Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir benötigen
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Eine Figur –
das Original
(bei allen folgenden Folien in GRÜN)
Wir wählen dazu jetzt ein Rechteck; a = 5 cm und b = 2 cmDieses Rechteck werden wir auch weiterhin verwenden.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir benötigen
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Einen Punkt
- das
so
genannte
Zentrum
der
Streckung. Wir
nennen
diesen
Punkt
natürlich
Z.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir benötigen
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Einen Punkt
- das
so
genannte
Zentrum
der
Streckung. Wir
nennen
diesen
Punkt
natürlich
Z.
Und ein
Maß
dafüf r,
ob
wir
bei
dieser
Abbildung
vergrößern oder
verkleinern
wollen.
Dieses Maß
heißt
k.
Es
ist
der
so
genannte
Streckungsfaf ktor.
Bei unserem
ersten
Beispiel
wählen
wir
dafüf r
eine einfaf che
Zahl:
k =
2
Z
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Und jetzt beobachten wir, was passiert:
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Z
2
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Z
2
Original 5
cm
Bild 10
cm
2 cm
4 cm
Aber was
ist
mit
der
Fläche
passiert?
Original =
2
cm
5
cm
=
10
cm2
Bild =
4
cm
10
cm
=
40
cm2
40 cm²
10 cm²
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Ergebnisse:
Bei dem Streckungsfaktor k = 2 - haben sich die Seiten verdoppelt
2 cm → 4 cm und 5 cm → 10 cm- hat sich die Fläche vervierfacht
10 cm² → 40 cm²
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir betrachten nun einige andere Fälle:
-24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
y
Z
2
3
4
5
Wie groß sind die Seiten des Bildes?Wie groß ist die Fläche des Bildes?
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir betrachten nun einige andere Fälle:
-24 -23 -22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x
y
Z
2
3
4
5
Wie groß sind die Seiten des Bildes?Wie groß ist die Fläche des Bildes?
15 cm
6 cm
90 cm²
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir betrachten nun einige andere Fälle:
Wie groß sind die Seiten des Bildes?Wie groß ist die Fläche des Bildes?
-13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Z
2
3
4
5
0,25
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir betrachten nun einige andere Fälle:
Wie groß sind die Seiten des Bildes?
Wie groß ist die Fläche des Bildes? – ABER WAS IST NOCH GESCHEHEN?
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Z
2
3
4
5
0,25
-1,5
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir haben jetzt verschiedene Fälle kennen gelernt.
Das Zentrum Z war dabei immer das gleiche. Nun wollen wir den Streckungsfaktor k immer gleich lassen.
Wir bleiben bei k = 2.
Doch jetzt verändert sich unser Streckungszentrum Z.
Aufpassen!
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Der Normalfall: Z liegt außerhalb der Figur
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
2
Z
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
2
Z
Das Zentrum
Z
ist
jjetzt
eine
der
Ecken
unseres Rechtecks.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-22 -21 -20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
y
2
Z
Das Zentrum
Z
liegt
jjetzt
auf
f dem
Rand
unseres Rechtecks.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
Z
2
Letzter Fall:
Das
Zentrum
liegt
innerhalb der
Figur.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir sind uns sicher einig, dass der Sachverhalt ganz leicht zu verstehen ist.
Schwierig wird es für einige von euch, die Aufgaben mit der nötigen
Genauigkeit und Sauberkeit
auszuführen. Das schafft man durch Übung. Üben bedeutet, immer wieder von vorn
anzufangen – und zwar so lange, bis das Ergebnis perfekt ist .
Wir arbeiten dabei in ganz unterschiedlicher Weise:- Im Koordinatensystem auf Karopapier- Auf nicht-liniertem Papier
Und natürlich auch
- Mit DynaGeo.
Und damit fangen wir gleich an!
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Wir lernen jetzt:
Wie man eine Seite beginnt.
Wie man ein Koordinatensystem aufruft.
Wie man eine Figur zeichnet.
Wie man einen Punkt – Z – setzt.
Wie man den Punkt dann genau dahin setzt, wo er wirklich hin soll.
Wie man einen Streckungsfaktor k in die Zeichnung einbindet.
Wie man die zentrische Streckung durchführt.
Außerdem erhaltet ihr Hinweise:
Wie man mit verschiedenen Linienformen umgeht.
Wie man mit Farben umgeht.
Wie man Flächen kennzeichnet.
Wie man einen Text in die Zeichnung einbindet.
Wie man Strecken und Flächen messen kann.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1,75
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1,75
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1,75
-1,25
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1,75
-1,25
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1,75
-1,25
7,616 cm
9,52 cm
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
1,75
-1,25
7,616 cm
9,52 cm
9,899 cm
5,657 cm
19,5 cm²
59,72 cm²
30,47 cm²
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Zum Abschluss bieten wir hier noch eine Testaufgabe:
Zeichne im Koordinatensystem das Dreieck ABC mit den Zeichne im Koordinatensystem das Dreieck ABC mit den Koordinaten Koordinaten
A(-3/2), B(3/6) und C(-6/9). Trage bitte außerdem die drei Zentren A(-3/2), B(3/6) und C(-6/9). Trage bitte außerdem die drei Zentren
ZZ11(10/1), Z(10/1), Z22(-1)2 und Z(-1)2 und Z33(-4/0) ein.(-4/0) ein.
Führe nun die folgenden drei Abbildungen des Originals ABC durch.
1. Streckung an Z1 mit k1 = 0,25
2. Streckung an Z2 mit k2 = - 1,5
3. Streckung an Z3 mit k3 = 1,75
Berechne mit geeigneten Verfahren – vernünftige Berechne mit geeigneten Verfahren – vernünftige Messungen – die Fläche aller vier Dreiecke. Messungen – die Fläche aller vier Dreiecke.
Gib die Fläche der drei Bilder in Prozent vom Original an.Gib die Fläche der drei Bilder in Prozent vom Original an.
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
0,25
-1,5
1,75
Z1
Z2
Z3
A
B
C
Bild 1
Bild 2
Bild 3
So müsste jetzt deine Zeichnung
aussehen.
Wenn du vorher vernünftig nach-
gedacht hast, dann passt die Zeichnung
perfekt auf eine Heftseite
Die komplette Lösung
-32 -30 -28 -26 -24 -22 -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
x
y
0,25
-1,5
1,75
Z1
Z2
Z3A
B
C
Bild 1
Bild 2
Bild 3
Original
27
82,7 cm²
Bild 3
82,69 1,7 cm²
Bild 1
1,688
Bild 2
60,75
in Prozent
6,25
in Prozent
225
in Prozent
306,2
Mathematik 9. Jahrgang: Zentrische Streckung
Ende der
Vorstellung!