Br uckenkurs Mathematik Vorlesung Elementare Funktionen · Br uckenkurs Mathematik, c K.Rothe,...

Bruckenkurs Mathematik

Vorlesung

Elementare Funktionen

Kai Rothe

Technische Universitat Hamburg

0 Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Elementare Funktionen

Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Wurzelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . 5

Eigenschaften gebrochenrationaler Funktionen 7

Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Tangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Arkussinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Arkuskosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Arkustangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Naturlicher Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Logarithmus zur Basis b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Sinus Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Cosinus Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Tangens Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Area Sinus Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Area Cosinus Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Bruckenkurs Mathematik, c©K.Rothe, Vorlesung Elementare Funktionen 1

Umkehrfunktion

Fur die Funktion

f : R → R ,x 7→ y = f (x)

heißt die Funktion

g : R → R ,y 7→ x = g(y)

(globale) Umkehrfunktion falls fur alle x ∈ R gilt

g(f (x)) = x.

Man schreibt g =: f−1.

•Graph der Umkehrfunktion

Man erhalt den Graphen der Umkehrfunktion durchSpiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhal-bierenden y = x.

• Berechnung der Umkehrfunktion

Man berechnet die Umkehrfunktion zu y = f (x),indem man die Gleichung nach x auflost (wenn diesmoglich ist), d.h. x = g(y) ermittelt.


Beispiel 1

f : R → R ,x 7→ y = x3

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

y

f (x) = x3

-0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.15y

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x

x = f−1(y) = 3√y =: y1/3 Wurzelfunktion (3.Wurzel)

Bemerkung:Uber die Potenzrechengesetze erhalt man so f−1(f (x)) =(x3)1/3 = x3/3 = x. Damit sind als Potenzen von x auchrationale Zahlen erklart. Man erhalt xn/m = m

√xn.


Beispiel 2

-1 -0.5 0.5 1x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

f (x) = x2

0.2 0.4 0.6 0.8 1y

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

x

Spiegelung von f (x) = x2 an der Winkelhalbierenden

Problem

Der gespiegelte Funktionsgraph stellt keine Funktiong(y) dar.


Abhilfe

Es wird nur fur x ≥ 0 gespiegelt, der Definitionsbereichvon f wird also eingeschrankt.

f : R+0 → R+

0 ,x 7→ y = x2

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

f (x) = x2

0.2 0.4 0.6 0.8 1y

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

x

f−1(y) =√y = y1/2 Quadratwurzelfunktion


Gebrochenrationale Funktionen

Der Quotient

f (x) =p(x)

q(x)

aus zwei Polynomen

p(x) =

m∑k=0

akxk und q(x) =

n∑k=0

bkxk

vom Gradm bzw. n heißt gebrochenrationale Funk-tion.

Die Funktion f heißt (echt) gebrochenrational,falls der Grad des Nennerpolynoms (echt) großer alsder Grad des Zahlerpolynoms ist, d.h. n > m.


Polynomialen Anteil abspalten:

Die gebrochenrationale Funktion wird im Falle m ≥ n

p(x)

q(x)= p(x) +

r(x)

q(x)

durch Polynomdivision in einen polynomialen Anteil pund einen echt gebrochenrationalen Anteil r zerlegt,falls r 6= 0 .

Kurzen gemeinsamer Linearfaktoren:

Besitzen p und q eine gemeinsame Nullstelle x0, so kanndurch Polynomdivision der zugehorige Linearfaktor je-weils abgespalten werden:

p(x) = (x− x0)p(x) und q(x) = (x− x0)q(x) .

Anschließend kann (x− x0) gekurzt werden, genauer:

f (x) =p(x)

q(x)=

(x− x0)p(x)

(x− x0)q(x)=p(x)

q(x).


Eigenschaften gebrochenrationaler Funk-tionen

Definitionsbereich:

Definitionlucken: Nennernullstellen vonp(x)

q(x)

Klassifizierung der Nennernullstelle xj:

Der Linearfaktor (x − xj) wird, so oft dies moglich istim Zahler und Nenner gekurzt.

Ist nach dem Kurzen

• xj keine Nennernullstelle mehr,

so ist xj hebbare Definitionslucke.

• xj eine s-fache Nennernullsteller,

so ist xj ein Pol der Ordnung s.

s gerade ⇒ kein Vorzeichenwechsel im Pol.

s ungerade ⇒ Vorzeichenwechsel im Pol.


Symmetrie:p(x)

q(x)= p(x) · 1

q(x)

p, q besitzen jeweils nur gerade Potenzen

⇒ p(x)

q(x)ist gerade

p, q besitzen jeweils nur ungerade Potenzen

⇒ p(x)

q(x)ist gerade

p besitzt nur gerade und q nur ungerade Potenzen oderumgekehrt

⇒ p(x)

q(x)ist ungerade

Nullstellen:

p(x)

q(x)= 0 (vollstandig gekurzt) ⇒ p(x) = 0


Asymptotisches Verhalten:

1.Fall: m < n, d.h.p(x)

q(x)ist echt gebrochenrational

x→ ±∞ ⇒ p(x)

q(x)→ 0

2.Fall: m ≥ n, Grad von r ist kleiner n

⇒ p(x)

q(x)= p(x) +

r(x)

q(x)⇒ p(x)

q(x)− p(x) =

r(x)

q(x)

x→ ±∞ ⇒ p(x)

q(x)−p(x)→ 0 ⇒ p(x)

q(x)→ p(x)

Asymptotisches Verhalten:

p(x)

q(x)besitzt das asymptotische Verhalten des durch

Polynomdivision abdividierten polynomialen Anteils p(x).


Beispiel:

-2 -1 1 2 3 4x

-20

-15

-10

-5

5

10

15

20

y

Funktionsgraph zup(x)

q(x)=x + 1

x2 − 1x + 1

x2 − 1=

x + 1

(x + 1)(x− 1)=

1

x− 1

Definitionsbereich: D = R\{−1, 1}x1 = −1: hebbare Definitionsluckex2 = 1: Pol der Ordnung 1 mit Vorzeichenwechsel

Symmetrie: keine

Nullstellen: keine

Asymptote: x→ ±∞ ⇒ x + 1

x2 − 1→ 0


Beispiel:

-4 -2 2 4x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

y

Funktionsgraph zup(x)

q(x)=x2 + 1

x

x2 + 1

x= x +

1

x

Definitionsbereich: D = R\{0}

x2 = 0: Pol der Ordnung 1 mit Vorzeichenwechsel

Symmetrie: ungerade Funktion

Nullstellen: keine

Asymptote: x→ ±∞ ⇒ x2 + 1

x→ x


Sinus- und Kosinusfunktion

Die Sinus-Funktion sin und die Kosinus-Funktion coslassen sich im Einheitskreis als die y-Koordinate bzw.die x-Koordinate der Punkte auf dem Einheitskreis wie-derfinden.

x-Achse

y-Achse

1

1

r = 1

α

cos(α)� -

sin(α)

6

? -

6

-��

�r


Wir geben den Winkel α immer im Bogenmaß an, derLange des Kreisbogens also, der durch den Winkel vomEinheitskreis abgetrennt wird, d.h. α ∈ [0, 2π).

-1 -0.5 0.5 1x

-1

-0.5

0.5

1

y

Einheitskreis r = 1

Dem Umfang 2π des Kreises entsprechen 360 ◦. Mit demDreisatz lassen sich Bogenmaß und das entsprechendeGradmaß ineinander umrechnen.

Der Satz des Pythagoras lautet:

cos2 α + sin2 α = 1, α ∈ [0, 2π).


Wertetabelle

α 0π

6

π

4

π

3

π

2

sin(α) 01

2

1

2

√2

1

2

√3 1

cos(α) 11

2

√3

1

2

√2

1

20

Beispiele fur cos2 α + sin2 α = 1

α = 0 ⇒ cos2 0 + sin2 0 = 12 + 02 = 1

α =π

6⇒

cos2(π

6

)+ sin2

(π6

)=

(√3

2

)2

+

(1

2

)2

=3

4+

1

4= 1


Daraus ergeben sich folgende Graphen der Sinus- undder Kosinusfunktion.

1 2 3 4 5 6x

-1

-0.5

0.5

1

y

Funktionsgraph sinα , α ∈ [0, 2π)

1 2 3 4 5 6x

-1

-0.5

0.5

1

y

Funktionsgraph cosα , α ∈ [0, 2π)


Eigenschaften von Sinus und Kosinus

• 2π-periodisch:

sin(x + 2π) = sin(x)

cos(x + 2π) = cos(x).

•Verschiebung

sin(x) = cos(x− π

2

),

cos(x) = sin(x +

π

2

).



•Definitionsbereich: D = R

•Wertebereich:

∀ x ∈ R : sin(x) ∈ [−1, 1], cos(x) ∈ [−1, 1].

•Nullstellen:

sin(kπ) = 0, k ∈ Z,

cos(

(2k + 1)π

2

)= 0, k ∈ Z.

• Symmetrie:

sin(−x) = − sin(x) ungerade Funktion,

cos(−x) = cos(x) gerade Funktion



•Reihenentwicklung:

cos(x) =

∞∑k=0

(−1)k

(2k)!x2k = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!· · · ,

sin(x) =

∞∑k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1 = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!· · ·

•Additionstheoreme:

sin2(x) + cos2(x) = 1,

sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x),

cos(x + y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y).


Tangensfunktion

Mit Hilfe des Strahlensatzes ergibt sich

x-Achse

y-Achse

1

1

α

cos(α)� -

sin(α)

6

?

tan(α)

6

? -

6

��

��

�r �r

sin(α)

cos(α)=:

tan(α)

1= tan(α)

und damit die Definition des Tangens.


Funktionsgraph der Tangensfunktion

-6 -4 -2 2 4 6x

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

y

tanx , x ∈ [−2π, 2π]


Eigenschaften der Tangensfunktion

•Definitionsbereich

Definitionslucken liegen in den Nullstellen von cosα

D = R\{x = (2k + 1)

π

2, k ∈ Z

}• π-periodisch: tan(x + π) = tan(x)

•Verhalten in den Definitionslucken:

x↗ (2k + 1)π

2⇒ tan(x) −→ +∞,

x↘ (2k + 1)π

2⇒ tan(x) −→ −∞

•Wertebereich tan(D) = R

• Symmetrie: ungerade Funktion

•Nullstellen

tan(x) = 0 ⇔ sin(x) = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z,

• tan(x) = 1 ⇔ sin(x) = cos(x) ⇔ x =π

4+ kπ.


Umkehrung trigonometrischer Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan besitzenauf dem entsprechenden Intervall, auf denen sie einein-deutig sind, die folgenden Umkehrfunktionen:

Erinnerung:

Den Graphen der Umkehrfunktionen erhalt man durchSpiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbie-renden.

arcsin : [−1, 1]→[−π

2,π

2

],

arccos : [−1, 1]→ [0, π] ,

arctan : R→(−π

2,π

2

).


Arkussinus

Der Sinus ist auf dem Intervall [−π/2, π/2] streng mo-noton wachsend und deshalb umkehrbar und besitztdort die streng monoton wachsende Umkehrfunktionarcsin.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

y = sinx , x ∈ [−π/2, π/2]

-1 -0.5 0.5 1y

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

x = arcsin y , y ∈ [−1, 1]


Arkussinus

Wichtige Werte der Umkehrfunktionen lassen sich mitHilfe der Funktionen selbst leicht berechnen:

Es ist arcsin(sin(x)) = x, also folgt beispielsweise

arcsin(0) = 0, denn 0 = sin(0),

arcsin(1) =π

2, denn 1 = sin

(π2

),

arcsin(−1) = −π2, denn − 1 = sin

(−π

2

)


Arkussinus

Der Arkussinus ordnet einer gegebenen Lange y, die denAbstand von der x-Achse zum Einheitskreis angibt, dieentsprechende Bogenlange arcsin(y) zu.

-1 -0.5 0.5 1x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

Einheitskreis

Analog:Der Arkuskosinus ordnet einer gegeben Lange x, die denAbstand von der y-Achse zum Einheitskreis angibt, dieentsprechende Bogenlange arccos(x) zu.


Arkuskosinus

Der Kosinus ist auf dem Intervall [0, π] streng mono-ton fallend und deshalb umkehrbar und besitzt dort diestreng monoton fallende Umkehrfunktion arccos.

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

y

y = cosx , x ∈ [0, π]

-1 -0.5 0.5 1y

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

x = arccos y , y ∈ [−1, 1]


Arkustangens

Der Tangens ist auf dem Intervall]−π

2 ,π2

[streng mono-

ton wachsend und deshalb umkehrbar und besitzt dortdie streng monoton wachsende Umkehrfunktion arctan.

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5x

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

y

y = tanx , x ∈]− π/2, π/2[

-10 -5 5 10y

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

x

x = arctan y , y ∈ R


Exponentialfunktion

Die Eulersche Zahl

e = 2, 7182818284590452353 . . .

wird als Basis der Exponentialfunktion exp verwendet:

exp(x) := ex .

Reihenentwicklung der Exponentialfunktion:

ex =

∞∑k=0

xk

k!= 1 +

x

1!+x2

2!+x3

3!+x4

4!+x5

5!· · ·

Langsam konvergente Darstellung:

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)n.


Exponentialfunktion

•Rechenregeln: x, y ∈ R

e0 = 1 ⇔ exp(0) = 1,

ex+y = ex · ey ⇔ exp(x + y) = exp(x) exp(y),

e−x =1

ex⇔ exp(−x) =

1

exp(x).

•Allgemeine Exponentialfunktion ax

Die Exponentialfunktion ax zur allgemeinen Basisa > 0 lasst sich mit Hilfe der Exponentialfunktionzur Basis e darstellen:

ax = exp(ln(ax)) = eln ax

= ex ln a .

Der naturliche Logarithmus ln ist dabei die Umkehr-funktion zu exp.


Eigenschaften der Exponentialfunktion


• positiv: ex > 0 , x ∈ R

• streng monoton wachsend:

(ex)′ = ex > 0 , x ∈ R

• limx→−∞

ex = 0 ∧ limx→∞

ex =∞

•wachst schneller als xn , n ∈ N

limx→∞

xn

ex= 0


Funktionsgraph der Exponentialfunktion

-4 -2 2 4x

1

2

3

4

y

expx , x ∈ R

10 20 30 40x

2·1015

4·1015

6·1015

8·1015

1·1016y

Wachstumsvergleich: x10 , ex , x ∈ R


Naturlicher Logarithmus

Die Exponentialfunktion

exp : R → R+

x 7→ exp(x)

ist auf ganz R streng monoton wachsend und besitzt

eine streng monoton wachsende Umkehrfunktion,

den naturlichen Logarithmus

ln : R+ → R

y 7→ ln(y)


Funktionsgraph des naturlichen Logarithmus

-4 -2 2 4x

1

2

3

4

y

ex = expx , x ∈ R

1 2 3 4y

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

ln y , y ∈ R+


Rechenregeln des naturlicher Logarithmus

Es gilt fur x ∈ R , y ∈ R+:

y = ex ⇔ x = ln y ,

x = elnx ∧ x = ln(ex) .

Aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion erge-ben sich folgende Eigenschaften fur deren Umkehrfunk-tion:

•Rechenregeln: x, y ∈ R+

ln(1) = 0,

ln(e) = 1,

ln(x) + ln(y) = ln(x · y),

ln(x)− ln(y) = ln

(x

y

),

ln(xa) = a ln(x)


Eigenschaften des naturlichen Logarithmus

•Definitionsbereich: D = R+

•Wertebereich: W = R

• streng monoton wachsend: x ∈ R+

y = lnx ⇔ x = ey

(lnx)′ =1

(ey)′=

1

ey=

1

x> 0

• limx→0+

lnx = −∞ ∧ limx→∞

lnx =∞

•wachst langsamer als xn , n ∈ N

limx→∞

lnx

xn= 0

• Logarithmus zur Basis a > 0, a 6= 1

Berechnung der Umkehrfunktion zu y = ax:

ln y = ln ax = x ln a ⇒ x =ln y

ln a=: loga(y)


Hyperbelfunktionen

Mit Hilfe der Exponentialfunktion werden die hyperbo-lischen Funktionen definiert:

• Sinus Hyperbolicus:

sinh : R → R

x 7→ sinh(x) :=1

2(ex − e−x)

-4 -2 2 4x

-40

-20

20

40

y

sinhx , x ∈ R


•Kosinus Hyperbolicus:

cosh : R → R

x 7→ cosh(x) :=1

2(ex + e−x)

-4 -2 2 4x

5

10

15

20

25

30

y

Kettenlinie: coshx , x ∈ R


• Tangens Hyperbolicus:

tanh : R → R

x 7→ tanh(x) :=sinh(x)

cosh(x)

-4 -2 2 4x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

tanhx , x ∈ R


Eigenschaften der Hyperbelfunktionen


• sinhx ist eine ungerade Funktion

• coshx ist eine gerade Funktion

•Additionstheorem:

cosh2 x− sinh2 x = 1 , x ∈ R

Beweis:

cosh2 x− sinh2 x

=

(1

2

(ex + e−x

))2

−(

1

2

(ex − e−x

))2

=1

4

((ex)2 + 2exe−x + (e−x)2 − ((ex)2 − 2exe−x + (e−x)2)

)=

1

4

(4exe−x

)= exe−x = ex−x = e0 = 1


Umkehrfunktion von Sinus Hyperbolicus

Area Sinus Hyperbolicus:

arsinh : R → Rx 7→ arsinh(x)

-40 -20 20 40x

-4

-2

2

4

y

arsinhx , x ∈ R

Durch Auflosen von

x = sinh y =1

2

(ey − e−y

)zunachst nach u = ey und dann nach y erhalt man

y = arsinh(x) = ln(x +√

1 + x2).


Umkehrfunktion von Kosinus Hyperbolicus

Area Kosinus Hyperbolicus:

arcosh : [1,∞[ → [0,∞[

x 7→ arcosh(x)

5 10 15 20 25 30x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

y

arcoshx , x ∈ [1,∞[

Durch Auflosen von

x = cosh y =1

2

(ey + e−y

)nach y erhalt man

y = arcosh(x) = ln(x +

√x2 − 1

).

Date post:	25-Oct-2019
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