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Willi BohlWolfgang Elmendorf

Technische Strömungslehre

Kamprath-Reihe

Prof. Dipl.-Ing. Willi BohlProf. Dr.-Ing. Wolfgang Elmendorf

TechnischeStrömungslehre

Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen, Hydrostatik,Aerostatik, Inkompressible Strömungen, Kompressible

Strömungen, Strömungsmesstechnik

13., überarbeitete und erweiterte Auflage

Vogel Buchverlag

Prof. Dipl.-Ing. WILLI BOHL

Jahrgang 1936. Nach dem Abitur 1955 und anschließendem Industriepraktikum studierte er bis 1960 Maschinenbau an der Technischen Hochschule Karlsruhe (heute Universität) mitabschließendem Diplom. Einer zweijährigenIndustrietätigkeit folgte die Dozentur an derFachhochschule Heilbronn. Prof. Bohl betreute bis 1999 die Vorlesungen und Übungen für Strömungslehre und Strömungsmaschinen undwar Leiter des Labors Strömungsmaschinen.

Von den Autoren sind folgende Vogel-Fachbüchererschienen:

W. BOHL/W. ELMENDORF: Strömungsmaschinen 1W. BOHL: Strömungsmaschinen 2W. BOHL/W. ELMENDORF: Technische Strömungs-lehre

Prof. Dr.-Ing. WOLFGANG ELMENDORF

Jahrgang 1960. Nach dem Abitur 1979 und demWehrdienst studierte er bis 1986 Maschinenbau ander RWTH Aachen. Während der nachfolgendenwissenschaftlichen Tätigkeit am Institut für Strahlantriebe der RWTH beschäftigte sich Wolfgang Elmendorf insbesondere mit Transsonik-und Überschallverdichtern. Nach der Promotion1994 arbeitete er bei der Siemens AG KWUzunächst in der Verdichterentwicklung und übernahm später die Verantwortung für die Anlagenbewährung und Rotordynamik der Gasturbinen.Prof. Dr.-Ing. W. Elmendorf, seit 1999 Nachfolgervon Prof. W. Bohl an der Fachhochschule Heilbronn, ist dort für Vorlesungen und Labore im Bereich Strömungstechnik/Strömungsmaschinenverantwortlich.

Weitere Informationen unterwww.vogel-buchverlag.de

ISBN-13: 978-3-8343-3029-1ISBN-10-3-8343-3029-913. Auflage. 2005Alle Rechte, auch der Übersetzung, vorbehalten.Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form(Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder einem anderenVerfahren) ohne schriftliche Genehmigung desVerlages reproduziert oder unter Verwendungelektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigtoder verbreitet werden. Hiervon sind die in §§ 53, 54 UrhG ausdrücklich genannten Ausnahmefälle nicht berührt.Printed in GermanyCopyright 1971 by Vogel Industrie Medien GmbH & Co. KG, Würzburg Satzherstellung und digitale Bildbearbeitung: Fotosatz-Service Köhler GmbH, Würzburg

Nachdem in der 12. Auflage Kapitel 4 – inkompressible Strömungen – gründlich überarbeitetwurde, wurden für die 13. Auflage Kapitel 5 und 6 aktualisiert. Eine systematisch vertiefte Dar-stellung der kompressiblen Strömungen sowie Erweiterung und Stand der Technik der für diePraxis so bedeutsamen Strömungsmesstechnik stehen jetzt zur Verfügung. Die mehr als 40-jährige Lehr- und Praxiserfahrung von Prof. Dipl.-Ing. Willi Bohl sowie die 20-jährige Erfahrungvon Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Elmendorf – beide haben sich intensiv mit strömungstechnischenAbläufen in Industrie und Forschung beschäftigt – sind Grundlage dieses Lehrbuches. Das giltauch für entsprechende Erfahrungen aus der langjährigen Betreuung von Studien- und Diplom-arbeiten, die meist über einen engen Industriekontakt im Labor für Strömungsmaschinen derFachhochschule Heilbronn von den Autoren betreut wurden.

In erster Linie dient das Lehrbuch Studierenden im Maschinen- und Anlagenbau sowie derVersorgungs- und Verfahrenstechnik. Wichtige Grundgleichungen wurden abgeleitet und Gren-zen der Genauigkeit der Berechnungen erläutert. 46 durchgerechnete Beispiele zum jeweiligenThema festigen das Gelernte.

Zahlreiche Tabellen, Diagramme mit Stoffeigenschaften und empirische Beiwerte ermögli-chen dem Ingenieur und Techniker in der täglichen Praxis, das Lehrbuch als Nachschlagewerkfür Lösungen von strömungstechnischen Aufgaben zu nutzen. Besonders ausführlich ist dasThema Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen bearbeitet. Zur Bewältigung mathemati-scher und physikalischer Berechnungen genügen Kenntnisse der einfachen Mechanik, der Diffe-rential- und Integralrechnung.

Da das Buch auch als Vorlesungsbegleitbuch an Hochschulen, Fachhochschulen und ver-gleichbaren Bildungseinrichtungen verwendet wird, wurden die abgeleiteten bzw. aus anderenQuellen übernommenen Gesetzmäßigkeiten und Gleichungen (von wenigen Ausnahmen abge-sehen) als Größengleichungen geschrieben; sie gelten demnach unabhängig vom verwendetenMaßsystem. Die Bezeichnungen der physikalischen Größen und Werte entspricht weitestgehendden einschlägigen ISO- und DIN-Normen sowie VDI-Richtlinien. Wir bedanken uns beim VogelBuchverlag für die fachmännische Beratung und Unterstützung sowie den gewohnt sorgfältigenDruck.

Resonanz zum Thema und den vermittelten Lösungswegen ist uns stets willkommen: Prof.Dipl.-Ing. W. Bohl, Prof. Dr.-Ing. W. Elmendorf: [email protected]. bzw.: [email protected].

Heilbronn Willi BohlWolfgang Elmendorf

Vorwort

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Dichte, spezifisches Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2 Dichte von Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3 Dichte von Gasen und Dämpfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Dichte von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Schallgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Viskosität Newton’scher Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2.1 Dynamische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2.2 Kinematische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2.3 Temperaturabhängigkeit der Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.2.4 Druckabhängigkeit der Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2.5 Arbeitsunterlagen und Gebrauchsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Viskosität nicht Newton’scher Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5 Thermische Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.2 Spezifische Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3 Gaskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.4 Enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.5 Dampfdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6 Oberflächenspannungen und Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.2 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6.3 Haftspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.4 Grenzflächendruck (Kapillardruck) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.5 Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1 Ausbildung der freien Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Hydrostatischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.3 Erzeugung des hydrostatischen Druckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3.1 Kolbendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3.2 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.3.3 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.3.4 Kommunizierende Gefäße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3 Druckkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1 Druckkräfte bei Wirkung des Kolbendruckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1.1 Druckkräfte gegen ebene Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1.2 Druckkräfte gegen gekrümmte Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.2 Druckkräfte bei Wirkung des Schweredruckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.2.1 Druckkräfte gegen ebene Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.2.2 Druckkräfte gegen gekrümmte Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.2.3 Aufwärts gerichtete Vertikaldruckkraft (Aufdruckkraft) . . . . . . . . . . . . . . 66

Inhaltsverzeichnis

8 Inhaltsverzeichnis

2.4 Auftrieb und Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.1 Statischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.2 Thermischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.3 Schwimmen und Schweben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.4 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4.2 Stabilität von vollständig eingetauchten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.4.3 Stabilität von teilweise eingetauchten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3 Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.2 Zusammensetzung der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.3 Schichtung der Atmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4 Isotherme Schichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Isentrope Schichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6 Normatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Inkompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.3.1 Kontinuitätsgleichung (Durchflussgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.2 Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.2.1 Energiegleichung längs einer Stromlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3.2.2 Energiegleichung längs einer Stromröhre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3.2.3 Verschiedene Druckbegriffe in einem strömenden Fluid . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.2.4 Einige praktische Anwendungen der Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.3 Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.3.4 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.4.1 Allgemeine Ableitung und Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3.4.2 Anwendungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.5 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3.5.1 Allgemeine Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.3.5.2 Spezielle Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.5.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.4 Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.4.2 Ähnlichkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.4.3 Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.4.4 Froude-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.5 Modellversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.6 Strömungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.6.2 Laminare und turbulente Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.6.3 Umströmung von Kreiszylindern und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.6.4 Strömende und schießende Bewegung bei Strömungen

mit freier Oberfläche unter Schwereeinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6.5 Turbulenzgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.7 Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen (Rohrhydraulik) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7.1 Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7.1.1 Stationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7.1.2 Instationäre Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.7.2 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt

bei laminarer Strömung (Re < 2320) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.7.3 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt

bei turbulenter Strömung (Re > 2320) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.7.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.7.3.2 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.7.3.3 Druckabfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.7.4 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt

bei Strömung nicht Newton’scher Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.7.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.7.4.2 Fließgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1684.7.4.3 Repräsentative Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.7.4.4 Druckverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.7.5 Druckabfall in gewellten Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1704.7.6 Rohre mit nicht kreisförmigen Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.7.6.1 Hydraulischer Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1724.7.6.2 Bestimmung der Rohrreibungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.7.7 Strömungsverluste in Rohrleitungselementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.7.7.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.7.7.2 Rohreinläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.7.3 Rohrausläufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.7.4 Querschnittsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1814.7.7.5 Richtungsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.7.7.6 Rohrverzweigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.7.7.7 Dehnungsausgleicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.7.7.8 Absperr- und Regelorgane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094.7.7.9 Drosselgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.7.7.10 Filter und Siebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.7.7.11 Zusammengesetzte Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.7.8 Einlaufstrecke (Rohreinlauf) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264.7.9 Spaltströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.8 Strömung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.8.2 Geschwindigkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2394.8.3 Fließformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.8.4 Hydraulisch optimale Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.9 Ausfluss aus Behältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.9.1 Ausfluss durch kleine Öffnungen bei konstantem Druckunterschied

und konstanter Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464.9.2 Ausfluss ins Freie durch große Öffnungen unter dem Einfluss

der Schwere bei konstanter Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2524.9.3 Ausfluss unter Gegendruck bei konstantem Niveauunterschied . . . . . . . . . . 2544.9.4 Ausfluss bei veränderlicher Spiegelhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2544.9.4.1 Ausfluss aus kleinen Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere . . . . . . . . . 2544.9.4.2 Instationärer Ausfluss unter Gegendruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

4.10 Umströmung von Körpern (Außenströmung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.10.1 Strömungsbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.10.2 Kraftwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684.10.2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684.10.2.2 Reibungswiderstand (Flächenwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.10.2.3 Radscheibenreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2724.10.2.4 Druckwiderstand (Formwiderstand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.10.2.5 Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.10.3 Luftkräfte an Fahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.10.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.10.3.2 Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2854.10.3.3 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2864.10.3.4 Seitenwindkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2874.10.4 Schwebegeschwindigkeit von Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

4.11 Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.11.2 Kurze Einführung in die Geschichte der Tragflügeltheorie . . . . . . . . . . . . . 290

Inhaltsverzeichnis 9

4.11.3 Profilgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2924.11.4 Kräfte am unendlich breiten Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.11.5 Druckverteilung am Profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.11.6 Polardiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2974.11.7 Induzierter Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

5 Kompressible Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.2 Schallausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.3 Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

5.3.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3085.3.2 Energiegleichung, Isentrope und Polytrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3095.3.3 Thermodynamische Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.3.4 Impulssatz und Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

5.4 Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3145.5 Rohrströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

5.5.1 Druckabfall bei beliebigem Wärmeaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3165.5.2 Druckabfall bei isothermer Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.5.3 Druckabfall bei adiabater Strömung (Fanno-Strömung) . . . . . . . . . . . . . . . 3205.5.4 Druckabfall bei adiabater Drosselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

5.6 Ausströmvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.6.1 Ausströmen aus Druckbehältern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.6.1.1 Ausströmgeschwindigkeit und Mach-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3255.6.1.2 Austretender Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3285.6.1.3 Kritischer Zustand für eine reibungsfreie Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3305.6.1.4 Kritischer Zustand für eine reibungsbehaftete Strömung . . . . . . . . . . . . . . 3335.6.2 Ausströmen mit Vorgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3385.6.3 Laval-Düse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3395.6.3.1 Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsfreie Strömung . . . . . . . . 3405.6.3.2 Verhältnisse im Auslegungspunkt für eine reibungsbehaftete Strömung . . . . . 3425.6.3.3 Strömungsverhältnisse bei nicht angepasstem Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . 3435.6.3.4 Konstruktive Gestaltung von Laval-Düsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

5.7 Verdichtungsstöße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3465.7.1 Senkrechter Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3475.7.2 Schräger Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

5.8 Prandtl-Meyer-Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.9 Verdichtungsströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3525.10 Umströmung von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

5.10.1 Strömungsbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3555.10.2 Druck- und Temperaturerhöhung im Staupunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3565.10.3 Widerstand von umströmten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.10.3.1 Widerstand der ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.10.3.2 Widerstand räumlich ausgedehnter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585.10.4 Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3595.10.4.1 Tragflügel in reiner Unterschallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3605.10.4.2 Tragflügel mit örtlichen Verdichtungsstößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3605.10.4.3 Tragflügel in reiner Überschallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

6 Strömungsmesstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3636.1 Druckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3636.1.2 Druckentnahme und Anbringung von Druckmessgeräten . . . . . . . . . . . . . 3636.1.3 Flüssigkeitsdruckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3666.1.4 Kolben-Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3706.1.5 Federelastische Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716.1.6 Elektrische Druckmessgeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

10

Inhaltsverzeichnis 11

6.1.6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.1.6.2 Widerstandsdruckmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3726.1.6.3 Kapazitive Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3736.1.6.4 Induktive Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3736.1.6.5 Piezoelektrische Druckaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

6.2 Geschwindigkeitsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746.2.1 Rotierende Stromwegmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746.2.2 Staurohre und Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776.2.2.1 Druckbegriffe in strömenden Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776.2.2.2 Totaldrucksonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.2.2.3 Statische Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3796.2.2.4 Staudrucksonden (Staurohre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3806.2.2.5 Strömungsrichtungssonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3826.2.3 Thermische Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3856.2.4 Optische Messsonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

6.3 Füllstandsmessung (Niveaumessung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3896.4 Volumenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3916.5 Durchflussmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

6.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.5.2 Netzmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.5.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3946.5.2.2 Anordnung und Anzahl der Messpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3956.5.2.3 Referenzmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3966.5.2.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3976.5.3 Wirkdruckverfahren mit Drosselgeräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3996.5.4 Durchflussmessung in offenen Gerinnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.5.4.1 Messwehre (Überfallwehre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4116.5.4.2 Venturi-Kanäle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4136.5.5 Schwebekörper-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4146.5.6 Magnetisch-induktive Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4156.5.7 Ultraschall-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4166.5.8 Wirbelzähler-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4186.5.9 Spezielle Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4196.5.9.1 Durchflussmessung aus dem Druckabfall in geraden Rohren . . . . . . . . . . . . 4196.5.9.2 Durchflussmessung an Rohrkrümmern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4206.5.9.3 Ellison-Annubar-Durchflussmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4216.5.10 Pulsierende Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

6.6 Viskosimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4246.6.1 Rotationsviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4246.6.2 Fallkörperviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4266.6.3 Kapillarviskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Tabellenanhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

12

Formel- empfohlene Bedeutungenzeichen SI-Einheit

A m2 Fläche, Querschnitta m/s2 Beschleunigung, Verzögerunga m, mm Durchmessera m/s SchallgeschwindigkeitB m BreiteB (V · s)/m2 magnetische Flussdichteb m BreiteC N FliehkraftC 1 GeschwindigkeitsbeiwertC F elektrische KapazitätC 1 DurchflusskoeffizientCS 1 Schubbelastungsgradc m/s AbsolutgeschwindigkeitcA 1 Auftriebsbeiwertca 1 AuftriebsbeiwertcD 1 FormwiderstandsbeiwertcF 1 WiderstandszahlcM 1 Drehmomentenbeiwertcm 1 Momentenbeiwertcp J/(kg · K) isobare spezifische WärmekapazitätcS 1 Beiwert der Seitenwindkraftcv J/(kg · K) isochore spezifische Wärmekapazitätcw 1 Widerstandsbeiwertcwi 1 Beiwert des induzierten WiderstandesD m DurchmesserD s– 1 Geschwindigkeitsgefälled m DurchmesserE N/m2 Elastizitätsmodule m AbstandF N KraftFr 1 Froude-Zahlf diverse Faktorf s– 1 FrequenzG N Gewichtskraftg m/s2 ErdbeschleunigungH m Höhe, Fallhöhe, FörderhöheH N Horizontalkrafth m Höhe, Überfallhöheh J/kg; (N · m)/kg; m2/s2 spezifische EnthalpieHe 1 Hedstrom-ZahlI m4 Trägheitsmoment, ZentrifugalmomentI kg · m/s ImpulsI A; mA elektrische Stromstärke

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten


i 1 OrdnungsnummerJ 1; %; ‰ KanalgefälleK diverse IntegrationskonstanteK 1 Faktor, KalibrierbeiwertKG diverse GerätekonstanteKCh m0.5/s Geschwindigkeitsbeiwert nach BazinKMS m1/3/s Geschwindigkeitsbeiwert nach Manning-Stricklerk m; mm Rauigkeitk diverse FaktorL m Längel m Länge, Streckel mm MessausschlagM N · m Moment, DrehmomentM 1 Mach-ZahlMd N · m Moment, DrehmomentMi kg/kmol molare Massem kg Massem kg/s Massenstromm 1 Öffnungsverhältnis von Drosselgerätenn 1 Exponent für Geschwindigkeitsprofiln 1 Öffnungsverhältnis von Behälternn 1 Anzahln 1 PolytropenexponentO m2 OberflächeP W Leistungp Pa; bar DruckR m RadiusR N KraftresultierendeRe 1 Reynolds-ZahlRi J/(kg · K) spezifische oder spezielle GaskonstanteRm J/(kmol · K) molare oder allgemeine GaskonstanteRS W Ohmscher Widerstandr m Radiuss m Weg, Strecke, Länge, Abstand, Blechdickes J/(kg · K) spezifische EntropieSr 1 Strouhal-ZahlT K absolute Temperaturt m Tiefe, Eintauchtiefe, Abstand, Teilungt s Zeitt °C Temperatur in Grad CelsiusU m UmfangU V; mV elektrische Spannungu m/s UmfangsgeschwindigkeitV m3 VolumenV m3/s Volumenstromv m3/kg spezifisches Volumenw m/s Geschwindigkeit, Relativgeschwindigkeitx m Länge, Abstand, Koordinatex 1 Dampfgehalty m Länge, Abstand, KoordinateZ 1 Realgasfaktorz m Höhe, Koordinate

14 Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten


a grd, Bogenmaß Winkela 1 Energiestrombeiwerta 1 Durchflusszahl von Drosselgerätena m1/2 Rauigkeitsbeiwert für Gerinneb grd, Bogenmaß Winkelb 1 Geschwindigkeitsbeiwertb 1 Durchmesserverhältnis bei Drosselgerätenbp 1/K isobarer WärmeausdehnungskoeffizientbT 1/bar isothermer KompressibilitätskoeffizientG m2/s Zirkulationg grd, Bogenmaß Gleitwinkelg 1 Impulsstrombeiwertd m, mm Grenzschichtdicked grd, Bogenmaß Winkele 1 Gleitzahle 1 Expansionszahl bei Drosselgerätene0 F/cm Dielektrizitätskonstante des leeren Raumeser 1 Dielektrizitätskonstante des Fluidsz 1 Widerstandszahlx 1 relativer Druckverlusth Pa · s dynamische Viskositäth 1 Wirkungsgradk 1 Isentropenexponentl 1 Rohrreibungszahll 1 Seitenverhältnis von Tragflügelnm 1 Ausflusszahln m2/s kinematische Viskositätn 1 Prandtl-Meyer-Funktionr kg/m3 Dichtes N/m Oberflächenspannungs grd, Bogenmaß Winkels grd Stoßwinkelt N/m2 Schubspannungj 1 relative Luftfeuchtej grd, Bogenmaß Winkelj 1 GeschwindigkeitsbeiwertY 1 Ausflussfunktiony 1 Kontraktionszahlw s– 1 Winkelgeschwindigkeit

Die wichtigsten Formelzeichen und Einheiten 15

16

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1.1 Einleitung

Das vorlíegende kurzgefasste Buch befasstsich hauptsächlich mit dem statischen und dy-namischen Verhalten homogener Fluide. Un-ter einem Fluid wird dabei ein flüssiges odergasförmiges Kontinuum verstanden.

Flüssigkeiten sind in 1. Näherung, d.h. fürviele praktische Betrachtungen und Rechnun-gen, dichtebeständig und haben ein festes Vo-lumen bei beliebiger Form. Gase und Dämpfekönnen abhängig von Druck und Temperaturjedes Volumen bei beliebiger Form annehmen.

Fluide haben im Gegensatz zu festen Kör-pern die gemeinsame Eigenschaft, dass sichihre Teilchen durch Druck- und Schubkräfteleicht verschieben lassen.

Flüssigkeiten kann man auch als tropfbareFluide bezeichnen, Dämpfe und Gase liegenunterhalb der Siedelinie (Bild 1.1).

mr = 31 (Gl. 1.1)

V

Eine Stoffportion ist ein abgegrenzter Fluidbe-reich, der aus einem oder mehreren Stoffen be-stehen kann.

Die Dimension der Dichte ist gemäßDefinitionsgleichung 1.1:

Masse03

Länge3

Üblicherweise wird als Einheit

kg5

m3

verwendet.Die Dichte eines Fluids ist von den Zu-

standsgrößen Druck und Temperatur ab-hängig.

dr5 = bT · dp – bp · dT (Gl. 1.2)r

dr Dichteänderungr DichtebT isothermer Kompressibilitätskoeffizientbp isobarer Wärmeausdehnungskoeffizientdp DruckänderungdT Temperaturänderung

Der Kehrwert der Dichte r, d.h., der Quotientaus Volumen V und Masse m einer Stoff-portion, wird als spezifisches Volumen u be-zeichnet.

1 Vu = 21 = 31 (Gl. 1.3)

r m

1 Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

Bild 1.1 Aggregatzustände von Wasser

1.2 Dichte, spezifisches Volumen

1.2.1 Definitionen

Nach DIN 1306 ist die Dichte r als Quotientaus Masse m und Volumen V einer Stoffpor-tion definiert:

Die Dimension des spezifischen Volumens ist

Länge3

03Masse

Die dazu passende SI-Einheit lautet:

m3

41kg

Die Angabe von Dichte oder spezifischem Vo-lumen ist nur dann vollständig, wenn nebender genauen Stoffbezeichnung auch nochTemperatur und Druck, bei Gasen u.U. auchnoch die Feuchte genannt sind.

1.2.2 Dichte von Flüssigkeiten

Die Temperaturabhängigkeit der Dichte vonFlüssigkeiten kann durch den in Gleichung 1.2eingeführten isobaren Wärmeausdehnungs-koeffizient bp ausgedrückt werden:

DV = V0 · bp · DT

V = V0 + DV = V0 · (1 + bp · DT)

m mr = 31 = 006V V0 (1 + bp · DT )m31 = r0V0

r0r = 08 (Gl. 1.4)1 + bp · DT

r Dichte bei Temperatur Tr0 Dichte bei Bezugstemperatur T0

(meist 0°C)bp isobarer WärmeausdehnungskoeffizientDT Temperaturabweichung zur

Bezugstemperatur T0

In Tafel 1 im Anhang des Buches ist der iso-bare Wärmeausdehnungskoeffizient bp fürWasser zusammengestellt. Tabelle 1.1 enthältWerte weiterer Flüssigkeiten.

Flüssigkeiten besitzen wie feste Körpereine geringe Elastizität. Nimmt man nach dem


Hooke’schen Gesetz einen linearen Zusam-menhang zwischen Volumen- und Druckän-derung an, erhält man folgende druckabhän-gige Dichteänderung:

DV = bT · V0 · Dp

V = V0 – DV = V0 – bT · V0 · Dp

V = V0 (1 – bT · Dp)m m

r = 31 = 005V V0 (1 – bT · Dp)m31 = r0V0

r 0r = 07 (Gl. 1.5)1 – bT · Dp

r Dichte beim Druck pr0 Dichte beim Bezugsdruck p0

(meist 1 bar)bT isothermer KompressibilitätskoeffizientDp Druckerhöhung

In Tafel 2 sind die isothermen Kompressibi-litätskoeffizienten bT von Wasser und einigenorganischen Flüssigkeiten angegeben.

Wird eine Flüssigkeit sowohl einer Tempe-ratur- als auch einer Druckänderung unter-worfen, kann die Dichteänderung durch Zu-sammenfassen der Gleichungen 1.4 und 1.5ausgedrückt werden.

r0r = 00004 (Gl. 1.6)(1 + bp · DT) · (1 – bT · Dp)

Tabelle 1.1 Isobarer Wärmeausdehnungskoeffizi-ent bp einiger Flüssigkeiten, Bezugsdruck p0 = 1 bar,Bezugstemperatur t0 = 0°C

Flüssigkeit bp in 1/K

Wasser – 0,085 · 10– 3

(0,207 · 10– 3 bei 20°C)Quecksilber 0,181 · 10– 3

Methanol 1,19 · 10– 3

Benzol 1,06 · 10– 3

Ethanol 1,1 · 10– 3

Tetrachlorkohlenstoff 1,22 · 10– 3

Glycerin 0,5 · 10– 3

Die Messung der Dichte von Flüssigkeiten istin [1.1] ausführlich beschrieben.

In Tafel 3 sind die Dichtewerte wichti-ger Flüssigkeiten in Form von Kurven, in Tafel 4 tabellarisch zusammengestellt. Tafel 5enthält Dichte- und Dampfdruckwerte des Wassers.

1.2.3 Dichte von Gasen und Dämpfen

Ausgehend von der thermischen Zustands-gleichung für das ideale Gas

p · V = m · Ri · T

erhält man folgende Beziehung für die Dich-te r:

m p31 = 9V Ri · T

pr = 9 (Gl. 1.7)

Ri · T

p Druck (Absolutdruck)Ri individuelle Gaskonstante

(siehe Abschnitt 1.5.3)T thermodynamische Temperatur

Zahlenwerte für die individuelle Gaskon-stante Ri finden sich in Tabelle 1.6.

In vielen praktischen Berechnungen undVersuchen kann die Dichte von Gasen nachGleichung 1.7 hinreichend genau bestimmtwerden, wenn deren Zustand (Druck undTemperatur) weit außerhalb der Sättigungs-kurve (Siedelinie) liegt, d.h., wenn die Gasestark überhitzt sind.

Bei hohen Drücken und niedrigen Tempe-raturen wird Gleichung 1.7 sehr ungenau.

Das reale Gasverhalten wird durch Ein-führung eines Korrekturwertes, Realgasfak-tor Z genannt, beschrieben:

Dichte, spezifisches Volumen 19

p · V = Z · m · Ri · T

m p31 = 06V Z · Ri · T

pr = 06 (Gl. 1.8)

Z · Ri · T

Für Luft, Sauerstoff, Stickstoff und Kohlendio-xid sind die Realgasfaktoren Z in Tafel 6 zu-sammengestellt. Weitere Werte finden sich in[1.2 und 1.3].

Bei Dämpfen, z.B. Wasserdampf, entnimmtman die Dichte r oder das spezifische Volu-men u aus einer Dampftafel (z.B. [1.4, 1.5, 1.6])oder speziellen Diagrammen.

In Tafel 7 ist der Realgasfaktor Z, in Tafel 8das spezifische Volumen u von Wasserdampfdargestellt.

1.2.4 Dichte von Luft

Luft ist ein Gemisch aus Stickstoff, Sauerstoff,Kohlendioxid, Edelgasen und enthält norma-lerweise noch Wasserdampf.

Abhängig von Druck und Temperatur kanndie Luft nur eine bestimmte, maximale Was-serdampfmenge aufnehmen. Enthält Luft die maximal mögliche Wasserdampfmenge,spricht man von gesättigter Luft. Die Dichte rf

von feuchter Luft kann aus folgender Bezie-hung bestimmt werden:

pdrf = rtr �1 – 0,377 · j · 4� (Gl. 1.9)p

r f Dichte der feuchten Luftr tr Dichte der trockenen Luft, nach

Gleichung 1.7 berechnetj relative Luftfeuchtepd Sättigungsdruck des Wassers nach

Tafel 5 oder Tafel 9p Luftdruck

Beispiel 1

Aufgabenstellung:

Bei einem Versuch wurden folgende Luft-daten gemessen:

Luftdruck p = 997 mbarTemperatur t = 19,3°Crelative Luftfeuchte j = 78%

Wie groß ist die Dichte rf der feuchten Luft?

1.3 Schallgeschwindigkeit

Weil sich die Dichte von Fluiden druckabhän-gig ändert, breitet sich eine kleine Druck-störung dp in Form einer Longitudinalwelleim Fluid aus.

Nach LAPLACE (s. Namensverzeichnis) be-trägt die Ausbreitungsgeschwindigkeit einerkleinen Druckstörung bei isentroper, d.h. rei-bungsfreier Kompression ohne Wärmetausch:

6dpa = f5 (Gl. 1.10)

dr

a Schallgeschwindigkeitdp Druckänderungdr Dichteänderung

Aus dieser allgemeinen Beziehung lassen sichfür Flüssigkeiten und Gase folgende Glei-chungen zur Berechnung der Schallgeschwin-digkeit ableiten:

a) FlüssigkeitenVernachlässigt man die bei der sehr kleinenisentropen Verdichtung dp der Flüssigkeit ent-stehende Temperaturzunahme dT, d.h., wirddT = 0 gesetzt, erhält man aus Gleichung 1.2folgende Beziehung:


dr5 ≈ bT · dpr

dp 15 ≈ 9dr bT · r

6 0dp 1a = f51 ≈ f9dr bT · r

Den Reziprokwert des isothermen Kompressi-bilitätskoeffizienten bT bezeichnet man alsElastizitätsmodul E.

1E = 5bT

Damit erhält die Gleichung zur Bestimmungder Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeitenfolgende endgültige Form:

0 51 Ea ≈ f0 ≈ f4 (Gl. 1.11)

bT · r r

a SchallgeschwindigkeitbT isothermer Kompressibilitätskoeffizientr DichteE Elastizitätsmodul

Diese Beziehung gilt nur für reine Flüssigkei-ten ohne Einschluss von Gas- oder Dampf-blasen! In 2-Phasen-Fluiden ist die Schall-geschwindigkeit wesentlich kleiner als die

Lösung:Zunächst wird die Dichte rtr der trockenenLuft berechnet:

prtr = 9 (Gl. 1.7)

Ri · T

p = 997 mbar = 99 700 Pa

Ri = 287 J/(kg · K) aus Tabelle 1.6

T = 19,3 + 273,15

T = 292,45 K

99 700rtr = 00287 · 292,45

rtr = 1,188 kg/m3

Anschließend wird mit Gleichung 1.9 dieDichte rf der feuchten Luft bestimmt:

pdrf = rtr· �1 – 0,377 · j · 5�p

Aus Tafel 9 wird der Sättigungsdruck pd ent-nommen:

pd = 22,39 mbar = 2239 Pa

2239r f = 1,188 · �1 – 0,377 · 0,78 · 01�99 700

rf = 1,180 kg/m3

Schallgeschwindigkeit in der reinen flüssigenPhase oder in der Dampfphase.

b) GaseDie isentrope Verdichtung eines idealen Gaseswird durch folgende Zustandsgleichung be-schrieben:

p · uk = konst

mit k als Isentropenexponent (siehe Abschnitt1.5.2).

pp · uk = 5 = konst

r k

dp5 = konst · k · rk – 1

dr

dp p5 = 4 · k · rk – 1 = p · k · r – 1

dr rk

dp p · k5 = 8 = p · u · k = Ri · T · kdr r

Schallgeschwindigkeit 21

6dpa = f5dr

9

04p · k

05a = d p · u · k = f8 = dk · Ri · Tr

(Gl. 1.12)

a Schallgeschwindigkeitp Drucku spezifisches Volumenk Isentropenexponentr DichteRi individuelle GaskonstanteT Temperatur

Die Schallgeschwindigkeit a der atmosphäri-schen Luft kann abhängig von der Höhe z ausTafel 29, die Schallgeschwindigkeit a von Was-serdampf aus Tafel 10 entnommen werden.

Beispiel 2

Aufgabenstellung:Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit inreinem, absolut blasenfreiem Wasser von20°C bei einem Druck von 1 bar?

Lösung:Aus Tafel 2 wird der isotherme Kompressi-bilitätskoeffizient bT von Wasser bei 20°C ineinem Druckbereich von 1…100 bar zu

bT = 46,8 · 10– 6 1/bar

entnommen.Weil 1 bar = 105 Pa ist (Abschnitt 2.2.2),

entspricht dies einem bT-Wert von:

bT = 46,8 · 10– 6 · 10– 5 1/Pa

Die Dichte r beträgt nach Tafel 5:

r = 998,3 kg/m3

Damit lässt sich die Schallgeschwindigkeit aaus Gleichung 1.11 berechnen:

01a ≈ f0bT · r

000011a ≈ f0000146,8 · 10– 6 · 10– 5 · 998,3

a ≈ 1463 m/s

Beispiel 3

Aufgabenstellung:Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit inLuft von 20°C bei einem Druck von 1 bar?

Lösung:Nach Abschnitt 1.5 betragen die thermi-schen Werte Ri und k von Luft:k = 1,4

Ri = 287 J/(kg · K)

Damit kann die Schallgeschwindigkeit anach Gleichung 1.12 bestimmt werden:

06a = d k · Ri · T0604a = d 1,4 · 287 · 293,15

a = 343,2 m/s

1.4 Viskosität

1.4.1 Einleitung

Zur Bewegung eines festen Körpers durch einFluid (Außenströmung) oder eines Fluidsdurch einen Kanal (Innenströmung) muss eineKraft aufgewandt werden, die den Reibungs-widerstand überwindet. Dieser Widerstandkann auch als Formänderungswiderstand ge-deutet werden.

Verläuft diese Formänderung genügendlangsam, tritt praktisch keine Widerstands-kraft auf; die Strömung kann als reibungs-frei angesehen werden. Rasche Formänderun-gen, d. h. große Formänderungsgeschwin-digkeiten, haben große Reibungskräfte zur Folge.

Beim Strömen der Fluidelemente in Schich-ten verschieben sich diese unter der Wirkungkleiner tangentialer Reibungsspannungen ge-geneinander. Die Größe dieser Reibungsspan-nungen hängt sowohl von der Formände-rungsgeschwindigkeit als auch einer Stoff-eigenschaft ab, die man als Viskosität be-zeichnet.

In der praktischen Strömungstechnik wen-det man 2 Begriffe von Viskosität an:

❑ dynamische Viskosität h❑ kinematische Viskosität n

Je nach Fließverhalten spricht man von New-ton’schen oder nicht Newton’schen Fluiden.

Die Messung der Viskosität bezeichnet manals Viskosimetrie ([1.7 bis 1.9]), die Beschrei-bung des Fließverhaltens der Fluide als Rheo-logie [1.10].


1.4.2 Viskosität Newton’scher Fluide

1.4.2.1 Dynamische Viskosität

Zwischen 2 parallelen Platten befindet sich einhomogenes Fluid konstanter Temperatur. DiePlatten haben die gleiche Fläche A und gegen-einander den relativ kleinen Abstand y. Ander oberen Platte greift die Kraft F an und be-wegt sie mit der Geschwindigkeit w (Bild 1.2).Die untere Platte ruht (w = 0). Zwischen denPlatten bildet sich ein lineares Geschwindig-keitsprofil aus.

Nach NEWTON (s. Namensverzeichnis) ver-hält sich die Tangentialkraft F proportionalzur Geschwindigkeit w und umgekehrt pro-portional zum Abstand y:

wF ~ 3y

Als Proportionalitätsfaktor wird die dynami-sche Viskosität h eingeführt und die Kraft Fals Produkt aus tangentialer Schubspannung tund Fläche A ausgedrückt:

wF = t · A = h · A · 3y

wt = h · 3y

Für den Quotienten w/y wird aus DIN 1342[1.11] der Begriff Geschwindigkeitsgefälle Dübernommen, so dass für die Schubspannungfolgender einfacher Ausdruck entsteht:

t = h · D (Gl. 1.13)

t Schubspannungh dynamische ViskositätD Geschwindigkeitsgefälle

w

w = 0

F

A

Ay

x

2

Bild 1.2 Zur Erklärung der Schubspannung in einer Fluidschicht zwischen 2 ebenen Platten

Die für die gesamte Strömung zwischen denparallelen Platten formulierte Aussage giltauch für einen differentiell kleinen Bereich imStrömungsraum zwischen den Platten (Bild1.3). DIN 1342 drückt deshalb das Geschwin-digkeitsgefälle D als Grenzwert bzw. Differen-tialquotienten aus:

Dwx dwxD = lim �8� = 7 (Gl. 1.14)Dy Æ 0 Dy dy

D GeschwindigkeitsgefälleDwx = wx2 – wx1 Geschwindigkeitsdifferenz

zwischen 2 FluidteilchenDy orthogonaler Abstand zwischen 2 Fluid-

teilchen

Die als Proportionalitätsfaktor eingeführte dy-namische Viskosität ist eine charakteristischeStoffeigenschaft eines Fluids und ist druck-und temperaturabhängig.

Weil die Schubspannung t wie alle Span-nungen die Einheit N/m2 = Pa (Pascal) und

m/sdas Schergefälle D die Einheit 8 = s – 1

m

Viskosität 23

haben, ergibt sich aus Gleichung 1.13 die Ein-heit der dynamischen Viskosität:

Pa · s (Pascalsekunde)

Ältere Einheiten – z.B. Poise (P) und Zenti-poise (cP) – sind seit dem 1.1.1978 nicht mehrzugelassen.

Bei Newton’schen Fluiden ist die dynami-sche Viskosität h per Definition unabhängigvom Geschwindigkeitsgefälle D und damitdie Schubspannung t direkt proportional zumGeschwindigkeitsgefälle D (Bild 1.4).

1.4.2.2 Kinematische Viskosität

Die kinematische Viskosität n wird nach MAX-WELL (s. Namensverzeichnis) als Quotient ausdynamischer Viskosität h und Dichte r de-finiert:

hn = 3 (Gl. 1.15)

r

n kinematische Viskositäth dynamische Viskositätr Dichte

Durch Einsetzen der Einheiten für h und r er-gibt sich die Einheit der kinematischen Visko-sität n :

h Pa · s N · s · m3

{n} = �3� = 02 = 07r kg/m3 m2 · kg

kg · m · s · m3 m2

= 004 = 5s2 · m2 · kg s

y

∆y

x

wx2 = wx1+∆wx

wx1

Bild 1.3 Zur Erklärung der Schubspannung zwischen 2 Fluidelementen

konstant

Geschwindigkeits-gefälle D

Geschwindigkeits-gefälle D

dyn

. Vis

kosi

tät

h

Sch

ubsp

annu

ngt

h = tana

aBild 1.4 Viskosität und Schub-spannung in einem Newton’schenFluid

Die kinematische Viskosität � hat die Ein-heit:

m2/s (Quadratmeter je Sekunde)

Seit 1.1.1978, d.h. seit Einführung des SI-Ein-heitensystems, sind ältere Einheiten wie St(Stokes), cSt (Zentistokes), Englergrad, Say-boldgrad usw. nicht mehr im Gebrauch.

Werden bei der Benutzung älterer LiteraturUmrechnungsformeln, Tabellen oder Dia-gramme zur Umrechnung veralteter Einheitenin SI-Einheiten benötigt, können diese bei-spielsweise [1.9 oder 1.12] entnommen wer-den.

1.4.2.3 Temperaturabhängigkeit der Viskosität

a) FlüssigkeitenDie dynamische Viskosität von Flüssigkeitennimmt wegen der Temperaturabhängigkeitder zwischenmolekularen Adhäsionskräfte,die zwischen den einzelnen Flüssigkeits-schichten wirken, mit zunehmender Tempera-tur ab, während die dynamische Viskositätvon Gasen und Dämpfen wegen der Verstär-kung des Impulsaustausches zwischen denMolekülen mit steigender Temperatur zu-nimmt (Bild 1.5).

Zur Beschreibung der Temperaturabhän-gigkeit wurden zahlreiche Formeln und Ver-fahren vorgeschlagen, die jedoch keine allge-meingültigen für alle Flüssigkeiten, Gase undDämpfe zutreffenden Angaben enthalten.Diese empirischen Beziehungen gelten des-halb nur innerhalb eines begrenzten Bereichs


und weisen mehr oder minder große Unge-nauigkeiten auf.

Nach H. VOGEL [1.13] kann für die Tempe-raturfunktion der dynamischen Viskosität vonNewton’schen Flüssigkeiten folgende Bezie-hung angesetzt werden:

b6h = k · e t + q (Gl. 1.16)

h dynamische Viskosität bei derTemperatur t

k für die jeweilige Flüssigkeit charakteristi-sche Konstante mit der Dimension derdynamischen Viskosität

e Basis des natürlichen Logarithmust Temperaturb, q charakteristische konstante Beiwerte der

Flüssigkeit mit der Dimension einer Temperatur

In [1.14] wird die empirische Gleichung vonANDRADE in modifizierter Form zur Abschät-zung der Temperaturabhängigkeit der Visko-sität Newton’scher Flüssigkeiten empfohlen:

TA TA61

–62h = h0 · eT + TB TB + T0 (Gl. 1.17)

h dynamische Viskosität bei der Temperatur T

h0 dynamische Viskosität bei der Temperatur T0 = 273 K

e Basis des natürlichen LogarithmusTA; TB charakteristische Beiwerte

(Temperaturen) nach Tabelle 1.2

Der VDI-Wärmeatlas [1.15] enthält ein empiri-sches Verfahren, mit dem man die dynamischeViskosität von Flüssigkeiten direkt abschätzenkann:

c · r5h ≈ 10– 6 · A · r1/3 e T (Gl. 1.18)

h dynamische Viskosität in Pa · sA Beiwert nach Tafel 11r Dichte in kg/m3

p = konst.

Temperatur

dyn

amis

che

Vis

kosi

tät

Flüssigkeiten

Gase und Dämpfe

Bild 1.5 Temperaturabhängigkeit der Viskosität

e Basis des natürlichen Logarithmusc Beiwert nach Tafel 11T Temperatur in K

Die Unsicherheiten der obigen Gleichungwerden für die meisten Stoffe kleiner als ± 1%im Temperaturbereich 0…100°C angegeben.Bei den mit * gekennzeichneten Flüssigkeitenkönnen Fehler bis ± 5% (im Extremfall auchbis 20%) auftreten. In [1.16] werden für dieTemperaturabhängigkeit der kinematischenViskosität n von Flüssigkeiten die empirischenFormeln von VOGEL, UBBELOHDE-WALTHER undUMSTÄTTER vorgeschlagen.

Die Darstellung der Funktionen h = f (t)bzw. n = f (t) ergibt auf doppellogarithmi-schem Papier in begrenzten Temperaturberei-chen praktische Geraden [1.13].

b) GaseDie Zunahme der dynamischen Viskosität vonGasen mit steigender Temperatur kann nachder in [1.14] empfohlenen empirischen Glei-chung von SUTHERLAND abgeschätzt werden:

T0 + TS T 3/2

h ≈ h0 · 02 · �4� (Gl. 1.19)T + TS T0

Viskosität 25


h0 dynamische Viskosität bei der Temperatur T0 = 273 K(bei Wasserdampf: T0 = 373 K!)

TS SUTHERLAND-Konstante mit der Dimension einer Temperatur nach Tabelle 1.3

In [1.17] wird das Temperaturverhalten derdynamischen Viskosität von Gasen bei niedri-gen Drücken beschrieben. Dieses empirischeBerechnungsverfahren basiert auf der dyna-mischen Viskosität im kritischen Punkt, aufstoffunabhängigen Konstanten und der aufdie kritische Temperatur Tkr bezogenen Tem-peratur T:

q 2 1/4

h ≈ H · hkr · q 2/3 · �01� (Gl. 1.20)1 + q 2


H Konstante; H = 0,263 ± 0,008hkr kritische Viskosität (Tabelle 1.4)q reduzierte Temperatur q = T/Tkr

Tkr Temperatur des Gases im kritischenPunkt (Tabelle 1.4)

Tabelle 1.3 Sutherland-Konstante TS

Wasser- Luft O2 N2 H2 He CO2

dampf

h0 1,229 1,710 1,924 1,672 0,782 1,871 1,367 10– 5 Pa · s

TS 890 122 125 117 – 10 86 242 K

Tabelle 1.2 Beiwerte zur Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität h von Flüssigkeiten

Wasser Methanol Quecksilber

h0 179,3 · 10– 5 81,7 · 10– 5 168,5 · 10– 5 Pa · s

TA 506 1110 160 K

TB – 150 – 20 – 96 K

1.4.2.4 Druckabhängigkeit der Viskosität

Die Druckabhängigkeit der dynamischen Vis-kosität macht sich erst bei hohen Drücken be-merkbar. Fluide, deren dynamische Viskositäteine relativ große Temperaturabhängigkeitaufweist, besitzen im allgemeinen auch einemerkliche Druckabhängigkeit der Viskosität.

Bei den meisten Flüssigkeiten steigt die dy-namische Viskosität h annähernd exponentiellmit dem Druck, sodass man folgende Bezie-hung ansetzen kann [1.13]:

hp ≈ h0 · e a · p (Gl. 1.21)

hp dynamische Viskosität beim Druck p undbei der Temperatur t

h0 dynamische Viskosität beim Druckp0 = 1 bar und der Temperatur t

e Basis des natürlichen LogarithmusDruckkoeffizient bei der Temperatur t

1 dhpa = 3 �61�h t dp t

p Druck

Nach E. KUSS [1.13] liegen die Druckkoeffizi-enten von Schmierölen aus Kohlenwasser-stoffen bei 25°C zwischen a = 1,7 · 10– 3 und3,5 · 10– 3 bar–1. In Bild 1.6 ist die dynamischeViskosität h von Hydrauliköl abhängig vonDruck und Temperatur nach Unterlagen derFa. BP dargestellt. Weitere Angaben findensich u.a. in [1.18]. Tafel 15 enthält die druck-


und temperaturabhängigen Werte der dyna-mischen Viskosität h von Luft nach [1.20].

1.4.2.5 Arbeitsunterlagen und Gebrauchsformeln

Weil bei der Lösung praxisnaher Aufgaben inAusbildung und Beruf häufig konkrete Visko-sitätswerte benötigt werden und nicht immerHandbücher und Tabellenwerke zur Verfü-gung stehen, sind im Tafelanhang des Buchesfolgende Diagrame und Tabellen zusammen-gestellt:Tafel 12 Dynamische und kinematische Vis-

kosität des Wassers in TabellenformTafel 13 Kinematische Viskosität des Was-

sers abhängig von der TemperaturTafel 14 Dynamische und kinematische

Viskosität der Luft in TabellenformTafel 15 Dynamische Viskosität der LuftTafel 16 Kinematische Viskosität der LuftTafel 17 Kinematische Viskosität von

FlüssigkeitenTafel 18 Kinematische Viskosität von ÖlenTafel 19 Dynamische Viskosität von GasenTafel 20 Kinematische Viskosität von GasenTafel 21 Dynamische Viskosität von Wasser-

dampfWeitere Angaben finden sich u.a. in [1.15 und1.19]. Weil heute die meisten strömungstech-nischen Berechnungen mit programmierbarenTaschenrechnern oder Personalcomputerndurchgeführt werden, ist es in vielen Fällensinnvoller, anstelle von Tabellen und Dia-grammen Gebrauchsformeln anzugeben, um

Tabelle 1.4 Dynamische Viskosität hkr und Temperatur Tkr im kritischen Punkt von Gasen (nach [1.17])

Gas chemische Formel dynamische kritischeViskosität h kr Temperatur Tkr

Pa · s K

Wasserstoff H2 2,47 · 10– 6 32,98Sauerstoff O2 18,95 · 10– 6 154,8Stickstoff N2 14,06 · 10– 6 126,1Luft – 15,18 · 10– 6 132,5Kohlendioxid CO2 25,51 · 10– 6 304,2Ammoniak NH3 20,07 · 10– 6 405,5Wasserdampf H2O 29,93 · 10– 6 647,3Schwefeldioxid SO2 30,34 · 10– 6 430,7Methan CH4 12,24 · 10– 6 190,7

die in einem Programmablauf benötigten Vis-kositätswerte numerisch bestimmen zu kön-nen, ohne das Programm zur Werteeingabeunterbrechen zu müssen.Für Wasser und Luft werden folgende Bezie-hungen angegeben und – soweit bekannt –auch die Quellen genannt:

a) Dynamische Viskosität h von Wasser nach [1.21]:

1795 · 10– 6

h = 00006 in Pa · s1 + 0,036 · t + 0,000185 · t2

(Gl. 1.22)

Temperatur t in °C

Viskosität 27

b) Kinematische Viskosität n von Wassernach [1.22]:

1,78 · 10– 6

n = 00007 in m2/s1 + 0,0337 · t + 0,000221 · t2

(Gl. 1.23)

Temperatur t in °C

c) Dynamische Viskosität h von Luft nach[1.21]:

h = 17,07 (1 + 0,00286 · t – 0,0000015 · t2)

· 10– 6 in Pa · s (Gl. 1.24)

Bezugsdruck p = 1 barTemperatur t in °C

dyn

amis

che

Vis

kosi

tät

h

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0,22

0,20

0,18

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0

Druck p bar

Hyd

raul

iköl

H-L

P 49

Hydra

ulikö

l H-L

P 49

Hydrauliköl H-LP 49H

ydra

ulik

öl H

-LP

16

Hydrauliköl H-LP 16

Hydrauliköl H-LP 16

Pa·s

40°C

60°C

100 °C

Bild 1.6 Dynamische Viskosität von Hydraulikölen, abhängig von Druck und Temperatur, nach Fa. BP

d) Dynamische Viskosität h von Luft nach[1.23]:

T 3/2

h = 1,458 · 10– 6 · 06 in Pa · sT + 110,4

(Gl. 1.25)

Bezugsdruck p = 1 barTemperatur T in K

e) Kinematische Viskosität n von Luft nach[1.24]:

T 3/2

n = 42,6 · 10– 10 · 06 in m2/s123,6

1 + 9 (Gl. 1.26)T

Bezugsdruck p = 1 barTemperatur T in K


f) Kinematische Viskosität n von Luft(Quelle unbekannt):

418,45 T 5/2

n = 02 · 06 · 10– 6 in m2/sp T + 110,4 (Gl. 1.27)

Druck p in PaTemperatur T in K

In [1.23] wird eine auf POISEUILLE (s. Namens-verzeichnis) zurückgehende Näherungsfor-mel zur Abschätzung des Temperatureinflus-ses auf die dynamische Viskosität h von Flüs-sigkeiten empfohlen:

h0h = 00001 in Pa · s1 + 0,0337 t + 0,00022 t2

(Gl. 1.28)

h0 dynamische Viskosität in Pa · s bei 0°Ct Temperatur in °C

Beispiel 4

AufgabenstellungWie groß sind Dichte r, dynamische Visko-sität h und kinematische Viskosität n vonWasser bei einem Druck von 1 bar und einerTemperatur von t = 80°C?

Lösung:a) Die Dichte r wird aus Tafel 5 entnommen:

r = 971,6 kg/m3

b) Die dynamische Viskosität h wird ausGleichung 1.22 berechnet:

1795 · 10– 6

h = 000021 + 0,036 t + 0,000185 t2

1795 · 10– 6

h = 000001 + 0,036 · 80 + 0,000185 · 802

h = 354,5 · 10– 6 Pa · s

Aus der Wasserdampftafel [1.5] wird Seite15 entnommen:

h = 355 · 10– 6 Pa · s

bei 80°C und 1 bar

c) Die kinematische Viskosität n berechnetsich aus der dynamischen Viskosität hund der Dichte r nach Gleichung 1.15:

h 355 · 10– 6

n = 3 , n = 07r 971,6

n = 0,365 · 10– 6 m2/s

Aus Tafel 13 wird abgelesen:

n = 0,36 · 10– 6 m2/s

Nach Gleichung 1.23 errechnet sich die ki-nematische Viskosität n wie folgt:

1,78 · 10– 6

n = 000071 + 0,0337 · t + 0,000221 · t2

1,78 · 10–6

n = 0000031 + 0,0337 · 80 + 0,000221 · 802

n = 0,348 · 10– 6 m2/s

Die aus 3 verschiedenen Quellen stammen-den Werte für n stimmen recht gut überein!

Beispiel 5

Aufgabenstellung:Wie groß sind die dynamische Viskosität hund die kinematische Viskosität n von Luftbei einem Absolutdruck von 10 bar und ei-ner Temperatur von 100°C?

Lösung:a) Aus Tafel 14 werden folgende Werte ent-

nommen:

dynamische Viskosität

h = 21,7 · 10– 6 Pa · s

kinematische Viskosität

n = 232,8 · 10– 8 m2/s

= 2,33 · 10– 6 m2/s

b) Aus Tafel 16 kann für einen Druck p = 1000 mbar , 1 bar eine kinematischeViskosität

n = 23,15 · 10– 6 m2/s

abgelesen werden.Weil das Produkt n · p konstant ist, kanndie kinematische Viskosität n bei einemDruck von 10 bar berechnet werden:

n · p = 23,15 · 10– 6 · 1 = n · 10 = konst

n = 2,315 · 10– 6 m2/s bei 10 bar

c) Nach Gleichung 1.24 ergibt sich folgende dynamische Viskosität h:

h = 17,07 (1 + 0,00286 · t

– 0,0000015 · t2) · 10– 6

h = 17,07 (1 + 0,00286 · 100

– 0,0000015 · 1002) · 10– 6

h = 21,7 · 10–6 Pa · s

Weil die Druckabhängigkeit der dynami-schen Viskosität im unteren Druckbereich

Viskosität 29

gering ist (vgl. Tafel 15), trifft dieses Re-chenergebnis auch für den Druck p = 10 barrelativ genau zu.

d) Gleichung 1.25 liefert folgendes Ergebnis:

T 3/2

h = 1,458 · 10– 606T + 110,4

3733/2

h = 1,458 · 10– 600373 + 110,4

h = 21,73 · 10– 6 Pa · s

e) Aus Tafel 19 wird eine dynamische Viskosität h von etwa

h = 22 · 10– 6 Pa · s

abgelesen.Ein ähnliches Ergebnis liefert Tafel 15.

f) Die kinematische Viskosität n kann ausden Gleichungen 1.26 und 1.27 nähe-rungsweise berechnet werden:

T 3/2

n = 42,6 · 10– 1007 (Gl. 1.26)

123,61 + 9T

3733/2

n = 42,6 · 10– 1007123,61 + 0373

n = 23,05 · 10– 6 m2/s bei p = 1 bar

n = 2,305 · 10– 6 m2/s bei p = 10 bar

418,45 T 5/2

n = 02 · 06 · 10– 6 (Gl. 1.27)p T + 110,4

418,45 3735/2

n = 02 · 09 · 10– 6

10 · 105 373 + 110,4

n = 2,33 · 10– 6 m2/s

g) Aus Tafel 20 wird entnommen:

m2

n · p = 2,3 4 · Pas

n · p 2,3n = 7 = 03p 10 · 105


n = 2,3 · 10– 6 m2/s

Auch die nach verschiedenen Quellen abge-schätzten Werte für die kinematische Visko-sität n stellen recht gut übereinstimmendeErgebnisse dar.

1.4.3 Viskosität nicht Newton’scher Fluide

Nicht Newton’sche Fluide sind Substanzen,deren Fließverhalten nicht durch den New-ton’schen Schubspannungsansatz der Glei-chung 1.13 beschrieben wird.

Nach DIN 13342 [1.25] werden 3 Klassenvon nicht Newton’schen Flüssigkeiten unter-schieden:

❑ nicht linear-reinviskose Flüssigkeiten,❑ linear-viskoelastische Flüssigkeiten,❑ nicht linear-viskoelastische Flüssigkeiten.

In dieser Norm werden die Flüssigkeiten defi-niert und ihr Fließverhalten beschrieben.

Im Vergleich zu den Newton’schen Sub-stanzen treten folgende Fließanomalien auf:

a) Plastische Stoffe sind Flüssigkeiten, diesich im Ruhezustand und bei kleinen Schub-spannungen wie elastische Festkörper verhal-ten und erst bei größeren Schubspannungen,Fließgrenze genannt, zu fließen beginnen.

Ist der Zusammenhang zwischen Schub-spannung und Schergefälle linear, spricht manvon einem Bingham-Körper.

b) Strukturviskose Flüssigkeiten weiseneine mit steigender Schubbeanspruchung ab-nehmende Viskosität auf.

Mit zunehmendem Geschwindigkeitsge-fälle orientieren sich die Partikel der Flüssig-keit in Fließrichtung, wodurch sie leichter,d.h. mit geringeren Reibungsverlusten, anein-ander vorbeigleiten können.

Dieses Phänomen ist nicht über demganzen Bereich des Geschwindigkeitsgefällesgleich stark ausgeprägt. Bei sehr kleinenSchergefällen verhalten sich strukturviskoseFluide wie Newton’sche Flüssigkeiten. Esschließt sich ein Bereich an, in dem die Visko-sität in Abhängigkeit vom Geschwindigkeits-gefälle stark abnimmt. Bei hohen Geschwin-digkeitsgefällen ändert sich die Viskositätdann kaum noch (Bild 1.7).

Die meisten nicht Newton’schen Flüssig-keiten verhalten sich strukturviskos.

c) Dilatante Stoffe besitzen eine mit demSchergefälle steigende Viskosität. DilatantesFließverhalten erweist sich bei vielen Produk-tionsprozessen als ungünstig. Dilatante Stoffekommen verhältnismäßig selten vor.

h1′

h2′

h ′= f (D)log

h′ 1.

Newton’scherBereich

2.Newton’scher

Bereich

log D

Bild 1.7Viskositätskurve einer strukturviskosen Flüssigkeit

d) Thixotrope Substanzen zeigen ein zeitab-hängiges Fließverhalten.

Bei reiner Thixotropie nimmt die Viskositätwährend der Scherzeit ab, um nach Wegfallder Scherbeanspruchung in der sog. Ruhezeitwieder auf den ursprünglichen Wert anzustei-gen (Bild 1.8).

Bei den meisten Stoffen ist die Ruhezeit we-sentlich größer als die Scherzeit.

Nimmt die Viskosität in der Ruhezeit nichtwieder zu, spricht man von irreversiblemFließverhalten oder unechter Thixotropie (z.B.Jogurt).

e) Rheopexe Flüssigkeiten zeigen ein umge-kehrtes Fließverhalten als thixotrope Flüssig-keiten, d.h., mit der Scherbeanspruchungnimmt die Viskosität bis zu ihrem Maximal-wert zu, um dann während der anschließen-den Ruhezeit auf den Ausgangswert zurück-zugehen (Bild 1.9). Rheopexie tritt äußerst sel-ten auf.

In Tabelle 1.5 sind die Fließ- und Visko-sitätskurven der verschiedenen nicht New-ton’schen Substanzen gegenübergestellt sowieeinige Beispiele aufgezählt.

Wissenschaftler arbeiten meist mit denFließkurven d.h. der Abhängigkeit D = f (t).Praktiker mit den Viskositätskurven, d.h. derFunktion log h¢ = f (log D), wobei h¢ die schein-bare Viskosität (Viskositätsfunktion) ist.

Weitere Einzelheiten finden sich in [1.1, 1.7bis 1.10 und 1.25 bis 1.28].

Thermische Stoffwerte 31

1.5 Thermische Stoffwerte

1.5.1 Einleitung

Bei der Einführung der Stoffgrößen Dichteund Viskosität wurde bereits darauf hinge-wiesen, dass diese Stoffeigenschaften tempe-raturabhängig sind.

Bei strömungstechnischen Berechnungenund Versuchen in der Aerostatik und bei kom-pressiblen Strömungen werden einige thermi-sche Stoffwerte bzw. Zustandsgrößen be-nötigt, auf die an dieser Stelle bereits nähereingegangen wird.

DIN 1235 «Thermodynamik» [1.29] wurdebei der Festlegung von Bezeichnungen, For-melzeichen und Einheiten weitgehend be-rücksichtigt.

1.5.2 Spezifische Wärmekapazität

Unter der spezifischen Wärmekapazität ver-steht man die Wärmemenge, die erforderlichist, um eine Stoffmasse von 1 kg um 1°C zu er-wärmen oder abzukühlen.

Die spezifische Wärmekapazität von realenFluiden ist sowohl temperatur- als auchdruckabhängig.

Bei idealen Flüssigkeiten und Gasen ent-fällt die Druckabhängigkeit.

Man unterscheidet zwei besondere Begriffeder spezifischen Wärmekapazität:

❑ die isobare spezifische Wärmekapazität cp

bei gleichbleibendem Druck,

log

h′

Zeit

Gelzustand

Solzustand

Scherzeit Ruhezeit

D = konst D = 0

Zeit

Scherzeit Ruhezeit

D = konst D = 0

log

h′

Bild 1.9 Viskositäts-Zeit-Kurve einer rheopexenFlüssigkeit

Bild 1.8 Viskositäts-Zeit-Kurve einer thixotropenFlüssigkeit


Bingham-Körper

nichtl

iniea

r plas

tisch

End

wer

te

Endw

erte

Endw

erte

End

wer

te

Anfa

ngsw

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Anf

angs

wer

te

Anfa

ngsw

erte

Anf

angs

wer

te

Tabe

lle1.

5Fl

ieß-

und

Vis

kosi

täts

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icht

New

ton’

sche

r Fl

üssi

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ten

Flie

ß-

pla

stis

chst

ruk

turv

isk

ose

dil

atan

tth

ixot

rop

rheo

pex

anom

alie

(pse

ud

opla

stis

ch)

scheinbare Viskosität h¢

scheinbare Viskositätskurve

wahreFließkurve


Dis

pers

ione

nho

chpo

lym

ere

Stof

fepi

gmen

thal

tige

Trei

bsan

dbe

stim

mte

Sc

hmie

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ffe

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spen

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le m

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eren

Schm

iers

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Kun

stst

offe

Farb

eZ

usät

zen

Form

mas

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spen

sion

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asse

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Silic

one

Gel

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elös

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Kle

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PVC

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Poly

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lam

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Gle

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Pote

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Pote

nzge

setz

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WA

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DE

WA

EL

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DE

WA

EL

E

t–J

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nt

n

D=�0

�D

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�D

=�5

�h¢

h¢h¢

n>

1n

< 1

Gle

ichu

ng v

onG

leic

hung

von

CA

SSO

N:

STE

IGE

R/

OR

Y:

1D

=31

( d2 t

–d3 J

)2D

=a

·t3

+c

·th¢

c>

0

ReibungsgleichungBeispiele

❑ die isochore spezifische Wärmekapazitätcv bei gleichbleibendem Volumen.

Für alle Substanzen ist cp > cv .Den Quotienten aus cp und cv nennt man

bei idealen Gasen Isentropenexponent:

cpk = 4 (Gl. 1.29)cv

Bei idealen, nicht komprimierbaren Flüssig-keiten wird k = 1. In Tabelle 1.6 sind die spezi-fischen Wärmekapazitäten cp und cv sowie derIsentropenexponent k einiger wichtiger Gaseaufgeführt, in Tafel 22 wurden die isobarenspezifischen Wärmekapazitäten cp verschiede-ner Gase in Abhängigkeit von der Temperaturdargestellt. Tafel 23 enthält die cp-Werte vonLuft sowohl druck- als auch temperaturab-hängig, Tafel 24 die cp-Werte von Wasser-dampf. In Tafel 25 ist der Isentropenexponentk von Luft in Funktion von Temperatur undDruck aufgetragen, Tafel 26 zeigt den Isentro-penexponenten k von Wasserdampf.

Weitere Werte können in [1.4, 1.5, 1.6, 1.15,1.20] nachgeschlagen werden.

1.5.3 Gaskonstante

Unter der individuellen oder spezifischenGaskonstante Ri eines Gases oder Dampfesversteht man die Energie, die 1 kg des Stoffesje 1°C Temperaturerhöhung bei konstant blei-bendem Druck nach außen abgeben kann.

Die Dimension der spezifischen Gaskon-stante ist demnach:

Energie (Arbeit)0006Masse · Temperatur

die zugehörige SI-Einheit:

J01kg · K

Zwischen der Gaskonstanten Ri und anderenZustandsgrößen bzw. Stoffwerten bestehenfolgende Zusammenhänge:

Aus der allgemeinen Gasgleichung für dasideale Gas lässt sich ableiten:

p · u = Ri · T


Tabe

lle1.

6T

herm

isch

e St

offw

erte

von

Gas

en b

ei 1

bar

und

0°C

Sto

ffL

uft

O2

N2

H2

NH

3C

O2

H2O

*C

H4

CO

SO

2

isob

are

spez

ifis

che

1004

914,

810

38,7

1419

920

60,2

816,

514

9215

4013

0117

40J/

(kg

K)

Wär

mek

apaz

ität

c p

isoc

hore

spe

zifi

sche

717

655

741,

910

075

1572

627,

611

2011

6993

013

69J/

(kg

K)

Wär

mek

apaz

ität

c v

Isen

trop

enex

pone

nt k

1,4

1,4

1,4

1,41

1,31

1,3

1,33

1,32

1,4

1,27

ind

ivid

uelle

287

259,

829

6,8

4124

488,

218

8,9

461,

551

8,3

296,

812

9,8

J/(k

g K

)G

asko

nsta

nte

Ri

mol

are

Mas

se M

i29

3228

217

4418

,02

16,0

428

,01

64,0

7kg

/km

ol

* Te

mpe

ratu

r >

100

°C

p · u pRi = 9 = 9 (Gl. 1.30)

T r · T

Weiterhin gilt:

k – 1Ri = cp – cv = (k – 1) · cv = 8 · cp (Gl. 1.31)

k

Neben der individuellen oder spezifischenGaskonstante Ri ist noch die universelle odermolare Gaskonstante R definiert, die für alleGase den gleichen konstanten Zahlenwert

JR = 8314,2 96kmol · K

hat.Zwischen der universellen Gaskonstanten

R und der individuellen Gaskonstanten Ri be-steht folgender Zusammenhang:

RRi = 5 (Gl. 1.32)

Mi

mit Mi als molarer Masse des Stoffes inkg/kmol. In Tabelle 1.6 sind für einige Gasedie individuelle Gaskonstante Ri und die mo-lare Masse zusammengestellt.

1.5.4 Enthalpie

Die spezifische Enthalpie h ist in der Thermo-dynamik des idealen Gases als Summe aus in-nerer Energie u und Verschiebearbeit p · u defi-niert:

h = u + p · u

Differenziert man diesen Ausdruck, erhältman eine Beziehung für die Enthalpieände-rung in Abhängigkeit von der Temperaturän-derung:

dh = du + d(p · u) = du + d (Ri · T )


du = cv · dT (Definition)

Ri = cp – cv

dh = cv · dT + cp · dT – cv · dT

dh = cp · dT

Die spezifische Enthalpie h eines idealen Ga-ses bei der Temperatur T beträgt demnach:

T

h = h0 + cp ∫ dT = h0 + cp (T – T0) (Gl. 1.33)T0

Die Enthalpiewerte von Gasen und Dämpfenwerden in Tabellenwerken (z.B. [1.4, 1.5, 1.6,1.30, 1.31 und 1.32]) zusammengestellt oder insog. Mollier-h-s-Diagrammen grafisch darge-stelt ([1.4, 1.5, 1.6 und 1.33]).

In Kapitel 5 wird der Aufbau und Ge-brauch von Mollier-h-s-Diagrammen nochausführlich erklärt.

1.5.5 Dampfdruck

Unter dem Dampfdruck (Sättigungsdruck)versteht man den Grenzdruck, bei dem einStoff gerade im Gleichgewicht zwischen derflüssigen und gasförmigen Phase steht.

Die sog. Dampfdruckkurve (Siedekurve),die vom Tripelpunkt bis zum kritischen Punktverläuft, trennt die Bereiche des flüssigen undgasförmigen Zustandes (Bild 1.1). Zu jedemDruck gehört eine bestimmte Sättigungstem-peratur und umgekehrt. Die Kenntnis desDampfdrucks ist besonders bei Betrachtungund Berechnung von Kavitationserscheinun-gen erforderlich.

In den Tafeln 5 und 9 ist der Dampfdruckvon Wasser angegeben, Tafel 27 enthältDampfdruckkurven verschiedener Flüssigkei-ten. Weitere Werte können u.a. in [1.34 bis1.36] nachgeschlagen werden.

1.6 Oberflächenspannungen und Kapillarität

1.6.1 Einleitung

Bei der Beschreibung mancher Erscheinungenund Vorgänge der Physik, Chemie und Biolo-gie sowie bei vielen Verfahren der chemischenund mechanischen Verfahrenstechnik – z.B.Benetzen, Trennen, Waschen, Schäumen, Ent-schäumen, Emulgieren, Dismulgieren, Zer-stäuben, Flotation, Haften, Tropfen- und Blasenbildung – sind die physikalischen Zu-stände und Verhältnisse in den Grenzflächenvon Fluiden bzw. an den Berührungsflächenvon Festkörpern und Fluiden von großer Be-deutung.

In diesem Buch werden nur die wichtigstenBegriffe der Oberflächenspannung (Grenz-flächenspannung), Haftspannung und Kapil-larität kurz eingeführt und dargestellt. Wei-tere Einzelheiten – insbesondere die wissen-schaftlichen Grundlagen – können beispiels-weise in [1.37 bis 1.42] nachgelesen werden.

1.6.2 Oberflächenspannung

Ein Flüssigkeitsteilchen im Innern einer ru-henden, homogenen Flüssigkeit wird von sei-nen benachbarten Teilchen mit gleichen Kohä-sionskräften allseitig angezogen. Diese Anzie-hungskräfte halten sich gegenseitig dasGleichgewicht, d.h. zeigen nach außen keineWirkung (Bild 1.10).


Ein Flüssigkeitspartikel an der Grenzflächezu einer anderen Flüssigkeit, einem Gas oderDampf erfährt unterschiedlich große Anzie-hungskräfte.

Dies wird besonders deutlich an der Grenz-fläche zwischen einer Flüssigkeit und einemGas. Diese Grenzfläche wird auch freie Ober-fläche genannt. Die an dieser Grenzfläche wir-kenden, nach innen gerichteten Kohäsions-kräfte versuchen die Oberfläche möglichstklein zu halten. Sie verspannen sie gewisser-maßen wie eine dünne Haut oder Membrane –wie THOMAS YOUNG (s. Namensverzeichnis)schon 1805 festgestellt hat.

Ohne Wirkung äußerer Kräfte wollen dieOberflächen von Flüssigkeiten einen minima-len Wert im Vergleich zum Volumen anneh-men, was man beispielsweise gut bei derTropfen- und Blasenbildung beobachten kann.

Oberflächenspannungen sind sehr kleinund nehmen mit steigender Temperatur ab.Weil die Schichtdicke der Oberfläche sehrdünn ist, genügen schon geringfügige Verun-reinigungen, um die Oberflächenspannungmerklich herabzusetzen.

Die Oberflächenspannung s lässt sich ein-fach an einer verspannten Flüssigkeitshaut de-finieren bzw. herleiten (Bild 1.11). Durch dieKraft F wird der untere, bewegliche Schenkelum dh verschoben.

Luft oder Gas

freieOberfläche

Flüssigkeit Wirkungs-bereich

Bügel

beweglicherSchenkel

F

Flüssigkeitshaut

l

dh

F ′

Bild 1.11 Versuch zur Bestimmung der Oberflächenspannung

Bild 1.10 Zur Erklärung der Kohäsionskräfte inFlüssigkeiten

Die Oberflächenspannung ergibt sichdurch Division der Zugkraft F durch die dop-pelte Bügellänge l:

Fs = 7 (Gl. 1.34)

2 · l

s OberflächenspannungF Zugkraftl Bügellänge

Die Kraft F muss sinnvollerweise auf die dop-pelte Bügellänge l bezogen werden, weil dieFlüssigkeitshaut 2 Seiten, d.h. 2 Oberflächenhat. Man kann die Oberflächenspannung auchüber die zur Vergrößerung der Oberfläche er-forderliche Energie herleiten:

dW = s · dOdW = F · dhdO = 2 · l · dh

dWs = 7dO

F · dhs = 042 · l · dh

Fs = 72 · l

Oberflächenspannungen und Kapillarität 37

Es ergibt sich also wiederum Gleichung 1.34,aus der man die Dimension der Oberflächen-spannung

Kraft02Länge

ersieht.Als Einheit wird N/m empfohlen. Für

praktische Übungen und Berechnungen sindin Tabelle 1.7 einige Werte zusammengestellt.

Um den relativ großen Einfluss der Tempe-ratur auf die Oberflächenspannung zu de-monstrieren, sind in Bild 1.12 die Kurvenver-läufe der Oberflächenspannung einiger wich-tiger Flüssigkeiten angegeben.

Weitere Tabellen mit detaillierten Angabenfinden sich u.a. in [1.37, 1.43 und 1.44].

1.6.3 Haftspannung

An den Berührungsstellen von Fluiden anfesten Wänden entstehen Haftspannungen, anden Grenzflächen sich nicht mischender Flüs-sigkeiten entstehen Grenzflächenspannungen.

So entstehen abhängig von der Größe dieser Spannungen verschiedene Formen derBenetzung fester Wände (Bild 1.13).

Tabelle 1.7 Oberflächenspannungen s12 von Flüssigkeiten

Flüssigkeit Oberflächenspannung s 12 Temperatur tN/m °C

Wasser 0,073 20Benzol 0,028 20Alkohol 0,023…0,025 20Ethylether 0,016 20Quecksilber 0,47…0,49 20Speiseöl 0,025…0,030 20Ammoniak 0,042 – 29Schwefelwasserstoff 0,034 – 83Tetrachlorkohlenstoff 0,028 22Methanol 0,023 22Glykol 0,048 22Toluol 0,029 22geschmolzenes Kochsalz 0,114 800geschmolzenes Natrium 0,427 100geschmolzenes Blei 0,442 350

Diese Angaben beziehen sich auf Grenzflächen der Flüssigkeit gegen Luft oder den eigenen Dampf; sie wurden größtenteils aus [1.37, 1.43 und 1.44] entnommen.


s13

s13

s23

s23

s12

s12

B

Dampf, GasGrenzfläche

Flüssigkeit

fest

e W

and

a

a

a) b)

Bild 1.12 Oberflächenspannungen verschiedener Flüssigkeiten, abhängig von der Temperatur (nach [1.37])

Bild 1.13 Benetzungsarten von Flüssigkeiten

B

Oberflächenspannung von Wasser

t in °C s12 in N/m t in °C s12 in N/m

0 0,0756 90 0,060710 0,0742 100 0,058820 0,0728 150 0,048730 0,0712 200 0,037840 0,0696 250 0,026250 0,0679 300 0,014460 0,0662 250 0,003870 0,0644 374 080 0,0626

An den Grenzflächen herrschen folgendeOberflächenspannungen:

s13 = OberflächenspannungGas (Dampf) Æ Wand

s23 = OberflächenspannungFlüssigkeit Æ Wand

s12 = OberflächenspannungFlüssigkeit Æ Gas (Dampf)

Die Flüssigkeitsoberfläche bildet mit derfesten Wand den Benetzungswinkel (Rand-winkel, Kontaktwinkel) a. Nach Bild 1.13kann folgendes Spannungsgleichgewicht imBerührungspunkt B angesetzt werden:

s13 – s23 = s12 · cos a

s13 – s23cos a = 04 (Gl. 1.35)s12

Für die Größe des Berührungswinkels a, d.h.,die Oberflächenkontur in Wandnähe, kannman nach Gleichung 1.35 2 Bereiche unter-scheiden:

s13 > s23: benetzende Wand (hydrophileWand), z.B. Quarz (Glas), Silikate,Sulfate, KarbonateBenetzungswinkel a < 90°Flüssigkeit steigt in der Randzonean (Bild 1.13a)


s13 < s23: nicht benetzende Wand (hydro-phobe Wand), z.B. reine Metalle,Sulfide, GrafitBenetzungswinkel a > 90°Flüssigkeit sinkt in der Randzone(Bild 1.13 b)

Das Hochziehen oder Herabdrücken einerFlüssigkeit an einer festen Begrenzungswandkann man aus dem Unterschied zwischen denAdhäsionskräften, die die Wand auf die Flüs-sigkeit ausübt, und den Kohäsionskräften,die zwischen den Flüssigkeitsteilchen wirken,erklären.

Als Haftspannung bezeichnet man denSpannungsunterschied s13 – s23 .

Wird die Haftspannung größer als dieOberflächenspannung s12 der Flüssigkeit, sowird die Wand vollständig benetzt, der Benet-zungswinkel a wird 0. In Bild 1.14 sind Trop-fenbildung bzw. Ausbreitung verschiedenerFlüssigkeiten gegenübergestellt. Auch dieAusbildung eines schwimmenden Tropfensoder einer schwimmenden Gas- bzw. Dampf-blase an der Grenze zweier Flüssigkeiten kannüber die Oberflächenspannungen erklärt wer-den, die in den Grenzflächen wirken (Bild1.15).

Zur Berechnung von praktischen Beispie-len sind in Tabelle 1.8 einige Angaben vonOberflächenspannungen zwischen Fluidenund festen Wänden sowie zwischen nicht

Quecksilbertropfen Petroleumbreitet sich aus(a = 0°)

Wassertropfena

a

a ≈135 bis 138° a ≈ 8° saubere Glasplatte

Flüssigkeit

Flüssigkeit

Flüssigkeit

Flüssigkeit

Gas (Dampf)

Gasblase

s12

s12

s13

s 13

s23

s23

a

b

b

a

g

g

Bild 1.15Ausbildung schwebenderTropfen und Gasblasen

Bild 1.14Tropfenbildung von Flüssigkeiten

mischbaren Flüssigkeiten aus den einschlägi-gen Tabellenwerken herausgezogen.

1.6.4 Grenzflächendruck(Kapillardruck)

An ebenen Grenzflächen treten keine senk-recht zur Oberfläche wirkenden Druckkräfteauf, weil alle Oberflächenspannungen in einerEbene liegen und keine orthogonalen Kompo-nenten besitzen. Bei gekrümmten Grenz-flächen, z.B. an Gefäßrandzonen (Bild 1.13),oder bei Tropfen und Blasen (Bilder 1.14 und1.15) tritt eine senkrecht zur gekrümmtenGrenzfläche wirkende Normalkraft auf, die einen Grenzflächendruck zur Folge hat, derauch Krümmungsdruck oder Kapillardruckgenannt wird.

Betrachtet man ein mit den Radien R1 undR2 gekrümmtes Oberflächenelement dA (Bild1.16), ergibt sich folgender Gleichgewichtsan-satz zwischen dem Grenzflächendruck Dpk

und der Oberflächenspannung s12 :

dFn = Dpk · ds1 · ds2

= s12 · ds2 · J1 + s 12 · ds1 · J2


ds1Krümmungswinkel J1 = 6R1

ds2Krümmungswinkel J2 = 6R2

ds1 ds2Dpk · ds1 · ds2 = s12 · ds2 · 6 + s12 · ds1 · 6R1 R2

1 1Dpk = s12 · �5 + 5� (Gl. 1.36)

R1 R2

Dpk Grenzflächendrucks12 OberflächenspannungR1; R2 Krümmungsradien

Diese Beziehung wurde bereits anfangs des19. Jahrhunderts von LAPLACE, YOUNG undGAUSS (s. Namensverzeichnis) unabhängigvoneinander angegeben. Aus dieser Glei-chung erkennt man, dass ein kugelförmigerTropfen mit dem Radius R durch den Grenz-flächendruck

2 · s12Dpk = 82 (Gl. 1.37)R

zusammengedrückt wird [1.41].

Tabelle 1.8 Oberflächenspannungen und Benetzungswinkel

Fluid Festkörper Oberflächenspannung s12 Benetzungswinkel aN/m Grad

Wasser Glas &0,073 ≈ 8Grafit 0,005 86Kupfer 70,073 ≈ 0

Quecksilber Glas 0,35 135…140Stahl 0,43 154

Glycerin Glas 767 ≈ 0Platin 767 ≈ 0

Benzol Glas 28 6Kohle 61 0

Luft Glas 0,9…0,1

Wasser gegen Quecksilber 0,39…0,43 bei 18°CWasser gegen Benzol 0,034 bei 25°CWasser gegen Toluol 0,036 bei 25°CWasser gegen Quecksilber 0,38 bei 25°C

Die Zahlenwerte wurden hauptsächlich aus [1.37 und 1.43] entnommen.

Eine hauchdünne Seifenblase besitzt eineinnere und eine äußere Oberfläche, so dasseine doppelte Oberflächenkraft auftritt, diesich mit der Druckkraft aus dem innerenÜberdruck das Gleichgewicht halten muss:

2 · s12 · 2 · p · R = Dpi · p · R2

4 · s12Dpi = 83 (Gl. 1.38)R

1.6.5 Kapillarität

Taucht man ein enges Röhrchen in eine Flüs-sigkeit ein, kann man bei benetzenden Flüs-sigkeiten (z.B. Wasser gegenüber Glas) einHochsteigen der Flüssigkeit, bei nicht benet-zenden Flüssigkeiten (z.B. Quecksilber ge-genüber Glas) ein Absinken des Flüssigkeits-meniskus im Röhrchen gegenüber der freienOberfläche beobachten (Bild 1.17).

Die mittlere Anhebung hm bzw. Absenkunghm lässt sich unter Verwendung des Aus-drucks für den Kapillardruck in Gleichung1.36 herleiten.

Der Meniskus der Flüssigkeitssäule erfährtbei einem Krümmungsradius R folgenden


Kapillardruck, der eine nach oben gerichteteDruckkraft Fp zur Folge hat:

1 1Dpk = s12 · �3 + 3�R R

2Dpk = s12 · 3R

r dR = 0 = 86cos a 2 · cos a

4 · cos aDpk = s12 86d

pFp = Dpk · 3 · d2

4

Bild 1.16 Zur Ableitung des Kapillardruckes

da

R

r1

r2

r hm

Kapillaraszensionz. B. Wasser in einer Glasröhre

hm

d

Kapillardepressionz. B. Quecksilber in einer Glasröhre

Bild 1.17 Kapillarität in Rohren

4 · cos a pFp = s12 04 · 3 · d 2

d 4Fp = s12 · p · cos a · d

Diese Druckkraft hält der Gleichgewichtskraftder hochgezogenen Flüssigkeitssäule vermin-dert um den statischen Auftrieb im Gas mitder Dichte r1 das Gleichgewicht.

pG = (r2 – r1) · g · hm · d 2 · 34G = Fp

p(r2 – r1) · g · hm · d2 · 3 = s12 · p · cos a · d

4

4 · s12 · cos ahm = 003 (Gl. 1.39)

g (r2 – r1) · d

hm Steighöhe bzw. Depressionshöhes12 Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Gasa Benetzungswinkelg Erdbeschleunigungr2 Dichte der Flüssigkeitr1 Dichte des Gasesd Innendurchmesser des Kapillarröhrchens

Nimmt man der Einfachheit halber an, dassder Meniskus die Form einer Halbkugel mitdem Radius d/2 hat, wird a = 0, d.h. cos a = 1und vernachlässigt noch die Gasdichte r1 ge-genüber der viel größeren Flüssigkeitsdichter2, erhält man folgende recht genau zutref-fende Näherungsformel für die kapillare As-zensions- bzw. Depressionshöhe hm:

4 · s12hm ≈ 04 (Gl. 1.40)r2 · g · d

hm Steighöhe bzw. Depressionshöhes12 Oberflächenspannung Flüssigkeit Æ Gasr2 Dichte der Flüssigkeitg Erdbeschleunigungd Innendurchmesser des Kapillarröhrchens

In Bild 1.18 sind die Steighöhen einiger Flüs-sigkeiten sowie die Depressionshöhe vonQuecksilber abhängig vom lichten Rohrdurch-messer d, nach Näherungsgleichung 1.40 be-rechnet, dargestellt. Eine ähnliche Beziehunglässt sich auch für die Kapillaraszension und


Kapillardepression zwischen 2 parallelenWänden herleiten (Bild 1.19).

Kapillardruck Dpk:

1 1Dpk = s12 · �4 + 4�R1 R2

sR1 = R ≈ 32

1R2 = ∞ ; 4 = 0

R2

s12 2 · s12Dpk = 5 ≈ 0R s

Ab

senk

ung

Ste

ighö

he

t= 20 °C

Wasser

10 32 54 76 8 10mm

ToluolTetrachlorkohlenstoff

+30mm+25

+20

+15

+10

+5

0

–5

–10mm–15

Quecksilber

lichter Rohrdurchmesser

Bild 1.18 Kapillaraszension und Kapillar-depression verschiedener Flüssigkeiten

R

hm

s

l

Bild 1.19 Kapillarität zwischen parallelen Platten

Kapillardruckkraft Fp:

Fp = Dpk · l · s

2 · s12Fp = 0 · l · ss

Fp = 2 · s12 · l

Gewichtskraft G:

G ≈ r2 · g · hm · l · s(Gasdichte r1 vernachlässigt)

Gleichgewichtsansatz:

Fp = G

2 · s12 · l ≈ r2 · g · hm · l · s


2 · s12hm ≈ 03 (Gl. 1.41)r2 · g · s

hm Steighöhe bzw. Depressionshöhes12 Oberflächenspannung

Flüssigkeit Æ Gasr2 Dichte der Flüssigkeitg Erdbeschleunigungs Abstand zwischen den Platten

Die Kapillarsteighöhe hm zwischen 2 paralle-len Platten im Abstand s ist nur halb so großwie die Kapillarsteighöhe hm in einem Röhr-chen mit dem Innendurchmesser d = s.

Beispiel 6

Aufgabenstellung:In einem Kapillarröhrchen von 2 mm Innen-durchmesser steigt Wasser hoch.Die Wassertemperatur t variiert im Bereich10…90°C. Wie groß ist die Steighöhe hm ab-hängig von der Wassertemperatur t?

Lösung:Die Steighöhe hm wird nach der Näherungs-gleichung 1.40 berechnet:

4 · s12hm ª 03r2 · g · d

Die Oberflächenspannung s12 von Wassergegen Luft wird aus Bild 1.12, die Dichte r2

16

14

12

100 20 40 60 80 100°C

Temperatur t

Ste

ighö

hehm

mm

Bild 1.20 Zu Beispiel 6

Temperatur t Oberflächenspannung s12 Dichte r2 Steighöhe hm

°C N/m kg/m3 m

10 0,0742 999,7 15,1320 0,0728 998,3 14,8730 0,0712 995,7 14,5840 0,0696 992,3 14,3050 0,0679 988 14,01 � · 10– 3

60 0,0662 983,2 13,7370 0,0644 977,7 13,4380 0,0626 971,6 13,1490 0,0607 965,2 12,82

Die Funktion hm = f (t) ist in Bild 1.20 dargestellt.

des Wassers aus Tafel 5 entnommen. Die Be-rechnung erfolgt tabellarisch:

Interessante Informationen, zum Thema Kapillarität finden sich auch bei Schubert, H.: Kapilla-rität in porösen Feststoffsystemen. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1982. Das Fach-buch enthält zahlreiche Literaturhinweise.Messgeräte zur Messung von Grenzflächenspannungen sind in [6.3], Abschnitt 7.4 beschrieben.

44

2.1 Ausbildung der freien Oberfläche

Flüssigkeiten passen sich der Form der sieumschließenden Behälterwände an. Grenz-flächen zwischen Flüssigkeiten bzw. zwischenFlüssigkeiten und Gasen werden als freieOberflächen bezeichnet (Bild 1.10).

Die sich im Gleichgewicht befindendefreie Oberfläche steht in jedem ihrerPunkte normal zur angreifenden Kraft.

Wirkt an den Flüssigkeitsteilchen nur dieSchwerkraft, bildet sich als freie Oberflächeeine Kugelfläche aus. Bei Gefäßen mit kleinenAbmessungen kann die Kugelfläche mit genü-gender Genauigkeit auch als ebene Fläche an-gesehen werden. An großen Seen oder amMeer ist die Kugelform der freien Oberflächedeutlich zu sehen (Verschwinden eines Schif-fes hinter dem Horizont bzw. Auftauchen ei-nes Schiffes über der Kimm).

An einem mit der Beschleunigung a gleich-mäßig beschleunigten Behälter (Bild 2.1) wird

die Ausbildung einer ebenen freien Ober-fläche betrachtet.

In vertikaler Richtung greift am Masseteil-chen dm die Schwerkraft (Gewichtskraft)

dG = dm · gan.

Entgegengesetzt zur Richtung der Be-schleunigung a wirkt die Trägheitskraft

dFa = dm · a

die in folgende Komponenten zerlegt wird:

horizontale Richtung: dFa,h = dm · a · cos avertikale Richtung: dFa,v = dm · a · sin aDie resultierende Kraft dR, die auf der freienOberfläche senkrecht steht, besteht aus folgen-den Komponenten:

horizontale Richtung:I) dR · sin b = dm · a · cos avertikale Richtung:II) dR · cos b = dm · g + dm · a · sin aDividiert man Gleichung I durch Gleichung II,erhält man folgenden Ausdruck für den Nei-gungswinkel b der freien Oberfläche zur Hori-zontalen (x-Richtung):

dR · sin b dm · a · cos a08 = 0007dR · cos b dm · g + dm · a · sin a

a · cos atan b = 00 (Gl. 2.1)

g + a · sin a

b Neigungswinkel der freien Oberflächea Beschleunigunga Richtungswinkel der Beschleunigungg Erdbeschleunigung

Für den Sonderfall der horizontal wirkendenBeschleunigung a (Winkel a = 0) vereinfachtsich Gleichung 2.1:

atan b = 3 (Gl. 2.2)

g

2 Hydrostatik

l

h

dR

dm

dGb

dFa,vdFa, h

dFa,

a

a

a

Bild 2.1 Flüssigkeit in einem gleichmäßig beschleunigten Gefäß

Die Steighöhe h des Flüssigkeitsspiegels amäußeren Rand lässt sich aus folgender Bezie-hung bestimmen:

h = l · tan b

a · cos ah = l 00 (Gl. 2.3)

g + a · sin a

h Steighöhel Behälterlängea, g, a siehe Legende zu Gleichung 2.1

Auch die Form der freien Oberfläche einerFlüssigkeit in einem mit konstanter Winkelge-schwindigkeit w rotierenden Gefäß lässt sichdurch Betrachtung der Wirkung von Schwer-kraft und Fliehkraft ermitteln (Bild 2.2).

An einem Masseteilchen dm der freienOberfläche greifen folgende Kräfte an:

in radialer Richtung die Fliehkraft dC:

dC = dm · r · w2

in vertikaler Richtung die Schwerkraft (Ge-wichtskraft) dG:

dG = dm · g

Fliehkraft dC und Schwerkraft dG werdenvektoriell zur Resultierenden dR addiert.

Die Resultierende dR steht senkrecht zurfreien Oberfläche und schließt mit der Ge-

46 Hydrostatik

wichtskraft dG den Winkel a ein, der gleich-zeitig Neigungswinkel der Tangente an dieKontur der freien Oberfläche im Punkt dm(mit den Zylinderkoordinaten r und z) ist.

Differenziert man die zunächst noch un-bekannte Funktion z = f (r), erhält man folgen-den Ausdruck für den Tangentenneigungs-winkel a:

dztan a = 5dr

Aus dem Kräfteplan ergibt sich:

dC dm · r · w2 r · w2

tan a = 6 = 08 = 0dG dm · g g

Das Gleichsetzen beider Ausdrücke für tan aführt zu folgender Differentialgleichung fürdie Funktion z = f (r):

dz r · w2

5 = 9dr g

Durch Trennung der Veränderlichen z und rsowie Integrieren bekommt man die Glei-chung der Rotationskurve der freien Ober-fläche:

r · w2

dz = 9 drg

w2� dz = 5 � r · drg

w2 r2

z = 5 · 4 + konstg 2

Die Integrationskonstante erhält man durchEinsetzen der Koordinaten des Scheitel-punkts S:

r = 0; z = zmin

w 2 02

zmin = 5 · 4 + konstg 2

konst = zmin

Damit lautet die Gleichung der Rotations-kurve:

w2 · r2

z = 01 + zmin (Gl. 2.4)2g

Bild 2.2 Flüssigkeit in einem rotierenden Gefäß

z vertikale Koordinatew Winkelgeschwindigkeitr Radiusg Erdbeschleunigungzmin vertikale Koordinate des Scheitel-

punktes S

Gleichung 2.4 beschreibt die Kontur einesquadratischen Rotationsparaboloids.

Interessant ist, dass die Form des Parabo-loids unabhängig von der Art der Flüssigkeitist, weil die Dichte nicht eingeht. Nur das imRuhezustand zwischen dem Niveaupegel hund der sich bei der Rotation einstellendenScheitelhöhe zmin befindliche Flüssigkeitsvolu-men bildet den das Rotationsparaboloid um-schließenden Flüssigkeitskörper.

Dieses Volumen berechnet sich aus demGefäßradius r0 und dem Höhenunterschied h – zmin:

V = r20 · p (h – zmin)

Das vom Rotationsparaboloid abgegrenzteFlüssigkeitsvolumen beträgt:

V = r20 · p (zmax – zmin) – VParaboloid

Das Volumen eines quadratischen Paraboloidsist bekanntlich gleich dem halben Volumendes umschriebenen Kreiszylinders:

r20 · p (zmax – zmin)

VParaboloid = 0002

Damit ergibt sich für das Volumen V:

V = r20 · p (zmax – zmin)


– 0002


V = 0002

Durch Gleichsetzen beider Ausdrücke für Vfolgt:


r20 · p (h – zmin) = 0002

zmax + zminh = 082

Ausbildung der freien Oberfläche 47

Die Steighöhe zmax am Gefäßrand erhält manaus Gleichung 2.4 durch Einsetzen von r = r0 :

w2 · r20zmax = 02 + zmin2g

w2 · r20

02 + zmin + zmin2gh = 00032

w2 · r20zmin = h – 02 (Gl. 2.5)

4g

Für zmax ergibt sich ein ähnlicher Ausdruck:

w2 · r20 w2 · r2

0zmax = 02 + h – 022g 4 g

w2 · r20zmax = h + 02 (Gl. 2.6)

4g

zmin Koordinate des Scheitelpunkts Szmax Steighöhe am Rand (r = r0)r0 Radius des Gefäßesh Flüssigkeitspegel im Ruhezustandw Winkelgeschwindigkeitg Erdbeschleunigung

Vergleicht man die Gleichungen 2.5 und 2.6,erkennt man, dass die Flüssigkeit sich in derGefäßachse um den gleichen Wert, nämlich w2 · r 2

0/(4 g) absenkt, wie sie am Gefäßrandhochsteigt, jeweils bezogen auf den Ruhepe-gel h.

Setzt man in Gleichung 2.4 für zmin den Aus-druck von Gleichung 2.5 ein, wird die Funk-tion z = f (r) durch die geometrischen Größenr0 und h sowie die Winkelgeschwindigkeit wausgedrückt:

w2

z = h + 5 (2r2 – r20) (Gl. 2.7)

4g

Die Ausbildung der freien Oberfläche inBehältern, die nicht um ihre eigene Achse ro-tieren, sondern z.B. um eine versetzte verti-kale Achse oder eine horizontale Achse, kannin der weiterführenden Literatur, z.B. in [2.1]nachgelesen werden.

Beispiel 7

Aufgabenstellung:Ein kreiszylindrisches Gefäß ist bis zu einerHöhe von 1 m mit einer Flüssigkeit gefüllt.Das Gefäß hat einen Durchmesser von 2 mund eine Höhe von 2 m (Bild 2.3).Wie groß muss die Winkelgeschwindig-

keit w gemacht werden, wenn die Flüssig-keit gerade den oberen Gefäßrand erreichensoll?

48 Hydrostatik

Lösung:Nach Gleichung 2.6 beträgt die maximaleSteighöhe zmax am Gefäßrand:

w2 · r20zmax = h + 014g

h = 1 m

r0 = 1 m

w2 · r20

01 = zmax – h4g

4gw2 = 5 · (zmax – h)

r20

4 · 9,81w2 = 03 · (2 – 1) = 4 · 9,81

12

w = 6,26 s– 1

Ø 2 m

2 m

1 m

w

für w = 0

Bild 2.3 Beispiel 7

2.2 Hydrostatischer Druck

2.2.1 Grundbegriffe

Unter dem hydrostatischen Druck verstehtman den Quotienten aus Normalkraft dFn undgedrückter Fläche dA (Bild 2.4):

Druckkraft dFnp = 00 = lim 7 (Gl. 2.8)Fläche dA Æ e dA

Im Innern einer ruhenden, reibungsfreienFlüssigkeit bzw. an den Begrenzungswändeneines Behälters werden nur Normalkräfteübertragen; Schub- und Zugkräfte treten nichtauf.

Der hydrostatische Druck hat für jededurch einen Punkt der Flüssigkeit gelegte Be-zugsfläche den gleichen Wert, d.h., er ist einerichtungsunabhängige (skalare) Größe, dienur vom Ort abhängt. Die Druckkraft ist dage-gen ein Vektor, der normal zur gedrücktenFläche steht.

Die exakte wissenschaftliche Herleitung deshydrostatischen Druckes und Beschreibungdes Kräftegleichgewichtes in ruhenden Flüs-sigkeiten kann u.a. in [2.2 bis 2.4] nachgelesenwerden.

Bei der Definition und bei der Messung desstatischen Druckes in Behältern unterscheidetman folgende Druckbegriffe:

dFn

dA

p

Projektion

der Fläche

dA

Bild 2.4Zur Definition des hydrostatischen Druckes

Absolutdruck pa

Überdruck pü

Unterdruck pu

Bezugsdruck p0

In Tabelle 2.1 und Bild 2.5 werden die ver-schiedenen Druckbegriffe dargestellt.

Der Druck in einer Flüssigkeit kann auf fol-gende Arten erzeugt werden:

❑ durch äußere Kräfte, z.B. Kolbendruck,❑ durch innere Kräfte, z.B. Schweredruck.

2.2.2 Einheiten

Der Druck hat gemäß Definitionsgleichung2.8 die Dimension

Kraft03Länge2

Die Basiseinheit des Druckes im SI-System istdas Pascal, abgekürzt Pa.

Hydrostatischer Druck 49

N1 Pa = 1 5m2

Neben der Einheit Pa sind noch zahlreiche an-dere Druckeinheiten im Gebrauch, von denenein Teil in Tabelle 2.2 zusammengestellt ist.

Tabelle 2.1 Druckbegriffe

Absolutdruck pa Überdruck pü Unterdruck pu

Der Absolutdruck pa Der Überdruck pü Der Unterdruck pu

ist der auf das ist gleich dem ist gleich demabsolute Vakuum Absolutdruck pa , Bezugsdruck p0 ,bezogene Druck. vermindert um einen vermindert um den

Bezugsdruck p0 (z.B. Absolutdruck pa

Atmosphärendruck)

pü = pa – p0 pu = p0 – pa

Überdruckbereich

pü

pa

p0 p0

pu

pa

Unterdruck-bereich

Bezugsdruck p0Dru

ckp

pa = 0 absolutes Vakuum

Bild 2.5 Druckbereiche

50 Hydrostatik

2.2.3 Erzeugung deshydrostatischen Druckes

2.2.3.1 Kolbendruck

In einem durch einen reibungsfrei bewegli-chen Kolben verschlossenem Gefäß ist eineNewton’sche Flüssigkeit vollständig dicht ein-geschlossen (Bild 2.6). Der Kolben wird durchdie Kraft F auf die Flüssigkeit gedrückt, wo-durch sie in einen homogenen Pressungszu-stand versetzt wird.

Der hydrostatische Druck p beträgt:

Fp = 4 (Gl. 2.9)

A

Tabelle 2.2 Druckeinheiten

Name Kurzzeichen Verknüpfung

neue Einheiten Pascal Pa 1 Pa = 1 N/m2

Megapascal MPa 1 MPa = 106 Pa

Bar bar 1 bar = 105 Pa

Millibar mbar 1 mbar = 10– 3 bar = 100 Pa

Hektopascal hPa 1 hPa = 100 Pa = 1 mbar

alte Einheiten Kilopond durch kp/m2 1 kp/m2 = 9,80665 PaQuadratmeter

Millimeter mm WS 1 mm WS = 9,80665 PaWassersäule

technische at 1 at = 98066,5 PaAtmosphäre

physikalische atm 1 atm = 101325 PaAtmosphäre

Torr Torr 1 Torr = 133,3224 Pa(Millimeter (mm Hg)Quecksilbersäule)

angelsächsische pound per lb. lb.Einheiten 9 1 9 = 47,8802 Pa

square foot sq. ft. sq. ft.

pound per lb. lb.9 1 9 = 6894,74 Pa

square inch sq. in. sq. in.(p.s.i.)

inch watergauge in. WG 1 in. WG = 249,09 Pa

F

Kolben

Gefäß

ds

Bild 2.6 Erzeugung des Kolbendruckes

p hydrostatischer DruckF KolbenkraftA Kolbenfläche

Nach dem bereits von PASCAL (s. Namensver-zeichnis) angegebenen Druckfortpflanzungs-gesetz verbreitet sich der hydrostatische Kol-bendruck gleichmäßig nach allen Seiten durchden gesamten eingeschlossenen Flüssigkeits-körper fort und wirkt auch an jeder Stelle derBehälterwand.

Eine bekannte Anwendung des Druckfort-pflanzungsgesetzes ist die hydraulische Pres-se (Bild 2.7). Die auf den Pumpenkolben �wirkende Kraft F1 ruft in der Flüssigkeit denDruck

F1p = 4A1

hervor, der sich im gesamten Druckgefäßgleichmäßig fortpflanzt und auf den Arbeits-kolben � die Nutzkraft F2 ausübt.

F2 = p · A2

Zwischen den Kolbenkräften und den Kolben-flächen bzw. Kolbendurchmessern besteht fol-gender Zusammenhang:

F1 F24 = p = 4A1 A2


F2 A2 d22

4 = 5 = 4 (Gl. 2.10)F1 A1 d2

1

F2 Nutzkraft am Kolben 2F1 Kraft am Kolben 1A2 Fläche des Kolbens 2A1 Fläche des Kolbens 1d2 Durchmesser des Kolbens 2d1 Durchmesser des Kolbens 1

Die Kolbenkräfte verhalten sich wie dieKolbenflächen bzw. Quadrate der Kol-bendurchmesser.

Bezeichnet s1 den vom Pumpenkolben � ,s2 den vom Arbeitskolben � zurückgelegtenHubweg, so ergibt sich über die Gleichheit desvom Pumpenkolben verdrängten und unterden Arbeitskolben eintretenden inkompressi-blen Flüssigkeitsvolumens:

A1 · s1 = A2 · s2

s2 A1 d 21

3 = 5 = 4 (Gl. 2.11)s1 A2 d 2

2

s2 Weg des Kolbens 2s1 Weg des Kolbens 1A1 , A2 , d1 , d2 siehe Legende zu Gleichung 2.10

Kolben 2(Arbeitskolben)

s2

s1Kolben 1(Pumpenkolben)

Druckgefäß

F2F1

pp

d 2

d 1 A1

A2Bild 2.7Hydraulische Presse (vereinfachtes Schema)

Die Kolbenhübe verhalten sich um-gekehrt wie die Kolbenfläche bzw. Quadrate der Kolbendurchmesser.

Nimmt man reibungsfreie, ideale Kraftüber-tragung an, kommt man über die Betrachtungder Kolbenarbeit zum gleichen Ergebnis:

W1 = F1 · s1; W2 = F2 · s2

W1 = W2

F1 · s1 = F2 · s2

A2F2 = F1 5A1

A2F1 · s1 = F1 · 5 · s2A1

s2 A1 d21

3 = 5 = 4s1 A2 d22

Die Aussagen der Gleichungen 2.10 und 2.11gelten nur für ideale, reibungsfreie Kraftüber-tragung. Wirklich hydraulische Pressen undHebevorrichtungen enthalten neben den Kol-ben und dem Druckgefäß noch Rohrleitun-gen, Ventile, Hähne, Dichtelemente usw., indenen bei Verschiebung der Flüssigkeit undder beweglichen Bauteile Reibungsverlusteauftreten, die die wirkliche Kraft F2 gegenüberder idealen Kraft nach Gleichung 2.10 verrin-gern.

2.2.3.2 Druckarbeit

Bei der Erzeugung des hydrostatischen Kol-bendruckes in einem Druckzylinder (Bild 2.6)wird folgende Arbeit verrichtet, d.h. Energieumgewandelt:

W = F · ds

Erweitert man diesen Ausdruck mit der Kol-benfläche A, kann die Druckarbeit W auchdurch die Volumenänderung dV ausgedrücktwerden:

FW = 3 · A · ds

A

A · ds = dV

W = p · dV (Gl. 2.12)

52 Hydrostatik

Bei konstant bleibendem hydrostatischemDruck p ist die Druckarbeit W gleich dem Pro-dukt aus dem Druck p und der Volumenände-rung dV.

Ändert sich der Druck p beim Pressvorgangvon p1 auf p2 , ergibt sich folgender Ansatz:

p2

W = Ú p · dVp1

dV = bT · V1 · dp

p2

W = bT · V1 · Ú p · dpp1

1W = 3 · bT · V1(p2

2 – p21) (Gl. 2.13)

2

W DruckarbeitbT isothermer Kompressibilitätskoeffizient

(Tafel 2)V1 Volumen beim Druck p1

p1 Anfangsdruckp2 Enddruck

2.2.3.3 Schweredruck

An der freien Oberfläche einer in einem offe-nen Gefäß befindlichen Flüssigkeit herrschtder Druck p0 (Bild 2.8). Dieser Druck pflanztsich nach dem Pascal’schen Druckfortpflan-zungsgesetz gleichmässig durch die Flüssig-keit fort. Dem Kolbendruck p0 überlagert sichder von der Tiefe h abhängende Schwere-druck p, dessen Größe sich aus folgenderGleichgewichtsbetrachtung ableiten lässt:

Bild 2.8 Zur Entstehung des Schweredruckes

Im Schwerpunkt eines Flüssigkeitsprismasmit der Querschnittsfläche dA und der Höhe hgreift folgende nach unten wirkende Ge-wichtskraft (Schwerkraft) dG an:

dG = r · g · dV = r · g · h · dA

Weil sich die Flüssigkeit in Ruhe befindet,wird die Gewichtskraft dG durch eine gleichgroße auf die untere Druckfläche dA wir-kende vertikale Aufdruckkraft dF kompen-siert.

dF = p · dA

dG = dF

r · g · h · dA = p · dA

p = r · g · h (Gl. 2.14)

p hydrostatischer Schweredruckr Dichte der Flüssigkeitg Erdbeschleunigungh Flüssigkeitstiefe

Der Schweredruck wächst demnach linear mitder Flüssigkeitstiefe.

In Punkten gleicher Tiefe h herrscht über-all der gleiche hydrostatische Druck p.Die Druckverteilung ist unabhängig vonder Form oder von der Größe des Ge-fäßes.

Weil zusätzlich auf die Flüssigkeitsoberflächeder Druck p0 wirkt, beträgt der Gesamtdruck(Absolutdruck) in der Tiefe h:

pges = p0 + p = p0 + r · g · h (Gl. 2.15)

Gleichung 2.14 zeigt, dass man den Druckdurch die Länge einer Flüssigkeitssäule aus-drücken kann. Messgeräte, denen dieses Messprinzip zugrunde liegt heißen Flüssig-keitsmanometer (vgl. Abschnitt 6.1.3).

Füllt man zwei sich nicht mischende Flüs-sigkeiten unterschiedlicher Dichten r1 undr2 in einen Behälter (Bild 2.9), so setzt sich die leichtere Flüssigkeit über der schwerenFlüssigkeit ab, und zwischen den Flüssig-


keiten bildet sich eine horizontale Trenn-schicht (Grenzfläche) aus.

Der Druck in der Grenzschicht ergibt sichaus dem Kolbendruck p0 , der an der Ober-fläche wirkt, und dem Schweredruck p1 :

pges1 = p0 + p1 = p0 + r1 · g · h1

Der Druck am Gefäßboden vergrößert sichnoch um den Schweredruckanteil p2:pges2 = p0 + p1 + p2

pges2 = p0 + r1 · g · h1 + r2 · g · h2

2.2.3.4 Kommunizierende Gefäße

Aus der Tatsache, dass der hydrostatischeDruck in horizontalen Ebenen (d.h. in gleicherFlüssigkeitstiefe) überall gleich groß ist, lässtsich leicht die Niveaueinstellung in kommuni-zierenden Gefäßen (verbundenen Gefäßen)ableiten.

Bild 2.10 stellt ein mit 2 ungleichen Schen-keln versehenes Gefäß dar, das mit einer ho-mogenen Flüssigkeit mit der Dichte r gefülltist.

Auf den Flüssigkeitsspiegel des linkenSchenkels wirkt der Druck p1 , rechts derDruck p2 .

In der Tiefe I–I muss überall der gleicheDruck p1 vorhanden sein:

pI = p1 + r · g · h1 , p2 + r · g · h2

p2 – p1 = r · g (h1 – h2)

p2 – p1 = r · g · Dh (Gl. 2.16)

p0

p

pges.1

p0

pges. 2

p1 p2

h1

h2

Flüssigkeit 1r1

Trennschicht

Flüssigkeit 2r2

Bild 2.9 Druckverteilung in Flüssigkeiten verschiedener Dichte

Die vom Druckunterschied p2 – p1 hervorgeru-fene Niveaudifferenz Dh ist unabhängig vonder Größe und Form der beiden Gefäße. Fürden Sonderfall, dass p1 = p2 wird, stellt sich inbeiden Gefäßen der gleiche Spiegelstand ein,d.h., die Flüssigkeitsspiegel liegen in einer ho-rizontalen Ebene.

Praktische Anwendungen der kommuni-zierenden Gefäße stellen beispielsweise dieSchlauchwaage zum Nivellieren oder Was-serstandsgläser an Behältern oder Kesselnzum Messen des Füllstandes dar (Bild 2.11).

Auch die Gleichungen 6.2 und 6.3 zur Be-stimmung eines Druckes aus einer gemesse-nen Höhe einer Flüssigkeitssäule sind aus derBetrachtung von kommunizierenden Röhrenhergeleitet und stellen letztlich nur Abwand-lungen von Gleichung 2.16 dar.

Bringt man in ein U-Rohr zwei homogeneFlüssigkeiten unterschiedlicher Dichten, sotritt die schwere Flüssigkeit in beide Schenkel

54 Hydrostatik

ein, die leichte Flüssigkeit steht in einemSchenkel über der schweren Flüssigkeit (Bild2.12).

In der horizontalen Schnittebene I–I wirktüberall der gleiche Druck pI :

pI = p0 + r1 · g · h1 = p0 + r2 · g · h2

Daraus ergibt sich eine einfache Beziehungzwischen den Dichten r1 und r2 sowie denSpiegelhöhen h1 und h2:

r1 · g · h1 = r2 · g · h2

r1 h24 = 4 (Gl. 2.17)r2 h1

Ist eine der beiden Dichten bekannt, lässt sichdurch Messen der beiden Höhen h1 und h2 dieandere Dichte bestimmen.

2.3 Druckkräfte

2.3.1 Druckkräfte bei Wirkungdes Kolbendruckes

2.3.1.1 Druckkräfte gegen ebene Wände

Ein mit einem ebenen Deckel verschlossenerDruckbehälter ist mit einer unter dem innerenÜberdruck pi, ü stehenden Flüssigkeit vollstän-dig gefüllt (Bild 2.13).

Die auf die ebene Deckelfläche ausgeübteDruckkraft F steht senkrecht auf dem Deckel

p1

p2

h2

h1

Dh=h1– h2

Bild 2.10 Kommunizierende Gefäße

Gas, Dampf, Luft

Behälter

Flüssigkeit

Standglas

Ska

la

Bild 2.11 Flüssigkeitsstandmessung

p0

p0

h1

I I

h2

Flüssigkeit 2

Flüssigkeit 1

r2

r1

Bild 2.12 Dichtemessung mittels U-Rohr

Die Druckkraft F auf eine gewölbteFläche ist demnach gleich dem Produktaus innerem Überdruck und in Kraft-richtung projizierter Fläche.

und berechnet sich als Produkt aus inneremÜberdruck pi, ü und gedrückter Deckelfläche A:

F = pi, ü · A (Gl. 2.18)

F Druckkraftpi , ü innerer ÜberdruckA Deckelfläche

Bei der Berechnung von Druckbehältern wirdzur gedrückten Deckelfläche A noch ein Teilder Dichtfläche zwischen Deckel und Behäl-terflansch hinzugerechnet. Nähere Einzelhei-ten hierzu sind den einschlägigen Berech-nungsvorschriften – z.B. den TRB-Richtlinien[2.5], TRD-Richtlinien [2.6] oder der Fachlite-ratur [2.7 bis 2.9] – zu entnehmen.

2.3.1.2 Druckkräfte gegen gekrümmteWände

Ein mit einer Flüssigkeit vollständig gefüll-ter Behälter steht unter dem inneren Über-druck p i, ü . Der Behälter ist mit einem gewölb-ten Deckel verschlossen (Bild 2.14).

Betrachtet man ein kleines FlächenelementdA der gewölbten Deckelfläche, so wirkt da-rauf folgende normal gerichtete Druckkraftein:

dF = pi, ü · dA

Die zur Behälterachse und zur gesuchten re-sultierenden Druckkraft F parallele Kompo-nente von dF beträgt:

dFv = dF · cos a = pi, ü · dA · cos a

Der Ausdruck dA · cos a entspricht der in die Behälterachse fallenden Projektion derFläche dA.

dA · cos a = dAproj

Die resultierende Kraft F ergibt sich alsSumme aller Einzelkräfte:

F = Ú pi, ü · dA · cos a = Ú pi, ü · dAproj

F = pi, ü · Ú dAproj

F = pi, ü · Aproj (Gl. 2.19)

Druckkräfte 55

pi,ü

pi,ü

Deckel

Manometer

Gefäß

F

A

pi, ü

Deckel

Manometer

Gefäß

dA

dFdFvF

a

dAproj

Aproj

a

Bild 2.14 Druckkraft gegen gewölbte Wand

Bild 2.13 Druckkraft gegen ebene Wand

Beispiel 8

Aufgabenstellung:In einem beidseitig verschlossenen Rohr befindet sich eine Flüssigkeit unter eineminneren Überdruck von 100 bar (Bild 2.15).Wie groß sind die axiale und die tangentialeSpannung in der 5 mm starken Rohrwand?

Lösung:a) Berechnung der Axialspannung sax:Die axiale Kraft Fax (Bild 2.16) berechnet sichaus Gleichung 2.18:

Fax = pi, ü · A

pi , ü = 100 bar = 100 · 105 Pap p

A = d2i · 3 = 0,052 · 34 4

A = 1,963 · 10– 3 m2

Fax = 100 · 105 · 1,963 · 10– 3 , Fax = 19635 N

Die axiale Spannung ergibt sich aus deraxialen Längskraft Fax und dem Rohrquer-schnitt ARohr:

pARohr = 3 · (d2

a – d2i)4

pARohr = 3 · (0,062 – 0,052)

4

ARohr = 8,639 · 10– 4 m2

Faxsax = 8ARohr

19635sax = 098,639 · 10– 4

sax = 22,73 · 106 N/m2

sax = 22,73 N/mm2

56 Hydrostatik

b) Berechnung der Tangentialspannung st :Die radiale Druckkraft Fr (Bild 2.17) wirdmit Hilfe von Gleichung 2.19 bestimmt:

Fr = pi, ü · Aproj

Aproj = di · l

Aproj = 0,05 · 0,5 = 0,025 m2

Fr = 100 · 105 · 0,025

Fr = 250000 N

Daraus berechnet sich die Tangentialspan-nung st:

Frst = 0AWand

AWand = 2 · l · s

AWand = 2 · 0,5 · 0,005

AWand = 0,005 m2

250000st = 030,005

st = 50 · 106 N/m2

st = 50 N/mm2

sax

sax

sax

sax

Fax

Faxdi

Bild 2.16 Beispiel 8

s t

Fr

s t

s t s t

Fr



2.3.2 Druckkräfte bei Wirkung desSchweredruckes

2.3.2.1 Druckkräfte gegen ebene Wände

a) Druckkraft auf GefäßbödenIn Bild 2.18 ist ein offener Behälter dargestellt,der mit einer homogenen Flüssigkeit derDichte r gefüllt ist.

Nach Gleichung 2.14 beträgt der Über-druck am Boden des Gefäßes:

pB, ü = r · g · h

Die Bodendruckkraft FB ergibt sich aus demÜberdruck pB, ü und der Bodenfläche AB:

FB = pB, ü · AB

Druckkräfte 57

FB = r · g · h · AB (Gl. 2.20)

FB Bodendruckkraftr Dichteg Erdbeschleunigungh FüllstandAB Bodenfläche

Aus dieser Beziehung erkennt man, dass dieBodendruckkraft FB nur von der Flüssigkeits-dichte r, der Füllstandshöhe h und der Boden-fläche AB abhängt.

Gefäße, die mit der gleichen Flüssigkeitgleich hoch gefüllt sind, haben bei glei-cher Bodenfläche gleiche Bodendruck-kräfte. Die Bodendruckkraft ist unabhän-gig von der Gefäßform (Bild 2.19).

Wir nennen diese Erscheinung hydrostati-sches Paradoxon.

Überlagert sich in einem geschlossenenBehälter (Bild 2.20) dem Schweredruck nochein innerer Überdruck pi, ü = pi – p0 , vergrößertsich der Druck und damit die Kraft auf die Bodenplatte:

FB = (pi, ü + r · g · h) · AB (Gl. 2.21)

b) SeitendruckkraftEin offenes Gefäß ist durch eine unter demWinkel a geneigte ebene Wand seitlich be-grenzt. In dieser schrägen Wand liegt die be-liebig geformte Fläche A, die in der seitlichherausgeklappten Ebene in wahrer Größe zusehen ist. In der herausgeklappten Ebene ist

p0

FB

p0

h

pB, ü

AB

Verlauf des Überdruckes

F F F F F

AB AB AB AB AB

hB

Bild 2.19 Zum hydrostatischen Paradoxon

Bild 2.18 Bodendruckkraft in einem offenenBehälter

ein rechtwinkliges x-w-Koordinatensystem soeingetragen, dass die x-Achse die Spiegel-schnittlinie bildet (Bild 2.21).

Auf ein kleines Flächenelement dA derFläche A mit den Koordinaten x und w wirktder Druck

p = p0 + pü

mit pü = r · g · z

Normalerweise herrscht auf der Rückseite derSeitenwand ebenfalls der Umgebungsdruck

58 Hydrostatik

p0 , so dass bei der Berechnung der Druckkraftnur der Überdruck pü berücksichtigt werdenmuss.

Die senkrecht auf das Flächenelement dAwirkende Druckkraft dF beträgt nach der all-gemeinen Druckdefinition in Gleichung 2.8:

dF = pü · dA = r · g · z · dA

Die Gesamtdruckkraft F erhält man durchSummieren (Integrieren) aller Teilkräfte dFüber die Fläche A

F = Ú dF = r · g Ú z dA(A) (A)

Die Tiefe z lässt sich durch die Koordinate w inder schrägen Seitenwand und den Cosinusdes Neigungswinkels a ausdrücken:

z = w · cos a

Daraus folgt für die Druckkraft F:

F = r · g · cos a Ú w · dA(A)

Das Integral Ú w · dA stellt das statische Mo-(A)

ment der Fläche A, bezogen auf die x-Achse,d.h. die Spiegelschnittlinie dar. Nach demMomentensatz gilt:

Ú w · dA = wS · A(A)

wobei wS die w-Koordinate des Flächen-schwerpunkts S ist. Für die Druckkraft F er-hält man folgenden Ausdruck:

F = r · g · cos a · wS · A

Bild 2.20 Bodendruckkraft in einem Druck-behälter

p0

pü=f(z)

z

p0

wS

wDxs

dA

xD S

De

A

wx

dF

F

w

a

Bild 2.21 Seitendruckkraft

Spiegelschnittlinie

x

bzw. mit wS · cos a = zS:

F = r · g · zS · A = pS · A (Gl. 2.22)

F Seitendruckkraftr Dichteg ErdbeschleunigungzS vertikale Koordinate (Tiefe) des Schwer-

punktes SA gedrückte FlächepS hydrostatischer Druck (Schweredruck)

im Schwerpunkt S

Druckkräfte 59

Die auf eine ebene Fläche A wirkendeSeitendruckkraft F ergibt sich als Pro-dukt aus Flächeninhalt A und Druck pS

im Flächenschwerpunkt S.

Weil der Schweredruck pü linear mit der Flüs-sigkeitstiefe z zunimmt, ergibt sich eine un-gleichförmige Druckverteilung über der ge-drückten Fläche A, d.h., die Kraft F greift nichtim Flächenschwerpunkt S, sondern im tiefergelegenen Druckmittelpunkt D an.

Die Koordinaten xD und wD des Druckmit-telpunktes D ergeben sich aus folgenden Be-trachtungen:

Koordinate wD

nach dem Momentensatz gilt:

wD · F = Ú w · dF

F = r · g · cos a · wS · A

dF = r · g · cos a · w · dA

wD · r · g · cos a · wS · A = Ú w · r · g · cos a · w · dA

wD · wS · A = Ú w2 · dA

Ú w2 · dAwD = 05wS · A

Das Integral Ú w2 · dA stellt bekanntlich dasFlächenträgheitsmoment Ix der Fläche A dar,bezogen auf die x-Achse (Spiegelschnittlinie).

IxwD = 0 (Gl. 2.23)wS · A

wD Koordinate des Druckmittelpunkts DIx Flächenträgheitsmoment der Fläche A, be-

zogen auf die x-Achse (Spiegelschnittlinie)wS Koordinate des Schwerpunkts SA Fläche

Nach dem STEINER’schen Satz kann Ix auchdurch die auf den Schwerpunkt S bezogenenGrößen IS und wS ausgedrückt werden:

Ix = IS + A · w2S

IS + A · w2SwD = 08wS · A

ISwD = 0 + wSwS · A

Koordinate xD

xD · F = Ú x · dF

F = r · g · cos a · wS · A

dF = r · g · cos a · w · dA

xD · r · g · cos a · wS · A = Ú x · r · g · cos a · w · dA

xD · wS · A = Ú w · x · dA

Ú w · x · dAxD = 09wS · A

Das Integral Ú w · x · dA entspricht dem Zentri-fugalmoment Iwx der Fläche A, bezogen aufdie w-x-Koordinatenachsen.

IwxxD = 0 (Gl. 2.25)wS · A

xD Koordinate des Druckmittelpunkts DIwx Zentrifugalmoment der Fläche AwS Koordinate des Schwerpunkts SA Fläche

Legt man die w-Achse durch den Schwer-punkt S, und ist die Fläche A zur w-Achsesymmetrisch, so wird das ZentrifugalmomentIwx zu Null, d.h. xD = 0.

Der Druckmittelpunkt D liegt dann auf der w-Achse (Symmetrieachse) im Abstand e un-terhalb des Schwerpunkts S.

Koordinate wD

ISe = wD – wS = 0 (Gl. 2.24)A · wS

e Abstand zwischen Schwerpunkt S undDruckmittelpunkt D

IS Flächenträgheitsmoment, bezogen auf denSchwerpunkt S

In Tabelle 2.3 sind die Berechnungsformelnfür die Fläche A, Koordinate hS und das Träg-heitsmoment IS einiger wichtiger Flächen zu-sammengestellt.

60 Hydrostatik

Lösung:Weil der Luftdruck p0 sowohl auf den Was-serspiegel als auch auf die Klappenrückseitewirkt, braucht er bei der Druck-, Kraft- undMomentenbetrachtung nicht berücksichtigtzu werden.

Die aus dem hydrostatischen Überdruck(Schweredruck) herrührende Druckkraft Flässt sich nach Gleichung 2.22 berechnen:

F = r · g · zS · A

r = 1000 kg/m3

g = 9,81 m/s2

zS = z – 0,5 m (Bild 2.23)

Koordinate xD

Beispiel 9

Aufgabenstellung:Auf eine dichtschließende, kreisrunde Dros-selklappe von 1 m Durchmesser wirkt in ge-schlossenem Zustand auf der einen Seiteder hydrostatische Druck des zur Höhe zaufgestauten Wassers (r = 1000 kg/m3), aufder anderen Seite der Luftdruck p0 (Bild2.22).

Wie groß ist das vom hydrostatischenDruck auf die Drosselklappe ausgeübteDrehmoment Mh, abhängig von der sich imBereich z = 2...5 m ändernden Füllstands-höhe z?

P0

P0

z

90°

Ø1

m

Mh

z

Mh

zS

e

F

SD

Wasseroberfläche

Bild 2.22 Beispiel 9 Bild 2.23 Beispiel 9

p0

p0

d2 · p 12 · pA = 0 = 0 = 0,7854 m2

4 4

F = 1000 · 9,81 · 0,7854 (z – 0,5 m)

F = 7704,76 (z – 0,5 m) N

mit z = variable Stauhöhe in m

Der Abstand e zwischen Flächenschwer-punkt S und Druckmittelpunkt D wird nachGleichung 2.24 bzw. Tabelle 2.3 – Zeile 2 –bestimmt:

ISe = 0A · wS

d 4 · pIS = 064

d 2 · pA = 04wS = zS, weil Neigungswinkel a = 0°

Druckkräfte 61

4 · d4 · p d 2

e = 002 = 064 · d2 · p · zS 16 · zS

1e = 08516(z – 0,5 m)

Das auf die Drosselklappe ausgeübte hy-draulische Drehmoment Mh ergibt sich alsProdukt aus Druckkraft F und Hebelarm e:

Mh = F · e1

Mh = 7704,76 · (z – 0,5 m) · 08516 (z – 0,5 m)

Mh = 481,55 N · m

Das Ergebnis zeigt, dass das auf die Drossel-klappe ausgeübte hydraulische Moment Mh

für den Füllstandsbereich z = 2...5 m kon-stant bleibt, d.h. unabhängig vom Füllstandist!

2.3.2.2 Druckkräfte gegen gekrümmteWände

Eine beliebig gekrümmte Fläche A liegt in ei-nem kartesischen Koordinatensystem (Bild2.24). Die x-y-Ebene fällt mit der freien Ober-fläche zusammen, die z-Achse zeigt senkrechtnach unten.

Weil der Außendruck p0 sowohl auf die freieOberfläche als auch auf die Rückseite der ge-drückten Flächen A einwirkt, kann er aus derKräftebetrachtung herausgenommen werden,d.h., es wird nur der Schweredruck berück-sichtigt.

In Richtung der 3 Koordinatenachsen tre-ten folgende Druckkräfte auf:

Bild 2.24Druckkräfte gegen gewölbte Wand

62 Hydrostatik

Tabelle 2.3 Werte zur Bestimmung der Seitendruckkraft auf symmetrische Flächen

Nr. Flächenform Fläche A Koordinate hS Trägheitsmoment IS

h b · h3

1 A = b · h hS = 3 IS = 362 12

p d d4 · p2 A = d2 · 3 hS = 3 IS = 04 2 64

b + s h (b + 2s) h3 (b2 + 4 bs + s2)3 A = 9 h hS = 06 IS = 0082 3 (b + s) 36 (b + s)

b · h 1 b · h3

4 A = 8 hS = 3 · h IS = 92 3 36

d2 2 · d5 A = p · 4 hS = 8 IS = 0,0068 · d4

8 3 · p

p6 A = p · a · b hS = b IS = 3 · a · b3

4

ehS

t wS

h

b

D

S

s

Die Druckkraftkomponenten Fx , Fy und Fz ha-ben bei beliebig gekrümmten Flächen keinengemeinsamen Angriffspunkt, d.h., neben derresultierenden Kraft

F = d001F2x + F2

y + F2z (Gl. 2.29)

entsteht grundsätzlich noch ein Moment M!Bei einfach gekrümmten Flächen können

die beiden Komponenten zu einer resultieren-den Kraft zusammengefasst werden; ein Mo-ment tritt nicht auf.

Druckkräfte 63

Die Kräfte Fx und Fy sind horizontal gerich-tet, die Kraft Fz ist identisch mit der Gewichts-kraft des über der gedrückten Fläche stehen-den Flüssigkeitsvolumens.

Für die Lage der Druckmittelpunkte Dx inder y-z-Ebene und Dy in der x-z-Ebene geltendie Aussagen der Gleichungen 2.23 und 2.25;die Vertikalkraft Fz geht durch den Schwer-punkt des über der Fläche A stehenden Flüs-sigkeitsvolumens.

In der folgenden Übersicht sind die Glei-chungen zur Bestimmung der Druckmittel-punkte zusammengestellt:

x-Achse y-Achse z-Achse

dFx = pü (z) · dAx dFy = pü (z) · dAy dFz = pü (z) · dAz

Der Überdruck pü (z) ist nur von der Tiefe abhängig

pü(z) = r · g · z pü (z) = r · g · z pü (z) = r · g · z

dAx = Projektion der dif- dAy = Projektion der dif- dAz = Projektion der dif-ferentiell kleinen Fläche ferentiell kleinen Fläche ferentiell kleinen FlächedA in x-Richtung auf die dA in y-Richtung auf die dA in z-Richtung auf diey-z-Ebene x-z-Ebene x-y-Ebene (Spiegelfläche)

dFx = r · g · z · dAx dFy = r · g · z · dAy dFz = r · g · z · dAz

Die resultierenden Kräfte in Richtung der Koordinatenachse ergeben sich durch Integration der differentiell kleinen Teilkräfte dFx , dFy und dFz :

Fx = Ú dFx Fy = Ú dFy Fz = Ú dFz

Fx = r · g · Ú z · dAx Fy = r · g · Ú z · dAy Fz = r · g · Ú z · dAz

Ú z · dAy = zSy · Ay Ú z · dAz = V

Der Ausdruck Ú z · dAx ist Ay = Projektion der Flä- V = Flüssigkeitsvolumennach dem Momentensatz che A in y-Richtung auf oberhalb der gedrücktenidentisch mit zSx · Ax, wenn die x-z-Ebene. Fläche AAx die Projektion der Flä-che A in x-Richtung auf die zSy = Schwerpunktko-y-z-Ebene und zSx deren ordinate von Ay

Schwerpunktkoordinatesind.

Fx = r · g · zSx · Ax Fy = r · g · zSy · Ay Fz = r · g · V

(Gl. 2.26) (Gl. 2.27) (Gl. 2.28)

64 Hydrostatik

xS= 0,4244·r

zDx= 3,33 m5 m

xS= 2,12 m

z

M

yx

r= 5 mSy Fx=1226,25 kN

Fres =

2283,4 kN

F z=

1926

,2 k

N

dFzSx= 2,5 m zDx= 3,33 m

SxDx

Fx

Fz

10 m

z

z

x

y

yx


x-Achse

IyzDx = 02 (Gl. 2.30)zSx · Ax

IyzyDx = 01 (Gl. 2.31)zSx · Ax

z-Achse

Die vertikale Druckkraft Fz

geht durch den Schwer-punkt des über der ge-drückten Fläche A ruhen-den Flüssigkeitskörpers.

y-Achse

IxzDy = 02 (Gl. 2.32)zSy · Ay

IxzxDy = 02 (Gl. 2.33)zSy · Ay

Bild 2.25 Bild 2.26

Beispiel 10

Aufgabenstellung:Ein offener Behälter wird gemäß Bild 2.27durch eine kreisförmig gekrümmte Wandbegrenzt. Der Behälter hat eine Breite von 10 m und ist mit Wasser gefüllt. Die Wasser-tiefe beträgt 5 m.a) Größe, Richtung und Angriffspunkt derhorizontalen und vertikalen Druckkraftsind zu bestimmen.b) Lassen sich die Kräfte zu einer Resultie-renden zusammenfassen?

Lösung:Frage a)1. Berechnung der Horizontalkraft Fx:Nach Gleichung 2.26 erhält man für die Ho-rizontalkraft Fx:

Fx = r · g · zSx · Ax

r = 1000 kg/m3

g = 9,81 m/s2

zSx = 2,5 m

Ax = 5 · 10 = 50 m2

Fx = 1000 · 9,81 · 2,5 · 50

Fx = 1226 250 N = 1226,25 kN

Die Lage des Kraftangriffspunktes Dx ergibtsich aus Gleichung 2.30:

IyzDx = 01zSx · Ax

b · h3 10 · 53 1250Iy = 8 = 0 = 83 3 3

zSx = 2,5 m

Ax = 50 m2

1250 10zDx = 08 = 4 = 3,33 m

3 · 2,5 · 50 3

zDx = 3,33 m

Druckkräfte 65

2. Berechnung der Vertikalkraft Fz:Das über dem gedrückten Kreiszylinder-mantelsegment ruhende Wasservolumenbeträgt:

1 1V = 3 · r2 · p · b = 3 · 52 · p · 10

4 4

V = 196,35 m3

Die Vertikalkraft Fz ergibt sich nach Glei-chung 2.28:

Fz = r · g · V = 1000 · 9,81 · 196

Fz = 1926189 N

Fz = 1926,2 kN

Die Lage des Schwerpunkts Sy ergibt sichzu:

xS = 0,4244 · r = 0,4244 · 5

xS = 2,12 m

Frage b)Durch maßstäbliches Aufzeichnen desLage- und Kräfteplanes (Bild 2.27) erkenntman, dass sich die Kräfte Fx und Fz zu einergemeinsamen Resultierenden Fres zusam-menfassen lassen:

Fres = d02F2x + F2

z

Fres = d00021226,252 + 1926,22

Fres = 2283,4 kN

Fres geht durch den Kreismittelpunkt M.Dieses Ergebnis war zu erwarten, weil

alle Teilkräfte dF jeweils senkrecht auf derkreisförmig gekrümmten Oberfläche stehenund damit auch die Resultierende aller Teil-kräfte normal zur Oberfläche stehen, d.h.durch den Mittelpunkt M gehen muss.

66 Hydrostatik

2.3.2.3 Aufwärts gerichtete Vertikaldruck-kraft (Aufdruckkraft)

An einem offenen Behälter ist seitlich einRohrstück angesetzt, das mit einem Deckelverschlossen ist (Bild 2.28). Der Deckel liegtum die Höhe Dh tiefer als der Flüssigkeitsspie-gel im Behälter. Auf die freie Oberfläche derFlüssigkeit im Behälter und die Oberseite desDeckels wirkt der Umgebungsdruck p0 . In derTiefe Dh herrscht der Überdruck (Schwere-druck) pv, ü , der sich nach Gleichung 2.14durch die Höhe Dh ausdrücken lässt:

pv, ü = r · g · Dh

Die vertikal nach oben wirkende DruckkraftFv ergibt sich aus diesem Überdruck und dergedrückten Deckelfläche AD:

Fv = pv, ü · AD = r · g · Dh · Ad (Gl. 2.34)

Der Ausdruck r · g · Dh · AD entspricht einerscheinbaren Gewichtskraft G, die eine Flüssig-keitssäule der Höhe Dh und der GrundflächeAD von oben auf den Deckel ausüben würde.

Die gleiche Aussage gilt auch für geneigteoder gekrümmte Flächen, die von unten hervom Druck beaufschlagt werden (Bild 2.29).

dFv = pv, ü · dA

dFv = r · g · z · dA

Fv = Ú dFv

Fv = r · g · Ú z · dA

Ú z · dA , V

Fv = r · g · V (Gl. 2.35)

V stellt das oberhalb der gedrückten Flächeliegende und bis zur Spiegelhöhe reichendeVerdrängungsvolumen dar. Die Wirkungslinieder Vertikaldruckkraft Fv geht durch denSchwerpunkt S des gedachten Volumens V.

FvDeckel

AD

p0

G∆h

pv, ü

Schweredruck

p0

pv, ü

Fv

p0

Schw

eredruck

Schw

eredruck

p0

FvdFv

VS

dA

SV

z

Bild 2.28 Aufdruckkraft

Bild 2.29 Aufdruckkraft

2.4 Auftrieb und Schwimmen

2.4.1 Statischer Auftrieb

Taucht man einen Körper vollständig in einehomogene Flüssigkeit ein, so erfährt er infolgedes allseitig wirkenden Schweredrucks einesenkrecht nach oben gerichtete Kraft, den sta-tischen Auftrieb FA (Bild 2.30). Die Größe desstatischen Auftriebs lässt sich aus der Bilanzder vertikalen Druckkräfte herleiten. Weil inhorizontalen Ebenen die Drücke gleich sind,heben sich die horizontal wirkenden Druck-kräfte gegenseitig auf und brauchen bei derfolgenden Kräftebetrachtung nicht berück-sichtigt zu werden.

Ein aus dem Körper herausgeschnitteneskleines Prisma mit dem Volumen dV und derQuerschnittsfläche dA erfährt folgende verti-kale Kraftwirkungen durch den Schwere-druck:

auf die Oberseite:dFv1 = pü1 · dA

pü1 = r · g · z1

dFv1 = r · g · z1 · dA

auf die Unterseite:dFv2 = pü2 · dA

pü2 = r · g · z2

dFv2 = r · g · z2 · dA

Die Auftriebskraft dFA ergibt sich als Differenzder beiden Vertikaldruckkräfte:

dFA = dFv2 – dFv1

dFA = r · g(z2 – z1)dA

Auftrieb und Schwimmen 67

Der Ausdruck (z2 – z1) dA ist identisch mitdem Volumen dV.

dFA = r · g · dV

Den Gesamtauftrieb FA erhält man durch Inte-gration der Teilauftriebskräfte dFA über demgesamten eingetauchten Körper.

FA = Ú dFA = Ú r · g · dV = r · g Ú dV(V) (V) (V)

FA = r · g · V (Gl. 2.36)

FA statischer Auftriebr Dichte der Flüssigkeitg ErdbeschleunigungV verdrängtes Flüssigkeitsvolumen

Der statische Auftrieb eines vollständig ineine Flüssigkeit eingetauchten Körpers istgleich der Gewichtskraft des verdrängtenFlüssigkeitsvolumens.

Der statische Auftrieb greift im Schwerpunkt SV

des verdrängten Flüssigkeitsvolumens – im sog.Verdrängungsschwerpunkt – an.

Durch den statischen Auftrieb FA erleidetder Körper scheinbar einen GewichtsverlustDG (Prinzip von ARCHIMEDES, s. Namensver-zeichnis).

DG , FA

Das scheinbare Gewicht Gsch entspricht derDifferenz zwischen dem Gewicht des Körpers

FA

Sv

Schw

eredruck pü =

f(z)

dFv2

dA

z

dV

z2

z1

pü1

pü2

dFA

dFv1

freie Oberfläche

Bild 2.30Zur Erklärung des hydrostatischen Auftriebs

in Luft und dem Auftrieb (Bild 2.31):

Gsch = G – DG = G – FA

FA = G – Gsch = r · g · V

G – GschV = 03 (Gl. 2.37)r · g

V verdrängtes FlüssigkeitsvolumenG Gewicht des Körpers in LuftGsch scheinbares Gewicht im vollständig

eingetauchten Zustandr Dichte der Flüssigkeitg Erdbeschleunigung

Durch Auswiegen eines Körpers in Luft undim vollständig eingetauchten Zustand lässtsich bei bekannter Dichte r der Flüssigkeit dasVolumen des Körpers bestimmen.

Das Gewicht eines homogenen Körpers inLuft lässt sich durch die Dichte rk des Körpersausdrücken:

G = rk · g · V

GV = 9rk · g

In Gleichung 2.37 eingesetzt, ergibt sich eineinfacher Ausdruck für die Dichte rk des Kör-pers:

G G – Gsch9 = 95rk · g r · g

Grk = 95 · r (Gl. 2.38)

G – Gsch

68 Hydrostatik

rk Dichte des homogenen KörpersG Gewicht des Körpers in LuftGsch scheinbares Gewicht des Körpers im

vollständig eingetauchten Zustandr Dichte der Flüssigkeit

Das heißt, dass sich auch die Dichte rk eineshomogenen Körpers durch vergleichendesAuswiegen in Luft und im vollständig einge-tauchten Zustand messtechnisch ermittelnlässt.

Taucht der Körper nur teilweise in dieFlüssigkeit ein, erfährt der eingetauchte Teileinen statischen Auftrieb, der der Gewichts-kraft des verdrängten Flüssigkeitsvolumensentspricht; am aus der Flüssigkeit herausra-genden Teil greift eine Auftriebskraft an, diegleich dem verdrängten Luft- bzw. Gasge-wicht ist.

Weil die Dichte von Gasen sehr viel kleinerist als die Dichte von Flüssigkeiten, kann derGasauftrieb in den meisten praktischen An-wendungsfällen vernachlässigt werden, d.h.,Gleichung 2.36 gilt hinreichend genau auchfür teilweise eingetauchte Körper.

Durch Vergleich der Gleichungen 2.35 und2.36 erkennt man, dass die Aufdruckkraftidentisch ist mit dem Auftrieb, den ein in eineFlüssigkeit hineinragendes Bauteil erfährt.

2.4.2 Thermischer Auftrieb

Treten in einer Flüssigkeit Temperaturunter-schiede auf, ergibt sich eine ungleichmäßigeDichteverteilung, d.h., die Flüssigkeit ist nichtmehr homogen, und Flüssigkeitsteile mit klei-nerer Dichte erfahren einen thermischen Auf-trieb.

FA

GGsch

GG

r

rk

Bild 2.31 Scheinbarer Gewichtsverlust durch Auftrieb

An einem kleinen Flüssigkeitselement dVmit der Dichte r2 und der Temperatur t2 grei-fen folgende vertikalen Kräfte an:

a) nach unten:

Schwerkraft dG = r2 · g · dV

b) nach oben:

statischer Auftrieb dFA = r1 · g · dV

Für den Fall, dass die Temperatur t2 des Flüs-sigkeitselements dV größer ist als die Tempe-ratur t1 der umgebenden Flüssigkeit, wird dieDichte r2 kleiner als die Dichte r1 und damitdie Schwerkraft dG kleiner als der statischeAuftrieb dFA. Es entsteht eine nach oben wir-kende Überschusskraft, die als thermischeAuftriebskraft dFth bezeichnet wird.

dFth = dFA – dG

dFth = r1 · g · dV – r2 · g · dV

dFth = (r1 – r2) · g · dV = Dr · g · dV

Gemäß Abschnitt 1.2.2 kann die Dichteände-rung Dr durch den isobaren Wärmeausdeh-nungskoeffizienten bp und die Temperaturdif-ferenz Dt = t2 – t1 ausgedrückt werden:

Dr = r1 · bp · Dt = r1 · bp(t2 – t1)

dFth = r1 · g · bp(t2 – t1) dV

Für ein größeres Volumen V erhält man denthermischen Auftrieb Fth durch Summierender differentiell kleinen Auftriebskräfte dFth :

Fth = Ú dFth = r1 · g · bp (t2 – t1) Ú dV(V) (V)

Ú dV = V(V)

Fth = r1 · g · bp (t2 – t1) V (Gl. 2.39)

Fth thermischer Auftrieb des Volumens Vr1 Dichte der umgebenden Flüssigkeitg Erdbeschleunigungbp isobarer Wärmeausdehnungskoeffizientt2 Temperatur der Flüssigkeit im Volumen Vt1 Temperatur der umgebenden FlüssigkeitV Volumen der wärmeren Flüssigkeit


2.4.3 Schwimmen und Schweben

Ist der Auftrieb FA, den ein Körper in einerFlüssigkeit erfährt, gleich seiner Gewichts-kraft G, so schwimmt der Körper, wenn einTeil seines Volumens aus der Flüssigkeit he-rausragt, und er schwebt, wenn er vollständigeingetaucht ist (Bild 2.33). Die Gleichge-wichtsbedingung für Schwimmen oderSchweben lautet demnach:

FA , G (Gl. 2.40)

Sind Auftrieb und Gewichtskraft unterschied-lich, können 2 Zustände auftreten:

❑ FA < G der Körper sinkt,

❑ FA > G der Körper taucht auf.

Sinken und Auftauchen sind jedoch keine sta-tionären und statischen Zustände; der Körperbewegt sich mit einer Sink- bzw. Steigge-schwindigkeit und erfährt eine Beschleuni-gung sowie eine von der Geschwindigkeit ab-hängende Widerstandskraft. Derartige hydro-dynamische Vorgänge werden in Kapitel 4 be-handelt.

Bei schwimmenden Körpern bezeichnetman die Flüssigkeitsoberfläche als Schwimm-ebene, die innerhalb des Körpers liegendeFläche (Schnittfläche) der Schwimmebene alsSchwimmfläche oder Wasserlinienfläche. Im

dFA

r1

dG

t1

r2

t2

dV

Bild 2.32 Zur Erklärung des thermischen Auftriebs

Gleichgewichtszustand liegen Körperschwer-punkt SK und Verdrängungsschwerpunkt SV

auf einer gemeinsamen vertikalen Wirkungsli-nie von Auftrieb und Gewichtskraft. Diese ge-meinsame Wirkungslinie wird als Schwimm-achse bezeichnet.

2.4.4 Stabilität

2.4.4.1 Einleitung

Bezüglich der Stabilität der Schwimmlageschwimmender und schwebender Körperwerden 3 Fälle unterschieden:

❑ Stabile SchwimmlageDer Schwimmkörper kehrt nach Wegfall ei-ner z.B. durch Gewichtsverlagerung oderWindkräfte hervorgerufenen Auslenkungwieder in seine ursprüngliche stabile Lagezurück.

❑ Labile SchwimmlageGreift am Körper eine auslenkende Kraftan, wird er durch Kippen oder Kenternso lange gedreht, bis er in eine stabileSchwimmlage gelangt.

❑ Indifferente SchwimmlageEine am Körper wirkende Kraft bzw. einangreifendes Drehmoment dreht den Kör-per ständig in beliebige Schwimmlagen. In-

70 Hydrostatik

differente Schwimmlagen treten bei Kör-pern mit homogener Massenverteilung auf,z.B. Kugel (allseitig indifferent) oder Kreis-zylinder (indifferent bezogen auf dieLängsachse).

2.4.4.2 Stabilität von vollständig eingetauchten Körpern

Wird ein vollständig eingetauchter, in einerFlüssigkeit schwebender Körper durch eineStörkraft oder ein Störmoment aus seinerGleichgewichtslage gedreht, so ist seineSchwebelage stabil, wenn das aus Auftrieb FA

und Gewichtskraft G gebildete Kräftepaar

M = G · a , FA · a

den Körper in seine ursprüngliche Lage zu-rückdreht (Bild 2.34). Dies ist der Fall, wennder Körperschwerpunkt SK unterhalb des Ver-drängungsschwerpunkts SV liegt.

In Bild 2.35 ist eine labile Schwebelage dargestellt. In der ausgedrehten Lage (rech-te Bildhälfte) entsteht ein Drehmoment M = FA · a , G · a, das den Körper so lange wei-terdreht, bis eine stabile Schwebelage wie inBild 2.34 (linke Bildhälfte) entsteht.

Die labile Gleichgewichtslage ist dadurchgekennzeichnet, dass der Körperschwerpunkt

FA

G

G

FA

Sch

wim

m-

achs

eSchwimmfläche

Schwimmebene

Schwimmen eines Schiffes

G

e

FA

SK

SV

FA=G

FA=G

SK

SV

0

Schweben eines U-Bootes

Bild 2.33Schwimmen und Schweben

SK oberhalb des VerdrängungsschwerpunktesSV liegt.

Bild 2.36 zeigt eine indifferente Schwebe-und Schwimmlage.

2.4.4.3 Stabilität von teilweise eingetauchten Körpern

Dreht man einen Schwimmkörper aus seinerGleichgewichtslage, so verlagert sich der Ver-drängungsschwerpunkt SV nach S¢V, weil sichdie Form des verdrängten Flüssigkeitsvolu-mens (nicht dagegen seine Größe!) ändert(Bild 2.37).

Die Schwimmlage ist stabil, wenn das Kräf-tepaar aus Auftrieb FA und Gewichtskraft Gden Körper nach Wegfall der Störung wiederin seine Ursprungslage zurückdreht.

Dies ist der Fall, wenn entweder der Kör-perschwerpunkt SK tiefer liegt als der Ver-drängungsschwerpunkt SV (Gewichtsstabi-lität) oder die sog. metazentrische Höhe hm

positiv ist (Formstabilität).


Die metazentrische Höhe hm entsprichtdem Abstand zwischen KörperschwerpunktSK und Metazentrum M, das sich als Schnitt-punkt von Auftriebskraft FA und Schwimm-achse in der gedrehten Lage einstellt.

Die metazentrische Höhe hm lässt sich fürkleine Auslenkungswinkel j unter 10° wiefolgt abschätzen:

Bei der in Bild 2.38 dargestellten rechts-drehenden Auslenkung des symmetrischenSchwimmkörpers um den kleinen Winkel jtaucht der Körper rechts tiefer ein, d.h., er er-fährt eine Auftriebszunahme, während linksein gleich großes Körpervolumen auftauchtund damit einen Auftriebsverlust hervorruft.

Betrachtet man ein kleines VolumenelementdV, so gehört dazu folgende Auftriebskraft:

dFA = r · g · dV

Das Volumenelement dV hat eine Grund-fläche dA und eine Höhe z

dV = z · dA

FA

G

M

SK

SV

a

FA

G

SKSV

FA

G

MSKSV

a

FA

G

SKSV

FA

G

Bild 2.34 Stabile Schwebelage Bild 2.35 Labile Schwebelage

FA

G

SV′ ·SK

FA

G

SKSV

FA

G

Bild 2.36Indifferente Schwebe- und Schwimmlage

Die Höhe z kann durch den Abstand x undden Auslenkungswinkel ausgedrückt werden:

z = x · tan j ª x · j) (j klein!)

Damit erhält man folgenden Ausdruck für diedifferentiell kleine Auftriebskraft dFA:

dFA = r · g · x · j) · dA

Das von der Auftriebskraft dFA um die Dreh-achse 0 erzeugte Drehmoment dM beträgt:

dM = x · dFA = r · g · j) · x2 · dA

Das gesamte auf den Schwimmkörper aus-geübte Drehmoment ergibt sich durch Integra-

72 Hydrostatik

tion der Teilmomente dM über der Schwimm-fläche:

M = Ú dM = r · g · j) Ú x2 · dA

Das Integral Ú x2 · dA stellt das Flächenträg-heitsmoment I0 der Schwimmfläche – bezo-gen auf die Drehachse 0 – dar.

M = r · g · j) · I0

Dieses Drehmoment ist identisch mit demVersetzungsmoment, das durch die Verschie-bung der Auftriebskraft FA vom Verdrän-gungsschwerpunkt SV in der Ruhelage zumVerdrängungsschwerpunkt S ¢V in der ausge-

Bild 2.37Stabilität beim Schwimmen

FA

dFA

ze

SV

hm

SK

SV′

0

b

f

M

dFG

dV

x

x

f

dV

dA Bild 2.38Zur Ableitung der Schwimmstabilität

lenkten Lage auftritt.

M = b · FA

b · FA = r · g · j) · I0

b = (hm + e) · sin jª (hm + e) · j) (j klein!)

FA (hm + e) · j) = r · g · j) · I0

FA = r · g · V

r · g · V · (hm + e) = r · g · I0

I0hm + e = 4V

I0hm = 4 – e (Gl. 2.41)V

hm metazentrische HöheI0 Flächenträgheitsmoment der Schwimm-

fläche (des Wasserlinienrisses), bezogenauf die Drehachse 0

V verdrängtes Flüssigkeitsvolumen


e Abstand zwischen KörperschwerpunktSK und Verdrängungsschwerpunkt SV inder Gleichgewichtslage

Wird hm negativ, liegt das Metazentrum M un-terhalb des Körperschwerpunkts SK, d.h., dieSchwimmlage wird labil.

Für Schiffe gelten die in Tabelle 2.4 zusam-mengestellten Richtwerte für die metazentri-sche Höhe hm.

Weiterführende Einzelheiten über die Sta-bilität von Schwimmkörpern finden sich u.a.in [2.10 und 2.11].

Tabelle 2.4 Metazentrische Höhen von Schiffen

Schiffsart metazentrischeHöhe hm

Frachtschiffe 0,6...0,9 mPassagierschiffe 0,45...0,6 mSegelschiffe 0,9...1,5 mKriegsschiffe 0,75...1,3 m

Beispiel 11

Aufgabenstellung:

Ein Balken aus Balsaholz hat folgende Abmessungen:

Höhe 10 cmBreite 8 cmLänge 50 cm

Die Dichte r sei 0,1 kg/dm3. Der Balkenschwimmt in Wasser (Bild 2.39).

a) Wie groß ist die Eintauchtiefe t?b) Schwimmt der Balken stabil?

Lösung:

Frage a)Die Gewichtskraft des Balkens ergibt sichaus seiner Dichte und seinen Abmessungen:

G = g · r · V = g · r · B · H · L

g = 9,81 m/s2

r = 0,1 kg/dm3 = 100 kg/m3

B = 8 cm = 0,08 m

H = 10 cm = 0,1 m

L = 50 cm = 0,5 m

G = 9,81 · 100 · 0,08 · 0,1 · 0,5

G = 3,92 N

Die Gewichtskraft G ist gleich dem Auftrieb FA .

e

SV

SK

rHolz= 0,1 kg/dm3Holz

8 cm

10 cm

t

Wasser


Nach Gleichung 2.36 beträgt das ver-drängte Wasservolumen:

FA = r · g · V

FA G 3,92V = 7 = 7 = 70r · g r · g 1000 · 9,81

V = 0,4 · 10– 3 m3 = 0,4 dm3

V = B · L · t

V 0,4 0,4t = 7 = 0 = 5 = 0,1 dm

B · L 0,8 · 5 4

t = 1 cm

Die Eintauchtiefe beträgt 1 cm.

Frage b)Zur Beurteilung der Stabilität benötigen wirdie metazentrische Höhe hm.

Nach Gleichung 2.41 errechnet sich hm zu:

I0hm = 4 – eV

L · B3 5 · 0,83

I0 = 9 = 01 = 0,213 dm4

12 12

V = 0,4 dm3

74 Hydrostatik

Der Abstand zwischen KörperschwerpunktSK und Verdrängungsschwerpunkt SV be-trägt:

H te = 4 – 3 = 5 – 0,5 = 4,5 cm

2 2

e = 0,45 dm

Damit erhält man die metazentrische Höhehm:

0,213hm = 0 – 0,45

0,4

hm = 0,533 – 0,45 = 0,083 dm

hm = + 0,83 cm

Da die metazentrische Höhe positiv ist,schwimmt der Balken stabil.

3.1 Einleitung

In Behältern technischer Anlagen eingeschlos-sene Gase weisen normalerweise so geringeSchichthöhen auf, dass Druck-, Dichte- undTemperaturänderungen im Gas vernachläs-sigt werden können; d.h., Druck, Dichte undTemperatur des Gases werden innerhalb desBehälters als gleichbleibend betrachtet.

Die auf Wände, Deckel und Böden vonGasbehältern ausgeübten Druckkräfte kön-nen gemäß Abschnitt 2.3.1 berechnet werden.Die Luftatmosphäre der Erde hat eine sogroße Ausdehnung, dass sich die Zustands-größen Druck und Temperatur infolge derSchwerkraftwirkung ändern und damit auchdie Stoffeigenschaften Dichte, Viskosität undSchallgeschwindigkeit.

Für Berechnungen und Versuche im Flug-zeugbau, in der Raketen- und Satellitentech-nik, in der Meteorologie und verwandten Ge-bieten ist die Kenntnis des Druck-, Dichte-und Temperaturverlaufs innerhalb der Atmos-phäre erforderlich. Weil die Atmosphäre ander Erdrotation teilnimmt, der Wirkung derSchwerkraft unterliegt und von der Wärme-zufuhr durch die Sonneneinstrahlung beein-flusst wird, sind die Zustandsänderungenund die damit verbundenen Stoffgrößen so-wohl von der Jahreszeit als auch von der geo-graphischen Breite abhängig und lassen sichnicht durch einfache, allgemeingültige Bezie-hungen angeben.

3.2 Zusammensetzung der Atmosphäre

Die Erdatmosphäre besteht aus einem als Luftbezeichneten Gemisch verschiedener Gaseund Dämpfe. Bis zu einer Höhe von etwa 11 km bleibt die Zusammensetzung der Luftnahezu gleich (Tabelle 3.1).

Hinzu kommen geringste Spuren von Me-than, Kohlenmonoxid, Schwefeldioxid, Ozon,

Stickstoffoxide, Kohlenwasserstoffe, Aerosoleusw. Der Anteil an Wasserdampf schwanktstark und kann maximal 4 Volumenprozentebetragen. Erst ab einer Höhe von ca. 110 kmändert sich merklich die Zusammensetzungder Luft, insbesondere zerfallen die Sauer-stoff- und Stickstoffmoleküle in die atomareForm.

3.3 Schichtung der Atmosphäre

Die Beschreibung der atmosphärischenSchichtung kann nach der Temperaturvertei-lung, dem Grad der Ionisation oder der Gas-zusammensetzung erfolgen. Nach dem Tem-peraturverlauf ergibt sich die in Tabelle 3.2 zusammengestellte Schichtung. Die für diemeisten technischen Berechnungen ausrei-chende Schichtung bis 50 km Höhe ist in Bild3.1 dargestellt.

Die unterste Schicht, in der sich im Wesent-lichen die Witterungsvorgänge wie Wolken-bildung, Niederschläge, Gewitter, Nebel usw.abspielen, wird als Troposphäre bezeichnet.Sie enthält etwa 3/4 der Masse der Atmos-phäre. Die Troposphäre wird nach oben durchdie Tropopause begrenzt. Die Höhenlage derTropopause hängt von der geographischen

3 Aerostatik

Tabelle 3.1 Zusammensetzung der trockenen Luftam Boden

Gas chemische RaumanteileFormel in Volumen-

prozenten

Stickstoff N2 78,08Sauerstoff O2 20,95Argon Ar 0,93Kohlendioxid CO2 0,03Wasserstoff H2 0,01Neon Ne 0,0018Helium He 0,005Krypton Kr 0,0001Sonstige 0,028

Stratopause

Tropopause

Str

atos

phä

re

Inve

rsio

n

Isot

herm

ie

Höh

ez

Temperatur t

50

km

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0–60 –50 –40 –30 –20 –10 0 +10 +20°C

Trop

osp

häre

Sommer

Frühling–40…–50 °C

–40…–60 °C

–80…–90 °C

Pol

mittlere Breite

mittlere Breite

Äquator

Pol

8 km

8 km

18 km 18 km

11,5 km

11,5 km

11,5 km

11,5 km

6 km

6 km

9,5 km9,5 km

9,5 km9,5 km

14 km 14 km

Bild 3.1Temperaturverteilung in der Atmosphäre

Bild 3.2Lage der Tropopause

76 Aerostatik

Isotherme Schichtung 77

Breite und von der Jahreszeit ab, ebenso diedarin herrschende Temperatur. In Bild 3.2 istdie Lage der Tropopause bezüglich der Erdku-gel eingetragen.

Über der Tropopause liegt die bis ca. 50 kmreichende Stratosphäre, die durch die Stra-topause begrenzt wird. Die Stratosphäre um-fasst etwa 20% der Atmosphärenmasse understreckt sich über einen Druckbereich vonetwa 200 mbar bis 1 mbar. Bis ca. 20 km bleibtdie Temperatur mit –56.5°C annähernd kon-stant, in großen Höhen steigt sie wieder an,um am oberen Rand ungefähr 0°C zu errei-chen.

Weitere Einzelheiten über die Atmos-phärenschichtung können [3.1, 3.2 und 3.5]entnommen werden.

Um die für praktische Berechnungen er-forderlichen Werte für Druck, Temperatur und Dichte in Abhängigkeit von der Höhe bestimmen zu können, werden in den folgen-den Abschnitten 3 mathematische Modelle für die Schichtung der Atmosphäre beschrie-ben:

❑ isotherme Schichtung,

❑ isentrope Schichtung,

❑ Normatmosphäre (Standardatmosphäre).

3.4 Isotherme Schichtung

Bei der isothermen Luftschichtung wird vor-ausgesetzt, dass sich die Lufttemperatur in-nerhalb der gesamten Atmosphäre nicht än-dert, d.h. unabhängig von der Höhe z ist.Diese Annahme trifft für die Luftschichten derTroposphäre keinesfalls zu. Innerhalb deranschließenden Stratosphäre ist die Tempera-tur bis zu etwa 25 km Höhe mit ca. –56,5°Cnahezu konstant.

Für den isothermen Zustand gilt die Zu-standsgleichung von BOYLE-MARIOTTE (s. Na-mensverzeichnis):

1p · u = p · 3 = konst

r

Am Erdboden herrsche der Luftdruck p0 unddie Luftdichte r0 .

p p03 = 4 = konstr r0

Betrachtet man die differentiell kleineDruckänderung dp in der Höhe z (Bild 3.3), sokann die Dichte r als konstant angesehen wer-den:

dp = –r · g · dz

Tabelle 3.2 Schichtung der Atmosphäre

Höhe z Bezeichnung der Schicht Temperatur

0…11 km Troposphäre Temperatur mit steigender Höhe von+ 15°C auf –56,5°C fallend

11…20 km Stratosphäre Temperatur –56,5°C konstant (Isothermie)

20…50 km Temperatur mit steigender Höhe zunehmendvon –56,5…0°C (Inversion)

50…60 km Stratopause Temperatur bei ca. 0°C konstant (Isothermie)

60…80 km Mesosphäre Temperatur mit steigender Höhe fallend0…–80°C (3°C…4°C pro km)

80…400 km Thermosphäre Temperatur mit steigender Höhe zunehmend,(Ionosphäre) auf über 1000°C in 200 km Höhe

400 km Exosphäre(Dissipationssphäre)

Das Minuszeichen erklärt sich aus der Tatsa-che, dass mit zunehmender Höhe z der Druckp abnimmt.

Aus der Gleichung von BOYLE-MARIOTTE er-gibt sich die Dichte r zu:

pr = 4 · r0p0

Damit beträgt die Druckänderung dp:

pdp = – 4 · r0 · g · dz

p0

Durch Integration dieser Differentialglei-chung findet man die Abhängigkeit desDruckes p von der Höhe z:

p0 1dz = – 9 · 3 · dp

r0 · g p

p0 1Údz = – 9 · Ú 3 dpr0 · g p

p0z = – 9 · ln p + Kr0 · g

Die Integrationskonstante K ergibt sich durchEinsetzen der Zustandswerte am Boden:

z = 0; p = p0

p00 = – 9 · ln p0 + Kr0 · g

p0K = 9 · ln p0r0 · g

78 Aerostatik

Damit folgt für die Funktion z = f (p):

p0 p0z = – 9 · ln p + 9 · ln p0r0 · g r0 · g

p0z = 9 · (ln p0 – ln p)r0 · g

p0 p0z = 9 · ln 4 (Gl. 3.1)r0 · g p

Unter Zuhilfenahme der allgemeinen Gasglei-chung p0 · u0 = p0/r0 = Ri · T0 kann Gleichung3.1 auch wie folgt geschrieben werden:

Ri · T0 p0 Ri · T0 r0z = 0 · ln 4 = 0 · ln 4 (Gl. 3.2)g p g r

Die Abhängigkeit des Druckes p von der Höhez ergibt sich durch Delogarithmieren der Glei-chungen 3.1 bzw. 3.2:

p0 r0 · gln 4 = 9 · z

p p0

r0 · gp0 p06

· z

4 = ep

r0 · g· z

g· z

p = p0 · e–6p0 = p0 · e

–7R i · T0 (Gl. 3.3)

Für die Dichte r folgt unter Verwendung derBeziehung

pr = 4 · r0p0

r0 · g· z

g· z

r = r0 · e–6p0 = r0 · e

–7R i · T0 (Gl. 3.4)

Höh

ez

Tem

per

atur

T=

kons

t.

Druck

p=

f (z)

p0

Boden

dz

dpz

Bild 3.3 Isotherme Luftschichtung

3.5 Isentrope Schichtung

Die Isentropengleichung für ideale Gase lau-tet:

1p · uk = p 4 = konst

rk

Mit dem Luftdruck p0 und der Dichte r0 amBoden beträgt die Konstante:

1p0 · 4rk

0

1 1p · 4 = p0 · 4rk rk

0

prk = 4 · rk

0p0

p 1–kr = �5� · r0p0

Die Abhängigkeit des Druckes p von derSchichthöhe z (Bild 3.4) erhält man durch Inte-gration der folgenden, bereits bekannten Dif-ferentialgleichung

dp = – r · g · dz

p 1–kdp = – r0 · �5� · g · dzp0

1 1–k – 1–kdz = – 8 · p0 · p · dpr0 · g

1–kp0 – 1–kÚ dz = – 8 · Ú p · dpr0 · g

1–k 1–kp0 p1 –

z = – 8 · 0 + Kr0 · g 1

1 – 3k1–kp0 k k – 1

6kz = – 8 · 8 · p + Kr0 · g k – 1

Die Integrationskonstante K erhält man durchEinsetzen der Werte am Boden: z = 0; p = p0 :

1–kp0 k k – 16kK = 8 · 8 · p0r0 · g k – 1

Isentrope Schichtung 79

1–kp0 k k – 16k

k – 16kz = 8 · 8 · �p0 – p �r0 · g k – 1

Durch Erweitern des Ausdruckes mit p0/p0 er-gibt sich folgende vereinfachte Schreibweise:

1–kp0 k p0k – 16k

k – 16kz = 8 · 8 · 4 · �p0 – p �r0 · g k – 1 p0

p0 k – k – 16k

k – 16k

k – 16kz = 8 · 8 · p0 · �p0 – p �r0 · g k – 1

p0 k p k – 16kz = 8 · 8 · �1 – �4� � (Gl. 3.5)

r0 · g k – 1 p0

Löst man Gleichung 3.5 nach p auf, erhält mandie Abhängigkeit des Druckes p von der Höhe z:

p k – 16k r0 · g k – 1�4� = 1 – z · 0 · 9p0 p0 k

p r0 · g k – 1 k6k – 1

4 = �1 – z · 9 · 81�p0 p0 k

r0 · g k – 1 k6k – 1p = p0 · �1 – z · 9 · 81� (Gl. 3.6)

p0 k

Bild 3.4 Isentrope Luftschichtung

Für die Abhängigkeit der Dichte r von derHöhe z folgt aus Gleichung 3.6 unter Verwen-dung der Beziehung

rk

p = p0 · 41rk0

rk r0 · g k – 1 k6k – 1p0 · 4 = p0 · �1 – z · 9 · 8�rk

0 p0 k

r0 · g k – 1 k5k – 1rk = rk

0 · �1 – z · 9 · 8�p0 k

r0 · g k – 1 16k – 1 r = r0 · �1 – z · 9 · 8� (Gl. 3.7)

p0 k

Aus der Beziehung p · 1/r = Ri · T ergibt sichdie Temperaturabhängigkeit T = f (z):

p 1T = 9 = 4Ri · r Ri

r0 · g k – 1 k6k – 1p0 · �1 – z · 9 · 9�p0 k

· 000000r0 · g k – 1 16k – 1 r0 · �1 – z · 9 · 9�p0 k

p0 r0 · g k – 1T = 01 · �1 – z · 9 · 9� (Gl. 3.8)

Ri · r0 p0 k

Differenziert man Gleichung 3.8, so findetman die bemerkenswerte Tatsache, dass dieAbleitung dT/dz konstant ist, d.h. der Tempe-raturgradient unabhängig von der jeweiligenHöhe z ist.

dT p0 r0 · g k – 15 = – 0 · 9 · 9dz Ri · r0 p0 k

dT g k – 15 = – 4 · 9 (Gl. 3.9)dz R i k

80 Aerostatik

Durch Einsetzen von g = 9,81 m/s2, Ri = 287 J/(kg · K) und k = 1,4 folgt für die konstanterechte Seite der Gleichung 3.9:

dT 9,81 1,4 – 1 K5 = – 8 · 01 ª – 0,01 4dz 287 1,4 m

d.h., die Temperaturabnahme beträgt ca. 1°C bei einer Höhenzunahme von 100 m.

Dieser Temperaturgradient von –1°C je 100 m Höhenzunahme ist sehr ungenau!

Die Normatmosphäre gibt den Tempera-turgradienten für den Höhenbereich 0…11 km mit –0,65 °C an (Abschnitt 3.6).

3.6 Normatmosphäre

Bei Berechnungen und Versuchen in der Flug-technik, Raumfahrttechnik, Ballistik, Raketen-technik, Meteorologie usw. legt man üblicher-weise Druck, Temperatur, Dichte, Schallge-schwindigkeit, Viskosität und andere Größenanhand von Tabellen, Gleichungen oder Dia-grammen von Normatmosphären fest.

Die Internationale Normatmosphäre derICAO (International Civil Aviation Organiza-tion), die US-Standardatmosphäre und dieNormatmosphäre nach DIN ISO 2533 (De-zember 1979) [3.3] legen folgende Werte amBoden (Meereshöhe) zugrunde:

Luftdruck p0 , pn = 101325 PaLufttemperatur t0 , tn = 15°CLuftdichte r0 , rn = 1,225 kg/m3

Für den Temperaturgradienten wird bis zu einer Höhe z = 11 km dT/dz = – 0,0065 K/mangenommen; von z = 11…20 km bleibt T =216,5 K konstant.

Tafel 28 (aus [3.1]) enthält den Verlauf derTemperatur t und der relativen Größen p/pn ,r/rn , a/an und n/nn in Abhängigkeit der Höhez im Bereich z = 0 bis z = 13 km.

In Tafel 29 (aus [3.4]) sind die TemperaturT, der Druck p und die Schallgeschwindigkeita für den Höhenbereich z = 0…20 km nach derUS-Standardatmosphäre tabelliert.

Die DIN-ISO 2533 enthält neben denGrundlagen und den Berechnungsformeln inmehreren Tabellen die Abhängigkeit folgen-der Größen von der Höhe z:

Druck bzw. DruckverhältnisDichte bzw. DichteverhältnisSchallgeschwindigkeitdynamische Viskositätkinematische Viskosität

Normatmosphäre 81

WärmeleitfähigkeitTeilchendichte der Luftmittlere Teilchengeschwindigkeit der Luftmittlere freie Weglänge der Luftteilchenmittlere Stoßfrequenz der Luftteilchensowie andere weniger wichtige Größen

Der Höhenbereich erstreckt sich von z = – 2 km bis z = + 80 km.

Beispiel 12

Aufgabenstellung:Ein Ballon hat eine Masse von 500 kg undein Volumen von 700 m3.Die Luftzustände am Boden betragen:

Luftdruck p0 = 1013,25 mbarLuftdichte r0 = 1,225 kg/m3

Wie hoch steigt der Ballon auf

a) bei isothermer Schichtung?b) bei isentroper Schichtung?c) nach den Angaben der Normatmos-

phäre?

Lösung:Der Auftrieb des Ballons wird im Gleichge-wichtszustand nach dem Aufsteigen gleichdem Ballongewicht.Nach Gleichung 2.36 ergibt sich die Luft-dichte:

FA = r · g · V

FA 500 · gr = 9 = 01g · V g · 700

r = 0,715 kg/m3

a) Steighöhe bei isothermer Luftschichtung:Nach BOYLE-MARIOTTE beträgt der zu r = 0,715 kg/m3 gehörende Luftdruck:

r 0,715p = p0 · 4 = 1013,25 · 9r0 1,225

p = 592 mbar

Die zum Luftdruck p = 592 mbar korrespon-dierende Höhe z folgt aus Gleichung 3.1:

p0 p0z = 8 · ln 4r0 · g p

101325 1013,25z = 09 · ln 031,225 · 9,81 592

z = 8435 · ln 1,713

z = 4540 m

b) Steighöhe bei isentroper Luftschichtung:Der zur Dichte r = 0,715 kg/m3 gehörendeLuftdruck ergibt sich aus der Isentropen-gleichung:

r k

p = p0 · �41�r0

0,715 1,4

p = 1013,25 · �0�1,225

p = 476,5 mbar

Aus Gleichung 3.5 folgt die zugehörige Höhe z

p0 k p k5k – 1

z = 9 · 8 · �1 – �41� �r0 · g k – 1 p0

101325 1,4z = 09 · 021,225 · 9,81 1,4 – 1

476,5 1,47

1.4 – 1

· �1 – �95� �1013,25

z = 29500 · (1 – 0,470,286)

z = 29500 · (1 – 0,806)

z = 5720 m

c) Steighöhe nach der Normatmosphäre:Das Verhältnis der Dichte r = 0,715 kg/m3

zur Normdichte rn = 1,225 kg/m3 aufMeereshöhe beträgt:

r 0,7154 = 9 = 0,584rn 1,225

Trägt man diesen Wert in Tafel 28 ein, erhältman folgende Höhe z:

z = 5,25 km

Aus Tafel 29 werden dazu folgende Tempe-ratur- und Druckwerte entnommen:

z = 5,2 km T = 254,35 K p = 0,52546 barz = 5,3 km T = 253,70 K p = 0,51884 barz = 5,25 km T– = 254,03 K p = 0,52215 bar

82 Aerostatik

Nach Gleichung 1.7 kann daraus die Dichter in Höhe z = 5,25 km berechnet werden:

pr = 9Ri · T

52 215r = 00287 · 254,03

r = 0,716 kg/m3

Das heißt, dass die Höhe z = 5,25 km auchnach Tafel 29 (US-Standardatmosphäre) hin-reichend genau zur vorgegebenen Dichte r = 0,715 kg/m3 bestimmt ist.

Rechenunsicherheiten). So wird z.B. die Strö-mung durch Raumluftanlagen und Ventilato-ren meist als inkompressibel angesehen undmit mittleren Dichtewerten gerechnet.

4.2 Grundbegriffe

Zur Beschreibung der Strömung in einemPunkt eines Strömungsfeldes wird neben derAngabe der Zustandsgrößen Druck, Tempe-ratur und Dichte vor allem die Strömungsge-schwindigkeit benötigt.

Die Strömungsgeschwindigkeit ist wie inder Punktmechanik (Kinematik) als Vektordefiniert, zu dessen eindeutiger BestimmungRichtung, Größe und Lage erforderlich sind.

Im allgemeinen Fall der 3-dimensionalenStrömung (Raumströmung) ergibt sich fol-gende Darstellung der lokalen Geschwindig-keit eines Fluidteilchens dm (Bild 4.1):

4 Inkompressible Strömungen

4.1 Einleitung

Der folgende Abschnitt befasst sich mit derBeschreibung und Berechnung inkompressi-bler Strömungen in durchströmten Rohrlei-tungen und Kanälen sowie an umströmtenKörpern. Insbesondere werden die Strö-mungsfelder, d. h. Geschwindigkeits- undDruckverteilungen, im strömenden Fluidund die wechselseitigen Kraftwirkungen zwi-schen strömendem Fluid und durch- bzw. um-strömtem Körper behandelt. Zunächst werdendie Gesetzmäßigkeiten für ideale, reibungs-freie Strömungen beschrieben und an-schließend die Korrekturen für die realen, rei-bungsbehafteten Strömungen angefügt.

Streng genommen versteht man unter in-kompressiblen Strömungen Fluidbewegun-gen bei unveränderlicher Dichte (r = konst).In der praktischen Strömungstechnik und im Strömungsmaschinenbau betrachtet manStrömungen mit relativ geringen Druck-, Ge-schwindigkeits- und Temperaturänderungennäherungsweise als inkompressibel, wenn dieDichteänderungen klein sind (im Vergleich zuanderen Werteänderungen bzw. zu Mess- und

Bild 4.1 Zur Erklärung der örtlichen Geschwindigkeit

z

dsÆwÆ = 5 (Gl. 4.1)

dt

bzw. nach der EULER’schen Methode (s. Na-mensverzeichnis) durch die kartesischenKoordinaten x, y, z ausgedrückt:

wÆ = wÆx + wÆy + wÆz (Gl. 4.2)

In kreiszylindrischen Rohrleitungen oder inaxialenTurbomaschinen erweist es sich häufigals sinnvoll, mit einem Zylinderkoordinaten-system (Bild 4.2) zu arbeiten:

wÆ = wÆx + wÆr + wÆj (Gl. 4.3)

In bestimmten Fällen kann es auch praktischsein, Polar- oder Kugelkoordinaten einzu-führen.


Bei der 2-dimensionalen Strömung (ebeneStrömung, Flächenströmung) entfällt eine Di-mension und die Geschwindigkeitsdarstel-lung vereinfacht sich (Bild 4.3):

wÆ = wÆx + wÆy (Gl. 4.4)

Stellt man Rohrströmungen durch Zylinder-koordinaten dar, treten bei Wegfall der 3. Di-mension 2 Fälle auf:

a) drehsymmetrische Strömung: wÆj = 0(Bild 4.4a)

wÆ = wÆx + wÆr (Gl. 4.5)

b) schraubenförmige Strömung: wÆr = 0(Bild 4.4b)

wÆ = wÆx + wÆj (Gl. 4.6)w

wr

wx

wf

f

r

r

xx

→

→

→

→

Bild 4.2 Darstellung der Geschwindigkeit in einem Zylinderkoordinatensystem

w→

y

x

→wx

→wy

dm

Strombahn

Bild 4.3 Geschwindigkeitsdarstellung in einer 2-dimensionalen Strömung

x→wx

→wr →w

r

x0

x

→wx

→wϕ →w

f

f

Bild 4.4 2-dimensionale Strömung in einem Zylin-derkoordinatensystem: a) drehsymmetrische Strö-mung, b) schraubenförmige Strömung

Am einfachsten zu beschreiben ist die 1-di-mensionale Strömung (Linienströmung), wiesie bei vereinfachter Betrachtung bei Rohr-strömungen, bei denen die Strömunghauptsächlich in Richtung der Rohrachse ver-läuft, angenommen werden kann (Bild 4.5).

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w–

ergibt sich als Rechenwert aus den lokalen Ge-schwindigkeiten w:

1w– = 3 Ú w · dA (Gl. 4.7)

AA

w– mittlere StrömungsgeschwindigkeitA Strömungsquerschnitt, senkrecht zur

Rohrachse (Fließfläche)w lokale StrömungsgeschwindigkeitdA zur lokalen Strömungsgeschwindigkeit w

normale Teilfläche

Die Kurve durch die Endpunkte der Ge-schwindigkeitsvektoren eines Strömungs-querschnittes (Fließfläche) bezeichnet man alsHodographen, Kurvenzüge durch Punktegleicher Strömungsgeschwindigkeiten alsIsotachen (Bild 4.6).

Multipliziert man die mittlere Geschwin-digkeit w– mit dem dazu senkrechten Strö-mungsquerschnitt A, erhält man den Volu-menstrom V:

V = w– · A (Gl. 4.8)

Der Volumenstrom stellt also gewissermaßenden Inhalt eines «gedachten Körpers» ausStrömungsquerschnitt (Fließfläche) und Ge-schwindigkeitsvektoren dar!

Grundbegriffe 85

Die Geschwindigkeit w ist eine Funktiondes Weges und der Zeit:

w = f (s, t)

Die Beschleunigung a ist bekanntlich gleichder 1. Ableitung der Geschwindigkeit w nachder Zeit t:

dwa = 5dt

∂w ∂wdw = 5 · ds + 5 · dt

∂s ∂t

dw ∂w ds ∂wa = 51 = 51 · 5 + 51dt ∂s dt ∂t

∂w ∂wa = w · 51 + 51 = ak + al (Gl. 4.9)

∂s ∂t

a = dw/dt totale oder substantielleBeschleunigung

ak = w · ∂w/∂s konvektive Beschleunigung,die auf ein bestimmtes Fluidteilchen dmwährend seiner Ortsveränderung wirkt

al = ∂w/∂t lokale Beschleunigung, die einFluidteilchen dm am jeweiligen Ort desStrömungsfeldes erfährt

Beide Beschleunigungsarten lassen sich an fol-genden einfachen Beispielen erläutern:

In einer Rohrleitung mit konstantem Strö-mungsquerschnitt wird ein Schieber langsamgeöffnet (Bild 4.7a). Aus Gründen der Konti-nuität herrscht in beiden Querschnitten �und � in jedem Zeitpunkt die gleiche Strö-mungsgeschwindigkeit, d.h., ∂w/∂s ist gleich0 und damit auch die konvektive Beschleuni-

wx = f(r)

Ax

r

HodographBild 4.5Koaxiale Rohrströmung in 1-dimensionaler Darstellung


=1,4

1,2

1,0

0,8

+

0,6

ww

ww

w örtliche Geschwindigkeit

Vw = mittlere Geschwindigkeit

A

Bild 4.6 Isotachen eines Geschwindigkeitsprofiles hinter einem 90°-Krümmer

Schieber

öffn

en

2

V= f (t)

w = f (t)

1

1

2

V= konst.

Bild 4.7 a) Instationäre und b) stationäre Strömung

a) b)

gung ak . Die Beschleunigung, die ein Fluidteil-chen dm auf dem Weg von � nach � erfährtrührt allein daher, dass sich die Geschwindig-keit w in allen Querschnitten mit der Zeit tändert, d.h., die Beschleunigung ist gleich der lokalen Beschleunigung al = ∂w/∂t. In Bild 4.7b ist eine Düsenströmung dargestellt,bei der sich die lokale Geschwindigkeit beikonstantem Durchfluss nicht ändert. Die Be-schleunigung, die auf ein Fluidteilchen dm aufdem Weg � nach � wirkt, rührt ausschließ-lich aus der Änderung der Geschwindigkeitvon � nach � , d.h. der konvektiven Be-schleunigung ak = w · ∂w/∂s her.

Strömungen, in denen nur konvektive Be-schleunigungen auftreten werden als statio-näre Strömungen bezeichnet, Strömungenmit konvektiven und lokalen Beschleunigun-gen als instationäre Strömungen:

w = f (s, t) Æ instationäre Strömung

w = f (s) Æ stationäre Strömung

Typische instationäre Strömungen treten bei-spielsweise beim Füllen und Leeren vonBehältern oder in den Druck- und Saugleitun-gen von oszillierenden Verdrängerpumpenauf.

Der Zustand stationärer oder instationärerStrömung kann auch von der Wahl des Be-obachterstandpunktes d.h. vom gewähltenKoordinatensystem abhängen. Ein auf einemSchiff mitfahrender Beobachter sieht beispiels-weise bei gleichbleibender Geschwindigkeitam Bug immer die gleiche Bugwellenform, dieStrömung ist für ihn stationär. Ein an Land ste-hender Beobachter sieht die vorbeiziehendeBugwelle des Schiffes als vorübergehendeStörung des Wasserwellenbildes, die in seinBlickfeld gelangt und wieder verschwindet.

Zeichnet man in einem Strömungsgebiet anverschiedenen Punkten die Geschwindig-keitsvektoren ein, erhält man ein Strömungs-feld (Bild 4.8).

Werden die Angriffspunkte der Geschwin-digkeiten so durch Kurvenzüge verbunden,dass die Vektoren zu Kurventangenten wer-den, entstehen die sog. Stromlinien.

Die aus kurzen Bahnelementen vielerFluidteilchen bestehenden Stromlinien be-

Grundbegriffe 87

schreiben ein momentanes Bild des Strö-mungsfeldes und lassen sich durch Kurzzeit-aufnahmen der Momentanbewegungen vonSchwebeteilchen fotografisch darstellen [4.1bis 4.4]. Stromlinien verlaufen knickfrei undkönnen sich nicht schneiden, da in einemPunkt des Strömungsfeldes nicht 2 Geschwin-digkeiten auftreten können.

Stromlinienverdichtung bedeutet Ge-schwindigkeitszunahme (Beschleunigung),Stromlinienauflockerung dagegen Geschwin-digkeitsabnahme (Verzögerung) (Bild 4.9).Stromlinien beginnen nicht und enden nichtim Strömungsraum, ausgenommen in Stau-punkten umströmter Körper, in denen die Ge-schwindigkeiten zu 0 werden und die Strom-linien orthogonal auf die Körperoberflächestoßen (Bild 4.9). Die der Körperkontur fol-

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

→w

Stro

mlin

ie

Bild 4.8 Strömungsbild (Strömungsfeld)

Bild 4.9 Umströmter Körper

gende Stromlinie teilt sich im vorderen Stau-punkt (Verzweigungspunkt) SI , folgt allseitsder Körperkontur und vereinigt sich am Kör-perende im hinteren Staupunkt SII (Vereini-gungspunkt).

Die Gesamtheit aller den Körper umschrei-benden Stromlinien wird als Stromfläche be-zeichnet. An der Stromfläche dürfen keineNormalkomponenten der Geschwindigkeitenauftreten.

Verfolgt man den von einem Fluidteilchenzurückgelegten Weg im Strömungsfeld erhältman dessen Strombahn (Bild 4.1). Die Längedes zurückgelegten Weges bezeichnet manauch als Bahnlinie

tn

sÆ = Ú dsÆ= Ú wÆ · dt (Gl. 4.10)t0

Durch langbelichtete Fotoaufnahmen mitSchwebeteilchen bestreuter Flüssigkeitsströ-mungen lassen sich Strombahnen sichtbar ma-chen.

Als Streichlinien bezeichnet man Kurven-züge aus allen Teilchen, die im Laufe der Zeiteine bestimmte Stelle des Strömungsraumsdurchströmen. So stellt z.B. die Rauchfahneeines Schornsteins ein Bündel von Streichli-nien dar.

Fasst man mehrere Stromlinien zu einemStromlinienbündel zusammen, erhält man


eine Stromröhre (Bild 4.10). Der durch dieStromröhre strömende Volumenstrom V er-gibt sich aus Gleichung 4.8.

Man kann sich die Stromröhre auch alsBündel sehr vieler Stromfäden mit infinitesi-malen Querschnitten dA vorstellen. Längs desStromfadens bewegt sich das Fluid nur 1-di-mensional in Strömungsrichtung.

Im Strömungsquerschnitt dA des Stromfa-dens sind Druck und Geschwindigkeit kon-stant.

Nach der Stromfadentheorie behandelteStrömungen in Rohrleitungen und Gerinnenwerden durch Strömungsgrößen beschrieben,die über dem Querschnitt gemittelt sind.

Alle Fluidteilchen, die durch den Eintritts-querschnitt der Stromröhre strömen, verblei-ben auf ihrem gesamten Strömungsweg inner-halb des Mantels der Stromröhre, d.h., dieMantelfläche ist undurchlässig.

Wenn die Fluidteilchen längs ihrer Strom-bahnen nur Längsbewegungen (Translatio-nen) ausführen, spricht man von rotations-freien oder wirbelfreien Strömungen (Bild4.11a). Drehen sich die Teilchen zusätzlichnoch um ihre eigene oder eine andere Achse,liegt eine wirbelbehaftete Strömung vor (Bild 4.11b).

Mantel

A

Querschnitt

dAStromfaden

→w

Bild 4.10 Stromröhre und Stromfaden

→w6→w5→w4→w3

→w2

→w1t1

t2

t3

t4

t5

t6

dm

dm

dmdm

dmdm

Strombahn

→w6→w5→w4→w3

→w2

→w1t1

t2

t3

t4

t5

t6

dm

dm

dmdm

dmdm

Strombahn

w1

w2

w3

w4

w5

w6

Bild 4.11 Vergleich zwischen a) wirbelfreier undb) wirbelbehafteter Strömung

a)

b)

Überlagert man zur Translation und Rota-tion noch die Deformation eines Fluidteil-chens, erhält man die allgemeinste Form sei-ner Bewegung im Strömungsraum. Die exak-ten mathematischen Beschreibungen dieserBewegungen können in wissenschaftlich kon-zipierten Lehrbüchern, z.B. in [4.5] nachgele-sen werden.

Auf die verschiedenen Wirbelbewegungender Strömungslehre wird im Verlaufe des Bu-ches noch näher eingegangen.

Bei der Beschreibung von Strömungsfel-dern kann sich der Begriff Zirkulation alssinnvoll erweisen.

Dabei ist die Zirkulation G als Linieninte-gral des Produktes Geschwindigkeit ¥ Weglängs einer geschlossenen Kurve im Strö-mungsfeld definiert (Bild 4.12):

G = Ú� wÆs · dsÆ (Gl. 4.11)

In wirbelfreien Strömungen wird die Zirkula-tion 0!

An der Theorie interessierte Leser findendie Darstellung der Beschreibungsmöglichkei-ten von Strömungsfeldern nach LAGRANGE (s.Namensverzeichnis) (massen- oder teilchen-behaftete Betrachtung) oder EULER (ortsfesteBetrachtung) sowie Beschreibungen der Po-tentialströmungen in der anspruchsvollenFachliteratur, u.a. in [4.5, 4.6 und 4.7].

Grundgleichungen 89

4.3 Grundgleichungen

4.3.1 Kontinuitätsgleichung(Durchflussgleichung)

Nach dem Massenerhaltungssatz bleibt beiinkompressibler, stationärer Strömung (r =konst) der durch eine Stromröhre (Bild 4.13)strömende Volumenstrom V konstant.

Nach Gleichung 4.8 kann der Volumen-strom V durch den Strömungsquerschnitt Aund die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w–

ausgedrückt werden:

V = A · w– = A1 · w–1 = A2 · w– 2 = konst(Gl. 4.12)

V VolumenstromA Strömungsquerschnittw– mittlere Strömungsgeschwindigkeit

Bei Gleichung 4.12 handelt es sich um eineeinfache Bilanzgleichung in integraler Form.Die Differentialgleichungen für das Konti-nuitätsgesetz des Kontrollraums, des Kon-trollfadens und des Fluidelementes werdenz.B. in [4.5] beschrieben.

Wendet man das Kontinuitätsgesetz fürstationäre, inkompressible Strömungen aufein System verzweigter Stromröhren (Bild4.14) an, erhält man aus der Bilanz der zu- undabströmenden Volumenströme die einfacheBeziehung:

Â Vi, zu = Â Vi, ab = Vges (Gl. 4.13)

→w→

ds

geschlossene Kurve

Strom

linienws

Bild 4.12 Zur Definition der Zirkulation

→w2

→w1

→w

A1

A2

A

Bild 4.13 Zur Kontinuitätsgleichung

4.3.2 Energiegleichung

4.3.2.1 Energiegleichung längs einerStromlinie (Euler’sche Gleichungfür 1-dimensionale Strömungen)

An einem längs einer Stromlinie bewegtenkleinen Masseteilchen dm, das als starr be-trachtet wird, herrscht folgendes Kräftegleich-gewicht (Bild 4.15):

❑ Newton’sche Beschleunigungskraft

dwdFN = dm · 6dt(«Kraft = Masse ¥ Beschleunigung»)

dwdFN = r · dA · ds 6dt

in Richtung der Geschwindigkeit w

❑ Gewichtskraft dG (Schwerkraft)

dG = g · dm = r · g · dA · ds

in Strömungsrichtung wirkt nur die Kom-ponente dFS (Hangabtrieb)

∂zdFS = – dG · sin a = – r · g · dA · ds 5∂s

❑ Druckkraft dFp

Auf die untere Fläche dA wirke der Druck p, auf die obere Fläche dA dergrößere Druck p + ∂p/∂s · ds

∂pdFp = p · dA – �p + 5 · ds� · dA

∂s∂p

= – 5 · ds · dA∂s


Die Newton’sche Beschleunigungskraft hältden beiden äußeren Kräften dFp und dFS dasGleichgewicht.

dw ∂pr · dA · ds · 5 = – 5 · ds · dA

dt ∂s∂z

– r · g · dA · ds 5∂s

Die Gleichung wird durch r dividiert, mit ∂smultipliziert und umgestellt:

1 dwg · ∂z + 3 · ∂p + ∂s · 6 = 0 (Gl. 4.14)

r dt

In Gleichung 4.9 wurde die Beschleunigung a = dw/dt bereits als Summe aus konvektiverund lokaler Beschleunigung abgeleitet:

dw ∂w ∂w6 = w · 6 + 6dt ∂s ∂t

Damit erhält man für den 3. Ausdruck in Gl.4.14:

dw ∂w∂s · 6 = w · ∂w + 6 · ∂s

dt ∂t

dw w2 ∂woder: ∂s 6 = ∂ · �41� + 6 · ∂s

dt 2 ∂t

V1Zu

V2Zu

V 3Zu

Vges

V1 ab

V2 ab

V1Zu+V2Zu+V3Zu = Vges = V1ab+V2ab

Bild 4.14 Verzweigtes (Rohr-)System

→w

z

x

dG · sina

dG

dA

ds dA

dm

dz

p

p+

a

· ds

Strombahn

Bild 4.15 Zur Ableitung der Euler’schen Glei-chung für 1-dimensionale Strömungen

1 w2 ∂wg · ∂z + 3 · ∂p + ∂ �41� + 6 · ∂s = 0

r 2 ∂t (Gl. 4.15)

Gleichung 4.15 stellt die bereits von L. EULER

um 1755 angegebene Energiegleichung füreindimensionale, instationäre und inkom-pressible Strömungen dar [4.8].

Bei Vorliegen einer stationären Strömungentfällt die lokale Beschleunigung ∂w/∂t,d.h., die Geschwindigkeit ändert sich nur mitdem Ort. Dadurch vereinfacht sich Gl. 4.15durch Wegfall des Ausdruckes ∂w/∂t · ∂s undder partiellen Differentiale:

1 w2

g · dz + 3 · dp + d �41� = 0 (Gl. 4.16a)r 2

bzw.

1g · dz + 3 · dp + w · dw = 0 (Gl. 4.16b)

r

Die Beschreibung der Euler’schen Bewe-gungsgleichungen für mehrdimensionaleStrömungen findet sich u.a. in [4.5].

4.3.2.2 Energiegleichung längs einerStromröhre(Gleichung von BERNOULLI)

Betrachtet man die Strömung in einer Strom-röhre mit «makroskopischen» Abmessungenund drückt den Energieverlauf längs derStromröhre für die einzelnen Stromliniendurch den Energieverlauf längs der Mittel-stromlinie aus, erhält man die Energieglei-chung für die Stromröhre durch Integrationder Euler’schen Differentialgleichungen.

Begonnen wird mit der Integration vonGleichung 4.16 a für die stationäre Strömung:

1 w2

g · Ú dz + 3 · Ú dp + Ú d �41� = konstr 2

p w2

g · z + 3 + 5 = konst1 (Gl. 4.17)r 2

Grundgleichungen 91

In der Schreibweise von Gleichung 4.17 hatdie Energiegleichung die Dimension «spezifi-sche Energie» und die einzelnen Größen derGleichung die SI-Einheit J/kg.

Dividiert man Gleichung 4.17 durch dieErdbeschleunigung g, erhält man die klassi-sche Form der Bernoulli-Gleichung:

p w2

z + 7 + 5 = konst2 (Gl. 4.18)r · g 2g

mit der Dimension «Länge» («Höhe»). Die SI-Einheit der einzelnen Größen ist m.

Diese Gleichung wurde von DANIEL BER-NOULLI (s. Namensverzeichnis) in seinem 1738in Straßburg erschienen Buch «Hydrodyna-mica» [4.9, 4.10] abgeleitet und zahlreichepraktische Anwendungen beschrieben.

Die Bernoulli’sche Schreibweise der Ener-giegleichung lässt sich, da sie in der Dimen-sion «Länge» formuliert ist, sehr anschaulichgrafisch darstellen (Bild 4.16).

A2

→w2

→w1

z1

z2

z

A

A1

→wp2

p1→

p→

→

StromröhreMittelstromlinie

z1

z2

z

w12/2g

w22/2gGeschwindig-

keitshöhe

Gesamthöhe

Ortshöhe

Druckhöhep1r · g

pr · g p2

r · g

w2

2 g

Bild 4.16 Zur Bernoulli-Gleichung

Die Gesamthöhe «konst2» setzt sich in je-dem Punkt der Mittelstromlinie aus der Orts-höhe z, der Druckhöhe p/(r · g) und der Ge-schwindigkeitshöhe w2/(2g) zusammen.

Multipliziert man Gleichung 4.17 mit derDichte r, erhält man die 3., in der Praxis eben-falls häufig angewandte Ausdrucksform derEnergiegleichung:

rr · g · z + p + 3 · w2 = konst3 (Gl. 4.19)

2

Die Dimension dieser Gleichung ist «Druck»,die korrespondierende SI-Einheit Pa. Im 1.Glied von Gleichung 4.19 erkennt man denhydrostatischen Schweredruck (Gleichung2.14). In Abschnitt 4.3.2.3 werden die verschie-denen Druckbegriffe noch genauer erläutert.

Durch Integration von Gleichung 4.15 er-hält man die Energiegleichung für reibungs-freie, inkompressible instationäre Strömungendurch eine Stromröhre:

1 w2 ∂wr · Ú ∂z + 3 · Ú ∂p + Ú ∂ �41� + Ú 411 · ∂s = konst

r 2 ∂t


sp w2 ∂w

g · z + 3 + 4 + Ú 5 · ds = konst (Gl. 4.20)r 2 ∂t

0

Die ersten 3 Glieder haben die gleiche Bedeu-tung wie in Gleichung 4.17, der 4. Term drücktdas zeitabhängige Verhalten der Strömung aus.

Wendet man Gleichung 4.20 auf eine Strom-röhre zwischen den Eintrittsquerschnitten A1

und A2 an (Bild 4.16), erhält man folgende, fürviele praktische Berechnungen instationärerRohrströmungen sinnvolle Formulierung:

s1p1 w1

2 ∂wg · z1 + 31 + 4 + Ú 5 · ds

r 2 ∂t0

s2p2 w2

2 ∂w= g · z2 + 3 + 4 + Ú 5 · ds

r 2 ∂t0

p1 w12

g · z1 + 31 + 4r 2s2

p2 w22 ∂w

= g · z2 + 4 + 4 + Ú 5 · ds (Gl. 4.21)r 2 ∂t

s1

Beispiel 13

Aufgabenstellung:Durch das Saugrohr einer Wasserturbine strömen in der Sekunde 6 m3 Wasser. Der Luft-druck auf dem Unterwasser beträgt 1000 mbar.Wie groß ist der Unterdruck p1u am Saugrohreintritt � (Bild 4.17)?

Lösung:Zur Lösung werden die Energiegleichung und die Kontinuitätsgleichung benutzt.

Zustand � Zustand �

Höhe z1 = 4 m + Dz Höhe z2 = 0 mDruck p1 = ? Druck p2 = p¢2 + r · g · Dz

p pQuerschnitt A1 = 3 · 12 = 0,7854 m2 Querschnitt A2 = 3 · 1,42 = 1,539 m2

4 4

V 6 V 6Geschwindigkeit w1 = 4 = 01 Geschwindigkeit w2 = 4 = 01A1 0,7854 A2 1,539

w1 = 7,64 m/s w2 = 3,9 m/s

Durch Anwendung der Energiegleichung inder Schreibweise der Gleichung 4.19 ergibtsich der Druck p1 zu:

r rr · g · z1 + p1 + 3 · w2

1 = r · g · z2 + p2 + 3 · w222 2

1000 · 9,81 (4 + Dz) + p1 + 500 · 7,642

= 0 + 105 + 1000 · 9,81 · Dz + 500 · 3,92

1000 · 9,81 · 4 + 1000 · 9,81 · Dz + p1 + 500 · 7,642 = 105 + 1000 · 9,81 · Dz + 500 · 3,92

p1 = 105 + 7605 – 29185 – 39240

p1 = 39180 Pa = 391,8 mbar

Den gesuchten Unterdruck erhält mandurch Subtraktion von p1 vom Bezugs-außendruck p¢2:p1u = p¢2 – p1

p1u = 1000 – 391,8

p1u = 608,2 mbar

Grundgleichungen 93

Beispiel 14

Aufgabenstellung:

Welcher Wasserstrom V (r = 1000 kg/m3)fließt durch das in Bild 4.18 dargestellteVenturirohr (s. Namensverzeichnis), wennzwischen freiem Rohr (80 mm∆) und Ein-schnürungsstelle (60 mm ∆) ein Druckunter-schied von 500 Torr besteht? Die Reibungs-verluste sollen vernachlässigt werden.

Der Druckunterschied p1 – p2 = 500 Torrist gemäß Gleichung 6.2 definiert, d.h.berücksichtigt sowohl die Dichte derManometer-Sperrflüssigkeit als auchdie Dichte des durch das Venturirohrströmenden Wassers.


Rohr Venturieinsatz

Ø 60

Ø 80

= 500 Torr^

1 2V=?

Sperrflüssigkeit


Lösung:Man erhält den gesuchten Wasserstrom Vmit Hilfe der Energiegleichung 4.17 in Ver-bindung mit der Kontinuitätsgleichung4.12:

(Gl. 4.17):p1 w2

1 p2 w22g · z1 + 3 + 4 = g · z2 + 3 + 4r 2 r 2

z1 = z2 , da Strömung horizontal verläuft!

(Gl. 4.12): A1 · w1 = A2 · w2

A1 d21w2 = w1 · 4 = w1 · 4A2 d22

0,082

w2 = w1 · 9 = 1,778 · w10,062

In Gleichung 4.17 eingesetzt, ergibt sich fürdie Geschwindigkeit w1:


2w2

2 – w21 = 3 (p1 – p2)r

2 · 666611,7782 · w2

1 – w21 = 961000

(Anmerkung:500 Torr entsprechen 66661 Pa)

2,16 w21 = 133,32

133,32w2

1 = 93 = 61,72,16

w1 = 7,86 m/s

pV = A1 · w1 = 3 · 0,082 · 7,86

4

V = 0,005027 · 7,86

V = 0,0395 m3/s = 39,5 l/s

Beispiel 15

Aufgabenstellung:Aus einem offenen Behälter strömt kaltesWasser (r = 1000 kg/m3) durch eine 100 mlange Rohrleitung mit einem Innendurch-messer von 100 mm ins Freie (Bild 4.19).

Der Wasserspiegel im Behälter bleibtkonstant bei 50 m über der Rohrmitte.

Am Ende der Rohrleitung ist ein Schieberangebracht, der mit einer Schließzeit von

5 s kontinuierlich geschlossen wird, wo-durch sich die Austrittsgeschwindigkeit w2

linear vom Maximalwert auf 0 verringert(vereinfachte Schließcharakteristik desSchiebers angenommen).

Wie groß ist der am Ende des Schließvor-gangs am Schieber auftretende Druck p2 ,wenn die Reibung im Rohr vernachlässigtwird?


Lösung:Da es sich um einen instationären Strö-mungsvorgang handelt, wird Gleichung4.21 angewandt.

p1 w12

g · z1 + 31 + 4r 2s2

p2 w22 ∂w

= g · z2 + 4 + 4 + Ú 5 · dsr 2 ∂t

s1

Die einzelnen Größen der Gleichung habenfolgende Bedeutung bzw. Werte:

z1 Höhe des Wasserspiegels im Behälter = 50 m

p1 Luftdruck (offener Behälter)w1 = 0, da die Behälterquerschnittsfläche

sehr groß ist im Vergleich zum Rohr-querschnitt

z2 = 0 mp2 gesuchter Druck am Schieberw2 Strömungsgeschwindigkeit im Rohrw2 = d002g · (z1 – z2) (siehe Abschnitt 4.3.2.4)∂w Geschwindigkeitsänderung∂w , Dw , w2 – 0∂t , Dt , Schließzeit = 5 sds , s2 – s1 = Rohrlänge = 100 m

Der lineare Schließvorgang, d.h., die Funk-tion w2 = f (t) ist in Bild 4.20 dargestellt, wo-bei sich die Strömungsgeschwindigkeit w2

am Beginn des Schließvorgangs wie folgtberechnet:

w2 = d002g · (z1 – z2)

w2 = d0092 · 9,81 · (50 – 0)

w2 = 31,32 m/s

Damit kann der maximale Druck p2 amEnde des Schließvorganges berechnet wer-den:

Grundgleichungen 95

s2p2 – p1 w2

2 ∂w01 = g · (z1 – z2) – 4 – Ú 6 · ds

r 2 ∂ts1

s2p2 – p1 2g · (z1 – z2) ∂w01 = g · (z1 – z2) – 00 – Ú 6 · ds

r 2 ∂ts1

s2∂w

p2 – p1 = – r Ú 6 · ds∂t

s1

– 31,32p2 – p1 = – 1000 03 100

5

p2 – p1 = 6,264 · 105 Pa = 6,264 bar

Der Differenzdruck p2 – p1 = 6,264 bar ist derÜberdruck vor dem Schieber gegenüberdem Luftdruck hinter dem Schieber. DerLuftdruck über dem Wasserspiegel wurdedabei gleich dem Luftdruck am Rohrlei-tungsende gesetzt, d.h., die geringe Luft-druckänderung bei 50 m Höhenunterschiedwurde nicht berücksichtigt.

m/s

40

30

20

10

0

Ges

chw

ind

igke

itw

2

0 1 2 3 4 5 s

Zeit

Bild 4.20 Beispiel 15 – Schließvorgang

Im Ruhezustand, d.h. nach Abklingen des Druckstoßes, beträgt der Druck vor dem Schieber(Gleichung 2.14):

p2 – p1 = r · g · (z1 – z2) = 1000 · 9,81 · 50 = 490500 Pap2 – p1 = 4,905 bar

Der Druckunterschied Dp = 6,264 – 4,905 = 1,36 bar ist die Folge des Druckstoßes durch dieAbbremsung der Rohrströmung von 31,32 m/s auf 0 m/s innerhalb der Schließzeit von 5 s.

4.3.2.3 Verschiedenen Druckbegriffe in einem strömenden Fluid

Ausgehend von der Energiegleichung in derSchreibweise «Dimension Druck» (Gleichung4.19), erhält man für eine dichtebeständigeStrömung (r = konst) im Schwerefeld fol-gende Druckbegriffe:

rr · g · z + p + 3 · w2 = konst

2r · g · z stellt den hydrostatischen Druck

(Schweredruck) nach Gleichung 2.14dar.

r · g · z = phydrostat

p entspricht dem Kolbendruckp + r · g · z wird als statischer Druck bezeichnet.r3 · w2 wird als dynamischer Druck pdyn2 bezeichnet.r3 · w2 = pdyn2

Längs einer Staustromlinie, die in einemStaupunkt endet (Bild 4.21), ergibt sich in ei-ner horizontalen Ebene, d.h. bei gleichbleiben-dem hydrostatischem Druck phydrostat :

r rp∞ + 3 · w2

∞ = pSI + 3 · w2SI2 2

Per Definition ist die Strömungsgeschwindig-keit wSI im Staupunkt gleich 0, der Druck pSI

im Staupunkt wird zum Totaldruck pt :

rpt = pSI = p∞ + 3 · w2

∞2

bzw. ganz allgemein formuliert:

rpt = p + 3 · w2 = pstat + pdyn (Gl. 4.22)

2

Der statische Druck p kann an einer Wand-bohrung oder mittels statischer Sonde ge-messen werden. Je nachdem, ob der statischeDruck größer oder kleiner ist als der Bezugs-druck p0 (Außendruck), unterscheidet man diein den Tabellen 4.1 und 4.2 dargestellten Zu-sammenhänge.


Eine andere Möglichkeit zur Messung desstatischen Druckes besteht in der Verwendungeiner statischen Sonde (Bild 4.23). Die Glei-chungen zur Bestimmung des Druckes p alsAbsolut-, Über- oder Unterdruck sind dieGleichen wie in Tabelle 4.1 aufgeführt. DenTotaldruck pt misst man üblicherweise mit ei-nem Hakenrohr, das nach dem französischenPhysiker HENRI DE PITOT (s. Namensverzeich-nis) auch als Pitot-Rohr bezeichnet wird (Bild 4.24).

In der Schnittebene I–I muss Druckgleich-gewicht herrschen:

rp + 3 · w2 + rFl · g · hFl = p0 + rM · g · hM2

rpt = p + 3 · w2 = p0 + g · (rM · hM – rFl · hFl )2

(Gl. 4.25)

Bild 4.24 und Gleichung 4.25 beschreiben eineStrömung, bei der der Totaldruck pt größer istals der Bezugsdruck p0 .

In Anlehnung an die Bilder 4.22 b und4.23 b sowie an Gleichung 4.24 kann leichteine Formel für pt abgeleitet werden, wenn pt

kleiner ist als der Bezugsdruck p0 .Durch Kombination von Wandbohrungen

und Pitot-Rohr können für Innenströmungen(Rohrströmungen) und freie Außenströmun-gen Messanordnungen geschaffen werden,die eine direkte Messung des dynamischen

Stromlinien

Staustromlinie

Staupunkt

sI

wSI

∞

∞

w∞

p∞

Bild 4.21 Staupunktströmung

Grundgleichungen 97

Tabelle 4.1 Messung des statischen Druckes an einer Wandbohrung

Überdruck Unterdruck

In der Schnittebene I–I herrscht der gleiche Druck!

p + rFl · g · hFl = p0 + rM · g · hM

p = p0 + g · (rM · hM – rFl · hFl) (Gl. 4.23a)

als Absolutdruck!

pü = p – p0 = g · (rM · hM – rFl · hFl) (Gl. 4.23b)

als Überdruck!

p , pstat statischer Absolutdruckp0 Bezugsdruckg Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

rM Dichte der SperrflüssigkeithM Messwert des FlüssigkeitsmanometersrFl Dichte des FluidshFl senkrechter Abstand zwischen

Wandbohrung und fluidseitigemMeniskus der Sperrflüssigkeit

Sperrflüssigkeit

w

Wandbohrung

Flüssigkeits-manometer

rM

I I

p0 (Außendruck)

hM

hFl

rFl

p

Bild 4.22b Messung des statischen Druckes aneiner Wandbohrung bei Unterdruck (p < p0)

Bild 4.22a Messung des statischen Druckes aneiner Wandbohrung bei Überdruck (p > p0)

p + rFl · g · hFl + rM · g · hM = p0

p = p0 – g · (rM · hM + rFl · hFl) (Gl. 4.24a)

als Absolutdruck!

pu = p0 – p = g · (rM · hM + rFl · hFl) (Gl. 4.24b)

als Unterdruck!

Werden anstelle von Flüssigkeitsmanometern andere Druckmessgeräte verwendet, entfällt inden Gleichungen 4.23 und 4.24 jeweils der TermrM · hM . Handelt es sich beim Fluid um ein Gas,kann die Dichte rFl meistens gegenüber derDichte rM der Sperrflüssigkeit vernachlässigtwerden, d.h., die Gleichungen 4.23 und 4.24 ver-einfachen sich durch den Wegfall des ProduktesrFl · hFl .

Druckes pdyn und damit der Strömungsge-schwindigkeit w ermöglichen. Die Kombina-tion aus Pitot-Rohr und statischer Sonde wirdnach ihrem Erfinder, dem bekannten Strö-mungsforscher LUDWIG PRANDTL (s. Namens-verzeichnis) als Prandtl-Sonde oder Prandtl-Rohr bezeichnet (siehe auch Abschnitt 6.2.2.4).


hFl

hM

rM

rFl

p0

p

w

I I

Bohrungen ⊥ zurStrömungsrichtung

hFl

hM

rM

rFl

p0

p

w

I I

hFl

hM

rM

rFl

p

w

I I

Öffnung ⊥ zur Strömungsrichtung

Bild 4.24 Totaldrucksonde (Pitot-Rohr)

Bild 4.23b Statische Sonde bei Unterdruck (p < p0)

Bild 4.23a Statische Sonde bei Überdruck (p > p0)

In Tabelle 4.2 sind die beiden Geschwindig-keitsmessverfahren gegenübergestellt.

Die oben dargestellten Strömungsver-hältnisse an Wandbohrungen und Son-den sind idealisiert, d.h., Einflüsse derBohrungs- und Sondengeometrie, derReibung (Grenzschicht) und der Turbu-lenz sind nicht berücksichtigt.

Grundgleichungen 99

Zwischen Strömungsgeschwindigkeit w und den Drücken besteht bei beiden Messanordnungen fol-gender Zusammenhang:

pt = pstat + pdyn

rpt = p + 3 · w2

2

606 08 032 · (pt – pstat ) 2 · (pt – p) 2 · pdynw = f003 = f09 = f58 (Gl. 4.26)r r r

w Strömungsgeschwindigkeitpt Totaldruckpstat , p statischer Druckpdyn dynamischer Druckr Dichte des Fluids

Tabelle 4.2 Messung der Strömungsgeschwindigkeit

Innenströmung Außenströmung

Der statische Druck p , pstat wird an einer Wand-bohrung senkrecht zur Strömungsrichtung ge-messen, z.B. als Steighöhe in einem Piezorohr.Der Totaldruck pt wird an einem Pitot-Rohr ge-messen, dessen Öffnung senkrecht zur Strö-mungsrichtung steht.

Der statische Druck p , pstat wird an den zur Strö-mungsrichtung senkrechten Bohrungen gemes-sen, der Totaldruck an der Eintrittsöffnung deszentralen Pitot-Rohres. Zwischen den Bohrungender statischen Sonde und der Öffnung des Pitot-Rohres wirkt der dynamische Druck pdyn .

Bild 4.25 Messung des dynamischen Druckes ineinem Rohr mittels Pitot-Rohr und Piezorohr

Bild 4.26 Prandtl-Rohr mit angeschlossenenManometern

800DpBwa = f 2 · �7 + g · h� (Gl. 4.27)r

wa Austrittsgeschwindigkeit(Strahlgeschwindigkeit)

DpB Überdruck im BehälterDpB = pi – pa

pi Druck im Behälterpa Außendruck � Absolutdrücke!

r Dichte der Flüssigkeitg Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

h Höhendifferenz zwischen Flüssigkeits-spiegel und Mitte Behälteröffnung

Handelt es sich bei dem Behälter um einen offenen Behälter, sind Innendruck pi undAußendruck pa gleich groß und man erhält un-ter Vernachlässigung der geringen Luft-druckänderung zwischen Flüssigkeitsspiegelund Behälteröffnung die bekannte, bereits1644 veröffentliche Ausflussformel von TORRICELLI (s. Namensverzeichnis):

wa = d952 · g · h (Gl. 4.28)

Lösung:Zunächst wird die Dichte r der Luft bestimmt:

pr = 9 (Gl. 1.7)

Ri · T

102000r = 06 = 1,173 kg/m3

287 · 303

Aus Gleichung 4.26 ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit w:

042 · pdynw = f03r042 · 250

w = f031,173

w = 20,65 m/s

Beispiel 16

Aufgabenstellung:An einem in einem Lüftungskanal ange-brachten Prandtl-Rohr werden folgendeWerte gemessen:

statischer Druck p , pstat = 1020 mbar

dynamischer Druck pdyn = 2,5 mbar

Außerdem an einem Thermometer in derNähe des Prandtl-Rohres:

Temperatur t = 30°C

Wie groß ist die Strömungsgeschwindig-keit w?


4.3.2.4 Einige praktische Anwendungender Energiegleichung

a) Konstanter, reibungsfreier Ausfluss ausBehältern durch kleine Öffnungen

Aus einem Druckbehälter (Bild 4.27) strömtkontinuierlich ein Volumenstrom V aus.

Im Behälter herrscht ein Absolutdruck pi ,außerhalb des Behälters ein absoluter Außen-druck pa . Die Druckdifferenz pi – pa ist gleichdem Behälterüberdruck DpB .

Durch Anwendung der Energiegleichung4.17 erhält man folgenden Ausdruck für dieAustrittsgeschwindigkeit wa :

pi w12 pa w2

2

g · z1 + 3 + 4 = g · z2 + 4 + 4r 2 r 2z1 – z2 = h

w2 , wa

Da der Behälterquerschnitt AB i. Allg. viel größer ist als der Strahlquerschnitt AS , kanndie Sinkgeschwindigkeit w1 im Behälter ver-nachlässigt, d.h. gleich 0 gesetzt werden.

wa2 pi – pa DpB

4 = 01 + g · h = 7 + g · h2 r r

Die von der Dichte r unabhängige Austritts-geschwindigkeit wa entspricht der Fallge-schwindigkeit eines Körpers aus der Ruheheraus, ohne Berücksichtigung des Luftwider-standes und ist unabhängig von der Strö-mungsrichtung (Bild 4.28).

Wird der Höhenunterschied h sehr klein inBezug zum Behälterüberdruck DpB , kann dasGlied g · h in Gleichung 4.27 vernachlässigtwerden, und es verbleibt die einfache Aus-flussformel von BUNSEN (s. Namensverzeich-nis):

862 · DpBwa = f75 (Gl. 4.29)

r

Grundgleichungen 101

b) Hydrodynamisches ParadoxonAus einem Rohr strömt Flüssigkeit zwischen 2 parallele Platten, von denen eine mit demRohr verbunden, die andere frei beweglich ist (Bild 4.29). Die Flüssigkeit strömt radial(sternförmig) mit der Geschwindigkeit wa ho-rizontal ins Freie.

Nach der Energiegleichung, Schreibwei-se 4.19, ergibt sich folgender Zusammenhangzwischen Drücken und Geschwindigkeiten:

r rpi + 3 · wi

2 = pa + 3 · wa2

2 2

Da die innenliegenden Querschnittsflächen(Zylindermäntel) 2 · p · r · s stets kleiner sindals die Austrittsfläche 2 · p · ra · s, ist die Strö-mungsgeschwindigkeit wi im Innern stets

Bild 4.27Stationäres Ausströmen aus einem Behälter

größer als die Austrittsgeschwindigkeit wa ,r

d.h., der Ausdruck 3 (wa2 – wi

2) ist stets negativ2

und der Innendruck pi stets kleiner als derAußendruck pa .

Am Rand der Platten wird wi = wa und da-mit pi = pa .


rpi = pa – 3 · (wi

2 – wa2) (Gl. 4.30)

2

Der Innendruck pi ist also kleiner als der Au-ßendruck pa der auf die Unterseite der beweg-lichen unteren Platte (Gegenplatte) wirkt.

Bild 4.28Gleicher Ausfluss bei verschieden angeordnetenAusflussöffnungen

Bild 4.29 Hydrodynamisches Paradoxon

Die sich aus der Druckdifferenz pa – pi undder Plattenfläche ergebende Druckkraft Fwirkt nach oben und saugt gewissermaßendie bewegte Platte an den radial nach allenSeiten ausfließenden Flüssigkeitsstrahl.

Da dieses Phänomen auf den ersten Blickwidersprüchlich erscheint, wird es als hydro-dynamisches Paradoxon bezeichnet.

c) StrahlpumpeIn Bild 4.30 ist das stark vereinfachte Prinzipeiner Flüssigkeitsstrahlpumpe (Wasserstrahl-pumpe) dargestellt.

Für die folgenden Betrachtungen einer rei-bungsfreien Strömung werden bestimmte Ver-einfachungen vorgenommen, um zu einfa-chen Gleichungen zu kommen, die aber diewichtigsten physikalischen Zusammenhängegrundsätzlich richtig beschreiben.

Durch Anwendung der Bernoulli-Glei-chung (Gleichung 4.18) kann der Druck pe ander Engstelle durch die Gesamtfallhöhe h unddie Fallhöhe he ausgedrückt werden.

Bei der folgenden Ableitung wird der För-derstrom VS mit 0 angenommen.


w02 p0 we

2 pe7 + 7 + he = 5 + 72 · g r · g 2g r · g

Mit der Kontinuitätsgleichung 4.12 könnendie Geschwindigkeiten we und w0 durch dieAustrittsgeschwindigkeit wa ersetzt werden:

Aa Aawe = wa · 4 ; w0 = wa · 5Ae A0

p0 – pe wa2 · Aa

2 1 101 = 04 · �4 – 4 � – her · g 2 · g Ae

2 A02

Da die Behälterquerschnittsfläche A0 i. Allg.viel größer ist als der engste Strömungsquer-schnitt Ae , darf der Ausdruck 1/A0

2 gleich 0gesetzt werden (d.h. w0 = 0).

Weiterhin ergibt für die Austrittsgeschwin-digkeit wa nach der Gleichung von Torricelli(Gleichung 4.28):

wa = d942 · g · h

wa2 = 2 · g · h

p0 – pe 2 · g · h Aa2

01 = 012 · 5 – her · g 2 · g Ae2

p0

= konst

Behälter für die Treibflüssigkeit

hS

Förderstrom VS

wS

AB

wB

wa

p0

h

Aa

Treibstrom VT

Engstelle Ae

pe

r

r

he

A0

we

AS

p0

Bild 4.30Strahlpumpe (stark verein-fachtes Prinzip)

Aa2

p0 – pe = r · g · ��5� · h – he� (Gl. 4.31)Ae

p0 – pe Druckdifferenz an der Engstelle,bezogen auf den Außendruck p0

r Dichte der Flüssigkeitg Erdbeschleunigung = 9,81 m/s2

Aa AustrittsquerschnittAe engster Querschnitth Gesamtfallhöhehe Fallhöhe am engsten Querschnitt

Aus Gleichung 4.31 ersieht man, dass der Dif-ferenzdruck p0 – pe nur dann positiv wird,

Aa2

wenn he < �5� · h wird.Ae

Löst man Gleichung 4.31 nach dem absolu-ten Druck pe an der Engstelle auf, erhält manfolgende Beziehung:

Aa2

pe = p0 – r · g · ��5� · h – hs� (Gl. 4.32)Ae

Der Druck pe muss stets größer sein als derDampfdruck pd , da sonst Kavitation auftritt!

Nimmt man an, dass die angesaugte Flüs-sigkeit die gleiche Dichte hat wie die treibendeFlüssigkeit, kann man zur Abschätzung derSaughöhe hs eine einfache Beziehung herleiten.

Da die Saugleitung i.Allg. überall den glei-chen Strömungsquerschnitt As hat, herrschtüberall die gleiche Sauggeschwindigkeit ws ,und es besteht folgendes einfaches statischesGleichgewicht:

po – pe = r · g · hs

Aa2

r · g · hs = r · g · ��5� · h – he�Ae

Aa2

hs � h · �5� – he (Gl. 4.33)Ae

Das <-Zeichen in Gleichung 4.33 soll daraufhinweisen, dass es sich beim Wert der Saug-höhe hs um einen oberen Grenzwert handelt,der nicht überschritten werden darf, da sonstan der engsten Stelle Ae Kavitation auftrittund die Förderung abbricht.


Aus Gleichung 4.33 kann durch Umstel-lung ein Ansatz für das zur Einhaltung derSaughöhe hs mindestens erforderliche Flä-chenverhältnis Ae/Ae hergeleitet werden:

Aa2 hs + he�5� � 01Ae h

66Aa hs + he5 � f02 (Gl. 4.34)Ae h

Auch für die Sauggeschwindigkeit ws und denFörderstrom VS lässt sich für ideale Strömungfolgende einfache Beziehung finden:

p0 wB2 pe ws

2

4 + 5 = 4 + 5 + g · hsr 2 r 2

Die Sinkgeschwindigkeit wB im Saugbehälterist sehr klein und darf vernachlässigt werden.

ws2 p0 – pe

5 = 01 – g · hs2 r

66002p0 – pews = f 2 · �01 – g · hs� (Gl. 4.35)r

Damit ergibt sich für den angesaugten Volu-menstrom VS :

VS = ws · As (Gl. 4.36)

Je größer der Förderstrom VS im Ver-hältnis zum Treibstrom VT ist, desto un-genauer sind die obigen Gleichungen, da ab der Engstelle Treibstrom VT undFörderstrom VS zusammen strömen unddamit die Austrittsgeschwindigkeit wa

größer wird.

Die reale Strömung durch eine Strahlpumpeist mit großen Reibungs- und Mischungsver-lusten behaftet, so dass die Wirkungsgradedieser Pumpen höchstens 30% betragen, dieüblichen Durchschnittswerte liegen nur beietwa 20…25%.

Nähere Einzelheiten über Flüssigkeits-strahlpumpen können in [4.11 bis 4.13] nach-gelesen werden.

4.3.3 Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung

Die Energiegleichung sagt nur etwas über denDruckverlauf längs einer Stromröhre aus.

Betrachtet man ein in einer horizontalenEbene auf einer gekrümmten Bahn mit derGeschwindigkeit w strömendes Fluidteilchen(Bild 4.31), so ist leicht einzusehen, dass aufder Außenkontur des Teilchens ein Überdruckgegenüber der Innenkontur herrschen muss,um das Teilchen auf seiner gekrümmtenStrombahn zu halten.

Das Teilchen hat die Abmessungen dr in ra-dialer Richtung, ds in Strömungsrichtung unddb in der Strömungstiefe. Infolge der Zentrifu-galbeschleunigung greift am Fluidteilchen fol-gende Fliehkraft an:

dC = dm · r · w2

dm = r · dr · ds · db

w = r · ww2

w2 = 5r2

w2

dC = r · dr · ds · db · 5r


Der nach außen gerichteten Fliehkraft dCwirkt eine gleich große Druckkraft dFp nachinnen entgegen:

dFp = (p + dp) · ds · db – p · ds · db

dFp = dp · ds · db

Die in Strömungsrichtung wirkenden Druck-kräfte auf die beiden Seiten dr · db heben sichgegenseitig auf.

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrückefür dC und dFp ergibt sich folgende Differen-tialgleichung für den Druckgradienten dp:

w2

dr · ds · db 4 = dp · ds · dbr

dp w2

5 = r · 4 (Gl. 4.37)dr r

Aus Gleichung 4.37 erkennt man, dass bei geraden Stromlinien (Parallelströmung) mit r = ∞ der statische Druck p über dem Quer-schnitt konstant ist, da

dp41 = 0dr

wird.

Außenbegrenzung

p+ dp

wd r

ds

p

Innenbegrenzung

Strom

linien

r

dC

Bild 4.31Druckänderung senkrecht zurStrömungsrichtung

Bei einem Rohrkrümmer wirkt dagegenaußen ein größerer Druck als innen.

Gleichung 4.37 gilt auch für die reibungs-behaftete Strömung, da der in Strömungsrich-tung wirkende reibungsbedingte Druckabfallsich nicht auf die Druckbilanz in der Norma-lenrichtung auswirkt.

Durch entsprechende Umformung kannman aus Gleichung 4.37 auch eine Beziehungzwischen dem Druckunterschied pa – pi an ei-nem Krümmer und dem durchströmendenVolumenstrom V herleiten (Bild 4.32):

dp wird zu Dp = pa – pi

dr wird zu di (Rohrinnendurchmesser)

Vw wird zu w– = 0p

di2 · 34


r wird zu R

Dp w–2

5 ≈ r · 5di R

R Dpw– 2 ≈ 4 · 5r di

03V R Dpw– = 0 ≈ f4 · 5p r didi

2 · 34033p (pa – pi )V ≈ 3 · d91R · di

3 · f 044 r

Den exakten Zusammenhang zwischen Volu-menstrom V und Differenzdruck (Wirkdruck)pa – pi erhält man nur durch Kalibrierung.

p (pa – pi )V = K · 3 · d91R · di3 · f 04 (Gl. 4.38)

4 r

V VolumenstromK KalibrierbeiwertR mittlerer Krümmungsradiusdi Rohrinnendurchmesserr Dichte des Fluidspa Druck an der Krümmeraußenseitepi Druck an der Krümmerinnenseite

Nähere Einzelheiten über die Durchflussmes-sung an Krümmern finden sich u.a. in Ab-schnitt 6.5.9.2 sowie in [4.14 bis 4.18] und[6.96/6.97].

Bild 4.32 Messung des Volumenstromes an einemKrümmer

Beispiel 17

Aufgabenstellung:Durch einen 90°-Krümmer (Bild 4.33) flie-ßen 78,5 l Wasser in der Sekunde. Als Ge-schwindigkeitsverteilung sei angenommen:

w · r = w– · rm = wa · ra = wi · ri

(konst. Drall)

Wie groß ist der Überdruck zwischenAußen- und Innenrohrwand?

Lösung:Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit er-gibt sich aus Volumenstrom und Rohrquer-schnitt:

V 78,5 dm3/sw– = 3 = 00 = 100 dm/s

A 0,785 dm2

w– = 10 m/s

Damit beträgt die Drallkonstante

w · r = w– · rm

w · r = w– · rm = 10 · 0,15 = 1,5 m2/s

Aus Gleichung 4.37 folgt nun der Druckan-stieg zwischen ri und ra :

dp w2

5 = 5 · rdr r

w2

dp = 5 · dr · rr

1,5w = 5r

1,52

dp = 8 · dr · rr2 · r

1dp = 1000 · 2,25 · 4 · dr

r 3

p a ra

Ú dp = 2250 · Ú r–3 · drp i r i


1 0,2

pa – pi = 2250 � – 3 r–2 �2 0,1

1 1pa – pi = 2250 · �– 01 + 01�2 · 0,22 2 · 0,12

pa – pi = 2250 · (–12,5 + 50)

pa – pi = 84375 Pa

pa – pi = 844 mbar

Anmerkung: Diese Lösung stellt nur eineNäherungslösung dar, da die mittlere Ge-schwindigkeit w– nicht bei rm = 150 mm, sondern bei einem etwas kleineren Radiusliegt. Als weitere Bedingung hätte die Bezie-hung

ra

V = 2 p Ú w · r · drr i

hinzugezogen werden müssen.

wa

wi

w

wm

pi

r a=

200

r i=

100

r m=

150

pa

pa – pi

Manometer

Dru

ckm

essl

eitu

ng

Dru

ckm

essl

eitu

ng

Ø 100

alle Maße in mm!



4.3.4 Impulssatz

4.3.4.1 Allgemeine Ableitung und Darstellung

Der Impulssatz stellt eine Bilanzgleichung fürdas Kräftegleichgewicht an durch- oder um-strömten Körpern dar.

Ausgehend von den 3 Newton’schenGrundaxiomen der allgemeinen Mechanik

Trägheitsprinzip: Eine Masse verharrt imZustand der Ruhe odergleichförmigen Bewe-gung, wenn sie nichtdurch äußere Kräfte ge-zwungen wird diesen Zu-stand zu ändern.

Aktionsprinzip: Die auf einen Körper wir-kende Kraft ergibt sich alsProdukt aus Masse undBeschleunigung (Verzöge-rung). Die Kraft wirkt inRichtung der Beschleuni-gung.

Reaktionsprinzip: Die Kraftwirkungenzweier Körper aufeinan-der sind gleich aber ent-gegengesetzt gerichtet(«actio = reactio»).

gelangt man zu einer vergleichsweise einfa-chen Ausdrucksform des Impulssatzes fürströmende Kontinua.

Für eine Einzelmasse m ist der Impuls (Bewegungsgröße) wie folgt definiert:

ÆI = m · wÆ

Da die Masse eine skalare Größe ist, die Ge-schwindigkeit ein Vektor, ist auch der Impulsals Produkt aus beiden ein Vektor mit der gleichen Richtung wie die Geschwindigkeit(Bild 4.34).

Der Impulssatz für die Einzelmasse besagt,dass Gleichgewicht besteht zwischen der zeit-lichen Änderung des Impulses und den an derMasse angreifenden äußeren Kräften.

ÆdI d(m · wÆ ) Æ5 = 88 = Â F (Gl. 4.39)dt dt

Für strömende Kontinua, die aus unendlichvielen Massepunkten dm bestehen, wird derImpulssatz in integraler Schreibweise ausge-drückt:

ÆdI d (dm · wÆ) d (r · dV · wÆ) Æ4 = Ú 80 = Ú 805 = Â Fdt

mdt

Vdt

(Gl. 4.40)

Die zeitliche Änderung des Impulses istgleich der Resultierenden aller äußerenKräfte, die von einer strömenden Fluid-masse auf ihre begrenzenden Wändeausgeübt wird.

In dieser Schreibweise gilt der Impulssatzganz allgemein für inkompressible und kom-pressible Fluide, für reibungsfreie und rei-bungsbehaftete sowie für stationäre und insta-tionäre Strömungen.

→w

m

→

Bild 4.34 Zur Erklärung des Impulses


dDie Ableitung 4 des Produktes dm · wÆ

dtkann nach der Produktenregel wie folgt auf-geteilt werden:

Bei stationären Strömungen entfällt daszweite Glied auf der rechten Seite der obigenGleichung, da

dwÆ6 = 0 wird!dt

Um die Anwendung des Impulssatzes auf sta-tionäre Strömungen zu zeigen, werden dieStrömungs- und Kräfteverhältnisse an der inBild 4.35 dargestellten Stromröhre betrachtet:

An der Stelle � tritt die Masse m1 in dieStromröhre, d.h. in den Kontrollraum ein, ander Stelle � die Masse m2 aus. Die seitlichenBegrenzungen des Strömungsraums sindgemäß der Definition einer Stromröhre un-durchlässig, d.h., an ihnen findet kein Impuls-austausch statt.

Der durch die eintretende Masse m1 amQuerschnitt � eingebrachte Impuls beträgt:

I1

Æ= m1 · wÆ1

derjenige der am Querschnitt � austretendenMasse m2:

I2

Æ= – m2 · wÆ2

(Minuszeichen, da Masse m2 austritt! Rück-stoßprinzip!)

d (dm · wÆ) d (dm) dwÆÚ 80 = Ú 02 wÆ + Ú dm · 6m

dtm

dtm

dt

d (r · dV · wÆ) d (dV) dwÆbzw. Ú 805 = Ú r · wÆ · 02 + Ú r · dV · 6

Vdt

Vdt

Vdt

Dieser Term stellt Dieser Ausdruck ent-den Impulsfluss spricht der Änderungdurch die Ober- des Impulses imfläche des Kontroll- Kontrollraum. Es istraumes dar. der instationäre oderEs ist der stationäre lokale Anteil desoder konvektive Impulsflusses.Anteil des Impuls-flusses.

Für stationäre Strömungen wird nach demKontinuitätsprinzip die einströmende Massem1 gleich der ausströmenden Masse m2, wobeidie Masse bei inkompressiblen Fluiden durchdas Produkt r · V ausgedrückt werden kann:

m1 = m2 = m = r · V

Durch Umwandlung von Gleichung 4.39 er-hält man eine für praktische Anwendungengeeignetere Schreibweise des Impulssatzes:

dI1

ÆdI2

Æ

6 + 6 = Â FÆ

dt dt

d(m · wÆ1) d(– m · wÆ2)60 + 09 = Â F

Æ

dt dt

dm dwÆ1 dm dwÆ26 · wÆ1 + m · 7 – 6 · wÆ2 – m · 7 = Â F

Æ

dt dt dt dt

Bei stationärer Strömung gibt es keine lokalenBeschleunigungen, d.h., die Ausdrücke

dw1 dw27 und 7dt dt

sind gleich 0.


1

m1

2

2

1 →w1

→w2

m2

Strömungsraumbegrenzung(Kontrollraum)

Lageplan

→

p2

p1

dm/dt ist der durch die Stromröhre strö-mende Massenstrom m . Es verbleibt so fürden Impulssatz folgender einfacher Ausdruck:

m · wÆ1 – m · wÆ2 = Â FÆ

bzw. r · V · wÆ1 – r · V · wÆ2 = Â FÆ

r · V (wÆ1 – wÆ2) = Â FÆ

(Gl. 4.41)

Liegt die in Bild 4.35 dargestellte Stromröhrehorizontal, können bei einer reibungsfreienStrömung nur noch Druckkräfte auf die bei-den Öffnungen � und � wirken sowie Reak-tionskräfte der Stromröhrenwandung auftre-ten. Der Kräfteplan liegt dann in einer Ebene(Bild 4.36).

Die Kraft RÆ

¢ ist die Reaktionskraft, die dieStromröhrenwandung auf das strömendeFluid ausübt und die Strömung dadurch um-lenkt. Nach dem Prinzip «actio = reactio»wirkt die Flüssigkeit mit einer gleich großenentgegengesetzten Aktionskraft R

Æauf die

Stromröhrenwandung.Für einen beliebig gestalteten Strömungs-

raum mit n Öffnungen in der Umhüllung desKontrollraums kann der Impulssatz wie folgtformuliert werden:

Ân

i=1ri · Vi · wÆi = Â F

Æ(4.42)

n Anzahl der Öffnungen des Kontroll-raums

i Nummer der Öffnung

Ân

i=1ri · Vi · wÆi Vektorsumme aller am Kontroll-

raum angreifenden ImpulskräfteÂ F

ÆVektorsumme aller am Kontrollraumangreifenden äußeren Kräfte, d.h.Druckkräfte, Gewichtskräfte, Reibungs-kräfte

Bild 4.35Zum Impulssatz

Bild 4.36 Zum Impulssatz


Bei Anwendung des Impulssatzes ist unbedingt zu beachten, dass die an den Eintrittsquerschnitten des Kontroll-raums wirkenden Kräfte in Strömungs-richtung, die an den Austrittsquerschnit-ten auftretenden Kräfte gegen die Strö-mungsrichtung eingetragen werden!

Bei der anschließenden Behandlung verschie-dener Anwendungen und Beispiele wird ge-schickterweise in folgenden Schritten vorge-gangen:

❑ Abgrenzung der Kontrollfläche im Strö-mungsraum ergibt den Lageplan.Die geometrischen Umrisse (Konturen) desdurch- bzw. umströmten Körpers müssenbekannt sein.

❑ Ermittlung der durchströmten oder ange-strömten Querschnitte, Geschwindigkeitenund Drücke. Die Fluiddichte muss eben-falls bekannt sein.

❑ Berechnen der einzelnen Impulskräfte r i · Vi · wÆi und äußeren Kräfte, meistensDruck- und Gewichtskräfte, sowie Eintra-gen aller Kräfte in den Lageplan.

❑ Aufzeichnen des Kräfteplanes bzw. Zerle-gen der einzelnen Kräfte in Komponentenund algebraische Addition der Komponen-ten.

4.3.4.2 Anwendungen und Beispiele

a) Kraftwirkungen an einem horizontalenKrümmer

Ein in einer horizontalen Ebene liegenderKrümmer (Bild 4.37) wird reibungsfrei und in-kompressibel durchströmt. Die Strömungwird um den Winkel a umgelenkt.

Es soll die Aktionskraft R auf die Krüm-merwand nach Größe und Richtung bestimmtwerden.

Der Einfachheit halber werden hinfortKraft- und Geschwindigkeitsvektoren ohne ÆZeichen geschrieben!

Da der Krümmer in einer horizontalenEbene liegt und reibungsfrei durchströmtwird, wirken in dieser Ebene nur Impuls- undDruckkräfte!

Die Kräfte werden qualitativ in den Lage-plan in Bild 4.38 eingetragen.

Nach der Kontinuitätsgleichung kann dieAustrittsgeschwindigkeit w2 durch die Ein-trittsgeschwindigkeit w1 ausgedrückt werden:

A1w2 = w1 · 4A2

Der Volumenstrom V wird durch das Produktw1 · A1 ersetzt. Für die Impulskräfte kann da-mit geschrieben werden:

Eintritt � r · V · w1 = r · A1 · w12

A1 A12

Austritt � r · V · w2 = r · V · w1 4 = r · w125A2 A2

p1

1

2

→R

p0

p2

→w1

→w2

y

x

b

a

Bild 4.37 Krümmerströmung

→R

→w1

→w2

y

x

b

a

r ·V ·

r· V

·

p1· A1

p2 ·A

2

Bild 4.38 Lageplan zur Krümmerströmung


Durch Anwendung der Energiegleichungkann bei der Berechnung der Druckkräfte derDruck p2 am Krümmeraustritt � durch denDruck p1 am Krümmereintritt � ausgedrücktwerden:

r rp1 + 3 · w1

2 = p2 + 3 · w22

2 2

rp2 = p1 + 3 · (w1

2 – w22)

2

r A12

p2 = p1 + 3 · �w12 – w1

2 · 5�2 A22

r A12

p2 = p1 + 3 · w12 · �1 – �5� �2 A2

Bei den Drücken p1 und p2 handelt es sich um Überdrücke, bezogen auf den Außen-druck p0 .

Mit den Druckkräften p1 · A1 und p2 · A2

sind alle Kräfte bekannt, um den Kräfteplan(Bild 4.39) zu zeichnen und damit die Krüm-merwandkraft R grafisch zu bestimmen.

Zerlegt man die Kraft R in die beiden Kom-ponenten Rx und Ry ergeben sich folgende Be-ziehungen:

A12

Rx = r · A1 · w12 + p1 · A1 – r · w1

2 · 5A2

r A12

· cos a – �p1 + 3 · w12 · �1 – �5� �� · A2 · cos a

2 A2

A1Rx = A1 �p1 + r · w12 · �1 – �5� · cos a��A2

r A12

– �p1 + 3 · w12 · �1 – �5� �� · A2 · cos a

2 A2 (Gl. 4.43)

A12 r

Ry = �r · w12 · 5 + A2 �p1 + 3 · w1

2

A2 2

A12

· �1 – �5� �� · sin aA2

A12 r

Ry = �r · w12 · �5� + �p1 + 3 · w1

2

A2 2

A12

· �1 – �5� �� · A2 · sin a (Gl. 4.44)A2

r ·A1·w12

y

x

→p1·A1

Rx→

Ry→R→

a

b

b

Bild 4.39 Kräfteplan zur Krümmerströmung

r

A1

2

A2 ·� p

1 +3

· w Æ1 2·� 1 –�

4� ��

2

A2

A1 2

r· w Æ

1 2·5A

2

→w

→w

p

p

A

p·A

p · A

→Rx

→R

→ Ry

b

r · A·w 2→

r · A·w2

→

a/2

a/2

a

Bild 4.40 Kräfteplan zur Strömung durch einenKrümmer mit konstantem Strömungsquerschnitt

ruuuwuuuu

q

14243


Die Resultierende Kraft R kann aus den Kom-ponenten berechnet werden:

R = d95Rx2 + Ry

2 (Gl. 4.45)

Der Neigungswinkel b der Kraft R zury-Achse bestimmt sich aus den KomponentenRx und Ry :

Rxtan b = 5 (Gl. 4.46)Ry

Ist der Eintrittsquerschnitt A1 gleich dem Aus-trittsquerschnitt A2 wird der Kräfteplan zu ei-nem gleichschenkligen Dreieck (Bild 4.40) unddie Kraft R errechnet sich aus folgender einfa-cher Beziehung:

R a3 = (r · A · w2 + p · A) · sin 32 2

aR = 2 · A · (r · w2 + p) · sin 3 (Gl. 4.47)

2

Beispiel 18

Aufgabenstellung:Durch einen 90°-Krümmer mit derNennweite DN 200 (Bild 4.41) strömen300 l kalten Wassers pro Sekunde. Derstatische Überdruck p beträgt 4 bar.

Die Aktionskraft R und die Schrau-benkraft FS sind zu bestimmen.

Lösung:Die Aktionskraft R wird nach Glei-chung 4.47 berechnet.

aR = 2 · A · (r · w2 + p) · sin 32

V V 0,3w = 3 = 0 = 30 = 9,55 m/s

A p pd2 · 3 0,22 · 34 4

p 90°R = 2 · 0,22 · 3 · (1000 · 9,552 + 4 · 105) · sin 64 2

R = 21823 N = 21,8 kN

Die Schraubenkräfte FS am Ein- und Aus-trittsflansch sind identisch mit den Kompo-

nenten Rx und Ry der Aktionskraft R undbetragen beim 90°-Krümmer:

aFS = Rx = Ry = R · sin 32

90°FS = 21823 · sin 62

FS = 15 431 N = 15,4 kN

FS /i

p= 4 bar(Überdruck)

FS /i

FS /i FS /i

FS /i

FS /i

FS /i

FS /i

i = Schraubenzahl

R

DN20

0

a = 90°

LiterV = 300 s

Bild 4.41 Rohrkrümmer (Beispiel 18)


b) Rückstoßkräfte beim Ausfluss aus Behältern

In Bild 4.42 ist ein offener Behälter dargestellt,aus dem bei konstant bleibendem Niveau einFreistrahl mit der Geschwindigkeit wa austritt.

Es wird vorausgesetzt, dass der Behälter-querschnitt AB sehr groß ist gegenüber demStrahlquerschnitt AS , d.h. , die Sinkgeschwin-digkeit wB im Behälter darf 0 gesetzt, und dieStrahlgeschwindigkeit kann nach der Formelvon TORRICELLI (Gleichung 4.28) berechnetwerden.

wa = d952 · g · h

An der Behälteraustrittsöffnung übt der aus-tretende Freistrahl folgende Rückstoßkraftaus:

FR = r · V · wa

Da es sich um einen Freistrahl handelt, tretenkeine Druckkräfte auf. Der Volumenstrom Vkann durch die Strahlgeschwindigkeit wa undden Strahlquerschnitt AS ausgedrückt werden:

V= wa · AS

damit wird:

FR = r · AS · wa2 = r · AS · 2 · g · h (Gl. 4.48)

Bei verschlossener Düse würde auf die Be-hälteröffnung der hydrostatische Überdruck p = r · g · h und die zugehörige hydrostatischeKraft

Fstat = r · AS · g · h

wirken.Man erkennt, dass die Strahlreaktionskraft

FR den doppelten Wert der statischen Druck-kraft Fstat annimmt. Dieses Phänomen lässtsich aus dem Druckverlauf in der Nähe derBehälteröffnung erklären (Bild 4.42c).

Die Rückstoßkraft lässt sich auch an einemauf einem Rohr aufgesetzten Düsenmund-stück (Bild 4.43) zeigen.

Da die Strömungsgeschwindigkeit wR imRohr i.Allg. nicht gegenüber der Strahlge-schwindigkeit wa vernachlässigt werden kann,wird neben der Energiegleichung auch dieKontinuitätsgleichung für die Herleitung derBeziehung für die Austrittsgeschwindigkeitwa benötigt.

pR wR2 pa wa

2

4 + 5 = 4 + 5r 2 r 2p p

wR · dR2 · 3 = wa · dS

2 · 34 4

dS2

wR = wa · �5�dR

Bild 4.42Zur Erklärung der Rück-stoßkraft

a b c


dS4

wR2 = wa

2 · �5�dR

wa2 wR

2 pR – pa pR , ü5 – 5 = 02 = 72 2 r r

dS4 2 · pR, üwa

2 · �1 – �5� � = 03dR r

60202 · pR, üwa = 006 (Gl. 4.49)f dS4

r · �1 – �5� �dR

wa StrahlaustrittsgeschwindigkeitpR, ü Überdruck am Rohrender Dichte des FluidsdS StrahldurchmesserdR Rohrinnendurchmesser

Die Rückstoßkraft FR des aus dem Düsen-mundstück austretenden Freistrahl ergibt sichaus dem Impulssatz:

FR = r · V · wa

dS2 · p

FR = r · 0 · wa · wa4

dS2 · p 2 · pR, üFR = 0 · 004 dS

4

�1 – �5� �dR

pR, ü · dS2 · p

FR = 005 (Gl. 4.50)dS

4

2 · �1 – �5� �dR

Für den Grenzfall dR Æ ∞ wird das Rohr zu einem Behälter mit unendlich großem Quer-schnitt. Setzt man für pR, ü = r · g · h, erhält man dann aus Gleichung 4.50 wieder Glei-chung 4.48.

Aus einer Kräftebetrachtung am Düsen-mundstück (Bild 4.44) kann man sich dieSchraubenkraft FS herleiten:

❑ Druckkraft aus Überdruck pR, ü:

dR2 · p

Fp = pR, ü · 04

❑ Impulskraft am Eintritt:

dR2 · p

FI, 1 = r · V · wR = r · 0 · wR2

4

❑ Impulskraft am Austritt:

dS2 · p

FI , 2 = – r · V · wa = – r · 0 · wa2

4

Damit beträgt die Gesamtkraft FS:

dR2 · p dR

2 · p dS2 · p

FS = pR, ü 0 + r · 0 · wR2 – r · 0 · wa

2

4 4 4

dR2 · p dS

2 · pFS = 0 · (pR, ü + r · wR

2) – r · 0 · wa2

4 4(Gl. 4.51)

1

pa

FS /i

dS

FS /i

FS /i FS /i

dR

wawR

pR

2

Bild 4.43Rückstoßkraft an einem Düsenmundstück

1

dS

FS /iKontrollfläche

FS /i

dR

pR, ü

2wR wa

Bild 4.44 Kräfte am Düsenmundstück


Beispiel 19

Aufgabenstellung:An eine Rohrleitung mit der Nennweite DN200 (dR ≈ 200 mm) wird ein Düsenmund-stück mit einem Öffnungsdurchmesser vondS = 50 mm angeschraubt (Bild 4.45).

Der Überdruck in der Rohrleitung be-trägt 4 bar.a) Wie groß ist die Ausflussgeschwindigkeit

wa?b) Wie groß ist die Rückstoßkraft F, die auf

die Rohrstütze ausgeübt wird?c) Wie groß ist die Schraubenkraft FS?

Lösung:a) Die Ausflussgeschwindigkeit wa berech-

net sich aus Gleichung 4.49:

0062 · pR, üwa = 005f dS

4

r · �1 – �5� �dR

00662 · 4 · 105

wa = 0055f 50 4

103 · �1– �7� �200

05800

wa = 03f 11 – 52256

02800

wa = f02 = d78030,9961

wa = 28,3 m/s

b) Die Rückstoßkraft FR folgt aus Glei-chung 4.50

pR, ü · dS2 · p

FR = 005dS4

2 · �1 – �5� �dR

4 · 105 · 0,052 · pFR = 0082 · 0,9961

2 · 105 · 25 · 10– 4 · p 500 · pFR = 0004 = 030,9961 0,9961

FR = 1580 N

c) Die Geschwindigkeit im Rohrquerschnittbeträgt:

d2S 50 2

wR = wa · 4 = 28,3 �61� = 1,77 m/sd2

R 200

Damit kann die Schraubenkraft FS aus Glei-chung 4.51 berechnet werden:

dR · p dS2 · p

FS = 0 · (pR, ü + r · w2R) – r · 0 · w2

a4 4

0,22 · pFS = 02 · (4 · 105 + 1000 · 1,772)

40,052 · p

– 1000 04 28,32

4

FS = 12665 – 1573

FS = 11092 N

FS = 11,09 kN

Aus der Rechnung ist zu ersehen, dass dieSchraubenkraft FS im wesentlichen aus derstatischen Druckkraft pR, ü · d 2

R · p/4 her-rührt. Die dynamischen Kräfte (Impuls-kräfte) spielen in diesem vorliegenden Fallnur eine untergeordnete Rolle.

DN

200

FS /i

dS = 50 mm

pR, ü = 4 bar

FS /iFR

FS /i FS /i



c) StrahlstoßkräfteTrifft ein aus einer Düse austretender Frei-strahl nach Durchströmen einer freien Streckeauf eine feste Wand auf, so wird er umgelenktund übt auf die Wand eine Impulskraft aus.

Die Abströmung erfolgt parallel zur Wand-richtung im Austrittsbereich.

Je nach Wandform und Anströmwinkel er-geben sich verschiedene Strömungsbilder undKraftwirkungen. Die realen Strömungen undKraftwirkungen von Freistrahlen werden in[4.19] ausführlich beschrieben.

c1) Senkrechter Stoß auf eine ebene WandUnter der Annahme, dass die Geschwindig-keit w sich nur in der Richtung, nämlich um90°, und nicht nach dem Betrag ändert, sowieunter Vernachlässigung der Wirkungen vonReibung und Schwerkraft ergibt sich eine zurStrahlmittellinie drehsymmetrische Anströ-mung der Wand (Bild 4.46).

Legt man die x-Richtung in die Strahlachse,so ergibt sich nur in dieser Richtung eineKraftwirkung, da die in y-Richtung wirken-den Rückstoßkräfte Fy parallel zur Wand ver-laufen und die Reibung vernachlässigt wer-den soll.

Nach Gleichung 4.42 ergibt sich damit fol-gende Stoßkraft Fx des Freistrahls:

Fx = r · V · w = r · A · w2 (Gl. 4.52)

Bewegt sich die Platte mit der Geschwindig-keit u (Bild 4.47) in Strahlrichtung, so vermin-dert sich die Stoßkraft Fx.

Fx = r · V ¢ · (w – u)

Dabei ist V ¢ der auf der Platte auftreffende Vo-lumenstrom.

V ¢ = A · (w – u)

u 2

Fx = r · A · (w – u)2 = r · A · w2 · �1 – 3�w

(Gl. 4.53)

Der Ausdruck r · A · w2 ist nach Gleichung4.52 die Strahlkraft bei feststehender Platte (u = 0), die mit Fx, 0 bezeichnet wird.

Fx, 0 = r · A · w2

Für das Verhältnis der Strahlkraft der beweg-ten und feststehenden Platte kann geschriebenwerden:

Fx u 2

6 = �1 – 3� (Gl. 4.54)Fx, 0 w

Die Leistung der bewegten Platte ergibt sichals Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit:

P = Fx · u = r · A · (w – u)2 · u (Gl. 4.55)

P = r · A · (w2 · u – 2 · w · u2 + u3)

x

Fy

Fx

Fy

w

yDüse

Freistrahl

~A

feststehendeWand

xFx

y feststehendeDüse ~A

bewegteWand

w

u

Bild 4.46Senkrechter Stoß eines Flüssigkeitsstrahls

Bild 4.47Senkrechter Stoß auf eine bewegte Wand


Die maximal mögliche Leistung Pmax erhältman durch Ableiten und Nullsetzen der Funk-tion P = f (u):

dP5 = r · A · (w2 – 4 · w · u + 3 · u2) = 0du

3u2 – 4 · w · u + w2 = 0

4 w2

u2 – 3 · w · u + 4 = 03 3

Diese quadratische Gleichung hat 2 Lösungen:

u1 = w

1u2 = 3 · w

3

Bei u1 = w ergibt sich die minimale Leistung P = 0, da auch Fx = 0 wird. Bei u2 = 1–3 w ergibtsich die maximale Leistung

1 2 1Pmax = r · A · �w – 3 · w� · 3 · w

3 3

4 4Pmax = 4 · r · A · w3 = 4 · Fx, 0 · w = 4 · r · A · u3

27 27(Gl. 4.56)

Die relative Leistung P/Pmax beträgt damit:

P Fx · u7 = 09Pmax 4

Fx, 0 · 4 · w27

P 27 u 2 u7 = 4 · �1 – 3� · 3 (Gl. 4.57)Pmax 4 w w

Der Wirkungsgrad der Leistungsumsetzungist als Quotient aus tatsächlicher und theoreti-scher Leistung definiert:

Ph = 9Ptheor

kinetische StrahlenergiePtheor = 00004Zeit

w2

m · 42 w2 w2

Ptheor = 01 = m · 4 = r · V ¢ · 4Zeit 2 2

rPtheor = 3 · A · (w – u) · w2

2

Fx, 0Ptheor = 7 · (w – u)2

Fx · u 2 · Fx · uh = 003 = 001Fx, 0 Fx, 0 · (w – u)

7 · (w – u)2

u 2

2 · �1 – 3� · uw (w – u)2 · u

h = 005 = 2 · 00w – u (w – u) · w2

(w – u) · u u uh = 2 · 00 = 2 · 3 · �1 – 3�w2 w w

u u 2

h = 2 · 3 – 2 · �31� (Gl. 4.58)w w

Den maximalen Wirkungsgrad erhält mandurch Ableitung von Gleichung 4.58 nachd( u–w ) und Nullsetzen der Ableitung.

dh u01 = 2 – 4 · 3 = 0

u wd �31�w

u 2 13 = 3 = 3w 4 2

d.h., der maximale Wirkungsgrad wird er-reicht, wenn die Plattengeschwindigkeit uhalb so groß ist wie die Strahlgeschwindig-keit w. Der relative Wirkungsgrad h/hmax be-trägt damit:

u u2 3 �1 – 3�h w w

7 = 00hmax 1 12 3 �1 – 3�2 2

h u u7 = 4 3 �1 – 3� (Gl. 4.59)hmax w w

In Bild 4.48 sind der Verlauf der relativenStrahlkraft Fx/Fx, 0 , der relativen LeistungP/Pmax und des relativen Wirkungsgrades


h/hmax als Funktionen des Geschwindigkeits-verhältnisses u–w dargestellt. Man erkennt, dassim Bereich u–w = 0,33…0,5 sowohl günstige Wir-kungsgrade als auch günstige Leistungen er-zielt werden.

Der obige Abschnitt über Strahlkräfte aufbewegte Platten stellt die Basistheorie fürGleichdruckturbinen dar.

c2) Für Strahlkräfte an geneigten, geknickten und gewölbten Wänden ergebensich die in Tabelle 4.3 zusammengestellten Be-ziehungen.

d) Strahlablenkung durch eine scharfe Schneide

Ein horizontal ausfließender Freistrahl wirddurch eine scharfe Schneide so angeschnitten,dass ein Teil des Strahls der Schneide folgt, einTeil um den Winkel a abgelenkt wird (Bild4.53).

h/h

max

P/P

max

Fx /F

x, 0

1,0

0,5

0 0,5 1,00

hh

max

PP

max

F x F x, 0

;;

uw

Bild 4.48 Relative Werte von Strahlkraft, Leistung und Wirkungsgrad einer bewegten ebenen Platte


gen

eigt

e W

and

gek

nic

kte

Wan

dge

wöl

bte

Wan

d

Tabe

lle4.

3St

rahl

stoß

kräf

te

Düs

e

~A

F

a

b

w

Stra

hlst

oßkr

aftF

:

F=r

·V·w

· sin

a=r

·A·w

2· s

ina

(G

l. 4.

60)

V1

A1

1–

cosa

4=5

=5

0

VA

2

V2

A2

1+

cos

a4

=5

=5

0(G

l. 4.

61)

VA

2

Stra

hlst

oßkr

aftF

:

F=

2 ·

V·r

·w· s

ina/

2

= 2

· r

·A·w

2· s

ina/

2

(G

l. 4.

62)

Win

kel b

:

b=

a/2

(G

l. 4.

63)

Stra

hlst

oßkr

aftF

:

F=

V·r

·w(1

– c

osa)

=A

·r·w

2(1

– c

osa)

(G

l. 4.

64)

Bild

4.51

Bild

4.50

Bild

4.49


Beispiel 20

Aufgabenstellung:Der Strahlablenker einer Freistrahlturbinelenkt einen Freistrahl um 45° um (Bild 4.52).Wie groß ist das Moment M am Strahl-ablenker bei folgenden Werten?

Den Zusammenhang zwischen den beidenVolumenströmen V1 und V2 sowie dem Winkela erhält man durch Betrachtung des Gleichge-wichts der Impulskräfte in y-Richtung:

V1 · r · w = V2 · r · w · sin a

V1sin a = 5 (Gl. 4.65)V2

Volumenstrom V = 2 m3/sGeschwindigkeit w = 60 m/sWasserdichte r = 1000 kg/m3

Exzentrizität e = 5 cm

Lösung:Die Stoßkraft ergibt sich aus der Gleichung4.62:

aF = 2 · V · r · w · sin 32

45°F = 2 · 2 · 1000 · 60 · sin 62F = 9,18 · 104 N

Das Moment M errechnet sich aus StoßkraftF und Exzentrizität e:

M = F · e = 9,18 · 104 · 0,05

M = 4,59 · 103 N · m

Die auf die Schneide ausgeübte Kraft er-gibt sich aus einer Gleichgewichtsbetrachtungfür alle am Strahl angreifenden Kräfte (Bild4.54):

Â Fx = 0V · r · w = F + V2 · r · w · cos a

F = V · r · w – V2 · r · w · cos a

F = r · w · (V – V2 · cos a) (Gl. 4.66)

F

w

ew

M

a = 45°

Bild 4.52 Strahlablenker einer Freistrahlturbine(Beispiel 20)

y

w

x

Schneide

Düse

aAw

w

F

V1

V2

V

A

y

x

a

F ′

V1·w

·r

a

V · w · r

V2 · w · r

Bild 4.53 Zertrennung eines Strahles Bild 4.54 Kräfte am zertrennten Strahl


f) Stetige und unstetige Querschnittserweiterungen

An Querschnittserweiterungen wird die Strö-mung verlangsamt und kinetische Energie inDruckenergie umgewandelt. Dabei ist zwi-schen der stetigen Querschnittserweiterung(Diffusor oder «Bernoulli-Diffusor») mit einergleichmäßigen Energieumsetzung und derunstetigen Querschnittserweiterung (Borda-Carnot-Diffusor) mit einer besonders verlust-behafteten stoßartigen Energieumsetzung zuunterscheiden.

In Tabelle 4.4 sind die geometrischen Kon-turen, die Geschwindigkeiten, Drücke undKraftwirkungen der beiden Diffusorarten ge-genübergestellt.

g) Vereinfachte PropellertheorieOhne auf Flügelform, Profilform und Flügel-zahl einzugehen, werden Schub und Leistungvon axialen Propellern und Windrädern auf-bauend auf den Theorien von W. J. M. RAN-KINE (s. Namensverzeichnis) und E. R. FROUDE

(s. Namensverzeichnis) in Form einer starkvereinfachten Strahltheorie erklärt.

Die Basisgleichungen für Schub, Leistungund Wirkungsgrad werden mit Hilfe des Im-pulssatzes, der Energiegleichung und derKontinuitätsgleichung für reibungsfreie,ideale Strömung hergeleitet. Die Ableitungensind für Propeller (Arbeitsmaschine) undWindrad (Kraftmaschine) in Tabelle 4.5 ge-genübergestellt.

y

x

a2

Fy

a 1

w2

w2 x

w2 y

w1 y

w1 x

w1

G

DüseKugel (Zylinder)

Bild 4.55 Schwebende Kugel(Zylinder) in schrägem Strahl

Unter Zuhilfenahme der Beziehung V = V1 +V2 lassen sich damit alle Werte berechnen.

e) Kugel oder Kreiszylinder im schrägenStrahl

Eine Kugel (Kreiszylinder) erfährt in einemdie Oberseite umströmenden Freistrahl einenach oben gerichtete Auftriebskraft Fy , diebei richtiger Abstimmung aller Größen in derLage ist das Körpergewicht G zu kompensie-ren (Bild 4.55).

Die in x-Richtung fallenden Komponentender Geschwindigkeiten w1 und w2 müssengleich groß ein, da sonst eine Kraft in x-Rich-tung wirken würde, die den Körper in dieseRichtung bewegen würde, was aber nicht auf-treten darf, da ja nur das Gewicht G durcheine Vertikalkraft in y-Richtung aufgehobenwerden soll.

Nach dem Impulssatz beträgt die Kraft Fy :

Fy = r · V · (w2y – w1y)

Fy = r · V · (w2 · sin a2 – w1 · sin a1)

und nach Gleichsetzen mit G:

G = – r · V · (w2 · sin a2 – w1 · sin a1)

und da w1x = w2x sein muss:

w1 · cos a1 = w2 · cos a2

cos a1w2 = w1 · 02cos a2

cos a1G = – r · V · �w1 01 · sin a2 – w1 · sin a1�cos a2

G = r · V · w1 · (sin a1 – cos a1 · tan a2)

(Gl. 4.67)

Bei der realen Strömung um Kugel oder Zylin-der bzw. bei der Strahlab-lenkung an einer Schneideist der sog. Coanda-Effekt zu berücksichtigen [4.210].



1,0

0,5

0 0,5 1,00

„Bernoulli“-Diffusor

„Borda-Carnot“-Diffusor

Flächenverhältnis A1/A2rela

tiver

Dru

ckrü

ckge

win

n∆

pr 2

w12 ∆pverl =

r2 (w1–w2)2

Bild 4.56 «Bernoulli»-Diffusor

Bild 4.58 Vergleich Druckrückgewinn – «Bernoulli»-Diffusor und «Borda-Carnot»-Diffusor

Tabelle 4.4 Diffusoren

«Bernoulli»-Diffusor

Der Druckrückgewinn beträgt bei idealer, reibungs-freier Strömung:

p¢2 w22 p1 w1

2

4 + 5 = 4 + 5r 2 r 2

rp¢2 – p1 = 3 · (w1

2 – w22)

2

A1w2 = w1 · 5A2

r A12

p¢2 – p1 = 3 · w12 · �1 – �4� � (Gl. 4.68)

2 A2

oder relativiert in dimensionsloser Darstellung:

p¢2 – p1 A12

02 = 1 – �5� (Gl. 4.69)r A23 · w1

2

2

Der Reibungsverlust im «Bernoulli»-Diffusor wirdin Abschnitt 4.7.7.4 behandelt.

Vergleicht man die relativen Druckverluste bei-der Diffusoren, erkennt man deutlich die bessereDruckumsetzung im «Bernoulli»-Diffusor (Bild4.58).

Die Strömung übt auf die innere Diffusorwan-dung folgende Kraft aus:

FStr = p2¢ · A2 – p1 · A1 – r · V (w1 – w2)

hierbei sind p2¢ und p1 absolute Drücke.Dieser Kraft wirkt eine am Außenmantel des

Diffusors angreifende statische Druckkraft entge-gen:

pFstat = p0 · 3 · (D2

2a – D21a)

4

Bei nicht kreisförmigen Querschnitten müssen dieentsprechenden Flächen eingesetzt werden!

Die Gesamtkraft ergibt sich aus beiden Kräften:

Fges = FStr – Fstat

Fges = p2¢ · A2 – p1 · A1 – r · V · (w1 – w2)p

– p0 3 · (D22a – D2

1a) (Gl. 4.73)4


Bild 4.57 «Borda-Carnot»-Stoßdiffusor(s. Namensverzeichnis)

Tabelle 4.4 Diffusoren

Borda-Carnot-Stoßdiffusor

Kräfte Eintrittsquerschnitt � Austrittsquerschnitt �

Druckkräfte p1 · A2 p2 · A2

Impulskräfte r · V · w1 r · V · w2

rDpverl = 3 · (w1

2 – w22 – 2 · w2 · w1 + 2 · w2

2)2

rDpverl = 3 · (w1

2 – 2 · w2 · w1 + w22)

2

rDpverl = 3 · (w1 – w2)2 (Gl. 4.72)

2

Dieser Druckverlust ist in Bild 4.58 als Funktion desÖffnungsverhältnisses A1/A2 dargestellt.

Auf den erweiterten Teil des Stoßdiffusors wirktfolgende Strömungskraft:

FStr = A2 · (p2 – p1) – r · V · (w1 – w2)

Von außen wirkt die Druckkraft:

pFstat = p0 · 3 · (D2

2a – D21a)

4

Bei nicht kreisförmigen Querschnitten müssen dieentsprechenden Flächen eingesetzt werden.

Daraus folgt für die Gesamtkraft:

Fges = A2 · (p2 – p1) – r · V · (w1 – w2)

p– p0 · 3 · (D2

2a – D21a) (Gl. 4.74)

4

Unter Vernachlässigung der Wandreibung (wiebeim «Bernoulli»-Diffusor) aber unter Einschlussdes erheblichen Stoßverlustes erhält man durch An-wendung des Impulssatzes folgende Beziehung fürden Druckrückgewinn im Stoßdiffusor:

p1 · A2 + r · V · w1 – p2 · A2 – r · V · w2 = 0

V = A2 · w2

p1 · A2 + r · A2 · w2 · w1 – p2 · A2 – r · A2 · w22 = 0

p2 – p1 = r · w2 · (w1 – w2) (Gl. 4.70)

roder relativiert, d.h. auf den Staudruck 3 · w1

2 be-zogen: 2

p2 – p1 w2 w201 = 2 · 41 · �1 – 41�r w1 w13 · w1

2

2

p2 – p1 A1 A101 = 2 · 41 · �1 – 41� (Gl. 4.71)r A2 A23 · w1

2

2

Der Druckverlust im Borda-Carnot-Stoßdiffusor istals Differenz zwischen den Druckrückgewinnenbeider Diffusorarten definiert.

Dpverl = (p2¢ – p1) – (p2 – p1)

rDpverl = 3 · (w1

2 – w22) – r · w2 · (w1 – w2)2


Durch Anwendung des Impulssatzes auf den Pro-pellerfreistrahl (keine Druckkräfte!) erhält man fol-genden einfachen Ansatz für den Propellerschub:

FS = r · Va · wa – r · Ve · we

Da inkompressible Strömung vorausgesetzt wird,kann Va = Ve = V· gesetzt werden.

FS = r · V · (wa – we) = m· · (wa – we) (Gl. 4.75)

Die Anströmgeschwindigkeit we entspricht derFahrgeschwindigkeit des Schiffes bzw. der Flugge-schwindigkeit des Flugzeugs.

Der Volumenstrom V lässt sich aus der Strö-mungsgeschwindigkeit wS im Propellerkreis unddem Propelleraußendurchmesser berechnen:

DS2 · p

V = 01 · wS4

und damit die Schubkraft FS

DS2 · p

FS = r · 01 · wS · (wa – we)4

Nun wird die Energiegleichung auf den saugseiti-gen, energiearmen Propellerstrahlabschnitt und dendruckseitigen, energiereichen Propellerabschnitt an-gewandt:

vor dem Propeller:

pe we2 p1 wS

2

4 + 4 = 4 + 4 (I)r 2 r 2

Tabelle 4.5 Vereinfachte Strahltheorie

Propeller (Schiffsschraube, Luftschraube)

wS

1

pe

FS

DS

2

we

wa

wawSwe

Propellerstrahl

Propeller

Begrenzung der vomPropeller erfasstenStromröhre

Geschwindig-keitsverlauflängs desPropeller-strahles

p1

p2

pa = pe

∆ p+

– Druckverlauflängs desPropeller-strahles

Kontrollfläche

we

Bild 4.59Strömung durch einen Propeller (Schema)


Tabelle 4.5 Vereinfachte Strahltheorie

Windrad

Aus dem Impulssatz ergibt sich für die auf dasWindrad ausgeübte Impulskraft (Druckkräfte tretenbei dieser Betrachtung eines Freistrahls nicht auf):

FS = r · Ve · we – r · Va · wa

Ve = Va = V

FS = r · V · (we – wa) = m · (we – wa) (Gl. 4.76)

Die Anströmgeschwindigkeit we ist identisch mitder Windgeschwindigkeit!

Mit der Strömungsgeschwindigkeit wS im Wind-rad und dem Außendurchmesser DS des Windradeskann der Volumenstrom V bestimmt werden:

DS2 · p

V = 01 · wS4

Für den Schub FS ergibt sich damit ein neuer Aus-druck:

DS2 · p

FS = r · 01 · wS · (we – wa)4

Durch Anwendung der Energiegleichung auf dendruckseitigen, energiereichen Strahlabschnitt undden saugseitigen, energiearmen Strahlabschnitt er-hält man über mehrere Zwischenschritte einen an-deren Ausdruck für den Schub FS .

pe we2 p1 wS

2

vor dem Windrad: 4 + 4 = 4 + 4 (I)r 2 r 2

p2 wS2 pa wa

2

nach dem Windrad: 4 + 4 = 4 + 4 (II)r 2 r 2

pe = pa (Freistrahl!)

Bild 4.60Strömung durch ein Windrad(Schema)


Tabelle 4.5 Fortsetzung


nach dem Propeller:

p2 wS2 pa wa

2

4 + 4 = 4 + 4 (II)r 2 r 2

Da im Propellerfreistrahl Eintrittsdruck pe und Aus-trittsdruck pa gleich groß sind, kann in Gleichung IIpa durch pe ersetzt werden.

pe wa2 p2 wS

2

4 + 4 = 4 + 4 (IIa)r 2 r 2

Durch Subtraktion der Gleichung I von GleichungIIa erhält man den Druckunterschied Dp = p2 – p1

zwischen Propellerdruckseite und Propellersaug-seite («Drucksprung»):

wa2 we

2 p2 – p1 Dp4 – 4 = 01 = 52 2 r r

rDp = 3 · (wa

2 – we2)

2

Der Schub FS kann durch das Produkt aus Propeller-fläche AS und Druckunterschied Dp ausgedrücktwerden:

DS2 · p r

FS = AS · Dp = 0 · 3 · (wa2 – we

2) (Gl. 4.77)4 2

Beide Beziehungen für den Schub werden gleichge-setzt:

DS2 · p DS

2 · p rr · 01 · wS · (wa – we) = 01 · 3 · (wa

2 – we2)

4 4 2

1wS · (wa – we) = 3 · (wa

2 – we2)

2

1wS · (wa – we) = 3 · (wa + we) · (wa – we)2

wa + wewS = 03 (Gl. 4.79)2

Diese bereits von FROUDE (siehe Namensverzeich-nis) 1878 angegebene Beziehung besagt, dass dieunmittelbar im Propellerquerschnitt herrschendeStrahlgeschwindigkeit wS gleich dem arithmeti-schen Mittel aus Anströmgeschwindigkeit we undAbströmgeschwindigkeit wa ist.

Bezieht man den Schub FS auf den Staudruck derAnströmgeschwindigkeit we und die Propeller-

fläche AS , erhält man den Schubbelastungsgrad CS

als dimensionslose Größe:

r3 · (wa

2 – we2)

FS 2CS = 09 – = 002r r

AS · 3 · we2 AS · 3 · we

2

2 2

wa2 – we

2

CS = 03we2

wa2

CS = �5� – 1 (Gl. 4.81)we

Bei bekanntem Schubbelastungsgrad CS errechnetsich der Schub FS zu:

rFS = CS · AS · 3 · we

2 (Gl. 4.83)2

Die auf das Schiff bzw. Flugzeug übertragene Nutz-leistung ergibt sich aus dem mechanischen Grund-gesetz

Leistung = Kraft ¥ Geschwindigkeitr

PNutz = we · FS = we · CS · AS · 3 · we2

2

rPNutz = CS · AS · 3 · we

3 (Gl. 4.85)2

D.h., die Nutzleistung wächst mit der 3. Potenz derGeschwindigkeit!

Den Leistungsaufwand am Propeller erhält manaus Schub FS und axialer Strömungsgeschwindig-keit wS im Propellerkreis:

PProp = wS · FS

Damit kann, wie bei allen Arbeitsmaschinen, eintheoretischer Propellerwirkungsgrad eingeführtwerden:

PNutz we · FS wehth = 8 = 01 = 4PProp wS · FS wS

Ersetzt man die Geschwindigkeit wS durch den vonFROUDE angegebenen Ausdruck von Gleichung 4.79folgt:

we 2 we 2hth = 03 = 03 = 01we + wa we + wa wa

03 1 + 42 we


pe wa2 p2 wS

2

4 + 4 = 4 + 4 (IIa)r 2 r 2

p1 – p2 we2 – wa

2 Dp(I) – (IIa) 02 = 03 = 5r 2 r

rDp = 3 · (we

2 – wa2)

2

Aus Druckunterschied Dp und Strömungsquer-schnitt AS des Windrades gewinnt man einen neuenAusdruck für den Schub:

DS2 · p r

FS = AS · Dp = 0 · 3 · (we2 – wa

2) (Gl. 4.78)4 2

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für denSchub FS bekommt man eine Aussage über dieStrahlgeschwindigkeit wS :

DS2 · p DS

2 · p 10 · wS · (we – wa) = 0 · 3 · (we

2 – wa2)

4 4 2

1wS · (we – wa) = 3 · (we

2 – wa2)

2

1wS · (we – wa) = 3 · (we + wa) · (we – wa)2

we + wawS = 03 (Gl. 4.80)2

Auch bei der verzögerten Strömung durch Windrä-der gilt die von FROUDE für die beschleunigte Pro-pellerströmung angegebene Beziehung, dass dieaxiale Strömungsgeschwindigkeit im Windradkreisgleich dem arithmetischen Mittel aus Anströmge-schwindigkeit we und Abströmgeschwindigkeit wa

ist.Auch beim Windrad kann man den Schub durch

den Schubbelastungsgrad dimensionslos ausdrü-cken:

r3 · (we

2 – wa2) · ASFS 2

CS = 08 = 000r rAS · 3 · we

2 AS · 3 · we2

2 2

we2 – wa

2

CS = 03we2

wa2

CS = 1 – �5� (Gl. 4.82)we

Damit kann der Schub wie folgt bestimmt werden:

rFS = CS · AS · 3 · we

2 (Gl. 4.84)2

Die auf das Windrad übertragene Nutzleistungkann aus der Schubkraft und der mittleren Strahlge-schwindigkeit wS berechnet werden:

PNutz = wS · FS (Gl. 4.86)

Die im Wind «ankommende» Leistung beträgt ana-log:

rPWind = we · FS = we · CS · AS · 3 · we

2

2

rPWind = CS · AS · 3 · we

3 (Gl. 4.87)2

Aus beiden Leistungsbegriffen kann analog zur Pro-pellerströmung ein theoretischer Strömungswir-kungsgrad des Windrades definiert werden:

PNutz wS · FS wShth = 9 = 01 = 5PWind we · FS we

we + wa wa03 1 + 52 wehth = 03 = 93we 2

Der Term wa/we kann auch durch den Schubbelas-tungsgrad CS ausgedrückt werden:

wa2

�5� = 1 – CSwe

wa41 = d921 – CSwe

Damit erhält man endgültig für den theoretischenWirkungsgrad hth des Windrades:


Windrad


Beispiel 21

Aufgabenstellung:Ein Flusskahn hat eine Geschwindigkeitvon 10 km/h. Der Propeller hat einenDurchmesser von 1 m. Wie groß ist der vomPropeller erfasste Wasserstrom V bei einemSchub von 10000 N?

Lösung:Aus Gleichung 4.75 erhält man folgende Be-ziehung für den Volumenstrom V :

FS = r · V · (wa – we)

FS = 10000 N

r = 1000 kg/m3

we = 10 km/h , 2,78 m/s

10000 = 1000 · V · (wa – 2,78)

Als weitere Beziehung wird Gleichung 4.79herangezogen:

V = wS · AS

wa + we wawS = 03 = 4 + 1,392 2

D2S · p

AS = 01 = 0,785 m2

4wa V4 + 1,39 = 02 0,785

2 · Vwa = 0 – 2,78 = 2,55 · V – 2,78

0,785

Damit bleibt V die einzige Unbekannte.

10000 = 1000 · V · (2,55 · V – 2,78 – 2,78)

10000 = 2550 · V 2 – 5560 V

V 2 – 2,18 · V – 3,92 = 0

Der Quotient wa/we kann durch den Schubbelas-tungsgrad CS ersetzt werden:

wa2

�5� = 1 + CSwe

wa41 = d921 + CSwe

2 2hth = 02 = 09 (Gl. 4.88)

wa 1 + d921 + CS1 + 5we

Vergleicht man die beiden Gleichungen 4.81 und4.88, erkennt man, dass mit zunehmender Abström-geschwindigkeit wa bei gleichbleibender Anström-geschwindigkeit we , d.h. bei zunehmender Be-schleunigung des Strahls der SchubbelastungsgradCS ansteigt, während der theoretische Wirkungs-grad hth sinkt (Bild 4.61).

Der tatsächliche Propellerwirkungsgrad h ist we-gen der Reibungsverluste, Drallverluste usw. deut-lich niedriger als der theoretische Wirkungsgrad hth

h = hth · hg (Gl. 4.89)

hg wird als Gütegrad bezeichet und liegt bei gutenPropellern bei ca. 0,85…0,9.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

01 1,5 2 2,5 3

10

8

6

4

2

0

Sch

ubb

elas

tung

sgra

dC

S

theo

retis

cher

Wirk

ungs

grad

hth

h th

CS

Geschwindigkeitsquotient wa

we

Bild 4.61 Theoretischer Wirkungsgrad hth undSchubbelastungsgrad CS eines Propellers




6092,18 2,18 2

V = 7 ± f �71� + 3,922 2

V = 1,09 ± d9031,188 + 3,92

V = 1,09 ± d75,11

V = 1,09 ± 2,26

V = 3,35 m3/s

Man gelangt zum gleichen Ergebnis, wennman die Rechnung mittels Schubbelas-tungsgrad CS durchführt:

FS 10000CS = 09 = 7001r 0,785 · 500 · 7,73

AS · 3 · w2e2

CS = 3,29

wa2

CS = �5� – 1we

wa2

�5� = 3,29 + 1 = 4,29we

w2a = 4,29 · w2

e = 4,29 · 2,782

w2a = 33,15

wa = 5,76 m/s

wa + we 5,76 + 2,78 8,54wS = 94 = 90 = 72 2 2

wS = 4,27 m/s

V = wS · AS = 4,27 · 0,785

V = 3,35 m3/s

wa1 + 5we 1 + d921 – CShth = 02 = 00 (Gl. 4.90)2 2

Durch Vergleich der Beziehungen in Gleichung 4.90und in Gleichung 4.82 bemerkt man, dass bei stei-gender Verzögerung, d.h. kleinen Werten wa/we

der Schubbelastungsgrad CS ansteigt, während dertheoretische Wirkungsgrad hth abnimmt (Bild 4.62).

Wie beim Schiffspropeller und bei der Luft-schraube ist auch beim Windrad der tatsächlicheWirkungsgrad h kleiner als der theoretische Wir-kungsgrad hth .

h = hth · hg (Gl. 4.91)

Der Gütegrad hg bewegt sich etwa in der gleichenGrößenordnung wie bei der Schiffs- und Luft-schraube.

Nach [4.5] beträgt die theoretische maximaleNutzleistung des Windrades:

8PNutz, max = 4 · r · we

3 · AS (Gl. 4.92)27

2bei einer mittleren Strahlgeschwindigkeit wS = 3 · we3und damit bei einem theoretischen Wirkungsgradhth = 2/3.

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

00 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Sch

ubb

elas

tung

sgra

dC

S

theo

retis

cher

Wirk

ungs

grad

hth

h th

CS

Geschwindigkeitsquotient wa

we

Bild 4.62 Theoretischer Wirkungsgrad hth undSchubbelastungsgrad CS eines Windrades


Windrad


h) Schub von Luftstrahl- und Raketentriebwerken

Die Größe des Schubes eines Luftstrahl- oderRaketentriebwerkes ergibt sich durch Sum-mieren aller Druck- und Impulskräfte auf dieTriebwerksquerschnittsflächen.

Nimmt man vereinfachend an, dass beimLuftstrahltriebwerk Eintrittsdruck pe undAustrittsdruck pa gleich groß sind und defi-niert man den Schub des Raketentriebwerkesnach dem Rückstoßprinzip, erhält man die inTabelle 4.6 zusammengestellten einfachen Be-ziehungen für die Schubkräfte von Triebwer-ken.

4.3.5 Drallsatz

4.3.5.1 Allgemeine Formulierung

In Anlehnung an die klassische Mechanik undden für translatorische Strömung formuliertenImpulssatz lässt sich der Drallsatz in Form einer Impulsmomentengleichung ganz allge-mein definieren.

Das Teilimpulsmoment, das ein Massenele-ment dm erfährt, das sich mit der Umfangsge-schwindigkeit wu an einem Fahrstrahl r umden Drehpunkt 0 bewegt (Bild 4.65) beträgt:

dLæÆ

= (rÆ ¥ wÆu) · dm = (rÆ ¥ wÆu) · r · dV

FS = mG · wa – mL · we

Der aus der Triebwerksdüse austretende Gasmas-senstrom mG setzt sich aus dem großen Luftmas-senstrom mL und dem relativ kleinen Kraftstoffmas-senstrom mB zusammen.

mG = mL + mB

FS = (mL + mB) · wa – mL · we (Gl. 4.93)

Da mB viel kleiner ist als mL kann Gleichung 4.93noch vereinfacht werden:

FS ≈ mL · (wa – we) (Gl. 4.94)

FS = mG · wa (Gl. 4.95)

Der Raketenschub hängt also im Gegensatz zumSchub des Luftstrahltriebwerkes nicht von der Flug-geschwindigkeit ab, sondern nur von der Impuls-kraft (Rückstoßkraft) des austretenden Gasstrahles.

Mit mG = ra · Va

und Va = Aa · wa

erhält man einen anderen Ausdruck für Gleichung4.95:

FS = ra · Aa · wa2 (Gl. 4.96)

Nähere Einzelheiten über Triebwerksschubkräfte können u.a. in [4.5 und 4.20] nachgelesen werden.

Tabelle 4.6 Schubkräfte von Triebwerken

Luftstrahltriebwerk Raketentriebwerk

FS wa

Gasstrom

mG

RaketenkörperDüse

Aa

ra

Bild 4.63Luftstrahltriebwerk (Schema)

Bild 4.64 Raketentriebwerk (Schema)


Die zeitliche Änderung des Teilimpulsmo-mentes ist gleich der Summe der äußeren Mo-mente:

dLæÆ

dÂ M

Æ= 5 = 4 · [r · (rÆ ¥ wÆu) · dV] (Gl. 4.97)

dt dt

In [4.5, 4.6 und 4.7] wird die allgemeingültigeSchreibweise des Drallsatzes für einen beliebi-gen Kontrollraum abgeleitet.

∂r · (rÆ ¥ wÆu)Â M

Æ= Ú 00 · dV + Úr · (rÆ ¥ wÆu) · dV

V∂t

A (Gl. 4.98)

Bei stationären Strömungen entfällt das Volu-menintegral, d.h. der lokale Anteil auf derrechten Seite von Gleichung 4.98.

4.3.5.2 Spezielle Formulierung

Für die meisten praktischen Anwendungendes Drallsatzes, z.B. im Strömungsmaschinen-bau wird eine einfachere, spezielle Herleitungund Darstellung des Drallsatzes gewählt.

In Bild 4.66 ist ein rotationssymmetrischesStrömungssystem mit sehr vielen Strom-röhren gleicher Kontur dargestellt. Durch dieStromröhre fließt nur ein kleiner Teil Dm desMassenstromes m.

Die vom eintretenden Teilstrom Dm1 , Dmhervorgerufene Impulskraft DF

æÆI1 beträgt in

Anlehnung an den in Abschnitt 4.3.4 einge-führten Impulssatz:

dIæÆ

1DFæÆ

I1 = 6 = Dm · wÆ1dt

Die Impulskraft, die der aus dem System aus-tretende Teilmassenstrom Dm2 , Dm als Rück-stoßkraft auf die äußere Peripherie des Strö-mungsraumes ausübt, ist proportional zurAustrittsgeschwindigkeit wÆ2 :

dIæÆ

2DFæÆ

I2 = 6 = –Dm · wÆ2dt

Die Impulskräfte DFæÆ

I1 und DFæÆ

I2 werden in ihreMeridian- und Umfangsanteile zerlegt:

DFæÆ

I1 = DFæÆ

Im1 + DFæÆ

Iu1 = Dm · wÆm1 + Dm · wÆu1

Bild 4.65 Zur Erklärung des Impulsmomentes

Bild 4.66Zur Ableitung des Drallsatzes


DFæÆ

I2 = DFæÆ

Im2 + DFæÆ

Iu2 = – (Dm · wÆm2 + Dm · wÆu2)

Fasst man die Impulskräfte DFæÆ

I für den gesam-ten Strömungsraum zusammen, erhält manfolgende Kraftwirkungen:

a) für die Meridianrichtung2p

FÆ

Im1 = Ú DFæÆ

Im1 = 00

da jeweils 2 einander diametral gegenüberlie-gende DF

æÆIm1 sich gegenseitig aufheben.

Das gleiche gilt für die meridianen Kräfteam Systemaustritt:

2p

FÆ

Im2 = Ú DFæÆ

Im2 = 00

b) für die UmfangsrichtungDie in Umfangsrichtung wirkenden KräfteDFæÆ

Iu haben ein Drehmoment zur Folge, dassich als vektorielle Summe der Teilmomenteergibt.

2p 2p

MÆ

I1 = Ú DFæÆ

Iu1 · r1 = Ú Dm · wÆu1 · r10 0

2p

MÆ

I1 = wÆu1 · r1 · Ú Dm = wÆu1 · r1 · m0

Entsprechendes gilt am Austritt des Systems:

2p 2p

MÆ

I2 = Ú DFæÆ

Iu2 · r2 = Ú – Dm · wÆu2 · r20 0

2p

MÆ

I2 = – wÆu2 · r2 · Ú Dm = – wÆu2 · r2 · m0

Die von der Strömung hervorgerufenen Im-pulsmomente M

ÆI1 und M

ÆI2 müssen nach dem

Satz von D’ALEMBERT (siehe Namensverzeich-nis) mit den äußeren Momenten im Gleichge-wicht sein:

MÆ

I1 + MÆ

I2 + MÆ

= 0

m · wÆu1 · r1 – m · wÆu2 · r2 + MÆ

= 0

MÆ

= m · (wÆu2 · r2 – wÆu1 · r1) (Gl. 4.99)

Diese Schreibweise des Drallsatzes passthinsichtlich der Vorzeichen zu Bild 4.66in dem beide Umfangsgeschwindigkei-ten wÆu1 und wÆu2 die gleiche Drehrichtunghaben!

4.3.5.3 Anwendungen

Der Einfachheit halber wird in den An-wendungen bei den Geschwindigkeitendie einfache Schreibweise anstelle dervektoriellen Schreibweise gewählt.

a) Leiträder von StrömungsmaschinenDurch einen Kranz rotationssymmetrischerradialer Leitschaufeln wird eine Strömungvon w1 auf w2 verzögert (Pumpenleitrad) bzw.von w1 auf w2 beschleunigt (Turbinenleitrad)(Bild 4.67).

Beim radialen Pumpenleitrad strömt dasFluid von innen nach außen, beim radialen

w1

1

r1

wu1

2

1

2

w2

w2w1

wu1

wu2

wu2

r1

r1

r2

r2

0

0

Pumpenleitrad

Turbinenleitrad

Leitschaufel

Leitschaufel

Bild 4.67Radiale Leiträder von Strömungsmaschinen


Turbinenleitrad von außen nach innen. Dasauf den Leitschaufelkranz ausgeübte Drehmo-ment M folgt aus Gleichung 4.99:

M = m · (wu2 · r2 – wu1 · r1)

= r · V · (wu2 · r2 – wu1 · r1) (Gl. 4.100)

Bei Pumpenleiträdern entsteht meistens einnegatives, d.h. der Geschwindigkeitsrichtungentgegengesetztes Moment (Reaktionsmo-ment), bei Turbinenleiträdern ein positivesMoment (Aktionsmoment).

b) PotentialwirbelStellt man sich die Frage, wie eine rotations-symmetrische Strömung beschaffen seinmuss, die auf die Stromröhrenwände keineKräfte, d.h. auf das gesamte System kein Mo-ment ausüben, ergeben sich 2 Lösungen:

1) Eine sternförmige, d.h. ohne Umfangskom-ponenten nach außen oder innen gerichteteStrömung (Bild 4.68).

2) Eine Strömung, bei der der Ausdruck in derKlammer von Gleichung 4.99 gleich 0 wird:

wu2 · r2 – wu1 · r1 = 0

wu1 · r1 = wu2 · r2 = wu · r = konst1 (Gl. 4.101)

Eine solche rotationssymmetrische Strömung,deren Fluidteilchen sich auf kreisförmigenStromlinien um ihren Drehpunkt 0 so bewe-

gen, dass das Produkt aus Geschwindigkeit wu

und Hebelarm r konstant bleibt (Bild 4.69) be-zeichnet man als Potentialwirbel.

Im Kern des Potentialwirbels (r = 0) wirddie Geschwindigkeit theoretisch unendlichgroß, was in einer realen, reibungsbehaftetenStrömung natürlich nicht auftreten kann, wes-halb man die Drehachse auch als singuläreStelle definiert.

Eine andere Bezeichnung für die Drehachsedes Potentialwirbels ist Stabwirbel, womit einunendlich langer, gerader Wirbelfaden ge-meint ist.

a) Zentripetalströmung b) Zentrifugalströmung

Bild 4.69 Potentialwirbel

Bild 4.68Sternförmige a) Zentripetal- und b) Zentrifugalströmung


Als Zirkulation oder Zirkulationsvektor Gdes Potentialwirbels hat man folgendes Pro-dukt eingeführt:

G = 2 · p · wu · r (Gl. 4.102)

Da das Produkt wu · r im gesamten Wirbelge-biet konstant ist, ist auch die Zirkulation kon-stant!

Aus Gleichung 4.101 folgt eine hyperboli-sche Geschwindigkeitsverteilung im Wirbel-gebiet:

wu · r = konst1

konst1 Gwu = 01 = 03 (Gl. 4.103)

r 2 · p · r

Auf das Wirbelgebiet lässt sich auch die Ener-giegleichung, z.B. in der Schreibweise vonGleichung 4.17 anwenden:

p wu2

g · z + 3 + 41 = konst2r 2

Bewegt man sich in einer horizontalen Ebene(Bild 4.69), bleibt die Höhe z konstant, und es verbleibt eine Funktion des Druckes p vonder vom Radius r abhängenden Umfangs-geschwindigkeit wu .

p wu2

3 + 41 = konst2r 2wu

2

p = r · �konst2 – 41�2

konst12

p = r · �konst2 – 02�2 · r 2

G 2

= r · �konst2 – 05� (Gl. 4.104)8 · p2 · r 2

Betrachtet man einen räumlichen Potential-wirbel mit freier Oberfläche, so lässt sich dieRotationskontur Dz = f (r) aus der Energieglei-chung herleiten (Bild 4.70):

p0 wu2 p0 02

g · z + 31 + 5 = g · H + 31 + 31r 2 r 2

wu2

g · (H – z) = 52

wu2 konst1

2 G 2

Dz = 5 = 02 = 0052g 2 · g · r 2 2 · g · 4 · p2 · r2

G 2

Dz = 00 (Gl. 4.105) 8 · p2 · g · r2

In der Natur zu beobachtende Erscheinungen,wie Windhosen, Wasserstrudel, Tornadosu.a.m. sind im Prinzip solche Potentialwirbel[4.21].

c) Laufräder von StrömungsmaschinenIn Bild 4.71a) ist ein radiales Pumpenlaufrad,in Bild 4.71b) ein radiales Turbinenlaufrad, je-weils im Halbschnitt dargestellt. Das Pumpen-laufrad wird von innen nach außen durch-strömt (Zentrifugalrad), das Turbinenlaufradvon außen nach innen (Zentripetalrad).

Die absolute Strömungsgeschwindigkeit csetzt sich aus der durch die Schaufelkonturvorgegebenen Relativgeschwindigkeit w undder Umfangsgeschwindigkeit u = r · w vekto-riell zusammen.

Die Absolutgeschwindigkeit c wird in eineUmfangskomponente cu und eine Meridian-komponente cm zerlegt.

r

r = ∞wu= 0

z

H

freieO

berfläche

Dre

hach

se

∆z

p 0�

Bild 4.70 Freie Oberfläche des Potentialwirbels

Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln 137

Die Geschwindigkeiten am Laufradeintrittund -austritt werden üblicherweise in beson-deren Geschwindigkeitsplänen dargestellt.

Das von der Strömung auf das Turbinen-laufrad ausgeübte hydraulische Drehmomentbzw. der von den Schaufeln des Pumpenlauf-rades auf die Strömung übertragende Drallkönnen nach Gleichung 4.99 bestimmt wer-den.

Aus Drehmoment M und Winkelgeschwin-digkeit w ergibt sich die theoretische Leistungdes Laufrades, die für eine reibungsfreie,ideale Strömung gleich dem Produkt aus Mas-

senstrom und spezifischem Energieumsatzsein muss.

Die Ableitung der im Strömungsmaschi-nenbau so wichtigen Strömungsmaschinen-hauptgleichung, die von L. EULER (siehe Na-mensverzeichnis) bereits 1754 angegebenwurde, erfolgt in Tabelle 4.7.

Weitere Einzelheiten über die Euler’scheStrömungsmaschinenhauptgleichung findensich u.a. in [4.22], die großartige wissenschaft-liche Leistung EULERS bei der Herleitung die-ser wichtigen Beziehung wurde in [4.23] ge-würdigt.

1

21

2

u1w1

r 1

r1

r2

w2

r2

w2

w1

u1

u1

w1

w1

w2

w2

u2

c2

u1

c1

c 1

u2

c2

c1 cu1

cm1

c2

cu2

cm2

c1cu1

cm1

c2cu2

cm2

u2

u2

a)radialesPumpenlaufrad

b)radialesTurbinenlaufrad

Geschwindigkeitspläne:

Eintritt:

Eintritt:

Austritt:

Austritt:

Bild 4.71 Radiale Laufräder von Strömungsmaschinen


4.4 Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln

4.4.1 Einleitung

In der Fluidmechanik und im Strömungs-maschinenbau werden häufig die an einemStrömungssystem oder einer Maschine ge-wonnenen Erfahrungen, Ergebnisse und Betriebswerte auf andere Maschinen übertra-gen. Insbesondere interessieren die Übertra-gungsgesetze hinsichtlich der Geometrie des Strömungsraums, der Geschwindigkeits-und Druckfelder, der Kraftwirkungen und der Stoffgrößen, wie z.B. Dichte und Visko-sität. Besonders wichtig sind Ähnlichkeitsge-setze für die Interpretation, systematischeOrdnung und Übertragung von Versuchser-gebnissen.

2 Strömungen dürfen als ähnlich bezeich-net werden, wenn sie geometrisch und physi-kalisch ähnlich sind.

Geometrische Ähnlichkeit ist für die Ma-krogeometrie, d.h. die Wandkonturen desStrömungsraumes, verhältnismäßig einfachzu erreichen, wogegen die Ähnlichkeit derOberflächenbeschaffenheit (Struktur, Rauig-keit) nur sehr schwer (in vielen Fällen garnicht) herzustellen ist.

Physikalische Ähnlichkeit erfordert ähnli-che Strömungsbilder, d.h. ähnlichen Stromli-nienverlauf.

Vollkommene physikalische Ähnlichkeit desStrömungsverlaufs ist wegen des Einflusses zuvieler Parameter praktisch nie zu erreichen.

Erste auf Erfahrung und Beobachtung be-ruhende ähnlichkeitsmechanische Betrachtun-gen gehen auf LEONARDO DA VINCI und GALILEI

(s. Namensverzeichnis) zurück. Eine theore-tisch gut formulierte Vorstufe der Grundlagenunserer heutigen modernen Ähnlichkeitsme-chanik für Strömungen wurde bereits 1873von HELMHOLTZ (s. Namensverzeichnis) ver-öffentlicht [4.24].

Tabelle 4.7 Ableitung der Euler’schen Strömungsmaschinenhauptgleichung

radiales Pumpenlaufrad (Bild 4.71 a) radiales Turbinenlaufrad (Bild 4.71 b)

M = m · (cu2 · r2 – cu1 · r1) M = m · (cu1 · r1 – cu2 · r2)

Die theoretische Laufradleistung ergibt sich aus Moment M und Winkelgeschwindigkeit w :

Pth ∞ = M · w Pth ∞ = M · w

Andererseits errechnet sich die Laufradleistung auch aus Massenstrom m und der im Laufrad umgesetztenEnergie, die als spezifische Stutzenarbeit Yth ∞ bezeichnet wird.

Pth ∞ = m · Yth ∞ Pth ∞ = m · Yth ∞

Der Index «th» besagt, dass reibungsfreie Strömung angenommen wird, der Index «∞» steht für schaufel-kongruente Strömung, d.h. die Gleichheit von Schaufelkanal und Stromfaden (Stromfadentheorie). DurchGleichsetzen der beiden Ausdrücke für die theoretische Leistung kommt man schließlich zu der bekanntenEuler’schen Strömungsmaschinenhauptgleichung.

m · Yth∞ = m · (cu2 · r2 – cu1 · r1) · w m · Yth ∞ = m · (cu1 · r1 – cu2 · r2) · w

Yth ∞ = cu1 · u1 – cu2 · u2 (Gl. 4.106b)

Bei Turbinen nimmt man im Optimalpunkt drall-freie Abströmung (cu2 = 0) an, wodurch sich Glei-chung 4.106b verkürzt:

Yth ∞ = cu1 · u1 (Gl. 4.107b)

Yth ∞ = cu2 · u2 – cu1 · u1 (Gl. 4.106a)

Bei Pumpen herrscht im sog. Optimalpunkt (Punktbesten Wirkungsgrades) stoß- und drallfreie Zu-strömung, d.h., cu1 wird 0 und Gleichung 4.106avereinfacht sich zu:

Yth ∞ = cu2 · u2 (Gl. 4.107a)

Mit Hilfe der Ähnlichkeitsmechanik kannpraktisches Wissen, das z.B. in Versuchen ge-wonnen wurde, allgemein gültig formuliertwerden oder für die Ingenieurwissenschaftenpraxisnahe Berechnungsverfahren entwickeltwerden.

4.4.2 Ähnlichkeitsbedingungen

Ähnlichkeitsgesetze bzw. die sie beschreiben-den dimensionslosen Kennzahlen lassen sichnach einer der folgenden 3 Methoden herlei-ten [4.5]:


1. Methode der gleichartigen Größen,2. Methode der Differentialgleichungen,3. Methode der Dimensionsanalyse.

Theorie und Herleitung der Ähnlichkeits-gesetze sind in [4.25] ausführlich beschrie-ben.

Die folgenden Betrachtungen sind ausPlatzgründen und im Hinblick auf die prakti-sche Anwendung stark vereinfacht und ver-kürzt. Weitere, gut fundierte Darstellungender wissenschaftlichen Grundlagen der Ähn-

Tabelle 4.8 Zur Strömungsähnlichkeit

Strömung 1 Strömung 2(z.B. Großausführung) (z.B. Modell)

geometrische Längen L1 Längen L2

Größen Flächen A1 ~ L12 Flächen A2 ~ L2

2

Volumina V1 ~ L13 Volumina V2 ~ L2

3

Rauigkeit k1 ~ L1 Rauigkeit k2 ~ L2

Verknüpfungen: A1 L12 V1 L1

3 k1 L14 = 4 ; 4 = 4 ; 3 = 4A2 L2

2 V2 L23 k2 L2

physikalische Geschwindigkeit w1 Geschwindigkeit w2

Größen Beschleunigung a1 Beschleunigung a2

Masse m1 Masse m2

Zeit t1 Zeit t2

Kraft F1 Kraft F2

Dichte r1 Dichte r2

dynamische Viskosität h1 dynamische Viskosität h2

kinematische Viskosität n1 kinematische Viskosität n2

Verknüpfungen: a1 w1/t1 w1 · t23 = 81 = 81a2 w2/t2 w2 · t1

da w1 = L1/t1 wird t1 = L1/w1 und analog t2 = L2/w2

a1 w1 · L2/w2 w12 · L2und damit: 3 = 06 = 82a2 w2 · L1/w1 w22 · L1

m1 r1 · V1 r1 · L13

4 = 82 = 82m2 r2 · V2 r2 · L23

wFmw1

L1

F1

r1

r1

w2

L2

F2

r2

Win

dka

nald

üse

Bild 4.72bBild 4.72a


lichkeitsmechanik finden sich in [4.26 bis4.28]. Wie schon in der Einleitung bemerkt,sind 2 Strömungsvorgänge ähnlich, wenn geo-metrische und physikalische Ähnlichkeit be-steht (Tabelle 4.8).

Für vollständige exakte Ähnlichkeitsbe-trachtungen kommen zu den in Tabelle 4.8aufgeführten physikalischen Größen nochweitere Werte wie Oberflächenspannung,Temperatur, Wärmekapazität, Wärmeleitfä-higkeit u.a. hinzu. Für stationäre, inkompres-sible und isotherme Strömungen genügt esi.Allg. jedoch, die in Tabelle 4.8 aufgeführtenGrößen zu berücksichtigen.

Vollkommene geometrische, strömungs-mechanische und evtl. noch thermodynami-sche Ähnlichkeit zwischen 2 Strömungsvor-gängen ist nicht zu erreichen, weshalb in derPraxis nur auf die Ähnlichkeit wesentlicherGrößen geachtet wird [4.27].

Die Verknüpfung der geometrischen undphysikalischen Größen der zu vergleichendenStrömungsvorgänge geschieht üblicherweisemittels dimensionsloser Kennzahlen.

4.4.3 Reynolds-Zahl

In den 80er und 90er Jahren des 19. Jahrhun-derts beschäftigte sich der englische Mathe-matiker und Ingenieur OSBORNE REYNOLDS (s.Namensverzeichnis) an der Universität Man-chester u.a. auch mit der Erforschung der la-minaren und turbulenten Rohrströmung inkompressibler Fluide, wobei er auf Ar-beiten bzw. Veröffentlichungen von HAGEN,HELMHOLTZ und STOKES (s. Namensverzeich-nis) aufbauend, den Zusammenhang zwi-schen Strömungsgeschwindigkeit, kinemati-scher Viskosität und Rohrdurchmesser fand,der sowohl den Umschlagspunkt von lamina-rer in turbulente Strömung beschreibt als auchfür die Berechnung des Druckverlustes maß-gebend ist.

Die Versuche und Betrachtungen von REY-NOLDS können in [4.29 und 4.30] nachgelesenwerden.

REYNOLDS postulierte, dass 2 Rohrströmun-gen physikalisch ähnlich sind, wenn das Ver-hältnis aus Trägheitskräften und Reibungs-kräften (Scherreibungskräften) gleich bleibt.

Fr1 Fa15 = 5Fr2 Fa2

Die Reibungskräfte lassen sich nach dem Newton’schen Schubspannungsaxiom (Glei-chungen 1.13 und 1.14) wie folgt ansetzen:

dwxFr = A · t = A · h · D = A · h · 7dy

Diese Beziehung kann auch durch die Dimen-sionen der einzelnen Größen ausgedrücktwerden:

w wFr ~ A · h · 3 ~ L2 · h · 3 ~ L · h · w

L L

Die Trägheitskraft Fa ergibt sich aus dem Newton’schen Grundgesetz der Mechanik

Kraft = Masse ¥ Beschleunigung

Fa = m · a

oder in Dimensionen ausgedrückt:

Fa = r · V · a ~ r · L3 · a

damit können die Quotienten der einzelnenKräfte wie folgt geschrieben werden:

Fr1 L1 · h 1 · w15 = 07Fr2 L2 · h2 · w2

Fa1 r1 · L13 · a1

5 = 07Fa2 r2 · L23 · a2

Setzt man für den Ausdruck a1/a2 nach Ta-belle 4.8

a1 w12 · L2

3 = 01a2 w22 · L1

ein, folgt:

Fa1 r1 · L13 · w1

2 · L2 r1 · L12 · w1

2

5 = 004 = 08Fa2 r2 · L23 · w2

2 · L1 r2 · L22 · w2

2

Durch Gleichsetzen, Kürzen und Umformenergibt sich folgende dimensionslose Verknüp-fung der Größen:

L1 · h 1 · w1 r1 · L12 · w1

2

07 = 08L2 · h 2 · w2 r2 · L22 · w2

2

L1 · w1 · r1 L2 · w2 · r207 = 07h 1 h2

Der Quotient h/r ist nach Gleichung 1.15 alskinematische Viskosität n definiert.

L1 · w1 L2 · w201 = 01 (Gl. 4.108)

n1 n2

Gleichung 4.108 beschreibt das Reynold’scheÄhnlichkeitsgesetz. Der Ausdruck L · w/nstellt die dimensionslose Reynolds-Zahl Redar.

w · LRe = 9 (4.109)

n


Die Reynolds-Zahl Re ist definiert alsQuotient aus dem Produkt Geschwindig-keit ¥ charakteristische Länge und kine-matischer Viskosität.

Zwei Strömungen verlaufen hinsichtlichihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich,wenn

❑ die geometrischen Konturen der umström-ten Körper ähnlich sind,

❑ die mit korrespondierenden Werten gebil-deten Reynolds-Zahlen übereinstimmen.

In Tabelle 4.9 sind die Definitionen der Rey-nolds-Zahlen einer typischen Innenströmungund einer typischen Außenströmung gegen-übergestellt.

Tabelle 4.9 Definition der Reynolds-Zahl

Innenströmung (Rohrströmung) Außenströmung (Plattenströmung)

w– · dRe = 71 (Gl. 4.110)

n

V Vmit w– = 3 = 0A p

d 2 · 34

kann Re durch den Volumenstrom V ausgedrücktwerden:

4 · V · dRe = 04p · d 2 · n

4 · VRe = 02 (Gl. 4.112)

p · d · n

w∞ · lRe = 9 (Gl. 4.111)

n

w

n

Ød

w∞

nl

Bild 4.73 Bild 4.74


Beispiel 22

Aufgabenstellung:Ein Automodell, das im Maßstab 1: 5 ver-kleinert ist, soll in einem Windkanal unter-sucht werden. Wie groß muss die Anblasge-schwindigkeit des Modells gemacht wer-den, wenn eine der Großausführung ent-sprechende Fahrgeschwindigkeit von 150km/h simuliert werden soll?

Lösung:Die Reynolds-Zahlen von Modell und Groß-ausführung müssen übereinstimmen!

Re1 = Re2

Index 1 bezieht sich auf die Großaus-führung.Index 2 bezieht sich auf das Modell

w1 · L1 w2 · L20 = 0n1 n2

Es darf angenommen werden, dass die kine-matischen Viskositäten n1 und n2 gleich großsind.

w1 · L1 = w2 · L2

L1w2 = w1 · 4L2

5w2 = 150 · 3 = 750 km/h

1

w2 = 750 km/h = 208 m/s

Im Vorgriff auf Kapitel 5 muss man wissen,dass die Mach-Zahl M der Modellströmungeinen Wert von 0,63 annimmt, d.h., es isteine Korrektur der gemessenen Strömungs-beiwerte zur Berücksichtigung der Kom-pressibilität der Luft erforderlich.

4.4.4 Froude-Zahl

WILLIAM FROUDE, ein britischer Mathematikerund Schiffsbauingenieur (siehe Namensver-zeichnis), beschäftigte sich u.a. auch mit derexperimentellen Ermittlung des Schiffswider-standes durch Schleppversuche. Die Krönungseiner Arbeiten war die Inbetriebnahme eines250 Fuß langen Schleppkanals für Modell-schiffe (towing tank) in Torquay im Jahre 1872.

Bei seinen Versuchen benutzte FROUDE diebereits von dem Franzosen FERDINAND REECH,Professor an der Marineingenieurschule in Pa-ris, angegebene Beziehung für die Umrech-nung der Geschwindigkeiten von Modell undGroßausführung über die Quadratwurzel desModellmaßstabes [4.31], d.h., die Froude-Zahlmüsste eigentlich Reech-Zahl heißen!

In [4.32] berichtet FROUDE über den Ver-gleich der Ergebnisse eines Modellversuchesmit den Fahrversuchen der Großausführung.Weniger bekannt ist, dass sich FROUDE auch in-tensiv mit der Erforschung des Strömungs-widerstandes ebener Platten beschäftigt hat[4.33].

Die Froude-Zahl wird definiert als Quo-tient aus Trägheitskraft Fa = m · a und Schwer-kraft Fs = m · g:

Fa1 Fa2

5 = 5

Fs1 Fs2

m1 · a1 m2 · a2

0 = 0m1 · g m2 · g

Nach Tabelle 4.8 können die Beschleunigun-gen a1 und a2 durch die zugehörigen Ge-schwindigkeiten und Längen ausgedrücktwerden:

a1 ~ w12 · L2

a2 ~ w22 · L1

w12 · L2 w2

2 · L1

01 = 01g g

w12 w2

2 w2

9 = 9 = 9

L1 · g L2 · g L · g

Der Ausdruck w2/(L · g) wird in der Literatur[4.5; 4.34] häufig als Froude-Zahl 1 bezeich-net.

w2

Fr1 = 8 (Gl. 4.113)L · g

Meistens wird jedoch die Quadratwurzel ausder Froude-Zahl 1 als eigentliche Froude-Zahlgebraucht:

wFr = Fr2 = d6Fr1 = 0 (Gl. 4.114)

d8L · g

Im vorliegenden Buch wird nur diese Defini-tion der Froude-Zahl ohne Kennzeichnungdurch den Index 2 benützt.

Strömungsformen 143

In der Praxis wird die Froude-Zahl vor allem in folgenden Bereichen angewandt:

– Bewegungen freier Flüssigkeitsober-flächen,

– z.B. Wellenbewegungen,– Flüssigkeitsstrahlen,– Schiffswiderstand,– hydraulischer und pneumatischer

Transport,– Staubabscheidung,– Tropfenbewegungen,– Sedimentation,– Rührwerke,– Zerstäubung,– Zentrifugen,– Filterströmungen.

Beispiel 23

Aufgabenstellung:Ein im Maßstab 1:20 reduziertes Schiffsmo-dell soll im Schleppkanal untersucht wer-den. Wie groß muss die Schleppgeschwin-digkeit des Modells gewählt werden, wenndie Großausführung mit einer Geschwin-digkeit von 30 km/h fahren soll und dieFroude-Zahlen von Modell und Großaus-führung übereinstimmen sollen?

Lösung:

Fr1 = Fr2

Index 1 bezieht sich auf die Großausfüh-rung, Index 2 bezieht sich auf das Modell,

w1 w202 = 02d9L1 · g d9L2 · g

5 5L2 1w2 = w1 · f4 = 30 · f4L1 20

w2 = 6,7 km/h = 1,86 m/s

Weitere wichtige Strömungskennzahlen finden sich u.a. in [4.25, 4.26 und 4.34].

4.5 Modellversuche

Moderne numerische Rechenverfahren gestat-ten heute in vielen Fällen eine hinreichend ge-naue Berechnung des Strömungsverhaltensdurch- und umströmter Körper, so dass derAufwand an meist teuren Versuchen auf vie-len Gebieten der Strömungstechnik deutlichreduziert werden konnte.

Trotzdem ist es vielfach noch nötig, Mo-dellversuche bzw. Versuche an Originalaus-führungen durchzuführen, da numerische Be-

rechnungen noch zu ungenau sind bzw. fürdie Berechnungen erforderlichen Beiwerte erstnoch experimentell bestimmt werden müssen.

So sind z. B. in der Flugzeug-, Straßen-fahrzeug- und Schienenfahrzeugentwicklungnach wie vor Windkanalversuche für dieletzte Optimierung der geometrischen For-men erforderlich [4.35].

Ähnlich ist es auch im Wasserbau oder inder Gebäudeaerodynamik. Auch im Strö-mungsmaschinenbau hat das Versuchswesennach wie vor einen hohen Stellenwert.


Beispiel 24

Aufgabenstellung:Durch eine Schmierölleitung von 50 mm In-nendurchmesser strömen in der Sekunde 2 l Schmieröl mit einer kinematischen Vis-kosität n = 20 · 10 –6 m2/s.Ist die Strömung laminar oder turbulent?

Lösung:Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit be-trägt:

V 2 2w– = 9 = 84 = 9 = 10,2 dm/s

d2 · p 0,52 · p 0,1969 844 4

Nach [4.26, 4.27] kann man vollkommenähnliche Modelle, bei denen Modell undGroßausführung geometrisch und physika-lisch ähnlich sind und halbähnliche Modelle,bei denen die physikalische Ähnlichkeit nurteilweise gegeben ist, unterscheiden.

Weiterhin gibt es auch unähnliche Mo-delle, wie z.B. die Flachwasseranalogie, in dersich Flachwasserströmungen mit der Strö-mung kompressibler Fluide vergleichen las-sen, oder den elektrischen Trog, in dem manStrömungsfelder durch elektrische Felder si-muliert [4.26].

An den Modellen werden Geschwindig-keitsfelder, Druckfelder, Kräfte u.a. gemessenund mittels dimensionsloser Kennzahlen undanderer Strömungsbeiwerte auf die Großaus-führung übertragen, wobei die Fluide vonModellversuch und Strömung der Großaus-führung verschieden sein können.

So werden z.B. Modelle von Wasserturbi-nen, Flüssigkeitspumpen und Armaturen stattmit Wasser auch mit Luft untersucht, was u.U.die Kosten der Versuche entscheidend redu-ziert.

Bei der Übertragung von Modellergebnis-sen sind jedoch die Voraussetzungen der Mo-dellnachbildung genau zu beachten.

Vor der Überbewertung spezieller Modell-ergebnisse und deren Übertragung auf allge-meine Anwendungen muss gewarnt werden[4.27].

4.6 Strömungsformen

4.6.1 Einleitung

Bei Innen- und Außenströmungen treten ab-hängig von der Größe bestimmter Kennzah-len, z.B. der Reynolds-Zahl, typische Strom-linienbilder auf.

Am bekanntesten sind wohl die Begriffeder laminaren und turbulenten Rohrströ-mung.

Auch bei der Umströmung von gedrunge-nen sperrigen Körpern, z.B. Kugeln undKreiszylindern können typische Strömungs-formen abhängig von der Reynolds-Zahl be-obachtet werden.

Bei Strömungen mit freier Oberfläche in of-fenen Gerinnen kann man 2 typische Strö-mungsformen unterscheiden, die durch dieFroude-Zahl charakterisiert sind.

4.6.2 Laminare und turbulente Rohrströmung

Je nach Größe der Reynolds-Zahl stellt sich beider Rohrströmung laminarer oder turbulen-ter Strömungszustand ein.

In Tabelle 4.10 sind die beiden Strömungs-formen für kreiszylindrische Rohre gegen-übergestellt.

w– = 1,02 m/s

Damit berechnet sich die Reynolds-Zahl zu:

w– · d 1,02 · 0,05Re = 8 = 98n 20 · 10– 6

1,02 · 5 · 104

Re = 90220

Re = 2550

Die Reynolds-Zahl liegt nur knapp über derkritischen Reynolds-Zahl Rekrit = 2320. DieStrömung ist bereits turbulent.

wwmax

= konst

Geschwindigkeits-verteilung

Farbe

Farbstrahl

= konst

w

wmax


Strömungsformen 145

laminare Rohrströmung

Bei der laminaren Rohrströmung oder Schichtströ-mung bewegen sich die Fluidteilchen mit unter-schiedlichen Geschwindigkeiten auf zur Rohrachseparallelen Stromlinien, ohne sich zu vermischen.REYNOLDS hat in [4.29] einen einfachen Versuch be-schrieben, bei dem ein in die Rohrachse eingeleiteterFarbstrahl seine Form behält und sich nicht mit derGrundströmung mischt.

Bild 4.75a Laminare Strömung

Wie weiter unten gezeigt wird, hat die Geschwin-digkeitsverteilung die Form eines quadratischen Pa-raboloids.Der Reibungsdruckverlust ist unabhängig von derRauigkeit der Rohrwand.Die zeitlichen Schwankungen der Geschwindigkeitsind vernachlässigbar klein.Bei Rohren mit Kreisquerschnitt tritt laminare Strö-mung unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl

Rekrit = 2320

auf.

turbulente Rohrströmung

Bei der turbulenten oder wirbelbehafteten Strö-mung treten neben der in Rohrachse gerichtetenTransportströmung zusätzlich noch Querbewegun-gen auf, d.h., die Fluidpartikel führen nach Größeund Richtung Geschwindigkeitsschwankungenaus.Der Rohrreibungsverlust hängt i.Allg. auch von derWandrauigkeit ab.Die Geschwindigkeitsverteilung ist wesentlich fla-cher, d.h., die Einhüllende der Geschwindigkeits-vektoren ist ein Rotationsparaboloid höherer Ord-nung.

Bild 4.75b Turbulente Strömung

REYNOLDS beobachtete, dass oberhalb der kriti-schen Reynolds-Zahl

Rekrit = 2320

ein in Rohrachse eingeleiteter Farbstrahl zerreißtund sich mit der Grundströmung vermischt. REY-NOLDS hatte seinerzeit diese Grenzzahl mit seinennicht sehr präzisen Versuchseinrichtungen immer-hin schon zu 1800…2000 bestimmt!

Tabelle 4.10 Vergleich von laminarer und turbulenter Rohrströmung

Farbe


4.6.3 Umströmung von Kreiszylindernund Kugeln

Die Beschreibung der Umströmung von Kreis-zylindern und Kugeln ist wesentlich kompli-zierter als die Darstellung der laminaren undturbulenten Rohrströmung, da mehrere sta-tionäre und instationäre Strömungsformenabhängig von Reynolds-Zahl, Oberflächen-rauigkeit und Turbulenzgrad (Erklärung desTurbulenzgrades siehe Abschnitt 4.6.5!) derankommenden Strömung auftreten.

So werden z.B. in [4.36] 8 verschiedeneStrömungszustände hinter Kreiszylindern inAbhängigkeit von der Reynolds-Zahl be-schrieben, in [4.37] werden 4 Strömungszu-stände mit Hilfe des Widerstandsbeiwertes inFunktion der Reynolds-Zahl definiert.

Die Strömungsbilder von Kugel- und Zy-linderströmung ähneln sich, obwohl der Zy-linder 2-dimensional, die Kugel 3-dimensio-nal überströmt wird.Die umströmten Körper werden an ihrerOberfläche von einer dünnen Grenzschichteingehüllt, die abhängig von Körperform,Oberflächenrauigkeit, Reynolds-Zahl undTurbulenzgrad von der Körperkontur ablöstund ein Totwassergebiet hinter dem Körperentstehen lässt.

In Tabelle 4.11 sind die einzelnen Strö-mungszustände stark vereinfachend gegenü-bergestellt. Weitere Einzelheiten können u.a.aus [4.36 und 4.38] entnommen werden.

Schleichende Umströmung

Bei der schleichenden Umströ-mung von Kugel oder Kreiszylin-der schließt sich die Strömunghinter dem Körper wieder zu-sammen.Es treten keine oder sehr kleineortsfeste Wirbelgebiete auf.Die Widerstandsbeiwerte sind re-lativ hoch.Die Reynolds-Zahlen für denUmschlag der Strömung sind vorallem vom Turbulenzgrad abhän-gig.

Unterkritische Umströmung

Die unterkritische Strömungmüsste eigentlich in 2 Bereicheunterteilt werden, nämlich einenBereich in dem der Widerstands-beiwert nicht von der Reynolds-Zahl abhängt d.h. bis zu Rey-nolds-Zahlen von etwa 2 · 105

und einen Bereich, in dem der Wi-derstandsbeiwert in Funktion derReynolds-Zahl stark abfällt undein Minimum erreicht. In [4.37]wird dieser Bereich als kritischerBereich bezeichnet. Die Grenz-Reynolds-Zahl des kri-tischen Bereiches kann je nachOberflächenrauigkeit und Turbu-

Überkritische Umströmung

Nach [4.37] sollte der überkriti-sche Bereich unterteilt werden. 1.in einen überkritischen Bereichmit laminarer und turbulenterAblösung bis zu Reynolds-Zahlenvon etwa 5 · 106 [4.39] und 2. einen transkritischen Bereich mit turbulenter Grenzschicht-ablösung und Reynolds-Zahlenüber 5 · 106. Der Ablösepunktliegt hinter dem Dickenmaximumdes Körpers.Der Widerstandsbeiwert steigtwieder an.

w∞ D w∞

Ablösepunkt

Totwassergebiet

w∞

Ablösepunkt

Totwassergebiet

Tabelle 4.11 Strömungszustände an Kugeln und Kreiszylindern

Bild 4.76cÜberkritische Umströmung

Bild 4.76bUnterkritische Umströmung

Bild 4.76aSchleichende Umströmung

Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen 147

Nach [4.38] gilt:

w∞ · DReu = 9 ≈ 5

n

für wirbelfreie Umströmung und

Reu ≈ 400

für wirbelbehaftete Strömung.Die wirbelfreie Umströmungwird auch als Hele-Shaw-Strö-mung bezeichnet [4.39].Strömungen mit so kleinen Re-Zahlen kommen in der Natur z.B.beim Fallen von Pollen, Sa-menkörnern, Sand oder Staubteil-chen vor, in der Verfahrenstech-nik z.B. bei der Durchströmungvon Filterbetten.

lenzgrad bis Re = 106 reichen undliegt bei vergleichbaren Verhält-nissen beim Kreiszylinder etwashöher als bei der Kugel.Die Grenzschicht ist laminar undlöst in der Nähe des Durchmes-sers D ab.Im Strömungsschatten des Kör-pers entsteht ein großes Totwas-sergebiet.

Die Druckverteilung um die Ku-gel oder den Kreiszylinder sindbei den beiden Strömungszustän-den verschieden.

Tabelle 4.11 (Fortsetzung)

Schleichende Umströmung Unterkritische Umströmung Überkritische Umströmung

4.6.4 Strömende und schießende Bewegung bei Strömungen mitfreier Oberfläche unter Schwereeinfluss

Bei Strömungen in offenen Gerinnen (Flüssen,Kanälen oder teilweise gefüllten Rohrleitun-gen) tritt je nach Größe der mit der Strö-mungsgeschwindigkeit und der Tiefe gebilde-ten Froude-Zahl strömender, langsamer Ab-fluss oder schießender, schneller Abfluss auf(Tabelle 4.12).

4.6.5 Turbulenzgrad

Strömungen werden als turbulent bezeichnet,wenn der Hauptbewegung 3-dimensionale,instationäre Schwankungen überlagert sind.

I.Allg. sind diese Schwankungsbewegun-gen unregelmäßig, d.h. zeitlich stochastischverteilt.

Als Turbulenzgrad Tu wird folgender Aus-druck definiert [4.5]:

60021 w¢x2 + w¢y2 + w¢z2

Tu = 4 · f006 (Gl. 4.115)w–x 3

Tu Turbulenzgradw–x zeitlicher Mittelwert der Geschwindigkeit

in Hauptströmungsrichtung (Bild 4.78)w¢x Schwankung der Geschwindigkeit

in x-Richtungw¢y Schwankung der Geschwindigkeit

in y-Richtungw¢z Schwankung der Geschwindigkeit

in z-RichtungBei der Übertragung der Ergebnisse von Mes-sungen und Beobachtungen von einem Mo-dell auf eine Großausführung spielen die Tur-bulenzgrade von Modellströmung und Strö-mung der Großausführung eine wichtigeRolle, d.h., nur bei etwa gleichen Turbulenz-graden lassen sich korrespondierende Werteübertragen.

Normale Windkanäle weisen Turbulenz-grade von ca. Tu = 0,01 auf.

Bei isotroper Strömung, bei der nur 1-di-mensionale Schwankungen in Strömungs-richtung auftreten, vereinfacht sich Glei-chung 4.115:

1Tu = 4 · d7w¢x2 (Gl. 4.116)

w–x


strömender Abfluss

Bild 4.77a Strömende Bewegung

Strömender Abfluss stellt sich ein, wenn die Froude-Zahl

wFr = 9

d7g · t

< 1 wird.Störungen in der Strömung breiten sich stromab-wärts und stromaufwärts aus.

schießender Abfluss

Bild 4.77b Schießende Bewegung

Wenn die Froude-Zahl

wFr = 9

d7g · t

> 1 wird, liegt schießender Abfluss vor. Störungenbreiten sich nur stromabwärts aus.

w t w t

Tabelle 4.12 Strömender und schießender Abfluss

4.7 Stoffströme in geschlossenen Rohrleitungen (Rohrhydraulik)

4.7.1 Energiegleichung für reibungs-behaftete Strömungen

4.7.1.1 Stationäre Strömungen

In Abschnitt 4.3.2.2 wurde die Energieglei-chung für reibungsfreie, stationäre und in-kompressible Strömungen abgeleitet (Glei-chungen 4.17, 4.18 und 4.19).

Bei der Strömung realer, viskoser Fluidetreten längs der Stromröhre Dissipationsver-luste infolge der Reibung in den Wandgrenz-schichten, der Reibung zwischen unterschied-lich schnell strömenden Fluidteilchen undWirbelbildung auf. Diese Dissipationsverlustefallen zum größten Teil in Form von Wärme-energie und bei größeren Strömungsge-schwindigkeiten auch zu einem kleinen Teilals Schallenergie an.

Zur Ableitung der um einen Dissipations-anteil erweiterten Energiegleichung wird die

wx

dm

x

wx

wx

Zeit

Ges

chw

ind

igke

itw

Bild 4.78 Zur Erklärung des Turbulenzgrades


Strömung in einer Stromröhre (Bild 4.79) be-trachtet.

Zwischen Anfang 1 und Ende 2 des Strom-röhrenabschnittes wird von außen keine Ener-gie zugeführt bzw. nach außen entzogen. Be-kanntlich treten folgende 3 spezifische Ener-gieformen auf:

1. Lageenergie g · z

2. Druckenergie p/r

w2

3. Geschwindigkeitsenergie 42

Die Lageenergie ist allein durch den Verlaufder Mittelstromlinie z = f (s) festgelegt undwird somit nicht durch die Dissipation beein-flusst.

Gleiches gilt für den kinetischen Energiean-teil w2/2, da die Geschwindigkeit w an jederStelle der Stromröhre durch den Volumen-strom V und den Strömungsquerschnitt A un-abhängig von Reibung und Verwirbelung vor-gegeben ist:

Vw = 3 = f (s)

A

Daraus folgt, dass sich Dissipationsverlustebei inkompressiblen Strömungen als Druck-verluste äußern, d.h., der reale Druck p2 amEnde der Stromröhre ist um einen DruckabfallDpv kleiner als der theoretische Druck p2 beiidealer, reibungsfreier Strömung.

Die Energiegleichung in den Schreibweisender Gleichungen 4.17, 4.18 und 4.19 wird wiefolgt erweitert:

a) In der Dimension «spezifische Energie»

p1 w12 p2 w2

2 Dpvg · z1 + 4 + 5 = g · z2 + 4 + 5 + 6r 2 r 2 r

(Gl. 4.117)

b) In der Dimension «Länge» bzw. «Höhe»(erweiterte Bernoulli-Gleichung)

p1 w12 p2 w2

2

z1 + 7 + 5 = z2 + 7 + 5 + hvr · g 2g r · g 2g(Gl. 4.118)

c) In der Dimension «Druck»

rp1 + r · g · z1 + 3 · w1

2 (Gl. 4.119)2

r= p2 + r · g · z2 + 3 · w2

2 + Dpv2

Man erkennt, dass die «Reibungsglieder» Dpv/r = g · hv , hv bzw. Dpv hinzugekommensind.

Die in Gleichung 4.118 formulierte erwei-terte Bernoulli-Gleichung lässt sich wie Glei-chung 4.18 in Bild 4.16 grafisch darstellen(Bild 4.79).

Bild 4.79 Grafische Darstellung der erweitertenBernoulli-Gleichung


w1

p1z1

= konst

50 m

Ø d =100 mm

p2

z2

w2

Beispiel 25

Aufgabenstellung:


Aus dem in Bild 4.80 dargestellten offenenBehälter mit sehr großem Querschnitt strö-men stündlich 600 m3 kaltes Wasser (r =1000 kg/m3) aus.Wie groß ist der Reibungsverlust hv bzw.Dpv ?

Lösung:Der Reibungsverlust hv wird mittels erwei-terter Bernoulli-Gleichung 4.118 berechnet:

p1 w12 p2 w2

2

z1 + 7 + 7 = z2 + 7 + 7 + hvr · g 2 · g r · g 2 · g

Für die vorliegende Anlage nehmen die ein-zelnen Glieder der Gleichung folgendeWerte an:

z1 = 50 m

z2 = 0 m

p1 = p2 (offener Behälter, austretender Freistrahl)

w1 = 0 m/s (großer Behälter)

V 600w2 = 3 = 707A p

3600 · 0,12 · 34

w2 = 21,22 m/s

w22

hv = z1 – z2 – 72 · g

21,222

hv = 50 – 0 – 022 · 9,81

hv = 27,05 m

Der Reibungsverlust kann auch als Druck-verlust ausgedrückt werden:

Dpv = r · g · hv

Dpv = 1000 · 9,81 · 27,05

Dpv = 265 342 Pa = 2,65 bar

4.7.1.2 Instationäre Strömungen

Berücksichtigt man die Geschwindigkeitsver-teilung über dem Strömungsquerschnitt (Bild4.81) und die zeitliche Abhängigkeit der Ge-schwindigkeit, erhält man folgenden Aus-druck für die Energiegleichung der reibungs-behafteten instationären Strömung, in der Di-mension «Druck» geschrieben:

rp1 + r · g · z1 + a1 · 3 · w1

2

2r

= p2 + r · g · z2 + a2 · 3 · w22

2s2 ∂w

+ r · Ú b · 6 · ds + Dpv (Gl. 4.120)s1

∂t

Die orts- und zeitabhängigen Geschwindig-keitsausgleichswerte a und b berücksichtigendie u.a. von der Reynolds-Zahl und Wand-rauigkeit abhängigen Geschwindigkeitspro-file im Rohrquerschnitt.

1

w= f (r,s,t)

2

r

s

z1

z2

0 0

Bild 4.81 Stromröhre


Gleichung 4.120 wird beispielsweise beider exakten Bestimmung der Förderarbeit vonPumpen mit gestörten Zu- und/oder Ab-strömbedingungen benützt.

4.7.2 Druckabfall in Rohrleitungen mitkreisförmigem Querschnitt bei laminarer Strömung (Re < 2320)

Der Reibungsverlust der laminaren Strömungim kreisrunden Rohr lässt sich relativ einfachherleiten.

Es wird vorausgesetzt, dass Temperatur tund statischer Druck p über dem Rohrquer-schnitt konstant sind (isotherme Rohrströ-mung). Um den Schwereeinfluss nicht berück-sichtigen zu müssen, wird eine waagerechteRohrleitung betrachtet (Bild 4.82).

Die Strömung verläuft in konzentrischen(koaxialen) Ringschichten bei teleskopartigerParallelverschiebung der Schichten.

Für ein zylinderförmiges Fluidelement mitdem Radius r und der Länge dl, das in einerEntfernung x vom Rohranfang strömt (x > lA;siehe Abschnitt 4.7.8) wird für eine stationäreStrömung das Kräftegleichgewicht formuliert:

Druckkraft = Reibungskraft

a) Druckkraft auf die vordere Stirnwand

Fp1 = p1 · r2 · p

b) Druckkraft auf die hintere StirnwandFp2 = p2 · r2 · p

c) resultierende DruckkraftFp = Fp1 – Fp2 = r2 · p · (p1 – p2) = r2 · p · dp

d) Die Reibungskraft Fr

ergibt sich aus der Schubspannung t, die inder Zylindermantelfläche entgegen der Bewe-gungsrichtung wirkt und der Größe der Zy-lindermantelfläche:

Fr = t · 2 · p · r · dl

Nach dem Newton’schen Schubspannungsan-satz (Gleichungen 1.13 und 1.14) besteht fol-gender Zusammenhang zwischen der dyna-mischen Viskosität des Fluids und dem Ge-schwindigkeitsgradienten im Rohr:

dwt = – h · 5dr

Der Geschwindigkeitsgradient dw/dr ist ne-gativ, da mit zunehmendem Radius r die Ge-schwindigkeit w abnimmt (vgl. Bild 4.83).

dwFr = – 2 · p · r · dl · h · 5dr

1r0

p1

p2

p1 p2

2

Druckverlauf

dp

t

t

t

t

wr

Strömungsrichtung

Roh

ranf

ang

Ød

x

l

Bild 4.82 Zum Kräftegleichgewicht der laminaren Rohrströmung


Durch Gleichsetzen der Beziehungen fürDruck- und Reibungskraft erhält man folgen-den Ausdruck für den Geschwindigkeitsgra-dienten:

dwr2 · p · dp = – 2 · p · r · dl · h · 5dr

dw 1 dp5 = – 8 · 5 · r (Gl. 4.121)dr 2 · h dl

Die Integration dieser einfachen Differential-gleichung liefert eine Beziehung für das Ge-schwindigkeitsprofil, d.h. die Funktion w =f (r):

1 dpdw = – 8 · 5 · r · dr

2 · h dl

1 dpw = – Ú 8 · 5 · r · dr

2 · h dl

1 dp r2

w = – 8 · 5 · 4 + konst2 · h dl 2

Die Integrationskonstante ergibt sich aus derRandbedingung w = 0 für r = r0:

1 dp r02

0 = – 8 · 5 · 4 + konst2 · h dl 2

1 dp r02

konst = 8 · 5 · 42 · h dl 2

1 dpw = 8 · 5 · (r0

2 – r2) (Gl. 4.122)4 · h dl

Diese Gleichung wird als Stokes’sches Gesetzbezeichnet.

Aus der mathematischen Form der Glei-chung 4.122 ersieht man, dass die Geschwin-digkeitsverteilung w = f (r) parabolisch ist,d.h. die Spitzen der Geschwindigkeitsvekto-ren auf einem quadratischen Paraboloid lie-gen (Bild 4.83).

Weiterhin erkennt man, dass der Ausdruck

1 dp8 · 5 · r0

2

4 · h dl

sowohl die oben abgeleitete Integrationskon-stante als auch die Geschwindigkeit wmax inder Rohrachse (r = 0) ist.

1 dpwmax = 8 · 5 · r0

2 = konst4 · h dl

Somit kann Gleichung 4.122 auch wie folgtausgedrückt werden:

r 2

w = wmax · �1 – �4� � (Gl. 4.123)r0

Setzt man Gleichung 4.121 in den Newton’-schen Schubspannungsansatz ein, erhält manfolgende Verteilung der Schubspannung überdem Radius r:

dw 1 dpt = – h · 5 = – h · �– 8 · 5 · r�dr 2 · h dl

dp rt = 5 · 3 (Gl. 4.124)

dl 2

w tmax

wmaxd

t

t = 0

Schubspannungs-verteilung

w (r)


r0

rr

Bild 4.83Geschwindigkeits- undSchubspannungs-verteilung bei laminarerRohrströmung


Die Schubspannung t ist in der Rohrmittegleich 0 und nimmt linear zur Rohrwand hinzu (Bild 4.83). An der Rohrwand herrscht die

dp r0maximale Schubspannung tmax = 5 · 4 .dl 2

Den durch das Rohr strömenden Volumen-strom erhält man durch Integration der Ge-schwindigkeiten über dem Rohrquerschnitt:

r0

V = w– · A = w– · r02 · p = 2 · p · Ú w · r · dr

0

r0r 2

w– · r02 = 2 · Ú wmax · �1 – �4� � · r · dr

0r0

r0r 3

w– · r02 = 2 · wmax · Ú �r – 4� · dr

0r0

2

r2 r4 r0

w– · r02 = 2 · wmax · � 3 – 8 �2 4 · r0

20

r02 r0

2

w– · r02 = 2 · wmax · � 3 – 4 �2 4

r04 r0

2

w– · r02 = 2 · wmax · 4 = wmax · 44 2

wmax 1 dpw– = 8 = 8 · 5 · r0

2 (Gl. 4.125)2 8 · h dl

Den zu w– gehörenden Radius r erhält man ausGleichung 4.123:

w– r 2

8 = 1 – �31�wmax r0

w– 1 r 2

8 = 3 = 1 – �31�wmax 2 r0

r 2 1 1�31� = 1 – 3 = 3r0 2 2

41r = f 3 · r0 = 0,707 · r0 (Gl. 4.126)

2

Mit Hilfe von Gleichung 4.125 lässt sich derVolumenstrom V bestimmen:

p dpV = w– · r0

2 · p = 7 · 5 · r04

8 · h dl

Betrachtet man anstelle der differentiell kur-zen Rohrstrecke dl die gesamte Rohrlänge lnach der Anlaufstrecke lA , so erhält man mitdem Druckverlust Dpv = p1 – p2 :

p · r04 · Dpv p · r0

4 · (p1 – p2)V = 80 = 005 (Gl. 4.127)8 · h · l 8 · h · l

Hierbei ist p1 der statische Druck bei x = 0 undp2 der statische Druck bei x = l.

Gleichung 4.127 besagt, dass bei laminarerRohrströmung im kreiszylindrischen Rohr derVolumenstrom V proportional zum Druckun-terschied Dpv zwischen Rohranfang und Rohr-ende, zur 4. Potenz des Rohrradius r0 undumgekehrt proportional zur Rohrlänge l so-wie zur dynamischen Viskosität h des Fluidsist (Bild 4.84).

Dieses wichtige Strömungsgesetz geht aufden deutschen Wasserbauingenieur HAGEN

und den französischen Arzt POISEUILLE zurück(siehe Namensverzeichnis), die es unabhängigvoneinander formuliert haben, weshalb esauch als Hagen-Poiseuille’sche-Gleichungbezeichnet wird [4.40; 4.41].

Löst man Gleichung 4.127 nach demDruckunterschied p1 – p2 = Dpv auf, erhält manden Zusammenhang zwischen Rohrgeo-metrie, Volumenstrom, Viskosität und Druck-unterschied:

8 · l · h · Vp1 – p2 = 08r0

4

Der Radius r0 wird durch den Rohrinnen-durchmesser d = 2 · r0 , die dynamische Visko-sität h durch die kinematische Viskosität n er-setzt:

d 4 d4

r04 = �3� = 52 16

h = r · n

128 · l · r · n · Vp1 – p2 = 600p · d4


Der Volumenstrom V wird durch die mittlereGeschwindigkeit w– und den Rohrquerschnitt

pA = d2 · 3 ausgedrückt:

4

128 · l · r · n · w– · d2 · pp1 – p2 = 0000p · d4 · 4

Durch Umformen, Kürzen und Erweitern er-gibt sich:

64 · l · r np1 – p2 = 04 · 3 · w–

d · 2 d

l r np1 – p2 = 64 · 3 · 3 · w– 2 · 9d 2 d · w–

nDer Ausdruck 8 entspricht dem Reziprok-

d · w–

wert der Reynolds-Zahl Re.

64 l rDpv = p1 – p2 = 5 · 3 · 3 · w– 2 (Gl. 4.128)

Re d 2

Ersetzt man den Druckabfall Dpv = p1 – p2

durch die Reibungsverlusthöhe hv , erhältman:

Dpv p1 – p2g · hv = 7 = 01r r

64 l w– 2

hv = 5 · 3 · 8 (Gl. 4.129)Re d 2 · g

Bei Betrachtung der Gleichungen 4.128 und4.129 fällt auf, dass der Reibungsverlust derlaminaren Rohrströmung nicht von der Wand-rauigkeit abhängt, was auch durch Versuchebestätigt wird.

Den Ausdruck 64/Re bezeichnet man übli-cherweise als Rohrreibungszahl l.

64l = 5 (Gl. 4.130)

Re

Es wird nochmals darauf hingewiesen,dass diese Beziehung nur für laminareStrömung in kreiszylindrischen Rohren(Re < 2320) gilt!

Da die Reynolds-Zahl Re dimensionslos ist, ist auch die Rohrreibungszahl l dimensions-los.

Laminare Rohrströmung tritt in der Praxisselten auf, nämlich nur beim Transport starkviskoser Flüssigkeiten in engen Rohren beikleinen Geschwindigkeiten, so z.B. bei derStrömung von Schmierölen in Rohrleitungenund Lagern oder bei der Umwälzströmung inWarmwasserheizungen und im Wasserteilvon Dampfkesseln mit Naturumlauf. Auchdie Strömung von Kühlflüssigkeit in denKühlkreisläufen von Verbrennungsmotorenweist bei niedrigen Temperaturen laminareStrömungsabschnitte auf.

Volu

men

stro

m V

Volu

men

stro

m V

Volu

men

stro

m V

Volu

men

stro

m V

r0; l; h = konst. DpV; l; h = konst. DpV; r0; h = konst. DpV; l; r0= konst.

Druckabfall DpV = p1 – p2 Radius r0 Rohrlänge l dyn. Viskosität h

a b c d

Bild 4.84 Verschiedene Abhängigkeiten des Volumenstroms der laminaren Rohrströmung


Beispiel 26

Aufgabenstellung:Durch eine Rohrleitung von 50 mm Durch-messer und 1 km Länge fließen stündlich 10 m3 Heizöl mit einer kinematischenZähigkeit von 40 · 10– 6 m2/s und einerDichte von 900 kg/m3.Wie groß ist der für den Transport erforder-liche Druckunterschied?

Lösung:Zunächst wird die mittlere Geschwindigkeitw– berechnet:

V 10w– = 56 = 5003p 3600 · 19,6 · 10– 4

d2 · 34w– = 1,42 m/s

Damit ergibt sich die Reynolds-Zahl Re:

w– · d 1,42 · 0,05Re = 8 = 566n 40 · 10– 6

Re = 1775

Da Re < 2320 ist, ist die Strömung laminar. DieRohrreibungszahl folgt aus Gleichung 4.130

64 64l = 5 = 8Re 1775

l = 0,036

Damit lässt sich mit Gleichung 4.128 derDruckverlust bestimmen:

l rp1 – p2 = l · 3 · 3 · w– 2

d 2

1000 900p1 – p2 = 0,036 · 8 · 7 · 1,422

0,05 2

p1 – p2 = 654 000 Pa

p1 – p2 = 6,54 bar

Bei der Ableitung von Geschwindigkeits-verteilung und Druckabfall der laminarenRohrströmung genügte die Berücksichtigungder Newton’schen Schubspannungen, bei derturbulenten Rohrströmung muss zusätzlichnoch die Beschaffenheit der Rohrwand, insbe-sondere die Rauigkeit beachtet werden.

4.7.3.2 Geschwindigkeitsverteilung

Die Kurve der Geschwindigkeitsverteilung inAbhängigkeit vom Rohrradius r (Bild 4.85) iststrenggenommen eine Kurve der zeitlichenMittelwerte der Geschwindigkeit, währendeine Messung der momentanen Geschwindig-keitswerte einen zickzackartigen Linienzugum die Mittelwertskurve ergeben würde.

L. PRANDTL (s. Namensverzeichnis) hatdiese Tatsache wie folgt beschrieben:

«Bezogen auf die Mittelwerte wird dieturbulente Rohrströmung trotz ihrerSchwankungen zu einer in den Mittel-werten stationären Strömung.»

4.7.3 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei turbulenter Strömung (Re > 2320)

4.7.3.1 Einleitung

Die meisten in der Praxis auftretenden Rohr-strömungen sind turbulent.

Turbulente Rohrströmungen sind Scher-strömungen, bei denen sich benachbarte Strö-mungsschichten ständig vermischen, wo-durch das Bild einer «unruhigen», wirbelbe-hafteten Strömung entsteht, die scheinbar reinstochastisch, d.h. ohne erkennbare Gesetz-mäßigkeit, abläuft.

Die Rechnung mit stationär gemittelten Ge-schwindigkeitswerten ohne Berücksichtigungder Schwankungen (Turbulenzen) in Längs-und Querrichtung bleibt letztlich unbefriedi-gend, dem in der Praxis stehenden anwen-dungsorientierten Ingenieur bleibt aber keineandere Wahl, solange keine einfachen praxis-orientierten Turbulenzmodelle vorliegen.

.


Auch bei der turbulenten Rohrströmunghaftet die Flüssigkeit infolge ihrer Viskositätan der Rohrwand, d.h., die Geschwindig-keit w wird für r = r0 = d/2 zu 0.

Innerhalb einer dünnen Grenzschicht bautsich die Geschwindigkeit nach der paraboli-schen Geschwindigkeitsverteilung der Lami-narströmung auf.

Die Grenzschichtdicke dl lässt sich nach fol-genden Gleichungen abschätzen:

a) nach L. PRANDTL [4.42]:

62,7dl = 01 · d (Gl. 4.131a)

Re 0,875

b) nach O. KIRSCHMER [4.43]:

32,8dl = 04 · d (Gl. 4.131b)

Re · d4l

wobei l die weiter unten ausführlich behan-delte Rohrreibungszahl ist.

c) nach L. SCHILLER [4.44]:

8dl = 9 · d (Gl. 4.131c)

Re · l

d) nach H. BRAUER [4.45]:

d02200/ldl = 04 · d (Gl. 4.131d)

Re

Leider erhält man nach den 4 angeführtenFormeln in vielen praktischen Anwendungs-fällen sehr unterschiedliche Ergebnisse.

Innerhalb des turbulenten Strömungsbe-reichs ist das Geschwindigkeitsprofil wesent-lich flacher als das der laminaren Rohrströ-mung.

Die Geschwindigkeitsverteilung hängt vonder Reynolds-Zahl Re und von der Wand-rauigkeit k ab.

In Bild 4.86 a ist die Geschwindigkeitsver-teilung im glatten Rohr nach [4.46], in Bild4.86b im rauen Rohr nach [4.47] dargestellt. Jegrößer die Reynolds-Zahl und je glatter die

wmax

w

k

d r

r0rm

laminare Grenzschicht

turbulente Strömung

momentaneGeschwindigkeit

Mittelwerts-Geschwindigkeit

dl

d

r

dr

Bild 4.85 Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Rohrströmung


Rohrwand, desto flacher ist die, die Ge-schwindigkeitsvektoren w einhüllende Kurve.

Mit guter Näherung lässt sich die Hüll-kurve durch die einfache mathematischeFunktion

d 1–n3 – r

w 2 2 · r 1–n8 = �0� = �1 – 7� (Gl. 4.132)wmax d d

32

beschrieben, wobei der Exponent n von derReynolds-Zahl und der Wandrauigkeit ab-hängt.

In [4.48] wird für glatte und raue Rohre folgende Näherungsformel zur Abschätzungvon n angegeben:

1n ≈ 6 (Gl. 4.133)

d4l

wobei l die bereits in Gleichung 4.130 einge-führte und weiter unten noch ausführlich be-handelte Rohrreibungszahl ist.

In Bild 4.87 ist der Exponent 1/n in Funktionder Rohrreibungszahl l dargestellt, in Tabelle4.13 wird n nach [4.49] für einige Reynolds-Zahlen und Rauigkeitswerte angegeben.

Bild 4.86aGeschwindigkeitsvertei-lung im glatten Kreisrohrin Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl nach[4.46]


In [4.50] ist ein universelles Geschwindig-keitsverteilungsgesetz, basierend auf Be-trachtungen von TH. VON KÁRMÁN [4.51] her-geleitet und ausführlich beschrieben.

Der durch das Rohr strömende Volumen-strom V kann einerseits durch Integration desGeschwindigkeitsfeldes w = f (r), andererseitsmittels der mittleren Geschwindigkeit w– be-rechnet werden (Gl. 6.22):

d/2 d/2p

V = Ú w · 2 · p · r · dr = 2p Ú w · r · dr = w– · 3 · d2

0 04

Durch Einsetzen von

2 · r 1–nw = wmax · �1 – 8�d

nach Gleichung 4.132 erhält man folgende Be-ziehung zwischen der mittleren Geschwindig-

keit w– und der maximalen Geschwindigkeitwmax in der Rohrachse:

2 · n2

w– = wmax · 008 = wmax · b(n + 1) · (2n + 1)

(Gl. 4.134)

Der Wert b kann für einige Werte von n ausTabelle 4.13 abgelesen werden.

Für grobe Überschlagsrechnungen und we-niger genaue Messungen kann die mittlereGeschwindigkeit w– zu 80...88% der Maximal-geschwindigkeit wmax angenommen werden.

Man kann nachweisen, dass die mittlereStrömungsgeschwindigkeit w– unabhängigvom Exponenten n immer am gleichen Radiusrm = 0,777 · r0 = 0,389 · d auftritt.

Die kinetische Energie der Strömung imRohrquerschnitt berechnet sich ohne Berück-

Bild 4.86bGeschwindigkeitsvertei-lung im rauen Kreisrohr inAbhängigkeit von der relativen Rauigkeit nach[4.47]


sichtigung des Geschwindigkeitsprofils ausdem Massenstrom m und der mittleren Ge-schwindigkeit w–.

m r r pE*kin = 3 · w– 2 = 3 · V · w– 2 = 3 · 3 · d2 · w– 3

2 2 2 4

Für w– kann man nach Gleichung 4.134 setzen:

r pE*kin = 3 · 3 · d2 · w3

max · b 3

2 4

Da die Geschwindigkeit ungleichmäßig überdem Rohrquerschnitt verteilt ist, erhält mandie «wahre» kinetische Energie durch Integra-tion:

d/2dm

d/2r r

d/2

Ekin = Ú 6 · w2 = Ú 3 · dV · w2 · = 3 · Ú w3 · dA0

20

2 20

mit dA = 2 · p · r · dr

rd/2

Ekin = 3 · 2 · p · Ú w3 · r · dr2

0

Setzt man für die örtliche Geschwindigkeit w = f (r) den Ausdruck von Gleichung 4.132ein, erhält man:

d/22 · r 3/n

Ekin = r · p · w3max · Ú �1 – 8� · dr

0d

p · d2 1Ekin = r · 9 · w3

max · 009

4 3 3�3 + 1� · �3 + 2�n n

Bild 4.87Zusammenhang zwischen Exponent 1/n und Rohrreibungs-zahl l nach [4.48]

Tabelle 4.13 Kennwerte der turbulenten Strömung im Kreisrohr

hydraulisch glatt hydraulisch rau

Re k/d

4 · 103 104 105 106 3 · 10– 2 1,2 · 10– 2 4 · 10– 3

Exponent n 6 6,5 7 8,6 4 5 6

Geschwindigkeits- 0,7912 0,8048 0,8167 0,8466 0,7111 0,7576 0,7912beiwert b

Energiestrom- 1,077 1,066 1,058 1,04 1,156 1,106 1,077beiwert a

Impulsstrom- 1,027 1,023 1,020 1,014 1,055 1,037 1,027beiwert g


Bildet man das Verhältnis aus Ekin und E*kin ,ergibt sich folgender Korrekturwert a, der auchals Energiestrombeiwert bezeichnet wird:

Ekina = 7

E*kin

p · d 2

r · 9 · w3max4

a = 00000073 3 r p · d2

�3 + 1� · �3 + 2� · 3 · 9 · w3max · b3

n n 2 4

2a = 00073 3�3 + 1� · �3 + 2� · b3

n n

[(n + 1) · (2n + 1)]3

a = 00002 (Gl. 4.135)3 3

4 · �3 +1� · �3 + 2� · n6

n n

In Tabelle 4.13 sind einige Werte von a aufge-führt.

Definiert man den Impulsstrom I· als Pro-dukt aus Massenstrom m und Geschwindig-keit w, kann ebenfalls wie beim EnergiestromEkin ein einfacher Mittelwert formuliert wer-den:

p · d2 p · d2

I* = m · w– = r · 8 · w– 2 = r · 9 · w2max · b 2

4 4

p · d2 4 · n4

I* = r · 8 · w2max · 0004 (n + 1)2 · (2n + 1)2

Weitere Einzelheiten finden sich in [6.54].

Der gemäß Geschwindigkeitsprofil integrierteexakte Wert lautet:

d/2

I = r · Ú w2 · dA = r · Ú 2 · p · r · w2 · drA 0

d/2

= 2 · r · p · Ú w2 · r · dr0

Durch Verwendung von Gleichung 4.132 er-hält man letztlich:

p · d2d/2

2 · r 2/n

I = 2 · r · 9 · w2max · Ú �1 – 7� · r · dr

40

d

p · d2 1I = 2 · r · 9 · w2

max · 0004 2 2�3 + 2� · �3 + 1�n n

Definiert man den Impulsstrombeiwert g alsQuotienten aus I und I*, lässt sich folgenderZusammenhang zwischen g und dem Expo-nenten n herleiten:

p · d2

2 · r · 8 · w2max · (n + 1)2 · (2n +1)2

I 4g = 3 = 0000008I* 2 2 p · d2

�3 + 2� · �3 +1� · r · 8 · w2max · 4 · n4

n n 4

(n + 1)2 · (2n + 1)2

g = 00002 (Gl. 4.136)2 2

2 · n4 · �3 + 2� · �3 + 1�n n

Tabelle 4.13 enthält einige Zahlenwerte für g.

Beispiel 27

Aufgabenstellung: An 5 Messpunkten I...V werden folgendeStrömungsgeschwindigkeiten gemessen:

In der Rohrachse: wV = 28 m/sam Durchmesser 400 mm:

wI wII wIII wIV

22,9�

22,7�

23,1�

22,8�

m/s

Der durch das Rohr strömende Volumen-strom V ist abzuschätzen!

In einer Rohrleitung von 500 mm Innen-durchmesser strömt kalte Luft von 20°Cund 1000 mbar.

Ø 5

00

400

III

IIIIV

V

WI oder WII

WIII oder WIV

WV


Lösung:

a) Die mittlere Geschwindigkeit am Durch-messer dM = 400 mm beträgt:

wI + wII + wIII + wIVw– I...IV = 00044

22,9 + 22,7 + 23,1 + 22,8w– I...IV = 000024w– I...IV = 22,88 m/s

b) Da auch die Strömungsgeschwindigkeitin der Rohrachse zu wV = 28 m/s gemes-sen wurde, kann aus Gleichung 4.132 derExponent n des Geschwindigkeitsprofilsbestimmt werden.

wI ... IV 2 · r 1/n

9 = �1 – 7�wV d

22,8 400 1/n

7 = �1 – 7�28 500

0,81714 = (1 – 0,8)1/n

0,81714n = 0,2

log 0,2n = 702log 0,81714

n = 7,97

c) Damit kann mit Hilfe von Gleichung4.134 die mittlere Geschwindigkeit w– imRohrquerschnitt berechnet werden:

2 · n2

w– = wmax · 008(n + 1) · (2n + 1)

2 · 7,972

w– = 28 · 00802(7,97 + 1) · (2 · 7,97 + 1)

w– = 23,41 m/s

d) Über die zu w– gehörende Reynolds-Zahlkann die Richtigkeit des Exponenten nüberprüft werden:

w– · dRe = 9nDie kinematische Viskosität n von 20°Ckalter Luft beträgt nach Tafel 16:

n = 15,13 · 10– 6 m2/s (bei p = 1000 mbar)

23,41 · 0,5Re = 0015,13 · 10– 6

Re = 777 629

Nach Tabelle 4.13 liegt der Exponent n imrichtigen Bereich.

e) Der gesuchte Volumenstrom V berechnetsich aus der mittleren Geschwindigkeit w–

und dem Rohrquerschnitt:

p · d2 0,52 · pV = w– · 9 = 23,41 · 934 4

V = 4,6 m3/s

4.7.3.3 Druckabfall

Der Druckabfall in turbulent durchströmtenKreisrohren (Re > 2320) ist erfahrungsgemäßproportional zur Rohrlänge l und zum Stau-druck der mittleren Strömungsgeschwindig-keit w– sowie umgekehrt proportional zumRohrinnendurchmesser d.

Der Druckabfall verläuft linear (Bild 4.88)

l rDpv = l · 3 · 3 · w– 2 (Gl. 4.137a)

d 2

l w– 2

hv = l · 3 · 8 (Gl. 4.137b)d 2 · g

Der Proportionalitätsbeiwert l ist die bereitsin Abschnitt 4.7.2, Gleichung 4.130 einge-führte dimensionslose Rohrreibungszahl. ImAllgemeinen ist die Rohrreibungszahl l eineFunktion der Reynolds-Zahl Re und der relati-ven Rauigkeit d/k.

l = f (Re und d/k)


Im Gegensatz zur laminaren Rohrströmunglässt sich die Rohrreibungszahl der turbulen-ten Rohrströmung nicht theoretisch herleiten,sondern muss in Modellversuchen oder durchMessungen an Originalrohren ausreichenderLänge experimentell ermittelt werden, wobeieine besondere Schwierigkeit darin besteht,die Wandrauigkeit präzise zu definieren.

Je nach Kombination Reynolds-Zahl Re –relative Wandrauigkeit d/k ergeben sich, wieschon BLASIUS [4.52] und NIKURADSE [4.46;4.47] festgestellt haben 3 verschiedene Berei-che für die Rohrreibungszahl l:

a) Hydraulisch glatte RohreDie Rohrreibungszahl l hängt allein von derReynolds-Zahl Re ab, nicht dagegen von derWandbeschaffenheit, da die laminare Wand-grenzschicht die Wandrauigkeiten vollständigeinhüllt, d.h. quasi auffüllt (Bild 4.89a).

Hydraulisch glatte Rohrströmung liegt vor,wenn die Grenzschichtdicke dl viel größer istals die Wandrauigkeit k oder in Zahlen ausge-drückt, wenn gilt:

kRe · 3 < 65

d

Andere Autoren geben an, dass die Werte-kombination

kRe · d3l · 3 > 14

d

sein muss, wenn hydraulisch glatte Rohrströ-mung herrschen soll, wobei dieser Grenzwertnur bis zu Reynolds-Zahlen von

d dRe ≤ 28 · 3 · lg �5,6 3�k k

gilt [4.56].

b) Rohre im ÜbergangsgebietEinige Rauigkeitserhebungen dringen durchdie laminare Wandgrenzschicht (Bild 4.89b)und beeinflussen das Widerstandsverhaltender Strömung, so dass die Rohrreibungszahl lsowohl von der Reynolds-Zahl Re als auchvon der relativen Rauigkeit d/k abhängt:

l = f (Re und d/k)

In [4.53] wird als einfacher Grenzwert für denStrömungszustand im Übergangsgebiet

d l > k/4

angegeben, wobei nach [4.56] das Übergangs-gebiet zwischen den Grenzwerten


hydraulisch glatt

k

a

dl


Übergangsgebiet

kdl

b)


hydraulisch rau

kdl

c)

Bild 4.89 Definitionen der Strömungszustände ander Rohrwand

Bild 4.88 Druckabfall im Kreisrohr

a)


k14 ≤ Re · d3l · 3 ≤ 200

dliegt.

Weiterhin findet man in der Fachliteraturdie Bereichsangabe

k65 < Re · 3 < 1300

d

In Bild 4.90 sowie in Tafel 30 ist das Über-gangsgebiet in anschaulicher Form darge-stellt.

c) Hydraulisch raue RohreRagen die Unebenheiten k der Wand deutlichaus der laminaren Grenzschicht mit der Dickedl heraus (Bild 4.89c), verhält sich das Rohrhydraulisch rau, die Rohrreibungszahl lhängt nur noch von der relativen Rauigkeitd/k ab.

In [4.43] wird als Grenzwert für raues Ver-halten k > 6 · dl , in [4.53] k > 4 · dl angegeben.

kAndere Autoren geben Re 3 > 1300 an.

dIn [4.43] findet sich ein Diagramm, in dem

die 3 Strömungsbereiche glatt – Übergang –rau nach NIKURADSE [4.47] und COLEBROOK

[4.54] dargestellt sind (Bild 4.90).Der Zahlenwert der Rauigkeit k (z.B. nach

Tafel 31) ist nicht allein durch die Größe derRauigkeiten bestimmt, sondern auch durchderen Form und Verteilung.

NIKURADSE [4.47] benutzte bei seinen zahl-reichen Versuchen Sand gleichförmiger Kör-nung, die durch die Maschenweite von Siebendefiniert war. Man spricht deshalb von Sand-rauigkeit oder künstlicher Rauigkeit.

COLEBROOK [4.54] und MOODY [4.55] unter-suchten dagegen Rohre mit technischer, d.h.«statistisch gleichförmiger» Rauigkeit, wie siein der Praxis vorkommen.

In Bild 4.91 kann man die unterschiedli-chen Reaktionen der Grenzschicht auf die bei-den Rauigkeitsarten erkennen, wobei dieseDarstellung stark vereinfacht ist.

Die Grenzschicht 1 überdeckt bei beidenRauigkeitsarten die Rauigkeitserhebungen k,d.h., die Rohre werden hydraulisch glattdurchströmt.

Wird mit zunehmender Reynolds-Zahl Redie Grenzschicht dünner (Gleichung 4.131), soüberdeckt die Grenzschicht 2 zwar noch alleSandkörner, von der technischen Rauigkeit ragen aber schon einzelne Spitzen aus derGrenzschicht heraus (siehe auch Bild 4.89b),die Rohrströmung liegt im Übergangsgebiet.

Geht die Grenzschichtdicke dl noch weiterzurück – Grenzschicht 3 –, so tauchen plötz-lich alle Sandkörner aus der Grenzschicht auf,der Übergang von «glatt» auf «rau» erfolgtschlagartig.

kd

kd l

0,03 0,060,10,15 0,3 0,60,91,21,82,43,0 6,0

2

1

0

01 2 5 10 2 5 102 2 5 103 2 5 104

1,14

13

+2

· lg

k d

4

2

Bild 4.90 Die verschiedenen Rauigkeitsbereiche inZusammenhang mit der Reynolds-Zahl nach [4.43]

Grenzschicht123{ Grenzschicht

123{kS k

Sandrauigkeit(NIKURADSE)

natürliche Rauigkeit(COLEBROOK)

Bild 4.91 Vergleich zwischen a) Sandrauigkeit und b) natürlicher Rauigkeit

1 hydraulisch glatt2 künstliche Rauigkeit nach NIKURADSE

3 technische Rauigkeit nach COLEBROOK

4 vollkommen rauÜbergangsbereich glatt-rau

-1

a) b)

164 Inkompressible StrömungenTa

belle

4.14

Roh

rrei

bung

szah

l lbe

i tur

bule

nter

Roh

rstr

ömun

g

w–·d

Re

=7

> 2

320

n

Form

eln

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l:a)

Form

el v

on B

LA

SIU

Sfü

r d

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erei

ch 2

320

< R

e<

105

l=

0,3

164

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0,25

(Gl.

4.13

8a)

b)Fo

rmel

von

NIK

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ch10

5<

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< 5

· 10

6

l=

0,0

032

+ 0

,221

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237

(Gl.

4.13

8b)

Form

eln

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Form

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(Gl.

4.13

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d3l

k

b) F

orm

el v

on M

OO

DY

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3

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0,0

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(Gl.

4.13

9b)

d

Form

el fü

r l:

a) F

orm

el v

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RA

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1

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– 2

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0,26

9 �(G

l. 4.

140a

)d3

lR

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b) F

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el v

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lg 0

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(Gl.

4.14

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kR

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710

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afel

30

log

Rey

nold

s-Z

ahl R

e

log Rohrreibungszahl l

Re k

rit

lam

inar

turb

ulen

t

log

Rey

nold

s-Z

ahl R

e

log Rohrreibungszahl lR

e krit

d/k

= k

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nzku

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ahl R

e

log Rohrreibungszahl l

Re k

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Gre

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hydr

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(k =

0)

Bild

4.92

Bild

4.93

Bild

4.94


Hyd

rau

lisc

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4 +

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l. 4.

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Hyd

rau

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Form

el v

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4.13

9c)

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INI

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08

3(G

l. 4.

140c

)d

2

�2 · lg

�3,71

· 3��

k

Deshalb unterscheiden sich auch die bei-den Kurvenzüge 2 (nach NIKURADSE) und 3(nach COLEBROOK) in Bild 4.90 so deutlich imÜbergangsgebiet (blauer Bereich), während

ksie ab dem Grenzwert Re · d3l · 3 ≈ 200 gleich

dverlaufen, d.h. zusammenfallen.

Die Rohrreibungszahl l kann entweder alsFunktion von Reynolds-Zahl Re und relativerRauigkeit d/k aus Tafel 30 entnommen odermit Hilfe der in Tabelle 4.14 angegebenen em-pirischen Formeln berechnet werden.

Neben der Berechnung des Druckabfallsnach Gleichung 4.137 sind in der Praxis nochfolgende Verfahren geläufig:

a) Rechenprogramme für PC und Taschen-rechner,

b) Diagramme, Nomogramme und Tabellen,die sich insbesondere in Hand- und Ta-schenbüchern finden,

c) Spezielle Rechenschieber oder Rechen-scheiben, die allerdings immer wenigereingesetzt werden.

Ersetzt man in Gleichung 4.137 die mittlereStrömungsgeschwindigkeit w– durch den Quo-tienten aus Volumenstrom V und Rohrquer-

pschnitt 3 · d2, kann der Druckabfall Dpv als

4Funktion von Rohrdurchmesser d und Volu-menstrom V dargestellt werden:

l r V 2

Dpv = l · 3 · 3 · 0d 2 � p�d2 · 34

8 1Dpv = l · 4 · r · l · 4 · V 2 (Gl. 4.141)

p2 d 5

Bei der turbulenten Rohrströmung (Re >2320) ist der Druckabfall Dpv proportionalzur Rohrlänge l, umgekehrt proportionalzur 5. Potenz des Rohrdurchmessers dund proportional zum Quadrat des Vo-lumenstroms V .

Tabe

lle4.

14(F

orts

etzu

ng)


tiven Rauigkeit d/k mit in Gleichung 4.141einbeziehen, beispielsweise unter Nutzungder in Tabelle 4.14 angegebenen Gleichungen, ergäben sich je nach Strömungszustand glatt –Übergang – rau beim Rohrdurchmesser d undbeim Volumenstrom V etwas geänderte Expo-nenten.

Die Investitionskosten für Rohrleitungenwachsen mit einem von Kapitaldienst, Lohn-und Materialkosten usw. abhängenden Expo-nenten für den Rohrdurchmesser d, währenddie Energiekosten für den Stofftransport inder Rohrleitung gemäß Gleichung 4.141 etwamit der 5. Potenz des Rohrdurchmessers d ab-nehmen.

Vergleicht man beide Kostenarten, erhältman den wirtschaftlichen Rohrdurchmesserdwirt einer Rohrleitung (Bild 4.96).

In Tafel 32 sind die aufgrund solcher Kos-tenoptimierungen abgeschätzten wirtschaft-lichen Geschwindigkeiten w– für verschie-dene Fluide abhängig vom Rohrdurchmesserd dargestellt.

In Beispiel 28 wird der Druckverlust in ei-ner Rohrleitung mit 500 mm Innendurchmes-ser berechnet:

Kos

ten

Rohrdurchmesser d

dwirt

Gesamtkoste

n

Energiekosten

Minimumder Gesamkosten

Investi

tionsk

osten plus

Kapita

ldienst

Bild 4.96 Zur Erklärung des wirtschaftlichenRohrdurchmessers

In Bild 4.95 sind diese Zusammenhänge gra-fisch dargestellt, wobei zu beachten ist, dassjeweils nur 1 Parameter variabel ist. Würdeman die Abhängigkeit der Rohrreibungszahl lvon der Reynolds-Zahl Re und von der rela-

Bild 4.95 Abhängigkeit des Druckabfalls der turbulenten Rohrströmung von verschiedenen Parametern;a) Rohrlänge, b) Rohrdurchmesser, c) Volumenstrom

a) b) c)


Beispiel 28

Aufgabenstellung:

Durch eine horizontale Stahlrohrleitung von2 km Länge und 500 mm ∆ strömen in derStunde 1200 m3 Wasser von 15°C.

Wie groß ist der entstehende Druckver-lust, wenn der Rauigkeitswert k mit 0,1 mmangenommen wird?

Lösung:

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit er-gibt sich aus der Kontinuitätsgleichung:

V 1200w– = 3 = 001 = 1,7 m/s

A 3600 · 0,196

Damit lässt sich die Reynolds-Zahl Re be-rechnen:

w– · d 1,7 · 0,5Re = 9 = 08n 1,13 · 10– 6

Re = 7,5 · 105

Die Strömung ist turbulent.Zum Überprüfen des Strömungszu-

stands im Rohr wird der Ausdruck Re · k/dbestimmt:

k 0,1 · 10– 3

Re · 3 = 7,5 · 105 · 06d 0,5

kRe · 3 = 150

d

Nach Tabelle 4.14 liegt die Rohrströmungim Übergangsgebiet, da Re · k/d > 65 und <1300 ist.

Aus Tafel 30 im Anhang wird für dasWertepaar Re = 7,5 · 105 und d/k = 5000 eineRohrreibungszahl l von

l = 0,015

entnommen.Eine Überprüfung dieses Wertes mit

Gleichung 4.140 a bestätigt seine Richtigkeit

1 2,51 k5 = – 2 · lg �03 + 3 · 0,269�d3l Re · d3l d

1 2,5102 = – 2 · lg �0801

d00,015 7,5 · 105 · d00,0150,1

+ 7 · 0,269�500

8,16497 = 8,18169

Mit Gleichung 4.137a kann nun der Druck-abfall Dpv berechnet werden:

l rDpv = l · 3 · 3 w– 2

d 2

2000 1000Dpv = 0,015 · 8 · 8 · 1,72

0,5 2

Dpv = 86 700 Pa

Dpv = 0,87 bar

4.7.4 Druckabfall in Rohrleitungen mit kreisförmigem Querschnitt bei Strömung nicht Newton’scherFlüssigkeiten

4.7.4.1 Einleitung

Für nicht Newton’sche Flüssigkeiten, derenFließeigenschaften in Abschnitt 1.4.3 beschrie-ben sind, kann weder die Geschwindigkeits-verteilung noch der Druckabfall mit ähnlicherGenauigkeit und einfachen Ansätzen be-stimmt werden wie bei Newton’schen Flüssig-keiten.

Wegen der Vielfalt des rheologischen Ver-haltens der verschiedenen Typen nicht New-ton’scher Fluide (Tabelle 1.5) ist die Angabeallgemeingültiger Fließgesetze und Beziehun-gen für Geschwindigkeitsverteilung undDruckabfall nicht möglich, weshalb sich diefolgenden kurzen Ausführungen auf die Wie-dergabe einfacher empirischer Formeln zurAbschätzung des Druckabfalls von laminaren hydrodynamisch voll ausgebildeten Rohrströ-mungen beschränken, deren Fließverhaltendurch den Potenzansatz von OSTWALD und DE

WAELE beschrieben wird.


4.7.4.2 Fließgesetze

In Anlehnung an [4.57] wird das skalare Fließ-gesetz durch den genannten Potenzansatz wiefolgt angenähert beschrieben:

D = f · tm (Gl. 4.142)

D Geschwindigkeitsgefälle in s– 1 nachDIN 1342 (siehe Abschnitt 1.4.2)

f Fluidität in Pa– m s– 1, eine die Fließ-eigenschaft des Fluids beschreibendeStoffeigenschaft

t Schubspannungm Fließexponent

Bei Newton’schen Fluiden wird der Fließex-ponent m = 1, die Fluidität f ist dann identischmit dem Reziprokwert der dynamischen Vis-kosität h .

Die dynamische Viskosität nicht Newton’-scher Fluide ist bekanntlich vom Geschwin-digkeitsgefälle abhängig.

Zwischen dynamischer Viskosität h, Scher-gefälle (Geschwindigkeitsgefälle) D und Flui-dität f besteht folgender Zusammenhang:

t – 1–m 1–m – 1h = 3 = f · D (Gl. 4.143)

D

In Bild 4.97 wird die annähernde Beschrei-bung des Fließverhaltens nicht Newton’scherFluide durch die Gleichung von OSTWALD undDE WAELE grafisch dargestellt.

Man erkennt aus dem in doppeltlogarith-mischem Maßstab gezeichneten Kurven und Geraden, dass die Gleichungen 4.142 und4.143 das wahre Fließverhalten nur in einembegrenzten Bereich genau wiedergeben, wo-raus sich ableiten lässt, dass auch die auf diesen Beziehungen aufbauenden Druckver-lustberechnungen nur angenäherte Werte er-geben.

Während die Fluidität f von der Tempera-tur des Fluids abhängt, ist der Fließexponentm temperaturunabhängig.

In Tabelle 4.15 sind einige Werte von f undm für Thermoplastschmelzen (Polymere) zu-sammengestellt [4.57]:

In der Fachliteratur (z.B. in [4.58]), insbe-sondere der angelsächsischen, wird die Nähe-rungsgleichung von OSTWALD und DE WAELE

mathematisch anders formuliert:

t = K · Dn (Gl. 4.144)

th = 3 = K · Dn–1 (Gl. 4.145)

D

wobei zwischen dem Konsistenzfaktor K undder Fluidität f folgender Zusammenhang be-steht:

K = f1–m

und die Fließexponenten n und m wie folgtkorrespondieren:

1n = 3m

m>1

Steigung:

1m –1

log t log D

log

D

log

h

wah

res

Flie

ßver

halte

n

wahrerViskositätsverlauf

Viskositätsfunktionnach Gl. (4.143)

Fließ-verhaltennachGl. (4.142)

Bild 4.97Fließverhalten nicht Newton’-scher Flüssigkeiten (nach [4.57])


4.7.4.3 Repräsentative Viskosität

Zur Berechnung der dimensionslosen Kenn-zahlen und des Druckverlustes von Flüssig-keiten mit gekrümmten Fließkurven wird dieViskosität durch die sog. repräsentative Vis-kosität hr ersetzt, die so definiert ist, dass dieWiderstandscharakteristik des nicht Newton’-schen Fluids identisch ist mit der Charakteris-tik eines Newton’schen Fluids bei laminarerStrömung. Da die repräsentative Viskositätvom Schergefälle D abhängt, ist sie keineStoffkonstante mehr.

Die repräsentative Viskosität hr wird an derStelle

w–Dr = eR · 3 (Gl. 4.146)

d

4 16m – 1eR = 8 · �01� ≈ 6,64 im Mittel

m + 3

w– = mittlere Strömungsgeschwindigkeit

V= 0

d2 ·p34

d = Rohrinnendurchmesser

abgelesen oder nach folgender Gleichung be-rechnet:

– 1–m 1–m – 1hr = f · Dr (Gl. 4.147)

4.7.4.4 Druckverlust

Für hydrodynamisch voll ausgebildete lami-nare Rohrströmungen mit

r · w– · dRe = 03 < Rekrithr

mit Rekrit = f (m) nach Bild 4.98 bzw. im MittelRekrit ≈ 2300 kann für den hinter der Einlauf-strecke lA (siehe Abschnitt 4.7.8) liegendenRohrabschnitt der Druckabfall Dpv mit Hilfeder Hagen-Poiseuille’schen Gleichung (Glei-chung 4.127) berechnet werden:

Dpv 32 · hr · w– 4 2 · (m + 3) w– 1/m

6 = 07 = 3 · �07 · 3�l d2 d f d

(Gl. 4.148)

Weitere interessante Informationen zur Rohr-strömung nicht Newton’scher Flüssigkeitenfinden sich in [4.59 bis 4.64].

Tabelle 4.15 Fließexponent m und Fluidität f einiger handelsüblicher Thermoplastschmelzen

Polymertyp Handelsname Temperatur Fließexponent Fluidität f°C m Pa– m · s– 1

PC Makrolon 2800 320 1,06 1,84 · 10– 3

PA 12 Vestamid L2101 200 1,89 6,55 · 10– 9

PETP Rynite 935 NC 10 310 2,19 9,41 · 10– 9

HDPE Hostalen GM 5010 T2 200 2,26 1,79 · 10– 10

PMMA Plexiglas 7 H 220 2,36 2,32 · 10– 11

LDPE Lupolen 1840 D 190 2,76 2,00 · 10– 12

PP Vestolen P 5200 200 3,60 6,09 · 10– 16

PS Polystyrol 168 N 230 4,22 7,64 · 10– 19

m

Re

krit

2800

2400

2000

16001 2 3 4 5 6

Bild 4.98 Abhängigkeit der kritischen Reynolds-Zahl vom Fließexponenten


4.7.5 Druckabfall in gewellten Rohren

Die Verwendung flexibler Rohrleitungen inForm von gewellten oder gewickelten Metall-oder Kunststoffschläuchen hat in letzter Zeitsehr stark zugenommen.

Der Druckabfall Dpv in geraden Well- oderWickelrohren kann nach der bekannten Bezie-hung

l rDpv = l · 3 · 3 · w– 2 (Gl. 4.137a)

d 2

berechnet werden, wobei die Rohrreibungs-zahl l ähnlich wie beim ungewellten Rohr vonder Reynolds-Zahl Re und von der Wandgeo-metrie abhängt (Bild 4.99). Auch die Ausbil-dung und die Intensität der vielen kleinenWirbel in den Ausbuchtungen der Wellrohrehaben einen Einfluss auf Größe und Verlaufder Rohrreibungszahl l.

In [4.65] ist sowohl die Systematik der Geo-metrie als auch die Strömungsfelder der ge-wellten Rohre ausführlich beschrieben. Wei-terhin begründet der Autor in [4.65 und 4.66],dass es physikalisch sinnvoll ist sowohl inGleichung 4.137a als auch zur Bestimmungder Reynolds-Zahl den Innendurchmesser ddes Wellrohres zu verwenden.

l-Werte bzw. Re-Zahlen aus anderen Quel-len, die sich auf den mittleren Durchmesser dm

beziehen, können nach [4.65] wie folgt auf denInnendurchmesser d umgerechnet werden(Bild 4.100):

d 5

ld = lm · �5� (Gl. 4.149)dm

dmRed = Rem · 5 (Gl. 4.150)d

Bild 4.99 Rohrreibungszahl eines Wellrohres nach Fa. Witzenmann GmbH, Pforzheim


Die l-Werte von Wellrohren werden entwederaus Diagrammen der Hersteller (Bild 4.99),aus Handbüchern [4.67] oder Regelwerken[4.68] (Bild 4.101) entnommen oder anhandempirischer Formeln, die auf Versuchsergeb-nissen beruhen, abgeschätzt.

In [4.65] ist für den Bereich 0,2 < h/a < 1,2und 0,0455 < h/d < 1,0 sowie für Reynolds-

Zahlen in der Größenordnung Re ≈ 5 · 104 fol-gende Formel aus zahlreichen Versuchsergeb-nissen extrapoliert worden:

001 10 h 6 a 7

l ≈ 3 · f �3� · �3� (Gl. 4.151)5 d h

In Bild 42 von [4.65] sind weitere empirischeFormeln aus anderen Untersuchungen zusam-mengestellt. Interessante Informationen fin-den sich auch in [4.72].

Für turbulente Strömungen wird in [4.67]folgende auf Versuchen beruhende empirischeGleichung zur Abschätzung der Rohrrei-bungszahl l empfohlen:

0,25l ≈ 0002 (Gl. 4.152)

91d · a 2

�lg �fp · f7��h · b

Bild 4.101 Rohrreibungszahl l für flexible Luftleitungen nach [4.68]

h · b

b

a

d · a

h

d

dm

Bild 4.100 Abmessungen eines Wellrohres


Mit dem empirischen Faktor fp wird die Profil-form erfasst, er muss für jeden Schlauchtypexperimentell ermittelt werden.

In [4.68] wird ein Diagramm angegeben, indem die Rohrreibungszahl l als Funktion derReynolds-Zahl Re und des Quotienten d/hdargestellt wird, wobei die Innendurchmesserd im Bereich 80…500 mm jeweils noch als zu-sätzliche Parameter mitberücksichtigt werden(Bild 4.101). Dieses Diagramm stellt eine Er-weiterung des in Tafel 30 dargestellten allge-meinen Diagramms von COLEBROOK dar, dasim Bereich Re > 40000 und l = 0,03…0,04 spe-zielle Kurven für l von flexiblen Rohrleitun-gen enthält.

Für gewellte Schläuche aus Gummi, Textil-gewebe, Metall und Kunststoff sind in [4.69]zahlreiche Tabellen und Kurven für die Rohr-reibungszahl l in Abhängigkeit von Rey-nolds-Zahl Re und Wandgeometrie angege-ben.

4.7.6 Rohre mit nicht kreisförmigenQuerschnitten

4.7.6.1 Hydraulischer Durchmesser

Der Druckverlust in geraden Rohren mit nicht kreisförmigem Querschnitt kann nachGleichung 4.137a berechnet werden, wennman den Durchmesser d durch den hydrauli-schen Durchmesser dh ersetzt.

l rDpv = l · 4 · 3 · w– 2 (Gl. 4.153)

dh 2

Der hydraulische Durchmesser dh lässt sichdurch Vergleich der Wandreibung in einemRohr mit beliebigem Querschnitt A und einem«gedachten Ersatzrohr» mit dem Durchmes-ser dh herleiten (Bild 4.102):

Rohr mit beliebigem Querschnitt A:

Reibkraft t · U · l = Druckkraft A · (p1 – p2)

Rohr mit Kreisquerschnitt (Ersatzrohr):Reibkraft t · d h · p · l dh

2 · p= Druckkraft 0 (p1 – p2)4

Die Druckdifferenz p1 – p2 ist bei beiden Roh-ren gleich groß!

t · U · l 4 · t · lp1 – p2 = 02 = p1 – p2 = 02A d h

4 · Adh = 8 (Gl. 4.154)

U

Gleichung 4.154 kann näherungsweise auchauf nur teilweise ausgefüllte Querschnitte an-gewandt werden, wobei A und U auf denFlüssigkeitsquerschnitt und nicht auf denRohrquerschnitt bezogen sind (Bild 4.103).

In [4.53] finden sich weitere Informationenüber Strömungen in teilgefüllten Rohren.

p1

Originalrohr

Druckabfall

Ersatzrohr

p1 p2

benetzter Umfang U

QuerschnittA

w p2t t t

t t t

t t t

t t tdh

Bild 4.102 Zur Erklärung des hydraulischenDurchmessers

dh =

A

U

Luft

Flüssigkeit

w =

4 ·AU

VA

·

Bild 4.103 Teilgefüllte Rohrleitung


Formeln zur Berechnung des hydrauli-schen Durchmessers, der von einigen Autorenauch als gleichwertiger Durchmesser bezeich-net wird, sind für die wichtigsten Quer-schnitte in Tabelle 4.16 zusammengestellt.

4.7.6.2 Bestimmung der Rohrreibungszahl

a) Laminare RohrströmungenFür laminare Rohrströmungen Re < ReGrenz

hängt die Rohrreibungszahl l wie bei der la-minaren Strömung im Rohr mit Kreisquer-schnitt nur von der Reynolds-Zahl Re undnicht von der Wandrauigkeit k ab.

konst 64l = 0 = j · 5 (Gl. 4.155)

Re Re

Die Konstante konst bzw. der Beiwert j hän-gen nur von der Querschnittsform ab undkönnen aus Tabelle 4.16 entnommen werden.Die Grenz-Reynolds-Zahl ReGrenz für den Umschlag von laminarer in turbulente Strömung hängt ebenfalls von der Quer-schnittsform ab und liegt etwa im Bereich ReGrenz = 2300…4000.

Seitenverhältnis h/b

Bei

wer

tf

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

1,4

1,3

1,2

1,1

1,0

0,9

0,8

0,890

h

b

Bild 4.104 Beiwert j von Rechteckquerschnittennach [4.61]

Bild 4.105 Beiwert j von elliptischen Querschnitten nach [4.61]


Tabelle 4.16 Hydraulischer Durchmesser dh und Rohrreibungszahl l für laminare Strömungen in nichtkreisförmigen Querschnitten

Form dh l

h

b

Rechteck

GleichschenkligesDreieck

Ellipse

b

a

a

b b

64a) l = j · 4Re

j nach Bild 4.104

oder j = 0,878 + 0,0566 · e + 0,758 · e2 – 0,193 · e3

b – hmit e = 8 nach [4.61]

b + h

b) nach LEA und TACHOS [4.71]:

h 3

56,9 + 39,1 · �1 – 21�bl = 0002Re

c) Sonderfall: Quadrat b = hnach BOUSSINESQ [4.71]:

56,9l = 7

Re

nach SMITH [4.61; 4.71]

53,4l = 7Re

64a) l = j · 4Re

j nach Bild 4.105

a – bb) j ≈ 1,12 – 0,12 · cos �2,9 · 71� [4.61]

a + b

2 · b · h01b + h

d004 · a2 · b2 – a4

002a + 2b

4 · A *7U

2 · d012 · a · b≈ 701 [4.70]

d01a2 + b2

2 · a · b≈ 0 (Autor)

a + b

* p · a · bA = 014U = f · a

b–a 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

f 2,032 2,101 2,193 2,3013 2,4221 2,5527 2,6912 2,8362 2,9862



Form dh l

Kreisring

konzentrisch

exzentrisch

r iq = 3ra2 · (ra – ri )

64a) l = j · 4Re

j nach Bild 4.106

64 (1 – q)2

b) l = 4 · �001�Re 1 – q2

1 + q2 + 8ln q

nach [4.61] und [4.70]

64a) l = j · 4Re

j nach Bild 4.106

64 (1 – q)2 1b) l = 4 · �001� · 005Re 1 – q2 3 e 2

1 + q2 + 8 1 + 21 · �9�ln q 2 ra – ri

nach [4.61]

Bild 4.106Beiwert j von Kreisringquer-schnitten nach [4.103]


b) Turbulente RohrströmungenBei turbulenten Rohrströmungen mit Rey-nolds-Zahlen über der Grenz-Reynolds-Zahlhängt die Rohrreibungszahl l von der mitdem hydraulischen Durchmesser dh und dermittleren Strömungsgeschwindigkeit w– = V/Agebildeten Reynolds-Zahl Re und von der re-lativen Wandrauigkeit dh/k ab. Die Quer-schnittsform hat nur einen geringen Einfluss,wie schon SCHILLER in [4.44] beschrieben hat.

In Bild 4.107 aus [4.44] sind die l-Werte von glatten Rohren verschiedener Quer-schnitte bis zu Reynolds-Zahlen von über 105

dargestellt.

Bild 4.108 aus [4.61] zeigt den geringenStreubereich für l abhängig vom Radienver-hältnis ri/ra von Ringkanälen im Reynolds-Zahl-Bereich bis 106.

Für praktische Berechnungen wird deshalbempfohlen l mit Hilfe von Tafel 30 zu bestim-men:

dh dh · w– dhl = f �Re; 4� = f �9 ; 4� (Gl. 4.156)k n k

mit dh nach Gleichung 4.154V

und w– = 3 aus der Kontinuitätsgleichung.A

Roh

rrei

bun

gsza

hl 1

00l

20

16

1210

8

65

4

3

2

1,6

1,24 5 7 103 2 3 4 5 7 104 2 3 4 5 7 105 2 3 4

laminar

laminar

turbulent turbulent

Reynolds-Zahl Re

Bild 4.107 Rohrreibungszahl l für glatte, gerade Rohre verschiedener Querschnitte nach [4.44]

Beispiel 29

Aufgabenstellung:

Durch ein elliptisches Abwasserrohr aus Be-ton (k = 0,5 mm) mit den in Bild 4.109 einge-tragenen Abmessungen fließen stündlich1000 m3 Wasser von 15°C.

Wie groß ist der je 1 km Rohrlänge ent-stehende Druckabfall Dpv?

Lösung:

Die Fläche der Ellipse berechnet sich zu a b

A = p · 3 · 32 2A = p · 0,25 · 0,5 = 0,392 m2

Der benetzte Umfang beträgt:U = f · a; f = 2,4221 nach Tabelle 4.16U = 2,4221 · 1 = 2,4221 m


Reynolds-Zahl Re

Roh

rrei

bun

gsza

hl l

8

2103

10–1

6

2

10–2

4 6 8 104 2 4 6 8 105 2 4 6 8 106

ri /ra

0,050,400,701,00,04

Bild 4.108 Rohrreibungszahl l für turbulente Strömung in Ringkanälen nach [4.61]

Aus Querschnittsfläche A und benetztemUmfang U berechnet sich der hydraulischeDurchmesser dh nach Gleichung 4.154:

4 · A 4 · 0,392dh = 8 = 05 = 0,647 m

U 2,4221

nach der Gleichung in Tabelle 4.16 ergibtsich:

2 · a · b 2 · 1 · 0,5dh ª 02 = 05 = 0,667 m

a + b 1 + 0,5

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit er-gibt sich aus Gleichung 4.8:

V 1000w– = 3 = 00A 3600 · 0,392

w– = 0,71 m/s

Damit sind alle Werte zur Bestimmung derdhReynolds-Zahl Re, relativen Rauigkeit 4kund Rohrreibungszahl l bekannt.

dh · w– 0,65 · 0,71Re = 9 = 09 = 4,1 · 105

n 1,12 · 10– 6

dh 6474 = 6 = 1294k 0,5

Aus Tafel 30 wird für Re = 4,1 · 105 unddh/k = 1294 eine Rohrreibungszahl l von

l ≈ 0,02

entnommen.

Damit lässt sich der Druckabfall Dpv nachGleichung 4.153 berechnen:

l rDpv = l · 4 · 3 · w– 2

dh 2

1000 1000Dpv = 0,02 · 9 · 8 · 0,712

0,647 2

Dpv = 7791 Pa

Dpv = 78 mbar

Je 1 km Rohrleitungslänge tritt ein Druckab-fall von 78 mbar auf.

1,0

m

0,5 m Bild 4.109 Beispiel 29


4.7.7 Strömungsverluste in Rohrleitungselementen

4.7.7.1 Grundlagen

Rohrleitungsanlagen bestehen nicht nur ausgeraden Rohrstücken, sondern enthalten auchRohrformstücke zur Querschnitts- und Rich-tungsänderung oder zur Verzweigung (Tren-nung, Vereinigung) sowie Armaturen wieSchieber, Ventile, Klappen, Hähne und Dros-seleinrichtungen, wie z.B. Blenden, Siebe,Lochbleche usw.

In diesen Rohrleitungselementen treten imVergleich zu geraden Rohrstücken gleicherBaulänge erhebliche zusätzliche Reibungs-,Umlenk- und Ablösungsverluste auf. Nur inwenigen Fällen können die Druckverluste indiesen Rohreinbauten aufgrund theoretischerAnsätze berechnet werden, meistens schätztman die Druckverluste mit Hilfe von experi-mentell gewonnenen Beiwerten ab.

In Bild 4.110 ist der Druckverlauf längs ei-ner geraden Rohrleitung mit einem Rohrein-bauelement dargestellt.

Der zwischen Eintritt � und Austritt �des Einbaustückes entstehende Druckverlustberechnet sich nach dem empirischen Ansatz:

rDpv = z · 3 · w– 2 (Gl. 4.157)

2

Dpv Druckabfallz Widerstandsbeiwertr3 · w– 2 Staudruck an einer genau definierten2 Stelle, z.B. am Eintritt � oder

Austritt �

Genau genommen, müsste man den Druck-verlust Dpv aus dem zur Bauteillänge L pro-portionalen Rohrreibungsanteil und der

L rl · 3 · 3 · w– 2

d 2r

Dpv = z · 3 · w– 2

2

lgl rDpv = l · 3 · 3 · w– 2

d 2Bild 4.110Druckabfall an Rohreinbau-elementen und Definition dergleichwertigen Rohrlänge


Summe der zusätzlichen Druckverluste zu-sammensetzen:

L rDpv = l · 3 · 3 · w– 2 + Dpv, zusd 2

wobei Dpv, zus die Druckverluste durch Umlen-kungen, Querschnittsänderungen, Verteilun-gen und Ablösung enthält und in den meistenFällen viel größer ist als der Rohrreibungsan-teil. In [4.42] werden praktische Hinweise zurvereinfachten Handhabung obiger Beziehunggegeben.

Die Widerstandszahl z ist von der Art desRohrleitungselementes, d.h. von der Makro-und Mikrogeometrie und in manchen Fällenauch von der Reynolds-Zahl abhängig.

Streng genommen müsste man in vielenAnwendungsfällen wie bei der Rohrströ-mung zwischen laminarer und turbulen-ter Durchströmung der Rohreinbautenunterscheiden, insbesondere bei starkemEinfluss der Reynolds-Zahl.

Die in den folgenden Abschnitten angegebe-nen z-Werte beziehen sich i.Allg. auf turbu-lente Durchströmung.

Die Geschwindigkeit w– ist die mittlereStrömungsgeschwindigkeit vor oder hinterdem Rohrleitungselement, in Ausnahmefällenauch an anderen, speziell definierten Stellen.

Bei Angabe des Widerstandsbeiwertes zmuss deshalb auch immer die zugehörigeBezugsgeschwindigkeit mit angegebenwerden!

Um die für die einzelnen Rohreinbauteile zu-treffenden Gleichungen zur Abschätzung desDruckabfalles Dpv und die zugehörigen z-Werte in den folgenden Abschnitten rasch auf-finden zu können, werden vorab in Tabelle4.17 die notwendigen Hinweise gegeben.

Ein früher häufig angewandtes Verfahren,den Druckverlust in einem Rohrelement

gleichzusetzen mit dem Druckverlust in ei-nem geraden Rohrstück mit einer gleichwerti-gen Rohrlänge lgl (Bild 4.110), findet sich kaumnoch in der Praxis.

r lgl rDpv = z · 3 · w– 2 = l · 4 · 3 · w2

2 d 2

zlgl = 3 · d (Gl. 4.158)

l

Im Gegensatz zu älteren Auflagen des Bucheswird auf die Wiedergabe von Tabellen mit An-gaben von lgl-Werten verzichtet.

Als charakteristische Kenngröße für dasDurchflussverhalten von Armaturen wirdhäufig der sog. kv-Wert angegeben.

Dabei ist der kv-Wert als Volumenstrom Vkalten Wassers (5°C…30°C) definiert, derbei einer Druckdifferenz Dpv = 1 bardurch die Armatur strömt.

Im Gegensatz zum z-Wert ist demnach der kv-Wert nicht dimensionslos und hat die Einheitm3/h.

Löst man Gleichung 4.157 nach w– auf, er-hält man:

662 · Dpvw– = f01z · r

Multipliziert man w– mit dem Strömungs-p

querschnitt d 2 · 3 ergibt sich der durch die4

Armatur strömende Volumenstrom V

66p 2 · DpvV = d2 · 3 · f014 z · r

der bei einem Druckunterschied Dpv = 1 bar ,100000 Pa und einer Dichte r = 1000 kg/m3

identisch wird mit kv dividiert durch 3600:

667p 2 · 100000 kvd 2 · 3 · f062 = 84 z · 1000 3600


Tabelle 4.17 Druckabfall in Rohreinbauelementen

Rohreinbauelement Skizze Gleichung für z-Wertden Druckabfall

Rohreinläufe

Rohrausläufe

plötzlicheRohrerweiterung

Diffusor

plötzlicheRohrverengung

Düse

Krümmer

Kniestücke

Verzweigungen

KompensatorenDehnungs-ausgleicher

Absperr- undRegelarmaturen

Drosselgeräte

Filter undSiebe

kombinierteRohreinbauten

4.1574.160

4.161

4.72, 4.1624.163, 4.164

4.171…4.177

4.178

4.178

4.182

4.182

4.1574.1864.187

4.157

4.157

4.157

4.157

4.2004.201

Bild 4.111Bild 4.112Bild 4.113

Tabelle 4.18

Tabelle 4.19

Tabelle 4.21

(Gl. 4.179)Bild 4.129

(Gl. 4.180)(Gl. 4.181)Bild 4.132

(Gl. 4.183bis Gl. 4.185)Bilder 4.137bis 4.149

Bilder 4.147und 4.148

Bilder 4.1504.1514.1524.153

Tabelle 4.24

Bild 4.155Bild 4.156Tabelle 4.25

(Gl. 4.189)(Gl. 4.190)(Gl. 4.191)Bild 4.159

Tabelle 4.26Tabelle 4.27

Bild 4.165(Beispiel)


Daraus können die Umrechnungsformeln fürz = f (kv) abgeleitet werden:

d 2 2

z = 1,6 · 109 · �4� d in m (Gl. 4.159a)kv

d 2 2

z = 16 · �4� d in cm [4.73] (Gl. 4.159b)kv

1 d 2 2

z = 6 · �4� d in mm (Gl. 4.159c)625 kv

Achtung: kv ist der Durchflussvolumen-strom in m3/h!

4.7.7.2 Rohreinläufe

Beim Anschluss von Rohrleitungen an Behäl-terwände bzw. beim Ansaugen in offeneSaugleitungen treten je nach Form des Ein-laufs mehr oder minder große Druckverlusteauf.

Die z-Werte für die üblichen Rohreinläufesind in Bild 4.111 dargestellt.

Für die Einlaufströmung in Rohrbündelkönnen die in Bild 4.112 angegebenen z-Wertezugrunde gelegt werden.

Wird in der Nähe der Einlauföffnung eineWand angeordnet (Bild 4.113), erhöht sich dieWiderstandszahl z je nach Wandabstand er-heblich.

zges = z + zzus (Gl. 4.160)

Der Verlustbeiwert zzus kann aus einer Kurvein Bild 4.113 entnommen werden [4.69; 4.74].

Der am Einlauf eintretende Druckverlustwird mittels Gleichung 4.157 berechnet, wobeidie Schwierigkeit naturgemäß in der richtigenAbschätzung des z-Wertes liegt.

Weiterhin sollte nach Möglichkeit die Be-sonderheit der in Abschnitt 4.7.8 beschriebe-

nen Einlaufströmung mit berücksichtigt wer-den. In [4.69 bzw. 4.74] sind die Widerstands-beiwerte zahlreicher Einlaufformen angege-ben.

4.7.7.3 Rohrausläufe

Die am Austritt von Druckrohrleitungen vor-handene Strömungsenergie geht bei Ausströ-mung ins Freie verloren.

rDpv, a = za · 3 · w– 2 (Gl. 4.161)

2

w– ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeitp

im Rohrquerschnitt 3 · d2 :4

Vw– = 0p

3 · d 2

4

Die Widerstandsbeiwerte za hängen vor allemvom Geschwindigkeitsprofil am Austritts-querschnitt ab und können für verschiedenegeometrische Ausführungen des Rohrlei-tungsendes aus Tabelle 4.18 entnommen wer-den.

4.7.7.4 Querschnittsänderungen

a) Plötzliche, sprungartige RohrerweiterungDer Druckverlust an einer unstetigen Quer-schnittserweiterung (Borda-Carnot-Diffusor)wurde bereits im Abschnitt 4.3.4.2 f mit Hilfedes Impulssatzes und der Bernoulli-Glei-chung zu

rDpv = 3 · (w1 – w2)2 (Gl. 4.72)

2

hergeleitet.Um den Druckverlust in der Schreibweise

der Gleichung 4.157 darstellen zu können,wird in Tabelle 4.19 durch Gleichsetzen derGleichungen 4.72 und 4.157 ein Zusammen-hang zwischen der Widerstandszahl z undden Durchmessern d1 und d2 hergestellt:


Die in Tabelle 4.19 angegebenen Gleichun-gen gelten nur, wenn die Geschwindigkeitenw1 und w2 gleichmäßig über dem Querschnittverteilt sind, d.h., wenn das Geschwindigkeits-profil ein sog. Kolbenprofil ist (Bild 4.57).

Herrscht dagegen das übliche laminareoder turbulente Geschwindigkeitsprofil imEintritt � und Austritt � (Bild 4.114), er-höhen sich die Widerstandsbeiwerte z1 und z2

ähnlich wie es in Tabelle 4.18 für Rohraus-

trittsströmungen ins Freie (A2 = ∞) dargestelltwird.

Nach [4.5] kann der Druckverlust Dpv nachfolgender Beziehung berechnet werden:

rDpv = 3 [a1 · w–1

2 – 2 · g1 · w– 1 · w– 22+ (2 · g2 – a2) · w

–22] (Gl. 4.164)

Bild 4.111Rohreinläufe

a


wobei w– 1 und w– 2 die mittleren Strömungs-geschwindigkeiten am Eintritt � bzw. Aus-tritt � sind und a1 und a2 die Energiestrom-beiwerte nach Gleichung 4.135 sowie g1 und g2

die Impulsstrombeiwerte nach Gleichung4.136 bedeuten.

Gleichung 4.164 gilt nur für rotationssym-metrische Strömungen. Asymmetrische Strö-mungen können z.B. nach [4.69 und 4.74] be-handelt werden.

Die Berechnung des Druckverlustes nachGleichung 4.162 ist nur richtig, wenn dieLänge le des Zuströmrohres und die Länge la

des Stoßdiffusors genügend groß sind [4.75]und das Fluid am Ende des Stoßdiffusorsnicht ins Freie strömt, d.h. die Rohrleitung mitdem Querschnitt A2 weitergeführt wird.

Angaben über le und la finden sich bei-spielsweise in [4.75 und 4.76].

Da diese Längen auch von der Reynolds-Zahl und von der Strömungssymmetrie ab-hängen, lassen sich keine allgemeingültigenWerte angeben.

Strömt das Fluid am Ende des Stoßdiffu-sors als Freistrahl aus, muss der Austrittsver-lust nach Gl. 4.161 mit dem Verlustbeiwert za

mitberücksichtigt werden.In Tabelle 4.20 sind die Verlustbeiwerte von

Borda-Carnot-Diffusoren am Rohrleitungs-ende angegeben.

Interessant ist auch die Aufteilung derstoßartigen Verzögerung auf mehrere Stufen(Bild 4.115), der sog. Regenscheit-Stufendiffu-sor [4.77], dessen Rückgewinn an statischem

d/10

Ød

Ød

t

d

a)

b)

a)

b)

t/d

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

02 1,35 1∞

z

w

Wan

d

a Ød

Ød

Ød

2,4

2,0

1,6

1,2

0,8

0,4

00,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

a /d

z zus

Bild 4.112 Rohreinläufe nach [4.71]

w0

A0 A1 Ai AZ

w1 wi wZ

l1 li lZ

Bild 4.115 Regenscheit-Diffusor

Bild 4.113 Rohreinläufe in Wandnähe nach [4.69]

1 2

Bild 4.114 Borda-Carnot-Diffusor


Tabelle 4.18 Widerstandsbeiwerte von Rohrausläufen

Geometrie und Geschwindigkeitsprofil Widerstandsbeiwert za

za = 1,0

laminare Strömung Re < 2320

za = 2 für und � Querschnitte

za = 1,55 für Querschnitte

w 2 · r 2

6 = 1 – �6� (STOKES) (4.123) wmax d

turbulente Strömung Re > 2320

w 2r 1/n

6 = �1 – 4� (4.132)wmax d

Düse am Rohrende

Diffusor am Rohrende

Ø dw

Kolbenprofil

Ø dwmax

w = f (r)

r

Ø dwmax

w = f (r)

r

wwa

Ø dØ da

für und � Querschnitte:

(2n + 1)3 · (n + 1)3

za = 0005 (Gl. 4.135)4 · n4 · (2n + 3) · (n + 3)

für Querschnitte:

(n + 1)3

za ≈ 06n2 · (n + 3)

d 4

angenähert: za ≈ �4�da

weitere Einzelheiten siehe Abschnitt 4.7.7.4d

za = (1 + a) · zRechn

lD/d 1 2 4 6 8 10

a 0,45 0,4 0,3 0,2 0,1 0 nach [4.69]

Werte zRechn

lD/d � j

4° 8° 12° 16° 20° 24° 30°

1,0 0,79 0,62 0,50 0,41 0,38 0,38 0,402,0 0,65 0,43 0,33 0,29 0,30 0,35 0,443,0 0,53 0,31 0,24 0,23 0,27 0,35 0,484,0 0,44 0,26 0,21 0,22 0,27 0,36 0,516,0 0,28 0,18 0,18 0,24 0,32 0,42 0,56

Weitere Einzelheiten siehe Abschnitt 4.7.7.4 b

lD

Ø d Ø da

f /2 wa

w

�

�


la A2

mwaw1

A1

w2

Freistrahl

Tabelle 4.19 Werte von Borda-Carnot-Diffusoren in Rohrleitungen

Bezug auf Austrittsquerschnitt A2

rDpv = z2 · 2 · w2

2 (Gl. 4.162b)2

r rz2 · 2 · w2

2 = 2 · (w1 – w2)2

2 2

A2w1 = 4 · w2A1

A22

z2 · w22 = �w2 · 4 – w2�A1

A22

z2 · w22 = w2

2 · �4 – 1�A1

A22

z2 = �4 – 1�A1 (Gl. 4.163b)d2

2 2

z2 = ��4� – 1�d1

Bezug auf Eintrittsquerschnitt A1

rDpv = z1 · 2 · w1

2 (Gl. 4.162a)2

r rz1 · 2 · w1

2 = 2 · (w1 – w2)2

2 2

A1w2 = 4 · w1A2

A12

z1 · w12 = �w1 – w1 · 4�A2

A12

z1 · w12 = w1

2 · �1 – 4�A2

A12

z1 = �1 – 4�A2 (Gl. 4.163a)d1

2 2

z1 = �1 – �4� �d2

Tabelle 4.20 z-Werte von Borda-Carnot-Diffusoren am Rohrleitungsende

Bezug auf den Eintritt A1 Bezug auf den Austritt A2

� �

rDpv, fa = z2, fa · 3 · w–2

2 (Gl. 4.165 b)2

A22

z2, fa = �4 – 1� + 1A1

rDpv, fa = z1, fa · 3 · w–1

2 (Gl. 4.165a)2

A12 A1

2

z1, fa = �1 – 4� + �4�A2 A2


Druck wesentlich besser ist als der des einfa-chen Borda-Carnot-Diffusors und der an denWirkungsgrad des stetig erweiterten Ber-noulli-Diffusors nahezu heranreicht.

Nach [4.78] kann der DruckverlustbeiwertzMSt von Mehrstufendiffusoren, bezogen aufdie Eintrittsströmung, wie folgt abgeschätztwerden:

z0zMSt = 4 (Gl. 4.166)z

mit:

A02

z0 = �1 – 5� (Gl. 4.167)Az

A0 EintrittsquerschnittAz Austrittsquerschnittz Anzahl der Stufen

Für den optimalen Abstand zwischen den Stu-fen, d.h. die Stufenlänge li , wird in [4.78] emp-fohlen:

li04 ≥ 6 mit i = 1…z (Gl. 4.168)di – di – 1

b) Allmähliche Rohrerweiterung (Diffusor)Diffusoren dienen zur Verzögerung von Strö-mungen, vorausgesetzt die Strömung löst sichnicht von den Wänden des in Strömungsrich-tung stetig erweiterten Rohrstückes ab.

Diffusoren werden entweder als Über-gangsdiffusoren in einer Rohrleitung mit un-terschiedlichen Querschnitten A1 < A2 einge-baut (Bild 4.116 a) oder als Enddiffusorenoder Austrittsdiffusoren am Ende einer Rohr-leitung angebracht (Bild 4.116b).

Bei Enddiffusoren strömt das Fluid in Formeines Freistrahls ins Freie, der Diffusoraus-trittsdruck p2 wird gleich dem Umgebungs-druck pUm .

Die geometrische Vielfalt der Querschnitts-verläufe, der Wandkonturen und der Mittelli-nien ist sehr groß. In Bild 4.117 ist eine kleineAuswahl an Diffusorgeometrien zusammen-gestellt. Die im Strömungsmaschinenbau vor-kommenden Diffusorformen werden nicht be-handelt, Einzelheiten dazu finden sich z.B. in[4.79 und 4.95]. Diffusoren haben in der Strö-mungstechnik i.Allg. folgende Aufgaben zuerfüllen:

❑ Verkleinern der Strömungsgeschwindig-keit von w1 auf w2 , um die DruckverlusteDpv in der nachfolgenden Rohrleitung zuverringern (Übergangsdiffusor),

Bild 4.116 Vergleich zwischen a) Übergangs- und b) Enddiffusor

a b


Bild 4.117 Verschiedene Diffusorformen


❑ Vermindern des Austrittsverlustes Dpv, a

(vgl. Gl. 4.161) am Ende einer Rohrleitungoder einer Maschine,

❑ Erhöhung des Volumenstroms in einemkurzen Leitungsstück durch einen nachge-schalteten Enddiffusor (Bild 4.118)

0004V mit Diffusor 1 + zRohrm = 009 ≈ 0003V ohne Diffusor f A12

�5� + zRohr + zDiffA2

Interessante Einzelheiten, auch technikge-schichtlicher Art finden sich z.B. in [4.76].

Wegen dieser Volumenstrom vergrößern-den Wirkung werden Diffusoren auch alsSaugrohre bezeichnet, z.B. am Austritt vonWasserturbinen.

❑ Geräusch- evtl. auch Verschleißreduzie-rung am Austritt von Rohrleitungen, Gerä-ten oder Maschinen, z.B. an Ventilatoren.

Bei der Auslegung und Berechnung von Dif-fusoren sind meistens folgende Werte bzw.Zustände zu bestimmen bzw. zu überprüfen:

❑ Druckumsetzung, d.h. Rückgewinn an sta-tischem Druck,

❑ Druckverlust infolge Verzögerung, Reibung u.U. Umlenkung,

❑ Geschwindigkeitsfelder,❑ Ablösegefahr,❑ optimale Geometrie für vorgegebenen

Einbauraum.

Zur praktischen Durchführung der Berech-nungen und Kontrollen werden folgende Be-griffe und Kennzahlen eingeführt:

Der Druckbeiwert Cp ist wie folgt definiert:

p2 – p1Cp = 01 (Gl. 4.169)r3 · w1

2

2

und hängt hauptsächlich von folgenden geo-metrischen und fluidmechanischen Größenab:

❑ Diffusorerweiterungswinkel j,❑ den geometrischen Verhältnissen

l/r1; l/h1; b1/h1 ,❑ Reynolds-Zahl Re1 ,❑ Grenzschichtdicke d l , 1 ,❑ Turbulenzgrad der eintretenden

Strömung.

Für reibungsfreie Strömung und gleichmäßigeGeschwindigkeitsverteilung im Ein- und Aus-tritt beträgt der ideale Druckbeiwert Cp, id :

A12

Cp, id = 1 – �41� (Gl. 4.170)A2

Der reale Druckbeiwert Cp ist stets kleiner alsder ideale Druckbeiwert Cp, id .

Übergangsdiffusoren haben höhere Cp-Werte als Enddiffusoren, da sich die Ge-schwindigkeitsprofile im Endquerschnitt un-terscheiden.

In Bild 4.119 nach [4.80] sind die Cp-Wertevon konischen Übergangs- und Enddiffuso-ren, abhängig von der relativen Länge l/r1

und vom Öffnungsverhältnis A2/A1 darge-stellt.

Bild 4.118 Vergleich der Ausströmvolumenströmeaus Düse und Rohransatz mit Diffusor nach [4.76]


Der Widerstandsbeiwert �1 bezieht die To-taldruckdifferenz zwischen Diffusoreintritt �und Diffusoraustritt � auf den Staudruck derAnströmgeschwindigkeit w1:

pt1 – pt2 Dpvz1 = 03 = 01 (Gl. 4.171)r r3 · w– 1

23 · w– 1

2

2 2

Zwischen Widerstandsbeiwert z1 und Druck-beiwert Cp besteht folgender Zusammenhang:

Übergangsdiffusor:

A12

z1 = 1 – �41� – Cp (Gl. 4.172a)A2

Enddiffusor:

z1 = 1 – Cp (Gl. 4.172b)

Durch Vergleich der beiden Gleichungen4.172a und 4.172b stellt man fest, dass der Wi-derstandsbeiwert von Enddiffusoren bei glei-chen Strömungsverhältnissen und gleichenGeometrien stets größer, d.h. schlechter ist alsder Widerstandsbeiwert von Übergangsdiffu-soren.

Der Widerstandsbeiwert z1 setzt sich aus 3 Komponenten zusammen:

z1 = zE + zR + zU (Gl. 4.173)

Längenverhältnis

5

0 0,2 0,4 0,6 1 2 3 4 6 8 10 20

lr1

4

3

2

1,6

1,4

1,2

1,1

1,8

f/2

l

Fläc

henv

erhä

ltnis

A2/A

1

r1

Cp= 0,4

Cp= 0,5

Cp= 0,5

Cp= 0,4

Cp= 0,70,75

Cp= 0,6

Cp= 0,3

Bild 4.119a Cp-Werte von Übergangsdiffusoren mit Kreisquerschnitt nach [4.80]


zE Beiwert für die ErweiterungzR Beiwert für die WandreibungsverlustezU Beiwert für die Umlenkung bei

gekrümmten Diffusoren

Für überschlägige Berechnungen des Druck-verlustes Dpv von konischen Übergangsdiffu-soren kann z1 aus Bild 4.120 aus [4.71] entnom-men werden.

Die Widerstandsbeiwerte von Enddiffuso-ren erhält man, indem man zu den Werten ausBild 4.120 jeweils noch den Wert (A1/A2)2 ad-diert, um den Austrittsverlust Dpv, a mit zuberücksichtigen. Für konische Übergangsdif-fusoren mit Kreis- und Rechteckquerschnittsowie für Flachdiffusoren mit Rechteckquer-schnitt werden in Tabelle 4.21 die Wider-standsbeiwerte zE und zR zusammengestellt[4.69 und 4.74].

Längenverhältnis

4

0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

lr1

3

2

1,2

1,5

l

2

2

Fläc

henv

erhä

ltnis

A2/

A1

r1

Cp= 0,4

Cp= 0,5

Cp= 0,7

Cp= 0,6

A1

A2

Bild 4.119 b Cp-Werte von Enddiffusoren mit Kreisquerschnitt nach [4.80]


Aus den Formeln der Tabelle 4.21 ist er-sichtlich, dass der den Erweiterungseffekt er-fassende Widerstandsbeiwert zE mit steigen-dem Flankenwinkel j/2 zunimmt, währendder die Reibung beschreibende Beiwert zR mitwachsendem Flankenwinkel j/2 fällt, d.h.,für den Gesamtwert z1 = zE + zR muss es für je-des Flächenverhältnis A2/A1 abhängig von derRohrreibungszahl l = f (Re1 und relativerWandrauigkeit) einen optimalen Öffnungs-winkel jopt geben (Bild 4.121), der nach [4.78]

für den Bereich 8° < j < 45° wie folgt abge-schätzt werden kann:

6071 + A1/A2tan jopt = 0,5 · f l · 07 (Gl. 4.174)1 – A1/A2

Eine ganz exakte Definition des Widerstands-beiwertes, die die Geschwindigkeits- undDruckverteilung berücksichtigt, findet sichu.a. in [4.81]

2

Wid

erst

and

sbei

wer

tz 1

0,4

0,2

00° 2° 4° 6° 8° 10° 12° 14° 16°

0,4

3,53,0

2,5

2,0

1,5

A2 /A1 =

Erweiterungswinkelf

l = 0,02Re > 105

16°

l = 0,02Re > 105

Wid

erst

and

sbei

wer

tz 1

0,600,560,520,480,440,400,360,320,280,240,200,160,120,080,04

0

12°

10°

8°6°4°

plötzliche Erweiterung

1 2 3 4Flächenverhältnis A2 /A1

f / 2 = 90°

Bild 4.120 Widerstandsbeiwerte z1 von Diffusorenmit Kreisquerschnitt nach [4.71]: a) Erweiterungswinkel, b) Flächenverhältnis

a

b

Bild 4.121Optimaler Öffnungswinkel jopt

von Diffusoren mit Kreisquerschnittnach [4.78]


Tabelle 4.21 Widerstandsbeiwerte von Übergangsdiffusoren (nach [4.69])

Geometrie Widerstandsbeiwerte

Kreisdiffusor

Rechteckdiffusor

Flachdiffusor(ebener Diffusor)

z1 = zE + zR

Bereich: 0 < j < 40°

64j 4 j A12

zE = 3,2 · tan 3 · f tan 3 · �1 – 4�2 2 A2

l A12

zR = 30 · �1 – �4� �j A28 · sin 212

d1l = f · �Re1; 3�k

z1 = zE + zR


64j 4 j A12

zE = 4,0 · tan 3 · f tan 3 · �1 – 4�2 2 A2

l A12

zR = 50 · �1 – �4� �j A216 · sin 212

dh1l = f · �Re1; 5�k

z1 = zE + zR


64j 4 j A12

zE = 3,2 · tan 3 · f tan 3 · �1 – 4�2 2 A2

l h1 A1 A12

zR = 30 · �3 · �1 – 4� + 0,5 · �1 – �4� ��j b A2 A24 · sin 212

dh1l = f · �Re1 ; 5�k

A1

A2

f/2

f/2

A1A2

h1 h2

b1

b2

f/2

A1 A2h1 h2

b

b

h1 h231 = 31b1 b2

b = b1 = b2


Nach [4.78 und 4.81] wird folgender Begrifffür den Diffusorwirkungsgrad eingeführt:

p2 – p1hD = 995 , 1 – z1 (Gl. 4.175)r3 · (w– 1

2 – w– 22)

2

Da der Widerstandsbeiwert z1 von Enddiffu-soren größer ist als der Widerstandsbeiwert z1

von Übergangsdiffusoren, ergibt sich die inBild 4.122 dargestellte Tatsache, dass die Wir-kungsgrade von Enddiffusoren stets kleinersind als die Wirkungsgrade von Übergangs-diffusoren, was in [4.81] ausführlich begrün-det ist.

Bildet man folgenden dimensionslosenKennwert aus dem in Gleichung 4.169 einge-führten Druckbeiwert Cp und dem Diffusor-wirkungsgrad hD, kann man damit die «Qua-lität» eines Diffusors gut charakterisieren:

r(p2 – p1) · 3 · (w1

2 – w22)

Cp 2 w22

5 = 0008 = 1 – �5�hD r w13 · w1

2 · (p2 – p1)2oder

Cp5 = 1 – (A1/A2)2 (Gl. 4.176)hD

Stellt man den Quotienten Cp/hD in einerKurve als Funktion von A2/A1 dar (Bild 4.123),erkennt man, dass FlächenerweiterungenA2/A1 > 5 wenig Sinn machen, da bereits 96%des bei A2 = ∞ maximal erzielbaren Druckum-satzes erreicht sind.

f

f

Enddiffusor

Übergangsdiffusor

1,0

0,8

0,6

0,4

0,20 20 40 60 80 100 120

Öffnungswinkel f

Diff

usor

wirk

ungs

grad

hD

Bild 4.122Vergleich der Wirkungsgrade hD

von Übergangs- und Enddiffusoren nach [4.78]

A2A1

= 1–Cp

h D

A1

A2( (2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cp

hD

Quo

tient

A2

A1Flächenverhältnis

1

0,5

0

Bild 4.123Quotient Cp/hD von Übergangsdiffusoren


Durch Einsetzen der beiden Versionen vonGleichung 4.172 in Gleichung 4.175 erhält manfolgende Zusammenhänge zwischen Diffusor-wirkungsgrad hD und Druckbeiwert Cp :

Übergangsdiffusor: hD = 1 – z1 = 1 – 1 + (A1/A2)2 + Cp

hD = Cp + (A1/A2)2 (Gl. 4.177a)

Enddiffusor: hD = 1 – z1 = 1 – 1 + Cp

hD , Cp (Gl. 4.177b)

Schon SPRENGER [4.76] hat festgestellt, dass derDiffusorwirkungsgrad sehr stark von derGrenzschichtdicke d l, 1 am Diffusoreintritt undbei gekrümmten Diffusoren vom Grad derKrümmung abhängt (Bild 4.124).

Sollten für eine konkrete Diffusoraus-führung die obigen Kennwerte Cp, z1 oder hD

im Versuch bestimmt werden, dürfen dieDrücke p1 und p2 nicht direkt am Diffusorein-gang und Diffusorausgang gemessen werden,

sondern p1M ca. um leM ≈ 6 · dh1 vor, und p2M umlaM ≈ 3 · dh2 hinter den Bezugsquerschnitten A1

und A2 (Bild 4.116). Je nach Öffnungswinkel j,relativer Diffusorlänge l/r1 bzw. l/h1 , Rey-nolds-Zahl Re1 , Turbulenzgrad und Grenz-schichtdicke im Einströmquerschnitt A1 undweiterer geometrischer und fluidmechani-scher Einflüsse unterscheidet man bei Diffuso-ren folgende Strömungszustände (Bild 4.125nach [4.82]):

a) Bei kleinen Öffnungswinkeln j liegt dieStrömung, d.h. die Wandgrenzschicht sta-tionär und stabil an.

b) Mit größer werdenden Öffnungswinkeln jtritt pulsierende, instationäre Strömungauf, die zeitlich veränderliche abgelösteWirbelfelder mit sich führt.

c) Bei weiterer Vergrößerung des Öffnungs-winkels j bildet sich eine stationäre Haupt-strömung längs einer Wand aus, ein großerTeil des Diffusors ist mit einem voll ausge-bildeten Ablösegebiet beaufschlagt.

d) Bei noch größeren Öffnungswinkeln jströmt ein ungebremster Freistrahl (Kern-strahl) mit nahezu gleichbleibender Ge-

w1 · d1

d2 /d1= 2,0

1,0

0,8

0,6

0,40 0,02 0,04 0,06

Theorie

(3)

(2)

(1)

Diff

usor

wirk

ungs

grad

hD

2 · d l,1/d1

Re = 2,5 · 105

Re = 5,2 · 105

Re = n

7,15 · d1

w1

d1d2

1

2

3

15°

30°

d1 d l,1

Bild 4.124 Diffusorwirkungsgrad abhängig von Grenzschichtdicke und Diffusorkrümmung nach [4.76]


schwindigkeit durch den Innenkern desDiffusors ohne die Wände zu berühren.Der Freistrahl ist allseits von einem großenringförmigen Ablösegebiet eingehüllt.

In Bild 4.126 (nach [4.82]) sind die Bereichebzw. Grenzkurven der verschiedenen Strö-mungszustände eingetragen. Zusätzlich istnoch die Kurve für den maximalen Druckbei-wert Cp, max angegeben.

Ähnliche Diagramme, die die Strömungs-zustände und die zugehörigen Grenzen be-schreiben, finden sich z.B. auch in [4.83 bis4.85].

In der Praxis stellen sich meistens folgendeOptimierungsaufgaben:

❑ Bei gegebenem Längenverhältnis l/r1 bzw.l/h1 wird das Öffnungsverhältnis A2/A1 ge-sucht, damit der Druckrückgewinn, d.h.der Cp-Wert, ein Maximum wird. DieseAufgabe ist leicht mittels Bild 4.126 zu lö-sen, indem man vom gegebenen Längen-verhältnis den zu Cp, max gehörenden Öff-nungswinkel j abliest und daraus zu A1

passend A2 berechnet oder umgekehrt.

❑ Ähnlich verfährt man, wenn zu gegebenemLängenverhältnis der maximale Wirkungs-grad hD, max durch die richtige Wahl des Öff-nungsverhältnisses erreicht werden soll.

❑ Wenn das Öffnungsverhältnis A2/A1 gege-ben ist, kann man aus Bild 4.119 das Län-genverhältnis so bestimmen, dass derDruckrückgewinn, d.h. der Cp-Wert, einMaximum wird.

❑ Durch Variieren des Längenverhältnissesfür ein festes Öffnungsverhältnis kann mandie minimalen Widerstandsbeiwerte z1 unddamit die maximalen Diffusorwirkungs-grade hD, max finden.

Besteht die Gefahr der Ablösung, könnennach [4.80 oder 4.82] folgende Maßnahmen fürAbhilfe sorgen:

❑ Anbringen von Leitblechen im Einströmbe-reich des Diffusors,

❑ gekrümmte Diffusorwände, insbesondereder glockenförmige Diffusor (Bild 4.117),

❑ Grenzschichtabsaugung,❑ Anbringen von sog. Wirbelgeneratoren

(Vortex Generators) [4.86].

a

b

f

c

d

w2w1 w1≈

Ablösegebiet

Bild 4.125 Mögliche Strömungszustände in Diffusoren nach [4.82]

a)

b) d)

c)


Für das weiterführende vertiefte Studium derDiffusorströmung wird zusätzlich noch die in[4.87 bis 4.95] aufgeführte Fachlektüre emp-fohlen.

c) Plötzliche, sprungartige Rohrverengung(Stufendüse)

Nach einer unstetigen Querschnittsverengung(Bild 4.127) schnürt sich die Strömung auf denQuerschnitt A0 < A2 ein. Weiter stromaufwärts,nach einer Anlaufstrecke la legt sich die Strö-mung wieder an die Rohrwand an. Vor undnach dem Querschnittssprung befinden sichim Außenmantelbereich der Strömung großeWirbelgebiete, die auf große Energieverlustehinweisen.

Das Flächenverhältnis A0/A2 wird als Kontraktionszahl y (vgl. auch Abschnitt 4.9)bezeichnet.

y kann für scharfkantigen, rotationssym-metrischen Übergang von Kreisrohren abhän-gig vom Querschnittsverhältnis A2/A1 ausBild 4.128 entnommen werden. In [4.5] findensich auch empirische Formeln bzw. theoreti-sche Ansätze zur rechnerischen Bestimmungvon y.

Der Druckverlust Dpv ließe sich ähnlich wie bei der plötzlichen Rohrerweiterung(Borda-Carnot-Diffusor) mit Hilfe des Impuls-satzes und der Energiegleichung theoretischherleiten [4.96], aus Platzgründen wird jedochauf diese Ableitung verzichtet und für die

c

c

dd

l

fr1 (h1/2)

instationäre Strömung mit Ablösung

Stationäre Strömung ohne Ablösung

Strömung mit vollausgebildeter Ablösung

a

b

b

a

Ablösegrenze

lf = 34 ·

r1( (– 0,483

l

f = 57,3 ·r1( (– 0,374

lf = 37,4 ·

r1( (– 0,483

Linie max. Druckumsetzung

lr1

> 4

Diff

usor

öffn

ungs

win

kel f

in G

rad

109876

5

4

3

2

2

109876

5

4

3

2

1

12 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 102 l /h1

l / r1

Cp, max

Bild 4.126 Abhängigkeit des Strömungszustandes von Diffusoren mit geraden Wänden von den geometri-schen Größen nach [4.82]


Praxis geeignete Rechenverfahren mit empiri-schen Beiwerten angegeben.

Der Druckverlust wird über den Staudruckim kleinen Rohrquerschnitt A2 abgeschätzt:

rDpv = z2 · 3 · w– 2

2 (Gl. 4.178)2

Nach [4.5] kann z2 näherungsweise aus derKontraktionszahl bestimmt werden:

1 – y 2

z2 ≈ 1,5 · �9� (Gl. 4.179)y

Eine weitere Quelle für z2 findet sich in Bild4.129 nach [4.71], das auch die Verlustbei-werte z2 für andere Konfusorformen enthält,die anschließend behandelt werden.

Erfolgt der plötzliche Querschnittsüber-gang in Form einer sog. Borda-Mündung (Bild4.130), so verringert sich die Durchflusszahl mfür konzentrische Kreisrohre auf ca. 0,5 [4.5,4.96], der zugehörige Verlustbeiwert z2 liegt jenach Kantenschärfe des Rohransatzes und derRohrwanddicke s zwischen 0,6…1,5 [4.5]. z2

kann auch aus Bild 4.129 entnommen werden,das sich im Wesentlichen auf [4.69 bzw. 4.74]stützt.

Für die Werte in Bild 4.129 sind ca. fol-gende Grenzwerte einzuhalten:

b/d1 > 0,5

s/d2 ≈ 0,3…0,05

Re2 > 104

d) Allmähliche, kontinuierliche Rohrverengung (Konfusor, Düse)

Wie beim Diffusor, unterscheidet man auchbeim Konfusor zwischen dem in eine Rohrlei-tung unterschiedlicher Durchmesser d1 und d2

eingebauten Übergangskonfusor (Bild 4.131)und dem am Ende einer Rohrleitung mit demDurchmesser d1 befestigten Austrittskonfusor(Austrittsdüse), aus dem das Fluid in Form ei-nes Freistrahles austritt.

Je nach Anordnung des Konfusors unter-scheiden sich auch die Widerstandsbeiwer-te z2 :

Für Übergangskonfusoren sind die z2-Werte in Bild 4.129 nach [4.71] zusammenge-

Bild 4.127Plötzliche Rohrverengung

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

Kon

trak

tions

zahl

y

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,05

0,1

0,2

0,30,40,50,60,81,0

1,5

Verlu

stb

eiw

ert

z 2

Querschnittsverhältnis A2 /A1

A2A1

Bild 4.128 Kontraktionszahlen von scharfkantigen, sprungartigen Rohrverengungennach [4.5]


0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

00,25 0,5 0,75 1

b = 180° (plötzliche Verengung)

sd2

sd2

= 0,03

= 0,05}Borda-Mündung

Wid

erst

and

sbei

wer

tz

2

b

b =

15°

30°

60°

90°

120°

Querschnittsverhältnis A2 / A1

Bild 4.129 Widerstandsbeiwerte von Rohrverengungen nach [4.71]


stellt. Den Kurven liegen folgende empiri-schen Gleichungen zugrunde:

z2 = zK + zR (Gl. 4.180)

wobei der Beschleunigungsbeiwert zK sehrklein ist und der Reibungsbeiwert zR nach fol-gender Näherungsgleichung abgeschätzt wer-den kann:

l 1 – d03A2/A1zR ≈ 60 · 506 · (1 + A2/A1)b4 · tan 3

2 + d03A2/A1

2

In [4.68] wird zur Bestimmung des Beschleu-nigungswertes zK , abhängig vom Öffnungs-winkel b und vom Flächenverhältnis A2/A1 ;das in Bild 4.132 angegebene Diagramm emp-fohlen, der Reibungsbeiwert zR kann wie folgtbestimmt werden:

zR ≈ 1,2 · l · lK/d2

Die Reynolds-Zahl Re2 sollte dabei größer als104 sein.

Für schnelle Überschlagsrechnungen wirdin [4.5] ein Wertebereich

0 < z2 < 0,075

angegeben.Bei Konfusoren am Rohrende muss zu z2

noch der Zahlenwert 1 addiert werden, um

Ø d2

Ø d1

s

b

Bild 4.130 Borda-Mündung

w1

lK

w1 w2Ø d2Ø d1

w2

b

a)

b)

Freistrahl

Bild 4.131 Konfusoren: a) Übergangskonfusor, b) Austrittskonfusor

Bild 4.132Widerstandsbeiwerte zk vonKonfusoren nach [4.68]


den Austrittsverlust

r3 · w– 2

2

2

zu berücksichtigen:

z2, a = z2 + 1 (Gl. 4.181)

Weicht das Geschwindigkeitsprofil am Konfu-soraustritt wesentlich vom Kolbenprofil ab,erhöht sich der Zuschlag [4.69].

Die Widerstandsbeiwerte z2 von Konfuso-ren, bei denen sich neben der Größe des Strö-mungsquerschnittes auch noch die Quer-schnittsform ändert, z.B. rechteckiger Ein-trittsquerschnitt – runder Austrittsquer-schnitt, müssen in der Spezialliteratur, z.B. in[4.78] nachgeschlagen werden.

4.7.7.5 Richtungsänderungen

a) EinleitungBei der Richtungsänderung in Rohrkrümmern(Bild 4.133) oder Kniestücken (Bild 4.134) ent-stehen neben Reibungsverlusten noch Ablöse-

verluste (Verwirbelungsverluste) und Ener-gieverluste infolge einer sich der Längsströ-mung überlagernden Sekundärströmung.

Diese Sekundärströmung setzt sich mit derLängsströmung zu einer schraubenförmigverlaufenden komplizierten Strömung zu-sammen. Die Sekundärströmung entstehtdurch die Fliehkraft, die zu einem Druckge-fälle quer zur Strömungsrichtung führt (sieheauch Abschnitt 4.3.3). Die an der Krümmer-wandung infolge Reibung gebremst strömen-den Fluidteilchen unterliegen einem größerenstatischen Druck als die in der Querschnitts-mitte fließenden Teilchen. Auf diese Art ent-steht ein energieverzehrender, sich der Längs-bewegung überlagernder Doppelwirbel (Bild4.133).

Zwischen den Punkten A–B und C–D ent-stehen infolge der durch die Fliehkraftwir-kung auftretenden Druckunterschiede großeAblösegebiete (Wirbelfelder), die um so aus-gedehnter sind, je kleiner das Verhältnis R/dist.

Bei der Strömung durch Kniestücke entste-hen noch größere Ablösegebiete als bei Krüm-mern, weshalb die Druckverluste in Knie-

innen

I

Ablösungsgebiete

Sekundärströmung

außen

Schnitt I–I

I

w

AR

B

C D

d

w

Ablösungsgebietew

Bild 4.134Strömung durch Kniestücke

Bild 4.133Strömung durch einen Krümmer


stücken bei vergleichbaren Strömungsverhält-nissen und Umlenkungen stets höher sind alsin Bögen.

Da die Strömungszustände im Krümmer-austrittsquerschnitt � auch die Strömungs-verhältnisse in der nachfolgenden Auslauf-strecke beeinflussen, entsteht in dieser Aus-laufstrecke mit der Länge la ein zusätzlicherDruckverlust, der zum Krümmerverlust zuaddieren ist (Bild 4.135). Während die Einlauf-länge le , in der sich die Krümmerströmung imEintritt � bereits störend auswirkt, sehr kurzist, nach Messungen etwa im Bereich le ≈(2…4) · d, kann die Auslauflänge la Werte vonla ≈ (50…70) · d erreichen. Auf diese auch fürdie Durchführung von Messungen wichtigeTatsache wird beispielsweise in [4.5, 4.61 und4.80] hingewiesen.

b) DruckverlustDer Druckabfall in Krümmern und Knie-stücken wird auf den Staudruck r/2 · w– 2 imgeraden Rohr vor dem Krümmer bezogenund berechnet sich in der üblichen Weise ausStaudruck und Widerstandszahl:

rDpv = zK · 3 · w– 2 (Gl. 4.182)

2

Die Widerstandszahl zK setzt sich aus einemAnteil zR für die Reibung und einem Anteil zU

für die Umlenkung zusammen, der wiederumaus einem Anteil zAbl für die Ablösung und ei-nem Anteil zQu für die Querströmung (Dop-pelwirbel) besteht.

zK = zU + zR = zAbl + zQu + zR (Gl. 4.183)

Die Widerstandszahl zK und die Aufteilung indie Einzelkomponenten hängt hauptsächlichvon folgenden geometrischen und fluidme-chanischen Größen und Parametern ab undmuss im Versuch ermittelt werden:

relative Krümmung R/d bzw. R/dh

Umlenkwinkel qrelative Wandrauigkeit k/d bzw. k/dh

w · d w · dhReynolds-Zahl Re = 9 bzw. 9n n

90°

bez

ogen

er D

ruck

verlu

st

la

lad

lad la

dlKd

led

lK

le

Ø d

Ø d

le + lK + la

lelK

la Ø d

30°

zK, 30°

zK, 90°

gerade Rohrleitung

Dp

v

r w

2

2

bezogene Längen ld

·

Bild 4.135 Druckverlust in Krümmern

Dp

vb

ezog

ener

Dru

ckve

rlust

0 r 3·w

2

2


In Bild 4.136 nach [4.97] ist die Aufteilung von zK in die Einzelkomponenten gemäß Glei-chung 4.183 abhängig von der relativenKrümmung R/d dargestellt.

Um die verschiedenen Abhängigkeiten auf-zuzeigen, werden für Krümmer mit Kreis-

querschnitt in den folgenden Diagrammen einige Beispiele aus der Praxis [4.71] wieder-gegeben.

❑ Bild 4.137: zK von Rohrbögen mit R/d = 4und q = 90°, abhängig von Reynolds-Zahlund relativer Rauigkeit

❑ Bild 4.138: zK von Rohrbögen, hydraulischglatt, Re ≈ 2 · 105 abhängig von relativerKrümmung R/d und Umlenkwinkel q

❑ Bild 4.139: zK von Rohrbögen, vollständigrau, Re > 2 · 105, abhängig von relativerKrümmung R/d und Umlenkwinkel q

Für Krümmer mit Kreis- und Rechteckquer-schnitt kann zK nach einem in [4.69] angegebe-nem empirischen Verfahren abgeschätzt wer-den:

zK = zU + zR (Gl. 4.184a)

zU = K1 · K2 · K3 (Gl. 4.184b)

zK

zU

zAb

zQu

zR

Ø d

R

gerade

Krümmungsverhältnis

z-W

erte

Rd

bzw. Rdh

Knie-stück

0

gerades Rohr

Bild 4.136 Zusammensetzung des z-Wertes vonKrümmern

Bild 4.137 Widerstandsbeiwert zK von 90°-Krümmern mit R/d = 4 nach [4.71]


Die Beiwerte K1, K2 und K3 werden wie folgt be-stimmt:

❑ für den Bereich 0,5 < R/d < 1,5 bzw. 0,5 < R/dh < 1,5:K1 = f (Umlenkwinkel q) Æ Bild 4.140K2 = f (relative Krümmung R/d bzw.

R/dh) Æ Bild 4.141K3 = f (Seitenverhältnis h/b) Æ Bild 4.142

2 · h · bdh = 93 = hydraulischer Durchmesser

h + b❑ für den Bereich R/d bzw. R/dh > 1,5:

K1 = f (Umlenkwinkel q) Æ Bild 4.140K2 = f (relative Krümmung R/d bzw.

R/dh) Æ Bild 4.143K3 = f (Seitenverhältnis h/b) Æ Bild 4.144

Der Beiwert zR des Reibungsanteils kann nachfolgender Näherungsgleichung [4.69] ge-schätzt werden:

RzR = 0,0175 · l · 3 · q° (Gl. 4.185a)

d

RzR = 0,0175 · l · 4 · q° (Gl. 4.185b)

dh

Wichtige Grundlageninformationen zuDruckverlusten in glatten Rohrbögen mitKreisquerschnitt finden sich in [4.101].

Für sog. Faltenrohrkrümmer mit Umlenk-winkel q = 90°, einer relativen KrümmungR/d = 2,5 und Reynolds-Zahlen Re > 2 · 105

können die zK-Werte aus Bild 4.145 [4.69], ab-hängig vom Rohrdurchmesser d, entnommenwerden.

Für � = 90°-Segmentkrümmer aus winke-lig aneinander gefügten geraden Rohrseg-

0,40

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

q

90°75°60°

45°

30°20°

R /d

zK

0,50

0,45

0,40

0,35

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

q90°

75°

60°

45°

30°

20°

R /d

zK

Bild 4.138Druckverlustbeiwerte zK vonhydraulisch glatten Kreisbo-genkrümmern mit verschiede-nen Umlenkwinkeln q beiRe = 2 · 105, abhängig von R/dnach [4.71]

Bild 4.139Druckverlustbeiwerte zK vonvollständig rauen Kreisbogen-krümmern (k/d = 0,001) mitverschiedenen Umlenkwin-keln q bei Re > 2 · 105, abhän-gig von R/d nach [4.71]


1,2

0,8

0,4

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180°

Bei

wer

tK

1

Krümmungswinkel q

Bei

wer

tK

2

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

00,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5

Verhältnis R /d bzw. R /dh

Bereich 0,5 < Rd

< 1,5

und 0 < q° ≤ 180°

Bei

wer

tK

3

1,3

1,2

1,1

1,0

0,9

0,80 1 2 3 4 5 6 7 8

Verhältnis h /b

Bereich 0,5 < Rdh

< 1,5

und 0 < q° ≤ 180°

h

b

R

Bei

wer

tK

2

Verhältnis R /d bzw. R /dh

0,20

0,16

0,12

0,08

0,04

011 2 3 4 5 6 7 8 910 20 30 40 50

Bereich Rd

> 1,5

und 0 < q° ≤ 180°

K2 ≈Rd

0,21

Bild 4.143Beiwert K2 nach [4.69]

Bild 4.141 Beiwert K2 nach [4.69] Bild 4.142 Beiwert K3 nach [4.69]

Bild 4.140Beiwert K1 nach [4.69]


menten können die Widerstandsbeiwerte zK

im Vergleich zum glatten Rohrbogen aus Bild4.146 abgelesen werden [4.99].

Weitere Angaben zu Segmentkrümmernfinden sich u.a. in [4.68, 4.69, 4.71, 4.78, 4.80,4.99 und 4.100].

Die Widerstandszahlen zK von Kniestückenmit Kreisquerschnitt können abhängig vomUmlenkwinkel q nach Bild 4.147 und vonKniestücken mit Rechteckquerschnitt b · hebenfalls abhängig vom Umlenkwinkel q ausBild 4.148 bestimmt werden [4.71].

Bei

wer

tK

3

1,8

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,20 2 4 6 8

Verhältnis

Bereich Rdh

> 1,5

und 0 < q° ≤ 180°

hb

Bild 4.144 Beiwert K3 nach [4.69]

Verhältnis R /d

R

Ø d

Ø d

R

Ø dglatt

4-teilig

3-teilig

0,1

0,8

0,60,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,5 1,0 2,0 3,0 5,0

Wid

erst

and

sbei

wer

tz K

RBild 4.145zK-Wert von 90°-Falten-rohrkrümmern nach [4.69]

Bild 4.146 Widerstandsbeiwerte zK von90°-Segmentkrümmern im Vergleich zu glatten 90°-Bögen nach [4.99]


Das Strömungsverhalten von 90°-Krüm-mern mit rechteckigen Querschnitten ist sehrausführlich in [4.102] beschrieben, die angege-benen Widerstandsbeiwerte beruhen auf zahl-reichen Messreihen. In [4.103] ist ein Teil derMessergebnisse publiziert.

In einem älteren Aufsatz [4.104] finden sichauf Messungen gestützte Angaben über dieStrömungsverluste in 90°-Knien.

Maßnahmen zur Verringerung der Druck-verluste in Krümmern und Kniestücken, z.B.durch den Einsatz von Leitblechen und Leit-schaufeln sind in [4.102, 4.104, 4.105 und

4.106] beschrieben. In Bild 4.149 aus [4.107] istdie deutliche Reduzierung der Widerstands-zahl zK von Krümmern mit quadratischemQuerschnitt durch die richtige Wahl einer innenliegenden Abrundung bzw. durch denEinbau von Schaufelgittern aufgezeigt. Ähnli-che Angaben, die auch noch die Abhängigkeitder Widerstandszahl zK von der Reynolds-Zahl berücksichtigen, finden sich in [4.102].

d

vollständig rau

hydraulisch glatt

q1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Wid

erst

and

szah

lzK

Winkel q

0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°

0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 1,75 2,0 3,0a /b

2,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70°80°90°

Beispielb

b

a

w

q

qzK

Bild 4.147 Widerstandszahl von Kniestücken mitKreisquerschnitt nach [4.71]

Bild 4.148 Widerstandszahl von Kniestücken mit Rechteckquerschnitt nach [4.71]

Krümmerradius RK

RK

Abrundung außen

a

RK

amit Schaufelgitter Abrundung innen

1,2

0,8

0,4

00 0,4 0,8 1,2

Kanalbreite a

Verlu

stb

eiw

ert

z K

Bild 4.149 Einfluss der Innen- und Außenabrun-dung auf den Widerstandsbeiwert von Krümmernmit quadratischem Querschnitt nach [4.107]


4.7.7.6 Rohrverzweigungen

a) EinleitungBei Rohrverzweigungen unterscheidet man,auf die Strömungsrichtung bezogen, zwischenStrömungstrennung V = Vd + Va mit V als demVerzweigungsrohrstück zuströmenden Volu-menstrom und Strömungsvereinigung V = Vd

+ Va mit V als dem vom Vereinigungsrohr-stück abströmenden Volumenstrom.

Ähnlich wie bei Stoßkräften von Freistrah-len an geneigten oder gekrümmten Wänden(Tabelle 4.3) oder bei der Strahlablenkung ei-nes Freistrahles an einer Schneide (Abschnitt4.3.4.2d) lassen sich die Strömungsverhält-nisse, einschließlich Druckverluste mit Hilfevon Impulssatz, Energiegleichung und Konti-nuitätsgleichung an Rohrverzweigungen ex-akt beschreiben ([4.5, 4.53, 4.71 und 4.81]).Ohne Ableitung werden die Energiegleichun-gen für Trennung und Vereinigung in Tabelle4.22 angegeben [4.5]:

Tabelle 4.22 Energiegleichung von Rohrverzweigungen

Trennung Vereinigung

Strömung im Zugangsrohr:

r r rpa + aa · 2 · w–a

2 = pw + aw · 2 · w–w2 + DpR, aw + za · 2 · w– w

2

2 2 2

Strömung im Durchgang:

r r rpd + ad · 2 · w–d

2 = pw + aw · 2 · w– w2 + DpR, dw + zd · 2 · w2

w2 2 2

aa , ad und aw sind Energiestrombeiwerte nach Glei-chung 4.135.DpR, aw und DpR, dw sind die Wandreibungsdruck-

verluste zwischen Aa und Aw bzw. Ad und Aw. DieBeiwerte za und zd können aus Bild 4.150 entnom-men werden.

Strömung im Abzweig:

r r rpe + ae · 2 · w–e

2 = pa + aa · 2 · w–a2 + DpR , ea + za · 2 · w–a

2

2 2 2

Strömung im Durchgang:

r r rpe + ae · 2 · w–e

2 = pd + ad · 2 · w–d2 + DpR , ed + zd · 2 · w–d

2

2 2 2

dabei bedeuten die Beiwerte ae , aa und ad die Ener-giestrombeiwerte nach Gleichung 4.135, DpR , ea undDpR , ed sind die Wandreibungsdruckverluste bei un-gestörter Strömung zwischen den Querschnitten Ae

und Aa bzw. Ae und Ad .Die Beiwerte za und zd können beispielsweise aus

Bild 4.150 entnommen werden.

wd

Abzweig

DurchgangV.

Ae

Vd

.

Ad

pdpe

we

Aa

wa

pa

Va

.

ww

Zugangsrohr

Durchgang

V.

pwpd

wd

wa

pa

Vd

.

Va.


b) DruckverlusteInfolge Umlenkung, Ablösung und in gerin-gem Maße auch Wandreibung treten in Rohr-verzweigungen erhebliche Druckverluste auf,die im Wesentlichen von der Geometrie derVerzweigungsstücke und der Volumenstrom-aufteilung abhängen.

Wegen der großen Formenvielfalt der inder Praxis üblichen Rohrverzweigungen ist esnicht möglich, alle aus Versuchen gewonne-nen Widerstandsbeiwerte wiederzugeben,weshalb nur eine kleine Auswahl von z-Wer-ten angegeben wird und in Tabelle 4.23 auf diezahlreiche Fachliteratur verwiesen wird.

Die Bezugsgeschwindigkeit zur Berech-nung des Druckverlustes nach Gleichung4.157 ist üblicherweise die Strömungsge-schwindigkeit des noch nicht getrennten Volu-menstromes V bzw. des schon vereinigten Vo-lumenstromes V (siehe Bild 4.150) und berech-net sich nach der bekannten Beziehung:

Vw– = 82pd2 · 34

Die Widerstandsbeiwerte können aus Bild4.150 entnommen werden. Bei der gleichmä-ßigen Trennung des Volumenstromes V in2 · V/2 in T-Stücken tritt der Druckverlust

rDpv = zT · 3 · w– 2 (Gl. 4.186)

2

auf. In Bild 4.151 ist eine kleine Auswahl vonzT-Werten zusammengestellt.

In Hosenrohren mit geraden oder ge-krümmten Abzweigen entsteht ein Druckver-lust, der sich bei bekanntem Widerstandsbei-wert zH nach der Beziehung

rDpv = zH · 3 · w– 2 (Gl. 4.187)

2

abschätzen lässt.Die Bilder 4.152 und 4.153 enthalten Anga-

ben über die zH-Werte. Andere geometrische

1,5

1,0

0,5

0

–0,50 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

z az d

Va /.

V.

+ 1

+ 0,5

0

– 0,5

– 10 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

z az d

Va /.

V.

Vd

.V.

Va

.V a

.

Vd

.V.

f = 90° f = 90°

f = 60°

f = 60°

f = 45°

f = 45°

f = 60°

f = 90°

f = 90°

f = 60°f

= 45°

d d

f f

Bild 4.150 Widerstandszahlen von Abzweigstücken: a) Trennung, b) Vereinigung

a b

Trennung Vereinigung


Ausführungen von Rohrverzweigungen sindin der in Tabelle 4.23 aufgeführten Literatur zufinden.

4.7.7.7 Dehnungsausgleicher

In Rohrleitungen größerer Ausdehnung wer-den Dehnungsausgleicher (Kompensatoren)

V.

V.

V.

V.

V/2.

V/2.

V/2.

V/2.

V/2.

V/2.

V/2.

V/2.

kugelförmig mitnach innen

abgerundetem Halskugelförmigscharfkantig

abgerundetmit

geradem Boden

zT =1,3 zT = 2,5…5 zT = 0,9 zT =0,7

V.

V/2.

V/2.

f

w f 10° 30° 45° 60° 90°

zH 0,1 0,3 0,7 1,0 1,4

V.

V/2.

V/2.

w R /d 0,5 0,75 1 1,5 2,0

z H 1,1 0,6 0,4 0,25 0,2

d

R

Tabelle 4.23 Literaturübersicht-Rohrverzweigungen

Teilgebiet der LiteraturstellenStrömungstechnik

Allgemeine Strömungslehre, [4.5, 4.53, 4.69,Grundlagen 4.71, 4.80, 4.81]

Wasserversorgung, [4.53, 4.100]Rohrhydraulik

Heizungstechnik [4.42]

Lüftungstechnik [4.68, 4.78, 4.99]

Ladungswechsel in [4.110]Verbrennungsmotoren

Bild 4.153 Widerstandszahlen von Hosenrohren

Bild 4.151Widerstandszahlen vonT-Stücken

Bild 4.152 Widerstandszahlen von Hosenrohren

eingebaut, um konstruktiv oder thermisch be-dingte Längenänderungen auszugleichen.

Der Druckabfall in einem Dehnungsaus-gleicher berechnet sich nach der bekanntenGleichung 4.157:

rDpv = z · 3 · w– 2

2

Die mittlere Geschwindigkeit w bezieht sichüblicherweise auf den Rohrquerschnitt vordem Kompensator.

Widerstandszahlen z sind in Tabelle 4.24zusammengestellt, bezüglich Literatur wirdauf [4.65 bis 4.67 sowie auf 4.108 und 4.109]verwiesen.

4.7.7.8 Absperr- und Regelorgane

Zur Regelung bzw. Absperrung des Volumen-stroms werden in Rohrleitungen Absperr- undRegelarmaturen der verschiedensten geome-trischen Bauformen und mit unterschiedli-chen Funktionen eingebaut.


Tabelle 4.24 Widerstandsbeiwerte von Kompensatoren

Kompensatortyp z-Wert

Stopfbuchskompensator

scharfkantiger U-Bogen

a/d 0 2 5 10

z 0,33 0,21 0,21 0,21

z ª 0,2 nach [4.69]

Wellrohrkompensator

∆d 50 100 200 300 400 500 mm

z 1,7 1,6 1,6 1,8 2,1 2,3

nach [4.69]

bei mehr Wellen erhöht sich z entsprechend um etwa 0,2pro Welle

U-Bogen mit Krümmern

∆d 50 100 200 300 400 500 mm

z 2 2,1 2,3 2,5 2,7 2,9

nach [4.69]


Infolge starker Richtungs- und Quer-schnittsänderungen, verbunden mit Ablösun-gen und Verwirbelungen, unterliegt die Strö-mung großen Reibungs- und Verwirbelungs-verlusten, wobei zwischen den Grundver-lusten im voll geöffneten Zustand und denzusätzlichen Verlusten im angedrosselten Zu-stand unterschieden wird.

Der Druckverlust wird mittels der bekann-ten Basisgleichung 4.157 abgeschätzt:

rDpv = z · 3 · w– 2

2

wobei w– meistens die mittlere Strömungsge-schwindigkeit im Eintrittsquerschnitt ist.

Die Widerstandszahl z hängt i.Allg. wie beianderen Rohreinbauten von folgenden Para-metern ab:

❑ Makro- und Mikrogeometrie der Armatur,❑ Reynolds-Zahl (nicht bei allen Aus-

führungen),❑ Öffnungsgrad

und wird auf dem Versuchsweg ermittelt.In [4.53] ist folgende allgemeingültige Be-

ziehung angegeben, die die Abhängigkeit desz-Wertes von Ventilen, Schiebern und Klappen

von den oben genannten Parametern anschau-lich beschreibt:

C A 2

z = 5 + �0 – 1� + z0 (Gl. 4.188)Re y · As

Der 1. Term C/Re beschreibt den Einfluss derReynolds-Zahl, wobei C von der Geometrieder Armatur abhängt.

A 2

Der zweite Ausdruck �0 – 1� berück-y · AS

sichtigt den Stoßverlust nach BORDA-CARNOT,wobei A der Querschnitt bei geöffneter Arma-tur, AS der freigegebene Strömungsquerschnittund y die Kontraktionszahl des Strahles ander Einschnürungsstelle sind.

Der letzte Term z0 ist die von der Bauformder Armatur abhängige Widerstandszahl beivoller Öffnung.

Betrachtet man die in Bild 4.154 dargestell-ten Kurvenzüge z = f (Re, Öffnungsgrad) vonDrosselklappen, erkennt man die Aussage-qualität von Gleichung 4.188.

Für Druckverlustberechnungen in der Be-rufspraxis empfiehlt sich die Beschaffung derz-Werte bei den Herstellern der Armaturen,


Kompensatortyp z-Wert

Lyrabogen GlattrohrR0/d = 6 ∆d 50 100 200 300 400 500 mm

r/d = 5z 1,7 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6

nach [4.69]

FaltenrohrR0/d = 6 ∆d 80 100 200 300 400 500 mm

r/d = 6z 2,0 2,2 2,5 2,8 3,1 3,5

nach [4.69]

WellrohrR0/d = 5 ∆d 50 100 200 300 400 500 mm

r/d = 3z 3,0 3,3 3,7 4,2 4,6 5,0

nach [4.69]


ggf. müssen Messungen durchgeführt wer-den.

Für überschlägige Abschätzungen desDruckverlustes können folgende Quellen ge-nutzt werden:

❑ Absperr- und Regelarmaturenin geöffnetem Zustand: Bild 4.155,

❑ Rückschlagklappen in ge-öffnetem Zustand: Bild 4.156,

❑ Regelarmaturen: Tabelle 4.25.

Weitere Angaben finden sich u.a. in den Lite-raturstellen [4.53, 4.69, 4.71, 4.78, 4.100, 4.107und 4.111].

Die Umrechnung des kv-Wertes von Regel-armaturen in äquivalente z-Werte wurde be-reits in Abschnitt 4.7.7.1, Grundlagen behan-delt.

4.7.7.9 Drosselgeräte

Drosselgeräte dienen zur Messung des Volu-menstroms V mittels Wirkdruck Dpwirk (sieheAbschnitt 6.5.3) an der Einschnürung einerBlende, einer Düse oder eines Venturirohres(Bild 4.157).

Neben dem Wirkdruck entsteht auch ein«bleibender Druckverlust» Dpv , der durch Rei-bung und Verwirbelung hervorgerufen wird.

Dieser Druckverlust lässt sich nach der be-kannten Beziehung der Gleichung 4.157 schät-zen.

rDpv = z1 · 3 · w– 1

2

2

Der Druckverlustbeiwert z1 muss, wie dieDurchflusszahl a bzw. der Durchflusskoeffi-zient C, experimentell ermittelt werden.

104

103

102

10

1

10 10 2 10 3 10 4 10 5

0

offen,

geschlossen

a = 0°

a = 90°z

a / 90° = 0,8

0,6

0,4

0,2

offen

laminar Übergang turbulent

Reynolds-Zahl Re

a

Bild 4.154 Widerstandsbeiwert von Drosselklappen nach [4.53]


Für Überschlagsrechnungen kann die in[4.71] angegebene Näherungsgleichung ver-wendet werden:

d 2

1 – �4�Dz1 ≈ 06 (Gl. 4.189)

d 4

a2 · �4�D

wobei a die von der Geometrie des Drosselge-rätes und von der Reynolds-Zahl ReD abhängi-ge Durchflusszahl ist, die den einschlägigenNormen, z.B. [4.112], entnommen werdenkann.

In [4.112] werden folgende Gebrauchsfor-meln zur Abschätzung des bleibenden Druck-verlustes angegeben:

10

8

6

4

2

00 50 100 150 200 250 mm 300

Wid

erst

and

szah

lz

Nennweite d

1 1 2 3 4

2

3

4

5 6

dw

10

8

6

4

2

00 50 100 150 200 250 mm 300

Wid

erst

and

szah

lz

Nennweite d

1 2 3 4

2 3

5

6

dw

5

4

6

Bild 4.155Widerstandszahlen vonArmaturen nach [4.103]

Bild 4.156Widerstandszahlen vonRückschlagarmaturennach [4.103]


❑ für Blenden und Düsen:

1 – a · b2

Dpv ª05 · Dpwirk (Gl. 4.190)1 + a · b2

a DurchflusszahlC

a = 02d01 – b4

C Durchflusskoeffizientb = d/D Durchmesserverhältnis

❑ für Venturi-Rohre (Bild 4.158):

Der sog. relative Druckverlust x kann wiefolgt abgeschätzt werden:

Dpv¢¢ – Dpv¢x = 00 (Gl. 4.191)Dpwirk

Dpv¢¢ Druckabfall mit eingebautemVenturirohr

Dpv¢ Druckabfall ohne Venturi-Rohr beigleicher Rohrlänge zwischen denMesspunkten �1 und �2 (Bild 4.158)

Nach [4.112] liegt x im Bereich 0,05…0,2 undkann mit Hilfe von Bild 4.159 unter Be-rücksichtigung von Durchmesserverhältnis b,der Reynolds-Zahl ReD und Diffusorerweite-rungswinkel j näher bestimmt werden.

In der Fachliteratur, z.B. in [4.69, 4.80 und4.103], finden sich Tabellen und Kurvenblät-ter, die Druckverlustbeiwerte z1 für verschie-dene geometrische Formen von Drosselgerä-ten angeben.

4.7.7.10 Filter und Siebe

a) Saugkörbe mit FußventilAm Anfang von Pumpensaugleitungen wer-den üblicherweise Saugkörbe mit Fußventil(Bild 4.160) angebracht.

Der am Saugkorb entstehende Druckver-lust berechnet sich aus der bekannten Glei-chung 4.157:

Tabelle 4.25 Widerstandszahlen von Regelarmaturen (nach [4.71])

Armatur Bild z-Werte abhängig von der Stellung des Stellgliedes

Drossel- Winkel j 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70°klappe

z-Wert 0,52 1,54 3,91 10,8 32,6 118 251

Küken- Winkel j 10° 20° 30° 40° 50°hahn

z-Wert 0,31 1,84 6,15 20,7 95,3

Platten- h/d 0,125 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0schieber

z-Wert 97,8 35 10,0 4,6 2,06 0,98 0,44 0,17 0,06 0

w1d

D

Druckverlauf:

Wirkdruck Druckabfall Dpv

Bild 4.157 Druckverlauf an einem Drosselgerät


rDpv = z · 3 · w– 2

2

wobei w– die Austrittsgeschwindigkeit amSaugkorbflansch ist. Nach [4.111] betragen dieWiderstandszahlen:

Siebgeometrie, der Reynolds-Zahl Re1 undvom Staudruck der Anströmgeschwindigkeitabhängt.

Der Druckverlust kann nach Gleichung4.157 abgeschätzt werden:

rDpv = zS · 3 · w– 2

2

w– ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeitim freien Rohrquerschnitt.

In Tabelle 4.27 sind die Widerstandszah-len zS verschiedener Siebformen zusammen-gestellt.

Weitere Literatur siehe [4.113, 4.114 und4.125].

c) Lochbleche (Lochplatten)An einer in eine Rohrleitung eingebaute Loch-platte (Bild 4.161) tritt ein erheblicher Druck-verlust Dpv auf:

rDpv = z · 3 · w– 2 (Gl. 4.157)

2

Bild 4.158 Druckverlust des klassischen Venturi-Rohres nach [4.112]

Tabelle 4.26 z-Werte von Saugkörben

Nennweite DN (in mm) 50…80 100…350

w– = 1 m/s 4,1 3,0Geschw. � w– = 2 m/s 3,0 2,25

w– = 2,5 m/s 2,8 2,25

Der Pumpenhersteller KSB gibt für die Saug-körbe seiner Bohrlochpumpen einen Werte-bereich von z = 1,1…1,9 an.

Auch für die Saugleitungen von Feuer-löschpumpen gelten besondere Richtlinien, indenen auch die z-Werte der Saugkörbe festge-legt sind.

b) SiebeAn einem in eine Rohrleitung eingebautenSieb entsteht ein Druckverlust, der von der

Strömungsrichtung

>1D


Tabelle 4.27 Widerstandszahlen zS von Sieben

Siebgeometrie Widerstandszahl z S

w– · sfür Re = 7 > 400:n

1 2

zS = 1,3 (1 – a ) + �3 – 1�a

Ao freier Querschnitt im Sieba = 4 = 00001A Rohrquerschnitt

w– · sfür Re = 7 < 400:n

zS* = zS · kRe

Re 50 100 150 200 300 400

kRe 1,44 1,24 1,13 1,08 1,03 1,01

zS von Sieben aus Textilfasern ist etwa um den Faktor 1,6größer als zS von Metallsieben

Metallsiebnach [4.69]

s/tzS = 95 · 0,8

(1 – s/t)2

nach [4.113 und 4.114]

s 2 2 2,5 3,1 mm

t 20 25 25 25 mm

zS 0,34 0,27 0,32 0,39

1 – bzS = 71 · cwb 2

s 2

b = �1 – 2�t

w– · sRe = 71b · n

c w

0 1000 2000 3000 40000

1,0

2,0


Die Widerstandszahl z = zL/j2 hängt im We-sentlichen von folgenden Parametern ab:

w– L · dL❑ Reynolds-Zahl ReL = 03n

dL2

❑ Versperrungsgrad j = z · �4�dmit: z Anzahl der Löcher

❑ relative Plattendicke b/dL

❑ Geschwindigkeitsprofil der ankommendenStrömung

In [4.71] sind mehrere Diagramme angegeben,aus denen der auf die Lochströmung bezo-gene Verlustbeiwert zL in Abhängigkeit vonobigen Parametern entnommen werden kann.In Bild 4.162 ist ein zusammenfassendes Kur-venblatt für zL für Reynolds-Zahlen ReL > 104

wiedergegeben.Weitere Angaben über den Strömungswi-

derstand von Lochblechen finden sich u.a. in[4.69, 4.80 und 4.103].

Bild 4.159 Druckverlust des klassischen Venturirohres nach [4.112]: a) Einfluss vom Durchmesserverhältnis b und der relativen Rauheit k/D, b) Einfluss der Reynolds-Zahl ReD ,c) Einfluss vom Diffusorwinkel j

c)


d) FestkörperschüttungenFestkörperschüttungen sind Packungen auseinzelnen Partikeln, die von einem Fluiddurchströmt werden.

Festkörperschüttungen dienen in der Ver-fahrenstechnik hauptsächlich zur Erzeugungeiner möglichst großen Oberfläche je Volumen-einheit und werden in der Praxis beispiels-weise bei folgenden Vorgängen eingesetzt:

❑ Trocknen oder Rösten von Schüttgütern,❑ Filtriertechnik z.B. in der Wasserauf-

bereitung,❑ Wärmeprozesse in Hoch-, Schacht- oder

Drehrohröfen,❑ Mischprozesse in Behältern, Silos und

Bunkern,❑ chemische Prozesse in Katalysatorfest-

betten.

Zur Berechnung des Druckverlustes in Fest-körperschüttungen gibt es 2 Modellvorstel-lungen:

1) Das ältere Modell, das die Hohlräumezwischen den Partikeln durch parallel- und inReihe geschaltete Kapillarröhrchen mit dem

DN

w

Bild 4.160 Saugkorb mit Fußventil (Nach Fa. Bopp & Reuther)

w

Ø dL

Ø dwL

b

d

dL

a

a a

Bild 4.161 Lochblech in einem Rohr


hydraulischen Durchmesser dh ersetzt, der wiebekannt definiert ist:

4 ¥ durchströmter Querschnitt 4 · Adh = 000005 = 9benetzter Umfang U

Der Querschnitt A wird dabei als der auf diePackungslänge DL bezogenen Hohlraum VH

festgelegt

VHA = 6DL

und der benetzte Umfang als die auf diePackungslänge DL bezogene Oberfläche AP

der Partikel aufgefasst

APU = 6DL

Aus dieser Grunddefinition

VHdh = 4 · 6AP

erhält man über verschiedene Umformungenfolgenden für die Anwendungspraxis geeig-neten Ausdruck für den hydraulischen Durch-messer dh [4.61]:

2 edh = 3 · 8 · dP (Gl. 4.192)

3 1 – e

hierin bedeuten:

Hohlraumvolumene = Porosität = 0005Gesamtvolumen

VHe = 04VH + VP

dP charakteristischer Partikeldurchmesser

VPdP = 6 · 5AP

Oder als sog. Sauter-Durchmesser aus einergemessenen Partikelgrößenverteilung berech-net [4.115]:

n Vi 1 – 1

dP = �Â �5 · 5��i = 1 V dPi

mit Vi/V als dem Volumen des i-ten Partikel-größenintervalls Vi , bezogen auf das gesamteanalysierte Partikelvolumen V und den mittle-ren Partikeldurchmesser des Intervalls dPi .

b/dL =0,250,350,450,480,500,520,540,651,002,00

3

2

1

00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50

104 ≤ ReL ≤ 5 ·104

Versperrungsgrad f

Verlu

stb

eiw

ert

zL

Bild 4.162 Verlustbeiwert zL von Lochplatten nach [4.71]


In [4.61] sind Angaben über die Porosität zahl-reicher Partikelformen und Packungsartenenthalten.

Für kugelförmige Füllkörper ergeben sichnach [4.61] die in Tabelle 4.28 zusammenge-stellten Porositäten e :

Dpv w–e w–e2

6 = k1 · 5 + k2 · rFl · 5DL dh2 dh

Durch Einführen von dh nach Gleichung 4.192und w–e = w–/e erhält man über mehrere Zwi-schenschritte:

Dpv (1 – e)2 w– 1 – e w– 2

6 = k1 · h · 01 · 4 + k2 · rFl · 8 · 6DL e3 dP2 e3 dP

(Gl. 4.193)

Man kann Gleichung 4.193 auch in der für dieRohrreibung üblichen Darstellung formulie-ren:

Dpv r · w– 2 1 – e51 = l · 01 · 9 (Gl. 4.194)DL dP e3

wobei l von der Reynolds-Zahl und von derMakro- und Mikrogeometrie der Schüttungabhängt:

Tabelle 4.28Porositäten e von Kugelschüttungen [4.61]

Schüttungsgeometrie Zahl der eBerührungs-punkte

kubisch primitiv 6 0,477orthorhombisch 8 0,395tetragonal 12 0,259

(dichteste Packung)«statistisch gemischt» 0,37

Tabelle 4.29 Porositäten e von verschiedenen Parti-kelschüttungen

Partikelform e

Kugel 0,33…0,42Raschigringe 0,52…0,80Berlsattelkörper 0,55…0,75Intaloxsattelkörper 0,65…0,80

Der auf die Schichthöhe DL (Bild 4.163) bezo-gene Druckverlust Dpv hängt von folgendenGrößen ab:

❑ mittlere Strömungsgeschwindigkeit w–ein den Poren,

❑ bzw. Anströmgeschwindigkeit w–

❑ hydraulischer Durchmesser dh

❑ Porosität e❑ dynamische Viskosität h des Fluids❑ Dichte rFl des Fluids

Wie bei der Rohrströmung kann man sichauch den Druckverlust in Schüttungen aus 2Komponenten zusammengesetzt vorstellen:

Viskositätsanteil – proportional h · we

Trägheitsanteil – proportional rFl · we2

Andere Füllkörperformen erreichen nach [4.61]höhere Porositäten (Tabelle 4.29).

Sieb

Siebw

∆ L

Ø d

∆ pv

d P

p-Verlauf

Bild 4.163 Füllkörpersäule


1 – el = k1 · 9 + k2 (Gl. 4.195)

ReP

Für Schüttungen aus Koks, Erz, gebrochenenSteinen usw. hat ERGUN [4.116] folgende Wertefür k1 und k2 angegeben:

k1 = 150; k2 = 1,75

ReP ist wie folgt definiert:

w– · dP rFl · w– · dPReP = 9 = 07n h

Für Schüttungen aus Kugeln gleichen Durch-messers dP , dK hat BRAUER [4.61] folgendenAusdruck für l vorgeschlagen:

160 3,1l = 6 + 7Re Re 0,1

RePmit Re = 81 – eFür den Bereich kleiner Reynolds-Zahlen, indem der Druckverlust viskositätsdominiertist, wird in [4.115] empfohlen, die CARMAN-KOZENY-Gleichung anzuwenden:

Dpv (1 – e)2

6 = 4 · 01 · SV2 · h · w– (Gl. 4.196)

DL e3

mit SV als volumenbezogener spezifischerOberfläche, die von der Partikelform und derPartikelgrößenverteilung abhängt.

Man kann Gleichung 4.196 auch als Weiter-entwicklung der DARCY’schen Gleichung (s.Namensverzeichnis)

Dpv h · w–6 = 8 (Gl. 4.197)DL B

auffassen, wenn B als die für jede Schüttungs-art experimentell zu bestimmende Durchläs-sigkeit ist.

2) Das neue Modell, das den Druckverlustauf die Umströmung der Partikel zurückführt.

Dieses Strömungsmodell, das auf MOLERUS

zurückgeht [4.117], setzt die Widerstandskraftaller Partikel z · W1 gleich der Druckkraft Dpv ·A, wenn A der Querschnitt der Schüttung ist.

z · W1 = Dpv · A

Die Partikelzahl z berechnet sich aus der Po-rosität e und dem mittleren Partikeldurch-messer dP :

(1 – e) · A · DLz = 004p

dP3 · 36

damit ergibt sich für W1:

Dpv dP3 · p 1

W1 = 6 · 0 · 8DL 6 1 – e

Dividiert man die Widerstandskraft W1 durchrFl w– 2

den Staudruck 41 · �4� und die Spantfläche2 e

pdes Partikels dP

2 · 3 , erhält man die dimen- 4

sionslose Euler-Zahl Eu

W1Eu = 000rFl w– 2 dP2 · p

5 · �4� · 02 e 4

4 Dpv dP e2

= 3 · 6 · 20 · 93 DL rFl · w– 2 1 – e

Dpvoder nach 6 umgestellt:DL

Dpv 3 1 1 – e6 = 3 · Eu · rFl · w– 2 · 4 · 8 (Gl. 4.198)DL 4 dP e2

Die Euler-Zahl Eu ist eine Funktion der Rey-nolds-Zahl, der Porosität e und der Partikel-form.

In Bild 4.164 ist die Euler-Zahl Eu vonrauen Kugeln abhängig von der Reynolds-Zahl Re und der Porosität e dargestellt. Manerkennt, dass sich die Euler-Zahl ab Re � 104

praktisch nicht mehr ändert.Weitere Einzelheiten dazu, u.a. auch über

die Euler-Zahl nichtkugelförmiger Partikelfinden sich in [4.115].

Der Druckverlust in sog. Wirbelschichten,auch Fließbett (englisch: fluidized bed) unter-liegt anderen Gesetzmäßigkeiten als derDruckverlust in einer Schüttung (Festbett), da


in Wirbelschichten so hohe Strömungsge-schwindigkeiten herrschen, dass die Partikelim Fluid suspendiert sind und den permanen-ten Berührungskontakt untereinander ver-loren haben.

In diesem fluidisierten Zustand steht derDruckabfall Dpv des Fluids im Gleichgewichtmit der Gewichtskraft der Partikel und desFluids.

Mit guter Näherung kann also der einfacheAnsatz

Dpv8 ≈ 1 (Gl. 4.199)G/A

gebildet werden, solange das Verhältnis derStrömungsgeschwindigkeit w zur Geschwin-digkeit wL im sog. Lockerungspunkt zwischen1…50 liegt.

In Gleichung 4.199 bedeuten G das Gesamt-gewicht der Partikel und A den Gesamtquer-schnitt des Wirbelschichtbettes.

Nähere Einzelheiten zum Druckabfall inWirbelschichten finden sich in [4.118].

Weiterführende Literatur zum Thema Strö-mungen und Druckabfall in Festkörperschüt-tungen findet sich u.a. in [4.119 bis 4.122].

4.7.7.11 Zusammengesetzte Widerstände

Werden mehrere Rohreinbauelemente un-mittelbar hintereinandergeschaltet, dür-fen die z-Werte der einzelnen Rohr-elemente nicht einfach addiert werden,da die Zu- und Abströmverhältnissemeist nicht mehr denen der Versuchsbe-dingungen auf einem Prüfstand entspre-chen, unter denen die z-Werte ermitteltwurden.

Für jede Kombination von Rohrformstückenmüssen zur Ermittlung des Druckverlustesbesondere Versuche durchgeführt werden. InBild 4.165 aus [4.99] ist z.B. der Widerstands-

Reynolds-Zahl Re

100 101 102 103 104 105 106100

103

102

101

e = 0,360,380,420,460,500,54

0,400,440,480,520,56

Bild 4.164 Euler-Zahl von rauen Kugeln nach [4.115]

Eul

er-Z

ahl E

u


beiwert z1 von Diffusoren mit vorgeschaltetem90°-Krümmer abhängig vom Krümmungsver-hältnis R/d dargestellt. Erst bei größerenKrümmungsverhältnissen R/d > 2 macht sichdie gestörte Zuströmung des Diffusors kaumnoch bemerkbar, d.h., der Widerstandsbei-wert z1 des Diffusors mit vorgeschaltetemKrümmer nähert sich asymptotisch dem Wi-derstandsbeiwert z1 des Diffusors mit gerader,ungestörter Zuströmung z1 = 0,18.

Weitere Literaturangaben über Wider-standsbeiwerte kombinierter Rohrelementefinden sich beispielsweise in [4.69, 4.71 und4.80].

Trotz der beschriebenen Unzulänglichkei-ten bei der «Addition» von Strömungswider-ständen soll doch die «klassische» Reihen-und Parallelschaltung von Strömungswider-ständen formal dargestellt werden:

a) Reihenschaltung (Hintereinanderschaltung)

Bei Reihenschaltung von Strömungswider-ständen (Bild 4.166) werden bei inkompres-sibler Strömung alle Widerstände R1…Rn vomgleichen Volumenstrom V durchströmt.

Der Druckabfall Dpv, i an einem einzelnenWiderstand Ri ist bei turbulenter Durchströ-mung in guter Näherung proportional zumQuadrat des Volumenstroms V :

Dpv, i = Ri · V 2

Bei geraden Rohrstücken kann der Druckver-lust Dpv, i durch die bekannte Beziehung

li r 1Dpv,i = li · 4 · 3 · 5 · V 2

di 2 Ai2

ausgedrückt werden, d.h., Ri kann durch fol-genden Term ersetzt werden:

li r 1Ri = li · 4 · 3 · 5di 2 Ai

2

Bei nicht kreisförmigem Rohrquerschnitt wirddi durch den hydraulischen Durchmesser dh, i

ersetzt.Bei Rohreinbauelementen wird der Strö-

mungswiderstand Ri durch den z-Wert desRohrelementes ausgedrückt:

r 1Dpv,i = zi · 3 · 5 · V 2

2 Ai2

r 1Ri = zi · 3 · 52 Ai

2

Der Gesamtdruckverlust Dpv, ges ist die Summeder Einzeldruckverluste.

Dpv, ges = Dpv,i +…+ Dpv,i +…+ Dpv, n

Dpv, ges = Rges · V 2 = (R1 +…+ Ri +…+ Rn) · V 2

r n li 1 ziDpv, ges = 3 · V 2 · Â �li · 3 · 5 + 5�2 i = 1 di Ai2 Ai

2

(Gl. 4.200)

b) ParallelschaltungBei Parallelschaltung von Strömungswider-ständen (Bild 4.167) verzweigt sich der Volu-

Bild 4.165 Widerstandsbeiwert z1 eines Diffusorsbei Störung des Geschwindigkeitsprofils am Diffusoreintritt nach [4.99]

R1 R2 R3

Dp v

Dpv1

Dpv2

Dpv3

p-Verlauf

V

Bild 4.166 Reihenschaltung von Strömungswiderständen


menstrom V in die TeilvolumenströmeV1…Vn , der Druckverlust Dpv ist an allen Wi-derständen gleich.

Dpv = Dpv,1 = Dpv,i = Dpv, n

d.h. Dpv = Ri · Vi2 = Rges · V 2

Aus V = V1 +…+ Vi +…+ Vn

7 7 7 7Dpv Dpv Dpv Dpvwird f6= f6 +…+ f6 +…+ f6Rges R1 Ri Rn

1 1 1 1 n 10 = 7 +…+ 7 +…+ 7 = Â 7

d8Rges d5R1 d5Ri d5Rn i = 1 d5Ri

1Rges = 830n 1 2

� Â 7�i = 1 d5Ri

V 2

Dpv = 830 (Gl. 4.201)n 1 2

� Â 7�i = 1 d5Ri

li r 1 für geradeRi = li · 3 · 3 · 5di 2 Ai

2 Rohrstückemit � r 1 für Rohrein-

Ri = zi · 3 · 52 Ai2 bauelemente

Dpv

p-Verlauf

R1

R2

R3

V.

V.

V1

.

V2

.

V3

.

Bild 4.167 Parallelschaltung von Strömungswiderständen

Beispiel 30

Aufgabenstellung:Die Saugleitung einer Pumpenanlage be-steht aus einem Saugkorb mit Fußventil, einem 6 m langen geraden Stahlrohr (k =0,1 mm) und einem 90°-Krümmer (k eben-falls 0,1 mm) mit einem Krümmungsver-hältnis R/d = 800/200 = 4 (Bild 4.168).

Die Rohrleitung und der Krümmer ha-ben einen Innendurchmesser d = 200 mm,was auch der Nennweite des Saugkorbs ent-spricht. Die Pumpensaugstutzenmitte liegt5 m über dem Wasserspiegel. Wie groß wirdder Unterdruck DpE am Pumpensaugstut-zen, bezogen auf den UmgebungsdruckpUm, wenn je Sekunde 60 l Wasser von 15°Cdurch die Saugleitung strömen?

Lösung:Da bei der Strömung im Saugrohr sowohlHöhen-, Druck- und Geschwindigkeitsun-terschiede als auch Reibungsverluste auftre-

Bild 4.168 Pumpensaugleitung (nicht maßstäblich) zu Beispiel 30


ten, wird der gesuchte Unterdruck DpE mitHilfe der erweiterten Bernoulli-Gleichung4.119 berechnet.

rp1 + r · g · z1 + 3 · w1

2

2r

= p2 + r · g · z2 + 3 · w22 + Dpv2

Folgende Größen sind bzw. werden festge-legt:

z1 = 0 m

z2 = 5 m

w1 = 0 m/s, da saugseitiger Behälterquer-schnitt sehr groß

DpE = p1 – p2 mit p1 , pUm

rDpE = p1 – p2 = r · g · z2 + 3 · w2

2 + Dpv2

r · g · z2 = 1000 · 9,81 · 5 = 49050 Pa

V 60 · 10 – 3

w2 = w– = 0 = 05p pd2 · 3 0,22 · 34 4

w2 = w– = 1,91 m/s

r 10003 · w2

2 = 8 · 1,912 = 1824 Pa2 2

Der Druckverlust im Saugkorb beträgt nachAbschnitt 4.7.7.10 a):

rDpv = z · 3 · w– 2

2

wobei der z-Wert nach Tabelle 4.26 für w– ≈ 2 m/s und DN 200 ca. z = 2,25 beträgt.

1000Dpv, 1 = 2,25 · 8 · 1,912 = 4104 Pa2

Der Druckverlust im geraden, 6 m langenRohrstück berechnet sich nach Gleichung4.137a:

l rDpv = l · 3 · 3 · w– 2

d 2

wobei l als Funktion von Reynolds-Zahl Reund relativer Rauigkeit d/k aus Tafel 30 ab-gelesen wird.

w– · d 1,91 · 0,2Re = 8 = 08 = 3,38 · 105

n 1,13 · 10– 6

200d/k = 7 = 2000

0,1

ergibt ein l = 0,018 in Tafel 30

6 1000Dpv, 2 = 0,018 · 6 · 8 · 1,912

0,2 2

Dpv, 2 = 985 Pa

Der Druckverlust im Krümmer kann mitHilfe von Gleichung 4.182 abgeschätzt wer-den:

rDpv = zK · 3 · w– 2

2

wobei der Krümmerverlustbeiwert zK fürR/d = 4; q = 90°; Re = 3,38 · 105 und k/d =0,0005 aus Bild 4.137 zu zK = 0,3 abgelesenwird.

1000Dpv, 3 = 0,3 · 8 · 1,912

2

Dpv, 3 = 547 Pa

Obwohl es nicht genau ist, werden die 3Druckverlustwerte addiert:

Dpv = Dpv, 1 + Dpv, 2 + Dpv, 3

Dpv = 4104 + 985 + 547

Dpv = 5636 Pa

Möchte man den Druckverlust des Saugroh-res exakt bestimmen, müssten Versuchedurchgeführt werden.

Damit sind alle Werte gegeben bzw. be-rechnet, die zur Bestimmung des Differenz-druckes (Unterdruckes) DpE benötigt wer-den.

rDpE = r · g · z2 + 3 · w– 2 + Dpv2

DpE = 49050 + 1824 + 5636

DpE = 56510 Pa = 0,565 bar

DpE ist ein Unterdruck gegenüber dem Um-gebungsdruck pUm = p1.


4.7.8 Einlaufstrecke (Rohreinlauf)

Die in den vorangehenden Abschnitten be-schriebenen Berechnungsverfahren und Bei-werte zur Abschätzung des Druckverlustes inRohrleitungen und Rohreinbauelementen gel-ten nur für Rohrabschnitte, in denen die Ge-schwindigkeitsprofile voll ausgebildet sindund sich stromabwärts nicht mehr ändern.

Die am Beginn einer Rohrleitung gleich-mäßig über dem Querschnitt verteilte Ge-schwindigkeit (Kolbenprofil) ändert sichstromabwärts in ein rotationssymmetrischesGeschwindigkeitsprofil, dessen Einhüllendedurch Gleichung 4.132 beschrieben wird,

d 1/n

3 – rw 2 2 · r 1/n

8 = �81� = �1 – 7�wmax d d32

wobei der Exponent 1/n von der Reynolds-Zahl und der Wandrauigkeit abhängt.

Bei laminarer Strömung beträgt n = 2, in Ta-belle 4.13 sind einige Werte von n für turbu-lente Strömung zusammengestellt.

Zur Ausbildung des vollen Geschwindig-keitsprofils ist eine bestimmte Rohrlänge – diesog. Einlaufstrecke lein – erforderlich (Bild4.169). Nach L. PRANDTL wird die Einlauf-strecke lein als diejenige Rohrlänge definiert,nach der sich das Geschwindigkeitsprofil umweniger als 1% vom endgültigen Zustandnach Gleichung 4.132 unterscheidet [4.50].

Nach [4.5] kann die Einlaufstrecke lein vonRohren mit kreisförmigem Querschnitt nachfolgender empirischer Beziehung abgeschätztwerden:

lein ª a · Re b · d (Gl. 4.202)

Der Beiwert a und der Exponent b hängen vonder Reynolds-Zahl, der Form des Rohreinlaufs(abgerundet, scharfkantig) und der Wandrau-igkeit ab.

beschleunigte

Rohreinlaufströmung

vollausgebildete

Rohrströmung

Kolbenprofilvoll ausgebildetesGeschwindigkeitsprofil w = f ( r )

mittlereGeschwindigkeit w p

4

V.

d2

=

ReibungsschichtreibungsloseKernströmung

Druckverlaufp-Verlauf nach Gleichung 4.137a

∆p

V, g

es

∆p

V, z

us

l ein l

r d

∆p

V, e

in

x

Bild 4.169Einlaufstrecke


In [4.50] wird eine einfachere Gebrauchs-formel zur überschlägigen Bestimmung vonlein für laminare Strömung angegeben:

lein = Ce · Re · d (Gl. 4.203)

Für turbulente Strömung wird lein nur als Viel-faches des Rohrdurchmessers d ausgedrückt:

nach KIRSTEN:

lein = (50…100) · d (Gl. 4.204a)

nach NIKURADSE und BLASIUS:

lein = (25…40) · d (Gl. 4.204 b)

Zur Orientierung sind in Tabelle 4.30 einigeAngaben für die Beiwerte a, b und Ce zusam-mengestellt.

Für die Strömung nicht Newton’scherFluide wird in [4.57] folgende Überschlagsfor-mel zur Abschätzung der Einlauflänge lein an-gegeben:

lein ª (0,59 + 0,056 · Re) · d (Gl. 4.205)

Da im Einlaufbereich in Wandnähe größereStrömungsgeschwindigkeiten auftreten als imBereich der voll ausgebildeten Rohrströmung,ergeben sich größere Wandschubspannungen,die einen zusätzlichen Reibungsverlust zurFolge haben.

Insbesondere bei der Berechnung kurzerRohrleitungen, wie sie z.B. in Wärmetau-schern und Geräten eingebaut werden, ist diemöglichst genaue Berechnung dieses zusätz-lichen Druckverlustes besonders wichtig[4.123].

Nach [4.5, 4.50 und 4.56] kann dieserDruckverlust überschlägig mittels eines ausVersuchen gewonnenen Widerstandsbeiwer-tes z¢ein bestimmt werden.

rDpv, zus ª z¢ein · 3 · w– 2 (Gl. 4.206)

2

Für den Beiwert z¢ein finden sich in der zitier-ten Literatur folgende Angaben:

laminare Strömung:

z¢ein ª 1,12…1,45 häufig genannter Mittelwert: 1,16

turbulente Strömung:

z¢ein ª 0,058…0,076 bei abgerundetem Einlauf

z¢ein ª 0,4 bei scharfkantigem Einlauf

1 2

z¢ein ª �31 – 1� mit y als Kontraktionszahly

Wesentlich genauere, theoretisch exakt be-gründete Berechnungsverfahren finden sich in[4.123 und 4.124].

Ein in [4.123] hergeleiteter allgemeiner An-satz zur Berechnung des Gesamtdruckverlus-tes Dpv, ein im Rohreinlauf wird wie folgt zitiert:

Tabelle 4.30 Beiwerte für Rohreinlaufströmung

Strömungsart a b Ce

laminare Strömung 0,029…0,061 1,0 SCHILLER: 0,029BOUSSINESQ: 0,065NIKURADSE: 0,06

turbulente Strömung 0,6 0,25 für hydraulischglatte Strömungw · d

Re = 7 > 2320n

w– · dRe = 7 < 2320n


Dpv, ein x 1 n

01 = a · 3 · 01 (Gl. 4.207)r �d 1 �3 · w– 2 Re61 – m

2

xa = f �3 ; Re; m� nach Bild 4.170

dx = Abstand vom Rohreinlaufd = Rohrdurchmesser

w– · dRe = 8 = Reynolds-Zahl

n

m = 1/2 bei laminarer Strömung

m = 1/5 bei turbulenter Strömung

xn = f �3 ; Re; m; …) nach Bild 4.170

d

In [4.123] ist auch ein Kurvenblatt mit Anga-ben über die variable Rohrreibungszahl l =f (x/d und Re) enthalten, mit dessen Hilfe manden Druckverlauf p = f (x) berechnen und auf-tragen kann. Desgleichen finden sich Hin-weise zur Abschätzung des erhöhten Druck-verlustes bei scharfkantigem Rohreinlauf.

70

60

50

40

30

20

10

0

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

010–3 2 4 6 810–2 2 4 6 8 10–1 2 4 6 8100

xd · 1

Re

Exp

onen

tn

Bei

wer

ta

64

1

a

n

0,5

13,84

laminare Strömung

a)

0,40

0,38

0,36

0,34

0,32

0,30

1,0

0,96

0,92

0,88

0,84

0,8010–1 2 4 6 8100 2 4 6 8 101 2 4 6 8102

xd ·

Exp

onen

tn

0,370

1,0

a

n

0,80,316


b)

1714d6Re

Bild 4.170aBeiwert a und Exponent n zu Gleichung 4.207: laminareStrömung

Bei

wer

ta

Bild 4.170 bBeiwert a und Exponent n zu Gleichung 4.207: turbulenteStrömung


4.7.9 Spaltströmungen

Im Rahmen der Rohrströmung wird auch dieStrömung durch einfache Kreisringspalte(Bild 4.171) und Rechteckspalte (Bild 4.172)behandelt.

Bezüglich der geometrischen und fluid-mechanischen Daten und Randbedingungenwerden folgende Prämissen vorausgesetzt:

❑ die Strömung ist stationär, inkompressibel,drallfrei und isotherm,

❑ das Fluid hat Newton’sches Verhalten,❑ der Spaltquerschnitt bleibt über die ge-

samte Spaltlänge konstant,❑ die den Spalt begrenzenden Wände füh-

ren weder Dreh- noch Längsbewegungenaus.

Um eine Vorstellung vom Einfluss und Ge-wicht der einzelnen geometrischen Parameterund fluidmechanischen Größen auf den Leck-agevolumenstrom V zu bekommen, wird fürden konzentrischen Kreisringspalt (Bild4.171) die zur Hagen-Poiseuille’schen Glei-chung 4.127 analoge Durchflussgleichung fürlaminare Spaltströmung abgeleitet, wobeiüber die kritische Reynolds-Zahl Rekrit , bei derdie laminare Strömung in turbulente Strö-mung umschlägt weiter unten berichtet wird.

Die Reibkraft an einem Teilzylinder der radialen Ausdehnung y beträgt:

Fr = dm · p · l · t

Ar

Zur Überwindung dieses Reibungswiderstan-des hält eine gleich große Druckkraft Fd derReibkraft Fr das Gleichgewicht.

Fd = dm · p · y · (p1 – p2) = dm · p · y · Dp

Ad

Fr = Fd

dm · p · l · t = dm · p · y · Dp

Nach dem Newton’schen Schubspannungsan-satz (Gleichung 1.13) kann für die Wand-schubspannung t gesetzt werden:

dwt = – h · 51dy

In obigen Gleichgewichtsansatz eingesetzt, er-hält man eine Differentialgleichung, die dieGeschwindigkeitsverteilung im Spalt be-schreibt:

dw Dp– h · 51 = – 51 · y

dy l

Dpdw = – 51 · y · dy

h · l

Durch Integration und Ermittlung der Inte-grationskonstanten kann die Geschwindig-keitsverteilung als Gleichung der die

s0

p1

p2

w

Dp

21

l

GeschwindigkeitsverteilungLängsschnittQuerschnitt

s0 << dm

vereinfachte Darstellungdes Druckverlaufes

y

dm

p2p1

r1

r2

��

Bild 4.171 Kreisringspalt Bild 4.172 Rechteckspalt


Geschwindigkeitsvektorspitzen einhüllendenKurve angegeben werden:

Dp y 2

w = – 7 · 4 + Ch · l 2

Durch Haftung der Strömung an der Wandgeht die Geschwindigkeit w an der Stelle s0/2gegen 0, woraus die Integrationskonstante Cbestimmt werden kann.

Dp s02

C = 7 · 4h · l 8

Dp s02

w = 75 · �4 – y2� (Gl. 4.208)2 · h · l 4

Das Geschwindigkeitsprofil w = f (y) ist nachGleichung 4.208 ein zur Spaltmittellinie dm

symmetrische quadratische Parabel, was nichtganz exakt ist, da bei der obigen Ableitung derKrümmungseffekt der Spaltwände nicht be-rücksichtigt wurde.

In Wirklichkeit ist das Geschwindigkeits-profil asymmetrisch, das Geschwindigkeits-maximum liegt an einem Radius rmax [4.126]:

02rmax d 2 – 17 = f02 (Gl. 4.209)r2 2 · ln d

d.h. ist vom Radienverhältnis d = r1/r2 =1 – s0/r2 abhängig.

Deshalb stellt auch die folgende Ableitungder Beziehung für den Leckagestrom V nureine Näherungslösung dar, die umso unge-nauer wird je stärker d vom Wert 1 abweicht.

Nach der Guldin’schen Regel kann diemittlere Strömungsgeschwindigkeit w– durchGleichsetzen der Rotationsvolumen von AP

und A (Bild 4.173) bestimmt werden:

dm · p · AP = dm · p · A

2AP = 3 · wmax · s03

A = w · s0

2dm · p · 3 · wmax · s0 = dm · p · w · s03

2w– = 3 · wmax3

Dp s02

y = 0: wmax = 30 · 32 · h · l 4

2 Dp s02

w– = 3 · 30 · 33 2 · h · l 4

Durch Multiplikation der mittleren Strö-mungsgeschwindigkeit w– mit der Spaltquer-schnittsfläche p · dm · s0 erhält man den Lecka-gevolumenstrom V :

2 Dp s02

V = w– · ASpalt = 3 · 30 · 4 · dm · s03 2 · h · l 4

Dp · s03 · p · dmV = 500 (Gl. 4.210)

12 · h · l

Aus Gleichung 4.210 ist ersichtlich, dass bei la-minarer Spaltströmung im konzentrischenKreisringspalt der Leckagevolumenstrom Vproportional zur 3. Potenz der Spaltweite s0 ist.

In [4.126] ist folgende exakte Beziehung an-gegeben, die auch die Krümmung der Spalt-wände berücksichtigt:

p · Dp s04 (1 – d 2)2

V = 02 · 02 · �1 – d 4 + 04�8 · h · l (1 – d)4 lnd(Gl. 4.211)

Man erkennt, dass diese Schreibweise derDurchflussgleichung laminar durchströmter

Bild 4.173 Geschwindigkeitsverteilung in einemKreisringspalt

Ap

wmax w dm

A y

r1 r2

Mittellinie

Innenkontur

Außenkontur

s0


konzentrischer Ringspalte identisch ist mitder Hagen-Poiseuille’schen Gleichung 4.127,ergänzt durch ein Korrekturglied f(d), das dieKrümmung der Spaltwände berücksichtigt.

Zur genaueren Ableitung der Durchfluss-gleichung laminar und turbulent durchström-ter Spalte wird zunächst der Druckverlauf amund im Spalt betrachtet (Bild 4.174).

Man unterscheidet 4 Strömungsbereiche:

1) Einströmung, d.h. Querschnittssprung vomgroßen Querschnitt vor dem Spalt auf deni.Allg. sehr kleinen Spaltquerschnitt

rDruckverlust: Dpv, E = zE · 3 · w– 2

2

2) Einlaufströmung am Spaltanfang im Be-reich der Einlaufstrecke lein. Für die Länge

der Einlaufstrecke finden sich in der Litera-tur folgende Hinweise:

Konzentrischer Ringspalt (e = 0), laminareStrömung:

lein05 = f (d)2 · s0 · Re

wobei die Reynolds-Zahl wie bekannt defi-w– · 2 · s0

niert ist: Re = 04n

In Bild 4.175 ist die auf die Reynolds-Zahlund die Spaltweite s0 bezogene Einlauf-länge lein als Funktion des Radienverhält-nisses nach verschiedenen Autoren darge-stellt.

l ein«Brauchbarer» Mittelwert: 05 ª 0,012

2 · s0 · Re

Für Rechteckspalte wird der gleiche Mittel-wert

lein8 = 0,012 · Re2 · s0

empfohlen.Für die Strömung nicht Newton’scher Flui-de durch Rechteckspalte wird in [4.57] fol-gender Wert für die Einlauflänge angegeben:

lein5 = 0,63 + 0,044 · Res0

Für turbulente Spaltströmungen findensich in der Literatur nur spärliche Angaben.In [4.126] wird neben dem allgemein for-mulierten Ansatz

lein5 = konst · ReExp.

r2

noch angegeben, dass die turbulente Ein-laufstrecke i.Allg. größer ist als die lami-nare Einlaufstrecke.Der im Einlaufbereich entstehende zusätz-liche Druckverlust wird analog zu Ab-schnitt 4.7.8 wie folgt ausgedrückt:

rDpv, ein = zein · 3 · w– 2

2

l

A

E

p1 s0

p2lein

p2

p1

Dp v, E

Dp v, ein

Dp v, Sp

statischer Druck-verlauf

r2

Dp v, A

Verlauf desDruckverlustes

Dp v, ein

Dp v, E

Dp v, Ein

Dp v, Sp

Dp v, A

r1r2

w 2

Bild 4.174 Reale Strömung im Kreisringspalt


3) Die eigentliche, voll ausgebildete Spaltströ-mung mit gleichbleibendem Strömungs-profil und linearem Druckabfall.Der Druckabfall Dpv,Sp berechnet sich in Anlehnung an die Rohrströmung (Glei-chung 4.153):

l rDpv, Sp = l · 31 · 3 · w– 2

d h 2

wobei sich für den hydraulischen Durch-messer dh die in Tabelle 4.31 zusammenge-stellten Werte ergeben.Damit kann für beide Spaltformen die gleiche Druckverlustbeziehung angegebenwerden:

l rDpv, Sp = l · 8 · 3 · w– 2

2 · s0 2

Bild 4.175 Relative Einlauflängen konzentrischer Kreisringspalte nach [4.126]

Tabelle 4.31 Hydraulischer Durchmesser vonKreisring- und Rechteckspalten

Kreisringspalt Rechteckspalt

4 · Adh = 7U

A = p · dm · s0

U = 2 · p · d

(s0 O dm!)

4 · p · dm · s0dh = 992 · p · dm

dh = 2 · s0

4 · Adh = 7U

A = b · s0

U = 2 · b + 2 · s0

4 · b · s0 4 · s0dh = 98 = 942 · b + 2 · s0 2 · s02 + 7b4 · s0lim dh = 71

b Æ ∞ b

dh = 2 · s0

d


4) Die Auslaufströmung am Spaltende, dieanalog zu Abschnitt 4.4.7.3 einen Auslauf-verlust

rDpv, A = zA · 3 · w– 2

2

zur Folge hat.

Damit lässt sich der Gesamtdruckverlust Dpv , Dp wie folgt formulieren:

Dp = Dpv, E + Dpv, ein + Dpv, Sp + Dpv, A

Da sich Einströmstoßverlust Dpv, E und zu-sätzlicher Druckverlust Dpv, ein in der Ein-laufstrecke weder bei theoretischen Be-trachtungen noch bei Versuchen saubertrennen lassen [4.127], werden beide Ver-luste zusammengefasst.

rDpv, E + Dpv, ein = Dpv, Ein = zEin · 3 · w– 2

2

Damit kann für Dp geschrieben werden:

r l rDp = zEin · 3 · w– 2 + l · 8 · 3 · w– 2 +

2 2 · s0 2r

+ zA · 3 · w– 2

2

l rDp = �zEin +l · 8 + zA� · 3 · w– 2

2 · s0 2 (Gl. 4.212)

Löst man Gleichung 4.212 nach w– auf undmultipliziert w– mit der Spaltfläche ASpalt , er-hält man die allgemein gültigen Gleichun-gen für den Leckagevolumenstrom V inkonzentrischen Kreisringspalten undRechteckspalten:

600072 · Dpw = f00002l

r · �zEin + l · 8 + zA�2 · s0

Kreisringspalt:

V = w– · ASpalt (Gl. 4.213a)600072 · Dp

= p · dm · s0 · f00002lr · �zEin + l · 8 + zA�2 · s0

Rechteckspalt:

V = w– · ASpalt (Gl. 4.213b)600072 · Dp

= b · s0 · f00002lr · �zEin + l · 8 + zA�2 · s0

Zur Bestimmung der Beiwerte l; zEin ; undzA werden folgende Hinweise gegeben, diesich auf die einschlägigen Fachpublikatio-nen stützen:

1) RohrreibungszahlWie bei der Rohrreibungszahl der Kreisrohre inAbschnitt 4.7.2 und 4.7.3 unterscheidet manauch bei der Spaltströmung zwischen lamina-rer Spaltströmung Re < Rekrit und turbulenterSpaltströmung Re > Rekrit , wobei allerdings dieAngabe der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit fürden Strömungsumschlag wesentlich schwieri-ger ist als bei der klassischen Rohrströmung(Rekrit = 2320).

Nach [4.126] hängt die kritische Reynolds-Zahl vom Radienverhältnis d = r1/r2 und vonder Exzentrizität e ab und liegt beim konzen-trischen Spalt etwas über 2320, beim exzentri-schen Spalt deutlich unter 2320 (Bild 4.176),wobei es einen relativ großen Hysteresebe-reich für Rekrit gibt.

In [4.127] wird als «brauchbarer» Mittelwertfür Rekrit = 2000 angegeben, was auch durchzahlreiche Versuche abgesichert wurde.TIEDT [4.126] unterscheidet 4 Bereiche für dieRohrreibungszahl l, wie bei der «klassischen»Rohrströmung:

a) laminare Spaltströmung Re < Rekrit

l = f (Re; d; e)

Cl = 5 C = f (d; e)

Re

für den konzentrischen Ringspalt (e = 0) giltfür die Konstante C:

(1 – d)2

C = 64 · 0041 – d2

1 + d2 + 9ln d


Für den Grenzfall d Æ 1,0 wird C = 96, wasauch mit Tabelle 4.16 und Bild 4.106 über-einstimmt.Die Doppelabhängigkeit der Konstanten Cvom Radienverhältnis d und von der Ex-zentrizität e kann aus Tafel 33 im Anhangdes Buches entnommen werden.

b) turbulente, hydraulisch glatte Spaltströmung Re > Rekrit

l = f (Re; d; e)

In der Literatur, z. B. in [4.126 bis 4.128] fin-det man den Hinweis, l für konzentrischeRingspalte und Reynolds-Zahlen bis etwa

105 nach der Gleichung von BLASIUS (Glei-chung 4.138a in Tabelle 4.14) zu bestimmen:

0,3164l ª934d6Re

Zur Berücksichtigung der Krümmung derSpaltwände wird in [4.126] folgende Erwei-terung der Gleichung von BLASIUS vorge-schlagen:

0,3164 2(1 – d) · ln d 1,25

l ª93 · �908�4d6Re 1 + 2 · ln d – d 2

Häufig wird empfohlen, l nach dem allge-meinen Ansatz von PRANDTL zu bestimmen:

2600

2320

2000

1600

1200

800

Re

krit,

min

lg l

Re krit, minlg Re

laminar turbulent

Symbole

e = 0,0

e = 0

e = 0,6

e = 1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

d = r1/ r2

Bild 4.176 Kritische Reynolds-Zahl Rekrit min von Kreisringspalten nach [4.126]


15 = A · lg Re · d3l + B (Gl. 4.214)d3l

wobei für glatte Kreisring- und Rechteck-spalte folgende Beiwerte genannt werden:

A = 2,0 B = 0,97…1,0

In [4.127] wird folgender theoretischer Wertfür den konzentrischen Kreisringspalt her-geleitet

15 = 0,9 · ln Re · d3l – 1,1d3l

und folgende empirische Gleichung ausMessergebnissen formuliert:

15 = (1,86…1,93) · (Re · d3l )1/7

d3l

c) Turbulente Spaltströmung im Übergangsbereich

l = f (Re; d; e; k bzw. ks )

l kann praktisch nur auf dem Versuchswegbestimmt werden. l kann nach der Glei-chung von COLEBROOK abgeschätzt werden:

1 2 · s05 ª A · lg �8� + B · lg Re · d3l + Cd3l k

Die Beiwerte A, B und C müssen im Ver-such bestimmt werden. Die natürliche Rau-igkeit k kann auch durch die «künstliche»Rauigkeit ks ersetzt werden.

d) Bei der vollausgebildeten hydraulischrauen Spaltströmungentfällt die Abhängigkeit der Rohrrei-bungszahl l von der Reynolds-Zahl.

l = f (d; e; k bzw. ks)

1 2 · s05 ª A · lg �8� + Bd3l k

Für Rechteckspalte wird in [4.126] fol-gende empirische Formel angegeben:

1 2 · s05 = 2 · lg �8� + 0,97d3l k

Wie bei der Strömung im Kreisrohr kann l derSpaltströmung für verschiedene Spaltgeome-trien (d; e), Rauigkeiten k und Reynolds-Zah-len nur auf dem Versuchswege zuverlässig be-stimmt werden. So enthalten [4.126 und 4.127]zahlreiche Kurvenblätter, die l als Funktionder Reynoldszahl Re, der geometrischen Para-meter d und e, sowie der Rauigkeit k bzw. ks

darstellen. In Tafel 34 im Anhang des Buchesist exemplarisch l = f (Re) für d = 0,89 und 3 e-Werte nach Versuchen von TIEDT [4.126] wie-dergegeben.

2) Eintrittsverlustbeiwert �Ein

In der Literatur findet man häufig den Vor-schlag, zEin wie beim scharfkantigen Rohrein-lauf zu 0,5 anzunehmen (Bild 4.111). STAMPA

[4.127] hat durch Versuche nachgewiesen,dass zEin stark von der Reynoldszahl abhängtund i.Allg. unter dem Wert des scharfkanti-gen Rohreinlaufs liegt (Bild 4.177).

«Brauchbare» Mittelwerte sind nach [4.127]:

laminare Spaltströmung: zEin = 0,4…0,5

turbulente Spaltströmung: zEin = 0,1…0,2

3) Austrittsverlustbeiwert �A

Vielfach wird in der Literatur empfohlen, inAnlehnung an die Strömung an Rohrausläu-fen (Tabelle 4.18) zA-Werte ≥ 1 anzunehmen, daman davon ausgeht, dass die gesamte kineti-sche Energie am Spaltende verloren geht.STAMPA [4.127] hat experimentell ermittelt,dass am Spaltende ein Teil des dynamischenDruckes r/2 · w– 2 in statischen Druck umge-wandelt wird, d.h. die Querschnittserweite-rung wie ein Stoßdiffusor wirkt und derDruckverlustbeiwert zA dadurch kleiner wirdals 1 (Bild 4.178). Als Mittelwert kann für zA

der Bereich 0,6…0,8 angenommen werden.Bei der Strömung in exzentrischen Kreis-

ringspalten ändern sich alle Größen abhängigvon der Exzentrizität e = e/s0 , insbesondere:

❑ Volumenstrom V bei gleichbleibendemDruckunterschied Dp

❑ Druckdifferenz Dp bei gleichbleibendemVolumenstrom V

❑ Reibungsbeiwert❑ kritische Reynolds-Zahl Rekrit


0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

500 103 2 3 4 5 6 7 8 9 104 2

Bei

wer

t zE

in

Reynolds-Zahl Re

Bild 4.177 Widerstandsbeiwert zEin von Kreisringspalten nach [4.127]

Bild 4.178 Widerstandsbeiwert zA von Kreisringspalten nach [4.127]

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0500 103 2 3 4 5 6 7 8 9 104 2

Reynolds-Zahl Re

Bei

wer

t zE

in A


Für die laminare Strömung kann die Funktion l · Re abhängig von e = e/s0 und d = r1/r2 ausTafel 33 entnommen werden, aus Tafel 34kann für den konstanten Wert d = 0,89 derstarke Einfluss der Exzentrizität auf den Rohr-reibungsbeiwert l im laminaren und turbu-lenten Bereich ersehen werden.

Für den in der Praxis häufig vorkommen-den Fall enger Spalte (d Æ1) und laminarerStrömung empfiehlt TIEDT [4.126] folgendeeinfache Gleichung für die Abschätzung derRohrreibungszahl l:

96l = 96 (Gl. 4.215)

31 + 3 · e2

2

Für die Umrechnung der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit gibt STAMPA [4.127] folgende Bezie-hung an:

(1 + 0,25 · e 2) 7/3

Rekrit, e = Rekrit, e = 0 · 0602(1 + 1,5 · e2)4/3

(Gl. 4.216)

merkt aber kritisch an, dass diese Formel nichtbei allen Versuchen bestätigt wurde.

Alle Autoren begründen ausführlich dieUnsicherheiten der theoretischen Ableitungder Durchflussgleichung für exzentrischeSpalte und empfehlen die Durchführung vonVersuchen.

Als Orientierung für die Zunahme des Vo-lumenstroms in Funktion der Exzentrizität ebei gleichbleibender Druckdifferenz Dp kannBild 4.179 dienen. Man erkennt, dass der Ein-fluss der Exzentrizität e auf die Zunahme desVolumenstroms bei laminarer Strömung vielgrößer ist als bei turbulenter Strömung.

Weitere interessante Informationen überSpaltströmungen finden sich in [4.128 bis4.131].

e

2,6

2,4

2,2

2,0

1,8

1,6

1,4

1,2

1,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Re klein

Re groß

Vex

z/

.V

konz

.

laminare Strömungturbulente Strömung

e = e /s0

Bild 4.179 Leckage in einem exzentrischen Spalt

Bild 4.180 zu Beispiel 31

Beispiel 31

Aufgabenstellung:Ein konzentrischer Kreisringspalt mit den inBild 4.180 eingetragenen Abmessungen dich-tet einen mit Öl gefüllten Raum gegen Luftab. Wie groß ist der austretende Leckage-ölstrom V, wenn die kinematische Viskositätdes Öls 30 · 10–6 m2/s und die Öldichte r =850 kg/m3 betragen?

Lösung:Es wird angenommen, dass die Spaltströ-mung laminar verläuft. Mit dieser An-nahme, die am Ende der Berechnung über-prüft werden muss, lässt sich der Leckage-


ölstrom in einer ersten Näherung mittelsGleichung 4.210 abschätzen:

Dp · s03 · p · dmV = 00512 · h · l

5 · 105 · (0,05 · 10– 3)3 · p · 50 · 10– 3

V = 00000712 · 30 · 10– 6 · 850 · 100 · 10– 3

V = 3,21 · 10– 7 m3/s = 3,21 · 10– 4 l/s

V = 1,155 l/h

Da der Wert d = r1/r2 , d1/d2 = 50/50,1 =0,998 sehr nahe bei d = 1 liegt, erübrigt sicheine Korrektur mittels Gleichung 4.211 zurBerücksichtigung der Krümmung der Spalt-wände!

Als Nächstes wird die Reynolds-Zahl berechnet, um die Annahme laminarer Strömung überprüfen zu können.

2 · s0 · w–Re = 04n

V Vw– = 3 = 03A d · p · s0

3,21 · 10 – 7

w– = 00030,05 · p · 0,05 · 10– 3

w– = 0,041 m/s

2 · 0,05 · 10 – 3 · 0,041Re = 000530 · 10– 6

Re = 0,137

D.h., die Reynolds-Zahl liegt weit unter derkritischen Reynolds-Zahl von ca.Rekrit ª 2000,die Strömung ist laminar.

Um zu zeigen, dass die Verwendung vonGleichung 4.210 wegen der niedrigen Rey-nolds-Zahl hinreichend genau war, werdendie Werte zEin und zA in Gleichung 4.213a

lmit dem Term l · 8 verglichen, um zu

2 · s0

überprüfen, ob die Berechnung des Volu-menstroms nach Gleichung 4.213a einen an-deren Wert ergeben hätte als nach der ange-wandten Gleichung 4.210.

Da zur Reynolds-Zahl Re = 0,137 keineWerte zEin und zA aus den Bildern 4.177 und4.178 entnommen werden können, werdendie am Rand der Diagramme ablesbarenWerte angenommen, die sicherlich zu großsind:

zEin ª 0,3…0,4

zA ª 0,5…0,6

lDer Ausdruck l · 8 wird dagegen um ein

2 · s0

Vielfaches größer als die Summe aus zEin

und zA .96

l = 5 für d = 0,998 ≈ 1,0Re

96l = 0 = 700

0,137

l 100l · 8 = 700 · 02 = 700000

2 · s0 2 · 0,05

ld.h., l · 8 ist etwa 700000-mal größer als

2 · s0

zEin + zA, eine Berechnung des Volumen-stroms nach Gleichung 4.213a erbringt dasgleiche Ergebnis wie nach Gleichung 4.210,da die Strömung laminar ist und die Ein-und Austrittsverluste gegenüber den Rei-bungsverlusten im Spalt vernachlässigtwerden können.

Strömung in offenen Gerinnen 239

4.8 Strömung in offenen Gerinnen

4.8.1 Einleitung

Gerinneströmungen in natürlichen Fließge-wässern oder in künstlich angelegten Kanälenbesitzen eine freie Oberfläche mit der Luft,d.h., nur ein Teil des Querschnittsumrisses bil-det den benetzten Umfang U (Bild 4.183).

Kanäle werden meistens mit regelmäßi-gem, über größere Längen konstant bleiben-dem Querschnitt A angelegt, natürliche Fließ-gewässer haben dagegen einen sehr unregel-mäßigen, gegliederten Querschnittsverlauf,häufig mit Pflanzenbewuchs. Oft führenFlüsse noch Geschiebe aus Kies, Sand oderFelsbrocken mit sich, was die Berechnung derStrömung außerordentlich erschwert.

Der vorliegende Abschnitt ist nur als kurzeEinführung gedacht und beschränkt sich des-halb auf die Ableitung und Anwendung dereinfachen Strömungsgesetze für Kanäle, diefolgende Voraussetzungen erfüllen:

❑ Es liegt gleichförmiger, stationärer Abfluss(Normalabfluss) vor.

❑ Der prismatische Querschnitt A bleibt nachGröße und Form konstant.

❑ Der betrachtete Kanalabschnitt der Länge lliegt so weit nach den Zuflussstörungen inder Einlaufstrecke lein und so weit vor denAbflussstörungen in der Auslaufstreckelaus , dass die mittlere Strömungsgeschwin-digkeit w– und das Geschwindigkeitsprofilüber der Kanallänge l gleich bleiben.

❑ Die Rauigkeit und die Struktur der Kanal-wände und der Kanalsohle bleiben gleichüber die gesamte Kanallänge l. Das Gerinneenthält keine Einbauten und keinen Be-wuchs.

❑ Das Sohlengefälle entspricht dem Spiegel-gefälle, d.h., die Wassertiefe t bleibt kon-stant über der Kanallänge l. Die Kanalsohleist eben.

❑ Der Luftdruck pL ist auf der gesamtenfreien Oberfläche gleich groß.

❑ Es findet kein Feststofftransport von Sand,Kies oder Gesteinsbrocken statt. Das Was-ser enthält keine merklichen Anteile an

Schwebstoffen, Schlamm oder Luftein-schlüssen.

❑ Es wird turbulente Strömung vorausge-setzt.

❑ Die Froude-Zahl Fr ist kleiner als 1, d.h., esherrscht strömender Abfluss.

❑ An Kräften treten nur Reibungskräfte anden Kanalwänden und Trägheitskräfte in-folge der Schwerkraft (Hangabtrieb) auf.

4.8.2 Geschwindigkeitsverteilung

Das Geschwindigkeitsfeld im offenen Gerinneist im Gegensatz zum vollgefüllten Kreisrohr-querschnitt asymmetrisch (Bild 4.181). An denWänden und der Sohle haftet das Wasser, dieStrömungsgeschwindigkeit wird 0. Das Ge-schwindigkeitsprofil im Längsschnitt ist inguter Näherung eine logarithmische Kurve.Die Maximalgeschwindigkeit wmax liegt beischmäleren Kanälen etwas unterhalb derfreien Oberfläche in ungefähr 4/5 der Tiefe t.Bei breiten Kanälen mit b > 10 t liegt die Maxi-malgeschwindigkeit wmax in der freien Ober-fläche [4.132].

Je kleiner das Verhältnis b/t und je rauerSohle und Wände werden, desto stärker wir-ken sich die auftretenden Sekundärströmun-gen auf das Geschwindigkeitsfeld aus, wasdann auch zur Verschiebung des Geschwin-

freie Oberflächew0

Sohle

wmax

wmax b

w

i i

w0, i

wi

wa)

b)

t

Bild 4.181 Geschwindigkeitsverteilung in einemoffenen Kanal: a) Längsschnitt, b) Draufsicht


digkeitsmaximums unter die Oberflächeführt, da langsam strömende Wasserpartikelaus den Wandzonen an die freie Oberflächegelangen und dort die Strömung abbremsen.

In Bild 4.182 sind die Isotachen dargestellt,die an einem Modellkanal gemessen wurden,wobei in der linken Bildhälfte eine Kanalströ-mung ohne Bewuchs, auf der rechten Seite mitBewuchs gezeigt wird [4.133], wodurch Punkt4 in Abschnitt 4.8.1 anschaulich begründetwird.

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w–

ergibt sich nach der Kontinuitätsgleichungaus Volumenstrom V und Strömungsquer-schnitt A:

V 1w– = 31 = 3 · Ú w · dA (Gl. 4.217)

A A(A)

Nach [4.53] gilt für das Geschwindigkeitspro-fil in einem Längsschnitt i:w–i = (0,75…0,93) · wo, i

Für die mittlere Geschwindigkeit kann ange-nommen werden:

w– = (0,68…0,82) · wo, max

w– = (0,9…1,0) · w4o

während in [4.5] für natürliche Fließgewässerfolgende Grenzwerte genannt werden

w–0,7 < 91 < 0,8

wo, max

Für den Energiestrombeiwert a werden in[4.134] folgende Grenzwerte angegeben:

1,03 ≤ a ≤ 1,15

4.8.3 Fließformeln

Zur Ableitung des mathematischen Zusam-menhangs zwischen Sohlengefälle J, Quer-schnitt A, Querschnittsform, Wandrauigkeit kund mittlerer Geschwindigkeit w–, betrachtetman die Kanalströmung als Rohrströmungmit nicht kreisförmigem Querschnitt undberücksichtigt die Tatsache, dass nur ein Teil des Querschnittumfanges benetzter Um-fang ist in der Definition des hydraulischenDurchmessers dh bzw. des hydraulischen Radius rh .

Durch Anwendung der erweiterten Ber-noulli-Gleichung (Gleichung 4.118) auf die inBild 4.183 dargestellte Kanalströmung ergibtsich:

p1 w12 p2 w2

2

z1 + 8 + 8 = z2 + 8 + 8 + hvr · g 2 · g r · g 2 · g

w1 = w2, da A = konst

p1 = p2 = pL = Luftdruck = konst

z1 – z2 = hv = Reibungsverlusthöhe

Die Energiestromwerte a1 und a2 werden je-weils 1 gesetzt! Die Höhendifferenz z1 – z2

dient zur Überwindung des Reibungsver-lustes hv, der sich nach Gleichung 4.153 wiefolgt ausdrücken lässt:

18,0 cm 20,0 cm 5,0 cm 3,0 cm

75 cm/s

70 cm/s

60 cm/s

50 cm/s40 cm/s

25 cm/s

30 cm/s

20 c

m/s

15 c

m/s

10 c

m/s 5 c

m/s

18,0

cm

ohne Bewuchs mit Bewuchs

Bild 4.182 Gegenüberstellung von Geschwindigkeitsverteilungen mit und ohne Bewuchs nach [4.133]


Dpv l w– 2

hv = 8 = l · 4 · 8 = z1 – z2r · g dh 2 · g

Durch Einführung des Sohlengefälles J

z1 – z2J = sin a = 0l

ergibt sich folgendes einfaches Widerstands-gesetz, bzw. die Abflussgleichung:

z1 – z2 l w– 2

J = 0 = 4 · 8 (Bild 4.218a)l dh 2 · g

Dies ist die bekannte bereits von WEISBACH

und DARCY (s. Namensverzeichnis) im 19. Jh.angegebene universelle Fließformel.

Der hydraulische Durchmesser dh hat diegleiche Definition wie in Abschnitt 4.7.6.1 ab-geleitete Gleichung 4.154:

4 · Adh = 8U

In der Hydraulik der Gerinne ist es üblich, an-stelle des hydraulischen Durchmessers dh , denhydraulischen Radius rh = A/U = dh/4 zuverwenden, wodurch die Fließformel sich etwas anders darstellt:

l w–2

J = 9 · 8 (Gl. 4.218b)4 · rh 2 · g

Zur Bestimmung des Reibungsbeiwertes l

l = f (Re; k/dh bzw. k/rh; Querschnittsform; Rauigkeitsstruktur)

schlägt NAUDASCHER [4.132] die Verwendungder von PRANDTL, von KÁRMÁN, COLEBROOK

und WHITE für Strömungen im Kreisrohr ab-geleiteten Formeln vor:

❑ Glatte Sohle und Wände

15 = Ag · lg (Re · d3l) + Bg (Gl. 4.219a)d3l

❑ Raue Sohle und Wände

1 dh5 = Ar · lg 5 + Br (Gl. 4.219b)d3l k

❑ Übergangsgebiet

1 k KCW5 = Br – Ar · lg �5 + 501� (Gl. 4.219c)d3l dh 2 · Re · d3l

Gleichung 4.219c weicht in der Schreibweisevon Gleichung 4.140 ab!

Die Beiwerte Ag ; Bg ; A r; Br und KCW könnenfür verschiedene Kanalformen aus Tabelle4.32 nach [4.132] entnommen werden.

In [4.133] wird folgende einfache Formelfür den in der Praxis häufig vorkommendenBereich der rauen Strömung empfohlen:

l

pL

w1

w2lein

lausz1

z2

Bezugsniveau

a

1

2

A

pL

U

Bild 4.183Kanalströmung


1 ks/rh5 = – 2 · lg �0� (Gl. 4.220)d3l 14,84

wobei als Fließformel Gleichung 4.218b zu-grunde gelegt ist und ks die äquivalente Sand-rauigkeit ist, die der natürlichen Rauigkeit kzugeordnet werden muss.

In [4.53] wird eine ähnliche Erweiterungder Gleichung von COLEBROOK und WHITE an-gegeben:

1 Fg k/dh5 = – 2,0 · lg �03 + 8� (Gl. 4.221)d3l Re · d3l Fr

Die Formbeiwerte Fg und Fr sind für die wich-tigsten Kanalformen in Tabelle 4.33 zusam-mengestellt:

Weitere Fließformeln und Formeln für denReibungsbeiwert l finden sich in [4.5, 4.53,4.132 und 4.134 bis 4.139]. Hauptschwierigkeit

Tabelle 4.32 Beiwerte zur Bestimmung von l nach Gleichung 4.129

Beiwert Kreisrohr Breite Gerinne b p t

Ag 2,0 2,0 – 2,26Bg – 0,8 – 0,96 – – 0,67Ar 2,0 2,0 2,20 2,26Br 1,14 1,57 1,81 2,05KCW 18,7 – – –

Tabelle 4.33 Formbeiwerte Fg und Fr zu Gl. 4.221

Gerinneform Fg Fr

Rechteck b = t 2,80 3,45Rechteck b = 2 · t 2,90 3,30Rechteck b Æ ∞ 3,05 3,05Halbkreis 2,60 3,60Trapez (Mittelwert) 2,90 3,16Kreisrohr 2,51 3,71

der Anwendung der Gleichungen 4.218 bis4.221 ist die Bestimmung der Rauigkeitswertek bzw. ks . In Tabelle 4.34 sind einige Werte zu-sammengestellt.

Neben der theoretisch genau herleitbarenFließgleichung 4.218 von DARCY und WEIS-BACH finden sich in der Fachliteratur immernoch eine große Zahl empirischer Abfluss-formeln, die aufgrund von Beobachtungenund Messungen abgeleitet wurden.

In [4.31, 4.137 und 4.138] ist die historischeEntwicklung der verschiedenen empirischenFließformeln von der 2. Hälfte des 18. Jh.(Gleichung von CHÉZY) bis ins 20. Jh. ausführ-lich beschrieben.

Von den mehr als einem Dutzend in [4.137]aufgeführten empirischen Fließformeln sollbeispielhaft nur die vergleichsweise «mo-derne» und aktuelle Gleichung von MANNING

und STRICKLER (s. Namensverzeichnis) zitiertwerden:

w– 2

J = 07 (Gl. 4.222)rh

4/3 · K 2MS

Im Vergleich zu Gleichung 4.218 b erkenntman, dass der hydraulische Radius rh nichtmit dem Exponenten 1, sondern mit dem Ex-ponenten 4/3 in die Berechnung des Gefälles Jeingeht. In Tabelle 4.34 finden sich auch Anga-ben über den Manning-Strickler-Beiwert KMS

(Auszug nach [4.53]).Weitere detaillierte Angaben finden sich

u.a. in [4.133, 4.136 und 4.53].


4.8.4 Hydraulisch optimale Profile

Soll bei gegebenem Volumenstrom V und ge-gebenem Querschnitt A ein Kanal mit mini-malem Gefälle J gebaut werden, so müssennach Gleichung 4.218 und Gleichung 4.222 derhydraulische Radius rh, bzw. Durchmesser dh

und der Beiwert KMS möglichst groß oder dieReibungszahl l möglichst klein werden.

Der hydraulische Radius rh wird ein Maxi-mum, wenn das Verhältnis A/U ein Maxi-

mum, bzw. bei gegebenem Querschnitt A derbenetzte Umfang U ein Minimum wird.

Drückt man für verschiedene Querschnitts-profile den benetzten Umfang U durch dieAbmessungen des Kanalquerschnitts A ausund setzt die 1. Ableitung des Umfangs Unach der relevanten Abmessung gleich 0, er-hält man die in Tabelle 4.35 zusammengestell-ten optimalen hydraulischen Profile. In [4.139]sind weitere optimierte genormte und nichtgenormte Kanalquerschnitte beschrieben.

Tabelle 4.34 Rauigkeitswerte k und KMS

Beschaffenheit der Gerinnewand k KMS

in mm in m1/3/s

gehobeltes Holzfugenloser Zementglattstrich 0,1…0,3 90…100Asbestzement, glattes Stahlblech

Klinkergut geschalter Beton 1…2 70…80Asphaltauskleidungglattes Bruchsteinmauerwerk

Beton unverputzt, mit Fugengrobes Bruchsteinmauerwerkglattes, feinkörniges Erdmaterial 3…6 50…70

Kies, fein bis grobSchotter 30…90 35…40

Felsausbruch 200…1000 < 20

Tabelle 4.35 Hydraulisch optimale Profile

Profilform optimale Abmessungen

Rechteckprofil b�21� = 2t opt

Fortsetzung nächste Seite

b

t


Beispiel 32

Aufgabenstellung:

Durch einen rechteckigen Kanal mit hy-draulisch optimalem Profil sollen je Sekun-de 4 m3 kaltes Wasser mit einer Geschwin-digkeit w– = 2 m/s abfließen.Wie groß muss das Gefälle J ausgeführt wer-den, wenn die Kanalsohle und -wände ausunverputztem Beton bestehen?

Lösung:

Die Querschnittsfläche A ergibt sich aus Volumenstrom V und Geschwindigkeit w– :

V 4A = 4 = 3 = 2 m2

w– 2

Damit lassen sich Kanalbreite b und Wasser-tiefe t des optimalen Profils bestimmen:

b · t = A = 2 m2

b�3� = 2 nach Tabelle 4.35t opt

bopt = 2 · topt

2 · topt · topt = 2 m2

topt = 1 m

bopt = 2 m

Der hydraulische Radius rh beträgt:

A b · t 2rh = 31 = 85 = 8 = 0,5 m

U 2 · t + b 2 + 2


Profilform optimale Abmessungen

Trapezprofil

Halbkreisprofil

Dreiecksprofil

Winkel b gegeben:

6007Atopt = f0002

2 · d691 + cot2 b – cot b

Abs, opt = 5 – topt · cot b

topt

Winkel b variabel:

bopt = 60°

rrh = 22

günstigstes Kanalprofil überhaupt!

bopt = 45°

r


a) Berechnung des Gefälles J nachGleichung 4.218b:

l w– 2

J = 8 · 84 · rh 2 · g

Der Reibungsbeiwert l wird für raueWände alternativ nach Gleichung 4.219bund 4.220 abgeschätzt:

nach Gleichung 4.219b

1 dh5 = Ar lg 4 + Brd3l k

Ar = 2,0

Br = 1,57

dh = 4 · rh = 4 · 0,5 = 2 m

k = 3…6 mm

1 20005 = 2 · lg 8 + 1,57d3l 3…6

15 = 6,616…7,218d3l

l = 0,0192…0,0228

nach Gleichung 4.220

1 ks/rh5 = – 2 lg �55�d3l 14,84

ks ª k3…681 500

5 = – 2 lg �55�d3l 14,84

15 = 6,185…6,787d3l

l = 0,0217…0,026

damit ergibt sich das Gefälle J:

0,0192…0,026 22

J = 005 · 024 · 0,5 2 · 9,81

J = 1,96…2,65‰

b) Berechnung des Gefälles J nach der empirischen Fließgleichung von MANNING-STRICKLER (Gleichung 4.222):

w– 2

J = 025rh4/3 · K 2

MS

22

J = 02070,54/3 · (50…70)2

J = 2,05…4,03‰

Das Ergebnis nach MANNING-STRICKLER

weist eine größere Streubreite als das Ergebnis nach Gleichung 4.218 b auf (Bild 4.184), die unteren Werte sind etwagleich groß.

Aus Platzgründen wurde auf weitere Ab-schätzungen des Reibungsbeiwertes nachanderen Gleichungen verzichtet.

Bild 4.184Vergleich der Ergebnisse von Beispiel 32


4.9 Ausfluss aus Behältern

4.9.1 Ausfluss durch kleine Öffnungenbei konstantem Druckunterschiedund konstanter Spiegelhöhe

In Erweiterung der bereits in Abschnitt4.3.2.4a) abgeleiteten Ausflussgleichung fürreibungsfreie Strömung (Gleichung 4.27), diefür offene Gefäße in die klassische Ausfluss-formel von TORRICELLI (Gleichung 4.28) über-geht, soll nun eine Ausflussgleichung ent-wickelt werden, die auch die Größe desBehälterquerschnitts, die Strahleinschnü-rung in der Austrittsöffnung und die Reibungberücksichtigt und somit den wirklichen Aus-flussvorgang möglichst genau beschreibt.

Nach der Bernoulli-Gleichung 4.18 bestehtzwischen den Zuständen im Behälter � und

kontinuierlicherZufluss

Flüssigkeit

xx

xx

V

Gas pi

pa

Freistrahl

kontinuierlicherAusfluss

Manometer∆ pB = pi – pa

da

Aaw2 = wa

z1

z2

h

AB

r

w1

im ausfließenden Strahl � folgender Zusam-menhang:

p1 w12 p2 w2

2

z1 + 7 + 7 = z2 + 7 + 7r · g 2 · g r · g 2 · g

p1 Innendruck pi

p2 Außendruck pa

z1 – z2 Höhendifferenz h (Bild 4.185)

Zwischen den Geschwindigkeiten im Behälterw1 = wi und im reibungsfrei und kontraktions-frei ausströmenden Strahl w2 = wa¢ bestehtgemäß Kontinuitätsgleichung folgender Zu-sammenhang:

w1 · AB = w2 · Aa

Aa2

w12 = w2

2 · 5 = w22 · n2

AB2

Bild 4.185Ausströmen aus einem Behälter

Ausfluss aus Behältern 247

wenn n der Quotient

Ausflussquerschnitt Aan = 7000 = 4Behälterquerschnitt AB

ist.Damit erhält man folgenden Ausdruck für

den reibungsfreien Ausfluss:

pi n2 · w22 pa w2

2

z1 + 7 + 01 = z2 + 7 + 7r · g 2 · g r · g 2 · g

w22 pi – pa

7 · (1 – n2) = z1 – z2 + 012 · g r · g

wa¢ 2 DpB7 · (1 – n2) = h + 72 · g r · g

6004DpB2 · �g · h + 7�rwa¢ = f008 (Gl. 4.233)

1 – n2

Werden n und DpB gleich 0 gesetzt, erhält mandie Ausflussformel von TORRICELLI (Gleichung4.28):

wa¢ = d032 · g · h

Die wirkliche Ausflussgeschwindigkeit wa istwegen der Reibungsverluste an der Behäl-teröffnung kleiner als die reibungsfreie Aus-flussgeschwindigkeit wa¢

wa < wa¢

Die Verringerung der Ausströmgeschwindig-keit infolge Reibung wird durch den Ge-schwindigkeitsbeiwert j ausgedrückt:

6004DpB2 · �g · h + 7�rwa = j · wa¢= j · f0081 – n2

(Gl. 4.234)

Der Geschwindigkeitsbeiwert j hängt von fol-genden Größen und Parametern ab:

❑ Von der Makro- und Mikrogeometrie derAusflussöffnung, insbesondere von Form,Kontur und Rauigkeit der Öffnung.

❑ Von der Viskosität des ausströmendenFluids, üblicherweise ausgedrückt durch

die Abhängigkeit des Beiwertes j von derReynolds-Zahl. Kompliziert und schwierigzu beschreiben ist das Ausströmen nichtNewton’scher Fluide.

❑ Von der Oberflächenspannung des Fluids,häufig als Abhängigkeit von der Weber-Zahl beschrieben.

Es ist sehr schwierig den Beiwert j experi-mentell getrennt von der sog. Kontraktions-zahl y zu ermitteln, sodass nicht viele Anga-ben dazu in der Fachliteratur zu finden sind.Die wenigen brauchbaren Werte sind in Ta-belle 4.36 zusammen mit anderen Ausfluss-beiwerten aufgeführt.

Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung lässtsich der aus der Öffnung theoretisch ausströ-mende Volumenstrom Vth berechnen:

Vth = wa · Aa

Der reale Volumenstrom V ist in vielen An-wendungsfällen etwas kleiner als der theoreti-sche Volumenstrom Vth , da sich der austre-tende Strahl an der Öffnung mehr oder min-der stark einschnürt.

Die Größe der Einschnürung wird durchdie Kontraktionszahl y ausgedrückt (Bild4.186):

Strahlquerschnitt Aey = 70005 (Gl. 4.235)Austrittsquerschnitt Aa

Behälterwand

~Aa

~Ae

Bild 4.186 Strahleinschnürung an einer scharfkantigen Öffnung


Die wichtigsten Einflussgrößen, von denendie Kontraktionszahl y abhängt, wurden be-reits beim Geschwindigkeitsbeiwert j ge-nannt, Geometrie, Viskosität und Oberflä-chenspannung.

Bereits BORDA (siehe Namensverzeichnis)fand 1766 [4.140] auf theoretischem Weg dieKontraktionszahl y für scharfkantige Öff-nungen:

yth = 0,5

Tabelle 4.36 Beiwerte verschiedener Ausflussöffnungen

Form der Geschwindig- Kontraktions- Ausflusszahl mAusflussöffnung keitsbeiwert j zahl y

0,97 0,61…0,64 0,59…0,62

scharfkantig

0,97…0,99 ≈ 1 0,97…0,99

gut abgerundete Düse

≈ 0,82 ≈ 1,0 ≈ 0,82

zylindrisches Ansatz-rohr mit l/d ≈ 2…3

d 10° 20° 45° 90°

m 0,95 0,94 0,88 0,74

konisches Ansatz-rohr mit l/da ≈ 3

j = 0,97 für kleines l da2/de

2 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0j ≈ 0,95 für großes l

y 0,83 0,84 0,87 0,9 0,94 1,0

d 2 · pAe ≈ 94


Durch Gleichsetzen der Druckkraft Fp mit derImpulskraft FI (Bild 4.187) wird die historischeBorda’sche Ableitung nachvollzogen:

Fp = Dpü · Aa = r · g · h · Aa

FI = r · wa¢ 2 · Ae

wa¢ 2 = 2 · g · h (TORRICELLI)

FI = r · 2 · g · h · Ae

Fp = FI

r · g · h · Aa = 2 · r · g · h · Ae

Ae 1yth = 5 = 21 = 0,5

Aa 2

Da in Wirklichkeit wa < wa¢ , d942 · g · h ist, wirdfür reelle Strömungen y größer als yth .

Weitere interessante theoretische Ableitun-gen der Kontraktionszahl y für verschiedenegeometrische Ausführungen der Ausflussöff-nung finden sich in [4.141], wobei auch ältereArbeiten z.B. von HELMHOLTZ und KIRCHHOFF

berücksichtigt wurden.Aktuellere, ausführliche Informationen mit

theoretischen Ableitungen und Beschreibun-gen von Versuchsergebnissen, die u.a. auchden Einfluss der Viskosität, der Oberflächen-spannung und der Schwere, z.B. beim Unter-schied vom Ausfluss aus Seiten- oder Boden-öffnungen finden sich in [4.142 und 4.143].

In Tabelle 4.36 sind einige y-Werte zusam-mengestellt.

Der wirklich ausströmende VolumenstromV ergibt sich unter Berücksichtigung derStrahlkontraktion aus der Kontinuitätsglei-chung:

V = y · Aa · wa = y · Aa · j · wa¢

Das Produkt aus Kontraktionszahl y und Ge-schwindigkeitsbeiwert j wird zur Ausfluss-zahl � zusammengefasst:

V = m · Aa · wa¢6003DpB2 · �g · h + 7�r

= m · Aa · f008 (Gl. 4.236)1 – n2

Wie weiter oben zum Geschwindigkeitswert jangemerkt wurde, hängt auch die Ausfluss-zahl m von der Makro- und Mikrogeometrieder Öffnung sowie von der Viskosität undOberflächenspannung des ausströmendenFluids ab.

Tabelle 4.36 berücksichtigt diese Abhängig-keiten gar nicht oder nur sehr unvollkommen.Deshalb wird für scharfkantige Blenden imBoden oder der Seitenwand eines Staugefäßes(Bild 4.188) die Abhängigkeit der Ausfluss-zahl m von Reynolds-Zahl und der die Ober-flächenspannung s berücksichtigenden We-ber-Zahl nach [4.144 und 4.142] wiedergege-ben:

m = 1,1063 – 0,0665 · ln (We* · d5Re )

+ 0,0022 · [ln (We* · d5Re )]2 (Gl. 4.237)

d · d302 · g · hRe = m · 001 = Reynolds-Zahl

nd n

We* = We · �1 + 3� = spezielle Weber-Zahlh

2 · g · r · d · h r · wa¢ 2 · dWe = 003 , 07s s

= allgemeine Weber-Zahl [4.34]

s = Oberflächenspannung nach Abschnitt 1.6

n = 1 Öffnung im Boden

n = 3 Öffnung in der Seitenwand

In [4.143] sind die Ausflusszahlen m von 4 geometrisch verschiedenen Öffnungsmund-stücken in Abhängigkeit von der Ausfluss-höhe h aufgeführt (Bild 4.189). Man erkennt,dass der m-Wert des scharfkantigen Mund-

p-Verlauf

FIAe

AaFp

Strahl isoliert

= konst

h

Bild 4.187 Zur Ableitung der Borda’schen Ausflusszahl


45°

h

200

125

136,

6 Ø

100

Ø

d)

c)

200

50

125

Ø

100

Ø

b)

200

70

119

Ø

100

Ø7° 50´

a)

200

100

Ø

0,5

d)

c)

b)

a)

1,0

0,9

0,8

0,70 1,0 1,5 2,0m

Fallhöhe h

Aus

fluss

zahl

m

stückes bei ca. 0,8 liegt, was gut mit dem Wert 0,82 in Tabelle 4.36 (Zeile 3) überein-stimmt. Die gut gerundete Ausflussöffnung d)hat dagegen einen m-Wert zwischen 0,96…0,99, was etwa auch mit dem in Tabelle 4.36

(Zeile 2) angegebenem Wertebereich 0,97…0,99 korrespondiert.

Strömt das Fluid nicht durch eine einfacheÖffnung oder ein kurzes Mundstück, sonderndurch eine längere Rohrleitung aus (Bild 4.190),

Blende im Gefäßboden

≥ 60°

Ø d

h

h

Ø d

Blende in derSeitenwand

Bild 4.188Staugefäß für Boden- und Seitenausströmung

Bild 4.189 Ausflusszahlen m verschiedener Mundstücke nach [4.143]

Blende im Gefäßboden

≤60°


muss der Geschwindigkeitsbeiwert j durchdie bekannten Werte der Rohrreibung ersetztwerden.

Die theoretische Austrittsgeschwindigkeitwa¢ kann nach Gleichung 4.233 bestimmt wer-den:

6003DpB2 · �g · h + 7�rwa¢ = f0081 – n2

Die infolge Rohrreibung verringerte realeAusströmgeschwindigkeit wa < wa¢ kann auf 2Arten definiert werden:

6003DpB2 · �g · h + 7�r1) wa = jers · wa¢ = jers

f0081 – n2

600302DpB2 · �g · h + 7 – g · hv�r2) wa = f008031 – n2

l w– 2 w– 2

hv = Â l · 3 · 7 + Â z · 7d 2 · g 2 · g

nach Gl. 4.137b und Gl. 4.157

Setzt man für w– = wa und bezieht die Beiwertel · l/d und z auf den Austrittsquerschnitt Aa ,kann hv durch

6003DpB2 · �g · h + 7�rwa = jers · f0081 – n2

ausgedrückt werden:

wa2 l

hv = 7 · �Â l · 3 + Â z�2 · g d

DpB2 · �g · h + 7�j 2ers r l

hv = 7 · 008 · �Â l · 3 + Â z�2 · g 1 – n2 d

Bild 4.190Behälter mit angeschlossener Rohrleitung

DpB DpB DpB l2 · �g · h +7� 2 · �g · h + 7 – j 2

ers · �g · h + 7� · �Â l · 3 + Âz��r r r dj 2

ers · 008 = 00000000031 – n2 1 – n2

h


lj 2

ers = 1 – j 2ers · �Â l · 3 + Â z�d

60041jers = 009 (Gl. 4.238)

lf 1 + Â l · 3 + Â zd

Da bei längeren Rohrleitungen am Rohrlei-tungsende die Kontraktionszahl y = 1 gesetztwerden kann, ist der Geschwindigkeitsbei-wert jers identisch mit der Ausflusszahl m ers .Die Ausflussgleichung von Behältern mit an-geschlossener Rohrleitung kann deshalb ge-schrieben werden:

60041V = 009lf 1 + Â l · 3 + Â z

d

6003DpB2 · �g · h + 7�r· Aa · f008

1 – n2 (Gl. 4.239)

In [4.145 und 4.146] finden sich Nomogrammezur schnellen Ermittlung der Ausströmge-schwindigkeit und des Volumenstroms vongroßen offenen Behältern, d.h. für den Son-derfall DpB = 0 und n = 0.

Bild 4.191Ausfluss aus einer großenSeitenöffnung

4.9.2 Ausfluss ins Freie durch große Öffnungen unter dem Einfluss der Schwere bei konstanter Spiegelhöhe

Beim Ausfluss aus einer im Verhältnis zurFallhöhe z großen Öffnung (Bild 4.191) muss,falls die Öffnung nicht im horizontalen Bodendes Gefäßes liegt, die Änderung des Druckesund damit der Ausströmgeschwindigkeitüber der Höhe der Öffnung berücksichtigtwerden.

Liegt die Öffnung horizontal im Behälter-boden, gelten die Gleichungen 4.234 und 4.236für die Ausströmgeschwindigkeit wa bzw. denausströmenden Volumenstrom V, wobei fürgroße, offene Behälter der Überdruck DpB unddas Querschnittsverhältnis n = 0 gesetzt wer-den können.

Für den ausströmenden Volumenstrom er-gibt sich dann die einfache Formel

V = m · Aa · d302 · g · h (Gl. 4.240)

Für große Öffnungen, die in einer unter demWinkel d geneigten ebenen Seitenwand liegen(Bild 4.191), wird folgende Ausflussgleichungabgeleitet:

Die Ausflussgeschwindigkeit wa¢ in derTiefe z beträgt für reibungsfreie Strömung:

wa¢ = d302 · g · z

wenn die Zuströmungsgeschwindigkeit wo imBehälter vernachlässigt wird.


Der aus dem differentiell schmalen Streifen

dzdA = b · dy = b · 0cos d

ausströmende theoretische VolumenstromdVth (keine Berücksichtigung von Reibungund Strahleinschürung) ergibt sich aus derKontinuitätsgleichung,

dzdVth = wa¢ · dA = d302 · g · z · b · 0cos d

wobei b für beliebige Flächen A eine Funktionvon z ist.

Deshalb kann für den Gesamtvolumen-strom Vth keine einfache Gleichung angegebenwerden, sondern eine, die ein Integral enthält,das für beliebige Flächen A numerisch odergrafisch gelöst werden muss.

z2 z2dz

Vth = Ú dVth = Ú d302 · g · z · b · 0z1 z1

cos d

d82 · gz2

Vth = 0 · Ú b · d3z · dz (Gl. 4.241)cosd

z1

Werden auch innere und äußere Reibungs-verluste sowie die Strahlkontraktion berück-sichtigt, erhält man den real ausströmendenVolumenstrom V.

d82 · gz2

V = m · Vth = m · 0 · Ú b · d3z · dzcos d

z1 (Gl. 4.242)

Der Beiwert m hängt von der Geometrie derÖffnung und der Art des Ausflusses ab. In Ta-belle 4.37 sind einige m-Werte für in der Praxishäufig vorkommende große Öffnungen zu-sammengestellt. Für den Sonderfall der recht-eckigen Öffnung in einer senkrechten Seiten-wand (Bild 4.192) vereinfacht sich die Aus-flussgleichung.

d82 · gZ2

V = m · 0 · b · Ú d3z · dzcosd

Z1

d302 · 9,81 2 Z2

V = m 05 · b · 3 · z3/2 �1 3 Z1

V = 2,953 · m · b · (z23/2 – z1

3/2) (Gl. 4.243)

Da g = 9,81 m/s2 in die Konstante 2,953 m0,5/seinbezogen wurde, stellt Gleichung 4.243 einezugeschnittene Gleichung dar, in der die ein-zelnen Größen folgende Einheiten haben:

V Volumenstrom in m3/sb Öffnungsbreite in mz1 Höhenkote der Öffnungsoberkante in mz2 Höhenkote der Öffnungsunterkante in m

Tabelle 4.37 Ausflusszahlen großer Öffnungen

Grundablass Seitenöffnung Bodenöffnung seitlicher Spalt

m = 0,6…0,62 B/a ∞ 2 1 0,5 0,25

m 0,611 0,6 0,544 0,420 0,247

b/B 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

m 0,61 0,61 0,62 0,63 0,65 0,68

scharfkantig:m = 0,62…0,64

abgerundet: m = 0,7…0,8


Der Beiwert m kann aus Tabelle 4.37 entnom-men werden. Weitere Angaben zu m findensich in [4.53, 4.136, 4.143 und 4.147]. Wird dieobere Höhenkote z1 = 0 gesetzt, erhält man dieStrömung über ein Überfallwehr, die in Ab-schnitt 6.5.4.1 behandelt wird.

4.9.3 Ausfluss unter Gegendruck bei konstantem Niveauunterschied

Bei der in Bild 4.193 dargestellten Ausfluss-strömung liegt die Ausflussöffnung Aa voll-ständig unter Wasser, d.h., der ins Unterwas-ser einströmende Strahl ist kein Freistrahlmehr wie beim Ausströmen in Luft.

Der statische Überdruck im Oberwasservor der Ausflussöffnung ist linear abhängigvon der Tiefe z (Gleichung 2.14):

p1 = r · g · z1

Gleiches gilt für den Überdruck im Unterwas-ser hinter der Öffnung:

p2 = r · g · z2

Über der Öffnungshöhe zu – zo beträgt dieDruckdifferenz zwischen Öffnungsein- undÖffnungsaustritt:

Dp = p1 – p2

Dp = r · g · z1 – r · g · z2 = r · g · (z1 – z2)

Die Höhendifferenz z1 – z2 ist für alle horizon-talen Stromlinien in der Öffnung konstant.

z1 – z2 = h = konst

Die Druckdifferenz am Öffnungsquerschnittunter Wasser ist also unabhängig von Größe,Form und Tiefenlage der Öffnung und hängtnur von der Spiegeldifferenz h ab.

Dp = r · g · h

Aufgrund dieser Druckdifferenz entsteht dietheoretische Ausflussgeschwindigkeit

662 · Dpwa¢ = f0 = d302 · g · h

r

und damit folgender Ausflussvolumenstrom:

V = m · Aa · d302 · g · h (Gl. 4.244)

Die Ausflusszahl m ist etwas kleiner als beimAusfluss ins Freie.

4.9.4 Ausfluss bei veränderlicher Spiegelhöhe

4.9.4.1 Ausfluss aus kleinen Öffnungenunter dem Einfluss der Schwere

Der Abflussvorgang bei abnehmender Spiegel-höhe stellt eine instationäre Strömung dar, de-ren exakte mathematische Behandlung unterBerücksichtigung aller von Zeit und Ort abhän-genden Größen und Parametern einen etwasgrößeren Aufwand erfordert, weshalb nur einevereinfachte Ableitung durchgeführt wird, de-ren Ergebnis trotzdem recht genaue, praxisnaheBerechnungen der Ausflusszeiten ermöglicht.

In einem Gefäß mit beliebiger Kontur (Bild 4.194) ist der horizontale Gefäßquer-schnitt Az bei langsamem Ausströmen ebenund eine Funktion der variablen Spiegelhöhe z:Az = f (z).

Der Fall schneller Spiegelabsenkung mitAusbildung eines Senkungstrichters mit Ab-flusswirbel wird nicht behandelt.

bz2

z1

Dz

Bild 4.192Rechteckige Seitenöffnung in vertikaler Wand

Bild 4.193 Ausfluss unter Gegendruck


Zur Berechnung der Ausflusszeit ta füreine bestimmte Spiegelabsenkung bzw. derEntleerungszeit te des gesamten Gefäßvolu-mens, muss die Funktion Az = f (z) bekanntsein.

Eine weitere Prämisse für die Ableitung derAusflussgleichung ist, dass die Ausflussöff-nung Aa viel kleiner ist als der Gefäßquer-schnitt Az .

Bei der momentanen Spiegelhöhe z beträgtdie augenblickliche Ausflussgeschwindigkeitwa :

wa = j · d302 · g · z

und das zugehörige Ausflussvolumen:

dVdV = 6 = m · Aa · d302 · g · z

dt

dV = m · Aa · d302 · g · z · dt

Dieses differentiell kleine Fluidvolumen dVwird aus Gründen der Kontinuität gleichzeitigdurch eine differentiell kleine Spiegelabsen-kung dz «nachgeschoben».

dV = – Az · dz

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke fürdas Teilvolumen dV ergibt sich folgende Diffe-rentialgleichung:

– Az · dz = m · Aa · d302 · g · z · dt

– Az · dzdt = 008

m · Aa · d302 · g · z

Während sich die Zeit t von t = 0 auf t = ta

ändert, sinkt der Flüssigkeitsspiegel von z1

auf z2 .

dzA1

A2

Az

Aa

wa

z2

zz1

↓

↓

↓

t = te

t = ta

t = 0

dV

~~

~

~

Bild 4.194 Ausfluss aus einem Gefäß mit veränderlicher Spiegelhöhe

Tabelle 4.38 Entleerungszeiten verschiedener Behälter

prismatisches Gefäß waagerechter, kreis- Kugelbehälter kegelförmiger Behälterzylindrischer Behälter

2 · AB · d4z1 4 · l · d3/2 16 · p · d5/2 d12 · p · d4z1te = 00 te = 0023 te = 0052 te = 0043m · Aa · d52g 3 · m · Aa · d52g 60 · m · Aa · d52g 10 · m · Aa · d52g


Tabelle 4.39 Entleerungszeiten von Behältern mit angeschlossener Rohrleitung

Anlage Formeln

2 · AB (d4z1 – d4z2)ta ≈ 009m¢ · AR · d52g

2 · AB · d4z1te ≈ 002m¢ · AR · d52g

061m¢ ≈ 40f l

1 + l · 3d

ta , te wie oben

0601m¢ ≈ 004f liÂ li · 3 + Âz idi

Durch Integration erhält man die Ausfluss-zeit ta :

ta1

z2– AzÚ dt = 004 · Ú 8 · dz

0m · Aa · d82 · g

z1d3z

1z1

Azta = 004 · Ú 6 · dz (Gl. 4.245)m · Aa · d82 · g

z2d3z

Wird der Spiegel ganz abgesenkt (z2 = 0) ergibtsich die Entleerungszeit te :

1z1

Azte = 004 · Ú 6 (Gl. 4.246)m · Aa · d82 · g

0d3z

Falls die Funktion Az/d3z im Integral sich nichtanalytisch integrieren lässt, muss dies nume-risch oder grafisch erfolgen.

Für einige häufig vorkommende Behälter-formen sind die Entleerungszeiten te bei voll-ständiger Füllung der Behälter, ausgenommendas senkrechte prismatische Gefäß, in Tabelle4.38 zusammengestellt.

Die Zeit ta zum Absenken des Spiegels vonz1 auf z2 bzw. die Entleerungszeit te (z2 = 0) von

Behälter mit einfacherAusfluss-Rohrleitung

Behälter mit komplexerAusfluss-Rohrleitung


Beispiel 33

Aufgabenstellung:

Ein Wassertank mit kreiszylindrischemQuerschnitt und vertikaler Achse hat einenDurchmesser von 2 m (Bild 4.195). Der Tankist oben offen. Welche Ausflusszeit ta ist er-forderlich, um den Wasserspiegel von 5 mauf 2 m abzusenken, wenn im Tankbodeneine scharfkantige Öffnung (m = 0,6) freige-geben wird?

Lösung:

Die Berechnung der Ausflusszeit erfolgtmittels Gleichung 4.245:

1z1

Azta = 004 · Ú 6 · dzm · Aa · d82 · g

z2d3z

m = 0,6

pAa = 52 · 3 · 10– 4 = 19,6 · 10– 4 m2

4

d52g = 4,43 m1/2/s

Az = konst = p m2

z1 = 5 m

z2 = 2 mp

5

ta = 0006 · Ú z – 1/2 · dz0,6 · 19,6 · 10– 4 · 4,43

2

5

ta = 0,603 · 103 · 2 · z1/2 �2

ta = 1,206 · 103 · (d35 – d32)

ta = 1,206 · 103 · 0,83

ta = 1000 s = 16,67 min

Behältern mit angeschlossenen Rohrleitun-gen können aus Tabelle 4.39 entnommen wer-den.

Die beiden größten Fehler bzw. Unge-nauigkeiten, die bei der Ableitung der Glei-chungen 4.245 und 4.246 sowie allen Formelnin den Tabellen 4.38 und 4.39 begangen wor-den sind, werden kurz aufgeführt:

a) Die Abhängigkeit der Ausflusszahl m vonder Ausflussgeschwindigkeit wa und damitvon der Fallhöhe z wurde vernachlässigtund m vor das Integral gezogen.

b) Der Einfluss der Schwere auf die Masse desFlüssigkeitsvolumens im Behälter, d.h. Be-schleunigungs- bzw. Verzögerungskräfteauf die Flüssigkeitsmasse, die proportionalzur Änderung der Absinkgeschwindigkeitdes Fluids im Behälter sind, wurden nichtberücksichtigt.

Beide Fehler machen sich umso gravierenderbemerkbar, je kleiner der BehälterquerschnittAz in Bezug zum Öffnungsquerschnitt Aa ist,d.h. insbesondere in der Endphase der Entlee-rungsströmung.

z2 = 2 m

z1 = 5 m

Ø 5 cm

Ø 2 m

Bild 4.195 Zu Beispiel 33


4.9.4.2 Instationärer Ausfluss unter Gegendruck

Die beiden in Bild 4.196 dargestellten prisma-tischen Behälter � und � sind durch die ge-meinsame Öffnung Aa verbunden, die unter-halb beider Flüssigkeitsspiegel liegt.

Zwischen beiden Gefäßen besteht bei Be-ginn der Ausströmung ein Spiegelunterschiedh. Nach Freigeben der Öffnung Aa sinkt derSpiegel im Gefäß � und steigt im Gefäß � .Nach einer bestimmten Zeit tA haben sich dieSpiegel ausgeglichen.

Da der mathematische Aufwand zur Be-rechnung der Ausgleichszeit tA für beliebigeQuerschnitte A1 = f (z) und A2 = f (z) relativgroß wird, beschränkt sich aus Platzgründendie folgende Ableitung auf offene Behälter mitkonstanten Querschnitten A1 und A2 .

Aus Gründen der Kontinuität muss das imGefäß � absinkende Volumen gleich dem imgleichen Zeitintervall im Gefäß � aufsteigen-den Volumen sein:

Dz1 · A1 = Dz2 · A2

A1Dz2 = Dz1 · 5A2

Die momentane Spiegeldifferenz z beträgtdann:

A1z = h – Dz1 – Dz2 = h – Dz1 · �1 + 5�A2

A1 + A2z = h – 03 · Dz1A2

Der bei dieser Spiegeldifferenz z augenblick-lich durch die Öffnung Aa ausströmende Volu-

menstrom V folgt aus Gleichung 4.244:

V = m · Aa · d302 · g · z

Andererseits lässt sich der momentan ausströ-mende Volumenstrom auch durch die augen-blickliche Sinkgeschwindigkeit w1 im Gefäß �ausdrücken:

V = w1 · A1

d · (Dz1)w1 = 04dt

A2Dz1 = (h – z) · 03A1 + A2

d · (Dz1) A2 dz03 = – 03 · 5 = w1dt A1 + A2 dt

A2 dzV = – 03 · 5 · A1A1 + A2 dt

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke fürV ergibt sich folgende einfache Differential-gleichung:

A1 · A2 dz– 03 · 5 = m · Aa · d302 · g · z

A1 + A2 dt

A1 · A2 1 dzdt = – 03 · 002 · 5A1 + A2 m · Aa · d82 · g d3z

Durch Integration erhält man die Ausgleichs-zeit tA:

tAA1 · A2

h

Ú dt = – 0000 · Ú z – 1/2 · dz0

m · Aa · d82 · g · (A1 + A2) 0

A1 · A2h

tA = 0000 · 2 · d3z �m · Aa · d82 · g · (A1 + A2) 0

2 · A1 · A2 · d3htA = 0000 (Gl. 4.247)

m · Aa · d82 · g · (A1 + A2)

Bei der Ableitung von Gleichung 4.247 wurdevorausgesetzt, dass die Spiegeldifferenz z alsFunktion der Zeit stetig von z = h beim Beginnder Ausströmung (t = 0) auf z = 0 bei t = tA ab-nimmt, es also nicht zum «Überschwingen»der Spiegel kommt, was ja zu Rückströmun-

h für t = 0

1 2

~ A1 ~ A2

AaD z2

D z1

z

w1

Bild 4.196 Ausfluss unter Gegendruck


gen von Gefäß � nach Gefäß � führenwürde. Dieser Zustand könnte sich einstellen,wenn die Öffnung Aa relativ groß zu denBehälterquerschnitten A1 und A2 ist und die Höhendifferenz h groß ist, sodass es zu großen Strömungsgeschwindigkeiten imQuerschnitt Aa kommt. Der Spiegelausgleicherfolgt dann in Form einer gedämpftenSchwingung.

Die Ausgleichszeit tA kann dann nicht mehrnach Gleichung 4.247 berechnet werden.

In Bild 4.197 sind beide Arten der Aus-gleichsströmung gegenübergestellt.

Interessant sind die Sonderfälle, wenn einkleines Gefäß aus einem sehr großen Gefäßgefüllt wird, sodass der Spiegel des großenGefäßes praktisch nicht absinkt (A1 = •; Dz1 = 0)oder wenn ein sehr kleines Gefäß in ein sehrgroßes Becken entleert wird, dessen Spiegelpraktisch nicht ansteigt (A2 = •; Dz2 = 0).

In Tabelle 4.40 sind die Gleichungen zur Be-rechnung von tA gegenübergestellt.

21Ausströmungvon nachh

Höh

ez h

Höh

ez

0 tA

Zeit t Zeit ttA

Rückströmung von nach1 2

a) b)Bild 4.197Ausgleichsströmung unter Gegendruck

Tabelle 4.40 Spiegelausgleich bei großem Oberwasser oder großem Unterwasser

Ausgleich bei großem Oberwasser Ausgleich bei großem Unterwasser

2 · A2 · d3htA = 0088A2m · Aa · d82 · g · �1 + 4�A1

A1 Æ •

2 · A2 · d3htA = 08m · Aa · d52g

2 · A1 · d3htA = 0088A1m · Aa · d82 · g · �1 + 4�A2

A2 Æ •

2 · A1 · d3htA = 08m · Aa · d52g


4.10 Umströmung von Körpern(Außenströmung)

4.10.1 Strömungsbilder

Das makroskopische Strömungsbild einesumströmten Körpers hängt vor allem von derKörperform ab. Bei schlanken, plattenförmi-gen oder stromlinienförmigen Körpern, dieparallel zur Körperachse angeströmt werden,schließen sich die Stromlinien wieder an derhinteren Körperkante zusammen, bei gedrun-genen oder kantigen Körpern tritt hinter demKörper ein mehr oder minder ausgedehntesTotwassergebiet auf.

In Bild 4.198 sind die verschiedenen Kör-perumströmungen gegenübergestellt, Bild4.199 zeigt im Detail die Umströmung einesKreiszylinders.

An der Vorderkante der Körper staut sichdie Strömung im Staupunkt S auf, die Ge-

schwindigkeit wird 0. Vom Staupunkt aus-gehend teilt sich die Mittelstromlinie und folgt der Körperkontur in Richtung Körper-ende.

Unmittelbar an der mehr oder minder rauen Körperoberfläche haften die Partikeldes viskosen Fluids. Der Geschwindigkeits-aufbau von 0 unmittelbar an der Körperober-fläche (Haftbedingung) auf den Wert derAußenströmung erfolgt in der dünnen Grenz-schicht, die den Körper wie eine Haut ein-hüllt.

Die Grenzschicht drängt die Stromlinien inunmittelbarer Körpernähe ab.

Am Körperanfang, in der Nähe des Stau-punktes S, strömt die noch sehr dünne Grenz-schicht langsam, sodass laminare Strömungherrscht. Längs des Körpers wächst dieGrenzschichtdicke, es treten Turbulenzen auf,und die Strömung schlägt in den turbulentenZustand um. Bei parallel überströmten Platten

Bild 4.198 Umströmung von Körpern

Tot-wasser

Rück-

strömung

Grenzschichtbegrenzung

d

A

zunehmender

Druck

abnehmender Druck

ko

nsta

nter

Dru

ck

Stromlinien der Außenströmung

S

Bild 4.199Umströmung eines Kreiszylinders

Umströmung von Körpern 261

und schlanken Körpern bedeckt die Grenz-schicht den ganzen Körper.

In Bild 4.200 ist die Grenzschichtausbil-dung an einer ebenen Platte, in Bild 4.201 dasGeschwindigkeitsprofil mit allen Angaben zur

Berechnung der Geschwindigkeitsverteilungund der Grenzschichtdicke d dargestellt.

Zur Beschreibung des Geschwindigkeits-profils gibt es wie bei der Rohrreibung 2 An-sätze:

1,0

0,5

00 0,5 1,0

a) Geschwindigkeitsprofil in derGrenzschicht

z dt

z dlb

zw.

w(z)

w∞

1,0

0,5

00 0,5 1,0

b) Zur Erklärung der Verdrängungsdicke amBeispiel der laminaren Grenzschicht

w(z)

w∞

z dl z /d l

d v, l

I

II

Bild 4.201 a) Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht, b) zur Erklärung der Verdrängungsdicke amBeispiel der laminaren Grenzschicht.I laminare Grenzschicht nach BLASIUS; II turbulente Grenzschicht nach dem 1/7-Gesetz

Bild 4.200 Ausbildung der Grenzschicht an einer ebenen Platte (Grenzschichtdicke unmaßstäblich vergrößert)


Potenzansatz

w(z) z 1/n

6 = �3� (Gl. 4.248)wd d

Legt man die Definition von PRANDTL zu-grunde, beträgt

wd = 0,99 · w∞ (Gl. 4.249)

Für den Exponenten 1/n wird für glatte Ober-flächen 1/7 (BLASIUS) vorgeschlagen, für raueOberflächen kann nach [4.148] 1/n bis zu 0,4betragen.

Logarithmischer AnsatzIn [4.50] wird folgender Ansatz vorgeschla-gen, der insbesondere in Wandnähe eine ge-nauere Geschwindigkeitsverteilung als derPotenzansatz liefert:

w(z) z · w*6 = 5,85 · ln 0 + 5,56 (Gl. 4.250)w* n

mit w* als Schubspannungsgeschwindigkeit41t0w* = f 3r

t0 = Schubspannung an der Wand

dwt0 = h · �6� (NEWTON)

dz Wand

h dynamische Viskosität

r Fluiddichte

Bei der Grenzschichtdicke d unterscheidetman je nach physikalischer Bedeutung undpraktischer Anwendung 3 Definitionen:

a) Die Dicke der laminaren oder turbulen-ten Grenzschicht, in der der Geschwindig-keitsgradient groß ist und in der Reibungs-kräfte und Trägheitskräfte von gleicher Größenordnung sind. Außerhalb der Grenz-schicht können die Reibungskräfte gegen-über den Trägheitskräften vernachlässigt werden.

Die Grenzschichtdicke d wächst mit derLauflänge x bzw. y und die Geschwindigkeitw(z) nähert sich asymptotisch der Außenge-schwindigkeit w∞ ·

Nach PRANDTL definiert man die Geschwin-digkeit in der Außenhaut der Grenzschichtgemäß Gleichung 4.249 und erhält dazu fol-gende Grenzschichtdicken [4.50]:

1) Laminare Grenzschicht:

9n · xdl ª 5 · f8 (Gl. 4.251a)

w∞

Setzt man die örtliche Reynolds-Zahl Rex

w∞ · xRex = 0n

ein, ergibt sich folgende Schreibweise:

5dl ª 8 · x (Gl. 4.251 b)

d6Rex

2) Turbulente Grenzschicht:

9

5 n · y 4

dt ª 0,37 · f8 (Gl. 4.252a)w∞

bzw. nach Einführung der örtlichen w∞ · y

Reynolds-Zahl Rey = 0n

0,37dt ª 81 · y (Gl. 4.252 b)

5d6Rey

Grundsätzlich gilt dt > dl !

Im Gegensatz zur Strömung im kreiszylindri-schen Rohr, lässt sich die kritische Reynolds-Zahl Rekrit , bei der die Grenzschicht vom lami-naren in den turbulenten Strömungszustandumschlägt nicht präzise angeben, da sie u.a.von der Oberflächenrauigkeit des Körpersund vom Turbulenzgrad der Anströmung ab-hängt. In [4.50] ist ein auf Messungen [4.149]


zurückgehendes Diagramm angegeben, das invereinfachter Form in Bild 4.202 wiedergege-ben ist. Nach dieser Quelle beträgt die kri-tische Reynolds-Zahl für die glatte, ebenePlatte Rekrit = 3,2 · 105. In der Fachliteratur,

z.B. in [4.163], findet man den großen Streu-bereich

3 · 105 < Rekrit < 3 · 106

angegeben.In Bild 4.203 ist schematisch der veränderte

Grenzschichtdickenverlauf und die zum Plat-tenkopf verschobene Lage des Umschlag-punktes der rauen Platte im Vergleich zurglatten Platte aufgezeigt.

b) Eine weitere Definition der Grenzschicht-dicke ist die sog. Verdrängungsdicke �v , dieangibt, um welchen Betrag die Grenzschichtdie Stromlinien nach außen abdrängt.

Nach Bild 4.201 b) kann angesetzt werden:

∞

w∞ · dv = Ú (w∞ – w) · dzz = 0

∞wdv = Ú �1 – 5� · dz

z = 0w∞

Nach einer auf BLASIUS [4.50] zurückgehendenIntegration erhält man die Verdrängungsdickeder laminaren Grenzschicht:

9n · x 1,721dv, l ª 1,721 · f8 , 9 · x

w∞ d6Rex (Gl. 4.253)

laminar

turb

ulen

t

18

16

14

12

10

8

6

4

2

2 4 6 8 10 12 ·105

Rekrit

Rex bzw. Re y

Bild 4.202 Grenzschichtdicken d1 und dt abhängigvon der Lauflänge x bzw. y bei der längsangeström-ten ebenen Platte nach [4.50]

Bild 4.203Grenzschichtentwicklung a) an einer glatten und b) rauen Wand nach [4.148]

88

w∞

w∞

d l·f

7b

zw.

d t·f

7n

·xn

·y


Die laminare Verdrängungsdicke dv, l beträgtetwa 1/3 der Grenzschichtdicke dl .

Ausgehend von der gleichen Definitions-gleichung erhält man [4.50] für eine Ge-schwindigkeitsverteilung nach dem 1/7-Ge-setz eine Verdrängungsdicke dv, t der turbulen-ten Grenzschicht, die nur noch 1/8 der turbu-lenten Grenzschichtdicke dt beträgt:

9

5 n · y 4 0,0463dv, t ª 0,0463 · f81 , 84 · y

w∞5d6Rey

(Gl. 4.254)

c) Will man den in der Grenzschicht infol-ge Reibung auftretenden Impulsverlustdurch eine korrespondierende Impulsverlust-dicke ausdrücken, erhält man folgende Bezie-hung:

∞

m · w∞ = r · w∞2 · di = r · Ú w · (w∞ – w) · dz

z = 0

und nach erfolgter Integration für die lami-nare Grenzschicht [4.50]:

9n · x 0,664di, l ª 0,664 ·f8 , 91 · x (Gl. 4.255)

w∞ d6Rex

Nach [4.50] kann die Impulsverlustdicke derturbulenten Grenzschicht mit 7/72 · dt ange-nommen werden:

9

5 n · y 4 0,036di, t ª 0,036 ·f81 = 82 · y (Gl. 4.256)

w∞5d6Rey

Bei der Umströmung eines räumlich ausge-dehnten Körpers, z.B. eines Kreiszylinders(Bild 4.199), bildet sich auf der Stirnseite (Vor-derseite) ebenfalls eine Grenzschicht aus, diewie bei der ebenen Platte in der Nähe desStaupunktes S zunächst laminar ist und beientsprechenden Strömungsbedingungen, z.B.Größe der Reynolds-Zahl, in turbulenteGrenzschichtströmung umschlagen kann.

Bis in die Nähe des größten Körperquer-schnitts wird die Strömung beschleunigt, d.h.,die Stromlinien verlaufen konvergent, dieGrenzschicht liegt infolge des positivenDruckgradienten an der Körperoberfläche an.Verjüngt sich der Körper wieder, d.h., nehmendie Spantquerschnitte zum Körperende hinwieder ab, so wird die Strömung verzögert,d.h., die körpernahen Stromlinien werden di-vergent und der Druck in der Außenströmungund damit auch in der Grenzschicht nimmtzu. Ist die Krümmung der Körperkontur zumKörperende hin groß, wird die Strömung sehrstark verzögert, und die Grenzschicht löst imAblösepunkt A ab, es entsteht ein wirbelge-fülltes Totwassergebiet, in dem teilweiseRückströmung auftritt (Bilder 4.199 und4.204). Im Ablösepunkt A wird der Geschwin-digkeitsgradient an der Wand gleich 0:

∂w�6� = 0∂z Wand

woraus durch Integration der Grenzschicht-differentialgleichungen die Lage von A be-stimmt werden kann [4.50].

Die Ablösung kann vermieden werden,wenn die Verjüngung zum Körperende hinsehr schlank ausgeführt wird (Stromlinienkör-per, Tragflügel).

Bei der Umströmung scharfkantiger Kör-per (z.B. Gebäude) folgt die Strömung imStrömungsschatten des Körpers nicht der Kör-perkontur, sondern löst sich an den scharfen

w∞ w∞ w∞

Rückströmung

Grenz-schicht

KörperkonturAblösepunkt

w∞

A

Bild 4.204 Ablösung und Rückströmung an einemsich in Strömungsrichtung stark verjüngenden Körper

∂w�5� = 0∂z Wand ∂w�5� < 0∂z Wand

∂w�5� > 0∂z Wand


Kanten ab und bildet hinter dem Körper eindem Spantquerschnitt entsprechendes Tot-wassergebiet aus, wie es in Bild 4.205 für einesenkrecht angeströmte Platte und einen Keilgezeigt ist.

In [4.1] sind zahlreiche Fotos enthalten, diedie Umströmung verschiedener Körperfor-men bei unterschiedlichen Strömungszustän-den, z.B. Reynolds-Zahlen, in hervorragenderWeise beschreiben.

Bei bestimmten Strömungsbedingungen,z.B. Stromlinienbild und Reynolds-Zahl, lösensich, wie VON KÁRMÁN [4.149] nachgewiesenhat, die Wirbel an der Abrisskante paarweiseund in einem bestimmten Rhythmus, d.h. einer bestimmten Frequenz ab.

In [4.36] ist die Weiterentwicklung der For-schung über die Kármán’sche Wirbelstraßeausführlich beschrieben. Aus dieser Publika-tion sind auch die Darstellung der Nachlauf-strömung hinter einem Kreiszylinder (Bild4.206) und der Verlauf einer «klassischen»Kármán’schen Wirbelstraße, ebenfalls hintereinem Kreiszylinder (Bild 4.207) entnommen.

Oberhalb von Reynolds-Zahlen Re > 40 bis in den transkritischen Bereich Re > 3 · 106 bil-den sich nach verschiedenen MechanismenKármán’sche Wirbelstraßen aus, die sich in ei-nem indifferenten Gleichgewicht befinden, wo-bei sich der Wert a/t (Bild 4.207), wie VON KÁR-MÁN rechnerisch und experimentell nachgewie-sen hat, auf ca. a/t = 0,281 einstellt.

Die Wirbelablösefrequenzen von Wirbel-straßen können über die dimensionsloseStrouhal-Zahl Sr [4.150] (siehe Namensver-zeichnis) bestimmt werden:

f · LSr = 8 (Gl. 4.257)w∞

Sr dimensionslose Strouhal-Zahlf Wirbelablösefrequenzw∞ AnströmgeschwindigkeitL charakteristische Abmessung

Nach der Frequenz aufgelöst ergibt sich:

Sr · w∞f = 02 (Gl. 4.258)L

Verschiedene praktische Anwendungen derStrouhal-Zahl sind in [4.34] beschrieben.

Die Strouhal-Zahl hängt von der Körper-form, der Reynolds-Zahl und der Ober-flächenrauigkeit ab. Da zusätzlich noch eineAbhängigkeit von der Gleichmäßigkeit undvom Turbulenzgrad der ankommenden Strö-mung besteht, streuen die in Versuchen ge-wonnenen Strouhal-Zahlen für die einzelnenKörperformen außerordentlich stark. In Tafel35 ist die Strouhal-Zahl von glatten Kreiszy-lindern nach [4.148], in Tafel 36 die andererKörperformen nach [4.151] dargestellt. Strou-hal-Zahlen hoher Bauwerke in natürlicherWindströmung können in [4.152] nachgelesenwerden. Strouhal-Zahlen weiterer Körper fin-den sich, abhängig von geometrischen Para-metern in den Abbildungen Bild 4.208: Strou-hal-Zahl eines Rechteckprofils, abhängig vomSeitenverhältnis l/b nach [4.151] und Bild4.209: Strouhal-Zahlen von Prismen mit qua-

Ablösung AblösungBild 4.205Ablösung und Nachlauf beikantigen Körpern nach [4.39]


a) Re < 4

b) Re =~ 4…40

c) Re = 55 g) Re <> Rekrit

f) Re > 2 ·105 (Re = superkritisch)

e) Re =~ 80…2 ·105

d) Re = 71 h) Re > 3 ·106 (Re = transkritisch)

Bild 4.206 Strömungsnachlauf hinter einem Kreiszylinder nach [4.36]

a) Re < 4 keine Ablösung der Grenzschichtb) Re = 4…40 Bildung der stationären, symmetrischen Wirbelc) d) Re = 40…80 Bildung der Kármán’schen Wirbelstraße durch die stromabwärts

auftretende Instabilität der vereinigten freien Scherschichten,e) Re = 80…2 · 105 Bildung der Kármán’schen Wirbelstraße direkt aus der abgelösten,

einzelnen Scherschicht in diesem subkritischen Reynolds-Bereichf) Re = 2 · 105…3 · 106 superkritischer Reynolds-Bereichg) Re � Rekrit auch im superkritischen Reynolds-Bereich bilden sich Kármán’sche Wirbelstraßen aush) Re > 3 · 106 transkritischer Reynolds-Zahl-Bereich. Die Grenzschicht wird abgelöst, nachdem sie

bereits turbulent ist. Keine Bildung von Blasen mehr. Eine Kármán’sche Wirbelstraße wird wieder ermöglicht, jedoch mit sehr turbulenten Wirbeln.

Bild 4.207 Karman’sche Wirbelstraße hinter einem Kreiszylinder (Re > 80) nach [4.36]


dratischem Querschnitt, abhängig vom An-strömwinkel nach [4.151].

Für die schräg angeströmte ebene Plattewird in [4.153] folgende einfache Näherungs-formel angegeben:

0,146Sr = 0 (Gl. 4.259)

sin a

mit

a als Anstellwinkel

In der gleichen Publikation wird für symme-trisch und schräg angeströmte Körper ein ein-deutiger Zusammenhang zwischen der Strou-hal-Zahl Sr und dem weiter unten behandel-ten Widerstandsbeiwert cw hergeleitet, der für symmetrisch angeströmte Körper durchfolgende Näherungsgleichung beschriebenwird:

0,405Sr = 09 (Gl. 4.260)

cw0,73 + 1,03

In Bild 4.210 ist dieser Zusammenhang Sr = f (cW) grafisch dargestellt. Über die Ab-hängigkeit der Strouhal-Zahl von der Ober-flächenrauigkeit finden sich nicht sehr vieleLiteraturangaben. Um wenigstens die Grö-ßenordnung dieser Abhängigkeit aufzuzei-gen, sind in Bild 4.211 (aus [4.37 und 4.154])die Strouhal-Zahlen von Kreiszylindern, ab-hängig von Reynolds-Zahl und Oberflächen-rauigkeit dargestellt. Bild 4.211 stellt eine Zu-sammenfassung vieler Einzelversuche dar, diein [4.154] ausführlich beschrieben sind. Ab-

0,2

0,15

0,1

0,05

01 2 3 4

l

w∞ b

bl

Sr

FS /i

Sr=

f·a

w∞

0,20

0,15

0,10

0,05

0

45°0 10 20 30 40

glatte Anströmung

turbulente Anströmung

Anströmwinkel a

w∞

a

a

Bild 4.208 Strouhal-Zahl eines Rechteckprofils beisenkrechter Anströmung nach [4.151]

Bild 4.209 Strouhal-Zahl eines quadratischen Profils bei Schräganströmung nach [4.151]


schließend zeigt Bild 4.212 die Strouhal-Zahlvon Kugeln in einem Reynolds-Zahl-Bereich 6 · 103 < Re < 3 · 105 nach [4.37] und [4.155].

4.10.2 Kraftwirkungen

4.10.2.1 Einleitung

An einem in einer viskosen Parallelströmungliegenden Körper (Bild 4.213) greifen in einemPunkt Ö der Oberfläche folgende Einzelkräftean:

a) Druckkraft dFwp = pö · dAbzw. deren Komponente in Strömungsrich-tung:

dFwp, x = pö · dA · sin j

Der Druckverlauf pö über der gesamten Kör-peroberfläche kann aus dem nach «klassi-schen Verfahren» (Energiegleichung) oder nu-merischen Verfahren [4.35, 4.156, 4.157] be-rechneten Strömungsfeld bestimmt werden.

Durch Bezug auf den Außendruck pa unddie örtliche Geschwindigkeit wö kann der ört-liche Druck pö auch dimensionslos dargestelltwerden, was die Umrechnung von Versuchs-

0,26

0,22

0,18

0,140,2 0,6 1,0 1,4 1,8 2,2

Gleichung 4.260

w∞

w∞

w∞

cw

Sr

g

Bild 4.210 Die Strouhal-Zahl als Funktion des Widerstandsbeiwertes nach [4.153].

● Keilwinkel g = 180°, ■ Keilwinkel g = 90°; ▲ Kreiszylinder Re ª 1,2 · 104, ▲ Kreiszylinder Re ª 0,10 · 104, ◆ Kreiszylinder Re ª 2,9 · 104,▼ Platte,a = 0° (nach [4.153])

Bild 4.211 Strouhal-Zahl von glatten und rauen Kreiszylindern nach [4.154]. –––– glatter Zylinder; –– ··· –– ks/d = 75 · 10–5; –– –– –– ks/d = 300 · 10–5; –– · –– ks/d = 900 · 10–5; ········· ks/d = 3000 · 10–5


werten oder die Wertebestimmung geome-trisch ähnlich vergrößerter oder verkleinerterKörper erleichtert und veranschaulicht.

pö – pacp, ö = 30 (Gl. 4.261)r3 · wö

2

2

b) Reibungskraft dFwR = t0 · dAoder als Komponente in Strömungsrichtungausgedrückt:

dFwR, x = t0 · dA · cos j

wobei t0 die nach NEWTON definierte Wand-schubspannung ist (Gleichung 1.13).

Bild 4.212 Strouhal-Zahl einer glatten Kugel nach [4.155]

w∞

dA

pa

x

dFwRdFwp

fpö

wö

f

Ö

z

Bild 4.213Zur Erklärung des Druck- und Reibungswiderstandes eines umströmten Körpers

n


dwöt0 = 0� dz �0cos j Wand

Auch die örtliche Schubspannung, die aus den Grenzschichtgleichungen [4.50] berechnetwerden kann, wird häufig dimensionslos de-finiert:

t0cF, ö = 120 (Gl. 4.262)r3 · wö

2

2

Die auf Körper in Strömungsrichtung aus-geübte Gesamtkraft ergibt sich durch Integra-tion der differentiellen Druck- und Reibungs-kräfte:

FW = Ú dFwp, x + Ú dFwR, x(A) (A)

FW = Ú pö · dA · sinj + Ú t0 · dA · cosj(A) (A)

(Gl. 4.263)

Weiter unten wird für praktische, vereinfachteVerfahren die «klassische» Abschätzung desReibungswiderstandes FwR schlanker, platten-förmiger oder stromlinienförmiger Körper mitHilfe von experimentell gewonnenen Wider-standsbeiwerten beschrieben.

Nach den einfachen Vorstellungen der Re-lativbewegung der «klassischen» Mechanikmüssten sich für die Bewegung gleicher Kör-per in einem ruhenden Fluid bzw. Überströ-mung ruhender Körper in einem bewegtenFluid gleich große Widerstandskräfte ergeben.

Bereits vor mehr als 2 Jahrhunderten hat derfranzösische Physiker und Militäringenieur DU

BUAT [4.158] (siehe Namensverzeichnis) durchVersuche festgestellt, dass die Schleppkraft Fw1

eines durch Wasser gezogenen Körpers etwaskleiner ist als die Widerstandskraft Fw2 einesmit gleicher Geschwindigkeit angeströmtenfestgehaltenen Körpers (Bild 4.214).

Man bezeichnet dieses Phänomen auch alsParadoxon von DU BUAT.

Man kann sich den Unterschied zwischenbeiden Widerstandskräften aus der unter-

schiedlichen Turbulenz und unterschiedlichenGrenzschichtausbildung erklären. Weitere Ein-zelheiten dazu können beispielsweise in[4.137] nachgelesen werden.

4.10.2.2 Reibungswiderstand (Flächenwiderstand)

Wie in der Einleitung schon dargestellt wurde,ist der Reibungswiderstand die Summe allerin den Flächenelementen dA wirkenden Rei-bungskräfte dFwR = t0 · dA.

Anstelle der Integration der differentiellenTeilreibungskräfte dFwR wird in der Praxis mitdem einfachen Ansatz

rFwR = cF · 3 · w2

∞ · O (Gl. 4.264)2

gearbeitet, d.h. die Widerstandskraft FwR pro-portional zum Staudruck der Anströmge-schwindigkeit und der überströmten Körper-oberfläche gesetzt.

Die Widerstandszahl cF hängt vor allemvom Strömungszustand (laminar; turbulent),von der Reynolds-Zahl und von der Ober-flächenrauigkeit ab, ähnlich wie bei der Rohr-reibungszahl l.

Zur Abschätzung des Reibungswiderstan-des von ebenen Platten bzw. sehr schlanker,stromlinienförmiger Körper, die parallel ange-

w∞

w∞ Fw1

w

Fw2

Fluid in RuheKörper bewegt

Körper in RuheFluid bewegt

Fw1 < Fw2

w

Bild 4.214 Paradoxon von DU BUAT


strömt werden, werden die Widerstandsbei-werte für verschiedene Grenzschichtzuständeaus der einschlägigen Fachliteratur (z.B. nach[4.50]) zusammengestellt:

a) laminare Grenzschichtw∞ · l

Re = 0 < Rekrit = 3,2 · 105…106

n

Die Widerstandszahl cF ist unabhängig vonder Wandrauigkeit und kann nach BLASIUS

[4.50] nach folgender einfacher Beziehung be-stimmt werden:

1,328cF = 0 (Gl. 4.265)

d6Re

b) turbulente Grenzschicht – hydraulisch glatt

Die Grenzschicht hüllt die Oberflächenerhe-bungen völlig ein, wenn man vom Plattenkopfabsieht, d.h. d > k. Die Widerstandszahl hängtnur von der Reynolds-Zahl ab und kann nachPRANDTL für die reine turbulente Grenzschichtim Reynolds-Zahl-Bereich 5 · 105 < Re < 107 ab-geschätzt werden:

0,0745cF = 02 (Gl. 4.266)

5d6Re

Eine von PRANDTL und SCHLICHTING hergelei-tete Beziehung [4.50] erweitert den Gültig-keitsbereich bis zu Reynolds-Zahlen von 109:

0,455cF = 06 (Gl. 4.267)

(lg Re)2,58

Für turbulente Grenzschichten mit laminarerAnlaufstrecke wird Gleichung 4.267 erweitert[4.50]:

0,455 AcF = 06 – 5 (Gl. 4.268)

(lg Re)2,58 Re

Der Beiwert A hängt von der kritischenw∞ · laReynolds-Zahl Rekrit = 0 ab und kann aus

nTabelle 4.41 entnommen werden.

c) turbulente Grenzschicht – hydraulisch rau

Analog zur Rohrreibungszahl l hängt auchbei der hydraulisch rauen Plattenströmungdie Widerstandszahl cF nur noch von der rela-tiven Rauigkeit k/l und nicht mehr von derReynolds-Zahl ab.

Ausgehend von den Versuchen von NIKU-RADSE für raue Rohre [4.47] haben PRANDTL

und SCHLICHTING [4.50] für den Rauigkeitsbe-reich

l102 < 3 < 106

k

folgende Interpolationsformel abgeleitet:

1cF = 0006 (Gl. 4.269)

l 2,5

�1,89 + 1,62 · lg 3�k

Liegen die Rauigkeiten k innerhalb der lami-naren Unterschicht (Bild 4.200), bleibt dieStrömung hydraulisch glatt, der Widerstands-beiwert cF hängt nur von der Reynolds-Zahlab (Gleichungen 4.266 bis 4.268).

In [4.50] ist der Grenzwert für die maximalzulässige Rauigkeit, bei der gerade noch hy-draulisch glatte Strömung herrscht, hergelei-tet:

100kzul = ≤ l · 6 (Gl. 4.270)

Re

Tabelle 4.41 Beiwert A

Rekrit 3 · 105 5 · 105 106 3 · 106

A 1050 1700 3300 8700


d) turbulente Grenzschicht – Übergangsgebiet

In einem ca. 1 Dekade umfassenden Reynolds-Zahl-Bereich hängt für eine bestimmte relativeRauigkeit k/l der Widerstandsbeiwert cF so-wohl von der Reynolds-Zahl als auch von derrelativen Rauigkeit k/l ab (Übergangsgebiet).

cF-Werte im Übergangsgebiet können ab-w∞ · l

hängig von Re = 9 und k/l aus Bildn

4.215 entnommen werden.Eine Interpolationsgleichung für den cF-

Wert von Platten analog zur Gleichung vonPRANDTL-COLEBROOK (Gleichung 4.140 in Ta-belle 4.14) für Rohre mit Kreisquerschnitt istfür Platten in der Praxis nicht gebräuchlich.Durch Vergleich von Bild 4.215 mit Tafel 30 er-kennt man, dass bei der Rohrströmung dieDoppelabhängigkeit l = f (Re, (d/k)) stärkerausgeprägt ist als bei der Plattenströmung cF =f (Re, (k/l)) woraus sich das Fehlen einer pra-

xisgerechten Interpolationsgleichung für cF

wohl auch erklären lässt.

4.10.2.3 Radscheibenreibung

Betrachtet man eine in einem ruhenden Fluidfrei rotierende Scheibe mit dem AußenradiusR (Bild 4.216) und vernachlässigbar kleinerBreite b O R, so erhält man für das durch dieRadscheibenreibung entstehende Drehmo-ment M folgenden Ansatz:

Das an dem schmalen Teilring mit der ra-dialen Erstreckung dr entstehende Teilmo-ment dM ergibt sich für eine Scheibenseite ausGleichung 4.264:

dM = dFwR · r

rdFwR = cF · 3 · w2 · dO

2

w = Umfangsgeschwindigkeit am Radius R

w = w · r

vollkommen rauÜbergang

hydraulisch glatt

laminar

w∞

l

Wid

erst

and

szah

lcF

20 · 10–3

15 · 10–3

10 · 10–3

7 · 10–3

5 · 10–3

4 · 10–3

3 · 10–3

2 · 10–3

1,5 · 10–3

1 · 10–3

105 2 5 106 2 5 107 2 5 108 2 5 109 2 5

k / l = 10–2

5

2

10–3

5

2

10–4

5

2

10–5

5

210–6

5

Reynolds-Zahl Re = w∞· lg

Bild 4.215 Widerstandszahlen cF ebener Platten

n


dO = 2 · p · r · dr

rdM = cF · 3 · w2 · r2 · 2 · p · r · dr · r

2

rdM = cF · 3 · w2 · 2 · p · r4 · dr

2

Durch Integration von dM zwischen r = 0 (derWellendurchmesser dW wird als vernachlässig-bar klein angesehen) und R für beide Schei-benseiten erhält man das Gesamtmoment M.

r = R

M = 2 · Ú dMr = 0

r r = R

M = 2 · cF · 3 · w2 · 2 · p · Ú r 4 · dr2 r = 0

r R5

M = 2 · cF · 3 · w2 · 2 · p · 52 5

4 · pDen Ausdruck 7 · cF bezeichnet man als

5Drehmomentenbeiwert cM .

rM = cM · 3 · w2 · R5 (Gl. 4.271)

2

Sollte der Wellendurchmesser dW nicht ver-nachlässigt werden können, wird Gleichung4.271 wie folgt erweitert:

r dW5

M = cM · 3 · w2 · �R5 – �5� � (Gl. 4.272)2 2

Wie der Beiwert cF bei der Plattenreibunghängt auch der Drehmomentenbeiwert cM vonder Reynolds-Zahl

w · R R2 · wRe = 9 = 92 (Gl. 4.273)

n n

und der relativen Wandrauigkeit k/R ab.Nach [4.50] können für die verschiedenen

Bereiche folgende cM-Werte angesetzt werden:

a) laminare GrenzschichtFür Re-Zahlen unter 30 kann die Formel vonMÜLLER zugrunde gelegt werden

21,3cM = 8 (Gl. 4.274)

Re

Für größere Re-Zahlen bis ca. 2…3 · 105 wirddie Formel von COCHRAN empfohlen

3,87cM = 9 (Gl. 4.275)

d6Re

b) turbulente Grenzschicht – hydraulisch glatt (Re > 2 · 106)

Legt man für die Geschwindigkeitsverteilungin der Scheibengrenzschicht das 1/7-Gesetzvon BLASIUS zugrunde, erhält man die von VON KÁRMÁN angegebene Beziehung:

0,146cM = 91 (Gl. 4.276)

5d6Re

c) turbulente Grenzschicht – hydraulisch rau (Re > 2 · 106)

0,69cM = 006 (Gl. 4.277)

R 2,5

�1,12 + lg 3�k

Bild 4.216 Frei rotierende Scheibe

∆


d) Übergangsgebiet (ca. 3 · 105 < Re < 1,5 · 106)

0,146 Rekrit2

cM = 0 – �9� · (cM, turb – cM, lam)5d6Re Re

(Gl. 4.278)

Die Gleichungen 4.274 bis 4.276 wurden in[4.159] experimentell überprüft und für zuver-lässig befunden.

In Bild 4.217 nach [4.160] ist der Drehmo-mentenbeiwert cM abhängig von Reynolds-Zahl Re und relativer Rauigkeit k/R für ver-schiedene Grenzschichtzustände angegeben.

In [4.159] und anderen Quellen ist das Wi-derstandsverhalten verschiedener Rotations-körper untersucht und mit dem Reibungsver-halten der rotierenden Scheibe verglichenworden. Bild 4.218 enthält den Drehmomen-tenbeiwert cM einer Auswahl von glattenDrehkörpern im Reynolds-Zahl-Bereich10…107.

In Tabelle 4.42 sind in Anlehnung an [4.50,4.159 und 4.161] die DrehmomentenbeiwertecM für Scheiben in Gehäusen sowie für Zylin-der und Kugel zusammengestellt.

In Wirklichkeit ist das Strömungsfeld umdie rotierende Scheibe komplizierter als inBild 4.216 vereinfacht dargestellt wurde, dadie räumliche Geschwindigkeit neben derUmfangskomponente w = r · w auch noch eineRadialkomponente c und eine Axialkompo-nente v enthält (Bild 4.219).

Durch Wirkung der Zentrifugalkompo-nente c wird ein bestimmter Volumenstrom Vnach außen gefördert

V∞

4 = 2 · p · R · Ú c · dz2

z = 0

woraus in [4.50] folgende Gleichungen abge-leitet wurden:

laminare Grenzschicht Re < 3 · 105

1V = 1,77 · p · w · R3 · 8 (Gl. 4.279 a)

d6Re

turbulente Grenzschicht Re > 3 · 105

1V = 0,438 · w · R3 · 81 (Gl. 4.279 b)

5d6Re

c M

0,05

0,04

0,03

0,025

0,02

0,015

0,010,0090,0080,0070,0060,005

0,004

0,003104 2 3 4 5 6 7 8 9 105 2 3 4 5 6 7 8 91,5 106 2 3 · 1061,5

laminar

turbulent glatt

turbulent rau

Übergang

Re k

rit

k/R=10–2

k /R=10–3

k /R=10–4

Re = w · R2

n

Bild 4.217 Drehmomentenbeiwert cM von frei rotierenden Scheiben nach [4.160]


In [4.50] sind auch Sonderfälle wie die seitlichparallel angeströmte Scheibe und Kugel be-schrieben und Gleichungen zur Berechnungdes Reibungsmomentes angegeben.

Die zur Überwindung der Reibungsverlus-te rotierender Scheiben und Rotationskörpererforderliche Reibleistung, bei Turbomaschi-nen auch Radseitenreibung genannt, ergibtsich aus dem Ansatz

Pv = M · w

rPv = cM · 3 · w3 · R5 (Gl. 4.280)

2

In [4.162] sind praxisnahe Verfahren zur Ab-schätzung der Radseitenreibung in radialenKreiselpumpen angegeben.

c M

106

100

10

1,0

0,10

0,010

0,0010

Rei

bun

gsm

omen

tenz

ahl

Re = R2 · wncM = r

2 · R5 · w2

M

1 Verl. Ellipsoid2 Kugel3 Verkl. Ellipsoid4 Scheibe5 Zylinder

H = 1,5 RR = 6 cmH = 0,75 R

2 H /R = ∞

Reynolds-Zahl Re

R

w

107104 105102 103100 101

2 · H

1234

5

Bild 4.218 cM-Werte von Rotationskörpern nach [4.159]

c

w=

R· w

R

z

vw

wf

w

V /2.

Bild 4.219 Geschwindigkeitsfeld an einer frei rotierenden Scheibe nach [4.50]


Tabelle 4.42 Drehmomentenbeiwerte verschiedener glatter Rotationskörper

Geometrie laminare Grenzschicht turbulente Grenzschicht

R

S S

w

Zylinder

R1

w

B

R1

w

B

s

R2

w

R

Zylinder in Büchse(Außenzylinder steht)

Zylinder

Scheibe in Gehäuse

Kugel

2 · p 1cM = 8 · 5 für Re < 104

s/R Re

2,67cM = 8

d5Re

für 104 < Re < 3 · 105

d.h. 30% weniger als nach Gleichung 4.275 für die frei rotierende Scheibe!

BcM bezogen auf die Breiteneinheit 31 = 1

R

BcM bezogen auf die Breiteneinheit 31 = 1

R

0,0622cM = 025d5Re

für Re > 3 · 105

d.h. 57% weniger als nach Gleichung 4.276 für diefrei rotierende Scheibe

8 · pcM = 8Re

für Re < 102

2 · pcM = 00009

[–2,22 + 4,07 · lg (Re · d5cM )]2

für Re > 102

8 · p 1cM = 8 · 003Re [1 – (R1/R2)2]

s4 O 1; Ta < 41,3R1

5R1 · w · s sTaylor-Zahl: Ta = 05 · d4n R1

s 3/2

oder Ta = Re · �5�R1

(Couette-Strömung)im Bereich 41,3 < Ta < 400treten Taylor-Wirbel auf

1cM ~ 85d5Re

für Ta > 400

16 · pcM = 9 für Re < 10

Re

5,95 16,75cM = 9 + 9

d5Re Re

10 < Re < 105

0,398cM = 95d5Re

für Re > 2 · 105


4.10.2.4 Druckwiderstand (Formwiderstand)

Der Druckwiderstand ist nach Gleichung4.263 die Kraftkomponente, die sich als Vek-torsumme aller differentiellen DruckkräftedFwp in Strömungsrichtung ergibt.

Bei reibungs- und ablösungsfrei umström-ten Körpern würden sich die auf die Vorder-seite wirkenden Druckkräfte gegen die auf dieRückseite wirkenden Druckkräfte aufheben,d.h., der Druckwiderstand wäre gleich 0.

Bei schlanken platten- oder profilförmigenKörpern ist der Druckwiderstand gegenüberdem Reibungswiderstand vernachlässigbarklein, bei gedrungenen, insbesondere scharf-kantigen Körpern verhalten sich die beidenKräfte gerade umgekehrt (Tabelle 4.43).

Bei vielen Körperformen ist das Verhältnis

Reibungswiderstand FwR0000003Gesamtwiderstand Fw = FwR + FwD

auch von der Reynolds-Zahl und von derRauigkeit abhängig. In Bild 4.220 (nach [4.37])sind die Quotienten FwR/Fw für glatte Kreiszy-linder und glatte Kugeln dargestellt.

Der Druckwiderstand FwD wird nicht aufdie überströmte Oberfläche O, sondern aufden größten Spantquerschnitt, d.h. die inStrömungsrichtung projizierte StirnflächeASt (Bild 4.221) bezogen.

rFwD = cD · 3 · w∞

2 · ASt (Gl. 4.281)2

Da der Druckwiderstand immer zusammenmit dem Reibungswiderstand wirkt, ist eineexakte Messung von FwD bzw. cD im Wind-oder Wasserkanal über einfache globale Kraft-messungen gar nicht möglich, sondern nurdurch eine Messung des Druckfeldes um denKörper. Deshalb finden sich auch nur wenigeAngaben über den DruckwiderstandsbeiwertcD in der einschlägigen Fachliteratur.

4.10.2.5 Gesamtwiderstand

Der Gesamtwiderstand eines umströmtenKörpers setzt sich nach Gleichung 4.263 ausDruckwiderstand (Formwiderstand) und Rei-bungswiderstand (Flächenwiderstand) zu-sammen.

Fw = FwD + FwR (Gl. 4.282)

Bezieht man beide Kräfte auf die gleiche Be-zugsfläche, nämlich die Spant- oder Stirn-fläche (Schattenfläche) ASt , kann man die Ge-samtwiderstandskraft nach folgender einfa-chen Gleichung schätzen:

Tabelle 4.43 Widerstandsanteile umströmter Körper (nach [4.83])

Körper Druckwiderstand Reibungswiderstand

0% 100%

≈ 10% ≈ 90%

≈ 90% ≈ 10%

100% 0%


rFw = cw · 3 · w∞

2 · ASt (Gl. 4.283)2

Der Widerstandsbeiwert cw hängt i. Allg. vonder Körperform (rund, kantig, schlank, ge-drungen usw.), der Oberflächenrauigkeit undder Reynolds-Zahl ab.

Die experimentelle und theoretische Ermitt-lung des Widerstandsbeiwertes cw in Abhängig-keit der verschiedenen geometrischen undfluidmechanischen Parameter waren schon sehrfrüh wichtiger Bereich der Strömungsforschung[4.31, 4.138], so befassten sich beispielsweiseschon früh G. G. STOKES (s. Namensverzeichnis)mit dem freien Fall von Kugeln in Flüssigkeiten[4.164] oder A. G. EIFFEL (s. Namensverzeichnis)mit der experimentellen Ermittlung der Wider-

standsbeiwerte von Körpern im freien Fall undin einem von ihm eigens entwickelten Windka-nal, wodurch er schon mit seinen vergleichs-weise einfachen Messmethoden den cw-Wertvon glatten Kugeln zu cw = 0,176…0,44 be-stimmt hat, wobei er auf die Abhängigkeit descw-Wertes von der Form und Größe des Totwas-sergebietes hinter der Kugel hingewiesen hat(Paradoxon von EIFFEL) [diverse Publikationenin «Nouvelles Recherches Résistance de l’Air»,Paris, 1914, 1919 und 1920].

Wenig später wurden bei der AVA-Göttin-gen Versuche über den Luftwiderstand gerun-deter und kantiger Körper durchgeführt undin [4.165] publiziert.

Interessenten an den wissenschaftlichenGrundlagen und an praktischen Berechnungs-verfahren anhand gemessener Beiwerte wirddas Grundlagenwerk [4.166] empfohlen.

w∞

ASt

Bild 4.221Stirnfläche (Spantquerschnitt) ASt

Bild 4.220 Anteil des Reibungswiderstandes am Gesamtwiderstand bei glatten Kreiszylindern und glattenKugeln nach [4.37]

F wR

c FVe

rhäl

tnis

7,5

F wc w


In den folgenden beiden Abschnitten wirddas Widerstandsverhalten von Kreiszylindernund Kugeln relativ ausführlich beschrieben,die Widerstandsbeiwerte anderer Körperfor-men können den Tafeln am Ende des Buchesentnommen werden.

a) Der Gesamtwiderstand des Kreiszylinders

Der Widerstandsbeiwert cw des quer ange-strömten glatten Kreiszylinders ist nur vonder Reynolds-Zahl abhängig. Da die Ausbil-dung der Grenzschicht und des Totwasserge-bietes sehr stark von der Reynolds-Zahl ab-hängen (Bild 4.206), lässt sich keine einfachemathematische Funktion cw = f (Re) für einengrößeren Reynolds-Zahl-Bereich angeben, zu-mal sich die Zusammensetzung von cw aus cF

und cD ebenfalls stark mit der Reynolds-Zahländert (Bild 4.220).

In [4.167] wird für den großen Bereich 10–4 < Re < 2 · 105 folgende Approximations-gleichung angegeben:

6,8 1,96 cw = 9 + 9

Re 0,89 Re 0,5

1+ 0003 + 1,18

1 Re00 + 84 · 10–4 · Re 1100 (Gl. 4.284)

Da die Versuchsbedingungen der verschiede-nen Forscher oft nicht vergleichbar waren, bei-spielsweise die Reynolds-Zahl entweder überdie Anströmgeschwindigkeit w∞ und/oderden Zylinderdurchmesser d [4.165] oder überdie kinematische Viskosität n [4.37] variiertwurde, ebenso keine einheitliche Umrech-nung des Effektes der sog. Kanalverengungexistiert, weichen naturgemäß die Angabender einzelnen Autoren, die im Verlaufe vielerJahrzehnte ihre zahlreichen Versuche durch-geführt haben, zum Teil erheblich voneinan-der ab (Bild 4.222 aus [4.37]).

Bild 4.222 Widerstandsbeiwert des glatten querangeströmten Kreiszylinders nach [4.37]


Als Ergänzung ist in Tafel 37 auch dieKurve cw = f (Re) von quer angeströmten glat-ten Kreiszylindern eingetragen.

Da die Grenzschicht am quer angeströmtenKreiszylinder relativ dünn ist, machen sichschon kleine Rauigkeiten im Reibungsverlustbemerkbar, der cw-Wert erreicht sein Maxi-mum, wenn die Rauigkeitshöhe k bzw. ks

gleich der Grenzschichtdicke d wird.Um die Größenordnung des Rauigkeits-

einflusses abschätzen zu können, wurde inBild 4.223 aus [4.37 und 4.168] der Verlauf ei-niger Kurven cw = f (Re und ks/d ) dargestellt.

Weitere interessante Informationen zurUmströmung von Kreiszylindern finden sichu.a. in [4.169 bis 4.172].

b) Der Gesamtwiderstand der KugelBei der Umströmung von Kugeln entstehenähnliche Strömungsbilder wie beim Kreis-zylinder (Bilder 4.199 und 4.206), die Strö-mung ist allerdings 3-dimensional. Von Vor-teil ist jedoch, dass es nur 1 makroskopischenParameter gibt, nämlich den Kugeldurchmes-ser d.

Die Gesamtwiderstandskraft kann nachGleichung 4.283 berechnet werden. Der Wi-derstandsbeiwert cw hängt von der Reynolds-Zahl, der Wandrauigkeit und der Gleich-mäßigkeit sowie dem Turbulenzgrad der Zu-strömung ab.

Als erste Orientierung für den cw-Wertkann Tafel 38 dienen. Für glatte Kugeln kann

der Kurvenverlauf cw = f (Re) abschnittsweisedurch folgende Gleichungen beschrieben wer-den:

1) Bereich Re < 1 – Gleichung von STOKES

[4.164]

24cw = 5 (Gl. 4.285)

Re

2) Bereich Re < 5 – Gleichung von OSEEN

[4.50]

24 3cw = 5 · �1 + 5 · Re� (Gl. 4.286)

Re 16

3) Bereich Re < 80 – Gleichung von BRAUER

et al. [4.173]

24 5,48cw = 5 + 0 + 0,36 (Gl. 4.287)

Re Re0,573

4) Bereich Re < 6000 – Gleichung von ABRAHAM [4.161]

24cw = 5 · (1 + 0,11 · d5Re)2 (Gl. 4.288)

Re

Bild 4.223cW-Werte rauer Kreiszylin-der nach [4.168]


5) Bereich Re < 2 · 105 – Gleichung von WHITE

[4.70]

24 6cw = 5 + 04 + 0,4 (Gl. 4.289)

Re 1 + d5Re

Da bei den Versuchen, deren Ergebnisse denobigen Gleichungen zugrunde liegen, die geo-metrischen und fluidmechanischen Versuchs-bedingungen nicht ganz gleich waren, streuenin Wirklichkeit die cW-Werte, wenn man dieVersuchswerte einzelner Autoren vergleicht(Bild 4.224 aus [4.37 und 4.174]).

c) Die Widerstandszahl cw anderer Körper-formen finden sich in Form einer Auswahl derwichtigsten Geometrien in den Tafeln 39 und40 im Anhang des Buches.

Wie weiter oben schon angemerkt, stellt[4.166] eine wahre Fundgrube für cw-Werte al-ler möglichen Körper- und Strömungsformendar. Interessant sind auch die Informationenin [4.180] über den Strömungswiderstand vonstumpfen Körpern.

d) In der Aerodynamik der Bauwerke spieltauch der Gesamtwiderstand von Profilenund Fachwerken, z.B. von Masten undBrücken, eine große Rolle.

In [4.39, 4.151 und 4.176] sind detaillierteAngaben über das Widerstands- und Schwin-gungsverhalten von Fachwerken enthalten,teilweise gestützt auf Normen und Regel-werke.

e) In der Praxis müssen häufig die Wider-standskräfte von benachbarten Körpern ab-geschätzt werden, wie z.B. in Bild 4.226 anparallel- oder in Reihe geschalteten Kreiszy-lindern gezeigt ist.

Da sich bei der Umströmung hintereinan-der geschalteter Körper die Druckverteilungum alle Körper ändert, erhöht sich in vielenFällen der Widerstandsbeiwert des vorderenKörpers und erniedrigen sich die Wider-standsbeiwerte der im Windschatten des vor-deren Körpers sich befindenden nachfolgen-den Körper, was bei vielen geometrischen For-men und Anordnungen sogar zu negativen cw-Werten führen kann (Bild 4.227).

Bild 4.224 Widerstandsbeiwert der glatten Kugel nach [4.37 und 4.174].– – – – – WIESELSBERGER (1923); ––––– BACON und REID (1924); –– · –– MILLIKAN und KLEIN (1933);–––– MAXWORTHY (1969); –– –– ACHENBACH (1977); · · · · · BAILEY (1974); –– · · –– QUADFLIEG (1975)


Bild 4.225 Widerstandsbeiwerte rauer Kugeln nach [4.175]––––– glatte Kugel zum Vergleich (nach [4.174]); ¥–¥–¥–¥ ks/d = 0,25 · 10–3; �–�–�–� ks/d = 1,5 · 10–3;�–�–�–� ks/d = 2,5 · 10–3; �–�–�–� ks/d = 5 · 10 –3; �–�–�–� ks/d = 12,5 · 10–3

Bild 4.226Umströmung von parallel- oder hintereinan-dergeschalteten Kreiszylindern nach [4.39]: a) Parallelschaltung, b) Reihenschaltung


Auch die Berechnung des Gesamtwider-standes von Rohrreihen oder Rohrbündeln,z.B. in Wärmeaustauschern, gehört in diesenspeziellen Bereich der Strömungstechnik.

Auch in der Fahrzeugaerodynamik trittdie Problematik parallel- oder in Reihe ge-

schalteter außen umströmter Körper auf, wieim nächsten Abschnitt kurz behandelt wird.

Für die Berechnung der Rohrreihen undRohrbündel wird auf folgende Literaturstellen[4.103 und 4.177 bis 4.179] verwiesen.

1,2

0,8

0,4

0

– 0,40 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

d

x

w∞

Re =105cw1

cw1+2

cw2

cw

x /d

Bild 4.227Widerstandsbeiwerte hintereinandergeschalteterKreiszylinder nach [4.166]

Beispiel 34

Aufgabenstellung:

Eine rechteckige, glatte Platte mit den Ab-messungen 100 mm ¥ 200 mm und vernach-lässigbarer Dicke wird von Wasser mit 20°Cund einer Geschwindigkeit w∞ = 10 m/süber- bzw. angeströmt.

Wie groß ist die auf die Platte ausgeübte Widerstandskraft

a) bei paralleler Überströmung in Längsrichtung?

b) bei paralleler Überströmung in Querrichtung?

c) bei senkrechter Anströmung?

Lösung:

Frage a)

Die Reynolds-Zahl der längs überströmtenPlatte beträgt:

l · w∞ 0,2 · 10Re = 0 = 02 = 2 · 106

n 10– 6

woraus sich nach Gleichung 4.266 für einerein turbulente Grenzschicht folgender Rei-bungsbeiwert cF ergibt:

0,0745 0,0745cF = 01 = 04 = 4,09 · 10– 3

5d5Re 5d922 · 106

Eine Kontrollrechnung mit Gleichung 4.267liefert folgendes Ergebnis:

0,455 0,455cF = 05 = 002 = 3,94 · 10– 3

(lg Re)2,58 (lg 2 · 106)2,58


Beide Ergebnisse stimmen sehr gut, nämlichzu 96% überein. Nimmt man jedoch an,dass die Grenzschicht eine laminare Anlauf-strecke besitzt, ändert sich der cF-Wert ent-scheidend, wenn man ihn nach Gleichung4.268 abschätzt:

0,455 AcF = 06 – 5(lg Re)2,58 Re

Der Wert A wird zu A = 6000 aus Tabelle4.41 interpoliert.

6000cF = 3,94 · 10– 3 – 01 = 0,94 · 10– 3

2 · 106

d.h. nur noch 1/4 des Wertes bei rein turbu-lenter Grenzschicht. Unter Benutzung vonBild 4.215 wird der Wert auf cF = 4 · 10– 3 fest-gelegt, da cF = 1 · 10– 3 praktisch laminarerGrenzschicht entsprechen würde, was sichauch aus Gleichung 4.265 rechnerisch erge-ben würde.

Damit kann mit Gleichung 4.264 die Rei-bungskraft FwR bestimmt werden:

rFwR = cF · 3 · w∞

2 · 02

1000FwR = 0,004 · 8 · 102 · 2 · 0,1 · 0,2

2

FwR = 8 N

Frage b)

Bei Querüberströmung ändert sich die Rey-nolds-Zahl und damit auch der Wider-standsbeiwert cF :

b · w∞ 0,1 · 10Re = 0 = 85 = 106

n 106

0,0745 0,0745cF = 85 = 84 = 4,7 · 10– 3

5d5Re 5d6106

oder

0,455 0,455cF = 88 = 88 = 4,47 · 10– 3

(lg Re)2,58 (lg 106)2,58

Nach Kontrolle mittels Bild 4.215 wird cF = 4,6 · 10– 3 angenommen und FwR abge-schätzt:

rFwR = cF · 3 · w∞

2 · 02

1000FwR = 0,0046 · 62 · 102 · 0,1 · 0,2

2

FwR = 9,2 N

Die Reibungskraft FwR ist also bei Überströ-mung über die längere Seite kleiner als beiÜberströmung über die kürzere Seite, obwohl die überströmte Oberfläche und die Strömungsgeschwindigkeit gleich großsind!

Frage c)

Bei senkrechter Anströmung der Platte er-gibt sich nach Gleichung 4.283 folgende Ge-samtwiderstandskraft:

rFw = cw · 3 · w∞

2 · ASt2

cw = 1,15 nach Tafel 39

ASt = 0,1 · 0,2 = 0,02 m2

1000Fw = 1,15 · 62 · 102 · 0,02

2

Fw = 1150 N

Wie man sieht, ist die Gesamtwiderstands-kraft Fw bei senkrecht angeströmter Platte,die nach Tabelle 4.43 als reiner Druck- oderFormwiderstand zu erklären ist, um 2 Zeh-nerpotenzen größer ist als der reine Rei-bungsverlust FwR bei wandparalleler Über-strömung!


4.10.3 Luftkräfte an Fahrzeugen

4.10.3.1 Einleitung

Die bei der Fahrt von Straßen- oder Schienen-fahrzeugen auftretenden Strömungsvorgängelassen sich vereinfachend in die beiden großenBereiche

❑ Fahrzeugumströmung(Außenaerodynamik) und

❑ Fahrzeugdurchströmung(Innenaerodynamik)

einteilen, wobei beide Strömungsbereiche sichteilweise gegenseitig beeinflussen.

Bei der Fahrzeugumströmung interessierenvor allem der Luftwiderstand wegen des En-ergieverbrauchs und die Fahrstabilität, z.B.durch den Einfluss von Seitenwind und dyna-mischen Auftriebskräften. Aber auch die Wir-kung der Fahrzeugumströmung auf das Be-schlagen der Scheiben durch Schmutz, Regenoder Schnee oder die Geräuschentwicklunghaben einen hohen Stellenwert. Die Fahrzeug-durchströmung, die in diesem Buch nicht be-handelt wird, ist vor allem für die Auslegungder Motorkühlung und die Klimatisierung derFahrer- und Fahrgasträume von großer Be-deutung.

Da es sich bei vorliegendem Abschnitt nurum eine kurzgefasste Einführung handelt,werden nur Luftkräfte, keine Momentenwir-kungen behandelt.

4.10.3.2 Luftwiderstand

Der entgegen der Fahrtrichtung wirkendeLuftwiderstand von Fahrzeugen setzt sich ausdem Druckwiderstand, dem Reibungswider-stand und dem Innenwiderstand der Fahr-zeugdurchströmung zusammen, wobei in denmeisten Fällen der Druckwiderstand dengrößten Teil des Gesamtwiderstands aus-macht.

Analog zum Gesamtwiderstand beliebigerKörper (Gleichung 4.283) wird der Luftwider-stand von Fahrzeugen bei ruhender Außen-luft (Windstille) wie folgt definiert [4.181,4.182]:

rFw = cw · 3 · wF

2 · ASt (Gl. 4.290)2

wobei wF die Fahrgeschwindigkeit und ASt

die Stirnfläche des Fahrzeugs sind (Bild4.228).

Der dimensionslose Widerstandsbeiwert cw

hängt im Wesentlichen von der Körperformdes Fahrzeugs ab, der Einfluss von Reynolds-Zahl und Oberflächenrauigkeit ist i.Allg. ge-ring [4.183].

Im Laufe der 100-jährigen Entwicklung vonPkw ist der cw-Wert auf weniger als 1/3 derAusgangswerte gesenkt worden (Bild 4.229aus [4.183]).

Bild 4.228 Stirnfläche eines Fahrzeuges


Die niedrigen cw-Werte moderner Pkw gelten für das Fahrzeug allein. Werden z.B.Skihalter auf dem Dach montiert, kann der cw-Wert bis zu 1/3 zunehmen, ebenso erhöht sichder cw-Wert um etwa 40%, wenn ein Fahrradauf dem Dach mitgeführt wird. Strömungs-günstig ausgelegte Dachkoffer vergrößernden cw-Wert weniger stark als Skihalter oderFahrräder.

Der Luftwiderstand eines Gespannes ausPkw und Wohnwagen ist in der Größenord-nung ca. 3-mal höher als der Luftwiderstanddes Pkw allein, da sowohl die Stirnfläche ASt

als auch der cw-Wert zunehmen [4.184].Der cw-Wert wird nach wie vor überwie-

gend experimentell im Windkanal an Model-len oder Originalfahrzeugen ermittelt, es gibtaber vielversprechende Ansätze zur num-merischen Berechnung [4.35, 4.156, 4.183,4.185], die in Zukunft immer mehr an Be-deutung gewinnen werden und manche teu-ren und aufwendigen Versuche überflüssigmachen.

Die zur Überwindung des Luftwiderstan-des erforderliche Leistung ergibt sich auf fol-gendem Ansatz:

Pw = Fw · wF

rPw = cw · 3 · wF

2 · ASt · wF2

rPw = cw · 3 · wF

3 · ASt (Gl. 4.291)2

Der durch den Luftwiderstand verursachteAnteil an der Antriebsleistung wächst dem-nach mit der 3. Potenz der Fahrgeschwindig-keit!

Weiterführende Literatur zur Reduzierungdes Luftwiderstandes findet sich u.a. in [4.188und 4.189].

4.10.3.3 Auftrieb

Durch die Krümmung der Stromlinien an derFahrzeugoberseite entsteht ähnlich wie beiTragflügelprofilen (Abschnitt 4.11) eine Unter-druckzone, die zu einer senkrecht nach obenwirkenden Auftriebskraft führt (Bild 4.230).Hinzu kommt noch die Wirkung der Unter-strömung des Fahrzeugbodens, die ebenfallszur Auftriebserzeugung beiträgt.

c w-W

ert

1,1

0,9

0,6

0,3

01880 1900 1920 1940 1960 1980 2000Jahr

Bild 4.229 Entwicklung des cW-Wertes von Pkw in den letzten 100 Jahren nach [4.183]


Die Größe des Auftriebs kann entwe-der aus der gemessenen oder berechneten Druckverteilung am Fahrzeug bestimmt oder mittels der oben definierten empirischen Beziehung mittels eines im Versuch gewon-nenen Auftriebsbeiwertes abgeschätzt wer-den:

rFA = cA · 3 · wF

2 · ASt (Gl. 4.292)2

Der Auftriebsbeiwert cA liegt bei den meistenFahrzeugformen bei Geradeausfahrt in ruhen-der Luft etwas unterhalb des Widerstandsbei-wertes cw , steigt aber bei Seitenwindwirkungstärker mit dem Anströmwinkel a an als dercw-Wert (Tafel 41).

Durch den Auftrieb vermindert sich diedurch das Fahrzeuggewicht hervorgerufene,auf die Fahrbahn wirkende Aufpresskraft be-trächtlich, was beim Fahren und Bremsen zugefährlichen Situationen führen kann.

Die Abnahme der Aufpresskraft (Achslast)ist nach Gleichung 4.292 umso größer, jegrößer die Fahrgeschwindigkeit wF und Auf-triebsbeiwert cA sind (Bild 4.231).

Durch Gestaltung der Front- und Heckpar-tie des Fahrzeugs oder durch Anbringen von

Front- und Heckspoilern lässt sich die Auf-triebskraft sehr stark reduzieren (Bild 4.232).

4.10.3.4 Seitenwindkraft

Tritt zusätzlich zur Fahrgeschwindigkeit wF

noch Seitenwind auf, wird das Fahrzeugschräg, d.h. unsymmetrisch angeblasen, undes tritt eine zusätzliche dritte Kraftkompo-nente, die Seitenwindkraft, auf (Bild 4.233),die wie folgt abgeschätzt werden kann:

FA

wF

FAv FAh

Fpv Fph

Bild 4.230 Aerodynamische Auftriebs- und Aufpresskräfte an einem Fahrzeug

6500

6000

5500

5000

4500

40000 10 20 30 40 50 60 70m/s

Ach

slas

tF p

Auftriebsbeiwert cA = 0

0,16

0,32

Fahrgeschwindigkeit wF

N

Bild 4.231 Einfluss des Auftriebs FA auf die Achs-last (Aufpresskraft) Fp nach [4.186]


rFS = cS · 3 · wF

2 · ASt (Gl. 4.293)2

Der Seitenkraftbeiwert cS hängt von der Fahr-zeugform und in viel stärkerem Maße als dieBeiwerte cw und cA vom Anströmwinkel a ab,wie aus Tafel 41 deutlich abzulesen ist. Sosteigt z.B. der cw-Wert bei einem Anström-winkel a = 25° auf Werte von ca. 0,4…0,42,der Auftriebsbeiwert cA auf Werte von ca.0,6…0,8, der Seitenkraftwert cS erreicht dage-gen Werte von fast 1 bei langgestreckter Fahr-zeugform.

Auch beim Überholen anderer Fahrzeuge,bei Fahrten in Tunnels oder Geländeeinschnit-ten sowie beim Überfahren von Brücken ent-stehen unsymmetrische, z.T. instationäre An-strömverhältnisse, die eine ähnliche Vergröße-

rung der Beiwerte cw , cA und cS wie bei Seiten-windeinwirkung zur Folge haben.

Das Fahrverhalten unter diesen besonderenStrömungsbedingungen ist nicht einfach zubeschreiben oder zu berechnen. Interessenten,die ihre Kenntnisse auf diesem speziellen Ge-biet der Fahrzeugaerodynamik vertiefen wol-len, wird die Lektüre der einschlägigen Fachli-teratur, z.B. [4.183, 4.186] empfohlen.

4.10.4 Schwebegeschwindigkeit von Kugeln

Fällt ein Körper in einem Fluid im freien Fall,nimmt die Geschwindigkeit so lange zu, bisdie Summe aus Gesamtwiderstand Fw undstatischem Auftrieb FA gleich der Gewichts-kraft G wird. Nach Erreichen dieses Gleichge-wichtszustandes bleibt die Fallgeschwindig-keit konstant.

Bild 4.232Einfluss eines Heckspoilersauf die Auftriebskraft an der Hinterachse eines Pkw nach[4.183]


Wenn man den kleinen Unterschied des Pa-radoxons von DU BUAT (Bild 4.214) vernachläs-sigt, kann man den gleichen Zustand des freifallenden Körpers auch dadurch herstellen,indem man den Körper in einer vertikal nachoben gerichteten Parallelströmung mit derAnströmgeschwindigkeit w∞ gerade in derSchwebe hält (Bild 4.234). Am einfachen Bei-spiel der Kugel, die nur einen geometrischenParameter hat, nämlich den Durchmesser d,

wird eine Gleichung zur Abschätzung derGrenzgeschwindigkeit w∞ abgeleitet, die ge-rade ausreicht die Kugel im Gleichgewicht zuhalten.

An der Kugel greifen folgende Kräfte an:

❑ die Gewichtskraft G nach unten

G = m · g = rk · V · g

❑ der statische Auftrieb FA, der nach obenwirkt, wird nach Gleichung 2.36 berechnet

FA = r · g · V

❑ der dynamische Gesamtwiderstand Fw er-gibt sich aus Gleichung 4.283

rFw = cw · 3 · w∞

2 · ASt2

Das Kugelvolumen beträgt:

pV = 3 · d 3

6

und die Stirnfläche:

pASt = 3 · d 2

4

Aus dem Kräftegleichgewicht

G = FA + Fw

ergibt sich folgende Beziehung für die An-strömgeschwindigkeit w:

r p p pcw · 3 · w∞

2 · 3 · d 2 = rk · 3 · d 3 · g – r · 3 · d 3 · g2 4 6 6

wF

wS

w res

FS

Fw

Draufsicht auf Fahrzeug

Fahrtrichtung

a

Bild 4.234 Kugel in aufwärts gerichteter Strömung

Bild 4.233Seitenwindkraft an einem Fahrzeug


r rk rcw · 3 · w∞

2 = 4 · d · g – 3 · d · g8 6 6

8 g · dw∞

2 = 3 · 81 · (rk – r)6 cw · r

4 g · d rk= 3 · 8 · �4 – 1�3 cw r

60074 g rkw∞ = f 3 · d · 4 · �4 – 1� (Gl. 4.294)3 cw r

Da cw i.Allg. eine Funktion der Reynolds-Zahl w∞ · d

Re = 0 und der relativen Rauigkeit k/dn

ist, muss w∞ durch Iterationsrechnung unterNutzung der Gleichungen 4.285 bis 4.289, derBilder 4.224 oder 4.225 bzw. Tafel 38 bestimmtwerden.

Setzt man nach STOKES für kleine Reynolds-Zahlen cw ≈ 24/Re (Gleichung 4.285) in Glei-chung 4.294 ein, bekommt man einen sehr ein-fachen expliziten Ansatz zur Abschätzungvon w∞:

4 g · w∞ · d rkw∞2 = 3 · d · 05 · �4 – 1�3 24 · n r

g d 2 rkw∞ = 4 · 4 · �4 – 1� (Gl. 4.295)18 n r

Dieser Beziehung liegt die Wirkungsweise derKugelfall-Viskosimeter zugrunde (Abschnitt6.6.2).

Weitere Einzelheiten über die Schwebege-schwindigkeiten von Körpern beliebiger Formkönnen beispielsweise in [4.187] nachgelesenwerden.

4.11 Tragflügel

4.11.1 Einleitung

Tragflügel sind plattenförmige, ebene oder ge-krümmte, meist stromlinienförmig verklei-dete schlanke Körper, bei deren Umströmungin erster Linie dynamische Auftriebskräftesenkrecht zur Strömungsrichtung erzeugtwerden sollen. Im Gegensatz zu den «nütz-

lichen» Auftriebskräften sollen die Wider-standskräfte in den meisten Anwendungsfäl-len möglichst klein sein.

Die Kenntnis der Strömungs- und Kraftver-hältnisse an Tragflügeln ist nicht nur für Flug-zeugbauer von grundlegender Bedeutung,sondern interessiert auch den mit der Ausle-gung von Strömungsmaschinen-Beschaufe-lungen, Rührwerken, Stellklappen, Umlenk-schaufeln und ähnlichen Aufgaben beschäftig-ten Ingenieur.

Schon früh haben sich Erfinder und Strö-mungstechniker im Zusammenhang mit derEntwicklung von Flugapparaten mit der Wir-kungsweise von Tragflügeln beschäftigt. Stell-vertretend sei hier nur OTTO LILIENTHAL (s.Namensverzeichnis), einer der bekanntestenFlugpioniere, genannt [4.190, 4.191].

4.11.2 Kurze Einführung in die Geschichteder Tragflügeltheorie

Überlagert man einer reibungslosen Parallel-strömung um einen Kreiszylinder eine kon-zentrische Zirkulationsströmung um den Zy-linder in Form eines Potentialwirbels (Bild4.235), kombinieren sich die beiden Strömun-gen zu einer unsymmetrischen Strömung, dieeine ungleichförmige Druckverteilung umden Zylinder und damit eine Querkraft FA

hervorruft, die man auch als Auftriebskraftbezeichnen kann.

Dieses Strömungsphänomen wurde zuerstvon MAGNUS beschrieben, der es 1852 an einersehr einfachen Versuchsvorrichtung (Bild4.236) studierte, um die Abweichung der Flug-bahnen von drallbehafteten Artilleriegeschos-sen bei unterschiedlichen Windstärken zu er-klären [4.192]. MAGNUS (s. Namensverzeich-nis) führte jedoch keine Geschwindigkeits-,Druck- und Kraftmessungen durch. Man be-zeichnet das Auftreten der Auftriebskraft FA

an einem angeblasenen rotierenden Zylinderauch als Magnus-Effekt.

Der englische Physiker Lord RAYLEIGH (s.Namensverzeichnis) befasste sich etwas spä-ter mit dem verwandten Problem des Flugesrotierender Golf- und Tennisbälle im Wind[4.193], wobei er u.a. auch den Magnus-Effektzur Erklärung heranzog.

Tragflügel 291

Erst der französische PhysikprofessorLAFAY führte 1910/11 auch genaue Strömungs-feld- und Kraftmessungen durch [4.194].

Der deutsche Schiffsbauingenieur A. FLETT-NER hat erfolgreich den Magnus-Effekt zurKonstruktion seines Rotorschiffes genutzt[4.195; 4.196].

Auch beim Tragflügel kann man sich dieUmströmung als Überlagerung von Parallel-und Zirkulationsströmung vorstellen (Bild4.237). Die Stärke des Zirkulationswirbelswird mit Zirkulation G bezeichnet und wiefolgt mathematisch definiert:

G = � wÆu · dsæÆ

Beim rotierenden Kreiszylinder beträgt damitdie Zirkulation G :

G = 2 · p · r · wu

und mit wu = u = r · w

G = 2 · p · w · r2

Nach dem Satz von KUTTA und JOUKOWSKY

(s. Namensverzeichnis) kann der Auftrieb fürreibungs- und ablösungsfreie Umströmung eines Tragflügels wie folgt berechnet werden[4.197, 4.198]:

FA = r · w∞ · b · G (Gl. 4.296)

wobei b die Breite des Tragflügels ist.Gleichung 4.296 lässt sich durch folgende

einfache Überlegungen leicht herleiten:Der Druckunterschied zwischen Oberseite

(Saugseite) und Unterseite (Druckseite) kannnach der Gleichung von BERNOULLI ausge-drückt werden (Bild 4.238).

rpu – po = 3 · [(w∞ + Dw)2 – (w∞ – Dw)2]

2

pu – po = 2 · r · w∞ · Dw

Daraus kann der Auftrieb bestimmt werden:

FA = Ú (pu – po) · dA = 2 · r · w∞ · b Ú Dw · dl(A) (A)

Die Zirkulation G beträgt:� � �

G = Ú Dw · dl – Ú Dw · dl = 2 · Ú Dw · dl� � �

Setzt man diesen Term in die obige Gleichungfür den Auftrieb FA ein, erhält man die Glei-chung von KUTTA/JOUKOWSKY:

FA = r · w∞ · b · G

Nach dem Impulssatz kann man den Auftriebauch durch die quer zur Strömungsrichtungauftretende Impulsänderung ausdrücken:

FA = m · w^ = r · V · w^ (Gl. 4.297)

wobei V der vom Tragflügel erfasste Volumen-strom und w^ die Vertikalkomponente derStrömungsgeschwindigkeit w nach dem Trag-flügel sind (Bild 4.237).

Eine sehr gute Zusammenfassung der Trag-flügeltheorie findet sich in [4.199 und 4.200].

FA

w∞

a)

b)

c)

w∞

w

w

wu = r ·w

wu · r = konst

Zylinder in reibungsloser Parallelströmung

Zylinder umgeben von einem Potenzialwirbel

Zylinder in überlagerter Strömung aus Potenzialwirbelund Parallelströmung

r

Bild 4.235 Zur Erklärung des Magnus-Effektes

Zylinder umgeben von einem Potentialwirbel

Zylinder in überlagerter Strömung aus Potentialwirbelund Parallelströmung


4.11.3 Profilgeometrie

Die Kontur eines Tragflügelprofils wird ent-weder punktweise durch die Koordinaten derOber-(Saug-)seite (Index o) und der Unter-(Druck-)seite (Index u) in einem rechtwink-ligen x-y-Koordinatensystem festgelegt (Bild4.239) oder durch die Kontur einer Skelettlinie(Profilmittellinie) und einer überlagerten sym-metrischen Dickenverteilung (Bild 4.240).

Als Profilsehne bezeichnet man bei auf derUnterseite konkaven Profilen die Tangente andie Profilunterseite durch die Hinterkante

(Druckseitentangente) (Bild 4.239a). Bei beid-seitigen konvexen oder symmetrischen Profi-len ist die Profilsehne gleich der Verbindungs-linie zwischen vorderem Nasenpunkt undHinterkante (Bild 4.239b).

Eine weitere Definition der Profilsehne istdie Verbindungsgerade zwischen der Hinter-kante und dem Schnittpunkt der Skelettliniemit der Profilnase (Bild 4.240).

Bei Profilauslegungen und Berechnungenvon Tragflügeln ist immer auf die verwendeteSehnendefinition zu achten!

rotierenderKreiszylinder

w∞

w∞ r

w

–

–Unterdruck

Unterdruck

++Über-druck

Druckverteilung amZylinder

Bild 4.236Die Versuchsanordnung von MAGNUS

nach [4.195]

Parallelströmung Zirkulationsströmung zusammengesetzte Strömung

Bild 4.237 Zur Erklärung des Auftriebs an einem Tragflügel

Tragflügel 293

Bei der Festlegung der Profilgeometriespielen folgende Parameter eine wichtigeRolle:

l Profillänge = maximale Längenausdeh-nung des Profils

d maximale Profildickexd Dickenrücklage = Abstand der größten

Profildicke d von der Profilnasef Profilwölbung (Pfeilhöhe) = größter Ab-

stand der Skelettlinie von der Profilsehnex f Wölbungsrücklage = Abstand der größten

Profilwölbung von der Profilnase

r Nasenradius = Radius des in die Profilnaseeinbeschriebenen Kreises

Die Profilmittellinie (Skelettlinie) wird alsKreisbogen mit der Krümmung R ausgeführtoder aus Parabelsegmenten zusammengesetzt(z.B. bei NACA-Profilen: National AdvisoryCommitee for Aeronautics).

Die Profilkennzeichnung, d.h. die Zuord-nung der Profilgeometrie zur Bezeichnung(«Namen») des Profils, wird leider sehr unter-schiedlich gehandhabt, so sind zahlreiche Pro-file verschiedener Versuchsanstalten, z.B. vonder AVA-Göttingen, nur nach Serien- oderVersuchsnummern gekennzeichnet.

Nur die NACA-Profilsystematik gibt durchihre Zahlen- und Buchstabenkombination diewichtigsten Profilparameter wie d, f, xf unddie Form der Skelettlinie bekannt.

Zum vertieften Studium der Profilgeome-trie und der Profilsystematik wird neben[4.199 und 4.200] die in [4.201 bis 4.205] ange-gebene Literatur empfohlen.

Weitere wichtige geometrische Parametersind die Profilbreite b und die FlügelflächeAFl = l · b.

w∞

1 2

po+ Dw

– Dwpu

dA

b

dl

l

Bild 4.238 Zur Ableitung der Formel von KUTTA/JOUKOWSKY

yo

yu

lx

y

r

a)

yo

yu

lx

y

r

b)

x x

f

d

xd

xf

l

x

y

Bild 4.239Profilaufmessung

Bild 4.240 Profilaufmessung


Den Schlankheitsgrad des Tragflügelsdrückt man durch das Seitenverhältnis � =AF l /b2 aus, das sich für rechteckige Flügel (l =konst) zu l = l/b vereinfacht.

Als Anstellwinkel � bezeichnet man denWinkel zwischen Profilsehne und Anströmge-schwindigkeit w∞ . Da es 2 Definitionen für dieProfilsehne gibt, gibt es auch 2 Anstellwinkel-definitionen!

4.11.4 Kräfte am unendlich breiten Tragflügel (� = 0)

Um den weiter unten beschriebenen Einflussder Flügelschlankheit des an beiden Enden of-fenen Tragflügels auf die Größe der wirken-den Strömungskräfte auszuschließen, wirdder Flügel als unendlich breit angesehen, wasman sich durch Einspannen des Profils zwi-schen 2 parallele feste Wände vorstellen kann(Bild 4.241). Die Umströmung des Tragflügelsist damit an jeder Stelle der Flügelbreite bgleich, d.h., der Auftrieb ist gleichmäßig überdie Flügelbreite verteilt, da eine 1-dimensio-nale, ebene Strömung vorliegt. Am Tragflü-gel greifen die in Bild 4.242 eingetragenenKräfte an:

a) senkrecht zur Strömungsrichtung der Auftrieb FA

rFA = ca · 3 · w∞

2 · AFl (Gl. 4.298)2

ca dimensionsloser Auftriebsbeiwertr Fluiddichtew∞ AnströmgeschwindigkeitAFl = b · l Flügelfläche

b) in Strömungsrichtung der Widerstand FW

rFW = cw · 3 · w∞

2 · AFl (Gl. 4.299)2

cw dimensionsloser Widerstandsbeiwert

c) die sich aus beiden Kräften zusammen-setzende Resultierende FR

FR = d60FA2 + F 2

W (Gl. 4.300)

In der Praxis ist es manchmal erforderlich, dieResultierende FR in Komponenten senkrechtund parallel zur Profilsehne zu zerlegen, z.B.bei der Berechnung der Festigkeit undSchwingungseigenschaften von Axialschau-feln in Strömungsmaschinen [4.206]:

gleichmäßigverteilterAuftrieb

b

w∞

l

FT

w∞

FN

N s D

FA FR

FW

l

a

a

F ′

Bild 4.241 Auftriebsverteilung an einem zwischen2 Wänden eingespannten Tragflügel

Bild 4.242 Kräfte am Tragflügel

Tragflügel 295

d) Normalkraft FN :

FN = FA · cosa + FW · sina (Gl. 4.301)

e) Tangentialkraft FT :

FT = FW · cosa – FA · sina (Gl. 4.302)

Die dimensionslosen Beiwerte ca und cw hän-gen vor allem von der Profilform, von derRauigkeit der Profiloberfläche, vom Anstell-winkel a und von der Reynolds-Zahl Re ab,was weiter unten noch ausführlich beschrie-ben wird.

Die Lage des Kraftangriffspunktes D wirdüber das von den Strömungskräften auf denTragflügel ausgeübte Drehmoment bestimmt.Das auf den Flügel wirkende Moment M er-gibt sich einerseits aus der auf die Flügelhin-terkante wirkende virtuelle Kraft F¢ (Bild4.243):

M = F ¢ · l

F ¢ wird in Anlehnung an Gleichung 4.298 wiefolgt definiert:

rF ¢ = cm · 3 · w2

∞ · AFl2

daraus ergibt sich folgender Ausdruck für dasMoment M:

rM = cm · 3 · w2

∞ · AFl · l2

cm wird als Momentenbeiwert bezeichnet.

Andererseits ergibt sich das Moment M ausder Normalkraft FN und ihrem Abstand s vomDrehpunkt N (Nasenfußpunkt):

M = FN · s

Da der Anstellwinkel a i.Allg. sehr klein ist,kann mit guter Näherung FN ≈ FA gesetzt wer-den.

rM ≈ FA · s = ca · 3 · w∞

2 · AFl · s2

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke fürM ergibt sich eine einfache Beziehung für denAbstand s :

r rca · 3 · w∞

2 · AFl · s ≈ cm · 3 · w∞2 · AFl · l

2 2

cms ≈ 4 · l (Gl. 4.303)ca

Der Momentenbeiwert cm ist ähnlich wie dieBeiwerte ca und cw von der Profilgeometrie,vom Anstellwinkel a und der Reynolds-ZahlRe abhängig.

4.11.5 Druckverteilung am Profil

Infolge der unsymmetrischen Umströmungdes Tragflügels sind die Strömungsgeschwin-digkeiten auf der Profiloberseite größer als aufder Profilunterseite, was zu einem Unter-druckgebiet (Soggebiet) an der Oberseite(Saugseite) und zu einem Überdruckgebiet(Druckpolster) auf der Unterseite (Druckseite)führt.

w∞

N

s

FN

M

l

N

M

b

Bild 4.243Momente an einem Tragflügel


Trägt man den jeweiligen Druckunter-schied gegenüber dem Druck p∞ in der un-gestörten Anströmung, bezogen auf denStaudruck r/2 · w∞

2 über dem Tragflügel, er-hält man etwa die in Bild 4.244 dargestellte dimensionslose Druckverteilung. Die Druck-verteilung kann beispielsweise in Windkanal-versuchen gemessen werden.

Die auf der Saugseite entstehenden Unter-drücke haben ihr Maximum in der Nähe derFlügelnase und können bei großen Anstell-winkeln bis zum 2- oder 3fachen Wert desStaudruckes r/2 · w∞

2 ansteigen.Die Druckverteilung hängt sehr stark vom

Anstellwinkel a ab (Bild 4.245). In [4.199] sindzahlreiche gemessene Druckverteilungen gän-giger Göttinger- und NACA-Profile angege-ben.

Der Auftrieb FA entsteht zum überwiegen-den Teil, ca. zu 2/3 bis zu 3/4 , aus der Sogwir-kung der Profiloberseite.

Wird das Profil von Flüssigkeit umströmt(Wasserturbinen, Kreiselpumpen, Schiffs-schrauben, Kufen von Tragflügelbooten), sokann dieser große Unterdruck zur gefürchte-ten Kavitation führen.

Unter Kavitation versteht man dabei dieErscheinung, dass sich in den Unterdruckge-bieten Dampfblasen bilden, die dann in strom-abwärts liegenden Bereichen wieder schlagar-tig in Form einer Implosion zusammenfallen[4.22].

Oberseite (Saugseite)

Unterdruck (Sog)auf der Oberseite(Saugseite)

Überdruck auf derUnterseite (Druckseite)

Unterseite(Druckseite) l a

w∞

örtlicher Druck p

p∞

Cp =p – p∞

r2

w∞2

+1

0

–1

–2

–3

+

–

++

+ + + +

+

+a)

c)

b)

d)

a = –10° a = 0°

a = +10° 15° > a krit

–

–

–

–

Bild 4.245 Druckverlauf um ein Flügelprofil bei verschiedenen Anstellwinkeln nach [4.207]

Bild 4.244 Druckverteilung am Tragflügel

Tragflügel 297

Tritt an einem Profil Kavitation auf, so löstsich die Strömung teilweise von der Profil-wand ab, was zu einem erheblichen Wir-kungsgradabfall führen kann, außerdem kann durch die hohen Spitzendrücke der Im-plosionsschläge das Gefüge des Schaufel-werkstoffes zerrüttet und Material herausge-schlagen werden.

4.11.6 Polardiagramm

In einem Polardiagramm sind für ein be-stimmtes Profil mit einem gegebenen Seiten-verhältnis l die dimensionslosen Beiwerte ca ,cw und häufig auch cm in Abhängigkeit vomAnstellwinkel a dargestellt. Als eigentlichePolare bezeichnet man die Kurve ca = f (cw)oder die Funktion ca = f (a).

Die Form der Polare hängt von der Makro-und Mikrogeometrie des Profils, vom Seiten-verhältnis l und von der Reynolds-Zahl Re ab.In der Praxis sind 2 Darstellungsarten von Po-lardiagrammen in Gebrauch.

a) Polardiagramm nach LILIENTHAL

Nach einem bereits von OTTO LILIENTHAL

[4.190, 4.191] angegebenen Verfahren wird derAuftriebsbeiwert ca sowohl als Funktion desWiderstandsbeiwertes cw (rote Kurve in Bild4.246) als auch Funktion des Momentenbei-wertes cm (blaue Kurve in Bild 4.246) aufgetra-gen. Der zu den jeweiligen ca-, cw- und cm-Wer-ten gehörende Anstellwinkel a ist punktweiseangegeben.

Mit zunehmendem Anstellwinkel a nimmtder Auftriebsbeiwert ca bis zu seinem Maxi-malwert ca max zu. Bei Überschreiten des zu ca max gehörenden Anstellwinkels fällt der Auf-triebsbeiwert wieder ab. Die Strömung reißtauf der Profilsaugseite ab. In vielen Profilta-bellenbüchern, z.B. in [4.199] wird ca max für dieuntersuchten Profile besonders angegeben.

Bei kleineren Anstellwinkeln kann der Auf-triebsbeiwert negativ werden, wobei beimgrößten negativen Auftriebsbeiwert ca min

ebenfalls Ablösung auftritt, allerdings auf derProfildruckseite. Bei einem bestimmten An-stellwinkel, dem sog. Null-Anstellwinkel �0

wird der Auftriebsbeiwert ca gleich 0, da sichdie Druckkräfte auf der Saugseite mit den

Druckkräften auf der Druckseite gegenseitigaufheben. Der Null-Anstellwinkel wird eben-falls in den Profilhandbüchern angegeben.

Das Polardiagramm wird üblicherweise im verzerrten Maßstab aufgezeichnet, wobei häufig der cw-Maßstab 10-mal und der cm-Maßstab 2-mal größer als der ca-Maßstab ist.

Den Winkel, den eine vom Nullpunkt zu einem beliebigen Polarenpunkt eingetrageneGerade mit der ca-Achse einschließt bezeich-net man als Gleitwinkel g, den zugehörigenTangens als Gleitzahl e.

cwtan g = e = 4 (Gl. 4.304)ca

Je kleiner die ebenfalls vom Anstellwinkel aabhängende Gleitzahl e ist, desto geringer istder Widerstand FW, bezogen auf den AuftriebFA . So geht die Gleitzahl e direkt in den Wir-kungsgrad axialer Turbomaschinenbeschaufe-lungen ein [4.205, 4.206].

Man kann sich den Gleitwinkel g sehr an-schaulich als den Winkel vorstellen, mit demder Tragflügel im Gleitflug gegen die Hori-zontale bei Windstille zu Boden gleiten würde

Bild 4.246 Polardiagramm nach LILIENTHAL


(Bild 4.247). Dabei ist der Gleitwinkel gleich-zeitig auch der Winkel zwischen Auftrieb FA

und Resultierender FR .Die Polaren sind fast ausschließlich die Er-

gebnisse von Windkanalmessungen. So basie-ren z.B. die Tabellen und Kurvenblätter in[4.199] hauptsächlich auf Messungen der Göt-tinger Windkanäle, der NACA-Windkanäleund einiger britischer Windkanäle [4.201 und4.203] enthalten auch Ergebnisse des Stuttgar-ter Windkanals.

In der Literatur finden sich viele theoreti-sche und empirische Gleichungen zur Berech-nung bzw. Abschätzung des Auftriebsbeiwer-tes ca , selten auch für den Widerstandsbeiwertcw bzw. die Gleitzahl e. So wird z.B. für das inTafel 42 dargestellte Profil Gö 623 die empiri-sche Gleichung

ymaxca ≈ 4,0 · 7 + 0,092 · a° (Gl. 4.305)

l

angegeben (Achtung: Anstellwinkel a in Gradeinsetzen!).

Für überschlägige Abschätzungen kann dertheoretische Auftriebsbeiwert für unendlicheFlügelbreite (l = 0) und reibungsfreie Umströ-mung von Profilen aus Tabelle 4.44 entnom-men werden. Der reale Auftriebsbeiwert ca

liegt je nach Profilform und Anstellwinkel ca.5…20% unter dem theoretischen Wert ca, th .

b) Aufgelöstes PolardiagrammIm aufgelösten Polardiagramm (Bild 4.248)werden Auftriebsbeiwert ca , Widerstandsbei-wert cw, Momentenbeiwert cm, manchmalauch die Gleitzahl e als Funktionen des An-

Horizontale

Bewegungsrichtung

FRFAg

Fw

G

w∞

g a

Bild 4.247 Erklärung des Gleitwinkels g anhandder Kräfteverhältnisse beim Gleitflug nach [4.56]

Tabelle 4.44 Theoretische Auftriebsbeiwerte (nach [4.56])

ebene Platte Kreisbogenprofil Tragflügel

ca, th = 2 · p · sin af

ca, th = (7,5…9,4) 3 + 0,094 · a°l

xdBeiwert 7,5 für 4 = 0,3l

xdBeiwert 9,4 für 4 = 0,5l

bca, th = 2 · p · sin �a + 3�2

l

w∞ a

l

w∞ ab

2 · b

R

l

w∞ a

fd

xd

Tragflügel 299

stellwinkels a dargestellt. Diese Darstellungs-art hat den Vorteil, dass sich der Anstellwinkela für jeden beliebigen Beiwert exakt ablesenlässt, während man beim Lilienthal’schen Po-lardiagramm zwischen den eingetragenen a-Punkten interpolieren muss.

Das aufgelöste Polardiagramm wird vor al-lem bei Schaufelgitterberechnungen im Strö-mungsmaschinenbau benutzt.

Man erkennt in Bild 4.248, dass sich derAuftriebsbeiwert ca in einem weiten Bereich linear mit dem Anstellwinkel a ändert (vgl.auch Gleichung 4.305).

In Tafel 42 im Anhang des Buches ist fürÜbungszwecke das Polardiagramm des Trag-flügels Gö 623 in der Lilienthal’schen Formund in der nach dem Anstellwinkel a aufge-lösten Form dargestellt. Zusätzlich sind dieKoordinaten yo und yu der Profilkontur alsFunktionen von x angegeben.

c) Einfluss der Profilgeometrie auf die Polare

Die Profilgeometrie, insbesondere die relativeWölbung f/l, die relative Profildicke d/l, dierelative Dickenrücklage xd/l, die relative Wöl-bungsrücklage xf/l, der Nasenradius r und dieSchärfe (Winkel) der Hinterkante haben einenentscheidenden Einfluss auf den qualitativenund quantitativen Verlauf der Polaren.

In [4.199 und 4.207] sind die verschiedenenEinflüsse ausführlich beschrieben und in Dia-grammen bzw. mathematischen Gleichungenanschaulich dargestellt.

Der große Einfluss des Dickenverhältnissesd/l symmetrischer Profile kann aus Bild 4.249ersehen werden, Bild 4.250 zeigt den Einflussdes Wölbungsverhältnisses f/l bei konstantemDickenverhältnis d/l = 0,12. Aus Bild 4.251kann man die Bedeutung der relativenDickenvorlage xd/l an einem symmetrischenNACA-Profil erkennen.

Durch das Anbringen von Klappen an derProfilhinterkante oder Vorflügeln an der Pro-filnase können die Auftriebsbeiwerte ca erheb-lich gesteigert werden, allerdings auf Kostender Widerstandsbeiwerte cw. Nur so ist esmöglich Flugzeuge zu starten und zu landen.

d) Einfluss der Oberflächenrauigkeit auf die Polare

Der Verlauf der Polaren ändert sich mit derOberflächenbeschaffenheit.

Die Oberseite des Flügels, die ja bekannt-lich den größten Teil des Auftriebs erzeugt,durch den im Unterdruckgebiet über der Pro-filwölbung wirkenden Sog, ist wesentlichempfindlicher gegen eine Vergrößerung derRauigkeit als die als Druckseite wirkende Pro-filunterseite, wie es in Bild 4.252 rein qualita-tiv dargestellt ist.

Wieviel der Auftriebsbeiwert ca im konkre-ten Einzelfall wirklich abnimmt und der cw-Wert zunimmt kann am Beispiel des NACA-Profils NACA 0012 aus Bild 4.253 abgelesenwerden.

Besonders empfindlich gegen Aufrauungist die Flügelnase, während sich eine Zu-

ca

cw

c a= f (a

)

ca min

cme

ca max

– a + a

cm= f (a)

cw= f (a)

0

e = f (a)cw min

a0

Bild 4.248Aufgelöstes Polardiagramm


nahme der Rauigkeit in der Flügelmitte oderam Flügelende weniger stark bemerkbarmacht (Bild 4.254). Deshalb muss beim Bauvon Flugzeugen und von Lauf- und Leiträ-dern von Strömungsmaschinen dafür Sorgegetragen werden, dass die Oberflächenrauig-keit im Bereich der Profilnase möglichst klein

ist. Weiterhin ist dafür zu sorgen, dass dieOberfläche im Bereich der Profilnase beson-ders gut gegen Verschleiß, z.B. durch Kavita-tion oder Abrieb und gegen Anbackungen ge-schützt ist, z.B. durch besondere Oberflächen-härte oder einen Schutzauftrag. In diesem Zu-sammenhang muss auch auf die Gefahr der

1

2

3

l = 0

cw

c a1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1

2

3

l

0,15

0,10

0,05

Dickenverhältnisd /l

0 0,02 0,04 0,06 0,08

4

4 ~ 0

Bild 4.249 Polare bei verschiedenen Dickenverhältnissen nach [4.207]

Bild 4.250 Polare bei verschiedenen Wölbungsverhältnissen nach [4.207]

ebene Platte

Tragflügel 301

Flügelvereisung an Tragflächen, Leitwerken,Luftschrauben, Triebwerkseinläufen usw. hin-gewiesen werden.

An dieser Stelle soll aber auch erwähntwerden, dass bestimmte mikroskopischekleine Oberflächenstrukturen, wie sie z.B. inder Haut von Fischen vorkommen, dazu ge-eignet sind den Widerstandsbeiwert cw deut-lich zu senken.

e) Einfluss der Reynolds-Zahl auf die PolareDie in den verschiedenen Abbildungen desBuches dargestellten Polaren gelten jeweilsnur für bestimmte Reynolds-Zahlen. Ändertsich die Reynolds-Zahl, ändert sich auch der

1

2

3

l

30 %

40 %

xd /l123

l = 0

cw

c a

+ 1,5

+ 1,0

+ 0,5

0

– 0,5

– 1,0

– 1,50 0,005 0,01 0,015 0,02

Lage der größten Dicke in %der Flügeltiefe

xd

NACA 0010

NACA 0010-34

dmax

dmax

50 %

NACA 0010-35

dmax

Re = 9 · 108

Bild 4.251 Polare bei verschiedenen Dickenrücklagen nach [4.207]

glatter Flügel

raueUnter(Druck)seite

allse

itig ra

uraue Ober(S

aug)seite

cw

c a

cw

c a

1,6

1,2

0,8

0,4

00 0,02 0,04

glatt

k / l =5 ·10

–5k /

l =12

·10

–5

Bild 4.252 Einfluss der Flügelrauigkeit auf die Polarenform

Bild 4.253 Polare bei verschiedenen Rauigkeitennach [4.199]


qualitative und quantitative Verlauf der Pola-ren.

Die Reynolds-Zahl eines Tragflügels ist wiefolgt definiert:

w∞ · lRe = 0 (Gl. 4.306)

n

Bei Profilen mit glatten Oberflächen ist derEinfluss der Reynolds-Zahl auf die Polaren-form größer als bei Profilen mit rauer Ober-fläche (Bild 4.255), mit steigender Reynolds-Zahl nimmt der Auftriebsbeiwert ca von glat-ten Tragflügeln deutlich zu.

Einfache, ebene oder gewölbte Platten zei-gen eine relativ geringe Abhängigkeit der Po-larenform von der Reynolds-Zahl, währenddie Polarenkurve von glatten Tragflügeln ver-hältnismäßig stark von der Reynolds-Zahl ab-hängt (Bild 4.256).

Interessant ist auch die sehr unterschied-liche Abhängigkeit der Gleitzahl e = cw/ca

von der Reynolds-Zahl der verschiede-nen Profilausführungen (Bild 4.257). Bei klei-nen Reynolds-Zahlen ist die Gleitzahl vonvollprofilierten Tragflächen größer als dieGleitzahl von einfachen, ebenen oder gewölb-ten Platten! Erst bei Reynolds-Zahlen über 60 · 103…100 · 103 liegen die Gleitzahlen vonPlatten über den Gleitzahlen von profiliertenTragflügeln.

Diese Erkenntnis ist sehr wichtig bei derAuswahl von Profilen im Strömungsmaschi-nenbau. Bei niedrigen Reynolds-Zahlen, sei esinfolge kleiner Drehzahlen oder infolge klei-ner Abmessungen, lohnt es sich nicht, dieSchaufelgitter mit profilierten Schaufeln aus-zustatten, da einfache Platten nicht nur ko-stengünstiger herzustellen sind, sondern auchbessere Wirkungsgrade haben. Wenn mantrotzdem bei kleinen Strömungsmaschinen,z.B. bei kleinen Ventilatoren, profilierte Schau-feln antrifft, so hat dies meist akustischeGründe.

Durch die Betrachtung von Bild 4.257 ver-steht man auch die Ausformung der Flügelvon Insekten, kleinen Vögeln oder Saalflug-zeugmodellen.

4.11.7 Induzierter Widerstand

Bei Tragflügeln mit endlicher Breite b, d.h.ohne seitliche Begrenzungswände, findet anden Flügelenden ein Druckausgleich zwi-schen dem Überdruckgebiet auf der Flügel-druckseite und dem Unterdruckgebiet auf derFlügelsaugseite statt, der zu einem Auftriebs-verlust führt (Bild 4.258).

glat

ter

Flüg

el

Flügelenderau

Flügelnase rau

Flüg

elm

itte

rau

cw

c a

Nas

e Mitte Ende

glatter Flügel

cw

c a

cw cw cw

c a c a c a

rauer Flügel

Zunahme von Re

Bild 4.254 Einfluss der Flügelrauigkeit an ver-schiedenen Flügelstellen auf die Polarenform

Bild 4.255Einfluss der Reynolds-Zahlauf die Polare

Tragflügel 303

Die Umströmung der Flügelenden quer zurFlügelbreite von der Druck- zur Saugseite er-zeugt an beiden Flügelenden ein Randwirbel-paar, das einen zusätzlichen Abwind zur Folgehat. Die in diesem Abwind enthaltene kineti-sche Energie ist nach dem Impulssatz gleichbe-deutend mit einem weiteren Energieverlust,der zu dem durch Form- und Reibungswider-stand verursachten Energieverlusten hinzu-kommt. Man bezeichnet diesen zusätzlichenVerlust als induzierten Widerstand Fwi .

Die Größe des induzierten Widerstandeslässt sich wie die anderen am Tragflügel an-greifenden Kräfte über den Staudruck der An-strömgeschwindigkeit und die Flügelflächeausdrücken:

rFw = cwi · 3 · w∞

2 · AFl (Gl. 4.307)2

Für rechteckige, unverwundene Flügel (l =konst) mit elliptischer Auftriebsverteilung be-trägt der Beiwert cwi nach PRANDTL [4.209]:

c 2acwi = 5 · l (Gl. 4.308)

p

Für andere Flügelformen mit nichtelliptischerAuftriebsverteilung hängt der Beiwert cwi

außer von c 2a und l noch von der Flügelform,

Flügelpfeilung, von der Auftriebsverteilung,von der Flügelverwindung und von der Gleit-zahl ab [4.207].

cw

c a

Re klein

Re groß

cw

c a

Re kleinRe mittel

Re groß

gekrümmte

Platte

Tragflügel

Re

ebene Platte

Tragflügel

gewölbte Platte

60… 80 · 103

e

elliptische Auftriebs-verteilung

Anfahrwirbel

Abwind

Randwirbelzopf

Auftriebs-verlust

l

bw∞

Bild 4.256 Unterschiedlicher Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Polaren von Tragflügel undgekrümmten Platten

Bild 4.257 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Gleitzahlen e von Tragflügeln und ebenenbzw. gekrümmten Platten

Bild 4.258Wirbel hinter einem Tragflügelmit endlicher Breite


Stellt man cwi als Funktion von ca mitdem Seitenverhältnis l als Parameter in einemLilienthal’schen Polardiagramm dar, erhältman eine Schar Parabeln, die mit abnehmen-dem Seitenverhältnis l immer steiler verlau-fen (Bild 4.259).

Bei einem endlich breiten Tragflügel mitdem Seitenverhältnis l kommt zum induzier-ten Widerstand noch der Druck- und Rei-bungswiderstand hinzu, die zusammenge-fasst durch den Widerstandsbeiwert cwo be-rücksichtigt werden.

Der für den Gesamtwiderstand nach Glei-chung 4.299 maßgebende Gesamtwider-standsbeiwert cw setzt sich demnach aus demvom Seitenverhältnis unabhängigen Wider-standsbeiwert cwo für den Druck- und Rei-bungswiderstand und dem Widerstandsbei-wert cwi für den induzierten Widerstand zu-sammen.

cw = cwo + cwi (Gl. 4.309)

Aus der Polaren eines Flügels mit einem be-stimmten Seitenverhältnis (Bild 4.260) erkenntman deutlich, wie der mit zunehmendem Auf-

triebsbeiwert ca ebenfalls zunehmende Wider-standsbeiwert cw in erster Linie wegen desBeiwertes cwi so stark wächst, während derBeiwert cwo einen geringeren Einfluss hat, daer weniger stark von ca abhängt.

Ändert sich l, bleibt cwo unverändert. Mankann dann leicht ein neues Polardiagrammzeichnen, indem man nach Gleichung 4.308die neue Parabel cwi = f (ca

2) einträgt und dieunveränderten cwo-Werte übernimmt.

Den durch den induzierten Widerstandauftretenden Auftriebsverlust kann man da-durch wieder ausgleichen, dass man durchVergrößern des Anstellwinkels a den Auf-triebsbeiwert ca gegenüber dem Auftriebsbei-wert ca des Flügels mit dem Seitenverhältnis l = 0 vergrößert.

Die erforderliche Vergrößerung des An-stellwinkels a beträgt für rechteckige Flügelmit elliptischer Auftriebsverteilung:

ca-Da = 4 · l (Gl. 4.310)

p

cwi

c a

l nimmt zu

l kl

ein

l groß

cw

c a

l = konst

cwi cwo

c wo

c wi=

f (c a

)

Bild 4.259Beiwert cwi des induzierten Widerstandes

Bild 4.260 Polare des endlich breiten Tragflügels

5.1 Einleitung

Die in Kapitel 4 betrachteten inkompressiblenStrömungsvorgänge setzen eine konstanteDichte bzw. ein konstantes Volumen derFluide voraus. Während diese Voraussetzungfür Flüssigkeitsströmungen in weiten Berei-chen korrekt ist, können bei Strömungen vonGasen und Dämpfen erhebliche Druck-, Ge-schwindigkeits- und Temperaturänderungenauftreten, die zu nicht vernachlässigbarenDichteänderungen führen. Derartige Strö-mungen sind kompressibel.

Die Berücksichtigung der Kompressibilitätder Gase und Dämpfe ist im Wesentlichen infolgenden Fällen notwendig:

❑ Große Höhenänderungen unter Einflussder ErdschwereFür meteorologische Betrachtungen undBerechnungen in der Luft- und Raumfahrt-technik ist die genaue Kenntnis der Zu-standsgrößen in der Erdatmosphäre erfor-derlich (vgl. Kapitel 3).

❑ Hohe BeschleunigungenGroße Beschleunigungen bewegter Wändeoder im Gas befindlicher Körper (z.B. beiAbsperr- und Regelarmaturen) führen zuentsprechenden Druck-, Temperatur- undDichteänderungen. Gleiches gilt auch fürschnelle Ausbreitungsvorgänge wie Stoß-wellen, Explosionen und Detonationen.

❑ Veränderliche Arbeitsräume des FluidsBewegte Systemgrenzen (z.B. bei Kolben-und Verdrängermaschinen) ergeben Ände-rungen des Volumens und somit der Dichte.

❑ Große TemperaturunterschiedeDurch Wärmeübertragungsvorgänge (z.B.innere Wärmeleitung im Fluid, Durchströ-mung nicht adiabater Systeme) resultierenaus den Temperaturänderungen ebenfallsnicht vernachlässigbare Dichteänderungen.Hierzu zählen auch Strömungsvorgängemit inneren Wärmequellen aufgrund vonchemischen Reaktionen, insbesondere von

Verbrennungsvorgängen sowie Mehrpha-senströmungen mit Verdampfung bzw.Kondensation.

❑ Hohe Geschwindigkeiten der GasströmungBei der Innenströmung (z.B. in Rohrleitun-gen, an Behälteröffnungen oder in der Be-schaufelung von Strömungsmaschinen wieGas- und Dampfturbinen oder Verdichtern)entstehen große Druckunterschiede, die zuentsprechenden Dichteänderungen führen.Kompressible Außenströmungen ergebensich bei der Umströmung von Körpern mithohen Anströmgeschwindigkeiten z.B. inder Ballistik und bei Luft- und Raumfahrt-anwendungen. Diese Strömungsmechanikder hohen Geschwindigkeiten wird häufigauch als Gasdynamik bezeichnet.

5.2 Schallausbreitung

Druckwellen, die von kleinen Druckstörun-gen herrühren, werden als Schallwellen be-zeichnet und breiten sich mit Schallgeschwin-digkeit aus. Die Schallgeschwindigkeit wurdenach LAPLACE für ideale Gase unter der in sehrguter Näherung zutreffenden Annahme einerisentropen Zustandsänderung in Abschnitt 1.3folgendermaßen abgeleitet:

8 9dp k · pa = f6 = f8 = d95k · Ri · T (Gl. 5.1)

dr r

a Schallgeschwindigkeitp Druckk Isentropenexponentr DichteRi individuelle GaskonstanteT Temperatur

Als dimensionslose Kenngröße zur Beschrei-bung des Kompressibilitätseinflusses dientdie nach dem österreichischen Physiker ERNST

5 Kompressible Strömungen

MACH (siehe Namensverzeichnis) benannteMach-Zahl M. Die Mach-Zahl ist definiert alsdas Verhältnis der Strömungsgeschwindigkeitzur Schallgeschwindigkeit.

wM = 3 (Gl. 5.2)

a

Die Mach-Zahl erlaubt eine Einteilung in ver-schiedene Geschwindigkeitsbereiche, in denendie Strömung durch unterschiedliche physika-lische Gesetzmäßigkeiten beschrieben wird.

❑ M < 0,3 Inkompressible Unterschallströ-mung (subsonic, incompressible)Für niedrige Mach-Zahlen ist die nähe-rungsweise Betrachtung einer Gasströmungals inkompressibel für technische Genauig-keiten zulässig (s. auch Bild 5.6). Die bereitsin Kapitel 4 angewendeten hydrodynami-schen Grundgleichungen bleiben gültig.

❑ 0,3 ≤ M < 1 Kompressible Unterschallströ-mung (subsonic, compressible)Die bisher angewandten Grundgleichun-gen zur Beschreibung der Strömungsvor-gänge reichen wegen der auftretendenDichteänderungen nicht mehr aus; zusätz-liche thermodynamische Beziehungen sindzu berücksichtigen (s. Abschnitt 5.3).

❑ M ª 1 Schallnaher oder transsonischer Be-reich (transonic)Die Beschreibung schallnaher Strömungenist häufig sehr komplex, da Über- und Un-terschallgebiete gleichzeitig auftreten.

❑ 1 < M < 5 Überschallströmung (supersonic)Gegenüber Unterschallströmungen kehrtsich die Beziehung Fläche/Geschwindig-keit um; neue Strömungsphänomene wieVerdichtungsstöße und Prandtl-Meyer-Ex-pansionen treten im Strömungsfeld auf (s.Abschnitte 5.7 und 5.8).

❑ M ≥ 5 Hyperschallströmung (hypersonic)Die Gasmoleküle dissoziieren und ionisie-ren; das Gas kann nicht mehr als idealesGas behandelt werden. Solche Hochge-schwindigkeitsströmungen treten z.B. beiRaketen und beim Wiedereintritt von Flug-körpern in die Erdatmosphäre auf. Hyper-schallvorgänge werden in diesem Buchnicht näher betrachtet.


Für die Schallausbreitung treten abhängig vonder Geschwindigkeit der Störquelle, von derdie Druckwelle ausgeht, die in Bild 5.1 darge-stellten 4 verschiedenen Fälle a) bis d) auf:

a) Die Störquelle befindet sich in Ruhe. DieWellenfronten breiten sich gleichmäßig aufkonzentrischen Kugelflächen im Raum aus.

b) Die Störquelle bewegt sich mit Unterschall-geschwindigkeit. Stromauf der Schallquelleerfolgt eine Verdichtung der Wellenfronten,stromab eine Verdünnung. Hierdurch än-dert sich die Frequenz der auf einen stehen-den Beobachter einwirkenden Schallfron-ten. Diese Frequenzverschiebung wirdnach ihrem Entdecker CHRISTIAN JOHANN

DOPPLER (siehe Namensverzeichnis) alsDoppler-Effekt bezeichnet und wird z.B.bei der Laser-Doppler-Anemometrie zurGeschwindigkeitsbestimmung genutzt (s.Abschnitt 6.2.4)

c) Die Störquelle bewegt sich exakt mit Schall-geschwindigkeit. Die Druckstörungen kön-nen sich nur stromab ausbreiten. Stromaufbildet sich eine ebene Wellenfront, die alsSchallmauer bezeichnet wird. In der Schall-mauer überlagern sich die einzelnen Wel-lenfronten, so dass hier eine erhöhte Schall-intensität zu verzeichnen ist. Stromauf derSchallmauer in der «Zone der Stille» sindkeine Druckstörungen wahrzunehmen.

d) Die Störquelle bewegt sich mit Überschall-geschwindigkeit. Da die Informationsaus-breitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwin-digkeit) kleiner als die Geschwindigkeitder Störquelle ist, breiten sich die Schall-wellen ausschließlich in einem stromab lie-genden Bereich aus. Der Kegel, der die Ku-gelfronten der Schallwellen tangiert, wirdals Mach’scher Kegel bezeichnet. Außer-halb dieses Kegels in der «Zone der Stille»treten keine Druckstörungen auf. Den hal-ben Öffnungswinkel des Kegels nennt manden Mach’schen Winkel.

a · t a 1sin a = 8 = 4 = 4w · t w M

1sin a = 5 (Gl. 5.3)

M

Beispiel 35

Aufgabenstellung:

An dem (im Jahr 2004 außer Dienst ge-stellten) Überschallverkehrsflugzeug Con-corde tritt im Reiseflug in einer Flughöhevon H = 18 km ein Mach’scher Winkel a = 30° auf (Bild 5.2).

Schallausbreitung 307

a) Wie groß ist die Fluggeschwindigkeit?b) Die Concorde überfliegt einen am Boden

stehenden Beobachter. Welchen Weg Llegt sie zurück, bis dieser Beobachter dasTriebwerksgeräusch wahrnimmt?

Bild 5.1 Ausbreitung von Druckwellen bei verschiedenen Geschwindigkeiten der Störquelle

Lösung:

a) Die Schallgeschwindigkeit beträgt in einerHöhe von 18 km nach Normatmosphäre(Tafel 29) a = 295,04 m/s. Nach Gleichung5.3 ergibt sich folgende Mach-Zahl:


1 1M = 0 = 02 = 2

sin a sin 30°

Damit beträgt die Fluggeschwindigkeitnach Gleichung 5.2

w = M · a = 2 · 295,04 m/s = 590,08 m/s

w = 2124 km/h

b) Der Beobachter kann das Triebwerks-geräusch erst wahrnehmen, wenn derMach’sche Kegel mit dem halben Öff-nungswinkel a seine Position erreicht.Somit folgt

H 18 kmL = 0 = 02tan a tan 30°

L = 31,2 km


5.3 Grundgleichungen der 1-dimensionalenStromfadentheorie

Für die kompressible, 1-dimensionale, sta-tionäre Stromfadentheorie wird vorausge-setzt, dass die Strömungsgrößen in einem be-trachteten Querschnitt A der Stromröhre kon-stant sind bzw. durch einen geeigneten reprä-sentativen Mittelwert beschrieben werdenkönnen. Eine detaillierte Beschreibung der 2-und 3-dimensionalen stationären und insta-tionären Strömung findet man in der weiter-führenden Fachliteratur [5.1 bis 5.3].

5.3.1 Kontinuitätsgleichung

Nach dem Massenerhaltungssatz bleibt füreine stationäre Strömung der durch eineStromröhre (Bild 5.3) fließende Massenstromm konstant. Er wird durch das Produkt vonDichte r und Volumenstrom V beschrieben.Somit lautet die Kontinuitätsgleichung in ih-rer integralen Form für kompressible Strö-mungen:

m = r · V = r · w · A = konst (Gl. 5.4)

m = r1 · w1 · A1 = r · w · A = r2 · w2 · A2

Der Term

m4 = r · w (Gl. 5.5)A

Bild 5.3 Zur Kontinuitätsgleichung

wird hierbei als Massenstromdichte bezeich-net.

Um bei bekanntem Querschnittsverlauf A = A(l) und gegebenen Anfangswerten r1

und w1 die an einer anderen Stelle einerStromröhre herrschende Dichte r und Ge-schwindigkeit w zu berechnen, reicht Glei-chung 5.4 allein nicht aus. Es muss eine wei-tere Information über die Zustandsänderungder Dichte r zur Verfügung stehen.

Wendet man die Kontinuitätsgleichung fürdie stationäre Strömung auf ein System ver-zweigter Stromröhren an (Bild 5.4), ergibt sichaus der Bilanz der zu- und abfließenden Mas-senströme die einfache Beziehung:

Âmi, zu = Âmi, ab = mges (Gl. 5.6)

5.3.2 Energiegleichung, Isentrope undPolytrope

In einer kompressiblen Strömung von Gasoder Dampf treten folgende Energieformenauf:

❑ potentielle Energie der Lage m · g · z❑ potentielle Energie des Druckes

mV · p = m · v · p = 4 · p

rw2

❑ kinetische Energie m · 42❑ innere Energie m · u

Gegenüber einer inkompressiblen Strömungist die innere Energie des Fluids als zusätzli-

Grundgleichungen der 1-dimensionalen Stromfadentheorie 309

che Energieform mit zu berücksichtigen. ImWeiteren wird vorausgesetzt, dass der Strö-mung keine Wärme zugeführt oder entnom-men wird: Man spricht hierbei von einemadiabaten Strömungsprozess. Weiterhin sollkeine mechanische Energie zugeführt werden.Unter diesen Voraussetzungen muss folglichlängs der Stromröhre die Summe aller Ener-gien konstant bleiben:

m w2

m · g · z + 3 · p + m · 5 + m · u = konstr 2

Mit der für stationäre Strömungen konstantenMasse m ergibt sich für die spezifischen Ener-gien

p w2

g · z + 3 + 5 + u = konst (Gl. 5.7)r 2

Setzt man die Definition der spezifischen En-thalpie (s. Abschnitt 1.5.4)

ph = u + p · v = u + 4 (Gl. 5.8)

r

in Gleichung 5.7 ein, ergibt sich der Energie-satz der kompressiblen Strömung:

w2

g · z + h + 5 = konst (Gl. 5.9)2

Der Energiesatz in dieser Form entsprichtdem 1. Hauptsatz der Thermodynamik für einoffenes System ohne Wärme- und Arbeitsaus-tausch. Bei den meisten Gas- und Dampfströ-mungen ist die potentielle Energie der Lagevernachlässigbar klein gegenüber der Enthal-pie und der kinetischen Energie, so dassschließlich folgt:

w2

ht = h + 5 = konst (Gl. 5.10)2

Die Energiegleichung in dieser Form besagt,dass die spezifische Totalenthalpie h t, häufigBild 5.4 Verzweigtes (Rohr-)System

auch als Ruheenthalpie, Stagnationsenthalpie,Gesamtenthalpie oder Kesselenthalpie be-zeichnet, längs einer Stromröhre konstantbleibt. Die Totalenthalpie berechnet sich ausder Summe der (statischen) Enthalpie und derkinetischen Energie. Gleichung 5.10 gilt

❑ nur für stationäre Strömungen,❑ nur unter Vernachlässigung der

Erdschwere,❑ nur für Strömungen ohne Energiezufuhr,❑ für inkompressible und kompressible

Fluide,❑ für reibungsbehaftete und reibungsfreie

Zustandsänderungen,❑ für reale und ideale Gase.


Bild 5.5 illustriert allgemein die möglichenZustandsänderungen einer beschleunigtenStrömung und einer verzögerten Strömung im Enthalpie-Entropie-Diagramm (h-s-Diagramm). Die für eine isentrope Zu-standsänderung gültigen Werte sind hierbeimit dem Index s gekennzeichnet. Die sichisentrop einstellende Austrittsgeschwindig-keit w2, s entspricht somit der in Abschnitt 4.9.1für inkompressible Strömungen mit wa¢ be-zeichneten reibungsfreien Austrittsgeschwin-digkeit.

❑ Beschleunigte Strömung (Expansion, w2 > w1)Aus der Erhaltung der Totalenthalpie ht

folgt grundsätzlich ein Abfall der statischen

Beschleunigung

w2, s > w2 > w1

M2, s > M2 > M1

T2, s < T2 < T1h2, s < h2 < h1

p2 < p1

r2 < r1

Dh < Dhs

Dh h1 – h2hExpansion = 6 = 03 (Gl. 5.11)Dhs h1 – h2, s

Verzögerung

w2 < w2, s < w1

M2 < M2, s < M1

T2 > T2, s > T1h2 > h2, s > h1

p2 > p1

r2 > r1

Dh > Dhs

Dhs h2, s – h1hKompression = 6 = 03 (Gl. 5.12)Dh h2 – h1

Bild 5.5 Darstellung beschleunigter und verzögerter Strömungen im h-s-Diagramm

Enthalpie und somit eine Verringerung von Druck und Temperatur. Für eine rei-bungsfrei angenommene Zustandsände-rung (1 Æ 2,s) ergibt sich aus der adiaba-ten Prozessführung ein isentroper Verlauf(s = konst). Die reale Zustandsänderung (1 Æ 2) ist immer mit Reibungsverlustenverbunden, so dass für die Adiabate nachdem 2. Hauptsatz der Thermodynamik einEntropieanstieg zu verzeichnen ist (s2 > s1).Da die reale Enthalpiedifferenz Dh also im-mer kleiner als die isentrope Enthalpiedif-ferenz Dhs ist, ergibt sich für den reibungs-behafteten Fall eine geringere Endge-schwindigkeit w2 als für die Isentrope mitw2,s. Die Verluste der reibungsbehaftetenExpansionsströmung äußern sich in der er-höhten Temperatur T2 gegenüber der isen-tropen Prozessführung mit der Endtempe-ratur T2,s.

❑ Verzögerte Strömung (Kompression, w2 < w1)Aus der Erhaltung der Totalenthalpie ht

folgt hier ein Anstieg der statischen Enthal-pie. Die Zustandsänderungen (1 Æ 2,s) und(1 Æ 2) führen somit zur Druck- und Tem-peraturerhöhung. Im Vergleich zwischenisentroper und polytroper Kompression er-gibt sich auch hier für die reale Zu-standsänderung eine niedrigere Endge-schwindigkeit und höhere Temperatur alsfür die Isentrope.Bei sehr hohen Verlusten ist aufgrund desdamit verbundenen starken Entropiean-stiegs der Sonderfall einer verzögertenStrömung mit Druckabfall möglich (1 Æ 3)!Dieser Fall ist in der Praxis allerdings kaumrelevant.

Der Wirkungsgrad h solcher adiabater Strö-mungsprozesse wird durch die isentrope En-thalpieänderung Dhs und die tatsächliche En-thalpieänderung Dh beschrieben.

Nimmt man als weitere Voraussetzung einideales Gas mit konstanter spezifischer isoba-rer Wärmekapazität cp an, so kann von derEnthalpieänderung direkt auf die Tempera-turänderung geschlossen werden:

h1 – h2 = cp · (T1 – T2) (Gl. 5.13)


Die spezifische isobare Wärmekapazität kannfür das ideale Gas durch den Isentropenexpo-nenten k und die individuelle Gaskonstantebeschrieben werden.

k · Ricp = 9 (Gl. 5.14)k – 1

Angewendet auf Gleichung 5.10 ergibt sichfür die Totaltemperatur bzw. das Verhältnisvon Totaltemperatur zu statischer Tempera-tur:

w2 k – 1 w2

Tt = T + 8 = T + 8 · 82 · cp 2 k · Ri

Tt k – 1 w2 k – 1 w2

4 = 1 + 8 · 86 = 1 + 8 · 5T 2 k · Ri · T 2 a2

Tt k – 14 = 1 + 8 · M2 (Gl. 5.15)T 2

Aus dieser Formulierung des Energieerhal-tungssatzes geht hervor, dass das Verhält-nis von Totaltemperatur zu statischer Tempe-ratur eines idealen Gases nur von dem Isen-tropenexponenten k und der Mach-Zahl M ab-hängt. Die Totaltemperatur Tt ist anschaulichzu erklären als die Temperatur, die sich bei derVerzögerung einer Strömung bis auf die Ge-schwindigkeit 0, z.B. im Staupunkt eines Flug-körpers, einstellt. Diese Formulierung machtdeutlich, dass bei hohen Mach-Zahlen z.B.beim Wiedereintritt von Flugkörpern in dieErdatmosphäre sehr hohe Staupunkttempera-turen auftreten können, die spezielle Schutz-maßnahmen wie Hitzeschilde erforderlichmachen.

Für Strömungsprozesse idealer Gase ohneEnergiezufuhr bleibt die Totaltemperaturin einer Stromröhre konstant.

Beispiel 36

Aufgabenstellung:

Welche Staupunkttemperatur ergibt sich fürden in Beispiel 35 berechneten Flugzustandder Concorde (k = 1,4)?

Lösung:

Die Temperatur beträgt in der Flughöhe von18 km nach Normatmosphäre (Tafel 29) T =


216,65 K. Mit der Flugmachzahl M = 2 ergibtsich für die Totaltemperatur nach Gleichung5.15

k – 1Tt = T · �1 + 9 · M 2�2

1,4 – 1Tt = 216,65 · �1 + 93 · 22�2

Tt = 390 K (ª 117°C)

Zur näheren Beschreibung der in Bild 5.5 dar-gestellten Expansions- und Kompressions-strömung werden die aus der Thermodyna-mik bekannten Beziehungen für isentropeund polytrope Zustandsänderungen im Fol-genden zusammengefasst:

❑ Isentrope

pp · vk = 4 = konst (Gl. 5.16)

rk

v2, s r1 p112k

6 = 6 = �5� (Gl. 5.17)v1 r2, s p2

T2, s p2k – 16k

6 = �5� (Gl. 5.18)T1 p1

mit dem Isentropenexponenten

cpk = 4 (Gl. 5.19)cv

❑ Polytrope

pp · vn = 4 = konst (Gl. 5.20)

rn

v2 r1 p112n

5 = 5 = �5� (Gl. 5.21)v1 r2 p2

T2 p2n – 16n

5 = �5� (Gl. 5.22)T1 p1

mit dem Polytropenexponenten

p2 p2ln �4� ln �4�p1 p1n = 03 = 000 (Gl. 5.23)v1 p2 T2ln �4� ln �4� – ln �4�v2 p1 T1

Isentrope und Polytrope sind durch die in denGleichungen 5.11 und 5.12 definierten Wir-kungsgrade miteinander verknüpft:

h2 = h1 – hExpansion · (h1 – h2, s) bzw.

1h2 = h1 – 053 · (h1 – h2, s)hKompression

und somit

T2 h2 T2, s5 = 4 = 1 – hExpansion · �1 – 7� bzw.T1 h1 T1

T2 h2 1 T2, s5 = 4 = 1 – 053 · �1 – 7�T1 h1 hKompression T1

Mit den Gleichungen 5.18 und 5.22 folgt

T2 n – 1 p2ln �5� = 9 · ln �4�T1 n p1

T2 n – 1 T2, sk

6k – 1ln �5� = 9 · ln ��7� �T1 n T1

und damit für die Expansion

T2, sln �1 – hExpansion · �1 – 6��n – 1 T19 = 999092n T2, s

k6k – 1ln ��7� � (Gl. 5.24)

T1

p2k – 15kln �1 – hExpansion · �1 – �5� �n – 1 p1

9 = 9990927n p2ln �5�p1 (Gl. 5.25)

bzw. für die Kompression

1 T2, sln �1 – 042 · �1 – 6��n – 1 hKompression T19 = 999094n T2, s

k6k – 1ln ��7� � (Gl. 5.26)

T1

1 p2k – 15kln �1 – 043 · �1 – �5� �n – 1 hKompression p1

9 = 9990920n p2ln �5�p1 (Gl. 5.27)


Die Anwendung der Gleichungen 5.17 und5.18 auf den Energiesatz Gleichung 5.15 ergibtdie für isentrope Strömungen häufig benötig-ten Zusammenhänge:

pt Ttk

6k – 1 k – 1 k6k – 1

4 = �5� = �1 + 8 · M2� (Gl. 5.28)p T 2

rt Tt1

6k – 1 k – 1 16k – 1

4 = �5� = �1 + 8 · M2� (Gl. 5.29)r T 2

Diese Gleichungen beschreiben somit den To-talzustand, der sich bei einem isentropen Auf-stau einer Strömung bis auf die Geschwindig-keit 0 ergibt.

Die Totalgrößen pt und rt bleiben für isen-trope Strömungen konstant.

Für verlustbehaftete Zustandsänderungen er-gibt sich ein Totaldruckverlust (pt1 > pt2, vgl.Bild 5.5).

Mit Hilfe von Gleichung 5.29 kann die fürkompressible Strömungen charakteristischeÄnderung der Dichte in Abhängigkeit der

Bild 5.6Dichteänderung kompressibler Fluide

Mach-Zahl formuliert werden. Die in Bild 5.6dargestellte dimensionslose Dichteänderung

rt – r r k – 1 – 15k – 1

92 = 1 – 5 = 1 – �1 + 8 · M2�rt rt 2(Gl. 5.30)

ist umso kleiner, je kleiner die Mach-Zahl ist.Im Rahmen der technischen Genauigkeit wirdüblicherweise für M < 0,3 (entsprechend einerDichteänderung von 4,4%) die Kompressibi-lität vernachlässigt.

Es sei noch einmal ausdrücklich daraufhingewiesen, dass die abgeleiteten Formulie-rungen des Energiesatzes in dieser Form nurfür adiabat durchströmte Systeme gelten. Beivorliegendem Realgasverhalten muss auf dieFormulierung des Energiesatzes in Gleichung5.10 zurückgegriffen werden. Die Energieglei-chung in der Form der Gleichung 5.15 ist nurfür ideale Gase gültig. Die in den Gleichungen5.28 bis 5.30 angegebenen Beziehungen setzendarüber hinaus eine adiabate und reibungs-freie, also isentrope Strömung voraus.

5.3.3 Thermodynamische Zustandsgleichung

Auf die Herleitung des 2. Hauptsatzes derThermodynamik wird hier verzichtet und aufdie weiterführende Fachliteratur verwiesen[5.3 bis 5.5]. Der für die Darstellung von Strö-mungsprozessen benötigte Zusammenhangzwischen den Zustandsgrößen Druck, Tempe-ratur, Dichte und Entropie ergibt sich dem-nach für ein ideales Gas zu:

T2 p2s2 – s1 = cp · ln 5 – Ri · ln 4 (Gl. 5.31)T1 p1

T2 r1s2 – s1 = cv · ln 5 + Ri · ln 4 (Gl. 5.32)T1 r2

Zur Beschreibung der Stoffdaten und Zu-standsänderungen für reale Gase können das h-s-Diagramm des Gases bzw. Tabellenwerteoder Datenbanken verwendet werden [5.6, 5.7].


5.3.4 Impulssatz und Drallsatz

Der in Abschnitt 4.3.4 hergeleitete Impulssatzenthält die Dichte als freie Zustandsvariableund ist damit uneingeschränkt auch für kom-pressible Strömungen anzuwenden. Die an ei-nem abgegrenzten Strömungsbereich angrei-fenden äußeren Kräfte und die Impulskräftemüssen sich gegenseitig das Gleichgewichthalten.

Ebenso hat auch der Drallsatz (Abschnitt4.3.5) für kompressible Strömungen Gültig-keit.

5.4 Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung

Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sichdurch Differentiation

d(r · w · A) = 0

w · A · dr + r · w · dA + r · A · dw = 0

dw dA dr5 = – �5 + 5� (Gl. 5.33)w A r

Für die inkompressible Strömung (dr = 0) ver-anschaulicht diese differentielle Form derKontinuitätsgleichung den bekannten Zusam-menhang, dass eine Querschnittserweiterung(dA > 0) zu einer Verringerung der Geschwin-digkeit (dw < 0) führt. Die Querschnittsveren-gung (dA < 0) hingegen ergibt eine Erhöhungder Geschwindigkeit (dw > 0).

Für kompressible Strömungen ist der Sach-verhalt komplizierter, da gleichzeitig die Dich-teänderung mit ins Spiel kommt. Führt manunter der Voraussetzung einer isentropenStrömung die Schallgeschwindigkeit

6dp

a = f5dr

und die Euler’sche Bewegungsgleichung (s.Gleichung 4.16)

dpg · dz + 5 + w · dw = 0

r

Kanalform Unterschallbereich Überschallbereich

Expansion (Düse) Kompression (Diffusor)

w2 > w1 w2 < w1

p2 < p1 p2 > p1

T2 < T1 T2 > T1

r2 < r1 r2 > r1

Kompression (Diffusor) Expansion (Düse)

w2 < w1 w2 > w1

p2 > p1 p2 < p1

T2 > T1 T2 < T1

r2 > r1 r2 < r1

ein, so ergibt sich unter Vernachlässigung derErdschwere

dp = a2 · dr

dp = – r · w · dw

dr w5 = – 4 · dwr a2

dr dw5 = – M2 · 6 (Gl. 5.34)r w

Eingesetzt in Gleichung 5.33 folgt

dw dA dw5 = – �5 – M2 · 6�w A w

dw 1 dA5 = 02 · 6 (Gl. 5.35)w M 2 – 1 A

Diese Gleichung stellt die Flächen-Geschwin-digkeits-Beziehung dar und erlaubt wichtigeFallunterscheidungen für verschiedene Mach-Zahl-Bereiche (Bild 5.7). Bei Strömungen imUnterschallbereich nimmt mit zunehmendemQuerschnitt (dA > 0) die Geschwindigkeit ab(dw < 0). Bei Strömungen im Überschallbe-reich ist es genau umgekehrt. Bei abnehmen-dem Querschnitt A wird die Strömung verzö-gert, bei zunehmendem Querschnitt beschleu-

Rohrströmungen 315

nigt. Eine Erhöhung der Geschwindigkeitgeht in allen Fällen gem. Gleichung 5.34 miteiner Herabsetzung der Dichte einher (Expan-sion). Für eine verzögerte Strömung hingegenergibt sich grundsätzlich ein Anstieg derDichte (Kompression).

Der in der Flächen-Geschwindigkeits-Be-ziehung auftretende Faktor 1/(M2 – 1) wirdbei Annäherung an die Schallgrenze sehrgroß. Kleine Flächenänderungen führen daherim transsonischen Bereich bei M ≈ 1 zu großenGeschwindigkeitsänderungen. Daher sind dieAnforderungen an die Genauigkeit von Be-rechnungen und an Fertigungstoleranzen fürtranssonisch durchströmte Systeme besondershoch.

Gleichung 5.35 zeigt weiterhin, dass sichfür M = 1 eine Singularität ergibt. In einerStromröhre kann daher die Mach-Zahl 1 nurerreicht werden, wenn die FlächenänderungdA = 0 ist.

5.5 Rohrströmungen

Die in den folgenden Abschnitten abgeleitetenGesetze und Formeln beschränken sich aufstationäre Strömungen in Rohren mit Kreis-querschnitt.

Bei der Fortleitung von kompressiblen Flui-den in Rohrleitungen mit konstantem Quer-schnitt liegt im Unterschall eine Expansions-

Bild 5.7 Unterschiedliches Verhalten von Unter- und Überschallströmung

strömung vor, da der Druck in Folge der Rei-bungsverluste in Strömungsrichtung ab-nimmt. Die Massenstromdichte (Gleichung5.5) bleibt nach der Kontinuitätsgleichungkonstant. Im allgemeinen Falle ändern sichdamit längs der Rohrleitung Druck, Tempera-tur, Dichte und Geschwindigkeit. Da die Ge-schwindigkeit ansteigt, ergeben sich gegen-über inkompressibler Strömung verstärkteDruckverluste. Der Druck fällt daher nicht li-near, sondern überproportional ab (Bild 5.8).Die Änderung der Lageenergie kann bei denmeisten Luft-, Gas- und Dampfströmungengegenüber der Druck- und Geschwindigkeits-energie vernachlässigt werden.

Der sich längs der Rohrleitung einstellendeDruck- und Geschwindigkeitsverlauf hängtvon der Art der Expansion und der Reibungab. In der Praxis finden sich 2 typische Rohr-leitungsarten, nämlich 1. blanke, nicht iso-lierte und 2. wärmeisolierte Rohrleitungen. Inder folgenden Gegenüberstellung der beidenRohrleitungsarten sind die jeweiligen Unter-schiede aufgeführt (Tabelle 5.1).

5.5.1 Druckabfall bei beliebigem Wärmeaustausch

Für ein Rohrelement von der Länge dl lässtsich der Druckabfall infolge Reibung nachGleichung 4.137a wie folgt ansetzen (Bild5.10):

dl rdp = – l · 4 · 3 · w– 2

d 2


Da der Druck mit zunehmender Rohrlänge labnimmt, wurde auf der rechten Seite des An-satzes ein Minuszeichen vorgesehen.

Nach der Gasgleichung für ideale Gase(Gleichung 1.7) lässt sich die Dichte r durchden Druck p und die Temperatur T aus-drücken:

pr = 9Ri · T

p p1Ri = 9 = 0r · T r1 · T1

T1 pr = r1 4 · 4T p1

Aus der Kontinuitätsgleichung für kompres-sible Strömungen (Gleichung 5.4) ergibt sich für konstanten Rohrleitungsquerschnitt A = d 2 · p/4:

w– · r = w–1 · r1 = konst

r1 T · p1w– = w–1 · 4 = w–1 · r1 · 96r r1 · T1 · p

T · p1w– = w–1 · 91T1 · p

Durch Einsetzen von

T1 · p T · p1r = r1 · 91 und w– = w– 1 · 91T · p1 T1 · p

in die Druckabfallgleichung

dl rdp = – l · 4 · 3 · w– 2

d 2

Bild 5.8Vergleich zwischen inkompressiblerund kompressibler Rohrströmung(Unterschall)

Rohrströmungen 317

erhält man folgende Differentialgleichung fürden Druckabfall längs der Rohrleitung:

1 r1 T1 · p w– 21 · T 2 · p2

1dp = – l · 3 · 4 · 9 · 405 · dld 2 T · p1 T 2

1 · p2

r1 · w– 21 · p1 T

dp = – l · 404 · 3 · dl (Gl. 5.36)2 · d · T1 p

Um den Druckabfall p1 – p2 durch Integrationvon Gleichung 5.36 bestimmen zu können,müssen die Funktionen T = f (x) und p = f (x)bekannt sein.

Da die Dichte r längs der Rohrleitung ab-nimmt (Expansionsströmung) nimmt der Vo-lumenstrom V und damit die Geschwindig-keit w zu. Die kinematische Zähigkeit n ändertsich ebenfalls, sodass auch die Reynolds-Zahllängs der Rohrleitung nicht konstant bleibt.Die Rohrreibungszahl l, die bekanntlich eineFunktion der Reynolds-Zahl und der relativenWandrauigkeit d/k ist, ändert sich ebenfalls.Die Integration von Gleichung 5.36 ist deshalbanalytisch nicht möglich. Um wenigstens eine

Tabelle 5.1 Rohrleitungen

Nicht isolierte Rohrleitung Isolierte Rohrleitung

Durch die Rohrwand findet ein Wärmeaustauschstatt. Die Temperatur des Strömungsmediums Tinnen

gleicht sich allmählich an die AußentemperaturTaußen an.

Die Strömung kann mit guter Näherung als iso-therm bezeichnet werden.

Beispiel: unterirdisch verlegte Ferngasleitungen.

Durch die Isolierung der Rohrleitung wird der Wär-meaustausch durch die Rohrwand und durch dieIsolierschicht nahezu verhindert. WärmeisolierteRohrleitungen finden bei der Fortleitung heißeroder kalter Gase oder Dämpfe Anwendung, derenTemperatur Tinnen sich nicht an die Außentempera-tur Taußen angleichen soll.

Wäre der Wärmeaustausch gleich Null, so lägeeine adiabate Rohrströmung vor.

Beispiel: Ferndampfleitungen

Beide Rohrströmungsarten, isotherm und adiabat, sind Grenzfälle, da bei wirklichen Rohrströmungen im-mer ein gewisser Wärmeaustausch auftritt und auch die Temperatur nicht immer konstant bleibt.

Bild 5.9a Nicht isolierte Rohrleitung Bild 5.9b Isolierte Rohrleitung

Bild 5.10 Druck-, Geschwindigkeits- und Tempe-raturverlauf bei kompressibler Unterschall-Rohr-strömung

näherungsweise Berechnung des Druckabfallszu ermöglichen, werden folgende Vereinfa-chungen angenommen:

1. Die Rohrreibungszahl l ist konstant und be-rechnet sich als Funktion von Re1 = w– 1 · d/n1

und d/k.2. Die Temperatur T wird durch eine mittlere

T1 + T2Temperatur T– = 93 ersetzt.2

3. Die Beschleunigungskräfte infolge der Ge-schwindigkeitszunahme werden vernachläs-sigt.

Mit diesen Vereinfachungen lässt sich Glei-chung 5.36 integrieren:


1 r1 · w– 21 T–

4 · p · dp = – l · 48 · 4 · dlp1 2 · d T1

p2 l1 r1 · w– 2

1 T–

4 · Ú p · dp = – l · 01 · 4 · Ú dlp1 2 · d T1

p1 0

1 p2 p1 r1 · w– 21 T–

4 · 4 � = l · 912 · 4 · lp1 2 p2 2 · d T1

p21 – p2

2 l w– 21 T–

93 = l · 3 · r1 · 41 · 4 (Gl. 5.37)2 p1 d 2 T1

Beispiel 37

Aufgabenstellung:

Durch eine Stahlrohrleitung (k = 0,3 mm)von 300 mm Innendurchmesser strömenstündlich 30 t Wasserdampf. Die Leitung hateine Länge von 500 m. Der Eintrittsdruckdes Dampfes beträgt p1 = 10 bar, die Ein-trittstemperatur T1 = 600 K.

Wie groß ist der Druckverlust längs derDampfleitung, wenn die Temperatur amRohrende T2 = 550 K beträgt?

Lösung:

Aus der Wasserdampftafel, einem Mollier-Diagramm bzw. aus Tafel 8 dieses Buchesentnimmt man das spezifische Volumen desWasserdampfes bzw. die Dichte für

p1 = 10 bar und T1 = 600 K:

u = 0,27 m3/kg

1 1r1 = 4 = 7 = 3,7 kg/m3

u1 0,27

Die dynamische Viskosität des Wasser-dampfes erhält man aus einer Wasser-dampftafel oder aus Tafel 21 im Anhang:

h1 = 2,1 · 10– 5 Pa · s

Das Eintrittsvolumen V1 berechnet sich ausMassenstrom und spezifischem Volumen:

30 000V = m · u1 = 01 · 0,27

3600

V1 = 2,25 m3/s

Die Geschwindigkeit w– 1 ergibt sich aus dem Volumenstrom V1 und der Rohrquer-schnittsfläche A:

V1 2,25w– 1 = 4 = 01 = 31,8 m/s

A 0,0707

Die kinematische Viskosität

h1 21 · 10– 6

n1 = 4 = 04 = 5,68 · 10– 6 m2/sr1 3,7

und die Geschwindigkeit w–1 = 31,8 m/s er-geben folgende Reynolds-Zahl:

w– 1 · d 31,8 · 0,3Re1 = 0 = 05 · 106

n1 5,68

Re1 = 1,68 · 106

Mit d/k = 300/0,3 = 1000 ergibt sich damitaus Tafel 30 folgende Rohrreibungszahl l:

l ª 0,02

T1 + T2 600 + 550Mit T– = 01 = 07 = 575 K lässt sich

2 2

der Enddruck p2 aus Gleichung 5.37 berech-nen:

p21 – p2

2 l w– 21 T–

02 = l · 3 · r1 · 5 · 42 · p1 d 2 T1

p21 – p2

2 500 31,82 57502 = 0,02 · 6 · 3,7 · 8 · 72 · p1 0,3 2 600

p21 – p2

202 = 59 7612 · p1

Rohrströmungen 319

p21 – p2

2 = 2 · 10 · 105 · 5,98 · 104

p22 = p2

1 – 0,12 · 1012

p22 = 88 · 1010

p2 = 9,38 · 105 Pa = 9,38 bar

Der Druckabfall beträgt demnach:

p1 – p2 = 10 – 9,38 = 0,62 bar

5.5.2 Druckabfall bei isothermer Strömung

Bleibt die Temperatur längs der Rohrleitungkonstant, so vereinfacht sich Gleichung 5.37,da das Temperaturglied T–/T1 entfällt.

p21 – p2

2 l w– 21

02 = l · 3 · r1 · 5 (Gl. 5.38)2 p1 d 2

Zur Bestimmung des Druckabfalles Dp = p1 –p2 genügen demnach die Größen am Beginnder Rohrleitung r1 , w– 1 , n1 , Re1 , l = l1 und dieRohrabmessungen l und d.

Beispiel 38

Aufgabenstellung:Wie groß ist der Druckabfall in der in Beispiel 37 berechneten Rohrleitung, wennisotherme Strömung (T = 600 K = konst)vorausgesetzt wird?

Lösung:Da sich die Anfangszustände nicht geänderthaben, bleiben folgende Werte erhalten:

r1 = 3,7 kg/m3

w–1 = 31,8 m/sn1 = 5,68 · 10– 6 m2/s

Re1 = 1,68 · 106

l ª 0,02Damit lässt sich der Druckverlust nach Glei-chung 5.38 berechnen:

p21 – p2

2 l w– 21

02 = l · 3 · r1 · 52 p1 d 2

p21 – p2

2 500 31,82

02 = 0,02 · 6 · 3,7 · 542 · p1 0,3 2

p21 – p2

2 10 · 3,7 · 101102 = 003 = 62 360

2 · p1 0,6

p21 – p2

2 = 2 · 10 · 105 · 62 360

p22 = (10 · 105)2 – 125 · 109

p22 = 1012 – 0,125 · 1012

p22 = 87,5 · 1010

p2 = 9,35 · 105 Pa = 9,35 bar

Der Druckunterschied beträgt:

p1 – p2 = 10 – 9,35 = 0,65 bar

Man sieht, dass dieses Ergebnis nur unwe-sentlich vom Ergebnis von Beispiel 37, beidem ein Temperaturabfall längs der Leitungangenommen war, abweicht.

5.5.3 Druckabfall bei adiabater Strömung(Fanno-Strömung)

Bei adiabater Rohrströmung tritt kein Wär-meaustausch durch die Rohrwand auf. Umden Rechenaufwand gering zu halten, wirdfolgendes Näherungsverfahren empfohlen:

Zunächst wird nach Gleichung 5.38 der beiisothermer Rohrströmung auftretende Druck-abfall bestimmt. Aus den beiden Drücken p1

und p2 und der Temperatur T1 am Rohranfangberechnet sich näherungsweise die Temperaturam Rohrende unter Annahme einer Isentropen:

p2k – 16kT2 ª T2, s = T1 · �5� (Gl. 5.39)

p1


Mit dieser Temperatur berechnet sich dann diemittlere Temperatur:

T1 + T2T– ª �03� (Gl. 5.40)2

Den Druckabfall infolge von Reibung erhältman dann aus Gleichung 5.37. Das Rechenver-fahren wird so lange iterativ wiederholt, bisdas Ergebnis genau genug ist.

Bei größeren Geschwindigkeiten undgroßen Rohrlängen wird das geschilderte Ver-fahren sehr ungenau.

Beispiel 39

Aufgabenstellung:Durch eine Dampfleitung von 1 km Längeund 150 mm Nennweite strömen stündlich30 t Dampf. Die Wandrauigkeit beträgt k =0,05 mm.

Die Anfangszustände betragen:Druck p1 = 50 bar = 50 · 105 N/m2

Temperatur T1 = 700 Kspezifisches Volumen u1 = 0,061 m3/kgDichte r1 = 16,4 kg/m3

dynamische Viskosität h1 = 26 · 10– 6 Pa · s

h1 26 · 10– 6

kinematische Viskosität n1 = 4 = 50r1 16,4

= 1,59 · 10– 6 m2/s

Wie groß ist der Druckverlust bei adiabaterStrömung?

Lösung:Zunächst wird der Druckverlust für iso-therme Strömung berechnet:

m · u1 30 000 · 0,061w1 = 0 = 005A 0,01767 · 3600

w1 = 28,8 m/s

w1 · d 28,8 · 0,15Re1 = 0 = 08 · 106

n1 1,59

Re1 = 2,72 · 106

mit

d 1503 = 8 = 3000 wird l nach� k 0,05 � Tafel 30:

Re1 = 2,72 · 106

l ª 0,016

Der Druckabfall beträgt:

p21 – p2

2 l w21

02 = l · 3 · r1 · 52 p1 d 2

p21 – p2

2 1000 28,82

02 = 0,016 · 8 · 16,4 · 92 p1 0,15 2

p21 – p2

202 = 725 000

2 p1

p21 – p2

2 = 2 · 50 · 105 · 7,25 · 105

p22 = p2

1 – 7,25 · 1012

p22 = 25 · 1012 – 7,25 · 1012

p22 = 17,75 · 1012

p2 = 4,2 · 106 Pa = 42 bar

Damit lässt sich in 1. Näherung die adiabateEndtemperatur T2 bestimmen:

p2k – 15kT2 ª T1 · �5�p1

Der Isentropenexponent von Heißdampf von50 bar und 700 K beträgt k ≈ 1,28 (Tafel 26).

42 8

1,28 – 11,28T2 ª 700 · �5�50

T2 = 700 · 0,840,219

T2 ª 674 K

Die mittlere Temperatur beträgt:

T1 + T2 700 + 674T– ª 02 = 882 2T ª 687 K

Damit lässt sich der Druckabfall nach Glei-chung 5.37 berechnen:

p21 – p2

2 l w– 21 T–

02 = l · 3 · r1 · 5 · 42 p1 d 2 T1

p21 – p2

2 1000 28,82 68702 = 0,016 · 9 · 16,4 · 9 · 72 p1 0,15 2 700

Rohrströmungen 321

p21 – p2

202 = 712 000

2 p1

p21 – p2

2 = 2 · 50 · 105 · 7,12 · 105

p22 = p2

1 – 7,12 · 1012

p22 = 25 · 1012 – 7,12 · 1012

p22 = 17,88 · 1012

p2 = 42,3 bar

Dp = 50 – 42,3 = 7,7 bar

Man sieht, dass das Ergebnis gut mit der iso-therm gerechneten Lösung übereinstimmt.Weitere Iterationen bringen keine höhere Genauigkeit, da bereits in der Annahme l ≈ 0,016 eine gewisse Unsicherheit steckt.

Eine sehr anschauliche Beschreibung derkompressiblen adiabaten Rohrströmung lie-fern die nach GINO FANNO (s. Namensver-zeichnis) benannten Fanno-Kurven im h-s-Diagramm. Da für die betrachtete adiabateRohrströmung sowohl die Totalenthalpie ht

als auch die Massenstromdichte (r · w) kon-stant bleiben, ergibt sich aus der Kontinuitäts-gleichung 5.4 und dem EnergieerhaltungssatzGleichung 5.10

r1w2 = w1 · 4r2

w12 w2

2

ht = h1 + 4 = h2 + 42 2

(r1 · w1)2

ht = h2 + 04 (Gl. 5.41)2 · r2

2

Für einen gegebenen Eintrittzustand in dasRohr (r1, w1, h1) kann somit für jede in der Rohr-leitung auftretende Dichte r2 die zugehörigeEnthalpie h2 und die Geschwindigkeit w2 be-stimmt werden. Für ein ideales Gas ergebensich die Temperatur und der Druck gemäß

w12 – w2

2

T2 = T1 + 032 · cp

p2 = r2 · Ri · T2

Zur Ermittlung der Fanno-Kurven im h-s-Dia-gramm müssen die Entropieänderungen zwi-schen Zustand 1 und 2 nach Gleichung 5.31oder 5.32 berechnet werden (ideales Gas):

T2 p2s2 – s1 = cp · ln 4 – Ri · ln 4T1 p1

Auf diese Weise lässt sich zu einem statischenEintrittszustand eine Schar von Fanno-Kurvenkonstruieren, die sich durch die Massenstrom-dichte unterscheiden (Bild 5.11).

Eine Fanno-Kurve stellt also die Linie im h-s-Diagramm dar, auf der alle physikalischmöglichen Zustände der adiabaten reibungs-behafteten Rohrströmung eines idealen Gasesfür eine bestimmte Massenstromdichte lie-gen.

Im Unterschall, ausgehend von dem Zu-stand 1, kann die Strömung bis zu dem Punktmaximaler Entropie beschleunigen. Hier wirddie Schallgeschwindigkeit (M = 1) und ein derjeweiligen Massenstromdichte zugehörigerDruck ps erreicht. Eine weitere Steigerung derGeschwindigkeit ist nicht möglich, da sonsteine Verringerung der Entropie entsteht. Diesist für ein adiabates System nach dem 2.Hauptsatz der Thermodynamik unmöglich.

Eine Unterschallrohrströmung kann durchDruckabfall maximal bis zur Schallge-schwindigkeit beschleunigt werden.

Liegt der Eintrittszustand in das Rohr bereitsim Überschall (rot gezeichneter Teil derFanno-Kurve) ergibt sich aus der durch dieReibung erzwungenen Entropieerhöhung eineVerzögerung der Überschallströmung. DieVerzögerung kann bis M = 1 reichen; ein ste-tiger Übergang in den Unterschallzweig derFanno-Kurve ist wegen des Widerspruchszum 2. Hauptsatz nicht möglich.

Wird einer Überschallrohrströmung einGegendruck aufgeprägt, der größer als der beiM = 1 auftretende Druck ps ist, entsteht in demRohr ein plötzlicher Drucksprung, der alssenkrechter Verdichtungsstoß bezeichnetwird (s. Abschnitt 5.7.1). Der Verdichtungs-stoß ist ebenfalls ein verlustbehafteter Strö-mungsvorgang und verursacht einen Entro-pieanstieg sowie einen Totaldruckverlust.

In der Praxis wird der Druckabfall in Rohr-leitungen, durch die die häufig vorkommen-den Fluide Wasserdampf, Druckluft oder Erd-gas strömen, mittels Rechenprogrammen oderNomogrammen ermittelt. Tafel 43 im Anhang


stellt den Druckabfall in Wasserdampfleitun-gen in einem Diagramm dar. Ähnliche Dia-gramme für Druckluft oder Erdgas können dereinschlägigen Literatur entnommen werden.

5.5.4 Druckabfall bei adiabater Drosselung

Unter der adiabaten Drosselung versteht maneine stationär verlaufende Expansion eines Gas-oder Dampfstroms durch einen in einer Rohr-leitung eingebauten Strömungswiderstandohne Arbeits- oder Wärmezu- oder -abfuhr.

Bei der Drosselstelle, die in Bild 5.12 alsBlende dargestellt ist, kann es sich im Betriebum ein Stellglied, wie z.B. Schieber, Ventil,Hahn, Drosselklappe, oder um eine Mess-stelle, wie z.B. Blende, Düse oder Venturirohr,handeln. Auch die Einlass- und Regelventilevon Dampfturbinen stellen derartige Drossel-stellen dar.

Der an der Drosselstelle infolge von Rei-bung und Verwirbelung auftretende Druck-verlust berechnet sich nach Abschnitt 4.7.7 mit

rDpv = z · 3 · w– 2 (Gl. 5.42)

2

Bild 5.11 Fanno-Kurven für verschiedene Massenstromdichten (r · w)

Rohrströmungen 323

wobei w– je nach Art der Drosselstelle und De-finition von z die Geschwindigkeit w– 1 oder w– 2

sein kann. Die Widerstandszahlen der einzelnen Dros-

selstellen finden sich in Abschnitt 4.7.7. Der Reibungsverlust wird in Wärme umge-

wandelt, die jedoch aufgrund des adiabatenSystems nicht nach außen abgegeben wird.

Stellt man den adiabaten Expansionsvor-gang in einem p-u-Diagramm dar (Bild 5.13),so kann man die bei der Drosselung dissi-pierte Energie als Fläche darstellen.

Würde anstelle des Drosselwiderstandeseine Kraftmaschine, z.B. eine Turbine, in dieRohrleitung eingebaut, so würde diese einedem Druckgefälle entsprechende Nutzarbeitnach außen abgeben. Da für die adiabateDrosselung keine Arbeitsabgabe oder -auf-

nahme vorliegt, bleibt die Totalenthalpie kon-stant (Gleichung 5.10):

w12 w2

2

ht = h1 + 4 = h2 + 42 2

Nimmt man an, dass die Geschwindigkeitenvor und nach der Drosselstelle gleich großsind bzw. dass der Ausdruck

w22 – w1

2

042

gegenüber der Enthalpie vernachlässigbarklein ist, so ergibt sich für die Zustandsände-rung der Drosselung:

h1 = h2 = konst (Gl. 5.43)

Der Anfangszustand 1 und der Endzustand 2liegen auf einer Linie konstanter Enthalpie,weshalb man diese Zustandsänderung alsIsenthalpe bezeichnet. Dies bedeutet nicht,dass die Enthalpie während der gesamten Zu-standsänderung konstant bleibt. Vielmehr er-gibt sich abhängig von der Geometrie desDrosselquerschnitts eine mehr oder minderstarke lokale Enthalpieabsenkung mit nach-folgendem Wiederanstieg (Bild 5.14). Ent-scheidend für die integrale Betrachtung desDrosselvorgangs und die Beschreibung alsisenthalpe Zustandsänderung sind aber nurdie Anfangs- und -endzustände 1 und 2.

Bild 5.12 Strömung durch eine Drosselstelle

Bild 5.13 Darstellung eines Drosselenergieverlus-tes im p-u-Diagramm

Bild 5.14 Darstellung der Drosselung eines realenGases oder Dampfes im Enthalpie-Entropie-Dia-gramm

Die in Abschnitt 5.5.3 erläuterten Zusam-menhänge für die Fanno-Kurven gelten auchfür die adiabate Drosselung, da die Quer-schnitte 1 und 2 identisch sind. Physikalischsind die durch Rohrreibung auftretenden Ver-luste natürlich nichts anderes als Drosselver-luste, lediglich auf eine wesentlich größereLänge verteilt. Hieraus folgt, dass die Be-schreibung des Drosselvorgangs als Isen-thalpe nur in dem fast horizontal verlaufen-


den Teil der Fanno-Kurve zulässig ist, also fürgeringe Massenstromdichten und Druckände-rungen.

Bei idealen Gasen und Dämpfen gilt be-kanntlich

h1 – h2 = cp · (T1 – T2)

so dass die isenthalpe Zustandsänderung fürideale Gase gleichzeitig isotherm verläuft.

Beispiel 40

Aufgabenstellung:

Mit Hilfe einer Messblende nach Bild 5.12wird in einer Druckluftleitung mit D =100 mm Nennweite ein Massenstrom m = 2kg/s gemessen. Der Verlustbeiwert derBlende beträgt z1 = 50, der Zustand der Luftvor der Blende p1 = 10 bar, T1 = 300 K. DerDrosselvorgang ist adiabat. Luft ist als idea-les Gas mit cp = 1020 J/ kgK und Ri = 287 J/kgK anzusehen. Ist die Annahme einer iso-thermen Zustandsänderung gerechtfertigt?

Lösung:

Zunächst wird der Druck stromab derBlende ermittelt:

p1 10 · 105

r1 = 0 = 06 = 11,61 kg/m3

Ri · T1 287 · 300

4 · m 4 · 2w1 = 97 = 004 = 21,93 m/s

r1 · p · D2 11,61 · p · 0,12

r1 11,61Dpv = z1 · 4 · w1

2 = 50 · 0 · 21,932

2 2= 139580 Pa

p2 = p1 – Dpv = 10 · 105 – 139580 = 860420 Pa

Damit folgt für den Zustand 2 nach derBlende unter Annahme einer isothermenZustandsänderung (T2 = T1):

p2 860420r2 = 0 = 06 = 9,99 kg/m3

Ri · T2 287 · 300

4 · m 4 · 2w2 = 97 = 003 = 25,48 m/s

r2 · p · D2 9,99 · p · 0,12

Aus den unterschiedlichen Geschwindig-keiten resultiert nach dem Energiesatz:

w12 – w2

2 21,932 – 25,482

T2 = T1 + 95 = 300 + 00332 · cp 2 · 1020

T2 = 299,92 K

Die Durchführung einer Iterationsschleifezur nochmaligen Bestimmung von r2, w2

und T2 ergibt wiederum 299,92 K, so dassdie erforderliche Rechengenauigkeit bereitserreicht ist. Die Temperatur an der Drossel-stelle sinkt nur um 0,08 K ab. Im Rahmender technisch sinnvollen Genauigkeit istalso die Annahme einer isothermen bzw.isenthalpen Zustandsänderung durchausgerechtfertigt. Obwohl der Druck um rd.14% abnimmt und die Geschwindigkeit sichum ca. 16% erhöht, können Temperatur-und Enthalpieänderung mit 0,02% vernach-lässigt werden. Die größte Unsicherheitliegt in diesem Berechnungsbeispiel in derAbschätzung des Verlustbeiwertes z1.

Bei realen Gasen ist die spezifische Wärmeka-pazität cp nicht konstant, so dass sich für dieIsenthalpe bei der Drosselung eine Tempe-raturänderung ergibt. Bei relativ kleinenDrücken und Temperaturen kühlt sich dasFluid durch die Drosselung ab (positiverJoule-Thomson-Effekt), bei großen Drückenund Temperaturen heizt sich das Gas hinge-gen bei der Drosselung auf (negativer Joule-Thomson-Effekt).

Die Abkühlung bzw. Erwärmung bei Dros-selung realer Gase und Dämpfe ermittelt manin der Praxis mit Hilfe eines h-s-Diagrammes(Mollier-Diagrammes), wie es in Bild 5.14 qua-litativ dargestellt ist. Für quantitative Bestim-mungen ist ein Ausschnitt des am häufigstenbenötigten Mollier-h-s-Diagrammes für Was-serdampf in Tafel 44 des Anhangs dargestellt.

Auch die Benutzung eines Druck-Enthal-pie-Diagrammes erweist sich als geschickt,um die Abkühlungs- bzw. Aufheiztemperaturgraphisch zu bestimmen.

5.6 Ausströmvorgänge

5.6.1 Ausströmen aus Druckbehältern

5.6.1.1 Ausströmgeschwindigkeit undMach-Zahl

In einem Druckbehälter (Bild 5.15) befindetsich Gas oder Dampf unter dem Druck pt1 mitder Temperatur Tt1. Der so definierte Zustand

Ausströmvorgänge 325

wird als Ruhezustand, Kesselzustand oder To-talzustand bezeichnet (vgl. Abschnitt 5.3.2),da die Geschwindigkeit in dem großen Kessel0 beträgt. Durch eine im Verhältnis zumBehälterquerschnitt kleine Öffnung Aa soll dasFluid in einer stationären Expansionsströ-mung ins Freie strömen. Dabei wird ein Teilder Totalenthalpie ht1, die das Fluid im Behäl-ter hat, in kinetische Energie des austretendenStrahls umgesetzt.

Zunächst wird angenommen, dass derAusströmvorgang adiabat und reibungsfrei,also isentrop verläuft. Nach der Energieglei-chung 5.10 folgt somit

w2a, sht1 = ha, s + 72

w2a, s

7 = ht1 – ha, s = Dhs2

wa, s = d922 · Dhs (Gl. 5.44)

Man erkennt die formale Übereinstimmungdieser Gleichung mit der Ausflussformel vonTORRICELLI (Gleichung 4.28), wobei allerdingsDhs keinen Höhenunterschied zwischen 2 Flüs-sigkeitsspiegeln, sondern die Enthalpiediffe-renz zwischen dem Zustand im Behälter unddem Austrittszustand im Strahl ausdrückt.

Diese Zustandsänderung lässt sich gra-phisch im h-s-Diagramm (Bild 5.16) darstellen.

Bild 5.15 Ausströmen aus einem DruckbehälterBild 5.16 Darstellung der Ausströmung aus einemDruckbehälter im h-s-Diagramm

Die Darstellung im h-s-Diagramm (Mollier-Diagramm), bei der die isentrope Expansiondie vertikale Verbindungslinie zwischen denZustandspunkten t1 und a, s ist, hat den Vor-teil, dass man die kinetische Energie w2

a, s/2 di-rekt abgreifen kann.

Für reale Gase und Dämpfe ist die Verwen-dung des h-s-Diagrammes nachdrücklich zuempfehlen, da alle Abweichungen vom idea-len Gasverhalten so unmittelbar Berücksichti-gung finden. Dies ist insbesondere wichtigbeim Übergang in 2-Phasen-Gebiete, in denengasförmige und flüssige Phase eines Fluidsgleichzeitig existieren. Bild 5.17 zeigt schema-tisch eine Expansion in dieses sog. Nass-dampfgebiet im Mollier-h-s-Diagramm fürWasserdampf. Die isentrope Expansion erfolgtbis zum Austrittsdruck pa, der Endzustandliegt unterhalb der Sattdampfkurve. Da beider Verdampfung unter konstantem Druckdie Temperatur konstant bleibt, verlaufen dieIsobaren und Isothermen im Nassdampfge-


biet identisch. Die Linien x = konst beschrei-ben Zustände gleichen Dampfgehalts undwerden als Isovaporen bezeichnet. DerDampfgehalt x ist definiert als

m≤x = 022 (Gl. 5.45)

m¢ + m≤

wobei m¢ die Masse der siedenden Flüssigkeitund m≤ die Masse des gesättigten Dampfes be-zeichnet. Eine rechnerische Beschreibung die-ser Zustandsänderung mit Phasenwechsel istsehr aufwendig, da sich die spezifische Wär-mekapazität und der Isentropenexponent deut-lich ändern und die Verdampfungsenthalpieberücksichtigt werden muss. Diese Effekte sindbei Verwendung des Mollier-h-s-Diagrammes,von dem für quantitative Berechnungen fürWasserdampf ein Ausschnitt in Tafel 44 wieder-gegeben ist, automatisch mit berücksichtigt.

Bild 5.17Darstellung der Wasserdampf-ausströmung aus einem Druck-behälter im h-s-Diagramm bei Ex-pansion in das Nassdampfgebiet

Da in der Behälteröffnung Reibung, Ablö-sung und Verwirbelungen entstehen, verläuftder reale Entspannungsvorgang nicht isentrop,sondern mit Entropiezunahme. Die tatsächlicherreichte Geschwindigkeit wa ist kleiner als dietheoretische Ausströmgeschwindigkeit wa ,s;die tatsächliche Enthalpie ha liegt um den Ver-lustanteil Dhv über dem reibungsfreien Wertha, s. Die real in der Behälteröffnung stattfin-dende polytrope Expansion führt für ein Gasim überhitzten Bereich (Bild 5.16) durch dieDissipationswärme zu einer höheren Austritts-temperatur.

Im Beispiel von Bild 5.17 ergibt sich einepolytrope Expansion mit einem Endzustandauf der Sattdampflinie. Obwohl ein Verlustan-teil Dhv auftritt, führt dieser hier nicht zu einerTemperaturerhöhung. Die Temperatur Ta istidentisch zu Ta, s, da im Nassdampfbereich Iso-baren und Isothermen einander entsprechen.Die Dissipationswärme aufgrund der Rei-bungseffekte wird in diesem Fall für die Ver-dampfungsenthalphie benötigt und äußertsich in dem Anstieg des Dampfgehalts x.

Zur Verdeutlichung sei angemerkt, dass diehier in Bild 5.16 mit Hilfe des h-s-Diagrammsdargestellten Zusammenhänge grundsätzlichdem in Bild 5.5 dargestellten Verlauf einer be-schleunigten Strömung entsprechen. Die Be-sonderheit liegt hier darin, dass die Startge-schwindigkeit 0 beträgt und somit im Zustandt1 statischer und Totalzustand einander ent-sprechen.

Mit dem in Gleichung 5.11 angegebenenWirkungsgrad

Dh h1 – hahExpansion = 6 = 04Dhs h1 – ha, s

folgt daher

wa2

hExpansion = 62 = j2 (Gl. 5.46)w2

a, s

und somit für die unter Berücksichtigung derReibungseffekte auftretende Geschwindigkeit

wa = j · wa, s = j · d922 · Dhs = d922 · Dh(Gl. 5.47)


Den Faktor j bezeichnet man wie beim Aus-fluss aus Flüssigkeitsbehältern (Gleichung4.234) als Geschwindigkeitsbeiwert.

Die Größe des Geschwindigkeitsbeiwerteshängt von der Art der Behälteröffnung ab. Beigut abgerundeten Düsen ist j nahe 1, beischarfkantigen Rohranschlüssen deutlichniedriger. Die für inkompressible Strömungenin Abschnitt 4.9.1 genannten Geschwindig-keitsbeiwerte können in guter Näherung auchfür Ausflussöffnungen bei kompressiblenStrömungen angesetzt werden.

Wird die Behälteröffnung durch ein Ab-sperrorgan mit der Widerstandszahl z (Glei-chung 4.157) versehen, so besteht zwischen zund j folgende Beziehung:

w 2a, sDhv = z · 82

w 2a, s w2

aDhv = Dhs – Dh = 8 – 62 2

w 2a, sDhv = (1 – j2) · 82

w 2a, s w 2

a, s(1 – j2) · 8 = z · 82 2

j = d91 – z (Gl. 5.48)

Wird das Absperrorgan nur soweit geöffnet,dass z ≥ 1 wird, findet eine Drosselung statt.Um eine rechnerische Bestimmung der rei-bungsfreien Austrittsgeschwindigkeit wa, s zuermöglichen, wird im Folgenden von einemidealen Gas ausgegangen. Somit kann be-kanntlich die Enthalpiedifferenz durch dieTemperaturdifferenz ersetzt werden:

Dhs = cp · (Tt1 – Ta, s)

Mit der Isentropenbeziehung

pak – 16kTa, s = Tt1 · �5�pt1

ergibt sich für die theoretische Ausflussge-schwindigkeit wa,s:

pak – 15kDhs = cp · Tt1 · �1 – �5� �pt1

630006pa

k – 15kwa, s = f2 · cp · Tt1 · �1 – �5� �pt1

(Gl. 5.49a)

Weitere Ausdrucksformen für die Austrittsge-schwindigkeit wa,s erhält man für ein idealesGas mit

kcp = 53 · Rik – 1

63009026

k pak – 15kwa, s = f2 · 53 · Ri · Tt1 · �1 – �5� �k – 1 pt1

(Gl. 5.49b)

und

pt1pt1 · vt1 = 5 = Ri · Tt1rt1

63009026k pak – 15kwa, s = f2 · 53 · pt1 · vt1 · �1 – �5� �k – 1 pt1

(Gl. 5.49c)

6300992k pt1 pak – 15kwa, s = f2 · 53 · 5 · �1 – �5� �k – 1 rt1 pt1

(Gl. 5.49d)

Gleichung 5.49d bezeichnet man als Glei-chung von SAINT-VENANT und WANTZEL [5.8](siehe Namensverzeichnis).

Bezieht man die reibungsfrei ermittelte Ge-schwindigkeit auf die lokale Schallgeschwin-digkeit ergibt sich für die isentrope Austritts-Mach-Zahl:

wa, s wa, s

Ma, s = 00 = 0000

d96k · Ri8· Ta, s pa

k – 15kfk · Ri · Tt1 · �5� �pt1


000006k pak – 15k2 · 53 · Ri · Tt1 · �1 – �5� �k – 1 pt1Ma, s = f000004pa

k – 15kk · Ri · Tt1 · �5�pt1

630062 pa

1– k5kMa, s = f53 · ��5� – 1� (Gl. 5.50)

k – 1 pt1

Diese Gleichung entspricht der bereits in Glei-chung 5.15 angegebenen Beziehung für dieisentrope Strömung eines idealen Gases. Dieisentrope Austritts-Mach-Zahl hängt also nurvom Druckverhältnis und dem Isentropenex-ponenten k ab und zeigt die in Bild 5.18 fürverschiedene k-Werte dargestellten Verläufe.

Im Vorgriff auf den Abschnitt 5.6.1.3 ist anzumerken, dass der rot gezeichnete Über-schallast der dargestellten Kurven bei einerKesselausströmung mit konstantem Rohr-querschnitt oder einer einfachen konver-genten Düse nicht erreicht werden kann. ZurErzielung von Überschall-Mach-Zahlen istvielmehr ein konvergent-divergenter Quer-schnittsverlauf in der Düse notwendig, wie erbei Laval-Düsen (Abschnitt 5.6.3) auftritt.

5.6.1.2 Austretender Massenstrom

Der aus der Behälteröffnung theoretisch aus-tretende Massenstrom mth ergibt sich aus derKontinuitätsgleichung (Gleichung 5.4):

mth = ra, s · wa, s · Aa

Mit der Isentropenbeziehung

pa12kra, s = rt1 · �5�pt1

und der reibungsfreien Austrittsgeschwindig-keit nach SAINT-VENANT und WANTZEL

600005k pt1 pak – 15kwa, s = f2 · 8 · 5 · �1 – �5� �k – 1 rt1 pt1


ergibt sich für den theoretisch ausfließenden Massenstrom m· th :

6000022pa

1/k k pt1 pak – 15km· th = Aa · rt1 · �5� · f2 · 7 · 5 · �1 – �5� �pt1 k – 1 rt1 pt1

600000035k pa2/k pt1 pa

k – 15km· th = Aa · f2 · 7 · rt1

2 · �5� · 5 · �1 – �5� �k – 1 pt1 rt1 pt1

60000003k pa2/k pa

k + 15k

m· th = Aa · f2 · 7 · pt1 · rt1 · ��5� – �5� �k – 1 pt1 pt1

600092k pa2/k pa

k + 15km· th = Aa · d9352 · rt1 · pt1 · f7 · ��5� – �5� � (Gl. 5.51)

k – 1 pt1 pt1

Bild 5.18Verlauf der isentropen Ausströmmach-zahl aus einem Druckbehälter

Wie man aus Gleichung 5.51 ersieht, hängt dertheoretisch aus der Behälteröffnung austre-tende Massenstrom m· th von folgenden Größenab:

1. von der Behälteröffnung2. vom Druck pt1 im Behälter3. von der Dichte rt1 des Mediums4. vom Isentropenexponenten k5. vom Druckverhältnis pa/pt1

Die 2., größere Wurzel in Gleichung 5.51 ent-hält nur Verknüpfungen zwischen dem Isen-tropenexponenten k und dem Druckverhältnispa/pt1. Für diesen Wurzelausdruck wird des-halb eine besondere Funktion, die isentropeAusflussfunktion Ys eingeführt:

630096k pa22k pa

k + 15kYs = f53 · ��5� – �5� � (Gl. 5.52)

k – 1 pt1 pt1

Diese Ausflussfunktion Ys darf nicht mitder Kontraktionszahl y verwechselt wer-den!

Die Ausflussfunktion Ys ist für verschiedeneWerte von k in Bild 5.19 dargestellt.

Für den theoretisch austretenden Mas-senstrom ergibt sich damit der folgende einfa-che Ausdruck:

m· th = Aa · Ys · d9722 · pt1 · rt1 (Gl. 5.53)

Für den tatsächlich austretenden Massen-strom m· sind folgende Einflüsse zu berück-sichtigen:

❑ die Reibung durch den Geschwindigkeits-beiwert j = wa/wa, s

❑ die Strahleinschnürung durch die Kontrak-tionszahl y = Ae/Aa (Gl. 4.235)

m· = ra · wa · Ae

m· = ra · j · wa, s · y · Aa = ra · m · wa, s · Aa

ram· = 6 · m · m· thra, s


ram· = 6 · m · Aa · Ys · d9722 · pt1 · rt1 (Gl. 5.54)ra, s

Das Dichteverhältnis ra/ra, s liegt in der Regelnahe bei 1 (siehe hierzu Beispiel 41), sodass fürdie meisten Anwendungsfälle vereinfacht gilt:

m· = m · m· th = m · Aa · Ys · d9722 · pt1 · rt1

(Gl. 5.55)

Geschwindigkeitsbeiwert j, Kontraktionszahly und Ausflusszahl m können gemäß Ab-schnitt 4.9.1 bestimmt werden.

5.6.1.3 Kritischer Zustand für eine reibungsfreie Strömung

Stellt man Gleichung 5.53 graphisch dar (Bild5.20), so erhält man analog zu Bild 5.19 eineparabolische Kurve m· th = f(pa/pt1). Es ist leichteinzusehen, dass von pa/pt1 = 1, d.h. wennkeine Druckdifferenz anliegt und m· th = 0 ist,bis zum Maximum der Kurve mit sinkendemDruckverhältnis pa/pt1 der Massenstrom m· th

zunimmt.

Bild 5.19 Ausflussfunktion

Bei weiterer Druckabsenkung über dendem Kurvenmaximum entsprechenden Wert (pa, s/pt1)krit hinaus, würde der Mas-senstrom wieder abnehmen, was doch sicher-lich nicht zutreffen kann. Es wurde vielmehrdurch Versuche festgestellt, dass nach Unter-schreiten des Druckverhältnisses (pa, s/pt1)krit

der ausströmende Massenstrom unabhängigvon der Größe des Gegendruckes konstantbleibt.

Dieses Phänomen wird als Sperren be-zeichnet, da der Austrittsquerschnitt keineweitere Erhöhung des Massenstroms durchAbsenken des Gegendruckes zulässt. DieMassenstromdichte r · w und die isentropeAusflussfunktion Ys erreichen beim Sperrenihr Maximum.

Das Druckverhältnis, bei dem der Aus-trittsquerschnitt Aa sperrt und sich bei ge-gebenen Behälterzuständen pt1 und rt1 derMassenstrom nicht mehr ändert, wird als kri-tisches Druckverhältnis (pa, s/pt1)krit bezeich-net.

Wenn sich der Massenstrom m· th nicht mehrändert, muss nach Gleichung 5.53 auch dieAusflussfunktion Ys konstant bleiben, d.h.der Druck pa, s im Strahl bleibt unabhängigvom Außendruck pUm konstant. Im Gegensatz


zu allen bisher betrachteten Ausströmvorgän-gen wird also bei Unterschreiten des kriti-schen Druckverhältnisses nicht der Umge-bungsdruck an der Austrittsöffnung aufge-prägt, sondern der Strahldruck pa,s ist größerals der Umgebungsdruck pUm.

Je nach Größe des Druckverhältnissespa/pt1 unterscheidet man 2 Arten von Aus-strömvorgängen:

❑ unterkritische Ausströmungpa/pt1 = pUm/pt1 > (pa,s/pt1)krit

❑ überkritische AusströmungpUm/pt1 £ pa/pt1 = (pa,s/pt1)krit

In Bild 5.21 sind beide Ausströmformen ge-genübergestellt. Bei unterkritischer Ausströ-mung kommt es zu einem gerichteten Strahl.Diese Konfiguration wird häufig in sog. Frei-strahlkanälen z.B. zur Kalibrierung von Ge-schwindigkeitssonden verwendet. Bei über-kritischer Ausströmung hingegen kommt esaufgrund des lokalen Druckgradienten (pa >pUm) zu Quergeschwindigkeitskomponentensenkrecht zur Ausströmachse und damit zueinem Aufplatzen des Strahls mit Strahl-schwingungen und instationären Strömungs-verhältnissen.

Das kritische Druckverhältnis stellt sichein, wenn die Ausflussfunktion Ys ihr Maxi-mum erreicht. Da in der Definition der Aus-flussfunktion Ys in Gleichung 5.52 der Aus-druck k/(k – 1) konstant ist, genügt es für dieMaximumsbetrachtung die 1. Ableitung desAusdruckes

pa2/k pa

k + 15k�5� – �5�pt1 pt1

zu bilden und 0 zu setzen:

2 pa, s2–k – 1 k + 1 pa

k + 15k – 1

3 · �52� – 8 · �5� = 0k pt1 k pt1

Nach einigen Umformungen erhält man:

pa, s 2 k5k – 1 �6� = �9� (Gl. 5.56)

pt1 krit k + 1

Man bezeichnet das kritische Druckverhältnisauch als Laval-Druckverhältnis.

Bild 5.20 Zusammenhang zwischen Druckverhält-nis und ausströmendem Massenstrom

Setzt man das kritische Druckverhältnisnach Gleichung 5.56 in den Ausdruck für dieAusflussfunktion Ys nach Gleichung 5.52 ein,so erhält man die Beziehung für Ys max :

60000004k 2 k5k – 1 · 2–k 2 k

5k – 1 · k + 15kYs max = f8 · ��81� – �81� �k – 1 k + 1 k + 1

Durch Umformen vereinfacht sich der Aus-druck zu:

632 1

5k – 1 kYs max = �81� · f8 (Gl. 5.57)

k + 1 k + 1

Für Luft, Heißdampf und Nassdampf sind die Mittelwerte für k, (pa, s/pt1)krit und Ys max inTabelle 5.2 zusammengestellt.

Setzt man das kritische Druckverhältnisnach Gleichung 5.56 in den Ausdruck für die


isentrope Austritts-Mach-Zahl (Gleichung5.50) ein, so ergibt sich:

000032 2 k

5k – 1 · 1 – k5k(Ma, s)krit =f8 · �81 –1�k – 1 k + 1

(Ma, s)krit = 1 (Gl. 5.58)

Dies bedeutet, dass bei kritischer und überkri-tischer Ausströmung im Austrittquerschnittgenau Schallgeschwindigkeit erreicht wird.Höhere Mach-Zahlen sind beim Ausströmenaus Druckbehältern mit konstantem Rohrquer-schnitt oder einer einfachen konvergentenDüse nicht zu erreichen (vgl. Bild 5.18). DiesesPhänomen des Sperrens ist auch bereits vonder adiabaten Rohrströmung (Abschnitt 5.5.3)bekannt. Auch die Fanno-Kurven erlauben dieBeschleunigung einer Unterschallströmungnur bis zur maximalen Mach-Zahl M = 1.

Bild 5.21Unterschied zwischen unterkritischemund überkritischem Ausströmen

Für die kritische Austrittsgeschwindigkeitergibt sich also

6309k(wa, s)krit = as = d927k · Ri · Ta, s = f2 · 53 · Ri · Tt1k + 1

(Gl. 5.59)

Diese bei kritischer oder überkritischer Aus-strömung maximal zu erreichende Austritts-geschwindigkeit wird auch als Laval-Ge-schwindigkeit bezeichnet.

Mit dem Energiesatz (Gleichungen 5.15 und5.29) ergeben sich die korrespondierenden kri-tischen Dichte- und Temperaturverhältnissedurch Einsetzen der Mach-Zahl M = 1.

Ta, s k – 1 –1

�7� = �1 + 9�Tt1 krit 2

Ta, s 2�7� = 8 (Gl. 5.60)Tt1 krit k + 1

ra, s k – 1 – 15k – 1�7� = �1 + 9�rt1 krit 2

ra, s 2 15k – 1�7� = �8� (Gl. 5.61)

rt1 krit k + 1

Für verschiedene Gase und Dämpfe sind un-ter der Voraussetzung idealen Gasverhaltensdie resultierenden kritischen Werte in Tabelle5.2 zusammengestellt.


5.6.1.4 Kritischer Zustand für eine reibungsbehaftete Strömung

Für die Betrachtung realer kritischer Aus-strömvorgänge sind die Einflüsse der Reibungund der Strahlkontraktion zu berücksichtigen.Während die Strahlkontraktion den effektivenAusströmquerschnitt beeinflusst und somitnur bei der Massenstrombestimmung wichtigwird, verändern die Reibungseffekte denenergetischen Zustand der Strömung und da-mit Druck, Temperatur und Geschwindigkeit.

Für unterkritische Ausströmung wird amAustritt der Umgebungsdruck pUm aufge-prägt, d.h. Strahldruck pa und Umgebungs-druck pUm stimmen überein. Unabhängig vonder Größe der auftretenden Druckverlusteliegt also immer die gleiche Druckdifferenzzwischen Kessel und Austritt an.

Bei überkritischen Ausströmvorgängenhingegen herrscht im Strahlaustritt der kriti-sche Druck pkrit. Für isentrope Zustandsände-rungen ist dieser alleine von dem Isentropen-exponenten abhängig (Gleichung 5.56), fürpolytrope Zustandsänderungen jedoch vomPolytropenexponenten und somit von derHöhe der auftretenden Verluste. Mithin än-dert sich bei verschieden starkem Reibungs-einfluss die treibende Druckdifferenz zwi-schen Kessel und Austritt.

Für einen reibungsbehafteten überkriti-schen Ausströmvorgang ist die Bestimmungder Zustandsgrößen im Austritt auf der Basisder im letzten Abschnitt hergeleiteten isentro-pen Beziehungen nicht korrekt. Für eine ex-akte Beschreibung der Verhältnisse sind viel-

Tabelle 5.2 Kritische Werte einiger Dämpfe und Gase (isentrope Expansion)

Medium k (pa,s/pt1)krit (Ta, s/Tt1)krit (r a,s/r t1)krit Ys, max (wa, s)krit

Luft, 2-atomige Gase 1,4 0,528 0,833 0,634 0,484 1,08 · d92pt1/r t1*

Heißdampf, 3-atomige Gase 1,3 0,546 0,870 0,628 0,473 1,06 · d92pt1/r t1

Sattdampf ** 1,135 0,577 0,937 0,616 0,45 1,03 · d92pt1/r t1

* d92pt1/r t1 = d92Ri · Tt1 ;** Nassdampf: k = 1,035 + 0,1 · x, x = Dampfgehalt.

mehr die in den Gleichungen 5.20 bis 5.25 an-gegebenen Beziehungen der reibungsbehaf-teten Expansionsströmung heranzuziehen.Gleichwohl sind die Unterschiede zwischenisentroper und polytroper Betrachtung – zu-mindest bei guten Expansionswirkungsgraden– relativ gering (vgl. Beispiel 41 und Bild 5.23).

Aus dem Wirkungsgrad

hExpansion = j2

kann mit Gleichung 5.24 bzw. 5.25 der Poly-tropenexponent n bestimmt werden. Für diebei der reibungsbehafteten Expansion im Aus-trittsquerschnitt herrschenden Strömungs-größen ergibt sich analog zur Vorgehensweiseder isentropen Betrachtung:

6300902k pt1 pan – 15nwa = f2 · 53 · 5 · �1 – �5� �k – 1 rt1 pt1

(Gl. 5.62)

630082 pa

1 – n5nMa = f53 · ��5� – 1� (Gl. 5.63)

k – 1 pt1

6300971k pa2–n pa

n + 15nYp = f53 · ��5� – �5� � (Gl. 5.64)

k – 1 pt1 pt1

Yp stellt hierbei die polytrope Ausflussfunk-tion dar. Für den Massenstrom ergibt sich un-ter Berücksichtigung der Strahlkontraktion y:

m· = y · Aa · Yp · d9722 · pt1 · rt1 (Gl. 5.65)

Die Gleichungen 5.62 bis 5.65 gelten für belie-bige unterkritische Druckverhältnisse pa/pt1.Bei überkritischer Ausströmung ist das sichunter Berücksichtigung der Reibungseinflüsseergebende kritische Druckverhältnis (pa/pt1)krit einzusetzen. Mit der bekannten Maxi-mumbetrachtung ergibt sich:

pa 2 n5n – 1 pa, s 2 k

5k – 1�5� = �9� > �6� = �9�pt1 krit n + 1 pt1 krit k + 1(Gl. 5.66)


Der bei polytroper kritischer Expansionim Austritt herrschende Druck pa istgrößer als der bei isentroper kritischer Ex-pansion auftretende Druck pa, s .

Somit folgt für die kritischen Größen der po-lytropen Zustandsänderung:

63932 1

5n – 1 k n – 1Yp, max = �9� · f8 · 9n + 1 k – 1 n + 1

(Gl. 5.67)

63n – 1

(Ma)krit = f9 < 1 (Gl. 5.68)k – 1

0004k pt1 n – 1(wa)krit = f2 · 8 · 5 · 9 (Gl. 5.69)

k – 1 rt1 n + 1

002k pt1a = d952k · Ri · Ta = f2 · 8 · 5 (Gl. 5.70)n + 1 rt1

Ta 2�5� = 8 (Gl. 5.71)Tt1 krit n + 1

ra 2 15n – 1�5� = �9� (Gl. 5.72)

rt1 krit n + 1

Bei reibungsbehafteter Strömung ergibt sichalso im kritischen Querschnitt am Austritt eineMach-Zahl Ma < 1. Durch die Reibungseffektewird die Strömung nicht bis auf Schallge-schwindigkeit beschleunigt (wa < a). Die bei rei-bungsbehafteter Strömung im Austrittsquer-schnitt auftretenden Drücke und Temperaturenliegen höher als bei isentroper Ausströmung;die Dichte ist kleiner als im reibungsfreien Fall.

Für den kritischen Massenstrom ergibt sich:

m· krit = y · (ra)krit · (wa)krit · Aa

m· krit = y · Aa · Yp, max · d9722 · pt1 · rt1 (Gl. 5.73)

Beispiel 41

Aufgabenstellung:

Es sollen verschiedene Ausströmvorgänge aus einem Druckluftbehälter (ideales Gasmit Ri = 287 J/(kg · K), k = 1,4) detailliert un-tersucht werden.

Durch eine Austrittsöffnung von d =50 mm Durchmesser tritt die Druckluft insFreie, wobei der Umgebungsdruck pUm =1 bar beträgt. Die Widerstandszahl der auseinem kurzen Rohrstück mit aufgesetzterDüse und einem geöffneten Schieber beste-henden Öffnung beträgt z = 0,3, die Kon-traktionszahl y = 0,9. Die Temperatur imBehälter liegt bei Tt1 = 300 K.

Der austretende Massenstrom sowieDruck, Temperatur, Geschwindigkeit undMach-Zahl im Austrittsquerschnitt sind zubestimmena) für einen Behälterinnendruck von

pt1 = 1,25 barb) für einen Behälterinnendruck von

pt1 = 6 bar

Lösung:

Die Verluste und der Kontraktionseinflusswerden beschrieben durch

j = d91 – z = d60,7 = 0,8367

hExpansion = j2 = 0,7

m = y · j = 0,9 · 0,8367 = 0,7530

Die geometrische Austrittsfläche beträgt

p · d2 p · 0,052

Aa = 9 = 95 = 1,9635 · 10–3 m2

4 4

a) Das Druckverhältnis ist nach Tabelle 5.2unterkritisch:

pUm pa 16 = 5 = 7 = 0,8 > 0,528pt1 pt1 1,25

pa = 100 000 Pa

Die Dichte im Druckbehälter beträgt für dasideale Gas

pt1 125000 kgrt1 = 73 = 06 = 1,4518 5Ri · Tt1 287 · 300 m3


Mit der isentropen Ausflussfunktion Ys

(Gleichung 5.52)

630097k pa2–k pa

k + 15kYs = f53 · ��5� – �5� �k – 1 pt1 pt1

6300971,4 2

41,41,4 + 171,4Ys = f92 · �0,8 – 0,8 � = 0,3964

1,4 – 1

ergibt sich für den Massenstrom (Gleichung5.54), zunächst unter Vernachlässigung desDichteverhältnisses:

ram· = 6 · m · Aa · Ys · d9722 · pt1 · rt1ra, s

m· = 1 · 0,753 · 1,9635 · 10–3 · 0,39649997· d 2 · 125 000 · 1,4518

m· = 0,353 kg/s

Isentrope Austrittsgeschwindigkeit nachSAINT-VENANT und WANTZEL (Gleichung5.49b):

6300970k pak – 15kwa, s = f2 · 53 · Ri · Tt1 · �1 – �5� �k – 1 pt1

630097071,4 1,4 – 1

71,4wa, s = f2 · 92 · 287 · 300 · �1 – 0,8 �1,4 – 1

wa, s = 192,94 m/s

Tatsächliche Austrittsgeschwindigkeit:

wa = j · wa, s = 0,8367 · 192,94

wa = 161,43 m/s

Mit dem Energiesatz (Gleichung 5.15) folgt

(k – 1) · wa2 (1,4 – 1) · 161,432

Ta = Tt1 – 018 = 300 – 0002 · k · Ri 2 · 1,4 · 287

Ta = 287,03 K

wa 161,43Ma = 016 = 000

97 9793dk · Ri · Ta d1,4 · 287 · 287,03

Ma = 0,475

Abschließend wird das zunächst zu 1 ge-setzte Dichteverhältnis betrachtet:

pa 100000 kgra = 73 = 064 = 1,2139 5Ri · Ta 287 · 287,03 m3

pa1–k

131,4 kg

ra, s = rt1 · �5� = 1,4518 · 0,8 = 1,2379 5pt1 m3

ra 1,2139 16 = 02 = 0,9806 = 93ra, s 1,2379 1,0197

Der oben angegebene Massenstrom liegtalso um rd. 2% zu hoch. Für den korrekten,mit dem Dichteverhältnis korrigierten Wertergibt sich:

m· korr = 0,9806 · 0,353 kg/s

m· korr = 0,346 kg/s

Da der Ausströmvorgang unterkritisch ist,führt die Berechnung mit Hilfe des Expan-sionswirkungsgrades und der Polytropen-beziehungen zum gleichen Ergebnis undwird hier nicht wiedergegeben.

b) Das Druckverhältnis ist überkritisch (Ta-belle 5.2, Gleichung 5.56).

pUm 16 = 3 = 0,167 < 0,528pt1 6

Zunächst wird die Berechnung auf der Basisder isentropen Ausflussfunktion vorgenom-men. Diese Vorgehensweise ist, wie obenausgeführt, nicht exakt. Zur Verdeutlichungder quantitativen Unterschiede wird siedennoch zunächst dargestellt und anschlie-ßend mit den exakten Ergebnissen der poly-tropen Berechnung verglichen.

pa, s 2 k5k – 1�7� = �9� = 0,5283

pt1 krit k + 1

pa, s = 0,5283 · 600 000

pa, s = 316969 Pa

pt1 600000 kgrt1 = 731 = 06 = 6,9686 5Ri · Tt1 287 · 300 m3


Die isentrope Ausflussfunktion nimmt ihrenMaximalwert Ys, max an (Gleichung 5.57).

82 1

5k – 1 kYs, max = �9� · f8 = 0,4842

k + 1 k + 1

Damit ergibt sich der Massenstrom (Glei-chungen 5.53 und 5.54), zunächst wiederumunter Vernachlässigung des Dichteverhält-nisses:

m· th = Aa · Ys, max · d9722 · pt1 · rt1

m· th = 1,9635 · 10–3 · 0,4842 0002· d2 · 600000 · 6,9686

m· th = 2,749 kg/s

ram· = 6 · m · m· th = 1 · 0,753 · 2,749 ra, s

m· = 2,070 kg/s

Berechnung der weiteren kritischen Größenim Austrittsquerschnitt (Gleichung 5.60):

2 2Ta, s = Tt1 · 8 = 300 · 02 = 250 K

k + 1 1,4 + 1

wa, s = as · d972k · Ri · Ta, s = 316,94 m/s

wa = j · wa, s = 0,8367 · 316,94 m/s

wa = 265,17 m/s

(k – 1) · wa2 (1,4 – 1) · 265,172

Ta = Tt1 –09 = 300 – 0002 · k · Ri 2 · 1,4 · 287

Ta = 265 K

wa 265,17Ma = 016 = 006

97 9744dk · Ri · Ta d1,4 · 287 · 265

Ma = 0,813

Nun wird noch das zunächst vernachläs-sigte Dichteverhältnis zwischen reibungsbe-hafteter und reibungsfreier Expansion aufden Austrittsdruck pa, s betrachtet:

pa, s 316 969 kgra = 731 = 06 = 4,1676 5Ri · Ta 287 · 265 m3

pa, s12kra, s = rt1 · �7� = 6,9686 · 0,5283

131,4

pt1

kg= 4,4177 5m3

ra 4,1676 16 = 02 = 0,9434 = 93ra, s 4,4177 1,0600

Der oben angegebene Massenstrom liegtalso um genau 6% zu hoch. Für den korrek-ten, mit dem Dichteverhältnis korrigiertenWert, ergibt sich

m· korr = 0,9434 · 2,070 kg/s

m· korr = 1,953 kg/s

Die genaue Berechnung nutzt die Polytro-penbeziehungen (Gleichung 5.24):

Ta, sln �1 – hExpansion · �1 – 52��n – 1 Tt19 = 9990921n Ta, s

k5k – 1ln ��7� �Tt1

250ln �1 – 0,7 · �1 – 52��n – 1 300

9 = 99903 = 0,1944n 250 1,4

71,4 – 1ln ��7� �300

n = 1,2413

Kritisches Druckverhältnis für die Polytrope(Gleichung 5.66):

pa 2 n5n – 1�5� = �9� = 0,5566 > 0,5283

pt1 krit n + 1

pa = 0,5566 · 600 000

pa = 333 937 Pa

Die polytrope Ausflussfunktion nimmtihren Maximalwert Yp, max an (Gleichung5.67).

002 1

5n – 1 k n – 1Yp, max = �9� · f8 · 8 = 0,3829

n + 1 k – 1 n + 1


Damit ergibt sich der Massenstrom (Glei-chung 5.73):

m· = y · Aa · Yp, max · d9722 · pt1 · rt1

m· = 0,9 · 1,9635 · 10–3 · 0,38299707· d2 · 600000 · 6,9686

m· = 1,957 kg/s

Berechnung der weiteren kritischen Größenim Austrittsquerschnitt mit den Gleichun-gen 5.71, 5.69, 5.68 und 5.72:

2 2Ta = Tt1 · 72 = 300 · 08 = 267,70 K

n + 1 1,2413 + 1

Ta = 267,70 K

63004k pt1 n – 1 wa = f2 · 53 · 5 · 8k – 1 rt1 n + 1

63000041,4 600000 1,2413 – 1

wa = f2 · 533 · 03 · 071,4 – 1 6,9686 1,2413 + 1

wa = 254,74 m/s

0 00n – 1 1,2413 – 1

Ma = f9 = f08k – 1 1,4 – 1

Ma = 0,777

Zur Kontrolle:

2 15n – 1ra = rt1 · �9� = 6,9686

n + 1

2 1921,2413 – 1· �08�1,2413 + 1

ra = 4,3464 kg/m3

m· = y · ra · wa · Aa

m· = 0,9 · 4,3464 · 254,74 · 1,9635 · 10–3

m· = 1,957 kg/s q.e.d.

Der Massenstrom m· = 1,957 kg/s wird alsoauch durch die zunächst eingeschlagene Be-

rechnung mit Hilfe der isentropen Ausfluss-funktion sehr gut wiedergegeben, wenn dieDichtekorrektur durchgeführt wird. Die be-rechneten Drücke, Geschwindigkeiten undMach-Zahlen weichen in diesem Beispieldurch den Unterschied zwischen isentropund polytrop bestimmtem kritischen Druckallerdings doch schon um bis ca. 5% vonein-ander ab. Diese Abweichungen werden zu-nehmend größer bei Anstieg der Verluste,also kleineren Werten für j bzw. hExpansion.Für genaue Berechnungen der Austrittszu-stände ist also die Berücksichtigung der po-lytropen Zustandsänderung unumgänglich.

In Bild 5.22 ist der in diesem Beispiel be-rechnete überkritische Ausströmvorgangqualitativ in einem h-s-Diagramm darge-stellt.


In der Praxis ist bei überkritischen Ausström-vorgängen häufig nur der austretende Mas-senstrom von Interesse. Betrachtet man dievereinfachte Berechnung ohne Dichtekorrek-tur (Gleichung 5.55)

m· Näherung = y · j · Aa · Ys, max · d9722 · pt1 · rt1

und setzt diesen Massenstrom ins Verhältniszum exakten Wert (Gleichung 5.65)

m· = y · Aa · Yp, max · d9722 · pt1 · rt1

so lässt sich ein Korrekturfaktor Km· definieren,der zur genauen Bestimmung des Mas-senstroms verwendet werden kann.

m· Yp, maxKm· = 05 = 06 (Gl. 5.74)m· Näherung j · Ys, max

Der Verlauf dieses Korrekturfaktors in Abhän-gigkeit von j ist für verschiedene Werte desIsentropenexponenten k in Bild 5.23 gezeigt.Der Verlauf verdeutlicht, dass für gute Expan-sionswirkungsgrade, d.h. große j-Werte, derKorrekturfaktor nahe 1 ist.

5.6.2 Ausströmen mit Vorgeschwindigkeit

Bei dem in Bild 5.24 gezeigten Ausströmenmit Vorgeschwindigkeit können die in den


Bild 5.23 Korrekturfaktor Km· für die einfache

Berechnung des kritischen Massenstroms

letzten Abschnitten hergeleiteten Beziehun-gen zur Bestimmung des Ausströmzustandesfür die isentrope Zustandsänderung in glei-cher Weise verwendet werden. Es müssen le-diglich zunächst die Totalzustände der Strö-mung im Rohr berechnet werden (Gleichun-gen 5.2, 5.15, 5.28 und 5.29):

w1M1 = 08 (Gl. 5.75)d952k · Ri · T1

k – 1Tt1 = T1 · �1 + 8 · M1

2� (Gl. 5.76)2

k – 1 k5k – 1pt1 = p1 · �1 + 8 · M1

2� (Gl. 5.77)2

k – 1 15k – 1rt1 = r1 · �1 + 8 · M1

2� (Gl. 5.78)2

Die reibungsfreie Austrittsgeschwindigkeit wa, s

ergibt sich mit dem Energiesatz unter Berück-sichtigung der Vorgeschwindigkeit w1 zu:

6300909k p1 pak – 15kwa, s = fw1

2 + 2 · 53 · 4 · �1 – �4� �k – 1 r1 p1

(Gl. 5.79)

Für die reibungsbehaftete Zustandsänderungmit dem Expansionswirkungsgrad


h1 – hahExpansion = j2 = 03h1 – ha, s

ergibt sich für die Austrittsgeschwindigkeit:

6300909k p1 pan – 15nwa = fw1

2 + 2 · 53 · 4 · �1 – �4� �k – 1 r1 p1

(Gl. 5.80)

63009062 pa

n – 15nwa = w1· f1 + 00 · �1 – �4� �(k – 1) · M 2

1 p1

(Gl. 5.81)

mit dem bekannten Polytropenexponenten n,der aus den Gleichungen 5.24 bzw. 5.25 zu be-stimmen ist. Die weitere Bestimmung derGrößen im Austritt erfolgt mit den Polytropen-beziehungen der Gleichungen 5.20 bis 5.22.

Für den Massenstrom gilt mit der Konti-nuitätsgleichung unter Berücksichtigung desKontraktionseinflusses

m· = r1 · w1 · A1 = y · ra · wa · Aa (Gl. 5.82)

Somit gilt für den Austrittsquerschnitt

m· m·Aa = 05 = 08 (Gl. 5.83)

y · ra · wa m · ra · wa, s

5.6.3 Laval-Düse

In den Abschnitten 5.6.1.3 und 5.6.1.4 wurdeabgeleitet, dass sich bei einer adiabaten Ex-pansion in einer Behälteröffnung mit konver-genter Düse der Druck im Austrittsquer-schnitt höchstens auf den kritischen Druck absenkt und die Ausströmgeschwindigkeithöchstens den Wert der Schallgeschwindig-keit annimmt.

Soll die Expansion über den kritischenDruck hinaus weitergehen und die Mach-Zahlgrößer als 1 werden, so muss die Düse nichtals einfache, sondern als konvergent-diver-gente Düse (Bild 5.25) ausgeführt werden, wiesie zum 1. Mal 1878 von KÖRTING in einerDampfstrahlpumpe und 1883 von DE LAVAL in

Bild 5.24 Ausströmen aus einer Rohrdüse

einer Dampfturbine eingesetzt wurde. Heutewerden Laval-Düsen in der Regelstufe vonDampfturbinen, in Strahlapparaten, Strahl-triebwerken, Raketentriebwerken und Über-schallwindkanälen eingesetzt.

5.6.3.1 Verhältnisse im Auslegungspunktfür eine reibungsfreie Strömung

Für alle folgenden Betrachtungen wird eineadiabate Strömung vorausgesetzt, d.h., dieTotalenthalpie bleibt konstant.

Die zum Erreichen von Überschallge-schwindigkeit notwendige konvergent-diver-gente Düsengeometrie leitet sich aus der Flä-chen-Geschwindigkeits-Beziehung (Abschnitt5.4) ab:

dw 1 dA6 = 01 · 6w M2 – 1 A

Im konvergenten Düsenteil wird zunächst die Unterschallströmung beschleunigt (M < 1,dw > 0, dA < 0).


Im Halsquerschnitt der Düse wird der kriti-sche Strömungszustand erreicht (M = 1, dw = 0,dA = 0). Der Verlauf der Strömungsgrößen biszu diesem engsten Querschnitt der Düse ent-spricht exakt den Verhältnissen in einer kon-vergenten Düse bei kritischer Ausströmung.Die kritischen Zustandsgrößen werden mit denGleichungen 5.56 bis 5.61 beschrieben. Dertheoretische Massenstrom ist bei gegebenemTotalzustand und kritischer Strömung durchden Halsquerschnitt der Düse Amin begrenzt.

m· th = Amin · Ys, max · d9722 · pt1 · rt1 (Gl. 5.84)

Ausgehend von diesem kritischen Zustandwird im divergenten Düsenteil bei weitererDruckabsenkung die Überschallströmung be-schleunigt (M > 1, dw > 0, dA > 0). Für einenbeliebigen Querschnitt Ax in der Düse gilt ausKontinuitätsgründen

m· th = Ax · Yx, s · d9722 · pt1 · rt1 (Gl. 5.85)

Bild 5.25 Laval-Düse

▼

Somit ergibt sich für das Flächenverhältnis

Ax Ax Ys, max8 = 7 = 92 (Gl. 5.86)Amin Akrit Yx, s

Mit den Gleichungen 5.52 und 5.57 folgt:

632 1

5k – 1 k �9� · f8Ax k + 1 k + 17 = 000002

6399993Akrit k px, s2–k px, s

k + 15kf8 · ��6� – �7� �k – 1 pt1 pt1

632 1

5k – 1 k – 1�9� · f8Ax k + 1 k + 17 = 00002 (Gl. 5.87)

639992Akrit px, s2–k px, s

k + 15kf��6� – �7� �pt1 pt1

Für ein bestimmtes Druckverhältnis (px,s/pt1)können die anderen Strömungsgrößen mit derEnergiegleichung und der Isentropenbezie-hung (Gleichungen 5.15, 5.29 und 5.50) bzw.der Ausflussgleichung von SAINT-VENANT undWANTZEL bestimmt werden:

630092 px, s

1 – k5kMx, s = f53 · ��7� – 1� (Gl. 5.88)

k – 1 pt1

Tx, s k – 1 – 1

7 = �1 + 7 · M 2x, s� (Gl. 5.89)

Tt1 2

rx, s k – 1 – 15k – 1

7 = �1 + 7 · M 2x, s� (Gl. 5.90)

rt1 2

6300995k pt1 px, sk – 15kwx, s = f2 · 53 · 5 · �1 – �7� �k – 1 rt1 pt1

(Gl. 5.91)

Bild 5.26 stellt die mit diesen Gleichungen be-schriebenen Zusammenhänge für die isen-


trope Luftströmung (k = 1,4) in einer Laval-Düse dar. Der Überschallbereich, der sichstromab des kritischen Querschnitts ergibt, istjeweils durch die roten Kurven hervorgeho-ben. Temperatur, Dichte und Druck sinken beider Überschallexpansion sehr stark ab. InÜberschallwindkanälen kann es in Verbin-dung mit feuchter Luft hierdurch zu Konden-sation und Vereisung kommen. Der paraboli-sche Verlauf von Akrit/Ax bedeutet, dass zu einem Flächenverhältnis jeweils 2 möglicheDruck-, Dichte-, Temperaturverhältnisse undMach-Zahlen existieren, nämlich die im kon-vergenten Düsenteil auftretende Unterschall-und die im divergenten Düsenteil auftretendeÜberschalllösung. Die Mach-Zahl steigt fürkleine Druckverhältnisse sehr stark an undgeht theoretisch gegen ∞. Hierfür wäre aller-dings eine ebenfalls unendlich große Flächenotwendig, so dass dieser Fall in der Realitätnicht existiert.

Durch Einsetzen von Gleichung 5.88 inGleichung 5.87 ergibt sich eine Formulierungfür den Flächenverlauf in der Laval-Düse ab-hängig von der Mach-Zahl und dem Isentro-penexponenten, die direkt für die Geome-trieauslegung einer Laval-Düse verwendetwerden kann (Bild 5.27).

Ax 1 2 k – 1 k + 172·(k–1)

7 = 8 · �8 · �1 + 8 · M 2x, s��Akrit Mx, s k + 1 2

(Gl. 5.92)

Um also eine vorgegebene Mach-Zahl amAustritt der Düse zu erzeugen, muss ein be-stimmtes Flächenverhältnis durch die Geome-trie der Düse realisiert sein. Diesem entsprichtauch ein bestimmtes Druckverhältnis, das sicheinstellt. Wenn der daraus resultierende Aus-trittsdruck aus der Laval-Düse genau dem Ge-gendruck hinter der Düse, bei Expansion insFreie also dem Umgebungsdruck entspricht,spricht man von einem angepassten Betrieboder vom Auslegungspunkt der Laval-Düse.Um z.B. für Anwendungen in Überschall-windkanälen unterschiedliche Mach-Zahlenzu erzeugen, sind folglich Düsen unterschied-licher Geometrie notwendig. Tatsächlich wer-den Laval-Düsen häufig mit Verstellgeome-

trien ausgeführt, um diesen Anforderungenzu genügen.

Die maximal mögliche Austrittsgeschwin-digkeit aus einer Laval-Düse ergibt sich nachGleichung 5.49 bei Ausströmen ins Vakuum,d.h. wenn der Austrittsdruck pa = pUm = 0 wird.

008 010k k pt1wa, max = f2 · 53 · Ri · Tt1 = f2 · 7 · 4k – 1 k – 1 rt1

(Gl. 5.93)

Bei diesem Ausströmvorgang würde die ge-samte Totalenthalpie in kinetische Energieumgesetzt, folglich würde die Temperatur Ta, s

dabei auf 0 K absinken. Auch hierfür wäreeine unendliche Austrittsfläche erforderlich,


so dass diese maximale Austrittsgeschwindig-keit real nicht erreicht wird.

5.6.3.2 Verhältnisse im Auslegungspunktfür eine reibungsbehaftete Strömung

Unter Berücksichtigung der Reibungs- undKontraktionseffekte werden die Zustände inder Düse analog zu den Ausführungen in Ab-schnitt 5.6.1.4 mit den Gleichungen 5.62 bis 5.72beschrieben. Bei Vorliegen eines h-s-Diagram-mes kann die Ausströmgeschwindigkeit mit

wa = j · d922 · Dhs = d922 · Dh (Gl. 5.94)

ermittelt werden.

Bild 5.26Gasdynamische Größen der isentropen Strömung in der Laval-Düse

Die Mach-Zahl M = 1 stellt sich für die po-lytrope Zustandsänderung nicht genau imgeometrisch engsten Querschnitt ein, sondernetwas weiter stromab im divergenten Teil derDüse.

Laval-Düsen sind i.d.R. strömungsmecha-nisch optimierte Bauteile, die hohe Expan-sionswirkungsgrade und Geschwindigkeits-beiwerte erreichen. Typische Werte für den Ge-schwindigkeitsbeiwert liegen bei 0,95…0,99,die Kontraktionszahl liegt nahe bei 1.

Die Anwendung der häufig verwendetenMassenstromberechnung gemäß

m· = y · j · Amin · Ys, max · d9622 · pt1 · rt1

= m · Amin · Ys, max · d9622 · pt1 · rt1 (Gl. 5.95)

wird daher i.d.R. nur zu geringen Fehlernführen. Grundsätzlich sei aber die Anwen-dung der in Gleichung 5.74 angegebenen Kor-rektur empfohlen.


5.6.3.3 Strömungsverhältnisse bei nicht angepasstem Betrieb

Entspricht der Gegendruck am Düsenaustrittnicht dem dem Flächenverhältnis der Düsezugeordneten Druck, ergibt sich in der Laval-Düse bzw. im Austrittsstrahl eine gestörteStrömung. In Bild 5.28 sind die verschiedenenStrömungszustände, die sich bei unterschied-lichen Gegendrücken pa ergeben, gegenüber-gestellt.

a) pt1 > pa ≥ pa2

In der gesamten Laval-Düse herrscht unter-kritischer Betrieb, bei pa = pa2 wird im engs-ten Querschnitt der Düse gerade der kriti-sche Zustand erreicht (M = 1). Der diver-gente Teil der Düse wirkt als Unterschall-diffusor. Die Laval-Düse arbeitet wie einVenturi-Rohr.

b) pa = pa3

Dies ist der angepasste Betrieb für die Über-schalllösung, die Laval-Düse arbeitet inihrem Auslegungspunkt. Die Beschleuni-gung der Strömung im konvergenten Teilder Düse erfolgt genauso wie für den Fall pa = pa2. Da im engsten Querschnitt der kriti-sche Zustand herrscht, kann keine Stö-rungsausbreitung stromauf in den konver-genten Teil der Düse erfolgen. Dies gilt auchfür alle weiteren Betriebszustände. Im di-vergenten Teil der Laval-Düse beschleunigtdie Überschallströmung kontinuierlich.

c) pa4 ≤ pa ≤ pa2

Für diesen Druckbereich ist keine isentropeStrömung in der Düse möglich. Der kriti-sche Zustand im engsten Querschnitt wirderreicht, die Strömung beschleunigt in denÜberschall hinein. Der Gegendruck hinterder Düse ist nicht angepasst, daher findeteine diskontinuierliche Änderung der Strö-mungsgrößen über einen senkrechten Ver-dichtungsstoß hinweg statt. Im senkrechtenVerdichtungsstoß wird die Strömung auf M < 1 verzögert, stromab des Stoßes ergibtsich eine weitere Unterschallverzögerungbis auf den Austrittsdruck pa. Der Verdich-tungsstoß ist eine verlustbehaftete Zu-standsänderung (Abschnitt 5.7.1) und kanninnerhalb der Düse zu Grenzschichtablö-sungen und Strömungsinstabilitäten führen.Bild 5.27 Flächenverlauf in der Laval-Düse


Bild 5.28 Verschiedene Betriebszustände einer Laval-Düse

d) pa = pa4

Der senkrechte Verdichtungsstoß steht ge-nau im Austrittsquerschnitt der Laval-Düse. Druck- und Mach-Zahl-Verlauf in-nerhalb der Düse entsprechen dem Ausle-gungszustand, ebenso wie für die beidennächsten Betriebspunkte.

e) pa3 < pa < pa4

In der Abströmung stellen sich zunächstschräge Verdichtungsstöße im Strahl ein.Diese werden am Strahlrand als Expan-sionsfächer reflektiert. Der Querschnitt desStrahls ändert sich hierdurch, es kommt inder Regel zu Strahlschwingungen. Wegender fehlenden Stromaufwirkung bleibt die


Strömung innerhalb der Düse hiervon un-beeinflusst.

f) pa < pa3

Am Austritt der Laval-Düse entsteht einExpansionsfächer, der zu einem Aufplatzendes Strahls führt. Am Strahlrand entstehendurch Reflexion Kompressionswellen. DerAustrittsstrahl schwingt. Wiederum erfolgtkeine Rückwirkung auf die Strömungsver-hältnisse in der Düse.

Alle dargestellten Zustandsänderungen mitAusnahme des Falls 3 verlaufen innerhalb derDüse isentrop. Somit bleibt der Totaldruck derStrömung innerhalb der Düse konstant.

Beispiel 42

Aufgabenstellung:

An einem Druckbehälter, in dem sich Luftunter einem Druck pt1 = 6 bar und Tt1 =300 K befindet (vgl. Beispiel 41), ist eine Laval-Düse angeschlossen, die im kleinstenQuerschnitt einen Durchmesser von d =50 mm aufweist. Die Laval-Düse arbeitet im angepassten Zustand, die Berechnungsoll zunächst isentrop erfolgen. Der Außen-druck beträgt pUm = 1 bar.

a) Wie groß ist der austretende Luftmas-senstrom m· th?

b) Welche Austritts-Mach-Zahl Ma, s undwelche Austrittstemperatur Ta, s ergebensich?

c) Wie groß ist die Austrittsfläche Aa derDüse?

d) Welcher tatsächliche Massenstrom m· er-gibt sich für einen Geschwindigkeits-beiwert j = 0,97 und eine Kontraktions-zahl y = 0,99?

Lösung:

a) Für den theoretischen Massenstrom folgtder gleiche Wert wie in Beispiel 41, dader Totalzustand im Behälter und der kri-tische Querschnitt der Düse unverändertsind.

m· th = 2,749 kg/s

b) Die Düse arbeitet angepasst. Somit ergibtsich das Druckverhältnis aus Umge-bungsdruck und Behälterinnendruck:

pa, s pUm 16 = 7 = 3pt1 pt1 6

Mit den Gleichungen 5.88 und 5.89 folgt fürdie isentrope Austritts-Mach-Zahl und Aus-trittstemperatur:

630092 pa, s

1 – k5kMa, s = f53 · ��7� – 1�k – 1 pt1

630002 1 1 – 1,4

71,4Ma, s = f92 · ��3� – 1�1,4 – 1 6

Ma, s = 1,828

k – 1 – 1

Ta, s = Tt1 · �1 + 8 · M 2a, s�2

1,4 – 1 – 1

Ta, s = 300 · �1 + 01 · 1,8282�2

Ta, s = 179,8 K = – 93,3°C

c) Mit Gleichung 5.92 ergibt sich für dieAustrittsfläche:

Akrit 2 k – 1 k + 172·(k–1)Aa = 8 · �8 · �1 + 8 · M 2

a, s�� Ma, s k + 1 2

1,9635 · 103

Aa = 00 ·1,8282 1,4 – 1 1,4 + 1

· �84 · �1 + 83 · 1,828��92·(1,4–1)

1,4 + 1 2

Aa = 2,887 · 10–3 m2


d) Mit Verwendung des Korrekturfaktorsnach Gleichung 5.74 ergibt sich für j =0,95 aus Bild 5.23

Km· = 0,98

m· Näherung = m · m· th = y · j · m· th

m· = Km· · m· Näherung = Km

· · y · j · m· th

m· = 0,98 · 0,99 · 0,97 · 2,749

m· = 2,587 kg/s

5.6.3.4 Konstruktive Gestaltung von Laval-Düsen

Je nach Verwendungszweck wird für die Kon-tur der Laval-Düse ein besonders geeigneterQuerschnittsverlauf gewählt.

Laval-Düsen in Strahlapparaten, Strahl-triebwerken und kleinen Dampfturbinen wer-den meist kegelförmig mit Kreisquerschnittenausgeführt, wobei der Erweiterungswinkel a(Bild 5.29) zur Gewährleistung einer ablö-sungsfreien Strömung unter 10° liegen sollte.Der Abrundungsradius r des konvergentenDüsenteils sollte möglichst groß gewählt wer-den, um den Geschwindigkeitsbeiwert j großzu halten. Laval-Düsen in Raketenantrieben

und Überschall-Staustrahltriebwerken habenmit Rücksicht auf einen guten Wirkungsgradoft eine glockenförmige Gestalt (Bild 5.30). Beider Glockenform sind maximale Öffnungs-winkel zwischen 36° und 86° unmittelbar hin-ter dem Düsenhals und 10º…40° am Austrittüblich [5.9, 5.10].

In den Leiträdern der Regelstufen vonDampfturbinen werden die Konturen der La-val-Düse durch die Druck- und Saugseitenvon geeignet ausgebildeten Profilen gebildet(Bild 5.31). Der Erweiterungswinkel solltenach Möglichkeit 10° nicht überschreiten.

Kritisch arbeitende Laval-Düsen werdendarüber hinaus als Massenstrombegrenzerfür Mess- und Kalibriereinrichtungen verwen-det.

5.7 Verdichtungsstöße

Bei der Betrachtung der adiabaten reibungsbe-hafteten Rohrströmung und bei der Diskus-sion der Strömungsverhältnisse in der Laval-Bild 5.29 Laval-Düse mit Kreisquerschnitt

Bild 5.30 Laval-Düse eines Raketenantriebes

Düse bei nicht angepasstem Gegendruckwurde bereits auf das Auftreten von Verdich-tungsstößen hingewiesen.

Verdichtungsstöße treten ausschließlich inÜberschallströmungen auf und verursachenschlagartige Änderungen von Geschwindig-keit, Druck, Mach-Zahl, Dichte, Temperaturund Entropie. Diese stoßartigen Zustandsän-derungen erfolgen verlustbehaftet in einerhauchdünnen Stoßfront (Größenordnung 10–4

bis 10–3 mm). Lediglich die Totalenthalpiebleibt über einem Verdichtungsstoß konstant,da keine Energie zu- oder abgeführt wird. DieBeschreibung der Zustandsänderung übereinem Verdichtungsstoß gelingt durch die An-wendung der Kontinuitätsgleichung, des Im-pulssatzes und der Energiegleichung in Ver-bindung mit der thermodynamischen Zu-standsgleichung. Auf die theoretische Ablei-tung dieser Beziehungen wird hier verzichtetund auf die weitere Fachliteratur verwiesen[5.11 bis 5.13].

Je nach Lage der Stoßfront zur Strömungs-richtung unterscheidet man den senkrechtenVerdichtungsstoß und den schrägen Verdich-tungsstoß.

5.7.1 Senkrechter Verdichtungsstoß

Bild 5.32 zeigt schematisch die Strömungsver-hältnisse beim senkrechten Verdichtungsstoß.

Die Strömungsrichtung bleibt über derStoßfront unverändert. Die Überschallströ-

Verdichtungsstöße 347

mung 1 wird in eine Unterschallströmung 2überführt. Durch diese Verzögerung steigenDruck, Temperatur, Dichte, Entropie undSchallgeschwindigkeit an. Mach-Zahl, Ge-schwindigkeit und Totaldruck verringernsich. Zwischen den Strömungszuständen vorund nach der Stoßfront gelten folgende, inBild 5.33 dargestellte Zusammenhänge:

r2 (k + 1) · M 21

4 = 006 (Gl. 5.96)r1 (k – 1) · M 2

1 + 2

p2 2 · k4 = 1 + 8 · (M 2

1 – 1) (Gl. 5.97)p1 k + 1

Bild 5.31Laval-Düse einer Dampfturbinen-beschaufelung

Bild 5.32 Senkrechter Verdichtungsstoß


T2 a22 2 · (k – 1) k · M 2

1 + 14 = 4 = 1 + 06 · 08 · (M 2

1 – 1)T1 a1

2 (k + 1)2 M 21 (Gl. 5.98)

pt1 2 · k 15k – 1

4 = �1 + 7 · (M 21 – 1)� ·

(Gl. 5.99)pt2 k + 1(k + 1) · M 2

1k51 – k�007�(k – 1) · M 2

1 + 2

s2 – s1 pt10 = ln 5 (Gl. 5.100)

Ri pt2

005k – 1 1 + 53 · M1

2

2M2 = f004 < 1 (Gl. 5.101)

k – 1k · M1

2 – 82

w2 1 2 5 = 8 · �k – 1 + 5� (Gl. 5.102)w1 k + 1 M1

2

5.7.2 Schräger Verdichtungsstoß

Der schräge Verdichtungsstoß bildet sich inÜberschallströmungen an Umlenkungen wiein Bild 5.34 durch eine einspringende Ecke mitdem Keilwinkel b aus. Die Stoßfront bildet zurAnströmrichtung den Stoßwinkel s. DieserStoßwinkel ist immer größer als der zur zu-gehörigen Anströmmachzahl M1 gehörendeMach’sche Winkel a1. Die Strömung wird imStoß umgelenkt und verzögert. Druck, Tempe-ratur, Dichte, Entropie und Schallgeschwindig-keit steigen an. Mach-Zahl, Geschwindigkeitund Totaldruck nehmen ab. Die normal (senk-recht) auf der Stoßfront stehende Geschwindig-keitskomponente w1n wird im Stoß auf w2n

verzögert, hierfür gelten die o.g. Beziehungendes senkrechten Verdichtungsstoßes. Obwohldie Normalgeschwindigkeitskomponente nachdem Stoß also kleiner als die Schallgeschwin-digkeit ist, bleibt die Strömung nach dem

Bild 5.33 Zustandsänderungen über einem senkrechten Verdichtungsstoß

schrägen Stoß in der Praxis in den meisten Fäl-len im Überschall. Die Tangentialkomponenteder Geschwindigkeit ändert sich im Verdich-tungsstoß nicht (w1t = w2t). Der Zusammenhangzwischen dem Stoßwinkel s und dem Umlenk-winkel b wird für b > 0 beschrieben:

k + 1 M12

cot b = tan s · �8 · 007 – 1�2 (M1 · sin s)2 – 1(Gl. 5.103)

Hiermit ergeben sich, wie in Bild 5.35 darge-stellt, 2 mögliche Lösungen zu einem Keil-

Verdichtungsstöße 349

Bild 5.34 Schräger Verdichtungsstoß an einemHalbkeil

Bild 5.35Winkelbeziehungen beim schrägenVerdichtungsstoß mit starker undschwacher Lösung

➝

winkel b, die durch unterschiedlicheStoßwinkel s und unterschiedliche Stoßstär-ken gekennzeichnet sind. Die sog. starke Lö-sung ergibt sich für große Stoßwinkel undführt zu einer Unterschallströmung nach demStoß. Ist der Keilwinkel b > bmax, rückt derVerdichtungsstoß von der Keilspitze ab, undes entsteht ein Unterschallgebiet an der Keil-spitze. Mit der schwachen Lösung ergibt sichmit Ausnahme eines kleinen Bereiches in derNähe von bmax eine Überschallströmung nachdem Stoß. Dieser Bereich wird durch die ein-gezeichnete Linie M2 = 1 begrenzt. Der Fallder schwachen Lösung mit M2 > 1 tritt in derPraxis am häufigsten auf. Er ist in Bild 5.36zusätzlich als s = f (M1) für verschiedene Keil-winkel b dargestellt. Mit bekanntem Stoß-und Keilwinkel lassen sich die Zustandsände-rungen über dem schrägen Verdichtungsstoßbeschreiben:

r2 (k + 1) · M 21 · sin2s

4 = 0007 (Gl. 5.104)r1 (k – 1) · M 2

1 · sin2s + 2


p2 2 · k4 = 1 + 8 · (M 2

1 · sin2s – 1) (Gl. 5.105)p1 k + 1

T2 a22 2 · (k – 1) k · M 2

1 · sin2s + 15 = 5 = 1 + 97 · 9992 ·T1 a1

2 (k + 1)2 M 21 · sin2s

· (M 21 · sin2s – 1) (Gl. 5.106)

pt1 2 · k 15k – 1

4 = �1 + 8 · (M 21 · sin2s – 1)� ·

pt2 k + 1

(k + 1) · M 21 · sin2s k

51 – k· �0008� (Gl. 5.107)(k – 1) · M 2

1 · sin2s + 2

s2 – s1 pt10 = ln 5 (Gl. 5.108)

Ri pt2

k – 1 1 + 53 · M1

2 · sin2s2

M22 · sin2 (s – b) = 0005k – 1

k · M12 · sin2s – 82

(Gl. 5.109)

Setzt man in diese Gleichungen b = 0 und denStoßwinkel s = 90° ein, erhält man die bereitsfür senkrechte Verdichtungsstöße angegebe-nen Beziehungen.

5.8 Prandtl-Meyer-Expansion

Bei der Ausströmung der Laval-Düse wurdeneben den Verdichtungsstößen auch bereitsder Begriff des Expansionsfächers erwähnt.Folgt eine Überschallströmung einer abge-knickten Wand oder umströmt sie eine Ecke,so findet eine Expansionsströmung in Formeines Fächers statt (Bild 5.37). Für nicht zugroße Umlenkwinkel b löst die Strömungnach der Umlenkung nicht ab.

Im Gegensatz zum stark verlustbehaftetenVerdichtungsstoß verläuft diese als Prandtl-

Bild 5.36 Winkelbeziehungen beim schrägen Ver-dichtungsstoß (schwache Lösung)

Meyer-Expansion bezeichnete Strömung beiAbsenkung des statischen Drucks und Er-höhung der Geschwindigkeit und Mach-Zahlisentrop.

Zur Beschreibung der Zustandsänderungwird die Prandtl-Meyer-Funktion n eingeführt:

9 008k + 1 k – 1 n = f53 · arctan �f53 (M 2 – 1)�k – 1 k + 1

– arctan [d93M2 – 1] (Gl. 5.110)

Hiermit gilt für die Expansion mit dem Um-lenkwinkel b:

n1 + b = n2 (Gl. 5.111)

Die Winkel sind im Bogenmaß einzuführen. Der Verlauf der Prandtl-Meyer-Funk-

tion ist in Bild 5.38 dargestellt und erlaubt die einfache Bestimmung der Mach-Zahl M2

nach der Expansion. Zur detaillierten Berech-

Prandtl-Meyer-Expansion 351

nung der weiteren Strömungsgrößen kannauf die bekannten Isentropenbeziehungenund den Energiesatz (Gleichungen 5.15, 5.28und 5.29) zurückgegriffen werden. Aus denMach-Zahlen M1 und M2 lassen sich mit Glei-chung 5.3

1a = arcsin �4�M

die Mach’schen Winkel a1 und a2 bestimmen,die den Expansionsfächer begrenzen.

Bild 5.37 Prandtl-Meyer-Expansion an einer abge-knickten Wand

Bild 5.38 Verlauf der Prandtl-Meyer-Funktion

Beispiel 43

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird eine Expansionsströmungmit Luft nach Bild 5.37 mit M1 = 2, p1 = 1 barund T1 = 300 K. Der Umlenkwinkel beträgt12,74°.

Wie groß sind Mach-Zahl, Druck undTemperatur nach der Umlenkung?

Lösung:

Der Wert der Prandtl-Meyer-Funktion der Zuströmung mit M1 = 2 nach Gleichung5.110 beträgt

02 03941,4 + 1 1,4 – 1

n1 = f01 · arctan �f01 (22 – 1)�1,4 – 1 1,4 + 1

– arctan [d8322 – 1 ]

n1 = 0,4604

Mit b im Bogenmaß

12,74 · pb = 05 = 0,2224

180

folgt für n2

n2 = n1 + b = 0,4604 + 0,2224 = 0,6828

Aus Bild 5.38 oder durch iterative Lösungder Gleichung 5.110 ergibt sich

M2 = 2,5

Berechnung des Totalzustandes der Zuströmung:

k – 1Tt1 = T1 · �1 + 8 · M 2

1�2

1,4 – 1= 300 · �1 + 83 · 22�2


Tt1 = 540 K

Tt1k5k – 1 540 1,4

71,4 – 1pt1 = p1 · �5� = 105 · �7�T1 300

pt1 = 782445 Pa

Die Strömung verläuft adiabat, daher bleibtdie Totaltemperatur konstant:

Tt1 540T2 = 007 = 0063k – 1 1,4 – 1�1 + 8 · M 2

2� �1 + 83 · 2,52�2 2

T2 = 240 K

Da die Prandtl-Meyer-Expansion isentropverläuft, bleibt auch der Totaldruck konstant:

pt1p2 = 0076k – 1 k5k – 1�1 + 8 · M 2

2�2782445

= 000711,4 – 1 1,471,4 – 1�1 + 83 · 2,52�2

p2 = 45795 Pa

5.9 Verdichtungsströmungen

Die Verdichtung eines kompressiblen Fluidserfordert nach der Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung (s. Abschnitt 5.4) für Unterschall-strömungen einen Diffusor mit einer Quer-schnittserweiterung, für Überschallströmun-gen hingegen einen Diffusor mit Querschnitts-verengung. Sowohl im Unterschalldiffusorals auch im Überschalldiffusor wird durchdie Verzögerung der Strömung ein Druckauf-bau erzielt, der mit einer Erhöhung der Tem-peratur einhergeht. In Bild 5.39 sind die Ka-nalverläufe sowie die Änderung der Zu-standsgrößen im h-s-Diagramm (vgl. auchBild 5.5) dargestellt.

Bei verzögerten Strömungen in Diffusorentreten grundsätzlich größere Verluste als beibeschleunigten Strömungen in Düsen auf. Da-

her ist eine isentrope Beschreibung der Diffu-sorströmung für eine praxisnahe Betrachtungkaum geeignet. Zur Beschreibung der realenpolytropen Zustandsänderung ist der Wir-kungsgrad der Kompression (Gleichung 5.12),hier mit Bezug auf das Bauteil als hDiff bezeich-net, zu berücksichtigen. Dieser kann für einideales Gas auch über das Temperaturverhält-nis beschrieben werden.

Dhs ha, s – h1 Ta, s – T1hKompression = hDiff = 6 = 03 = 04Dh ha – h1 Ta – T1

(Gl. 5.112)

pak – 15kT1 · ��5� – 1�Ta, s – T1 p1Ta = T1 + 04 = T1 + 0029hDiff hDiff

pak – 15kT1 · ��5� – 1 + hDiff�p1Ta = 040026 (Gl. 5.113)hDiff

Die Austrittsgeschwindigkeit folgt mit demEnergiesatz

w12 w 2

ah1 + 5 = ha + 52 2

wa2 w 2

1 w 21

5 = 5 + h1 – ha = 5 – cp · (Ta – T1)2 2 2

wa = d92w 21 – 2959· cp · (Ta – T1) (Gl. 5.114)

Mit der idealen Gasgleichung

para = 0Ri · Ta

ergibt sich für den erforderlichen Austritts-querschnitt des Diffusors

m·Aa = 0 (Gl. 5.115)

ra · wa

Alternativ kann die Berechnung der Aus-strömgrößen über die Polytropenbeziehungen(Gleichungen 5.21 und 5.22) erfolgen. Der Po-

Verdichtungsströmungen 353

lytropenexponent n ist für die Kompressionmit der Gleichung 5.26 zu bestimmen:

1 pak – 15kln �1 – 6 · �1 – �4� ��n – 1 hDiff p1

9 = 999092n paln �4�p1

Die Austrittsgeschwindigkeit ergibt sich mitdem Energiesatz

6300002pa

n – 15nwa = fw1

2 – 2 · cp · T1 · ��4� – 1�p1

(Gl. 5.116)

und mit den Polytropenbeziehungen folgt

pan – 15nTa = T1 · �4� (Gl. 5.117)

p1

pa12nra = r1 · �4� (Gl. 5.118)

p1

Der Diffusorwirkungsgrad hängt von derForm und Rauigkeit des Diffusors ab.

Als Anhaltspunkt für Unterschalldiffuso-ren sei auf den Abschnitt 4.7.7.4 verwiesen, indem Diffusoren für inkompressible Strömun-gen beschrieben werden. Allerdings nimmt

Bild 5.39 Unterschall- und Überschalldiffusor

w1 > a1w1 < a1

hDiff für steigende Mach-Zahlen ab (Bild 5.40).In [5.14] wird darauf hingewiesen, dass fürhöhere Eintrittsmachzahlen die Ablösegrenze(Linie a–a in Bild 4.126) um 5…10% zu kleine-ren Öffnungswinkeln des Diffusors verscho-ben wird. Genaue Zahlenwerte müssen ausder Fachliteratur entnommen oder durch Ver-suche ermittelt werden.

Für Überschalldiffusoren ist zu berücksich-tigen, dass die Verdichtung höchstens bis zumkritischen Druckverhältnis

pa, s 2 k5k – 1�6� = �8� (Gl. 5.119)

p1 krit k + 1

durchgeführt werden kann, da dann am Endedes Diffusors gerade Schallgeschwindigkeiterreicht wird.


Beispiel 44

Aufgabenstellung:

Durch den in Bild 5.41 dargestellten Unter-schalldiffusor strömen je Sekunde 0,1 kgLuft.

Die Geschwindigkeit soll von w1 = 200 m/s am Diffusoreintritt auf wa = 50 m/s am Diffusorende herabgesetztwerden.

Der Diffusorwirkungsgrad soll zu hDiff = 0,85 angenommen werden.

Die Eintrittstemperatur T1 beträgt 300 K,der Eintrittsdruck p1 = 1 bar.

Bild 5.40 Diffusorwirkungsgrad

Wie groß sind

a) die Verdichtungstemperatur Ta

am Diffusorende?b) der Verdichtungsenddruck pa?c) Eintrittsdurchmesser d1 und

Austrittsdurchmesser da?

Lösung:

Frage a)

Die Endtemperatur Ta ergibt sich aus Gleichung 5.114:

wa = d9006w21 – 2 · cp · (Ta – T1)

w2a = w2

1 – 2 · cp (Ta – T1)

w21 – w2

aTa – T1 = 042 · cp

w21 – w2

aTa = T1 + 042 · cp

40 000 – 2500Ta = 300 + 0042 · 1004

37500= 300 + 012008Bild 5.41 Beispiel 44

Ta = 300 + 18,7

Ta = 318,7 K

Frage b)

Aus der in Gleichung 5.112 festgelegten De-finition des Wirkungsgrades hDiff wird zu-nächst die isentrope Endtemperatur Ta, s be-stimmt, aus der dann das Druckverhältnispa/p1 berechnet wird.

DhshDiff = 7Dh

Dh · hDiff = Dhs

cp · (Ta – T1) · hDiff = cp · (Ta, s – T1)

(Ta – T1) · hDiff = Ta, s – T1

Ta, s = T1 + hDiff · (Ta – T1)

Ta, s = 300 + 0,85 · 18,7 = 300 + 15,9

Ta, s = 315,9 K

pa Ta, sk5k – 1

4 = �6�p1 T1

Ta, sk5k – 1pa = p1 · �6�T1


315,9 1,461,4 – 1pa = 1 · �0�300

pa = 1 · 1,0523,5

pa = 1,194 bar

Frage c)

Die Berechnung des Ein- und Austritts-durchmessers erfolgt über die Kontinuitäts-gleichung:

Eintritts- Austritts-durchmesser d1 durchmesser da

m · Ri · T1 m · Ri · TaA1 = 70 Aa = 70p1 · w1 pa · wa

0,1 · 287 · 300 0,1 · 287 · 318,7A1 = 004 Aa = 007105 · 200 1,194 · 105 · 50

A1 = 4,3 · 10– 4 m2 Aa = 15,3 · 10– 4 m2

A1 = 4,3 cm2 Aa = 15,3 cm2

d1 = 2,34 cm da = 4,42 cm

5.10 Umströmung von Körpern

5.10.1 Strömungsbilder

Die Gestalt von Strömungsbildern kompressi-bel umströmter Körper hängt von der Körper-form, der Anströmrichtung und der Mach-Zahl ab.

Wenn die Umströmung des Körpers im Un-terschall verläuft, entstehen ähnliche Strö-mungsbilder, wie sie in Bild 4.198 für inkom-pressible Strömungen dargestellt wurden. DerKompressibilitätseinfluss bewirkt allerdings,dass in den Überdruckzonen die Stromlinieninfolge der Kompression näher aneinanderrücken und sich in Unterdruckgebieten in-folge der Expansion weiter auseinander zie-hen (Bild 5.42).

Bild 5.42 Schematischer Stromlinienverlauf einerProfilumströmung

Überschreitet jedoch trotz einer Unter-schallanströmung die Geschwindigkeit an ir-gendeiner Stelle des umströmten Körpers auf-grund lokaler Beschleunigungen die dortherrschende Schallgeschwindigkeit, so entste-hen Verdichtungsstöße, die das Strömungs-bild wesentlich verändern.

An Körpern, die mit Überschallgeschwin-digkeit angeströmt werden, bilden sich je nachKörperform und Mach-Zahl verschiedeneStoßkonfigurationen aus. In Bild 5.43 ist dieUmströmung verschiedener Körper im Über-schallgebiet gegenübergestellt.

Für Hyperschallströmungen, also Mach-Zahlen >5, ändern sich die dargestellten Strö-mungsbilder wesentlich [4.1].

5.10.2 Druck- und Temperaturerhöhungim Staupunkt

Im Staupunkt wird die Strömung auf die Ge-schwindigkeit 0 abgebremst, so dass sich dortder Totalzustand der Strömung einstellt. Ausdem Energiesatz (Gleichung 5.15) folgt damitfür die Staupunkttemperatur

k – 1Tt = T∞ · �1 + 8 · M∞

2� (Gl. 5.120)2


Nimmt man zunächst einen isentropen Auf-stau an, wie er für die Unterschallanströmunggegeben ist, folgt mit der Isentropenbezie-hung für den isentropen Totaldruck der Zu-strömung (Gleichung 5.28)

Ttk5k – 1pt, s = pt, ∞ = p∞ · �5�

(Gl. 5.121)T∞

k – 1 k5k – 1= p∞ · �1 + 8 · M∞

2�2

Für eine Überschallanströmung bildet sich vordem angeströmten Körper ein Verdichtungs-stoß (Bild 5.44), der auf der Staupunktstromli-nie aus Symmetriegründen senkrecht zur An-strömrichtung verläuft. Hieraus resultiert einTotaldruckverlust. Die Zustandsänderungverläuft polytrop. Der sich unter Berücksichti-gung der Verluste ergebende Totaldruck imStaupunkt kann mit der in Abschnitt 5.7.1 an-gegebenen Stoßbeziehung (Gleichung 5.99,Bild 5.33) ermittelt werden:

pt, ∞pt = 0000000112 · k 15k – 1 (k + 1) · M∞

2 k51 – k�1+7 · (M2

∞ – 1)� ·�005�k +1 (k – 1) · M∞2 + 2

(Gl. 5.122)

w∞ w∞ w∞ w∞Totwasser

Platte spitzer Körper stumpfer Körper Kugel

An der Vorderkante entstehtan der Oberseite einePrandtl-Meyer-Expansion,an der Unterseite ein Ver-dichtungsstoß.An der Hinterkante tretenumgekehrte Verhältnisseauf, die die ursprünglicheStrömungsrichtung wiederherstellen.

Von der Körperspitze ge-hen 2 schräge Stoßfrontenaus, an denen die Strom-linien geknickt werden.

Die Verdichtungsstoßfrontliegt vor dem Körper.Um den Staupunkt herumliegt ein kleines Gebiet, indem Unterschallströmungherrscht.

Vor der Kugel entsteht einkleines Unterschallgebiet,hinter der Kugel tritt ein Tot-wassernachstrom auf.

Unterschall-gebiet

Aus Symmetriegründen beträgt der Stoßwinkel auf derStaupunktstromlinie s = 90°, d.h. senkrechter Stoß.Entlang der Stoßfront wird s kleiner (starke Lösung fürschräge Verdichtungsstöße), um dann in die schwacheLösung überzugehen (vgl. Abschnitt 5.7.2).

Unterschall-gebiet

Bild 5.43 Vergleich der Umströmung verschiedener Körper bei Überschallanströmung

Beispiel 45

Aufgabenstellung:

Wie groß ist der dynamische Druck pdyn = (pt – p), der mit einem Prandtl-Rohr ander Nase des ÜberschallverkehrsflugzeugesConcorde im in den Beispielen 35 und 36 berechneten Flugzustand gemessen wird (M = 2, H = 18 km, T∞ = 216,65 K)?

Lösung:

Der Umgebungsdruck in der Flughöhe von 18 km beträgt nach Tafel 29

p∞ = 7504 Pa

Berechnung des Totalzustandes der Anströmung:


pt = 42 325 Pa

Zur Bestimmung des statischen Druckesnach dem Stoß wird Gleichung 5.97 heran-gezogen:

2 · kp = p∞ · �1 + 8 · (M 2

∞ – 1)�k + 1

2 · 1,4p = 7504 · �1 + 92 · (22 – 1)�1,4 + 1

p = 33768 Pa

pdyn = 42325 – 33768

pdyn = 8557 Pa

Bild 5.44Verdichtung im Staupunkt eines stumpfen Körpers bei Überschallanströmung

k – 1 k5k – 1 1,4 – 1 1,4

71,4 – 1pt, s = pt, ∞ = p∞ · �1 + 8 · M∞2� = 7504 · �1 + 02 · 22�2 2

pt, ∞ = 58 715 Pa

Der Totaldruck nach dem senkrechten Stoß ergibt sich aus der Stoßbeziehung (Gleichung 5.99):

pt, ∞pt = 0000000132 · k 15k – 1 (k + 1) · M∞

2 k51 – k�1 +7 (M2

∞ – 1)� · �005�k +1 (k – 1) · M∞2 + 2

58 715 pt = 0000000632 · 1,4 1

71,4 – 1 (1,4 + 1) · 22 1,471 – 1,4�1 + 0 (22 – 1)� · �005�1,4 +1 (1,4 – 1) · 22 + 2

In Abschnitt 6.2.2.1 wird in Gleichung 6.20 derfür Überschallanströmung gültige Pitotdruckim Staupunkt eines Pitotrohres angegeben.Dieser Pitotdruck entspricht dem oben be-rechneten Totaldruck nach dem senkrechtenVerdichtungsstoß.

5.10.3 Widerstand von umströmten Körpern

Der Widerstand, den ein in Schallnähe odermit Überschallgeschwindigkeit angeströmterKörper erfährt, setzt sich aus dem Flächen-widerstand, dem Formwiderstand und ausKräften, die von Verdichtungsstößen her-rühren, zusammen.

Die exakte Ermittlung des Gesamtwider-standes eines von einer stark kompressiblenStrömung angeströmten Körpers ist mathe-matisch recht aufwendig und führt zu um-fangreichen Integralformeln. Um den Wider-stand wenigstens annähernd abschätzen zukönnen, werden für ebene Platten und einfa-che Körperformen die folgende Näherungs-rechnungen empfohlen.

5.10.3.1 Widerstand der ebenen Platte

Eine parallel überströmte ebene Platte erfährt,da ihre Stirnfläche vernachlässigbar klein ist,einen nahezu reinen Flächenwiderstand, dersich nach Gleichung 4.264 wie folgt berechnenlässt:

r∞FwR ª cF · 4 · w2∞ · O (Gl. 5.123)

2

In Abschnitt 4.10.2.2 wurde die Bestimmungvon cF abhängig von der Reynolds-Zahl bzw.Rauigkeit für inkompressible Strömungen an-gegeben. Bei kompressiblen Strömungenkommt ein zusätzlicher Einfluss der Mach-Zahl M∞ hinzu:

cF kompr ª K · cF inkompr (Gl. 5.124)


Den Faktor K entnimmt man abhängig vonder Mach-Zahl M∞ aus Bild 5.45.

5.10.3.2 Widerstand räumlich ausgedehnterKörper

Der Gesamtwiderstand von räumlich ausge-dehnten Körpern setzt sich vorwiegend ausdem Formwiderstand und dem mit dem Ent-stehen von Verdichtungs- und Verdünnungs-wellen zusammenhängenden Wellenwider-stand zusammen.

Analog zu Gleichung 4.283 ergibt sich fol-gende Näherungsformel:

r∞Fw ª cw · 4 · w2

∞ · ASt (Gl. 5.125)2

Bild 5.45 Korrekturfaktor K

Beispiel 46

Aufgabenstellung:

Wie groß ist der Unterschied zwischen demWiderstand einer Kugel und dem eines Ge-schosses mit gleicher Stirnfläche ASt , wennbeide Körper sich mit einer Geschwindig-keit w∞ = 600 m/s bewegen und die Luft-temperatur T∞ = 288 K beträgt?

Lösung:

Zunächst wird die Mach-Zahl M∞ aus derFluggeschwindigkeit w∞ und der Lufttem-peratur T∞ berechnet:

w∞ w∞M∞ = 6 = 00a d98k · Ri · T∞

600 600M∞ = 007 = 7

d9051,4 · 287 · 288 340

M∞ = 1,765


Aus Bild 5.46 ergeben sich zu dieser Mach-Zahl folgende Widerstandsbeiwerte cw:

cw Kugel = 1,0

cw Geschoss ª 0,3

Damit beträgt das Verhältnis der beiden Widerstandskräfte:

r∞cw Kugel · 4 · w2∞ · AStFw Kugel 2

50 = 0009Fw Geschoss r∞cw Geschoss · 4 · w2∞ · ASt2

Fw Kugel cw Kugel 150 = 50 = 6Fw Geschoss cw Geschoss 0,3

Fw Kugel50 = 3,33Fw Geschoss

Bei gleicher Stirnfläche, gleicher Flugge-schwindigkeit und gleichen Luftdaten istder Widerstand einer Kugel mehr als 3-malso groß als der Widerstand eines geschoss-artigen Körpers.

Der Widerstandsbeiwert cw kann für Kreis-platten, axial angeströmte Kreiszylinder, Ku-geln und geschossartige Körper abhängig vonder Mach-Zahl M∞ aus Bild 5.46 entnommenwerden.

5.10.4 Tragflügel

Wird ein Tragflügel kompressibel umströmt,ändern sich seine Polarenform und die aero-dynamischen Beiwerte ca , cw und cm . Mit zunehmender Mach-Zahl nimmt der Auf-triebsbeiwert ca ab und der Widerstandsbei-wert cw zu, da zum bereits von der inkompres-siblen Tragflügelströmung her bekannten Reibungswiderstand und induzierten Wider-stand noch ein Wellenwiderstand hinzu-kommt, der in der Nähe der Schallgrenze be-sonders hoch ist.

Man kann 3 typische Strömungsbereicheunterscheiden:

❑ Tragflügel mit reiner Unterschallströmung,

❑ Tragflügel, an denen örtlich Überschallgeschwindigkeit auftritt,

❑ Tragflügel in reiner Überschallströmung.

Bild 5.46 Widerstandsbeiwerte verschiedener Körper

5.10.4.1 Tragflügel in reiner Unterschallströmung

In Bild 5.47 ist dargestellt, wie sich die Pola-renform mit zunehmender Mach-Zahl M∞ ver-ändert. Nach einer von PRANDTL angegebenenRegel kann für schwach gewölbte, schlankeProfile mit kleinen Anstellwinkeln die Zu-nahme des Auftriebsbeiwertes ca abhängigvon der Mach-Zahl M∞ wie folgt berechnetwerden.

ca inkomprca kompr = 06 (Gl. 5.126)d951 – M2

∞

Die Abhängigkeit des Widerstandsbeiwertescw in einer einfachen Formel anzugeben istnicht möglich, da sich cw nicht nur mit derMach-Zahl ändert, sondern auch das Dicken-verhältnis und das Seitenverhältnis einen Ein-fluss ausüben. Aus Bild 5.47 ist jedoch deut-lich zu erkennen, dass cw bei zunehmenderMach-Zahl stark ansteigt.

5.10.4.2 Tragflügel mit örtlichen Verdichtungsstößen

Liegt die Anströmgeschwindigkeit w∞ in derNähe der Schallgeschwindigkeit, so kann aufder Saugseite des Profils, auf der die Ge-schwindigkeit gegenüber der Anströmge-schwindigkeit bekanntlich zunimmt, örtlicheine Überschallzone entstehen (Bild 5.48). Un-


terschreitet die Geschwindigkeit wieder dieSchallgeschwindigkeit, so entsteht ein Ver-dichtungsstoß, dessen Lage von der Profil-form und von der Mach-Zahl abhängt.

Man bezeichnet die Mach-Zahl, bei der sichein Überschallgebiet mit Verdichtungsstoß ge-rade einstellt als kritische Mach-Zahl [5.15].

Überschreitet die Mach-Zahl den Wert derkritischen Mach-Zahl wesentlich, so kannauch auf der Profildruckseite ein Überschall-gebiet mit nachfolgender Verdichtungs-stoßfront auftreten.

In Bild 5.49 ist qualitativ dargestellt, wiesich Auftriebsbeiwert ca und Widerstandsbei-

Bild 5.47Abhängigkeit der Polarenform von der Mach-Zahl

Bild 5.48 Tragflügel mit örtlich begrenztem Überschallgebiet

Bild 5.49 Abhängigkeit des Auftriebsbeiwertes ca

und der Widerstandsbeiwertes cw von der Mach-Zahl M∞

wert cw im transsonischen Bereich verhalten.Der von den Verdichtungsstößen herrührendeWellenwiderstand ist gerade im transsoni-schen Bereich besonders groß.

5.10.4.3 Tragflügel in reiner Überschallströmung

In Bild 5.49 ist bereits angedeutet, wie sichAuftriebsbeiwert ca und Widerstandsbeiwertcw im Überschallbereich verhalten, und zwarnehmen beide Werte mit zunehmender Mach-Zahl ab.

Bei reiner Überschallströmung ist die Pola-renform (Bild 5.50) parabelartig mit annähern-der Symmetrie zur cw-Achse.

Profile mit spitzer Profilnase (r Æ 0) weisenwesentlich geringere Widerstandsbeiwerte alsProfile mit relativ dicker Profilnase auf (Bild5.50a).


Schlanke Profile mit kleinem d/l haben beigleichen ca-Werten wesentlich kleinere Wider-standsbeiwerte als dicke Profile (Bild 5.50b).Im Überschallbereich werden deshalb sehrschlanke, vorn angeschärfte, «messerartige»Profilformen verwendet.

Die ca-Werte gehen selten über 0,6…0,8 hinaus, d.h., sie sind etwa nur halb so großwie die maximalen ca-Werte von inkompressi-bel angeströmten Tragflügeln. Die cw-Wertedagegen sind verhältnismäßig hoch und er-reichen Werte von 0,2…0,3.

Mit zunehmender Mach-Zahl wird die Po-larenform ungünstiger, d.h. die cw-Werte neh-men zu (Bild 5.50c). Profile, die für den Über-schallbereich geeignet sind, haben im Unter-schallbereich wegen der spitzen Profilnase,der sehr schwachen Krümmung und derschlanken Form sehr ungünstige Profilbei-werte im Vergleich zu typischen Unterschall-profilen.

Bild 5.50 Einfluss von Profilform, Profildicke und Mach-Zahl auf die Polarenform

6.1 Druckmessung

6.1.1 Einleitung

Die verschiedenen Druckbegriffe sind in denAbschnitten 2.2, 2.3 und 4.3 ausführlich defi-niert und beschrieben und werden der Voll-ständigkeit halber nochmals kurz tabellarischin Tabelle 6.1 zusammengestellt.

Ein besonderes Anwendungsgebiet ist dieMessung des Absolutdruckes in der Luft-atmosphäre (Kapitel 3) mittels Barometern,z.B. für die Wetteranalyse und -voraussageoder die Luftfahrt [6.1]. Die physikalischenEinheiten für den Druck sind in Tabelle 2.2zusammengestellt.

Druckmessungen werden in nahezu allentechnischen Bereichen angewandt, so z.B. inForschungs-, Entwicklungs- und Ausbil-dungslaboratorien, in Betrieben der Verfah-rens-, Versorgungs- und Produktionstechnik,an Kraft- und Arbeitsmaschinen usw.

Bei den Druckmessverfahren unterschei-det man unmittelbare (direkte) Verfahren(Fundamentalverfahren) und mittelbare (indi-rekte) Verfahren.

Das unmittelbare Verfahren besteht in ei-nem Kraftvergleich zwischen der vom Druckhervorgerufenen Druckkraft und einer gleichgroßen Gegenkraft, die durch die Gewichts-

kraft einer Flüssigkeitssäule oder eines Kol-bens erzeugt wird.

Bei den mittelbaren Verfahren werden sehrviele physikalische Wirkprinzipien genutzt,wie z.B. Verformung von Messgliedern derverschiedensten geometrischen Formen, Än-derung des elektrischen Widerstandes, Piezo-effekt, Halbleitertechnik usw. [6.2, 6.3, 6.4].

Bei der Auswahl der Messverfahren undder zugehörigen Messgeräte muss u.a. auchberücksichtigt werden, ob es sich um zeitlichkonstante oder zeitlich variable Drücke, evtl.mit hohen Pulsationsfrequenzen handelt.

In Tabelle 6.2 ist eine kurze Übersicht der inder Strömungstechnik gebräuchlichsten Mess-verfahren zusammengestellt.

6.1.2 Druckentnahme und Anbringungvon Druckmessgeräten

Für eine möglichst genaue, pulsationsarmeDruckmessung ist eine sorgfältige geometri-sche Gestaltung der Druckmessstelle an einerBehälterwand bei Messung von Drücken inruhenden Fluiden bzw. an einer Rohrleitungs-wand bei strömenden Fluiden besonderswichtig.

Bei Druckmessungen an Behältern genügtmeistens 1 Druckmessstelle, bei Messungenan Rohrleitungen oder an Ein- und Austritts-

6 Strömungsmesstechnik

AbsolutdruckÜberdruck

Hydrostatischer Druck Unterdruck Differenzdruck, Wirkdruck

in ruhenden Flüssigkeiten BezugsdruckKolbendruckSchweredruck

Druck in strömendenstatischer Druck («Wanddruck»)

Fluiden in Innen- unddynamischer Druck (Staudruck) als Äquivalent

Außenströmungenzur StrömungsgeschwindigkeitGesamtdruck (Totaldruck)

Tabelle 6.1 Druckbegriffe

123

stutzen von Kraft- und Arbeitsmaschinen, be-sonders bei größeren Messquerschnitten, soll-ten mehrere Druckentnahmestellen im Mess-querschnitt angebracht werden.

Hinweise für die Gestaltung der Wandan-bohrungen, Ausführung und Verlegung derMessleitungen sowie Anbringung der Druck-messgeräte können den einschlägigen Regel-werken, z.B. [6.5 bis 6.9] oder den Betriebsan-leitungen und Handbüchern der Geräteher-steller entnommen werden.

Die Wandbohrung, an der Druck entnom-men wird, sollte bündig, gratfrei sein undsollte keine Fase aufweisen (Bild 6.1).

Der Bohrungsdurchmesser dB sollte nichtzu groß sein, in [6.7] werden dB = 1 bis 3 mmempfohlen. Bei stark verschmutzten Fluidenkann dB ausnahmsweise auch bis auf 6 mmvergrößert werden.

Die Länge lB der Druckmessbohrung solltenach [6.7] etwa das Doppelte des Durchmes-sers dB betragen, kann aber bei großen Behäl-ter- oder Rohrwanddicken auch ohne Beden-ken länger ausgeführt werden, erhält doch sodie Bohrung eine bessere Drosselwirkung beiDruckschwankungen.


Messverfahren Druckbereich Messgeräte Messfehler

Wegänderung von 10–3 mbar…400 bar U-Rohr-Manometer 10–3…10%Flüssigkeitssäulen Gefäßmanometer

MikromanometerBarometer

Kompensation durch 1 mbar…105 bar Kolbenmanometer 8 · 10–3…5%Kolbengewicht

Verformung von 10–2 mbar…1,3 · 104 bar Rohrfeder-, 10–2…2%Rohrfedern, Membranfeder-,Membranfedern, Kapselfeder-,Kapselfedern, WellrohrfedermanometerFederbälgen Barometer

piezoresistive Effekte 1 mbar…3,5 · 103 bar piezoresistive 2 · 10–2…8%Druckaufnehmer

elektrische 10 mbar…102 bar kapazitive bis 0,1%Kapazitätsänderung Druckaufnehmer

induktive 10–1 mbar…4 · 103 bar induktive 0,5…1%Messumformung Druckaufnehmer

Tabelle 6.2 Übersicht der Druckmessverfahren in der Strömungstechnik (eine Auswahl)

Bild 6.1 Druckmessbohrung

Geht die Druckmessbohrung direkt in dieDruckmessleitung über, sollte deren Durch-messer mindestens doppelt so groß wie derDurchmesser dB ausgeführt werden: dM ≥ 2 · dB.

Viele Richtlinien schlagen größere Boh-rungsdurchmesser vor, bei sauberen Fluiden

dB = 6…9 mm, bei feuchten Gasen sogar bis 15 mm. Im Einzelfall sind ggf. eigene Vorver-suche bezüglich des für eine bestimmte Mess-aufgabe optimalen Bohrungsdurchmessers dB

durchzuführen. Wird der Druck an mehreren gleichmäßig

über dem Umfang verteilten Wandbohrungenentnommen (Bild 6.2), werden diese durch

Druckmessung 365

eine Ringleitung verbunden, die ihrerseits andie Messleitung angeschlossen wird, die zumDruckmessgerät führt.

In [6.7] wird empfohlen, den DurchmesserdR der Ringleitung mindestens 4-mal größerals den Durchmesser dB der Druckanbohrungauszuführen: dR ≥ 4 · dB.

Bei Messungen an Rohrleitungen sollte derDruck an einem geraden Rohrstück in größe-rer Entfernung nach und vor einer Störungs-stelle gemessen werden (Bild 6.3). Falls es diePlatzverhältnisse zulassen, können die Fakto-ren A und B nach Angaben einschlägigerRichtlinien, z.B. [6.5] festgelegt werden.

Bei der Festlegung der Druckentnahmestel-len an den Saug- und Druckstutzen von Kraft-und Arbeitsmaschinen (Bild 6.4) sind nur beigut ausgeführten Prüfstandsanlagen im Laborausreichende Beruhigungsstrecken vorhan-den, während bei Betriebsanlagen oft zu kurzeBeruhigungsstrecken ungenaue oder starkpulsierende Messungen zur Folge haben.

Die Messleitung sollte bei Gasen undDämpfen mindestens 4 mm, bei Flüssigkeitenmindestens 6 mm Innendurchmesser haben.Bei verschmutzten Fluiden muss der Durch-messer dM entsprechend vergrößert werden.

Besondere Schutzvorrichtungen am Endeder Messleitung, z.B. Drosselventile, Rück-schlagventile, Wassersackrohre, Trenngefäße,Kondensatgefäße und Schmutzfänger schüt-zen das Messgerät vor Druckstößen, Korro-sion, Übertemperatur usw.

Die Messleitungen müssen dicht sein undleicht «entlüftet» werden können. Bei extrem

Bild 6.2 Zusammenführung mehrerer Druckent-nahmestellen in einer gemeinsamen Ringleitung

Bild 6.3Beruhigungsstrecken vorund nach Druckentnahme-stellen

kalten Fluiden müssen sie geheizt werdenkönnen bzw. bei heißen Fluiden gekühlt sein,damit das Druckmessgerät vor extremen Tem-peraturen geschützt ist.

Wird das Druckmessgerät bezüglich derDruckentnahmebohrung am Behälter oder ander Rohrleitung höhenverschoben angeordnet(Bilder 6.4 und 6.5), muss dies bei der Bestim-mung des wahren Druckes p aus dem amMessgerät angezeigten Druck pM durch eineKorrektur berücksichtigt werden:

p = pM ± g · Dz (rFl – rLuft) (Gl. 6.1)

p tatsächlicher, wahrer DruckpM am Druckmessgerät angezeigter Druck


g ErdbeschleunigungDz vertikaler Abstand zwischen Druck-

entnahmestelle und DruckmessgerätVorz. + Druckmessgerät oberhalb der

Druckentnahmestelle (Bild 6.5a)Vorz. – Druckmessgerät unterhalb der

Druckentnahmestelle (Bild 6.5b)rFl Dichte des FluidsrLuft Dichte der Umgebungsluft

6.1.3 Flüssigkeits-Druckmessgeräte

Flüssigkeitsmanometer eignen sich in den be-kannten Standardausführungen für die Mes-sung relativ niedriger Drücke bzw. kleinerDifferenzdrücke. Sie arbeiten sehr zuverlässig,sind einfach zu bedienen und werden sowohlals einfache Betriebsmessgeräte als auch alsPräzisionsgeräte eingesetzt. Sie werden so-wohl für die Differenzdruckmessung (Über-druck, Unterdruck) als auch für die Absolut-druckmessung (Barometer) verwendet.

Das Messprinzip von Flüssigkeits-Druck-messgeräten besteht darin, die vom zu mes-senden Druck verursachte Druckkraft mit derGewichtskraft einer Flüssigkeitssäule zu ver-gleichen, wobei im Gleichgewichtsfalle beidegleich groß sind.

Der zu messende Druck kann unmittelbaroder mittelbar als Länge einer Flüssigkeits-säule abgelesen werden.

Die Manometerflüssigkeit wird als Sperr-flüssigkeit bezeichnet. Je nach Größe des

Bild 6.4 Anordnung von Manometern an einerPumpe (nach Fa. Sulzer)

Bild 6.5Anordnung von Manometern (nach [6.84])

Messbereiches und der gewünschten bzw.möglichen Gerätegröße wählt man Flüssigkei-ten verschiedener Dichte, wie z.B. Wasser,Quecksilber, Alkohol, Öl, Tetrachlorkohlen-stoff oder Tetrabromethan.

Bei sehr genauen Messungen muss derTemperatureinfluss auf die Ausdehnung derSperrflüssigkeit und des Geräts, insbesonderedes Skalenmaßstabs, sowie die Wirkung derOberflächenspannung und der Kapillarität(vgl. Abschnitt 1.6) berücksichtigt werden [6.3und 6.4].

Der gerätemäßige Aufbau der Flüssigkeits-manometer ist je nach Messprinzip, Messbe-reich und Anforderung an die Genauigkeitsehr verschieden.

Das einfachste Flüssigkeits-Druckmess-gerät ist ein gleichschenkliges U-Rohr-Mano-meter mit 2 Glasrohren gleichen Innendurch-messers (Messschenkel) und einer Ablese-skala, wie es als Prinzip in Bild 6.6 dargestelltist. Im Einzelfall können noch Absperrarmatu-ren, Schutzvorrichtungen, besondere Ablese-vorrichtungen u.ä.m. hinzukommen.

Der zu messende Unter-, Über- oder Diffe-renzdruck ergibt sich aus dem vertikalen Ab-

Druckmessung 367

stand der beiden Menisken der Sperrflüssig-keit:

(p1 – p2) · A = r Sp · g · h · A – rFl · g · h · A

p1 – p2 = (rSp – rFl) · g · h (Gl. 6.2)

p1 – p2 DifferenzdruckrSp Dichte der SperrflüssigkeitrFl Dichte des Fluidsg Erdbeschleunigungh gemessene Höhendifferenz

Bei Gasen und Dämpfen darf bei Betriebsmes-sungen die Dichte rFl gegenüber der DichterSp vernachlässigt werden.

p1 – p2 ª rSp · g · h (Gl. 6.3)

Man erkennt, dass mit zunehmender DichterSp für eine vorgegebene Skalenlänge hmax derMessbereich p1 – p2 linear mit der Dichte rSp

wächst.Zur Messung des Absolutdruckes wird ein

Manometerschenkel luftdicht verschlossenund evakuiert (Tabelle 2.1). Nach diesem Prin-zip arbeiten z.B. die von TORRICELLI und PAS-CAL entwickelten Flüssigkeitsbarometer mitQuecksilber bzw. Wasser als Sperrflüssigkei-ten.

Die Ablesegenauigkeit an einem U-Rohr-Manometer kann durch Verwendung beson-derer Ablesevorrichtungen mit Nonius oderVergrößerung mittels Lupe verbessert wer-den.

Das Ablesen der Menisken erfolgt zur Ver-meidung des Parallaxenfehlers in waagrechterBlickrichtung über den Scheitel des Meniskushinweg. Die Ablesegenauigkeit kann durchAnordnung einer Spiegelskala hinter den Ma-nometerschenkeln noch erhöht werden. In[6.10] werden die in Tabelle 6.3 zusammenge-stellten üblichen Messbereiche und Messunsi-cherheiten für U-Rohr-Manometer angegeben.

Weitere Angaben zu den Messunsicherhei-ten finden sich u.a. in [6.3, 6.4 und 6.7].

In [6.4] sind zahlreiche konstruktive Aus-führungen von U-Rohr-Manometern und ihreAnwendung bzw. ihr Einsatz beschrieben.

z

Bild 6.6 Gleichschenkliges U-Rohr-Manometer

Bei pulsierenden Drücken schwingt dieSperrflüssigkeit, die gleichzeitige Ablesungbeider Menisken gestaltet sich recht schwie-rig. Soll das Ablesen beider Menisken beinicht kalibrierten Glasrohren oder bei schwin-gender Sperrflüssigkeit vermieden werden,empfiehlt sich die Verwendung eines Gefäß-manometers (Bild 6.7), bei dem die Ablesungdes nicht erweiterten Schenkels genügt.

Die Druckdifferenz p1 – p2 ist proportionalzur Schenkellänge h2:

p1 – p2 = (rSp – rFl) · g · h = (rSp – rFl) · g · (h1 + h2)

h1 · A1 = h2 · A2

A2h1 = h2 · 5A1

A2p1 – p2 = (rSp – rFl) · g · �1 + 5� · h2A114243

Gerätekonstante KG

p1 – p2 = (rSp – rFl) · KG · h2 (Gl. 6.4)

Berücksichtigt man die Gerätekonstante KG, indie auch die Kapillarwirkung der Sperrflüs-sigkeit eingearbeitet werden kann, in einerVerzerrung der Ableseskala, so ist der Diffe-renzdruck p1 – p2 direkt ablesbar.

Ausgehend vom Prinzip des Gefäßmano-meters wurden verschiedene Typen von Prä-zisionsmanometern höchster Messgenauig-keit entwickelt, wie das Steilrohrmanometernach PRANDTL oder das Projektionsmanome-ter nach BETZ (Bild 6.8).

Das Projektionsmanometer nach BETZ be-nutzt destilliertes Wasser als Sperrflüssigkeit.Der Messbereich reicht bis 80 mbar, die Mess-


genauigkeit beträgt nach Angaben der Her-steller 1‰ vom Skalenendwert, nach [6.10]

0,1…0,2 mbar0006 · 100% .Ablesewert in mbar

Ein an einer Schwimmglocke aufgehängterGlasstab mit eingeätzter Skala bewegt sich indem mit Sperrflüssigkeit gefüllten zentralenRohr analog zum anliegenden Differenzdruckp1 – p2 auf und nieder. Durch die Optik wirdein Ausschnitt der Skala stark vergrößert aufeine Mattscheibe projiziert, wo der Messwertan einer Strichmarke mit Nonius abgelesenwerden kann.

Sperrflüssigkeit Messbereich Messunsicherheit

1…2 mmWasser 0 < D p < 0,2 · 105 Pa ±

00021¥ 100%

Ablesewert in mm

1…2 mmQuecksilber 0 < D p < 0,2 · 106 Pa ±

00021¥ 100%

Ablesewert in mm

Tabelle 6.3 Messbereiche und Messunsicherheiten von U-Rohr-Manometern

Bild 6.7 Gefäßmanometer

Mit Quecksilber gefüllte Gefäßbarometer[6.1], z.B. Stationsbarometer nach DIN 8896,werden zur genauen Messung des Luft-druckes benutzt.

Gefäßmanometer oder Gefäßbarometereignen sich als Präzisionsgeräte auch zur Kali-brierung oder Eichung anderer Druckmess-geräte, die weniger genau arbeiten.

Für weniger genaue Messungen in Laborund Betrieb werden anstelle der sehr teuren

Druckmessung 369

und empfindlichen Präzisionsgeräte nach wievor die wesentlich preiswerteren Schrägrohr-manometer (Bild 6.9) verwendet, vor allemauch, da sie ohne großen Aufwand transpor-tiert werden können und sich zur Überprü-fung elektronischer Druckmessgeräte der glei-chen Genauigkeitsklasse eignen.

Durch Schräglegen des engen Schenkelswird ein relativ großer Messausschlag l, auchbei kleinen Differenzdrücken p1 – p2 erreicht,

Bild 6.8Betz-Präzisionsmanometer

wobei der Pegel der Sperrflüssigkeit im erwei-terten Gefäß nur um den kleinen Betrag h1 ab-sinkt.

Zwischen Messausschlag l und Druckdiffe-renz p1 – p2 besteht bei gasförmigen Fluidend.h. rSp >> rFl folgender formelmäßiger Zu-sammenhang:

p1 – p2 = rSp · g · h = rSp · g · (h1 + h2)

h2A1 · h1 = A2 · l = A2 · 0sin aA2 h2h1 = 5 · 9A1 sin a

A2 1p1 – p2 = rSp · g · h2 · �1 + 5 · 9�A1 sin a

h2 = l · sin aA2p1 – p2 = rSp · g · �sin a + 5� · lA1

144424443Gerätekonstante KG

p1 – p2 = KG · l (Gl. 6.5)

In [6.10] wird für Schrägrohrmanometer einMessbereich von 0…2000 Pa und eine Mess-

0,5 mm unsicherheit von 0003 · 100%

Ablesewert in mmangegeben.


Weitere, in der Praxis immer seltener ver-wendete Flüssigkeitsmanometer, wie z.B.Mehrflüssigkeitsmanometer, Schwimmerma-nometer, Ringwaagen, Tauchglocken- undTauchsichelgeräte, sind u.a. in [6.3, 6.4 und6.11] beschrieben.

6.1.4 Kolben-Druckmessgeräte

Das Messprinzip eines Kolbenmanometers be-ruht auf dem Druckfortpflanzungsgesetz vonPASCAL (siehe Abschnitt 2.2.3.1), die Konstruk-tion der Geräte ist mit der hydraulischenPresse vergleichbar.

Ein in einem Zylinder mit sehr engem Spielgeführter Kolben wird mit geeichten Gewich-ten gemäß dem am Zylinder anliegendenDruck p belastet (Bild 6.10). Um die Reibunggering zu halten, wird der Kolben meist in Ro-tation versetzt.

Der zu messende Druck p ergibt sich ausKolbenfläche, Kolbengewicht und Messge-wicht:

GKolben + GMp = 082 (Gl. 6.6)AKolben

Zur genauen Berechnung des Druckes p wer-den von den Geräteherstellern exakte Formelnangegeben, die auch den hydrostatischen Auf-

Bild 6.9Schrägrohrmanometer

trieb des Kolbens, die Reibung, Kompressibi-lität und Temperatur der Sperrflüssigkeit, so-wie die Stauchung des Kolbens und die Deh-nung des Zylinders berücksichtigen.

Kolbenmanometer sind sehr genaue Präzi-sionsgeräte, die für genaue Labormessungenoder als Eichnormale bzw. Kalibriergeräte ein-gesetzt werden.

Nach [6.3, 6.4, 6.11 und 6.12] reichen dieMessbereiche bis zu vielen 1000 bar und betra-gen die Messunsicherheiten

± 5 · 10–2% bei Standardgeräten,± 10–2% bei Präzisionsgeräten.

Bei einfachen, preiswerten Betriebsmessgerä-ten, bei denen der Kolben nicht durch Ge-wichtsstücke belastet wird, sondern gegeneine Feder drückt, ist die Messunsicherheitviel höher und liegt im Bereich von 1…5%vom Skalenendwert [6.11].

In [6.3, 6.4 und 6.12] ist der konstruktiveAufbau und die Wirkungsweise der einzelnenGeräte beschrieben und weiterführende Lite-ratur angegeben.

Druckmessung 371

6.1.5 Federelastische Manometer

Federelastische Manometer haben wegen deseinfachen Aufbaus, der kleinen, robustenBauweise und des sehr großen Einsatzberei-ches (0,6 mbar…10000 bar) eine große Ver-breitung in der industriellen Messtechnik ge-funden und sind nach wie vor sehr häufigeingesetzte preiswerte Betriebsinstrumente.Die Verwendung von Präzisionsgeräten imLaborbereich ist allerdings in letzter Zeitzurückgegangen.

Federelastische Manometer eignen sich zurMessung von Überdrücken, Unterdrückenund Absolutdrücken.

Die hauptsächlichen Nachteile dieser Ma-nometerart sind die erforderliche Einzelei-chung mittels Eichnormal, die begrenzte Ge-nauigkeit, insbesondere auch der sog. Tempe-raturfehler sowie die eingeschränkte Überlast-barkeit, die aber durch den Einbau besondererÜber- oder Unterdruckschutzvorrichtungengewährleistet werden kann.

Das Messprinzip besteht darin, dass sichunter der Wirkung des zu messenden Druckesein federelastisches Messglied verformt unddiese Verformung (Wegänderung) über einenÜbertragungsmechanismus in die Schwenk-bewegung (Drehwinkel) eines Zeigers umge-wandelt wird.

Von den vielen in der Praxis gebräuchli-chen und z.B. in [6.3 und 6.11] ausführlich be-schriebenen Federausführungen werden hieraus Platzgründen nur die meist als Bourdon-Feder ausgeführte Rohrfeder im Rohrfeder-manometer (Bild 6.11) und die meist gewelltePlattenfeder im Plattenfedermanometer (Bild6.12) erwähnt.

Die in [6.1] beschriebenen Dosenbarometerenthalten als Messglied eine Kapselfeder, dieim Innenraum evakuiert ist, sodass damit derabsolute Luftdruck gemessen werden kann.Dosenbarometer werden als Zeigerbarometeroder als Barografen, d.h. schreibende und re-gistrierende Geräte ausgeführt.

In [6.3] sind 25 Literaturstellen zitiert, indenen Wirkungsweise, Auslegung und Be-rechnung der verschiedenen federelasti-schen Messglieder ausführlich beschriebenwerden.

Bild 6.10 Kolbenmanometer (Prinzip)


6.1.6 Elektrische Druckmessgeräte

6.1.6.1 Einleitung

Zur Messung von sehr großen oder sehr klei-nen Drücken, sowie von zeitlich mit hoherFrequenz oszillierenden Drücken eignen sichDruckmessgeräte mit einem auf einem elektri-schen Effekt beruhenden Messprinzip besserals Flüssigkeitsmanometer oder federelasti-sche Manometer, insbesondere auch, da siekompakt und Platz sparend bauen und ein di-rektes elektrisches Ausgangssignal abgeben,das für Automatisierungsvorgänge oder EDV-Auswertung geeignet ist.

Die Anzeigegenauigkeit derartiger Geräteliegt meistens etwas niedriger als diejenigevon Flüssigkeitsmanometern oder Präzisions-federmanometern.

Das Messprinzip der meisten elektrischenDruckmessgeräte beruht darauf, dass einedruckbedingte Form- oder Wegänderung ei-nes elastischen Messgliedes, z.B. einer Mem-bran oder eines Biegebalkens in eine elektri-sche Größe, z.B. eine Spannung umgewan-delt, verstärkt und angezeigt bzw. weitergelei-tet wird. Bei den meisten Geräten bestehtdabei die Notwendigkeit der Versorgung mitelektrischer Hilfsenergie.

Aus Platzgründen werden nur die wichtigs-ten und bekanntesten elektrischen Druckmess-verfahren kurz beschrieben und im Übrigenfür ein vertieftes Studium auf die angegebeneLiteratur und die Publikationen der Geräte-hersteller verwiesen.

6.1.6.2 Widerstandsdruckmesser

Der Ohm’sche Widerstand eines prismati-schen elektrischen Leiters beträgt:

lR = r · 3 (Gl. 6.7a)

A

r spezifischer Widerstandl LängeA Querschnitt

Der Messeffekt des Drucksensors ist die aufden Widerstand R bezogene Widerstands-

Bild 6.11 Rohrfedermanometer (nach Fa. AlexanderWiegand, Klingenberg/Main)

Bild 6.12 Plattenfedermanometer (nach Fa. Alexander Wiegand, Klingenberg/Main)

änderung dR infolge einer Verformung desKörpers:

dR dr dl dA6 = 6 + 5 – 6 (Gl. 6.7b)R r l A

Der erste Term auf der rechten Gleichungs-seite dr/r stellt die Änderung des spezifi-schen Widerstandes durch die Verformungdar und wird als piezoresistiver Effekt be-zeichnet. Das 2. und 3. Glied von Gleichung6.7b beschreibt die Widerstandsänderung in-folge der elastischen Längen- und Quer-schnittsänderung des Widerstandskörpers.

Bei kleinen und mittleren Drücken kanndie direkte Druckwirkung auf Widerständegemäß Gleichung 6.7b nicht mehr hinrei-chend genau gemessen werden, weshalb mandann für diese Druckbereiche zur Dehnmess-streifentechnik übergeht.

In [6.2] ist sowohl die direkte Dehnmess-streifentechnik beschrieben, bei der Dehnmess-streifen in Brückenschaltung direkt auf eineMessmembran aufgeklebt oder aufgedampftwerden, als auch die indirekte Messmethode,bei der der Druck über eine Membrane odereinen Federbalg in eine Stellkraft umgeformtwird, die mittels Dehnmessstreifen auf einemFormteil, z.B. Biegebalken, gemessen und inein elektrisches Signal umgeformt wird.

Die Dehnmessstreifentechnik ermöglichtden Bau kleiner Druckmessgeräte mit hoherMessgenauigkeit, großer Systemfestigkeit undzufriedenstellender Langzeitstabilität durchdie moderne Dünnfilm- und Aufdampftechnik.

In [6.4] ist eine Tabelle mit gängigen Dehn-messstreifen-Druckmessgeräten verschiede-ner Hersteller enthalten.

6.1.6.3 Kapazitive Druckaufnehmer

Die Kapazität C eines Plattenkondensators,der das Messglied einer Druckmesszelle bil-det, beträgt bekanntlich

AC = e0 · er · 4 (Gl. 6.8)

d

Druckmessung 373

eo Dielektrizitätskonstante des leeren Raumes15 · 10–11 F/cm36

er Dielektrizitätskonstante des Fluidszwischen den Platten

A Plattenfläched Abstand zwischen den Platten

Bei den meisten kapazitiven Drucksensorenändert sich in Abhängigkeit vom Druck derPlattenabstand d, seltener die Fläche A beisog. Drehwinkelgebern.

Die Druckmesszellen werden in 1-Kam-mer- und 2-Kammer-Ausführung hergestellt,so dass man für jedes Fluid und jede Druckarteinen geeigneten Sensor auswählen kann. Ge-nauere Beschreibungen finden sich u.a. in[6.2].

6.1.6.4 Induktive Druckaufnehmer

Bei induktiven Druckaufnehmern wird dieAuslenkung eines federelastischen Messglie-des, z.B. einer Membran, auf einen Weichei-senkern übertragen, dessen Position von ei-nem Differentialtransformator oder einerDifferentialdrossel erfasst und in Form einerelektrischen Spannung U angezeigt wird (Bild6.13).

Bild 6.13 Schaltung eines Differentialtransforma-tor-Druckgebers (nach [6.2] und [6.11])

Weitere Einzelheiten können u.a. in [6.2 bis6.4 und 6.11] nachgelesen werden.

6.1.6.5 Piezoelektrische Druckaufnehmer

Piezoelektrische Druckaufnehmer nutzen alsMessprinzip den 1880 von den französischenPhysikern und Brüdern PAUL JACQUES

(1855–1941) und PIERRE CURIE (1859–1906)entdeckten und beschriebenen Piezoeffekt.

Eine zum Druck p proportionale Kraft F =p · A wirkt auf einen piezoelektrischen Kris-tall, beispielsweise aus Quarz, Turmalin oderBariumnitrat und erzeugt eine elektrischeAufladung der Kristalloberfläche (Bild 6.14).

Die Spannung liegt je nach verwendetemKristall und konstruktiver Bauweise des Sen-sors im Bereich von 10…500 mV/bar undmuss deshalb normalerweise noch verstärktwerden.

Dieser Sensor benötigt keine elektrischeHilfsenergie!

Dieses Messverfahren eignet sich wenigerzur Messung statischer Drücke, sondern viel-mehr zur Messung rasch veränderlicherDrücke, wie sie z.B. im Brennraum von Kol-benverbrennungsmaschinen auftreten [6.17].

Weitere Literatur über elektrische Druck-messgeräte findet sich in [6.13 bis 6.16].


6.2 Geschwindigkeitsmessung

6.2.1 Rotierende Stromwegmesser

Rotierende Stromwegmesser messen die ört-liche Strömungsgeschwindigkeit über dieDrehzahl eines Schalenkreuzes oder einesaxialen Flügelrades.

Die bekanntesten Geräte sind das Schalen-kreuzanemometer zur Messung der Windge-schwindigkeit in der Meteorologie [6.18], dasFlügelradanemometer zur Messung der Strö-mungsgeschwindigkeit in Luft oder Gasenund die hydrometrischen Flügel zur Ge-schwindigkeitsmessung in Wasser.

Aufbau und Funktion des hydrometrischenFlügels wurden zum ersten Mal vom deut-schen Wasserbauingenieur REINHARD WOLT-MAN (1757–1837) in seiner 1790 in Hamburgpublizierten Schrift «Theorie und Gebrauchdes hydrometrischen Flügels» beschrieben[4.31].

Der Zusammenhang zwischen Geometrieund Drehzahl des Flügelrades und der zumessenden Strömungsgeschwindigkeit lässtsich einfach herleiten (Bild 6.15):

a) reibungsfreier Fall ohne Berücksichti-gung der Fluiddichte

u = p · D · n

u = w · tana

p · D · n = w · tana

tanan B ntheor = w · 9 (Gl. 6.9)

p · D

Eigentlich müsste anstatt des Außendurch-messers D ein «repräsentativer, mittlererDurchmesser» eingesetzt werden.

Die theoretische Drehzahl ntheor ist linearproportional zur Strömungsgeschwindigkeitw (Bild 6.16a).

b) reibungsbehaftete Lagerung und realeStrömung

Infolge mechanischer Lagerreibung und derreibungs- und ablösungsbehafteten realenUmströmung der Flügelblätter, sowie desEinflusses der Ummantelung bzw. des indu-

Bild 6.14 Piezoelektrische Druckmessung (nachFa. Alexander Wiegand, Klingenberg/Main)

zierten Widerstandes der freien Flügelenden(vgl. Abschnitt 4.11.7) nicht ummantelter Flü-gel und der Dichte des Strömungsfluids liegtdie tatsächlich gemessene Drehzahl nM unterder theoretischen Drehzahl ntheor nach Glei-chung 6.9, insbesondere bei kleinen Strö-mungsgeschwindigkeiten. Hinzu kommt,dass rotierende Stromwegmesser eine be-stimmte Anlaufgeschwindigkeit wan zurÜberwindung der Ruhereibung in der Lage-rung benötigen, um sich in Drehung zu ver-setzen. Diese Anlaufgeschwindigkeit wan istübrigens ein bisschen größer als die Auslauf-geschwindigkeit waus , bei der das Flügelradoder Schalenkreuz bei abnehmender Strö-mungsgeschwindigkeit wieder zum Stehenkommt.

Diese Störungseinflüsse erfordern eine ge-naue Eichung der Geräte in einem Windkanalbzw. Wasserschleppkanal beim Geräteherstel-ler bzw. in speziell eingerichteten, meist auchzertifizierten Laboratorien.

Da die Schmiermittel der Lagerung verhar-zen können oder andere Beschädigungen, z.B.durch Korrosion, Schlageinwirkung, Ver-schleiß durch Festkörper (z.B. Sand oder

Geschwindigkeitsmessung 375

Staub) auftreten können, müssen die Geräte inbestimmten Zeitabständen überprüft und evtl.nachgeeicht werden.

Berücksichtigt man die geschilderten Ein-flüsse, kann Gleichung 6.9 wie folgt erweitertwerden:

u = K · (w – wan) · tana = p · D · nM

p · Dw – wan = 95 · nMK · tana

p · Dw = 95 · nM + wan (Gl. 6.10)

K · tana

w zu messende reale Strömungsgeschwindigkeit

D Flügelradaußendurchmessera Neigungswinkel der FlügelblätterK Beiwert zur Berücksichtigung von Lager-

reibung, Viskosität und Dichte des Strö-mungsfluids, der Mittelung des Durch-messers, sowie der Geometrie des Strö-mungsfeldes um den Flügel (K < 1)

nM gemessene reale Drehzahl

Bild 6.15Flügelradanemometer

wan Anlaufgeschwindigkeitwan 0,1…0,3 m/s bei den üblichen Flügelradanemometern für kalte Luftwan 0,03…0,06 m/s bei hydrometrischen Flügeln

In Bild 6.16a ist die reale Funktion nM = f(w),die das Ergebnis von Eichversuchen ist, miteingetragen.

nIn der relativen Darstellung 4 = f (w) in

w nMBild 6.16b erkennt man, dass der Wert 5 fürw

große Strömungsgeschwindigkeiten w >> wan

praktisch konstant bleibt. Die beiden verschie-den verlaufenden Kurvenzüge stehen für un-terschiedliche Flügelgeometrien.

In [6.19 und 6.20] sind beispielsweise dieEichkurven u = f (w) eines Flügelradanemome-


ters abhängig von der Fluiddichte r, die in ei-nem Intervall von 1:100 variiert, dargestellt.

Nach [6.4] kann der Dichteeinfluss bei nichtzu großen Dichteunterschieden mit folgenderNäherungsformel korrigiert werden:

6wB rE5 ª f5 (Gl. 6.11)wE rB

wB Strömungsgeschwindigkeit im Betrieb,d.h. bei konkreter Messung

wE Strömungsgeschwindigkeit bei Eichung rB Dichte des Fluids bei der MessungrE Dichte des Fluids bei der Eichung

Übrigens zeigen Flügelradanemometer bzw.hydrometrische Flügel bei Rechts- und Links-lauf unterschiedliche Werte an, d.h., sie müs-sen immer richtig, d.h. nach Herstelleranga-ben angeordnet werden.

Bei pulsierenden, böigen, schwallartigenoder hochturbulenten Strömungen zeigen ro-tierende Stromwegmesser zu hohe Werte an,sind also für genaue Messungen in insta-tionären Strömungen nur mit großen Ein-schränkungen einsetzbar!

Der durch Pulsation zusätzlich auftretendeMessfehler kann nach [6.4] wie folgt geschätztwerden:

wmax – wmin2 n

ePuls = 100 ��1 + A · B · �00� � – 1�3w(Gl. 6.12)

ePuls zusätzlicher Messfehler in %A Beiwert zur Berücksichtigung der

Pulsationsform (A = 0…0,25)B Frequenzgang des Messgerätes

(B = 0…1) n ª 1 für Flügelräderwmax größte, gemessene

Strömungsgeschwindigkeitwmin kleinste, gemessene

Strömungsgeschwindigkeit3w mittlere, gemessene

Strömungsgeschwindigkeit

Bild 6.16 Drehzahlverhalten von rotierenden Stromwegmessern

Rotierende Stromwegmesser weisen bei Schräganströmung einen deutlich größerenMessfehler auf, bei hydrometrischen Messflü-geln in der Ausführung als sog. Komponen-tenflügel kann bei Schräganströmung bis zu45° noch mit hinreichender Genauigkeit dieaxiale, d.h. in Achsrichtung fallende Geschwin-digkeitskomponente gemessen werden.

6.2.2 Staurohre und Sonden

6.2.2.1 Druckbegriffe in strömenden Fluiden

Vor der Beschreibung der verschiedenen Aus-führungen von Staurohren und Sonden wer-den in Anlehnung an Abschnitt 4.3.2.3 undAbschnitt 5.3.2 nochmals die Druckbegriffe inströmenden Fluiden kurz zusammengestellt:

a) Inkompressible Strömungen (r = konst.)


Aus der Energiegleichung 4.19

rr · g · z + p + 3 · w2 = konst.

214243 123statischer dynamischer

Druck Druck

lässt sich für eine horizontale Stromlinie, dieim Staupunkt SI endet, folgender Zusammen-hang zwischen Drücken und Geschwindigkei-ten herstellen:

r rp + 3 · w2 = pSI

+ 3 · w 2St2 2

wSt = 0 (im Staupunkt SI)

pSIB pt B pPitot

bzw. allgemein formuliert:

rpt = pPitot = p + 3 · w2 = p + pdyn (Gl. 6.13)

2

Hieraus lässt sich die bekannte Beziehung fürdie Strömungsgeschwindigkeit w ableiten(Gleichung 4.26):

rpdyn = 3 · w2 = pt – p

2

03 062 · pdyn 2 (pt – p)w = f02 = f05 (Gl. 6.14)

r r

Hinweis: Der gemessene (angezeigte) Stau-druck pdyn, an (= Pitotdruck ppitot – statischer

Bild 6.17 Staupunktströmung

Bild 6.18Einfluss der Reynolds-Zahl (Viskosität)auf den Pitot-Druck von Totaldruckson-den mit Kreisquerschnitt (nach [6.21])

Druck p) am Kopf einer Sonde weicht in einer realen, reibungsbehafteten viskosen Strömung

rvom Staudruck pdyn = 3 · w2 (auch kineti-

2scher Druck genannt) in der ungestörten Strö-mung vor der Sonde mehr oder minder starkab, was bei kleinen Sonden und niedrigenStrömungsgeschwindigkeiten zu Messfehlernführt (Bild 6.18) [6.19, 6.21].

b) Kompressible Strömungen (r = f (p, T))


k – 1 k6k – 1pdyn = pt – p = ��1 + 8 · M2� – 1� · p

2(Gl. 6.16)

Aus der Definition der Schallgeschwindigkeitin Gleichung 5.1

9p · ka = f8r

p · k w2

a2 = 8 = 6r M2

rkann der kinetische Druck 3 · w2 durch Er-

2satz von p in Gleichung 6.16 eingeführt wer-den.

pdyn = pt – p (Gl. 6.17)2 k – 1 k

5k – 1 r= 0 ��1 + 8 · M2� – 1� · 3 · w2

k · M2 2 2

Aus dieser Beziehung erkennt man, dass sichder dynamische Druck pdyn = pt – p in einerkompressiblen Strömung vom kinetischen

rDruck 3 · w2 unterscheidet, und zwar umso

2mehr, je größer die Mach-Zahl M wird.

Durch Umformung von Gleichung 6.17 er-hält man die Formel zur Bestimmung derStrömungsgeschwindigkeit w aus dem gemes-senen Druckunterschied pt – p:

009902k · M2 · (pt – p)w = f00009 (Gl. 6.18)

k – 1 k5k – 1r · ��1 + 9 M2� – 1�2

Für Unterschallgeschwindigkeiten w < a bisetwa M = 0,8…0,9 kann die Strömungsge-schwindigkeit w mit der Näherungsgleichungvon PRANDTL (Gleichung 6.19) hinreichend ge-nau bestimmt werden:

0082 · (pt – p)w ª f0205 (Gl. 6.19)

r · (1 + 0,25 M2)

Bild 6.19Staupunktströmung bei Überschallströmung

In Gleichung 5.28 ist der Totaldruck in einerisentropen kompressiblen Strömung in Funk-tion des statischen Druckes und der Mach-Zahl definiert:

k – 1 k6k – 1pt = �1 + 8 · M2� · p (Gl. 6.15)

2

mit der in den Gleichungen 5.1 und 5.2 einge-führten Mach-Zahl M:

w wM = 3 = 06

a d95k · Ri · T

Durch Erweitern erhält man aus Gleichung6.15 folgenden Ausdruck für den Staudruckpdyn = pt – p:

Bei Mach-Zahlen M > 1 tritt ein senkrechterVerdichtungsstoß auf. Der Pitotdruck pPitot imStaupunkt SI beträgt unter Berücksichtigungdes Totaldruckverlustes im Stoß [6.19, 6.21]:

k + 1pPitot = 8 · M2 (Gl. 6.20)

2(k + 1)2 · M2 1

5k – 1· �0905� · p4 · k · M2 – 2 (k – 1)

Die Differenz zwischen Pitotdruck und stati-schem Druck wird als angezeigter dynami-scher Druck pdyn, an bezeichnet.

Der Quotient aus pdyn, an und dem kineti-r

sche Druck pkin = 3 · w2 ist größer als 1 und2

eine Funktion der Mach-Zahl M und desIsentropenexponenten k (Bild 6.20).

6.2.2.2 Totaldrucksonden

Die einfachste geometrische Form einer Total-drucksonde ist ein rechtwinklig gekrümmtesRohr, dessen Öffnungsbohrung in Strömungs-richtung ausgerichtet wird (Bild 4.24). Dieseseinfache Staurohr wurde, ähnlich wie in Bild4.25 dargestellt, bereits 1732 von dem franzö-sischen Wasserbauingenieur HENRI DE PITOT

(1695–1771) in seiner Schrift [6.22] beschrie-ben, weshalb die Totaldrucksonde auch als Pi-tot-Rohr bezeichnet wird (siehe auch [4.31,4.96 und 4.137]).


In [6.19, 6.21 und 6.23] sind die gebräuch-lichsten Sonderkopfformen

❑ Halbkugelkopf nach PRANDTL

❑ Kegelstumpfkopf nach BRABEE

❑ Ellipsoidkopf nach NPL❑ Zylinderkopf

dargestellt und beschrieben. Die Kopfform entscheidet ganz wesentlich

über die Richtungsempfindlichkeit der Total-drucksonde.

Die Einflüsse der Wandnähe, d.h. des Ge-schwindigkeitsgradienten an der Wand, derViskosität, des Turbulenzgrades sowie vonDruckpulsationen auf die Messgenauigkeitvon Totaldrucksonden sind u.a. in [6.19 und6.21] beschrieben.

Moderne Ausführungen von Totaldruck-sonden werden direkt in der Bohrung mit ei-nem Miniaturdruckaufnehmer bestückt, sodass der Totaldruck, auch mit Pulsationen,sehr genau gemessen, weitergeleitet und ana-lysiert werden kann, wodurch der durch dieÜbertragung des Totaldruckes in einer Druck-messleitung zum Druckmessgerät eventuellzusätzlich auftretende Fehler vermieden wird[6.24, 6.25].

6.2.2.3 Statische Sonden

Statische Sonden dienen zur Messung des sta-tischen Druckes in strömenden Fluiden undwerden in folgenden Ausführungen herge-stellt und eingesetzt:

a) Rohrsonden, deren Achse in Strömungs-richtung gehalten wird (Bild 4.23) und de-ren Messbohrungen seitlich an der Zylin-derwand in einem bestimmten Abstandvom Sondenkopf angebracht sind. Die Richtungsempfindlichkeit der stati-schen Rohrsonde ist größer als die der To-taldrucksonde (Pitot-Rohr), weshalb derWinkelbereich nicht über Da = ±5° hinaus-gehen sollte. In [6.19 und 6.21] wird überden Einfluss von Geometrie, z.B. Größe,Form und Lage der Druckbohrungen, vonReynolds-Zahl und Mach-Zahl berichtet.

b) Zylindersonden (Bild 6.21) bei denen dieDruckbohrungen paarweise gegenüberlie-

Bild 6.20 Angezeigter dynamischer Druck in Funk-tion der Mach-Zahl (nach [6.21])

gend am Zylindermantel angebracht sind.Diese Sonden sind neigungsempfindlichund stärkere Schräganströmungen über ±5° erhöhen deutlich den Messfehler [6.4,6.19, 6.21]. In [6.4] wird empfohlen, denBohrungsdurchmesser d ca. 0,1 · D, jedochnicht größer als 3 mm, zu wählen. Für denAbstand a der Bohrungen vom Sondenbo-den wird a = 0,78 · D vorgeschlagen.

c) Scheibensonden (Bild 6.22), die in 3-di-mensionalen Strömungen größerer Aus-dehnung, z.B. in Windkanälen oder großenVentilator-Kammerprüfständen gelegent-lich zur Messung des statischen Druckeseingesetzt werden [6.19, 6.21].Scheibensonden sind relativ unabhängigvon Änderungen der Reynolds-Zahl unddes Turbulenzgrades, reagieren aber emp-findlich gegen Änderungen des «Anstell-winkels» g gegen die Nullanströmungs-richtung, d.h. g sollte möglichst 0 sein.

In [6.19 und 6.21] werden weitere statischeSonden, wie Kegelsonden, Düsensonden,Schleppsonden und Wandsonden beschrie-ben. Weiterhin finden sich Angaben über dieEinflüsse des Sondeneinbaus, der Schrägan-strömung, der Reynolds-Zahl, der Mach-Zahlund des Turbulenzgrades auf den Messfehler.


6.2.2.4 Staudrucksonden (Staurohre)

Kombiniert man ein Pitot-Rohr und eine stati-sche Rohrsonde nach Bild 4.26, erhält man eineStaudrucksonde, mit der der dynamischeDruck pdyn = pt – p direkt gemessen und darausdie Strömungsgeschwindigkeit w aus Gleichung6.14, 6.18 oder 6.19 bestimmt werden kann.

Eine der bekanntesten Ausführungen vonStaurohren ist die Sonde mit Halbkugelkopf,wie sie L. PRANDTL (1875–1953) vorgeschlagenhat.

Gelegentlich werden auch Staurohre mitKegelkopf oder Ellipsenkopf eingesetzt [6.19,6.21].

Die Kopfform hat einen großen Einfluss aufdie Messfehler, verursacht durch Änderungenin der Anströmrichtung, der Reynolds-Zahlund der Mach-Zahl.

Aus dem Verlauf der Drücke und Strö-mungsgeschwindigkeiten im unmittelbarenUmfeld der Sonde [6.26] erkennt man, dassdie Wahl der Kopfgeometrie, insbesondere dieGröße, Zahl und Anordnung der Druckboh-rungen, bzw. Druckschlitze, immer einenKompromiss darstellt hinsichtlich Herstellungder Sonde und ausreichender Messgenauig-keit über einen möglichst großen Einsatzbe-reich hin.

Bild 6.21 Zylindersonde Bild 6.22 Scheibensonde

Je nachdem, ob die Staudrucksonde in ei-nem freien Strömungsfeld (Bild 4.26) oder ineiner Rohrströmung (Bild 6.23) eingesetztwird, verursacht sie mehr oder mindergrößere Störungen des Strömungsfeldes, dieauch zu entsprechenden Messfehlern führen.


Besonders empfindlich reagieren Stau-rohre auf Schräganströmung, wie in Bild 6.24 für eine Prandtl-Stausonde demonstriertwird.

Nach [6.21] ist der Reynolds-Zahl-Einflussfür Re > 300 und Mach-Zahl-Einfluss für M< 0,7

Bild 6.23Prandtl-Rohr mit angeschlossenenManometern (nach Fa. Wilh.Lambrecht KG, Göttingen)

Bild 6.24Fehler bei Schräganströmung einer Stausonde (nach [6.4])

relativ gering und kann bei praktischen Mes-sungen meist vernachlässigt werden.

Bei einfachen Betriebsmessungen in Luft-kanälen werden gelegentlich noch sog. Stau-scheiben-Windmesser eingesetzt, bei denendas bei normalen Staurohren äußerlich ange-ordnete Differenzdruckmessgerät durch eineStauklappe ersetzt wird, die ins Gerät inte-griert ist und deren Stellung die Strömungsge-schwindigkeit für eine bestimmte Fluiddichtedirekt anzeigt. Liegt eine andere Fluiddichtevor, muss der angezeigte Wert entsprechendkorrigiert werden.

Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeitenentstehen auch sehr kleine Differenzdrückepdyn ~ w2, die nur sehr schwer genau gemessenwerden können.

Durch Verwendung sog. Staudruckmulti-plikatoren, die meist die Form einer Venturi-Düse (Bild 4.18) haben, kann eine Druckver-stärkung bis zum 6-fachen des normalen Stau-

rdruckes 4 · w2 erreicht werden, die eine ge-

2genauere Messung der Strömungsgeschwin-digkeit über den vergrößerten Differenzdruckzwischen dem kleinen und großen Sonden-querschnitt ermöglicht.

In [6.4] sind derartige Staudruckmultipli-katoren ausführlich beschrieben.

6.2.2.5 Strömungsrichtungssonden

Strömungsrichtungssonden dienen zur Mes-sung von Strömungsgeschwindigkeiten in ei-nem 3-dimensionalen oder ebenen Strö-mungsfeld und werden deshalb auch als Strö-mungsvektorsonden oder als Sonden fürMehrkomponentenmessungen bezeichnet.

In [6.21, 6.19 und 6.3] werden die verschie-denen geometrischen und konstruktiven Aus-führungen von Strömungsvektorsonden be-schrieben und abgebildet:

❑ Fingersonden,❑ Zylindersonden,❑ Kugelsonden,❑ Halbkugelsonden,❑ Kegelsonden,❑ Keilsonden;


oder nach der Anzahl der Druckbohrungen:

❑ 2-Loch-Sonden,❑ 3-Loch-Sonden,❑ 4-Loch-Sonden,❑ Mehrlochsonden.

2- und 3-Loch-Sonden dienen zur Vermessungebener Strömungsfelder, 4- und Mehrlochson-den zur Vermessung räumlicher Strömungs-felder.

Im Prinzip existieren bezüglich der Son-denpositionierung 2 Messverfahren:

a) Bei feststehender Sonde wird die in einerEbene liegende oder auch die räumlicheStrömungsrichtung über die Druckdiffe-renzen an korrespondierenden Druckboh-rungen anhand von Eichkurven bzw. mit-tels EDV-Programmen bestimmt.

b) Eine kardanisch schwenkbare Sonde wirdsolange räumlich verstellt, bis alle korre-spondierenden Differenzdrücke Dpi zu 0werden (Nullabgleichsmethode). Aus derräumlichen Stellung der Sonde kann dannauf die räumliche Richtung des Strömungs-geschwindigkeitsvektors geschlossen wer-den.Auch Kombinationen aus beiden Messver-fahren werden in der Praxis angewandt.

Die Kalibrierung bzw. Nachprüfung der Son-den erfolgt hauptsächlich in speziellen Wind-kanälen abhängig von Reynolds- und Mach-Zahl oder auch in speziellen Wasserkanälen[6.23].

Durch die endliche Distanz der Druckboh-rungen, insbesondere bei größeren Sondenab-messungen, entstehen in Strömungsfeldernmit großen Geschwindigkeitsgradienten, z.B.in Randzonen an Wänden, größere Messfeh-ler. Deshalb sollten Sondenköpfe so klein wiemöglich ausgeführt werden, wobei dann aller-dings die Herstellung und winkelgenaue Posi-tionierung der dann ebenfalls sehr kleinenDruckbohrungen große Schwierigkeiten be-reiten. Halbkugel- und Kegelkopfsonden las-sen sich dabei leichter genau herstellen als Ku-gelkopfsonden.

U.a. in [6.29 und 6.30] finden sich detail-lierte Angaben und weitere Literaturstellenüber die Kalibrierung von Vektorsonden, in

[6.31] wird die Ermittlung von Korrekturfak-toren für den Wandeinfluss (Bild 6.25) be-schrieben. Auch in der weiter unten aufge-führten Literatur [6.31 bis 6.36] finden sichAusführungen zur Kalibrierung von Sondenund den Einfluss von Reynolds- und Mach-Zahl bei den verschiedenen geometrischenSondenformen. Von den zahlreichen in derFachliteratur beschriebenen bzw. von ver-schiedenen Herstellern angebotenen Vektor-sonden werden eine kleine Auswahl vorge-stellt:

a) ZylindersondenIn [6.27] wird eine 6-Loch-Zylindersonde mit2 Messebenen (Bild 6.26) einschließlich ihrerKalibrierung beschrieben, die sich verhältnis-mäßig einfach in einer gut eingerichteten fein-mechanischen Werkstatt herstellen lässt. Auchdie Kalibrierung in einem Windkanal, in [6.27]wird ein Freistrahlkanal benutzt, ist ver-gleichsweise unkompliziert, da die Sonde nurum ihre Achse gedreht wird. Der Autor von [6.27] gibt an, dass im Bereich103 < Re < 2 · 105 und M < 0,7 kein Einfluss derReynolds-Zahl auf die Kalibrierwerte auftrat,sodass die Kalibrierkurven nur vom Drehwin-kel und von der Mach-Zahl abhängig sind. In[6.27] sind weitere 6 relevante Literaturstellenzur Sondenmesstechnik aufgeführt. b) 3-Loch-SondeIm Strömungsmaschinenlabor der Fachhoch-schule Heilbronn wird für einfache Messun-gen in annähernd ebenen Strömungsfeldernvon Luftströmungen, z.B. in der Ventilatoren-


technik, die 3-Loch-Sonde der ehemaligen Ae-rodynamischen Versuchsanstalt GöttingenAVA (Bild 6.27) verwendet, die nach der Null-abgleichsmethode die Messung des Strö-mungswinkels a und des Totaldruckes pt er-möglicht. Daraus kann die Strömungsge-schwindigkeit w nach Betrag und Richtungüber das Eichblatt (Bild 6.28) bestimmt wer-den.Eine Bestimmung der Strömungsrichtung beifeststehender, asymmetrisch angeströmterSonde aus den gemessenen Drücken Dp und pt

ist mess- und auswertetechnisch wesentlich

Bild 6.25 Diffusor- und Düsenwirkung in Wandnähe (nach [6.31])

Bild 6.26 6-Loch-Zylindersonde (nach [6.27])


aufwendiger und auch bei kleinen Winkeln aetwas ungenauer als bei Anwendung derNullabgleichsmethode.c) Kegelsonde nach CONRAD

Die ebenfalls von der Aerodynamischen Ver-suchsanstalt Göttingen AVA hergestellte undkalibrierte Kegelsonde nach CONRAD [6.32]enthält 4 Bohrungen am Kegelmantel zur Be-stimmung der Strömungsrichtung (a- und b-Bohrungen), eine zentrale Bohrung in derMitte der Kegelspitze zur Messung des Total-druckes pt und 4 zu einer gemeinsamenDruckmessleitung zusammengefassten Boh-rungen am zylindrischen Sondenteil kurz voreinem Stauwulst zur Messung des statischenDruckes p (Bild 6.29). Mit dieser pneumatischen Vektorsonde lassensich in einem Messpunkt eines räumlichenStrömungsfeldes sowohl die Richtung alsauch der Betrag der Strömungsgeschwindig-keit durch einen kombinierten Messvorgangbestimmen.In [6.33 und 6.34] werden ähnlich aufgebaute5-Loch-Sonden mit Halbkugelkopf beschrie-ben, die teilweise mit einer zusätzlichen NTC-Temperaturmessstelle ausgerüstet sind. d) KugelsondenDie in [6.23] ausführlich beschriebene Kugel-sonde (Bild 6.30) eignet sich ebenso wie die Kegelsonde nach CONRAD zur 3-Komponen-ten-Messung, d.h. zur Bestimmung von Rich-tung und Betrag der örtlichen Strömungs-geschwindigkeit in einem räumlichen Strö-mungsfeld. Nach [6.23] ist im weiten Bereich 2 · 103 ≤ Re ≤ 1,5 · 105 kein Einfluss der Rey-nolds-Zahl festzustellen, d.h. bei der Mess-auswertung auch keine diesbezüglichen Kor-rekturen durchzuführen. In [6.23] werdenauch Kalibriermessungen in einem Wasser-kanal erwähnt und die zugehörige Literatur-stelle zitiert. Mit Kegel- und Kugelsonden werden seit vie-len Jahren im Strömungsmaschinenlabor derFachhochschule Heilbronn zahlreiche Ge-schwindigkeitsfelder, insbesondere an und inVentilatoren, an Wärmetauschern, Filteranla-gen oder in Armaturen vermessen, ähnlichwie es auch in [6.37] ausführlich beschriebenist.

b

a

e

c

d

z

l

a b c d e l z

0,6 2,4 25 5 4 320 100 mm

Bild 6.27 3-Loch-Sonde (aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen)

Bild 6.28 Eichdiagramm einer 3-Loch-Sonde (Aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen)

pt – p

6.2.3 Thermische Sonden

Das Messprinzip des Sensors einer thermi-schen Sonde beruht auf dem Wärmeaustauschzwischen einem elektrisch beheizten Körper,meist einem dünnen Draht oder einem klei-nen Metallfilm und dem umgebenden strö-


menden Fluid. Es besteht ein eindeutiger Zu-sammenhang zwischen der Heizleistung desSensors und der zu messenden Strömungsge-schwindigkeit.

In [6.23] wird die sog. King’sche Formel fürden Zusammenhang zwischen elektrischerHeizleistung I2 · RS und der Strömungsge-

Bild 6.294-Loch-Sonde nach CONRAD

(Aerodynamische VersuchsanstaltGöttingen)

a b c d d1 d2 e

0,8 0,7 2,6 4 7 5,6 13 mml = 470 z = 100

Bild 6.30 Kugelsonden. a) Taylor’sche Richtstaukugel, b) Kugel nach VAN DER HEGGE-ZIJNEN,c) Schwanenhals-Kugelsonde (nach [6.19])

schwindigkeit w für inkompressible Strömun-gen bei hohen Reynolds-Zahlen hergeleitet(Bild 6.31):

I2 · RS = (TS – TF) · (A + B · w0,5) (Gl. 6.21)

I durch den Sensor fließender StromRS Ohm’scher Widerstand des Sensors bei

der Temperatur TS

TS Temperatur des SensorsTF Temperatur des FluidsA Konstanten, die von den physikalischen

Eigenschaften des Fluids abhängen. Bei

B � kleinen Strömungsgeschwindigkeiten,d.h. kleinen Reynolds-Zahlen hängen Aund B auch von der Strömungsgeschwin-digkeit w ab.

w Strömungsgeschwindigkeit

Vom konstruktiven Aufbau und den verwen-deten Werkstoffen her unterscheidet man 2Arten von thermischen Sonden:

a) HitzdrahtsondenHitzdrahtsonden bestehen aus einem odermehreren feinen Hitzdrähten, die zwischen inKeramik gebetteten Haltespitzen durchSchweißen oder Hartlöten aufgespannt sind(Bild 6.32). Die feinen Drähte mit wenigen mmDurchmesser und Längen von wenigen mmbestehen meist aus platinbeschichtetem Wolf-ram. Für hohe Arbeitstemperaturen TS über


300°C werden Platin- oder Platin-Iridium-drähte verwendet. b) HeißfilmsondenDer Sensor von Heißfilmsonden besteht auseinem auf einem Quarzsubstrat aufgedampf-ten kleinen, dünnen Metallfilm. Das Quarz-substrat kann dabei die Form eines dünnenZylinders, eines Kegels, eines Keiles oder ei-ner Kugel haben [6.23]. Der Metallfilm bestehtüblicherweise aus Platin oder Nickel.

Zur Messung der Heizleistung I2 · RS wer-den 2 elektrische Messverfahren angewandt:

a) Konstant-Strom-Anemometer (CCA) Beim Konstant-Strom-Anemometer wird derdurch den Sensor fließende Heizstrom I kon-stant gehalten und die Änderung des Sensor-widerstandes RS über eine Brückenschaltung(Bild 6.32a) über die Spannung U gemessen.Der Abgleich der Brücke erfolgt im ruhendenFluid (w = 0). b) Konstant-Temperatur-Anemometer (CTA) Beim Konstant-Temperatur-Anemometer wirdzur Konstanthaltung der Sensortemperatur IS

der Speisestrom I durch Vertrimmen eines Re-gelwiderstandes nachgeführt, sodass auch derSensorwiderstand RS konstant bleibt (Bild6.32b). Gemessen wird dann der Strom I imProdukt I2 · RS, der gemäß Gleichung 6.21 di-rekt mit der zu bestimmenden Strömungsge-schwindigkeit w korrespondiert.

Die meisten handelsüblichen Seriengerätearbeiten nach dem CTA-Prinzip.

Die bei thermischen Sonden auftretendenMessunsicherheiten können verschiedene Ur-sachen haben:

❑ Die Richtungsempfindlichkeit des Sen-sors, d.h. Abweichungen in den Wärme-übertragungsverhältnissen durch Schrägan-strömung [6.23];

❑ Einfluss der Mach-Zahl, vor allem bei ho-hen Mach-Zahlen;

❑ Einfluss der Reynolds-Zahl, vor allem beikleinen Reynolds-Zahlen;

❑ Zeitverhalten (Trägheit) Hier unterscheiden sich CCA- und CTA-Verfahren merklich. Geräte mit geringer Trägheit werden auchzur Turbulenzforschung eingesetzt, wobeiVolt- und Amperemeter in der Brücken-

Bild 6.31Thermische Sonde (Prinzip) zu Gleichung 6.21


schaltung (Bild 6.32) durch einen Oszillo-graphen ersetzt bzw. ergänzt werden;

❑ Winddruck,❑ Erschütterungen der Sondenhalterung,❑ Staub,❑ Feuchte.

Für einfache Betriebsmessungen in Anlagenund Geräten werden anstelle der empfind-lichen und teuren Hitzdraht- oder Heiß-filmsonden robustere und kostengünstigereMessfühler mit Thermoelementen oder Ther-mistoren verwendet, die die zu messendeStrömungsgeschwindigkeit der Staupunkts-temperatur nach Gleichung 5.15 zuordnen,aber wegen der Abhängigkeit des Sensors vonder Fluidtemperatur TF weniger genaue Mes-sungen erzielen.

Bei Messungen in Flüssigkeiten könnensich Gasausscheidungen am Sensor nachteiligauf die Messgenauigkeit auswirken.

Eine ausführliche Beschreibung der Mess-technik mit thermischen Sonden findet sich in[6.23 und 6.36].

Detaillierte Angaben zur Signalinterpre-tation, Kalibrierung und Fehlerabschätzungvon Hitzdrahtanemometern finden sich in[6.38]. In [6.33] werden Tripelhitzdrahtsondenzur Vermessung von instationären 3-D-Vekto-ren ausführlich beschrieben. Weitere interes-sante Informationen und praktische Hinweisefinden sich in den Literaturstellen [6.39 bis6.44].

6.2.4 Optische Messsonden

Optische Geschwindigkeitsmessgeräte arbei-ten nach verschiedenen physikalischen Prinzi-pien und werden i.A. wegen des großen appa-rativen Aufwandes und der verhältnismäßigkomplizierten und aufwendigen Auswertungnur im Bereich hochwertiger Forschung undEntwicklung u.a. im Strömungsmaschinen-bau, Schiffsbau, Fahrzeugbau, in der Verfah-renstechnik und in der Medizintechnik einge-setzt. Von den bekannten Verfahren [6.23]:

❑ Markierung von Strömungen, ❑ Schlierenverfahren, ❑ holographische Interferometrie,Bild 6.32 Hitzdrahtanemometer

❑ optoelektronische Gitterabtastung,❑ Particle Image Velocimetry (PIV),❑ Laser-Doppler-Anemometer

(LDA oder LDV), ❑ Laser-2-Fokus-Anemometer

(L2F oder LTA)

werden nur die beiden letztgenannten Gerätekurz beschrieben:

Beide Laser-Anemometer arbeiten berüh-rungsfrei und trägheitslos. Sie verfügen übergroße Messbereiche, die auch in den transso-nischen und Überschallbereich hineinreichen.Mit beiden Gerätearten lassen sich 3-dimen-sionale stationäre und instationäre Strö-mungsfelder mit sehr hoher Genauigkeit ver-messen.

Ein weiterer Vorteil der Geräte ist, dass sie nicht kalibriert werden müssen, d.h. sichdadurch auch für die Vermessung von Kali-brierkanälen oder die Kalibrierung andererGeschwindigkeitsmesssonden besonders guteignen.

Das Messprinzip der Laser-Doppler-Ane-mometer (LDA oder LDV) beruht auf derMessung der Frequenzverschiebung vonLicht, das von einem mit der Strömungsge-schwindigkeit wÆ bewegten kleinen Partikelgestreut wird (Bild 6.33) nach dem Doppler-Effekt.

Diese Frequenzänderung gegenüber demeingestrahlten Licht ist ein direktes Maß fürdie Strömungsgeschwindigkeit wÆ.

Voraussetzung ist dabei allerdings, dasssich das Streuteilchen schlupffrei mit der Strö-mung mitbewegt.

Sind nicht genügend «natürliche» Streuteil-chen in der Strömung vorhanden, z.B. durchVerunreinigungen oder Staub, müssen künst-lich ausreichend Streuteilchen zugeführt wer-den.

Das LDA-Verfahren verfügt über eine hohezeitliche Auflösung (Größenordnung: 104

Messwerte/s), eine hohe räumliche Auflö-sung (Messvolumen bis zu 10–4 mm3 herunter)sowie hohe Genauigkeiten (Fehler bis zu 0,1%vom Messwert).

In der Praxis kommen 2 unterschiedlicheLDA-Verfahren zur Anwendung:


a) Referenzstrahlmethode,bei der 2 Lichtwellen nach Strahlteilung ineiner Strahlkreuzung überlagert und imMesspunkt fokussiert werden,

b) das am Häufigsten angewandte Verfahrender 2-Strahl-Methode, bei dem 2 gleicheLaserstrahlen am Messort (Streupartikel)fokussiert werden. Je nach konstruktivem Aufbau der LDA-Geräte als 2-Komponenten- oder 3-Kompo-nenten-Messsysteme kann die Strömungs-geschwindigkeit nach Betrag und Richtungin der Ebene bzw. im Raum, stationär oderinstationär, gemessen werden.

Das Messprinzip der Laser-2-Fokus-Anemo-metrie (L2F oder LTA) basiert auf dem 1968von THOMPSON vorgestellten Lichtschranken-verfahren.

Ein von der Strömung schlupffrei mitge-führtes Teilchen durchfliegt das winzige Mess-volumen und erzeugt 2 aufeinander folgendeStreuimpulse. Aus dem bekannten Abstandder beiden parallelen Laserstrahlen und dergemessenen Flugzeit des Streuteilchens zwi-schen den Strahlen kann dessen Geschwindig-keit, die der Strömungsgeschwindigkeit ent-spricht, ermittelt werden.

In Bild 6.34 ist der schematische Aufbau ei-nes L2F-Laser-Anemometers nach [6.34] dar-gestellt.

Bild 6.33 (nach [6.23])

Die Theorie der verschiedenen Laser-Ane-mometrie-Verfahren ist in [6.23 und 6.36] sehrausführlich beschrieben, weitere interessanteAusführungen finden sich in [6.45 bis 6.49].

6.3 Füllstandsmessung (Niveaumessung)

Die Füllstandsmessung wird bei der Messungder Höhe eines Flüssigkeitsspiegels in offenenund geschlossenen Behältern, Kanälen, Brun-nenanlagen, an Schleusen, Wehren, Stauklap-pen usw. angewandt.

Ein besonderes Messverfahren stellt die Ni-veaumessung von Trennschichten (siehe Bild2.9) zwischen Flüssigkeiten unterschiedlicherDichte dar, die sich nicht mischen.

Die Füllstandsmessung erfüllt in der Be-triebspraxis 3 Aufgaben:

a) Kontinuierliche Füllstandsmessung zurlaufenden Bestimmung von Behälterinhal-ten, Höhenunterschieden, Durchflüssen an Wehren (vgl. Abschnitt 6.5.4), zu Mess-,Regel- und Steuervorgängen, die z.B. ei-ner optimierten Betriebsführung dienen.

Füllstandsmessung (Niveaumessung) 389

Der Zusammenhang zwischen der jeweili-gen Standhöhe und dem zugehörigenBehältervolumen muss dabei bekannt sein[6.4].

b) Grenzstanderfassung zur Vermeidung von Überfüllung oder Leerlaufen vonBehältern, zum Schutz von Pumpenanla-gen, Ansteuern von Sicherheitsarmaturenusw.

c) Trennschichterfassung in der Verfahrens-technik

Die Füllstandsmessung ist letztlich eine Län-genmessung und kann nach zahlreichen me-chanischen oder pysikalischen Verfahren, diesich in 3 Gruppen einteilen lassen, durchge-führt werden:

a) Unmittelbare VerfahrenStandglas (Schauglas), Peilstab, Peilband,Schwimmermessgeräte, Tastplattengeräte.

b) Mittelbare Verfahren über Druck- oderKraftmessungBodendruckmessung,Wägung,Auftriebskörper (Verdrängermessgeräte), Einperlung von Luft oder Gasen (Perlrohr).

Bild 6.34 Optischer Aufbau eines L2F-Messsystems (nach [6.34])

c) Mittelbare Verfahren über besonderephysikalische Effektekapazitive Standmessung, Laufzeitmes-sungen von Schall, Ultraschall, Radar, elek-tromagnetischen Wellen,Messung über die Leitfähigkeit der Flüssig-keit,radiometrische Standmessung.

Von den aufgeführten Messverfahren sind nurwenige eichfähig [6.50].

Füllstandsmessgeräte müssen dann geeichtsein, wenn sie im geschäftlichen Verkehr ver-


wendet werden oder im amtlichen Verkehr fürMessungen nach dem Zoll- oder Steuerrechtdienen. Einzelheiten dazu können der Eich-ordnung (E0) vom 15. Januar 1975 (BGBl. I,Nr. 6 vom 21. Januar 1975) entnommen wer-den.

Aus Platzgründen werden einige ausge-wählte, in der Praxis häufig angewandte Füll-standsmessverfahren in Tabelle 6.4 verkürztund vereinfacht zusammengestellt.

Neben der Standardliteratur in [6.2 bis 6.4]werden zur Vertiefung die Literaturstellen[6.50 bis 6.52] empfohlen.

Tabelle 6.4 Füllstandsmessung

Schau- und Standglas Hydrostatische Methode Niveaumessung mit Schwimmern oderAuftriebskörpern

Bild 6.35

In dem am Behälter angebrach-ten Schauglas wird der Flüssig-keitsstand im Behälter ange-zeigt. Bei Temperaturunter-schieden zwischen Behälter und Schauglas ergeben sich verschiedene Flüssigkeitshöhenin Behälter und Schauglas, diezu korrigieren sind.

Bild 6.36

Die Flüssigkeitshöhe h wirdüber den hydrostatischen Druckam Behälterboden gemessen.Die Stauhöhe h ergibt sich ausdem gemessenen Druck:

ph = 71r · g

Bei geschlossenen Behälternwerden Differenzdruckmano-meter verwendet.

Bild 6.37

Schwimmer oder Auftriebskör-per folgen den Niveauschwan-kungen nahezu trägheitslos. Diejeweilige Stellung des Schwim-mers wird meistens über ein Seilauf einen elektrischen Geberübertragen, der die Schwimmer-bewegung in ein elektrischesSignal umwandelt und an einAnzeigegerät, einen Schreiberoder Regler weiterleitet.

Behälter

Sch

augl

as

Manometerp

h r

Fernleitung

Geber

GegengewichtSeilSchwimmer

Empfänger(Schreiber)

6.4 Volumenmessung

Bei der Prozessführung in Produktions- undEnergietechnik müssen ständig Stoffmengen,sei es in Volumeneinheiten, sei es in Masseein-heiten, gemessen werden. Allen bekannt istbeispielsweise das Messen von Treibstoffmen-gen an Tankstellen.

Die zur Volumenmessung erforderlichenMessgeräte werden als Volumenzähler be-zeichnet.

Die bekanntesten Messverfahren undGeräte sind in Tabelle 6.5 zusammengestellt.Nähere Einzelheiten können u.a. in [6.2, 6.3,6.4 und 6.53] nachgelesen werden.

Am Beispiel des Ringkolbenzählers (Bild6.41), der zu den unmittelbaren Volumen-

Volumenmessung 391

zählern gehört, sollen exemplarisch Wir-kungsweise, Messgenauigkeit und Druckver-lust kurz beschrieben werden.

Die Flüssigkeit tritt durch die Bodenöff-nung E in die linke Hälfte der Messkammerein und verlässt sie auf der rechten Hälftedurch die Öffnung A im Messkammerdeckel.

Während einer oszillierenden Bewegungdes geschlitzten Drehkolbens K werden dieTeilmenge V1 im äußeren Sichelraum und dieTeilmenge V2 im inneren Sichelraum von derEintrittsöffnung E zur Austrittsöffnung A ge-fördert, sodass sich das gesamte Messkam-mervolumen V als Summe der beiden Teilvo-lumina ergibt

V = V1 + V2


Auswägeverfahren Kapazitative Flüssigkeits- Laufzeitmessung von Schall,standmessung Ultraschall, Radar usw.

Bild 6.38

Wenn keines der beschriebenenStandmessverfahren brauchbarist, wird der Behälterinhaltdurch Auswägen des gesamtenBehälters auf einer Waage odermittels Kraftmessdosen bestimmt.

Bild 6.39

Dieses Verfahren wird häufigbei hochviskosen Flüssigkeitenoder Flüssigkeiten mit hohemFeststoffanteil angewandt. Gemessen wird die Kapazitäts-änderung eines Kondensators,der durch eine in die Flüssigkeitragende Messsonde und dieBehälterwand gebildet wird,wobei die Flüssigkeit als Dielek-trikum dient. Der Kondensatorkann als Plattenkondensatoroder als Zylinderkondensatormit konzentrischer oder exzen-trischer Sonde ausgeführt wer-den.

Bild 6.40

Diese berührungslose Methodeder Laufzeitmessung von Schall,Ultraschall, Radar, z.B. nachdem Echolotverfahren in Bild6.40, wird dann angewandt,wenn eine ständige Änderungder Dielektrizitätskonstante, derLeitfähigkeit o.ä. der Flüssigkeitden Einsatz entsprechender Ver-fahren nicht zulässt. Beim Echo-lotverfahren wird die LaufzeitSender–Flüssigkeitsspiegel–Empfänger gemessen und da-raus der Pegelstand bestimmt.Ähnlich funktionieren Verfahrenmit getrenntem Sender undEmpfänger.

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Bei dem beschriebenen Fördervorgang bewegtsich der Zapfen ZK des Messkolbens K umeine volle Umdrehung um den Zapfen ZG desfeststehenden Gehäuses, sodass eine FüllungV genau proportional einer vollen Umdre-hung wird.

Der Eintrittsbereich wird durch denGehäusesteg S vom Austrittsbereich getrennt.

Ringkolbenzähler eignen sich nur für sau-bere Flüssigkeiten.

Die Messgenauigkeit ist relativ hoch,Ringkolbenzähler erfüllen die entsprechendenEichvorschriften.

Volumenmessung 393

Bild 6.41 Ringkolbenzähler (nach Fa. Bopp & Reuther, Mannheim)

Bild 6.42Fehlerkurven eines Ringkolben-zählers (nach [6.4])

Bild 6.43Druckverluste von Ringkolbenzählern (nach [6.4])

Die Fehlerkurven hängen von der Visko-sität und vom Durchfluss ab (Bild 6.42), jehöher die Viskosität ist, desto geringer ist derEinfluss des Durchflusses und umgekehrt. DieDruckverluste sind relativ hoch und müssenbei der Auslegung von Anlagen unbedingtberücksichtigt werden. Bei niedrigen Visko-sitäten erfüllen Ringkolbenzähler in etwa dasquadratische Widerstandsgesetz (Gleichung4.157), bei sehr hohen Viskositätswerten daslineare Widerstandsgesetz der laminarenSpaltströmung (Gleichung 4.210), wie aus denKurvenzügen bzw. Geraden in Bild 6.43 deut-lich zu erkennen ist.

Die Auswahl von Volumenzählern für be-stimmte Einsatzfälle und Flüssigkeiten erfolgtam besten anhand von Katalogen und Hand-büchern der Gerätehersteller.

6.5 Durchflussmessung

6.5.1 Einleitung

Unter Durchflussmessung versteht man diemesstechnische Bestimmung des momentandurch einen Messquerschnitt A einer ge-schlossenen Rohrleitung oder eines offenenGerinnes strömenden Volumenstroms V oderMassenstroms m = r · V.

Die verschiedenen, in den nächsten Ab-schnitten beschriebenen Mess- und Auswerte-verfahren werden in der Praxis sehr häufig an-gewandt, sei es bei Labor- oder Abnahmever-suchen in der Strömungstechnik, an Kraft-und Arbeitsmaschinen, in der Verfahrenstech-nik, Versorgungs- und Entsorgungstechniku.a. Bereichen, oder auch bei laufenden Be-triebsmessungen zur Steuerung, Regelungund Kontrolle von Kraftwerksprozessen, che-mischen Produktionsverfahren usw.

In der Literatur wird unterschieden zwi-schen den seltenen unmittelbaren Messver-fahren, bei denen nur eine einzige Messgrößezur Bestimmung des Durchflusses ausreichtund den mittelbaren Messverfahren, bei de-nen eine oder mehrere Zusatzgrößen, häufigdie Dichte zusätzlich zur eigentlichen Haupt-messgröße bekannt sein, bzw. gemessen wer-den müssen.


Es sei hier schon im Voraus auf die zahlrei-chen Literaturbezüge in den einzelnen Ab-schnitten hingewiesen.

6.5.2 Netzmessungen

6.5.2.1 Grundlagen

Netzmessungen sind Messverfahren zur Be-stimmung des Volumenstromes V bzw. inAusnahmefällen auch des Massenstroms mdurch Abtasten der Geschwindigkeitsfelderin meist mittleren bis großen Strömungsquer-schnitten A, bei denen die weiter unten aufge-führten, meist genaueren Verfahren, z.B. dieWirkdruckverfahren, nicht in Frage kommen,z.B. wegen der Größe des MessquerschnittesA oder weil sich die Einrichtung einer ständi-gen Messstelle nicht lohnt.

Der ebene Messquerschnitt A soll mög-lichst senkrecht zu den parallel zu den Ka-nalwänden verlaufenden Stromlinien undeine genügend lange, gerade Rohr-(Kanal-)strecke gleichen Querschnitts im Ein- undAuslauf haben (vgl. Abschnitt 4.7.8), damit dieStromlinien gerade verlaufen und die Ge-schwindigkeitsverteilung möglichst gleich-förmig ist. Da die Vermessung des Geschwin-digkeitsfeldes relativ viel Zeit in Anspruchnimmt, muss über längere Zeit der Volumen-strom V konstant gehalten werden, bzw.während der gesamten Messdauer die Strö-mungsgeschwindigkeit oder ein repräsentati-ver Wirkdruck an einer geeigneten Referenz-messstelle mitgemessen werden (Abschnitt6.5.2.3).

Ganz allgemein lassen sich Sinn undZweck einer Netzmessung so beschreiben,dass man mit möglichst wenigen, «geschickt»über dem Messquerschnitt verteilten Mess-punkten und einem exakten mathematischenAuswerteverfahren den Volumenstrom Vmöglichst genau bestimmen will.

In VDI/VDE 2640/Blatt 1 [6.54] sind dieallgemeinen und mathematischen Grundla-gen der Netzmessungen in beliebigen und re-gelmäßigen (z.B. Kreis- und Rechteckquer-schnitt) Strömungsquerschnitten ausführlichbeschrieben. Das ausführliche Regelwerk ent-hält auch einen umfangreichen Anhang mit

zahlreichen praktischen Hinweisen, außer-dem viele kompetente Literaturhinweise.

Bei der Festlegung der Messpunktevertei-lung, der Messzeiten und der verwendetenGeschwindigkeitsmessgeräte müssen u.a.berücksichtigt werden:

❑ Form und Größe des Messquerschnittes,❑ Zweck der Messung (Abnahme- oder Be-

triebsmessung, Gewährleistungsnachweis,Gutachten usw.),

❑ Ungleichförmigkeit und zeitliche Konstanzdes Geschwindigkeitsfeldes,

❑ Zugänglichkeit des Messquerschnittes,❑ Referenzmessstelle.

Die Grundgleichung für den Durchfluss er-gibt sich durch Kombination der Gleichungen4.7 und 4.8:

V = Ú w · dA = w– · A (Gl. 6.22)A

V Volumenstromn

A Messquerschnitt A = S dAi = 1

w örtliche Strömungsgeschwindigkeit imMesspunkt i

dA Teilfläche um den Messpunkt i w– mittlere Strömungsgeschwindigkeit

Analog ergibt sich durch Heranziehen vonGleichung 5.4 für den Massenstrom m :

m = Ú r · w · dA (Gl. 6.23)A

m Massenstrom r örtliche Fluiddichte im Messpunkt i

Die Lage der einzelnen Messpunkte im Mess-querschnitt A lässt sich durch

❑ kartesische Koordinaten ❑ Polarkoordinaten

beschreiben, wie es anhand von rechteckigenund kreisförmigen Strömungsquerschnittenin Tabelle 6.6 für den Volumenstrom V bei-spielhaft dargestellt ist.

Durchflussmessung 395

6.5.2.2 Anordnung und Anzahl der Messpunkte

Nachdem der Messquerschnitt A nach denvorgegebenen örtlichen Verhältnissen und inmöglichst genauer Anwendung anerkanntergenauer Regeln, z.B. [6.54 bis 6.58] ausge-wählt, festgelegt und vermessen ist, wird dieAnordnung und Anzahl der Messpunkte imHinblick auf das gewählte Auswerteverfah-ren und die zu erwartende Ungleichförmig-keit des Geschwindigkeitsfeldes ebenfallsnach den verbindlichen Vorschriften der ein-schlägigen Regelwerke festgelegt.

a) Nach dem sog. allgemeingültigen Trivial-verfahren kann der Messquerschnitt ingleiche oder auch ungleiche Teilflächen dAunterteilt und die örtliche Strömungsge-schwindigkeit in den Schwerpunkten derTeilflächen gemessen werden.

b) Nach dem Schwerelinienverfahren fürKreis-, Kreisring- und Rechteckquer-schnitte wird der Messquerschnitt A inkonzentrische, gleich große Teilflächenaufgeteilt. Die Messpunkte sind dieSchnittpunkte der Messgeraden mit denSchwerelinien der Teilflächen, wie es inBild 6.46 aus [6.59] am Beispiel eines Kreis-querschnittes mit 3 Messgeraden (= 6 Mess-radien) mit jeweils 8 bzw. 4 Messpunkten,d.h. insgesamt 24 Messpunkten dargestelltist. Bei diesem Verfahren liegen die Mess-punkte am Rand des Messquerschnittesdichter als in der Querschnittsmitte. In [6.56] ist das Schwerelinienverfahrenausführlich beschrieben und durch Anwen-dungsbeispiele ergänzt.

c) Nach dem Log-Linear- oder dem Log-Tchebycheff-Verfahren [6.57, 6.59 bis 6.62]wird die Kontur des Geschwindigkeitspro-files durch eine logarithmische Funktionbeschrieben und die Messpunkte auf denMessgeraden bzw. Messradien so festgelegt, dass das arithmetische Mittel dergemessenen Strömungsgeschwindigkeitendem volumetrischen Mittelwert w– = V/Amöglichst nahe kommt.

In [6.63] werden die verschiedenen Verfahrenausführlich miteinander verglichen.

Bei ungleichförmiger Geschwindigkeits-verteilung im Messquerschnitt müssen An-zahl und Anordnung der Messpunkte demUngleichförmigkeitsgrad U des Geschwindig-keitsprofiles angepasst werden.

In [6.56] ist eine Tabelle mit der Mindest-zahl der Teilflächen und Messpunkte abhän-gig vom Ungleichförmigkeitsgrad U angege-ben, die etwas vereinfacht und verkürzt in Ta-belle 6.7 wiedergegeben wird.

In [6.56] sind die Ungleichförmigkeitsgradefür Kreis-, Kreisring- und Rechteckquer-schnitte mit den zugehörigen Auswertesche-mata genau definiert und erklärt.

6.5.2.3 Referenzmessung

Da bei den üblichen Messverfahren die Mess-punkte zeitlich nacheinander abgetastet wer-den, muss damit gerechnet werden, dass


während der Messzeit Dt der Volumenstrom Vmehr oder minder stark schwankt. Deshalbmuss gleichzeitig zu jeder Geschwindigkeits-messung im jeweiligen Messpunkt an einergeeigneten benachbarten Stelle eine Referenz-geschwindigkeit oder ein Referenzwirk-druck (siehe auch Abschnitt 6.5.9) gemessenwerden.

Man geht dabei davon aus, dass der zumessende Volumenstrom V und die Referenz-größe proportional sind:

V ~ w0 bzw. V ~ d5p0

Die Schwankungen des Volumenstromes Vwährend der Messzeit Dt für die vollständigeNetzmessung aller z Messpunkte werden beider Auswertung durch den Quotienten ausder lokalen Strömungsgeschwindigkeit w (ti)und der zeitgleich gemessenen Referenzge-schwindigkeit wo (ti) korrigiert.

Tabelle 6.6 Koordinatensysteme für die Integration des Geschwindigkeitsfeldes

Polarkoordinaten

R 2p

V= Ú Ú w · r · dj · dr (Gl. 6.25)r = 0 j = 0

Randbedingung w = 0 bei r = R

Kartesische Koordinaten

B H

V= Ú Ú w · db · dH (Gl. 6.24)b = 0 h = 0

Randbedingungen w = 0 bei b = 0 und b = Bw = 0 bei h = 0 und h = H6

78

Bild 6.44 Strömung in einem Kanal mit Rechteckquerschnitt (nach [6.54])

Bild 6.45 Strömung in einem Kanal mit Kreisquerschnitt (nach [6.54])


Der zeitliche Mittelwert des Volumenstro-mes V = w– · A im Messquerschnitt A währendder Messdauer Dt ist aus den Mittelwerten dermit den zeitgleich gemessenen Referenzge-schwindigkeiten korrigierten lokalen Ge-schwindigkeiten und den zugehörigen Teil-flächen dA zu bilden.

Der sog. Referenzfaktor des Geschwindig-keitsfeldes ist der Quotient aus mittlerer Strö-mungsgeschwindigkeit w– = V/A und mittlererReferenzgeschwindigkeit w–o (Bild 6.47).

w– 1Dt

Referenzfaktor: 5 mit w–0 = 4 Ú w0(ti) · dtw0 Dt

0

Detaillierte Angaben dazu finden sich u.a. in[6.54], Abschnitt 2.4.

6.5.2.4 Auswertung

Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w– fin-det man entweder durch grafische oder nu-merische Integration der Geschwindigkeits-

Bild 6.46 Einteilung der Messpunkte in einemkreisförmigen Messquerschnitt (nach [6.59])

Bild 6.47 Bildung des zeitlichen Mittelwertes w–o der Referenzgeschwindigkeit wo während der Zeitspanne(Messdauer) Dt (nach [6.54])

felder, insbesondere beim sog. Trivialverfah-ren bzw. bei geometrisch komplizierten Mess-querschnitten oder durch arithmetische Mit-telwertbildung, wenn auf nach besonderenVerfahren, z.B. Schwerelinienverfahren, vor-gegebenen Messpunkten gemessen wird, wiez.B. in Bild 6.46 dargestellt ist.

In [6.54] sind die verschiedenen Verfahrenzur Mittelwertbildung, auch unter Berück-sichtung der Geschwindigkeitsverteilung in


der Randzone ausführlich beschrieben. Einegenaue Bestimmung des Volumenstromes Verfasst rechnerisch auch den kleinen Teilvolu-menstroms DVR in der Randzone, d.h. zwi-schen den äußersten Messpunkten und derWand (Randzonenkorrektur).

Zur Auswertung gehört auch eine realisti-sche Abschätzung der Messunsicherheiten.

Folgende Effekte und Einflüsse bestimmenim Wesentlichen die Messunsicherheiten:

Geschwindig- Querschnittsform Anzahl der Anzahl der Anzahl der keitsprofil Teilkreisringe Messradien bzw. Messpunkte z

bzw. Rechteck- Messgeradenrahmen

Gleichförmig Kreis 3 4 12

U < 10% KreisringDi/Da = 0,4 4 4 16Di/Da = 0,6 6 24Di/Da = 0,8 8 32

Rechteck 3 6 36

stark gestört Kreis 5 8 40

U > 20% KreisringDi/Da = 0,4 5 8 40Di/Da = 0,6 12 60Di/Da = 0,8 24 120

Rechteck 5 10 100

Für Ungleichförmigkeitsgrade zwischen 10 und 20% können Zwischenwerte gewählt werden. Der Ungleichförmigkeitsgrad U ist dabei wie folgt definiert:

w–i w–i5 � – 5�1 w–o max w–o minU = 3 · 0081 (Gl. 6.26)

2 w–5w–o

w–i mittlere Strömungsgeschwindigkeit auf den einzelnen Messradien bzw. Messgeraden

w–o mittlere Referenzgeschwindigkeit (siehe Bild 6.47)V

w– = 3 mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Messquerschnitt AA

In [6.56] sind die Ungleichförmigkeitsgrade für Kreis-, Kreisring- und Rechteckquerschnitte mit den zugehörigen Auswerteschemata genau definiert und erklärt.

Tabelle 6.7 Mindestzahl der Teilflächen und Messpunkte bei Netzmessungen nach VDI/VDE 2640/Blatt 3

❑ Verdrängungseffekt des Geschwindig-keitsmessgerätes und seiner Halterung imMessquerschnitt,

❑ Geschwindigkeitsgradient quer zur Strö-mungsrichtung, insbesondere in Wand-nähe,

❑ im Zu- und Auslauf des Messquerschnittesgestörte Strömungen, z.B. durch Drall,Umlenkung, Verzögerungen, Beschleuni-gungen oder Pulsationen,

❑ Ungleichförmigkeitsgrad U der Geschwin-digkeitsprofile.

Beim Zusammentreffen vieler ungünstigerFaktoren liegt die Messunsicherheit im 2-stel-ligen Prozentbereich, bei gleichförmiger Zu-und Abströmung zum Messquerschnitt undeinem sehr kleinen Ungleichförmigkeitsgrad,sowie einer ausreichenden Anzahl von Mess-punkten und einer zuverlässigen Referenz-messstelle kann die Messunsicherheit auf demkleinen Wert von 2…3% gehalten werden.

Nähere Einzelheiten zur Abschätzung derMessunsicherheit finden sich in den Regel-werken, z.B. in [6.54 und 6.56].

Auf grob vereinfachte Messungen, wie das1-Punkt-Verfahren, bei dem die mittlere Strömungsgeschwindigkeit w– aus 1 einzigenMesspunkt, z.B. in der Mitte des Messquer-schnittes, durch 1 einzigen Messwert wM be-stimmt wird, oder die Spiralenmethode, beider in Kreisquerschnitten auf lediglich 5 Mess-punkten, die auf einer Spirale im Messquer-schnitt liegen, gemessen wird, wird nicht ein-gegangen. Auch die sog. Schlaufenmessung,bei der durch schleifenförmiges Abfahren desMessquerschnittes mit einem Flügelradane-mometer ein mehr oder minder unsichererMittelwert gemessen wird, wird nicht be-schrieben.

Die genannten vereinfachten Verfahrensind bei ungleichförmigen Geschwindigkeits-feldern noch viel ungenauer als die oben de-tailliert beschriebenen Netzmessungen undkönnen deshalb nur als ganz grobe Orientie-rung dienen.

Weitere Literatur über Netzmessungen fin-det sich in [6.66 bis 6.71].


6.5.3 Wirkdruckverfahren mit Drosselgeräten

Unter dem Wirkdruckverfahren mit genormtenoder nicht genormten Drosselgeräten verstehtman die messtechnische Bestimmung des Mas-senoder Volumendurchflusses in einer Rohr-leitung über die an einer Querschnittsveren-gung (Bild 6.48) gemessene Druckdifferenz Dp,den sog. Wirkdruck.

Unter Benutzung der Energiegleichung fürinkompressible, reibungsfreie und statio-näre Rohrströmungen (Gleichung 4.17) undder Kontinuitätsgleichung (Gleichung 4.12)lässt sich der Zusammenhang zwischen theo-retischem Volumen- bzw. Massenstrom undWirkdruck herleiten:

p1 w21 p2 w2

2(Gl. 4.17): g · z1 + 4 + 5 = g · z2 + 4 + 5r 2 r 2

z1 = z2 (horizontalverlaufendeRohrleitung)

(Gl. 4.12): w1 · AD = w2 · Ad

p pAD = 3 · D2; Ad = 3 · d2

4 4

D w1 w2

p1 p2 d

Wirkdruck ∆p = p1 – p2

p1

p2

∆p

∆pv

Druck-verlauf

r1

Bild 6.48 Durchflussmessung mittels Drosselgerät

Ad d2 d5 = 4 = b 2 mit b = 4 als sog. Durchmesser-AD D2 Dverhältnis [6.72]

Adw1 = w2 · 5 = w2 · b 2

AD

p1 w22 p2 w2

23 + 5 · b 4 = 4 + 5r 2 r 2

p1 > p2

w1 < w2

2 (p1 – p2) 2 · Dpw22 (1 – b 4) = 07 = 9r r

802 · Dpw2 = f07r · (1 – b4)

863p 2 · DpVth = Ad · w2 = 3 d2 · f753 (Gl. 6.27a)

4 r (1 – b 4)

863p 2 · r · Dpm th = r · Vth = 3 d2 · f753 (Gl. 6.27b)

4 1 – b 4

Die reale Strömung durch das Drosselgerät istjedoch reibungs- und ablösungsbehaftet so-wie bei gasförmigen Fluiden auch kompres-sibel. Außerdem muss bei der Anwendungder Energiegleichung gemäß Abschnitt 4.7.3.2auch der von der Form des Geschwindig-keitsprofiles im Rohrquerschnitt und von der Rohrwandrauigkeit abhängende Energie-stromwert a (Tabelle 4.13) berücksichtigt werden.

Den Einfluss von Einschnürung, Reibung,Ablösung und Rauigkeit erfasst man bei derKorrektur der Gleichung 6.27 durch denDurchflusskoeffizienten C. Die Kompressibi-lität des Fluids berücksichtigt man durch dieExpansionszahl e und erhält in Anlehnung an[6.72] folgende korrigierte, erweiterte Durch-flussgleichung für die reale Durchströmungvon Drosselgeräten:


92C p 2 · DpV = 05 · e1 3 · d2 · f91

d94(1 – b4) 4 r1

92C p 2 · Dp= 05 · e2 3 · d2 · f91 (Gl. 6.28a)

d94(1 – b4) 4 r2

C pm = 05 · e1 3 · d2 · d992 · Dp · r1

d94(1 – b4) 4(Gl. 6.28b)

C p=05 · e2 3 · d2 · d992 · Dp · r2

d94(1 – b4) 4

V Volumenstrom (in [6.72]: qv!)m Massenstrom (in [6.72]: qm)C Durchflusskoeffizient = f

w1 · D�Geometrie des Drosselgerätes; ReD = 92�nd

b = 4 DurchmesserverhältnisD

d Durchmesser der Drosselöffnung unter Betriebsbedingungen

D innerer Rohrdurchmesser stromaufwärtsunter Betriebsbedingungen

e1 Expansionszahl stromaufwärts der Drosselstelle

r1 Fluiddichte stromaufwärts der Drosselstelle

923Dpe2 = e1 · f 1 + 6 Expansionszahl

p2

stromabwärts der Drosselsteller2 Fluiddichte stromabwärts der DrosselstelleDp = p1 – p2 gemessener Wirkdruckp1 absoluter statischer Druck stromaufwärts

der Drosselstellep2 absoluter statischer Druck stromabwärts

der Drosselstelle

Neben der Messgröße Wirkdruck Dp tritt nochein bleibender Druckverlust Dpv auf, der denEnergieverlust des Drosselgerätes beschreibtund nach Abschnitt 4.7.7.9 abgeschätzt wer-den kann. Als Drosselgeräte kommen je nach

Anwendungsfall die in [6.72] genormtenGeräte zum Einsatz:

❑ Normblende,❑ Normdüse,❑ Normventuridüse,❑ klassisches Venturi-Rohr

oder z.B. die in [6.73] vorgeschlagenen Son-derausführungen von Blenden und Düsenoder besondere Einbauarten genormter Blen-den und Düsen infrage.

❑ Segmentblenden,❑ Viertelkreisdüsen,❑ Blenden und Düsen am Anfang oder Ende

einer Rohrleitung.

Im folgenden Abschnitt werden die genann-ten Drosselgeräte und ihre besonderen Eigen-schaften kurz beschrieben. Zur Lösung einerkonkreten Aufgabe müssen unbedingt die ent-sprechenden Normen und Richtlinien zu-grunde gelegt werden.

a) NormblendeEine Normblende (Bild 6.49) besteht aus einerebenen, glatten Scheibe mit kreisrunder,scharfkantiger Einlauföffnung und den zu-gehörigen Fassungsringen.


Die Druckentnahmebohrungen für denWirkdruck Dp können alternativ nach 3 Vari-anten angeordnet werden:

Eckentnahme, unmittelbar vor und nachder Blendenscheibe,

Flanschentnahme, im Abstand von 25,4 mmvor und nach der Blendenscheibe,

D-D/2-Entnahme, im Abstand D vor derBlende und im Abstand D/2 nach der Blende.

Die Lage der Druckentnahmebohrungenhat einen großen Einfluss auf den Wert desDurchflusskoeffizienten C (Bild 6.50).

Der Rohrinnendurchmesser D liegt im Be-reich von 50…1000 mm, das Durchmesser-verhältnis b im Bereich von 0,2…0,75, wobeider Durchmesser d der Drosselöffnung stets ≥ 12,5 mm sein muss.

Auch bezüglich der anderen Blendenab-messungen, wie Blendendicke E, Zylinder-länge e, Abschrägungswinkel j, Rauigkeit kund Kantenschärfe enthält [6.72] verbindlicheVorschriften.

Bei Einhaltung aller geometrischen Vorga-ben, einschließlich der benötigten störungs-freien Ein- und Auslaufrohrstrecken (Tabelle1 in [6.72]) kann der Durchflusskoeffizient Cabhängig vom Durchmesserverhältnis b, von

D · w1der Reynolds-Zahl ReD = 92 und von den n

Bild 6.49(nach [6.4])

Abständen der Druckentnahmebohrungenmittels der in [6.72] angegebenen Stolz-Glei-chung berechnet oder auch näherungsweiseaus Tabellen im Anhang von [6.72] abgelesenwerden, wobei dann allerdings Interpolatio-nen ungenau werden und Extrapolationennicht zulässig sind.

Die Reynolds-Zahl ReD darf bestimmte un-tere Grenzwerte nicht unterschreiten!

Die Expansionszahl e1 kann für Druckver-hältnisse p2/p1 ≥ 0,75 nach folgender Glei-chung bestimmt werden:

Dpe1 = 1 – (0,41 + 0,35 · b 4) 9 (Gl. 6.29)

k · p1

e1 Expansionszahl stromaufwärts der Drosselstelled

b 4 DurchmesserverhältnisD

Dp Wirkdruckp1 Absolutdruck stromaufwärts der

Drosselstellek Isentropenexponent

Als Unsicherheit für den Durchflusskoeffi-zienten C wird in [6.72] angegeben:

0,6% für b ≤ 0,6

b% für 0,6 < b ≤ 0,75


Die Unsicherheit der Expansionszahl e1 wirdDp

mit 4 · 5 in % abgeschätzt. p1

Weitere Informationen über Unsicherhei-ten, insbesondere bei Abweichungen von derNorm, finden sich in [6.74, 6.75 und 6.77].

b) Normdüsen gibt es in 2 Ausführungen:

ISA-1932-Düse für 50 mm ≤ D ≤ 500 mm und0,3 ≤ b ≤ 0,8Langradius-Düsen für 50 mm ≤ D ≤ 630 mmund 0,2 ≤ b ≤ 0,8

Die Konturen (Düsenprofil) beider Düsenfor-men können aus der Norm [6.72] entnommenwerden, eine grobe Orientierung findet sich inBild 6.51 aus [6.4]. Die Norm enthält auch prä-zise Vorgaben für die relative Rauigkeit k/D.

Durchflusskoeffizient C und Expansions-zahl e1 werden nach den in [6.72] angegebe-nen, auf zahlreichen Versuchen basierendenempirischen Formeln genau berechnet oderanhand der Tabellen im Anhang abgeschätzt.

So lautet z.B. die vergleichsweise einfacheFormel für den Durchflusskoeffizienten C vonLangradiusdüsen:

106 0,5

C = 0,9965 – 0,00653 · b 0,5 · �7� (Gl. 6.30)ReD

Die Unsicherheiten für den Durchflusskoeffi-zienten C von Normdüsen sind größer als beiNormblenden und können Werte von 2% er-reichen, während die Unsicherheiten für dieExpansionszahl e1 von Normdüsen nur etwadie Hälfte der Werte von Normblenden be-tragen.

Die Größenordnung der Durchflusskoeffi-zienten C von ISA-1932-Düsen kann aus Bild6.52a [6.4] und von Langradiusdüsen aus Bild6.52b [6.74] entnommen werden.

Bei niedrigen Reynolds-Zahlen ReD < 104

kann es bei Normdüsen nach ISA-1932 zu Ab-lösungen des Fluidstrahles kommen, sodass inder Funktion C = f (b; ReD) ein Sprung in derGrößenordnung von DC ª 0,03…0,05 entsteht.In Langradiusdüsen tritt dieser Ablösesprungbei C nicht auf, was aber durch wesentlichhöhere Unsicherheiten erkauft wird.

Bild 6.50 Durchflusskoeffizient C bei verschiede-nen Wirkdruckentnahmen (nach [6.4])

c) Normventurirohre sind ebenfalls in 2 Vari-anten genormt (Kapitel 10 in [6.72]):

Das klassische Venturi-Rohr besteht auseinem Einlaufzylinder A, einem EinlaufkonusB, einem zylindrischen Halsteil C und einemkonischen Diffusor E (Bild 6.53).


Bild 6.51 Düsenformen. a) ISA-1932-Düse; b) Langradius-Düse (nach [6.4])

a)

b)

Bild 6.52 Durchflusskoeffizienten von ISA-1932-Düsen und Langradius-Düsen

Ausführung Durchflusskoeffizient C Unsicherheit

gussrauer Einlaufkonus C = 0,984 0,7%

bearbeiteter Einlaufkonus C = 0,995 1%

rauer, aus Stahlblech geschweißter Einlaufkonus C = 0,985 1,5%

Die Bereiche für Rohrinnendurchmesser D, Durchmesserverhältnis und Reynolds-Zahl ReD können aus[6.72] entnommen werden.Anmerkung: Der Durchflusskoeffizient C ist unabhängig von der Reynolds-Zahl.

Tabelle 6.8 Durchflusskoeffizient C von klassischen Venturi-Rohren

Die Entnahmebohrungen für den Wirk-druck Dp = p1 – p2 werden im EinlaufzylinderA (p1) und im zylindrischen Halsteil C (p2) an-gebracht.

Je nach Werkstoff und Herstellungsverfah-ren können nach [6.72] die in Tabelle 6.8 auf-geführten Durchflusskoeffizienten C ange-nommen werden.


Die Expansionszahlen e liegen in der glei-chen Größenordnung wie bei Normdüsen.

Die Norm-Venturi-Düse (Bild 6.54) enthältim Einlauf eine ISA-1932-Düse, einen gegen-über der Normdüse verlängerten Halsteil undeinen Diffusor in wahlweiser langer oder kur-zer Ausführung, dessen Gesamterweiterungs-winkel j ≤ 30° sein muss.

Für den Durchflusskoeffizienten C gibt dieNorm [6.72] folgende, auf Versuchen beru-hende, empirische Gleichung an:

C = 0,9858 – 0,196 · b 4,5 (Gl. 6.31)

Als Unsicherheit wird der Wert 1,2 + 1,5 · b4

vorgeschlagen. Die Expansionszahl e wird wie bei der

Normdüse bestimmt.

Bild 6.53 Klassisches Venturi-Rohr (nach [6.72])

Bild 6.54 Venturi-Düsen (nach [6.72])

Neben den oben beschriebenen Normdros-selgeräten nach DIN EN ISO 5167-1 [6.72] wer-den für Sonderfälle auch Drosselgeräte mitnicht genormten Abmessungen oder Norm-drosselgeräte in besonderen Einbausituationeneingesetzt.

Von den verschiedenen Sonderausführun-gen werden folgende Messeinrichtungen kurzvorgestellt:

❑ Segmentblenden,❑ Viertelkreisdüsen,❑ Blenden und Düsen am Anfang oder Ende

einer Rohrleitung,


❑ Drosselgeräte in rechteckigen Rohrleitungen, ❑ Venturi-Düsen mit kritischer Durchströ-

mung.

d) Segmentblenden [6.4, 6.73] werden bei ge-legentlich mit Feststoffen beladenen Flüssig-keiten oder gelegentlich schäumenden oderausgasenden Flüssigkeiten eingesetzt. Je nachLage der Segmentblende im Rohrquerschnitt(Bild 6.55) können Feststoffe (Bild 6.55a) oderGasblasen (Bild 6.55b) den freien Querschnittungehindert passieren.

Bei Feststofftransport ist auf den Verschleißder Segmentblende, d.h. insbesondere auch

Bild 6.55Einbau von Segmentblenden a) bei gelegentlich mit Feststoffen bela-denen Flüssigkeiten; b) bei gelegentlichschäumenden oder ausgasenden Flüssigkeiten (nach [6.73])

auf die evtl. Veränderung der Kantenschärfezu achten, bei ausgasenden Flüssigkeitenbringt die Veränderung der Dichte r eine zu-sätzliche Unsicherheit in die Messung.

In der Praxis werden gelegentlich auch ver-stellbare Segmentblenden [6.4, 6.78] mit va-riablem Öffnungsverhältnis eingesetzt.

Nach [6.73] wird der durch eine Segment-blende strömende Massenstrom nach folgen-der Gleichung berechnet:

m · C · e pm = 05 · 3 · D2 · d992 · Dp · r1 (Gl. 6.32)

d94(1 – m2) 4

m Massenstromm Öffnungsverhältnis

Ah 1 2 · h 2 · hm = 5 = 3 �arccos �1 – 8� – 2 �1 – 8�AD p D D

001h h 2

· f4 – �4� �D D

C DurchflusskoeffizientC = 0,6057 – 0,0822 · m2 – 0,55 · m8 für die in

[6.73] angegebenen Bereiche von D, m undReD

e ExpansionszahlDp

e = 1 – (0,41 + 0,35 · m2) 9k · p1

D RohrinnendurchmesserDp Wirkdruckr1 Fluiddichte stromaufwärts der

Segmentblendek Isentropenexponentp1 Absolutdruck stromaufwärts der

Segmentblende

VDI/VDE 2041 [6.73] enthält auch Hinweiseund Angaben über die Unsicherheiten eC desDurchflusskoeffizienten C, die Unsicherheit ee

der Expansionszahl e und die Gesamtunsi-cherheit des Durchflusses m bzw. V.

In [6.4] wird die sog. exzentrische Blendeals Alternative zur Segmentblende beschrie-ben.

e) Viertelkreisdüsen (Bild 6.56) werden vorallem im Bereich kleiner Reynolds-Zahlen bisherunter zu ReD = 500 eingesetzt, da sich dieDurchflusskoeffizienten C genormter Blenden


und Düsen im unteren ReD-Bereich stark än-dern.

Im Bereich von Re ª 2000 kann wegen desUmschlags laminar-turbulent (vgl. Abschnitt4.6.2) ein Sprung in der Funktion C = f (Re)auftreten, insbesondere bei zu kurzen Einlauf-längen [6.73].

Die Eignung von Viertelkreisdüsen im un-teren ReD-Bereich wird allerdings mit höherenUnsicherheiten erkauft.

Der Durchfluss kann nach Gleichung 6.28berechnet werden.

dFür einen vom Durchmesserverhältnis b = 4D

abhängigen Bereich ReD, min bis ReD, max kannder Durchflusskoeffizient C nach folgender,auf Versuchen basierenden empirischen Glei-chung bestimmt werden [6.73]:

C = 0,769 + 0,527 · b 4 + 0,423 · b 8 (Gl. 6.33)

Die Expansionszahl e beträgt nach [6.79]:

Dpe = 1 – (0,484 + 1,54 · b 4) · 9 (Gl. 6.34)

k · p1

für p2/p1 ≥ 0,85

f) Einen besonderen Anwendungsfall stelltder Einsatz von Normblenden und Normdü-sen am Anfang oder am Ende einer Rohrlei-tung dar (Bild 6.57), zur Durchflussmessungan der Übergangsstelle einer Rohrleitung zueinem sehr großen Behälter.

Rohrdurchmesser D’, Öffnungsdurchmes-ser d und Durchmesserverhältnis b können inden Grenzen von DIN EN ISO 5167-1 [6.72]gewählt werden, ebenso die Abmessungender Drosselgeräte.

Die Durchflussgleichung (Gleichung 6.28)vereinfacht sich für Drosselgeräte im Einlauf(Bild 6.57a), da der Term (1 – b 4)–1/2 gleich 1 ge-setzt werden kann:

86p 2 · DpV = C · e1 · 3 d2 · f75 (Gl. 6.35)

4 r1

Der Durchflusskoeffizient C beträgt nach[6.73]:

für Blenden: C = 0,6für Düsen: C = 0,992

Die Expansionszahlen e finden sich in [6.73].Bei Blenden und Düsen im Auslauf einer

Rohrleitung (Bild 6.57b) gilt die Durchfluss-gleichung 6.28, die Durchflusskoeffizienten Cwerden nach [6.72] bestimmt, ebenso die Ex-pansionszahlen e.

Besondere Formen für Einlaufdüsen und Messblenden im Einlauf von Ventila-tor- und Verdichterprüfständen finden sich in DIN 24 163 [6.7], ISO 5801 [6.8 und 6.97].

g) Drosselgeräte in rechteckigen Rohrenwerden hauptsächlich in der Heizungs- undLüftungstechnik, in Kraftwerken und imBergbau zur Messung großer Luft- oder Gas-volumenströme eingesetzt. Im Gegensatz zuNetzmessungen sind diese Wirkdruckverfah-


ren mit speziellen Drosselgeräten für Dauer-messungen geeignet und meistens auch we-sentlich genauer.

Als Beispiel werden nach [6.4] rechteckigeVenturi-Rohre mit Einschnürung in 1 oder 2Ebenen (Bild 6.58) kurz beschrieben.

b · hDas Öffnungsverhältnis m = 9 sollte in

B · Hfolgenden Grenzen bleiben:

0,2 ≤ m ≤ 0,55

Däq · w1Die Reynolds-Zahl Re = 94 sollte größer n

als 200000 sein, wobei der äquivalente Durch-messer Däq abweichend vom hydraulischenDurchmesser in Abschnitt 4.7.6 wie folgt defi-niert ist:

874 · B · HDäq = f04p

Setzt man die Expansionszahl e, für kleineStrömungsgeschwindigkeiten, d.h. kleine

Bild 6.56 Viertelkreisdüse (nach [6.73])

a)

b)

Bild 6.57 Messung mit Drosselgeräten im Einlauf(a) oder Auslauf (b) von Rohrleitungen (nach [6.73])

Mach-Zahlen e = l und fasst den Term

C06

d921 – b 4

zur Durchflusszahl a zusammen, erhält manaus Gleichung 6.28 folgende vereinfachteDurchflussgleichung für inkompressible bzw.quasi-inkompressible Strömungen:

862 · DpV = a · b · h · f75 (Gl. 6.36)

r

Die Durchflusszahl a kann abhängig vom Ver-b · h

hältnis 9 aus Bild 6.59 abgelesen werden. B · H


In [6.4] wird als Unsicherheitstoleranz derDurchflusszahl a ein Richtwert von ca. 2,5%angegeben.

Sollten die Grenzen von m und Re nicht ein-gehalten werden können oder ungünstige Ein-bauverhältnisse, insbesondere zu kurze Ein-und Auslaufstrecken, vorhanden sein, emp-fiehlt sich die Bestimmung der Durchflusszahla, über eine Kalibrierung mit einer möglichstgenau durchgeführten Netzmessung.

h) Ein besonderer Anwendungsfall ist dieDurchflussmessung von Gasen mit Venturi-Düsen bei kritischer Strömung [6.80].

Wird bei Gasströmungen eine Venturi-Düse pa pabei überkritischer Strömung 5 ≤ �5� alspt1 pt1 krit

Bild 6.58 Venturi-Rohre mit rechteckigem Strömungsquerschnitt. a) Einschnürung in 2 Ebenen; b) Einschnürung in 1 Ebene (nach [6.4] und [6.97])

Laval-Düse (Bild 6.60) eingesetzt (siehe auchAbschnitt 5.6.3) kann der Massenstrom m inAnlehnung an Gleichung 5.95 aus dem abso-luten Eintrittsdruck pt1 und der Querschnitts-fläche Amin des Halsteils berechnet werden[6.80]:

m = Amin · C · CR · d93pt1 · rt1 (Gl. 6.37)

m Massenstromp

Amin = 3 d2 Querschnittsfläche des Halsteiles4

der Venturi-Düse


C DurchflusskoeffizientC = a – b · Red

–n

ab � Zahlenwerte siehe [6.80], n Tabelle 2Red-BereichCR = C* · Zo

1/2 Beiwert der kritischen Strömungvon realen Gasen

C* kritische Durchflussfunktion von realenGasen (siehe Anhang von [6.80])

Anmerkung: Das Produkt C · CR ist verwandt

mit dem Ausdruck m · Ys, max · d32 in Gleichung5.95.Zo Realgasfaktor (siehe Abschnitt 1.2.3) pt1 absoluter Ruhedruck (Totaldruck)

des Gases im Einlauf der Düsert1 Dichte des Gases im Ruhezustand

im Einlauf der Düse

i) Die in den Normen und Richtlinien ge-nannten Werte für Durchflusskoeffizienten,Expansionszahlen, Messunsicherheiten usw.gelten nur für exakte geometrische Ähnlich-keit zwischen den im konkreten Anwen-dungsfall eingesetzten Drosselgeräten undden bei den Eichversuchen verwendetenDrosselgeräten.

Außerdem müssen die geraden Ein- undAuslaufstrecken hinsichtlich Länge undWandrauigkeit so beschaffen sein, dass dieGeschwindigkeitsprofile (vgl. Abschnitt4.7.3.2) im Zu- und Auslauf identisch sind mitden Geschwindigkeitsprofilen bei den Eich-versuchen.

Bild 6.59 Durchflusszahl a von Venturirohren mitrechteckigen Strömungsquerschnitten (nach [6.4])

Bild 6.60Venturi-Düse beikritischer Strö-mung (Laval-Düse)(nach [6.80])

Findet infolge geänderter Wandrauigkeit,Einbau von Rohrleitungselementen (vgl. Ab-schnitt 4.7.7) zu kurz vor oder zu kurz nachdem Drosselgerät oder durch drallbehafteteStrömung eine Deformation des Geschwin-digkeitsprofiles statt, ändern sich auch dieDurchflussbeiwerte und die Messunsicherhei-ten der Drosselgeräte.

In [6.4, 6.72, 6.74, 6.75, 6.81 und 6.82] sindausführliche Angaben über die erforderlichenEin- und Auslaufstrecken enthalten, die aberleider teilweise erheblich voneinander abwei-chen.

Können die in den Normen und Richtlinienangegebenen i.Allg. sehr langen Ein- undAuslaufstrecken (z.B. nach Tabellen 1 und 2 in[6.72]) nicht eingehalten werden, können diedadurch entstehenden erhöhten Messunsi-cherheiten und Zusatztoleranzen wenigstensteilweise durch den Einbau von Gleichrich-tern (siehe z.B. Bilder 1 bis 4 in [6.72]) vor denDrosselgeräten verringert werden.

In Bild 6.61 sind z.B. die Einlauflängen Aund die Auslauflängen B von Normdrossel-


geräten abhängig vom Durchmesserverhältnisb nach [6.72 und 6.74] dargestellt. Man er-kennt deutlich, dass die Norm [6.72] wesent-lich längere Einlauf- und Auslauflängen ver-langt als die auf anderen Richtlinien beru-hende Quelle [6.74].

Aus Bild 6.62 (nach [6.74]) kann derstörende Einfluss drallbehafteter Zuströmungauf die Durchflussmessung mittels Drossel-geräten ersehen werden. So beträgt z.B bei derBlendenmessung mit einem Durchmesserver-hältnis b = 0,32 und einem Drallwinkel j = 20°die Abweichung des DurchflusskoeffizientenC bereits 10%!

Venturi-Rohre reagieren wesentlich gerin-ger auf drallbehaftete Strömung.

Die Wirkung eines Gleichrichters auf dieVerkürzung der Einlauflänge beschreibt Bild6.63 aus [6.74].

Durchflussmessungen nicht Newton’scherFluide nach dem Wirkdruckverfahren sindnur sehr eingeschränkt möglich, wobei die inden Normen angegebenen Beiwerte undGrenzwerte nicht verwendet werden dürfen,

Bild 6.61Mindesteinlauf- und -auslauflängenvon Norm-Drosselgeräten nach ver-schiedenen Regelwerken (nach [6.72und 6.74])


sondern in speziellen Kalibrierversuchen er-mittelt werden müssen.

In [6.74] werden Hinweise für diese spe-ziellen Anwendungen gegeben.

6.5.4 Durchflussmessung in offenen Gerinnen

6.5.4.1 Messwehre (Überfallwehre)

Zur Messung relativ großer Volumenströme,die mit relativ kleinen Geschwindigkeiten undkleinen Froude-Zahlen (vgl. Abschnitt 4.6.4)durch offene Gerinne strömen, werden oftÜberfallwehre eingesetzt.

Je nach Größe des Volumenstroms V bzw.seines Schwankungsbereiches DV = Vmax – Vmin

werden in der Wehrplatte unterschiedlicheAusschnitte vorgesehen (Bild 6.64).

❑ Rechteckwehre für große Volumenströmeund einen Bereich Vmin/Vmax ≥ 0,5

❑ Dreieckwehre für V ª 0,2…100 l/s undVmin/Vmax ≥ 0,01

Bild 6.62 Einfluss des Dralles auf den Durchfluss-koeffizienten C (nach [6.74])

Bild 6.63Wirkung von Gleichrichtern auf die Einlauflängen von Drosselgeräten (nach [6.74])

❑ Trapezwehre als Kombination bzw. Zwi-schenform zwischen Rechteck- und Drei-eckwehr für mittlere Volumenströme.

Beim «klassischen» Rechteckwehr (Bild 6.65)wird das Wasser durch eine quer zur Strö-mung liegende dünne und scharfkantigePlatte von der Höhe s und der Kanalbreite Bauf die Überfallhöhe h angestaut. Für eine ein-wandfreie Ausbildung der Überströmung derWehrschneide in einem Strahl ist es zur Ver-meidung des Coanda-Effektes erforderlich,den Raum unterhalb des überströmendenStrahles seitlich zu belüften, außerdem mussdie Abflusshöhe hA hinter dem Wehr mindes-tens 0,1 m unterhalb der Wehrkante liegen.

Die Kanalwände müssen exakt parallel ver-laufen und das Geschwindigkeitsfeld im zumWehr zuströmenden Wasser sollte möglichstgleichförmig sein.


Der Volumenstrom V ist proportional zurÜberfallhöhe h.

Ausgehend von Gleichung 4.242 erhältman die bereits von GIOVANNI POLENI (1683 bis1761) [4.31] abgeleitete Durchflussgleichungfür nicht eingeschnürte Rechteckwehre:

d62gz2

V = m 0 · Ú b · d3z · dzcos d

z1

d = 0°; cos d = 1

z1 = 0; z2 = h

B = konstant = Kanalbreiteh

V = m · d62g · B · Ú d3z · dz0

2 h

V = m · d62g · B · 3 · z3/2 �3 0

2V = 3 · d62g · m · B · h3/2 (Gl. 6.38)

3

Zur Bestimmung des Überfallbeiwertes mwurden bereits seit Mitte des 18. Jahrhundertszahlreiche Versuche durchgeführt [4.31, 4.137]und daraus empirische Formeln für m abgelei-tet, von denen die von THEODOR REHBOCK

(1864 bis 1950) stammende Beziehung [4.31]wiedergegeben wird:

1 hm = 0,606 + 04 + 0,08 · 3 (Gl. 6.39)

1000 · h s

Anmerkung: die Überfallhöhe h ist in Metern(m) einzusetzen!

a) b) c) d)

Bild 6.64 Wehrformen. a) Rechteckwehr – volle Kanalbreite; b) Rechteckwehr mit Seitenkontraktion; c) Dreieckwehr; d) Trapezwehr

Bild 6.65 Überfallwehr

Weitere Formeln für m finden sich u.a. in[6.4, 6.23 und 6.83], sowie in den Abnahme-versuchsregeln für Wasserturbinen und Spei-cherpumpen [4.22].

Sollten die in den Normen vorgesehenenMaße nicht exakt eingehalten werden könnenoder ist das Geschwindigkeitsfeld im Bereichder Zuströmung ungleichförmig, empfiehltsich eine Kalibrierung der Wehrmessung mit-tels einer sorgfältig durchgeführten Netzmes-sung [6.54, 6.64, 6.84].

6.5.4.2 Venturi-Kanäle

Die Anwendung des Venturi-Prinzips zurDurchflussmessung in offenen Gerinnen ver-meidet den hohen Gefälleverlust hv des Über-fallwehres.

Der Kanal (Bild 6.66) wird zunächst düsen-förmig eingeschnürt, wodurch sich die Strö-mungsgeschwindigkeit nach dem Konti-nuitätsprinzip von w1 auf w2 erhöht. Gleichzei-tig sinkt der Wasserspiegel nach der Energie-gleichung vom Wert h1 auf den Wert h2.


Die Spiegelabsenkung Dh = h1 – h2 ent-spricht dem Wirkdruck Dp an einem Venturi-rohr in einer geschlossenen Rohrleitung unddient direkt zur Durchflussbestimmung.

Die Verengung des Kanals (in Bild 6.66 vonb1 auf b2) wird so gewählt, dass die Geschwin-digkeit w2 so groß wird, dass die damit gebil-

w2dete Froude-Zahl Fr2 = 92 > 1 wird, d.h. d9g · h2

schießender Abfluss eintritt (vgl. Tabelle 4.12). Bei schießender Strömung besteht folgen-

der Zusammenhang zwischen den Spiegel-höhen h1 und h2:

2h2 = 3 · h13

Der bleibende Druckverlust hv liegt dann beiüber 25% von h1, aber immer noch deutlichunter dem Wert hv des Überfallwehres.

Am Beispiel des im Bild 6.66 dargestelltenVenturi-Kanals mit rechteckigen Strömungs-querschnitten wird die Basisdurchflussglei-chung abgeleitet:

Bild 6.66Venturi-Kanal

Aus der Energiegleichung erhält man fürverlustfreie Strömung:

w 12 w2

25 + g · h1 = 5 + g · h22 2

Die Kontinuitätsgleichung bringt die Spiegel-höhen und Kanalbreiten mit ins Spiel:

Vth = w1 · b1 · h1 = w2 · b2 · h2

Die Strömungsgeschwindigkeit w2 an der Ein-schnürungsstelle ist identisch mit der sog.Schwallgeschwindigkeit w2 = d9g · h2, wodurchsich die Beziehung für Vth vereinfacht:

Vth = b2 · h2 · d9g · h2 = b2 · d3g · h23/2

2und mit h2 = 3 h1 bzw. h2

3/2 = 0,544 · h13/2

3

Vth = 0,544 · b2 · d3g · h13/2

Berücksichtigt man die Zulaufgeschwindig-keit mit einem Beiwert C und den Einfluss von Einschnürung und Reibung mit einer Ab-flusszahl m [6.23, 6.4], erhält man die reelleDurchflussgleichung von Venturi-Kanälen mitRechteckquerschnitten und schießender Strö-mung:

V = m · C · 0,544 · b2 · d3g · h13/2 (Gl. 6.40)

Zur Bestimmung des Durchflusses ist also beischießender Strömung nur die Messung derPegelhöhe h1 notwendig.

Angaben über die Durchflussbeiwerte mund C, auch anderer Kanalquerschnitte findensich u.a. in [6.4, 6.83 und 6.85].

6.5.5 Schwebekörper-Durchflussmesser

Mit Schwebekörper-Durchflussmessern lässtsich einfach, kostengünstig und mit zufrie-denstellender Genauigkeit der Durchfluss vonFlüssigkeiten und Gasen direkt messen.

In einem senkrecht stehenden, sich nachoben erweiternden konischen Messrohr ausGlas, Metall oder Kunststoff bewegt sich einkonischer, kugelförmiger oder zylindrischerSchwebekörper spezieller Form frei oder aneiner Gleitstange auf und ab (Bild 6.67).


Bei Durchströmung des konischen Mess-rohres von unten nach oben stellt sich derSchwebekörper so ein, dass sich die an ihmangreifenden Kräfte Auftrieb FA, Gewichts-kraft FG und Widerstandskraft Fw das Gleich-gewicht halten.

FA + Fw = FG

Bei Änderung des Volumenstroms verschiebtsich der Schwebekörper so im Messrohr, dasssich erneut ein Kräftegleichgewicht einstellt.

In Anlehnung an Abschnitt 4.10.4 kann man aus dem Kräftegleichgewicht die zumGleichgewichtszustand gehörende Anström-geschwindigkeit wan berechnen (ähnlich Glei-chung 4.294) und daraus unter Einbeziehungdes Strömungsquerschnitts den durchströmen-den Volumenstrom V bestimmen [6.2, 6.86].

805FG rV = a · Ds · f5 · �1 – 4� (Gl. 6.41)

r rs

Bild 6.67 Schwebekörper-Durchflussmessgerät(Prinzip)

V Volumenstroma Durchflusszahl = f (Form des Schwe-

bekörpers, Höhenlage z, Durchmesserver-hältnis Dk/Ds, Dichte r und Viskosität hdes durchströmenden Fluids) [6.86]

Ds Durchmesser des SchwebekörpersFG Gewichtskraft des Schwebekörpersr Dichte des Fluidsrs Dichte des Schwebekörpers

Per Kalibrierung kann man jeder Höhenlage zeindeutig einen Volumenstrom V eines be-stimmten Fluids zuordnen.

Die Ablesung des Messwertes V erfolgt inHöhe der Messkante des Schwebekörpers ander geeichten Skala des Messrohres. Dabeigelten die Skalen nur für die der Kalibrierungzugrunde gelegten Fluide, d.h. deren Dichtenund Viskositäten.

In [6.86] ist angegeben, wie man bei ande-ren Dichte- und/oder Viskositätswerten denVolumenstrom durch eine Korrekturrechnunganhand einer vorhandenen, kalibriertenDurchflussskala bestimmen kann.

Ähnliche Umrechnungsverfahren sind in[6.2] beschrieben, bzw. finden sich in den Be-triebsanleitungen der Hersteller.

Auswahl- und Einbauempfehlungen fürSchwebekörper-Durchflussmesser finden sichin [6.87], Angaben über die Genauigkeit in[6.88].


6.5.6 Magnetisch-induktive Durchflussmesser (MID)

Magnetisch-induktive Durchflussmesser arbei-ten nach dem vom britischen Physiker undChemiker MICHAEL FARADAY (1791 bis 1867)entdeckten Induktionsprinzip. FARADAY selbsthat bereits 1832 vorgeschlagen, das Induktions-prinzip zur Messung der Strömungsgeschwin-digkeit von elektrisch leitenden Flüssigkeitenin Rohrleitungen anzuwenden [6.23].

Bei Bewegung eines elektrischen Leiters, imvorliegenden Fall einer Flüssigkeit, senkrechtzu den Kraftlinien eines Magnetfeldes (Bild6.68) wird im Leiter eine Spannung induziert.

UE = KG · B · w– · D

mit:KG Gerätekonstante, deren Größe u.a. von

der Elektrodenanordnung abhängtB magnetische Flussdichte w– mittlere StrömungsgeschwindigkeitD Innendurchmesser des Rohres

Über die Kontinuitätsgleichung

pV = w– · D2 · 34

kann die Durchflussgleichung des MID ge-wonnen werden:

UE pV = 06 · D2 · 3KG · B · D 4

Bild 6.68Prinzip der magnetisch-induktivenDurchflussmessung (nach [6.2])

p · D 1 UEV = 9 · 5 · 5 (Gl. 6.42)4 KG B

Aus Gleichung 6.42 erkennt man, dass der ge-messene Volumenstrom V linear zum Rohrin-nendurchmesser D und zur induzierten Span-nung UE ist, sowie dass keine Abhängigkeitvon den Stoffeigenschaften Dichte und Visko-sität oder von den Zustandsgrößen Druck undTemperatur besteht.

Das Gerät eignet sich für beide Durch-strömrichtungen.

Lediglich die elektrische Leitfähigkeit derFlüssigkeit darf einen Mindestwert nicht un-terschreiten, wobei die Literaturangabenhierzu im Bereich von 1…5 mS/cm liegen.

Das Gerät enthält keine beweglichen Teileund vorstehenden Einbauten und ist unemp-findlich gegen Verunreinigungen in der Flüs-sigkeit.

Es entsteht praktisch kein Druckverlust. Das Gerät eignet sich auch für leicht pulsie-

rende Strömungen. Elektromagnetische Durchflussmesser wer-

den für Nennweiten zwischen 2…2000 mmangeboten und sind heute weit verbreitet inder Wasserver- und der Abwasserentsorgung,in der Chemie- und Verfahrenstechnik, in derNahrungsmittelindustrie, in der Papier- undZellstoffindustrie, in der Kraftwerkstechnikund in Forschungs- und Entwicklungslabors.

Die Strömungsgeschwindigkeit w– kann imBereich von 10 mm/s…10 m/s, d.h. 1 :1000variieren.

Die Messgenauigkeit ist sehr hoch, der ma-ximale Fehler liegt bei ±0,25…±0,5% vomSkalenendwert, bei einem Volumenstrombe-reich von 1:10.

Weiterführende Literatur findet sich in [6.2,6.4, 6.23, 6.53, 6.89, 6.90 und 6.91].

6.5.7 Ultraschall-Durchflussmesser(USD)

Ultraschall-Durchflussmesser nutzen nachverschiedenen berührungslosen Messverfah-ren die Veränderung eines akustischen Signalsin einem strömenden Fluid (Flüssigkeit oderGas).


Von den in [6.2, 6.23 und 6.53] ausführlichbeschriebenen Messverfahren werden in An-lehnung an [6.92] nur die 3 in der Praxis amhäufigsten genutzten Verfahren kurz aufge-führt.

a) Laufzeitdifferenzverfahren2 auf einer Rohrleitung angebrachte Sender/Empfänger senden und empfangen gleichzei-tig Ultraschallsignale (Bild 6.69).

Die Laufzeit t1 des gegen den Fluidstromlaufenden Signals beträgt:

Lt1 = 002a0 – w– · cosj

Die Laufzeit t2 des mit dem Fluidstrom laufen-den Signals ist kürzer:

Lt2 = 002a0 + w– · cosj

Aus den beiden Laufzeiten kann der Volu-menstrom V direkt bestimmt werden [6.2,6.23, 6.92 und 6.93]:

t1 – t2V = KG · 91 (Gl. 6.43)t1 · t2

V VolumenstromKG Gerätekonstante = f (Länge des akusti-

schen Pfades, Verhältnis zwischen radia-lem und axialem Sensorabstand, geometri-sche Form von Strömungsquerschnitt undGeschwindigkeitsfeld)

Bild 6.69 Ultraschall-Durchflussmessung mittelsLaufzeitdifferenzverfahren (nach [6.93])

t1 Laufzeit stromaufwärts gerichtett2 Laufzeit stromabwärts gerichtet

Die Sensoren können fest eingebaut sein oderals sog. Clamp-On-Sensoren von außen aufdie Rohrleitung montiert werden [6.93], ohnedass sie mit dem Fluid in Kontakt kommen.

b) Doppler-VerfahrenDas Doppler-Verfahren kann nur bei Fluidenangewandt werden, die Inhomogenitätenoder Verunreinigungen (Feststoffteilchen,Gasblasen) aufweisen, die die vom Sensorausgehenden Ultraschallwellen reflektieren(Bild 6.70).

Unter der Voraussetzung, dass die Partikel-bzw. Blasengeschwindigkeit mit der Strö-mungsgeschwindigkeit übereinstimmt, d.h.kein Schlupf vorhanden ist, kann aus dem Un-terschied zwischen ausgesandter Frequenz f1

und reflektierter Frequenz f2 unter Anwen-dung aufwendiger Auswerteverfahren derVolumenstrom V bestimmt werden:

V = KG · ( f1 – f2) (Gl. 6.44)

V VolumenstromKG Gerätekonstante = f (Einfallswinkel/

Brechungswinkel, Position des reflektie-renden Partikels, Strömungsquerschnitt)

f1 ausgesandte Frequenzf2 reflektierte Frequenz

c) DriftverfahrenBeim Driftverfahren (Bild 6.71) wird die Ab-lenkung eines Ultraschallsignals gemessen,


wenn es das strömende Fluid durchläuft undum den Wert s ausgelenkt wird.

Nach [6.92 und 6.2] kann die mittlere Strö-mungsgeschwindigkeit wm mit guter Nähe-rung wie folgt abgeschätzt werden:

swm = ao · 4d

mit ao als Schallgeschwindigkeit im ruhendenFluid.

Man kann wm auch über die zusätzlich ge-messene Signallaufzeit to bestimmen:

swm = 4to

Für vollgefüllte Rohre mit Kreisquerschnitt istdamit der Volumenstrom V bekannt:

pV = KG · wm · 3 · d2 (Gl. 6.45)

4

Die Größe der Gerätekonstante KG, auch Ge-schwindigkeitskonstante genannt, kann nach[6.92] abgeschätzt werden oder durch Kali-brierung mittels eines anderen hochgenauenDurchflussmessers im Versuch bestimmt wer-den.

Auch in [6.2], Abschnitt 6.3 finden sichnützliche Angaben zur Bestimmung des Volu-menstroms aus einem gemessenen Geschwin-digkeitsfeld.

Bild 6.70 Ultraschall-Durchflussmessung nach demDoppler-Verfahren (nach [6.93])

Bild 6.71 Ultraschall-Durchflussmessung nach demDriftverfahren (nach [6.92])

Das Driftverfahren wird hauptsächlich beiGasen angewandt [6.92].

6.5.8 Wirbelzähler-Durchflussmesser

Das Messprinzip der Wirbelzähler-Durchfluss-messer beruht auf der Messung der Frequen-zen von sich an den Kanten speziellerStaukörper (Wirbelkörper) rhythmisch ablö-senden Wirbeln Kármán’scher Wirbelstraßen(vgl. auch Abschnitt 4.10).

Nähere Einzelheiten über die den Gerätenzugrunde liegenden Theorien können u.a. in[4.36, 4.149 und 4.150] nachgelesen werden.

Die Geometrie des Staukörpers wird auf-grund von Erfahrungen so gewählt, dass dieStrouhal-Zahl

f · LSr = 7w

über einen möglichst großen Reynolds-Zahl-Bereich konstant bleibt (vgl. auch Bilder 4.208,4.209, 4.211 und 4.212, sowie Tafeln 35 und 36).

Gut geeignet sind deltaförmige Staukörper(Bild 6.72), bei denen die Strouhal-Zahl Srim Bereich 103 < Re < 3 · 105 mit dem Wert


Sr ª 0,15 nahezu konstant bleibt [6.23, 6.93],wodurch Messgenauigkeiten von ca. 1% vomMesswert erreicht werden können [6.93].

Aus der Definitionsgleichung der Strouhal-Zahl Sr (Gleichung 4.257) kann die Strö-mungsgeschwindigkeit w entnommen wer-den und daraus der durch das Gerät strö-mende Volumenstrom V berechnet werden:

f · Lw = 7Sr

pV = w 3 · d2

4

L pV = f · 5 · 3 · d2 (Gl. 6.46a)

Sr 4

oder mit Einführung des sog. K-Faktors [6.94]:

SrK = 05p

L · 3 · d24

fV = 4 (Gl. 6.46b)

K

Bild 6.72Wirbelzähler-Durchflussmesser (Prinzip) (nach [6.93])

V Volumenstrom f gemessene WirbelablösefrequenzSr Strouhal-Zahl des Staukörpers

(Wirbelkörpers) d Rohrinnendurchmesser

Bei der Kalibrierung der Geräte beim Herstel-ler wird der K-Faktor unter Berücksichtigungder Ein- und Auslaufstrecken genau bestimmt[6.93, 6.94].

6.5.9 Spezielle Verfahren

6.5.9.1 Durchflussmessung aus demDruckabfall in geraden Rohren

In den Abschnitten 4.7.2 und 4.7.3 ist die Be-rechnung des Druckabfalls infolge Reibung ingeraden Rohren mit gleichbleibendem, vollgefülltem Kreisquerschnitt ausführlich be-schrieben.

Der Druckabfall Dpv kann für laminare (Re< 2320) und turbulente (Re > 2320) Strömungnach Gleichung 4.137a bestimmt werden:

l rMessgröße DpV = p1 – p2 = l · 3 · 3 · w– 2

d 2

nach der mittleren Strömungsgeschwindig-V

keit aufgelöst w– = 82 aufgelöst:p

d2 · 3480522 · Dpv d 1

w– = f93 · 3 · 3r l lp

V = d2 · 3 · w–4

8052p 2 · Dpv d 1V = d2 · 3 · f93 · 3 · 3 (Gl. 6.47)

4 r l l


V Volumenstromd Rohrinnendurchmesserl Rohrlänge zwischen den � Bild 6.73Druckanbohrungen � und �Dpv Druckabfall zwischen � und �

(Messgröße)r Fluiddichtel Rohrreibungszahll = 64/Re bei laminarer Strömung (Re < 2320)

w– · dRe = 8 Reynolds-Zahl

nd

l = f �Re, 3� bei turbulenter Strömung k

(Re > 2320), siehe Tabelle 4.14 oder Tafel 30

k Rauigkeit der Rohrinnenwand n kinematische Viskosität des Fluids

Der Reibungsdruckverlust Dpv ist i.Allg. umGrößenordnungen kleiner als der WirkdruckDp von Drosselgeräten (Abschnitt 6.5.3), wes-halb die Genauigkeit des beschriebenen Mess-verfahrens sehr stark von der Genauigkeit desDruckmessgerätes und der exakten Bestim-mung der Rohrreibungszahl l abhängt.

Wichtig ist auch die Einhaltung genügendlanger Ein- und Auslaufstrecken vor und nachder eigentlichen Messstrecke zur Gewährleis-tung eines voll ausgebildeten Geschwindig-keitsprofiles (vgl. Abschnitt 4.7.8) an denDruckentnahmestellen � und �, damit dieauf die Zeit bezogene kinetische Energie (Strö-

rmungsleistung) Ekin = a · 4 · V · w–2 zwischen

2� und � konstant bleibt.

Das beschriebene Messverfahren hat in derPraxis nur bei laminaren Strömungen (Kapil-larströmungen) eine gewisse Bedeutung er-langt [6.4].

Bild 6.73Zur Erklärung des Druckabfalls in Gl. 6.47

Die exakte Bestimmung der Rohrreibungs-zahl l bei turbulenten Strömungen, insbeson-dere bei hydraulisch rauer Strömung bei starkbeschleunigten kompressiblen Strömungen istnur mittels Kalibrierung möglich, eine Ermitt-lung nur nach Literaturangaben wäre viel zuungenau. Aus diesem Grund wird das Verfah-ren bei turbulenter Strömung in der Praxis nursehr selten angewandt, obwohl es einfach undkostengünstig ist.

Die Ausführung der Druckbohrungenkann nach [6.4 bis 6.8] erfolgen (vgl. auch Bil-der 6.1 und 6.2).

6.5.9.2 Durchflussmessung an Rohrkrümmern

In Abschnitt 4.3.3 wurde abgeleitet, dass sichin einer Krümmerströmung (Bilder 4.31/4.32)eine radiale Druckdifferenz

dp w2

5 = 4dr r

herausbildet (Gleichung 4.37). Weiterhin wurde eine Beziehung zwischen

der Druckdifferenz pa – pi und dem durch denKrümmer (Bild 6.74) strömenden Volumen-strom V hergeleitet (Gleichung 4.38):


84p pa – piV = K · 3 · d92R · d3

i · f74 (Gl. 6.48)4 r

V VolumenstromK KalibrierbeiwertR mittlerer Krümmungsradiusdi Rohrinnendurchmesserr Fluiddichtepa Druck an der Krümmeraußenseitepi Druck an der Krümmerinnenseite

Der Kalibrierbeiwert K wird am besten in Ver-suchen, z.B. Netzmessungen (Abschnitt 6.5.2)möglichst genau bestimmt, auch genaue Mo-dellmessungen im Labor [6.95, 6.96] sindmanchmal sinnvoll.

In [6.97] finden sich Angaben über den Ka-librierbeiwert K in Abhängigkeit von der rela-tiven Wandrauigkeit di/k und der Reynolds-

w · diZahl Re = 9 (Tabelle 6.9). n

Die Literaturquelle [6.97] enthält auch de-taillierte Hinweise für Anordnung und Aus-führung der Druckentnahmebohrungen für pa

und pi.

Bild 6.74Durchflussmessung an einem Rohrkrümmer

Nach [6.95 bzw. 4.15] kann der Volumen-strom V für Krümmer mit Kreisquerschnittoder Rechteckquerschnitt mittels einer Glei-chung (6.48) ähnlichen Durchflussgleichungbestimmt werden, wobei die dabei verwand-ten Durchflusskoeffizienten K� und K� so-wohl theoretisch begründet und hergeleitetwerden als auch experimentell unter Berück-sichtigung der Krümmergeometrie, der Rau-igkeit k, der Reynolds-Zahl Re, der Anord-nung der Druckentnahmebohrungen für pa

und pi sowie der Ein- und Auslaufstrecken lein

und laus ermittelt wurden. In [6.96] werden ausführliche Modellversu-

che mit Luft an Krümmern mit Kreis- undRechteckquerschnitt beschrieben und für dieAnwendungspraxis zugeschnittene einfacheGebrauchsformeln zur Berechnung des Volu-menstroms angegeben, z.B. für Krümmer mitKreisquerschnitt:

831pa – piV = C3 · di

1, 8 · f731 (Gl. 6.49)r

Der Beiwert C3 kann aus Bild 6.75 entnommenwerden.

Weitere praxisrelevante Informationenüber die Durchflussmessung an Rohrkrüm-mern finden sich in [6.4, 6.23, 4.16, 4.17 und4.18].


6.5.9.3 Ellison-Annubar-Durchflussmesser

Mit größer werdendem Rohrinnendurchmes-ser steigen die Kosten für die «klassischen»Durchflussmessgeräte, z.B. Drosselgeräte(Abschnitt 6.5.3) oder Netzmessungen (Ab-schnitt 6.5.2) überproportional an.

Der Ellison-Annubar-Durchflussmesser(Bild 6.76), eine Mehrfach-Zylinderstaudruck-sonde, stellt einen vernünftigen, wirtschaftli-chen Kompromiss zwischen Einzelmessungz.B. in einem Drosselgerät, und einer zeitauf-wendigen Netzmessung dar und weist beirichtiger Anwendung und genauer Kalibrie-rung durch den Gerätehersteller eine Messun-sicherheit unter ±1,5% vom Messwert auf[6.93].

Die meisten Ellison-Annubar-Geräte besit-zen 4 Messbohrungen auf 2 Messkreisen derZuströmseite und meist nur 1 Messbohrungzentrisch auf der Rückseite der Sonde [6.23,6.53].

R/di di / k Re

50.000 75.000 100.000 200.000 300.000 500.000 1.000.000 ≥5.000.000

1.0 >1000 0.968 0.995 1.010 1.040 1.057 1.075 1.095 1.110500 0.955 0.995 1.015 1.045 1.060 1.075 1.090 1.10550–100 0.940 0.995 1.019 1.051 1.062 1.075 1.085 1.095

1.5 >1000 0.936 0.975 0.989 1.005 1.013 1.022 1.028 1.030500 0.928 0.970 0.987 1.007 1.017 1.028 1.036 1.04050–100 0.919 0.965 0.985 1.009 1.021 1.035 1.045 1.050

4.0 <1000 0.923 0.975 0.998 1.030 1.048 1.067 1.083 1.095500 0.852 0.890 0.920 0.954 0.971 0.991 1.009 1.02750–100 0.780 0.820 0.841 0.877 0.894 0.915 0.935 0.960

Tabelle 6.9 Kalibrierbeiwert K (nach [6.97])

Bild 6.75 Kalibrierbeiwert C3 (nach [6.96])

Es gibt auch Geräteausführungen, wo jederMessbohrung auf der Vorderseite eine Boh-rung auf der Rückseite entspricht [6.93].

Die Messbohrungen auf der Vorder- undauf der Rückseite werden jeweils zu einer ge-meinsamen Druckmessleitung für p1 und p2

zusammengefasst, d.h., die Drücke auf deneinzelnen Messradien werden gemittelt.

Für Rohrleitungen mit rechteckigem Strö-mungsquerschnitt werden in [6.23] Stabson-den empfohlen, die diagonal im Kanal ange-ordnet werden.

Nach [6.93] wird der Volumenstrom V wiefolgt aus dem gemessenen Differenzdruck(Wirkdruck) p1 – p2 bestimmt:

002 · (p1 – p2)V = K · f09 (Gl. 6.50)

r

V VolumenstromK Kalibrierfaktor (Herstellerangabe) K = f (Sondengeometrie, Rohrinnen-

durchmesser, Reynolds-Zahl usw.) p1 + Druck auf der Sondenvorderseite

(gemittelt)p2 – Druck auf der Sondenrückseite

(bei mehreren Bohrungen auch gemittelt) r Fluiddichte

Voraussetzung für genaue Messungen sindu.a. auch genügend lange ungestörte Rohrlän-gen im Einlauf von mindestens lein > 10 · d undAuslauf von mindestens laus > 5 · d [6.53].


Im Übrigen sind die Herstellerangaben ge-nau zu beachten.

Aus Platzgründen wurden nicht alle in derPraxis gängigen Durchflussmessgeräte bzw. -verfahren behandelt, so fehlen z.B. Massen-durchflussmesser nach dem Coriolis-Prinzip,Klappendurchflussmesser oder Markier- undImpfverfahren.

Informationen über diese Geräte bzw. Ver-fahren findet man in der häufig zitierten Fachli-teratur, z.B. in [6.2, 6.4, 6.23, 6.53 oder 6.93].

6.5.10 Pulsierende Strömungen

Die oben beschriebenen Durchflussmessver-fahren gelten streng genommen nur für sta-tionäre Strömungen, d.h. Strömungen, bei de-nen der durch das Messgerät strömende Volu-menstrom zeitlich konstant ist, bzw. bei Netz-messungen sich das Geschwindigkeitsfeldwährend des Messvorgangs nicht ändert.

Bei hochgenauen Messungen, z.B. bei Kali-brierungen, hat auch der Turbulenzgrad (Ab-schnitt 4.6.5), der die instationären Schwan-kungen von turbulenten Strömungen be-schreibt einen gewissen Einfluss auf die Mess-genauigkeit.

Bei instationären Strömungen ändert sichder Durchfluss in einer Funktion über die Zeit.Pendelt der Durchfluss um einen zeitlich kon-stanten Mittelwert, spricht man von pulsie-renden Strömungen.

Typische pulsierende Strömungen findensich z.B. in den Saug- und Druckleitungen

Bild 6.76Ellison-Annubar-Durchfluss-messer (nach [6.23])

von Pumpen und Verdichtern, die nach demVerdrängerprinzip arbeiten [6.98, 6.99] oder inden Ansaug- und Auspuffrohren von Kolben-verbrennungsmotoren.

Inwieweit Geschwindigkeitsmessgeräte,die bei Netzmessungen verwendet werden,auf Pulsationen reagieren, muss am besten beiden Geräteherstellern nachgefragt werden.Ebenso erhält man Informationen über denEinfluss von Pulsationen auf die Messgenau-igkeit der in den Abschnitten 6.5.5 bis 6.5.8 be-schriebenen Durchflussmessgeräten am bes-ten von den Geräteherstellern.

Für die häufig angewandten Wirkdruck-verfahren (Abschnitt 6.5.3) finden sich z.T.ausführliche Hinweise in der Fachliteratur,z.B. in [6.4].

In [6.100 und 6.101] wird nachgewiesen,dass der Einfluss der Pulsationen auf dieDurchflusskoeffizienten C (Gleichung 6.28) re-lativ gering ist, wogegen erhebliche Messfeh-ler durch Druckschwankungen in den Wirk-druckleitungen und den Druckmessgerätenauftreten, da sich sowohl die Wirkung vonDämpfungen schwer abschätzen lässt, alsauch keine exakte Mittelwertbildung für denschwankenden Wirkdruck angegeben werdenkann, zumal der genaue Verlauf der FunktionDp = f (Zeit) meistens unbekannt ist [6.4].

Auch bei der mathematischen Auswertung,oft im Gerät integriert, tritt ein Fehler auf, dadie Quadratwurzel aus dem mittleren Wirk-druck größer ist als der Mittelwert aus deneinzelnen Wurzelwerten. Nur dann, wenn derphysikalische Verlauf der Pulsationen imDrosselgerät auch am Wirkdruckmessgerätexakt angezeigt würde, könnte man aus derFunktion Dp = f (Zeit) eine genaue Mittelwert-bildung für den Volumenstrom vornehmen.

Am besten vermeidet man das Auftretenvon Pulsationen durch Dämpfung in denRohrleitungen, d.h. Herstellung einer statio-nären Strömung, beispielsweise durch ausrei-chend große Rohrleitungsvolumina, Puffer-zonen, Einbau von Dämpfern, sowie durchPositionierung des Durchflussmessgerätesmöglichst weit von der Störquelle (z.B. Ver-drängermaschine) entfernt.

In [6.4 und 6.97] sind Verfahren zur Fehler-abschätzung angegeben, von denen die in


[6.97] beschriebene vereinfachte Methodekurz wiedergegeben wird:

VifPuls = 5 = d0201 + A · B · t 2 (Gl. 6.51)

Vm

fPuls PulsationsfaktorVi am Messgerät angezeigter

VolumenstromVm wahrer Mittelwert des VolumenstromsA Faktor zur Berücksichtigung der

Pulsationsform Dp = f (Zeit), A = 0…0,25A = 0,125 für sinusförmige Schwankun-gen des MesssignalsA = 0, 25 für rechteckförmige Messsignale

B Faktor zur Berücksichtigung des Frequenzganges des MessgerätesB = 0…1; für gut gedämpfte Geräte wirdB = 1

1 Dpmax – Dpmint ª 3 · �003�2 Dp

Bild 6.77 Pulsationsfaktor fPuls (nach [6.97])

In Bild 6.77 ist der Pulsationsfaktor fPuls für si-nusförmige (schwarze Kurve) und rechteckige(rote Kurve) Messsignale in Abhängigkeit desdie Wirkdruckschwankungen charakterisie-renden Beiwertes t nach [6.97] wiedergegeben.

6.6 Viskosimetrie

In Abschnitt 1.4 wurde die Viskosität New-ton’scher und nicht Newton’scher Fluide aus-führlich definiert.

Zur messtechnischen Bestimmung der z.B.in Tabelle 1.5 dargestellten Fließ- und Visko-sitätskurven dienen Viskosimeter (Rheometer)verschiedener Konstruktions- und Wirkprin-zipien.

6.6.1 Rotationsviskosimeter

Rotationsviskosimeter bestehen aus einem umeine feste Achse rotierenden und einem fest-stehenden Teil.

Neben diversen Sonderausführungen wer-den von den Geräteherstellern 3 «klassische»geometrische Systeme angeboten, die sich al-lerdings in der Gerätetechnologie, in derMessgenauigkeit und im Preis unterscheidenkönnen:

❑ Koaxiale Zylinder❑ Platte–Kegel❑ Platte–Platte

Je nach dem zugrunde liegenden Messprinzipwerden 2 Konstruktionen unterschieden:

a) Geräte, bei denen durch ein geregeltesDrehmoment T die Schubspannung t defi-niert vorgegeben wird und gemäß Glei-chung 1.13 das zur dynamischen Viskositäth proportionale Geschwindigkeitsgefälle Dgemessen wird. Diese Geräte werden als CS-Rheometer(Controlled Stress-Rheometer) bezeichnet.

b) Geräte, bei denen ein definiertes Geschwin-digkeitsgefälle D eingestellt und die Schub-spannung t gemessen werden, woraus diedynamische Viskosität h bestimmt werdenkann. Diese Geräte heißen CR-Rheometer(Controlled Rate-Rheometer).


CS-Rheometer werden bei kleinen Geschwin-digkeitsgefällen D < 10° 1/s, CR-Rheometerbei größeren Geschwindigkeitsgefällen D > 10°1/s eingesetzt (Bild 6.78). Teure Präzisions-geräte lassen sich vom CS-Modus in den CR-Modus umschalten [6.102].

Je nachdem, welcher Geräteteil rotiert undwelcher Geräteteil feststeht, unterscheidet man2 Konstruktions- und damit Messprinzipien:

a) Searle-Messsysteme, bei denen der äußereZylinder bzw. die untere Platte feststehtund der innere Zylinder bzw. Kegel oderobere Platte rotieren. Searle-Messsystemegibt es in CS- und CR-Ausführung. Mit diesen Geräten können auch sehr kom-plexe rheologische Stoffeigenschaften be-stimmt werden.

b) Couette-Messsysteme in CR-Ausführung,bei denen der innere Zylinder, der Kegeloder die obere Platte festgehalten werdenund der äußere Zylinder bzw. die unterePlatte rotieren. Das Drehmoment T wirddabei am festgehaltenen Teil gemessen.

Der genaue Geräteaufbau, die Wirkungsweiseund die Einsatzgebiete der verschiedenenGeräte sind u.a. in [6.102 und 6.103] beschrie-ben.

In Tabelle 6.10 sind in Anlehnung an [6.103und 6.104] die Zusammenhänge zwischen denHauptparametern der Gerätegeometrie, demDrehmoment T, der Drehzahl n bzw. der Win-kelgeschwindigkeit w und der dynamischenViskosität h verschiedener Typen von Rota-tionsviskosimetern gegenübergestellt.

Bild 6.78 Bereiche des Geschwindigkeitsgefälles Dvon CS- und CR-Rheometern (nach [6.102])

Viskosimetrie 425

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6.79

Bild

6.80

Bild

6.81

6.6.2 Fallkörperviskosimeter

Fällt ein Festkörper, z.B. eine Kugel mit derDichte rK, im freien Fall durch eine Flüssigkeitmit der Dichte rFl < rK, so ist dieser Strö-mungszustand nach Zurücklegung einer ge-wissen Anlaufstrecke so , d.h. bei konstantbleibender Fallgeschwindigkeit w, vergleich-bar mit dem Strömungszustand eines in eineraufwärts gerichteten Strömung schwebendenKörpers, wie es in Abschnitt 4.10.4 beschrie-ben ist. Die am Körper angreifenden 3 Kräfte(Bild 4.234)

❑ Gewichtskraft G = V · rK · g❑ Auftriebskraft FA = V · rFl · g (Gl. 2.36)

rFl

❑ Widerstandskraft Fw = cw · 5 · w2 · ASt2 (Gl. 4.283)

halten sich das Gleichgewicht:

G = FA + Fw

Für einen kugelförmigen Fallkörper könnengesetzt werden:

pV = 3 · d3

6

pASt = 3 · d2

4

für sehr kleine Fallgeschwindigkeiten gilt:24

cW = 5 (Gl. 4.285)Re

w · d w · d · rFlmit Re = 8 = 06n h

Damit erhält man folgenden Ausdruck für dasKräftegleichgewicht:

p p3 · d3 · rK · g = 3 · d3 · rFl · g + 3 · h · p · d · w6 6

Durch Kürzen und Umstellen ergibt sich letzt-endlich:

g · d2

h = 92 (rK – rFl)18 · w

Ersetzt man die Geschwindigkeit w durch den Weg s

Ausdruck w = 95 = 5 bekommt man Fallzeit Dt


die endgültige Schreibweise der Funktions-gleichung von Fallkörperviskosimetern:

g · d2

h = 9 (rK – rFl) · Dt18 · s

bzw. nach Einführung der Gerätekonstante g · d2

KG = 9 , die zusätzlich noch den Einfluss 18 · s

des Verhältnisses Kugeldurchmesser/Fall-rohrdurchmesser berücksichtigt [6.102]:

h = KG · (rK – rFl) · Dt (Gl. 6.56)

h dynamische ViskositätKG GerätekonstanterK Dichte der KugelrFl Dichte der FlüssigkeitDt Fallzeit längs der Fallstrecke s (Bild 6.82)

Das bekannteste Fallkörperviskosimeter istdas Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER, dasin Bild 6.82 schematisch dargestellt ist [6.3,6.102, 6.105].

Bild 6.82 Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER

(Prinzip)

6.6.3 Kapillarviskosimeter

Das Kapillarverfahren ist technikgeschichtlichdas älteste Messverfahren zur Bestimmungder Viskosität und beruht auf der Anwendungder Hagen-Poiseuille’schen Gleichung 4.127,die bekanntlich den Druckabfall der lamina-ren Rohrströmung beschreibt.

p · ro4 · (p1 – p2)V= 0068 · h · l

Gleichung 4.127 gibt den theoretisch ausströ-menden Volumenstrom an, da die den Volu-menstrom reduzierenden Einlaufverluste Dpv, 1

(Abschnitt 4.7.8, Bild 4.169, Gleichung 4.206)und Auslaufverluste Dpv, 2 (Abschnitt 4.7.7.3)nicht berücksichtigt werden.

Der Volumenstrom V wird durch den Quo-tienten DV/Dt ersetzt, wobei DV das währendder Messzeit ausströmende Volumen ist.Außerdem wird gemäß Gleichung 2.14 derDruckunterschied p1 – p2 durch die mittlereAusflusshöhe hm (Bild 6.83) ausgedrückt.

Viskosimetrie 427

Ein- und Auslaufverluste werden nach[6.106] durch Einfügen eines Korrekturgliedesberücksichtigt und gleichzeitig die Hagen-Poiseuille’sche Gleichung nach der dynami-schen Viskosität umgestellt:

p · ro4 · (p1 – p2) · Dt r · DV

h = 0003 – a · 098 · l · DV 8 · p · l · Dt

Nach [6.106] erfasst der Beiwert a die Geome-trie der Kapillare einschließlich der Form desEinlaufs und liegt in den Grenzen

0,5 ≤ a ≤ 1,12

p1 – p2 = r · g · hm

Weiterhin wird die dynamische Viskositäth

durch die kinematische Viskosität n = 3 er-r

setzt, wodurch die Dichte r herausfällt unddie gerätespezifischen Werte ro, hm, l, DV und azu Gerätekonstanten zusammengefasst:

p · ro4 · r · g · hm r · DV 1

n = 007 · Dt – a · 08 4r · 8 · l · DV r · 8 · p · l Dt14243 1442443

KG, 1 KG, 2

KG, 2n = KG, 1 · Dt – 8 (Gl. 6.57)

Dt

Ausführliche Informationen über die ver-schiedenen geometrischen und funktionellenVarianten von Kapillarviskosimetern, wie z.B.Viskosimeter nach UBBELOHDE oder CANNON-FENSKE, über verschiedene Ausführungen vonSchmelzindex-Geräten, wie sie in der Kunst-stofftechnik angewandt werden oder die sehrungenau arbeitenden Auslaufbecher nachENGLER, SAYBOLD, REDWOOD, FORD oder DINfinden sich u.a. in [6.102, 1.7, 1.10, 1.12 und1.13].

Neben den Hinweisen in den Gebrauchs-anleitungen der Gerätehersteller können auchdie einschlägigen Normen und Regelwerkehilfreich sein, z.B. [6.107].

In [6.3], Abschnitt 7.3 werden Kapillarvis-kosimeter zur fortlaufenden Viskositätsbe-stimmung, z.B. in Produktionsprozessen, sog.Permanent-Viskosimeter, beschrieben. Bild 6.83 Kapillarviskosimeter (Prinzip)

I. Spezielle Literatur zu den einzelnen Kapiteln

Literatur zu Kapitel 1

1.1 HENSTENBERG, J., STURM, B., und WINKLER, O.:Messen, Steuern und Regeln in der chemischenTechnik. Band II, Berlin, Heidelberg, NewYork: Springer Verlag, 1980.

1.2 VDI/VDE-Richtlinie 2040/Blatt 4: Berech-nungsgrundlagen für die Durchflußmessungmit Drosselgeräten, Stoffwerte.

1.3 VDI-Richtlinie 2045/Blatt 2: Wärmetechni-sche Abnahme- und Leistungsversuche anVerdichtern Grundlagen und Beispiele (VDI-Verdichterregeln).

1.4 SCHMIDT, E. (Herausgeber): Properties of Waterand Steam in SI-Units. Berlin: Springer Verlag,1982.

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1.11 DIN 1342: Viskosität – Rheologische Begriffe.1.12 Fa. Texaco, Hamburg, Schmierung, Nr. 3/1969

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4.149 von KÁRMÁN, T. H, RUBACH, H.: Über den Me-chanismus des Flüssigkeits- und Luftwider-standes. Physikalische Zeitschrift, 13. Jahrgang,No. 2, 15. Jan. 1912, S. 49–59.

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4.151 RUSCHEWEYH, H.: Dynamische Windwirkung anBauwerken, Band 2, Praktische Anwendun-gen. Wiesbaden und Berlin: Bauverlag, 1982.

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4.159 SAWATZKI, O.: Reibungsmoment rotierenderEllipsoide. Karlsruhe: Verlag G. Braun, Strö-


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4.167 SUCKER, D., BRAUER, H.: Fluiddynamik beiquer angeströmten Zylindern. Wärme undStoffübertragung 8 (1975), S. 149–158.

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4.173 IHME, F., SCHMIDT-TRAUB, H., BRAUER, H.:Theoretische Untersuchung über die Umströ-mung und den Stoffübergang an Kugeln. Che-mie-Ing. Techn. 44. Jahrg. (1972), Nr. 5, S.306–313.

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4.178 SPANG, B.: VDI-Wärmeatlas, Abschnitt Ldb 1,1997. Druckverlust bei der Strömung quer zuberippten Kreis- und Ovalrohrbündeln.

4.179 ZUKAUSKAS, A., ULINSKAS, A.: Banks of plainand firmed tubes. in: Heat Exchanger DesignHandbook Mappe 2, Abschnitt 2.2.4. Wash-ington, New York: Hemisphere PublishingCorporation London und Düsseldorf: VDIVerlag, 1983.

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4.183 HUCHO, W.-H. (Hrsg): Aerodynamik des Auto-mobils. Düsseldorf: VDI Verlag, 1994.

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4.194 LAFAY, M.: Contribution expérimentale àl’aérodynamique du cylindre et à l’étude duphénomène de MAGNUS. Revue de Mécanique.Paris: Mai 1912.

4.195 FLETTNER, A.: Mein Weg zum Rotor. Leipzig:Verlag Koehler & Amelang, 1926.

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4.197 KUTTA, A.: Auftriebskräfte in strömendenFlüssigkeiten. Illustrierte Aeronautische Mittei-lungen 1902, Nr. 1, S. 6.

4.198 JOUKOWSKY, N.E.: Gesammelte Werke, Bände Ibis VII. Moskau (in russischer Sprache) 1948bis 1950.

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4.203 PERSEKE, F.: Das Segelflugmodell – Teil 1,Grundlagen, Theorie, Profile. Villingen-Schwenningen: Neckar Verlag, 1983.

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4.208 SCHLICHTING, H., TRUCKENBRODT, E.: Aerodyna-mik des Flugzeuges, 2 Bände, Berlin, Heidel-berg, New York: Springer Verlag, 1967 und1969.

4.209 PRANDTL, L., OSWATITSCH, K., WIEGHARDT, K.:Führer durch die Strömungslehre. Braun-schweig: Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsge-sellschaft mbH, 1984.



5.1 SCHADE, H., KUNZ, E.: Strömungslehre. Berlin:de Gruyter, 1980.

5.2 OERTEL JR., H. (Hrsg.): Prandtl-Führer durch dieStrömungslehre. Braunschweig/Wiesbaden:Vieweg Verlag, 2001.

5.3 MUNSON, B. R., YOUNG, D. F., OKIISHI, T. H.:Fundamentals of Fluid Mechanics. New York:John Wiley & Sons, Inc., 1998.

5.4 WINDISCH, H.: Thermodynamik. München,Wien: Oldenbourg Verlag, 2001.

5.5 BAEHR, H. D.: Thermodynamik. Berlin: Sprin-ger-Verlag, 1989.

5.6 VDI-Wärmeatlas (Atlas und CD-ROM). Hei-delberg: Springer Verlag, 2002.

5.7 WAGNER, W., KRUSE, A.: Properties of Water andSteam. Berlin: Springer Verlag, 1998.

5.8 SAINT-VENANT, J. C. B. DE, WANTZEL, P.-L.:Memoires et experiences sur l’écoulement del’air determine par des differences de pressi-ons considerables. J. Ecole Polytechnique, 27(85–122), 1839.

5.9 KÜMMEL, W.: Technische Strömungmechanik.Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden: Teubner, 2001.

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5.11 TRUCKENBRODT, E.: Fluidmechanik, Band 2. Ber-lin: Springer, 1999.

5.12 GANZER, U.: Gasdynamik. Berlin: Springer,1988.

5.13 KRAUSE, E.: Strömungslehre, Gasdynamik undAerodynamisches Laboratorium. Stuttgart: Teub-ner Verlag, 2003.

5.14 PRECHTER, H.: Gesichtspunkte zur Auslegungvon Diffusoren unter Berücksichtigung neue-rer Forschungsergebnisse. Maschinenmarkt-82(1961) 10, S. 19–26.

5.15 BOHL, W., ELMENDORF, W.: Strömungsmaschi-nen 1. 9. Auflage, Würzburg: Vogel Buchver-lag, 2004.



6.1 VDI 3786/Blatt 16, Umweltmeteorologie –Messung des Luftdruckes.

6.2 FREUDENBERGER, A.: Prozeßmeßtechnik. Würz-burg: Vogel Buchverlag, 2000.

6.3 PROFOS, P., PFEIFER, T.: Handbuch der industriel-len Meßtechnik, 6. Auflage – Kapitel 7.1. Mün-chen, Wien: R. Oldenbourg, 1994.

6.4 HENGSTENBERG, J., STURM, B., WINKLER, O.:Messen, Steuern und Regeln in der chemischenTechnik. 3. Aufl. – Kapitel 2. Berlin, Heidel-berg, New York: Springer Verlag, 1980.

6.5 DIN EN ISO 5167-1: Durchflussmessung vonFluiden mit Drosselgeräten.

6.6 ISO 2548/ISO 3555/ISO 5198: Centrifugal,mixed flow and axial pumps. Code for accep-tance tests.

6.7 DIN 24163/Teile 1, 2 und 3: Ventilatoren –Leistungsmessung.

6.8 ISO 5801: Industrial Fans. PerformanceTesting Using Standardized Airways.

6.9 VDI 2045/Teile 1 und 2: Abnahme- und Leis-tungsversuche an Verdichtern.

6.10 VDI 2080: Messverfahren und Messgeräte fürraumlufttechnische Anlagen.

6.11 WIKA: Handbuch der Druckmeßtechnik mit fe-derelastischen Messgliedern. Klingenberg/Main,Fa. Alexander Wiegand GmbH & Co. KG, 1995.

6.12 BACHMANN, W.: Manometrie – Theorie und Pra-xis der Druckmeßtechnik. Leipzig: VEB Fach-buchverlag, 1964.

6.13 WEISSLER, G.: Handbuch der Druckmeßtechnik,2. Aufl. Transamerica Instruments GmbH, 61169 Friedberg/Hessen, 1987.

6.14 SCHIESSLE, E.: Sensortechnik und Meßwertauf-nahme. Würzburg: Vogel Buchverlag, 1992.

6.15 VDE/VDI 2635: Dehnungsmeßstreifen mitmetallischem Gitter. Kenngrößen und Prüfbe-dingungen.

6.16 BONFIG, K. W. u. a.: Technische Druck- undKraftmessung. Ehningen: expert verlag, 1988.

6.17 KURATLE, R.: Motorenmeßtechnik. Würzburg:Vogel Buchverlag, 1995.

6.18 Meyers Kleines Lexikon Meteorologie: Mann-heim, Wien, Zürich: Meyers Lexikon Verlag1987.

6.19 WUEST, W.: Strömungmeßtechnik. Braun-schweig: Friedr. Vieweg & Sohn: 1969.

6.20 DAHLEM, TH., PFAFFRATH, D.: Theoretische undexperimentelle Untersuchungen an einem Flügel-radanemometer. Deutsche Luft- und Raum-fahrt. München, Forsch. Ber. 66–07.

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6.22 DE PITOT, H.: Description d’une machine pourmesurer la vitesse des eaux et le sillage des vais-seaux. Histoire de l’Academie des Sciences,1732, Paris

6.23 FIEDLER, O.: Strömungs- und Durchflußmeß-technik. München, R. Oldenbourg Verlag,1992.

6.24 BRODERSEN, S.: Ein Beitrag zur Messung derGeschwindigkeits- und Druckverteilung imNachlauf von Ventilatoren- und Pumpen-laufrädern mit Hilfe von zeitlich auflösendenMiniaturdruckaufnehmern. Forschung im In-genieurwesen Bd. 55 (1989), Nr. 5, S. 158/163.

6.25 BRODERSEN, S., WULFF, D.: Measurements ofthe Pressure and Velocity Distribution inLow-Speed Turbomachinery by Means ofHigh-Frequency Pressure Transducers. Trans-actions of the ASME, Vol. 114, January 1992, S. 100/106.

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6.28 WUEST, W.: Eigenschaften von Zylinderson-den zur Strömungsmessung. Zeitschrift für Instrumentenkunde. 71. Jahrgang, 1963, Heft 7,S. 187/197.

6.29 HEIKAL, H.: Dreidimensionale Vermessungaerodynamischer Strömungen mit Hakenson-den. Technisches Messen tm (1980), Heft 11, S. 417/421.

6.30 GOSSWEILER R., KUPFERSCHMIED, P., GYARMA-THY, G.: On Fast-Response Probes: Part 1 –Technology, Calibration and Application toTurbomachinery. Presented at the Internatio-nal Gas Turbine and Aeroengine Congressand Exposition Den Haag (NL) 13. bis 16. Juni1994.

6.31 HEIKAL, H.: Dreidimensionale Vermessungaerodynamischer Strömungen mit Hakenson-den. Technisches Messen tm (1980), Heft 12, S. 449/453.

6.32 CONRAD, O.: Geräte zur Messung von Strö-mungsrichtungen. ATM – Blatt V, 116–2, Ok-tober 1950.

6.33 WALRAEVENS, R.E.: Experimentelle Analysedreidimensionaler Stömungseffekte in einer 11/2-stufigen Axialturbine. Fortschritt-Be-richte VDI-Reihe 7-Strömungstechnik – Nr.385, Düsseldorf, 2000.

6.34 ELMENDORF, W.: Experimentelle und theoreti-sche Untersuchung einer diagonalen Über-


schallverdichterstufe mit neu entwickeltemTandemleitrad. Dissertation RWTH Aachen,1994.

6.35 HENEKA, A.: Entwicklung und Erprobung ei-ner Keilsonde für instationäre dreidimensio-nale Strömungsmessungen in Turbomaschi-nen. Dissertation Uni Stuttgart, 1983.

6.36 GOLDSTEIN, R.J.: Fluid Mechanics Measurements.Washington, New York, London. Verbreitungaußerhalb der USA durch Springer-Verlag,Berlin 1983.

6.37 MARCINOWSKI, H.: Druck- und Geschwindig-keitsverteilung hinter dem Laufrad eines Axi-alventilators. Voith: Forschung und Konstruk-tion Heft 2 (1957).

6.38 BECKER, H.: Numerische Berechnung abgelös-ter Innenströmung am Beispiel eines Radial-verdichterkanals. Dissertation Uni Stuttgart,1984.

6.39 STRICKERT, H.: Hitzdraht- und Hitzfilmanemome-ter. Berlin: Verlag Technik, 1974.

6.40 HORVATIN, M.: Einige Probleme der analyti-schen Kalibrierung von Hitzdrahtsonden.Teil I – ATM V 1248 – 4, Februar 1971, S. 15/18. Teil II – ATM V 1248 – 5, März 1971,S. 37/40.

6.41 JACOB, U.: Messung der Strömungsgeschwin-digkeit von Gasen mit dem Hitzdraht-Ane-mometer. ATM (Archiv für Technisches Messen)V 116-3/4. München: Oldenbourg Verlag,1954.

6.42 WEHRMANN, O.: Methoden und Anwendun-gen der Hitzdraht-Meßtechnik für Strö-mungsvorgänge. Zeitschrift Konstruktion, Heft8, 1958, S. 299/307.

6.43 STARITZ, R. F.: Die elektronische Messung derStrömungsgeschwindigkeit und der Turbu-lenz. VDI-Z 102, 1960, S. 94/97.

6.44 NITSCHE, W., HABERLAND, C.: Ein vereinfach-tes Eichverfahren für Hitzdrahtanemometer(Einzelpunkteichung). Z. Flugwiss. Weltraum-forsch., Bd. 8, 1984, Nr. 4, S. 264/270.

6.45 DOPHEIDE, D., TAUX, G.: Entwicklung einesprozeßrechnergesteuerten Laser-Doppler-Anemometers für Geschwindigkeitsmessun-gen in der Strömungsmeßtechnik. VDI-Be-richte Nr. 424, 1981, S. 193/202.

6.46 DURST, F., MELLING, A., WHITELAW, J. H.: Theorie und Praxis der Laser-Doppler-Anemome-trie, 1. Auflage. Karlsruhe: G. Braun Verlag,1987.

6.48 RUCK, B. (Hrsg): Lasermethoden in der Strö-mungmesstechnik. Stuttgart: AT-Fachverlag,1990.

6.49 DUES, M., KALLWEIT, S., RADKE, M.: Möglich-keiten und Grenzen laseroptischer Verfahrenzur Untersuchung hydraulischer Stömungs-

maschinen. Forschung im Ingenieurwesen.Band 60 (1994), Nr. 11/12, S. 332/336.

6.50 VDI-Berichte Nr. 231: Tagung Füllstandsmeß-technik. Düsseldorf: VDI-Verlag, 1975.

6.51 VDI/VDE 3519: Füllstandsmessung von Flüs-sigkeiten und Feststoffen (Schüttgütern).

6.52 BERNARD, H., BONFIG, K. W.: Technische Füll-standsmessung und Grenzzustandskontrolle. Eh-ningen: Expert-Verlag, 1990.

6.53 BONFIG, K. W.: Technische Durchflußmessung, 3.Aufl. Essen: Vulkan-Verlag, 2002.

6.54 VDI/VDE 2640/Blatt 1: Netzmessungen inStrömungsquerschnitten. Allgemeine Richtli-nien und mathematische Grundlagen.

6.55 VDI/VDE 2640/Blatt 2: Netzmessung in Strö-mungsquerschnitten. Bestimmung des Was-serstromes in geschlossenen, ganz gefülltenLeitungen mit Kreis- oder Rechteckquer-schnitt.

6.56 VDI/VDE 2640/Blatt 3: Netzmessungen inStrömungsquerschnitten. Bestimmung desGasstromes in Leitungen mit Kreis-, Kreis-ring- oder Rechteckquerschnitt.

6.57 ISO 3966: Measurement of fluid flow in clo-sed conduits – Velocity-area method using Pi-tot static tubes.

6.58 ISO 3354: Measurement of clean water flow inclosed conduits – Velocity-area method usingcurrent-meters.

6.59 VDI 2044: Abnahme- und Leistungsversuchean Ventilatoren (VDI – Ventilatorregeln).

6.60 ISO 5802: Industrial fans. Methods of perfor-mance testing in situ.

6.61 RICHTER, W.: Log-Linear-Regel – ein einfachesVerfahren zur Volumenstrommessung inRohrleitungen. HLH Bd. 20 (1969) Nr. 11, S. 407/409.

6.62 RICHTER, W.: Log-Tschebyscheff-Regel für dieVolumenstrommessung in Rohrleitungen.HLH Bd. 22 (1971) Nr. 12, S. 390/392.

6.63 RICHTER, W.: Arithmetische Methoden fürNetzmessungen des Volumenstromes in Lei-tungen mit Rechteckquerschnitt. HLH Bd. 23(1972) Nr. 8, S. 250/253.

6.64 ISO 748: Liquid flow measurement in openchannels. Velocity-area methods.

6.65 ISO 1070: Liquid flow measurement in openchannels. Slope-area method.

6.66 RENNER, K., GRAUMANN, K., KEILHOFER, J.:Netzmessungen in Strömungquerschnitten.BWK Bd. 38 (1986) Nr. 1/2, S. 26/30.

6.67 GRAUMANN, K.: Zur VDI/VDE-RichtlinieNetzmessungen in Strömungsquerschnitten.VDI-Berichte Nr. 254, 1976, S. 43/47.

6.68 RENNER, K.: Zur Netzmessung in Rechteck-querschnitten. VDI-Berichte Nr. 254, 1976, S. 49/56.


6.69 RENNER, K.: Berücksichtigung der Randzonebei der Durchführung von Netzmessungen.VDI-Berichte Nr. 254, 1976, S. 57ff

6.70 RICHTER, W.: Volumenstrommessung in Leitun-gen mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt. BWKBd. 22 (1980) Nr. 11, S. 523/525.

6.71 ISO 7194: Measurement of fluid flow in clo-sed conduits. Velocity-area methods of flowmeasurement in swirling or asymmetric flowconditions in circular ducts by means of cur-rent-meters or Pitot static tubes.

6.72 DIN EN ISO 5167-1 (Ersatz für DIN 1952):Durchflussmessung von Fluiden mit Drossel-geräten. Teil 1: Blenden, Düsen und Venturi-rohre in voll durchstömten Leitungen mitKreisquerschnitt.

6.73 VDI/VDE 2041: Durchflussmessung mitDrosselgeräten, Blenden und Düsen für be-sondere Anwendungen.

6.74 MILLER, R. W.: Flow Measurement EngineeringHandbook, 3. edition. Boston, etc., McGraw-Hill, 1996.

6.75 VDI/VDE 2040/Blatt 1: Berechnungsgrund-lagen für die Durchflussmessung mit Blen-den, Düsen und Venturirohren.

6.76 VDI/VDE 2040/Blatt 2: Berechnungsgrund-lagen für die Durchflussmessung mit Blen-den, Düsen und Venturirohren. Gleichungenund Gebrauchsformeln.

6.77 VDI/VDE 2040 Blatt 3: Berechnungsgrundla-gen für die Durchflussmessung mit Blenden,Düsen und Venturirohre – Berechnungsbei-spiele.

6.78 WUNSCH, W., HERNING, F.: Mengenstrommes-sung mit verstellbarer Segmentblende. Gas-und Wasserfach 94 (1953), S. 497.

6.79 BURKE, O.: Die Expansionszahl von Viertel-kreisdüsen. BWK 24 (1972) Nr. 8, S. 304/308.

6.80 EN ISO 9300: Durchflussmessung von Gasenmit Venturidüsen bei kritischer Strömung.

6.81 SCHRÖDER, A.: Notwendige störungsfeieRohrstrecken für Düsen und Blenden. BWK13 (1961), S. 20/24.

6.82 CALAME, H., SCHRÖDER, A.: Problematik derEinlaufstrecken von Durchflussmessern – Ver-such einer Definition und eines Vergleiches.VDI Berichte Nr. 375 (1980). Durchflusstechnik– 50 Jahre Normen und Richtlinien S. 67/74.

6.83 ERB, H. G.: Durchfluss-Messtechnik für die Was-ser- und Abwasserwirtschaft. Essen: Vulkan-Verlag, 1997.

6.84 BOHL, W., MATHIEU, W.: Laborversuche an Kraft-und Arbeitsmaschinen. München: Carl HanserVerlag, 1975.

6.85 DIN 19559/Teil 2: Durchflussmessung vonAbwasser in offenen Gerinnen und Freispie-gelleitungen – Venturi-Kanäle.

6.86 VDI/VDE 3513/Blatt 1: Schwebekörper-Durchflussmesser. Berechnungsverfahren.

6.87 VDI/VDE 3513/Blatt 3: Schwebekörper-Durchflussmesser. Auswahl- und Einbau-empfehlungen.

6.88 VDI/VDE 3513/Blatt 2: Schwebekörper-Durchflussmesser.

6.89 DIN EN ISO 6817: Durchflussmessung vonleitfähigen Flüssigkeiten in geschlossenenLeitungen – Verfahren mit magnetisch-induk-tiven Durchflussmessgeräten.

6.90 VDI/VDE 2641: Magnetisch-induktiveDurchflussmessung.

6.91 VDI/VDE 2644: Auswahl und Einsatz vonDurchflussmesseinrichtungen.

6.92 VDI/VDE 2642: Ultraschall-Durchflussmes-sung von Fluiden in voll durchstömten Rohr-leitungen.

6.93 ENDRESS + HAUSER: Durchfluss-Handbuch, 4.Auflage. CH-4153 Reinach/BL, 2003.

6.94 VDI/VDE 2643: Wirbelzähler zur Volumen-und Durchflussmessung.

6.95 RÁKÓCZY, T.: Mengenmessung strömenderFlüssigkeiten oder Gase duch einen Krüm-mer. Heiz.-Lüft.-Haustechn. (HLH) 12 (1961), S.329/332.

6.96 SENTEK, J., ODZIEWA, B.: Durchflussmessver-fahren an gekrümmten Rohren. Maschinen-bautechnik 27 (1978) Heft 6, S. 277/279.

6.97 PRESTON, T. S.: Shell Flow Meter EngineeringHandbook. Delft (NL): Waltman PublishingCompany, 1968.

6.98 FRITSCH, H.: Druckpulsation und Resonanzer-scheinungen in Rohrleitungen oszillierenderVerdrängerpumpen. 3 R international, Heft 3,1982.

6.99 VETTER, G., FRITSCH, H.: Auslegung der Rohr-leitungen für oszillierende Verdränger-pumpen. Rohre, Rohrleitungen, Rohrleitungs-transport, 1972, S. 300/313.

6.100 HERNING, F.: Grundlagen und Praxis der Durch-flussmessung. Düsseldorf: VDI-Verlag, 1967.

6.101 SCHULTZ-GRUNOW, F.: Durchflussmessverfah-ren für pulsierende Strömungen. Forschungauf dem Gebiet des Ingenieurwesens, Heft 12(Mai/Juni) 1941, S. 117/126.

6.102 SCHRAMM G.: Einführung in Rheologie undRheometrie. Handbuch der Fa. Gebr. HAAKEGmbH, Karlsruhe 1995 (siehe auch [1.8]).

6.103 DIN 53018: Messung der dynamischen Visko-sität newton’scher Flüssigkeiten mit Rotati-onsviskosimetern.

6.104 DIN EN ISO 3219: Kunststoffe – Polymere/Harze in flüssigem emulgiertem oder disper-giertem Zustand – Bestimmung der Visko-sität mit einem Rotationsviskosimeter bei de-finiertem Geschwindigkeitsgefälle.

440 DIN-Normen und VDI-Richtlinien

6.105 DIN 53015: Messung der Viskosität mit demKugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER.

6.106 MESCH, F. (Hrsg): Messtechnisches Praktikum, 3.Auflage. Mannheim, Bibliografisches InstitutAG, 1981.

6.107 DIN 51562: Messung der kinematischen Vis-kosität mit dem Ubbelohde-Viskosimeter.

II. Allgemeine und weiterführendeLiteratur

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DIN-Normen und VDI-Richtlinien

DIN 1301: Einheiten.DIN 1304: Allgemeine Formelzeichen.DIN 1306: Dichte.DIN 1314: Druck.DIN 1342: Viskosität newtonscher Flüssigkeiten.DIN 1345: Thermodynamik.DIN EN ISO 5167-1. Durchflussmessung von Flui-

den mit Drosselgeräten, Teil 1: Blenden, Düsenund Venturirohre in voll durchströmten Leitun-gen mit Kreisquerschnitt.

DIN 13342: Nichtnewtonsche Flüssigkeiten – Be-griffe, Stoffgesetze.

DIN 18017/Blatt 4: Rechnerischer Nachweis derausreichenden Luftleistung.

DIN 19559: Durchflußmessung von Abwasser in of-fenen Gerinnen und Freispiegelleitungen, Ven-turi-Kanäle.


DIN 51550: Bestimmung der Viskosität.DIN 51562: Messung der kinematischen Viskosität

mit dem Ubbelohde-Viskosimeter.DIN 53015: Messung der Viskosität mit dem Kugel-

fall-Viskosimeter nach Höppler.DIN 53018: Messung der dynamischen Viskosität

newtonscher Flüssigkeiten mit Rotationsviskosi-metern.

VDI 2040: Berechnungsgrundlagen für die Durch-flußmessung mit Drosselgeräten.

VDI/VDE 2041: Durchflußmessung mit Drossel-geräten, Blenden und Düsen für besondere An-wendungen.

VDI 2087: Luftkanäle.VDI/VDE 2640: Netzmessungen in Strömungsquer-

schnitten.VDI/VDE 2641: Magnetisch-induktive Durchfluß-

messung.VDE/VDI 3512/Blatt 1: Meßanordnungen Durch-

flußmessungen mit Drosselgeräten.VDE/VDI 3512/Blatt 3: Meßanordnungen für

Druckmessungen.VDE/VDI 3513: Schwebekörper-Durchflußmesser –

Berechnungsverfahren.ISO 5167: Measurement of fluid flow by means of

orifice plates, nozzles and venturi tubes insertedin circular cross-section conduits running full.

ISO 5221: Air distribution and air diffusion; Rules tomethods of measuring air flow rate in an airhandling duct.

ISO 3966: Measurement of fluid flow in closed con-duits: Velocity area method using Pitot static tubes.

Tabellenanhang

446 Tabellenanhang

Tabellenanhang 447

448 Tabellenanhang

Tabellenanhang 449

1)

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450 Tabellenanhang

Tabellenanhang 451

Tafel 5 (Fortsetzung)

452 Tabellenanhang

aus VDI 2040/Blatt 4

Tabellenanhang 453

454 Tabellenanhang

Tabellenanhang 455

456 Tabellenanhang

Tabellenanhang 457Ta

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1.1

8

458 Tabellenanhang

Tabellenanhang 459

aus SIHI-HALBERG: Grundlagen für die Planung von Kreiselpumpen

460 Tabellenanhang

Tabellenanhang 461

Tafe

l 14

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462 Tabellenanhang

Tabellenanhang 463

464 Tabellenanhang

Tabellenanhang 465

466 Tabellenanhang

Tabellenanhang 467

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468 Tabellenanhang

Tabellenanhang 469

470 Tabellenanhang

Tabellenanhang 471

472 Tabellenanhang

Tabellenanhang 473

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Tabellenanhang 475

476 Tabellenanhang

Tabellenanhang 477

478 Tabellenanhang

Tabellenanhang 479

Tafel 32 Wirtschaftliche Geschwindigkeiten in Rohrleitungen

nach [4.103]

480 Tabellenanhang

Tafel 33 Reibungsbeiwerte l · Re für Kreisringspalte bei laminarer Strömung

nach [4.126]

Tabellenanhang 481

r 1Ta

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[4.1

26]

482 Tabellenanhang

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0,48

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0,28

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0,12

0,08

0,04

0

102

103

104

105

106

107

108

Strouhal-Zahl Sr

LEH

NE

RT

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RG

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S

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71]

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71]

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[4.1

52]

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[4.1

48])

Tafel 36 Strouhal-Zahlen prismatischer Körper (nach [4.151])

Querschnittsform Strouhal-Zahl gültiger

f · d Reynolds-Zahl-BereichSr = 8w∞

0,33 2 · 106 > Re > 4 · 105

B3 = 1dr 13 = 3d 3

0,2 Æ 0,35 7 · 105 > Re > 4 · 105

0,35 2 · 106 > Re > 7 · 105

B3 = 1d

r 13 = 3w 3

0,2 8 · 105 > Re > 3 · 105

0,3 Re = 1 · 106

B3 = 1d

r 13 = 3w 4

0,2 5 · 105 > Re > 3 · 105

0,65 1,6 · 106 > Re > 6 · 105

B3 = 1d

r 13 = 3w 4

0,2 Æ 0,35 6 · 105 > Re > 3 · 105

0,35 1 · 106 > Re > 6 · 105

B 13 = 3d 2

r 13 = 3w 4

0,4 2,5 · 106 > Re > 3 · 105

B3 = 2d

r 13 = 3d 2

0,12 5 · 105 > Re > 3 · 105

0,60 2 · 106 > Re > 1 · 106

Ellipse

B3 = 2d

0,22 Re = 8 · 104

0,125 Re = 5 · 104

0,2 7 · 105 > Re > 1 · 105

Ellipse

B 13 = 3d 2

0,14 Æ 0,19 Re = 0,8 · 105

0,13 Æ 0,22 Re = 0,3 ÷ 1,4 · 105

w

484 Tabellenanhang

hH

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102

103

104

105

106

107

102

10 1 10–1

10–2

10–3

10–4

cw

Tafel 37 cw-Werte prismatischer Körper (nach [4.161])

Tabellenanhang 485

Tafel 38 cw-Werte von Rotationskörpern (nach [4.161])

486 Tabellenanhang

Tafel 39 Widerstandsbeiwerte von umströmten Körpern

Tabellenanhang 487

b

Tafel 40 Widerstandsbeiwerte von umströmten Körpern

Körperform Widerstandsbeiwert cw

dreieckiges für b Æ ∞Prisma cw = 1,55

b

dreieckiges für b Æ ∞Prisma cw = 2,0

b

hcw = 2,04

Doppel-T-h

Profil 3 = 2b

bh cw = 0,86

Doppel-T-h

Profil 3 = 2b

cw = 1,2Fallschirm

l · w∞für Re = 0 > 105

n

cw = 0,05…0,1

Ellipsoidin Längs-richtungangeströmt

d 53 = 3l 9

t · w∞für Re = 0 > 105

n

20 : 0,094

t 10 : 0,0833 � 5 : 0,06d 3 : 0,1

2 : 0,2

profilierteStrebe

für Re > 5,5 · 105 : cw = 0,2

für Re < 4,5 · 105 : cw = 0,6

Ellipsoidquerangeströmt

488 Tabellenanhang

Luftwiderstandsbeiwert

0 5 10 15 20 25

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

c w-W

ert

Anströmwinkel a

Seitenkraftbeiwert

0 5 10 15 20 25

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

c S-W

ert

Anströmwinkel a

Auftriebsbeiwert

0 5 10 15 20 25

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

c A-W

ert

Anströmwinkel a

Tafel 41 Aerodynamische Beiwerte von Pkw bei Seitenwindeinfluss (nach [4.183])

Tabellenanhang 489

Tafel 42 Polaren des Tragflügels Gö 623

490 Tabellenanhang

Tafel 43 Druckverlust in Wasserdampfleitungen

Tabellenanhang 491

ARCHIMEDES (ca. 285 v. Chr.– 212 v. Chr.), griechi-scher Mathematiker und Mechaniker

BERNOULLI, DANIEL (1700–1792), schweizerischerMathematiker, Physiker und Mediziner

BOYLE, ROBERT (1627–1691), englischer NaturforscherBUNSEN, ROBERT WILHELM (1811–1899), deutscher

Chemiker und NaturforscherCARNOT, LAZARE NICOLAS MARGUERITE (1753–1823),

französischer Ingenieuroffizier und PolitikerD’ALEMBERT, JEAN LE RONDE (1717–1783), französi-

scher Philosoph und MathematikerDA VINCI, LEONARDO (1452–1519), italienischer Ma-

ler, Architekt, Naturforscher und IngenieurDARCY, HENRY-PHILIBENT-GASPARD (1803–1858) fran-

zösischer WasserbauingenieurDE BORDA, JEAN CHARLES (1733–1799), französischer

Ingenieur und PhysikerDE LAVAL, GUSTAV (1845–1913), schwedischer Inge-

nieur und ErfinderDE PITOT, HENRI (1695–1771), französischer PhysikerDE SAINT-VENANT, JEAN CLAUDE BARRE (1797–1886),

französischer MathematikerDOPPLER, CHRISTIAN JOHANN (1803–1853), öster-

reichischer Physiker und MathematikerDU BUAT, PIERRE LOUIS GEORGES (1734 –1809), franzö-

sischer Physiker und MilitäringenieurEIFFEL, ALEXANDRE GUSTAVE (1832–1923), französi-

scher (Bau)Ingenieur und AerodynamikerEULER, LEONHARD (1707–1783), schweizerischer Ma-

thematiker und PhysikerFANNO, GINO (1882–1962), Schweizer Maschinen-

bauingenieurFARADAY, MICHAEL (1791–1867), britischer Physiker

und ChemikerFROUDE, WILLIAM (1810–1879), britischer SchiffsbauerGALILEI, GALILEO (1564 –1642), italienischer Mathe-

matiker, Physiker und PhilosophGAUSS, CARL FRIEDRICH (1777–1855), deutscher Ma-

thematiker, Physiker und AstronomHAGEN, GOTTHILF HEINRICH LUDWIG (1797–1884),

deutscher WasserbauingenieurHELMHOLTZ, HERMANN VON (1821–1894), deutscher

Physiker und NaturforscherJOUKOWSKY, NICOLAI ERGOROWICH (1847–1921), russi-

scher Physiker und Strömungsforscher, Prof. f.Mechanik an der Polytechnischen Schule Mos-kau, später an der Universität Moskau

KUTTA, WILHELM (1867–1944), deutscher Mathema-tiker

LAGRANGE, JOSEPH LOUIS (1736–1813), französischerMathematiker und Physiker italienischer Her-kunft

LAPLACE, PIERRE SIMON (1749–1827), französischerMathematiker und Physiker

LILIENTHAL, OTTO (1848–1896), deutscher Ingenieurund Flugpionier

MACH, ERNST (1838–1916), österreichischer PhysikerMAGNUS, GUSTAV HEINRICH (1802–1870), deutscher

Physiker und Chemiker; Professor an der Uni-versität Berlin und Lehrer an der Artillerie-schießschule Berlin

MANNING, ROBERT (1816–1897), irischer Wasser-bauingenieur

MARIOTTE, EDME, SEIGNEUR DE CHAZEUIL (um1620–1684), französischer Physiker

MAXWELL, JAMES CLERK (1831–1879), britischer Phy-siker

NEWTON, ISAAC (1643–1727), seit 1705 Sir, englischerMathematiker, Physiker und Astronom

PASCAL, BLAISE (1623–1662), französischer Mathe-matiker, Physiker und Religionsphilosoph

POISEUILLE, JEAN-LOUIS MARIE (1799–1869), französi-scher Arzt und Physiologe

POLENI, GIOVANNI (1683–1761), italienischer Physi-ker und Mathematiker

PRANDTL, LUDWIG (1875–1953), deutscher Ingenieurund Strömungsforscher

RANKINE, W. J. M. (1820–1872), britischer Ingenieurund Physiker

RAYLEIGH, JOHN WILLIAM STRUTT LORD (1842–1919),englischer Physiker, Professor an der UniversitätCambridge, Präsident der Royal Society, 1904Nobelpreis für Physik

REECH, FERDINAND (1805–1880), französischer Pro-fessor an der Marineingenieurschule in Paris

REHBOCK, THEODOR (1864–1950), deutscher Wasser-bauingenieur

REYNOLDS, OSBORNE (1842–1912), britischer PhysikerSTOKES, GEORGE GABRIEL (1819–1903), britischer Ma-

thematiker und PhysikerSTRICKLER, ALBERT (1887–1963), schweizerischer

WasserbauingenieurSTROUHAL, CENEK (1850–1923), tschechischer Phy-

sikerTORRICELLI, EVANGELISTA (1608–1647), italienischer

Mathematiker und Physiker, Schüler Galileo Galileis

VENTURI, GIOVANNI BATTISTA (1746–1822), italieni-scher Physiker

WANTZEL, PIERRE-LAURENT (1814–1848), französi-scher Ingenieur und Mathematiker

WEBER, HEINRICH (1842–1913), deutscher Mathema-tiker

WEISBACH, JULIUS (1806–1871), deutscher Ingenieur,akademischer Lehrer an der Bergakademie inFreiberg/Sachsen

YOUNG, THOMAS (1773–1829), britischer Physikerund Arzt

Namensverzeichnis

494

z-Werte 1793-Loch-Sonde 383

AAbfluss–, schießender 148, 413–, strömender 148, 239Abflussformeln, empirische 242Abflussgleichung 241Abflusswirbel 254Ablösegebiet 194, 195, 200Ablösegefahr 188Ablösepunkt 264Ablösung 179, 211, 264, 400Absolutdruck 49–messung 366Absolutgeschwindigkeit 136Absperrorgane 209Achslast 287Adhäsionskräfte 39adiabate 317Aerostatik 75Aggregatzustände 17Ähnlichkeit–, geometrische 138, 409–, physikalische 138Ähnlichkeitsbedingungen 139Ähnlichkeitsgesetze 138, 139Aktionskraft 110Aktionsprinzip 108Anlaufgeschwindigkeit 375Anstellwinkel 294Arbeitsmaschine 122Atmosphäre–, Schichtung 75Aufdruckkraft 66Aufpresskraft 287Auftauchen 69Auftrieb 67, 286, 294, 414–, statischer 67–, thermischer 68Auftriebsbeiwert 297, 359Auftriebskraft 290Auftriebskräfte, dynamische 290Auftriebsverlust 302Ausfluss–, aus Behältern 246–, bei veränderlicher Spiegelhöhe 254–formel– –, von BUNSEN 101

– –, von TORRICELLI 100, 246–funktion, isentrope 330, 331– –, polytrope 334–gleichung 252–, instationärer unter Gegendruck 258–, reibungsfreier 100–, unter Gegendruck 254–, zahl 249, 330–zeit 255Auslaufbecher 427Auslaufgeschwindigkeit 375Auslauflängen 410Auslaufrohrstrecken 401Auslaufstrecke 201, 409, 421Außenaerodynamik 285Außenströmung 96, 99, 141, 260Ausströmen–, mit Vorgeschwindigkeit 338–, stationäres 101Ausströmung–, überkritische 331–, unterkritische 331, 333Ausströmvorgänge 325–, überkritische 333Austrittsdiffusoren 186Austrittsgeschwindigkeit 100Austrittskonfusor 199Austritts-Mach-Zahl, isentrope 328Auswägeverfahren 391

BBahnlinie 88Barometer 363, 366Bernoulli-Diffusor 122Bernoulli-Gleichung 91–, erweiterte 149, 240Beruhigungsstrecken 365Beschleunigung 310–, konvektive 85–, lokale 85–, substantielle 85–, totale 85Betrieb, angepasster 341Betriebszustände einer Laval-Düse 344Betz-Präzisionsmanometer 369Bezugsdruck 49Bezugsgeschwindigkeit 179Bilanzgleichung in integraler Form 89Bingham-Körper 30Blasenbildung 36Blende 212

Stichwortverzeichnis

Blende–, exzentrische 406Bodendruckkraft 57Borda’sche Ausflusszahl 249Borda-Carnot-Diffusor 122, 181, 183

CCoanda-Effekt 122, 412Controlled Rate-Rheometer 424Controlled Stress-Rheometer 424Couette-Messsysteme 424CR-Rheometer 424CS-Rheometer 424

DDampfblasen 296Dampfdruck 35Dampfdruckkurve 35Dampfgehalt 326Deformation 89Dehnmessstreifentechnik 373Dehnungsausgleicher 209Dichte 17, 83Dichteänderung 314, 305Dickenrücklage 293Dickenverteilung 292Differenzdruckmessung 366Diffusorformen 186Diffusorwirkungsgrad 193, 353Dimensionsanalyse 139Dissipationsverluste 148Doppler-Effekt 306Doppler-Verfahren 417Dosenbarometer 371Drall 137Drallsatz 132, 314Drehmoment 137Drehmomentenbeiwert 273Dreieckwehre 411Driftverfahren 417Drosselgeräte 212, 399–, in rechteckigen Rohren 407Drosselung, adiabate 322Druck–, angezeigter dynamischer 379–, dynamischer 96, 99, 357, 377–, hydrostatischer 48, 96–, kinetischer 378–, statischer 97, 377Druckabfall 178, 419–, bei adiabater Strömung 320–, bei isothermer Strömung 319–, in gewellten Rohren 170–, in Rohreinbauelementen 180–, in Rohrleitungen 151, 155Druckabhängigkeit der Viskosität 26

496 Stichwortverzeichnis

Druckänderung, senkrecht zur Strömungsrichtung105

Druckarbeit 52Druckaufnehmer–, induktiver 373–, kapazitiver 373–, piezoelektrischer 374Druckbegriffe 49, 363, 377Druckbeiwert 188Druckeinheiten 50Druckenergie 149Druckentnahme 363Druckfortpflanzungsgesetz 51, 370Druckgradienten 105Druckhöhe 91Druckkraft 48, 75, 90, 110, 268–, gegen ebene Wände 54, 57–, gegen gekrümmte Wände 55, 61Druckmessbohrung 364Druckmessgeräte 97, 419–, elektrische 372Druckmessung 363Druckmessverfahren 363, 364Druckmittelpunkt 59Druckpulsationen 379Druckrückgewinn 124Drucksprung 128Druckverhältnis, kritisches 331, 354Druckverlust 125, 149, 416–, bleibender 413Druckverteilung 295Druckwellen 305Druckwiderstand 277Durchfluss, Grundgleichung 395Durchflusskoeffizient 212, 400, 401, 423Durchflussmesser, magnetisch-induktive (MID)

414Durchflussmessung 394–, an Krümmern 106–, an Rohrkrümmern 420–, in offenen Gerinnen 411Durchflussverhalten von Armaturen 179Durchflusszahl 197, 212Durchlässigkeit 221Durchmesser–, hydraulischer 172, 240, 241Durchströmung–, laminare 179–, turbulente 179Düse 197, 212

EEffekt, piezoresistiver 373Einlauflängen 410Einlaufrohrstrecken 401Einlaufstrecke 226, 409, 421Einlaufströmung 181

Einschnürung 400Elastizitätsmodul 20Ellison-Annubar-Durchflussmesser 421Enddiffusoren 186Energie – der Lage, potentielle 309– des Druckes, potentielle 309–, innere 309–, kinetische 158, 309Energieerhaltungssatz 321Energiegleichung 90, 91, 96, 100, 112, 114, 122, 136,

148, 207, 309, 325, 347, 399, 414Energiesatz 309Energiestrom 183–beiwert 159, 160, 240Energiestromwert 400Energieverlust 303Enthalpie– spezifische 35, 309Entleerungszeit 255Entropie 314Erdatmosphäre 75EULER’sche Methode 84EULER’sche Strömungsmaschinenhauptgleichung

137Euler-Zahl 221Expansion 310Expansionsfächer 345Expansionsströmung 315Expansionszahl 400

FFahrstabilität 285Fahrzeugaerodynamik 283Fahrzeugdurchströmung 285Fahrzeugumströmung 285Fallkörperviskosimeter 426Faltenrohrkrümmer 203Fanno-Kurven 321Festkörperschüttungen 218Feuchte 18Filter 214Flächen-Geschwindigkeits-Beziehung 314, 340Flächenschwerpunkt 58Flächenträgheitsmoment 59, 72Flächenwiderstand 270, 358Flachwasseranalogie 144Fliehkraft 46, 105Fließanomalien 30Fließbett 221Fließexponent 168Fließformel 240–, universelle 241Fließgesetze 168Fließgewässer 240Fließgleichung 242Fließgrenze 30

Stichwortverzeichnis 497

Fließkurven 31Flügel, hydrometrischer 374Flügelfläche 293Flügelradanemometer 374Fluid 17Fluidität 168Flüssigkeit–, in einem gleichmäßig beschleunigten Gefäß 45–, in einem rotierenden Gefäß 46–, rheopexe 31–, Schallgeschwindigkeit 20–, strukturviskose 30Flüssigkeitsbarometer 367Flüssigkeits-Druckmessgeräte 366Flüssigkeitsmanometer 53, 97Flüssigkeitsstandmessung 54–, kapazitive 391Flüssigkeitsstrahlpumpe 103Förderstrom 104Formänderungswiderstand 22Formstabilität 71Formwiderstand 277, 358Freistrahl 114, 117, 122, 183, 186, 194Freistrahlkanäle 331Freistrahlturbine 121Frequenz 265Frontspoiler 287Froude-Zahl 142, 148, 239, 411, 413Füllkörpersäule 220Füllstand 54Füllstandsmessung 389Fußventil 214

GGas, ideales 19, 311, 327Gasdynamik 305Gasgleichung 316–, allgemeine 78Gaskonstante–, individuelle 19, 34, 305–, molare 35–, spezifische 34–, universelle 35Gefäßbarometer 369Gefäße, kommunizierende 53Gefäßmanometer 368Gerinneströmungen 239Gesamthöhe 91Gesamtwiderstand 277, 358–, von Fachwerken 281–, des Kreiszylinders 279–, der Kugel 280–, von Profilen 281–, von Rohrbündeln 283–, von Rohrreihen 283Geschwindigkeitsbeiwert 159, 247, 327, 330Geschwindigkeitsenergie 149

Geschwindigkeitsfelder 394Geschwindigkeitsgefälle 22, 424Geschwindigkeitsgradient 151Geschwindigkeitshöhe 91Geschwindigkeitsmessung 374Geschwindigkeitspläne 137Geschwindigkeitsprofil 184, 261, 409Geschwindigkeitsschwankungen 145Geschwindigkeitsverteilung 145, 155, 239, 261, 394Geschwindigkeitsverteilungsgesetz, universelles

158Geschwindigkeitsausgleichswerte a und b 150Gewicht, scheinbares 67Gewichtskraft 45, 46, 90Gewichtsstabilität 71Gewichtsverlust 67Gleichdruckturbinen 119Gleichrichter 410Gleichung von BERNOULLI 291Gleitwinkel 297Gleitzahl 297Grenzfläche 36–, von Fluiden 36Grenzflächendruck 40Grenzflächenspannung 36Grenzschicht 98, 146, 156, 260, 279–, laminare 261, 271–, turbulente 261, 271Grenzschichtablösung 146Grenzschichtdicke 156, 162, 188, 261, 262Grenzschichtentwicklung 263Grundgleichung für den Durchfluss 395

HHaftspannung 36, 37, 39Hagen-Poiseuille’sche Gleichung 153, 169, 231, 427Hakenrohr 96Hangabtrieb 90Heckspoiler 287Heißfilmsonden 386Hele-Shaw-Strömung 147Hitzdrahtsonden 386Hodographen 85Höhe, metazentrische 71, 73Hooke’sches Gesetz 18Hosenrohre 208h-s-Diagramm 310, 326hydraulisch–, glatt 162–, rau 162Hydrostatik 45Hyperschallströmung 306

IImplosion 296Impulskräfte 110Impulsmomentengleichung 132


Impulssatz 108, 207, 291, 314, 347Impulsstrom 183–beiwert 159Impulsverlustdicke 264Induktionsprinzip 415Innenaerodynamik 285Innenströmung 96, 99, 141Innenwiderstand 285Integration–, grafische 397–, numerische 397Inversion 76ISA-1932-Düse 402Isenthalpe 323Isentrope 309, 312Isentropenexponent 34, 312Isentropengleichung 79Isobare 326Isotachen 85, 240isotherm 317, 324Isotherme 326Isothermie 76Isovaporen 326

JJoule-Thomson-Effekt 325

KKalibrierung 106Kanäle 239Kapillarität 36, 41Kapillaraszension 41Kapillardepression 41Kapillardruck 40Kapillarviskosimeter 427Kármán’sche Wirbelstraße 265Kavitation 104, 296Kavitationserscheinungen 35Kegelsonde nach CONRAD 384Keilwinkel 348Kennzahlen, dimensionslose 140Kentern 70Kippen 70Kniestücke 200Kohäsionskräfte 39Kolbendruck 49, 50, 96Kolben-Druckmessgeräte 370Kolbenmanometer 370Kolbenprofil 182, 2002, 226Kompensatoren 209Komponentenflügel 377kompressibel 305Kompressibilität 305, 314, 400Kompressibilitätseinfluss 355Kompressibilitätskoeffizient, isothermer 17, 18Kompression 311, 352–, isentrope 20

Konfusor 197Konfusoren am Rohrende 199Konstant-Strom-Anemometer 386Konstant-Temperatur-Anemometer 386Kontinuitätsgleichung 89, 103, 111, 114, 122, 207,

308, 314, 321, 339, 347, 399, 414Kontinuum 17Kontraktionszahl 196, 247, 330Koordinaten, kartesische 84Körperschwerpunkt 70Kraftangriffspunkt 295Kraftmaschine 122Kreisringspalt 229Kreisringspalte, exzentrische 235Kreiszylinder –, Gesamtwiderstand 279–, im schrägen Strahl 122–, Umströmung 146, 264Krümmer 200–, horizontaler 111Kugel–, Gesamtwiderstand 280–, im schrägen Strahl 122–, Umströmung 146Kugelfall-Viskosimeter nach HÖPPLER 426Kugelkoordinaten 84Kugelsonden 384kv-Wert 179

LLageenergie 149Lageplan 111Langradius-Düsen 402Laser-2-Fokus-Anemometer 388Laser-Doppler-Anemometer 388Laufräder von Strömungsmaschinen 136Laufzeitdifferenzverfahren 416Laufzeitmessung von Schall, Ultraschall, Radar

usw. 391Laval-Druckverhältnis 331Laval-Düse 328, 339, 409–, Betriebszustände 344Laval-Geschwindigkeit 333Leckagevolumenstrom 229Leistung 117, 128, 137, 286Leitfähigkeit, elektrische 416Leiträder von Strömungsmaschinen 134Lochbleche 215Lochplatten 215Log-Linear-Verfahren 395Log-Tchebycheff-Verfahren 395Lösung–, schwache 350–, starke 350Luft 19–, feuchte 19–, gesättigte 19


–, Zusammensetzung 75Luftatmosphäre 75Luftdruck 369–, absoluter 371Luftfeuchte, relative 19Luftkräfte an Fahrzeugen 285Luftschraube 126Luftstrahltriebwerk 132Luftwiderstand 285

MMach’scher– Kegel 306– Winkel 306Mach-Zahl 306, 311, 315, 332–, kritische 360Magnus-Effekt 290Makrogeometrie 179, 211, 220, 247, 249Manometer 49–, federelastischer 371Masse 17Massenerhaltungssatz 89, 308Massenstrom 110, 308Massenstrombegrenzer 346Massenstromdichte 309, 331Mehrstufendiffusoren 186Messleitung 365Messquerschnitt 394, 395Messsonden, optische 387Messunsicherheiten 398Messwehre 411Metazentrum 71Methode, hydrostatische 390Mikrogeometrie 179, 211, 220, 247, 249Modellregeln 138Modellversuche 143Mollier-h-s-Diagramm 35, 325Moment 63, 295–, statisches 58Momentenbeiwert 295, 297

NNACA-Profile 293Nachlauf 265Nasenradius 293Nassdampfgebiet 326Netzmessungen 394Newton’sche Fluide 22Newton’scher Schubspannungsansatz 151,

229Newton’sches Schubspannungsaxiom 140nicht Newton’sche – Flüssigkeiten 167– Fluide 22, 227, 231, 410– –, Viskosität 30Niveaumessung 389–, mit Schwimmern oder Auftriebskörpern 390

Normatmosphäre 77, 80–, internationale 80Normblende 401Normdüsen 402Normventurirohre 403Nullabgleichsmethode 382Nutzleistung 128

OOberfläche, freie 36, 45Oberflächenrauigkeit 270, 299Oberflächenspannung 36, 247Öffnungen, scharfkantige 248Öffnungswinkel, optimaler 191Optimalpunkt 138Ortshöhe 91

PParadoxon–, hydrodynamisches 101–, hydrostatisches 57– von DU BUAT 270, 289– von EIFFEL 278Parallelschaltung 223Parallelströmung 289Pfeilhöhe 293Piezoeffekt 374Piezorohr 99Pitot-Druck 377Pitot-Rohr 96, 379Plattenfedermanometer 371Polardiagramm–, aufgelöstes 298–, nach LILIENTHAL 297Polarenform 360Polarkoordinaten 84Polytrope 309, 312Polytropenexponent 312, 334Potentialströmungen 89Potentialwirbel 135Prandtl-Meyer–Expansion 350–Funktion 351Prandtl-Rohr 98Prandtl-Sonde 98Präzisionsmanometer 368Presse, hydraulische 51, 370Prinzip von ARCHIMEDES 67Profilaufmessung 293Profilbreite 293Profildicke 293Profile, hydraulisch optimale 243Profilgeometrie 292, 299Profillänge 293Profilsehne 292Profilwölbung 293Projektionsmanometer nach BETZ 368


Propellerschub 126Propellertheorie 122Propellerwirkungsgrad 128Pulsation 376, 423Pumpenlaufrad 138Pumpenleitrad 134

QQuerschnittsänderungen 181Querschnittserweiterungen–, stetige 122–, unstetige 122

RRadius, hydraulischer 240, 241Radscheibenreibung 272Radseitenreibung 275Raketentriebwerk 132Randwirbelpaar 303Randzonenkorrektur 398Rauigkeit 155, 400–, technische 163Raumströmung 83Reaktionskräfte 110Reaktionsprinzip 108Realgasfaktor 19Rechteckspalte 231Rechteckwehre 411Referenzfaktor 397Referenzgeschwindigkeit 396Referenzmessstelle 394Referenzmessung 396Referenzwirkdruck 396Regelorgane 209Regenscheit-Diffusor 183Reibleistung 275Reibung 246, 330, 400Reibungskraft 140, 269Reibungsverlust 124, 150Reibungsverlusthöhe 154Reibungswiderstand 270Reihenschaltung 223Relativgeschwindigkeit 136Reynolds- und Mach-Zahl 382Reynolds-Zahl 140, 188, 270, 301, 317–, kritische 145, 262Rheologie 22Richtungsänderungen 200Richtungsempfindlichkeit 379Ringkolbenzähler 391Ringspalt, konzentrischer 231Rohrausläufe 181Rohrbündel 181Rohrdurchmesser, wirtschaftlicher 166Rohre mit kreisförmigen Querschnitten

172Rohreinlauf 181, 226

Rohrerweiterung–, allmähliche 186–, plötzliche, sprungartige 181Rohrfedermanometer 371Rohrhydraulik 148Rohrkrümmer 200Rohrlänge, gleichwertige 178Rohrleitung, teilgefüllte 172Rohrreibungszahl 154, 157, 161, 171, 173, 233, 271,

317–, bei turbulenter Rohrströmung 164Rohrsonden 379Rohrströmung 85, 315–, laminare 144, 151, 173, 427–, turbulente 144, 176Rohrverengung–, kontinuierliche 197–, sprungartige 196Rohrverzweigungen 207Rotationsparaboloid 47Rotationsviskosimeter 424Rotorschiff 291Rückstoßkraft 114, 132Rückstoßprinzip 132Rückströmung 264

SSandrauigkeit 163Sattdampfkurve 326Sättigungsdruck 19, 35Sättigungskurve 19Satz von KUTTA und JOUKOWSKY 291Saugkörbe 214Saugleitung 224Saugrohre 188Schalenkreuzanemometer 374Schallausbreitung 305Schallenergie 148Schallgeschwindigkeit 20, 80, 305, 321, 332, 334,

354, 417–, in Flüssigkeiten 20Schallgrenze 315Schallintensität 306Schallmauer 306Schallwellen 305Schattenfläche 277Schau- und Standglas 390Schaufelkanal 138Scheibe, rotierende 272Scheibensonden 380Schichtströmung 145Schichtung, isotherme 77, 79Schiffsschraube 126Schlauchwaage 54Schräganströmung 377, 381Schrägrohrmanometer 369Schub 122


Schubbelastungsgrad 128Schubkraft 126, 132Schubkräfte von Triebwerken 132Schubspannung 22Schwallgeschwindigkeit 414Schwebegeschwindigkeit von Kugeln

288Schwebekörper-Durchflussmesser 414Schweben 69Schweredruck 49, 52, 96Schwerelinienverfahren 395Schwerkraft 45, 46, 90, 142Schwimmachse 70Schwimmebene 69Schwimmen 67, 69Schwimmfläche 69Schwimmlage–, indifferente 70–, labile 70–, stabile 70Searle-Messsysteme 424Segmentblenden 405Segmentkrümmer 203Seifenblase 41Seitendruckkraft 57Seitenkraftbeiwert 288Seitenverhältnis 294Seitenwindkraft 287Senkungstrichter 254Siebe 214Siedekurve 35Siedelinie 17Singularität 315Sinken 69Skelettlinie 293Sonde–, statische 96, 379–, thermische 385Spaltströmung 229–, laminare 229–, turbulente 234Spantfläche 277Spantquerschnitt 277Sperren 331Sperrflüssigkeit 49, 93, 97, 366Spiegelschnittlinie 58Srömungstrennung 207Stabilität 70Stabwirbel 135Standardatmosphäre 77Standmessung, kapazitive 390Stationsbarometer 369Staudruck 178Staudrucksonden 380Staupunkt 88, 96, 260, 311, 356, 377Staurohre 380– und Sonden 377

Stauscheiben-Windmesser 382Staustromlinie 96Steilrohrmanometer nach PRANDTL 368Stelle, singuläre 135Stirnfläche 277Stoffe–, dilatante 30–, plastische 30Stoffströme 148Stoffwerte, thermische 31Stokes’sches Gesetz 152Stolz-Gleichung 402Stoßwinkel 348Strahlablenker 121Strahlablenkung durch eine scharfe Schneide

119Strahleinschnürung 246, 330Strahlkontraktion 253Strahlkraft 117Strahlpumpe 103Strahlstoßkräfte 117, 120Strahlstoßkräfte 120Strahltheorie 122Stratopause 77Stratosphäre 77Streichlinien 88Strombahn 88Stromfaden 88, 138Stromfadentheorie 88, 138, 308Stromfläche 88Stromlinie 87, 90, 377, 394Stromlinienkörper 264Stromröhre 88Strömung–, 3-dimensionale 83–, eindimensionale 91–, ideale 83–, in offenen Gerinnen 239–, inkompressible 83, 91, 126, 377–, instationäre 87, 91, 150, 194, 254, 308, 376–, isotrope 147–, kompressible 305, 378–, kritische 408–, laminare 151–, pulsierende 194, 416, 422–, reale 83–, reibungsbehaftete 83–, reibungsfreie 83–, rotationsfreie 88–, schallnahe 306–, stationäre 87, 91, 109, 148, 308, 310–, turbulente 155, 162–, wirbelbehaftete 88– wirbelfreie 88Strömungsbilder 260, 355Strömungsfeld 83, 87Strömungsformen 144


–, instationäre 146–, stationäre 146Strömungsgeschwindigkeit 83, 374–, mittlere 85Strömungsmaschinen–, Laufräder 136–, Leiträder 134Strömungsmesstechnik 363Strömungsprozess, adiabater 309Strömungsrichtungssonden 382Strömungsvektorsonden 382Strömungsvereinigung 207Strömungsverluste in Rohrleitungselementen

178Strömungsvorgang, instationärer 95Strömungswirkungsgrad 129Strömungszustände an Kugeln und

Kreiszylindern 146Stromwegmesser, rotierende 374Strouhal-Zahl 265, 418Stufendüse 196Stutzenarbeit, spezifische 138Substanzen, Thixotrope 31

TTaylor-Wirbel 276Taylor-Zahl 276Temperaturabhängigkeit –, der Dichte 18–, der Viskosität 24Thermodynamik–, 1. Hauptsatz der 309–, 2. Hauptsatz der 314Tornados 136Totaldruck 96Totaldrucksonden 377, 379Totaldruckverlust 356Totalenthalpie 309Totaltemperatur 311Totalzustand 313, 325Totwassergebiet 146, 260, 264Tragflügel 290, 294, 359Trägheitskraft 45, 140Trägheitsprinzip 108Trapezwehre 412Treibstrom 104Triebwerke 132–, Schubkräfte 132Tripelpunkt 35Trivialverfahren 395Tropfenbildung 36, 39Tropopause 75Troposphäre 75T-Stücke 208Turbinenlaufrad 138Turbinenleitrad 134Turbulenz 98, 260

Turbulenzgrad 146, 147, 188, 262, 280, 379, 380, 422

UÜberdruck 49, 112Überfallwehr 254, 411Übergangsdiffusoren 186Übergangsgebiet 162Übergangskonfusoren 197Überschalldiffusor 352Überschallexpansion 341Überschallströmung 306Ultraschall-Durchflussmesser 416Umfangsgeschwindigkeit 136Umströmung–, eines Kreiszylinders 264–, schleichende 146–, überkritische 146–, unterkritische 146–, von Körpern (Außenströmung) 260Ungleichförmigkeit 395Unsicherheit 402Unsicherheiten 402Unterdruck 49Unterschalldiffusor 352Unterschallströmung–, inkompressible 306–, kompressible 306U-Rohr-Manometer, gleichschenkliges 367US-Standardatmosphäre 80

VVakuum 49Venturi-Kanäle 413Venturi-Prinzip 413Venturi-Rohr 93, 212, 343–, klassisches 403Verdichtungsstoß 346, 356–, schräger 345, 347, 348–, senkrechter 322, 343, 347Verdichtungsströmungen 352Verdrängungsdicke 263Verdrängungsschwerpunkt 67, 70Versetzungsmoment 72Vertikaldruckkraft 66Verwirbelungen 211Verzögerung 310Viertelkreisdüsen 406Viskosimetrie 22, 424Viskosität 2, 151, 156, 247, 379–, Druckabhängigkeit 26–, dynamische 22, 139, 424, 427–, kinematische 22, 139– nicht Newton’scher Fluide 30–, repräsentative 169–, scheinbare 31–, Temperaturabhängigkeit 24


– von Flüssigkeiten 24– von Gasen 25Viskositätskurven 32Volumen 17–, spezifisches 17Volumenmessung 391Volumenstrom 85Volumenzähler 391Vorgeschwindigkeit, Ausströmen mit 338

WWand–, benetzende 39–, hydrophile 39–, hydrophobe 39–, nicht benetzende 39Wandbohrung 96Wandgrenzschicht 162, 194Wandrauigkeit 154, 162, 317, 409Wandreibung 125Wärmeausdehnungskoeffizient, isobarer 17, 18Wärmekapazität–, isobare 311–, isochore spezifische 34–, spezifische 31, 32Wärmekapazität,Wasserdampf 326Wasserkanal 277, 382Wasserlinienfläche 69Wasserschleppkanal 375Wasserstandsgläser 54Wasserstrahlpumpe 103Wasserstrudel 136Weber-Zahl 247, 249Wellenwiderstand 358, 359Werte, kritische 333Widerstand 294–, der ebenen Platte 358–, induzierter 302–, von umströmten Körpern 358–, zusammengesetzter 222Widerstandsbeiwert 178, 179, 189, 278, 297, 359Widerstandsdruckmesser 372Widerstandskraft 414Widerstandszahl 179Windhosen 136Windkanal 142, 277, 286, 375, 380, 382Windrad 127Wirbelablösefrequenzen 265Wirbelfelder, abgelöste 194Wirbelschichten 221Wirbelzähler-Durchflussmesser 418Wirkdruck 212, 399, 413Wirkdruckverfahren 399–, mit Drosselgeräten 399Wirkungsgrad 104, 118, 130, 311Wölbungsrücklage 293

ZZentrifugalbeschleunigung 105Zentrifugalmoment 59Zentrifugalströmung 135Zentripetalströmung 135Zirkulation 89, 136, 291Zirkulationsströmung 290Zirkulationsvektor 136Zustand


–, fluidisierter 222–, kritischer 330, 333Zustandsänderung 310–, isentrope 305Zustandsgleichung, thermodynamische 314,

347Zustandsgrößen 83Zylinderkoordinatensystem 84Zylindersonden 379, 383

Date post:	16-Oct-2021
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