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Abschluss 2021 Bayern - Realschule Mathematik II/III -Lösungsteil
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Vorstand:Andreas BergmoserPeter Tiarks
Aufsichtsratsvorsitz:Uwe Hoch
Autoren: Günther Wirth, Werner Wirth
Lektorat: Kevin Koch, Wolfgang Kolander, Günther Wirth, Werner Wirth
Gestaltung: Hanne Hutt
Umschlag: Konzeption + Gestaltung:Hanne HuttFotografie:Fotowerkstatt & Galerie Norbert Nieser© iStock.com/SireAnko
© Alle Rechte vorbehalten. Fotomechanische Wiedergabe nur mit Genehmigung des Herausgebers.
Ausgabe 2020/2021
ISBN: 978-3-88997-801-1
PrintproduktnatureOffice.com DE-077-178633 |
Inhaltsverzeichnis
Training1. Grundlagen .......................................................................6
2. Lineare Funktionen .........................................................10
3. Quadratische Funktionen ................................................21
4. Funktionen der indirekten Proportionalität (Hyperbelfunktionen) ......................................................29
5. Exponentialfunktionen – Wachstums- und Abklingprozesse .............................................................35
6. Quadratische Gleichungen .............................................40
7. Kreis und Kreisteile .........................................................45
8. Flächen (Konstruktion und Berechnung) .........................51
9. Körper (Konstruktion und Berechnung) ..........................60
10. Berechnungen in Abhängigkeit einer Variablen ............70
11. Interpretation von Tabellen, Graphen, Diagrammen und Schaubildern ....................................81
12. Abschließende Aufgaben zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung .............................................88
PrüfungenPrüfung 2016 – Aufgabengruppe A ..................................105
Prüfung 2016 – Aufgabengruppe B ..................................110
Prüfung 2017 – Aufgabengruppe A ..................................116
Prüfung 2017 – Aufgabengruppe B ..................................120
Prüfung 2018 – Aufgabengruppe A ..................................127
Prüfung 2018 – Aufgabengruppe B ..................................132
Prüfung 2019 – Aufgabengruppe A ..................................141
Prüfung 2019 – Aufgabengruppe B ..................................146
Prüfung 2020 – Aufgabengruppe A ..................................152
Prüfung 2020 – Aufgabengruppe B ..................................157
Quickies(Ergebnisse auf einen Blick) ...................................................163
Die Lösungswege orientieren sich am Bildungsplan der Realschule Bayern.
Training
6
Trai
nin
g
1. Grundlagen
Aufgabe 1
a) 3500 · 106 · 10-11 = 3,5 · 10
3500 · 10-5 = 3,5 · 10
3,5 · 103 · 10-5 = 3,5 · 10
3,5 · 10-2 = 3,5 · 10-2
Exponentenvergleich!
b) 0,0017 : 10-5 = 1,7 · 10
1,7 · 10-3 : 10-5 = 1,7 · 10
1,7 · 10-3 – (-5) = 1,7 · 10
1,7 · 102 = 1,7 · 102
Exponentenvergleich!
c) 0,00023 : 1000 = 0,00023 : 103 = 2,3 · 10-4 : 103 = 2,3 · 10-4 – 3 = 2,3 · 10-7
Aufgabe 2
a) 1 4x – 1 } 2 2 2 – 4 · (2x – 4) (2x + 4) + 4x
= 16x2 – 4x + 1 } 4 – 4 (4x2 – 16) + 4x
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
= 16x2 – 4x + 1 } 4 – 16x2 + 64 + 4x
= 64,25
(a + b) (a – b) = a2 – b2
b)
1 – 2 2 = 25 } 4 x2 – 4xy + 5 }
2 x 4 } 5 y 16 } 25 y2
Wurzel ziehen
Quadrieren
2 · 5 } 2 x · = 4xy
5x · = 4xy | : 5x
= 4 } 5 y
Training
7
Trai
nin
g
Aufgabe 3
-3 · (x – 5) – 1 } 2 · (x + 2) < (8x – 3) : (-2) – (-2x + 3)
-3x + 15 – 1 } 2 x – 1 < 4x + 1.5 + 2x – 3
-3 } 2 x + 14 < 6x – 1,5 | – 6x
- 9 } 2 x + 14 < -1,5 | – 14
- 9 } 2 x < -15,5 | + 9 }
2
x > -11 Fehler 1: Es muss heißen: -4x
Fehler 2: Es muss heißen: - 7 } 2 x
Fehler 3: Es muss heißen: - 15 } 2 x
Fehler 4: Es muss heißen: : 1 - 9 } 2 2
Fehler 5: Wenn man eine Zahl addiert, wird das Zeichen nicht umgekehrt.
Die Ungleichung lautet richtig:
-3 · (x – 5) – 1 } 2 · (x + 2) < (8x – 3) : (-2) – (-2x + 3)
-3x + 15 – 1 } 2 x – 1 < -4x + 1,5 + 2x – 3
- 7 } 2 x + 14 < -2x – 1,5 | – 14
+ 2x
- 3 } 2 x < -15,5 | · 1 - 2 }
3 2
x > 31 } 3
Aufgabe 4
a) V = 1 } 3 r2 p · h | · 3
3 · V = r2 p h | : p h
r2 = 3 · V } p h
| Î} h
r = Î}}}
3 · V } p h
b) A = g1 + g2 }
2 · h | · 2
2 · A = (g1 + g2) · h | : h
g1 + g2 = 2 · A } h | – g1
g2 = 2 · A } h – g1
c) O = 2 · (a · b + a · c + b · c) | : 2
O } 2 = a · b + a · c + b · c | – a · c
O } 2 – a · c = b (a + c) | : (a + c)
b = O } 2 – a · c
} a + c
Training
8
Trai
nin
g
d) cos a = 1 } Î}}}}}
1 + tan2 a
Î}}}}} 1 + tan2 a = 1 } cos a | 2
1 + tan2 a = 1 } cos2 a
| – 1
tan2 a = 1 } cos2 a
– 1 | Î} h
tan a = Î}}}}}
1 } cos2 a
– 1
Aufgabe 5
a) Das günstigste Verfahren ist hier das Einsetzverfahren.
(1) -3x + 2y = -14
^ (2) 4y – 12 = x
(2) in (1): -3 (4y – 12) + 2y = -14 -12y + 36 + 2y = -14 | – 36
-10y = -50 | : (-10)
(3) y = 5 (3) in (2): x = 4 · 5 – 12
x = 8 ⇒ {(8 | 5)}
b) (1) x – 3y + 10 = 0
^ (2) 4y – 3x = -20 Die Glieder des Systems müssen geordnet werden.
(3) x – 3y + 10 = 0 | · 3 ⇒
^ (4) -3x + 4y + 20 = 0
(5) 3x – 9y + 30 = 0
^ (4) -3x + 4y + 20 = 0
(5) + (4): -5y + 50 = 0 | – 50
-5y = -50 | : (-5)
(6) y = 10
(6) in (1): x – 3 · 10 + 10 = 0 x – 20 = 0 | + 20 x = 20 ⇒ L = {(20 | 10)}
Training
9
Trai
nin
g
Aufgabe 6
a) I. Möglichkeit (mit der Formel)
I. PW = GW · p
} 100
⇒ PW = 240 1 · 2,5 }} 100
= 6 1
II. p = PW · 100 } GW
⇒ p = 120 l · 100 } 800 l
= 15
III. GW = PW · 100 } p ⇒ GW = 45 m2 · 100 }} 2 = 1500 m2
II. Möglichkeit (Dreisatz)
Zum Beispiel bei Aufgabe I:
100% = 240 1
1% = 240 } 100
1
Einheit
neueMehrheit
2,5% = 240 · 2,5 } 100
1 = 6 1
Zum Beispiel bei Aufgabe II:
800 l = 100%
1 l = 100 } 800
%
120 l = 100 · 120 } 800
% = 15%
Zum Beispiel bei Aufgabe III:
3% = 45 m2
1% = 45 } 3 m2
100% = 45 · 100 } 3 m2= 1500 m2
b) Ersparnis bei den Stiften: Einzelpreis: 15 · 35 ct = 5,25 1 12% von 5,25 1 = 0,12 · 5,25 1 = 0,63 1
Ersparnis bei den Heften: Einzelpreis 12 · 60 ct = 7,20 1 8% von 7,20 1 = 0,08 · 7,20 1 = 0,58 1
Stefan spart bei den Bleistiften 0,63 1 und bei den Heften 0,58 1.
c) I. Eine Lösung kann hier nicht gegeben werden.
II. Beispiel 1: Beispiel 2:A: B: A: B:
500 1+ 5% ⇒ 25 1 525 1
250 1+ 10% ⇒ 25 1 275 1
200 1+ 10% ⇒ 20 1 220 1
100 1+ 20% ⇒ 20 1 120 1
Der zusätzliche Geldbetrag ist der gleiche, aber A wird stets mehr Geld haben als B.
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