Zielsetzung von Modellierung

• Prozessverständnis (konzeptionelle Modelle)

• Quantifizierung und Vorhersagen (realitätsnahe

Modelle)

• Real nicht durchführbare Experimente

Grundprinzip der Modellierung dynamischer Systeme

Aus der Kenntnis

– der Änderungsrate eines Systems und

– seines gegenwärtigen Zustandes

kann durch Integration der Differentialgleichung der zukünftige Systemzustand berechnet werden

Dynamische Modelle

Speziell: Reservoir- oder Box-Modelle

Fazies, Klima, Paläozeanographie und Modellierung – M. Schulz

Ein einfaches Reservoir-Modell

Reservoir- oder Box-Modelle

• Reservoir = Materialmenge, die sich durch

bestimmte physikalische, chemische oder

biologische Eigenschaften auszeichnet und unter

den speziellen Annahmen eines Modells als

homogen betrachtet werden kann.

(z. B: CO2 in der Atmosphäre, Wassermenge in einem Stausee)

• Fluss = Materialmenge, die pro Zeiteinheit von

einem Reservoir zu einem anderen transferiert wird.

Ein einfaches Reservoir-Modell

Reservoir (Masse M)

Fluss hinein Fluss heraus

Gleichungen für das Box-Modell

(Änderungsrate der Wassermasse im Reservoir) =

(Fluss hinein) – (Fluss heraus)

i o

dMF F

dt

…oder für das Wasservolumen, V im Reservoir

w i o w i o

dVF F Q Q

dt

(NB: Massenerhaltung ist nicht notwendigerweisegleichbedeutend mit Volumenerhaltung.)

Massenfluss [kg/s]

Volumenfluss [m3/s]

Ein einfaches Reservoir-Modell

a [Liter/min]

V (Liter)

k [1/min] * V [Liter]

i odV

Q Q a kVdt

• konstanter Einstrom: Qi = a

• Ausstrom proportional zum Wasserstand im Reservoir ( Druck): Qo ~ V = k· V

Numerische Lösung der Reservoir-Modell Gleichungen

1 0

1 0

2 1

1

1 0

( )

( )

( )n n

t ti o

t t i o

t t i o

t t i o

V VdV VQ Q

dt t t t

V V t Q Q

V V t Q Q

V V t Q Q

Lösung mittels sog. “finiter Differenzen” (Näherungs-lösung!)

“Euler Methode”

Anfangsbedingung

Zeit

Numerisches Reservoir-Modell

D:\Fazies_Klima\Reservoir_1.gsp

„Kontroll“-Experiment mit dem Reservoir-Modell

• Modell „Reservoir_1“ via Desktop starten

• Wie groß ist das Volumen am Ende der

Integration für:

– a = 2,0 Liter/min

– k = 0,5 min-1

– Initiales Volumen = 0.0 Liter

„Sensitivitäts“-Experimente mit dem Reservoir-Modell 1

• Wie ändert sich das Volumen und dessen zeitliche Entwicklung

für die initialen Volumina V0 = 2 und 10 Liter?

• Wie beeinflusst die Einstromrate das finale Volumen?

• Wie ändert sich das Volumen und dessen zeitliche Entwicklung

für k = 0.0 und 2.0 min-1?

• Allgemeine Fragen:

– Wieso wird der Zustand am Ende der Rechnung als

„Gleichgewichtszustand“ bezeichnet?

– Wie lange verbleibt ein Wassermolekül durchschnittlich im

Reservoir?

• Gleichgewichtszustand heißt der Zustand, bei dem sich das Volumen im Reservoir nicht mehr ändert, d. h.,

Im Gleichgewichtszustand ist der Einstrom genauso groß wie der Ausstrom. (NB: Der Gleichgewichts-zustand ist nicht notwendigerweise ein „statischer“ Zustand!)

• Für das Volumen im Gleichgewichtszustand gilt:

0i o i odV

Q Q Q Qdt

0dV a

a kV Vdt k

Verweilzeit ist die Zeit, die das Wasser im

Gleichgewichtszustand durchschnittlich im

Reservoir verbleibt:

42

2 /i

V lmin

Q l min Charakteristische Kenngröße

eines Reservoirs

Sensitivitäts-Experimente mit dem Reservoir-Modell 2

• Was passiert, wenn nach 15 Minuten die Einstromrate

verdoppelt wird?

Modell Reservoir_2_doubleinflow“ vom Desktop starten

• Wie beeinflusst der Zeitpunkt der Verdopplung das Volumen im

Gleichgewichtszustand?

• Wieso läuft das Reservoir nicht über?

D:\Fazies_Klima\Reservoir_2_doubleinflow.gsp