Thomas Röser Wachstums- prozesse und Logarithmus · DOWNLOAD Thomas Röser Bergedorfer...

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Potenzen – Trigonometrie – Körperberechnungen – Stochastik

StationenlernenMathematik 10. Klasse

Bergedorfer Lernstationen

Thomas Röser

Wachstums-prozesse und LogarithmusStationenlernen Mathematik 10. Klasse

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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1Thomas Röser: Wachstumsprozesse und Logarithmus© Persen Verlag

1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?

Vorwort

I – Theorie: Zum Stationenlernen


Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Ri-sikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multiop-tionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3. Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verste-hen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderun-gen wirken sich zwangsläufig auch auf die Institu-tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich der Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie der indivi-duellen Lernwege feststellen. Darüber hinaus legt beispielsweise das Schulgesetz Nordrhein-West-falen im § 1 fest, dass: „Jeder junge Mensch […] ohne Rücksicht auf seine wirtschaftliche Lage und Herkunft und sein Geschlecht ein Recht auf schuli-sche Bildung, Erziehung und individuelle Förde-rung“ hat. Das klingt nach einem hehren Ziel – die Frage ist nur, wie wir dieses Ziel erreichen können?

Ich möchte an dieser Stelle festhalten, dass es nach meiner Einschätzung nicht das pädagogische Allheilmittel gibt, welches wir nur einsetzen müss-ten und damit wären alle (pädagogischen) Pro-bleme gelöst – trotz alledem möchte ich an dieser Stelle die Methode des Stationenlernens präsen-tieren, da diese der Individualisierung Rechnung tragen kann.

Merkmale des Stationenlernens

„‚Lernen an Stationen‘ bezeichnet die Arbeit mit ei-nem aus verschiedenen Stationen zusammenge-setzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro-blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser

1 Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere Moderne. Berlin 1986.

2 Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In: Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich? – Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S. 105–127.

3 Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992.

4 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4.

Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Je-dem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) an-ders geartete organisatorische Struktur inne. In den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an Stationen und Stationenlernen synonym verwen-det. Hiervon werden die Lernstraße oder der Lern-zirkel unterschieden. Bei diesen beiden Varianten werden in der Regel eine festgelegte Reihenfolge sowie die Vollständigkeit des Durchlaufs aller Sta-tionen verlangt. Daraus ergibt sich zwangsläufig (rein organisatorisch) auch eine festgelegte Ar-beitszeit an der jeweiligen Station. Eine weitere Unterscheidung bietet die Lerntheke, an welcher sich die Schülerinnen und Schüler mit Material be-dienen können, um anschließend wieder (meist ei-genständig) an ihren regulären Plätzen zu arbei-ten.

Von diesen Formen soll das Lernen an Stationen bzw. das Stationenlernen abgegrenzt werden. Diese Unterrichtsmethode ist hier zu verstehen als ein unterrichtliches Verfahren, bei dem der unter-richtliche Gegenstand so aufgefächert wird, dass die einzelnen Stationen unabhängig voneinander bearbeitet werden können – die Schülerinnen und Schüler können die Reihenfolge der Stationen so-mit eigenständig bestimmen; sie allein entschei-den, wann sie welche Station bearbeiten wollen. Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbst-ständig und eigenverantwortlich (bei meist vorge-gebener Sozialform, welche sich aus der Aufga-benstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstati-onen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zu-satzstationen angeboten, die nach individuellem Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt werden können.

Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes in unterschiedliche Schwerpunkte und der Untertei-lung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen un-terschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch hier wäre eine weitere schülerspezifischere Diffe-renzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/einer Karikatur und drittens über ein akustisches

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Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei wählen, welchen Materialzugang sie verwenden möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu be-arbeiten.

Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich, dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des of-fenen Unterrichtes ist.

Ursprung des Stationenlernens

Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ur-sprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit trai-ning“, von Morgan und Adamson 1952 in England entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern un-terschiedliche Übungsstationen zur Verfügung, welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen. Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu ihren gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift „Grund-schule“ 1989 publizierte.5

Der Ablauf des Stationenlernens

Für die Gestaltung und Konzeption eines Statio-nenlernens ist es entscheidend, dass sich der un-terrichtliche Gegenstand in verschiedene Teilas-pekte aufschlüsseln lässt, die in ihrer zu bearbei-tenden Reihenfolge unabhängig voneinander sind. Damit darf jedoch die abschließende Bündelung nicht unterschlagen werden. Es bietet sich daher an, eine übergeordnete Problematik oder Frage-stellung an den Anfang zu stellen, welche zum Ab-schluss (dieser ist von der methodischen Reflexion zu unterscheiden) erneut aufgegriffen wird.

Der eigentliche Ablauf lässt sich in der Regel in vier Phasen unterteilen: 1. Die thematische und methodische Hinführung – hier wird den Schülerin-nen und Schülern einerseits eine inhaltliche Orien-tierung geboten und andererseits der Ablauf des Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile, aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Über-blick über die eigentlichen Stationen – dieser Über-blick sollte ohne Hinweise der Lehrperson aus-kommen. Rein organisatorisch macht es daher Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Ler-nenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzu-gestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeits-phase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Ler-

5 Vgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule, Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff.

nen an den Stationen. In dieser Phase können – je nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche statt-finden. Zur weiteren Orientierung während der Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä. verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf und geben den Lernenden eine individuelle Über-sicht über die bereits bearbeiteten und noch zur Verfügung stehenden Stationen. Bei einem sol-chen Laufzettel sollte auch eine Spalte für weitere Kommentare, welche später die Reflexion unter-stützen können, Platz finden. Darüber hinaus kann von den Schülerinnen und Schülern ein Arbeits-journal, ein Portfolio oder auch eine Dokumenten-mappe geführt werden, um Arbeitsergebnisse zu sichern und den Arbeitsprozess reflektierend zu begleiten. Ein zuvor ausgearbeitetes Hilfesystem kann den Ablauf zusätzlich unterstützen, indem Lernende an geeigneter Stelle Hilfe anbieten oder einfordern können. Am Ende schließt sich 4. eine Reflexionsphase (auf inhaltlicher und methodi-scher Ebene) an.

Die Rolle der Lehrkraft beim Stationenlernen

Als allererstes ist die Lehrperson – wie bei fast al-len anderen Unterrichtsmethoden auch – „Organi-sator und Berater von Lernprozessen“6. Sie stellt ein von den Lernenden zu bearbeitendes Material- und Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich wäh-rend des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt. Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten und aus der Diagnose Rückschlüsse für die wei-tere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund. Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lern-geschehen.“7

Vor- und Nachteile des Stationenlernens

Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lern-prozess und können somit (langfristig!) selbst-sicherer und eigenständiger im, aber auch außer-halb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigen-verantwortung bei zurückgenommener Anleitung

6 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6.7 Ebenda.

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durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Über-forderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielge-richtet begegnet werden, sei es durch die schon erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spä-tere) Kontrolle der Ergebnisse.

Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeu-tig in der Individualisierung des Unterrichtsgesche-hens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitauf-wand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen werden. Die Schülerinnen und Schüler können da-mit die ihnen gerade angemessen erscheinende Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfah-ren und reflektieren. Damit kann eine heterogene Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich unterrichtet werden, ohne dass die Lernwege vereinheitlicht werden müssen.“8

Stationenlernen – Ein kurzes Fazit

Innerhalb der unterschiedlichen Fachdidaktiken herrscht seit Jahren ein Konsens darüber, dass sich das Lehr-Lern-Angebot der Schule verändern muss. Rein kognitive Wissensvermittlung im Sinne des „Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt und wi-derspricht allen aktuellen Erkenntnissen der Lern-psychologie. Eigenverantwortliches, selbstgestal-tetes und kooperatives Lernen sind die zentralen Ziele der Pädagogik des neuen Jahrtausends. Eine mögliche Variante, diesen Forderungen nachzu-kommen, bietet das Stationenlernen. Warum?

Stationenlernen ermöglicht u. a.:

1. Binnendifferenzierung und individuelle Förde-rung, indem unterschiedliche Schwierigkeits-grade angesetzt werden. Gleichzeitig können die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompe-tenzen im Bereich der Arbeitsorganisation aus-bauen.

2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, so-dass neben Fachkompetenzen auch Sozial-, Methoden- und Handlungskompetenzen geför-dert werden können.

Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Sta-tionenlernen in allen Unterrichtsfächern durchfüh-ren. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassen-stufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten – wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu

8 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6.

erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurch-führung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch, dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine Bedingungsanalyse unerlässlich ist!

Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch – als allererstes Platz: Es muss möglich sein, jeder Station einen festen (Arbeits-) Platz zuzuweisen. Die Lehrkraft benötigt darüber hinaus für die Vor-bereitung im ersten Moment mehr Zeit – sie muss alle notwendigen Materialien in ausreichender An-zahl zur Verfügung stellen und das heißt vor allem: Sie benötigt Zeit für das Kopieren! Für den weite-ren Ablauf ist es sinnvoll, Funktionsaufgaben an die Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine Schülerin oder je ein Schüler für eine Station die Verantwortung übernehmen: Sie/er muss dafür Sorge tragen, dass immer ausreichend Materialien bereit liegen.

Wichtiger jedoch ist die Grundeinstellung der Schülerinnen und Schüler selbst: Viele Lernende wurden regelmäßig mit lehrerzentriertem Frontal-unterricht „unterhalten“ – die Reaktionen der Schü-lerinnen und Schüler werden sehr unterschiedlich sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigen-verantwortung freuen, eine andere wird damit maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich ver-weigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden (schrittweise) an offenere Unterrichtsformen her-anzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies muss nicht zwingend ausschließlich in einem be-stimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernpro-zess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich ver-standen werden! Absprachen zwischen den Kolle-ginnen und Kollegen sind somit auch hier uner-lässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch wieder das gesamte Kollegium davon profitieren.

2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 10

Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungs-standards im Fach Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen von individuellen Lösungswegen, das Analysieren von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwen-den von Formeln, Rechengesetzen und Rechenre-geln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit für das weitere Lernen und dem Einbezug in mög-lichst unterschiedliche kontextbezogene Situatio-

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2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik

nen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringen-des und kreatives Betätigungsfeld erleben“9.

Dabei sind folgende sechs allgemeine mathemati-sche Kompetenzen Grundlage jeder Planung und unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen han-deln es sich um:

� mathematisch argumentieren � Probleme mathematisch lösen � mathematisch modellieren � mathematische Darstellungen verwenden � mit symbolischen, formalen und technischen

Elementen der Mathematik umgehen � kommunizieren

Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren und mit ei-ner der fünf folgenden mathematischen Leitideen in Einklang zu bringen:

� Zahl � Messen � Raum und Form � funktionaler Zusammenhang � Daten und Zufall

Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum Stationenlernen – die Schüler der 10. Klasse – müssen folgende inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Berücksichtigung finden:

� Die Vorstellung von reellen Zahlen entspre-chend der Verwendungsnotwendigkeit

� Die sichere Anwendung der Grundrechenarten, des Quadrierens und Wurzelziehens im Zahlbe-reich der rationalen und reellen Zahlen

� Die Umformungsübungen zu Termen, insbe-sondere für den Zahlbereich der reellen Zahlen

� Die Äquivalenzumformungen bei Gleichungen und Ungleichungen, insbesondere bei der rech-nerischen Lösung von linearen Gleichungssys-temen

� Das Nutzen des Zusammenhangs von Rechen-operationen, deren Umkehrung sowie Kontroll-mechanismen

� Das mathematische Lösen von Sachaufgaben, deren Kontrolle sowie das Beschreiben von Lö-sungswegen und deren Begründung

� Die Selbstformulierung mathematischer Prob-leme, deren sachgerechte Lösung und die Inter-pretation von Ergebnisse in Sachsituationen

9 Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsab-schluss, Carl Link Verlag, S. 6.

� Das Umrechnen von Größen, Maßstäben und Streckenverhältnissen sowie deren situations-gemäße Anwendung

� Das Beschreiben und Begründen von Eigen-schaften und Beziehungen geometrischer Ob-jekte

� Die Analyse von Sachzusammenhängen durch Maßangaben und Messungen, deren Berech-nung und Interpretation von Ergebnis und Weg

� Das Berechnen von Streckenlängen und Win-kelgrößen, insbesondere bei der Nutzung trigo-nometrischer Beziehungen

� Das Zeichnen und Konstruieren geometrischer Figuren mit entsprechenden Hilfsmitteln

� Das Berechnen von Oberfläche, Mantel und Vo-lumen bei Pyramide, Kegel, Kugel und Stümp-fen

� Das Anwenden von Funktionen, insbesondere Exponentialfunktionen und Logarithmus, zur Lösung von Problemen

� Der Einsatz der Winkelfunktionen zum Be-schreiben und Lösen von Sachsituationen

� Die Verwendung von Funktionen zur Beschrei-bung von Wachstumsprozessen

� Das Auswerten von Tabellen statistischer Erhe-bungen

� Die Anwendung von mehrstufigen Zufallsexpe-rimenten

� Der Einsatz statistischer Kenngrößen, Permuta-tionen und Variationen zum Beschreiben von Sachzusammenhängen

� Das Beschreiben von Wahrscheinlichkeiten bei Experimenten

Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teil-aspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Inner-halb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen austauschbar und von daher effektiv mithilfe des Stationenlernens umzusetzen.

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II – Praxis: Materialbeiträge

II – Praxis: Materialbeiträge

In diesem Band werden sechs ausgearbeitete Sta-tionenlernen präsentiert. All diese Stationenlernen ergeben sich i. d. R. aus den Unterrichtsvorgaben für die Klassenstufe 10. Alle Stationenlernen sind so konzipiert, dass diese ohne weitere Vorberei-tung im Unterricht der weiterführenden Schulen eingesetzt werden können – trotz alledem sollte eine adäquate Bedingungsanalyse niemals aus-bleiben, denn letztendlich gleicht keine Lerngruppe einer anderen!

Die hier präsentierten Stationenlernen sind immer in Pflichtstationen (Station 1, 2, 3 …) und fakulta-tive Zusatzstationen (Zusatzstation A, B …) unter-teilt – die zu bearbeitende Reihenfolge ist durch die Schülerinnen und Schüler (!) frei wählbar. Die So-zialformen sind bewusst offen gehalten worden, d. h. i. d. R. finden sich auf den Aufgabenblättern keine konkreten Hinweise zur geforderten Grup-pengröße.

Somit können die Lernenden auch hier frei wählen, ob sie die Aufgaben alleine, mit einem Partner oder innerhalb einer Gruppe bearbeiten wollen – davon abgesehen sollte jedoch keine Gruppe größer als vier Personen sein, da eine größere Mitgliederzahl den Arbeitsprozess i. d. R. eher behindert. Einige wenige Stationen sind jedoch auch so konzipiert worden, dass mindestens eine Partnerarbeit sinn-voll ist.

Zur Bearbeitung sollte für jede Schülerin bzw. je-den Schüler ein Materialblatt bereitliegen – die Aufgabenblätter hingegen sind nur vor Ort (am Stationenarbeitsplatz) auszulegen. Die Laufzettel dienen als Übersicht für die Schülerinnen und Schüler – hier können diese abhaken, welche Sta-tionen sie wann bearbeitet haben und welche ih-nen somit noch fehlen, gleichzeitig erhalten sie hierbei einen kleinen inhaltlichen Überblick über alle Stationen – andererseits kann die Lehrkraft diese als erste Hinweise zur Arbeitsleistung der Lernenden nutzen. Darüber hinaus können die

Schülerinnen und Schüler auf ihrem Laufzettel auch weiterführende Hinweise und Kommentare zum Stationenlernen an sich, zur Arbeitsgestal-tung o. Ä. vermerken – nach meiner Erfahrung wird diese Möglichkeit eher selten genutzt, kann dann jedoch sehr aufschlussreich sein! Unverzichtbar für jedes Stationenlernen ist eine abschließende Bündelung zum Wiederholen und Bündeln der zentralen Lerninhalte – auch hierfür wird jeweils eine Idee, welche sich aus den einzelnen Statio-nen ergibt, präsentiert. Mithilfe dieser Bündelung sollen noch einmal einzelne Ergebnisse rekapitu-liert, angewendet und überprüft werden. In diesem Band werden die folgenden Stationenlernen prä-sentiert:

1. Basiswissen Mathematik2. Potenzen und deren Funktionen3. Trigonometrie und deren Funktionen4. Wachstumsprozesse und Logarithmus5. Körperberechnungen (Pyramide, Kegel, Kugel,

Stümpfe)6. Wahrscheinlichkeit

Jedes dieser Stationenlernen beginnt mit einem Laufzettel.

Anschließend werden die jeweiligen Stationen

(Pflichtstationen und Zusatzstationen) mit jeweils einem Aufgabenblatt sowie einem Materialblatt präsentiert. Zu guter Letzt wird das Stationenler-nen mit einem Aufgaben- und Materialblatt für die Bündelungsaufgabe abgerundet.

Sinnvoll ist es, wenn jede Station einen festen Platz im Raum erhält. Dies erleichtert es vor allem den Schülerinnen und Schülern, sich zu orientie-ren. Um dies noch mehr zu vereinfachen, haben sich Stationsschilder bewährt. Auf diesen sollte mindestens die Stationsnummer vermerkt werden.

Fakultativ könnte auch der Stationsname vermerkt werden.

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4. Wachstumsprozesse und Logarithmus

Laufzettel

zum Stationenlernen Wachstumsprozesse und Logarithmus

Kommentare:

Station 1

Lineares Wachstum/Lineare Abnahme

Station 2

ExponentiellesWachstum

Station 3

ExponentielleAbnahme

Station 4

Exponentialfunktion

Station 5

Logarithmus

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GemischteSachaufgaben

Zusatzstation A

Zinseszinsrechnung –Regelmäßige

Zahlungen

Zusatzstation B

ArithmetischeFolgen

Zusatzstation C

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Station 1 Aufgabe

Lineares Wachstum/lineare Abnahme

Aufgabe:Übe das Berechnen von linearen Wachstums-, Abnahmeprozessen.

1. Kopiert der PC die Daten linear auf einen USB-Stick? Begründe in deinem Heft.

2.– 3. Bearbeite die Sachaufgaben nach folgendem Schema in deinem Heft:

– gegeben sind ein Sachverhalt und eine Frage.

– Was ist gegeben, was ist gesucht? Schreibe auf, führe die Rechnung durch und formuliere

einen passenden Antwortsatz.

4. Bearbeite die Aufgabe in deinem Heft:

Durch den Genuss von Alkohol wird die Reaktions- und Konzentrationsfähigkeit eines

Menschen stark beeinflusst. Für Fahranfänger gilt in der Probezeit ein absolutes Alkohol-

verbot, für Kraftfahrer außerhalb der Probezeit gilt die 0,5 ‰- Grenze. Dennoch drohen

strafrechtliche Konsequenzen, wenn bei weniger als 0,5 ‰ eine Verkehrsgefährdung vorliegt.

Pro Stunde baut die Leber ungefähr 0,1 ‰ Alkohol ab (abhängig von Gewicht, Nahrungs-

zunahme, Bewegung, …).

Station 2 Aufgabe

Exponentielles Wachstum

Aufgabe:Übe das Berechnen von exponentiellen Wachstumsprozessen.

1. Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.

2. Berechne Wachstumsrate und Wachstumsfaktor in deinem Heft.

Bearbeite die Sachaufgaben 3. und 4. nach folgendem Schema in deinem Heft:

– Gegeben sind ein Sachverhalt und eine Frage.





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Station 3 Aufgabe

Exponentielle Abnahme

Aufgabe:Übe das Berechnen von exponentiellen Abnahmeprozessen.

1. Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.

2. Berechne Abnahmerate und Abnahmefaktor in deinem Heft.





Station 4 Aufgabe

Exponentialfunktion

Aufgabe:Zeichne und berechne Exponentialfunktionen.

1. Zeichne die folgenden Exponentialfunktionen in dein Heft. Erstelle eine Wertetabelle für das

Intervall [–4, 4].

2. Zeichne die folgenden erweiterten Exponentialfunktionen in dein Heft. Erstelle eine

Wertetabelle für das Intervall [–4, 4].

3. Welche Funktionsgleichung gehört zu welchem Graph? Schreibe in dein Heft.

4. Welche Funktionsgleichung haben die Exponentialfunktionen, die durch die Punkte P und G

verlaufen?

(Hinweis: Funktionswerte in allgemeine Gleichung y = q · a x einsetzen.)



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Station 5 Aufgabe

Logarithmus

Aufgabe:Berechne Zehnerlogarithmen und Logarithmen zu beliebigen Basen.

1. Berechne den Logarithmus im Kopf. Schreibe die Logarithmusgleichung auch in Form einer

Potenzgleichung und einer Wurzelgleichung in dein Heft.

2. Berechne den Logarithmus mit dem Taschenrechner und schreibe in dein Heft. Runde auf vier

Nachkommastellen.

3. Bestimme die Zahl x in deinem Heft.





Station 6 Aufgabe

Gemischte Sachaufgaben

Aufgabe:Bearbeiten gemischte Sachaufgaben.

Bearbeite die Sachaufgaben 1.– 5. nach folgenden Schema in deinem Heft:






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Zusatzstation A Aufgabe

Zinseszinsrechnung – Regelmäßige Zahlungen

Aufgabe:Berechne regelmäßige Zinseszinszahlungen.

Bearbeite die Sachaufgaben 1.– 5. nach folgenden Schema in deinem Heft:




Zusatzstation B Aufgabe

Arithmetische Folgen

Aufgabe:Berechne Summen bei linearen Wachstumsprozessen.

1. Bestimme die Differenz d in deinem Heft und begründe.

Bearbeite die Sachaufgaben 2.– 3. nach folgendem Schema in deinem Heft:




4. Bearbeite die Aufgabe in deinem Heft.



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Zusatzstation C Aufgabe

Logarithmengesetze

Aufgabe:Übe den Umgang mit Logarithmengesetzen.

1. Beweise die Logarithmengesetze 1. und 2. Schreibe die Formel in einem Satz in dein Heft.

2. Bestimmte das Ergebnis mithilfe der Logarithmengesetze und ohne Taschenrechner in deinem

Heft.

3. Bestimme die Logarithmen folgender Terme mithilfe der Logarithmengesetze und schreibe in

dein Heft.


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Station 1 Material

Lineares Wachstum/lineare Abnahme

Ein lineares Wachstum/eine lineare Abnahme liegt vor, wenn eine Anfangsgröße Y0 in gleich

großen Zeitspannen um den gleichen Betrag d zu (d > 0)/abnimmt (d < 0).

Die Größe Yn nach n Zeitspannen berechnet sich aus dem Anfangswert Y0.

Es gilt: Yn = Y0 + n · d oder Y Y Y Yd d d d

n0 1 2 f+ + + +

(n- mal)

Beispiel:

Die Einwohnerzahl einer Stadt steigt von 4 800 Einwohnern jährlich um 50 Einwohner.

a) Wie viele Einwohner hat die Stadt in 5 Jahren?

b) Wie lange dauert es, bis die Stadt 6000 Einwohner hat?

a) gegeben: Y0 = 4 800, d = 50, n = 5 b) 4 800 + n · 50 = 6 000 & n = 24

gesucht: Y5

Y5 = 4 800 + 5 · 50 = 5 050 Antwort: In 24 Jahren hat die Stadt 6 000 Einwohner.

Antwort: Die Stadt hat in 5 Jahren 5 050 Einwohner.

1. a) Zeit (s) 15 30 45 60 75 90 105 120 135

Daten (MB) 22,5 45 67,5 90 112,5 135 157,5 180 202,5

b) Zeit (s) 7 14 21 28 35 42 49 56 63

Daten (MB) 9,1 18,2 27,3 36,4 46,5 55,6 63,7 72,8 81,9

2. Herr Dill pflanzt einen 90 cm hohen Baum. Durchschnittlich wächst dieser im Jahr 12 cm.

a) Wie hoch ist der Baum nach 10 Jahren?

b) Wie lange dauert es, bis der Baum seine Maximalhöhe von 3,30 m erreicht?

3. Ein Gartenteich wird mit 3,2 m3 pro Stunde leer gepumpt. Nach 4 Stunden sind nur noch

18 500 l im Teich. Wie viel m3 waren es zu Beginn gewesen?

4. a) Gehe vom Ausgangswert 1,3 ‰ aus und stelle die Abnahme grafisch dar. Stelle dazu auch

eine Funktionsgleichung auf. Nach wie viel Stunden ist der Alkohol komplett abgebaut?

Lies ab.

b) Nach einer Betriebsfeier legt sich Herr Arnold um 02:00 Uhr mit 1,3 ‰ ins Bett. Am

nächsten Morgen möchte er um 08:00 Uhr Einkäufe erledigen. Darf Herr Arnold diese

ruhigen Gewissens erledigen oder sollte er noch warten?

Gartente

500 l im

d

ange dauer

i h

n 90 c

r Bau

es, b

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Antwort: In 24 Jn o 2

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50 = 6 000 0 050 6000 &

50 EinE50 Ei

n = 2n 2


Station 2 Material

Exponentielles Wachstum

Ein exponentielles Wachstum liegt vor, wenn man eine Anfangsgröße Y0 in gleich großen Zeit-

spannen fortlaufend mit dem gleichen Faktor q (q > 1) multipliziert. Die Größe Yn nach n Zeit-

spannen wird so berechnet:

Yn = Y0 · qn oder Y Y Y Yq q q q

n0 1 2· · · ·

f (n- mal)

p ist die Wachstumsrate und es gilt: p% = (neue Größe – alte Größe) : alte Größe

q ist der Wachstumsfaktor und es gilt: q = 1 + p% = 1 + p100

(p positiv)

Beispiel:

Herr Einig rechnet mit einer jährlichen Mieterhöhung von 3,5 %. Zurzeit zahlt er 420 €. Wie hoch ist die Miete in 5 Jahren?

Wachstumsfaktor q: 1 + 5

100,3

= 1,035 Rechnung: 420 · 1,0355 = 498,83

Antwort: In 5 Jahren wird die Miete 498,83 € kosten.

1. p% 3 % 13,2 % 67,2 % 0,8 %

q 1,07 1,75 1,0065 1,0001

2. a) Timo ist in 5 Jahren von 1,60 m auf 1,86 m gewachsen.

b) In diesem Jahr gab es 683 Einbrüche, in letzten Jahr 621.

3. Frau Jülich eröffnet am 1. Januar ein Konto und zahlt 300 € ein. Jährlich erhält sie 2,2 %

Zinsen.

a) Wie lautet ihr Kontostand nach 1, 2, 3, 5, 7 und 10 Jahren?

b) Wie lange muss Frau Jülich warten damit sich ihr Startkapital verdoppelt?

(Probiere auf dem Taschenrechner aus.)

4. Der durchschnittliche Preis für 1 l Superbenzin (Angaben in Cent/Liter) ist in den vergangenen

Jahren stark gestiegen. 1998 kostete der Liter noch 81,2 Cent, 2002 schon 104,8 Cent (reale

Preise).

a) Angenommen die Preise steigen exponentiell. Wie teuer ist der Sprit in den Jahren 2006

und 2010 gewesen? Vergleiche mit den realen Daten 128,9 Cent (2006) und 141,6 Cent

(2010).

b) Um wie viel Prozent ist der Benzinpreis von 1998 bis 2010 ungefähr gestiegen?

(Rechne mit den realen Daten.)

) Wie l

b) Wie lan

(Probier

öffne

autet ihr Kont

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nbrüche, in le

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,5 %. Zurze5 . u5 % Z

1 0350

eit zahlt erz hit hlt


Station 3 Material

Exponentielle Abnahme

Eine exponentielle Abnahme liegt vor, wenn man eine Anfangsgröße Y0 in gleich großen Zeit-

spannen fortlaufend mit dem gleichen Faktor q (0 < q < 1) multipliziert. Die Größe Yn nach n Zeit-

spannen wird so berechnet:

Yn = Y0 · qn oder Y Y Y Yq q q q

n0 1 2· · · ·

f (n- mal)

p ist die Abnahmerate und es gilt: p% = (neue Größe – alte Größe) : alte Größe

q ist der Abnahmefaktor und es gilt: q = 1 + p% = 1 + p100

(p negativ)

Beispiel:

Der Hochwasserpegel nimmt stündlich von 360 cm um 5 % ab. Wie hoch steht das Wasser in 6 Stunden?

Abnahmefaktor q: 1 + 100–5 = 0,95 Rechnung: 360 cm · 0,956 = 264,63 cm

Antwort: In 6 Stunden steht das Wasser nur noch 264,63 cm hoch.

1. p% 8 % 33,6 % 0,03 % 99,9 %

q 0,99 0,856 0,5 0,9951

2. a) Die Zahl der Arbeitslosen sank von 2009–2012 von 3,42 Mio auf 2,9 Mio.

b) Im Frühjahr 2011 betrug die durchschnittliche Temperatur 10,1°, im Frühjahr 2013 nur

noch 6,7°.

3. Ein Kaffee, dessen aktuelle Temperatur 75 °C beträgt wird jede Minute um 8 % kälter.

a) Wie hoch ist die Temperatur des Kaffees nach 5, 10, 15, 20 Minuten?

b) Wie lange dauert es bis die Kaffee eine Temperatur von 4 °C erreicht?

(Probiere mit dem Taschenrechner.)

4. Ein Basketball wird aus 2,50 m Höhe fallen gelassen. Nach dem Aufprall auf den Boden steigt

er auf eine Höhe von 1,85 m. Nimm eine exponentielle Abnahme an.

a) n 0 1 2 3 4 5 6 7

m 2,50 1,85

b) Nach dem wievielten Aufprall erreicht der Ball eine Höhe < 1 m?

) Wie h

b) Wie lan

(Probier

ee, dessen a

och ist die Te

ge dau

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urchschnittlic

–2012 von 3

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0,5

0,03 %

2 Die

b) Im

0,9

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8 %

9

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RechncRech

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ng: 360 cm n 3 mng: 360 cm

264,63 c6 6

% ab. Wie ha ib Wi

0 959 6

och steht h th t h


Station 4 Material

Exponentialfunktion

Funktionen mit Gleichungen der Form y = ax mit a > 0, a ! 1 und x d R sind Exponential-funktionen zur Basis a. Der Graph verläuft oberhalb der x-Achse. Er steigt für a > 1 und fällt für 0 < a < 1.

Eine erweiterte Exponentialfunktion der Form y = q · ax erhält man durch die Multiplikation mit dem Faktor q ! 0. Dieser ist der Funktionswert an der Stelle x = 0.

1. a) y1 = 0,25x b) y2 = 1,5x

2. a) y1 = 5 · 0,4x b) y2 = 3 · 1,7x

3.

y1 = 2,2x

y2 = 2 · 0,25x

y3 = 0,6x

y4 = 8 · 0,95x

y5 = 7 · 1,2x

y6 = 0,8 · 1,4x

4. a) P (0|1), G (2|0,36) b) P (0|2), G (3|0,054) c) P ;1 3415– YT , G (0|1,5)

d) P (1|2,2), G (2|4,84) e) P (–1|21), G (2|0,021)

y1 = 0,5x y2 = 2x

x 2x 0,5x

–3 0,125 8

–2 0,25 4

–1 0,5 2

0 1 1

1 2 0,5

2 4 0,25

3 8 0,125

) y2

b) = 3

1,5x

1 7

0,25

0,125

) y1 =

3.

= 0,25x

5 · 0,4x

0

2

0,

1

0,125

0,25 4

5


Station 5 Material

Logarithmus

Der Logarithmus von y zur Basis q (es gilt: y > 0, q > 0, q ! 1), auch kurz genannt

y = qx + x = logq (y), ist eine Zahl, mit der q potenziert y ergibt. Man unterscheidet:

Zehnerlogarithmus (Basis q = 10) Logarithmus zu beliebiger Basis, z. B. q = 2

10x = 8 2x = 4 096x = log10 (8) x = log2 (4 096)x . 0,9031, Berechnung zu beliebiger Basis mithilfedenn 100,9031 = 8 der Zehnerlogarithmen:

( ) ( )logloglog

loglog

logy

qy

40962

409612q 2&= = = ,

denn 2 = 4 096

Bemerkung: Benutze auf dem Taschenrechner die LOG-Taste, es gilt: log10 10 = 1

1. a) log2 64 b) log4 16 c) log10 10 000

d) log5 125 e) log4 2561

f) log10 0,01

2. a) log10 450 b) log5 819 c) log6 1 025

d) log2 183 e) log10 0,8 f) log3 0,0057

3. a) 2x = 81 b) 4,2x = 74,088 c) log5 x = 2 d) log10 x = 5

e) log4 x = 8 f) log3 x = 7 g) 32x – 1 = 243 h) 4 · 22x = 81

4. Ein Jahreswagen kostet 12 200 €. Jährlich verliert er 6,7 % an Wert. Nach wie vielen Jahren

ist der Wagen nur noch die Hälfte wert?

5. Eine Produktionsfirma beschäftigt 895 Mitarbeiter. Aufgrund einer hohen Auftragslage stellt

die Firma in den nächsten Jahren jeweils weitere 40 Mitarbeiter ein. Nach wie vielen Jahren

hat die Firma 1 448 Angestellte?

Ein Jahr

der Wage

wagen ko

b

f

74,088

= 7

8

c

f

log

og10 0,0

0 000

f

a) d) log

3. a)

10 450

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b) log4 16

e) log 2561

e LOG-T ste, es gilt

is m

)og

log2

409=)

2


Station 6 Material

Gemischte Sachaufgaben

1. Die Temperatur eines Heizstrahlers sinkt in einer halben Stunde von 90 °C auf 81 °C. Nach

wie vielen Stunden ist sie auf 10 °C abgesunken, wenn exponentielle Abnahme angenommen

wird?

2. a) Eine Eiche wächst in einem Jahr 11 cm. Nach 8 Jahren ist sie 180 cm hoch. Wie groß war

die Eiche bei der Einpflanzung?

b) Eine Eiche wird mit einer Höhe von 57 cm eingepflanzt und wächst pro Jahr um 11 cm.

Nach wie vielen Jahren ist sie 2 m hoch?

c) Eine Eiche wächst jedes Jahr um 9 cm und wird mit einer Höhe von 75 cm eingepflanzt.

Wie hoch ist die Eiche in 8 Jahren?

3. a) Eine Population von ursprünglich 5 Ratten verdoppelt sich alle 2 Monate. Wie viele Ratten

sind es nach einem Jahr?

b) Eine Population von ursprünglich 10 Ratten wächst jeden Monat um 40 %. Wie viele

Monate/Jahre dauert es bis 570 Ratten vorhanden sind?

4. Durch den technischen Fortschritt halbiert sich der Preis für einen neuen Fernseher alle

2 Jahre. Ein Fernseher ist heute noch 375 € wert.

a) Wie viel teurer war der Fernseher vor 4 Jahren?

b) Vor wie vielen Jahren war der Fernseher 3 000 € wert?

5. Herr Schlosser hat schlechte Erfahrungen bei einem Online-Versand gemacht. Nach einer

Stunde erzählt er diese Neuigkeiten seinem Nachbarn weiter. Nach einer weiteren Stunde

erzählen beide diese Neuigkeit jeweils an einen anderen Einwohner weiter. Nach wie vielen

Stunden weiß der ganze Ort (Einwohner: 4 000) über den Online-Versand Bescheid?

ählen

Stunden

ha

rzählt er di

n beide diese

weiß der gan

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Neuig

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Zusatzstation A Material

Zinseszinsrechnung – Regelmäßige Zahlungen

Regelmäßige Zahlungen, die zu Jahresbeginn erfolgen, sind vorschüssige Zahlungen; regelmäßige Zahlungen, die am Ende eines jeden Jahres erfolgen, sind nachschüssige Zahlungen. Zur Berechnung gibt es folgende Bezeichnungen:

Kn = Endkapital, K0 = Anfangskapital, p% = Zinssatz, q = Zinsfaktor = 1 + p100

, R = Rate

Für den Kapitalendwert nachschüssiger Zahlungen gilt: Kn = R · qq

11

––nR W

Für den Kapitalendwert vorschüssiger Zahlungen gilt: Kn = R · q · qq

11

––nR W

Wird vorhandenes Kapital durch nachschüssige Raten erhöht/vermindert gilt:

Kn = K0 · qn ! R · qq

11

––nR W

Wird vorhandenes Kapital durch vorschüssige Raten erhöht/vermindert, gilt:

Kn = K0 · qn ! R · q · qq

11

––nR W

1. Frau Mohr zahlt 9 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 2 300 € auf das Konto. Die Bank

bietet einen Zinssatz von 3 %. Wie viel Geld hat Frau Mohr nach 9 Jahren?

2. Herr Kaspar hat bei einer Bank ein Guthaben von 13 400 €. Er zahlt 6 Jahre lang am Ende

jeden Jahres 2 000 € ein und die Bank bietet einen Zinssatz von 4 %. Wie viel Guthaben hat

Herr Kaspar nach 6 Jahren?

3. Frau Bluhm zahlt 5 Jahre lang zu Beginn jeden Jahres 3 500 € auf ihr Konto ein. Die Bank

bietet 3,5 % Zinsen. Wie hoch ist ihr Endkapital in 5 Jahren?

4. Das Guthaben von Herrn Meurer bei einer Bank beträgt 9 900 €. Er zahlt 12 Jahre lang am

Anfang des Jahres einen konstanten Betrag ein. Die Bank gewährt 3,2 % Wie viel Geld zahlt

Herr Meurer zu Beginn jeden Jahres ein, wenn er nach 12 Jahren ein Guthaben von 50 000 €

hat?

5. Ein Startkapital von 1 500 € ist in 6 Jahren inkl. Zinsen und Zinseszinsen auf 1 920 €

gestiegen. Wie hoch war der jährliche Zinssatz?

Das Gut

ang des

rr Meu

ahlt

5 % Zinsen.

aben von H

Jahr

Wie h

ein Gutha

Bank biete

Beg

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hres 2 3

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2. Herr K

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ssige aten erhöh

öht/vermin

11

–W

ndert gilt:


Zusatzstation B Material

Arithmetische Folgen

Eine Folge, bei der die Differenz d (d ! 0) von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern immer gleich

groß ist (linear), heißt arithmetische Folge.

Es gilt: an = a0 + n · d mit a0 = Startglied, an = Endglied, d = Differenz, n + 1 = Anzahl Glieder

Daraus ergibt sich die Summe a0 + a1 + … + an = n21+ · (a0 + an).

Beispiel:

Bilde die Summe der Zahlen von 100 bis 1 000 die durch 2 teilbar sind.

Teilbar durch zwei sind die Zahlen 100, 102, 104, …, 1 000

geg.: a0 = 100, an = 1 000, d = 2 ges.: n

n = 2

1000 100– & n = 450 Summe = 2451 (100 + 1 000) = 248 050

1. A: 5 10 15 20 25 …

B: 32 28 24 20 16 …

C: 45 54 63 72 81 …

D: 10 0 –10 –20 –30 …

2. a) Berechne die Summe der Zahlen von 1 bis 100.

b) Berechne die Summe der Zahlen von 3 bis 21, die durch 3 teilbar sind.

c) Berechne die Summe der Zahlen von 5 bis 100, die durch 5 teilbar sind.

3. In einem Kino sind in der ersten Reihe 32 Sitzplätze, von Reihe zu Reihe sind es immer

2 Plätze mehr. Das Kino hat 26 Reihen.

a) Wie viele Plätze sind in der letzten Reihe?

b) Wie viele Sitzplätze hat das Kino insgesamt?

4. Von einer arithmetischen Folge kennt man die Glieder a4 = 14 und a20 = 70.

a) Wie lautet a30?

b) Wie lautet a14?

Plätze

a) Wie

Wie viele

m Kino sind in

mehr. Das Ki

le Plätz

me

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hlen von

hlen von 3 bis

len von 5 bis

is 100

21, d

2 Be

b) Be

c)

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20

63 72

–10 –20

25 …

16

Suu = 24514 1451 ((1011 0 + 1 0000 1 01000)) =

d.


Zusatzstation C Material

Logarithmengesetze

Für die Anwendung der Logarithmen gelten folgende 4 Gesetze:

1. loga (u · v) = loga u + loga v 2. loga vu = loga u – loga v

3. loga uv = v · loga u 4. loga b vuuv

= · loga b

Bemerkung: Es gilt: loga a = 1 z. B. log10 10 = lg 10 = 1

(Schreibweise lg für Zehnerlogarithmus)

1. Ansatz:

a) loga u = x, loga v = y b) loga u = x, loga v = y

… …

2. a) lg 100 b) lg 104 c) lg 10003

d) lg 10 · 100 e) lg 50 000 – lg 5 f) lg 1064

g) log3 (81 : 9) h) log5 256 i) log2 64

3. a) lg (x · y) b) lg zx y

2

2

c) lg ab2

d) – lg x1 e) lg y

y11–

+ f) lg x + 3 · lg y

g) lg mn

h) lg ax + y · bx – y i) lg ab

k l·c

57

R W

g

) lg yy

1–+

lg a

i)

106

og2 6

000

f

3. a) lg

) – lg

(x · y)

b) lg 104

e) lg 50 000

log

y

garith


Abschließende Bündelung Material

des StationenlernensAufgaben zur Wiederholung

Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–C

1. Lineares Wachstum/Abnahme oder exponentielles Wachstum/Abnahme?

a) Ein Lohn steigt vierteljährlich um 0,5 %.

b) Aus einem See werden stündlich 500 Liter Öl gepumpt.

c) Ein Kapital bringt jedes Jahr 4 % Zinsen.

d) Ein Laptop verliert jedes Jahr 40 % seines Werts.

e) Eine Kerze brennt stündlich um 1 cm ab.

f) Ein Tropfstein wächst jedes Jahr 1,2 mm.

g) Die Geburtenrate in Europa sinkt um 0,1 %.

h) In eine Badewanne laufen pro Minute 8 l Wasser zu.

2. Eine Firma hat in den Jahren 2006 bis 2013 folgende Umsatzzahlen erzielt.

Jahr 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

(Mio. €) 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3,0 3,3

a) Liegt lineares oder exponentielles Wachstum vor? Formuliere eine Funktionsgleichung und

zeichne den Graphen.

b) Angenommen die Umsatzzahlen steigen konstant weiter. Berechne den Umsatz der Firma

in den Jahren 2015, 2020, 2025, 2030.

c) Wie hoch war der Umsatz im Jahr 2005, 2003?

d) In welchem Jahr hat die Firma bei „Null“ begonnen?

3. Ein Bakterium verdoppelt sich alle 4 Stunden. Zu Beginn der Beobachtung um 08:00 Uhr

werden 480 Bakterien gezählt.

a) Wie viele Bakterien sind es nach einem Tag? Stelle dafür eine Tabelle mit den Spalten

Zeit, Rechnung und Bakterienanzahl auf.

b) Wie viele Bakterien waren es um 04:00 Uhr gewesen?

c) Um wie viel Uhr (am Vortag) waren nur 30 Bakterien vorhanden?

4. Eine Chemikalie (gemessen: 120 ppm) hat das Wasser in einem Stausee so verunreinigt, dass

ein Badeverbot verordnet wurde. Durch Säuberungsarbeiten sind nach einer Woche noch

105 ppm im See. Nach wie vielen Wochen darf wieder gebadet werden, wenn der festgelegte

Badegrenzwert kleiner als 20 ppm sein muss und exponentielle Abnahme angenommen wird?

5. Gegeben sind die Funktionen y1 = 1,5x und y2 = 2 · 0,7x.

a) Welcher der Graphen steigt, welcher fällt?

b) Zeichne die Graphen im Intervall [–3,3].

6. Bestimme x.

a) log4 133 = x b) 5x = 90,6 c) 63,5x + 10 = 216 d) 10 · lg 10000x

= 5

Zeit,

b) Wie v

) Um wie

e C

kte

ele Bakter

Rechnung un

ele Bakterie

viel U

ppelt

rien ge

en sin

d Ba

Jahr 20

a bei „Null“ b

e 4 Stunden

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2003

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2012

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es oder exponent

Graphen.

e Ums

2008

1,8

es

e 8 l

3 folg

2009

sser zu.

ende Umsa


4. Wachstumsprozesse und Logarithmus – Lösungen

Station 1: Lineares Wachstum/lineare Abnahme

1. a) Ja, der PC kopiert die Daten linear auf den USB-Stick. Der Abstand zwischen den

Zeitspannen (15 Sekunden) und der Datenmenge (22,5 MB) ist konstant.

b) Nein, der PC kopiert die Daten nicht linear auf den USB- Stick. Der Abstand zwischen

den Zeitspannen (7 Sekunden) und der Datenmenge (9,1 MB) ist nicht überall konstant

(bei 35 s und 42 s).

2. a) gegeben: Y0 = 90, d = 12, n = 10 ; gesucht: Y10

Rechnung: Y10 = 90 + 10 · 12 = 210

Antwort: Der Baum ist nach 10 Jahren 210 cm hoch.

b) gegeben: Y0 = 90 cm, d = 12 cm, Yn = 330 cm; gesucht: n

Rechnung: 330 = 90 + n · 12 & n = 20

Antwort: Nach 20 Jahren ist der Baum 3,30 m hoch.

3. gegeben: n = 4, d = 3,2 m3, Y4 = 18,5 m3; gesucht: Y0

Rechnung: 18,5 = Y0 – 4 · 3,2 & Y0= 31,3

Antwort: Zu Beginn waren 31,3 m3 Wasser im Gartenteich.

4. a)

Funktionsgleichung: y = –0,1x + 1,3

Antwort: Der Alkohol ist nach 13 Stunden komplett abgebaut.

b) Die Zeitspanne zwischen 02:00 Uhr und 08:00 Uhr beträgt 6 Stunden. In diesen 6 Stunden

werden 0,6 ‰ abgebaut. Also hat Herr Arnold noch 1,3 ‰ – 0,6 ‰ = 0,7 ‰ Alkohol im

Blut. Herr Arnold müsste also mindestens noch zwei Stunden warten, bis er sich hinter das

Steuer setzen darf. Um auf der ganz sicheren Seite zu sein, sollte Herr Arnold noch

7 Stunden warten und damit erst wieder um 15:00 Uhr das Auto bewegen.

2

are 31,3

,5 m3; g

& Y0= 31,3

m3 Wasser i

um 3

esuch

m hoch.

Y0

n


Station 2: Exponentielles Wachstum

1. p% 3 % 7 % 13,2 % 75 % 67 ,2 % 0,65 % 0,8 % 0,01 %q 1,03 1,07 1,132 1,75 1,672 1,0065 1,008 1,0001

2. a) p% = ,

, ,1 60

1 86 1 60– c 0,1625 & p = 16,25 %

q = 1 + ,

10016 25

= 1,1625

b) p% = 621

683 621– c 0,0998 & p = 9,98 %

q = 1 + ,1009 98 = 1,0998

3. a) gegeben: Y0 = 300, q = 1 + (2,2 : 100) = 1,022, n = 1, 2, 3, 5, 7, 10; gesucht: Yn

Rechnung: Y1 = 300 · 1,022 = 306,60 €

Y2 = 300 · 1,0222 = 313,35 €

Y3 = 300 · 1,0223 = 320,24 €

Y5 = 300 · 1,0225 = 334,48 €

Y7 = 300 · 1,0227 = 349,36 €

Y10 = 300 · 1,02210 = 372,93€

Antwort: Nach einem Jahr hat Frau Jülich 306,60 €, nach zwei Jahren 313,35 €, nach drei

Jahren 320,24 €, nach fünf Jahren 334,48 €, nach sieben Jahren 349,36 € und

nach zehn Jahren 372,93 €.

b) gegeben: Y0 = 300, q = 1 + (2,2 : 100) = 1,022,Yn = 600 (300 € verdoppelt); gesucht: n

Rechnung: 600 = 300 · 1,022n & n c 32

Antwort: Nach ungefähr 32 Jahren hat sich das Startkapital verdoppelt.

4. Nehme für die Zeitspanne (1998–2002) n = 1, (2002–2006) n = 2, (2006–2010) n = 3, an.

a) Berechne p% und q:

p% = ,

, ,81 2

104 8 81 2– c 0,2906 & p = 29,06 %

q = 1 + ,

10029 06

= 1,2906

gegeben: Y0 = 81,2, q = 1,2906, n = 2,3; gesucht: Yn

Rechnung: Y2 = 81,2 · 1,29062 = 135,25 Cent

Y3 = 81,2 · 1,29063 = 174,55 Cent

Antwort: Für den Vergleich mit den realen Preisen ergibt sich im Jahre 2006 eine Differenz

von 6,35 Cent (135,25 Cent – 128,9 Cent), im Jahre 2010 eine Differenz von

sogar 32,95 Cent (174,55 Cent – 141,6 Cent).

) Bere

p% =1

q =

für die Zeitsp

hne p% und

,04 8,

ungefä

anne

2 : 10

ahre

1,022,Yn = 6

8 €, na

0 (300

zwei

h sieb

Jahren 313

ach sieben Jahre

35

b) geg

Re 6

Ja

nach

geben: Y0 =

36

= 372,93

ach einem Jahr h

hren 320,24 € n

ehn Ja

€

Fra

0; gesucht: Y


b) gegeben: Y0 = 81,2, Y3 = 141,6 , n = 3; gesucht: p%

Rechnung: 81,2 · q3 = 141,6

q = ,,

81 2141 63

c 1,2 & 100 · (1,2 – 1) = p% & p% = 20 %

Antwort: Der Benzinpreis ist von 1998 bis 2010 ungefähr um 20 % gestiegen.

Station 3: Exponentielle Abnahme

1. p% –1 % –8 % –14,4 % –33,6 % –50 % –0,03 % –0,49 % –99,9 %

q 0,99 0,92 0,856 0,664 0,5 0,9997 0,9951 0,001

2. a) p% = ,

, ,3 42

2 9 3 42– c –0,152 & p = –15,2 %

q = 1 + ,

10015 2–

= 0,848

b) p% = ,

, ,10 1

6 7 10 1– c –0,3366 & p = –33,66 %

q = 1 + ,10033 66– = 0,6634

3. a) gegeben: Y0 = 75, q = 1 + 100

8– =0,92, n = 5, 10, 15, 20; gesucht: Yn

Rechnung: Y5 = 75 · 0,925 = 49,43 °C

Y10 = 75 · 0,9210 = 32,58 °C

Y15 = 75 · 0,9215 = 21,47 °C

Y20 = 75 · 0,9220 = 14,15 °C

Antwort: Nach 5 Minuten beträgt die Kaffeetemperatur 49,34 °C, nach 10 Minuten

32,59 °C, nach 15 Minuten 21,47 °C und nach 20 Minuten 14,15 °C.

b) gegeben: Y0 = 75, q = 0,92, Yn = 4; gesucht: n

4 = 75 · 0,92n & n c 35

Antwort: Nach ungefähr 35 Minuten beträgt die Temperatur 4 °C.

4. a) n 0 1 2 3 4 5 6 7

m 2,50 1,85 1,37 1,01 0,75 0,55 0,41 0,30

Berechne p% und q:

p% = ,

, ,2 5

1 85 2 5– c –0,26 & p = –26 %

q = 1 + 100

26– = 0,74

gegeben: Y0 = 2,5, q = 0,74, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; gesucht: Yn

4 = 7

Antw

n

ben: Y0 = 75

5 · 0,9 & n

rt: Nach

Minu

9 °C, na

, q = 0

35

ägt die Kaffe

nute

such Yn

Y10

Y15

Y2

hnung:= 75 · 0,92

= 75 · 0,92

75 · 0

= 75, q = 1 + 10–

= 49,4

=0,9

3,66 %

0,


Berechne die einzelnen n’s:

Y0 = 2,50 · 0,740 = 2,50 m

Y1 = 2,50 · 0,741 = 1,85 m

Y2 = 2,50 · 0,742 = 1,37 m

Y3 = 2,50 · 0,743 = 1,01 m

Y4 = 2,50 · 0,744 = 0,75 m

Y5 = 2,50 · 0,745 = 0,55 m

Y6 = 2,50 · 0,746 = 0,41 m

Y7 = 2,50 · 0,747 = 0,30 m

b) Nach dem dritten Aufprall erreicht der Ball noch eine Höhe von knapp über einem Meter

(1,01 m), nach dem vierten Aufprall erreicht er dann eine Höhe von weit unter einem

Meter.

Station 4: Exponentialfunktion

1. x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

0,25 x 256 64 16 4 1 0,25 0,0625 0,0156 0,0039

1,5 x 0,1975 0,2963 0,4444 0,6667 1 1,5 2,25 3,375 5,0625

2. x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

5 · 0,4 x 195,31 78,125 31,25 12,5 5 2 0,8 0,32 0,128

3 · 1,7 x 0,3592 0,6106 1,0381 1,7647 3 5,1 8,67 14,739 25,0563

3. A: y4 = 8 · 0,95 x D: y5 = 7 · 1,2 x

B: y3 = 0,6 x E: y = 2,2 x

C: y2 = 2 · 0,25 x F: y6 = 0,8 · 1,4 x

4. a) P: 1 = q · a0 & q = 1

G: 0,36 = a2 & a = 0,6

Funktionsgleichung: y = 0,6 x

b) P: 2 = q · a0 & q = 2

G: 0,054 = 2 · a3 & a = 0,3

Funktionsgleichung: y = 2 · 0,3 x

–

25 12,5

381 1,7647

0

5

3

12 x

· 0,4

3 · 1

–4

5 2

3

,0625 0,0

,25 3,375


c) P: 1,5 = q · a0 & q = 1,5

G: 3415 = 1,5 · a–1 & a = 3,4

Funktionsgleichung: y = 1,5 · 3,4 x

d) P: 2,2 = q · a & q = ,a

2 2

G: 4,84 = ,a

2 2 · a2 & 4,84 = 2,2a & a = 2,2

Funktionsgleichung: y = 2,2 x

e) P: 21 = q · a–1 & q = 21 · a

G: 0,021 = 21a · a2 & a3 = 0,001 & a = 0,1

Funktionsgleichung: y = 2,1 · 0,1 x

Station 5: Logarithmus

1. a) log2 64 = 6 b) log4 16 = 2 c) log10 10 000 = 4

Potenzgleichung: 26 = 64 42 = 16 104 = 10 000

Wurzelgleichung: 642

= 2 16 = 4 100004

= 10

d) log5 125 = 5 e) log2 2561 = –4 f) log10 0,01 = –2

Potenzgleichung: 53 = 125 4–4 = 1 : 256 10–2 = 0,01

Wurzelgleichung: 1253

= 5 256

14– = 4 ,0 01

2– = 10

2. a) x = log10 450 b) x = log5 819 c) x = log6 1 025

x c 2,6532 x = log

log5

819

10

10 x =

loglog

61025

10

10

x c 4,168 x c 3,8691

d) x = log2 183 e) x = log10 0,8 f) x = log3 0,0057

x = log

log2

183

10

10 x c –0,0969 x = ,

loglog

30 0057

10

10

x c 7,5157 x c –4,7035

3. a) x · log(2) = log 81T Y b) x · log(4,2) = log(74,088)

x = – 3 x = 3

c) 52 = x d) 105 = x

x = 25 x = 100 000

e) 48 = x f) 37 = x

x = 65 536 x = 2 187

g) (2x – 1) · log(3) = log(243) h) 22x = 321

2x = loglog

3243

1+ 2x = log

log

231

x = 3 x = –2,5

c) 52 = x

x = 25

48 =

logT– 3

Y1

x =

x c –0,09

0,8

69

x

x c

= log

= log

log 1010

1 = 1

025

25

c

d) x =

x =

log2 183

) x = log 8

log

4–4 =

2561

6= –4

: 256

= 4

f log1

10 10 000

04 = 10 000

10000 = 10


4. gegeben: Y0 = 12 200, q = 0,933, Yn = 6 100; gesucht: n

Rechnung: 6 100 = 12 200 · 0,993n

0,5 = 0,993n & n = log0,993 (0,5) = ,

,

( )

( )

log

log

0 993

0 5

10

10 c 10

Antwort: Nach 10 Jahren ist der Gebrauchtwagen nur noch die Hälfte wert.

5. gegeben: Y0 = 895, p% = 895

935 895– c 4,47 % & q = 1,0447, Yn = 1 448; gesucht: n

Rechnung: 1 448 = 895 · 1,0447n

895

1448 = 1,0447n & n = log1,447 log

log

8951448 895

1448

10

10

=,1 0447

T RT

YYW c 11

Antwort: Nach 11 Jahren hat die Firma 1448 Mitarbeiter.

Station 6: Gemischte Anwendungsaufgaben

1. gegeben: Y0 = 90, p% = 90

81 90– = –10 % & q = 0,9, Yn = 10; gesucht: n

Rechnung: 10 = 90 · 0,9n & n c 21 (wegen halber Stunde durch 2 teilen) Antwort: Nach 10,5 Stunden ist die Temperatur auf 10 °C gesunken.

2. a) gegeben: Y8 = 180, d = 11, n = 8; gesucht: Y0

Rechnung: 180 = Y0 + 11 · 8 & Y0 = 92

Antwort: Bei der Einpflanzung war die Eiche 92 cm hoch.

b) gegeben: Y0 = 57, Yn = 200, d = 11; gesucht: n

Rechnung: 200 = 57 + 11 · n & n = 13

Antwort: Nach 13 Jahren ist die Eiche 2 m hoch.

c) gegeben: Y0 = 75 , d = 9, n = 8; gesucht: Y8

Rechnung: Y8 = 75 + 9 · 8 & Y8 = 147

Antwort: In 8 Jahren ist die Eiche 147 cm hoch.

3. a) gegeben: Y0 = 5, q = 2, n = 6 (2 Monate Zeitspanne); gesucht: Y6

Rechnung: Y6 = 5 · 26 & Y6 = 320

Antwort: Nach einem Jahr sind es 320 Ratten.

b) gegeben: Y0 = 10, q = 1,4, Yn = 570; gesucht: n

Rechnung: 570 = 10 · 1,4n & 57 =1,4n & n = ,log

log1 457

c 12

Antwort: Es dauert ungefähr 12 Monate bzw. 1 Jahr bis 570 Ratten vorhanden sind.

4. a) gegeben: Y2 = 375, q = 0,5, n = 2 (halbiert sich in 4 Jahren zweimal); gesucht: Y0

Rechnung: 375 = Y0 · 0,52 & Y0 = 1500

Antwort: Vor 4 Jahren war der Fernseher 1 500 € wert.

a) gege

RechnuAntw

Y8

ort n 8 Ja

en: Y0 = 5,

5 , d =

= 75 +

hren is

d = 11;

& n = 13

die Eiche 2 m

; ges

8 =

e 92 cm

ucht:

hoc

m hoch.

esu

b) geg

Re A

hnung: 1two Bei d

eben: Y0 =

en i

8 = 180, d = 11, n

80 = Y0 + 11 ·

Einp

c 21 (wegen

st die Temper

& q =

halber

tu

en

0,9, Yn = 10


b) gegeben: Y0 = 3 000, Yn = 375, q = 0,5; gesucht: n

Rechnung: 375 = 3 000 · 0,5n & n = ,log

log

0 581

= 3

Antwort: Vor 6 Jahren (3 · 2, da er sich alle 2 Jahre halbiert) war der Fernseher

3 000 € wert.

5. gegeben: Y0 = 1, Yn = 4 000, q = 2; gesucht: n

Die Verbreitung der Nachricht potenziert sich,

1 Std. 2 Einwohner

2 Std. 4 Einwohner

3 Std. 8 Einwohner

Rechnung: 4 000 = 1 · 2n & n = log

log2

4000 c 12

Antwort: Nach 12 Stunden weiß der ganze Ort Bescheid.

Zusatzstation A: Zinseszinsrechnung – Regelmäßige Zahlungen

1. gegeben: R = 2 300, q = 1,03, n = 9; gesucht: K9

Rechnung: Kn = R · n

q

q

1

1

–

–R W & K9 = 2 300 ·

9

,

,

1 03 1

1 03 1

–

–R W & K9 c 23 365,94

Antwort: Nach 9 Jahren hat Frau Mohr 23 365,94 €.

2. gegeben: K0 = 13 400, R = 2 000, q = 1,04, n = 6; gesucht: K6

Rechnung: Kn = K0 · qn + R ·

n

q

q

1

1

–

–R W & K6 = 13 400 · 1,046 + 2 000 ·

6

,

,

1 04 1

1 04 1

–

–R W & K6 c 30 221,23

Antwort: Nach 6 Jahren hat Herr Kaspar ein Guthaben von 30 221,23 €.

3. gegeben: R = 3500, q = 1,035, n = 5; gesucht: K5

Rechnung: Kn = R · q · n

q

q

1

1

–

–R W & K5 = 3 500 · 1,035 ·

5

,

,

1 035 1

1 035 1

–

–R W & K5 c 19 425,53

Antwort: In 5 Jahren beträgt das Endkapital von Frau Bluhm 19 425,53 €.

4. gegeben: K0 = 9 900, K12 = 50 000, q = 1,032, n = 12; gesucht: R

Rechnung: Kn = K0 · qn + R · q · n

q

q

1

1

–

–R W + R =

n

nn

0

q q

K K q q

1

1

· –

– · · –RR

RWW

W

R = , ,

, ,

1 032 1 032 1

50000 9900 1 032 1 032 1

· –

– · · –12

12RR

RWW

W c 2 400

Antwort: Herr Meurer zahlt zu Beginn jeden Jahres 2 400 € auf das Konto ein.

5. gegeben: K0 = 1 500, n = 6, K6 = 1 920; gesucht: p%

Rechnung: Kn = K0 · qn + q = KKn

0

n & q =

150019206

c 1,042 & p = 4,2 %

Antwort: Der jährliche Zinssatz beträgt 4,2 %.

gegeben: K

chnung

= R

t: In 5 Jahren

K0 = 9 90

· q · qR

beträ

r Kaspar

= 5; gesucht: K

K5 =

4 + 2 000

n Guthaben v

ht: K6

6

,

,

1 04,

1 046,R W Kn =

ntwo

3. geg

ung:

0 · q R · R

: Nach

n hat Fr

13 400, R = 2 000,

1– W

K9 = 2 300

u Mo 23 36

cht: K

,

,

1 03,

1 03,R

egelmä

9 19 W

ßige Zahl


Zusatzstation B: Arithmetische Folgen

1. A: 5 10 15 20 25 … (d = 5, Glieder wachsen um jeweils 5) B: 32 28 24 20 16 … (d = –4, Glieder fallen um jeweils 4) C: 45 54 63 72 81 … (d = 9, Glieder wachsen um jeweils 9) D: 10 0 –10 –20 –30 … (d = –10, Glieder fallen um jeweils 10)

2. a) gegeben: a0 = 1, an = 100, d = 1; gesucht: n

Rechnung: n = 1

100 1– & n = 99 Summe = 2

100 (100 + 1) = 5 050

Antwort: Die Summe der Zahlen 1 bis 100 beträgt 5 050.

b) gegeben: a0 = 3, an = 21, d = 3; gesucht: n

Rechnung: n = 3

21 3– & n = 6 Summe = 27 (21 + 3) = 84

Antwort: Die Summe der Zahlen 3 bis 21, die durch 3 teilbar sind beträgt 84.

c) gegeben: a0 = 5, an = 100, d = 5; gesucht: n

Rechnung: n = 5

100 5– & n = 19 Summe = 2

20 (100 + 5) = 1 050

Antwort: Die Summe der Zahlen 5 bis 100, die durch 5 teilbar sind beträgt 1 050.

3. a) gegeben: a0 = 32, d = 2, n = 25; gesucht: a25

Rechnung: a25 = 32 + 25 · 2 = 82

Antwort: In der letzten Reihe sind 82 Plätze.

b) Rechnung: Summe = 2

26 (32 + 82) = 1 482

Antwort: Das Kino hat insgesamt 1 482 Sitzplätze.

4. Stelle ein lineares Gleichungssystem auf

a4 = a0 + 4 · d

a20 = a0 + 20 · d

Das Gleichungssystem

14 = a0 + 4d

70 = a0 + 20d

hat die Lösungen a0 = 0 und d = 3,5

a) a30 = 30d & a30 = 105

b) a14 = 14d & a14 = 49

a0

70 = a0 +

hat die Lösu

a30 =

hungssys

+ 4d

20d

ngen

em

amt

stem auf

Sitzplätze.

eträg 050.

b)

An

4. Stelle

a

chnung: Su

twort: Das

n =

32 + 25 · 2

der letzten Reihe

mme =

n 5 bis

25; gesucht:

82

Sum

100, d

e = 20 (100

ie durch 5

eilbar sin

+ 5) =

d beträgt 84


Zusatzstation C: Logarithmengesetze

1. a) loga u = x, loga v = y b) loga u = x, loga v = y

a x = u, a y = v a x = u, a y = v

u · v = a x · a y = a x + y vu

aa

y

x

= = a x – y

loga (u · v) = x + y loga vu = x – y

a) Man logarithmiert ein Produkt, indem man die Logarithmen der Faktoren addiert.

b) Man logarithmiert einen Bruch, indem man vom Logarithmus des Zählers den Logarithmus

des Nenners subtrahiert.

2. a) lg 10 + lg 10 = 2 b) 2 · lg 10 = 2

c) 31 · lg 1 000 =

31 · (lg 10 + lg 10 + lg 10) =

31 · 3 = 1

d) lg 10 + lg 10 + lg 10 = 3

e) lg 5

50000 = 10 000 & lg 10 000 = lg 10 + lg 10 + lg 10 + lg 10 = 4

f) 1,5 · lg 10 = 1,5 g) log3 81 – log3 9 = 4 – 2 = 2

h) 6 · log5 25 = 6 · 2 = 12 i) log2 (4 · 16) log2 4 + log2 16 = 2 + 4 = 6

3. a) lg x + lg y b) 2 · lg x + lg y – 2 · lg z

c) lg (2ab)0,5 = 0,5 · (lg 2 + lg a + lg b) d) –lg x–1 = –(–1) · lg x = lg x

e) lg (y – 1) – lg (y + 1) f) lg x + lg y3

g) n1 · lg m h) lg a x + y + lg b x – y

i) lglg

lg lgkl

c a b71 5 2· – ·+ +T R WY

Abschließende Bündelung des Stationenlernens

1. Lineares Wachstum: f), h) Lineare Abnahme: b), e) Exponentielles Wachstum: a), c) Exponentielle Abnahme: d), g)

2. a) Die Umsatzzahlen steigen konstant, jeweils um 0,3 Mio €, daher liegt lineares

Wachstum vor.

Funktionsgleichung: y = 0,3x + 1,2

1

2

3

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Jahr

Mio. €

re

Exponen

Exponentie

D

hstum

Abnahme:

ielles Wachs

le Ab

ndel

:

bWY

es Statio

h) lg a

+ lg y3

x + y + lg b x –

–1) · l

lg z

x = lg x

6

g y –

g) n

71 T

Ab

1) – lg

lg m

lglg

klg k +

0,5 · (lg 2 + lg a

(y + 1)

g

) log2 (4

g b)

0 + lg

– log

16) lo

0 + lg 10 + l

9 = 4 – 2 =

4

g 10 = 4


b) gegeben: Y0 = 1,2, d = 0,3, n = 9 (2015), 14 (2020), 19 (2025), 24 (2030)

gesucht: Yn

Rechnung: Y9 = 1,2 + 0,3 · 9 = 3,9

Y14 = 1,2 + 0,3 · 14 = 5,4

Y19 = 1,2 + 0,3 · 19 = 6,9

Y24 = 1,2 + 0,3 · 24 = 8,4

Antwort: Die Firma macht 3,9 Mio. € (2015), 5,4 Mio. € (2020), 6,9 Mio. € (2025) und

8,4 Mio. € (2030) Umsatz.

c) gegeben: Y0 = 1,2, d = 0,3, n = –1 (2005), –3 (2003); gesucht: Yn

Rechnung: Y–1 = 1,2 + 0,3 · (–1) = 0,9

Y–3 = 1,2 + 0,3 · (–3) = 0,3

Antwort: Die Firma macht 2005 0,9 Mio. € und 2003 0,3 Mio. € Umsatz.

d) gegeben: Y0 = 1,2, Yn = 0, d = 0,3; gesucht: n

Rechnung: n = (Yn – Y0) : d = (0 – 1,2) : 0,3 = –4

Antwort: Vor 4 Jahren, also im Jahre 2002 hat die Firma bei „Null“ begonnen.

3. a) gegeben: Y0 = 480, q = 2, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (jeweils 4 h Abstand); gesucht: Yn

Zeit (in Stunden) Rechnung Bakterienanzahl 0 480 · 20 480 4 480 · 21 960 8 480 · 22 1 92012 480 · 23 3 84016 480 · 24 7 68020 480 · 25 15 36024 480 · 26 30 720

Antwort: Nach einem Tag (24 h) sind es 30 720 Bakterien.

b) gegeben: Y0 = 480, q = 0,5, n = 1 (jeweils 4 h Abstand); gesucht: Y1

Rechnung: Y1 = 480 · 0,51 = 240

Zeitspanne: 1 · 4 h = 4 h

Antwort: Um 04:00 Uhr waren es 240 Bakterien gewesen.

c) gegeben: Y0 = 480, q = 0,5, Yn = 30; gesucht: n

Rechnung: 30 = 480 · 0,5 & n = 4

Zeitspanne: 4 · 4 h = 16 h

Antwort: Um 16:00 Uhr (am Vortag) waren es 30 Bakterien gewesen.

4. Berechne p% und q:

p% = 120

105 120– = –0,125 & p = –12,5 % q = 1 + ,

10012 5–

= 0,875

gegeben: Y0 = 120, q = 0,875, Yn = 20; gesucht: n

Rechnung: 20 = 120 · 0,875n & n . 13,42

Antwort: Nach ungefähr 13,5 Wochen darf in dem Stausee wieder gebadet werden.

Rech Zeits

Antwort

geg

ben: Y0 = 48

hnung Y1 = 4

anne: 1 · 4

einem

0, q =

80 ·

24

25 16 30 7

h) s

920 3 84

7 6805 360

d); ges

egonnen.

ucht: h Ab

48

1216

2, n

unden) Rechn480 ·

Jahre

= 0, 1, 2, 3, 4,

g B

esuch

2) : 0,3

2002

5

= –4

at die Firm

,3 Mio. € Umsatz.


5. a) Y1 steigt, Y2 fällt

b)

6. a) x = log

log4

133

10

10 . 3,5276 b) x · log10 5 = log10 90,6 & x . 2,8

c) (3,5x + 10) · log10 6 = log10 216 & x = –2 d) lg

x10 10000·

= 5 + x = lg

510 10000·

= 8 = 5

,6 & x .

+ x =lg

50 lg

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