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Das Hamiltonsche Prinzip

Wir haben bisher die relativistische Bewegung eines freien Teilchens betrachtet. Im folgenden stellen wir uns die Frage wie sich die Wechselwirkung im Rahmen

der relativistischen Mechanik einführen lässt.

Bei der Konstruktion der relativistischen Lagrangefunktion für das freie Teilchen haben wir die einfachste Lagrangefunktion konstruiert, die Lorentz-Invariant ist.

Um die Wechselwirkung zu beschreiben müssen wir diese Lagrangefunktion so erweitern, dass sie weiterhin Lorentz-invariant bleibt.

Wir führen zunächst die in der relativistischen Physik übliche Notation ein:

Die Koordinaten eines Ereignisses fassen wir zu einem Vierervektor zusammen.

Um den invarianten Abstand in Form eines Skalarproduktes schreiben zu können führen wir noch eine andere Art der Vierervektoren:

1Mittwoch, 12. Mai 2010

Das Hamiltonsche PrinzipDer invariante Abstand lässt sich damit als Skalarprodukt schreiben:

Einsteinsche Summationskovention:Über Indizes, die doppelt auftreten wird summiert (Summationszeichen wird nicht geschrieben)

Das Quadrat des Längenelements wird zu:

Das Wirkungsfunktional für das freie Teilchen ist:



Wir wollen nun dieses Wirkungsfunktional durch Potentiale erweitern, die die Wechselwirkung beschreiben, aber so das das Wirkungsfunktional weiterhin Lorentz invariant bleibt:

Dazu lassen wir uns von der folgenden Idee leiten:

In der invarianten Länge: ersetzen wir durch die

Komponenten eines Viererpotentials:

Dieses Potential muss gleiche Transformationseigenschaften haben wie damit:

c Lorentz-invariant bleibt.

Wir sehen also, dass die einfachste Beschreibung der Wechselwirkung durch Einführung eines Viererpotentials erfolgt:



Die „natürlichste“ Beschreibung der Wechselwirkung erfolgt durch die folgende Lagrangefunktion:

c

skalare Kopplungskonstante

oder in alten Komponenten:



Die einfachste Lagrangefunktion, die Teilchen in Wechselwirkung beschreibt hat damit die Form:

Wir erkennen darin die Potentiale des elektromagnetischen Feldes!

Wir sehen also, das die Wechselwirkung mit dem EM-Feld die einfachste mögliche Wechselwirkung ist, die konsistent mit der speziellen Relativität ist!

Und Gravitation???



Wenn die „natürlichste“ Wechselwirkung die EM-Wechselwirkung ist, wo kommt die Gravitation her?

Um diese Frage zu beantworten müssen wir uns erinnern, dass wir von einer bestimmten Geometrie der Raumzeit, die durch die invariante Länge:

gegeben ist.

Wir haben nun zwei Optionen:

1.Entweder erweitern wir die Lagrangefunktion durch zusätzliche Terme in der Hoffnung das daraus die Gravitation „geboren“ wird.

2. Wir modifiziern die Geometrie der Raumzeit.



Aus den folgenden Betrachtungen bekommen wir eine Idee wie man die Geometrie der Raumzeit modifizieren muss:

Betrachten wir ein nichtrelativistisches Teilchen im Gravitationsfeld mit dem Potential:

Die Lagrangefunktion ist:

Wir haben die relativistische Ruheenergie zu dem Gravitationspotential addiert.



Den Ausdruck in der Klammer können wir als eine Näherung für:

auffassen.

Damit hat die Lagrangefunktion die folgende Form:

Gekrümmte Raumzeit!

Dies lässt sich in der verallgemeinerten Form schreiben:

mit dem Krümmungstensor:



Wir lassen uns dabei von der folgenden Analogie leiten:

It would appear that science and poetry are in extreme contrast to one another. However, some theoretical physicists, like poets, do devote their creative energies to saying what has already been said, but in a different way. Their work is often dismissed by more pragmatic physicists for essentially the same reason that poetry is sometimes dismissed. A body of physics is reformulated, but the new fomulation does not advance our knowledge one whit. In the vast majority of cases, in poetry as in theoretical physics, the rude dismissal is perfectly justified. The new version is more convoluted and turgid than the old. But once in a while, a poem, compact in structure, eloquent in cadence, manages to illuminate a theme more lucidly than ever before. In physics, too, formulations more in tune with the inner logic of Nature emerge from time to time. Perhaps the best example is the so-called action formulation, developed in the eighteenth century as an alternative to Newton‘s differential formulation of physics...

from Anthony Zee, „The Fearful Symmetry“


Kontinuumsmechanik, Feldtheorien...

Als einfachstes Beispiel für die Beschreibung der Bewegung des Kontinuums betrachten wir die schwingende Saite:

L

Die Ränder der Saite sind fixiert und die Gleichgewichtslänge beträgt L.



Als einfachstes Beispiel für die Beschreibung der Bewegung des Kontinuums betrachten wir die schwingende Saite:

L

Die Ränder der Saite sind fixiert und die Gleichgewichtslänge beträgt L. Die Bewegung der Seite wird durch ein kontinuierliches Feld φ(x,t) beschrieben.

φ(x,t)x

φ(x,t) -Auslenkung der Saite am Ort x zum Zeitpunkt t (skalares Feld)11Mittwoch, 12. Mai 2010


Wir wissen, wie man die Mechanik der Mehrteilchensysteme bestehend aus Punktmassen beschreibt. Also nähern wir die Saite durch ein

Mehrteilchensystem aus Punktmassen an...

Δx

Jedes Segment der Saite ersetzen wir durch eine Punktmasse am festen Ort xi mit der Masse des gesamten Segments Δmi.

Massendichte Für

geht das System der Punktmassen in die kontinuierliche Saite über!



Im folgenden konstruieren wir die Lagrangefunktion für das System von Punktmassen und schauen uns dann den Grenzfall

an.

vertikale Auslenkung der i-ten Massen am festen Ort xi

Ausgedrückt durch die Massendichte hat die kinetische Energie die Form:

Um die potentielle Energie auszurechnen, nehmen wir an, dass die Saite in der Gleichgewichtslage durch eine Kraft κ gespannt ist.



Δx

Die Auslenkung der Saite führt zur Verlängerung der Saite. Dies erfordert Arbeit, da die Saite gespannt ist!

Potentielle Energie des i-ten Segments



Die Lagrangefunktion ist somit:

Die Wirkung S ist:

Im Limit:

Lagrangedichte15Mittwoch, 12. Mai 2010


Wir sehen, dass beim Übergang zum Kontinuum der diskrete Satz von Auslenkungen in ein kontinuierliches Feld übergeht:

Die Lagrangefunktion für ein diskretes System von Massenpunkten geht dabei in eine Lagrangedichte über:

Das Wirkungsfunktional hat damit die Form:

Dies stellt eine Verallgemeinerung der Variationsprobleme dar, die wir bisher behandelt haben, da die Funktion φ(x,t) von zwei Variablen abhängig ist!

Notation:



Im folgenden verwenden wir das Variationsprinzip:

um die Bewegungsgleichungen zu finden.

Wir betrachten die Variationen des Feldes mit festen Randbedingungen:



umformen durch partielle Integration



damit ist die Variation:

Da dies für beliebige Variationen gelten muss (die die Randbedingungen erfüllen) folgt daraus die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung für das Feld φ(x,t):



Beispiel: Bewegungsgleichung für die schwingende Saite-Wellengleichung

Im folgenden wenden wir die Euler-Lagrange-Gleichung auf die schwingende Saite an:

Bewegungsgleichung:




Diese partielle Differentialgleichung nennt man Wellengleichung!

mit

Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen

Dies lässt sich direkt auf mehrere Dimensionen verallgemeinern:

Wellengleichung:

2D

3D21Mittwoch, 12. Mai 2010



Lösung der Wellengleichung:

Wir versuchen, diese partielle Differentialgleichung durch einen Separationsansatz zu lösen:

Durch Einsetzen in:

erhalten wir:

Funktion von x Funktion von t22Mittwoch, 12. Mai 2010



Dies kann nur erfüllt werden, wenn beide Seite gleich einer Konstante sind. Diese Konstante muss darüber hinaus negativ sein. Also erhalten wir damit zwei gewöhnliche Differentialgleichungen:

Allgemeine Lösung

Aus den Randbedingungen folgt:




Mit:

bekommen wir die Lösungen der Form:

Dies sind die Eigenschwingungen der Saite:

n=1 n=2 n=5




Die Wellengleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung. Das heißt, dass jede lineare Kombination der Eigenschwingungen auch eine Lösung ist:

Illustration:Bewegung einer Überlagerung von fünf niedrigsten Eigenmoden:




Die Funktion:

ist dann die allgemeine Lösung, wenn sich für jeden Satz der Anfangsbedingungen, die Koeffizienten an und bn finden lassen.

Anfangsbedingungen:




Aus den Anfangsbedingungen folgt:

Dies sind Spezialfälle der Fourier-Reihen:




Um die Koeffizienten an und bn zu bestimmen, verwenden wir:

Orthogonalität

undMultiplikation mit

Fourier-Koeffizienten:

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)




Anwendung: Gezupfte Saite

Anfangsbedingungen:




Anwendung: Gezupfte Saite




Konvergenz der Fourier-Entwicklung:

1 Term 3 Terme

10 Terme 100 Terme





Symmetrien und Erhaltungsgrößen

Im folgenden befassen wir uns systematisch mit dem Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen.

Wir werden feststellen, dass aus jeder Invarianz der Lagrangefunktion (Symmetrie) ein Erhaltungssatz folgt. Es besteht somit ein tiefer Zusammenhang zwischen Symmetrie und den Erhaltungsgrößen.

Definition: Eine Funktion heißt Erhaltungsgröße oder Konstante der Bewegung, wenn für alle Bahnen, die die Lagrangegleichungen erfüllen, gilt

So haben wir zum Beispiel gesehen, dass wenn , die folgende Funktion eine Konstante der Bewegung ist.


Symmetrien und Erhaltungsgrößen

Noether-Theorem:

Ist die Lagrangefunktion unter der einparametrigen Schar der Transformationen

Ist die Lagrangefunktion invariant unter der einparametrigen Schar der Transformationen

das heißt,

dann ist die Größe

eine zeitliche Konstante, wenn q(t) die Lagrangegleichungen erfüllt.

Amalie „Emmy“ Noether (1882-1935)


Date post:	21-Aug-2019
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