Date post: | 06-Apr-2015 |
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Teilchen-Welle Dualismus, Wellenpakete und das
Unschärfeprinzip
E h
kp
Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch)
)(),( tkxiAetx
Einführung von Operatoren
tiEop / xipop
),(),( txEtxt
i ),(),( txptx
xi
xxtpExpi dppetx xx )()2(),( /))((2/1
)( xp ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Wir basteln uns ein Wellenpaket!
Fouriertransformation
Für t=0
xxxpi dppex x )()2()( /)(2/1
dxxep xpi x )()2()( /)(2/1
Wellenfunktion im Ortsraum
Wellenfunktion im Impulsraum
Gauß‘sches Wellenpaket
22 /)()( ox ppx ep
Fouriertransformation
Breite des Wellenpakets ,px /2
2220 2//2/1)2()( xxip eex
8
2
/4
px
p
x
Heisenberg‘sche Unschärfe :
Je breiter die Impulsverteilung,desto schmaler die Ortsverteilungund umgekehrt
px
Ebenso: tE
xxtpExpi dppetx xx )()2(),( /))((2/1
)( xp ist die Amplitude der ebenen Wellen mit Impuls px
Zeitabhängigkeit der Wellenpakete!
0/ ox ppxp
tpExpp xxx )()( Phasenfaktor:
gppxx vppEox /)(
Gruppengeschwindigkeit vg
Werte des Integrals groß für
0
0
0
0 )()(
k
k
p
pEvph
Phasengeschwindigkeit
Dispersion, Zerlaufen des Wellenpakets
Taylorentwicklung
000)()(2/1))(()()( 2
22
000 kkkkkk kkk
kkkkk
Wellenpakete
x
Wellenpaket bewegt sich mit v0 = po/m und zerfliesst
V(R)
im zweiatomigen Molekül
Idealisiert: Harmonischer Oszillator
Überlagerung von äquidistantenEigenzuständen
Breite des Wellenpakets oszilliert
Wellenpakete
R
E
V( R)
R
Elektronenbeugung am Doppelspalt
Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen
FalleD1 D2Laser beam
z
NIST,Boulder D. Wineland, 1993
Laserkühlung von zwei Hg Ionen
Analog zum Young‘schen Doppelspalt Experiment
Spalte ersetzt durch zwei Ionen
Interferenz im Streulicht zweier Ionen Ionenabstand:
5.4m
4.3m
3.7m
Welcher Weg Experiment
Itano et al, Phys.Rev. A 1998
Ion1 Ion2 m
½
-½
½
-½
6p
6s
Ion1 Ion2
6p
6s
m
½
-½
½
½
=
Welcher Weg ExperimentInterferenzen im Streulicht zweier Ionen
FalleD1 D2Laser beam
z
Polarisationssensitive
Detektion
Eichmann et al, Phys.Rev.Lett. 1993
NIST,Boulder D. Wineland
Polarisationssensitive Fluoreszenzlichtmessung
Welcher-Weg Information kodiert in inneren Zuständen des Ions:keine Interferenz
Keine Welcher-Weg Information :Interferenz
Linearer Chirp
Lichtpulskein “Chirp”
dispersives Medium
Lichtpulsmit negativem “Chirp”
Zeitliche Ordnung der Frequenzkomponenten im Laserpuls
Chirp
Crab nebula6000 Lichtjahre entferntRadiopulse
Staelin und Reifenstein 1968
Chirp
Chirp: Veränderung der Frequenz mit der Zeit
Brehm’s TierlebenDer Kanarienvogel
Zuordnung einer Wellenfunktion ( 1dimensional, nicht relativistisch)
)(),( tkxiAetx
Einführung von Operatoren
tiEop / xipop
),(),( txEtxt
i ),(),( txptx
xi
Zugehörige Wellengleichung
(Schrödingergleichung für ein freies Teilchen)
),(2
),( 2
22
txxm
txt
i
),(2
),( 22
trm
trt
i
1 dim
3dim
),()),(2
(),( 2
22
txtxVxm
txt
i
(1 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(x,t)
Hamiltonoperator:
Kinetische und potentielle Energie
),(2 2
22
txVxm
VTH
),()),(2
(),( 22
trtrVm
trt
i
),(),( trHtrt
i
(3 dim.Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem Potential V(r,t)
Das ist fast schon alles!
Statistische Interpretation der WellenfunktionM. Born 1926
"for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction Nobel prize 1954
Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten <A>
rdAdtd
Adtd
*=
rdt
AtA
At
Adtd
)(*
***
rdHAAHit
Adtd
)(
1 *
Hermetizität
Für einen reellen Erwartungswert gilt:
rdFrdF
** )(
Falls A nicht explizit von der Zeit abhängt gilt
HAi
Adtd
,1
mit HAAHHA ,
Alle Operatoren, die mit H vertauschen (kommutieren),d.h. wenn der Kommutator null ist, sind Erhaltungsgrößen
Definition: Kommutator
Schrödingergleichung ist linear, erlaubt Superposition
Zeitunabhängige Schrödingergleichung
Falls das Potential nicht explizit zeitabhängig ist, gibt es stationäreLösungen der Form:
EtiE ertr )/()(),(
)()( rErH EE
Energieeigenzustände
Es kann mehrere Energieeigenwerte mit den dazu gehörigen Eigenfunktionen zu einem Hamiltonoperator geben.Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren, so spricht man von Entartung.
nnn aH
'* )()( nnnn rr
Kronecker Symbol
Eigenfunktionen sind orthogonal
)()(),( rtctr nn
n
Entwicklung nach vollständigem Orthonormalsystem
2|)(|)( tctP nn Cn Wahrscheinlichkeitsamplituden
Messung des Eigenwertes an
Dirac Schreibweise
rdrgrfgf
)()(| *
Damit schreibt sich die Projektion
rdrAgrfgAf
)()(|| *
Matrixelement
)(),()( ' tctrr nn
als |'n
Kommutierende Observablen
Kommutieren zwei Observable A und B, dann existiert ein kompletter Satz von Eigenfunktionen zu A und B.Falls [A,B] ungleich null, dann können beide Observablen nicht gleichzeitig scharf gemessen werden.
Beispiel: Ort und Impuls
Kompletter Satz von kommutierenden Observablen ist die größteAnzahl kommutierender Observablen für ein Problem.
ipx x ],[
Eindimensionale Beispiele
)()(2 2
22
xExxm
KastenpotentialV(x)=0 für |x|<aV(x)=unendlich für x<-a und x>a
für |x|<a
xa
naxn 2
cos/1)(
xa
naxn 2
sin/1)(
Lösungenn=1,3,5...
n=2,4,6...
Mit Randbedingungen folgt:
Eigenwerte
2
22222
22/
Ln
mmkE nn
n=1,2,3..
Bemerkungen
Nullpunktsenergie von null verschieden
Gerade und ungerade FunktionenParitätsoperator 1P
Eindimensionaler harmonischer Oszillator
22
21
21
)( xmkxxV
Bedeutung in der Physik
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Molekülzustände,Gittervibrationen, Näherung in der Umgebung eines Minimums
...|)(21
|)()()( 2
22
aaax xW
axx
WaxaWxW
im Minimum0|)( axW
ax
)()(21
)(2
22
22
xExkxxxm
m
x undmkE
2
0)()()( 2
2
2
Ansatz:
)()( 2/2
nHe Hn Hermite-Polynome
folgen aus einem PotenzreihenansatzLösungen´nur für= 2n+1
m
mmah
0
)(
)21
( nEn Eigenwerte
Eigenfunktionen )()( 2/2
xHeNx nx
nn
Ist die Grundzustandsenergie verträglich mit dem Unschärfeprinzip?
Antwort folgt
Drehimpuls
Operatoren
iLz
2
2
222
sin1
)(sinsin
1
L
Simultane Eigenfunktionen zu L2 und Lz :L2 und Lz vertauschen mit H: ErhaltungsgrößenEigenwerte l(l+1) und m (magnetische Hauptquantenzahl, Werte von m: -l,l+1,...l-1,l)
Kugelflächenfunktionen ),( mY
prL
klassisch umsetzen in q.m. Ausdruck, kartesische ->sphärische Koordinaten
präzediert , daher keine ErhaltungsgrößeL
Zentralpotentiale
Potential V( r ) || rr
)(2
22
rVm
H
)(sin1
)(sinsin1
)(1
2 2
2
2222
2
2
rVrrr
rrrm
H
)()(1
2 22
22
2
2
rVr
Lr
rrrm
H
0,, 2 zLHLH
Simultane Eigenfunktionen zu H, L2,Lz
Separation
),()(),,( mEmE YrRr
)()()())1(
)(1
2 ,,22
2
2
rERrRrVrr
rrrm EE
mit )()( ,, rrRru EE
)()()(2
)1(2 ,,2
2
2
22
rEururVmrrm EE
Veff(r)
Radialgleichung