� Darmstadt����
���� U� Kraus et al�� Aussehen relativistisch bewegter K�orper� Praxis der Naturwissen�schaften�Physik ����� � �����
���� U� Kraus� Tempolimit� Lichtgeschwindigkeit� Postscrip�Vorabdruck� T�ubingen ����
���� D��E� Liebscher� Relativit�atstheorie mit Zirkel und Lineal� Vieweg� Braunschweig ����
���� D��E� Liebscher� Einsteins Relativit�atstheorie und die Geometrien der Ebene� Teub�ner� Stuttgart ����
���� A� Lightman� Und immer wieder die Zeit� Einstein�s Dreams� Heyne� M�unchen ����
���� H� A� Lorentz� A� Einstein� H� Minkowski� Das Relativit�atsprinzip� WissenschaftlicheBuchgesellschaft� Darmstadt ����
���� I� Newton� Mathematische Prinzipien der Naturlehre� Unver�anderter Nachdruck derAusgabe Berlin ����� Darmstadt� Wissenschaftliche Buchgesellschaft ����
LITERATUR vi
���� H� Reichenbach� Philosophie der Raum�Zeit�Lehre �Gesammelte Werke� Band �Vieweg� Braunschweig ����
���� R� Resnick� Introduction to Special Relativity� Wiley� New York usw� ����
���� Ruder� H� und M�� Die spezielle Relativit�atstheorie� vieweg� Braunschweig ����
���� R� Sexl� H� K� Schmidt� Raum � Zeit � Relativit�at� Vieweg� Braunschweig ����
���� Thiel� R�� Der Ein�uss der endlichen Lichtgeschwindigkeit auf das Aussehen schnellbewegter K�orper� Staatsexamensarbeit� Universit�at Koblenz ����
���� P� A� Tipler� Physik� Spektrum Akademischer Verlag� Heidelberg usw� ����
���� E� F� Taylor� J� A� Wheeler� Physik der Raumzeit� Spektrum Akademischer Verlag�Heidelberg usw� ����
LITERATUR vii
Lernziele
Die Teilnehmer sollen am Ende der Veranstaltung folgendes k�onnen�
� die gro en Wenden in der Geschichte der Naturwissenschaften nennen�
� die historische und heutige Bedeutung der Relativit�atstheorie beschreiben�
� typische Aussagen der Relativit�atstheorie nennen�
� die Grundpostulate der Relativit�atstheorie nennen und ihre Bedeutung erl�autern�
� die Galilei�Transformation mathematisch formulieren und auf konkrete Beispieleanwenden�
� einfache Bewegungen in Minkowski�Diagrammen darstellen�
� die Galilei�Transformation als Koorddinatentransformation im Minkowski�Diagrammdarstellen�
� die klassische Geschwindigkeitsaddition mit Hilfe der Galilei�Transformation ab�leiten und den Zusammenhang mit dem Unabh�angigkeitsprinzip der Bewegungenerl�autern�
� die Newton�schen Gesetze nennen und erl�autern und ihre Galileiinvarianz begr�unden�
� das klassische Relativit�atsprinzip erl�autern�
� die Rolle des absoluten Raumes und der absoluten Zeit in der klassischen Physikerl�autern�
� die Wellengleichung der Elektrodynamik und ihre allgemeine L�osung angeben�
� an Hand der Wellengleichung begr�unden� dass die Maxwell�schen Gleichungen nichtgalileiinvariant sein k�onnen�
� Licht als elektromagnetische Welle beschreiben und Rolle und Eigenschaften des�Athers als Ausbreitungsmedium f�ur das Licht erl�autern�
� die Methode von Ole R�omer und eine moderne Methode zur Messung der Lichtge�schwindigkeit beschreiben�
� Ziel� Messmethode� Ergebnis und historische Bedeutung des Versuchs von Michelsonund Morley erl�autern�
� den E�ekt der Lichtaberration beschreiben und seine Erkl�arung in der klassischenPhysik nennen�
� das relativistische Relativit�atsprinzip erl�autern und gegen das klassische Relati�vit�atsprinzip abgrenzen�
� die Relativit�at der Gleichzeitigkeit aus den Grundpostulaten der Relativit�atstheorieableiten und widerspruchsfrei formulieren�
LITERATUR viii
� mindestens ein Verfahren der Uhrensynchronisation beschreiben�
� die Lichtaberration als Folge der Relativit�at der Gleichzeitigkeit darstellen�
� die L�angenkontraktion als direkte Folge der Relativit�at der Gleichzeitigkeit darstel�len und auf konkrete Beispiele qualitativ anwenden�
� den Zusammenhang zwischen Relativit�at der Gleichzeitigkeit� L�angenkontraktionund Zeitdilatation qualitativ darstellen�
� die E�ekte der L�angenkontraktion und der Zeitdilatation aus den Grundpostulatender Relativit�atstheorie quantitativ ableiten�
� die De�nition des Lorentz�Faktors nennen und seine Abh�angigkeit von der Geschwin�digkeit gra�sch darstellen�
� Experimente zur Best�atigung der relativistischen Formeln f�ur L�angenkontraktionund Zeitdilatation beschreiben�
� aus den Grundpostulaten der Relativit�atstheorie die Transformation der Achseneines Minkowski�Diagrammes ableiten und die Lorentz�Transformation mit Hilfevon Minkowski�Diagrammen gra�sch darstellen�
� die L�angenkontraktion und ihre Symmetrie anhand eines Minkowski�Diagrammesbegr�unden�
� die Zeitdilation und ihre Symmetrie anhand eines Minkowski�Diagrammes begr�unden�
� erl�autern� wie in der Relativit�atstheorie durch �uberlichtschnelle Signale ein Wider�spruch zum Kausalit�atsprinzip entsteht�
� die Begri�e Vergangenheit� Zukunft� lichtartig� raumartig und Lichtkegel erkl�arenund ihre Bedeutung in der Relativit�atstheorie erl�autern�
� die Transformationsgleichungen der Lorentz�Transformation aufschreiben und diewichtigsten Schritte ihrer Ableitung aus den Grundpostulaten der Relativit�atstheo�rie beschreiben�
� die Formeln f�ur
� die L�angenkontraktion�
� die Zeitdilatation�
� die Lichtaberration f�ur den Spezialfall c�y � �� und
� die relativistische Geschwindigkeitsaddition
aus den Transformationsgleichungen ableiten�
� die Rolle der Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit und die Verletzung desUnabh�angigkeitsprinzips der Bewegungen als Folge der relativistischen Geschwin�digkeitsaddition darstellen�
LITERATUR ix
� das Zwillings��Paradoxon diskutieren�
� den Doppler�E�ekt als �Uberlagerung zweier E�ekte Zeitdilatation und endlicheLichtlaufzeit� beschreiben und die Formel f�ur den einfachsten Spezialfall ableiten�
� den Unterschied zwischen Messung und Beobachtung erl�autern�
� die wichtigsten Laufzeite�ekte bei der Beobachtung sich schnell bewegender Objektenennen und begr�unden�
� den Ein�uss der Bewegung eines K�orpers auf scheinbare Geschwindigkeit und schein�bare Orientierung bei der Beobachtung im Minkowski�Diagramm darstellen undquantitativ ableiten�
� den Unterschied zwischen den Massebegri�en der klassischen und der relativistischenPhysik erl�autern�
� die Bedeutung des Impulserhaltungssatzes f�ur die Geschwindigkeitsabh�angigkeit derrelativistischen Masse beschreiben�
� die Geschwindigkeitsabh�angigkeit der relativistischen Masse nennen und die Folge�rungen diskutieren�
� die De�nition von Impuls und kinetischer Energie und ihren Zusammenhang in derRelativit�atstheorie angeben und Unterschiede zu den entsprechenden klassischenBegri�en nennen�
� das relativistische Kraftgesetz angeben und einfache Folgerungen daraus ziehen�
� die �Aquivalenz von Masse und Energie nennen und die Konsequenzen erl�autern�
� die Erhaltungss�atze der relativistischen Mechanik nennen�
� die Grundgleichungen der relativistischen Mechanik auf die Beispiele
� Weltraum�ug mit konstanter lokaler� Beschleunigung und
� die Bewegung von Elektronen im transversalen Magnetfeld
anwenden�
� auf Photonen �ubertragen und
� Beispiele f�ur die experimentelle �Uberpr�ufung dieser Gleichungen nennen�
� ��� OKTOBER ����� EINF�UHRUNG �
� ��� Oktober ����� Einf�uhrung
��� Warum Relativit�atstheorie�
� Die Entwicklung der Naturwissenschaften ist i�a� ein gleichf�ormiger� stetiger Vor�gang� Trotzdem sind darin bestimmte Perioden unterscheidbar� die sich durch her�vorragende experimentelle Entdeckungen und darauf aufbauende theoretische Ge�danken abheben� Ein solcher Wendepunkt lag um ����� ein weiterer ist mit denNamen Galilei und Newton ca� ����� verbunden� H�au�g werden diese beiden Ein�schnitte auch zu einem zusammengefasst Copernicanische Wende��
Ein anderer Wendepunkt kam um das Jahr ���� durch eine Flut experimentellerEntdeckungen � R�ontgenstrahlen� Radioaktivit�at� Elektron usw� � und durch zweineue grundlegende Theorien � Quantentheorie und Relativit�atstheorie RT��
� Mit der Copernicanischen Wende habe ich mich in der�Himmelsmechanik befasst�
nun folgt logischerweise ein Teil der Wende zur�modernen Physik�
� Die Relativit�atstheorie markiert insofern den Beginn eines neuen Zeitalters der Phy�sik� als sie von den klassischen Vorstellungen� insbesondere �uber Raum und Zeit�Gebrauch macht� sie aber einer scharfen Kritik unterwirft und sie schlie lich durchneue� revolution�are Begri�e ersetzt� Die Begr�undungen daf�ur er�o�neten neue Wegedes Denkens �uber die Naturerscheinungen Born�� Newtons absoluter Raum wider�spricht n�amlich dem Prinzip� dass Begri�e� die keine empirische Veri�kation zulas�sen� aus der theoretischen Physik ausgemerzt werden sollten�
� Die von der Relativit�atstheorie vorhergesagten E�ekte waren lange Zeit unmessbarklein� Solange das so war� setzte sich die RT nicht allgemein durch� da sie ein radika�les Abr�ucken von Denkgewohnheiten erforderte� Der Durchbruch kam erst ����� alsdie Lichtablenkung an der Sonne in voller �Ubereinstimmung mit der EinsteinschenVorhersage best�atigt wurde� Damit war Einstein mit einem Schlage� �uber den Kreisder Physiker hinaus� ein weltber�uhmter Mann�
� Die meisten E�ekte der speziellen SRT�� erst recht die der allgemeinen Relati�vit�atstheorie ART� sind in der Lebenswelt nicht zu bemerken� Inzwischen sindsie aber aus der Messtechnik Koordination der Weltzeit�� der physikalischen Tech�nik Teilchenbeschleuniger� und aus den modernen Vorstellungen �uber das WeltallKosmologie� nicht mehr wegzudenken�
� Die gr�o te praktische Bedeutung und deshalb auch die gr�o te Ber�uhmtheit� hat die�Aquivalenz von Masse und Energie erlangt� E � mc�� Sie war zun�achst ein theo�retisches Konzept ohne jede praktische Bedeutung� Noch ���� meinte Einstein� esgebe
�nicht den leisesten Anhalt daf�ur� ob und wann jemals diese Energiegewinnung
erzielt werden k�onnte Sexl� S� XIII�� Doch knapp zwei Jahrzehnte sp�ater schriebEinstein einen der entscheidenden Briefe dieses Jahrhunderts an den amerikanischenPr�asidenten Roosevelt� der mit den Worten beginnt�
Einige neuere Untersuchungen von Enrico Fermi und Leo Szilard � � � las�sen erwarten� dass das Element Uran zu einer neuen und wichtigen Ener�giequelle in der unmittelbaren Zukunft werden kann � � �
� ��� OKTOBER ����� EINF�UHRUNG �
Bekanntlich bewahrheitete sich diese Vorhersage sehr schnell� In Kernreaktor undAtombombe erschloss sich die Menschheit eine Energiequelle� die in der Natur inSternen� seit Jahrmilliarden wirksam ist�
� Beispiele experimenteller Relevanz der SRT�
�� Wenn Elektronen statt mit ��MV mit ��MV beschleunigt werden� dann ver�doppelt sich ihre Geschwindigkeit nicht� wie man klassisch erwarten w�urde�sondern sie w�achst nur von v � ������c auf v � ������c�
�� Wenn man Elektronen der Energie ��MeV senkrecht zu den Feldlinien in einmagnetisches Feld schie t� so dass man klassisch einen Radius von ����cmerwartet� dann misst man stattdessen einen Radius von ���cm�
��� �Uberraschende Aussagen der Relativit�atstheorie
� Bewegte K�orper werden in Bewegungsrichtung k�urzer L�angenkontraktion��
� Bewegte Uhren gehen langsamer Zeitdilatation��
� Bewegte K�orper sehen gedreht oder verformt aus� Das Titelblatt dieses Skripteszeigt ein Beispiel�
� Schie t eine Rakete� die mit einer Geschwindigkeit v �iegt� eine weitere Raketemit einer Geschwindigkeit w nach vorn ab� dann ist die Gesamtgeschwindigkeit derzweiten Rakete kleiner als v � w relativistische Geschwindigkeitsaddition��
� Kehrt ein Zwilling nach einer langen Reise zu seinem Bruder zur�uck� dann ist derDaheimgebliebene �alter als sein Bruder Zwillingsparadoxon��
� Auf dem Mount Everest gehen Uhren schneller als in Koblenz� Oder allgemeiner�Alle Uhren gehen im Schwerefeld langsamer Gravitationsdilatation��
� Lichtstrahlen werden in der N�ahe gro er Massen gekr�ummt Gravitationsablen�kung��
� Der Raum wird durch Massen gekr�ummt�
� In einem schwarzen Loch steht die Zeit still�
��� Einsteins Postulate
� Einsteins Originalformulierungen aus �����
Beispiele �ahnlicher Art� sowie die mi�lungenen Versuche� eine Bewegungder Erde relativ zum
Lichtmedium� zu konstatieren� f�uhren zu der Ver�
mutung� da� dem Begri�e der absoluten Ruhe nicht nur in der Mecha�nik sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften entsprechen�sondern da� vielmehr f�ur alle Koordinatensysteme� f�ur welche die me�chanischen Gleichungen gelten� auch die gleichen elektrodynamischen und
� ��� OKTOBER ����� EINF�UHRUNG �
m�������
AAU
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x Beobachter A
x Beobachter B��v
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AAU
AAK
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xBeobachter A
x Beobachter B
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���v
Abbildung �� Eine Lichtquelle und zwei Beobachter� von denen sich einer B� auf dieLichtquelle zubewegt oben�� Derselbe Vorgang aus der Sicht von B� d�h� beschrieben ineinem anderen Inertialsystem�
optischen Gesetze gelten� wie dies f�ur die Gr�o�en erster Ordnung be�reits erwiesen ist� Wir wollen diese Vermutung �deren Inhalt im folgen�den
Prinzip der Relativit�at� genannt werden wird zur Voraussetzung
erheben und au�erdem die mit ihm nur scheinbar unvertr�agliche Vor�aussetzung einf�uhren� da� sich das Licht im leeren Raum stets mit ei�ner bestimmten� vom Bewegungszustande des emittierenden K�orpers un�abh�angigen Geschwindigkeit V fortp�anze� Diese beiden Voraussetzun�gen gen�ugen� um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrody�namik bewegter K�orper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwell�schen Theorie f�ur ruhende K�orper� Die Einf�uhrung eines
Licht�athers�
wird sich insofern als �uber��ussig erweisen� als nach der zu entwickelndenAu�assung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter
abso�
lut ruhender Raum� eingef�uhrt� noch einem Punkte des leeren Raumes�in welchem elektromagnetische Prozesse statt�nden� ein Geschwindigkeits�vektor zugeordnet werden wird�
Zur Elektrodynamik bewegter K�orper Einstein ������ in �����
� Tipler�
Erstes Postulat� Absolute gleichf�ormige Bewegung kann nicht festgestellt werden�
Zweites Postulat� Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist unabh�angig vom Bewe�gungszustand der Lichtquelle�
Diese Postulate erscheinen zun�achst fast selbstverst�andlich� Das �� Postulat war so�ahnlich f�ur die mechanischen Gesetze� seit langem akzeptiert� und das �� Postu�lat scheint eine bekannte Eigenschaft aller Wellen zu beschreiben� So ist doch dieSchallgeschwindigkeit nicht die Frequenz � in Luft unabh�angig von der Bewegungder Schallquelle�
� Die Brisanz dieser Postulate wird erst durch ihre Kombination deutlich Beispiel�Tipler� S� XXX��
Welche Lichtgeschwindigkeit wird Beobachter B messen� Klassisch ist die Antwortklar� Weil B dem Licht entgegenkommt� muss er c � v als Lichtgeschwindigkeit
� ��� OKTOBER ����� EINF�UHRUNG �
messen� Nach dem �� Postulat kann aber zwischen den beiden in Abbildung � be�schriebenen Vorg�angen nicht unterschieden werden! B muss also in beiden F�allendieselbe Lichtgeschwindigkeit messen� Nach dem �� Postulat kann aber im unterenFall das Messergebnis nur c sein� Also kann B auch dann nur c als Lichtgeschwin�digkeit messen� wenn er dem Licht
�entgegenkommt�
So harmlos die beiden Postulate einzeln auf den ersten Blick erscheinen� so brisantsind die Folgerungen� die sich durch ihre Kombination ergeben� So haben wir an die�sem Beispiel gesehen� dass die Lichtgeschwindigkeit� im Widerspruch zur klassischenGeschwindigkeitsaddition� in beiden Bezugssystemen dieselbe ist�
� Wir werden deshalb die folgende Formulierung Sexl� verwenden� die das Wesentli�che der beiden Postulate etwas deutlicher macht�
Die Grundpostulate der speziellen Relativit�atstheorie
Relativit�atsprinzip Die Naturgesetze haben in allen Inertialsy�stemen dieselbe Form�
Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit DieLichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystemdenselben Wert�
��
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT �
� �� November ����� Newton�sche Relativit�at
��� Tr�agheit und Relativit�at
� Ph�anomen� Ka�etrinken im Flugzeug
� Warum wird Ka�ee nicht bei Turbulenzen ausgeschenkt� Der Grund liegt aufder Hand� Man w�urde die ganze Umgebung vollkleckern
� Warum aber geht es v�ollig in Ordnung� wenn die Stewardessen die Mahlzeitenservieren� wenn sich die Turbulenzen gelegt haben� Wiederum ist die Ursacheklar� In einem ruhig dahingleitenden Flugzeug � auch wenn es eine Geschwin�digkeit von ���� Kilometer in der Stunde hat � ist Essen und Trinken so einfach�als h�atte man festen Grund unter den F�u en�
Die Ursache f�ur diese auch heute immer wieder erstaunliche Erfahrung� die abervor ��� Jahren fast unglaublich war� ist die Tr�agheit aller K�orper� Die konstante�Geschwindigkeit ist allen K�orpern der Umgebung im Flugzeug gemeinsam und hatdeshalb keinen Ein�uss auf die Relativbewegung der K�orper untereinander�
Folgerung also� Solange die Bewegung gleichf�ormig ist� hat sie keinen Ein�uss aufdie Vorg�ange im Flugzeug� Diese allgemeine Aussage� das sogenannte Relativit�ats�prinzip� ist das Leitmotiv der ganzen Relativit�atstheorie� Es wurde Anfang des��� Jahrhunderts zuerst von Galilei formuliert und achtzig Jahre sp�ater von New�ton verallgemeinert�
� Grundlage des Relativit�atsprinzips ist der Galilei�Newton�sche Tr�agheitssatz�
Ein K�orper verharrt im Zustand der geradlinig gleichf�ormigen Bewegung�wenn er nicht durch �au�ere Kr�afte gezwungen wird� diesen Zustand zu�andern�
Der Wortlaut dieses Satzes ist bei Galilei und Newton zwar gleich� bei Newton ister aber weniger
�erdgebunden� vielmehr von kosmischer Bedeutung�
� Der Tr�agheitssatz ist o�ensichtlich nur sinnvoll relativ zu einem Bezugssystem� indem Orte und Zeiten gemessen werden k�onnen� Um die Gleichf�ormigkeit einer Be�wegung feststellen zu k�onnen� braucht man ein Bezugssystem und Ma st�abe undeine Uhr� mit denen man feststellen kann� dass in gleichen Zeiten gleiche Streckenzur�uckgelegt werden� Bei immer genauerem Hinsehen wird dieser Gesichtspunkt im�mer problematischer� Erscheint eine Bewegung in einem Labor geradlinig� so ist siees auf Grund der Erdrotation
�von au en betrachtet sicher nicht ganz� Auf einem
noch gr�o eren Ma stab werden scheinbare Geraden durch den Erdlauf um die Sonnezu Kreisen gebogen�
� Wie aber kann Ruhe und geradliniger Bewegung ein kosmischer Sinn gegeben wer�den� wenn die Erde nicht als ruhendes Bezugssystem betrachtet werden kann� New�ton erfand als L�osung den absoluten Raum und die absolute Zeit �
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT �
� � �x in m
�
�
t in sv � �m
s
v � �ms
v � �ms
v � �ms
Abbildung �� Weltlinien geradlinig gleichf�ormiger Bewegungen
Der absolute Raum bleibt verm�oge seiner Natur und ohne Beziehung aufeinen �au�eren Gegenstand stets gleich und unbeweglich�
Die absolute� wahre und mathematische Zeit ver�ie�t an sich und verm�ogeihrer Natur gleichf�ormig und ohne Beziehung auf einen �au�eren Gegen�stand� Sie wird so auch mit dem Namen
Dauer� belegt�
��� Geometrische Darstellung von Bewegungen
� Minkowski hat ���� die Zusammenfassung des x� y� z��Ortsraumes mit der Zeitzu einem vierdimensionalen x� y� z� t��Raum als die Welt bezeichnet und damit demUmstand Rechnung getragen� dass in der Relativit�atstheorie zwischen Raum undZeit als Objekte physikalischer Messung nicht mehr scharf unterschieden werdenkann� Das Element aller Ordnung der realen Dinge ist nicht der Ort und nicht derZeitpunkt� sondern das Ereignis oder der Weltpunkt�
� Die Ver�anderung des absoluten Ortes als Funktion der absoluten Zeit wird in Formvon Weltlinien in Orts�Zeit�Diagrammen dargestellt�
� F�ur den Fall einer eindimensionalen Bewegung in x�Richtung entsprechen dieseDiagramme den bekannten xt��Diagrammen mit dem Unterschied� dass derOrt auf der Abszisse� die Zeit auf der Ordinate abgetragen wird Abb� ���
� Achtung� Die Zeitkoordinate kann niemals abnehmen
� Im Falle zweidimensionaler Bewegungen in der x� y��Ebene stellt die Projekti�on der Weltlinie auf die x� y��Ebene die Bahnkurve der Bewegung dar Abb� ���
� Im Falle dreidimensionaler Bewegungen fehlt uns die M�oglichkeit einer an�schaulichen Darstellung� Man muss sich auf eine zweidimensionale Projektionder Bewegung beschr�anken oder auf die Bahnkurve im dreidimensionalen Orts�raum d�h� man verzichtet auf die Zeitkoordinate��
� Wegen der gro en Bedeutung� die die Ausbreitung des Lichtes f�ur die Relativit�ats�theorie hat� werden wir die Zeitachse im Folgenden durch eine zus�atzliche Raum�achse darstellen Abb� ���
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT �
�
x in m��
���y in m �
t in s
��
�x in m
��
�
y in m
�
t in s
Abbildung �� Weltlinien zweidimensionaler Bewegungen� Schiefer Wurf links� und Kreis�bewegung rechts�
� � �x in m
�
�
ct in m
v � cv � ���cv � ���c
Abbildung �� Umeichung der t�Achse zur ct�Achse
t�Achse �� ct�Achse � x��Achse
Das entspricht einer sehr starken Vergr�o erung des Ma stabes der Ordinate� Allt�agli�che Bewegungen werden dadurch durch sehr steile Weltlinien repr�asentiert� die Be�wegung eines Photons durch die Winkelhalbierende allgemeiner� durch eine Gerademit der Steigung ���
x � ct �� x � x�
��� Die Galilei�Transformation
� Wenn auch die Vorg�ange z�B�� im Flugzeug durch seine Bewegung nicht beein�usstwerden� so ist doch die Beschreibung dieser Vorg�ange ganz unterschiedlich� je nach�dem ob man sie relativ zum Flugzeug oder relativ zum Boden betrachtet� Aus Ruhewird Bewegung und umgekehrt� aus einem senkrechten Fall ein horizontaler Wurf
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT �
� � �x in m
x� in m
�
�
ct in m
�
ct� in m
uPx�vt
x�
x
Abbildung �� Galilei�Transformation in der Minkowski�Darstellung
usw� Wie kann die Bewegung in dem einen Bezugssystem in die bzgl� des anderenumgerechnet werden�
� Beim �Ubergang von einem Inertialsystem zu einem anderen erwartet man Folgendes�
� Die Ausdehnung aller K�orper bleibt dieselbe L�angenerhaltung��
� Alle Vorg�ange �nden zur selben Zeit statt absolute Zeit��
� Die Geschwindigkeit des Flugzeuges addiert sich vektoriell zur Geschwindigkeitaller K�orper Addition der Geschwindigkeiten��
� Wenn man das mit dem Boden verbundene Koordinatensystem S als ct� x� y� z���das mit dem Flugzeug verbundene S � als ct�� x�� y�� z���System bezeichnet� x� und x��Achse in Richtung der Bewegung legt und die beiden Koordinatenurspr�unge zur Zeitt � t� � � �ubereinstimmen l�asst� dann stellt sich die Transformation geometrischdar wie in Abbildung � gezeigt�
Dabei wurden die y� und z�Achse fortgelassen und verwendet� dass der Nullpunktdes Flugzeugsystems S im Bodensystem S � eine gleichf�ormige Bewegung vollf�uhrt�Da alle Linien t � const auch Linien t� � const darstellen� stimmen x�Achse t � ��und x��Achse t� � �� �uberein�
Die Koordinaten eines Ereignisses P � d�h� eines Punktes in diesen Diagrammen�ndet man durch Projektionen auf die Achsen parallel zu der jeweils anderen Achse�
Geometrisch werden die verschiedenen Inertialsysteme in der Minkowski�Darstellungalso durch schiefwinklige Koordinatensysteme mit gemeinsamer x�Achse dargestellt�
� Die Ableitung der Transformationsgleichungen ist nun einfach�
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT �
Galilei�Transformation
t� � t
x� � x� vxt
y� � y � vyt
z� � z � vzt
oder
t � t�
x � x� � vxt�
y � y� � vyt�
z � z� � vzt�
��
Dabei bewegt sich das System S � mit der Geschwindigkeit �v � vx� vy� vz� gegendas System S� Dreht man die Koordinatensysteme so� dass die x�Richtung mit derBewegungsrichtung �ubereinstimmt� dann vereinfachen sich die Transformationsglei�chungen entsprechend�
t� � t
x� � x� vt
y� � y
z� � z
oder
t � t�
x � x� � vt�
y � y�
z � z�
��
� Die Gleichberechtigung aller Koordinaten wird st�arker betont� wenn man stattt� x� y� z� schreibt� x�� x�� x�� x��� Die Galilei�Transformation schreibt sich dann fol�genderma en�
x�� � x�
x�� � x� v
cx�
x�� � x�
x�� � x�
oder
x� � x��
x� � x�� �v
cx��
x� � x��
x� � x��
��
� Zeitintervalle sind f�ur Beobachter� die in verschiedenen Inertialsystemen ruhen � imFolgenden als Inertialbeobachter bezeichnet �� gleich lang�
t�B � t�A � tB � tA ��
Tats�achlich wurde die letze Transformationsgleichung� weil selbstverst�andlich er�scheinend� urspr�unglich gar nicht explizit formuliert�
Zeitintervalle sind Invarianten der Galilei�Transformation�
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT ��
� Die L�ange l eines Gegenstandes ist de�niert als
l �q
x�t�� x�t��� � y�t�� y�t��� � z�t�� z�t����
Dabei sind alle Koordinaten zum gleichen Zeitpunkt t zu messen� Wie man sichleicht klar macht� ergibt sich sonst bei einem sich bewegenden Gegenstand einefalsche L�ange
Die so de�nierte L�ange ist o�ensichtlich eine Invariante der Galilei�Transformation�d�h� jeder Gegenstand hat in jedem Inertialsystem dieselbe L�ange�
l� �q
x��t��� x��t
���� � y��t��� y��t
���� � z��t��� z��t
����
�q
x� � vt� x� � vt��� � y� � y��� � z� � z���
�q
x� � x��� � y� � y��� � z� � z���
�� l� � l ��
� Auch r�aumliche Abst�ande sind Invarianten der Galilei�Transformation�
� Verschiedene Inertialbeobachter messen jedoch unterschiedliche Geschwindigkeiten�Misst der eine im System S die Geschwindigkeit �u �
�dxdt� dydt� dzdt
�� dann misst der
andere im System S � die Geschwindigkeit
�u� �
�dx�
dt��dy�
dt��dz�
dt�
�
t�t��
�dx
dt� vx�
dy
dt� vy�
dz
dt� vz
�
�� �u� � �u� �v klassische Geschwindigkeitsaddition� ��
� Beispiel Resnick� S� �f�� Ein Kern eines radioaktiven Materials� das sich im Laborin Ruhe be�ndet� emittiert gleichzeitig zwei Elektronen in entgegengesetzte Rich�tungen� Beide Elektronen haben f�ur einen Beobachter im Labor die Geschwindigkeitv � �
�c� Wie gro ist nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition die Geschwin�
digkeit des einen Elektrons vom anderen aus gemessen�
W�ahlt man als Bezugssystem S das Ruhesystem des einen Elektrons� als System S �
das Laborsystem Abb� ��� dann ist v � ���c und u� � ��
�c� Nach dem klassischen
Additionstheorem �� ergibt sich also�
u � u� � v ��
�c �
�
�c �
�
�c
Die L�osung mit Hilfe eines Minkowski�Diagrammes ist in Abbildung � dargestellt�Zun�achst konstruiere man die ct��Achse als Weltlinie des Kernes� der im System S
die Geschwindigkeit v hat� Die Weltlinie des �� Elektrons� das sich in S � mit der
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT ��
s se� e�
a� S �
s
�v
b� S
e�
s �u�
S �
e�
Abbildung �� a� Im Laborsystem S � bewegen sich beide Elektronen mit derselben Schnel�ligkeit in entgegengesetzte Richtungen� b� Im Ruhesystem S des einen Elektrons bewegtsich das Laborsystem mit der Geschwindigkeit �v� Die Geschwindigkeit des zweiten Elek�trons im Laborsystem wird mit �u� bezeichnet�
� � �x in m
x� in m
�
�
ct in m
�
ct� in m
Weltlinie die �� Elektrons
u
uctP ct�P
x�P xP
P � �� Elektron zur Zeit t � �mc
Q� �� Elektron zur Zeit t � �
uKern zur Zeit t � �m
c
Abbildung �� Die Weltlinie des nach rechts emittierten Elektrons und seine Koordinatenim Ruhesystem S des anderen Elektrons und im Ruhesystem S � des Kernes
Geschwindigkeit u� bewegt� �ndet man� indem man� neben dem Ursprung Q� dieKoordinaten eines zweiten Punktes P berechnet� z�B��
ct�P � �m �� x�P �u
cct�P � �m
Seine Koordinaten im System S �ndet man durch Projektion parallel zu den Achsen�Dann kann seine Geschwindigkeit in S leicht abgelesen werden�
u �xP � xQ
tP � tQ�
xP
ctPc �
�m
�mc �
�
�c�
� �� NOVEMBER ����� NEWTON�SCHE RELATIVIT�AT ��
��� Aufgaben
�� Ein K�orper der Masse m� sto e mit einer Geschwindigkeit v gegen einen ruhendenK�orper der Masse m�� Der Sto sei total unelastisch� so dass sich nach dem Sto beide K�orper gemeinsam mit der Geschwindigkeit u weiterbewegen�
a� Berechnen Sie mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes die Endgeschwindigkeit u
b� Beschreiben Sie den Vorgang in dem System� in dem die beiden K�orper nachdem Sto in Ruhe sind Schwerpunktsystem�� Zeigen Sie� dass auch in diesemSystem der Gesamtimpuls erhalten bleibt
�� Zeigen Sie� dass die �Anderung der kinetischen Energie bei dem total uneleastischenSto der Aufgabe � in beiden Systemen gleich gro ist�
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
x
z
y
x�
z�
y��v
r P
� � �x in m
x� in m
�
�
ct in m
�
ct� in m
rPx�vt
x�x
Abbildung �� Geometrische Darstellung der Galilei�Transformation� Ortsdarstellunglinks� und Minkowski�Darstellung rechts�
� ��� November ����� Elektromagnetismus
��� Wiederholung
� Galilei�Transformation und ihre Eigenschaften
� Geometrische Darstellung der Galilei�Transformation durch Orts�Diagramme undMinkowski�Diagramme Abb� ���
� Nachtrag� F�ur die Beschleunigungen gilt�
�a� �d
dt��u� �
d
dt�u� �v� �
d
dt�u� �
�� �a� � �a ��
Verschiedene Inertialbeobachter messen bei einem K�orper verschiedene Geschwin�digkeiten� Diese Geschwindigkeiten unterscheiden sich aber durch die zeitlich kon�stante Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme� Beschleunigungen� Ge�schwindigkeits�anderungen also� haben deshalb in allen Inertialsystemen denselbenWert�
Beschleunigungen sind weitere Invarianten der Galilei�Transformation�
��� Die Galilei�Invarianz der Newtonschen Gesetze
� Das gr�o te Verdienst Newtons waren seine dynamischen Prinzipien� durch die dieAristotelische Weltsicht ersetzt wurde� Als er ���� sein Hauptwerk ver�o�entlichtePhilosophiae Naturalis Prinzipia Mathematica �Mathematische Prinzi�pien der Naturlehre ����� hatte er sie auf drei Gesetze reduziert�
�� Newton�sches Gesetz �Tr�agheitssatz�
Jeder K�orper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder gleichf�ormigengeradlinigen Bewegung� wenn er nicht durch einwirkende Kr�afte gezwun�gen wird� seinen Zustand zu �andern�
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
�� Newton�sches Gesetz �Grundgesetz der Mechanik�
Die �Anderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraftproportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie�nach welcher jene Kraft wirkt�
�� Newton�sches Gesetz �Wechselwirkungsprinzip�
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich� oder die Wirkungen zweierK�orper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung�
Das erste Gesetz war� weniger allgemein� bereits von Galilei formuliert worden�Durch die beiden anderen Gesetze etabliert Newton den Kraftbegri� als eine Wech�selwirkungsgr�o e und stellt einen Zusammenhang her zwischen Kraft und Beschleu�nigung statt zwischen Kraft und Geschwindigkeit� In seinen Gesetzen taucht deshalbdie Geschwindigkeit eines K�orpers �uberhaupt nicht auf
� In der klassischen Mechanik beschreibt die Masse eine Eigenschaft der K�orper�n�amlich ihre Tr�agheit� Deshalb ist die Masse eines K�orpers konstant� d�h� un�abh�angig von seiner Bewegung�
Daraus folgt aber� dass auch das Produkt aus Masse und Beschleunigung unabh�angigvom Inertialsystem ist� Jeder Inertialbeobachter misst also dieselben Kr�afte� Dashei t aber�
Newtons Bewegungsgesetze stimmen in allen Inertialsystemen �uberein� Siesind invariant gegen�uber Galilei�Transformationen�
� Folgerungen�
�� Da in der Mechanik die Erhaltungss�atze f�ur Energie� Impuls und Drehimpulsaus den Newton�schen Gesetzen abgeleitet werden k�onnen� stimmen alle me�chanischen Gesetze in allen Inertialsystemen �uberein�
�� Newtons Gesetze enthalten die Annahme� dass Teilchen paarweise miteinanderwechselwirken und dass die wechselseitigen Kr�afte allein vom gegenseitigen Ab�stand abh�angen und entlang der Verbindungsgerade wirken� Die Gesetze geltenalso f�ur Ph�anomene wie Gravitation� van�der�Waals�Kr�afte und Elektrostatik�In der Elektrodynamik muss man dagegen mit Schwierigkeiten rechnen
�� Betrachtet man Systeme miteinander wechselwirkender Teilchen� dann wirddeutlich� dass auch die Mechanik starrer und elastischer K�orper und die Hy�drodynamik durch die Newton�schen Gesetze beschrieben werden�
�� Obwohl verschiedene Beobachter verschiedene Geschwindigkeiten und deshalbverschiedene Werte f�ur kinetische Energie� Impuls usw� messen� stimmen siedarin �uberein� ob diese Gr�o en bei einem Vorgang erhalten bleiben oder nicht�
� Als wichtige Folgerung aus dieser Diskussion ergibt sich also die folgende Aussage�
Mit mechanischen Experimenten� die v�ollig in einem Inertialsystem aus�gef�uhrt werden� kann man nichts �uber die Bewegung des Systems relativzu irgendeinem anderen Inertialsystem heraus�nden�
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
� Newton empfand diese Folgerung� die er leicht aus seinen Gesetzen ableiten konnte�als sehr st�orend� Der absolute Raum� eingef�uhrt zur Beschreibung von Tr�agheitsbe�wegungen� verliert sofort einen wichtigen Teil seiner etwas unheimlichen Existenz�Denn ein Raum� in dem es keine Orte gibt� die man mit mechanischen Mitteln mar�kieren kann� um eine Bewegung relativ zu ihm zu registrieren� ist jedenfalls ein sehrsubtiles Gebilde Born� S� ����
Newton gab dieser Aussage zwar keinen Namen� aber heute spricht man in diesemZusammenhang vom Newton�schen Relativit�atsprinzip�
K�orper� welche in einem gegebenen Raum eingeschlossen sind� haben die�selbe Bewegung unter sich� dieser Raum mag ruhen oder sich geradliniggleichf�ormig� nicht aber im Kreise fortbewegen�
��� Elektrodynamik Die Maxwell�Gleichungen
� Anders als in der Newton�schen Mechanik gibt es in der Elektrodynamik Kr�afte�die quer zur Verbindungslinie wirken und deren Betrag von der Geschwindigkeitabh�angt� Lorentz�Kraft� Deshalb muss mit Schwierigkeiten bei der �Ubertragung desRelativit�atsprinzips auf elektromagnetische Erscheinungen gerechnet werden�
� Beim Grundversuch zur elektromagnetischen Induktion wird in einer Spule in derN�ahe eines Magneten ein elektrischer Strom erzeugt� wenn
� die Spule relativ zum Magneten bewegt wird oder
� umgekehrt der Magnet auf die Spule zubewegt wird�
Im Lichte der Relativit�atstheorie sind diese beiden Erscheinungen v�ollig symme�trisch� und man sollte eine Beschreibung dieses Ph�anomens erwarten� in der nur dieRelativbewegung zwischen Spule und Magnet vorkommt� Tats�achlich aber werdenf�ur die beiden Vorg�ange ganz verschiedene Begr�undungen gegeben�
� Auf die bewegten Leitungselektronen in den Spulenwicklungen wirkt die Lorentz�Kraft quer zur Bewegungsrichtung� so dass ein Strom im Kabel entsteht�
� Durch die Bewegung des Magneten �andert sich das Magnetfeld in der Spule�Durch diese Ver�anderung wird ein elektrisches Ringfeld Wirbelfeld� erzeugt�durch das die Leitungselektronen in Bewegung gesetzt werden�
� Alle elektromagnetischen Ph�anomene werden durch vier gekoppelte partielle Di�e�rentialgleichungen beschrieben�
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
Maxwell�Gleichungenin Materie
�r � �E ��
�����
�r � �B � ���
�r� �E � � ��B ���
�r� �B � ����j � ������
��E ���
�� �j� ��������
Maxwell�Gleichungenim Vakuum
�r � �E � ���
�r � �B � ���
�r� �E � � ��B ���
�r� �B � ������E ���
Dabei wurden die modernen Bezeichnungen aus der Vektoranalysis verwendet�
���r� wurde fr�uher div geschrieben und bedeutet die Divergenz eines Vektor�
feldes��r � �E � div �E �
�Ex
�x��Ey
�y��Ez
�z
���r� wurde fr�uher mit rot bezeichnet und bedeutet die Rotation eines Vek�
torfeldes� Sie kann formal als Kreuzprodukt berechnet werden�
�r� �E � rot �E �
��Ez
�y� �Ey
�z��Ex
�z� �Ez
�x��Ey
�x� �Ex
�y
�
� Kurzerl�auterungen der vier Maxwell�Gleichungen�
��� Die elektrischen Feldlinien beginnen und enden auf geladenen K�orpern� Oder�Elektrische Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrischen Feldes�
�� � Die magnetischen Feldlinien sind geschlossen! sie haben weder Anfang nochEnde� Oder� Das magnetische Feld ist quellenfrei�
���� Induktionsgesetz� Um ein sich �anderndes Magnetfeld entsteht ein elektrischesWirbelfeld�
���� Amperesches Gesetz� Elektrische Str�ome und sich �andernde elektrische Fel�der� sind von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben�
��� Die Wellengleichung
� Die Maxwellschen Gleichungen sind gekoppelt � Elektrische und magnetische Felderbeein�ussen sich gegenseitig� Durch Di�erentiation ist es jedoch m�oglich� Gleichun�gen zu erhalten� die nur die elektrische� bzw� nur die magnetische Feldst�arke enthal�ten�
��� �� ������E � �r� "�B
����� ��r� �r� �E
���� � �E � �r�r � �E�
������ � �E � ����
��E � � ���
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
Bei �� wurde eine allgemeine Beziehung aus der Vektoranalysis benutzt� F�ur jedesVektorfeld �r gilt�
�r� �r� �r � ��r � �r�r � �r�Der Operator
�� ist der sogenannte Laplace�Operator �
�U � �r�rU� ���U
�x����U
�y����U
�z�
� Die oben abgeleitete Gleichung ��� ist die sogenannte Wellengleichung�
��E � ������E � Wellengleichung� ���
Beschr�ankt man sich auf eine Dimension� dann nimmt sie die folgende Gestalt an�
��E
�x�� ����
��E
�t�� eindimensionale Wellengleichung� ���
� Eine ganz entsprechende Gleichung l�asst sich f�ur die magnetische Feldst�arke �B ab�leiten Aufgabe���
� F�ur den Fall� dass die mathematischen Kenntmisse nicht ausreichen� obige sehr kurzeAussagen zu verstehen� seien hier die wichtigsten Gesichtspunkte herausgestellt�
� Die Maxwell�Gleichungen spielen in der Elektrodynamik die gleiche Rolle wiedie Newton�schen Gesetze in der Mechanik�
� Die Wellengleichung f�ur die elektrische Feldst�arke ist eine Folgerung aus denMaxwellschen Gleichungen� Das hei t umgekehrt� Wenn in einem Bezugssy�stem die Wellengleichung nicht erf�ullt ist� dann k�onnen auch die Maxwell�Gleichungen nicht gelten�
� Durch Einsetzen kann man leicht zeigen� dass der folgende Ausdruck f�ur E f�ur jedebeliebige Funktion f eine L�osung der Gleichung ��� ist�
Ex� t� � fx�� � fx� ct� mit c ��p����
���
Berechnung der Ableitungen ergibt n�amlich dabei f � die gew�ohnliche Ableitung derFunktion f nach ihrer Variablen x� � f � � df
dx���
�E
�x�
df
dx��x�
�x� f � �� ��E
�x�� f
��
�E
�t�
df
dx��x�
�t� �cf � �� ��E
�t�� c�f
��
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
�� ��
t�s�
��
��
f
ft�� ft � t��
ct� t��
Abbildung �� Die L�osungen ��� der Wellengleichung ��� sind mit der Geschwindigkeitc in x�Richtung laufende Wellen beliebiger r�aumlicher Gestalt�
� Welche Eigenschaften haben die L�osungen ��� der Wellengleichung ����
Kennt man den r�aumlichen Verlauf Ex� t�� der L�osung f�ur einen beliebigen Zeit�punkt t��
Ex� t�� � fx� ct���
dann kennt man ihn f�ur jeden beliebigen Zeitpunkt t � t��
Ex� t� � fx� ct� � fx� ct� t���� ct�� � Ex� ct� t��� t��
Zur Zeit t hat die elektrische Feldst�arke E an einem beliebigen Ort x denselbenWert wie zur Zeit t� an dem anderen Ort x� ct� t�� Abb� ���
Der Ort x� mit einem bestimmten Wert E� der elektrischen Feldst�arke l�auft alsomit der Geschwindigkeit c in Richtung der positiven x�Achse�
Die L�osung �� der Wellengleichung ��� ist eine nach rechts laufendeWelle beliebiger Gestalt� daher der Name der Gleichung�
� Ebenso kann man zeigen� dass auch beliebige nach links laufende Wellen die Wel�lengleichung erf�ullen Aufgabe ��
��� Aufgaben
�� Besprechung der Aufgaben vom �� November
�� Bei einem total elastischen Sto� bleibt per de�nitionem� die kinetische Energieerhalten� Zeigen Sie� dass ein Sto in jedem Inertialsystem elastisch ist� wenn er esin einem ist
� ��� NOVEMBER ����� ELEKTROMAGNETISMUS ��
�� Resnick� Aufg� �� S� ��f� In einem mit konstanter Geschwindigkeit v fahrenden Zugwird ein K�orper der Masse m� der anf�anglich relativ zum Zug in Ruhe ist� w�ahrendeiner Zeitspanne #t durch eine konstante Kraft F in Richtung der Zugbewegungbeschleunigt� Der Vorgang wird durch zwei Beobachter beschrieben� die sich relativzum Boden S� bzw� relativ zum Zug S �� in Ruhe be�nden�
a� Berechnen Sie die Zunahme an kinetischer Energie in beiden Bezugssystemen
b� Zeigen Sie� dass in beiden Systemen der Zuwachs an kinetischer Energie mitder verrichteten Arbeit �ubereinstimmt
� �� NOVEMBER ����� DER LICHT�ATHER ��
� �� November ����� Der Licht�ather
��� Wiederholung und Erg�anzung
� Faraday und Maxwell beschreiben elektromagnetische Kr�afte durch den Feldbegri��Faraday entwirft ein ganz anschauliches Modell mit Feldlinien� Maxwell mathemati�siert dieses Modell in seinen Gleichungen� bleibt aber zun�achst bei mechanistischenVorstellungen� Kr�afte werden durch Spannungen im �Ather �ubertragen�
� Die Maxwell�Gleichungen entsprechen in ihrer Bedeutung f�ur die Elektrodynamikden Newton�schen Gesetzen der Mechanik�
� Als Folgerung aus den Maxwell�Gleichungen ergibt sich� Der �Ather kann schwingen�Wellengleichung� Die L�osungen der Wellengleichung sind laufende Wellen�
� Diese Wellen wurden einige Jahre nach Maxwells Tod ���� durch H� Hertz experi�mentell nachgewiesen � eine �uberw�altigende Best�atigung f�ur Maxwells Theorie
��� Licht als elektromagnetische Welle
� Die Maxwell�Gleichungen werden erf�ullt von Wellen� die sich mit der Geschwindig�keit c ausbreiten� Dabei ist c gegeben durch�
c ��
p������
V akuum
� � �
� � �
�� c ��
p����
���
� Setzt man hier die bekannten Werte der Induktionskonstanten �� und der Dielek�trizit�atskonstanten des Vakuums �� ein�
�� � ������ � ���V s
Am� �� � ������ � �����
As
V m�
dann ergibt sich mit
c � ����� � ��m
s���
der bekannte Wert der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum� Als naheliegende Folgerungergibt sich daraus�
Licht ist eine elektromagnetische Welle�
� Newton stellte sich Licht als Teilchenstrom vor�
� Ohne Wechselwirkung mit Materie bewegen sie sich entsprechend dem Tr�agheits�satz geradlinig fort�
� Bei der Re�exion werden sie durch einen elastischen Sto zur�uckgesto en�
� �� NOVEMBER ����� DER LICHT�ATHER ��
� Bei der Brechung werden sie durch eine Kraft in der N�ahe der Ober��ache indas Medium hinein beschleunigt�
� Seit Beginn des ��� Jahrhunderts mehrten sich aber die Hinweise� dass sich Lichtwie eine Welle verh�alt� z�B��
� Beugung an scharfen Kanten�
� Ausl�oschung und Verst�arkung Interferenz�
Diese Dualit�at wird in der Optikvorlesung genau untersucht�
� In der Mechanik brauchen Wellen zur Ausbreitung ein Medium� So kann sich z�B�Schall im Vakuum nicht ausbreiten� In der mechanistischen Deutung der Max�well�schen Gleichungen entsprechen der Ausbreitung von Licht Schwingungen dessogenannten �Athers�
� Die Polarisierbarkeit des Lichtes zeigt� dass Licht transversale Schwingungen er�fordert� Transversale Wellen k�onnen sich aber nicht in Gasen oder Fl�ussigkeiten�sondern nur in elastischen Medien ausbreiten�
� Der �Ather muss deshalb folgende Eigenschaften haben�
� perfekte Transparenz wegen der fehlenden Schw�achung des Lichtes entfernterQuellen��
� keinerlei innere Reibung wegen der unged�ampften Planetenbewegung um dieSonne��
� hohe Elastizit�at wegen der hohen Lichtgeschwindigkeit��
�Uber die Dichte des �Athers gab es einander total widersprechende Vorstellungen�
��� Maxwell�Gleichungen und Galilei�Invarianz
� Aus einer in einem Inertialsystem S mit der Geschwindigkeit c nach rechts laufendenWelle wird unter der Galilei�Transformation in einem dagegen mit der Geschwin�digkeit v nach rechts bewegten Bezugssystem S � eine mit der Geschwindigkeit c� v
laufende Welle�
fx� ct����� fx� � vt� � ct�� � fx� � c� v�t��
Die L�osung der Wellengleichung ist aber eine mit der Geschwindigkeit c laufendeWelle In S � kann also die Wellengleichung nicht in unver�anderter Form gelten�Die Wellengleichung ��� ist also nicht galileiinvariant Damit k�onnen es auch dieMaxwell�Gleichungen� aus denen sie abgeleitet wurde� nicht sein�
Die Maxwell�Gleichungen sind nicht galilei�invariant�
� In dieser Situation hat man die Auswahl zwischen drei Alternativen�
� �� NOVEMBER ����� DER LICHT�ATHER ��
�� Das Relativit�atsprinzip gilt f�ur die Mechanik� aber nicht f�ur die Elektrodyna�mik� In der Elektrodynamik gibt es also ein bevorzugtes Bezugssystem� in demdas Licht die Geschwindigkeit c hat� das sogenannte �Athersystem� In diesemFall k�onnte das �Athersystem experimentell gefunden werden�
�� Das Relativit�atsprinzip und die Galilei�Transformation gelten sowohl in derMechanik� als auch in der Elektrodynamik� aber die Maxwell�Gleichungen sindnicht allgemein richtig� In diesem Falle m�ussten experimentell Abweichungenvon den Maxwell�Gleichungen gefunden werden�
�� Das Relativit�atsprinzip gilt sowohl in der Mechanik� als auch in der Elektrody�namik� aber die Newton�schen Gesetze sind nicht allgemein g�ultig� In diesemFalle sollten sich experimentell Abweichungen von den Newton�schen Gesetzenergeben� Die Transformationsgleichungen w�aren nicht die von Galilei ange�gebenen die ja nicht mit den Maxwell�schen Gleichungen vertr�aglich sind��sondern andere� die mit den Maxwell�schen Gleichungen� nicht aber mit denNewton�schen Gesetzen vertr�aglich sind�
� Es stellte sich also das Problem� eine Bewegung durch den �Ather nachzuweisen�
� Zun�achst ho�te man� sie durch messbare elektrische oder magnetische E�ekte nach�weisen zu k�onnen� So erwartete man� dass sich die Platten eines drehbar gelagertengeladenen Kondensators stets senkrecht zur Bewegungsrichtung durch den �Atherausrichten sollten� Auch der Brechungsindex von Gl�asern sollte richtungsabh�angigsein� Solche E�ekte �� Ordnung � wurden jedoch vergeblich gesucht�
� Erfolgversprechender erschien dann die Methode� die Ausbreitungsgeschwindigkeitder �Atherwellen zu messen Veranschaulichen an einem Schi� im Nebel s� Ho�mann������ S� ���� �
� Damit wurde die sehr genaue Messung der Lichtgeschwindigkeit ein zentrales Pro�blem�
��� Die Lichtgeschwindigkeit
��� Galilei
� Zun�achst gab es keinerlei Hinweise auf eine Lichtausbreitung� d�h� auf eine endlicheAusbreitungsgeschwindigkeit� Licht ist einfach nur da �oder nicht�
� Galilei war anscheinend der Erste� dem die Ausbreitung als Problem bewusst wurdeund der sich bem�uhte� sie experimentell nachzuweisen� Der Versuch misslang jedoch�Entweder gab es keine Ausbreitung� oder die Geschwindigkeit war so gro � dass alle
�Gemeint sind Versuche� in denen Abweichungen des Ausdruckes
��v
c
von � noch nachgewiesen werden k�onnen� Die gr�o�te erzielbare Geschwindigkeit v war die Bahnbewegungder Erde um die Sonne�
v � ��km
s�
v
c ����
� �� NOVEMBER ����� DER LICHT�ATHER ��
ppppp
pppppppppppppp p p p p p p p p p p p pp pp pp�
Sonnex
Jupiter
rIo
uErde t��
��d�
uErde t��
��
d�
Abbildung ��� Zur Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Ole R�omer
Laufzeiten vernachl�assigbar klein gegen�uber den Reaktionszeiten der Versuchsper�sonen sind s� Ho�mann ������ S� �����
��� Die Methode von Ole R�omer
Misst man um die Zeit der Jupiteropposition die Umlaufzeit des Jupitermondes Io� dannkann man feststellen� dass sich die folgenden Austritte dieses Mondes aus dem Jupiter�schatten w�ahrend des n�achsten halben Jahres bis zur Konjunktion von Jupiter immermehr versp�aten� Nach der Konjunktion treten die Ver�nsterungen dagegen immer fr�uherein� R�omer erkannte in dieser Erscheinung einen Lichtlaufzeite�ekt� der auf dem sich�andernden Abstand zwischen Erde und Jupiter beruht� Er wies damit als Erster nach�dass Licht eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzt und bestimmte einen erstenWert f�ur die Lichtgeschwindigkeit�
Wenn auch Messung und Auswertung im Detail ziemlich schwierig sind s� Hausauf�gabe �� so ist die zugrunde liegende Idee doch recht einfach zu verstehen s� Abbildung����
Der Jupitermond Io hat eine synodische� Umlaufzeit von TIo� Wenn zwischen t� undt� n Io�Uml�aufe stattgefunden haben� dann m�usste Ios Ver�nsterung zur Zeit t� � nTIostatt�nden� Sie wird aber zum fr�uheren Zeitpunkt t� beobachtet� Die Zeitdi�erenz ist einMa f�ur die in der Zwischenzeit eingetretene Ver�anderung des Abstandes zwischen Erdeund Jupiter� genauer� f�ur die entsprechende Laufzeit des Lichtes�
d� � d� � ct� � nTIo � t��
Bei bekanntem Bahnradius von Jupiter als Vielfaches des Erdbahnradius rE� d�h�in Astronomischen Einheiten AE� und bekannten Winkeln �� und �� kann d� � d� inVielfachen einer AE berechnet werden�
d� � d� � AE �� c �rE
t� � nTIo � t�
Die Winkeln �� und �� kann man unter der Annahme eines gleichf�ormigen Umlaufesder Erde um die Sonne leicht berechnen� wenn der Zeitpunkt tOpp der vorangegangenenoder der kommenden Jupiteropposition bekannt ist��
�Dabei muss beachtet werden� dass das Bezugssystem der Abbildung ��� in dem Jupiter ruht� in ����
� �� NOVEMBER ����� DER LICHT�ATHER ��
R�omer ���� gab sein Messergebnis zun�achst in der folgenden Form an�
Das Licht braucht zum Durchlaufen der Erdbahn Minuten�
Zu fast derselben Zeit war aber der Abstand zwischen Erde und Sonne� die sogenann�te Astronomische Einheit zum ersten Mal mit zufriedenstellender Genauigkeit gemessenworden ���� von Cassini und Picard durch Parallaxenmessung an Mars von Paris undCayenne aus�� Deshalb konnte das Ergebnis auch absolut angegeben werden�
Die Lichtgeschwindigkeit betr�agt etwa
c � ������km
s�
��� Aufgaben
� Weisen Sie nach� dass auch nach links in Richtung der negativen x�Achse� laufendeWellen die Wellengleichung ��� l�osen
� Wie lautet die Gleichung� die eine nach rechts laufende harmonische Welle mit derFrequenz beschreibt�
� Leiten Sie f�ur eine harmonische Welle den Zusammenhang zwischen Wellenl�ange �und Frequenz her
� Hausaufgabe�� Bestimmen Sie aus den in der Praktikumsaufgabe�Die Lichtge�
schwindigkeit nach Ole R�omer angegebenen Zeitpunkten der Ver�nsterungen desJupitermondes Io die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe des bekannten Radius der Erd�bahn um die Sonne rE � ���������km��
Jahren einmal um ���� rotiert� In diesem Bezugssystem hat die Erde eine synodische� Umlaufzeit von���� Tagen�
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
�� Dezember ����� Der Michelson�Versuch
��� Wiederholung
� anharmonische und harmonische Wellen
� Alle Funktionen der Gestalt fx� t� � fx�ct� sind L�osungen der eindimensio�nalen Wellengleichung ���� Die Funktion f kann also eine beliebige Funktioneiner Variablen x� sein z�B� sin x�� cos x�� ex
���
� Man kann die Funktion als zweidimensionalen Grafen darstellen� So zeigt Ab�bildung �� oben einen einmaligen Impuls� unten dagegen eine harmonischeWelle�
� Macht man durch einen solchen zweidimensionalen Grafen Schnitte parallelzur ct�Achse bei x � const�� dann sieht man� wie sich die Auslenkung an derStelle x mit der Zeit ver�andert�
� Macht man dagegen Schnitte parallel zur x�Achse bei t � const�� dann siehtman
�Momentaufnahmen der Auslenkungen entlang der ganzen x�Achse�
� Auf diese Weise sieht man� dass alle Orte dasselbe�tun� allerdings phasen�
verschoben� d�h� zu verschiedenen Zeiten�
� Der Versuch von R�omer
��� Eine moderne Messung der Lichtgeschwindigkeit
Heute braucht man f�ur die Messung der Lichtgeschwindigkeit keine gro en Laufstreckenmehr! die Messung kann in einem Labor� ja sogar auf einem Labortisch durchgef�uhrtwerden�
� Prinzip�
� Um die Geschwindigkeit einer Welle zu bestimmen� misst man die Zeit #t� dieverstreicht� bis an einem um #x verschobenen Ort derselbe Wert der Funktionf auftritt s� Abb� ��� Kurze Zeiten k�onnen mit einem Oszilloskop gemessenwerden�
� Die Frequenz der Schwingungen des elektrischen Feldes beim Licht ist jedochviel zu hoch f�ur eine direkte Au��osung mit dem Oszilloskop�
� Deshalb verwendet man den folgenden Trick� Die Amplitude des Lichtes wirdmit einer Schwingung niedrigerer Frequenz moduliert s� Abb� ���� Diese Modu�lationswelle breitet sich mit derselben Geschwindigkeit aus wie die Tr�agerwelles� �Ubungen ��
� Demonstration und Messung
� Das von einer Leuchtdiode ausgestrahlte modulierte Licht wird mit einer Linseparallel gemacht und durch zwei Spiegel um ��� Grad umgelenkt� Mit einerweiteren Linse wird es auf die registrierende Fotodiode fokussiert Abb� ����
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
x
ct
fx� t�
t � t�
t � t�
t � t�
x
ctfx� t�
Abbildung ��� Spezielle L�osungen der Wellengleichung ���� Dargestellt ist die Funktionfx� t�� ihr r�aumlicher Verlauf f�ur vier verschiedene Werte von ct und zus�atzlich ihr zeit�licher Verlauf bei x � �� oben� Ein einmaliger Impuls l�auft entlang der x�Achse� unten�Eine harmonische Welle fx� t� coskx� �t� l�auft entlang der x�Achse�
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
x
F x�� � fx��gx��
Abbildung ��� Modulation einer harmonischen Welle f � cos kx � ct� mit einer Welleg � cos kMx� ct� mit kM � ����k
#x�
���m
Spiegel
Spiegel
Leuchtdiode
Fotodiode
Abbildung ��� Prinzip der Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Modulationsmethode
��� ��� ���tT
fx�t� fx�� t�
fx� � #x� t�
Abbildung ��� Sende� und Empfangssignal auf dem Schirm des Oszilloskops� Sender undEmpf�anger sind #x von einander entfernt�
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
� Die Frequenz der Modulation betr�agt � ����MHz�
� Gemessen wird der Unterschied #t als Vielfaches der Periodendauer T � zwi�schen Zeiten gleicher Phase der Modulationswelle s� Abb� ��� zwischen Sende�und Empfangssignal in Abh�angigkeit der Schienenl�ange #x��
fmod cos�kx� ct��
�� kx� ct� � k�x � #x� ct � #t��
�� c �#x
#t
Die gesamte Wegl�ange ergibt sich nach Abbildung �� durch
#x � �#x� � ���m
� Abbildung �� zeigt als typisches Messergebnis ein Oszilloskop�Bild�
Messergebnisse und Auswertung�
#x� #x �tT
� t c � �x�t
����m ����m ��� ���� � ��ms
���m ���m ��� ���� � ��ms
��� Der Versuch von Michelson und Morley
� Wenn es einen Licht�ather gibt� liegt es nahe anzunehmen� dass sich die Erde auf�grund ihrer Bewegung um die Sonne relativ zu ihm bewegt� die Lichtgeschwindigkeitrelativ zur Erde also von der Richtung abh�angt� Michelsons Idee war es� die Lichtge�schwindigkeit in Richtung der Bewegung der Erde um die Sonne mit der senkrechtdazu zu vergleichen�
� Prinzip s� Abb� ���� Ein Lichtstrahl wird durch einen Strahlteiler b� in zwei Teil�strahlen zerlegt� die unterschiedliche Wege durchlaufen� von den Spiegeln c� bzw�d� in sich zur�uckre�ektiert werden und wieder auf den Strahlteiler b� fallen� EinTeil dieser Strahlen f�allt durch die Linse e� auf den Schirm f� und interferiert dort�
� �Uberlagern sich zwei nicht ganz parallele ebene Wellen� dann entsteht auf einemSchirm senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ein Muster paralleler Hell�Dunkel�Streifen�Entstehung und Eigenschaften dieses Streifenmusters kann mit Moir$e�Folien veran�schaulicht werden s� Abb� ����
� Bei der Demonstration zeigt sich� dass das Streifenmuster extrem emp�ndlich vonder Justierung und von Ersch�utterungen abh�angt�
� Ableitung des erwarteten E�ektes� Sei die Apparatur so ausgerichtet� dass der Licht�weg bc mit der L�ange l� in Abbildung �� parallel zur Bewegungsrichtung der Erdedurch den �Ather ist� Dann ist nach dem klassischen Additiontheorem Gleichung��� S� ��� f�ur Geschwindigkeiten die Geschwindigkeit vk auf Hin� und R�uckweg
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
Abbildung ��� Prinzip des Versuchsaufbaus von Michelson und Morley
Abbildung ��� Durch �Uberlagerung zweier ebener Wellen ergibt sich auf dem Schirmein System paralleler Streifen� Mit zunehmender Phasendi�erenz wandern die Streifenseitlich durch das Bild� Mit zunehmendem Winkel zwischen den beiden Wellen wird dasStreifenmuster enger�
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
Abbildung ��� Aufbau und Ergebnis des Experimentes von Michelson und Morley
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
vk � c � v bzw� vk � c � v� Dabei ist v die Geschwindigkeit der Erde relativ zum�Ather� Die gesamte Laufzeit t� ist also
t� �l�
c � v�
l�
c� v�
�l�c� � v�
�� t� ��l�c
�
�� v�
c�
���
Auch f�ur die Geschwindigkeit v� senkrecht dazu gilt� nun allerdings in vektoriellerForm� das klassische Additionstheorem ���
��������������
� �v
�c�v�
�v� � �c � �v
F�ur die entsprechende Laufzeit t� gilt also�
t� ��l�v�
��l�pc� � v�
t� ��l�c
�q�� v�
c�
���
Der Laufzeitunterschied #t� betr�agt also
#t� � t� � t� ��
c
�� l�
�� v�
c�
� l�q�� v�
c�
�A ���
Ganz entsprechend kann man den Laufzeitunterschied #t� f�ur den Fall berechnen�dass die gesamte Apparatur um ��� gedreht wurde s� �Ubungen ��
��� �Ubung
� Besprechung der Praktikumsaufgabe zur Messung der Lichtgeschwindigkeit nachR�omer s� Anlage�
�� DEZEMBER ����� DER MICHELSON�VERSUCH ��
� Aufgabe� Eine modulierte Lichtwelle kann folgenderma en dargestellt werden�
F x� t� cosk�x� ��t� cosk�x� ��t� � fx� t�gx� t�
Weisen Sie nach� dass auch diese Funktion die Wellengleichung ��� erf�ullt
� Aufgabe� Zum Michelson�Morley�Experiment
� Leiten Sie den Gleichung ��� entsprechenden Ausdruck f�ur den Laufzeitunter�schied #t� nach Drehung der ganzen Apparatur um ��� ab Welche Ver�ande�rung #t des Gangunterschiedes gibt es demnach w�ahrend der Drehung�
� Wie gro ist demnach die Verschiebung des Interferenzmusters bei Verwen�dung von rotem Licht � � ���nm� und einer Arml�ange von l� � l� � ���mPotsdam ����� bzw� ����m Cleveland ������
Hilfe� Die Verschiebung� gemessen als Anzahl der Streifen� ist gleich dem Verh�alt�nis aus Laufzeitunterschied und Periodendauer�
�� DEZEMBER ����� DER VERLUST DES �ATHERS ��
�� Dezember ����� Der Verlust des �Athers
��� Wiederholung
� Ziel und Prinzip des Experimentes von Michelson und Morley
� Aufbau und Ergebnis s� Abb� ���
��� Versuche die �Ather�Hypothese zu halten
� Das Experiment von Michelson und Morley ergab� Es l�asst sich keine Bewegungder Erde relativ zum �Ather nachweisen� Dieses Ergebnis wurde in den folgendenJahrzehnten mit immer h�oherer Genauigkeit best�atigt� Tats�achlich stellten die ent�sprechenden Versuche lange Zeit eine gro e Herausforderung f�ur experimentelle undtheoretische Untersuchungen dar�� Inzwischen ist die Genauigkeit so weit getriebenworden� dass man heute sogar eine Geschwindigkeit der Erde von nur � cm
snachwei�
sen k�onnte Resnick� S� ��� Sexl� S� ���
� Da dieses Ergebnis im Widerspruch zum klassischen Relativit�atsprinzip und zurGalilei�Transformation steht� wurden zahlreiche Versuche unternommen� trotzdemdie �Atherhypothese aufrechtzuerhalten Resnick� S� �����
� Die Kontraktionshypothese Fitzgerald ����� und Lorentz��
Alle K�orper werden in Richtung ihrer Bewegung durch den �Ather um
den Faktorq
�� v�
c�verk�urzt� die Ausdehnung senkrecht dazu bleibt
unver�andert�
lk � l�q
�� �� l� � l� ���
Dabei bedeuten die mit k indizierten Gr�o en die Ausdehnung in Bewegungs�richtung� die mit � indizierten Gr�o en die Ausdehnungen senkrecht dazu�
Die Abk�urzung
� �v
c���
wird im Folgenden h�au�g verwendet werden�
Tats�achlich l�asst sich dadurch der Nulle�ekt des Michelson�Morley�Experimentessofort erkl�aren� Die Gr�o e des erwarteten Laufzeitunterschiedes l�asst sich fol�genderma en schreiben s� �Ubung ��
#t ��
c
�l�k � l�k
�� �� l�� � l��p
�� �
�
Zusammen mit ��� folgt daraus sofort
#t � ����ahnlich wie die Suche nach der Fixsternparallaxe in den drei Jahrhunderten zwischen ���� und ���
�� DEZEMBER ����� DER VERLUST DES �ATHERS ��
Abbildung ��� Die Position aller Sterne scheint durch die Erdbewegung etwas inBewegungsrichtung verschoben�
� Die �Athermitnahme�Hypothese�
Bewegte K�orper f�uhren �Ather mit sich� sind also �teilweise gef�ullt mit�Ather�
Aufgrund dieser Hypothese�schwimmt die Erde gewisserma en in einer �Ather�
�blase� ist also relativ zum umgebenden �Ather in Ruhe� Diese Hypothese hat
den Vorteil� dass weder Mechanik noch Elektrodynamik abge�andert werdenm�ussen� Trotzdem ist der Nullausgang sofort klar�
Es ergeben sich jedoch sofort Gegenargumente�
� Die sogenannte Lichtaberration� von Bradley ���� bei der Suche nach derFixsternparallaxe entdeckt� l�asst sich zwanglos mit einer widerstandslosenBewegung durch den �Ather erkl�aren�
� Beschreibung des E�ektes� Im Laufe eines Jahres ver�andern sich diePositionen der Fixsterne am Himmel etwas� Sterne in der Bahnebeneder Erde der sogenannten Ekliptik� schwingen etwas um eine mitt�lere Position� Sterne� die von der Erde aus gesehen senkrecht �uberder Ekliptik stehen� vollziehen eine Kreisbewegung um eine mittlerePosition und die anderen Sterne durchlaufen mehr oder weniger ex�zentrische Ellipsen� Dabei ist ihre Position immer etwas in Richtungder Bahnbewegung der Erde verschoben s� Abb� �����
� Veranschaulichung als E�ekt des�
�Atherwindes� Das Sternenlicht wirddurch den vor�uberstr�omenden �Ather wie Regen durch den Fahrtwindabgelenkt s� Abb� ����
� quantitative klassische Erkl�arung� Die beobachtete Lichtgeschwindig�keit �c� im bewegten Bezugssystem ergibt sich nach der klassischen Ge�schwindigkeitsaddition �� S� ����
�Die parallaktische Bewegung m�usste dagegen immer bez�uglich der Bewegungsrichtung nach linksverschoben sein�
�� DEZEMBER ����� DER VERLUST DES �ATHERS ��
Abbildung ��� Durch die eigene Bewegung scheint der senkrecht fallende Regenvon vorn zu kommen�
������������� ���vErde
�c�c� �vErde � �c�
tan � �v
c� ���� �� � �������� � ������
Tats�achlich bildete die Lichtaberration die erste �uberzeugende Best�ati�gung des R�omerschen Wertes f�ur die Lichtgeschwindigkeit�
� Lichtausbreitung in bewegten Medien Ausbreitung im durchstr�omenden�Ather und im str�omenden Medium! beobachtete Geschwindigkeit ist Mit�telwert� Oder� Teilweise eingeschlossener �Ather Fresnel�� Resnick� S� ����Gegenargument� Lichtaberration in wassergef�ulltem Teleskop ist ebensogro wie im Vakkum�Teleskop
� Emissionstheorien�
Die Lichtgeschwindigkeit ist c nicht relativ zum Medium� sondern re�lativ zur Lichtquelle konstant�
Das Nullergebnis des Michelson�Morley�Experimentes w�are dann verst�andlich�da sich Lichtquelle� Spiegel und Schirm nicht gegeneinander bewegen�
Gegenargumente�
� Bei Doppelsternen� die einander umkreisen� m�usste die Lichtgeschwindig�keit jeweils der Komponente kleiner sein� die sich gerade von der Erdefortbewegt� Die Beobachtung der beiden Komponenten w�urde also durchunterschiedliche Lichtlaufzeiten verschieden beein�usst� und die Bewegungs�ahe� von der Erde aus beobachtet� unregelm�a ig aus� Im Gegensatz dazu
�� DEZEMBER ����� DER VERLUST DES �ATHERS ��
folgt die beobachtete Bewegung von Doppelsternen perfekt den Kepler�schen Gesetzen � und best�atigt damit die Unabh�angigkeit der Lichtge�schwindigkeit von der Bewegung der Lichtquelle�
� Das Michelson�Morley�Experiment wurde auch mit extraterrestrischen Licht�quellen Sonne bzw� Stern� durchgef�uhrt� relativ zu denen sich die Ap�paratur sicher bewegt� Ein E�ekt konnte jedoch wieder nicht beobachtetwerden
��� noch einmal Die Einsteinschen Postulate
� Es zeigte sich also immer deutlicher� dass die �Ather�Hypothese nicht haltbar ist�Die Experimente zeigen dar�uberhinaus eindeutig� dass die Gesetze der Elektrody�namik keinerlei Modi�kationen ben�otigen� Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen In�ertialsystemen gleich gro � d�h� unabh�angig von der relativen Bewegung zwischenLichtquelle und Beobachter�
Es gilt also ein Relativit�atsprinzip sowohl f�ur die Mechanik� als auch f�ur die Elek�trodynamik� O�ensichtlich kann aber die Galilei�Transformation nicht richtig sein�Es m�ussen also neue Transformationsgleichungen gefunden werden� Anschlie endergibt sich zus�atzlich die Notwendigkeit� die klassischen Gesetze der Mechanik� diesich ja als galileiinvariant erwiesen hatten� so zu modi�zieren� dass sie invariantgegen�uber der neuen Transformation sind�
� Ein junger unbekannter Physiker in untergeordneter Stellung am Schweizer Patent�amt� Albert Einstein� erkl�arte ���� diese Erfahrungen zu grundlegenden Prin�zipien und wischte damit die Notwendigkeit eines �Athers kurzerhand vom Tisch�Da diese Postulate die Grundlage der Relativit�atstheorie bilden� seien sie hier nocheinmal wiederholt�
Die Grundpostulate der speziellen Relativit�atstheorie
Relativit�atsprinzip Die Naturgesetze haben in allen Inertialsy�stemen dieselbe Form�
Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit DieLichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystemdenselben Wert�
Es wird sich zeigen� und Einstein zeigte es bereits in seiner Arbeit von ����� dass sichauf diesen Postulaten eine widerspruchlose Theorie aufbauen l�asst� in der sich dieneuen Transformationsgleichungen f�ur den �Ubergang von einem Inertialsystem zueinem anderen und auch die notwendigen Ab�anderungen der Newtonschen Gesetzeals logische Konsequenz aus den Postulaten ergeben�
Allerdings muss man bei den streng logischen Ableitungen manche lieb gewordeneDenkgewohnheit �uberwinden�
�� DEZEMBER ����� DER VERLUST DES �ATHERS ��
Abbildung ��� Eine Raum�otte unterwegs� Das Leitschi� be�ndet sich genau inder Mitte�
Abbildung ��� Befehl�ubermittlung vom Leitschi� nach vorn und hinten� Die Filmesind von unten nach oben zu lesen�links� Beschreibung aus der Sicht des Kommandantenrechts� Sicht
�von au en
Abbildung ��� Durch die nicht simultane Ankunft des Befehls zum Beschleunigenhat sich nach dem Man�over aus der Sicht des ruhenden Beobachtersder Abstand der Raumschi�e untereinander verkleinert�
�� DEZEMBER ����� DER VERLUST DES �ATHERS ��
��� Erste Folgerungen
Wir beobachten eine Raum�otte mit drei identischen Raumschi�en� die mit konstanterGeschwindigkeit durch den Weltraum �iegt s� Abb� ����� Das
�Mutterschi� mit dem
Kommandanten be�nde sich genau in der Mitte Epstein� S� �����Der Kommandant gibt per Funksignal den Befehl� den Antrieb zu z�unden� worauf
die drei Schi�e beschleunigen� wobei der Kommantant darauf achtet� seine Mittelpositiongenau einzuhalten� Nach einer gewissen Zeit erfolgt auf dieselbe Weise der Befehl� denSchub einzustellen�
Nach diesem Vorgang stimmen wir mit dem Kommandanten darin �uberein� dass sichder Bewegungszustand der Flotte ge�andert hat wir haben es gesehen� Kommandant undMannschaft haben es w�ahrend der Beschleunigungsphase gesp�urt� In mancher Hinsichtaber unterscheidet sich die Beschreibung des Kommandanten von der unsrigen�
Kommandant �
� Die Funksignale haben in beide Richtungen dieselbe Geschwindigkeit rela�tiv zum Mutterschi� �� erreichen deshalb Flaggschi� und Nachhut gleichzeitig Beide Schi�e beginnen deshalb gleichzeitig zu beschleunigen Abb� ��� links��
� Da sie aus demselben Grund den Schub gleichzeitig abstellen� �andert sich ihrAbstand voneinander nicht�
wir �
� Die Funksignale haben in beide Richtungen dieselbe Geschwindigkeit relativzu uns �� Da das Flaggschi� jedoch vor diesem Signal �ieht� die Nachhut ihmaber entgegen�iegt� erreichen die Signale die beiden Schi�e nicht gleichzeitigAbb� ��� rechts��
� Das hintere Schi� beginnt zuerst zu beschleunigen� Dadurch verringert sich derAbstand zum Flaggschi� Abb� ���� Zwar stellt das hintere Schi� den Schubauch zuerst aus� Da das vordere Schi� jedoch erst beim Abschalten dieselbeGeschwindigkeit erreicht wie das hintere� verringert sich der Abstand in derZwischenzeit weiter�
Dieses Beispiel veranschaulicht zwei wichtige Aussagen der Relativit�atstheorie�
� Der Begri� der Gleichzeitigkeit ist relativ� Ereignisse� die an verschiedenen Ortenund f�ur einen Beobachter gleichzeitig statt�nden� sind f�ur einen relativ zum erstenbewegten Beobachter nicht gleichzeitig�
� Die L�ange eines K�orpers ist relativ! sie h�angt von seinem Bewegungszustand ab� Einbewegter Ma stab ist f�ur einen mitbewegten Beobachter l�anger als f�ur sich einendagegen bewegenden�
��� �Ubung
� L�osung der Aufgaben vom �� Dezember
� Diskussion des Beispieles des vorangehenden Abschnittes
�Vielleicht ist es auch so� dass wir an einer ruhenden Raum�otte vorbei�iegen�
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� Die Raumschi�e des Beispiels auf Seite �� sto en durch die Ab�standskontraktion nicht zusammen wie oben f�alschlicherweise dar�gestellt�� da alle Abst�ande� also auch die L�ange der Raumschi�e� ingleichem Ma e schrumpfen unten��
� �� Dezember ����� Relativit�at � qualitativ
��� Wiederholung
� Die Aufstellung der Grundpostulate der Relativit�atstheorie durch Albert Einstein
� Beispiel Raum�otte s� S� ����
� F�ur den Beobachter auf der Erde kommt der Befehl zum Beschleunigen zuerstbeim hinteren Schi� an� weil es dem Funkspruch entgegenkommt� Klassischw�are es f�ur den Kommandanten ebenso� weil das Signal nach hinten die Ge�schwindigkeit c � v� nach vorn dagegen die Geschwindigkeit c� v h�atte� Nachdem Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist jedoch auch f�ur denKommandanten die Lichtgeschwindigkeit nach vorn und hinten gleich gro �F�ur ihn kommt der Befehl bei beiden Raumschi�en gleichzeitig an�
Gleichzeitigkeit ist relativ�
� Als Folgerung daraus ergibt sich eine L�angenkontraktion der Raum�otte�
� M�usste der ruhende Beobachter oder der Kommandant � seinen�Irrtum nicht
sp�atestens bemerken� wenn die Raumschi�e die die Abstandsverringerung zu�sammensto en s� Abb� ��� oben��
Nein Mit exakt denselben Argumenten folgt� dass sich der Abstand aller Atomeder Raumschi�e in Bewegungsrichtung entsprechend verringern muss Epstein�S� �����
��� Qualitative Folgerungen aus den Grundpostulaten
����� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit
� Die Zeit� zu der ein Ereignis statt�ndet� wird von einer Uhr angezeigt� die sich am
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
selben Ort be�ndet� Von zwei Ereignissen� die am selben Ort statt�nden� kann alsoleicht festgestellt werden� ob sie gleichzeitig sind oder welches von beiden sich fr�uherereignet�
� Wie aber k�onnen Ereignisse an verschiedenen Orten miteinander verglichen werden�Dazu muss es an den beiden Orten Uhren geben� deren Gang �ubereinstimmt� diealso synchronisiert sind�
� Damit ergibt sich das Problem der Uhrensynchronisation baugleicher Uhrenin einem Inertialsystem�
Methode � Die Uhren werden so eingestellt� dass ein Beobachter an einer be�stimmten Stelle gleichen Gang aller Uhren beobachtet�
Problem� Bei der Beobachtung beein�usst die endliche Ausbreitungsgeschwin�digkeit des Lichtes das Ergebnis� Sieht der Gang der Uhren von einem Ort aussynchron aus� dann scheinen die Uhren von einer anderen Stelle aus gesehenasynchron zu laufen
Aufgabe Ein Beobachter am Ort A synchronisiert seine Uhr nach Beobach�tung mit einer zweiten Uhr bei B� Der Abstand der beiden Orte sei l� Wie gro ist der Gangunterschied der beiden Uhren� wenn sie von B aus beobachtetwerden�
Methode � Die Uhren werden an einem Ort synchronisiert und anschlie end anihre Bestimmungsorte transportiert�
Problem� Es ist a priori nicht klar� ob der Gang der Uhren nicht durch denTransport beein�usst wird�
Methode � Die Uhren werden zun�achst an ihren Bestimmungsort gebracht� An�schlie end werden sie mit Hilfe von Signalen synchronisiert� Zur �Ubermittlungder Signale werden elektromagnetische Wellen benutzt� weil
� sie kein Medium zur Ausbreitung ben�otigen�
� ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum weder von der Wellenl�angebzw� Frequenz�� noch von der Amplitude oder der Ausbreitungsrichtungabh�angt�
� ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit die h�ochste bekannte Geschwindigkeit�uberhaupt ist und
� am wichtigsten f�ur eine allgemein anwendbare Methode zur Uhrensyn�chronisation � alle Experimente ergeben haben� dass ihre Ausbreitungsge�schwindigkeit f�ur alle inertialen Beobachter dieselbe ist�
Bei der Synchronisation muss jedoch die Lichtlaufzeit ber�ucksichtigt werden
Methode a� Von Ort A wird ein Lichtsignal ausgesendet� wenn die Uhr in A
die Zeit tA anzeigt� Wenn das Signal in B ankommt� wird die dortige Uhr�entsprechend der Entfernung l zwischen den beiden Orten� auf tB � tA � l
c
eingestellt�
�Im Zusammenhang mit dem Problem der L�angenbestimmung auf See war es lange Zeit ein gro�espraktisches Problem� Uhren zu bauen� die trotz Seefahrt synchron mit der Uhr im Heimathafen blieben�
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Methode b� Die Uhren in A und B werden durch ein Lichtsignal synchroni�siert� das von einem Ort C ausgesendet wird� der genau dieselbe Entfernungvon den beiden Orten hat� Bei Ankunft des Signals werden beide Uhrenauf dieselbe Zeit gestellt�
Methode c� Ein Lichtsignal wird zur Zeit tA von A ausgesendet� Bei Ankunftin B wird es nach A zur�uckre�ektiert� wo es zur Zeit tA � #t registriertwird� Dann muss die Uhr in B so eingestellt werden� dass sie bei Ankunftdes Signales die Zeit tB � tA � �t
�anzeigte�
Die Methoden �a��c erweisen sich als �aquivalent zueinander� Allerdings muss bei derMethode �c� anders als bei den beiden anderen� die Entfernung zwischen den beidenPunkten nicht vorher bestimmt werden� Bei dem Experiment ergibt sich n�amlichdie Entfernung zus�atzlich�
l � c#t
�
Tats�achlich werden auf diese Art Entfernungen durch Radarmessungen bestimmt�
� Aufgaben
� An welchen Stellen der Methoden �a��c wird welches Grundpostulat der Rela�tivit�atstheorie verwendet�
� Beschreiben Sie die praktische Durchf�uhrung der Uhrensynchronisation nachden Methoden �a bis �c so genau wie n�otig
� Auf diese Weise ist es gelungen� eine eindeutige Zeitordnung innerhalb eines Iner�tialsystems herzustellen� d�h�� Alle ruhenden Beobachter in diesem System kommenzu denselben Aussagen �uber die zeitliche Reihenfolge von Ereignissen� die an ver�schiedenen Orten statt�nden�
� Das Beispiel der letzten Woche s� S� ��� hat jedoch bereits gezeigt� dass sich Beob�achter� die sich relativ zueinander bewegen� nicht auf eine solche Zeitordnung einigenk�onnen�
Der Deutlichkeit halber soll das Beispiel in etwas anderer Darstellung Resnick�S� ���� noch einmal wiederholt werden�
� Zwei Inertialsysteme S und S � bewegen sich relativ zueinander� Beide habenihre eigenen Ma st�abe und synchronisierten Uhren� Zwei Beobachter O und O�
registrieren Blitzeinschl�age an Orten� die gleich weit von ihnen entfernt sind
s� Abb� ����
� Abbildung �� zeigt links den Vorgang aus der Sicht des Beobachters O� dersich in S in Ruhe be�ndet� Dabei ist angenommen� dass ihn die Lichtsignalegleichzeitig erreichen� Er schlie t daraus� dass die Blitzeinschl�age gleichzeitigstattfanden� Die Signale erreichen jedoch den relativ dazu bewegten BeobachterO� nicht gleichzeitig� Dieser kommt deshalb zu dem Schluss� dass der Blitz beiB� fr�uher eingeschlagen hat als bei A��
�Das stellen sie anschlie�end anhand der�Einschlagssch�aden� fest�
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� Zur Relativit�at der Gleichzeitigkeit s� Text�
� Kommt dagegen O� zu dem Schluss� dass die Einschl�age gleichzeitig stattfandens� Abb� ��� rechts�� dann �ndet f�ur O der Einschlag in B sp�ater als in A statt�
� Folgerungen
�� Uhren� die f�ur einen Beobachter synchronisiert sind� sind es f�ur einen anderen�der sich gegen�uber dem ersten bewegt� nicht� Oder kurz�
Synchronisation ist relativ�
�� Zwei Bezugssysteme S und S � bewegen sich gegeneinander� Zwei Ereignisse�nden an den Ort V in Bewegungsrichtung von S � vorn� und H hinten�statt� Zwei Beobachter O und O� messen f�ur diese Ereignisse die Zeitpunkte tVund tH bzw� t�V und t�H � Dann gilt�
t�H � t�V �� tH � tV ���
tH � tV �� t�V � t�H ���
�� Beispiel landendes Flugzeug Abbildung ����
� Wenn der Pilot die Landekufen gleichzeitig ausf�ahrt� sehen wir die hinterenzuerst�
� Wenn der Pilot waagerecht aufsetzt� d�h� mit allen Kufen gleichzeitig� setzter f�ur uns hinten zuerst auf
� Wenn wir das Flugzeug horizontal landen sehen� setzt der Pilot vorn zuerstauf� F�ur ihn gibt es also einen Winkel zwischen Flugzeug und Landebahn
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� Das relativistisch landende Flugzeug Das Bild bitte nicht zu w�ort�lich nehmen �
Abbildung ��� Das Licht eines sehr weit entfernten Sternes im Zenit tri�t als ebeneWelle senkrecht auf den Boden links�� Wie wird der Pilot einer sehrschnell landenden Raumf�ahre das einfallende Sternlicht registrierenrechts��
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� Zur relativistischen Erkl�arung der Lichtaberration� F�ur den ruhen�den Beobachter tri�t das Licht Bug und Heck der Raumf�ahre gleich�zeitig� F�ur den Piloten wird deshalb der Bug zuerst getro�en� DerStern erschient nach vorn verschoben�
�� Lichtaberration
� Aufgabe Wie wird der Pilot das Licht eines Sternes registrieren� der f�uruns im Zenit steht� dessen Licht also senkrecht von oben einf�allt Abb� ����
� Diesen E�ekt kennen wir bereits als Lichtaberration s� S� ���� Die Desyn�chronisation f�uhrt hier dazu� dass Sterne in Vorw�artsrichtung verschobengesehen werden s� Abb� ���� Das ist die korrekte relativistische Deutungder Lichtaberration�
� Dieser E�ekt f�uhrt dazu� dass im Weltraum die Sterne� die uns norma�lerweise nahezu gleichf�ormig verteilt umgeben� in Bewegungsrichtung kon�zentriert erscheinen s� Abb� ����
� Aufgabe Begr�unden Sie� dass die Synchronisation senkrecht zur Bewegungsrich�tung unabh�angig von der Bewegung ist
����� Die Relativit�at der L�angenmessung
� Das Ergebnis des Raum�ottenbeispieles war� Abst�ande werden unterschiedlich be�urteilt � und zwar von dem mitbewegten Beobachter gr�o er als von dem ruhenden�
Dieses Ergebnis soll besser verst�andlich gemacht werden� indem der Vorgang derL�angenmessung genauer analysiert wird�
� Beispiel Die L�ange eines Zuges�
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� F�ur einen ruhenden Beobachter sind die Fixsterne nahezu gleichf�ormig amHimmel verteilt links�� Der Pilot eines schnellen Raumschi�es beobachtet dagegen einestarke Konzentration der Stern in Fahrtrichtung�
� Wenn der Zug steht� Abschreiten und Z�ahlen der Schritte� d�h� Vergleich miteinem Ma stab�
� Dieses Verfahren kann vereinfacht werden durch Ablesen der Koordinaten vonZugspitze und �ende� Dabei sind die Koordinatenangaben durch wiederholtesAnlegen des Ma stabes entstanden�
� Das erste Verfahren versagt� wenn der Zug f�ahrt� Bei dem zweiten ist einezus�atzliche Bedingung zu beachten� Die Koordinaten m�ussen gleichzeitig be�stimmt werden� sonst ergibt sich die L�ange des Zuges zu gro oder zu klein�
Da jedoch Gleichzeitigkeit ein relativer Begri� ist� ist es nicht erstaunlich� dasssich auch der Abstand als relativ erweist�
� Wenn uns jedoch der Zugf�uhrer bei unserer gleichzeitigen Positionsbestimmungbeobachtet� dann ist er �uberzeugt� dass wir die hintere Position zu sp�at messen
und deshalb ein zu kleines Ergebnis erhalten�
� Der Kommandant misst den Abstand der Schi�e seiner Flotte� indem er ih�re Positionen gleichzeitig bestimmt� F�ur uns misst er aber die Position deshinteren Schi�es fr�uher als die des vorderen s� Gleichung ����� In der Zwi�schenzeit bewegt sich aber die Flotte weiter� Wir sind deshalb �uberzeugt� dassder Kommandant einen zu gro en Abstand misst�
� Folgerung
Die L�ange eines K�orpers in Bewegungsrichtung h�angt vom Bezugssystemab� in dem sie gemessen wird�
�Machen Sie sich das auch mit Hilfe von Gleichung �� gr�undlich klar� F�ur den Lokf�uhrer bewegtsich ja der Bahnsteig nach hinten� Deshalb ist f�ur ihn die Stelle� an der wir die Position des Zugendesmessen� in Bewegungsrichtung vorn�
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� Zu Aufgabe � auf Seite ��� Wie wird der Abdruck auf dem Papierf�ur verschiedene Beobachter aussehen�
Die L�ange ist relativ�
Sie ist am gr�o�ten in dem Bezugssystem� in dem der K�orper in Ruheist� in seinem Ruhesystem also� Diese L�ange hei�t die Ruhel�ange desK�orpers�
Senkrecht zur Bewegungsrichtung messen alle Beobachter dieselbe Ausdeh�nung des K�orpers�
��� �Ubung
Aufgaben
�� Begr�unden Sie� dass die Ausdehnung von K�orpern senkrecht zur Bewegungsrichtungvon allen inertialen Beobachtern gleich gemessen wird
�� Wie wird der Abdruck des Stempels auf dem Zeitungspapier aussehen� wenn wirsp�ater die Zeitung lesen s� Abb� ���� Oder einfacher� Wie sieht der Abdruck f�ureinen Beobachter aus� der sich mit dem Papier mitbewegt�
�� Ein Quadrat f�allt� von au en betrachtet� kantenparallel und senkrecht auf ein Flie �band� das sich ebenso schnell bewegt� wie das Quadrat f�allt Abbildung ���� Wiesieht das Quadrat f�ur einen Beobachter aus� der sich relativ zum Flie band in Ruhebe�ndet�
Anregung �Lorentz�Kontraktion quantitativ�Ein Beobachter misst den Abstand l� zweier relativ zu ihm ruhenden Punkte A und
B� indem er ein Lichtsignal von A nach B sendet� es dort re�ektieren l�asst und die Zeit#t misst� die vergeht� bis er das re�ektierte Signal empf�angt�
l� �c
�#t�
� �� DEZEMBER ����� RELATIVIT�AT � QUALITATIV ��
Abbildung ��� Wie wird das fallende Quadrat f�ur einen auf dem Flie band sitzen�den Beobachter aussehen�
Beschreiben Sie diesen Vorgang aus der Sicht eines sich dagegen bewegenden Beob�achters� und vergleichen Sie sein Ergebnis l f�ur die L�ange des K�orpers mit dem Ergebnisl�� das der mitbewegte Beobachter misst
� � JANUAR ����� DIE RELATIVIT�AT DER ZEIT ��
� � Januar ����� Die Relativit�at der Zeit
��� Wiederholung
� Hinweis� In der Reihe Spektrum�Biogra�en ist ein lesenswertes Heft �uber AlbertEinstein erschienen �����
� Relativit�at der Uhrensynchronisation
� Nachtrag� Weltzeit und Uhrensynchronisation Sexl� S� ����
� Die Notwendigkeit einer �uberregionalen Uhrzeit kam erst mit dem modernenVerkehrswesen� erstmals mit dem Bau von Eisenbahnlinien� auf� Damit ent�stand auch das Problem �uberregionaler bzw� weltweiter Uhrensynchronisation�
� Die internationale Zeit wird heute durch Atomuhren in sieben Laboratoriende�niert TAI� temps atomique international�� Diese werden durch Funksi�gnale synchronisiert� die die ganze Erde umspannen� also die verschiedenstenAusbreitungsrichtungen haben� G�abe es eine Richtungsabh�angigkeit der Licht�geschwindigkeit� g�abe es bei der Synchronisation die gr�o ten Schwierigkeiten�
Die Synchronisation des Uhrennetzes der Welt best�atigt das Prinzipder Konstanz der Lichtgeschwindigkeit� Nach der �Athertheorie w�arenst�andig wechselnde Laufzeiten der Zeitsignale zu erwarten� die experi�mentell nicht beobachtet werden�
� Die heute �uber Langwellensender verbreitete Zeit �Funkuhren� ist jedoch
nicht die TAI� sondern die Universal Time Coordinated UTC�� Sie ist anastronomische Ph�anomene die nicht exakt gleichf�ormige Erdrotation� gekop�pelt� Dieser Unregelm�a igkeit wird dadurch Rechnung getragen� dass j�ahrlichnachtr�aglich �� die Di�erenz gegen�uber der TAI festgelegt und evtl� Schaltse�kunden eingef�ugt werden� ���� betrug die Di�erenz �� Sekunden�
� Das heute� bereits in Autos� Hobbyschi�en und sogar Handger�aten f�ur Wande�rer� global zur genauen Positionmessung benutzte Global Positioning SystemGPS� erm�oglicht eine Messgenauigkeit von einigen Metern milit�arisch sogarnoch darunter �� Diese Genauigkeit ist nur m�oglich� indem alle E�ekte der spe�ziellen und allgemeinen � Relativit�atstheorie ber�ucksichtigt werden�
� L�angenkontraktion als Folge der Relativit�at der Gleichzeitigkeit
��� Zeitdilatation � qualitativ
Das Ph�anomen des unterschiedlichen Uhrenganges soll zun�achst als logische Konsequenzder Grundpostulate der Relativit�atstheorie herausgearbeitet werden� indem die Argumen�tation sich so dicht wie m�oglich an die bisherigen �Uberlegungen anschlie t�
Dazu wird das folgende Problem untersucht Epstein� S� ����� Zwei Raumschi�e derRuhe�� L�ange l �iegen mit der Geschwindigkeit v aneinander vorbei� Was bedeutet dieseAussage� bzw� wie kann diese Geschwindigkeit gemessen werden�
� Messung von�au en� d�h� von einem Beobachter� f�ur den die Raumschi�e die Ge�
schwindigkeiten �v�
bzw� v�
haben s� Abb� ����
� � JANUAR ����� DIE RELATIVIT�AT DER ZEIT ��
t�
t�
Abbildung ��� Messung der Relativgeschwindigkeit zweier Raumschri�e durch einen Be�obachter� f�ur den beide gleich schnell sind�
t�a t�b
Abbildung ��� Die zwei Methoden� mit denen die Besatzung von Raumschi� � unten� dieGeschwindigkeit des Vorbei�uges bestimmen kann� f�uhren zu unterschiedlichen Ergebnis�sen s� Text��
� Wenn die Raumschi�e mit ihren Spitzen aneinander vorbei�iegen� wird dieStoppuhr gestartet� t� Abb� ��� oben��
� F�ur die Messung der Zeit t� Abb� ��� unten� gibt es zwei �aquivalente Metho�den�
�� Das Heck des Schi�es � �iegt an der Spitze von � vorbei�
�� Die Spitze von Schi� � erreicht das Heck von ��
Beide Methoden sind gleichwertig� weil die beiden Ereignisse f�ur den �au�erenBeobachter gleichzeitig sind�
Da aber diese Aussage in dagegen bewegten Bezugssystemen nicht gilt� mussmit Widerspruch der Besatzungen der beiden Schi�e gerechnet werden�
� Messung von Raumschi� � unten� aus�
� � JANUAR ����� DIE RELATIVIT�AT DER ZEIT ��
� Der Pilot an der Spitze� startet seine Uhr� wenn er den Vorbei�ug der Spitzevon Raumschi� � registriert Abb� �� unten�� t��
� Der t� entsprechende Zeitpunkt kann auf zwei � diesmal verschiedene � Weisengemessen werden�
�� Der Pilot registriert den Vorbei�ug des Heckes von � Abb� ��� links oben��t�a�
�� Der Copilot im Heck� registriert die Ankunft der Spitze von � mit einersynchronisierten Uhr Abb� ��� rechts oben�� t�b�
Wegen der L�angenkontraktion des Raumschi�es � sind die Messungen nicht�aquivalent� Es gilt o�ensichtlich�
t�b � t�a
Die beiden Ereignisse sind eben nur f�ur den �au eren Beobachter gleichzeitig�
� Die beiden Zeitspannen verhalten sich wie die Ruhel�ange l� der Raumschi�ezur lorentzverk�urzten L�ange l der bewegten Raumschi�e�
t�b � t�
t�a � t��l�
l���
� Messung von Raumschi� � oben� aus�
� Der Pilot an der Spitze� startet seine Uhr� wenn er den Vorbei�ug der Spit�ze von Raumschi� � registriert� Das Startereignis ist also f�ur beide Pilotenidentisch� t��
� Die Situation in Abbildung �� rechts oben entspricht f�ur den Piloten � geradeder Situation in Abbildung �� links oben f�ur den Piloten �� Beide registrierenden Vorbei�ug des Heckes des anderen Raumschi�es� t��aWegen der �Aquivalenz der beiden Inertialsysteme muss die Uhr des Piloten� rechts dasselbe anzeigen wie links d�h� zu einem f�ur Pilot � fr�uheren Zeit�punkt � die von Pilot ��
t�a � t� � t��a � t��
Die Uhr von Pilot � muss also langsamer gehen als die von Pilot �� Zeitdila�tation
� Wenn das Ereignis�Spitze von Raumschi� � �iegt an Heck von Raumschi� � vorbei�
eintritt� ist f�ur die Besatzung von Raumschi� � die Zeitspanne
#t � t�b � t�
verstrichen� F�ur den Piloten von Raumschi� � ist jedoch erst die Zeitspanne
#t� � t��a � t�� � t�a � t�
� � JANUAR ����� DIE RELATIVIT�AT DER ZEIT ��
verstrichen�
Mit Hilfe von Gleichung ��� kann deshalb ein Zusammenhang zwischen Lorentz�Kontraktion und Zeitdilatation hergestellt werden�
#t�
#t�t�a � t�
t�b � t�
�����
l
l����
L�angenkontraktion und Zeitdilatation sind gleich gro��
�t�
�t�
l
l����
��� �Ubung L�angenkontraktion und Zeitdilatation � quantitativ
Die E�ekte der L�angenkontraktion und der Zeitdilatation k�onnen quantitativ abgeleitetwerden� wenn man den Vorgang der L�angenmessung in zwei gegeneinander bewegtenBezugssystemen beschreibt siehe die Anregung vom Ende der letzten Sitzung S� �����
� Der mitbewegte Beobachter misst die L�ange l�� indem er Licht vom Anfang zumEnde und zur�uck laufen l�asst und die daf�ur ben�otigte Zeit #t� misst�
#t� ��l�
c�� l� �
c
�#t� ���
� F�ur den ruhenden Beobachter� der diesen Vorgang beobachtet� dauern Hin� undR�ucklauf verschieden lang�
#t �l
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l
c � v� l
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c� � v��
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c
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�#t�� �� ��
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���mit � �
�p�� �
���
� Die beiden Messergebnisse verhalten sich also wie
l�
l�
#t�
#t
�
�� �� ��
#t�
#t���
� Wegen der im letzten Abschnitt abgeleiteten Zeitdilatation Gleichung ���� sinddie von den beiden Beobachtern gemessenen Zeitintervalle nicht gleich gro � Es giltvielmehr�
l�
l
����� ��
#t�
#t
����� ��
l
l�
�� l�
l� � ���
� � JANUAR ����� DIE RELATIVIT�AT DER ZEIT ��
Damit hat sich gezeigt� dass Ma st�abe in Bewegung um den Faktor ��
k�urzer gemes�sen werden als in Ruhe�
l ��
�l� mit � �
�p�� ��
�L�angenkontraktion� ���
� Damit ergibt sich aus Gleichung ��� auch die Zeitdilatation quantitativ�
Bewegte Uhren gehen um den Faktor ��langsamer als ruhende�
�t� ��
��t mit � �
�p�� ��
�Zeitdilatation� ���
Hier scheint sich ein Widerspruch zu ergeben� M�ussen nicht auch f�ur Pilot � diebewegten Uhren des Raumschi�es � langsamer gehen als die eigenen�
Wenn jedoch die Spitze von Raumschi� � am Heck von Raumschi� � vorbeikommt�kann nicht nur Copilot � die Uhr von Pilot � ablesen� sondern umgekehrt auch Pilot� die von Copilot �� Und die Uhr von Copilot � zeigt� wie gerade abgeleitet wurde�eine gr�o�ere Zeit an als die von Pilot �
Diese scheinbare Paradoxie ergibt sich aus der scheinbaren Symmetrie der Argu�mentation� Tats�achlich ist jedoch die Situation nicht so symmetrisch� wie sie aufden ersten Blick wirkt�
� Die Mannschaft von Raumschi� � kommt zu der �Uberzeugung� dass die Uhrenim bewegten Raumschi� � langsamer gehen� indem sie die Uhr von Pilot � mitzwei ruhenden Uhren an verschiedenen Orten vergleicht�
� Pilot � dagegen vergleicht eine ruhende Uhr n�amlich seine eigene� mit zwei Uh�ren im bewegten Raumschi�� Diese Uhren sind jedoch� da sie f�ur die Besatzung� synchronisiert sind� f�ur Pilot � nicht synchronisiert�
Aus dem Umstand� dass die Uhr im Heck von Raumschi� � im Moment des Vor�bei�uges eine gr�o ere Zeit anzeigt als seine eigene� kann Pilot � also nicht folgern�dass die Uhren in Raumschi� � schneller gehen Er schlie t aus seiner Beobachtungvielmehr auf eine Desynchronisation der beiden Uhren in Raumschi� ��
� Das Ph�anomen der Zeitdilatation sollte deshalb genauer formuliert werden Sexl�S� ����
Bewegt sich eine Uhr an einem Satz zueinander ruhender Uhren vorbei�dann geht sie im Vergleich mit diesen um den Faktor �
�langsamer�
� Keine Kontraktion senkrecht zur Bewegungsrichtung s� S� ���
� Hausaufgabe� Sch�atzen Sie die Relativgeschwindigkeit von Rakete � gegen�uberRakete � in Abbildung �� ab
� Hausaufgabe� Zeichnen Sie den Lorentz�Faktor � als Funktion der Geschwindigkeit
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
��� ��� ��� ���
�
�
�
�
���� ���� ���� ����
��
��
�
Abbildung ��� Der Lortentz�Faktor als Funktion der Geschwindigkeit
� ��� Januar ����� Minkowski�Diagramme
��� Wiederholung
� Ph�anomen der Zeitdilatation und Verdeutlichung ihrer paradoxiefreien � Symmetrie
� Quantitatives Ergebnis der letzten �Ubung Gleichungen ��� und ���� Seite ����
l ��
�l� mit � �
�p�� �
L�angenkontraktion�
#t� ��
�#t mit � �
�p�� �
Zeitdilatation�
� Abbildung �� zeigt den Lorentz�Faktor � als Funktion der Geschwindigkeit Haus�aufgabe ��
��� Bewegte Uhren
� Die bisherigen �Uberlegungen zur Zeitdilatation waren unabh�angig von der Art derbenutzten Uhren� Damit ist klar� dass der E�ekt nicht auf der Wirkungsweise spe�zieller Uhren beruht� sondern ein Charakteristikum der Zeit selbst ist�
� Der E�ekt ist jedoch mit besonders einfachen Uhren � so genannten Lichtuhren �viel direkter ableitbar s� Abb� ����
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
Abbildung ��� Eine bewegte Lichtuhr
� Eine Lichtuhr besteht im Prinzip aus zwei parallelen Planspiegeln� zwischendenen als
�Unruhe� ein Lichtstrahl hin�
�tick� und herl�auft
�tack�� W�ahlt
man z�B� den Abstand d der beiden Spiegel zu d � ����m� dann wird diePeriodenl�ange T � im Ruhesystem der Uhr zu
T � ��d
c� �ns�
� F�ur einen Beobachter� relativ zu dem sich die Uhr bewegt� muss der Lichtstrahlin der Uhr einen gr�o eren Weg zur�ucklegen s� Abb� �� S� ��� nebeneinander���Er misst also eine l�angere Periodendauer T �
cT�
�
�v T�
AAAAAAAAAAAAU
cT�
c�T � � c�T �� � v�T � �� T � T �p����
Der Zusammenhang zwischen T und T � kann unmittelbar abgelesen werden�
T � � Tq
�� �
� Diskussion
� Wie interpretiert der mit der Uhr C in Abb� �� mitbewegte Beobachter dieBeobachtung� dass die Uhr A ����ns anzeigt� seine eigene aber ����ns�
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
Er schlie t daraus nicht� dass die Uhren A und B doppelt so schnell gehen wieseine� Er kann vielmehr� mit einem anderen Experiment� heraus�nden� dasssie halb so schnell wie seine gehen� W�aren f�ur ihn also die Uhren A und B
synchron� dann m�usste B ���ns anzeigen� F�ur ihn geht also B gegen�uber A um���ns vor�
� Wie oben bereits betont� ist das Ph�anomen der Zeitdilatation unabh�angig vonder Art der benutzten Uhren� Tats�achlich w�urde das Gegenteil zu einem Wi�derspruch zum Relativit�atsprinzip f�uhren� G�abe es n�amlich einen vom Bezugs�system abh�angigen Gangunterschied zwischen dem Gang verschiedener Uhren�dann k�onnte dieser benutzt werden� ein bestimmtes Bezugssystem vor allenanderen auszuzeichnen�
��� Experimente zur Zeitdilatation
� Die Vorhersage der Zeitdilatation war das wohl spektakul�arste Ergebnis der speziel�len Relativit�atstheorie� Es war deshalb von fundamentaler Bedeutung� die radikale�Anderung des Zeitbegri�s� welche die Zeitdilatation mit sich brachte� auch experi�mentell zu best�atigen�
� Besonders wichtige Uhren f�ur die experimentelle Pr�ufung sind
� das Emissionslicht angeregter Atome oder Kerne�
� instabile Atomkerne radioaktiver Zerfall��
� instabile Elementarteilchen und
� Pulsare�
Im Prinzip sind auch Lebewesen� wenn auch nicht genaue��biologische Uhren�
Man sieht ihnen ihr Alter an� Auch bei Lebewesen muss es deshalb �im PrinzipZeitdilatation geben�
� Beim Vergleich einer ruhenden Uhr A mit einer auf einer Kreisbahn umlaufendenUhr C Abb� ��� sind nur zwei Uhren erforderlich� Beim wiederholten Zusammen�tre�en der Uhren zeigt sich� dass Uhr C langsamer geht als A� Diese Feststellungsteht nicht im Widerspruch zum Relativit�atsprinzip� weil die beiden Uhren nichtgleichberechtigt sind� Uhr C bewegt sich� im Gegensatz zu A� beschleunigt� Einmitbewegter Beobachter kann diese Beschleunigung absolut � messen�
� Beim Vergleich mit Uhren in �iegenden Flugzeugen muss zus�atzlich ein gravitativerEin�uss auf den Uhrengang ber�ucksichtigt werden� der dieselbe Gr�o enordnung wieder Geschwindigkeitse�ekt hat�
Eine Uhr� die sich im Schwerefeld der Erde um die H�ohe H weiter obenbe�ndet als eine Vergleichsuhr� geht nach der Zeit t um die Zeitspanne
#tgrav �gH
c�t ���
vor� wenn die Uhren anf�anglich auf denselben Stand gebracht wurden� Da�bei ist g die Erdbeschleunigung am Ort der Vergleichsuhr�
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
Abbildung ��� Vergleich einer Uhr auf einer Kreisbahn mit ruhenden Uhren
� Der erste experimentelle Nachweis der durch Geschwindigfkeit hervorgerufenen Zeit�dilatation gelang ����� also �� Jahre nach ihrer Postulierung� durch Untersuchungder Emissionslinien schneller Atome�
����� Das Maryland�Experiment �Sexl� S� ����
� Dieses Pr�azisionsexperiment wurde ������� mit jeweils drei Atomuhren am Bodenund in einem langsamen � Flugzeug durchgef�uhrt�
� Zur eigentlichen Messung wurden f�unf Fl�uge von jeweils etwa �� Stunden Dauerdurchgef�uhrt� Die Uhren wurden vor und nach den Fl�ugen durch direkten Vergleichund w�ahrend der Fl�uge durch Laserimpulse miteinander verglichen s� Abb� ���links��
� Der erwartete E�ekt betrug
#t � #tgrav � #tGeschw � ��ns� �ns � ��ns�
Die �Ubereinstimmung zwischen Theorie und Experiment s� Abb� ��� rechts� erwiessich als �au erst befriedigend�
#texp
#ttheor� ����� �����
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
Abbildung ��� Ergebnisse des Maryland�Experimentes
����� Das Hafele�Keating�Experiment �Sexl� S� ����
� Das Experiment wurde bereits ���� quasi als�Freihand�Experiment mit kommer�
ziellen Atomuhren und in Linien�ugzeugen durchgef�uhrt und galt damals als�wis�
senschaftliches Lausbubenst�uck�
� Hafele und Keating erkannten� dass das Problem der gegenseitigen Kompensationvon Gravitations� und Geschwindigkeitsein�uss bei Fl�ugen um die Erde vermiedenwerden kann�
Beobachtet n�amlich ein �ktiver inertialer Beobachter aus dem Weltall die Umrun�dung der rotierenden Erde� dann bewegen sich sowohl das Flugzeug� als auch dieBodenstation�
� Bei einer Ost�West�Umrundung bewegt sich das Flugzeug langsamer als dieBodenstation� seine Uhr geht durch den Geschwindigkeitse�ekt also schneller�Geschwindigkeitse�ekt und Gravitationse�ekt verst�arken sich also gegenseitig�
� Bei einer West�Ost�Umrundung kompensieren sich dagegen die beiden E�ekteteilweise� weil sich das Flugzeug schneller bewegt als die Bodenstation� Es wirdsich zeigen� dass der Geschwindigkeitse�ekt dem Betrage nach etwas gr�o er ist�
� Vergleich der genauen Berechnungen f�ur die konkreten Fl�uge mit den experimentel�len Daten ergab
� f�ur die Westumrundung�
#ttheor � ��� ���ns� #texp � ��� ��ns� # � ���%�
� f�ur die Ostumrundung�
#ttheor � ��� ���ns� #texp � ��� ���ns� # � ��%�
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
Abbildung ��� Zerfallskurven langsamer und schneller Myonen� Theoretische Kurven undexperimentelle Ergebnisse
����� Myonen�Experimente �Sexl� S� ���
� Myonen sind instabile Elementarteilchen� die dieselbe Ladung wie Elektronen� aberdie ���fache Masse haben�
q� � qe� m� � ���me�
� Langsame Myonen �in Ruhe� haben eine Halbwertszeit von �� � �����s�
� In einem Speicherring�Experiment CERN ����� wurden Myonen so beschleunigt�dass sich ihre Geschwindigkeit nur noch um ����% von der Lichtgeschwindigkeitunterschied�
� �������
� Bei dieser Geschwindigkeit hat der Lorentz�Faktor � den Wert ����� Man erwartetdeshalb einer Halbwertszeit von
�v � ��� � ������ � �����s�
� Die experimentell gefundene Abklingkurve Abb� ��� stimmt damit sehr gut �uberein�
� Aufgabe Berechnen Sie� ausgehend von N� � ������ die Zerfallskurve oder zu�mindest die Anzahl der Myonen w�ahrend der ersten ���s f�ur langsame und schnelleTeilchen
� Frage Wie alt w�aren Sie heute� wenn Sie in Ihrem heutigen Alter vor ���� Jahrenin den Speicherring eingeschossen worden w�aren� ca� ��a�
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
q
qWLU�� WLU��
� ��
� � �
WL WeltlinieLS Weltlinie eines Lichtsignals
�� ��� ���x�m�
��
���
���
ct�m�
t t t
WLU ���
ct��m�
� arctan q
q
q
q
q���
A
B
C
LS von E
LS von A
WLU ��� WLU �
��
qD
qE
x��m�ct� � ��
qF
qG
q���
Abbildung ��� Zur Konstruktion von Minkowski�Diagrammen s� Text�
��� Minkowski�Diagramme �Sexl S� ����
Die Konstruktion von Minkowski�Diagrammen soll an folgendem Beispiel erarbeitet wer�den Abbildung ����
Eine Rakete� die im unbewegten Bezugssystem K die L�ange l l � ���m� hat� �iegtmit der Geschwindigkeit v � c � �
��� � � �
�� entlang der x� und x��Achse� In
K be�nden sich zwei Uhren U� bei x � � und U� bei x � l�� In der Rakete� dh� ruhend
im mitbewegten Bezugssystem K �� be�nden sich drei Uhren� U �� am Heck� U �
� in der Mitteund U �
� an der Spitze�ct�Achse und x�Achse des Systems K stehen senkrecht aufeinander und haben den�
selben Ma stab�
� Zur Zeit t � � � t� stimmen die Anf�ange von x� und x��Achse und das Heck derRakete �uberein� A
� Um die ct��Achse x� � �� zu �nden� konstruieren wir die Weltlinie von Raketenheckund Uhr U �
�� Wenn das Heck mit der Uhr U �� an der Uhr U� vorbeikommt B�� zeigt
U� die Zeit tB an�
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
ctB ��
l
�� ���m� ���
Wegen der Zeitdilatation zeigt U �� dann die Zeit t�B an�
ct�B ��
�ctB �
�
����m � ��m ���
� Zu einem leicht zu konstruierenden� um den Lorentz�Faktor � � ��� sp�ateren� Zeit�
punkt zeigt deshalb U �� die Zeit ct�B � ���m an� C�
Damit ist die ct��Achse mit ihrem Ma stab konstruiert�
� Um die x��Achse ct� � �� zu �nden� senden wir zun�achst ein Lichtsignal vom Hecknach vorn� Seine Weltlinie
ct � x
ist die Winkelhalbierende� Sein Eintre�en D� �ndet man als Schnittpunkt zwischenden Weltlinien dieses Lichtsignales und der Uhr U �
��
� Ein f�ur die Mannschaft der Rakete mitA gleichzeitiges Ereignis �nden wir� indem wirvon der Raketenspitze so ein Lichtsignal nach hinten senden E�� dass es gleichzeitigin der Raketenmitte ankommt� Die Steigung der Weltlinie dieses Signales hat dieSteigung ��� E ergibt sich als Schnittpunkt mit der Weltlinie von U �
��
Damit haben wir die x��Achse gefunden�
� Das nach hinten gesendete Signal kommt schlie lich am Heck an� F� Die zwischenE und D verstrichene Zeit in K � ist nat�urlich ebenso gro wie die zwischen D undF verstreichende� F�ur die Uhr U �
� vergeht deshalb zwischen A und G ebenso vielZeit wie zwischen G und F � die entsprechenden Strecken im Diagramm sind alsogleich lang�
Deshalb Strahlensatz f�ur die sich in F schneidenden Weltlinien� sind auch dieStrecken DE und DF gleichlang�
� Die Weltlinie des nach vorn laufenden Signals wird in K � durch
ct� � x�
beschrieben� Da sie� wie eben bewiesen� die Winkelhalbierende des ct��x��Systemsist� m�ussen die Ma st�abe auf beiden Achsen gleich gro sein�
An dieser Stelle wird deutlich� dass auch viel k�urzer argumentiert werden k�onnte�
� Wegen der bekannten Symmetrie von L�angenkontraktion und Zeitdilatation sind die Ma�st�abe auchauf den ct�� und x��Achsen gleich gro��
� Wegen
� ��� JANUAR ����� MINKOWSKI�DIAGRAMME ��
Damit ist die folgende Konstruktionsvorschrift gefunden und bewiesen worden�
Zu einem rechtwinkligen ct�x�Koordinatensystem mit gleichem Ma�stab aufbeiden Achsen �ndet man das Koordinatensystem des sich mit einer Geschwin�digkeit v � c dagegen bewegenden Systems folgenderma�en�
�� Beide Achsen des bewegten Systems schlie�en mit den Achsen des Ruhe�systems denselben Winkel ein�
� arctan
� Der Ma�stab auf beiden Achsen ist um den Faktor
�
cos� � �
q� � tan� �
s� � �
�� �
gr�o�er als der im Ruhesystem�
��� �Ubung
�� Aufgabe Quantitative Absch�atzung der E�ekte beim Hafele�Keating�Experiment
Die Fluggeschwindigkeit betrage v � ���kmh
� die Flugh�ohe H � �����m� Die Erd�
umrundung verlaufe entlang des �Aquators�
a� Berechnen Sie die Flugzeit und daraus den durch den Gravitationse�ekt her�vorgerufenen Gangunterschied zwischen Boden� und Borduhr nach der Erdum�rundung�
b� Berechnen Sie die Geschwindigkeiten von Bodenstation und Flugzeug bei Ost�West� und bei West�Ost�Umrundung relativ zu einem inertialen au erirdi�schen� Beobachter und daraus die Zeitverschiebungen der bewegten Uhren re�lativ zur Uhr des inertialen Beobachters�
c� Berechnen Sie daraus den Gangunterschied zwischen Bord� und Bodenuhr f�urdie beiden Fl�uge� Wegen � � entwickeln Sie dazu
p�� �
d� Aufgabe Myonen aus kosmischer Strahlung Sexl� S� ���
In einer H�ohe von H � ����m �uber dem Meeresspiegel werden N� � ���h��
Myonen gemessen� auf Meeresniveau NH � ���h���
i� Wie gro w�are NH bei � � ohne Zeitdilatation�
ii� Wie gro ist die Geschwindigkeit der Myonen ungef�ahr�
ct x �� ct� x�
muss diese Weltlinie Winkelhalbierende beider Koordinatensysteme sein�
�� ��� JANUAR ����� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��
�� ��� Januar ����� Anwendung vonMinkowski�Diagrammen
���� Wiederholung
� Die Zeitdilatation und ihre experimentelle Best�atigung
� Konstruktion von Minkowski�Diagrammen
� Korrektur der Ma stabs�anderung
�
�
�������������
�
�
f ��
x
x�
ct ct�
� � tan� � �� ��f � �� f �q
����
����
���� Folgerungen aus den Minkowski�Diagrammen
� ���� Die Relativit�at der Gleichzeitigkeit
Der Umstand� dass die Raumachsen gegeneinander bewegter Inertialsysteme im Minkowski�Diagramm nicht parallel zueinander sind� stellt die Relativit�at der Gleichzeitigkeit dar�Ereignisse� die im einen System gleichzeitig sind � und deshalb auf einer Parallelen zurRaumachse liegen �� sind es in dem anderen System nicht� da ihre Verbindungslinie nichtparallel zur entsprechenden Raumachse ist�
� ���� Die L�angenkontraktion und ihre Symmetrie
� Ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Ma stab habe in seinem Ruhesystem K �
die L�ange l� � ���m� im ruhenden System K die L�ange l�
x�m�
ct�m�
�� ��� ���
��
���
���
x��m�
ct��m�
Weltlinie des Ma stabendes
�� ��� JANUAR ����� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��
x���m�
ct���m�
�� ��� ���
��
���
���
x�m�
ct�m�
x��m�
ct��m�
A
B
C
Abbildung ��� Zur Veranschaulichung der Symmetrie der L�angenkontraktion durchMinkowski�Diagramme
Die L�ange l wird in K gemesen� indem die Koordinaten von Anfang und Ende desMa stabes gleichzeitig� z�B� bei ct � �� bestimmt werden� In das Diagramm sinddie Weltlinien des Anfanges ct��Achse� und des Endes eingezeichnet� Es zeigt dieL�angenkontraktion unmittelbar�
� Dieses Diagramm und die zugeh�orige Argumentation sind zwar richtig� aber leichtirref�uhrend� weil eine Unsymmetrie zwischen den beiden Systemen suggeriert wird�
Wenn man in das Diagramm die Weltlinien eines in K ruhenden Ma stabes mitder L�ange l einzeichnen� hat man � wenn man nicht auf den ver�anderten Ma stabachtet � den Eindruck� als w�urde dieser in K � l�anger gemessen�
� Besser ist es deshalb� das Diagramm so zu zeichnen� dass beide Systeme denselbenMa stab haben Dazu f�uhrt man ein Hilfssystem K �� ein� relativ zu dem sich diebeiden anderen mit den Geschwindigkeiten v
�bzw� �v
�bewegen s� Abb� ����
Zeichnet man die Weltlinie des Endes eines in K � ruhenden Ma stabes der L�angel� � �A�� so schneidet diese die x�Achse bei l � l� � �B�� Zeichnet man nundie Weltlinie eines in K ruhenden Ma stabes der L�ange l� so schneidet diese diex��Achse bei C l�� � l��
� ���� �Uberlichtschnelle Signale Sexl� S� ����
Wenn man Botschaften mit einer Geschwindigkeit c� � c �ubertragen k�onnte� dann k�onnteich die Ergebnisse der Ziehung der Lottozahlen zur Zeit t � � bei x � �� an einenPartner verschicken� der sich mit v � c bewegt s� Abb� ���� Dieser Partner w�urdeim Moment des Erhaltens A� der f�ur ihn bei ct� � � liegt� die Ergebnisse mit derselben�Uberlichtgeschwindigkeit zur�ucksenden� Das Ereignis A liegt f�ur den Partner so weit in derVergangenheit� dass diese Nachricht mich noch vor der Ziehung der Lottozahlen erreichenw�urde� � � �
�� ��� JANUAR ����� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��
x�m�
ct�m�
�� ��� ���
��
���
���
x��m�
ct��m�
p A
B
Abbildung ��� Verletzung des Kausalit�atsprinzips durch �uberlichtschnelle v � ���c� Si�gnale Erl�auterungen im Text�
Ein solcher Vorgang w�urde das Kausalit�atsprinzip der Physik verletzen� nach demdie Ursache eines Ereignisse immer dem Ereignis selbst zeitlich vorangehen muss�
Durch �Ubertragung von Information mit �Uberlichtgeschwindigkeit w�urde dasKausalit�atsprinzip verletzt werden� Man ist deshalb heute sehr sicher� dasseine solche �uberlichtschnelle Signal�ubertragung nicht m�oglich ist�
� ��� Vergangenheit und Zukunft Sexl� S� ����
Die beiden f�ur uns gleichzeitigen Ereignisse A und B in Abbildung �� geschehen f�ur relativzu uns bewegten Beobachter nacheinander� F�ur einen Autofahrer� der in K � ruht� ist Bsp�ater als A� B k�onnte also die Radiodurchsage eines Unfalles sein� an dem er beteiligtwar� Wenn er nun aber so beschleunigt� dass er in K �� ruht� dann geschieht B fr�uher alsA� Der Autofahrer h�ort also die Nachricht von seinem Unfall� bevor der sich ereignet hat� � �
Hier ist nicht explizit� von �uberlichtschnellen Signalen Gebrauch gemacht worden�aber trotzdem ist ein Widerspruch zum Kausalit�atsprinzip entstanden� Wo lag der Denk�fehler�
B kann nicht die Nachricht vom Unfall A sein� weil kein Signal� dessen Ausbreitungs�geschwindigkeit h�ochstens gleich der Lichtgeschwindigkeit ist� den Ort �rB von �rA auserreichen kann� bevor sich B ereignet B kann also nicht von A verursacht worden sein�
Tats�achlich k�onnen nur solche Ereignisse B von A beein�usst werden� f�ur die gilt
ctB � xB � xA � ctA� ���
Diese Ereignisse liegen alle in dem Gebiet� das oberhalb der Weltlinien der beidenLichtsignale liegt� die von A in beiden Raumrichtungen ausgesendet werden� Da diesesGebiet im Falle zweier Raumdimensionen zu einem Kegel wird� hei t seine Berandung derLichtkegel des Ereignisses A�
�� ��� JANUAR ����� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��
x�m�
ct�m�
�� ��� ��� ���
��
���
���
���
x���m�
ct���m�
x��m�
ct��m�
r rAB
Abbildung ��� Dieselben Ereignisse A und B sind in K gleichzeitig� in K � geht A Bvoraus ct�A � ct�B�� in K �� geht umgekehrt B A voraus ct��B � ct��A��
Von einem Ereignis A k�onnen nur diejenigen Ereignisse beein�usst werden�die innerhalb des �Vorw�arts� Lichtkegels von A liegen� Umgekehrt kann A nurvon den Ereignissen beein�usst werden� die sich innerhalb des �R�uckw�arts�Lichtkegels von A ereignen� Von diesen Ereignissen sagt man� sie haben einenzeitartigen Abstand von A�
Ereignisse au�erhalb des Lichtkegels von A haben einen raumartigen� Ereig�nisse auf dem Lichtkegel einen lichtartigen Abstand von A�
Wie man sich anhand von Abbildung �� leicht klar macht� scheidet der Lichtkegeleines Ereignisses seine Zukunft eindeutig von seiner Vergangenheit� Alle Ereignisse B
im oberen Teil des Lichtkegels die von A beein�usst werden k�onnen � liegen eindeutig inseiner Zukunft� Es gibt kein Bezugssystem� in dem diese Ereignisse A vorangehen� Ebensomacht man sich klar� dass alle Ereignisse C im unteren Teil des Lichtkegel eindeutig inder Vergangenheit von A liegen� Nur f�ur die Ereignisse D au erhalb des Lichtkegels istdie zeitliche Reihenfolge mit A nicht eindeutig� Diese Ereignisse k�onnen jedoch in keinekausale Beziehung zu A treten
� ���� Koordinatentransformation
Da wir nun in der Lage sind� zu jeder Geschwindigkeit v das Minkowski�Diagramm zuzeichnen� k�onnen wir auch zu jedem Ereignis E� dessen Koordinaten x� y� z� ct� in K
wir kennen� die zugeh�origen Koordinaten x�� y�� z�� ct�� in K � konstruieren und umgekehrts� Abb� ����
Wir kennen damit die Lorentz�Transformation in geometrischer Darstellung und k�onn�ten aus dieser Darstellung auch die algebraische Form der Transformation ableiten siehez�B� �����
Stattdessen soll die algebraische Form der Lorentz�Transformation aus den Grundpo�stulaten der Relativit�atstheorie direkt abgeleitet werden�
�� ��� JANUAR ����� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��
x�m�
ct�m�
�� ���
��
���
r A
Lichtkegel von A
rB
mit v bewegt
rC
rDZukunft von A
Vergangenheit von A
Abbildung ��� Der Lichtkegel des Ereignisses A teilt�die Welt eindeutig in die Vergan�
genheit und Zukunft dieses Ereignisse � und in den Teil� der in keine kausale Beziehungzu A treten kann�
x�m�
ct�m�
�� ���
��
���
x��m�
ct��m�
r
xA
ctA
x�A
ct�A
A
Abbildung ��� Zur �Ubertragung der Koordinaten eines Ereignisses A von einem Inertial�system K in ein Inertialsystem K �
�� ��� JANUAR ����� ANWENDUNG VON MINKOWSKI�DIAGRAMMEN ��
���� �Ubung
� Besprechung der Hausaufgaben�
� Quantitative Absch�atzung der E�ekte beim Hafele�Keating�Experiment s� S� ���
Ergebnisse� Der Gravitationse�ekt betr�agt
#tgrav � ����ns�
Die Abweichungen zwischen Boden� und Borduhr betragen f�ur die Fl�uge nachOsten bzw� nach Westen
#tWO � ����ns �� #t � ���ns� ���ns � ���ns�
#tOW � ����ns �� #t � ���ns � ���ns � ���ns�
� Myonen aus kosmischer Strahlung s� S� ���
Das Ergebnis ergibt sich aus dem Umstand� dass der Quotient aus Flugzeitund Lebensdauer in beiden Bezugssystemen gleich gro sein muss�
� ����� �� � � ����� �� � � ��� � �����s
� Hausaufgabe Stellen Sie die Zeitdilatation und ihre Symmetrie anhand einesMinkowski�Diagrammes dar
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
�� ��� Januar ����� Die Lorentz�Transformation
���� Ableitung der Transformationsgleichungen
Gegeben ist ein Ereignis mit den Koordinaten x� y� z� ct� im Inertialsystem K� Gesuchtsind seine Koordinaten x�� y�� z�� ct�� im dagegen mit der Geschwindigkeit v � c be�wegten Bezugssystem K �� Gesucht sind also Funktionen� die die Berechnung der neuenKoordinaten aus den alten erm�oglichen�
x� � fxx� y� z� ct�
y� � fyx� y� z� ct�
z� � fzx� y� z� ct�
ct� � fctx� y� z� ct�
� Aus der Homogenit�at von Raum und Zeit�� folgt� dass die Funktionen linearsein m�ussen ���
x� � axxx � axyy � axzz � axctct � ax� ���
y� � ayxx � ayyy � ayzz � ayctct � ay� ���
z� � azxx � azyy � azzz � azctct � az� ���
ct� � actxx � actyy � actzz � actctct � act� ���
W�are n�amlich z�B�
x� � ax� � bx � a
�x� �
b
ax
�� a
�x �
b
�a
��
� b�
�a�
dann w�are die Stelle x� � � b�a
im Raum dadurch ausgezeichnet� dass L�angenmes�sungen besonders kleine Werte erg�aben�
� Werden die Koordinatensysteme so gew�ahlt� dass zur Zeit ct � � die Urspr�ungebeider Systeme zusammenfallen und die Uhr im Ursprung von K � ebenfalls � anzeigtct� � ��� dann wird das Gleichungssystem homogen�
ax� � ay� � az� � act� � � ���
� Aus der Forderung nach der Isotropie des Raumes�� folgt� dass man die Achsenso orientieren kann� dass x� und x��Achse in Richtung der Relativgeschwindigkeitzeigen und dass z� und z�� Achse und y� und y��Achse zueinander parallel verlaufen�
�Dieses Postulat verlangt� dass das Resultat einer L�angenmessung nicht vom Ort der Messung abh�angtund dass die Messung eines Zeitintervalles unabh�angig davon ist� wann diese Messung durchgef�uhrt wird also unabh�angig davon ist� wann die Uhr gestartet wurde��
��Alle Koe�zienten aij sind allein von der Geschwindigkeit v abh�angig���Nach dieser Forderung ist im Raum keine Richtung ausgezeichnet�
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
Damit vereinfacht sich das Gleichungssystem ganz erheblich�
z � � �� z� � �� �� z� � azzz� also azx � azy � azct � � ���
y � � �� y� � �� �� y� � ayyz� also ayx � ayz � ayct � � ���
� Da das Ergebnis der L�angenmessung eines in K � ruhenden Ma stabes in K dasselbeErgebnis haben muss� als wenn derselbe Ma stab in K zur Ruhe gebracht wird undseine L�ange von K � aus gemessen wird� folgt
#y� � ayy#y
#y � �ayy
#y�
�� �� ayy �
�
ayy�� ayy � � ���
Ebenso folgt bei einer L�angenmessung in z�Richtung
azz � �� ���
� F�ur einen K�orper� der im Ursprung von K � ruht x� � ��� gilt in K�
x� � � �� x � vt� �� x� x� vt �� x� � kx� ct� ���
Ebenso folgt f�ur einen K�orper� der im Ursprung von K ruht x � ���
x � � �� x� � �vt�� �� x x� � vt� �� x � k�x� � ct�� ���
Aus dem Relativit�atsprinzip folgt� dass auch die L�angenmessung in x�Richtung sym�metrisch in beiden Bezugssystemen sein muss� Daraus ergibt sich mit derselbenSchlussweise wie bei ����
k � k� � axx ���
� Fasst man die Gleichungen ��� und ��� zusammen� dann sieht man� dass ct� nurvon x und ct abh�angt�
ct� �x
k � x�
�
��
k � k
�x � kct ���
Es muss also gelten�
acty � actz � �� actx ��
k � k
� actct � k ���
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
� Damit hat sich das Gleichungssystem ������� folgenderma en vereinfacht�
x� � kx� k ct ���
y� � y ���
z� � z ���
ct� �
��
k � k
�x � kct ���
In diesem Gleichungssystem ist nur noch der von der Geschwindigkeit v abh�angigeParameter kv� unbekannt� Er kann mit Hilfe des Postulates von der Konstanz derLichtgeschwindigkeit bestimmt werden� das bisher noch nicht benutzt wurde�
� Ein Lichtsignal� das zur Zeit t � � � t� vom Koordinatenursprung in positivex�Richtung ausgesendet wird� wird in den beiden Koordinatensystemen folgender�ma en beschrieben�
x � ct
x� � ct�
����������
�� ct� � kc� v�tct � kc � v�t�
�
�� c� � k�c� � v�� �� k ��p
�� �� � ���
Damit sind die Transformationsgleichungen vollst�andig bestimmt� Wegen
��
k � k
��
�
k �� k�� �
�
k
�� � � �
�� �� �k
k�onnen sie in v�ollig symmetrischer Form folgenderma en geschrieben werden���
Die Lorentz�Transformation
x� � ��x� �ct� ��y� � y ��z� � z ��ct� � ��ct� �x� ��
oder
x � ��x� � �ct�� ���y � y� ���z � z� ���ct � ��ct� � �x�� ���
���
��Meist werden die Transformationsgleichungen in der folgenden Form geschrieben�
x� x�vtp�� v�
c�
y� y
z� z
t� t� v
c�xp
�� v�
c�
oder
x x��vt�p�� v�
c�
y y�
z z�
t t�� v
c�x�p
�� v�
c�
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
���� Anwendungen der Transformationsgleichungen
������ L�angenkontraktion
Ein Ma stab ruhe in K � und habe dort die Ruhel�ange l� � x���x��� Seine L�ange l � x��x�wird in K gemessen� indem die Positionen von Anfang und Ende gleichzeitig #t � ��bestimmt werden� Aus Gleichung �� der Lorentz�Transformation ergibt sich damit
l� � x�� � x�� � �x� � x� � c#t��t���� l �
l�
����
in �Ubereinstimmung mit unserem fr�uher gewonnenen Ergebnis ��� auf Seite ���
������ Relativistische Geschwindigkeitsaddition
� Nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition Gleichung ��� S� ��� h�atte dasScheinwerferlicht eines mit der Geschwindigkeit v fahrenden Autos f�ur einen Fu �g�anger am Stra enrand die Geschwindigkeit c � v � im Widerspruch zum Prinzipder Konstanz der Lichtgeschwindigkeit�
� Mit Hilfe der Lorentz�Transformation ist es einfach� eine neue Vorschrift zur Addi�tion von Geschwindigkeiten abzuleiten�
Das Bezugssystem K � bewege sich wie �ublich mit der Geschwindigkeit v gegen dasBezugssystem K� Beschreiben Sie die Weltlinie eines K�orpers� der sich relativ zu K �
mit der Geschwindigkeit u� bewegt� zun�achst in K �� Berechnen Sie daraus mit Hilfeder Lorentz�Transformation die Gleichung der Weltlinie in K Wie berechnet sichdemnach die Geschwindigkeit u des K�orpers relativ zu K�
Misst ein Beobachter B�� der sich mit der Geschwindigkeit v gegen�ubereinem anderen Beobachter B bewegt� in Bewegungsrichtung�� eine Ge�schwindigkeit u�� dann misst B eine Geschwindigkeit u� die sich folgen�derma�en aus u und v zusammensetzt�
u �u� � v
� � u�v
c�
relativistische Geschwindigkeitsaddition� ���
� Folgerungen�
� Wenn B� Lichtgeschwindigkeit misst u� � c�� dann misst auch B Lichtge�schwindigkeit � in �Ubereinstimmung mit dem Prinzip der Konstanz der Licht�geschwindigkeit�
u� � c �� u �c � v
� � vc
� c
� Aufgabe
Die zusammengesetzte Geschwindigkeit ist immer kleiner oder gleich c�
��Der Fall einer dazu senkrechten Bewegungsrichtung wird erst sp�ater Gleichung ��� S� ��� behandelt�
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
���� Das Zwillings�Paradoxon
Aus den Postulaten der Relativit�atstheorie folgt zwingend� dass eine Uhr genauer� jedeUhr � und damit auch ein Mensch � nach einer langen und sehr schnellen Reise gegen�ubereiner zur�uckgebliebenen Uhr nachgeht� Dieser E�ekt wird in der Literatur als Uhren�Paradoxon oder Zwillings�Paradoxon bezeichnet und hat zu den heftigsten Angri�en aufdie Relativit�atstheorie gef�uhrt�
Wir haben diesen E�ekt bereits fr�uher S� ���� behandelt und begr�undet� dass diesesErgebnis zwar unserem Zeitverst�andnis massiv widerspricht� dass es aber nicht paradoxist� da die beschriebene Situation nicht symmetrisch ist� Nur eine der beiden Uhren wirdbei diesem Vorgang beschleunigt
Zu einem tieferen Verst�andnis soll dieses Ph�anomen an einem konkreten Beispiel n�aheruntersucht werden Sexl� S� ���� Resnick� S� ������ Dabei wird es einen ersten Hinweisauf den so genannten Dopplere�ekt geben�
� Von zwei Zwillingen A und B unternehme der eine B� eine weite und sehr schnellev � �
�c� Weltreise� die ihn� mit seiner eigenen Uhr gemessen� zun�achst drei Jahre
lang von seinem Bruder entfernt� um ihn dann in der gleichen Zeit nach Hausezur�uckzubringen�
Um wieviel sind die beiden Br�uder bei ihrem Wiedersehen gealtert�
Da die Uhr von B nach der Reise sechs Jahre anzeigt� ist er um die selbe Zeitgealtert�
F�ur A jedoch geht die Uhr von B langsamer� bzw� seine eigene schneller� Wegen
��
��� � �
�
�
ist A um den Faktor ��
mehr gealtert� Er ist also beim Wiedersehen zehn Jahre �altergeworden � und damit vier Jahre �alter als sein Zwillingsbruder
� Veranschaulichen Sie den Vorgang in einem Minkowski�Diagramm�
Da die Reisegeschwindigkeit bekannt ist� ist das Minkowski�Diagramm aus der Sichtvon A Inertialsystem � leicht zu konstruieren Abbildung ���� Da f�ur A w�ahrend derHinreise � Jahre vergehen� legt B in dieser Zeit wegen � �
�� � Lichtjahre zur�uck�
Dabei vergehen f�ur ihn drei Jahre� Der Ereignisse der jeweiligen�Jahreswechsel
sind durch dicke Punkte markiert�
� Die Br�uder halten auch w�ahrend der Reise Kontakt� indem jeder von ihnen immernach Ablauf eines Jahres einen Funkspruch an seinen Bruder sendet�
Wie viele Funksignale erh�alt jeder der beiden Br�uder und in welchem zeitlichenAbstand�
Die Weltlinien der Funkspr�uche haben in dem Minkowski�Diagramm die Steigungen �� Das Diagramm macht folgendes deutlich�
�� B erh�alt w�ahrend seiner Reise tats�achlich �� Funkspr�uche� A dagegen nur �
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
� �x�Lj�
�
�
�
�
��
ct�Lj�
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r Weltlinie der Hinfahrt
r Umkehrpunkt
r Weltlinie der R�uckfahrt
r� � �
��� � � �
�
Abbildung ��� Dopplere�ekt und Zwillingsparadoxon Resnick� S� ����
�� A erh�alt die Funkspr�uche w�ahrend der Hinreise im Abstand von � Jahren�w�ahrend der R�uckreise im Abstand von �
�Jahren� Nach diesen Informationen
hat A also den Eindruck� dass B w�ahrend der neunj�ahrigen Hinreise mit umden Faktor � niedrigerer Frequenz sendet� w�ahrend der einj�ahrigen R�uckreisedagegen mit einer um den Faktor � h�oheren Frequenz
�� B empf�angt erst am Ende der Hinreise� also nach drei Jahren� das erste Signal�w�ahrend der R�uckreise dagegen neun Signale im Abstand von jeweils �
�Jah�
ren� Auch f�ur ihn sind die Empfangsfrequenzen also um jeweils den Faktor �verringert bzw� vergr�o ert
� Die sich dabei ergebende Frequenzver�anderung ist Ausdruck des relativistischenDopplere�ektes� die in der n�achsten Sitzung behandelt wird�
� Es wurde argumentiert� dass der E�ekt allein durch die Beschleunigungsphasen her�vorgerufen werde� die au erhalb der speziellen Relativit�atstheorie st�unden� DieserEinwand ist insofern unzutre�end� als beschleunigte Bewegungen nat�urlich relativis�tisch beschrieben werden k�onnen! lediglich die Bezugssysteme m�ussen Inertialsyste�me sein� Der Einwand kann auch entkr�aftet werden� indem man beide Uhren diesel�ben Beschleunigungsphasen durchlaufen l�asst s� Ruder ����� S� ��� �����
� Ein wirkliches Paradoxon scheint sich zu ergeben� wenn beide Uhren auf spiegel�bildliche Reisen geschickt werden� F�ur jeden der beiden Reisenden geht die Uhr desjeweils anderen w�ahrend der ganzen Reise langsamer� muss also beim Wiedersehennachgehen� Wegen der Symmetrie dieser Situation w�are aber dieses Zur�uckbleibentats�achlich paradox
�� ��� JANUAR ����� DIE LORENTZ�TRANSFORMATION ��
Frage Wo liegt der Denkfehler�
Achtung� Die Antwort ist nicht ganz einfach �
���� �Ubung Weitere Folgerungen aus den Transformationsglei�chungen
����� Relativit�at der Synchronisation
Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe der Transformationsgleichungen ���� dass Gleichzeitigkeitin der Relativit�atstheorie ein relativer Begri� ist
����� Zeitdilatation
Aufgabe Begr�unden Sie mit Hilfe der Transformationsgleichungen ��� den E�ekt derZeitdilatation und leiten Sie die fr�uher Gleichung ��� S� ��� gewonnene Formel daf�urab
����� Lichtaberration
Senkrecht von oben einfallendes Licht kommt f�ur einen bewegten Beobachter schr�ag vonvorn� Diese so genannte Lichtaberration ergab sich klassisch durch Vektoraddition vonLichtgeschwindigkeit und Bewegungsgeschwindigkeit s� Seite ���� In der Relativit�ats�theorie ergibt er sich als Folge der Lorentz�Transformation�
Aufgabe Leiten Sie an einem einfachen Spezialfall den Aberrationse�ekt aus denTransformationsgleichungen ��� ab Transformieren Sie dazu Weltlinie eines in K � senk�recht nach unten� d�h� in �y��Richtung�
�fallenden Lichtsignals in das Ruhesystem K
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
�� �� Februar ����� Das Aussehen schnell bewegter Objekte
���� Wiederholung
������ Lichtaberration
� F�ur den Ablenkungswinkel bei der Lichtaberration ergab sich klassisch s� S� ���
tan �v
c� � ���
In der letzten �Ubung wurde abgeleitet� dass das korrekte relativistische Ergebnisum den Faktor � gr�o er ist als das klassisch gewonnene�
tan� � �� relativistische Lichtaberration ���
Im Falle der Bahnbewegung der Erde ist dieser Unterschied jedoch unmessbar klein�
� Bei der Behandlung des Zwillings�paradoxons hatten wir erkannt� dass die Emp�
fangsfrequenz bei Entfernung kleiner� bei Ann�aherung dagegen gr�o er als die Sen�defrequenz ist� Dieses Ph�anomen ist Ausdruck des relativistischen Dopplere�ektes�der � z�B� in der Astronomie � eine �uberragende Rolle spielt�
������ Der Dopplere�ekt
� Ein Sender sende im Abstand T� Lichtsignale aus� In welchem zeitlichen Abstand T
kommen diese Signale bei einem Beobachter B an� auf den sich der Sender mit derGeschwindigkeit v zubewegt���
� F�ur B ist die Zeit im Ruhesystem des Senders um den Faktor �p����
gedehnt�
F�ur ihn sendet der Sender im gr�o eren Abstand
T � �T�
Jedes Signal muss wegen der Ann�aherung des Senders an den Empf�anger eineum vT kleinere Distanz durchlaufen� Es kommt deshalb um #T � T fr�uheran�
Zwischen dem Empfang zweier Signale vergeht also f�ur B die Zeit
TE � T �#T � �� �T ��� p�� �
T�
�� TE � T�
s��
� � ���
��Das war Hausaufgabe�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
� Die Frequenz f des ankommenden Signals ist also gr�o er als die des Senders f��
f � f�
vuut� � �
�� �relativistischer Dopplere�ekt ���
� Wie man sich leicht �uberlegen kann� ist diese Formel auch richtig� wenn sich derSender entfernt � ���
� Wegen des Relativit�atsprinzips mu bei Licht� anders als bei Schall� der sich imMedium Luft ausbreitet� nicht zwischen bewegter Quelle und bewegtem Empf�angerunterschieden werden�
Aufgabe Leiten Sie die Formeln f�ur den akustischen Doppler�E�ekt f�ur den Falldes bewegten Senders und den des bewegten Empf�angers her
� Bei sich entfernender Lichtquelle wird also die Frequenz zu niedrigeren Werten�die Wellenl�ange also zu gr�o eren Werten verschoben� Diese so genannte Rotver�schiebung wird in der Astronomie zur Geschwindigkeitsmessung � und damit zurEntfernungsbestimmung� � benutzt�
f �
f ���
��
� � �� �
f �� � f �
f �� � f ��
f��
f�� �
f��
f�� �
���
� F�ur � � vereinfacht sich die Formel f�ur den Dopplere�ekt zu
f � f�� �
��� �
�� � � � �f�
also
� � � �� f � f�
f�� � ���
� Bei der Analyse des Zwillings�Paradoxons mit Hilfe von Funksignalen Abb� ���S� ��� ergab sich� dass die Empfangsfrequenz bei Ann�aherung um den Faktor �gr�o er� bei Entfernung um denselben Faktor kleiner als die Sendefrequenz war� Die�ses Ergebnis kann nach Gleichung ��� als Dopplere�ekt interpretiert werden�
��
���
s� �
�� � � ��
s��
� � �
�
�
��mit Hilfe des Hubble�Gesetzes� das bei kosmischen Entfernungen eine Proportionalit�at zwischenFluchtgeschwindigkeit und Entfernung postuliert
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Bei der Behandlung des Dopplere�ektes hat sich gezeigt� dass der E�ekt der Zeitdila�tation bei Relativbewegung im Allgemeinen �uberlagert wird durch die endliche und sich�andernde � Laufzeit der Signale zwischen Sender und Empf�anger� Bei der Rotverschiebungf�uhrt dieser E�ekt dazu� dass die registrierte Frequenzver�anderung ��� gr�o er ist als nachGleichung ��� Seite ��� f�ur die Zeitdilatation erwartet� Bei Ann�aherung zwischen Senderund Empf�anger wird der E�ekt sogar in sein Gegenteil verkehrt�
Trotz Zeitdilatation wird eine erh�ohte Frequenz registriert�
In den folgenden Kapiteln wird der Ein�uss der Lichtlaufzeit auf den E�ekt derL�angenkontraktion untersucht� Allgemeiner werden wir die durch die Lichtlaufzeit hervor�gerufene scheinbare Form� und Geschwindigkeits�anderung untersuchen� Dabei wird sichzeigen� dass die meisten E�ekte bereits in der klassischen� nichtrelativistischen Physikh�atten erwartet werden k�onnen�
���� Retardierung
Bei der Vermessung eines Gegenstandes werden die Koordinaten seiner Begrenzung gleich�zeitig bestimmt� Bei der Beobachtung oder Fotogra�e eines bewegten Gegenstandes wirddagegen Licht registriert� das gleichzeitig ins Auge oder in die Kamera einf�allt� Wegen derunterschiedlichen Laufzeit des Lichtes von verschieden weit entfernten Teilen des beobach�teten Gegenstandes ist dieses Licht jedoch nicht gleichzeitig vom Gegenstand ausgesendetworden�
Bei einem sich bewegenden Gegenstand f�uhrt dieser Umstand dazu� dass die Teile desGegenstandes nicht nur zu verschiedenen Zeiten� sondern auch an verschiedenen Positio�nen des Gegenstandes abgebildet werden�
Die verschiedenen Teile eines sich bewegenden Gegenstandes werden bei derBeobachtung zu unterschiedlichen Zeiten in der Vergangenheit abgebildet �Retardierung�
������ Scheinbare Geschwindigkeit
Wenn sich ein Gegenstand direkt auf die Kamera zubewegt� verk�urzt sich die Laufzeit desvon ihm ausgesendeten Lichtes zur Kamera zunehmend� � Die an zwei unterschiedlichenOrten x� und x� im zeitlichen Abstand tS� � tS� ausgesendeten Lichtsignale kommendadurch mit einem geringeren Zeitunterschied tE�
� tE�beim Beobachter an� F�ur ihn
scheint deshalb die Geschwindigkeit vS des K�orpers gr�o er zu sein als die tats�achlicheGeschwindigkeit v�
vS �x� � x�
tE�� tE�
�x� � x�
tS� � tS�� v bei Abstandsverringerung�
Entsprechend ergibt sich eine verkleinerte scheinbare Geschwindigkeit� wenn sich derGegenstand vom Beobachter entfernt�
In Abbildung �� sind die Weltlinie eines sich schnell bewegenden Gegenstandes unddrei seiner Positionen eingetragen� Zwischen den Ereignissen � und � vergeht die Zeit #t�zwischen dem Empfang der beiden entsprechenden Signale jedoch nur die Zeit
��Genau dieser E�ekt beein�usste bereits den Dopplere�ekt�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
x�m�
ct�m�
���� ��� �� ���
����
���
��
���
r
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�c�t
�v�t
c�t
v�t
Abbildung ��� Weltlinie eines Gegenstandes� der sich direkt am Beobachter bei x � �vorbeibewegt� Eingezeichnet sind zwei Lichtsignale� die der Gegenstand von � bzw� � auszum Beobachter sendet�
#t� �c#t� v#t
c� �� �#t�
Entsprechend gilt f�ur den Empfang der Signale von � und ��
#t� �c#t � v#t
c� � � �#t�
Bei der Beobachtung eines sich n�ahernden�entfernenden K�orpers ergibt sichdie folgende scheinbare Geschwindigkeit�
vS ��
�� �v ���
Dabei gilt das negative Vorzeichen f�ur Ann�aherung� das positive f�ur Entfernungdes Gegenstandes vom Beobachter�
Bei Ann�aherung mit halber Lichtgeschwindigkeit scheint der Gegenstand bereits mitvoller Lichtgeschwindigkeit heranzukommen s� Abb� ���� N�ahert sich seine Geschwindig�keit der Lichtgeschwindigkeit� dann strebt seine scheinbare Geschwindigkeit gegen unend�lich� Der Gegenstand ist pl�otzlich da� ohne vorher beobachtet worden zu sein
Entfernt sich der Gegenstand� ist seine scheinbare Geschwindigkeit gr�o er als die H�alfteder tats�achlichen Geschwindigkeit�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ��� Ein W�urfel bewegt sich mit � ��� auf die Kamera zu� Zwischen denbeiden Bildern hat er tats�achlich ��m zur�uckgelegt� Da die Gr�o e der Kacheln ��m���mbetr�agt� scheint er ���m zur�uckgelegt zu haben�
������ Unsichtbarkeit der L�angenkontraktion
Bei der Beobachtung ausgedehnter K�orper treten im Wesentlichen drei E�ekte auf�
�� L�angen�anderung bei Abstands�anderung
Wenn sich ein Stab in L�angsrichtung auf einen Beobachter zubewegt� ist das Lichtvom Stabende l�anger zum Beobachter unterwegs als Licht vom Stabanfang� DasStabende wird also an einer fr�uheren Position abgebildet als der Stabanfang� DerStab erscheint also l�anger� als er gemessen w�urde� Aus demselben Grund erscheintein sich entfernender Stab verk�urzt�
Es wird hier nur das Ergebnis mitgeteilt� Seine Ableitung ist Gegenstand der heu�tigen �Ubung�
Ein sich n�ahernder bzw� entfernender Stab erscheint bei Beobachtung durchdie endliche Laufzeit des Lichtes gegen�uber der gemessenen L�ange l verl�an�gert bzw� verk�urzt�
lS ��
�� �l ���
Im Falle der Ann�aherung erscheint dadurch der Stab trotz der Lorentz�Kontraktion l�anger als in Ruhe� Bei Entfernung wird er durch diesen Ef�fekt zus�atzlich verk�urzt�
lS � l�
vuut�� �
�� �
l� �bei Ann�aherung l l� �bei Entfernung
���
Dabei gelten die oberen Vorzeichen f�ur Ann�aherung� die unteren f�ur Ent�fernung�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ��� Die scheinbare Verl�angerung bei der Beobachtung eines herankommendenK�orpers rechts� � ���� wird nur sichtbar bei direktem Vergleich mit ruhenden Ver�gleichsgegenst�anden Bodenkacheln� W�urfel links�� Ohne einen solchen Vergleich erscheintder K�orper eher verzerrt�
Eine genauere Analyse zeigt� dass die eben abgeleitete scheinbare Verl�angerung beider Beobachtung eines herankommenden K�orpers durch perspektivische Verk�urzungund andere Verzerrungen nahezu unbeobachtbar wird s� Abb� ����
�� Drehung bei Vorbei�ug
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden� dass die L�angenkontraktion auch bei einemVorbei�ug� bei dem Bewegungsrichtung und Blickrichtung senkrecht zu einandersind� unbeobachtbar bleibt�
Ein K�orper� der sich in y�Richtung bewege� werde in x�Richtung beobachtet� Erhabe in seinem Ruhesystem die Breite #y� � b�� die H�ohe #z� � h� und die Tiefe#x� � t�� In der Zeit #t� in der sich das Licht von der f�ur den Beobachter� hinterenFl�ache zur vorderen fortp�anzt #t � h
c� h�
c�� bewegt sich der K�orper um #y �
v#t � h� weiter� Die in Bewegungsrichtung hintere Seiten��ache ist also mit einerBreite h� zu sehen s� Abb� ����
Ist der K�orper gen�ugend weit entfernt� sind alle Teile der Vorder��ache gleich weitvom Beobachter entfernt� spielen Laufzeite�ekte f�ur ihre Beobachtung also keineRolle� Die Vorder��ache wird jedoch durch die Lorentz�Kontraktion in Bewegungs�richtung um den Faktor � verk�urzt� Sie wird also mit einer Breite b�
p�� � gesehen�
Verk�urzung der Vorderseite und Sichtbarkeit der geometrisch unsichtbaren Seiten���ache lassen den Gegenstand nicht verk�urzt� sondern verdreht erscheinen
Bei der Beobachtung eines in gro�er Entfernung senkrecht zur Blickrich�tung vorbeikommenden K�orpers erscheint dieser nicht in Bewegungsrich�tung verk�urzt� sondern gedreht� Der Drehwinkel ist dabei gegeben durch
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��Aufsicht im Ruhesystem Ansicht
bp�� ��
h
t�b cos�
b
t sin��
t �
�ktive Aufsicht
b
t
Abbildung ��� An� und Aufsicht eines Quaders� der sich in gro er Entfernung senkrechtzur Blickrichtung am Beobachter vorbeibewegt� Der Quader scheint um � arcsin gedreht zu sein�
� � arcsin� ���
�� Sichtbarkeit von geometrisch verdeckten Seiten��achen
Jeder Punkt der ideal matten Fl�achen eines K�orpers strahlt in seinem Ruhesystemisotrop nach allen Seiten Licht ab Abb� �� links�� In einem Bezugssystem� in demsich der K�orper bewegt� wird die Isotropie jedoch durch die relativistische Lichtab�erration gest�ort Abb� �� rechts���
Dabei ist der �O�nungswinkel � des Lichtkegels durch Gleichung ��� gegeben� Nuraus Blickwinkeln � die gr�o er als dieser Grenzwinkel sind� kann die Vorderseite �in der Abbildung ist das die linke � gesehen werden�
tan � � � p
�� ��� sin � ���
Daf�ur ist aber f�ur Blickwinkel� die gr�o er als dieser Grenzwinkel sind� die in Bewe�gungsrichtung hintere Seite� in der Abbildung also die rechte� zu sehen siehe auchAbb� ����
Dieses Ergebnis kann leicht auch klassisch verstanden werden� Da der K�orper demnach vorn ausgesendeten Licht nachl�auft� kann sich dieses nur dann von der Vor�derseite l�osen� wenn die Komponente der Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Be�wegung des Gegenstandes gr�o er als dessen Geschwindigkeit ist� d�h� wenn es untereinem Winkel abgestrahlt wird� f�ur den gilt�
��Bei der Berechnung der transformierten Strahlrichtungen wurde die Verallgemeinerung von Gleichung ��� benutzt� die auf dieselbe Weise und ebenso einfach abzuleiten ist siehe z�B� Resnick ����� S� ����
tan� �sin�� � �
cos� ���
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ��� Seitlicher Vorbei�ug einer Kamera an einem W�urfel mit yKamera� ���
Der W�urfel be�ndet sich ����m vor und ����m links von der Kamera��
Ruhesystem des W�urfels Ruhesystem des Beobachters
�v
�
Abbildung ��� Abstrahlung von Punkten der Ober��ache eines Quaders in seinem Ruhe�system links� und in einem Bezugssystem� in der er sich mit der Geschwindigkeit � ���nach links bewegt�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ��� Nach dem Vorbei�ug wird die R�uckseite des W�urfels sichtbar� obwohl dieKamera nach vorn gerichtet ist� Der rote Punkt zeigt den Fu punkt der Kamera�
sin �v
c�
Die R�uckseite wird sichtbar� wenn der K�orper dem sich ausbreitenden Licht schnellgenug Platz macht� Das ist aber gerade f�ur alle Winkel der Fall� die gr�o er als dieserGrenzwinkel sind
������ Verformung
Kommt ein Stab quer zur L�ange auf einen Beobachter zu� dann ist die Lichtlaufzeit vonden verschiedenen Teilen des Stabes zum Beobachter unterschiedlich� Sie werden deshalbzu verschiedenen Zeiten in der Vergangenheit abgebildet� Dadurch entsteht eine scheinbareKr�ummung� von der gezeigt werden kann� dass es sich um eine Hyperbel handelt s� �Ubung�S� ���� Die hyperbelartige Verformung ist in Abbildung �� deutlich an den Kanten desW�urfels zu erkennen�
���� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes
In den vorangehenden Abschnitten wurde die Farbe des bewegten Objektes gegen�uberder des ruhenden Objektes unver�andert gelassen� d�h� es wurde der Doppler�E�ekt nichtber�ucksichtigt� Tats�achlich jedoch �andert sich die Frequenz des empfangenen Lichtes � unddamit die wahrgenommene Farbe des beobachteten Gegenstandes � bei den betrachtetenhohen Geschwindigkeiten drastisch
Um den Ein�uss des Doppler�E�ektes ber�ucksichtigen zu k�onnen� muss das Ergebnis��� verallgemeinert werden� Das Ergebnis siehe z�B� Resnick ����� S� ���� soll hier nurmitgeteilt werden�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ��� Hyperbelf�ormige Verformung der Kanten eines vorbei�iegenden W�urfels � ����
Bei relativer Bewegung zwischen Lichtquelle und Empf�anger �andert sich dieWellenl�ange �� der Quelle gem�a�
allgemeiner relativistischer Doppler�E�ekt
� � ���� ��er � �evp
�� ��� ��
�� � cos�p�� ��
� ���
Dabei sind �er und �ev die Richtungsvektoren des einfallenden Lichtes und derGeschwindigkeit der Quelle relativ zum Empf�anger und der von ihnen ein�geschlossene Winkel�
Wenn Quelle und Empf�anger sich direkt aufeinander zubewegen oder voneinanderentfernen� ist �er � �ev � �� und ��� geht in das fr�uher gewonnene Ergebnis ��� �uber�
Die wahrgenommene Farbe h�angt also von der Beobachtungsrichtung ab� Bei hohenGeschwindigkeiten kann das dazu f�uhren� dass der Gegenstand �uberhaupt nur in einembeschr�ankten Winkelbereich wahrgenommen werden kann� F�ur kleinere Winkel d�h� mehrin Vorw�artsrichtung� ist das ankommende Licht zu kurzwellig� f�ur gr�o ere Winkel zulangwellig� um mit den Augen wahrgenommen zu werden� Dieser Winkelbereich de�nierteinen Kegel� der auf Netzhaut oder Film einen Ring erzeugt� der � �ahnlich wie beimHaupt�� Regenbogen � innen blau und au en rot gef�arbt ist s� Abb� �� und ����
���� �Ubung
����� Scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden K�orpers
Aufgabe Leiten Sie aus dem Minkowski�Diagramm in Abb� �� die scheinbare Geschwin�digkeit eines sich entfernenden Gegenstandes ab
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ����Albert Einstein � durch relativistische Retardierung verformt aus der
Examensarbeit von R� Thiel�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ����Einstein � ohne oben� und mit unten� Doppler�E�ekt relativistisch
retardiert � ����� Die Originalbilder in Farbe sind wesentlich eindrucksvoller�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Abbildung ����Einstein � ohne oben� und mit unten� Doppler�E�ekt relativistisch
retardiert � ����� Die Originalbilder in Farbe sind wesentlich eindrucksvoller�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
Lochkamera
�c
�v
�c�
retardierter K�orper K�orper zum Aufnahmezeitpunkt
Abbildung ��� Raycasting unter Ber�ucksichtigung der Lichtlaufzeit� Statt den einfallendenLichtstrahl �c bis zum Schnittpunkt mit dem retardierten K�orper zur�uckzuverfolgen �dessen Position nicht bekannt ist �� wird der Schnittpunkt des durch �c� � �c��v de�nierten
�Lichtstrahles mit dem K�orper zum Zeitpunkt der Aufnahme berechnet�
����� Scheinbare L�angen�anderung bei Abstands�anderung
Aufgabe Leiten Sie mit Hilfe des Minkowski�Diagrammes die scheinbare Verk�urzungeines Stabes ab� der in L�angsrichtung auf einen Beobachter bei x � � zukommt Aufgabe �Andern Sie die Argumentation so ab� dass Sie die scheinbare Verk�urzung einesStabes erhalten� der sich von Ihnen entfernt
����� Hyperbelartige Verformung
Aufgabe Zeigen Sie� dass die scheinbaren Punkte x� y�� z�� bei einem fotogra�ertenherankommenden senkrechten Stab x � x��� l
�� z � l
�� auf einer Hyperbel liegen� und
diskutieren Sie die Eigenschaften dieser Hyperbel
���� Visualisierung von Laufzeite�ekten durch Raycasting
Bei der Erzeugung von Bildern oder Filmen� die die Ansicht schnell bewegter K�orper unterBer�ucksichtigung der Lichtlaufzeit darstellen� wird das so genannte Raycasting�Verfahrenangewendet� Ein in eine Kamera einfallender Lichtstrahl wird zur�uckverfolgt� bis er miteinem sich bewegenden� K�orper
�kollidiert s� Abb� ������ Der Punkt des Filmes� der von
der Verl�angerung dieses Lichtstrahles getro�en wird� erh�alt die Farbe des K�orpers an derStelle des Schnittpunktes� Dabei wird das Auge des Beobachters der Einfachheit halberdurch eine Lochkamera ersetzt� die den Vorteil hat� keine Abbildungsfehler zu erzeugen���
Im Einzelnen besteht die Herstellung eines Filmes aus vielen Schritten�
�� Abtasten aller Punkte des Filmes� genauer� aller Bildschirmpixel in der Regel���&����� die den Film darstellen� F�ur jeden dieser Punkte sind die folgenden Schrit�te durchzuf�uhren�
�Hier m�ussen Kenntnisse aus der linearen Algebra aufgefrischt werden� Berechnung des Schnittpunkteszwischen Ebene genauer� Rechteck� im Raum und Gerade�
�Hier sind Kenntnisse aus der projektiven Geometrie von Vorteil� Zentralprojektion�
�� �� FEBRUAR ����� DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE ��
a� Berechnung der Richtung des Vektors �c des einfallenden Lichtes�
b� Berechnung des zugeh�origen�avancierten Vektors �c� � �c� �v s� Abb� ����
c� Berechnung der Schnittpunkte zwischen �c� und allen Fl�achen des K�orpers zumZeitpunkt der Aufnahme�
d� Auswahl des der Kamera am n�achsten liegenden Schnittpunktes und
e� F�arbung des Filmpunktes mit der Farbe der entsprechenden Fl�ache�
�� Berechnung solcher Bilder f�ur langsam sich �andernde Werte des Abstandes zwischenKamera und Gegenstand zwischen ��� und ���� Bilder��
�� Erzeugung eines MPEG�Filmes aus den im GIF�Format abgespeicherten Bildern�
���� Demonstrations�lme
Es wurden die folgenden Filme gezeigt�
FilmTW��mpg Herannahender und vorbei�iegender W�urfel mit � ��� R� Thiel�
FilmTW��mpg Herannahender und vorbei�iegender W�urfel mit � ���� R� Thiel�
FilmTW��mpg Quer vorbei�iegender W�urfel mit � ��� R� Thiel�
FilmTE��mpg Fahrt durch�ALBERT EINSTEIN mit � ���� R� Thiel�
FilmTE��mpg Fahrt durch�ALBERT EINSTEIN mit � ��� R� Thiel�
FilmTE��mpg Vorbeifahrt an�ALBERT EINSTEIN mit � ��� R� Thiel�
FilmTE���mpg Flug diagonal durch�ALBERT EINSTEIN mit � ��� R� Thiel�
doppler�mpg Fahrt durch�EINSTEIN mit � ��� unter Ber�ucksichtigung des Doppler�
E�ektes U� Backhaus�
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
�� ��� Februar ����� Die Masse in der Relativit�atstheorie
���� Wiederholung
Lichtlaufzeite�ekte in der Relativit�atstheorie�
� Messung und Beobachtung sind grunds�atzlich verschieden�
� Lichtlaufzeit bewirkt Blick in die Vergangenheit � und zwar unterschiedlich tief f�urverschieden weit entfernte Teile eines sich schnell bewegenden K�orpers�
� Dadurch hervorgerufene E�ekte sind insbesondere
� Geschwindigkeits�anderung�
� L�angen�anderung bei sich n�ahernden bzw� sich entfernenden Objekten�
� Drehung bei vorbei��iegenden Objekten�
� dadurch evtl� sichtbare R�uckseite der Objekte�
� hyperbelartige Verformung geradliniger Kanten�
� Ver�anderung der Farbe � und eventuelles Unsichtbarwerden � durch den Doppler�E�ekt�
���� Lichtlaufzeite�ekte in der klassischen Physik
Es k�onnte der Eindruck entstanden sein� die in den vorangehenden Abschnitten behandel�ten E�ekte seien Ergebnisse der Relativit�atstheorie und tr�aten in der klassischen Physiknicht auf� Das Gegenteil ist richtig� Alle besprochenen E�ekte gibt es auch in der klas�sischen Physik� sofern nur die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes ber�uck�sichtigt wird� Es sind lediglich zwei Unterschiede zu beachten�
�� In der klassischen Physik muss zwischen den F�allen
� bewegter Gegenstand bzw�
� bewegter Beobachter
unterschieden werden�
Im Falle des gegen den �Ather� bewegten Beobachters ist die Lichtgeschwindigkeitdurch klassische Geschwindigkeitsaddition zu modi�zieren�
�� Im Falle der klassischen Physik gibt es� anders als in der Relativit�atstheorie� keineLorentz�Kontraktion�
Es sollen hier nur die wichtigsten Ergebnisse der Untersuchung von Lichtlaufzeite�ek�ten in der klassischen Physik aufgez�ahlt werden� Fast alle davon lassen sich durch einfacheModi�kation der in den entsprechenden Abschnitten dargestellten Argumentation gewin�nen�
� Die scheinbare Geschwindigkeit bei Verringerung bzw� Vergr�o erung des Abstandeszwischen Gegenstand und Beobachter
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
Abbildung ��� Vergleich der scheinbaren Verl�angerung eines herannahenden W�urfels nachklassischer links� und relativistischer Rechnung� Das Bild verdeutlicht auch die �uberein�stimmende Verformung der W�urfelkanten�
� ist bei sich bewegendem Gegenstand ebenfalls durch die Gleichung ��� gege�ben�
� bei bewegtem Beobachter statt dessen durch
vS � � �v� ���
Beim Herannahen w�are die scheinbare Geschwindigkeit also kleiner� beim Ent�fernen gr�o er� als sich aus der Relativit�atstheorie ergibt�
� Die scheinbare Verl�angerung beim Herannahen eines Gegenstandes ist wegen der feh�lenden L�angenkontraktion deutlicher sichtbar als in der Relativit�atstheorie s� Abb� ����
� Die scheinbare Drehung eines senkrecht zur Blickrichtung vorbei�iegenden Gegen�standes wird zu einer Scherung� da die L�angenkontraktion in Bewegungsrichtungentf�allt Abb� ����
� Die hyperbelartige Verformung von Kanten kam ohne die L�angenkontraktion zu�stande� Sie tritt in der klassischen Physik ebenso auf� wenn auch bei bewegterKamera durch die ver�anderte Lichtgeschwindigkeit in etwas abge�anderter Gestalts� Abb� ����
� Die Dopplerverschiebung der Wellenl�ange f�uhrt zu ganz �ahnlichen Erscheinungenwie in der Relativit�atstheorie� wenn auch quantitativ bei anderen Geschwindigkeitenund Winkeln�
Die E�ekte werden in den Abbildungen �� und �� zusammengefasst und mit denentsprechenden relativistischen E�ekten verglichen�
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
Abbildung ��� Bei klassischer Retardierung erscheint der W�urfel beim Vorbei�ug senk�recht zur Blickrichtung verzerrt� weil keine Lorentz�Kontraktion die Vorder��ache ver�schm�alert�
���� noch einmal relativistische Geschwindigkeitsaddition
Leider haben wir fr�uher die relativistische Geschwindigkeitsaddition nur f�ur den Fall abge�leitet� dass sich der K�orper parallel zur Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssystemebewegt Gleichung ���� S� ���� F�ur die folgenden �Uberlegungen wird jedoch auch der Falleiner dazu senkrechten Geschwindigkeit ben�otigt� Er sei nun nachgeholt�
Setzt man in die y��Komponente der Bewegungsgleichungen
x� � u�xt�
y� � u�yt�
eines K�orpers� der sich im Bezugssystem S � mit konstanter Geschwindigkeit bewegt� mitHilfe der Lorentz�Transformation seine Koordinaten im Bezugssystem S ein� dann ergibtsich�
y����
u�y
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�x�uxt� u�y�
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��� u�x � v
c�
v� u�x
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�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
Abbildung ����Albert Einstein � bei � ��� durch die endliche Lichtlaufzeit verformt
aus der Examensarbeit von R� Thiel�� oben� relativistische Retardierung bei bewegterKamera f � �����m� Mitte� klassische Retardierung bei bewegter Kamera f � �����m�unten� klassische Retardierung bei bewegtem Schriftzug f � �����m�
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
Abbildung ��� Die Bilder aus Abbildung �� � diesmal unter Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes berechnet
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
� u�y�c�
v� v
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v� u�x
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c�
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c�
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��� � u�xv
c�
�tDamit haben wir f�ur die Geschwindigkeit in y�Richtung im Bezugssystem S erhalten�
uy �u�y
��� � u�
xv
c�
� relativistische Geschwindigkeitsaddition� ���
Obwohl die Koordinaten senkrecht zur Richtung der Relativbewegung durch die Lorentz�Transformation unver�andert bleiben� gilt das f�ur die Geschwindigkeiten nicht Der Grundwird deutlich� wenn sich der K�orper in S � in y��Richtung bewegt�
uyu�x��� u�y
q�� � ���
Alle Vorg�ange in S � laufen� von S aus gemessen� langsamer ab� Deshalb sind auch dieGeschwindigkeiten kleiner
���� Die relativistische Masse
Das Ziel ist die relativistische Verallgemeinerung des klassischen Impulserhaltungssatzes�Dazu wird das spezielle Beispiel eines total inelastischen Sto es zwischen K�orpern gleicherMasse betrachtet� von denen einer vor dem Sto in Ruhe ist�
Im Laborsystem S sieht der Vorgang folgenderma en aus�
�� �
u� � u
�u� � �
��uG � U
�
� Klassisch nimmt der Impulserhaltungssatz in diesem Fall die folgende Gestalt an�
mu� � mu� � MuG �� mu � m� � �mU �� U �u
����
� Dieses Ergebnis ist jedoch nicht relativistisch invariant� Betrachtet man n�amlichdenselben Vorgang in einem Bezugssystem S �� das sich gegen S mit der Geschwin�digkeit v � u nach rechts bewegt� dann sieht er folgenderma en aus�
� ��
u�� � �u�
u�� � �
��u�G
�
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
F�ur die Geschwindigkeit u�G des vereinigten K�orpers ergibt sich nach der relativisti�schen Geschwindigkeitsaddition
u�G �U � v
�� Uvc�
v�u�
U � u
�� Uuc�
� ���
Damit ist aber
�mu�G � �mU � u� � �mu � mu���
Wenn also der Impuls weiterhin wie in der klassischen Mechanik de�niert wird� danngilt der Impulserhaltungssatz also in S� in S � dagegen nicht
� Tats�achlich muss aus Symmetriegr�unden die Geschwindigkeit des vereinigten K�orpersin S � dem Betrage nach eben so gro sein wie in S�
u�G � �U
Damit kann ein Zusammenhang zwischen der Anfangsgeschwindigkeit u und derEndgeschwindigkeit U abgeleitet werden�
�U ����
U � u
�� Uuc�
�� �U �U�
c�u � U � u
�� u ��U
� � U�
c�
�� � �U�
c��
�U
u���
Mit Gleichung ��� sind wir in der Lage� die relativistisch die EndgeschwindigkeitU aus der Anfangsgeschwindigkeit u zu berechnen� Wie es sein muss� geht diesesrelativistische Ergebnis f�ur u � c �� U � c in das klassische Ergebnis ����uber�
� Der Impulserhaltungssatz kann also relativistisch nicht invariant formuliert werden�wenn die Masse als konstant vorausgesetzt wird� Wir machen deshalb den folgendenAnsatz�
mu��u � MU��U� ���
nehmen also eine m�ogliche Ver�anderung der Masse mit der Geschwindigkeit in Kauf�
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
� Zun�achst wollen wir zeigen� dass bei dem Sto � trotz der Ver�anderung der Einzel�massen� die Gesamtmasse erhalten bleibt�
mu� � m���
� MU�
Dazu betrachten wir den Vorgang von einem neuen Bezugssystem S � aus� das sichmit einer Geschwindigkeit v� senkrecht zur Sto richtung� nach unten bewegt� Indiesem Bezugssystem sieht der Sto vorgang folgenderma en aus�
�� �
���������
u
q�� v�
c�
v u�� � u�
�
�
u�� � v
��
U
q�� v�
c�
�����������
U �v
Dabei wurde f�ur die Geschwindigkeiten senkrecht zur Relativbewegung der beidenBezugssysteme� hier also f�ur die Geschwindigkeiten in y��Richtung� das Ergebnis��� benutzt� Hier wird eine Konsequenz dieses Ergebnisses besonders deutlich� DieBewegungen in x� und in y�Richtung beein�ussen sich� Oder�
In der Relativit�atstheorie gilt das Unabh�angigkeitsprinzip der Bewegungennicht�
Die y��Komponente der Impulserhaltung nimmt nun die folgende Gestalt an�
mu��v � mv�v � MU ��v
und nach Division durch v�
m�u�� �m�v� � M�U �� relativistische Massenerhaltung� ���
Dieses Ergebnis� das wir hier nur f�ur den Fall eines total unelastischen Sto es abge�leitet haben� gilt in Wirklichkeit ganz allgemein�
Bei allen Vorg�angen bleibt die Summe der �relativistischen Massen derbeteiligten K�orper konstant�
F�ur v � � ergibt sich die Behauptung�
mu� � m�� � MU� ���
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
� Einsetzen dieses Ergebnisses in den Ansatz ��� ergibt�
mu�u � mu� � m���U
�� mu�u� U� � m��U
�� m��
mu��
u� U
U
��� �U
u�Uu
����
���� � U�
c�
�� � U�
c�
�
vuuuut��� U�
c�
���� � U�
c�
��
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vuuuut�� � U�
c�
�� � �U�
c��� � U�
c�
������
vuut�� �U�
c�
�U�
u�
�
s�� u�
c�
Damit hat sich ergeben�
m�u� �m�q�� u�
c�
���
Dabei wurde mit m�� durch m� ersetzt� m� ist die so genannte Ruhemasse einesK�orpers� die Masse also� die der K�orper in seinem Ruhesystem besitzt� Nach ���ist die Masse des K�orpers in allen anderen Bezugssystemen gr�o er
� Erg�anzungen�
� Wir haben gezeigt� dass bei dem total unelastischen Sto der Gesamtimpulsin allen Inertialsystemen erhalten bleibt� wenn wir die folgende relativistischeVerallgemeinerung der Impulsde�nition verwenden�
�p � m�v �m��vq�� v�
c�
relativistischer Impuls ���
px �m�vxq�� v�
c�
py �m�vyq�� v�
c�
pz �m�vzq�� v�
c�
���
�� ��� FEBRUAR ����� DIE MASSE IN DER RELATIVIT�ATSTHEORIE ��
� Wir haben dieses Ergebnis hier nur f�ur einen ganz speziellen Fall abgelei�tet� Tats�achlich aber gilt es ganz allgemein� Man kann n�amlich mit Hilfe derLorentz�Transformation und der De�nition ��� leicht zeigen� dass der Impul�serhaltungssatz in allen Inertialsystemen gelten muss� wenn er in einem gilt�
� Um dieses Ergebnis zu erhalten� musste jedoch der Massenbegri� der klassi�schen Mechanik entscheidend eingeschr�ankt werden� War er dort in gewisserWeise ein Ma f�ur die Quantit�at der Materie� so beschreibt er in der Rela�tivit�atstheorie ausschlie lich das Tr�agheitsverhalten der K�orper � und dieses�andert sich mit der Geschwindigkeit� obwohl die Quantit�at der Materie dieselbebleibt
� Der relativistische Impuls ist zwar ein Vektor� aber seine Komponenten sindnicht von einander unabh�angig in dem Sinne� dass die Gesamtgeschwindigkeitv� � v�x � v�y � v�z in allen drei Komponenten auftritt�
� Wir haben fr�uher gesehen� dass �Uberlichtgeschwindigkeit von Signalen oderK�orpern zum Widerspruch mit dem Kausalit�atsprinzip f�uhrt� Jetzt wird deut�lich� wie in der Relativit�atstheorie das Erreichen der Lichtgeschwindigkeit beimateriellen K�orpern verhindert wird� Mit zunehmender Geschwindigkeit wirddie Tr�agheit des K�orpers immer gr�o er� die Beschleunigung deshalb bei kon�stanter Kraft� immer kleiner� bis sie schlie lich� wenn die Geschwindigkeit gegendie Lichtgeschwindigkeit strebt� gegen Null geht�
� Die Abh�angigkeit der relativistischen Masse von der Geschwindigkeit ist in�zwischen mit sehr hoher Genauigkeit experimentell best�atigt worden � zuerstdurch Ablenkung von Elektronen in magnetischen und elektrischen Feldern���
���� �Ubung
� Ableitung und Diskussion der hyperbelartigen Verformung von bewegten St�abendurch die Lichtlaufzeit s� S� ���
� Berechnung der zeitlichen Ableitung der relativistischen Masse���
"m �d
dt
m�q�� v�
c�
�m��
�� v�
c�
��
�
���
�
�����v�a
c�
�
�� "m �m�
c��v�ar�
�� v�
c�
�� ���
��siehe auch das Skript zur Vorlesung�Einf�uhrung in die Atomphysik�
��Dabei wird folgende Ableitung benutzt�
d
dtv�
d
dt v�x � v�y � v�z� � vx �vx � vy �vy � vz �vz� �v � �a
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
�� ��� Februar ����� Relativistische Dynamik
���� Wiederholung
� Die relativistische Geschwindigkeitsaddition hat zur Folge� dass das Unabh�angig�keitsprinzip der Bewegungen nicht mehr gilt� obwohl es in der klassischen Mechanikals scheinbar denknotwendig abgeleitet wird� Die Bewegung senkrecht zur Relativ�bewegung der Bezugssysteme h�angt auch von der Geschwindigkeit parallel dazu ab�
� Der Massenbegri� in der Relativit�atstheorie
� Der relativistische Impuls wurde folgenderma en de�niert�
�p � m�v �m��vq�� v�
c�
Diese De�nition wurde so getro�en� dass beim total uneleastischen Sto der Gesamt�impuls in allen Inertialsystemen erhalten bleibt� Tats�achlich gilt dieses Ergebnis ganzallgemein�
���� Das relativistische Kraftgesetz
Die relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Grundgleichung der Mechanik lau�tet�
�F � ��p ���
Erl�auterungen
� Wenn das Gesetz in dieser Form geschrieben wird� erkennt man unmittelbar denrelativistischen Impulserhaltungssatz� Wenn die Kraft Null ist� ist der Impuls kon�stant� Oder� Bei Abwesenheit �au erer Kr�afte ist der Gesamtimpuls konstant�
� Dar�uberhinaus l�asst sich leicht zeigen� dass die �Anderung #�p des Gesamtimpulseseines Systems miteinander wechselwirkender Teilchen gerade gleich dem von den�au eren Kr�aften hervorgerufenen Kraftsto
R �Fdt ist�
Der durch ��� eingef�uhrte relativistische Kraftbegri� hat also alle Eigen�schaften� die man von der Kraft erwartet�
� Wegen der nun nicht mehr konstanten Masse ist also nicht mehr �F � m�a� sondern
�F � "m�v � m�a ���
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� Das Kraftgesetz ��� wird auch durch Experimente best�atigt� Zum Beispiel zeigtsich bei der Beobachtung schneller geladener Teilchen� dass ihre Bewegung durchdie Gleichung
q �E � �v � �B� �d
dt
�� m��vq
�� v�
c�
�A
in der die Konstanten q die elektrische Ladung und m� die Ruhemasse der Teil�chen bezeichnen� korrekt beschrieben wird s� S� ����� Tats�achlich erweist sich derAusdruck
�FLorentz � q �E � �v � �B� ���
f�ur die Lorentz�Kraft auf ein geladenes Teilchen als unabh�angig vom Bezugssy�stem���
Wie in der �Ubung gezeigt wurde� gilt f�ur die zeitliche Ver�anderung der relativistischenMasse Gleichung ���� S� ����
"m �m�
c��v � �ar��� v�
c�
��Wenn die Kraft senkrecht auf der momentanen Geschwindigkeit steht� ist das Skalar�
produkt �v � �a gleich Null und damit "m � �� Damit wird aus ����
�F�F��v� m�a �
m��aq�� v�
c�
���
Wirkt dagegen die Kraft in Bewegungsrichtung �v � �a � va�� dann ist "m � � und ���wird zu
�F � m�"�v
����
v�
c���� v�
c�
��
�
���
�� v�
c�
� �
�
����
Daraus ergibt sich schlie lich�
�F�Fk�v�
m��ar��� v�
c�
�� ���
Vergleich der Gleichungen ��� und ��� zeigt� dass dieselbe Kraft unterschiedlicheBeschleunigungen hervorruft� je nachdem ob sie parallel oder senkrecht zur momentanenGeschwindigkeit wirkt� Dieser Umstand wurde in der Fr�uhzeit der Relativit�atstheoriedadurch beschrieben� dass man K�orpern eine transversale Masse und eine longitudinaleMasse zuschrieb�
��Das gilt allerdings nicht f�ur die elektrischen und magnetischen Summanden einzeln�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
���� Beispiel Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung
Bei einem Raumschi� wird der Schub so eingestellt� dass die Besatzung in ihrem momen�tanen Ruhesystem � eine konstante Beschleunigung in Bewegungsrichtung von a � g ���m
s�erf�ahrt und sich dadurch im Raumschi� wie im Schwerefeld der Erde bewegen kann�
� In der klassischen Mechanik f�uhrt ergibt sich daraus eine gleichm�a ig beschleunigteBewegung� die dazu f�uhrt� dass die Geschwindigkeit des Raumschi�es nach der Zeit
t� �c
g�
� � ��ms
��ms�
� � � �� s � �a
Lichtgeschwindigkeit erreichen� Raumschi� also von diesem Zeitpunkt an mit �Uber�lichtgeschwindigkeit �iegen w�urde�
� Da der Schub parallel zur Geschwindigkeit nach vorn wirkt� ergibt sich die Bewegungdurch Integration von ����
Z t
�
F
m�dt �
Z t
�
"vdt��� v�
c�
��
�
Fm�
�g
�� gt �Z v�t�
�
dv��� v�
c�
� �
�
�v�
�� v�
c�
� �
�
���
Das dabei auftretende Integral kann in einer Formelsammlung z�B� Bronstein ����nachgesehen� aber auch selbst gel�ost�� � oder zumindest durch Di�erentiation von��� �uberpr�uft werden�
�� Z v
dv��� v�
c�
� ��
c
Z arcsin vc
dx
cos� x Substitution�
v
c sinx � dv c cosxdx�
c
Zsin� x� cos� x
cos� xdx
c
Z � � tan� x�dx
c
Zdx� c
Zsinx
cos� xsinxdx
c
Zdx� c
���� �
cosxsinx
����� c
Zdx partielle Integration�
jc tanxjarcsin v
c
����� c sinxp�� sin� x
�����arcsin v
c
vq
�� v�
c�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
L�ost man die Beziehung ��� zwischen der Zeit und der Geschwindigkeit nach derGeschwindigkeit auf� dann ergibt sich�
gt�� �v�
�� v�
c�
�� v��
� �gt��
c�
�� gt��
�� v �gtq
� � �gt��
c�
���
Abbildung �� zeigt oben die zeitliche Zunahme der Geschwindigkeit�
� Mit dem Ergebnis ��� ist es nun auch m�oglich� den Reiseweg zu berechnen���
x �Z t
�vdt
�Z t
�
gtdtr� �
�gt
c
��
�c�
g
��s
� ��gt
c
��� �
�A
Abbildung �� zeigt unten den zeitlichen Verlauf dieser Funktion�
� Diskussion
� Die Geschwindigkeit ��� ist immer kleiner� als man nach klassischer Rechnungerwarten w�urde� v � gt�
� Strebt die Zeit gegen unendlich� dann strebt die Geschwindigkeit gegen c�
� Nach einem Jahr betr�agt die Geschwindigkeit erst
vgt� � c� �cp
� � �� ���c
Zu diesem Zeitpunkt betr�agt die kinetische Energie des Raumschi�es nach dersp�ater abgeleiteten Gleichung ���� bereits ��% der Ruhemasse
��Auch dieses Integral kann man in einer Formelsammlung nachschlagen oder selbst berechnen�Z t
gtdtq� �
�gt
c
�� �
g
Z gt
xdxq� � x�
c�
Substitution� x gt � dx gdt�
c�
g
Z sinh�� gt
c
sinhudu Substitution� x c sinhu � dx c coshudu�
c�
gcoshu
����sinh
�� gt
c
c�
g
��s� �
�gt
c
��
� �
�A wegen coshu
p� � sinh� u�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� �
t�a�
�
�
vc
klassische Rechnung
relativistische Rechnung
� �
x�Lj�
�
�
ct�Lj�
klassische Rechnung
relativistische Rechnung
Abbildung ��� Weltraum�ug mit konstanter lokaler� Beschleunigung a � g� Zunahmeder Geschwindigkeit oben� und zur�uckgelegter Weg unten� nach klassischer und relati�vistischer Rechnung
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
���� Die kinetische Energie
� Die kinetische Energie wird in der Relativit�atstheorie wie in der klassischen Mecha�nik de�niert durch
Ekin �Z �s
�
�F � d�s �Z �s
�
"�p � d�s� ���
� In der klassischen Mechanik folgt daraus�
Ekinklass� � m
Z t
�
"�v � �vdt �m
�
Z t
�
dv�
dtdt �
m
�
Z v�
�dv�� �
m
�v�
� In der Relativit�atstheorie ergibt sich stattdessen�
Ekin �Z �s
� "m�v � m "�v�d�s
�Z t
� "mv� � m�v � "�v�dt ���
Um dieses Integral l�osen zu k�onnen� formen wir den Zusammenhang ��� zwischender relativistischen Masse und der Geschwindigkeit um�
m �m�q
�� v�
c�
�� m�c� �m�v� � m��c
�
�� �m "mc� � �m "mv� � �m��v � "�v � �
�� "mc� � "mv� �m�v � "�v � �
�� "mv� � m�v � "�v � "mc� ����
Mit ���� kann nun aber das Integral in ��� leicht ausgewertet werden�
Ekin � c�Z t
�"mdt �
Z m
m�
dm
Damit hat sich f�ur die relativistische kinetische Energie der folgende Ausdruck er�geben�
Ekin � mc� �m�c� ����
� Diskussion
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� Wie es sein muss� geht dieser Ausdruck f�ur v � c in den klassischen Ausdruck�uber�
Ekin � mc� �m�c� � m�c
�
�� �q
�� v�
c�
� �
�� v�c� m�c
�
�� �
�
�
v�
c�� �
��m�
�v�
� Wenn die Geschwindigkeit gegen c geht� wird die kinetische Energie unendlichgro �
v � c �� Ekin ��� In relativistischen Problemen ben�otigt man h�au�g den Zusammenhang zwi�
schen Energie und Impuls� Er kann folgenderma en abgeleitet und veranschau�licht werden�
�Ekin � m�c
���
� m�c�
�m�
�c�
�� �
� m��c
�
�� �
�
�� �
�
�� mc��� ��Ekin � m�c
���
� m�c��� � pc�� ����
Diese Relation l�asst sich an Hand eines rechtwinkligen Dreieckes veranschauli�chen�
m�c�
pcmc�
m�c�
Ekin
Je gr�o�er der Impuls eines K�orpers� desto kleiner ist der Anteil derRuheenergie m�c
� an seiner Gesamtenergie E�
� F�ur kleine Geschwindigkeiten geht diese Beziehung in die klassische Beziehungzwischen kinetischer Energie und Impuls �uber�
� � �� Ekin � mc� �m�c�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� � � �Ekin
m�c�
�
�
relativistische Rechnung
klassische Rechnung
Abbildung ��� Der Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeit
� m�c�
�� �
�
�� �
�
�m�
�v� � m�c
�
�� Ekin �p�
�m�
Bei kleinen Geschwindigkeiten ist also die kinetische Energie sehr viel kleinerals die Ruheenergie m�c
��
� Zwischen der kinetischen Energie und der Geschwindigkeit eines Teilchens bestehtnach ���� der folgende Zusammenhang�
Ekin � mc� �m�c�
�� �
s�� m�c�
m�c� � Ekin
����
Dieser Zusammenhang ist in Abbildung �� dargestellt� Er kann experimentell un�tersucht werden� indem f�ur verschiedene Beschleunigungsspannungen
�� kinetische
Energien� die Geschwindigkeit der Teilchen mit direkten Laufzeitmessungen be�stimmt werden� Solche Experimente wurden in Linearbeschleunigern wiederholtdurchgef�uhrt siehe z�B� Sexl� S� ���� Resnick� S� ����� Die Ergebnisse standen immerin voller �Ubereinstimmung mit der Vorhersagen der Relativit�atstheorie�
� Der Zusammenhang zwischen der zum Beschleunigen notwendigen Energie einer�seits und der erreichten Geschwindigkeit andererseits verdeutlicht noch einmal dieUnm�oglichkeit� einen materiellen K�orper auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
���� Die ber�uhmteste Formel der Welt Masse und Energie
� Der Zusammenhang zwischen der relativistischen Masse und der Energie hat sichbereits mehrfach angedeutet siehe z�B� ���� und ������ Er soll jetzt explizit ge�macht werden�
Dazu wird noch einmal der total unelastische Sto aus Abschnitt ���� S� ����betrachtet� der im Laborsystem folgenderma en aussieht�
�� �
u� � u
�u� � �
��uG � U
�
F�ur die Geschwindigkeit U des vereinigten K�orpers hatten wir dort gefunden�
�U �U � u
�� Uuc�
� ����
� Nun betrachten wir denselben Vorgang aus einem weiteren Bezugssystem S �� in demder vereinigte K�orper nach dem Sto ruht�
�� �
u��
��
u��
��u�G � �
S � muss sich o�ensichtlich mit der Geschwindigkeit v � U nach rechts gegen S be�wegen� Wegen der Impulserhaltung in S � muss der Gesamtimpuls auch vor dem Sto Null sein� Die beiden Geschwindigkeiten vor dem Sto m�ussen also entgegengesetztgleich sein�
u�� � �u���
Beide Geschwindigkeiten in S � lassen sich mit Hilfe der relativistischen Geschwin�digkeitsaddition ��� S� ��� tats�achlich leicht berechnen�
u�� �u� U
�� uUc�
������ U� u�� �
�� U
�� �� �U�
Sie stimmen erwartungsgem�a dem Betrage nach mit der Geschwindigkeit des ver�einigten K�orpers in S �uberein�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� Wir hatten bereits abgeleitet� dass die relativistische Masse bei dem Sto erhaltenbleibt Gleichung ���� S� ���� In S � muss also gelten�
M � M� � �mU� � �m�� ����
Die Ruhemasse des vereinigten K�orpers ist also gr�o er als die Summe der Ruhemas�sen der beiden Sto partner Daf�ur aber ist kinetische Energie verloren gegangen�der Gesamtk�orper also w�armer als die Sto partner�
Tats�achlich besteht zwischen der Abnahme der mechanischen Energie und der Zu�nahme der Masse ein enger Zusammenhang�
Ekin � ��mU�c� � �m�c
��
� c��mU�� �m��
� c� M � �m��
� #Mc��
Man kann diesen Zusammenhang so formulieren� Die Zunahme der Masse entsprichtbis auf einen Faktor c�� der Abnahme an kinetischer Energie� Oder� F�ur die me�chanische Energie gilt einzeln kein Erhaltungssatz� sondern nur dann� wenn dieRuhemasse mit ber�ucksichtigt wird�
vorher� nachher�
Ekin� � �m�c� � Ekin� �M�c
� ���������� �mc� � Mc� ����
� �m � M ����
� Der Satz �uber die Erhaltung der relativistischen� Masse beinhaltet also den Ener�gieerhaltungssatz
Einstein� der zu diesem Ergebnis an einem anderen� aber auch speziellen Beispielgekommen war� verallgemeinerte es zu seinem ber�uhmten Postulat�
Energie und Masse sind zueinander �aquivalent
E � mc� ����
� Schlussfolgerungen
� Weil der Energie� und der Massenerhaltungssatz zusammenfallen� gibt es inder Relativit�atstheorie� statt wie in der klassischen Physik drei� nur zwei Er�haltungss�atze�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
Die Erhaltungss�atze der relativistischen Physik
�pA � �pB � �pC � �pD Impulserhaltung ����
EA � EB � EC � ED Energieerhaltung ����
Dabei ist der Impuls �p eines Teilchens durch
�p � m�v �m��vq�� v�
c�
����
gegeben� und seine Gesamtenergie E
E � mc� � m�c� � Ekin ����
ist gleich der Summe aus Ruheenergie m�c� und kinetischer Energie
Ekin � m�c�
�� �q
�� v�
c�
� �
�A � ����
� Da Energie und Masse �aquivalent sind� hat die mit Energie in den verschiede�nen Erscheinungsformen verbundene Masse alle Eigenschaften� die ihr bereitsvorher zugeschrieben wurden� Sie ist tr�age� sie ist schwer und sie leistet einenBeitrag zum Massenschwerpunkt eines Systems�
� �Ubertr�agt man die Beziehungen auf Photonen� dann ergeben sich unmittelbarAusdr�ucke f�ur ihre Masse und ihren Impuls�
� Da sich Photonen mit v � c ausbreiten� muss ihre Ruhemasse verschwin�den! denn sonst w�are nach ��� ihre relativistische Masse unendlich gro �
m�Photon � � ����
� F�ur die Masse von Photonen ergibt sich mit E � h��
mPhoton �E
c��h
c��
h
c�����
Dabei ist h � ����� � �����Js die so genannte Plancksche Konstante�
� F�ur den Impuls von Photonen ergibt sich entsprechend�
pPhoton � mv � mc �h
��E
c����
� Energie und Masse k�onnen ineinander umgewandelt werden� wenn dabei dieErhaltungss�atze erf�ullt sind�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� Wenn die Energie eines Photons gr�o er als die doppelte Ruheenergie vonElektronen ist� dann kann es sich in ein Elektron�Positron�Paar umwan�deln Paarbildung�� Man kann aber leicht einsehen� dass bei diesem Vor�gang nur dann Energie� und Impulserhaltungssatz gleichzeitig erf�ullt seink�onnen� wenn an dem Prozess ein weiterer K�orper� in der Regel ein Atom�kern� beteiligt ist� der den �ubersch�ussigen Impuls aufnehmen kann�
� Umgekehrt k�onnen Teilchen und Antiteilchen sich gegenseitig unter Ab�strahlung eines ��Quants vernichten� wenn ein schwerer Kern in der N�aheist Zerstrahlung��
� Bei der Kernspaltung ist die Summe der Ruhemassen der Reaktionspro�dukte kleiner als die der Eingangssto�e� Z�B��
����� U ��
� n � ���� Ba ���
� Kr � ���n
Die dabei auftretende Massendi�erenz ist etwa ���mal die Ruhemasse desElektrons� Die Di�erenz wird als kinetische Energie der Reaktionsproduktefrei und f�uhrt bei deren Abbremsung zur Erw�armung der Umgebung�Ein Vergleich zwischen Kernspaltung und Kohleverbrennung verdeutlichtdie Gr�o e des E�ektes�
Bei der Spaltung von �g ���U wird ebenso viel Energie frei wie beider Verbrennung von � Tonnen Kohle�
� Bei der Kernfusion ist umgekehrt die Summe der Ruhemassen der vierWassersto��Kerne gr�o er als die Ruhemasse des entstehenden Helium�Kernes�
���H � ��He � �e� � �
Die fehlende Masse tritt wiederum als �ubersch�ussige kinetische Energiezutage�
���� �Ubung Elektronen im transversalen Magnetfeld
� Im magnetischen Feld stehen nach ��� Geschwindigkeit und Kraft senkrecht aufeinander� Die Beschleunigung ist deshalb durch ��� gegeben und steht senkrechtauf den Feldlinien�
�a ��F
m
� Treten Elektronen so in ein magnetisches Feld mit der Feldst�arke �B ein� dass ihreGeschwindigkeit senkrecht auf den Feldlinien steht� dann liegen Geschwindigkeitund Beschleunigung in einer Ebene� Die Bewegung der Elektronen bleibt also indieser Ebene�
� Da die Beschleunigung senkrecht auf der Geschwindigkeit steht� �andert sich derBetrag der Geschwindigkeit nicht� Damit bleibt auch der Betrag der Beschleunigungkonstant� und die Bewegung ist eine gleichf�ormige Kreisbewegung�
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
� Die Zentripetalkraft dieser Kreisbewegung ist gerade die Lorentz�Kraft� Es gilt also�
evB �mv�
r
�� r �mv
eB�
p
eB����
Das ist dasselbe Ergebnis� das sich auch in der klassischen Physik ergibt � allerdingsenth�alt die Beziehung nun die relativistische Masse und nicht die klassische Ruhe��Masse�
� Die Elektronen seien durch eine Spannung von U � ��MV beschleunigt worden�ihre kinetische Energie betrage also Ekin � ��MeV � Die Feldst�arke betrage B ��Tesla � � V s
m� �
� Klassisch ergibt sich daraus mit p �p
�m�Ekin�
r �
p�m�Ekin
eB�
�� � �����kgms
eB� ��� � ����m
� Relativistisch ergibt sich jedoch�
p�c� ��E�kin � m�c
��� � m�c
���
�� p ��
c
qE�kin � �m�c�Ekin
� �� � ����kgm
s�
Dabei ist m�c� � ����MeV die Ruheenergie des Elektrons�
� Damit ergibt sich schlie lich
r �p
eB� �� � ����m�
� Tats�achlich sind die experimentellen Ergebnisse in �Ubereinstimmung mit dem re�lativistischen Ergebnis So untersuchte z�B� bereits ���� Bucherer die Ablenkungschneller Elektronen aus dem �Zerfall radioaktiver Kerne� Seine Ergebnisse zeigtdie folgende Tabelle Resnick� S� �����
em
� urB
� in ���� Ckg
em�
��� u
rB
q�� v�
c�
�A in ���� C
kg
gemessen� gemessen� berechnet������� ����� ����������� ����� ����������� ����� ����������� ����� ����������� ����� �����
�� ��� FEBRUAR ����� RELATIVISTISCHE DYNAMIK ���
Die Ergebnisse demonstrieren �uberzeugend� dass nicht der Quotient em
konstant ist�sondern vielmehr der Ausdruck
e
mq
�� v�
c�
�e
m�� const�
� Nun k�onnte die Variation des Quotienten em
ganz oder teilweise auf eine Ver�anderungder Ladung e mit der Geschwindigkeit geschoben werden� Tats�achlich zeigt sichjedoch in der relativistischen Elektrodynamik�
Die Ladung eines K�orpers ist relativistisch invariant� d�h� sie ist in allenInertialsystemen gleich gro��
Dieses Ergebnis ist unmittelbar einleuchtend� Andernfalls k�onnten Atome� in denensich Elektronen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen� nicht elektrischneutral sein� Insbesondere w�are ihre elektrische Neutralit�at nicht unabh�angig vomBewegungszustand
� SCHLUSSBEMERKUNGEN ���
� Schlussbemerkungen
� Wie die letzten Seiten gezeigt haben� ergeben sich aus der relativistischen Dynamik�au erst wichtige Konsequenzen� Leider fehlt die Zeit f�ur deren Behandlung� Ichempfehle daf�ur die in der Literaturliste angegebenen weiterf�uhrenden Werke�
� Hauptziel dieser Veranstaltung war es� ein Verst�andnis der Grundideen der Rela�tivit�atstheorie zu erzeugen und die Teilnehmer in die Lage zu versetzen� weitereStudien auf eigene Faust zu unternehmen� Ich ho�e� dazu Anregungen gegeben zuhaben�
� Bei der Vorbereitung der Vorlesung habe ich besonders viel Gebrauch gemacht vonden B�uchern von Ho�mann� Born� Epstein� Resnick und Sexl� Diese B�ucher ent�halten viele weitere Aspekte� die leider nicht oder zu wenig angesprochen werdenkonnten� insbesondere
� die geometrische Struktur der Raum�Zeit�
� die vierdimensionale Darstellung der relativistischen Dynamik�
� Kern� und Elementarteilchenphysik�
� relativistische Elektrodynamik und
� Grundz�uge der allgemeinen Relativit�atstheorie�
Es lohnt sich� in diesen B�uchern weiterzulesen
� Ursprung und Bedeutung der�ber�uhmtesten Formel der Welt werden in dem Buch
von H� Fritsch ��� anschaulich und allgemein verst�andlich dargestellt�
� Der Abschnitt �uber Lichtlaufzeite�ekte in der relativistischen und der klassischenPhysik ist das Ergebnis aktueller �Uberlegungen und Forschungen im Institut sie�he insbesondere die Examensarbeit von R� Thiel ������ aber auch die Homepageunter http���www�uni�koblenz�de�backhaus�� Die amerikanische und deutschedidaktische Literatur enth�alt zahlreiche� auch aktuelle� Beitr�age dazu� Die Arbeitenvon U� Kraus ����� ����� erm�oglichen einen guten Einstieg in die Diskussion�
Ich suche Studenten und Studentinnen� die Interesse daran haben� im Rah�men ihrer Examensarbeit weitere Aspekte dieser Ph�anomene zu untersu�chen�
Ich w�unsche sch�one Semesterferien�
� ANHANG ���
� Anhang
���� Roemers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit
������ Einleitung
Mi t man um die Zeit der Jupiteropposition die Umlaufzeit des Jupitermondes Io� dannkann man feststellen� da sich die folgenden Austritte dieses Mondes aus dem Jupiter�schatten w�ahrend des n�achsten halben Jahres bis zur Konjunktion von Jupiter immermehr versp�aten� Nach der Konjunktion treten die Ver�nsterungen dagegen immer fr�uherein� R�omer erkannte in dieser Erscheinung einen Lichtlaufzeite�ekt� der auf dem sich�andernden Abstand zwischen Erde und Jupiter beruht� und bestimmte daraus den erstenWert f�ur die Lichtgeschwindigkeit siehe z�B� R�omer��
Heute� da die Lichtgeschwindigkeit bereits auf dem Labortisch gemessen werden kann�kann der E�ekt umgekehrt benutzt werden� die Astronomische Einheit zu messen Quast�Neumann�� Als
�Beobachtungsdaten werden in dieser Aufgabe die Angaben benutzt� die
man einem astronomischen Kalender Ahnert� f�ur die Zeitpunkte der SchatteneintritteVA� bzw� der Ver�nsterungsenden VE� des innersten Galileischen Mondes Io entneh�men kann�
������ Etwas Theorie
ppppp
pppppppppppppp p p p p p p p p p p p pp pp pp�
Sonnex
Jupiter
rIo
uErde t��
��d�
uErde t��
��
d�
Abbildung �� Zur Messung der Astronomischen Einheit durch Beobachtung vonIo�Ver�nsterungen
Der Jupitermond Io hat eine synodische Umlaufzeit von TIo� Zwischen t� und t� habenn Io�Uml�aufe stattgefunden� Ios Ver�nsterung m�u te also zur Zeit t� � nTIo statt�nden�Sie wird aber zum fr�uheren Zeitpunkt t� beobachtet�
Die Zeitdi�erenz ist ein Ma f�ur die Ver�anderung des Abstandes zwischen Erde undJupiter�
d� � d� � ct� � nTIo � t��
Bei bekanntem Bahnradius von Jupiter in AE� und bekannten Winkeln �� und ��� diesich aus den seit der letzten Jupiteropposition vergangenen Zeiten t� und t� und derUmlaufzeit im rotierenden Bezugssystem� in dem Jupiter ruht� ist das die synodischeUmlaufzeit von Jupiter� ergeben� kann d� � d� in Vielfachen einer AE berechnet werden�
d� � d� � AE �� �AE �c
t� � nTIo � t��
� ANHANG ���
R�omers Verfahren kann anhand der Angaben in einem Astronomischen Kalender Ah�nert� nachvollzogen werden� Bei einzelnen Io�Uml�aufen ist der zu untersuchende E�ektzwar kleiner als die Genauigkeit der Angaben! er summiert sich aber im Laufe von Mo�naten zu mehreren Minuten�
Um die Rechnungen zu vereinfachen� werden die um ������� verringerten� juliani�schen Daten der Ver�nsterungszeitpunkte mit angegeben�
������ Etwas Literatur
� Ahnert� Kalender f�ur Sternfreunde ����� Johann Ambrosius Barth� Heidelberg usw�����
� H��L� Neumann� Die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch Ole R�omer� Praxisder Naturwissenschaften�Physik ����� �� �����
� U� Quast� U� Backhaus� Die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach R�omersVerfahren mit Hilfe eines astronomischen Kalenders� Naturwissenschaften im Un�terricht Physik�Chemie� ����� �� �����
� O� R�omer� Eine Demonstration der Bewegung des Lichtes� �Ubersetzung der Original�arbeit von ����� in S� Sambursky Hrsg��� Der Weg der Physik� dtv ����� M�unchen����
����� Aufgaben
R�omers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit soll anhand der Ver�nsterungs�zeitpunkte nachvollzogen werden� die einem astronomischen Kalender f�ur ���� Ahnert�entnommen wurden�
�� a� Warum kann man nicht alle Ver�nsterungen Ios beobachten�
b� Warum lassen sich vor der Opposition nur die Eintritte Ios in den Jupiter�schatten VA f�ur Ver�nsterungsanfang�� nach der Opposition dagegen nur dieAustritte VE� beobachten�
�� Den Werten kann man eine Sch�atzung Tappr f�ur Ios Umlaufzeit entnehmen� Wie gro ist diese�
Tappr �
�� Bestimme mit Hilfe von Tappr die Anzahl ni der Uml�aufe zwischen den beobachtba�ren Ver�nsterungen�
�� Aus den Zeitspannen dti und der Anzahl der Uml�aufe ergeben sich die jeweiligenmittleren Umlaufzeiten Ti�
�� Berechne die tats�achliche synodische� Umlaufzeit TIo von Io als gewichtetes Mittelaller Ti d�i� die insgesamt vergangene Zeit dividiert durch die Anzahl der Uml�aufe���
TIo �
��Das ist das beste� was man mit den Daten eines Jahres tun kann� Man mu� ho�en� da� sich dieLaufzeitfehler vor und nach der Opposition ungef�ahr kompensieren�
� ANHANG ���
�� Mit TIo l�a t sich berechnen� wieviel Zeit #terw zwischen den Ver�nsterungsendenam � ��� und am ������ vergehen m�u te�
�terw �
�� Wie gro ist aber die tats�achlich beobachtete Zeitspanne #tgem�
�tgem �
�� Der Austritt Ios aus dem Jupiterschatten am ������ versp�atet sich also um
�tL � �tgem ��terw � min
�� Die �Anderung der Entfernung �d zwischen Erde und Jupiter zwischen dem �����und dem ������ kann aus den bekannten Werten f�ur den Radius der als kreisf�ormigangenommenen� Jupiterbahn rJup � �� AE� und die synodische UmlaufzeitTsyn � ����� Tage� Jupiters bestimmt werden�
xSonne sJupiter
Abb� � Positionen der Erde in dem Bezugssystem� in dem Sonne und Jupiterruhen�
a� Zeichne die Position der Erde zum Zeitpunkt der Jupiteropposition ein
b� Bestimme die Positionen der Erde am ����� und ������� und zeichne sie ein��Berechne dazu zun�achst die seit der Opposition verstrichenen Zeiten
c� Nun lassen sich die Entfernungen d� und d� berechnen oder in der Zeichnungausmessen�
d� � AE d� � AE
��In diesem Bezugssystem betr�agt die Umlaufzeit der Erde um die Sonne gerade eine synodische Um�laufzeit von Jupiter�
��Von Norden aus betrachtet bewegt sich die Erde im entgegengesetzten Umlaufsinn um die Sonneherum�
� ANHANG ���
d� Die Zunahme der Entfernung �d betr�agt also
�d � AE
e� F�ur diese zus�atzliche Entfernung ben�otigt das Licht die Zeit #tL� Seine Ge�schwindigkeit betr�agt also
c ��d
�tL�
AE
min
��� Ist die Gr�o e der Astronomischen Einheit bekannt � AE � �� km��dann kann aus diesem Ergebnis die absolute Lichtgeschwindigkeit abgeleitet werden�
c �km
s
Heute� da man die Lichtgeschwindigkeit bereits auf einem Labortisch messen kann�die Astronomische Einheit aber immer noch sehr schwierig zu bestimmen ist� liegtes n�aher� mit Hilfe der Io�Ver�nsterungen aus dem bekannten Wert f�ur die Lichtge�schwindigkeit c � � km
s� die Gr�o e der Astronomischen Einheit abzuleiten�
�AE � km
� ANHANG ���
������ Beobachtbare Io�Ver�nsterungen ����
Datum Mez Artjul� Datum��������
dt�Tage� Anzahl derUml�aufe
Ti�Tage�
��� �� ���� VA ���������� ���������
�� �� ���� VA ���������� ���������
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��� �� ����� VE ����������
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� ANHANG ���
���� Zur Sichtbarkeit relativistischer E�ekte
Aus dem Begleitmaterial f�ur Jugendliche zu einer Ausstellung mit dem Thema�Die Zeit�
Paulas Traum
Hallo� � � � � � � � � Was soll ich geh�ort haben� � � � � � � � � Aber warum antwor�test du so sp�at� � � � � � � � � Was� ich schweige auch immer so lange� Nein� ichantworte doch sofort� Das Telefon ist wohl kaputt� Tsch�uss�� wir sehn uns inder Schule��
Schon beim Aufstehen �el Paula auf� dass sich etwas ver�andert hat� Die Nacht�tischlampe ging nicht gleich anund als sie sich im Badezimmerspiegel anschau�te� stimmte irgend etwas nicht� Sie betrachtete sich lange� Und dann merktesie es� Sie sah genau� dass ihr Spiegelgesicht geschlossene Augen hat� jeden�falls f�ur einen Moment� Beide Augen zu�� Wie kann das sein� Jede Bewegungzeigte ihr� dass das Spiegelbild langsamerals sie selbst ist�
Hier sind die Sechs�Uhr�Nachrichten�� t�onte es aus dem Radio�
Mensch�
da bin ich ja eine Stunde zu fr�uh aufgestanden�� dachte Paula� Geht denn
mein Wecker falsch�� Nein� der zeigte � Uhr � und hatte p�unktlich um � Uhrgeweckt�
Hier eine wichtige Durchsage� Seit heute Nacht breitet sich das Licht nurnoch mit einer Geschwindigkeit von �� km pro Stunde aus� Bisher betrug dieLichtgeschwindigkeit ������� km pro Sekunde� Wie es zu dieser enormen Ver�langsamung kam ist noch ungekl�art� Die Folgen sind verheerend und gar nichtabzusehen� denn nicht nur das Licht ist langsamer� sondern auch die Radio�und Fernsehwellen und die Telefon�ubertragung� Alle elektromagnetischen Wel�len breiten sich zur Zeit mit �� km pro Stunde aus��
Paula hat sofort geschaltet� Nicht der Wecker geht falsch� sondern die Nach�richten haben �uber eine Stunde vom Sender bis zum Radio gebraucht� klar�denn der Sendemast steht etwa �� km entfernt� Sie ging noch mal zum Spie�gel� Augen zu� Augen auf� Die Paula im Spiegel hat die Augen zu und �o�net siewieder�
Ich sehe etwas� was gerade eben schon war�� ging ihr durch den Kopf�
Sie trat zwei Schritte zur�uck� Jetzt war ihr Spiegelbild noch mehr verz�ogert�Sie schaute noch mehr in die Vergangenheit�
Als Paula endlich auf der Stra�e war� �el ihr sofort auf� dass die Autos heu�te langsamerfuhren� langsamer noch als in einer Tempo�Drei�ig�Zone� Hattendie Fahrer vielleicht Angst vor der langsamen Lichtgeschwindigkeit� Trotzdemmachten die Autos einen Krach� als wollten sie hundert fahren� Es ging wohlnicht schneller� Da kam schon der Schulbus angekrochen� Er sah aus� als w�areer vor eine Wand gefahren� er schien viel k�urzerals gew�ohnlich� Aber als derBus dann hielt� hatte er wieder normale L�ange� Der Bus startete� und je mehrGas der Fahrer gab� desto k�urzerwurde die Stra�e vor dem Bus� Schnellerschien der Bus gar nicht zu werden� Die H�auser am Stra�enrand waren ei�gent�umlich verdreht� Paula dachte an den Spiegel� Wie wohl der Bus auss�ahe�wenn er auf einen Spiegel zufahren w�urde� Da entdeckte sie das Spiegelbild desBusses in der Heckscheibe eines Transporters vor ihnen� Der Bus war ganz
� ANHANG ���
klein und schien sehr weit weg� Wie zu hause� ging es Paula durch den Kopf�Ich sehe die Vergangenheit des Busses�
Rumms� Fast w�are Paula nach vorn gefallen� Der Fahrer machte eine Voll�bremsung�
Aber die Ampel war doch gr�un�� schimpften viele Fahrg�aste� Die
oberste Lampe der Ampel leuchtete und au�erdem war sie tats�achlich rot� alsder Bus hielt� Die Kreuzung sah jetzt ganz normal aus� Daf�ur krochen nunlauter geschrumpfteAutos �uber die Kreuzung�
V�ollig verwirrt schaute Paula nach drau�en und schlo� die Augen� weil sie einScheinwerfer blendete�
Aufwachen� aufstehen� es ist sieben Uhr�� Aus weiter Ferne h�ort Paula dieStimme ihre Schwester� die ihre Nachttischlampe eingeschaltet hat�
Was ist
los� ich bin doch schon unterwegs ������� Verwirrt rappelt sich Paula hoch� Du�
ich habe vielleicht getr�aumt� Mit dem Licht stimmte irgendwas nicht� Alles warso langsam��
Nach und nach �el ihr der Traum wieder ein� und dann begri� sie auch� warumihr so etwas tr�aumte� Vor dem Einschlafen hatte sie ein Buch �uber Albert Ein�stein und seine Relativit�atstheorie gelesen� Einstein hatte erstmals ���� be�hauptet� dass die Lichtgeschwindigkeit stets einen festen Wert hat� �������kmpro Sekunde� genannt c� Und dies auch� wenn sich die Lichtquelle schnellbewegt� Wenn uns das Licht von rasend schnell durch den Weltraum �iegen�den Sternen auf der Erde erreicht� hat auch dieses die Geschwindigkeit c�Schneeb�alle verhalten sich da ganz anders� wenn du vor einem geworfenenSchneeball davon l�aufst� tri�t er dich l�angst nicht so hart� als wenn du ihmnoch entgegen rennst� Licht verh�alt sich also ganz anders� Eine �Anderung kannman aber doch bemerken� wenn sich die Lichtquelle schnell bewegt� Die Farbedes Lichtes verschiebt sich zum Rot� wenn die Quelle sich schnell entfernt undverschiebt sich zum Gr�un� wenn sich die Quelle n�ahert�
Au�erdem stand in dem Buch� dass kein Gegenstand sich schneller als mitLichtgeschwindigkeit bewegen kann� c ist die gr�o�tm�ogliche Geschwindigkeit�Und wenn man ein Fahrzeug fast so schnell machen will wie die Lichtge�schwindigkeit� braucht es einen immer st�arker werdenden Motor� Je schnellerdas Fahrzeug wird� desto schwerer wird es auch�
Wenn sich ein Gegenstand fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt� erscheint erdem ruhenden Beobachter verkleinert� Einstein sagt� Bewegte Lineale verk�urzensich� die L�ange schrumpft� Der mitreisende Beobachter bemerkt davon nichts�F�ur ihn scheint umgekehrt das zur�uckbleibende Lineal k�urzer zu werden�
Und auch die Zeit schrumpft� Bewegte Uhren gehen langsamer� Wenn ein Zwil�ling nach einer wahnsinnig schnellen Reise zu seinem Bruder zur�uckkehrt� istder Reisende etwas j�unger geblieben� denn seine Uhr ging � im Vergleich zudem zur�uckgebliebenen Zwilling � langsamer�
Und Einstein hatte recht� Zwar sind die Reisegeschwindigkeiten selbst mit Ra�keten noch viel zu langsam� als dass man eine Verj�ungung sehen w�urde� Aberwenn Atomuhren auf Reisen gehen� sind Abweichungen der Uhren schon zubeobachten� Und aus dem Weltall erreichen uns winzigste Teilchen� deren Le�bensdauer gar nicht f�ur den weiten Weg reichen w�urde� Aber weil sie fast
� ANHANG ���
Lichtgeschwindigkeit haben� gehen ihre Uhren� langsamer� sie
leben� des�
halb lang genug� um die Erde zu erreichen� Auch die Zunahme der Massek�onnen die Physiker wirklich beobachten� Elektronen und Atome kann man sostark beschleunigen� da� sie der Lichtgeschwindigkeit nahe kommen� Daf�ur istsehr viel Energie n�otig� denn deren Masse nimmt dabei immer mehr zu�
Ich habe wohl von einer Welt getr�aumt� in der die unvorstellbare Relativit�ats�theorie im t�aglichen Leben sichtbar wird� weil das Licht Tempo Drei�ig ein�halten mu�te� Ob Einstein wohl auch von seiner Relativit�atstheorie getr�aumthat��� meinte Paula noch ganz verschlafen zu ihrer Schwester� Die hat nurden Kopf gesch�uttelt�
Den ganzen Tag beobachtete sich Paula immer wieder im Spiegel� Doch esgelang ihr nie wieder� ihr Spiegelbild mit zwei geschlossenen Augen zu sehen�
Fragen und Aufgaben zum Text
�� Lokalisieren und identi�zieren Sie die relativistischen E�ekte� die in dem Text an�gesprochen werden�
�� Finden Sie Ungenauigkeiten und Fehler und korrigieren Sie diese
�� An welchen Stellen h�atten zus�atzliche E�ekte ber�ucksichtigt werden k�onnen bzw�m�ussen�
� ANHANG ���
���� Parameter der Filme
Film�Bild Programm r�k� K�W� xmin #x xmax ymin #y ymax z f vx vyFilmTE� albert r K ���� � ��� � � � � ����� ���� �FilmTE� r K ����� ��� ��� � � � � ����� ����� �FilmTE� r K ���� � � ��� �� ����� � ����� � ���FilmTE�� r K ���� � � ��� �� ���� � ���� � ����FilmTE�� r K ���� ����� ��� ��� �� � ���� ������ �����FilmTE�� r K ����� ��� �� ���� ���� � ����� ������ �����doppler retarneu r K � ���� �
���� Parameter der Bilder
Name Programm Abb� Seite r�k� K�W� x y z f vx vyw�� retarwn �� �� r K ���� ���� � ��� � ���w� �� �� r K �� �� � ���� ���� �w� �� �� r K ��� �� � ���� ���� �w�� �� �� r W ��� �� ��� ���� ��� �
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geschw� �� �� r W ���� � � ���� ��� �geschw �� �� r W ��� � � ���� ��� �D���D�� retarneu �� �� r K ��� � � ���� ���� �D��D� �� �� r K ���� � � ����� ���� �D��D� r K �� ��� � ����� � ���D���D�� r K �� �� � ����� ���� ���Albert� albert �� �� r K ���� � � ����� ����� �Albert �� �� r K �� � � ����� ���� �Albert �� �� k K �� � � ����� ���� �Albert� �� �� k W �� � � ����� ��� �Albert� r K ��� ��� � ����� � ����Albert� r K ��� ���� � ����� � ���
� ANHANG ���
���� Folien
�� Originalformulierung der Einsteinschen Postulate S� ��
�� Die Grundpostulate der speziellen Relativit�atstheorie S� ��
�� Weltlinien zweidimensionaler Bewegungen Abb� �� S� ��
�� Die Newton�schen Gesetze S� ���
�� Galilei�Transformation und ihre Eigenschaften S� �
�� Geometrische Veranschaulichung der Galilei�Transformation Abb� �� S� ���
�� Maxwell�Gleichungen und Wellengleichung S� ����
�� Messung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe von Jupitermondver�nsterungen Abb� ���S� ���
�� Spezielle L�osungen der Wellengleichung Abb� ��� S� ��
��� Modulation Abb� ��� S� ���
��� � Moir$e�Folien zur Veranschaulichung der Beobachtung beim Michelson�VersuchAbb� ��� S� ���
��� Aufbau und Ergebnis des Versuchs von Michelson und Morley Abb� ��� S� ���
��� Zur klassischen Erkl�arung der Lichtaberration Abb� �� und ��� S� ��f�
��� Die Lorentz�Kontraktion Raum�otte� Abb� �� und ��� S� ���
��� Relativit�at der Gleichzeitigkeit I Abb� ��� S� ���
��� Relativit�at der Gleichzeitigkeit II a Resnick� Abb� ��� S� ���
��� Relativit�at der Gleichzeitigkeit II b Resnick� Abb� ��� S� ���
��� Das landende relativistische Flugzeug Abb� ��� S� ���
��� Wie wird der Pilot das Licht registrieren� Abb� ��� S� ���
��� Zur relativistischen Deutung der Lichtaberration Abb� ��� S� ���
��� Lichtaberration im Weltall Abb� ��� S� ���
��� Wie wird der Abdruck auf dem Papier f�ur verschiedene Beobachter aussehen� Abb� ���S� ���
��� Wie wird das fallende Quadrat f�ur einen auf dem Flie band sitzenden Beobachteraussehen� Abb� ��� S� ���
��� Fallendes Quadrat II
��� Zur Messung der Relativgeschwindigkeit � Abb� ��� S� ���
� ANHANG ���
��� Zur Messung der Relativgeschwindigkeit � Abb� ��� S� ���
��� Der Lorentz�Faktor als Funktion der Geschwindigkeit Abb� ��� S� ���
��� Zeitdilatation mit Lichtuhren � Uhrenvergleich mit zwei Uhren Abb� �� und ���S� �� und ���
��� Maryland�Experiment � Myonen�Experiment Abb� ��� S� ���
��� Zur Konstruktion von Minkowski�Diagrammen Abb� ��� S� ���
��� �Uberlichtgeschwindigkeit und Kausalit�at Abb� ��� S� ���
��� Relativit�at von Vergangenheit und Zukunft Abb� ��� S� ���
��� Der Lichtkegel Abb� ��� S� ���
��� L�angenkontraktion und Zeitdialtation im Minkowski�DiagrammAbb� �� � S� �� �
��� Die Lorentz�Transformation S� ���
��� Dopplere�ekt und Zwillingsparadoxon Abb� ��� S� ���
��� Die scheinbare Geschwindigkeit Abb� ��� S� ���
��� Die Unsichtbarkeit der Laufzeitverl�angerung Abb� ��� S� ���
��� Zur Unsichtbarkeit der Lorentz�Kontraktion�
� Drehung statt Kontraktion Abb� ��� S� ���
� Die sichtbare R�uckseite Abb� ��� S� ���
� Hyperbelf�ormige Verformung eines senkrechten Stabes durch relativistische Re�tardierung
� Hyperbelartige Verformung Abb� ��� S� ���
��� Klassische Retardierung� Vergleich der scheinbaren Verl�angerungen Abb� ��� S� ��
��� Klassische Retardierung� Scherung statt Drehung Abb� ��� S� ��
��� Albert Einstein � durch relativistische Retardierung verformt Abb���� S� ���
��� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes � ���� Abb� ��� S� ���
��� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes � ���� Abb� ��� S� ���
��� Ber�ucksichtigung des Doppler�E�ektes in Relativit�atstheorie und klassischer PhysikAbb� ��� S� ���
��� Weltraum�ug mit konstanter Beschleunigung Abb� ��� S� ���
��� Die Geschwindigkeit als Funktion der Energie Abb� ��� S� ����
��� Der Erhaltungss�atze der Relativit�atstheorieS� ����
��� Die spezi�sche Ladung von Elektronen im transversalen Magnetfeld Tabelle S� ����