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Vorlesung Theoretische Mechanik - staff.uni-mainz.de .Anwendung: Kleine Schwingungen Ausblick: Ein

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  • Vorlesung Theoretische Mechanik

    Version vom WS 2014/2015

    Universitat Mainz

    Institut fur Physik

    Theorie der kondensierten Materie

    Prof. Dr. Friederike Schmid

    Inhalt: Newtonsche Mechanik

    Die Newtonschen Axiome

    Bezugssysteme

    Energie und Potential

    Erhaltungssatze und Symmetrien

    Anwendung: Das Zweikorperproblem

    Lagrange-Mechanik

    Zwangsbedingungen und Zwangskrafte

    Lagrange-Gleichungen erster Art

    Invarianzen und Erhaltungsgroen

    Das Hamiltonsche Prinzip

    Verallgemeinerte Lagrange-Formalismen

    Starre Korper

    Kinematik: Beschreibung der Bewegung

    Dynamische Groen und Tragheitstensor

    Bewegungsgleichungen und Kreiseltheorie

    Hamiltonsche Mechanik

    Generalisierter Impuls

    Legendre-Transformation und Hamilton-Funktion

    Poisson-Klammern

    Kanonische Transformationen

    Der Liouville-Satz

    Die symplektische Struktur des Phasenraums

    Anwendung: Kleine Schwingungen

    Ausblick: Ein Ausflug ins Hamiltonsche Chaos

    Grundbegriffe der Hydrodynamik

    Elektronisch: Letzte Anderung am 24.11.16Staudingerweg 9, 03-534,

  • Copyright 2014 Friederike Schmid

    Die Verteilung dieses Dokuments in elektronischer oder gedruckter Formist gestattet, solange sein Inhalt einschlielich Autoren- und Copyright-Angabeunverandert bleibt und die Verteilung kostenlos erfolgt, abgesehen von einerGebuhr fur den Datentrager, den Kopiervorgang usw.

  • Inhaltsverzeichnis

    Vorbemerkungen 1

    1 Newtonsche Mechanik 5

    1.1 Die Newtonschen Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.1 Wortlaut (ubersetzt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.2 Prazisierung der kinematischen Begriffe . . . . . . . . . . . 5

    1.1.3 Diskussion der Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Beispiele: Anwendungen des Kraftgesetzes . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.1 Freier Fall im homogenen Schwerefeld . . . . . . . . . . . . 10

    1.2.2 Freier Fall im homogenen Schwerefeld mit Reibung . . . . 10

    1.2.3 Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3.1 Inertialsysteme und Galilei-Transformation . . . . . . . . . 13

    1.3.2 Rotierende Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.3.3 Beliebig beschleunigte Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . 16

    1.4 Energie und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.4.1 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.4.2 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    1.4.3 Weitere Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1.5 Erhaltungssatze und Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.5.1 Homogenitat der Zeit und Energieerhaltung . . . . . . . . 23

    1.5.2 Homogenitat des Raumes und Impulserhaltung . . . . . . 23

    1.5.3 Isotropie des Raumes und Drehimpulserhaltung . . . . . . 24

    1.5.4 Skaleninvarianz und Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    1.5.5 Beispiele fur Anwendungen von Symmetrieprinzipien . . . 26

    1.6 Zusammenfassung: Newtonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.7 Anwendung: Das Zweikorperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.7.1 Reduktion auf ein eindimensionales Problem . . . . . . . . 28

    1.7.2 Das Kepler-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.7.3 Elastische Streuung von Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . 34

    1.8 Wissensfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2 Lagrange-Mechanik 41

    2.1 Zwangsbedingungen und Zwangskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2.1.1 Klassifizierung von Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . 42

    2.1.2 Zwangskrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    iii

  • iv INHALTSVERZEICHNIS

    2.1.3 Prinzip der virtuellen Verruckungen . . . . . . . . . . . . . 43

    2.1.4 dAlembertsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.2 Lagrange-Gleichungen erster Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.2.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    2.2.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    2.3 Lagrange-Gleichungen zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    2.3.1 Generalisierte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3.2 Generalisierte Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2.3.3 Generalisiertes Prinzip der virtuellen Verruckungen . . . . 46

    2.3.4 dAlembertsches Prinzip und Bewegungsgleichungen . . . 46

    2.3.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.4 Invarianzen und Erhaltungsgroen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.4.1 Zyklische Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.4.2 Zeitunabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    2.4.3 Der Satz von Emmy Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.5 Das Hamiltonsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.5.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.5.2 Hamilton-Prinzip mit zusatzlichen Zwangsbedingungen . 51

    2.6 Verallgemeinerte Lagrange-Formalismen . . . . . . . . . . . . . . . 52

    2.6.1 Teilchen im elektromagnetischen Feld . . . . . . . . . . . . 52

    2.6.2 Reibung und Dissipationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.7 Zusammenfassung: Lagrange-Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.8 Wissensfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3 Starre Korper 57

    3.1 Beschreibung der Bewegung (Kinematik) . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.1.1 Charakterisierung des Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    3.1.2 Beschreibung des momentanen Zustandes . . . . . . . . . . 58

    3.1.3 Beschreibung der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.2 Dynamische Groen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.2.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    3.2.2 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.2.3 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.3 Der Tragheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.3.2 Zusammenhang mit Tragheitsmoment . . . . . . . . . . . . 61

    3.3.3 Beispiel: Tragheitstensor des Zylinders . . . . . . . . . . . 62

    3.3.4 Physikalische Skalare, Vektoren, Tensoren . . . . . . . . . 63

    3.3.5 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.3.6 Zusammenfassung und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . 65

    3.4 Dynamik und Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.4.1 Zugang direkt uber Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    3.4.2 Zugang uber Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.5 Wissensfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  • INHALTSVERZEICHNIS v

    4 Hamiltonsche Mechanik 714.1 Generalisierter Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 Hamilton-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.1 Vorbemerkung: Legendre-Transformation . . . . . . . . . . 734.2.2 Anwendung auf Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . 734.2.3 Hamiltonsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . 744.2.4 Modifiziertes Hamiltonsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . 75

    4.3 Poisson-Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.2 Bedeutung und Eigenschaften der Poissonklammer . . . . 764.3.3 Beispiele fur Poissonklammern . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.4 Kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.1 Definition und einfache Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.2 Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.3 Konstruktion kanonischer Transformationen . . . . . . . . 794.4.4 Der Hamilton-Jacobi Formalismus . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.5 Der Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5.1 Der Liouville-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5.2 Hintergrund: Symplektische Struktur des Phasenraums . 84

    4.6 Zusammenfassung: Hamiltonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . 864.7 Anwendung: Kleine Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.7.1 Lineare Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7.2 Normalmodenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7.3 Losung im Hamilton-Jacobi Formalismus . . . . . . . . . . 884.7.4 Zusammenfassung: Kleine Schwingungen . . . . . . . . . . 88

    4.8 Ausblick: Ein Ausflug ins Hamiltonsche Chaos . . . . . . . . . . . 894.8.1 Identifizierung von Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8.2 Eigenarten von Hamiltonschem Chaos . . . . . . . . . . . . 904.8.3 Integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.8.4 Kleine Storungen und KAM-Theorem . . . . . . . . . . . . 92

    4.9 Wissensfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5 Grundbegriffe der Hydrodynamik 975.1 Fluide und Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Kinematik der Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.3 Dynamik: Bewegungsgleichungen fur Fluide . . . .

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