Vermischungsvorgänge

Modellierung der Wasserqualität in Fliessgewässern

W. Kinzelbach, O. CirpkaSS 06

Molekulare Diffusion (1)

– Angetrieben durch Brownsche Molekularbewegung

– Nur wichtig in Grenzschichten und bei Transport über sehr kleine Distanzen

– Beschreibung durch das Fick‘sche Gesetz

– Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung

– Diffusionsgleichung

– Diffusionskonstante ist Produkt aus mittlerer molekularer Geschwindigkeit und mittlerer freier Weglänge

Diffusion mJ D c

Diffusion

cJ

t

mD ul

m

cD c

t

(+ Anfangs- und Randbedingungen)

Molekulare Diffusion (2)

• Asymptotik – Wachstum der Verteilungsbreite proportional– Nach Einstein: Molekulare Diffusion ist Random

Walk Prozess– Z. B. in 1D entlang x-Achse: Schrittweite L in Zeit ,

N Schritte in Zeit t (N = t/)

t

Beweis durch vollständige Induktion.Aus Richtigkeit für N folgere Richtigkeit für N+1

2 2 2( ) m

t LR t NL L L t D t

x

Turbulente Diffusion (1)

• Angetrieben durch Turbulenz (Wirbel)

– Taylor‘s Theorie der turbulenten Diffusion (im mitbewegten Koordinatensystem d.h. <u>=0)

.Total turb DiffusionJ u c u c J u c

21 2 1 2

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )t t t

x t u dt x t u u d d

u u u c c c

Ensemblemittel2

1 2 1 2

0 0

( ) ( ) ( )t t

x t u u d d

Turbulente Diffusion (2)

• Lagrange‘sche Autokorrelationsfunktion für stationäre Turbulenz

2 12 1 2 1 2

( ) ( )( , ) ( )

(0)x x

u uR R

u

0

( )L xT R d

1

R()

Lagrangesche Zeitskala

2 22 1 1 2

0 0

( ) ( )t t

xx t u R d d Ersetze s = 2 - 1, = (1 + 2)/2

2 2

0

( ) 2 ( ) ( )t

xx t u t s R s ds Analog für 2 2,y z

Turbulente Diffusion (3)

• Grenzbetrachtungen– Für sehr kleine t ist Rx ungefähr 1

also kein Diffusionsprozess da proportional zu t2

– Für sehr grosse t (t > TL)

– Turbulenter Diffusionskoeffizient

2 2 2( )x t u t

2 2( ) 2 Lx t u tT const

2 21( )

2x L

dx t u T

dt

Turbulente Diffusion (4)

• Zwischen beiden Zeitskalen Richardson/Batchelor– Betrachte relative Diffusion bezüglich Schwerpunkt

22 3 2 2/3( )xx x

dt

dt

24/31

2x

x x

d

dt

4/3-Gesetz empirisch bestätigt in „grossen“ StrömungenUrsache: Energiedichtespektrum der Wirbel, die Energie von grosser zu kleiner Skala transportieren

Turbulente Diffusion (5)

• Drei Ausbreitungsstadien

(1) Differentielle Advektion

(2) Zwischenbereich

(3) Asymptotische Fick‘sche Diffusion

t 3/ 2t 1/ 2t

Formeln für die turbulente Diffusion (1)

Vertikale turbulente Mischung im breiten Fluss

z‘

z

zb

))ln(1(*h

zuuu

Log-Profil:

z

u

dz

duturbturb

1*

Reynoldsanalogie )()1( * zhuh

z

h

zz

turb

Mittelung von turb über die Tiefe und = 0.4 liefert

Karmankonstante

00

* ghIu

*067.0 huz

d.h. Annahme der Analogie zwischen turbulentem Impulstransport und turbulentem Transport des gelösten Stoffes

mit und)/1(0 hz

Formeln für die turbulente Diffusion (2)

Transversale turbulente Mischung

Empirischer Ansatz in Analogie zur vertikalen Mischung

**huy

mit * = 0.2 ... 0.8 Fischer * = 0.6

Dispersion in scherenden Strömungen

• Laminarer Fall: Taylor (2D Strömung zw. Platten, Breiteneinheit)

0

1 b

c c dyb

b

yx

Transformation ins mitbewegte KoordinatensystemVernachlässigung des longitudinalen DiffusionstermsAnnahme: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und lateraler Diffusion

2

2m

c cu D

y

0

1 b

u u dyb

Reynolds-Zerlegung

in Zeitbei turb. Diffusion

im Raumbei Dispersion

Lösung

y y

m

cdyydyux

c

Dyc

0 0

)0()(1

)(

x

cbD

dyydydyuyux

c

DdycuM

x

y yb

m

b

0 000

)()(1

Einsetzen liefert den Massenfluss über den Querschnitt

Identifikation mit einem Fluss-Gradienten-Gesetz liefert die Definitiondes Dispersionskoeffizienten Dx

Analog: Herleitung des Dispersionskoeffizienten in turbulenter Strömung

• Ausgangspunkt: Gleichgewicht zwischen longitudinaler differentieller Advektion und transversaler turbulenter Diffusion

• Im mitbewegten Koordinatensystem = x – ut gilt:

z

c

zy

c

y

cu zy

Sowohl vertikales u‘-Profil als auch horizontales u‘-Profil wirken bei der Längsdispersion mit. I. Allg. ist das Querprofil wichtiger, da das log. Tiefenprofil ausgeglichener ist. Gleichung (*) wird deshalb tiefengemittelt

y

cyh

yyh

cu y

)()(

1

(*)

Lösung• Zweimalige Integration über y von 0 bis y liefert

• Daraus folgt der dispersive Massenfluss

• und durch Vergleich mit der Fluss-Gradienten-Form der Dispersionskoeffizient Dx

y y

y

ydydyuyhyyh

cyc

0 0

)()()()(

1)(

x

cAD

dyydydyuyhyyh

yuyhc

dycuyhM

x

y y

y

b

b

0 00

0

)()()()(

1)()(

)(

(**)

Formeln für die Dispersion

• Formel von Fischer (aus (**) formal durch Einsetzen von konstanter Tiefe)

u‘ aus gemessenen Profilen

• Näherungsformel für (***)

• Werte für den Rhein: Dx = 100 – 1000 m2/s

yb y

yx dyydydyu

yyu

bD

00 0

)()(

1)(

1

2

2

22

*

2 2

*

0.490.07

0.490.07 0.2

0.6

0.011

x

y

bD u

bu

hu

u b

hu

(***)

Analytische Lösungen der Transportgleichung (1)

• Momentaner Tracerstoss

• Permanente Tracereinleitung

• Tracerstoss der Dauer t

)exp(4

)(exp

2),(

2

ttD

utx

tD

Mtxc

xx

momentan

xxxxxpermanent D

ux

tD

utxerfc

D

ux

tD

utxerfc

D

uxctxc

2exp

42exp

42exp

2),( 0

20 /41 uD

uA

Mc x

),(),( ttxctxc permanentpermanent

Analytische Lösungen der Transportgleichung (2)

• Stationäre Lösung ( t gegen unendlich in cpermanent)

• Für x > 0:

• Für x < 0:

• Anwendung: Bestimmung des Dispersionskoeffizienten in einem gut durchmischten Ästuar aus Salinitätsverteilung ( = 0)

xx D

ux

c

c

D

uxcc )ln()exp(

00

Meerc = c0

x > 0

Ästuarc < c0

x > 0

x = 0

)1(

2exp)( 0

xD

xucxc

)1(

2exp)( 0

xD

xucxc „Upstream“ Dispersion

Analytische Lösungen der Transportgleichung (3)

• Stationäre Lösung für Fahne in Ufernähe

• Approximation falls:

• Fahnenbreite

Methode zur Messung von y im Tracerversuch

2/122

0 )(22

exp2

2),( yx

uK

ux

h

Myxc

y

x

xxyx

K0 ist eine Besselfunktion)

x

cu

x

cx

2

2

)(2exp)(

2

4exp

2

2),(

2

22

x

y

xuh

qc

x

uy

uxh

Myxc in

yy

u

xx y 2)(

u

y

x

x)

uxx y /2)( 20

2

Falls Anfangsbreite >0

Probleme der 1D-Behandlung

• 1D-Modell in natürlichen Flüssen oft nicht bestätigt, Totwasserzonen!!

• Ausweg: Heterogenes Modell (2 Transportgleichungen)

• Anwendbarkeit des 1D-Modells erst nach Fliesslänge L mit

*

28.1

u

u

r

bL

hy

u < 0

u = 0

Hauptfluss

Totwasser

Tiefenmischung in Seen

• Tiefenmischung in Seen wird behindert durch stabile Dichteschichtung

• Dichteschichtungen kommen zustande durch:– Temperaturgradienten– Salinitätsgradienten

• Stabile Schichtung:

• Stabil bedeutet: Wasserpaket kehrt nach Auslenkung in die Ausgangslage zurück

gerechnetuntennachTiefealsKoordinatezdz

d 0

Stabilitätsfrequenz (1)

• Infinitesimale Auslenkung eines Wasserpakets mit Masse m, Volumen V um Strecke führt zu Auftriebskraft:

• Das Wasserpaket schwingt mit der Frequenz N (T = 2/N) • N heisst Stabilitätsfrequenz (oder Brunt–Väisälä-Frequenz)

22

2

2

2

..

Ndz

dg

dt

d

orgVdz

d

dt

dm

glBewegschenNewtoineingesetztgVdz

dKa

z

Stabilitätsfrequenz (2)

• Bei negativem N ist die Schichtung instabil• Der vertikale Mischungskoeffizient ist ein Funktion von N• Falls auch die Salinität an der Dichteverteilung über die Tiefe

beteiligt ist, gilt:

• Berücksichtigt man die Abhängigkeit der Dichte vom Druck, so muss die potentielle Temperatur statt der tatsächlichen Temperatur T betrachtet werden, d.h. die um den adiabatischen Temperaturverlauf bereinigte Temperaturverteilung (erst im tiefen Ozean wichtig)

dSdTdSdS

ddT

dT

dd

Vertikale turbulente Vermischung

• Turbulente Vermischung wirkt der stabilen Schichtung entgegen

• Instabile Schichtung erzeugt konvektive Turbulenz und damit Vermischung

• Bezogen auf die Masse

• N2 < 0 Turbulenz wird angefacht, N2 > 0 Turbulenz wird gedämpft

dz

dgK

dt

dEz

pot

21NK

dz

dgK

dt

dEzz

pot

Charakteristische dimensionslose Zahl

• Gradienten-Richardson-Zahl:• Vergleicht die relative Wichtigkeit von Turbulenz und Stratifikation

• Definition:

2

2

zu

NRi

Stratifikation

Produktion von Turbulenz

Vertikaler Vermischungskoeffizient

• Empirische Ansätze haben die Form:

• Messung von z aus Spurenstoffprofilen (z. B. Radon) oder Temperaturprofilen

bz Na )( 2