Analytische Geometrie 1Cusanus-Gymnasium Wittlich
Ein Vektor ist eine Pfeilgröße, die durch
zwei Eigenschaften charakterisiert ist :
x�
x�
besitzt einen Betrag (eine Länge)
x�
1.
2. besitzt eine Richtung
Vektoren werden oft durch Pfeile dargestellt:
b�
a� c
�
Definition:
Analytische Geometrie 1Cusanus-Gymnasium Wittlich
1F��
2F���
3F���
P
Gleichgewicht der Kräfte : (P ist in Ruhe)
2F���
3F���
und müssen zusammen die Kraft kompensieren
1F��
Beispiele für Vektoren : Kraftvektoren
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1v���
2v���
rv���
1v���
2v���
Geschwindigkeit relativ zum Wasser
Strömungsgeschwindigkeit relativ zum Grund
Beispiele für Vektoren : Geschwindigkeitsvektoren
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1v���
2v���
rv���
1v���
Geschwindigkeit des Achters relativ zum Wasser
2v���
Strömungsgeschwindigkeit des Flusses relativ zum Land
2v���
Rudern gegen die Strömung
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a�
b�
(a b) a b Richt(a) Richt(b)= ⇔ = ∧ =� � � � � �
Zwei Vektoren sind gleich,wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen:
c�
Definition: Gleichheit von Vektoren
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1. Die Summe zweier (bzw. mehrerer) Vektoren ist wieder ein Vektor :
a cb+ =� � �
2. Den Summenvektor finde ich mit der Parallelogrammregel :
a� b
� a�
a b+� �
b�
Definition: Addition von Vektoren
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2. Die Differenz wird als Summe mit demGegenvektor des Subtrahenden definiert:
1. Die Differenz zweier (bzw. mehrerer) Vektoren ist wieder ein Vektor :
a db− =� � �
a�
b�
a�
a b+� �
b�
a (ab )b− = + −� �� �
b−�
a b−� �
Definition: Subtraktion von Vektoren
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1. Die Differenz zweier (bzw. mehrerer) Vektoren kann einen Vektor mit der Länge 0 ergeben, den so genannten Nullvektor:
( )a a 0a a− = + − =� � � � �
a�
Die Richtung des Nullvektors ist dabei beliebig !
a−�
Definition: Der Nullvektor
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für alle Veka a tor ,bb en ab+ = +� � �� � �
a�
a b+� �
b�
b�
a�
Kommutativgesetz der Addition
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( ) ( ) für alla e Vektoren ac ,ab bc ,b c+ + = + +�� �� � � �� � �
a� b
�
c�
a�
b�
c�
(a b) c+ +� � �
a� b
�
c�
a (b c)+ +� � �
Assoziativgesetz der Addition
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( b) ( c) a a b c− + − + = − −� � � � � �
HB =����
a�
c�
b�
A
FE
D
B
C
GH
GE =����
( b) ( a) a b (a b)− + − = − − = − +� � � � � �
Drücke den Vektor bzw. als Summe mit den
Vektoren aus:
HB����
a,b,c� � �
GE����
Übung 1
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Drücke die Vektoren jeweils als Summe mit
den Vektoren aus:
HE, GE , HB���� ���� ����
a,b,c� � �
( c) b b ( c) b c− + = + − = −� � � � � �
HE =����
GF FE+ =���� ����
b c ( a) a b c− + − = − + −� � � � � �
H
a�
c�
b�
A
FE
D
B
C
GGF =����
GE =����
HB =����
HG GF FB+ + =���� ���� ����
a (b c) (a b)+ − + − =� � � � �
2 a ( c) 2 a c⋅ + − = ⋅ −� � � �
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a�
c�
b�
B
Mit etwas Übung kann man das Ergebnis
direkt sehen :
HB 2 a c= ⋅ −���� � �
H
c−�
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Drücke den Vektor bzw. als Summe mit den
Vektoren aus:
CB����
a,b,c� � �
AM����
M
A
C
Ba�
b�
CB =����
AM =����
a b−� �
1b CB2
+� ����
1b (a b)2
= + −� � �
1 1a b2 2
= +� �
Analytische Geometrie 1Cusanus-Gymnasium WittlichDrücke die Vektoren als Linearkombination mit den
Vektoren aus:
a b− =� �
a b,� ��
b�
a�
BA
C
DE
FM
ED =����
ME =����
DA =����
CD =����
FD =����
b1a2
=− −� �
1a2
�
b 1a2
−� �
2b−�
ME =����
b 1a2
−� �
1a2
b+� �
FB =����
EC���� 1( a
2b)− + =
� �
DF =����
CA����
