Vielteilchenbeschreibung von Plasmen

Plasmen sind Vielteilchen-Systeme (GO 1020 Teilchen, langreichweitige Coulomb-Wechselwirkung)

Einzelteilchenbeschreibung nicht praktikabel

Führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen(BBGKY-Hierarchie)

Problem der statistischen Mechanik: Verteilungsfunktionen

Bsp.: ,,, 111 tvrf tvrvrf ,,,, 22112

Vielteilchenbeschreibung von Plasmen

...)3,2,1()2,1()3()3,1()2(

)3,2()1()3()2()1(,,,,,,)2,1()2()1(,,,,

)1(,,

11

11113322113

1122112

1111

hgfgfgfffftvrvrvrf

gfftvrvrfftvrf

Vereinfachung: Cluster-Entwicklung

Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation

Aber Vorsicht: in Plasmen langreichweitige Wechselwirkung!

Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße

1-Teilchen-Verteilungsfunktion

Dichte der Teilchen einer Sorte aus Verteilungsfunktion:

),,(ˆ),(),,( 1 tvrftrntvrf

Zahl der Teilchen im Phasenraum d3r d3v: vdrdtvrf 33),,(

Teilchenzahl-Erhaltung im System: 0),,( 33 vdrdtvrfdtd

Ohne Teilchenquellen und –senken im System folgt:

0),,( tvrfdtd

Einschub: Euler- und Lagrange-Bild

Euler: ortsfestes Koord.system

Lagrange:mitbewegtes System

fvtfv

zfv

yfv

xf

tf

dttrdf

zyx )())((

0

dtvdf

dtrdf

tf

dtdf

vr

1-Teilchen-Verteilungsfunktion

0),,( tvrfdtd

Aufspaltung der Wechselwirkung zwischen Teilchen in mittleres Feld und “Stoßterme”:

Stovr t

ffFfvtf

dtdf

BvEmqF

Kraft durch mittleres Feld (durch Plasmateilchen erzeugt bzw. extern):

Die Vlasov-Gleichung

0

fBvE

mqfv

tf

dtdf

vr

Keine Teilchenstöße:

v3

0

dfqEdiv

vdfqtE

cBrot 3

02 v1

0 ErottB

0Bdiv

Mittlere Felder aus:

Poisson-Gleichung:

Maxwell-Gleichungen: Stromdichte

Landau-Dämpfung

Elektrostatische Plasmaschwingungen in x-Richtung, Ionen unbeweglich

+

+

+

+

+

+

+

+

x

--

-

-

---

-

+

+

+

+

---

-

---

-

kleine Auslenkungen: f = f0 + f1

nur gestörtes E-Feld: E = E1

Störungsansatz:

001

11

xx v

fEme

xfv

tf

Ebene Wellen für Störgrößen: )(1

)(1

~,~ tkxitkxi effeEE

10

11 E

vf

kvmief

xxe

liefert:

Landau-Dämpfung

v3

0

dfqEdiv

E-Feld aus Poisson-Gleichung:

xdvfeikEdxdE

10

11

10

11 E

vf

kvmief

xxe

Mit und

folgt Dispersionsrelation xx

xp dvvkvf

kn

/

/1 02

0

2

e

epe m

ne

0

2

Für Maxwell-Verteilung:

31

21

322 22

831 Dk

D

pDp e

kik

Dämpfung ohne Stöße!

Prozess selbst ist stoßfrei, aber man braucht Stöße, um Verteilungsfunktion “wiederherzustellen”, Dämpfungsrate bleibt stoßfrei

Dämpfungsrate kann negativ werden -> Instabilitäten

Landau-Dämpfung

Anschauliches Beispiel für nichtlineare Landau-Dämpfung

Landau-Dämpfung

Experimentelle Verifikation

Malmberg, Wharton, PRL 1966

Betrachte Stöße zwischen 2 Stoßpartnern:

Die Boltzmann-Gleichung

Stotwf

)(

wwg

Gültigkeit beschränkt auf niedrige Dichte und kurzreichweitige Wewi (Neutralgas)

Kinetische Gleichung für Plasmen

Debye-Abschirmung:

)/(|)(|22111122112

21),(),(),;,( TkxxqU Bevxfvxfvxvxf

D

r

er

erU

1

4)(

0

Bewegungsgleichung für f2:

Fokker-Planck-Gleichung• In idealen (nicht schwach ionisieren) Plasmen Kleinwinkelstöße relevant, nicht „starke“ Söße• Wirkung der Stöße betrachtet als Abbremsung und langsame Diffusion im Geschwindigkeitsraum

Abbremsung durch Coulomb-Stöße

Abbremsen (statt Ablenken)

+

t

t

vv

22sin

2sin2 tt vv

t

t

vv

,

2cos

2

cos2

sin22

cos, ttt vvv

t

zt

vv ,

2sin

2sin2 2

, tzt vv

Abbremsung durch Coulomb-Stöße

Abbremsen (statt Ablenken)

20

22

,,1ln

4 gmneev

dtdmR

tb

tbt

tzttzt

i

+

Coulomb-Stöße: Energieaustausch

Rutherford-Streuformel:

2

222

2/sin21

ttvmdd

04

sin2

bteedd

Zahl der einströmenden Teilchen: dtdvndN ttt

d

vtdt2

0

22

,,1ln

4 gmneev

dtdmR

tb

tbt

tzttzt

i

0

,

ddtddNvm t

ztt

zttt

tttzt vdvm

vnmR ,

2

222

2/

, 2/sin21

min

tttt

dNvndtdi

...

Coulomb-Stöße: Energieaustausch

zttt

tttzt vdvm

vnmR ,

2

222

2/

, 2/sin21

min

)2/sin2(sin22/sin2

1 22

222

2/

,

min

t

tttttzt vd

vmvnmR

2/2/

2

2

22

2

,min

min

2/sinln42/sin

sin

tt

t

tt

tzt vm

ndvm

nR

lnln2/sinln90

2/

min bD

Coulomb-Stöße: Energieaustausch

2/2/

2

2

22

2

,min

min

2/sinln42/sin

sin

tt

t

tt

tzt vm

ndvm

nR

lnln2/sinln90

2/

min bD

220

22

, ln4 tt

tbtzt vm

neeR

Für endliche Masse der Hintergrundteilchen:

bt

btt mm

mmm

vt: Relativgeschwindigkeit

Abbremsung eines (thermischen) Teststrahls an Plasma

2,

2,

2,

2,

2,

11~11~,12~

11~,12~

thiitheeie

thiiii

theeei

theeee

vmvmR

vmR

vmR

vmR

• thermische Elektronen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: vth,e >> vth,i)• thermische Ionen bremsen gleichermaßen an Ionen und Elektronen ab (Bedingung: Ti~Te)

• kein Unterschied für Teststrahl überthermischer Elektronen• überthermische Ionen bremsen verstärkt an Elektronen ab, weil

2,

2,

1112

thiifastii vmvm

Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma

btb

bbv

tb

tbt

tzttzt vd

vvvf

mneev

dtdmR

t

i

)(ln4 2

0

22

,,

Abbremsung eines Teststrahls an Plasma

2,

2,

2,

2,

2,

11~11~,12~

11~,12~

thiitheeie

thiiii

theeei

theeee

vmvmR

vmR

vmR

vmR

Elektronenstrahl (mi/me=25) Ionenstrahl

Abbremsung eines Teststrahls im thermischen Plasma

Abbremsung an Ionen,Relativgeschwindigkeit

i

eethieiiith m

mvmTmTv ,, ~/~/~

Abbremsung an Elektronen

Abbremsung an Ionen

Abbremsung an Elektronen

Neben Abbremsung auch Ablenkung der Testteilchen

Abbremsung an Coulomb-Potential in Stoßterm der Fokker-Planck-Gleichung:

ibungvibungStoßt

fRe

Re,

fvfvtf ,

nDIm Ortsraum war früher:

Analog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum:

t

vvDfD ji

ijtvD

21,

�

Diffusion im GeschwindigkeitsraumAnalog zur Diffusion im Ortsraum nun anisotrope Diffusion im Geschwindigkeitsraum:

t

vvDfD ji

ijtvD

21,

�

FPvr CfBvEmqfv

tf

fDC vRvFP

�Fokker-Planck-Stoßterm:

Fokker-Planck-Gleichung:

Für Teststrahl, abgebremst am Hintergrundplasma:

222zyx vvv

Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung

Leichte Test-Teilchen:

• Impulsübertrag stark an schweren Hintergrundteilchen

• Abbremsung verbunden mit starkem Aufbau von Senkrechtenergie

Änderung von Parallel- und Senkrechtenergie bei Abbremsung

tb

b

mmm

WW

||Für große Geschwindigkeit des Test-Strahls:

• Kleine Masse der Testteilchen: Energie-und Impulsaustausch an Hintergrundteilchen• Große Masse der Testteilchen: Energie- aber kaum Impulsaustausch an Hintergrundteilchen

Diffusion im Geschwindigkeitsraum

q (Wärme ) (Teilchen)

ext. Heizung

Strahlung

f(u)

u

log f(u)

u ( eV )

1

0,1

0,01

Heizung

u

Winel.

inelastischeStöße

Bsp.: räumlich homogenes GG: f/ r=0 Inelatische Stöße, keine e-e-Stöße(geringer Ionisationsgrad!)

iiiiiiu uufuuuuufuu

urufruD

u)()()()()(),(,(

elastische Stöße

Ionisation

Strahlung

inelastische Stöße

Änderung der Verteilungsfunktion durch inelastische Stöße

Verteilungsfunktion für Ar-Plasma

Abweichung von Maxwell-Verteilung durch inelastische Stöße

Zusammenfassung

• Statistische Beschreibung von Plasmen mit Hilfe von Verteilungsfunktionen führt auf Hierarchie von Bewegungsgleichungen für Verteilungsfunktionen(BBGKY-Hierarchie)

• Vereinfachung: Cluster-Entwicklung Abbruch der Hierarchie an geeigneter Stelle, z.B. nach Zweier-Korrelation

Problem in Plasmen: langreichweitige Wechselwirkung!

Lösung: Aufspaltung in “mittleres Feld” und “Stöße

Stovr t

ffFfvtf

dtdf

Kinetische Gleichung:

stoßfrei 0

fBvE

mqfv

tf

dtdf

vr

Die Vlasov-Gleichung

trotzdem Dämpfung (Landau-Dämpfung)

Berücksichtigung von Stößen

Boltzmann-Gleichung: Zweier-Stöße berücksichtigt

v.a. geeignet für Neutralgase geringer Dichten

in Plasmen: - langreichweitige Wechselwirkung (Coulomb-Potential) - v.a. Kleinwinkelstöße relevant

Fokker-Planck-Gleichung:

Abbremsung und Diffusion im Geschwindigkeitsraum

Diffusion im GeschwindigkeitsraumZunächst: Diffusion im Ortsraum (schon früher behandelt)

Teilchenfluß durch Diffusionsansatz:

xxnD

xtn

)(, falls für t=0 - Funktion in x erhält man

Gauß-Verteilung:

Dtx

eDt

Ntxn 4

2

4),(

t

xD

2

21

Einschub: Euler- und Lagrange-Bild in Hydrodynamik

vvtv

vzvv

yvv

xv

tv

dttrdv

zi

yi

xiii

)())((

Mit Kraftdichte zerlegt in externen Anteil und Kraftdichte durch benachbarte Massenelemente, folgt Euler-Gleichung:

extkpvvtv

Änderung des Bewegungszustandes ohne Kraft möglich, aber auch Stationarität trotz Kraft

Beispiele