Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X kann die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen.Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind rechts in einem Stabdia-gramm dargestellt. Trage die Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle ein.
k 1 2 3 4 5 6
P (X = k)
Wir wandeln das Stabdiagramm clever in ein Säulendiagramm um.Dazu ersetzen wir jeden Stab jeweils durch ein Rechteck derselbenHöhe und der Breite 1. Das Ergebnis ist rechts dargestellt:
Der Flächeninhalt jeder Säule ist also genau die entsprechendeWahrscheinlichkeit. 1 · P (X = k) = P (X = k)
Wir können die Achsen unabhängig voneinander skalieren.
Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen – und damit der Flächeninhalt – bleiben unverändert:
Die Wahrscheinlichkeit P (2 ≤ X ≤ 4) ist in jedem der drei Bilder rot hervorgehoben. Es gilt:
P (2 ≤ X ≤ 4) =
Wahrscheinlichkeiten als Flächeninhalte
Wir würfeln n Mal mit einem fairen 6-seitigen Würfel.Die Zufallsvariable Sn gibt die Anzahl der geworfenen Sechser an. Sn ist binomialverteilt.Rechts sind die Wahrscheinlichkeiten für n = 60 Würfe in einem Säulendiagramm dargestellt.Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dabei mindestens 8 Sechser, aber höchstens 10 Sechser zu würfeln.
1) Markiere rechts die zugehörige Fläche.
2) Ermittle die Wahrscheinlichkeitnäherungsweise:
P (8 ≤ S60 ≤ 10) ≈
3) Ermittle die exakte Wahrscheinlichkeitmit Technologieeinsatz:
4) Fülle die Lücken aus:
P (8 ≤ S60 ≤ 10) =( )
·(1
6
)·(5
6
)︸ ︷︷ ︸
P (S60=8)
+( )
·(1
6
)·(5
6
)︸ ︷︷ ︸
P (S60=9)
+( )
·(1
6
)·(5
6
)︸ ︷︷ ︸
P (S60=10)
Binomialverteilung
Datum: 19. August 2019
Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung
Bei n = 720 Würfen nimmt das Säulendiagramm von S720 die folgende Form an:
Animationen:y-Achse variabel skaliert
y-Achse fix skaliert
Der Flächeninhalt des grau markierten Bereichs ist die Wahrscheinlichkeit P ( ≤ S720 ≤ ).
Wir haben auch den Graphen einer ganz bestimmten Funktion f eingezeichnet.Dieser Graph schmiegt sich an das glockenförmige Profil des Säulendiagramms an.Wie würdest du mithilfe von f diese Wahrscheinlichkeit näherungsweise berechnen?
P (130 ≤ S720 ≤ 140) ≈
Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung
Die Funktion ϕ mit ϕ(x) = 1√2 · π
· e−12 ·x
2 heißt Dichtefunktion der Standardnormalverteilung.
Sie hat die folgenden Eigenschaften:
1) Alle Funktionswerte sind positiv. Warum?
2) Der größte Funktionswert ist an der Stelle x = 0.
3) Die beiden Wendestellen befinden sich bei x = −1und bei x = 1.
ϕ′(x) = 1√2 · π
· e−12 ·x
2 · (−x) Welche Ableitungsregeln wurden hier verwendet?
ϕ′′(x) = 1√2 · π
· e−12 ·x
2 · x2 + 1√2 · π
· e−12 ·x
2 · (−1) = 1√2 · π
· e−12 ·x
2 ·(x2 − 1
)limx→∞
ϕ(x) = und limx→−∞
ϕ(x) =
4) Der Graph ist symmetrisch zur senkrechten Achse, also ϕ(−x) = .
5) Der gesamte Flächeninhalt A zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen ist 1. Kurz:
A =∫ ∞−∞
ϕ(x) dx = e− 12 ·x2
hat keine elementare Stammfunktion.
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
2
Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung
Die Funktion f mit
f(x) = 1σ ·√
2 · π· e−
12 ·(x−µ
σ )2
heißt Dichtefunktion der Normalverteilungmit Erwartungswert µund Standardabweichung σ.
Die beiden Gleichungen
ϕ(x) =1
√2 · π
·e− 12 ·x2
und f(x) =1
σ ·√
2 · π·e− 1
2 ·(x−µσ
)2
sind eng miteinander verknüpft. Tatsächlich entsteht derGraph von f aus dem Graphen von ϕ in 3 Schritten:
i) Horizontale Skalierung um den Faktor σ:
f1(x) = ϕ
(x
σ
)=
1√
2 · π· e− 1
2 ·( xσ )2
ii) Horizontale Verschiebung um µ Einheiten nach rechts:
f2(x) = f1(x− µ) =1
√2 · π
· e− 12 ·(x−µσ
)2
iii) Vertikale Skalierung um den Faktor 1σ:
f(x) = f2(x)σ
=1
σ ·√
2 · π· e− 1
2 ·(x−µσ
)2
Mehr dazu findest du am Arbeitsblatt – Funktionsgraphen.
Die Dichtefunktion f hat also die folgenden Eigenschaften:
1) Alle Funktionswerte sind positiv.
2) Der größte Funktionswert wird an der Stelle x = angenommen.
3) Die Wendepunkte befinden sich an den Stellen x = und x = .
4) Der Graph ist symmetrisch zur senkrechten Gerade x = µ, also f(µ− x) = .
5) Der gesamte Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen ist .
6) Eine Veränderung von µ bewirkt eine des Graphen in -Richtung.
7) Je größer σ ist, desto ist der größte Funktionswert und desto ist
die Entfernung der beiden Wendestellen.
8) Je kleiner σ ist, desto ist der größte Funktionswert und desto ist
die Entfernung der beiden Wendestellen.
9) f ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, wenn µ = und σ = ist.
Dichtefunktion der Normalverteilung
f ist die Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ.Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit Erwartungswert µ und Standardabwei-chung σ, wenn die folgenden Gleichungen für alle reellen Zahlen a ≤ b gelten:
P (a ≤ X ≤ b) =b∫a
f(x) dx P (X ≤ b) =b∫
−∞
f(x) dx P (X ≥ a) =∞∫a
f(x) dx
Eine normalverteilte Zufallsvariable kann also jede reelle Zahl als Wert annehmen.
Normalverteilte Zufallsvariable
3
Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung
X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Dichtefunktion f .
Die Wahrscheinlichkeit, dass X genau den Wert a ∈ R annimmt, ist
P (X = a) = P (a ≤ X ≤ a) =∫ a
af(x) dx = .
Wenn X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, dann gilt also:
P (X ≤ a) = P (X < a) + P (X = a) = Das ist anders als bei der Binomialverteilung.
f(a) 6= P (X = a)
Die Körpergröße X von 42-jährigen Männern ist annähernd normalverteilt mit Erwartungswertµ = 177,8 cm und Standardabweichung σ = 6,1 cm. Ein 42-jähriger Mann wird zufällig ausgewählt.
a) Berechne (mit Technologieeinsatz) die Wahrscheinlichkeit, dass seine Körpergröße . . .
. . . im Intervall [174 cm; 178 cm] liegt.
. . . größer als 190 cm ist.
. . . kleiner als 178 cm ist.
b) Welche Körpergröße übertrifft er mit einer Wahrscheinlichkeitvon 80 %?
Welche Körpergröße übertrifft er mit einer Wahrscheinlichkeit von 45 % nicht?
c) Gesucht ist jenes symmetrische Intervall um µ, in dem seine Körpergröße mit einer Wahrscheinlich-keit von 72 % liegt. Dieses Intervall heißt auch zweiseitiger 72 %-Zufallsstreubereich für einen Einzelwert von X.
Mehr dazu findest du am Technologieblatt – Zufallsstreubereiche und Konfidenzintervalle.
Welchen Inhalt haben die beiden schraffierten Flächenlinks und rechts vom symmetrischen Intervall jeweils?
Mit Technologieeinsatz berechnen wir die Grenzen:
P (X ≤ ) = 14 % P (X ≥ ) = 14 %
Die Körpergröße befindet sich mit einer WS von 72 % im Intervall .
Körpergröße
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung
Mit der Substitution
Z =X − µ
σ
können wir jede normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σin eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z (mit µZ = 0 und σZ = 1) umwandeln, denn:
P (x1 ≤ X ≤ x2) =∫ x2
x1
1σ ·√
2 · π· e−
12 ·(x−µ
σ )2dx =
∫ z2
z1
1√2 · π
· e−12 ·z
2 dz = P (z1 ≤ Z ≤ z2).
Zwischen den Intervallgrenzen bestehen dann die Zusammenhänge
z1 =x1 − µ
σund z2 =
x2 − µ
σ.
Dieser Zusammenhang ist besonders nützlich, wenn in einer Aufgabenstellung µ oder σ gesucht ist.
Standardisierung
X ist normalverteilt mit den Parametern µ = 5 und σ = 2. Z ist standardnormalverteilt.
=⇒ P (3 ≤ X ≤ 9) = P ( ≤ Z ≤ ) = 81,85...%
Veranschauliche die Wahrscheinlichkeiten jeweils als Flächeninhalt:
Standardisierung
Eine normalverteilte Zufallsvariable X hat die Standardabweichung σ = 2, und es gilt P (X ≤ 8) = 0,62.Wie groß ist der Erwartungswert µ von X?
Wir berechnen den entsprechenden „z-Wert“ für die standard-normalverteilte Zufallsvariable Z mit µZ = 0 und σZ = 1:
P (Z ≤ z) = 0,62 =⇒ z =
Die obere Grenze x = 8 von X entspricht alsoder oberen Grenze z = 0,305 48... von Z.
Aus z = x−µσ berechnen wir den Erwartungswert µ von X:
z · σ = x− µ =⇒ µ = x− z · σ =
Rechts kontrollieren wir noch einmal das Ergebnis.
Erwartungswert gesucht
Berechne µ und σ der normalverteilten Zufallsvariable X mit P (X > 42) = 8 % und P (X ≤ 35) = 19 %.
Erwartungswert und Standardabweichung gesucht
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Normalverteilung
Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit Parametern n und p.Ihr Erwartungswert ist E(X) = n · p und ihre Standardabweichung ist σ(X) =
√n · p · (1− p).
Für große Werte von n liegt das Profil desSäulendiagramms von X nahe am Graphender Dichtefunktion f der Normalverteilung mitdemselben Erwartungswert µ undderselben Standardabweichung σ.
Je größer n bei festem p, desto besser die Annäherung.
Im Bild rechts ist n = 720 und p = 16 . Berechne:
E(X) = σ(X) =
Für großes n dürfen wir zur Annäherung der Binomialverteilung mit Parametern n und p dieNormalverteilung mit Parametern µ = n · p und σ =
√n · p · (1− p) verwenden. Satz von Moivre-Laplace
Annäherung: Binomialverteilung – Normalverteilung
Du würfelst 600 Mal mit einem fairen 6-seitigen Würfel.Wie wahrscheinlich ist es, dass du mindestens 90, aber höchstens 105 Sechser würfelst?Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der geworfenen Sechser an.
1) Exakte Berechnung mit der Binomialverteilung:
X ist binomialverteilt mit n = und p = .
=⇒ P (90 ≤ X ≤ 105) =
2) Näherungsweise Berechnung mit der Normalverteilung:
Erwartungswert und Standardabweichung von X:
E(X) =
σ(X) =
X ′ ist normalverteilt mit µ = und σ = .
=⇒ P (90 ≤ X ′ ≤ 105) = Diese Annäherung ist relativ schlecht.
Im Bild rechts ist das Säulendiagramm der binomialver-teilten Zufallsvariable X dargestellt.Wodurch entsteht der Unterschied zwischen
P (90 ≤ X ≤ 105) und∫ 105
90f(x) dx ?
Eine bessere Annäherung erhalten wir durch Anwendungder sogenannten Stetigkeitskorrektur:
=⇒ P (89,5 ≤ X ′ ≤ 105,5) =
Warum nähert man überhaupt die Binomialverteilung an? Mein GeoGebra stürzt bei einer Binomialverteilung mit n = 10 000 ab.
Stetigkeitskorrektur
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