Kompakte Objekte in der Astrophysik
� Weisse Zwerge
� Neutronensterne
� Schwarze Löcher
� Beobachtung / Physikalische Prozesse
� Aufbau: Zustandsgleichung ...
� Entwicklung: Akkretion / Kühlung ...
Vorlesung im SS2004 von Christian Fendt
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Grundlagen
3. Zustandsgleichung 3a. Definitionen
-- Zustandsgleichung ==>> verknüpft thermodynamische Zustands- größen : P, T, n, S, u, µ ...
-- Verschiedene Komponenten: Elektronen, Neutronen, Ionen (Protonen, Metalle) --> Konzentration Y_i = n_i / n --> Druck: P_e, ... --> Masse / Dichte : n_e ...
-- Chemisches Potential: ~ Energieänderung bei chem. Reaktionen (Teilchenaustausch) wobei
-- Mittleres molekulares Gewicht:
--> pro Elektron:
� i =� u� n i S , V
� i � i dY i =0
1�
= Y e�� i Y i
m u
m B
� e�2
1� X H
3b. Kinetische Gastheorie
==>> Dichte im Phasenraum beschreibt System aus Teilchen:
--> Verteilungsfunktion f --> Volumen der Phasenraumzelle --> statistisches Gewicht g: g = 2S+1 (Masseteilchen) g = 2 (Photonen) ....
==> Energiedichte u:
Ruhemasse m:
==> Druck:
dDd 3 x d 3 p
=g h�3 f�x ,�p , t
u =� EdD
d 3 x d 3 pd 3 p
P =13 �
p vdD
d 3 x d 3 pd 3 p
v = p c 2/ E
E 2= p 2 c 2
�m 2 c 4
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3c. Entartung
==> Ideales Gas im Gleichgewicht:
(+) Fermionen (Fermi-Dirac-Statistik) (-) Bosonen (Bose-Einstein-Statistik)
--> kleine Dichten / hohe Temperaturen: --> Maxwell-Verteilung, f(E) << 1:
--> für vollständig entartete Fermionen T ~ 0: --> Fermi-Energie: -->
--> Fermi-Impuls p_F:
f E =1
exp E �� / kT ±1
f E �expE ��
kT
�=E F
f E =1, E �E F
f E =0, E �E F
E F2= p F
2 c 2�m e
2 c 4
--> �relativity parameter� : x = p_F / m_e c
--> Elektronendruck:
--> Dichte (Ruhemasse):
==>> Ideale Zustandsgleichung für entartete Elektronen: P(ρ) durch x
P e=13
2h 3 �0
p F p 2 c 2
p 2 c 2�m e
2 c 4 1 / 2 4� p 2 d 3 p
=8�m e
4 c 5
3 h 3 �0
x x 4
1� x 2 1 / 2 dx
=1.42180×10 25� x dyne cm� 2
� x =1
8� 2 1� x 2 23
x 3� x � ln x � 1� x 2
0=� e m u n e=0.974×10 6� e x 3 g cm�3
x =1.009×10� 2 0 /� e
1 / 3
� / kT �
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3c. Entartung
Ideale Zustandsgleichung entarteter Elektronen: --> Grenzfälle: x >> 1, x << 1,
--> Entwicklung von Φ (x) --> Darstellung von P(ρ) als Polytrope
(1) Nichtrelativistische Elektronen: ρ_0 << 10^6 g/ccm, x << 1, Φ (x) =x^5/15π^2
--> Γ = 5/3,
(2) Extrem relativistische Elektronen:
ρ_0 >>10^6 g/ccm, x >> 1, Φ (x) =x^4/12π^2
--> Γ = 4/3,
P=K � 0�
x =p F
m e c
K =1.2435×10 15� e�4 / 3 cgs
K =1.0036×10 13� e�5 / 3 cgs
Ähnlich für andere Teilchen: --> Skalierung mit Masse m_i --> statistisches Gewicht g_i
z.B. für Neutronen (Neutronenstern...): --> Grenzfälle: x >> 1, x << 1,
(1) Nichtrelativistische Neutronen: ρ_0 << 6 x10^15 g/ccm, x << 1
--> Γ = 5/3,
(2) Extrem relativistische Neutronen:
ρ_0 >>6 x 10^15 g/ccm, x >> 1
--> Γ = 4/3,
K =5.3802×10 9 cgs
K=1.2293×10 15 cgs
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3c. Entartung
Entartetes Gas in Sternen: --> wenn Phasenraum der Elektronen klein: --> Pauli-Prinzip, Fermi-Dirac-Statistik: Fermionen können nicht denselben Quantenzustand besetzen --> Hydrostatisches Gleichgewicht (ρ ~ ρ_0):
--> Virial-Theorem:
Gravitationsenergie des Sterns:
für polytropes Gas, totale innere Energie:
� q e � p e3�4 � e
12 �7
3 / 2
G m e R m u5 / 6 M 1 / 6
3
dPdr
=�G m r � r
r 2m r =�0
r� 4 � r 2 dr
W =��0
R G m rr
� 4� r 2 dr
W =�3�0
RP 4� r 2 dr
W =�3 � �1 U
--> Abstand 2er Elektronen im Phasenraum:
Maxwell-V.: --> T_m ~ M/R mittlere Temperatur --> ρ_m ~ M/R^3 mittlere Dichte
(--> krit. ρ: Maxwell-Vert. entartet)
--> Phasenraumvolumen eines Elektrons:
--> für M_o und 0.03 R_o: (∆q ∆p) ~ h^3 !!
(ähnlich für braune Zwerge, Jupiter)U =�0
Ru ' 4� r 2 dr
u ' = P / � �1 u ' =u ' �� c 2
P =�
� m u
kT W =3 M� m u
k T m
� q e � p e3�180 h 3 M
M o
1 / 2
RRo
3 / 2
� p e ~ 6m e k T m ~ 12 m e G M M u � / 7 R
� q e ~ � e m u /�1 / 3
~ 4 � e m u R3/ M 1 / 3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas:
--> polytropes Gasgesetz: Γ = 5/3 , 4/3
--> löse hydrostatisches Gleichgewicht:
durch Substitution:
--> Γ = 5/3, n=3/2, (ξ1=3.65.., ξ1^2(δ')=2.71..)
1r 2
ddr
r 2
�
dPdr
=�4�G � r
M =4� R 3 � n / 1� n n�1 K4�G
n / n � 1
�13 � n / 1� n
�12� ' �1
�=� c �n
r =a �� =1�1/ n
a=n�1 K � c
1 / n � 1
4�G
1 / 2
� � =0 for �� �1
R=1.12×10 4 km� c
10 6 g / ccm
�1 / 6
� e
2
�5 / 6
M =0.70 M oR
10 4 km
�3
� e
2
�5
--> Γ = 4/3, n = 3, (ξ1=6.89.., ξ1^2(δ')=2.01..)
R=3.35×10 4 km� c
10 6 g / ccm
�1 / 3
� e
2
� 2 /3
M =1.447 M o
� e
2
� 2
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Masse-Radius-Relation für entartetes Elektronengas (Hamada & Salpeter 1961:
MM o
=0.7R
10 4 km
�3
� e
2
�5
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3d. Chandrasekhar-Grenzmasse
MM o
=1.447� e
2
� 2
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3e. “Landau-Grenzmasse”
��
Ableitung der Chandrasekhar-Grenzmassenach Landau (1932): (auf WD und NS anwendbar)
--> Annahme N Fermionen, Radius R --> Dichte n ~ N/R^3
--> Pauli-Prinzip: Volumen pro Fermion ~1/n
--> Heisenberg'sche Unschärfe-Relation: Impuls pro Fermion ~ n^1/3 h/2π
--> Fermi-Energie des relativ. Gasteilchens:
--> Gravitative Energie pro Fermion:
(Masse: Baryonen, Druck: Elektr./Baryonen)
-->Stabiles Gleichgewicht bei minimaler totaler Energie:
--> E>0 (N klein): --> E fällt bei wachs. R --> E_F ~ (p_F)^2 ~1/R^2 fällt --> n.-rel. --> E_G > E_F für wachs. R --> E < 0 mit E->0 für R->\infty --> stabiles GG bei endlichem Radius --> E< 0 (N groß): E fällt, keine Rückkopplung bei fallendem R --> kein GG, Kollaps!
--> Maximale Anzahl im GG durch E = 0 :
--> GG Radius:
E F~h
2�n 1 / 3 c~
h c N 1 /3
2� R
E G~�G M m B
R, M =N m B
E =E F �E G~h c N 1 / 3
2� R�
G N m B2
R~
1R
N max ~hc
2�G m B2
3 / 2
~2×10 57
M max ~N max m B~1.5 M o
R�h
2�mchc
2�Gm B2
R~5×10 8 mm e
cm~3×10 5 mm n
cm
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
Zusätzliche Effekte verändern Chandrasekhar-Modell für weiße Zwerge (z.B. Hamada & Salpeter 1961):
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte: --> lokale Ladungsverteilung: --> Elektronen im C.-Potential der Ionen --> Anziehung vermindert Druck
--> Annahme: n_e konstant im Ionengitter: --> Gitterzelle um Ion mit Z Elektronen, mit Radius r_0:
--> elektrostatische Energie:
--> zw.Elektr.: --> Ion-Elektr.:
mit
--> Coulomb-Energie pro Elektron:
--> Druck durch Coulomb-Kräfte:
--> vgl: Chandrasekhar extrem relativ.:
--> klein, aber wichtig in dichten WD / wenig dichten NS ( α ~ 1/137 Feinstrukturkonstante)
4 � r 03/ 3=1/ n N
E ee =�0
r 0
q dqr
=35
Z 2 e 2
r 0
q =�Z e r / r 03
E ei = Z e�0
r 0
dqr
=�32
Z 2 e 2
r 0
E c
Z=
E ee�E ei
Z=�
910
e 2 43� n e Z 2
13
P c =n e2 d
dn e
E c
Z=�
310
e 2 43� n e
4 Z 2
13
P 0 =�h c8�
3� 2 n e4
13
P
P 0
=P 0� P c
P 0
=1�2
53
53�
13
� Z23
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
(1) elektrostatische (Coulomb-) Kräfte:
--> vgl: Chandrasekhar nicht relativ.:
--> P = 0 für
--> Beispiel Eisen: ρ_0 ~ 250 g/ccm !
(vgl. 7.86 g/ccm Laborwert ...) --> Elektronengas nicht gleichförmig bei kleinen Dichten, Rand-Effekte --> Ansatz ok für WD und große Planeten
--> besserer Ansatz: Thomas-Fermi-Methode:
--> Potential V(r) sphärisch, leicht variabel --> V(r) durch Poisson-Gleichung:
mit Dichte:
--> Thomas-Fermi-Gleichung:
--> Druck:
--> ρ klein (für große ρ: s.o.):
P 0 ~n e
53
P
P 0
=1�4�m e e 2
h 2
Z 2
2 n e
13
n e =Z 2
2�3 a 03 , a 0 =
h 2
2�m e e 2
� 0�0.4 Z 2 g / ccm
E F =�e V r �p F
2 r2 m e
=constant
�2 V r =4 � e n e�nuklearer Anteil
n e =8�
3 h 3 p F3
=8�
3 h 3 2 m e E F �e V r3 / 2
d 2�
dx 2 =�
3
xE F �e V r =
Z e 2� xr
r =� x , �=a 0 9� 2/128 Z
1 / 3
P =8�
15 h 3 m e
p F5 r 0 =
Z 2 e 2
10��4
� x 0
x 0
52
P =2h 3
13 �0
p F p 2
m e
4� p 2 dp
� x ~144 x �3 , x : P ~ x 0�10
~� 010 / 3
x 0 ,
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> bei hohen Dichten:
für
Bedingung: kein β-Zerfall:
--> erfüllt bei hoher Dichte: --> alle Energieniveaus für e besetzt
--> Mischung aus p, n, e:
--> chem. Potentiale: --> �relativ.parameter�:
Ladungserhaltung -->
--> Zustandsgleichung der (p,n,e)-Mischung:
u.ä. für innere Energie u
--> Kritische Dichte für Neutronen (x_p ~ 0):
-->
e�� p � n��
E e� m n �m p c 2=1.29 MeV
n � p�n��
� e�� p=� n
x e=p F
e
m e c, x p=
p Fp
m p c, x n=
p Fn
m n c
m e 1� x e2�m p 1� x p
2=m n 1� x n
2
m e x e=m p x p
P=m e c 2
� e3 � x e �
m p c 2
� p3 � x p
�m n c 2
� n3 � x n
n=1
3� 2� p
3 x p3�
12� 2
� n3 x n
3
x n=0, m e 1� x e2=m n �m p
n=1
3� 2� e
3
m n �m p
m e
2
�1
3 / 2
n=7.37×10 30 cm�3 0=1.2×10 7 g
cm 3
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
(2) inverser β-Zerfall (Neutronisierung):
--> Zunahme Neutronen bei höheren Dichten:
-->
--> Verhältnis n_p/n_n : -- sinkt erst für steigendes x_n -- ist minimal (=0.0026) für -- steigt dann auf 1/8 für
--> Probleme: - Neutrino-Emission - thermodyn. GG (offenes System) - n/p/e aus nukl. Reaktionsraten
m e2�m p
2 x p2�m p 1� x p
2=m n 1� x n
2
n p
n n
�18
1�4m n �m p
m n x n2 �4
m n �m p2�m e
2
m n2 x n
4
1�1/ x n2
3 / 2
� 0=7.8×10 11 gcm 3
x n �� , � 0 ��
10 7�� 0�4×10 11 g cm�3 ¿
4×10 11 gcm 3
4×10 12 gcm 3
u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n
--> Harrison-Wheeler-Zustandsgleichung: --> für: A=10^57 Baryonen --> welche Nukleonen? welcher Druck? --> Nuklearbrennen im thermodyn. GG --> stabile (minimale) Energiezustände (z.B. Eisen Fe(56,26) für A=56) --> mehr Neutronen bei höheren Dichten --> kritisches n/p Verhältnis bei --> �neutron drip�: freie Neutronen (+ Elektronen + Kerne N) definieren niedrigsten Energiezustand --> Druck durch Neutronen ab
--> Energiedichte eines (N,n,e)-Gemischs:
--> M(A,Z) = ???? (Kern-Energie, �Massengleichung�) --> Näherung von HW
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle
��
Harrison & Wheeler, 1958 (HW):
--> Zustandsgleichung P(ρ):
-- �neutron drip� bei 3.18 x 10^11g/ccm, hier: (A,Z) ~ (122, 39.1) -- 60% n-Druck bei 4.54x10^12g/ccm, hier: (A,Z) ~ (187, 48.8)
--> vgl. zu Eisen (56, 26): (ideales Elektronengas) Abweichungen ab ~ 10^7 g/ccm
--> Baym-Pethick-Sutherland, 1971 (BPS):
--> Verbesserungen für
--> A und Z sind diskret ! --> Gitter-Energie ~> nukl. Zusammens. ~> u_e
--> Phasenübergang zwischen Nukleonen --> Diskontinuität in n und ρ = u/c^2:
--> Beispiel: δρ ~ 2.9% für
Fe56 (Z/A=0.464) -> Ni62 (Z/A=0.452)
10 7�� 0�4×10 11 g cm�3 ¿
� c 2=u=n e
M A , ZZ
�u ' n e �u n n n
P= P e� P n
n=n eAZ�n n u=n N M A , Z �u ' n e �u n n n �u L
� �
��� nn
��� Z / A
Z / A
Kompakte Objekte: Universität Potsdam SS2004
��
--> Harrison & Wheeler (1958), Baym, Pethick & Sutherland (1971) und andere:
Kompakte Objekte - Zustandsgleichung
3f. Verbesserte WD-Modelle