Vorlesung Mathematik 1 - elearning.rwth-aachen.de · Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. Michael Herty...

Vorlesung

Mathematik 1

Prof. Dr. Michael Herty

Diese Vorlesung:

Folgen, NullfolgenKonvergenzGrenzwertberechnung

MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 1

Vorlesung

Mathematik 1

Prof. Dr. Michael Herty

Diese Vorlesung:

Folgen, NullfolgenKonvergenzGrenzwertberechnung


Folgen


Folgen

Was ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?

27, 3.5, 2, −14,√

2, 34, 52/7, . . .

Jedem n = 1,2,3, . . . wird ein xn zugeordnet:

1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .

xn: Folgenglieder , Schreibweise:

(xn)n∈N, (xn)


FolgenWas ist eine Folge (von reellen Zahlen) ?

27, 3.5, 2, −14,√

2, 34, 52/7, . . .


1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .


(xn)n∈N, (xn)



27, 3.5, 2, −14,√

2, 34, 52/7, . . .


1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .


(xn)n∈N, (xn)



27, 3.5, 2, −14,√

2, 34, 52/7, . . .


1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .

xn: Folgenglieder

, Schreibweise:

(xn)n∈N, (xn)



27, 3.5, 2, −14,√

2, 34, 52/7, . . .


1 2 3 4 . . .x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .


(xn)n∈N, (xn)


FOLGEN


Indices →

1 2 3 4 . . .

Folgenglieder →

x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .

Schreibweise:(xn)n∈N, (xn)

Beispiele:gerade naturliche Zahlen, aufsteigend:

n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .


FOLGEN


Indices → 1 2 3 4 . . .

Folgenglieder →

x1 x2 x3 x4 . . .27 3.5 2 −14 . . .



n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .


FOLGEN


Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder → x1 x2 x3 x4 . . .

27 3.5 2 −14 . . .



n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .


FOLGEN



27 3.5 2 −14 . . .



n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 2 4 6 8 10 12 . . .


FOLGEN



27 3.5 2 −14 . . .


Beispiele:ungerade naturliche Zahlen, aufsteigend:

n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 1 3 5 7 9 11 . . .


FOLGEN



27 3.5 2 −14 . . .


Beispiele:Primzahlen, aufsteigend:

n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 1 2 3 5 7 11 . . .


FOLGEN



27 3.5 2 −14 . . .


Beispiele:Naturliche Zahlen mit Quersumme 7, aufsteigend:

n = 1 2 3 4 5 6 . . .xn = 7 16 25 34 43 52 . . .


FOLGEN Indices → 1 2 3 4 . . .Folgenglieder→ x1 x2 x3 x4 . . .


Wozu beschaftigen wir uns mit Folgen ?

Folgen↓

Grenzwerte↓

Stetigkeit↓

Differentiation↓

Integration↓· · ·





Folgen↓

Grenzwerte↓

Stetigkeit↓

Differentiation↓






Folgen↓

Grenzwerte

↓Stetigkeit↓

Differentiation↓






Folgen↓

Grenzwerte↓

Stetigkeit

↓Differentiation

↓Integration

↓· · ·





Folgen↓

Grenzwerte↓

Stetigkeit↓

Differentiation

↓Integration

↓· · ·





Folgen↓

Grenzwerte↓

Stetigkeit↓

Differentiation↓



FOLGENWas wollen wir von einer Folge wissen ?

Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?

Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:

xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .

. . . oder durch eine Rekursion:

x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .



Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?

Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞Oszilliert sie ?


xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .



Konvergiert sie gegen einen festen Wert ?Divergiert sie, strebt sie gegen ±∞

Oszilliert sie ?Eine Folge ist typischerweise durch eine definierende Formelgegeben:

xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .





xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .





xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .





xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .





xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .





xn := 2n → 2,4,6,8, . . .

xn := 2n − 1 → 1,3,5,7, . . .


x1 := 1, xn+1 := 2xn → 1,2,4,8,16, . . .

x1 := 1, xn+1 := n + 1 + xn → 1,3,6,10,15, . . .


FOLGEN — KONVERGENZ

Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wenn

es fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:

n > N ⇒ |xn − x∗| < ε

Ab Index N liegen alle xn dicht bei x∗

xn → x∗ oder limn→∞

xn = x∗



Definition:Eine Folge (xn)n∈N konvergiert gegen einen Grenzwert x∗,wennes fur jedes noch so kleine ε > 0 eine Zahl N = N(ε) gibt, sodass fur alle Indices n > N jedes xn hochstens noch einenAbstand ε zu x∗ hat:

n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



xn = x∗




n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



xn = x∗




n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



xn = x∗




n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



xn = x∗


FOLGEN — KONVERGENZDefinition: xn → x∗:Fur jedes noch so kleine ε > 0 gibt es eine Zahl N = N(ε):

n > N ⇒ |xn − x∗| < ε

Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 1

n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.

1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.

Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ?

Es soll furn > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



| xn︸︷︷︸

= 1n

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



| xn︸︷︷︸= 1

n

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



| xn︸︷︷︸= 1

n

− x∗︸︷︷︸=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.1/n wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Wie sollen wir fur vorgegebenes ε ein N finden ? Es soll furn > N gelten:∣∣∣∣1n − 0

∣∣∣∣ < ε

⇔ n >1ε

also N :=1ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



∣∣∣∣ < ε ⇔ n >1ε

also N :=1ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



∣∣∣∣ < ε ⇔ n >1ε

also N :=1ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n2

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n2 konvergiert.

1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n2

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.

Es soll fur n > N gelten:

| xn︸︷︷︸

= 1n2

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



| xn︸︷︷︸

= 1n2

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



| xn︸︷︷︸= 1

n2

− x∗︸︷︷︸

=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



| xn︸︷︷︸= 1

n2

− x∗︸︷︷︸=0

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n2 konvergiert.1/n2 wird sehr klein, Vermutung: Grenzwert ist x∗ = 0.Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣ 1

n2 − 0∣∣∣∣ < ε

⇔ n2 >1ε

also N :=1√ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



n2 − 0∣∣∣∣ < ε ⇔ n2 >

1ε

also N :=1√ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε



n2 − 0∣∣∣∣ < ε ⇔ n2 >

1ε

also N :=1√ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε

Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn = 2+n

n konvergiert.

Gegen was konvergiert die Folge ?

2 + nn

=2n

+ 1 → 1


| xn︸︷︷︸

= 2+nn

− x∗︸︷︷︸

=1

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1


| xn︸︷︷︸

= 2+nn

− x∗︸︷︷︸

=1

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1


| xn︸︷︷︸

= 2+nn

− x∗︸︷︷︸

=1

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1


| xn︸︷︷︸

= 2+nn

− x∗︸︷︷︸

=1

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1


| xn︸︷︷︸= 2+n

n

− x∗︸︷︷︸

=1

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1


| xn︸︷︷︸= 2+n

n

− x∗︸︷︷︸=1

| < ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1

Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣2 + nn− 1∣∣∣∣ < ε

⇔ n >2ε

also N :=2ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1

Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣2 + nn− 1∣∣∣∣ < ε ⇔ n >

2ε

also N :=2ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


n konvergiert.


2 + nn

=2n

+ 1 → 1

Es soll fur n > N gelten:∣∣∣∣2 + nn− 1∣∣∣∣ < ε ⇔ n >

2ε

also N :=2ε


EINSCHUB: DREIECKSUNGLEICHUNG

|a + b| ≤ |a| + |b|

|a− b| ≥ |a| − |b|

Warum ist das so ?Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|

Beide negativ: genauso.Verschiedene Vorzeichen:

|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|

|a| = |a− b + b| ≤ |a− b|+ |b| ⇒ 2. ∆-Ungleichung



|a + b| ≤ |a| + |b|

|a− b| ≥ |a| − |b|Warum ist das so ?

Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|


|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|




|a + b| ≤ |a| + |b|


Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|


|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|




|a + b| ≤ |a| + |b|


Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|

Beide negativ: genauso.

Verschiedene Vorzeichen:

|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|




|a + b| ≤ |a| + |b|


Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|


|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|




|a + b| ≤ |a| + |b|


Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|


|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|




|a + b| ≤ |a| + |b|


Beide positiv:

|a + b| = a + b = |a|+ |b|


|a + b| = ±a +±b ≤ |a|+ |b|




Jede Folge xn hat maximal einen Grenzwert x∗

Nehmen wir mal an

xn → x∗ und xn → y∗

Wir vermuten: x∗ = y∗

|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε

Also erhalten wir durch Anwendung der ∆-Ungleichung:

|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|

<12ε +

12ε = ε

Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗




Nehmen wir mal an


Wir vermuten: x∗ = y∗

|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε



<12ε +

12ε = ε





Nehmen wir mal an


Konvergenz bedeutet fur große n:

|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε



<12ε +

12ε = ε





Nehmen wir mal an



|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε


|x∗ − y∗| =

|x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤ |x∗ − xn|+ |xn − y∗|

<12ε +

12ε = ε





Nehmen wir mal an



|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε


|x∗ − y∗| = |x∗ − xn + xn − y∗|∆-Ungleichung→ ≤

|x∗ − xn|+ |xn − y∗|

<12ε +

12ε = ε





Nehmen wir mal an



|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε



<

12ε +

12ε = ε





Nehmen wir mal an



|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε



<12ε +

12ε

= ε





Nehmen wir mal an



|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε



<12ε +

12ε = ε

Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε

⇒ x∗ = y∗




Nehmen wir mal an



|xn − x∗| < 12ε und |xn − y∗| < 1

2ε



<12ε +

12ε = ε

Damit ist fur jedes noch so kleine ε: |x∗ − y∗| < ε⇒ x∗ = y∗MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 12 / 1


n > N ⇒ |xn − x∗| < ε

Beispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =

√n divergiert.

Verneinung der Konvergenz:

Fur jedes x∗ gibt es ein ε zu dem man kein N findenkann mit

n > N ⇒ |xn − x∗| < ε

Fur jedes x∗ gibt es ein ε so dass fur große n > N:

|xn − x∗| ≥ ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


√n divergiert.



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


|xn − x∗| ≥ ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


√n divergiert.



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


|xn − x∗| ≥ ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


√n divergiert.



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


|xn − x∗| ≥ ε



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


√n divergiert.



n > N ⇒ |xn − x∗| < ε


|xn − x∗| ≥ ε


FOLGEN — KONVERGENZBeispiel:Zeigen Sie, dass die Folge xn =

√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε

Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn

|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1

erfullt sein soll ?|√

n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4

Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .



√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε

Wir nehmen ε := 1.

Nehmen wir mal an xn → x∗. Wie groß kann n werden, wenn

|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4




√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε

Wir nehmen ε := 1.Nehmen wir mal an xn → x∗.

Wie groß kann n werden, wenn

|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4




√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε


|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1

erfullt sein soll ?

|√

n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4




√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε


|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4




√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε


|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4




√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε


|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4




√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε


|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4

Fur große n also nicht erfullt

→ Widerspruch! .



√n divergiert.


|xn − x∗| ≥ ε


|xn − x∗| < 1 und |x4n − x∗| < 1


n − x∗| < 1 und |2√

n − x∗| < 1

|√

n−2√

n| = |(√

n−x∗)+(x∗−2√

n)| ≤ |√

n−x∗|+|x∗−2√

n| < 2

√n < 2, also n < 4

Fur große n also nicht erfullt→ Widerspruch! .MICHAEL HERTY (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 14 / 1

FUNDAMENTALSATZNullfolge:

xn → 0

Beschrankt: Fur alle xn gilt

L ≤︸︷︷︸nach unten beschrankt

xn ≤︸︷︷︸nach oben beschrankt

U

Monoton fallend:xn ≥ xn+1

Monoton steigend:xn ≤ xn+1

Strebt gegen Unendlich:

xn → +∞ oder xn → −∞

wennn > N ⇒ xn < L oder xn > U



xn → 0




U








xn → 0




U








xn → 0




U








xn → 0




U







FUNDAMENTALSATZ

konvergent⇒ nach unten und oben beschrankt

Monoton fallend + nach unten beschrankt⇒ konvergent

Monoton steigend + nach oben beschrankt⇒ konvergent

Der Fundamentalsatz hilft dabei festzustellen ob eine Folgekonvergiert, aber nicht gegen was.


FUNDAMENTALSATZ






FUNDAMENTALSATZ






FUNDAMENTALSATZ






RECHENREGELNSummenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist

limn→∞

(an + bn) = a∗ + b∗

Faktorregel: Gilt an → a∗ so auch fur λ ∈ Rλan → λa∗

Produktregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗, so ist

limn→∞

(an · bn) = a∗b∗

Quotientenregel: Gilt an → a∗ und bn → b∗ 6= 0, so ist

limn→∞

(an/bn) = a∗/b∗

Funktionsregel: Gilt an → a∗ so auch f (an)→ f (a∗) fur

f (x) = xq, f (x) = log(x), f (x) = ex , f (x) = sin(x)

Achtung! Folgenglieder an im Definitionsbereich von f !



limn→∞

(an + bn) = a∗ + b∗



limn→∞

(an · bn) = a∗b∗


limn→∞

(an/bn) = a∗/b∗






limn→∞

(an + bn) = a∗ + b∗



limn→∞

(an · bn) = a∗b∗


limn→∞

(an/bn) = a∗/b∗






limn→∞

(an + bn) = a∗ + b∗



limn→∞

(an · bn) = a∗b∗


limn→∞

(an/bn) = a∗/b∗






limn→∞

(an + bn) = a∗ + b∗



limn→∞

(an · bn) = a∗b∗


limn→∞

(an/bn) = a∗/b∗






limn→∞

(an + bn) = a∗ + b∗



limn→∞

(an · bn) = a∗b∗


limn→∞

(an/bn) = a∗/b∗





FOLGEN — RECHENREGELNBeispiel: Untersuchen Sie, ob der folgende Genzwert existiert,und bestimmen Sie ihn gegebenfalls:

limn→∞

xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654

Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:

n2 + 2n + 43n2 + 3654

=1 + 2/n + 4/n2

3 + 3654/n2

Zahler geht gegen 1 (1n → 0⇒ 1

n2 → 0),Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:

limn→∞

n2 + 2n + 43n2 + 3654

= 1/3.



limn→∞

xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654

Losung:Zahler und Nenner gehen beide gegen +∞. Was tun ?

Faktor n2 aus Zahler und Nenner kurzen:

n2 + 2n + 43n2 + 3654

=1 + 2/n + 4/n2

3 + 3654/n2



limn→∞

n2 + 2n + 43n2 + 3654

= 1/3.



limn→∞

xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654


n2 + 2n + 43n2 + 3654

=1 + 2/n + 4/n2

3 + 3654/n2



limn→∞

n2 + 2n + 43n2 + 3654

= 1/3.



limn→∞

xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654


n2 + 2n + 43n2 + 3654

=1 + 2/n + 4/n2

3 + 3654/n2


n2 → 0),

Nenner geht gegen 3, nach Quotientenregel:

limn→∞

n2 + 2n + 43n2 + 3654

= 1/3.



limn→∞

xn, xn :=n2 + 2n + 43n2 + 3654


n2 + 2n + 43n2 + 3654

=1 + 2/n + 4/n2

3 + 3654/n2



limn→∞

n2 + 2n + 43n2 + 3654

= 1/3.


VIELEN DANK FUR IHRE AUFMERKSAMKEIT!

Nachste Vorlesung: Freitag 16:00 (Audimax)

(Beispiele und Aufgaben zu Folgen)


Date post:	31-Aug-2019
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