W700517 Teildruck zu 735431 - Klett · dem Graphen der Funktion f mit f (x) = x2. Zwischen den...

Lambacher SchweizerMathematik

Nordrhein-Westfalen

Fig. 1 zeigt den Graphen der Funktion f mit f (x) = x3 – x2. Auf den Kärtchen stehen neue Funktionsglei-chungen. Variieren Sie die Parameter a, b, c und e mit beliebigen Zahlen. Wie ändert sich der Graph? Erläuteren Sie Ihre Entdeckungen.

a · (x3 – x2) x3 – x2 + e (x – b)3 – (x – b)2

(c · x)3 – (c · x)2 a · (x3 – x2) + e

(c · x)3 – (c · x)2 + e(x – b)3 – (x – b)2 + e

Hier kann auch eine Wertetabelle hilfreich sein.

Fig. 1

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion näherungsweise mit dem GTR.

a) f (x) = – 2 7 x3 – x2 + 5 x + 9 b) f (x) = x4 – 2 x – 1

c) f (x) = 1 2 x5 – 3 x3 + x2 + 3 d) f (x) = 0,5 x6 + 2,5 x4 – 0,9 x3 + 4,9 x – 2

e) f (x) = x7 + 3 9000000000000000 x2 + 1 f) f (x) = 1

x2 + 1 – x2

Die Fig. 5 zeigt den Graphen der Funktion f mit f (x) = 1 30 x

3 + 1 + x3 + x. Kommentieren Sie die folgenden Aussagen.a) Da die Funktionsgleichung nur die ungera-den Exponenten 1 und 3 besitzt, ist der Graph symmetrisch zum Ursprung.b) Mithilfe des GTR (s. Fig. 5) kann man vermu-ten, dass der Graph symmetrisch zum Ur-sprung ist.c) Man erkennt an der Funktionsgleichung, dass der Graph von f nicht symmetrisch ist.

Fig. 5

Die Graphen von g und h sind aus den Graphen von f entstanden. a) Geben Sie die zugehörigen Funktionsgleichungen für die Funktionen g und h an. b) Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse abschließend mit dem GTR.(1) f (x) = x2 (2) f (x) = x3 (3) f (x) = x4

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yfg

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g h

(4) f (x) = x2 – 3 (5) f (x) = x3 + 1 (6) f (x) = x4 – 2

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

y

f

g

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yfg

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

Gegeben ist die Funktionenschar fa mit dem Parameter a, a > 0. Zeichnen Sie die Graphen für a = 1 und für a = 2 mit dem GTR. Untersuchen Sie jeweils die Graphen von f a auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und bestimmen Sie a so, dass der Graph symmetrisch zum Ursprung oder symmetrisch zur y-Achse ist.a) f 1 (x) = x3 – a x b) f a (x) = x2 – a x – 1 c) f a (x) = a2 x4 – 6 x2

Erkundungen 6

1 Funktionen 8

2 Lineare und quadratische Funktionen 11

3 Potenzfunktionen 14

4 Ganzrationale Funktionen 18

5 Symmetrie 22

6 Nullstellen 26

7 Verschieben und Strecken von Graphen 31

37

Polynomdivision und Linearfaktorzerlegung 42

44

45

Erkundungen 48

1 Mittlere Änderungsrate – Differenzenquotient 50

2 Momentane Änderungsrate 54

3 Die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen 59

4 Die Ableitungsfunktion 62

5 Ableitungsregeln 66

6 Tangente 70

7 Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktion 72

74

78

79

Erkundungen 83

1 Charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen 84

2 Monotonie 88

3 Hoch- und Tiefpunkte 91

4 Mathematische Begriffe in Sachzusammenhängen 96

100

Extremstellen und zweite Ableitung 104

106

107

= neu im Kernlehrplan

2

Erkundungen 110

1 Punkte im Raum 112

2 Vektoren 116

3 Rechnen mit Vektoren 120

4 Betrag eines Vektors – Länge einer Strecke 124

5 Figuren und Körper untersuchen 128

132

Mit dem Auto in die Kurve: Vektoren in Aktion 136

140

141

Erkundungen 144

1 Wahrscheinlichkeitsverteilung – Erwartungswert 146

2 Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregel 150

3 Vierfeldertafel – bedingte Wahrscheinlichkeiten 154

4 Stochastische Unabhängigkeit 158

162

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Lernen aus Erfahrung 164

166

167

Erkundungen 170

1 Potenzen mit rationalen Exponenten 172

2 Exponentialfunktionen 177

3 Exponentialgleichungen und Logarithmen 181

4 Lineare und exponentielle Wachstumsmodelle 185

191

Rechnen mit Logarithmen 194

196

197

Check-Ins 198

Sachthema 208

Lösungen 212

Mathematische Bezeichnungen

Anleitung TI-nspire CX 262

Anleitung CASIO fx-CG 20 268

Register

3

4

Lobgesang

Wie das Meer

ist die Liebe:

unerschöpflich,

unergründlich,

unermeßlich:

Woge zu Woge

stürzend gehoben,

Woge um Woge

wachsend verschlungen,

sturm- und wetter-geberdig nun,

sonneselig nun,

willig nun dem Mond

die unaufhaltsame Fläche –

doch in der Tiefe

stetes Walten ewiger Ruhe,

ungestört,

undurchdringbar dem irdischen Blick,

starr verdämmernd in gläsernes Dunkel –

und in der Weite

stetes Wirken ewiger Regung,

ungestillt,

unentwirrbar dem irdischen Blick,

wild verschwimmend im Licht der Lüfte:

Aufrausch der Unendlichkeit

ist das Meer

ist die Liebe.

Richard Dehmel (1863-1920)

– Lineare und quadratische Funktionen darstellen

– Funktionsgleichungen von linearen und quadratischen Funktionen aufstellen

– Lineare und quadratische Gleichungen lösen

k

5

– werden ganzrationale Funktionen dargestellt und deren Eigenschaften beschrieben.

– werden Nullstellen mit verschiedenen Verfahren berechnet.

– werden Graphen verschoben und gestreckt und die daraus folgenden Veränderungen im Funktionsterm bestimmt.

Welcher Term passt zu welchem Bild?

1 2

43

x 3 – 10

4x – 5

x 2 – x

x4

Der Innenbogen des „Gateway-Arch“ in St. Louis (USA) lässt sich näherungsweise beschreiben (x in m) durch die Funktion f mit f (x) = 187,5 – 1,579 · 10–2 · x2 – 1,988 · 10 – 6 x4.

6 I Funktionen

f1 (x) = 0,5 x3f2 (x) = –0,5 x4 + x2 f3 (x) = 0,5 x3 – 0,5 x

f6 (x) = 0,5 x4 + 0,5 x3 + x

f4 (x) = –0,5 x3

f5 (x) = 0,5 x4 f7 (x) = 0,5 x4 + 0,5 x2 f8 (x) = 0,5 x4 + 0,5 x2 – 0,5 x

f9 (x) = 0,5 x4 – x2 f10 (x) = 0,5 x3 + x f12 (x) = –0,5 x3 + x2f11 (x) = 0,5 x3 – x2

Gegeben sind zwölf Graphen, zwölf Funktionsgleichungen und zwölf Aussagen.

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O


2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O


2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

2

–2

–4 –2 2

x

y

O

Fig. 10 Fig. 11 Fig. 12

Siehe auch die Lern-einheiten 3, 4, 5 und 6, Seiten 14 – 30.

I Funktionen 7

Der Graph ist ach-sensymmetrisch.

Für unendlich große positive x-Werte werden die Funktionswerte unendlich klein.

Für negative x-Werte sind die Funktionswerte positiv.

Die Funktionswerte sind nie kleiner als 0.

Zum Zeichnen des Graphen reicht es aus, nur die Funktionswerte für positive x-Werte zu berechnen.

Der Graph ist punktsymmetrisch.

Für unendlich große positive x-Werte werden die Funktions-werte unendlich groß.

Zwischen den x-Werten –1 und 1 ähnelt der Graph dem Graphen der Funktion f mit f (x) = – 0,5 x. Zwischen den x-Werten –1 und 1 ähnelt der Graph

dem Graphen der Funktion f mit f (x) = x2.

Zwischen den x-Werten –1 und 1 ähnelt der Graph dem Graphen der Funktion f mit f (x) = –x2.

Zwischen den x-Werten –1 und 1 ähnelt der Graph dem Graphen der Funktion f mit f (x) = x.

Die Funktion besitzt die Nullstelle x = 0. Der Graph verläuft also durch den Ursprung des Koordinatensystems U (0 | 0).

Es gehören jeweils ein Graph und eine Funktionsgleichung zusammen. Für jedes dieser Paare sind mehrere der zwölf Aussagen richtig.Überlegen Sie sich, welcher Graph, welche Funktionsgleichung und welche Aussagen jeweils zu-sammen gehören und notieren Sie diese im Heft.

Man kann anhand der Funktionsgleichungen jeweils erkennen, welcher Graph zu ihnen gehört. Dabei helfen unter anderem die obigen zwölf Aussagen. Formulieren Sie Regeln, welche Informa-tionen über die Lage des Graphen man den Funktionsgleichungen entnehmen kann. Versuchen Sie diese Regeln so allgemein wie möglich zu formulieren.

Kontrollieren Sie mit einem Funktionsplotter anhand von Beispielen, ob Ihre Regeln aus For-schungsauftrag 2 stimmen. Hierzu können Sie die folgenden Funktionstypen verwenden, indem Sie für n und m beliebige natürlichen Zahlen und für a, b und c beliebige reelle Zahlen einsetzen.f (x) = xn g (x) = a · xn h (x) = a · xn + b · xm k (x) = a · xn + b · xm + c j (x) = x2 m + x2 n l (x) = x2 m – 1 + x2 n – 1

Notieren Sie Ihre Funktionsgleichungen sowie eine Skizze des Graphen im Heft.

Kontrollieren Sie so, ob Ihre Entdeckungen und Regeln aus dem Forschungsauftrag 2 richtig sind.

1. Einer von Ihnen notiert eine Funktionsgleichung (nur solche Funktionsgleichungen notieren, deren zugehörige Graphen Sie auch selbst skizzieren können).

2. Der andere soll nun eine möglichst genaue Skizze des Graphen erstellen. 3. Anschließend wird diese Skizze von beiden diskutiert.4. Mithilfe des Funktionsplotters können Sie die Skizze kontrollieren.5. Nun werden die Rollen getauscht.

Tipp:Man kann auch eine Wertetabelle verwenden.

8 I Funktionen

Die Verkaufsleiterin einer Firma liefert für die Verkaufszahlen v eines Produktes in Abhängig-keit der Zeit (in Wochen w) folgende Funkti-onsgleichung:

v (w) = – 20 000 w + 10 + 2000.

Beschreiben Sie den Graphen im Sachzusam-menhang. Wie sollte man das Fenster des GTR am besten einstellen?

Bei der mathematischen Beschreibung (Modellierung) einer Situation erhält man oft Zuordnun-gen zwischen Größen. Dabei wird häufig einem Wert der einen Größe Wert der anderen Größe zugeordnet. So kann zum Beispiel bei einer Radtour der verstrichenen Zeit t der zurückge-legte Weg s eindeutig zugeordnet werden. Dagegen ist die Zuordnung Höhe der Sonne über dem Horizont ¥ Tageszeit nicht eindeutig, weil einem Sonnenstand unterschiedliche Tageszeiten zu-geordnet werden können.Eindeutige Zuordnungen nennt man .

Bei Funktionen sind folgende Sprech- und Schreibweisen üblich: sind Bezeichnungen für Funktionen.

ist die Menge aller x-Werte, denen durch die Funktion f ein Funktionswert zuge-ordnet werden kann. Sie heißt bzw. der Funktion f.

ist der , also derjenige Wert, („f von x0“ ) der der Zahl x0 durch die Funktion f zugeordnet wird.

ist die Menge aller Funktionswerte. Sie heißt von f.

¥ ist die , welche ausdrückt, dass jedem Wert für x die Sum me aus 5 und dem Dreifachen ihres Quadrates zu geordnet wird. Man nennt 3 x 2 + 5 den .

ist die , mit deren Hilfe man zu jedem Wert für x denjenigen Funktionswert berechnen kann, der zu diesem x gehört. Beispielsweise erhält man an der Stelle x = – 4: f (– 4) = 3 · (– 4) 2 + 5 = 53.

Der ist die Menge aller Punkte P (x | y), deren Koordinaten die Gleichung y = f (x), hier also y = 3 x 2 + 5 erfüllen. Da die Zuordnung x ¥ y eindeutig ist, haben die Graphen von Funktionen mit allen Parallelen zur y-Achse höchstens einen Schnittpunkt.

Fig. 1 zeigt den Graphen einer Funktion, da jedem x-Wert ein eindeutiger y-Wert zugeord-net ist. Die Zuordnung ist also eindeutig.

Fig. 2 ist kein Graph einer Funktion, da es x-Werte gibt, denen mehrere y-Werte zugeord-net sind. Die Zuordnung ist nicht eindeutig.

Die Bezeichnung x0 steht für einen festen, aber nicht konkreten x-Wert.

x

y

O

x

y

O

Fig. 1 Fig. 2

I Funktionen 9

Eine Zuordnung, die jedem Element einer Definitionsmenge Element der Werte-menge zuordnet, nennt man .

Es gibt auch Funktionen, die nicht auf ganz R (nicht für alle reellen Zahlen) definiert sind: Die Funktion f mit f (x) = 1 x definiert. Für die Definitionsmenge schreibt man D f = R \ {0} oder D f = R („die reellen Zahlen ohne die Zahl Null“). Man bezeichnet 0 als die

.Die Quadratwurzelfunktion g mit g (x) = 90000 x ist

Für die Definitionsmenge schreibt man D g = R 0

+ („die positiven reellen Zahlen einschließlich der Zahl Null“).

Die Definitionsmenge einer Funktion wird häu-fig als angegeben. Für „x ist eine reelle Zahl“ schreibt man auch kurz „ * R“ (x ist Element der reellen Zahlen). Für „x ist keine reelle Zahl“ schreibt man „ + R“ (x ist kein Element der reellen Zahlen).

Funktionswerte, Definitionsmenge und Wertemenge bestimmenGegeben sind die Funktionen f mit f (x) = 2 x3 – 2 x und g mit g (x) = 6

x2 .a) Bestimmen Sie die Funktionswerte von f und g an den Stellen –2 und 3.b) Geben Sie die Definitionsmengen Df und Dg an.c) Zeichnen Sie mithilfe einer Wertetabelle die Graphen von f und g in ein Koordinatensystem im Intervall [–4; 4]. Notieren Sie die Wertemengen Wf und Wg.

º Lösung: a) f (–2) = 2 · (–2)³ – 2 · (–2) = –12 und f (3) = 48. g (–2) = 6

(–2)2 = 1,5 und g (3) = 2 3 .b) Definitionsbereiche: Df = R und Dg = R \ {0}. c) Mithilfe einer Wertetabelle kann man Graphen skizzieren (vgl. Fig. 1). Dazu trägt man die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbindet diese in den Intervallen, in denen keine Definitionslü-cken vorliegen.

x f (x) = 2 x3 – 2 x g (x) = 6 x2

–4 –120 0,375

–2 –12 1,5

–1 0 6

–0,5 0,75 24

0 0 –

0,5 –0,75 24

1 0 6

2 12 2

4 120 0,375

Aus Fig. 1 erhält man: Wf = R und Wg = R+ , also alle positiven reellen Zahlen außer der Null.

Graphen und Wertetabelle der Funktionen f (= f1) und g (= f2) mithilfe eines GTRs

Schreibweise für x * R mit Bezeichnung

[a; b] geschlossenes Intervall

]a; b[ a < x < b offenes Intervall

]a; b] linksoffenes Intervall

[a; b[ rechtsoffenes Intervall

Beim GTR kann der Aus-schnitt des Koordinaten-systems, der dargestellt werden soll, bei den Fens-tereinstellungen einge-stellt werden.

Fig. 1

R+ = R > 0

alle positiven r eellen Zahlen ohne Null

R– = R < 0

alle negativen r eellen Zahlen ohne Null

R 0 + = R

alle positiven reellen Zahlen mit Null

R 0 – = R

alle negativen reellen Zahlen mit Null

10 I Funktionen

Welche der abgebildeten Graphen gehören zu einer Funktion? Begründen Sie.

a)

x

O

y b)

x

O

y c)

x

O

y d)

x

O

y

e) Stellen Sie sich gegenseitig ähnliche Aufgaben.

Gegeben sind die Funktionen f, g, h und i mit den Funktionsgleichungen f (x) = – 1 x , g (x) = 2 x – 3, h (x) = 2 x2 – 12 x + 25 und i (x) = – 2 (x – 3)2 + 4.a) Bestimmen Sie die Funktionswerte von f, g, h und i an den Stellen – 2; 3 und 10.b) Bestimmen Sie die Definitionsmengen von f, g, h und i.c) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f, g und h mithilfe einer Wertetabelle. Bestimmen Sie anschließend die Wertemengen der Funktionen.d) Liegen die Punkte P (1 | – 1) und Q (4 | 2) auf den Graphen von f, g, h oder i?

Gegeben sind die Funktionen u mit u (x) = 1 x + 4 , v mit v (x) = 1

x – 1 und w mit w (x) = 90000000000000 x + 9 – 3. a) Bestimmen Sie die Funktionswerte von u, v und w an den Stellen – 1; 2 und 3 7 .b) Bestimmen Sie die Definitionsmengen von u, v und w.c) Erstellen Sie für die Funktionen u, v und w im Intervall [– 9; 9] mithilfe des GTR eine Werte-tabelle. d) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen u, v und w. Entnehmen Sie dazu der Wertetabelle aus c) die Werte für die richtige Fenstereinstellung beim GTR, sodass im Intervall [– 9; 9] die voll-ständigen Graphen von u, v und w zu sehen sind.

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = – 3 x2 – 12 x – 17.a) Bestimmen Sie die Definitionsmenge D f .b) Bestimmen Sie die Funktionswerte von f an den Stellen 9 und 0,25.c) Skizzieren Sie den Graphen von f mithilfe einer Wertetabelle zunächst ohne GTR. Kontrollieren Sie anschließend mithilfe des GTR und notieren Sie die Wertemenge W f .

Gegeben sind die Funktionen u, v und w mit u (x) = 1 x + 3 , v (x) = 1

90000 x – 2 und w (x) = 90000000000000 x – 5 .

Führen Sie mit den Funktionen u, v und w die Aufträge a) bis d) aus Aufgabe 3 durch.

Begründen Sie, ob die Graphen aus Fig. 1 jeweils zu einer Funktion gehören können.

Wahr oder falsch? Begründen Sie.a) Eine Parallele zur x-Achse kann nicht Graph einer Funktion sein.b) Eine Parallele zur y-Achse kann nicht Graph einer Funktion sein.c) Jede Parallele zur x-Achse hat mit dem Graphen einer beliebigen Funktion höchstens einen Punkt gemeinsam.d) Jede Parallele zur y-Achse hat mit dem Graphen einer beliebigen Funktion höchstens einen Punkt gemeinsam.

Tipp: Der GTR kann zur Kontrol-le eingesetzt werden.

$ Eine Anwendungsauf-gabe zur Definitions-menge befindet sich auch auf Seite 38 (Auf-gabe 13).

x

O

y

x

O

y

a)

b)

Fig. 1

Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 212.

I Funktionen 11

quadratische Funktionenlineare Funktionen

Funktionen

Vervollständigen Sie die Mindmap mit möglichst vielen weiteren Ästen.

In dieser Lerneinheit werden wiederholt.

Für Graphen linearer Funktionen mit f (x) = m x + n gilt:

m

x

y

O

1

m1n

Fig. 1

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .Geht man um 1 Einheit nach rechts, dann geht man um m Einheiten in y-Richtung.

Für Graphen quadratischer Funktionen mit f (x) = a x 2 + b x + c (Normalform) bzw. mit f (x) = a 2 x – d 3 2 + e (Scheitelpunktform) gilt:

x

y

O

c

( d | e)S

Fig. 2

Den Schnittpunkt mit der y-Achse 2 0 | c 3 kann man in der Normalform ablesen.Den Scheitelpunkt S (d | e) kann man der Scheitelpunktform entnehmen.

Der Faktor m heißt Steigung des Graphen und n ist der y-Achsenabschnitt.

Der Faktor a heißt Streckungsfaktor des Graphen und c ist der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Bei Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse hat die zugehörige Funktion f den Funktions-wert null: f (x 0 ) = 0. Die entsprechende Stelle x 0 wird der Funktion f genannt.

Aufstellen der Funktionsgleichung einer linearen FunktionP 2 2 | 1 3 und Q 2 8 | 34 3 sind Punkte des Graphen einer linearen Funktion. Bestimmen Sie die Funkti-onsgleichung.

º Lösung (zwei verschiedene Wege): Einsetzen der Koordinaten der Punk-

te P (x 1 | y1) und Q (x2 | y2) in die allgemeine For-mel für die Steigung: m =

y 2 – y 1 x 2 – x 1

Einsetzen von m und P in die Funk-tionsgleichung f (x) = m · x + n; Ermitteln von n

Aufstellen der Funktionsgleichungoder: Einsetzen der Koordinaten von P und Q in die Funktionsgleichung f (x) = m · x + n

Vereinfachen der Gleichungen und Lösen des linearen Gleichungssystems(dabei: Einsetzen von n = – 10 in Gleichung I)

Aufstellen der Funktionsgleichung

man erhält: m = 34 – 1 8 – 2 = 33

6 = 5,5

m = 5,5 und P (2 | 1) ergeben: 1 = 5,5 · 2 + n.Durch Umformen erhält man: n = 1 – 11 = – 10.Die Funktionsgleichung lautet f (x) = 5,5 x – 10.P (2 | 1) ergibt Gleichung I: 1 = m · 2 + n Q (8 | 34) ergibt Gleichung II: 34 = m · 8 + n4 · I: 4 = 8 m + 4 n II: 34 = 8 m + n ___________4 · I – II: – 30 = 0 + 3 n, also n = – 10;aus 1 = 2 m – 10 erhält man m = 5,5 f (x) = 5,5 x – 10

Als Erinnerungshilfe kön-nen Beispiele mithilfe des GTRs untersucht werden.

Für m < 0 fällt die Gerade. Für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.

12 I Funktionen

Bestimmen der y-Achsenabschnitte und NullstellenGegeben sind die Funktionen f mit f (x) = 5,5 x – 10 und g mit g (x) = 2 x2 – 4 x – 6.a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt des Graphen zur Funktion f bzw. g mit der y-Achse.b) Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f bzw. g. Geben Sie die Schnittpunkte mit der x-Ach-se an.

º Lösung: a) Um den y-Achsenabschnitt zu erhalten, wird der Funktionswert an der Stelle 0 be-stimmt. Für die Funktion f folgt: Für die Funktion g folgt:f (0) = 5,5 · 0 – 10 = – 10, also P (0 | – 10). g (0) = 2 · 02 – 4 · 0 – 6 = – 6, also P (0 | – 6).b) Für den Schnittpunkt mit der x-Achse gilt f (x) = 0 bzw. g (x) = 0. Hieraus kann man eine Glei-chung aufstellen, die nach x aufgelöst werden muss. Abschließend notiert man die Lösung.Für die Funktion f folgt:f (x) = 5,5 x – 10 = 0, also folgt 5,5 x – 10 = 0 | + 10 5,5 x = 10 | : 5,5 x = 1,

_ 81

Die Nullstelle lautet x N = 1, _

81 . Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist N (1,

_ 81 | 0).

Bestimmen Sie aus den gegebenen Informationen einer linearen Funktion mit f (x) = m x + n die Funktionsgleichung.a) m = 3 und der Punkt P 2 2 | 13 3 liegt auf dem Graphen.b) m = – 2 und der Punkt Q 2 – 1 | – 2 3 liegt auf dem Graphen.c) Die Punkte P 2 3 | 1 3 und Q 2 5 | 7 3 liegen auf dem Graphen.d) Die Punkte R 2 3 | 4,5 3 und S 2 – 9 | 8,5 3 liegen auf dem Graphen.e) n = 4 und der Graph enthält R 2 6 | 13 3 .f) n = – 1,5 und der Punkt S 2 2,5 | 16 3 liegt auf dem Graphen.

Gegeben sind sechs Geraden im Koordinatensystem (Fig. 1). Geben Sie jeweils die zugehö-rige Funktionsgleichung an.

Bestimmen Sie die fehlenden Werte in der Wertetabelle der linearen Funktion f. Kontrollieren Sie mithilfe des GTR.a) b)

x – 6 – 4 0 2

f (x) – 2 3 38

x – 2 0 1 3

f (x) – 1,5 0,5 5,5

c) Erstellen Sie zwei eigene Tabellen mit Lücken und geben Sie sie Ihrem Nachbarn zum L ösen.

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = 3 x – 10 b) f (x) = – 12 x + 24 c) f (x) = 0,1 x + 51 d) f (x) = 2 3 x + 2

Beim GTR kann man zur Kontrolle auf dem Graphen „entlangwandern“

oder die Schnittpunkte direkt bestimmen.

Für die Funktion g folgt:2 · x2 – 4 · x – 6 = 0 | : 2 x2 – 2 · x – 3 = 0also p = – 2 und q = – 3

x 1/2 = – – 2 2 ± 900000000000000000000000000000 ( – 2

2 ) 2 – (– 3) = 1 ± 90000 4 ,

also sind x 1 = – 1 und x 2 = 3 die Nullstellen von g und die Schnittpunkte mit der x-Achse lauten N 1 (– 1 | 0) und N 2 (3 | 0).

Zur Erinnerung: Zum Lösen der quadrati-schen Gleichung mit der pq-Formel benötigt man die Normalform: x2 + p x + q = 0. x2 + p x + q = 0 besitzt die beiden Lösungen

x 1/2 = – p 2 ± 900000000000000000000 ( p 2 ) 2 – q

a)3

2

1

1 2 3 4

x

O

y

O–1–2–3–4–1

–2

–3

b)

c)

d) e)

f)

Fig. 1

0 Weitere Übungen be-finden sich auch auf Seite 37 (Aufgabe 3).

Der GTR kann zur Kontrol-le verwendet werden.

I Funktionen 13

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = x2 – 25 b) f (x) = x2 – 196 c) f (x) = 6,25 – x2 d) f (x) = 1,44 – x2

e) f (x) = 5 x2 – 200 f) f (x) = 2 x2 – 48 g) f (x) = 3 x2 – 24 h) f (x) = 7 x2 – 91

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = x2 + 3 x b) f (x) = x2 + 6 x c) f (x) = 4 x2 – 8 x d) f (x) = 1,3 x2 + 3,9 xe) f (x) = 5 x2 – 25 x f) f (x) = 4 x² + 5 x g) f (x) = x2 + 4 x h) f (x) = 3 x2 – 8 x

Begründen Sie, dass die Anwendung der pq-Formel bei den Aufgaben 5 und 6 nicht sinnvoll ist. Beschreiben Sie einen alternativen Lösungsweg.

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = x2 + 6 x + 5 b) f (x) = x2 + 6 x – 4 c) f (x) = x2 + 7 x + 4d) f (x) = x2 – 6 x + 5 e) f (x) = 3 x2 – 24 x – 9 f) f (x) = 2 x2 – 12 x – 7g) f (x) = 2 x2 + 36 x + 17 h) f (x) = 6 x2 – 11 x – 6 i) f (x) = 3 x2 – 4 x – 4

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der linearen Funktionen f und g anhand der gegebe-nen Punkte des Graphen. Berechnen Sie anschließend die Schnittpunkte der Graphen mit den Koordinatenachsen.a) f mit den Punkten A (2 | 3) und B (5 | 6). b) g mit A (– 4 | 1) und B (4 | 5).

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = x2 – 121 b) f (x) = x2 + 12 x c) f (x) = x2 – x – 6 d) f (x) = 3 x2 – 3 x – 18

Gegeben sind die Funktionen f, g, h, k und j mit f (x) = – (x + 7)2 – 6, g (x) = – (x + 3)2 + 1, h (x) = (x – 3)2, k (x) = – (x + 3)2 – 1 und j (x) = (x + 3)2 sowie die Screenshots in Fig. 1 bis 3. a) Ordnen Sie den Screenshots aus Fig. 1 bis 3 die zugehörigen Funktionen zu. Begründen Sie.b) Beschreiben Sie für die Funktionen, die in a) nicht zugeordnet wurden, jeweils den Verlauf des Graphen und begründen Sie den Verlauf mithilfe der Funktionsgleichung.


Eine 15 cm lange Kerze brennt in 10 Stun-den ab. Bei einer 20 cm langen Kerze dauert es 8 Stunden. Bearbeiten Sie die folgenden Auf-gaben einmal ohne und einmal mit GTR.a) Stellen Sie Funktionsgleichungen auf und zeichnen Sie die Graphen.b) Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach welcher Zeit sind sie gleich lang?

Bestimmen Sie die Nullstellen und Schnittpunkte der Funktionen f und g.a) f (x) = x2 – 7 und g (x) = 4 x – 11 b) f (x) = – 1 4 x2 – 3 4 x + 10 und g (x) = – 3 4 x – 6

. Aufgaben zum Erfor-schen befinden sich auf Seite 40 (Aufgabe 25) und auf Seite 41 (Aufgabe 30).

$ Weitere Anwendungs-aufgaben befinden sich auch auf Seite 39 – 40 (Aufgaben 18 bis 23).

0 Weitere Übungen be-finden sich auch auf Seite 37 (Aufgabe 4).


14 I Funktionen

Spieler 1 gibt verdeckt eine Funktionsglei-chung der Form f (x) = a · xn , wobei a eine gan-ze Zahl und n eine natürliche Zahl von 1 bis 5 ist, in den GTR ein und zeigt Spieler 2 die dazu-gehörige Wertetabelle (Variation: den dazuge-hörigen Graphen) – ohne Angabe der Funkti-onsgleichung. Spieler 2 muss nun versuchen, die Funktionsgleichung zu bestimmen. Gelingt dies, erhält er einen Punkt. Nun wird gewechselt.

Neben linearen und quadratischen Funktionen gibt es weitere Funktionsklassen wie zum Beispiel die Potenzfunktionen.So heißt die Funktion f mit f (x) = x3 Potenzfunktion dritten Grades. Mithilfe der Rechnungen f (0) = 03 = 0, f (1) = 13 = 1, f (2) = 23 = 8 und f (– 1) = (– 1)3 = – 1 erhält man die Punkte P (0 | 0), Q (1 | 1), R (2 | 8) und S (– 1 | – 1) des Graphen von f (s. Fig. 1). Allgemein heißt eine Funktion mit einer Funktionsgleichung der Form f (x) = 2 x3; f (x) = – 5 x3 oder f (x) = 0,75 x3 .In gleicher Weise gibt es auch Potenzfunktionen 4., 5., 6. usw. Grades. Der Grad ist über den Expo-nenten definiert.

Funktionen f mit Funktionsgleichungen der Form f (x) = a · xn heißen (n * N und a * R).

1. Für jede Potenzfunktion gilt f (0) = 0. Der Graph geht durch den Punkt S (0 | 0).2. Der Faktor a ist der bzw. . Für – 1 < a < 1 ist der Graph breiter (gestaucht) als der Graph von g mit g (x) = xn. Für a < – 1 bzw. a > 1 ist der Graph enger (gestreckt) als der Graph von g mit g (x) = xn.3. Für Potenzfunktionen mit gilt a) f (1) = a und f (– 1) = a; der Graph geht durch die Punkte P (1 | a) und Q (– 1 | a). b) alle Funktionswerte haben das gleiche Vorzeichen (positiv bei a > 0; negativ bei a < 0).4. Für Potenzfunktionen mit gilt a) f (1) = a und f (– 1) = – a; der Graph geht durch die Punkte P (1 | a) und Q (– 1 | – a). b) die Funktionswerte wechseln das Vorzeichen bei x = 0

(von negativ zu positiv bei a > 0; von positiv zu negativ bei a < 0).

f3(x) = 0,5x41

2

3

4

–1 1 2–2 O

y

x

f2(x) = 3x4

f1(x) = x4

PQ

S

f3(x) = 0,5x31

2

–2

–1–1 1 2–2 O

y

x

f1(x) = x3

f2(x) = 1,5x3

P

Q

S

Potenzfunktionen mit geradem Exponenten Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Die Anzahl der zu spielen-den Runden sollte im Vor-feld bestimmt werden. Gewonnen hat, wer am Ende die meisten Punkte hat! Je nach GTR-Typ muss die Funktionsgleichung ggf. abgedeckt werden.

y = x3

4

3

2

1

1 2

x

O

y

O

5

–1–1

6

7

8

Q

P

S

R

Fig. 1

I Funktionen 15

Potenzfunktionen mit dem GTRWie muss man die „Y-Bereiche“ beim GTR für die Funktionen f mit f (x) = 0,5 x3 und g mit g (x) = – 2 x4 wählen, damit im Intervall

werden?Durch Einsetzen der x-Werte x = – 3 und x = 3 (äußerste Werte des angegebenen Inter-valls) in die Funktionsgleichung erhält man den größten bzw. kleinsten Funktionswert.f: f (– 3) = – 13,5 und f (3) = 13,5g: g (– 3) = – 162 und g (3) = – 162Demnach muss die y-Achse bei f von ca. – 14 bis 14 und bei g von ca. – 162 bis 0 dargestellt werden (mit g (0) = 0 als größtem Funktions-wert) – vgl. Fig. 1 und 2.

Ordnen Sie den Funktionsgleichungen die Graphen zu. Begründen Sie.a) f (x) = 0,01 x4 b) g (x) = 0,5 x3 c) h (x) = x11 d) j (x) = x10

4

2

2 4

x

O

y

O–2–4–2

–4

A

4

2

2 4

x

O

y

O–2–4–2

–4

B

C 4

2

2 4

x

O

y

O–2–4–2

–4

4

2

2 4

x

O

y

O–2–4–2

–4

D

Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6

a) Geben Sie drei Punkte an, die auf dem Graphen der Potenzfunktion f mit f (x) = – Å 2 x4

liegen. b) Die Punkte P, Q, R und S liegen auf dem Graphen der Potenzfunktion f mit f (x) = 2 x5. Bestimmen Sie jeweils die fehlende Koordinate.P (2 | y) Q (– 1 | y) S (x | – 64) R ( x | 2

100 000 ) Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion. Skizzieren Sie den Graphen der

Funktion zunächst ohne GTR. Kontrollieren Sie anschließend mithilfe des GTR.a) f (x) = 0,25 x3 b) f (x) = – x4 c) f (x) = 0,5 x5 d) f (x) = – x3

Zeichnen Sie die Graphen der Potenzfunktionen f und g mit f (x) = x4 und mit g (x) = x8. Vergleichen Sie die beiden Graphen und benennen Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede.

Skizzieren Sie die Graphen der Potenzfunktionen f, g, h und j. Vergleichen Sie die Graphen und begründen Sie Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede der Graphen mithilfe der Funktionsglei-chung. (A) f (x) = 0,1 x2 (B) g (x) = 0,1 x3 (C) h (x) = 0,1 x4 (D) j (x) = 0,1 x5

Fig. 1

Fig. 2

16 I Funktionen

Gegeben sind die Funktionen f, g, h und j mit den Funktionsgleichungen f (x) = 0,25 x4, g (x) = 20 x5, h (x) = – 0,0005 x6 und j (x) = – 250 x3.Wie muss man beim GTR den „Y-Bereich“ einstellen, damit im Intervall – -werte dargestellt werden?

a) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen von f, g, h und j mit f (x) = x2, g (x) = x4, h (x) = x6 und j (x) = x3.b) Beschreiben Sie Gemeinsamkeiten und Un-terschiede der Graphen von f, g und h mit f (x) = – x3, g (x) = x3 und h (x) = – 2 x3.c) Ordnen Sie den Graphen in Fig. 1 die Funkti-onsgleichungen f (x) = 0,01 x4 und g (x) = 0,5 x7 und h (x) = – 0,5 x7 zu. Begründen Sie.

Gegeben sind die Funktionen f und g mit f (x) = – 0,25 x4 und g (x) = 50 x7.-

werte dargestellt werden?

Wie ändert sich der Funktionswert, wenn man den x-Wert verdoppelt?a) f (x) = 4 x4 b) f (x) = 5 x2 c) f (x) = 1,5 x3 d) f (x) = 3 2 x5

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Potenzfunktion an, die zu der Aussage passt.a) Der zugehörige Graph ist symmetrisch zur y-Achse.b) Der zugehörige Graph geht durch den Punkt P (1 | 3).c) Die zugehörigen Funktionswerte sind alle positiv oder null.d) Verdoppelt man den x-Wert, so verachtfacht sich der zugehörige y-Wert.

Die Funktionen f, g und h haben die Funktionsgleichungen f (x) = 4 x3; g (x) = x5 und h (x) = 0,1 x4. Bestimmen Sie die x-Werte, für die gilt:a) Die Funktionswerte von g und h sind gleich groß.b) Die Funktionswerte von h sind kleiner als die von f.c) Die Funktionswerte von f sind größer als die von g.

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen „immer zutreffen“, „nie zutreffen“ oder „unter bestim-ten Bedingungen“ zutreffen. Geben Sie die „Bedingungen“ gegebenenfalls an.

a) „Der Graph einer Funktion mit f (x) = a · xn geht durch den Punkt P ( 1 2 | 1 2 a ) .“b) „Der Graph einer Potenzfunktion f (x) = a · xn mit ungeradem Exponenten steigt für a * R überall an.“c) „Wenn man bei einer Potenzfunktion x um 1 erhöht, werden die Funktionswerte f (x) auch größer.“

4

2

–2

–4

x

y

–6 –4 –2 O 2 4 6

A CB

Fig. 1

Lösungen zu Zeit zu überprüfen Seite 212 – 213.

I Funktionen 17

Aufgabe 13, 14

Quadratzahlen und Quadratwurzeln hängen zusammen: Zum Beispiel ist 32 = 9 und 90000 9 = 3.Dieser Zusammenhang gilt auch für Kubikwurzeln, denn z. B. ist 23 = 8 und 3 90000 8 = 2.Allgemein lässt sich für alle positiven Zahlen x eine Potenz xn (n * N) durch das Ziehen der n-ten Wurzel umkehren. In Fig. 3 und Fig. 4 sind die Graphen der quadratischen Wurzelfunktion q mit q (x) = 90000 x und der kubischen Wurzelfunktion k mit k (x) = 3 90000

90000

1

2

3

4

1 2 3–3 –2 –1 O

y

x

f

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6O

y

x

q

Fig. 1 Fig. 2

90000

1

2

–2

–1

1 2 3–3 –2 –1 O

y

x

g

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6O

y

x

k

Fig. 3 Fig. 4

Geben Sie für die in Fig. 1 – Fig. 4 dargestellten Funktionen jeweils die Definitions- und Werte-menge an.

a) Zeichnen Sie mit dem GTR die Graphen von f mit f (x) = x2 und q mit q (x) = 90000 x mit

den Graphen. b) Ergänzen Sie den Graphen von a mit a (x) = x und beschreiben Sie die Lage der Graphen von f und q bezüglich dieser Geraden.

Vereinfachen Sie mithilfe der binomischen Formeln oder durch Ausmultiplizieren.a) (a + b) (a – b) b) (a – b)2 c) (a + b)2 d) (2 a + b)2

e) (x + 2) (x – 2) f) (x – 3)2 g) (x + 3)2 h) (2 x + 3)2

Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 213.

18 I Funktionen

In den Grafiken sehen Sie zu allen Funk tionen den passenden Graphen. Ordnen Sie ohne GTR zu. Erläutern Sie Ihre Gedanken.

f (x) = Å 5 x 4 + 3 10 x 3 – 9 5 x 2 – 17 10 x + 3

g (x) = – 0,25 x 3 – 0,5 x 2 + 1,25 x + 1,5

h (x) = – x 2 + 2 x + 3

i (x) = – Å 4 (x + 3) (x + 1) (x – 2)

Summen und Differenzen von Potenzfunktionen und linearen Funktionen wie z. B. f mit f (x) = 3 x3 – 9 x2 – 120 x heißen . Der Exponent der größten Potenz von x heißt der ganzrationalen Funktion. Die Funktion f ist also eine ganzrationale Funktion drit-ten Grades. Um sich ein Bild von dem Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion zu machen, unter-sucht man, wie sich die Funktion für sehr große und sehr kleine Werte von x verhält.

¥Die folgende Wertetabelle zeigt zu den Funktionen f mit f (x) = 3 x3 – 9 x2 – 120 x und g mit g (x) = 3 x3 Funktionswerte zu großen x-Werten:

x 1 10 100 1000 10 000 100 000

f (x) – 126 900 6 9 12 15

g (x) 3 3000 3 · 106 3 · 109 3 · 1012 3 · 1015

Die Werte der Tabelle lassen vermuten, dass die Funktionswerte f (x) und g (x) für größer werden-de x-Werte einen ähnlichen Verlauf haben. Diese Vermutung kann man bestätigen, wenn man den Funktionsterm von f zu einem Produkt umformt:

f (x) = 3 x3 – 9 x2 – 120 x = 3 x3 · ( 1 – 3 x – 40

x2 ) Beim zweiten Faktor 1 – 3 x – 40

x2 nähern sich die beiden Brüche für sehr große x-Werte

immer weiter der Zahl 0 an, sodass der gesamte Faktor sich der Zahl 1 nähert. Diese Überlegung gilt auch für sehr kleine x Werte (wie z. B. x = – 100 000).

Da für immer größer werdende x-Werte der Wert von g (x) = 3 x3 beliebig groß wird, gilt dies auch für f (x). Man schreibt dafür „Für x ¥ gilt: f (x) ¥ “ und sagt: „Für x gegen unendlich strebt f (x) gegen unendlich“.

Da für immer kleiner werdende x-Werte der Wert von 3 x3 immer kleiner wird, strebt für x gegen minus unendlich f (x) gegen minus unendlich. Man schreibt: „Für x ¥ – gilt: f (x) ¥ – “.

Man kann allgemein zeigen, dass das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion für x ¥ ± insgesamt vom Summanden mit der größten „Potenz von x“ bestimmt wird.

4

2

x

y

2O–2

–2

6

–4

4

2

x

y

2O–2

–2

6

–4

4

2

x

y

2O–2

–2

6

–4

ist das mathematische Zeichen für „unendlich“

1000

10

x

O

y

–10

–1000

2000

3000

4000

–2000

–3000

y = f (x)

y = g (x)

Fig. 1

Obwohl der Abstand f (x) – g (x) (für größer werdende x) absolut ge-sehen immer größer wird, wird der relative Unter-

schied f (x) – g (x)

g (x) immerkleiner.

Online-Code z82za8 Polynome erkunden.

I Funktionen 19

Setzt man bei der Funktion f mit f (x) = 3 x3 – 9 x2 – 120 x + 5 Zahlen nahe 0 ein, verliert der Teil-term 3 x3 – 9 x2 für die Lage des Graphen an Bedeutung, wie die Beispiele verdeutlichen:

x 1 0,5 0,3 0,2 0,1 0,01

f (x) – 121 – 56,875 – 31,729 – 19,336 – 7,087 3,799 103

3 x3 – 9 x2 – 6 – 1,875 – 0,729 – 0,336 – 0,087 – 0,000 897

– 120 x + 5 –115 –55 –31 –19 –7 3,8

Deshalb verläuft der Graph von f nahe 0 ungefähr wie die Gerade der Funktion g mit der Glei-chung h (x) = – 120 x + 5.Diese Vermutung kann man mit folgender Überlegung bestätigen: Wenn man Zahlen zwischen – 1 und 1 potenziert, nähern sich die Ergebnisse immer weiter dem Wert 0. Dies erfolgt umso schnel-ler, je näher die Zahl bei Null liegt. Somit haben die Summanden mit den höheren Potenzen von x keinen großen Einfluss auf das Verhalten des Graphen für den Bereich x nahe 0. Dieses wird bei der Funktion f überwiegend von dem Term – 120 x + 5 bestimmt.

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung man in der Form f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 schreiben kann, heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades. Dabei sind a 0 ; a 1 ; … ; a n reelle Zahlen ( a na0 heißt absolutes Glied.

¥– Für x ¥ ± wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der

höchsten Potenz von x bestimmt.– Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y = a n x n , wobei n der

Grad von f ist.

– Für x nahe 0 wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion von den Summanden mit den niedrigsten Potenzen von x bestimmt.

– Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y = a k x k + a 0 , wobei k die niedrigste Potenz von x ist.

Eigenschaften des Graphen einer ganzrationalen Funktion untersuchenGegeben ist die Funktion f mit f (x) = 2 x5 + x2 – 5 x + 2. Formulieren Sie ohne GTR und Rechnung möglichst viele Aussagen über den Graphen von f. Fertigen Sie eine Skizze an. Tragen Sie dabei auch die Graphen der verwendeten Vergleichsfunk-tionen ein.

º Lösung: Für x ¥ ± verhält sich der Graph so wie der Graph der Funktion g mit g (x) = 2 x5. Damit strebt der Graph für x ¥ gegen unend-lich und für x ¥ – gegen minus unendlich.Für x nahe Null verhält sich der Graph ähnlich wie der Graph der Funktion h mit h (x) = –5 x + 2.

600

400

200

–200

–400

–600

–800

–8 –4 O 4 8

y

x

h

f

Online-Code nh9he5 Ganzrationale Funktionen zerlegen

Betrachten Sie das ab-solute Glied und die niedrigsten Potenzen von x.

x

y

6

4

2

–2

–6 –4 –2 O 2 4 6

g(x) = 2x5

h(x) = –5x + 2

f(x) = 2x5 + x2 – 5x + 2

20 I Funktionen

Geben Sie eine Funktion g mit g (x) = an xn an, die das Verhalten des Graphen von f für x ¥ ± bestimmt. Veranschaulichen Sie das Ergebnis durch Zeichnen der Graphen von f und g.a) f (x) = –3 x3 + x2 + x b) f (x) = 5 x5 – 3 x9 + 15 000 xc) f (x) = 38 · x + 0,0001 x6 d) f (x) = (x – 1)2 · (x – 7)

Gegeben ist eine Funktion f. Überlegen Sie, welches Vorzeichen f (100 000) und f (–100 000) haben. Überprüfen Sie rechnerisch.a) f (x) = –100 x2 + 0,01 x5 b) f (x) = 250 – x3 c) f (x) = x3 – 0,025 x4 d) f (x) = –x5 + 100 000 x

Geben Sie eine Funktion h mit h (x) = ak xk + a0 an, die das Verhalten von f für Werte von x nahe Null bestimmt. Veranschaulichen Sie das Ergebnis durch Zeichnen der Graphen von f und h.a) f (x) = x3 + 2 x2 + 1 b) f (x) = –12 x7 + x – 3c) f (x) = 2 – 0,0001 x5 – x2 d) f (x) = (2 x2 + 1) (4 – x) – 3 x3

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x ¥ ± und x nahe Null.a) f (x) = – 2 x2 + 4 x b) f (x) = – 3 x5 + 3 x2 – x3

c) f (x) = 0,5 x2 – 0,5 x4 d) f (x) = 5 – 7 x2 + 2 x3 e) f (x) = 1010 · x6 – 7 x7 + 25 x f) f (x) = x10 – 225 · x9

Gegeben sind die vier Graphen aus Fig. 1 bis Fig. 4 und die vier Funktionsgleichungen der Funktionen f, g, h und k mit f (x) = x3 + x, g (x) = x4 – 0,5 x3 – 3 x2 + 2, h (x) = –x5 + 3 x3 – 1,5 x und k (x) = –x5 – 0,5 x4 + x3 + 2 x2 – 1.Ordnen Sie die Graphen den Funktionsgleichungen zu und begründen Sie Ihre Wahl.


Gegeben ist die Funktion f. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x ¥ ± und x nahe Null. Skizzieren Sie grob einen Verlauf des Graphen.a) f (x) = 3 x3 – 4 x5 – x2 b) f (x) = 1 – 2 x + x6 + x3 c) f (x) = 3 x – 0,01 x7 + x6 + 2

Ordnen Sie den Funktionsgleichungen die Graphen zu. Es sind zwei Funktionsgleichungen zu viel angegeben. Skizzieren Sie von diesen Funktionen die Graphen.f1 (x) = –2 x3 + 2 x + 10 f2 (x) = x4 – x2 + 10 f3 (x) = –2 x3 – x2 + 10f4 (x) = –2 x3 – 5 x + 10 f5 (x) = x4 + x2 + 10 f6 (x) = x4 – 10 x + 10

20

–4 4

y

x

20

–4 4

y

x

20

–4 4

y

x

20

–4 4

y

x


Mithilfe der ZOOM-Funkti-on beim GTR kann man bei den Aufgaben 1 und 3 den Ausschnitt des G ra phen gut variieren.

0 Weitere Übungen be-finden sich auch auf Seite 37 (Aufgaben 1 und 2).


I Funktionen 21

Variieren Sie den Funktionsterm der Funktion f mit f (x) = 6 x2 + x3, sodassa) für x ¥ f (x) ¥ – gilt.b) für x ¥ ± f (x) ¥ gilt.c) für x ¥ ± f (x) ¥ – gilt.d) sich der Graph bei x nahe Null dem Graphen der Funktion h (x) = 2 x + 2 annähert.e) sich der Graph bei x nahe Null dem Graphen der Funktion h (x) = – x2 + 1 annähert.

Alexander lässt sich die Funktion f mit

f (x) = 1 50 x4 + x3 – x + 1 auf seinem GTR wie in

Fig. 1 anzeigen. a) Andreas meint: „So kann man den Funkti-onsgraphen gar nicht richtig erkennen.“ Beschreiben Sie, was Andreas damit gemeint haben könnte.b) Geben Sie eine Fenstereinstellung an, bei der der Graph alle wesentlichen Informationen bzgl. seines Verhaltens enthält.

Von einer Funktion f ist bekannt: Für x ¥ gilt f (x) ¥ , für x ¥ – gilt f (x) ¥ – . Außerdem ist f (2) = 2 und für x nahe Null ist die Funktion f der Funktion h mit h (x) = 2 x + 1 in ihrem Verlauf ähnlich. Zeichnen Sie zwei mögliche Graphen. Vergleichen Sie sie mit ihrem Nach-barn.

Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f für x ¥ ± zunächst ohne GTR. Kontrollieren Sie anschließend mithilfe des GTR. Achten Sie auf die richtige Einstellung des Fensters.a) f (x) = (x – 2)2 b) f (x) = – x (x2 + 5 x)c) f (x) = (–20 x5 – 30 x) · 10 x d) f (x) = (x – 5) · (12 – x) : 25

Für die Funktion f gilt f (x) ¥ – für x ¥ ± . Beschreiben Sie, wie sich die Funktionswerte der Funktion g für x ¥ ± verhalten. a) g (x) = f (x) + 100 b) g (x) = 25 – f (x) c) g (x) = f (x) : 2 d) g (x) = 50 · f (x)

Vereinfachen Sie mithilfe der binomischen Formeln bzw. durch Faktorisieren.a) a2 + 2 a b + b2 b) a2 – 2 a b + b2 c) a2 – b2 d) 4 a2 – b2

e) x2 + 6 x + 9 f) x2 – 8 x + 16 g) x2 – 25 h) 4 x2 – 36

Eine Mountainbike-Tour im spanischen El Ports-Gebirge hat das Höhenprofil aus Fig. 2.a) Wie viele Höhenmeter sind beim ersten An-stieg zu überwinden? Wie lange ist er etwa?b) Wie groß ist der Gesamtanstieg, der bei der Tour zu überwinden ist?c) Zur Quelle Canaleta führt nur eine Sackgas-se. Wie äußert sich das am Graphen? Wo kann es weitere Sackgassen geben?

Fig. 1

10

Strecken-kilometer

Höhenmeter

600

400

20020 30 400

Quelle Canaleta

Fig. 2

Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 213 – 214.

22 I Funktionen

Vergleichen Sie bei den folgenden Funktionen die Funktionswerte an den Stellen x = 1 und x = – 1; x = 2 und x = – 2 bzw. für beliebige reelle Zahlen x = a und x = – a. Untersuchen Sie, welche Bedeutung die Ergebnisse für die zugehörigen Graphen haben. Formulieren Sie Ihre Entdeckung. Geben Sie anschließend weitere Funktionsgleichungen an, für die Ihre Entdeckung ebenfalls zutrifft. f (x) = x4 + x2 – 2 g (x) = x3 – x h (x) = x3 + x2 k (x) = x8 – x2

Die Graphen ganzrationaler Funktionen können neben dem Verhalten für x ¥ ± und für x nahe Null noch weitere Eigenschaften besitzen, die das Zeichnen von Graphen erleichtern. Wertetabel-le und Graph lassen sich einfacher entwickeln, wenn man bereits anhand des Funktionsterms eine Symmetrie erkennen kann. Fig. 1 zeigt „Prüfbedingungen“ für die Achsensymmetrie zur y-Achse und für die Punktsymmetrie zum Ursprung.

x

O

y

–x x

f (–x) f (x)

f

x

O

f

y

–xx

f (–x)

f (x)

Fig. 1

Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge Df ist genau dann

wenn für alle x * Df gilt:

Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man die Symmetrie leicht anhand der auftretenden Po-tenzen von x. Treten in dem Funktionsterm von f nur Potenzen mit geraden Exponenten auf, so er-gibt sich immer f (–x) = f (x), wie man an dem Beispiel f (x) = 4 x6 – 3 x2 + 0,4 erkennen kann: f (–x) = 4 (–x)6 – 3 (– x)2 + 0,4 = 4 x6 – 3 x2 + 0,4 = f (x). Der zugehörige Graph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse.Treten dagegen im Funktionsterm nur Potenzen mit ungeraden Exponenten auf, so ergibt sich für alle x immer f (–x) = –f (x), wie man an dem Beispiel f (x) = –7x5 + 2 x3 – 4 x erkennen kann:f (–x) = –7 (–x)5 + 2 (–x)3 – 4 (–x) = 7 x5 – 2 x3 + 4 x = – (–7 x5 + 2 x3 – 4 x) = – f (x).Der zugehörige Graph verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung (0 | 0).

Der Graph einer ganzrationalen Funktion f verläuft genau dann

wenn der Funktionsterm f(x) nur wenn der Funktionsterm f (x) nur

enthält. enthält.

Das absolute Glied a0 gilt als Summand mit gerader Potenz, denn: a0 = a0 · x0 = a0 · 1.

I Funktionen 23

Allgemein bezeichnet man eine beliebige Funktion als , wenn ihr Graph achsen-symmetrisch zur y-Achse verläuft und als , wenn ihr Graph zum Ursprung sym-metrisch ist.

Symmetrieuntersuchung bei ganzrationalen FunktionenÜberprüfen Sie, ob der Graph der ganzrationalen Funktion f symmetrisch zur y-Achse oder sym-metrisch zum Ursprung O (0 | 0) verläuft.a) f (x) = 4 x2 – 900000 5 · x8 + 9 b) f (x) = 6 + 3 x + 0,4 x3

º Lösung: a) Der Funktionsterm enthält Potenzen von x mit den Exponenten 2, 8 und 0, wenn man berücksichtigt, dass 9 = 9 · x0 ist. Also treten nur gerade Exponenten auf und der Graph von f verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse.b) Der Funktionsterm enthält Potenzen von x mit den Exponenten 3, 1 und 0, wenn man berück-sichtigt, dass 6 = 6 · x0 ist. Also treten sowohl gerade als auch ungerade Exponen ten auf und der Graph von f verläuft weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punkt symmetrisch zum Ur-sprung O (0 | 0).

Untersuchen auf Symmetrie

Prüfen Sie, ob die Funktion f mit f (x) = x

x2 + 1 gerade oder ungerade ist. Welche Symmetrie weist

der Graph von f auf? º Lösung: Es ist f (– x) = – x

(– x)2 + 1

= – x

x2 + 1 = – x

x2 + 1

= – f (x). Also ist f eine ungerade Funktion, und

der Graph von f verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung O (0 | 0).

Welche Funktion hat einen zur y-Achse bzw. zum Ursprung symmetrischen Graphen? Begründen Sie.a) f (x) = x b) f (x) = x2 c) f (x) = x3

d) f (x) = – x 4 – 5 x 2 + 3 e) f (x) = x 5 – 3 x 3 – 1 f) f (x) = x 5 + 3 x 3 + x 2 – 4 xg) f (x) = – 2 x6 + 3 x2 h) f (x) = 2 – 3 x4 i) f (x) = 2 – 3 x3

Hat die ganzrationale Funktion f einen zur y-Achse bzw. zum Ursprung symmetrischen Graphen? Begründen Sie.a) f (x) = x4 b) f (x) = 2 x + 3 c) f (x) = 7 – x4 + 2 x6

d) f (x) = 4 x3 + 1 e) f (x) = 1 6 x6 – x2 – 90000 2 + 1 f) f (x) = x3 (x + 1) (x – 1)

Prüfen Sie, ob die ganzrationale Funktion f gerade oder ungerade ist. Welche Aussage ergibt sich über das Symmetrieverhalten des Funktionsgraphen?a) f (x) = x · (x2 – 5) b) f (x) = (x – 2)2 + 1 c) f (x) = x (x – 1) (x + 1)

d) f (x) = (x – 1) (x – 2) e) f (x) = 1 3 x3 (6 – x2) f) f (x) = (2 – x)2 (2 + x)2

g) f (x) = (x – 1)3 + 3 x2 + 1 h) f (x) = (1 – 3 x2)2 i) f (x) = (x – x2)2

Untersuchen Sie, ob die Funktion f einen symmetrischen Graphen hat.

a) f (x) = 1 x 1

x2 1 x + 1

d) f (x) = 1

x2 + 1 e) f (x) = x

x2 + 1

f) f (x) = 5

x4 + x2

Exponenten betrachten

f (–x) bilden, umformen und mit f (x) verglei -chen.

0 Weitere Übungen be-finden sich auch auf Seite 37 (Aufgaben 8 und 9).

24 I Funktionen

In Fig. 1 ist eine Skizze des Graphen der Funktion f mit f (x) = – 0,5 x4 + 3 x2 – 2 darge-stellt. Dabei sind die durchgezogenen Abschnitte Ergebnisse der Untersuchung des Verhaltens des Graphen für x ¥ ± und für x nahe Null sowie der Untersuchung auf Sym-metrie. Die gestrichelten Abschnitte wurden anschließend hinzugefügt.a) Erläutern Sie ausführlich, wie die Skizze aus Fig. 1 entstanden sein könnte.b) Erstellen Sie eine entsprechende Skizze der Graphen für f mit f (x) = 0,2 x4 – 2 x2 + 1 und g mit g (x) = 2 x3 – x + 1.

Skizzieren Sie den Graphen von f zunächst grob ohne GTR wie in Fig. 1 aus Aufgabe 5 und er-läutern Sie Ihr Vorgehen. Kontrollieren Sie anschließend mithilfe eines GTRs.a) f (x) = 2 x4 + x2 – 1 b) f (x) = 3 x3 + 2 x c) f (x) = –x2 + 3 x4 + 5d) f (x) = x3 – 2 x3 + 3 x e) f (x) = – 0,05 x4 – 2 x2 + 3 f) f (x) = x3 + 2 x – x

Untersuchen Sie, ob die Funktion gerade oder ungerade ist.a) f (x) = 5 x5 – 2 x3 + 5 x – 2 b) f (x) = –3 x4 – 2 x2 + 6 x c) f (x) = 2 x6 – 7 x4 + x2 + 3

d) f (x) = 2 x7 + 4 x3 + 126 x e) f (x) = 3 x4

2

x2 + 4

Erstellen Sie eine Skizze des Graphen der Funktion f. Untersuchen Sie dazu das Verhalten für x ¥ ± , das Verhalten für x nahe Null und prüfen Sie, ob der Graph symmetrisch ist.a) f (x) = x3 – x2 b) f (x) = –x4 + 2 x2

c) f (x) = x + 4 x3 d) f (x) = 2 + x2 – 1 – 0,001 x4

Geben Sie anhand der Graphen in Fig. 2 an, welche Aussagen zutreffena) für die Funktion f, b) für die Funktion g.1) Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse.2) Im Funktionsterm kommen Potenzen mit geraden und ungeraden Exponenten vor.3) Im Funktionsterm ist die Zahl vor der höchsten Potenz negativ.4) Der Grad der Funktion ist ungerade.5) Der Grad der Funktion ist mindestens 3.

Zu welcher der angegebenen Funktio-nen könnte der Graph gehören? Begründen Sie mithilfe der Abbildungen.f1 (x) = 0,1 x3 – x2 + 1 f2 (x) = 0,1 x3 + x2 + 1f3 (x) = 0,1x3 – x2 + x + 1 f4 (x) = (x + 1) (1 – x) f5 (x) = 0,001 x4 – x2 + 1 f6 (x) = 5 x3 – x2 + 1

Für welche Werte von t ist der Graph der Funktion f symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse?a) f (x) = x3 + 2 t x2 + t x b) f (x) = (x – t) (x + 1) c) f (x) = xt – x d) f (x) = (x + t)2 – 4 x

. Eine Aufgabe zum Er-forschen befindet sich auf Seite 41 (Aufgabe 26).

Fig. 1

2

x

y

2O

–2–4 4

4

–2

–4

. Eine vernetzende Auf-gabe befindet sich auf Seite 40 (Aufgabe 24).

–2

2

x

y

2O–2

f

g

Fig. 2


I Funktionen 25

Aufgabe 12, 13

* N

Diese Potenzfunktionen besitzen alle bei x = 0 eine Definitionslücke. Ihre Eigenschaften werden mithilfe der Beispiele aus den Figuren 1 und 2 dargestellt.

3

2

1x

y

O–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

f (x) = 1 __ x2

f (x) = 1 __ x6 f (x) = 1

__ x36

Fig. 1

1. Die Funktionswerte haben immer ein positi-ves Vorzeichen.

2. „Für x ¥ ± gilt: f (x) ¥ 0.“3. Nähert sich x der Definitionslücke von links

oder von rechts, so wird f (x) immer größer. Der Graph schmiegt bzw. nähert sich von beiden Seiten an die y-Achse an, berührt diese aber nicht. Man schreibt: „Für x ¥ 0 gilt: f (x) ¥ .“

4. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

2

1

–1

–2

x

y

O–4 –3 –2 –1 1 2 3 4

f (x) = 1 _ x f (x) = 1

__ x5

f (x) = 1 __

x35

Fig. 2

1. Die Funktionswerte haben für x < 0 ein negatives und für x > 0 ein positives Vorzei-chen.

2. „Für x ¥ ± gilt: f (x) ¥ 0.“ 3. Nähert sich x der Definitionslücke von links,

so wird f (x) immer kleiner; nähert sich x der Definitionslücke von rechts, so wird f (x) im-mer größer. Der Graph schmiegt sich jeweils an die y-Achse an. Man schreibt: „Für x ¥ 0 von links gilt: f (x) ¥ – und für x ¥ 0 von rechts gilt: f (x) ¥ .“

4. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ur-sprung.

Begründen Sie die in der Infobox dargestellten Eigenschaften von Potenzfunktionen der Form f (x) = 1 xn (n * N) und ihrer Graphen für alle sechs Beispielfunktionen aus Fig. 1 und 2.

Skizzieren Sie die Graphen von f und g jeweils in ein geeignetes Koordinatensystem.

a) f (x) = 1 x4 und g (x) = 1

x8 b) f (x) = 1 x7 und g (x) = – 1 x

c) f (x) = – 1 x6 und g (x) = –1

x3 d) f (x) = 2 · 1

x2 und g (x) = 0,1 · 1 x3

Die Flugbahn einer Kugel beim Kugelstoßen wird beschrieben durch den Graphen der Funktion f mit f (x) = – 0,08 x2 + 0,56 x + 1,44 (x und f (x) in m, f ist die Höhe der Kugel).a) Berechnen Sie die Stoßweite.b) Kurz vor dem Auftreffen ist die Kugel wieder so hoch wie beim Ab-stoß. Wie weit ist sie dann vom Abstoßpunkt entfernt?c) Mit etwa gleichem Kraftaufwand kann der gleiche Sportler auch die Flugbahn mit der Gleichung g (x) = – 0,1 x2 + 0,81 x + 1,44 erreichen. Ist das erstrebenswert? Erläutern Sie.

Diese Potenzfunktionen sind keine ganzrationalen Funktionen.

Die Definitionslücke bei

Funktionen mit f (x) = 1 xn

wird auch als bezeich-

net.

Da sich die Graphen die-ser Potenzfunktionen an die y-Achse annähern, wird die y-Achse auch als

bezeichnet.

Tipp: Überlegen Sie sich, wie sich der Graph ändert, wenn das Vorzeichen der Funktionen negativ ist.


26 I Funktionen

Untersuchen Sie auch mithilfe des GTRs, wie viele Nullstellen eine ganz-rationale Funktion dritten Grades mindestens bzw. höchstens hat. Ge-ben Sie Beispiele an und begründen Sie Ihre Vermutung.Untersuchen Sie auch ganzrationale Funktionen 4. Grades, 5. Grades, usw. und formulieren Sie eine allgemeine Regel.

In Sachzusammenhängen oder beim Zeichnen des Graphen einer Funktion kann es hilfreich sein, wenn man die der Funktion kennt, also die x-Stellen, für die f (x) = 0 gilt. Wie bei linea-ren und quadratischen Funktionen kann man die Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen nähe-rungsweise am Graphen ablesen oder rechnerisch bestimmen.Je nachdem, in welcher Form die Funktionsgleichung angegeben ist, gibt es bei ganzrationalen Funktionen verschiedene Verfahren, die Nullstellen zu berechnen.

Wenn die Funktionsgleichung wie bei f (x) = – 0,5 · (x – 3) · (x – 1)2 · (x + 2) als Produkt dargestellt werden kann, kann man die Nullstellen direkt ablesen. Die Faktoren (x – 3), (x – 1) und (x + 2) heißen . Beispiel:Die Nullstellen der Funktion f mitsind die Lösungen der GleichungDas Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist.Die Lösungen sindDie Funktion f hat die Nullstellen 3, 1 und –2.

Wenn die Funktionsgleichung nur Summanden mit Variablen enthält, kann man die Variable aus-klammern und den entstehenden Term auf Nullstellen untersuchen. Beispiel:Die Nullstellen der Funktion f mit f (x) = x3 – 2 x2

sind die Lösungen der Gleichung x3 – 2 x2 = 0.Ausklammern von x2 ergibt x2 (x – 2) = 0.Das Produkt ist null, wenn einer der Faktorennull ist. x2 = 0 oder x – 2 = 0Die Lösungen sind x 1 = 0 und x 2 = 2.Die Funktion f hat die Nullstellen 0 und 2.

Wenn in der Funktionsgleichung nur die Potenzen x2 und x4 vorkommen, kann man x2 und x4 durch z und z2 ersetzen. Man erhält dann zur Nullstellenberechnung eine quadratische Gleichung, die man mit der pq-Formel lösen kann. Analog kann man z. B. auch x3 und x6 durch z und z2 erset-zen. Beispiel:Die Nullstellen der Funktion f mit f (x) = x4 – 7 x2 + 12sind die Lösungen der Gleichung x4 – 7 x2 + 12 = 0.Man ersetzt x2 durch z ( z = x2) und erhält die quadratische Gleichung z2 – 7 z + 12 = 0.Die pq-Formel liefert die Lösungen z1 = 4 und z2 = 3.Rücksubsituieren (z1 = x2 bzw. z2 = x2) liefert x2 = 4 und x2 = 3.Lösungen der Gleichung f (x) = 0 sind also x1 = –2; x2 = 2 und x3 = 90000 3 bzw. x4 = – 90000 3 .Die Nullstellen von f sind –2; 2; 90000 3 ; – 90000 3 .

Der Begriff leitet sich von linea-

ren Funktionen ab – auch hier hat die Variable x den Exponenten 1: f (x) = m · x1 + n.

f (x) = – 0,5 · (x – 3) · (x – 1)2 · (x + 2)– 0,5 · (x – 3) · (x – 1)2 · (x + 2) = 0.

(x – 3) = 0 oder (x – 1) = 0 oder (x + 2) = 0.x1 = 3; x2 = 1 und x3 = –2.

Eine Gleichung der Form a x4 + b x2 + c = 0 heißt auch biquadrati-sche Gleichung.

Beachte: Aus z = x2 folgt z2 = (x2)2 = x4.

I Funktionen 27

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades lässt sich mit höchstens 3 Linearfaktoren darstellen.Die Funktion f mit f (x) = x3 – 6 x2 + 11 x – 6 = (x – 1) · (x – 3) · (x – 2) hat die drei Nullstel-len x 1 = 1, x 2 = 3 und x 3 = 2.Bei der Funktion g mit g (x) = x3 – x2 + x – 1 = (x – 1) · (x2 + 1) kann man nur den Linearfak-tor (x – 1) abspalten. Sie hat nur die eine Null-stelle x = 1.Insgesamt folgt, dass eine Funktion 3. Grades höchstens 3 Nullstellen besitzt (vgl. Fig. 1).

Fig. 1

Eine ganzrationale Funktion vom Grad n (n * N) hat höchstens n Nullstellen. Beim Berechnen von Nullstellen können folgende Verfahren hilfreich sein:1. , wenn die Funktionsgleichung

nur aus Linearfaktoren besteht.2. , wenn alle Summanden

des Funktionsterms Variablen enthalten.3. , wenn der Funktionsterm

nur die Potenzen x2 und x4 oder x3 und x6 (usw.) enthält.

z. B. f (x) = – 0,5 · (x – 3) · (x – 1)2 · x + 2)

z. B. f (x) = x3 – 2 x2 = x2 (x – 2)

z. B. f (x) = x4 – 7 x2 + 12 = z2 – 7 z + 12 mit z = x2

Nullstellenberechnung durch Ausklammern und SubstituierenBestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f (x) = x5 – 4 x3 – 5 x rechnerisch. Überprüfen Sie das Ergebnis mithilfe des GTR.

º Lösung: Zu lösen ist die Gleichung x5 – 4 x3 – 5 x = 0.Ausklammern von x ergibt x (x4 – 4 x2 – 5) = 0. Eine Nullstelle ist daher x1 = 0.In der Gleichung x4 – 4 x2 – 5 = 0 wird x2 durch z ersetzt.Die Gleichung z2 – 4 z – 5 = 0 hat die Lösungen z1 = 5 und z2 = –1.Rücksubsituieren (z1 = x2 bzw. z2 = x2) liefert x2 = 5 und x2 = –1.x2 = 5 liefert die Nullstellen x2 = – 90000 5 und x3 = 90000 5 .Dagegen hat x2 = –1 keine Lösung, da x2 stets größer oder gleich null ist.

Die Funktion f hat die Nullstellen – 90000 5 ; 0 und 90000 5 .

Bei der Überprüfung ist zu beachten, dass der GTR nur Näherungslösungen liefert (s. Fig. 1).

Aufstellen einer FunktionsgleichungGeben Sie die Gleichungen von drei Funktionen mit den beiden Nullstellen – 1 und 3 an.

º Mögliche Lösung: Man verwendet die Darstellung der Funktionsglei-chungen mithilfe der Linearfaktoren.f (x) = (x + 1) · (x – 3) oder g (x) = (x + 1) · (x – 3)2 oder h (x) = (x + 1) · (x – 3) · (x2 + 1), denn die Funktion i (x) = x2 + 1 hat keine Nullstellen. Fig. 3 zeigt die Graphen der Funktionen f, g und h.

–1 1 2 3 4

–2

–1

O

1

2y

x

g fMan erhält die Darstel-lung einer Funktionsglei-chung mit Linearfaktoren mithilfe des Verfahrens der Polynomdivision.

. Die Herleitung der Polynomdivision befindet sich auf Seite 42 – 43.

Mithilfe des GTR kann man die Nullstellen von ganzrationalen Funktio-nen be-stimmen.

GTR Kontrolle

oder

Fig. 2

–10

10

–2 2

y

xO

f

g

h

Fig. 3

28 I Funktionen

Lösen Sie die Gleichung. Machen Sie die Probe.a) (x – 2) (x + 5) = 0 b) x3 + 2 x = 0 c) (x + 1)2 (x – 3)2 = 0d) (x2 + x) (x – 10) = 0 e) (x2 – 6 x + 9) (x2 – 4) = 0 f) (x3 – 4 x2 + 4 x) (2 x – 3) = 0g) (x – 7) (x2 + 3 x) = 0 h) x5 + 4 x4 = 0 i) (x4 – 3 x3) (x + 4)2 = 0

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung f (x).a) f (x) = (x + 3) (x – 5) (x + 7)2 b) f (x) = (x – 1) (x2 + 2 x – 8) c) f (x) = x3 – 41 x2 + 400 xd) f (x) = (x2 – 9) (x2 + 8 x + 16) e) f (x) = (x – 5)3 (x + 5) (x – 9) f) f (x) = 2 x5 + 8 x4

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f.a) f(x) = (x – 3) (x3 – 8 x) b) f (x) = x3 + 2 x2 – 8 x c) f (x) = x4 + 4 x3 + 3 x2

d) f (x) = (4 x3 – 4 x) (x2 – 5 x) e) f (x) = 4 x2 + 5 x + x3 – 2 x2 f) f(x) = 2 x4 – 32 x3 + 128 x2

g) f (x) = (x4 – 16) (2 x + 1)2 h) f (x) = (x2 – 6 x + 9) (x2 + 1) i) f (x) = = (x4 – 32 x3) (4 x2 – x)

Lösen Sie die Gleichung mithilfe einer Substitution. Die Lösungen finden Sie am Rand.a) x4 – 20 x2 + 64 = 0 b) 2 x4 – 8 x2 – 90 = 0 c) 3 x4 + 9 x2 – 162 = 0

d) x4 + 4 9 x2 – 13 9 = 0 e) x4 + 16 = 17 x2 f) x6 – 10 x3 + 9 = 0

Lösen Sie die Gleichung. Wählen Sie dabei aus den Verfahren des Ablesens, Ausklammerns und Substituierens geeignete aus.a) x5 – 20 x3 + 64 x = 0 b) x5 – 17 x3 + 16 x = 0 c) x6 + 3 x4 – 54 x2 = 0

d) 2 x5 – 13 3 x3 + 2 x = 0 e) 2 x – 2 3 3 2 x4 – 13

6 x2 + 1 3 = 0 f) (x3 – 8) 2 x4 – 14 3 x2 + 5 3 = 0

Geben Sie eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades an, die die angegebenen Nullstellen besitzt.a) 1 und 2 b) –9, –7 und 9 c) 90000 2 , 1 + 90000 2 und 1 – 90000 2

Geben Sie Gleichungen von je zwei Funktionen an, welchea) die Nullstellen 2 und –4 haben, b) die Nullstellen –1; 0 und 1 haben,c) die Nullstellen 0 und –2 haben, d) die Nullstellen –3; 90000 2 und 3 · 90000 3 haben.

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f.a) f (x) = (2 x – 1) (x + 2) (x + 3) b) f (x) = – x3 + 6 x2 – 9 x c) f (x) = x4 – 5 x2 + 4

Geben Sie zwei ganzrationale Funktionen dritten Grades an, die nur die angegebenen Null-stellen besitzen. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mithilfe des GTRs.a) 0, 2 und 5 b) 4 und –1 c) –3 und 1 d) 3

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = (x4 – x2 + 4) · 5 x b) f (x) = (x4 – 8 x2 + 16) (x2 – 5 x)

c) f (x) = 2 x6 – 32 x4 + 128 x2 d) f (x) = (x4 – 34 8 x2 + 4,5) (x4 – 16)

1; –4; –2; –1; 3 2 3 ; 1;

–1; –4; –3; 3; 90000 6 ; 1;

2; 4; 4; – 90000 6

0 Weitere Übungen be-finden sich auch auf Seite 37 (Aufgaben 5, 6 und 7).


I Funktionen 29

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion näherungsweise mit dem GTR.

a) f (x) = – 2 7 x3 – x2 + 5 x + 9 b) f (x) = x4 – 2 x – 1

c) f (x) = 1 2 x5 – 3 x3 + x2 + 3 d) f (x) = 0,5 x6 + 2,5 x4 – 0,9 x3 + 4,9 x – 2

e) f (x) = x7 + 3 9000000000000000 x2 + 1 f) f (x) = 1

x2 + 1 – x2

Baukasten für ganzrationale Funktionen

3x3

x4 –3x 5x2 –2x26 x 2x6

a) Stellen Sie mit dem obigen „Baukasten“ vier verschiedene ganzrationale Funktionen zusam-men und ermitteln Sie die Nullstellen mit dem GTR. Tauschen Sie die Funktionsterme mit Ihrem Nachbarn aus, um die Nullstellen zu überprüfen.b) Untersuchen Sie, ob es möglich ist, mit obigem „Baukasten“ eine Funktion mit vier bzw. fünf Nullstellen zusammenzustellen.

Ordnen Sie den Funktionsgleichungen f (x) = 1 3 (x2 – 4) (2 x + 3), g (x) = (x – 1) (x + 2)2,

h (x) = –x3 – x2 + x und i (x) = x3 – 0,5 x2 – 3 x + 3 die Graphen zu. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

f f f f

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen „immer zutreffen“, „nie zutreffen“ oder „unter bestim-ten Bedingungen“ zutreffen. Geben Sie die „Bedingungen“ gegebenenfalls an.a) Eine ganzrationale Funktion, die ungerade ist, hat mindestens eine Nullstelle.b) Eine gerade Funktion hat eine gerade Anzahl von Nullstellen.c) Eine ganzrationale Funktion fünften Grades hat genau 5 Nullstellen.d) Wenn eine gerade Funktion die Nullstelle x N1

= 2 besitzt, dann besitzt sie auch die Nullstelle x N2

= – 2.

Lösen Sie die Gleichung.a) 7 x2 – 3 = 4 b) x4 + 6 x2 = – 9 c) x3 – x2 = 4 x2

d) 5 x2 – x = x + 2 x2 e) 3 x – 8 = 5 x2 – 8 f) x3 + 2 x2 = x2 – 3 x3

Bestimmen Sie alle Stellen x, an denen die Funktion f den Wert 3 annimmt.a) f (x) = x3 – 2 x + 3 b) f (x) = x3 + x – 7 c) f (x) = x4 – 6 x2 + 3

Konstruieren Sie ein Polynom 7. Grades mit jeweils 1, 2, 3, 4 bzw. 5 Nullstellen.

$ Eine Aufgabe zum Ver-tiefen befindet sich auf Seite 39 (Aufgabe 16).

30 I Funktionen

Die Funktion f mit f (x) = a x3 + b x2 + c x + d mit ganzzahligen Koeffizienten a, b, c und d hat die angegebenen Nullstellen. Bestimmen Sie a, b, c und d.a) 0; –4; 4 5 b) – 1 3 ; 3; 10

3 c) 0; – 90000 2 ; 90000 2 d) 0; – 1 90000 5

; 1 90000 5

Wie sind bei der Funktion f mit f (x) = a (x – b) (x – c) die Parameter a, b und c zu wählen, da-mit f die angebenen Eigenschaften hat?a) Die Nullstellen sind – 1 und 3 und der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 1 1).b) Die Nullstellen sind Å 2 und – 90000 2 , und es gilt f (0) > 0.c) Eine Nullstelle ist –2, der Graph ist achsensymmetrisch und verläuft durch den Punkt P (1 | –6).

Geben Sie zu dem Funktionsgraphen die Gleichung der zugehörigen Funktion an. Die Einheiten auf den Achsen sind immer 1. Legen Sie Ihrem Partner zwei ähnliche Graphen vor, für die er die zugehörigen Funktionsgleichungen bestimmen soll. Das Ergebnis darf dann mit dem GTR kontrolliert werden.a) b) c) d)

Untersuchen Sie, ob die beschriebene Veränderung des Funktionsterms einer Funktion f die Nullstellen von f verändert. Begründen Sie.a) Der Funktionsterm von f wird mit 2 multipliziert.b) Zum Funktionsterm von f wird 2 addiert.c) Der Funktionsterm von f wird quadriert.

Untersuchen Sie die Anzahl der Nullstellen einer Funktion f mit der Funktionsgleichung

f (x) = g (x)

h (x) . Dabei ist g eine ganzrationale Funktion vom Grad n und h eine ganzrationale

Funktion vom Grad m (n, m * N). Tipp: Überlegen Sie sich dazu für g und h konkrete Funktionen und untersuchen Sie verschiedene Fälle.

Formen Sie in die fehlenden Darstellungen um (Bruchzahl, Dezimalzahl, Prozentzahl).a) 10 % b) 0,25 c) 3 4 d) 1,25 e) 1 1 8 f) 130 % g) 2 3 h) – 0,05

Die Entwicklung des Preises für eine Unze Gold ist in Fig. 1 von 1990 bis Ende 2006 dargestellt. Beurteilen Sie die folgenden Aussagen.a) Zwischen 1991 und 2004 hat sich der Preis für eine Unze Gold kaum geändert.b) Zwischen 2003 und dem 14. 03. 2008 stieg der Preis einer Unze Gold durchgehend an.

. Weitere Aufgaben zum Erforschen befinden sich auf Seite 41 (Auf-gaben 27, 28 und 29).

Fig. 1

Am 14.03.2008 lag der Preis für eineUnze Gold erstmals über 1000 US-$.

Preis (in US-$)700

600

500

400

300

200

100

1

Jahre ab 1990

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0

2

Lösungen zu Zeit zu wiederholen Seite 214 – 215.

I Funktionen 31

Fig. 1 zeigt den Graphen der Funktion f mit f (x) = x3 – x2. Auf den Kärtchen stehen neue Funktionsglei-chungen. Variieren Sie die Parameter a, b, c und e mit beliebigen Zahlen. Wie ändert sich der Graph? Erläuteren Sie Ihre Entdeckungen.

a · (x3 – x2) x3 – x2 + e (x – b)3 – (x – b)2

(c · x)3 – (c · x)2 a · (x3 – x2) + e

(c · x)3 – (c · x)2 + e(x – b)3 – (x – b)2 + e

Kennt man die Funktionsgleichung eines Graphen, kann man auf die Funktionsgleichung eines anderen Graphen schließen, wenn dieser gegenüber dem Ausgangsgraphen verschoben, ge-streckt oder gestaucht ist.

Bei der Parabel mit der Gleichung y = (x )2 + 3 befindet sich der Scheitel im Punkt S (2 1 3). Die Parabel ist im Vergleich zur Normalparabel y = x2 um Einheiten

und um 3 Einheiten nach oben verscho-ben (Fig. 2). Dieses Verschieben lässt sich ver-allgemeinern. Ist etwa der Graph der Funktion f mit f (x) = x3 + 2 x2 gegeben, so erhält man daraus den Graphen der Funktion g mit g (x) = f (x ) – 3 = (x )3 + 2 (x )2 – 3, in-dem man den Graphen von f um

(da f (0) = g (– 1)) und um drei Ein-heiten nach unten verschiebt (Fig. 3).

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 0,5 x3 – 2 x. Um die Funktions werte der Funktion g mit g (x) = 3 · f (x) = 1,5 x3 – 6 x zu erhalten, muss man die Funktionswerte von f mit 3 multiplizieren.

x – 3 – 2 – 1 0 1 2 3

f (x) – 7,5 0 1,5 0 –1,5 0 7,5

· 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

g (x) – 22,5 0 4,5 0 – 4,5 0 22,5

Man sagt: Der Graph von g ist gegenüber dem Graphen von f von der x-Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt (Fig. 4). Der Graph von h mit h (x) = 1 2 · f (x) entsteht entsprechend durch eine Streckung mit dem Fak-tor 1 2 . Wenn dieser Faktor zwischen – 1 und 1 liegt, spricht man auch von einer .

Hier kann auch eine Wertetabelle hilfreich sein.

Fig. 2

8

6

4

2

2

x

O

y

–2

y = x2

4

y = (x – 2)2 + 3

2

3

Fig. 3

2

1

–1

–2

–3

–4 –3 –2 –1 O 1 2 3

y

x

f

g

h

Zur Erläuterung der Ver-schiebung in Richtung der x-Achse siehe auch Aufgabe 7.

Fig. 4

4

2

1 2 3

x

O

y

–2–3

–2

–1

–4

g

f

Die blauen Pfeile in Fig. 4 sind dreimal so lang wie die roten Pfeile.

Fig. 1

32 I Funktionen

Streckungen sind auch von der y-Achse aus in Richtung der x-Achse möglich (siehe Pfeile in Fig. 1). So entsteht aus der Funktion f mit f (x) = x3 – 2 x der Graph der Funktion g mit

g (x) = ( 1 2 · x ) 3 – 2 · ( 1 2 · x ) = 1 8 x3 – x

durch Streckung in x-Richtung mit dem .

Denn es ist z. B. g (2) = f ( 1 2 · 2 ) = f (1).

x 4 1 0 –1 4

g (x) g (– 4) g (– 2) g (0) g (2) g (2)

· 2 · 2 · 2 · 2 · 2

f (x) f (–2) f (– 1) f (0) f (1) f (2)

· 1 2 · 1 2 · 1 2 · 1 2 · 1 2

h (x) h (– 1) h (– 0,5) h (0) h (0,5) h (1)

Der Graph von h mit h (x) = (2 · x)3 – 2 · (2 · x) = f (2 · x) entsteht durch Streckung in x-Richtung mit dem 1 2 , denn es ist z. B. h( 1) = f (2 · 1) = f (2).

Den Graphen der Funktion g mit g (x) = f (x – c) + d erhält man, indem man den Graphen von f um c in Richtung der x-Achse und um d in Richtung der y-Achse verschiebt.

Den Graphen der Funktion h mit h (x) = k · f (x) und k > 0, erhält man, indem man den Graphen von f von der x-Achse aus mit dem Faktor k streckt. Den Graphen der Funktion h mit h (x) = f (k · x) und k > 0, erhält man, indem man den Graphen von f von der y-Achse aus mit dem Faktor 1 k streckt.

Wenn man negative Streckfaktoren k zulässt, muss man den Graphen der Funktion zuerst an der x-Achse spiegeln, bevor man ihn streckt. Gegeben sind z. B. die Funktionen f und g mit f (x) = x3 – 3,5 x2 + 3 x + 0,5 und g (x) = – 1,5 · f (x).Man erhält in Fig. 2 den Graphen von g, indem man den roten Graphen von f an der x-Achse spiegelt (blau) und das Spiegelbild in y-Rich-tung mit dem Faktor 1,5 streckt.

Fig. 2

Bei der Streckung in x-Richtung mit einem negativen Streckfaktor wird der Graph zunächst an der y-Achse gespiegelt.

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

4

5

Ox

y

g f h

c > 0: Verschiebung nach rechts c < 0: Verschiebung nach links

Online-Code ms77rh Funktionengeometrie: Ganzrationale Funk-tionen

2

1

1 2 3

x

O

y

–1–2–3

–1

–2

f

g

Fig. 1

I Funktionen 33

Streckung bzw. Verschiebung angeben, Graphen zeichnenGegeben ist die Funktion f mit f (x) = x4 – 2 x2. Geben Sie an, wie man die Graphen der Funktionen g mit g (x) = (x + 2)4 – 2 (x + 2)2 – 1 und h mit h (x) = – 3 · ( (2 x)4 – 2 · (2 x)2 ) aus dem Graphen der Funktion f erhält.

º Lösung: Graph von g: Der Graph von f wird um 2 Einheiten nach links und um eine Einheit nach unten verschoben (Fig. 1). Graph von h: Der Graph von f wird an der x-Achse gespiegelt, mit dem Faktor 3 in y-Rich-tung gestreckt und anschließend mit dem Fak-tor 1 2 in x-Richtung gestreckt (Fig. 1).

Funktionsterme angebenGegeben ist die Funktion f mit f (x) = – x3 + 2 x. a) Man erhält in Fig. 2 den Graphen von g, wenn man den Graphen von f verschiebt. Beschreibe die Verschiebung und gib einen Funktionsterm für g an. b) Man erhält in Fig. 2 den Graphen von h, wenn man den Graphen von f in y-Richtung streckt. Beschreiben Sie die Streckung und ge-ben Sie einen Funktionsterm für h an.

º Lösung: a) Dem Punkt (0 | 0) des Graphen von f entspricht der Punkt (– 2 | – 3) des Graphen von g. Man erhält den Graphen von g, indem man den Graphen von f um 2 Einheiten nach links und um 3 Einheiten nach unten verschiebt: g (x) = f (x + 2) – 3 = – (x + 2)3 + 2 (x + 2) – 3.b) Es gilt f (1) = 1 und h (1) = 0,5. Man erhält den Graphen von h, indem man den Graphen von f mit dem Faktor 0,5 in y-Richtung streckt: h (x) = 0,5 · f (x) = – 0,5 x3 + x.

Der Graph soll um a Einheiten in x-Richtung und um b Einheiten in y-Richtung verschoben werden. Geben Sie den zum verschobenen Graphen gehörenden Term an.a) f (x) = 3 x + 4; a = 2; b = –5 b) f (x) = –1,5 x – 6; a = –3; b = 2c) f (x) = x2; a = 1; b = 2 d) f (x) = x3; a = 2; b = 1e) f (x) = x4; a = 90000 2 ; b = –3 f) f (x) = 3 x3 + 4 x2; a = –1; b = 3

Beschreiben Sie, wie man den Graphen der Funktion g aus dem Graphen der Funktion f erhält.a) f (x) = x + 5 b) f (x) = 2 x2 c) f (x) = 2 x3 – 4 x d) f (x) = 8 x3 – 3

g (x) = 2 · (x + 5) g (x) = 3 x2 g (x) = Å 3 x3 – 2 3 x g (x) = – 4 x3 + 1,5

e) f (x) = x2 f) f (x) = 2 x3 g) f (x) = x2 – 5 x h) f (x) = x4

g (x) = (2 · x)2 g (x) = 2 ( 1 3 x ) 3 + 2 g (x) = – 2·(4 x)2 + 40 x g (x) = – ( 1 4 x ) 4 + 3

–4 –3 –2 –1

–2

–1

O

1

2

3

1 2 3

hf

gy

x

Online-Code ms77rh Funktionengeomet-rie: Ganzrationale Funktionen

1 2

x

O

y

–2–3

–1

–1

–2

–4

–3

–4

f

g

h

Fig. 2

0 Weitere Übungsaufga-ben befinden sich auf Seite 37 (Aufgaben 10 und 11).

Fig. 1

34 I Funktionen

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 2 x3 – 3 x. Man erhält den Graphen einer Funktion g, in-dem man den Graphen von f in y-Richtung verschiebt. Es gilt: g (2) = 7. Geben Sie einen Funk tions term für g an.

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x4 – 2 x2. Geben Sie einen Term für die Funktion g an und zeichnen Sie beide Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem.a) Man erhält den Graphen von g, indem man den Graphen von f mit dem Faktor 2 in y-Richtung streckt und um eine Einheit nach unten verschiebt.b) Man erhält den Graphen von g, indem man den Graphen von f an der x-Achse spiegelt und um eine Einheit nach rechts verschiebt.

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x4 – 2 x3 + 2.a) Wie muss man den Graphen von f verschieben, um den Graphen der Funktion h mit h (x) = x4 – 2 x3 + 5 zu erhalten? Wie muss man verschieben, um den Graphen der Funktion k mit k (x) = (x – 2)4 – 2 (x – 2)3 + 2 zu erhalten?b) Wie muss man den Graphen von f strecken, um den Graphen der Funktion g mit

g (x) = 1 2 x4 – x3 + 1 bzw. den Graphen der Funktion h mit h (x) = – ( ( 1 4 x ) 4 – 2 ( 1 4 x ) 3 + 2 ) zu erhalten?

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x3 + 2 x2. Geben Sie einen Term für die Funktion g an. Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhalten kann.a) g (x) = f (x + 1) b) g (x) = f (x – 2) + 1 c) g (x) = 2 · f (3 x) d) g (x) = – f (x) + 2

Gegeben ist f mit f (x) = x3 – 2 x2. Der Graph von g geht aus dem Graphen von f durch Ver-schiebung hervor. Zeichnen Sie die Graphen von f und g mit einem GTR und bestimmen Sie für die Funktion g eine Darstellung der Form g (x) = (x – a)3 – 2 (x – a)2 + b.a) g (x) = x3 – 8 x2 + 20 x – 13 b) g (x) = x3 + x2 – x + 3c) g (x) = x3 + 4 x2 + 4 x – 2 d) g (x) = x3 – 5 x2 + 7 x – 2

Gegeben sind die Wertetabellen der Funktionen f, g und h. Es ist f (x) = x3 – 3 x2.Die Graphen der Funktionen g und h gehen durch Verschiebungen und / oder Streckungen aus dem Graphen von f hervor.

x – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

f (x) – 112 – 54 – 20 – 4 0 – 2 – 4 0 16

g (x) – 22,4 – 10,8 – 4 – 0,8 0 – 0,4 – 0,8 0 3,2

h (x) – 57 – 23 – 7 – 3 – 5 – 7 – 3 13 47

Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der Funktionen g und h.

Peter fragt in einem Matheforum im Internet: „Wenn man den Graphen der Funktion f mit f (x) = x3 + 3 x um 2 Einheiten nach rechts verschiebt, dann muss die Funktionsgleichung des dazugehörigen neuen Graphen g (x) = (x + 2)2 + 3 (x + 2) lauten und nicht wie es im Buch steht g (x) = (x – 2)2 + 3 (x – 2), weil man ja nicht nach links verschiebt, oder?“a) Beschreiben Sie mit eigenen Worten, welchen gedanklichen Fehler Peter macht.b) Notieren Sie eine mögliche Antwort, die man in dem Matheforum veröffentlichen könnte. Verwenden Sie dabei auch eine Wertetabelle.

Hier ist ein Koordinaten-gitter nützlich.


I Funktionen 35

Gegeben sind die Funktionen f und ihr Graph (schwarz). Die farbig gezeichneten Graphen sind aus dem von f entstanden. a) Geben Sie die zugehörigen Funktionsgleichungen für die Funktionen g und h an. b) Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse abschließend mit dem GTR.(1) f (x) = x2 (2) f (x) = x3 (3) f (x) = x4

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

gh

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

(4) f (x) = x2 + 1 (5) f (x) = x3 – 2 (6) f (x) = x4 – 3

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

y

f g

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen „immer zutreffen“, „nie zutreffen“ oder „unter bestimm-ten Bedingungen zutreffen“. Geben Sie die „Bedingungen“ gegebenenfalls an.a) Gegeben ist eine ganzrationale Funktion. Durch Strecken des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verringern.b) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 0,5 x3 – 6 x. Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verringern.c) Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 0,5 x3 – 6 x + 7. Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verringern.

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = x3 – 3 x. Der Graph von f schneidet die Gerade der linearen Funktion g mit g (x) = – 4 x + 2 in dem Punkt S (1 | – 2).a) Bestätigen Sie, dass der angegebene Punkt S der einzige Schnittpunkt der Graphen der Funkti-onen f und g ist.b) Bestimmen Sie eine Verschiebung in y-Richtung (bzw. x-Richtung), sodass aus der Funktion f die Funktion h (bzw. k) entsteht, wobei der Graph von h (bzw. k) die Gerade von g auf der y-Achse schneidet. Geben Sie die Funktionsgleichung von h (bzw. k) und den Schnittpunkt an.c) Der Graph der Funktion f soll nun in y-Richtung (bzw. x-Richtung) gestreckt werden. Erläutern Sie, wie sich die Lage des Schnittpunktes des gestreckten Graphen mit der Geraden von g dann verändert. Betrachten Sie dazu sowohl positive als auch negative Streckfaktoren.

Formen Sie in die fehlenden Darstellungen um (Bruchzahl, Dezimalzahl, Prozentzahl).

a) 12,5 % b) 3,75 c) 3 5 d) 6 %

e) 2 1 3 f) 0, _

6 g) 13, _

3 % h) – 5 4

0 Eine weitere Übungs-aufgabe befindet sich auf Seite 38 (Aufgabe 12).

$ Eine weitere „Gilt im-mer – gilt nie – es kommt darauf an“-Auf-gabe befindet sich auf Seite 38 (Aufgabe 15).

$ Eine vertiefende Auf-gabe befindet sich auf Seite 39 (Aufgabe 17).


36 I Funktionen

Aufgabe 14 – 16

Die Sinusfunktion f mit f (x) = sin (x) hat die Besonderheit, dass ihre Funktionswerte sich nach dem gleichen Muster wiederholen und nicht größer als 1 bzw. kleiner als – 1 werden. Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (s. Graph f in Fig. 1).Der Graph kann in ähnlicher Weise wie die ganzrationalen Funktionen verschoben und gestreckt werden. Allgemein erhält er dann die Form , wobei

die Streckung in y-Richtung; die Streckung in x-Richtung; die Verschiebung in y-Richtung und die Verschiebung in x-Richtung darstellt.

In der Fig. 1 wurde der rote Graph schrittweise aus dem schwarzen Graphen erzeugt:1. f (x) = sin (x) 2. blau: Streckung in x-Richtung mit dem Streckfaktor 0,5: s 1 (x) = f (2 · x) = sin (2 x)3. Streckung in y-Richtung mit dem Streckfaktor 1,5: s 2 (x) = 1,5 · s 1 (x) = 1,5 sin (2 x)

4. Verschiebung in x-Richtung um 2 nach rechts: s 3 (x) = s 2 ( x – 2 ) = 1,5 sin ( 2 ( x – 2 ) ) .5. Der Graph wird nicht in Richtung der y-Achse verschoben, so dass d = 0 ist.

In der Fig. 2 ist dargestellt, in welchen Schritten der rote Graph aus dem schwarzen Graph von f mit f (x) = sin (x) entstanden ist.Notieren Sie die Funktionsgleichungen für s 1 , s 2 und s 3 und erläutern Sie wie in der Info-box.

Geben Sie die Schritte an, in denen man

den Graph von g mit g (x) = – 0,5 sin ( x – 2 ) + 2

aus dem Graphen von f mit f (x) = sin (x) erhält.

Fig. 2

Geben Sie zu den Graphen einen Funktionsterm der Form f (x) = a · sin (b (x – c)) + d an.

Fig. 1

f s1

s2 s

Häufig wird die Funktions-gleichung in der ausmulti-plizierten Form angege-ben:

s 3 (x) = 1,5 sin ( 2 2 x – 2 3 )

fs1

s2 s3

I Funktionen 37

0

Geben Sie die Definitionsmenge der Funktion f an und untersuchen Sie das Verhalten für x ¥ und für x ¥ – . Skizzieren Sie anschließend den Graphen von f.

a) f (x) = 1 2 x3 – 6 x + 3 b) f (x) = 9000000 x2 – 1 c) f (x) = 2 x + 1

x2

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 6 x4 – 4 3 x2 – 3 2 .Untersuchen Sie das Verhalten des Graphen für x ¥ – und für x nahe 0.

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden aus den angegebenen Informationen.a) Der Punkt P (2 | 3) liegt auf der Geraden und der Graph hat die Steigung m = 2.b) Die Gerade geht durch die Punkte A (3 | 4) und B (– 2 | – 1).

a) Bestimmen Sie die Nullstellen und Schnittpunkte der Funktionen f und g. b) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mithilfe des GTR.(1) f (x) = x – 1 und g (x) = 3 x – 9 (2) f (x) = 3 x + 4 und g (x) = – 2 x – 6

(3) f (x) = x2 – 5 und g (x) = 2 x – 2 (4) f (x) = – 1 2 x2 – 3 2 x + 2 und g (x) = – 1 2 x – 2

Berechnen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktion f. Erstellen Sie anschließend ohne Wertetabelle eine Skizze des Graphen.

a) f (x) = 1 2 x2 – 2 x –2 b) f (x) = 1 3 x3 – 3 x c) f (x) = 2 x6 – 12 x5 + 9 x4

d) f (x) = (x2 – 1) (x + 2)2 e) f (x) = (x – 5) (x2 – x + 1) f) f (x) = 2 x4 + 3 x3 – x2

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = 2 x4 – 20 x3 + 50 x2 b) f (x) = (x7 – 4 x6) (x + 3) (x – 2) c) f (x) = (x3 – x2 + x) (x2 + 4)

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen.a) f (x) = x4 – 13 x2 + 36 b) f (t) = 16 t4 – 40 t2 + 9 c) g (r) = – 9 – 2 r2 + 32 r4

d) h (v) = 4 v2 – 1 4 v4 e) g (s) = s6 – 19 s3 – 216 f) g (t) = 8 t4 + 4 t2 – 32

Untersuchen Sie, ob der Graph der Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung oder ach-sensymmetrisch zur y-Achse ist.a) f (x) = – 0,2 x3 + 6 x b) f (x) = (x – 1)3 c) f (x) = 1 – 3 x4 d) f (x) = x4 – x2 + 3

Untersuchen Sie, ob die Funktion f einen symmetrischen Graphen hat.a) f (x) = 1 x (x) = 1

x + 1 1 c) f (x) = 1

x2 + 1

Beschreiben Sie durch welche Verschiebungen und / oder Streckungen man den Graphen der Funktion g aus dem Graphen der Funktion f erhält. a) f (x) = x – 3 b) f (x) = 0,5 x2 c) f (x) = 3 x3 + 5 x d) f (x) = – 7 x3 – 2

g (x) = 3 · (x – 3) g (x) = 4 x2 g (x) = – x3 – 5 3 x g (x) = 3,5 x3 + 1

e) f (x) = x2 + 1 f) f (x) = 3 x3 g) f (x) = x2 + 3 x h) f (x) = x4 + 2 x

g (x) = (2 · x)2 + 1 g (x) = 3 ( 1 3 x ) 3 – 1 g (x) = – (4 x)2 – 12 x g (x) = ( 1 2 x ) 4 + x

Albert behauptet: „Die Gleichung (x + 1)3 + (x + 1)2 – 6 (x + 1) = 0 kann man mithilfe des Ver-fahrens der Substitution lösen.“ Bestätigen Sie diese Behauptung.

Online-Code 97u4v3 Kopiervorlage Checkliste

Mithilfe eines Selbstein-schätzungsbogens (Checkliste mit Hilfen) kann man sich einen Überblick verschaffen, was man gut kann bzw. noch üben muss.

Lösungen auf Seite 215 – 216.

38 I Funktionen

Die Graphen von g und h sind aus den Graphen von f entstanden. a) Geben Sie die zugehörigen Funktionsgleichungen für die Funktionen g und h an. b) Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse abschließend mit dem GTR.(1) f (x) = x2 (2) f (x) = x3 (3) f (x) = x4

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yfg

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g h

(4) f (x) = x2 – 3 (5) f (x) = x3 + 1 (6) f (x) = x4 – 2

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

y

f

g

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yfg

h

–4 –2

–2

O

2

2 4

x

yf

g

h

$

Formulieren Sie eine Textaufgabe mit einer Funktion f, die die Definitionsmenge hat:a) D f = [0; 7] , b) D f f = N .

Substitution Linearfaktorzerlegung Graphen verschieben Verhalten für x nahe 0

Nullstelle

Verhalten für x ¥ ±

Symmetrie Normalform Strecken

quadratische Funktion aufstellen Funktion

ganzrationale Funktion

Wertemenge

Definitionslücke Grad einer Funktion lineare Funktion aufstellen Intervall

Funktionsterm Scheitelpunktform Funktionswert Sinusfunktion

Definitionsmenge Eigenschaften von Potenzfunktionen Funktionsgleichung

a) Notieren Sie die Begriffe mit einer Erklärung ins Heft und geben Sie jeweils drei Beispiele an.b) Erstellen Sie eine Mind-Map: Welche Begriffe gehören zusammen? Was kann man ergänzen?c) Erläutern Sie sich gegenseitig, bei welchen Fragestellungen der GTR sinnvoll eingesetzt wer-den kann. Beschreiben Sie das Vorgehen jeweils an Ihren Beispielen aus Aufgabenteil a).

Beurteilen Sie, ob die folgenden Aussagen „immer zutreffen“, „nie zutreffen“ oder „unter bestim-ten Bedingungen“ zutreffen. Geben Sie die „Bedingungen“ gegebenenfalls an.a) Der Graph einer Potenzfunktion ist symmetrisch zum Ursprung.b) Der Graph einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten ist symmetrisch zur x-Achse.c) Gegeben ist eine ganzrationale Funktion. Durch Stauchen des Graphen kann man das Verhal-ten des Graphen für x ¥ – (bzw. für x ¥ 0) verändern.

Lösungen auf Seite 217.

I Funktionen 39

Gegeben sind folgende Eigenschaften für eine ganzrationale Funktion f.Å) Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse.2) Für x ¥ ± gilt f (x) ¥ – .3) Der Grad von f ist kleiner als 3.4) f hat genau drei Nullstellen.5) f besitzt keine Nullstellen.a) Geben Sie eine ganzrationale Funktion f an, welche die Eigenschaften (1) und (3) erfüllt, nicht jedoch die Eigenschaften (2) und (5).b) Geben Sie eine ganzrationale Funktion f an, welche die Eigenschaften (2) und (4) besitzt.c) Geben Sie eine ganzrationale Funktion f an, welche die Eigenschaft (4), nicht jedoch die Eigen-schaft (2) besitzt.d) Begründen Sie, dass es keine ganzrationale Funktion f mit den Eigenschaften (3) und (4) ge-ben kann.

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 1 8 x4 – x2 – 9 8 .a) Weist der Graph von f eine Symmetrie auf?b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.c) Fertigen Sie mithilfe der Ergebnisse aus a) und b) eine Skizze des Graphen an und überprüfen Sie sie mit dem GTR.d) Wie muss der Graph von f verschoben werden, damit er genau drei gemeinsame Punkte mit der x-Achse hat? Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an.

Zum Zeitpunkt t = 0 startet eine Seilbahn an der Talstation auf 600 m über dem Meeres-spiegel. Die Bergstation ist nach 5 Minuten und 20 Sekunden erreicht. Die Funktion h mit h (t) = – 8 t 3 + 60 t 2 + 50 t + 600 gibt an, in welcher Höhe sich die Gondel zum Zeitpunkt t befindet (t in Minuten, h in Meter über dem Meeresspiegel).a) In welcher Höhe befindet sich die Bergstation?b) Wann durchbricht sie die 2000-m-Grenze ungefähr?c) Geben Sie eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion h an.

Die Bewegungsabläufe von Sportlern und die Flugbahnen von Bällen, Kugeln und Speeren wurden genau untersucht, um Möglichkeiten für eine Leistungssteigerung festzustellen. Es ist meistens sinnvoll die betrachteten Kurven zumindest näherungsweise als Parabeln zu modellie-ren. Videoaufnahmen zeigen, dass der Olympiasieger im Kugelstoßen in Athen 2004, Adam Nel-son (USA), die Kugel in einer Höhe von 2,00 m abstieß. Sie erreichte nach 10 m ihren höchsten Flugpunkt von 6 m. a) Bestimmen Sie die Scheitelpunktform der Parabel für den Wurf.b) Welche Weite der Kugel wurde gemessen?

Der Lokführer eines Zuges erkennt an einem roten Vorsignal, dass er seinen Zug vor dem 1000 m entfernten Hauptsignal zum Anhalten bringen muss. Nach Einleiten des Bremsvorgangs legt der Zug in t Sekunden den Weg s (t) = 30 t – 0,4 t2 (s in m) mit der Geschwindigkeit v (t) = 30 – 0,8 t (v in m/s) bis zum Stillstand zurück.a) Nach welcher Zeit steht der Zug? Endet der Bremsvorgang vor dem Hauptsignal? Geben Sie für die Funktion s einen sinnvollen Definitionsbereich an.b) Die Zahl 30 in den Funktionsgleichungen gibt die Geschwindigkeit des Zuges in m/s an, die der Zug vor dem Bremsen hat. Wie groß müsste diese Geschwindigkeit höchstens sein, damit der Zug noch gerade rechtzeitig zum Halten kommt?


40 I Funktionen

Bei einem Windrad lässt sich die Leistung P (in Watt) mit der Windgeschwindigkeit v (in m/s) mit der Formel P (v) = 1000 · v3 berechnen.a) Stellen Sie den Graphen der Funktion P in einem geeigneten Koordinatensystem dar.b) Lesen Sie am Graphen ab, bei welcher Windgeschwindigkeit die Leistung P den Wert 5 · 105 an-nimmt.c) Überlegen Sie sich mithilfe des Graphen und der Funktionsgleichung drei Aufgaben und stel-len Sie sie Ihrem Nachbarn vor. Kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse anschließend gemeinsam.d) Wo liegen aus Ihrer Sicht Vor- und Nachteile der Windenergie gegenüber anderen Energieträgern?

Die Breite b eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt A = 20 m2 hängt ab von der Länge der Seite a (a und b jeweils in Metern).a) Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, die der Länge der Seite a die Breite der Seite b zuordnet? Bestimmen Sie die Funktionswerte an drei unterschiedlichen Stellen.b) Geben Sie die Definitionsmenge an und zeichnen Sie den Graphen der Funktion.

Mit einem 1 km langen Zaun soll ein recht-eckiges Feld an einem geraden Fluss einge-zäunt werden. Der Flächeninhalt des Feldes sei A (in m2), die Länge des Feldes sei x (in m). Wie lautet die Funktionsgleichung der Funktion, die der Länge x den Flächeninhalt A zuordnet? Welche Definitionsmenge ist für die Funktion sinnvoll?

.

Auf einem Blatt Papier sind die Gleichungen ganzrationaler Funktionen notiert:

f (x)=x4+2x2–1

f (x)=x5+4x–1

f (x)=x5–2x

f (x)=x3–x2

f (x)=6x2+2 f (x)=–x2

f (x)=3x+1

f (x)=–x4+3x3+x2

f (x)=x7+2x3–8x

f (x)=–x3+x2

Harald wählt durch Tippen blind eine Gleichung aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Harald eine Funktion wählt,a) deren Graph symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse ist,b) deren Graph sich nahe Null wie y = x 2 verhält und bei der für x ¥ gilt: f (x) ¥ ,c) deren Graph durch den Ursprung geht oder symmetrisch zur y-Achse ist?d) Beschreiben Sie das Gegenereignis zu dem Ereignis aus c). Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an.

Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt P (2 | 3) verläuft und den angege-benen Steigungswinkel hat (Runden Sie auf zwei Stellen hinter dem Komma!)a) = 45° b) = 12° c) = 78,69° d) = 0°e) = 90° f) = – 30° g) = – 82° h) = 360°

Tipp: m = tan


I Funktionen 41

a) Geben Sie die Funktionsgleichung einer Funktion f an, deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist.b) Für die Funktion g gilt: g (x) = f (x – 1) + 2. Welche Symmetrie weist der Graph von g auf, wenn f symmetrisch zum Ursprung ist?c) Gegeben ist die Funktion h mit h (x) = x4 + 8 x3 + 21 x2 + 20 x + 5. Zeigen Sie, dass der Graph von h symmetrisch zur Geraden x = – 2 ist. Zeigen Sie hierfür, dass der um zwei nach rechts ver-schobene Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Die Funktionen f mit f (x) = x3 – 2,5 x2 – 2 x + 6 und g mit g (x) = x3 + 4 x2 – 3 x – 18 haben eine Nullstelle bei x = 2.a) Zeigen Sie, dass f auch durch f (x) = (x – 2)2 · (x + 1,5) und g auch durch g (x) = (x – 2) · (x + 3)² dargestellt werden können.b) Skizzieren Sie mithilfe der Nullstellen und sonstiger Eigenschaften, die sich an der Funktions-gleichung ablesen lassen, einen Graphen von f bzw. g. Kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit dem GTR.c) Die Stelle x = 2 heißt doppelte Nullstelle der Funktion f, die Stelle x = – 3 heißt doppelte Nullstelle der Funktion g. Beschreiben Sie den Verlauf der Graphen an diesen doppelten Null-stellen.d) In Fig. 1 sind die Graphen einer ganzrationa-len Funktion vierten Grades und einer ganzra-tionalen Funktion dritten Grades abgebildet. Bestimmen Sie aufgrund der Nullstellen die zugehörigen Funktionsgleichungen. Kontrollie-ren Sie Ihr Ergebnis mit dem GTR.

Durch die Gleichung ft (x) = 2 x3 – t x2 + 8 x ist für jeden Wert von t eine ganzrationale Funktion gegeben, zum Beispiel für t = 2 die Funktion f2 (x) = 2 x3 – 2 x2 + 8 x.a) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen f2 , f10 und f– 10 .b) Für welche Werte von t hat ft drei verschiedene Nullstellen?c) Bestimmen Sie t so, dass ft eine Nullstelle bei 2 hat.

Gegeben ist die Funktionenschar fa mit dem Parameter a, a > 0. Zeichnen Sie die Graphen für a = 1 und für a = 2 mit dem GTR. Untersuchen Sie jeweils die Graphen von f a auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und bestimmen Sie a so, dass der Graph symmetrisch zum Ursprung oder symmetrisch zur y-Achse ist.a) f 1 (x) = x3 – a x b) f a (x) = x2 – a x – 1 c) f a (x) = a2 x4 – 6 x2

Gegeben ist der Punkt S (x s | y s ). Er ist Scheitelpunkt einer Parabel der quadratischen Funktion f mit f (x) = a (x – x s )2 + y s und liegt auf der Geraden g mit g (x) = m (x – x s ) + y s .a) Bestätigen Sie mithilfe von Beispielen, dass durch f eine quadratische Funktion und durch g eine Gerade gegeben sind.b) Die angegebene Funktionsgleichung für die Gerade g wird Punkt-Steigungs-Form genannt. Be-schreiben Sie Ähnlichkeiten dieser Darstellungsform mit der Scheitelpunktform.

16

8

2 4 6

x

O

y

–2–4–6

–8

–16

Fig. 1


42 I Funktionen

Terme der Form a n xn + a n – 1 xn – 1 + a n – 2 xn – 2 + … + a 2 x2 + a 1 x + a 0 mit reellen Zahlen a 0 , a 1 , …, a n und der Variable x heißen Polynome n-ten Grades (n ist der größte Exponent von x).

Herr Professor Polynom formuliert folgende Aussage: „Eine Gleichung der Form a n xn + a n – 1 xn – 1 + a n – 2 xn – 2 + … + a 2 x2 + a 1 x + a 0 = 0 hat höchstens n Lösungen. Ist c eine Lösung einer solchen Gleichung, so kann man das Polynom a n xn + … + a 1 x + a 0 als Produkt aus einem Polynom (n – 1)ten Grades und (x – c) schreiben: a n xn + … + a 1 x + a 0 = (b n – 1 xn – 1 + … + b 1 x + b 0 ) · (x – c), und es gilt: (a n xn + … + a 1 x + a 0 ) : (x – c) = (b n – 1 xn – 1 + … + b 1 x + b 0 ).“

Dass diese Aussage richtig ist, wird im Folgenden plausibel gemacht. Dazu untersucht man zu-nächst, wie man Polynome miteinander multipliziert bzw. dividiert. Bei der Division spricht man von der . Wie dieses Verfahren funktioniert, wird in den nächsten vier Aufgaben erarbeitet.

Vergleichen Sie die drei Multiplikationen. 312 · 21 (3 · 102 + 1 · 10 + 2) · (2 · 10 + 1) (3 x2 + 1 x + 2) · (2 x + 1) ______ _____________________ ________________ 624 6 · 103 + 2 · 102 + 4 · 10 6 x3 + 2 x2 + 4 x 312 3 · 102 + 1 · 10 + 2 3 x2 + 1 x + 2 ______ _____________________ ________________ 6552 6 · 103 + 5 · 102 + 5 · 10 + 2 6 x3 + 5 x2 + 5 x + 2a) Worin unterscheiden sich die erste und die zweite Multiplikation, worin unterscheiden sich die zweite und die dritte Multiplikation?b) Multiplizieren Sie einmal mithilfe des Distributivgesetzes und einmal nach der oben vorgeführ-ten Methode: (2 x3 + 1 x2 + 0 x + 2) · (4 x3 + 3 x2 + 2 x + 1).

Vergleichen Sie die drei Divisionen. 6552 : 21 = 312 (6 · 103 + 5 · 102 + 5 · 10 + 2) : (2 · 10 + 1) = (3 · 102 + 1 · 10 + 2) – 63 – (6 · 103 + 3 · 102) ___ ____________ 25 2 · 102 + 5 · 10 – 21 – (2 · 102 + 1 · 10) ___ ___________ 42 4 · 10 + 2 – 42 – (4 · 10 + 2) ___ ________ 0 0

(6 · x3 + 5 · x2 + 5 · x + 2) : (2 · x + 1) = (3 · x2 + 1 · x + 2) – (6 · x3 + 3 · x2) ___________ 2 · x2 + 5 · x – (2 · x2 + 1 · x) __________ 4 · x + 2 – (4 · x + 2) ________ 0a) Worin unterscheiden sich die erste und die zweite Division, worin unterscheiden sich die zweite und die dritte Division?b) Beschreiben Sie, wie man bei der zweiten und dritten Division vorgegangen ist.

Distributivgesetz bedeu-tet (r + s) · (a + b) = r · (a + b) + s · (a + b)

I Funktionen 43

Berechnen Sie und machen Sie mithilfe der Multiplikation die Probe.a) (3 · x3 + 8 · x2 + 5 · x + 2) : (x + 2) b) (3 · x3 + 8 · x2 + 5 · x + 2) : ( 3 · x2 + 2 · x + 1)c) (5 · x3 + 22 · x2 + 9 · x + 4) : (5 · x2 + 2 · x + 1) d) (21 x12 + 10 x5 – 18 x3 – 5 x) : (7 x3 – 5 x)

Berechnen Sie.a) (x2 + 2 x + 1) : (x + 1) b) (x2 – 1) : (x – 1) c) (x3 – 1) : (x – 1) d) (x4 – 1) : (x + 1)

Wenn man eine Nullstelle x N der Funktion f kennt, kann man den Funktionsterm in einer Produkt-form darstellen, die den Teilterm (x – x N ) enthält, z. B. f (x) = (x – x N ) · g (x), wobei g (x) den zwei-ten Faktor darstellt. Um g (x) zu erhalten, kann man f (x) durch (x – x N ) dividieren.

Die Nullstellen der Funktion f mit f (x) = 2 x3 – 4 x2 – 38 x + 40 erhält man durch Lösen der Glei-chung 2 x3 – 4 x2 – 38 x + 40 = 0. Durch Ausprobieren findet man eine Nullstelle x N = 1, denn f (1) = 0.Daraus ergibt sich die Produktdarstellung f (x) = (x – x N ) · g (x) = (x – 1) · g (x). Um die übrigen Nullstellen zu bestimmen, ermittelt man g (x) mittels Polynomdivision. Man erhält g (x) = 2 x2 – 2 x – 40. Die Gleichung (x – 1) · g (x) = (x – 1) · (2 x2 – 2 x – 40) = 0 ist auch erfüllt, wenn gilt: 2 x2 – 2 x – 40 = 0. Hier kann man die Nullstellen leichter bestimmen, da die Funktion g einen klei-neren Grad als f hat (g ist hier quadratisch). Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-For-mel gelöst werden: Man erhält für 2 x2 – 2 x – 40 = 2 · (x2 – x – 20) = 0 die Lösungen x 1 = – 4 und x 2 = 5. Die Funktion f hat somit die drei Nullstellen x 1 = – 4, x 2 = 5 und x 3 = 1.

Insgesamt ergibt sich für die Funktion f die Produktdarstellung:f (x) = 2 · (x – x 1 ) · (x – x 2 ) · (x – x 3 ) = 2 · (x + 4) · (x – 5) · (x – 1). Man nennt diese Darstellung auch

, weil sie aus lauter Faktoren besteht, wobei jeder Faktor einem linearen Term entspricht.

Überlegen Sie, wie viele Nullstellen die Funktion f haben kann. Bestätigen Sie dann, dass die Funktion f die angegebene Nullstelle hat. Berechnen Sie anschließend alle weiteren Nullstellen von f (Lösungen siehe Rand) und geben Sie die Funktionsgleichung als Linearfaktorzerlegung an.a) f (x) = x3 + 10 x2 + 7 x – 18; x1 = 1 b) f (x) = x3 + 5 x2 – 22 x – 56; x1 = 4c) f (x) = x3 – 3 x2 – 6 x + 18; x1 = 3 d) f (x) = 2 x3 + 4,8 x2 + 1,5 x – 0,2; x1 = –2e) f (t) = 7 t2 – 22 t + 3 t3 – 8; t1 = – 1 3 f) f (x) = 4 + 3 x2 – 12 x + 5 x3; x1 = 0,4

Bestimmen Sie eine Nullstelle der Funktion f durch gezieltes Probieren. Berechnen Sie dann die weiteren Nullstellen und geben Sie die Funktionsgleichung als Linearfaktorzerlegung an. a) f (x) = x3 – 6 x2 + 11 x – 6 b) f (x) = x3 + x2 – 4 x – 4c) f (x) = 4 x3 – 8 x2 – 11 x – 3 d) f (x) = 25 x3 + 15 x2 – 9 x + 1

Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = (x – a) · (x – b) · (x – c), wobei a, b und c ganzzahlig sind.a) Lesen Sie die Nullstellen von f ab. b) Formen Sie die Funktionsgleichung in eine Darstellungsform ohne Klammern um.c) Begründen Sie folgende Aussage: „Kandidaten für Nullstellen von f sind Teiler des absoluten Gliedes der Funktionsgleichung.“

Erläutern Sie an einem Beispiel, was die Aussage von Herrn Professor Polynom von S. 42 be-deutet.

–2; 90000 6 ; 0,1; 2; –2; –9; – 90000 6 ; –0,5; 1; –4; –7; –2

44 I Funktionen

f (x) = x5 – 2 x3 – 8 xf hat den Grad 5 mit den Koeffizienten a5 = 1, a3 = –2, a1 = –8 und a4 = a2 = a0 = 0. f (x) enthält nur Potenzen von x mit ungeraden Exponenten, daher ist f (–x) = (–x)5 – 2 (–x)3 – 8(–x) = –x5 + 2 x3 + 8 x

= – (x5 – 2 x3 – 8 x) = – f (x).Der Graph von f ver- läuft punktsymmetrisch zum Ursprung (Fig. 1)

f (x) = 2 x3 – 4 x g (x) = x4 – 2 x2 + 1f ungerade; g gerade;x ¥ wie g (x) = 2 x3 x ¥ wie f (x) = x4

x ¥ 0 wie h (x) = – 4 x x ¥ 0 wie h (x) = –2 x2 + 1

zu 1) f (x) = 3 · (x – 3) (x + 3) (x –1)2 = 0, wenn x 1 = 3, x 2 = – 3 oder x 3 = 1zu 2) f (x) = x3 + 3 x2 + 2 x = x (x2 + 3 x + 2) = 0, wenn x 1 = 0 oder x2 + 3 x + 2 = 0, also x 2 = – 2 oder x 3 = – 1zu 3) f (x) = x4 – 2 x2 – 8 = 0 Substitution : z = x2, also z2 – 2 z – 8 = 0, wenn z = 4 oder z = – 2;Rücksubstitution: x2 = 4 mit x 1 = 2 oder x 2 = – 2 oder x2 = – 2, was nicht lösbar ist

Es ist f (x) = x4. Aus dem Graphen kann man ablesen, dass g (x) = – f (x + 3) + 1 und h (x) = f (0,25 x) – 1.

Eine Funktion f, deren Funktionsgleichung man in der Form f (x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 ; (n * N; an, …, a0 * R; a n schreiben kann, heißt ganzrationale Funktion n-ten Grades.

Der Graph einer Funktion f mit f (x), verläuft genau dann– symmetrisch zur y-Achse, wenn die Funktionswerte f (x) und

f (– x) für alle x * Df übereinstimmen: f (– x) = f (x). Bei ganzrationalen Funktionen kommen im Funktionsterm nur gera-

de Exponenten vor.– punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x * Df die Bedingung

f (– x) = – f (x) erfüllt ist. Bei ganzrationalen Funktionen kommen im Funktionsterm nur ungerade Exponenten vor.

¥– Für x ¥ ± wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom

Summanden mit der höchsten Potenz von x bestimmt.– Der Graph verhält sich für x ¥ ± wie derjenige Graph mit der Glei-

chung y = an xn , wobei n der Grad von f ist.

– Für x nahe 0 wird das Verhalten einer ganzrationalen Funktion von den Summanden mit den niedrigsten Potenzen von x bestimmt.

– Der Graph verhält sich wie derjenige Graph mit der Gleichung y = ak xk + a0 , wobei k die niedrigste Potenz von x ist.

Die Nullstellen der Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f (x) = 0. Eine Funktion n-ten Grades kann höchstens n Nullstellen haben. Man er-hält sie durch1) , wenn die Funktionsgleichung als Linearfaktorzerlegung vor-

liegt.2) , wenn der Funktionsterm kein absolutes Glied enthält.3) , wenn nur die Potenzen x2 und x4 bzw. x3 und x6 usw.

vorkommen und durch z und z2 ersetzt werden können.

Den Graphen der Funktion g mit g (x) = f (x – c) + d erhält man, indem man den Graphen von f um c nach rechts und um d nach oben verschiebt (für c < 0 bzw. d < 0 verschiebt man nach links bzw. nach unten).Den Graphen der Funktion h mit h (x) = k · f (x); k > 0, erhält man, in-dem man den Graphen von f von der x-Achse aus in y-Richtung mit dem Faktor k streckt. Wenn k < 0 ist, muss man den Graphen an der x-Achse spiegeln, bevor man ihn streckt.Den Graphen der Funktion h mit h(x) = f (k · x) und k > 0, erhält man, in-dem man den Graphen von f von der y-Achse aus in x-Richtung mit dem Faktor 1 k streckt. Wenn k < 0 ist, muss man den Graphen an der y-Achse spiegeln, bevor man ihn streckt.

Fig. 1

8

2

x

y

–2

–8

8

4

2

x

y

–2

f f

g

h

h

g

–6 –4 –2–2

2

2 4

y

x

f

g

h

I Funktionen 45

Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f.

a) f (x) = 1 2 x2 – x – 4 b) f (x) = 3 4 x3 – 6 5 x2 c) f (x) = (x – 1) (x + 2)2

Skizzieren Sie grob den Verlauf des Graphen.a) f (x) = – 2 x 3 + 3 x b) f (x) = x 4 + 2 x 2 c) f (x) = 2 (x + 1)2 · (x – 3)

Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen. Verläuft der Graph symmetrisch zur y-Achse oder symmetrisch zum Ursprung? Begründen Sie.a) f (x) = x6 + 0,5 x3 + 4 b) f (x) = Å 27 x4 – 2 3 x2 + 3 c) f (x) = x7 – 2 x5 + 4 x3 – 3 x

Ist die Aussage wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort und nennen Sie gegebenen-falls ein Gegenbeispiel.a) Der Graph einer ungeraden Funktion verläuft durch den Ursprung.b) Wenn eine ganzrationale gerade Funktion eine Nullstelle hat, dann hat sie eine weitere Null-stelle.c) Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau drei Nullstellen.d) Es gibt keine ganzrationale Funktion 3. Grades ohne Nullstellen.

In Fig. 1 ist der Graph der Funktion f mit f (x) = x 3 – 2 x abgebildet. Die Graphen in Fig. 2 bis Fig. 4 sind durch Verschiebung bzw. Streckung des Graphen von f entstanden. Ordnen Sie die Funktionsterme den Graphen zu (ein Term bleibt übrig).g (x) = 0,5 x 3 – x; h (x) = (0,5 x)3 – x + 1; i (x) = (x – 1)3 – 2 (x – 1); j (x) = 2 x3 – 4 x

Fig. 4Fig. 3Fig. 2

2

x

y

2O–2–4 4

2

x

y

2O–2–4 4

2

x

y

2O–2–4 4

Geben Sie einen Funktionsterm für f an, sodass der Graph von f die gewünschten Eigen-

schaften besitzt.a) Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse und hat eine Nullstelle bei x = 2.b) Der Graph geht für x ¥ – gegen und für x ¥ gegen – . In der Nähe von Null verhält sich der Graph wie die Parabel mit der Gleichung f (x) = x 2 + 1.c) Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt genau drei Nullstellen.

Die Fig. 5 zeigt den Graphen der Funktion f mit f (x) = 1 30 x

3 + 1 + x3 + x. Kommentieren Sie die folgenden Aussagen.a) Da die Funktionsgleichung nur die ungera-den Exponenten 1 und 3 besitzt, ist der Graph symmetrisch zum Ursprung.b) Mithilfe des GTR (s. Fig. 5) kann man vermu-ten, dass der Graph symmetrisch zum Ur-sprung ist.c) Man erkennt an der Funktionsgleichung, dass der Graph von f nicht symmetrisch ist.

Konstruieren Sie ein Polynom 7. Grades mit jeweils 1, 2, 3, 4 bzw. 5 Nullstellen.

4

2

x

y

2O–2f

Fig. 1

Fig. 5


262 Anhang: Anleitung TI-nspire CX

Anleitung TI-nspire CX

– Über die Taste c gelangt man ins Hauptmenü. Dort kann man mit dem einen Menüpunkt anwählen und mit · oder x auswählen. Alter-

nativ kann man auch den entsprechenden Buchstaben oder die Zahl (z. B. 1 für neues Dokument) eingeben.

– Mit der Taste d kommt man aus einem Untermenü zurück in das Haupt-menü.

– „Normale“ Rechnungen werden im -Fenster durchgeführt. – Graphen zeichnet man im -Fenster.– Um geometrische Probleme dynamisch zu lösen nutzt man das -

Fenster.– Die Tabellenkalkulation befindet sich unter , die eingege-

benen Daten kann man in veranschaulichen– Mit . wird ein Zeichen (nach links) gelöscht.– Mit /. wird die gesamte Zeile gelöscht.– Unter dem Menüpunkt lassen sich im Hauptmenü viele Einstel-

lungen vornehmen. So kann beispielsweise unter … zwischen Bogenmaß und Gradmaß und dem Berechnungsmodus Auto,

Exakt und Approximiert gewählt werden. Hier kann man mit dem Touchpad oder der e-Taste durch das Menü steuern.

– Mit der Taste b wird in vielen Anwendungen ein umfangreiches Menü mit weiteren Befehlen geöffnet.

– Alle Befehle sowie die jeweilige Art diese einzugeben kann man unter der k-Taste einsehen.

– Bezeichnungen kann man verschieben, indem man diese mit dem Mauszeiger und x lange anwählt und anschließend an einer geeigneten Stelle mit x wieder ablegt.

Lösung der Gleichung x 2 + 5 x = 3 x + 2a) Rechnerisch:Im -Fenster: Mit dem -Befehl, bestätigt durch die ·-Taste, erhält man eine Lösung. Um alle Lösungen zu erhalten, muss man einen passenden Startwert in der Nähe der jeweiligen Lösung wählen oder einen Bereich angeben, in dem die Lösung liegt.

b) Graphisch:Die linke Seite der Gleichung in in f1, die rechte Seite in f2 eingeben. Anschließend mit b , dort unter , die Schnittpunkte nacheinander durch Auswahl der Bereiche mit x oder · festlegen.

c) 3. Möglichkeit: Die Gleichung zu x 2 + 2 x – 2 = 0 umstellen und anschließend mit dem

-Befehl lösen, oder graphisch die Nullstellen durch Eingabe des Terms x 2 + 2 x – 2 in f1, anschließende Ermittlung mit b

, als .

268 Anhang: Anleitung CASIO fx-CG 20

Anleitung CASIO fx-CG 20

– Über die Taste gelangt man ins Hauptmenü. Dort kann man mit den Cursortasten einen Menüpunkt anwählen und mit auswählen. Alternativ kann man auch die entsprechende Zahl (z. B. 1 für Run-Matrix) eingeben.

– Mit der Taste kommt man aus einem Untermenü zurück in das zuvor ge-wählte Menü.

– „Normale“ Rechnungen werden im Menüpunkt 1 Run-Matrix durchgeführt. – Mit wird ein Zeichen (nach links) gelöscht.– Mit löscht man eine ganze Zeile.– Mit wechselt man von der mathematischen Darstellung als Bruch oder

Wurzel zur Dezimaldarstellung oder umgekehrt.– Die Einstellungen innerhalb eines Menüpunktes lassen sich mit ändern.

Hierzu drückt man SHIFT und anschließend MENU.

– Oberhalb der Funktionstasten bis werden häufig Befehle oder Menüs an-gezeigt, die man durch das Drücken der entsprechenden Funktionstaste aus-wählt.

– Mit der Taste wird in vielen Anwendungen ein umfangreiches Menü mit weiteren Befehlen geöffnet.

Es können die Lösungen von Polynomgleichungen bis zum 6. Grad angegeben werden. 1. Im Hauptmenü auswählen.2. Mit auswählen. 3. Den Grad der Gleichung auswählen.4. Die Parameter der Gleichung in der angegebenen Form eingeben und mit

bestätigen. Zur Lösung der Gleichung 2 x2 + 4x – 6 = 0 muss der Grad 2 gewählt werden und anschließend a = 2, b = 4 und c = – 6 eingetragen werden. Mit EXE erhält man die beiden Lösungen x1 = 1 und x2 = – 3.

Der GTR kann auch Lösungen beliebiger Gleichungen bestimmen. Es wird aller-dings nur eine Lösung angezeigt, auch wenn es mehrere Lösungen gibt.1. Im Hauptmenü auswählen.2. Mit auswählen.3. Die Gleichung eingeben. Als Variable wählt man X mit der Taste . Das

Gleichheitszeichen wird über und ausgewählt. In der darunter liegenden Zeile kann ein Wert für x eingegeben werden, in des-sen Nähe eine Lösung bestimmt werden soll. Es kann durch die Eingabe von Werten bei Lower oder bei Upper der Bereich eingeschränkt werden, in dem nach Lösungen gesucht werden soll.

4. Mit erhält man einen Näherungswert für eine Lösung für x. Es wird auch der Wert der linken und rechten Seite der Gleichung angezeigt.

Lambacher SchweizerMathematik

Nordrhein-Westfalen

Date post:	03-Nov-2020
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