Kapitel 4
Nutzenmaximierung und Konsumentenauswahl
1
Nutzenmaximierung und Konsumentenauswahl
• Definition der Budgetmenge und der Budgetbeschränkung.– Die Menge der möglichen Alternativen
• Darstellung der optimalen Konsumentenauswahl:Graphisch.– Nutzenmaximierung unter Budgetbeschränkung
• Mathematische Lösung: Lagrangemethode.– Zur Bestimmung der optimalen Konsumentenauswahl
2
BudgetmengeDie Budgetmenge: Gibt alle Warenkörbe an, die ein
Konsument gegeben seine Budgetbeschränkungerreichen kann.
Das Budget hängt vom Einkommen (M) des Konsumentenund von den Preisen (p) ab. Es ist gegeben durch allex=(x1, x2, …,xn) für die gilt:
n nnxpM
3
Budgetmenge• Graphische Darstellung• Die Budgetmenge ist das
Dreieck unter derBudgetbeschränkung:
• Umgeschrieben als:
ypxpM yx
xpp
pMy
y
x
y
4
BudgetmengeEine Erhöhung des Einkommens:• Die Budgetgerade wird nach außen verschoben. Die
Steigung bleibt gleich.
5
BudgetmengeEine Veränderung der Preise:• Die Budgetgerade rotiert um die Achsenabschnitte.
6
Nutzenmaximierung• Optimale Konsumentenauswahl:
• Die Wahlvariablen des Konsumenten sind x und y.• Monotonie („Mehr ist besser“) impliziert, dass die
Nebenbedingung immer bindet, d.h. der Konsumentgibt sein gesamtes Einkommen M aus.
ypxpM u.d.N. y) U(x, yx Max
7
NutzenmaximierungGraphische Lösung:
• Die MRS ist gleichdem Preisverhältnis.
• Der Trade-off desKonsumentenzwischen den Güternfindet zum gleichenVerhältnis statt wieder des Marktes (beiinneren Lösungen).
8
Nutzenmaximierung• Mathematische Lösung 1: Substitutionsmethode• Löse die Budgetrestriktion nach x oder y auf und substituiere in
U(x,y).
• Dann löse das ein-Variablen Problem:
• Bedingung erster Ordnung für x (nach Produkt- und Kettenregel)
xMyy
x
y pp
p
)pp
p,(
y
x
y
xMxUMaxx
y
x,
y
x
pp0
pp
yUxU
MRSyU
xU
yx
9
Nutzenmaximierung• Mathematische Lösung 2: Lagrangemethode• Definiere eine zusätzliche Variable λ: der Lagrange Multiplikator.
Bilde die Lagrange Funktion L(x,y;λ) durch Addition von λ mal derBudgetrestriktion.
• Bilde die Bedingungen erster Ordnung bezüglich x,y und λ:
• Kombiniere die erste und zweite BeO zu:
)pp(),();,( yx yxMyxUyxL
0pp;0p;0p yxyx
yxML
yU
yL
xU
xL
y
xyx p
pMRS ,
10
NutzenmaximierungAnwendung des Lagrange Ansatzes am Beispiel der
allgemeinen Cobb-Douglas Nutzenfunktion:
U(x,y) = xy mit α,β>0.• Der Lagrange:
ℒ = xy + (M - pxx - pyy)• Die BeOs:
ℒ/x = x-1y - px = 0ℒ/y = xy-1 - py = 0ℒ/ = M - pxx - pyy = 0
11
Nutzenmaximierung
• Die BeOs implizieren: y/x = px/py
• Daher: pyy = (/)pxx
• Durch Substitution in die Budgetbedingung:
M = pxx + (/)pxx = (( + ) /)pxx
12
Nutzenmaximierung
• Auflösen nach x ergibt
• Auflösen nach y ergibtxp
x M
*
ypy M
*
• Das Individuum wird Prozent seines Einkommens fürGut x und Prozent für Gut y ausgeben.
• Beispiel für diese Präferenzen: Ein Autofahrer, derimmer für 50 Euro tankt, unabhängig vom Benzinpreis.13
NutzenmaximierungBedingungen zweiter Ordnung:
• Die obige Tangentialbedingung istnur notwendig, i.e. sie muss keinMaximum darstellen.
• Die Bedingung zweiter Ordnunggarantiert, dass die Lösung einMaximum ist.
• Indifferenzkurven, die lokal konvexsind (Punkte A und C)
• Indifferenzkurven, die lokal konkavsind (Punkt B)
• C ist das globale Maximum.
14
NutzenmaximierungZur Rolle der Konvexität:• Wenn Präferenzen überall
konvex sind gibt es eineeindeutige Lösung für dieBedingung erster Ordnung, dieein Maximum an Nutzen(Minimum an Ausgaben beigegebenem Nutzen) impliziert.
• Konvexität macht also aus derTangentialbedingung auch einehinreichende Bedingung für eineindeutiges globales Maximum.
15
NutzenmaximierungBeispielJohn‘s Präferenzen für Hamburger h und Soda s sind gegeben
durch die quasi-konkave Nutzenfunktion:
Frage: Soda kostet 1 Euro und ein Hamburger 3 Euro. John hat einEinkommen von 6 Euro. Wie wird er es ausgeben?
Antwort: Die Budgetbedingung ist:
Gleichsetzen von MRS und Preisverhältnis wie in Graphik:
Lösung:
shshU ),(
16
NutzenmaximierungSubstitutionsmethode:• Löse die Budgetbedingung für s:
• Substituiere in John‘s Nutzenfunktion:
• BeO:
• Substituiere in Gleichung für s:
17
NutzenmaximierungLagrangemethode:• Die Lagrangefunktion:
• BeOs:
• Daraus folgt:
• Lösung:
18
NutzenmaximierungTest:
und
136
111**
hx p
hhierp
x MM
316
111**
sy p
shierp
y MM
19
Mehr als zwei GüterLagrangemethode mit mehr als zwei Gütern:
Die BeOs sind:
Ein System von n+1 Gleichungen in n+1 Unbekannten.
)xp(),...();,...( nn11 n
nn MxxUxxL
0
0
n
nn
nnn
xpML
pxU
xL
20
Mehr als zwei GüterBeispiel:
• Lagrange:
• BeOs:
• Einsetzen in Budgetbedingung:
• Lösung:
30,5,2,1),,( MpppundxyzzyxU zyx
21
Nutzenmaximierung• Randlösungen: Individuen können im Optimum auch nur
ein Gut konsumieren. Dann ist ihre Indifferenzkurve nichttangential zur Budgetbedingung.
x
y U2U1 U3
A
Nutzen wird im Punkt A maximiert
22
BeO nutzlos, wenn…
Vollkommene Komplementärgüter:
• Bedingung erster Ordnung istnicht wohl-definiert.
• Für eine Lösung gilt immerax=by
• Gleiches gilt, wenn Indifferenz-kurven Knicke aufweisen.
byaxyxU ,min),(
23
BeO nutzlos, wenn…Vollkommene Substitutionsgüter: Fall 1:
• Lineare Indifferenzkurven.
• Der optimale Konsum findet sichdurch Vergleich von a/b und px/py.
byaxyxU ),(
24
BeO nutzlos, wenn…Fall 2: Fall 3: Indifferenz
25
BeO nutzlos, wenn …• Randlösungen
• BeO haben keine Lösungmit positiven Mengen.
• Lösung muss am Randliegen: y=0
0 ybeippMRS
y
x
26
BeO nutzlos, wenn…Nicht-konvexe Präferenzen:• Lösung des Lagrange
Ansatzes ist (x1,y1)
• Optimale Lösung ist am Rand bei
ypMy
27
Ausgabenminimierung• Das Problem der Ausgabenminimierung („Expenditure
minimization“) ist das duale Problem zurNutzenmaximierung: „Verteile das Einkommen, umeinen vorgegebenen Nutzenlevel bei minimalenAusgaben zu erreichen.“
• Das Ziel und die Restriktion werden also vertauscht.
28
Ausgabenminimierung
Ausgabenlevel E2 ist gerade groß genug, um U1 zu erreichen
x
y
U1
Ausgabenlevel E1 ist zu gering, um U1 zu erreichen
Ausgabenlevel E3 erlaubt U1 ist aber nicht die Ausgaben-minimierende Lösung
A
Punkt A ist die Lösung des dualen Problems.
29
Ausgabenminimierung• Das Problem des Individuums ist es, x1,x2,…,xn so zu wählen,
dass Ausgaben (expenditures) = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxnunter der Nebenbedingung Nutzen = Ū = U(x1,x2,…,xn)minimiert werden.
• Die optimalen Mengen von x1,x2,…,xn hängen von den Preisenund dem vorgegebenen Nutzenlevel ab.
• Die Ausgabenfunktion gibt diese minimalen Ausgaben fürdiese optimalen Mengen an: E(p1,p2,…,pn,U).
30
Ausgabenminimierung• Die Ausgabenfunktion und die indirekte Nutzenfunktion
sind Inversen. Beide hängen von den Preisen ab, habenaber unterschiedliche Nebenbedingungen
• Die indirekte Nutzenfunktion für den zwei-Güter Cobb-Douglas Fall ist
• Wenn z.B. α=β=1/2 reduziert sich die Funktion zu
yx
yx
pM
pM
yxyxUppV
)()(),( )M,,( ****
yxyxyx pp
Mp
Mp
MppV22
2
)M,,(21
21
31
Ausgabenminimierung• Wenn wir die Rollen von Nutzen und Einkommen (Ausgaben)
vertauschen, finden wir die Ausgabenfunktion als
Eigenschaften der Ausgabenfunktion:
• Homogenität vom Grad Eins: Die Verdopplung aller Preise wird denWert der erforderlichen Ausgaben ebenfalls verdoppeln.
• Nicht-fallend in Preisen: E/pi 0 für jedes Gut i.• Konkav in Preisen.
UppppE yxyx 2 )U,,(
32
Kapitel 4 Konzepte• Die Budgetmenge• Die Budgetbedingung• Nutzenmaximierung• Substutitionsmethode• Lagrange Multiplikator
Methode• Der Lagrange Multiplikator
• Cobb-Douglas Nutzen• Vollkommene
Komplemente• Vollkommene Substitute• Randlösungen• Ausgabenminimierung• Die Ausgabenfunktion
33