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Seminar in Salzburg, HLW Annahof
sRDP‐orientierte
Finanzmathematik
mit TI 82 stats
Inhalt:
I Display und Screenshots 2
II Grundbegriffe 3
III Einfache Verzinsung 3
IV Zinseszins 4
VI Äquivalenzprinzip 4
VII Unterjährige Verzinsung 5
VIII Renten 7
IX Schultilgung 9
Anhang: Leontief‐Modell 12
Brigitte Wessenberg, April 2012
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I Sichtbarmachung des Displays und Screenshots
a) GRAPH‐Link
dient für Übertragungen auf PC mittels Kabel und dazu
mitgelieferter Software, z.B. TI‐Connect:
(download von der TI‐Seite möglich.)
Bei TI connect kann man das Display , das man zeigen oder in
anderen dokumenten einbauen will, relativ einfach gewinnen. TI
screen capture anklicken.
Sie erhalten das aktuelle Bild. Dieses lässt sich speichern oder
kopieren und in anderes Dokument übertragen.
Man kann am Rechner weiterrechnen und wenn man ein weiteres Bild haben möchte auf STRG G
klicken. Geht rasch und einfach. die Bilder kann man einzeln als Dateien speichern.
b)TI 84 smart view
Wenn man keinen Graph‐link hat, so gibt es die Möglichkeit, den Rechner TI 84 zu simulieren, der eine
ähnliche Führung wie TI 82stats hat. Man erhält das Programm ebenfalls über TI Lehrermaterial. Das
Programm hat den Vorteil, dass man die einzelnen Tastenfolgen vorzeigen kann.
Man kann screenshots machen, diese speichern oder kopieren und die Tastenfolge auch als Skript
aufnehmen und mit gewählter Geschwindigkeit abspielen lassen.
90 ‐Tage freie Testmöglichkeit. Hier Finance / TVM‐Solver
*) Einige Grundaufgaben und Zusammenstellungen zum Teil von Jutta Gut, http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/zinsen.htm
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II Grundbegriffe
1. Kompetenzlisten zur Finanzmathematik
Inhalt A B C D
B6_3.2 Das Bildungsgesetz von geometrischen Folgen verstehen und
argumentieren x x
B6_3.3 Die Summenformel für endliche geometrische Reihen anwenden x x
B6_3.4 Zinseszins auf Grundlage der geometrischen Folgen modellieren und
interpretieren, sowie Berechnungen durchführen und die Ergebnisse
argumentieren
x x x x
B6_3.5 Rentenrechnungen auf der Grundlage geometrischer Reihen
modellieren, ausführen und interpretieren können, x x x x
B6_3.6 Sparformen mathematisch modellieren, berechnen, dokumentieren
und interpretieren x x x x
B6_3.7 Kredite und Schuldtilgung mathematisch modellieren, berechnen,
dokumentieren und interpretieren x x x x
2. Begriffe, die in diesem Zusammenhang auftreten
Quotient einer geometrischen Folge, Glieder einer geometrischen Folge; Geometrische Reihe Zinseszinsen Anfangskapital, Endkapital aufzinsen, abzinsen, Zinssatz Eingabe: in Prozent (bei TVM immer) bzw Dezimalzahl, z.B. i = 5% = 0,05.
dekursive Verzinsungsart nomineller Jahreszinssatz (im Zusammenhang mit unterjähriger Verzinsung) relativer unterjähriger Zinssatz konformer(= äquivalenter) unterjähriger Zinssatz p.a., p.s., p.q., p. m. …pro anno, pro semestro, pro quartale, pro mense Aufzinsungsfaktor, Abzinsungsfaktor Barwert, Endwert Verzinsungsperiode Vor‐ und nachschüssige Rentenraten Zeitlinie Tilgungsplan: Tilgungstermin; Annuität; Tilgungsquote; Restschuld (Schuldenrest)
3. Verzinsungsarten
Wenn ein Kapital für einen gewissen Zeitraum ausgeliehen wird, muss man dafür Zinsen zahlen. Es gibt
verschiedene Möglichkeiten, die Zinsen zu berechnen:
Einfache (lineare) Verzinsung:
Die Zinsen werden für die gesamte Laufzeit berechnet (proportional zur Laufzeit).
Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung):
Nach jeder Zinsperiode (z.B. am Ende des Jahres) werden die aufgelaufenen Zinsen dem Kapital
zugeschlagen und tragen von da an selbst wieder Zinsen.
Dekursive Verzinsung
Die Zinsen werden vom Anfangskapital berechnet und dem Kapital am Ende der Laufzeit bzw. der
Zinsperiode zugeschlagen. (Antizipative Verzinsung, wo die Zinsen vom Endkapital berechnet
werden und zu Beginn abgezogen werden, hat heute praktisch keine Bedeutung mehr.)
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4. Bezeichnungen:
händisches Rechnen TVM‐Solver in TI82
K0: Barwert (Anfangskapital) … PV (Present value)
Kn: Endwert (Kapital nach n Jahren) … FV (Final value)
i: Zinssatz (interest rate) … I% (Jahreszins oder konformer ZS in Prozent)
n: Laufzeit … N (Zahl d. Jahre oder Zinsperioden oder Zahl der Raten)
R: Renten … PMT (Payment)
… P/Y (regelmäßige Zahlungen pro Jahr)
… C/Y ( Verzinsungsperioden pro Jahr)
solve: Tastenfolge im TVM‐Solver: Mit dem Cursor auf die gesuchte Größe und ALPHA ENTER
III Einfache Verzinsung
Ein Kapital K0 wird n Jahre zum Jahreszinssatz i angelegt. Die Zinsen betragen K0∙n∙i, das Endkapital ist
daher
Kn = K0 ∙ (1 + n∙i)
Wir erhalten also eine lineare Funktion der Zeit.
Die einfache Verzinsung wird nur für Zeiträume unter 1 Jahr angewendet, ist nicht für TVM geeignet.
Beispiele
1. € 400,‐ werden 5 Monate zum Zinssatz i = 6% angelegt.
Kn = 400∙(1 + 5/12∙0,06) = € 410,‐
2. Welchen Betrag muss man auf ein Sparbuch mit 4% Verzinsung einzahlen, wenn man in 9
Monaten € 800,‐ abheben will?
800 = K0 ∙ (1 + 9/12 ∙ 0,04) = K0 ∙ 1,03 ⇒ K0 = 800/1,03 = € 776,70
IV Zinseszinsen
Die angelaufenen Zinsen werden am Ende jeder Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt. Das Kapital
wächst also pro Jahr um den Aufzinsungsfaktor r = 1 + i, und der Endwert beträgt
Kn = K0 ∙ rn, wobei r = 1 + i
Das Endkapital hängt also exponentiell von der Zeit ab. Einsatz des TVM‐Solvers möglich.
Beispiele für grundlegende Funktionen
3. Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von € 100,‐ in 8 Jahren bei einer Verzinsung von i = 5%?
Kn = 100 ∙ 1,058 = € 147,75
TVM: FV (N = 8, I% =5, PV = ‐100, PMT = 0, FV= solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END)
4. Wie hoch war ein Kapital, wenn es in 5 Jahren bei einer Verzinsung von i = 3% auf € 742,‐
angewachsen ist?
742 = K0 ∙ 1,035 ⇒ K0 = 742/1,03
5 = € 640,‐
TVM: PV (N = 5, I% =3, PV = solve, PMT = 0, FV = 742, P/Y = 1, C/Y= 1, END)
5
5. Jemand leiht sich € 4.000,‐ aus und zahlt nach 4 Jahren € 4.502 zurück. Welchem Zinssatz entspricht
das?
4500 = 4000 ∙ r4 ⇒ r = 4√(4500/4000) ≈ 1,03, i ≈ 3%
TVM: I% (N = 4, I% = solve, PV = 4000, PMT = 0, FV = ‐4500, P/Y = 1, C/Y= 1, END)
6. Wie lange dauert es, bis ein Kapital von € 1.500,‐ bei einer Verzinsung von 4,5% auf € 2.000,‐
anwächst?
2000 = 1500 ∙ 1,045n ⇒ n = log(2000/1500)/log(1,045) ≈ 6,5 Jahre
TVM: N (N = solve, I% = 4,5; PV = 1500, PMT = 0, FV = ‐2000, P/Y = 1, C/Y= 1, END)
V Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
Zahlungen dürfen nur dann verglichen / addiert / subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben
Stichtag auf‐ oder abgezinst wurden!
Eine mögliche sRDP‐Teilaufgabe für Teil B
7. a) Für eine Immobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet € 200.000 sofort und € 100.000 in 3 Jahren;
B bietet je € 150.000 in einem Jahr und in 2 Jahren. Berechnen Sie, welches Angebot bei einer
jährlichen Verzinsung von 5% für den Verkäufer günstiger ist. Deskriptor 3 B
Solche Aufgaben veranschaulicht man am besten durch eine
Zeitlinie:
Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des 3. Jahres aufzinsen:
A: 200 000 ∙ 1,053 + 100 000 = 331 525
B: 150 000 ∙ 1,052 + 150 000 ∙ 1,05 = 322 875
Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger.
(Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir einen anderen Bezugszeitpunkt, z.B. den Anfang des 1.
Jahres, gewählt hätten.)
A: FN (N = 4, I% =5, PV = ‐200000, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) + 100 000 331 525
B: FN (N = 2, I% =5, PV = ‐150000, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 165 375
FN (N = 1, I% =5, PV = ‐150000, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 157 500
Addition in der Zeile durchführen: 322 875
A ist für den Verkäufer günstiger.
Eine dazu passende Teilaufgabe, die nicht Operieren enthält, Rentenrechnung, könnte zB so lauten: b) Für den Kauf der Immobilie wird ein Kredit K aufgenommen. Die folgende Zeitlinie veranschaulicht zwei mögliche gleichwertige Rückzahlungsarten bei i%.
Beschreiben Sie die beiden Zahlungsweisen verbal und argumentieren Sie, ob die angegebene
Gleichung den Wert von R‘ richtig beschreibt. R‘ = R (1+r³), wobei r = 1+i bedeutet. Deskriptor 3,C,D
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VI Unterjährige Verzinsung
Oft werden die Zinsen mehrmals pro Jahr dem Kapital zugeschlagen (halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich). Für die Berechnung des unterjährigen Zinssatzes im (m ist die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr) gibt es zwei Möglichkeiten: Relativer unterjähriger Zinssatz: im = i/m
Der nominelle Jahreszinssatz wird durch die Anzahl der Zinsperioden m geteilt.
Dabei ergibt sich allerdings ein höherer jährlicher Effektivzinsatz. reff = 1+ ieff = 1
Bsp.: K0 = 100, i = 12%, n = 1
halbjährlich: i2 = 6% K1 = 100∙1,062 = 112,36 ieff = 12,36%
vierteljährlich: i4 = 3% K1 = 100∙1,034 = 112,55 ieff = 12,55%
monatlich: i12 = 1% K1 = 100∙1,0112 = 112,68 ieff = 12,68%
Vierteljährig mit TVM‐Solver bei relativem Zinssatz FN (N = 1, I% =12, PV = ‐100, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 4, END) 112,55 Konformer (äquivalenter) unterjähriger Zinssatz im
rnom = 1 + i = (1 + im)m im = m nomr 1
im wird so bestimmt, dass sich der nominelle Jahreszinssatz ergibt.
Betrachten wir wieder das Beispiel i = 12%:
halbjährlich: (1 + i2)2 = 1,12 i2 = 5,83% (statt 6% relativer Zinssatz)
vierteljährlich: (1 + i4)4 = 1,12 i4 = 2,87% (statt 3% relativer Zinssatz)
monatlich: (1 + i12)12 = 1,12 i12 = 0,95% (statt 1% relativer Zinssatz)
Vierteljährig mit TVM‐Solver bei konformen Zinssatz in % ! in Vierteljahren. FN (N = 4, I% =100(1,12^0,25‐1), PV = ‐100, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 112
Man kommt also nur zu widerspruchsfreien Ergebnissen, wenn man den konformen unterjährigen
Zinssatz verwendet! im ist immer etwas kleiner als irelativ.
Beispiele:
8. Ein Kapital von € 4.000,‐ soll bei halbjährlicher Verzinsung mit 2,75% auf ein Endkapital von € 5.000,‐
gebracht werden. Berechnen Sie die Verzinsungsdauer.
4 000 ∙ 1,02752n = 5 000 Gleichungssolver n = 4,11 Jahre
FN (N = solve, I% =2,75 ∙ 2, PV = ‐4000, PMT = 0, FV = 5000, P/Y = 1, C/Y = 2, END) 4,11268…
Besonderheit: Wenn der unterjährige Zinssatz bekannt ist, dann wird I% mit Multiplikation zu Jahreszins berechnet! Wer das nicht so mag, kann auch mit Halbjahren rechnen FN (N = solve, I% =2,75, PV = ‐4000, PMT = 0, FV = 5000, P/Y = 1, C/Y = 1, END) 8,22537…Halbjahre
9. Ein Kapital von € 3.500,‐ soll bei einem nominellen Jahreszinssatz von 5% halbjährlich verzinst
werden. Berechnen Sie, wie hoch der Betrag nach der 1. Verzinsung ist.
3500 ∙ r2 = 3586,43
FN (N =1, I% =100(1,05^0,5‐1), PV = ‐3500, PMT = 0, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 3586,43
Besonderheit: Hier ist der Jahreszinssatz gegeben und man benötigt den Halbjahreszinssatz, es kann nur der konforme Zinssatz eingegeben werden.
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VII Rentenrechnung
Eine Reihe von gleichhohen Zahlungen (Raten) in regelmäßigen Zeitabständen bezeichnet man als
Rente.
Bezeichnungen:
R: Rate
E: Endwert (Wert am Ende des Rentenzeitraums)
B: Barwert (Wert am Beginn des Rentenzeitraums)
Rentenperiode: Zeitraum zwischen zwei Raten
Nachschüssige Rente: Zahlungen am Ende jeder Rentenperiode
Vorschüssige Rente: Zahlungen am Beginn jeder Rentenperiode
Wir nehmen zunächst an, dass Rentenperiode und Zinsperiode übereinstimmen, und bestimmen den
Endwert einer n‐maligen, nachschüssigen Rente. (Die Rentenperiode sei ein Jahr.)
Wir zinsen alle Raten, beginnend mit der letzten, auf den Tag der letzten Zahlung auf:
En = R + R ∙ r + R ∙ r2 + ... + R ∙ rn‐1 = R ∙ (1 + r + r2 + ... + rn‐1)
n
n
r 1E R
r 1
Um den Endwert einer vorschüssigen Rente zu erhalten, muss man diesen Betrag noch durch ein Jahr
aufzinsen, weil das Ende des Rentenzeitraums ein Jahr nach der letzten Zahlung liegt.
Den Barwert erhält man, indem man den Endwert durch n Jahre abzinst. Man verwendet für r‐1 häufig
auch die Abkürzung v … Abzinsungsfaktor. Daher ergeben sich folgende Formeln:
nachschüssig vorschüssig
Endwert: n
n
r 1E R
r 1
n
v
r 1E R r
r 1
Barwert: n n
nn n
E 1 r v 1B R R v
r 1 v 1r
n nv
v n
E 1 r v 1B R r R
r 1 v 1r
Wenn Rentenperiode und Zinsperiode nicht gleich lang sind, muss man mit dem äquivalenten Zinssatz rechnen, z.B.:
monatliche Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: r12 = 1,05= 1,0041 zweijährige Zahlungen, Jahreszinssatz i = 5%: r² = 1,052 = 1,1025
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Beispiele: Teilaufgaben für die sRDP 10. a) Frau A. zahlt 15 Jahre lang am Ende jedes Jahres € 1.000 ein (i = 4%). Von dem ersparten Geld will
sie 20 vorschüssige Jahresraten beheben, die 5 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Berechnen Sie die Höhe der Rate. (3B) Wert 5 Jahre nach der letzten Einzahlung: Endwert (nachschüssig), aufgezinst durch 5 Jahre 1 000 ∙ 1,045 (1,0415 ‐ 1)/0,04= 24 361,76 Das ist der Barwert der neuen Rente (vorschüssig): 24 361,76 = R ∙ 1,04∙(1 ‐ 1,04‐20)/0,04 ⇒ R = 1 723,64 FN (N = 15, I% = 4, PV = 0, PMT = ‐1000, FV = solve, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 20 023,5876…∙1,04^5=24 361,76 FN (N =20, I% = 4, PV =24 361,76, PMT = solve, FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1, Beginn) 1 723,64
Anmerkung: Man kann im TVM‐Solver Zahlen verschieben: Die Zahlen sind in den Variablen
gespeichert: Finance/Vars
Man gibt die Zahlenvariable in die Zeile ein, in die man sie verschieben möchte.
Bei dieser Aufgabe möchte man die Zahl 24 361, 76 nicht nochmals eingeben, daher gibt man bei PV
die Variable FV aus VARS ein!
(So könnte eine weitere Teil B‐Teilaufgabe aussehen) b) Frau A hat insgesamt einen Betrag B angespart und möchte diesen Betrag in vorschüssigen Monatsraten in der Höhe von R abheben. Stellen Sie eine Formel auf, die die Zahl n der Monatsraten angibt, die an Frau A ausgezahlt werden. (i = Jahreszinssatz) (3A)
11. a) Frau B. nimmt einen Kredit von € 15.000,‐ mit einer Laufzeit von 10 Jahren auf, den sie in
nachschüssigen Monatsraten zurückzahlen will (i = 8%). Berechnen Sie die Höhe der Raten. (3 B) Den Aufzinsungsfaktor erhalten wir aus dem konformen Monatszinssatz: r = 1 + i12 =
12√1,08 = 1,0064 Die Kreditsumme ist der Barwert, es sind 120 nachschüssige Raten zu zahlen: 15000 = R ∙ (1 ‐ 1,0064‐120)/0,0064 ⇒ R = 179,79 FN (N = 120, I% =8, PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 12, C/Y= 1, END) 179,79 … Y ist das Jahr oder auch in Monaten mit konformen Zinssatz, Y ist ein Monat FN (N = 120, I% =100(1,08^(1/12)‐1), PV = 0, PMT = solve, FV =0, P/Y = 1, C/Y= 1, END) 179,79 b) Frau B kann einen Kredit K mit monatlichen vorschüssigen Raten von 170 € in 10 Jahren bei 8%
Jahreszinsen begleichen.
Die Bank ändert die Zinskondition nach der folgenden Grafik:
Argumentieren Sie, was sich ändern muss, wenn die Rückzahlung trotzdem zu gleichen Zeit beendet
sein soll. Erklären Sie, welcher mathematische Ansatz zu genauen Berechnungen von geänderten
Werten führt. (3 D;A)
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12 a) Herr N. muss 20 nachschüssige Quartalsraten von € 300,00 zahlen. Er will diese Verpflichtung durch zwei nominell gleich hohe Beträge Z sofort und am Ende des 3. Jahres ablösen. Berechnen Sie die Höhe dieser Beträge (Jahreszinssatz i = 6%). (3 B)
Z∙ 1,065 + Z ∙ 1,062 = 300 ∙ 5
0,25
1,06 -1
1,06 -1 Z = 2 808,84
FN (N = 20, I% =6, PV = 0, PMT =‐300, FV = solve , P/Y = 4, C/Y= 1, END) 6914,87/(1,06^5+1,06^3) 2 808,84
b) Die Grafik zeigt die Entwicklung eines Kapitals E,
das Herr N. durch jährliche gleichbleibende Raten R
bei 10 % Zinseszins anspart. Entnehmen Sie der Grafik
die ungefähren Jahresraten R und geben Sie mit Hilfe
der Formeln der Rentenrechnung die
Funktionsgleichung an.
(3 C,A)
Lösungsmöglichkeit:
Jahresratenablesung: 1 | 250 der jährliche Sparbetrag Betrag wird mit € 250,‐ abgelesen (Ungenauigkeit wird toleriert)
Man kann R bei t = 1 ablesen, weil
1
1
r 1E R R
r 1
Mit dem TR sucht man die Funktionsgleichung am besten, indem man einige Punkte abliest. Die allgemeine Endwertformel für nachschüssige Renten ergibt den jeweiligen Spargesamtbetrag
n
n
r 1E R
r 1
E(t) = 250 ∙ ( 1,1 t ‐1) / 0,1 =2500 ∙ 1.1 t ‐ 2500
VIII Schuldtilgung
Es gilt das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik!
Begriffe:
Annuität: Jährliches Gesamterfordernis an einen Schuldner
Tilgungsquote: Betrag, um den die Schuld in diesem Jahr vermindert wird
Restschuld (besser Schuldrest) ist jene verbleibende Schuld, die nach Abzug aller bisherigen
Tilgungsquoten übrigbleibt.
Tilgungsdauer: Zeitraum für die gesamte Tilgung der Schuld
Tilgungsplan Tabelle, wo für jedes Jahr eine Zeile gilt mit Angabe von:
Zeilennummer Annuität Zinsen der Restschuld Tilgungsquote Restschuld
A … bekannt Z = 0,01p ∙ Rvorjahr T = A ‐ Z R = S ‐ T
Beispiel: Kredit von € 50.000,00 bei 4 % Jahreszins und gegebenen Annuitäten
0 50 000
1 10 000 50 000 ∙ 0,04 = 2 000
10 000 – 2 000= 8 000
50 000 – 8 000 = 42 000
2 8 000 42 000 ∙ 0,04 = 1 680
8000 – 1 680 = 6 320
42 000 – 6 320 = 35 680 usw
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Mögliche Matura‐Teilaufgaben:
13 a) Deskriptor 3 B
Es wird ein Kredit von € 10.000,00 aufgenommen, der mit nachschüssigen jährlichen
Rückzahlungsraten (Annuitäten) bei einer jährlichen Verzinsung von 3,75% in 8 Jahren zurückgezahlt
werden soll. Stellen Sie den Tilgungsplan für die ersten 2 Jahre auf.
Zunächst wird die Annuität (konforme jährliche Einzahlung) berechnet:
FN (N = 8, I% =3,75, PV = 10000, PMT =solve, FV =0 , P/Y = 1, C/Y= 1, END) 1 469,98.. = A
... jährliche Forderung an den Schuldner!
Zeilennummer Annuität Zinsen d.Restschuld Tilgungsquote Restschuld
Nr A … berechnet Z = 0,0366 ∙ RVorjahr T = A ‐ Z R = S ‐ T
0 10 000
1 1 464,5 375 1 094,98 8 905,02
2 1 464,5 333,94 1 136,04 7 768,97
usw
Einzelberechnungen: nach Fragestellung die Zeilen ausfüllen
bal(K) Restschuld nach K Zahlungen (balance) Finance /9
∑Prn(K, M) Summe der Tilgungen der Zahlungen K bis M (principal) Finance /0
∑Int(K, M) Summe der Zinsen der Zahlungen K bis M (interest) Finance /alpha A
Im Hauptschirm: bal (1) 8905,02. Restschuld im Jahr 1
∑Prn(1, 1) = 1 094,98 Tilungsrate im Jahr 1
∑Int(1, 1) = 375 Zinsen im Jahr 1
b) Deskriptor 3 D
Argumentieren Sie ohne Rechnung, was sich in einem Tilgungsplan verändert, wenn der Kreditnehmer
mit dem Kreditgeber vereinbart, dass er ein Jahr lang die Rückzahlungen einstellen kann, trotzdem aber
in der gleichen Zeit den Kredit zurückzahlen möchte. 3 D
Für dieses Jahr fällt die Annuität aus (A = 0). Dadurch kommen die Zinsen zur Restschuld dazu, die
Tilgungsquote ist negativ (‐Z). Damit man den Kredit im gleichen Zeitraum zurückzahlen kann, müssen
die Annuitäten anschließend neu berechnet werden und fallen entsprechend höher aus.
Tilgungsplan komplett mit TI 82 stats.
14) Eine Schuld von S 100.000.‐ soll in 10 Jahren bei einem Zinssatz i = 5 % zurückgezahlt werden.
Erstellen Sie einen kompletten Tilgungsplan!
Mit dem TVM‐Solver können die Daten eingegeben und die
Annuität berechnet werden, sie beträgt 12.950,46.
Mit Hilfe von Listen und Folgen kann der komplette Tilgungsplan im
Zusammenhang mit den Solverwerten erstellt werden.
Folgen gibt man mit seq ein
11
Lists / OPS/ 5 seq (Ausdruck, Variable, Anfangswert, Endwert [,Schrittweite]) ergibt eine Liste über die
Berechnung des Ausdrucks mit x für die Variable x, von Beginn bis Ende, Schrittweite kann man auch
eingeben)
Man definiert vier Listen über das Menü
STAT > 1:Edit > INS > Name folgendermaßen:
JR="seq(X,X,1,N) … Ausdruck ist x, Variable = x, 1 ist Beginn, N ist Ende
ZS="seq(‐∑Int(X,X),X,1,N)
TG="seq(‐∑Prn(X,X),X,1,N)
RT="seq(bal(X),X,1,N)
die Laufzeit N muss aus dem Menü [FINANCE] > VARS > 1:N. eingegeben werden.
Durch die Anführungszeichen ‐ " ‐ bleibt die Eingabe als veränderbare Formel erhalten, durch das
negative Vorzeichen bei ZINS und TILG erhalten wir positive Beträge.
[STAT] > 1:Edit durch Scrollen sieht man den Tilgungsplan. In der
Tabelle können nur 5 signifikante Stellen ausgegeben werden, aber in
der Anzeige in der unteren Zeile kann der exakte Wert erfragt werden,
etwa ZINS(5)=3286,63.
Änderungen der Variablen N,
PV, I% und PMT passen den Tilgungsplan nun automatisch an. Soll
beispielsweise die Schuld von 100.000.‐ bei 5 % durch Annuitäten in der
Höhe von 10.000.‐ getilgt werden, lässt man vom TVM‐Solver die Laufzeit
berechnen. Es ergeben sich 14 volle und eine Rest‐Annuität.
Schaltet man nun zu [STAT] > 1:Edit um, so findet man hier den
angepassten Tilgungsplan.
Visualisierung:
Die Entwicklung der Zinsen und der Tilgungen kann mit Statistik‐Plots
grafisch dargestellt werden. Im Menü [STAT PLOT] > 1:Plot 1 definiert
man als Xlist das Jahr, als Ylist den Zins, in 2:Plot 2 als Ylist die Tilgung.
Dazu müssen die Listen JAHR, ZINS und TILG aus dem Menü [LIST] >
NAMES aufgerufen werden. (Bild 13)
Nun muss über [WINDOW] ein geeigneter Ausschnitt definiert werden,
etwa das Intervall [0, 10] für die X‐Werte und [0, 15000] für die Y‐Werte.
Mit [GRAPH] können nun Zinsen und Tilgungen grafisch d (Diese Anleitung stammt von Markus Paul, HAK Innsbruck)
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Anhang: Leontief‐Modell auf dem TI 82stats
Drei Abteilungen R, S und T sind nach dem Modell von Leontief miteinander verflochten. Es ist die Inputmatrix der Waren bekannt:
A = a) Ergänzen Sie die fehlenden Zahlen der Inputmatrix.
Interpretieren Sie, was A über den Eigenverbrauch der 3 Abteilungen aussagt und wie viel der Waren von R in die Abteilungen S und T für deren Produktion fließen. 2,C,D
b) Im vergangenen Quartal produzierte R Waren im Wert von 800 GE, S im Wert von 1000 GE und
T im Wert von 500 GE. Zeigen Sie durch Berechnung, wie Sie zur gegebenen Tabelle kommen, die sowohl die Lieferungen der Abteilungen untereinander, als auch die Lieferungen in den externen Konsum wiedergibt. Dokumentieren Sie die einzelnen Rechenschritte. 2,B
für
von R S T N X
R 440 250 100 10 800
S 160 800 0 40 1000
T 80 100 275 45 500
c) Erstellen Sie den Gozintographen der Güterströme gemessen in GE aus den Daten der Tabelle in B
und interpretieren Sie die Grafik 2A,C
Lösung mit einem TI82stats
a) Den Eigenverbrauch liest man in der Hauptdiagonale ab:
R benötigt 55 % der Produktion selber, S 80% und T 55 %. RS 25%, RT 20 %
b)
Es gilt der folgende Zusammenhang: Produktion (X) = Nachfrage (N) + interner Verbrauch (A ∙ X)
X = N + AX X ‐ AX = N (E – A) X = N E ist die Einheitsmatrix.
Nachfrage N = (E – A) X bekannt ist:
X =
Die Nachfrage erhält man mit der folgenden Eingabe:
A ist in [A] gespeichert
X wird in [B] editiert: Matrix/ Edit [B] 3x1 eingeben und QUIT
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(Matrix/Math Identity (3) – [A])* [B] eingeben
Die einzelnen Waren mit den Geldwerten (= Leontief‐Matrix) erhält man, wenn man die Zeilenelemente
der Inputmatrix jeweils mit den Spaltenelementen der Produktion multipliziert:
Man kann das mittels Matrizenrechnung so ausführen:
Zusammenfassung in der Leontief‐Tabelle:
Input in den Spalten für
von R S T Nachfrage Produktion
R 440 250 100 10 800
S 160 800 0 40 1000
T 80 100 275 45 500
Output in den Zeilen
c) Aussage: Gozintograf der Güterströme gemessen in
Geldeinheiten.
R produziert Waren im Wert von 800 GE
R braucht selber R‐Waren im Wert von 440 GE
R gibt an S Waren im Wert von 250 GE = 25% der S‐Produktion
R gibt an T Waren im Wert von 100 GE = 20 Prozent der T‐
Produktion
und gibt in den Konsum den Warenwert 800‐440‐250‐100 = 10
GE
S produziert Waren im Wert von 1000GE
S benötigt selber S‐Waren im Wert von 800 GE = 80 Prozent
der S‐Produktion
S gibt an R Waren im Wert von 160 GE = 20 % der R‐Produktion
S gibt von T nichts
S gibt in den Konsum den Warenwert von 1000 – 800 ‐ 160 = 40 GE
T produziert Waren im Wert von 500 GE
T benötigt davon selber Waren im Wert von 275 GE = 55% der T‐Produktion
T gibt an R Waren im Wert von 80 GE = 10% der R‐Produktion
T gibt an S Waren im Wert von 100 GE = 10% der S‐Produktion
T gibt in den Konsum den Warenwert von 500 – 275 – 80 ‐ 100 = 45 GE