Mathematik macht Freu(n)de AB - Logarithmusfunktionen
Ein Kapital von 500 e wächst jährlich um 2 %. Das Kapital nach n Jahren beträgt also
K(n) = .
Wie viele Jahre würde es dauern, bis das Kapital auf 1 Million e anwächst?Taste dich mit dem Taschenrechner an das Ergebnis heran.
Es würde rund Jahre dauern, bis das Kapital auf 1 Million e anwächst.
Lösung einer Exponentialgleichung ertasten
Die Lösung x der Gleichung ax = b heißt Logarithmus von bzur Basis a:
ax = b ⇐⇒ x = loga(b) a > 0, a 6= 1, b > 0
Sprechweise: „x ist der Logarithmus von b zur Basis a.“
Rechts siehst du den Graphen der Exponentialfunktion f(x) = ax.Beschrifte die markierte Stelle.
Logarithmus
Wenn wir loga(b) berechnen, denken wir: „a hoch welche Zahl ergibt b?“ a? = b
a) log10(1000) = , weil 10 = 1000.
b) log7(49) = , weil .
c) log2(16) = , weil .
d) log2(0,5) = , weil .
e) log11(√
11) = , weil .
f) loge(e2) = , weil .
g) logb(b) = , weil .
h) logb(1) = , weil .
Logarithmen händisch berechnen
Zwei besondere Basen sind so wichtig, dass dein Taschenrechner eigene Tasten dafür hat:
Zehnerlogarithmus (Basis 10)log10(b) ; Taschenrechner: LOGKurzschreibweise: lg(b)
Natürlicher Logarithmus (Basis e)loge(b) ; Taschenrechner: LNKurzschreibweise: ln(b)
Logarithmus am Taschenrechner
Du kannst auch Logarithmen mit jeder anderen Basis a berechnen. a > 0, a 6= 1
Die Formel dafür ist loga(b) =lg(b)lg(a)
=ln(b)ln(a)
.
Umrechnungsregel zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen
Löse die Gleichung 500 · 1,02n = 1 000 000 nach n auf.
Exponentialgleichungen exakt lösen
Datum: 21. September 2018
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Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:
1) loga(x · y) = loga(x) + loga(y) Aus „mal“ wird „plus“.
2) loga
(x
y
)= loga(x) − loga(y) Aus „durch“ wird „minus“.
3) loga (xr) = r · loga(x) Aus „hoch r“ wird „mal r“.
Rechenregeln für Logarithmen
Zerlege die Terme so weit wie möglich:
a) ln(
5 · x2
y · z
)=
b) lg(
(42 · x2 − 1)10
y5 + 3
)=
c) ln(
e2 · x2
y ·√
z
)=
d) lg(
100 · (x + y)2
x− y
)=
Logarithmen zerlegen
Löse die Gleichung 500 · 1,02n = 1 000 000 mit Rechenregel 3) nach n auf.
Alternativer Lösungsweg
Isoliere die Potenz mit der gesuchten Variable auf einer Seite. Logarithmiere dann auf beiden Seiten.
Löse die Gleichung 7 · 23·x−1 − 350 = 0.
Exponentialgleichung nach Kochrezept lösen
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Der Graph der Exponentialfunktion f(x) = 2x ist dargestellt.
Lies die folgenden Werte möglichst genau ab.Vergleiche mit den Ergebnissen des Taschenrechners.
a) 21,5 ≈
b) 2−0,9 ≈
c) log2(1,5) ≈
d) log2(3,2) ≈
Logarithmenwerte ablesen
Die Logarithmusfunktion
g(x) = loga(x), a > 0, a 6= 1
ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
f(x) = ax.
Die Graphen von f und g sind also an der 1.Medianegespiegelt. Für jeden Punkt (x | ax) des Graphen von fliegt der gespiegelte Punkt (ax | x) auf dem Graphen von g.
Skizziere rechts den Graphen der Funktion x 7→ log2(x).
Erkläre, warum der Logarithmus loga(x) nur für positive Zahlen x sinnvoll ist.
Logarithmus als Umkehrfunktion
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 1x = 3?
Zeichne rechts den Graphen der Funktion f(x) = 1x ein.Spiegle diesen Graphen an der 1.Mediane.Warum hat die Funktion f keine Umkehrfunktion?
Deshalb ist der Logarithmus zur Basis 1 nicht sinnvoll.
Basis 1
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Aus der Definition des Logarithmus
ax = b ⇐⇒ x = loga(b) a > 0, a 6= 1, b > 0
folgt, dass aloga(b) = . „a hoch“ und „Logarithmus zur Basis a“ heben einander auf.
Das hilft uns, wenn die gesuchte Variable im Argument eines Logarithmus vorkommt:
lg(,) = � ⇐⇒ 10lg(,) = 10� ⇐⇒ , = 10�
ln(,) = � ⇐⇒ eln(,) = e� ⇐⇒ , = e�
Logarithmen aufheben
Isoliere den Logarithmus loga(,) mit der gesuchten Größe im Argument. Rechne dann „a hoch“ auf beiden Seiten.
a) Löse die Gleichung ln(5− 42 · x)3 − 4 = 0.
b) Löse die Gleichung 5lg(x2 − 1) = 15.
Logarithmusgleichung nach Kochrezept lösen
Jeder Rechenregel für Logarithmen entspricht eine Rechenregel für Potenzen:
1) aloga(x)+loga(y) = aloga(x) · aloga(y) = . Also ist loga(x · y) = .
2) aloga(x)−loga(y) = aloga(x)
aloga(y) = . Also ist loga
(x
y
)= .
3) ar·loga(x) =(aloga(x)
)r= . Also ist loga (xr) = .
Welche Rechenregeln für Potenzen werden jeweils verwendet?
Rechenregeln begründen
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