- Präsentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF – E) -
Essen, 14. Mai 2011
Alexander Pech (Matrikel-Nummer 278645)
Präsentation Finanzmathematik
Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen
Inhaltsverzeichnis
1Präsentation Finanzmathematik
• Einleitung
• Finanzmathematischer Wert einer Anleihe
• Duration und relative Veränderung einer Anleihe
• Macaulay-Duration
• Duration als Elastizitätswert
• Übungsaufgabe
Einleitung
2Präsentation Finanzmathematik
Betrachtung: Risiko festverzinslicher Wertpapiere:• Bonitätsrisiko vernachlässigbar• Restrisiko: Zinsrisiko (Änderung des Kurses bei
Marktzinsschwankungen)• Marktzinserhöhung Kurs sinkt/ Endwert steigt• Marktzinserhöhung Kurs steigt/ Endwert sinktWie stark ändert sich der Kurs festverzinslicher
Wertpapiere bei Änderung des Marktzinses?
Suche nach einer Laufzeit, die die Zinseffekte überkompensiert
Finanzmathematischer Wert einer Anleihe
3Präsentation Finanzmathematik
• Bei einer Anleihe mit feststehenden Kuponzahlungen Zk zu den Zeitpunkten tk ergibt sich im Zeitpunkt t0 der finanzmathematische Wert (Barwert) C0
• In der letzten Zahlung sei der Rücknahmekurs Cn enthalten
• C0 erhällt man durch Abzinsung der künftigen Zahlungen• Unterscheidung zwischen stetiger und diskreter Verzinsung
Stetig:
Diskret:
Duration und relative Veränderung einer Anleihe
4Präsentation Finanzmathematik
• Die Änderung von C0 bei einer Änderung des Marktzinses i erhält man durch die erste Ableitung C‘0(i) bzw. das Differnzial dC0=C‘0(i) * di
• zunächst: Anwendung der stetigen Verzinsung
Daraus folgt die relative Veränderung in Abhängigkeit von der Zinsänderung di:
Duration und relative Veränderung einer Anleihe
5Präsentation Finanzmathematik
Zwischenergebnis (bei Anwendung der stetigen Zinsformel):1. Die Duration einer gegebenen Zahlungsreihe Z1, Z2,…Zn beim Marktzinsniveau i ist die Zahl D mit
2. Die resultierende relative Änderung von C0 ist gegeben durch:
Duration und relative Veränderung einer Anleihe
6Präsentation Finanzmathematik
Umgekehrt lässt sich die Duration aus der Definition definieren als:
Duration und relative Veränderung einer Anleihe
7Präsentation Finanzmathematik
Der eigentliche Bedeutung des Wortes Duration ist Länge/Laufzeit Daher kann die Duration auch anders erklärt werden:
• Der geklammerte Term ist der Barwertanteil der k‘ten Zahlung.
• Jeder zukünftitige Zahlungszeitpunkt wird entsprechend des Barwertanteils
der zugehörigen Zahlung gewichtet
Die Duration ist der gewogene Durchschnitt aller Laufzeiten
Durchschnittliche Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals bis Ende der
Laufzeit
Duration und relative Veränderung einer Anleihe
8Präsentation Finanzmathematik
Beispiel:
Duration und relative Veränderung einer Anleihe
9Präsentation Finanzmathematik
Beispiel:
Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001)
C0 sinkt um 0,41982% von 106,6156 € auf 106,1680 €
Macaulay-Duration
10Präsentation Finanzmathematik
Macaulay: Einführung des Durationsbegriffs unter Verwendung der diskreten
Zinsformel:
Macaulay-Duration
11Präsentation Finanzmathematik
Relative Änderung (ergibt sich wieder aus der ersten Ableitung):
Daraus folgt die relative Veränderung in Abhängigkeit von der
Zinsänderung di bei diskreter Verzinsung:
Macaulay-Duration
12Präsentation Finanzmathematik
Relative Änderung von C0 im Vergleich:
Bei stetiger Verzinsung:
Bei diskreter Verzinsung:
Der Term wird auch als „modifizierte Duration“ MD bezeichnet
Macaulay-Duration
13Präsentation Finanzmathematik
Beispiel:
14Präsentation Finanzmathematik
Beispiel:
Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001)
C0 sinkt um 0,38923% von 107,9854 € auf 107,5651 €
Macaulay-Duration
Duration als Elastizitätswert
15Präsentation Finanzmathematik
Frage: Wie hoch ist die relative (prozentuale) Veränderung beider
Variablen?• Durch den Elastizitätsbegriff lassen sich der Veränderungen beider Variablen
erklären:
• Unter der Elastizität des Anleihepreises C0 in Bezug auf den
Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht man den Quotienten der relativen
Veränderungen der beiden Variablen C0 und q
Duration als Elastizitätswert
16Präsentation Finanzmathematik
Die Macaulay-Duration beschreibt die prozentuale Änderung des
Anleihewertes C0 bei Änderung des Zinsfaktors um ein Prozent
Duration als Elastizitätswert
17Präsentation Finanzmathematik
Beispiel:
Die Zunahme des Marktzinses auf 8,1% stellt eine Zunahme des Zinsfaktors q in
Höhe von 0,092592% dar.
Aus folgt:
Übungsaufgabe
18Präsentation Finanzmathematik
15 15 15 15 150
Stetiger/diskreter Marktzins = 5 %
1. Berechnen Sie den Preis des Wertpapiers zum Zeitpunkt t0 unter Verwendunga) der stetigen Zinsformelb) der diskreten Zinsformel
2. Berechnen Sie die Duration und die prozentuale Veränderung von C0, wenn der Marktzins auf 5,3 % steigt, unter Anwendunga) der stetigen Zinsformelb) der diskreten Zinsformel
3. Wie hoch ist die Elastizität?
Übungsaufgabe (Lösung)
19Präsentation Finanzmathematik
stetige Verzinsung diskrete Verzinsung
Zeitpunkt Zahlung Barwert Zeitpunkt x Barwert Barwert Zeitpunkt x Barwert1 15 14,2684 14,2684 14,2857 14,28572 15 13,5726 27,1451 13,6054 27,21093 15 12,9106 38,7319 12,9576 38,87274 15 12,2810 49,1238 12,3405 49,36215 150 116,8201 584,1006 117,5289 587,6446
Summe 169,8527 713,3699 170,7182 717,3761Duration D= 4,1999 MD= 4,2021
di=0,003 0,003
d*C0/C0= stetig -1,2600%
d*C0/C0= diskret -1,2569%
Elastizität=-D= -4,2021