UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baudynamik (Master) – SS 2017
3. Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden3.1 Einige Prinzipien der Mechanik und Herleitung der Schwingungsgleichungen3.1.1 Einige Prinzipien der Mechanik3.1.2 Herleitung der Schwingungsgleichungen
3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen
3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
1
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Baudynamik (Master) – SS 2017
3.3 Gedämpfte freie Schwingungen3.3.1 Eigenwertproblem3.3.2 Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung
3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen3.4.1 Direkte Lösungsmethode3.4.2 Methode der Modaltransformation
3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen3.5.1 Direkte Lösungsmethode3.5.2 Methode der Modaltransformation
3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden3.6.1 Modale Reduktion3.6.2 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode
2
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Baudynamik (Master) – SS 2017
3. Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden
3.1 Einige Prinzipien der Mechanik und Herleitung der
Schwingungsgleichungen3.1.1 Einige Prinzipien der Mechanik
3.1.2 Herleitung der Schwingungsgleichungen
3
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Baudynamik (Master) – SS 2017
Quelle der Bilder: http://en.wikipedia.org/wiki/
3.1.1 Einige Prinzipien der Mechanik
4
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Newtonsches Gesetz, d‘Alembertsches Prinzip
Isaac Newton (25.12.1642 - 20.03.1727)
Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (16.11.1717 - 29.10.1783 )
F ma
0TF F
TF ma d’Alembertsche Trägheitskraft
1.) 2. Newtonsches Gesetz
Dynamisches Gleichgewicht, Prinzip der d‘Alembertschen Trägheitskräfte, d‘Alembertsches Prinzip
2.) d’Alembertsche Trägheitskraft
5
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( ) 0F ma r
d‘Alembertsches Prinzip lautet eigentlich:
: virtuelle Verrückungr
d‘Alembertsches Prinzip
6
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Joseph-Louis de Lagrange (25.01.1736 - 10.04.1813)
Leonhard Euler (15.04.1707 – 18.09.1783)
( , , )i i k pL q q t E E
0i i
d L Ldt q q
: Lagrangesche Funktion: verallgemeinerte Koordinaten
: Zeit: kinetische Energie: potentielle Energie
i
k
p
LqtEE
Euler-LagrangescheGleichung
Lagrangesche Gleichung
3.) Lagrangesche Gleichung
: verallgemeinerte Kräfte ii
Lfq
7
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William Rowan Hamilton (04.08.1805 - 02.09.1865)
: verallgemeinerte Impulse ii
Lpq
1
: Hamiltonsche Funktionn
i i k pi
H q p L E E
, i ii i
H Hq pp q
Hamiltonsches Prinzip
Legendre-Transformation:
Adrien-Marie Legendre (18.09.1752 – 10.01.1833)
4.) Hamiltonsches Prinzip
Hamiltonsche Gleichungen, kanonische Gleichungen
, : kanonische Variableni iq p
8
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Adrien-Marie Legendre (18.09.1752 – 10.01.1833)(Französischer Mathematiker)
Louis Legendre (1752–1797)(Französischer Politiker)
Legendre
Beide wurden für etwa 200 Jahre verwechselt (bis 2005)!
9
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Baudynamik (Master) – SS 2017
3.1.2 Herleitung der Schwingungsgleichungen
10
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Methoden zur Herleitung der Schwingungsgleichungen:
1.) Einmassenschwinger, einfache Systeme
• 2. Newtonsches Gesetz
2.) Zwei- und Mehrmassenschwinger, komplizierte Systeme
• Nachgiebigkeitsmethode
• Steifigkeitsmethode
• Lagrangesche Gleichungen
• Hamiltonsches Prinzip
11
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Beispiel 1: Herleitung mit der Nachgiebigkeitsmethode
1
1121
1
1222
1m2m
1w2w1TF2TF
1 1 1TF m w 2 2 2TF m w
1 1 11 2 12
2 1 21 2 22
T T
T T
w F Fw F F
d´Alembertsche Trägheitskräfte:
Gesamte Durchbiegungen:
12
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Schwingungsgleichungen:
1 1 11 2 2 12 1
1 1 21 2 2 22 2
00
m w m w wm w m w w
1 11 2 12 1 1
1 21 2 22 2 2
00
m m w wm m w w
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
0 00 0m w w
m w w
δ M w w 0
11 12
21 22
Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix
δ
1
2
0Massenmatrix
0m
m
M
1
2
Verschiebungsvektorww
w
13
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
3 3
3 211
3 23 3
21
1:
1 1 3 1 16 31 1 1 53 16 2 2 48
ll
l lEI EIl l
EI EI
33 33 2
12
3 23 3
22
/ 2 1 :2
1 1 1 51 3 1 16 2 2 48
1 1 1 136 2 2 2 24
ll
l lEI EI
l lEI EI
3 16 55 248
lEI
δ
Nachgiebigkeitsmatrix:
14
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Beispiel 2: Herleitung mit der Steifigkeitsmethode1m2m
1 1 1TF m w 2 2 2TF m w
1 1 11 2 12
2 1 21 2 22
F w k w kF w k w k
d´Alembertsche Trägheitskräfte:
Rückstellkräfte:
1w2w1TF2TF
1F
2F
11k
21k1
12k
22k
1
15
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Dynamisches Gleichgewicht:
1w2w1TF2TF
1F
2F1 1
2 1
00
T
T
F FF F
1 11 2 12 1 1
1 21 2 22 2 2
00
w k w k m ww k w k m w
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
0 00 0
k k w m wk k w m w
K w + M w 011 12
21 22
Steifigkeitsmatrixk kk k
K
1
2
0 Massenmatrix
0m
m
M 1
2
Verschiebungsvektorww
w
16
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Bestimmung der Steifigkeitsmatrix:1.) Methode 1
K δ = I 1K = δ 116 5 2 51 =5 2 5 167
δ K δ
2.) Methode 2
11k
21k11
1121
1
1222
1 11 11 21 12
2 11 21 21 22
= 1= 0k kk k
11 212 5,
7 7k k
17
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
1
1121
1
1222
1 12 11 22 12
2 12 21 22 22
= 0= 1k kk k
22 1216 5, 7 7
k k
12k
22k
1
18
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Beispiel 3: Lagrangesche Gleichung
2 21 1 2 2
1 12 2kE m x m x
221 1 2 2 1
1 12 2pE c x c x x
22 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1
1 1 1 12 2 2 2k pL E E m x m x c x c x x
Kinetische Energie:
Potentielle Energie:
Lagrangesche Funktion:
1 1 2 2, q x q x
19
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
1 11 1
2 22 2
L L m xq xL L m xq x
1 11
2 22
d L m xdt x
d L m xdt x
1 1 2 2 11
2 2 12
( 1)L c x c x xxL c x xx
1 1 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
00
m x c c x c xm x c x c x
1 2 2 1 1 1
2 2 2 2 2
0 00 0
c c c x m xc c x m x
K x + M x = 0
20
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
Beispiel 4: Hamiltonsches Prinzip
2 2 2 21 1 2 2 1 2
1 2
1 1 1 12 2 2 2kE m x m x p p
m m
221 1 2 2 1
1 12 2pE c x c x x
22 2 21 2 1 1 2 2 1
1 2
1 1 1 12 2 2 2k pH E E p p c x c x x
m m
Kinetische Energie:
Potentielle Energie:
Hamiltonsche Funktion:
1 1 2 2, q x q x
1 1 1 2 2 2, p m x p m x Impulse:
21
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
22 2 21 2 1 1 2 2 1
1 2
1 1 1 12 2 2 2
H p p c q c q qm m
11 1
22 2
1
1
H pp mH pp m
ii
Hqp
1 11
2 22
1
1
x pm
x pm
1 1 2 1 21
2 2 12
H c x c x xqH c x xq
ii
Hpq
1 1 1 2 1 21
2 2 2 12
Hp c x c x xqHp c x xq
22
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Herleitung der Schwingungsgleichungen
1 1 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
00
m x c c x c xm x c x c x
1 2 2 1 1 1
2 2 2 2 2
0 00 0
c c c x m xc c x m x
K x + M x = 0
23
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Baudynamik (Master) – SS 2017
3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen
24
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen
x + x 0
Zwei Freiheitsgrade:
oder
: Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix: Steifigkeitsmatrix: Massenmatrix
x x 0
cos( )t x ALösungsansatz:
25
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Eigenfrequenzen und Eigenformen
2
1
I A 0
Eigengleichungen:
oder
: Nachgiebigkeitsmatrix, Flexibilitätsmatrix: Steifigkeitsmatrix: Massenmatrix
: Einheitsmatrix: Eigenfrequenzen: Eingenvektoren, Eigenformen
2 M A 0
26
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Eigenfrequenzen und Eigenformen
1 2 1 2 , ( )Eigenfrequenzen :
Bedingung für nicht-triviale Lösungen:
Charakteristische Gleichung für die Eigenfrequenzen
2
1Det 0
I 2Det 0 M oder
1 2 ,Eigenvektoren : A A
27
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
21 1
22 2
M A 0
M A 0
Bemerkungen:
Eigenfrequenzen und Eigenformen sind wichtige dynamische Systemeigenschaften.
Die Eigenfrequenzen sind die Eigenwerte des Eigenwert-problems.
Die Eigenvektoren werden häufig als Eigenformen oder Eigenmoden bezeichnet.
Eigenfrequenzen und Eigenformen
28
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1 1 1 1 2 2 2 2cos( ) cos( )c t c t x = A A
Lösung:
Insgesamt 4 Unbekannten aus 4 Anfangsbedingungen (pro Masse 2 Anfangsbedingungen)!
10 101 1
20 202 2
(0) (0)(0) , (0)
(0) (0)x vx xx vx x
x = x =
Homogene Lösung
29
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bemerkungen zu Freiheitsgraden
Kontinuierliches System: Unendlich viele Freiheitsgrade
Diskretes System:Endlich viele Freiheitsgrade
Methode der verallgemeinerten
Koordinaten
Methode der konzentrierten
Massen
1 2 n, ,...,m m m1
( ) ( ) ( )n
i ii
w x a t x
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 30
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bemerkungen zu Freiheitsgraden
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist im Allgemeinen nicht gleichder Anzahl der Massen.
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist abhängig von der Annahme(dehnstarr, dehnbar, etc.).
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist unabhängig von derstatischen Unbestimmtheit und der geometrischen Unbe-stimmtheit.
Je mehr Freiheitsgrade, desto genauer sind die Ergebnisse,desto aufwendiger ist die dynamische Berechnung.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 31
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n Freiheitsgrade:
x x 0 cos( )t x A
2 M A 0
2Det 0 M
1 2 n, ,..., Eigenfrequenzen :
1 2 n , ,...,Eigenvektoren : A A A
Eigenfrequenzen und Eigenformen
32
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1 1 1 1 2 2 2 2 n n n ncos( ) cos( ) ... cos( )c t c t c t x = A A A
Lösung:
Insgesamt 2xn Unbekannten aus 2xn Anfangsbedingungen
(pro Masse 2 Anfangsbedingungen)!
10 10
20 20
n0 n0
(0) , (0)
x vx v
x v
x = x =
Homogene Lösung
33
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3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Baudynamik (Master) – SS 2017
34
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Die Berechnung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung bei großen Matrizen (größer als 3x3)ist meistens sehr aufwendig. Daher werden häufig numerische Näherungsverfahren angewendet.Dazu gehören numerische Methoden für symmetrische Matrizen und dünnbesetzte große Matrizen:
• Potenzmethode• Inverse Iteration• Lanczos-Verfahren• Arnoldi-Verfahren• Jacobi-Verfahren• Jacobi-Davidson-Verfahren
Satz für die Eigenfrequenzen:
Wenn M und K reell, symmetrisch und positiv definit sind, dannexistieren n positive reelle Eigenfrequenzen (n = Anzahl der Freiheits-grade).
Wenn M reell, symmetrisch und positiv definit, und K reell,symmetrisch und semi-positiv definit ist, dann existieren n nicht-negative Eigenfrequenzen (n = Anzahl der Freiheitsgrade).
Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
35
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Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Eine Matrix ist positiv definit, falls ihre quadratische Formpositiv ist, d.h.
T 0x Kx
Eine Matrix ist semi-positiv definit, falls ihre quadratischeForm nicht negativ ist, d.h.
T 0x Kx
36
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Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Eigenschaften der Eigenformen: Die Elemente der Eigenvektoren Ai sind nicht unabhängig
voneinander und können nicht eindeutig bestimmt werden. Aikönnen nur für ihre Verhältnisse oder mit einer Normierungbestimmt werden.
Häufig verwendete Normierungen:
1 n
T
T
1.) 1 oder 1 (Ingenieurnormierung)
2.) 1 (Massennormiert, wichtig für Modalanalyse)
3.) 1 (Steifigkeitsnormiert, manchmal numerisch vorteilhaft)
i i
iM iM
iK iK
A A
A M A
A K A
TUmrechnung: i
iM
i i
AA =A M A
37
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T
T
1.) 0 ( ) 1. Orthogonalität
2.) 0 ( ) 2. Orthogonalitäti j
i j
i j
i j
A M A
A K A
Orthogonalität:
Die Orthogonalitätseigenschaft der Eigenvektoren wird häufigbei iterativen Bestimmungen der Eigenvektoren ausgenutzt.
Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Physikalische Bedeutung:
Schwingt ein System in einer bestimmten Eigenform, leistenseine Trägheitskräfte keine Arbeit auf andere Eigenformen.Seine Energie kann also nicht auf andere Eigenformenübertragen werden.
38
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baudynamik (Master) – SS 2017
3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation
39
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Eigenmatrix oder Modalmatrix:
11 12 1n
21 22 2n1 2 n
n1 n2 nn
A A AA A A
, ,...,
A A A
A A A
T
T
1 (Massennormiert)
0 (Orthogonalität)i i
i j
A M A
A M A
!)i iM(hier : A A
T M I
2i i M A 0
T 2 T 2 T
1
T 2 T 2 T
0
i i i i i i i i
i j j i j j i j
A M A A A A A 0
A M A A A A A 0
21
T 2 22
0 00 00 0
K
Modalmatrix
40
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Modaltransformation:x = q
q q 0
2
T T I
q q 0
2 q q 0 Entkoppelte Differentialgleichungen!
x = q
qRücktransformation
: Physikalische Koordinaten: Modale Koordinaten
xq
Modale Transformation
41
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0
0
2222
1211
qωq
qωq 1 1 1 1
2 2 2 2
cos( )cos( )
q c tq c t
01-1-
01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq
Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen(pro Masse 2)!
T -1 T= Φ MΦ I Φ = Φ MBeachte:
Modale Transformation
Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auchnach der Rücktransformation durchgeführt werden!
42
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Die Methode der modalen Transformation wird häufig auchals Modalanalyse bezeichnet.
Die grundlegende Idee der Modalanalyse besteht darin,Schwingungen von Mehrfreiheitsgradsystemen als Super-position der Schwingungen von mehreren Einfreiheitsgrad-systemen darzustellen.
Modalanalyse
43
UNIVERSITÄT SIEGEN
Baudynamik (Master) – SS 2017
3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen
3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 44
UNIVERSITÄT SIEGEN
Lord Rayleigh (12.11.1842-30.06.1919) Walter Ritz (22.02.1878-07.07.1909)
Rayleigh und Ritz
Quelle: http://www.wikipedia.org
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 45
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2
2
1Potentielle Energie: 21Kinetische Energie: 2
p
k
E kx
E mx
T
T
1212
p
k
E
E
x Kx
x Mx
cos( )t x AT 2
T 2 2
1 cos ( )21 sin ( )2
p
k
E t
E t
A KA
A MA
T,max
T 2,max
1212
p
k
E
E
A KA
A MA
,max ,maxp kE E
T2
T A KAA MA
Energieerhaltung:
Rayleigh-Quotient
Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme
46
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
T2
Ti i
ii i
A KAA MA
2 2,i i exakt
Bemerkungen:Falls der exakte Eigenvektor A verwendet wird, dann erhält man auch die exakteEigenfrequenz.
Falls nur eine Näherungslösung für den Eigenvektor verwendet wird, dann erhält maneine Näherungslösung für die Eigenfrequenz:
Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer alsdie exakte Eigenfrequenz ist:
Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenzverwendet.
Als Näherungslösung für den Eigenvektor kann die statische Lösung verwendetwerden.
Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme
47
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22
0 0
2
0
1 1Formänderungsenergie: ( ) ( , )2 ( ) 2
1Kinetische Energie: ( ) ( , )2
l l
p
l
k
ME U dx EI x w x t dxEI x
E m x w x t dx
( ) cos( )w W x t
,max ,maxp kE E
Rayleigh-Quotient
Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme
22
0
22 2
0
1 cos ( ) ( ) ( )2
1 sin ( ) ( ) ( )2
l
p
l
k
E U t EI x W x dx
E t m x W x dx
2
2 02
0
( ) ( )
( ) ( )
l
l
EI x W x dx
m x W x dx
48
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme
2
2 02
0
( ) ( )
( ) ( )
l
i l
EI x W x dx
m x W x dx
2 2,i i exakt
Bemerkungen:Falls die exakte Biegelinie W(x) verwendet wird, dann erhält man auch die exakte Eigenfrequenz.
Falls nur eine Näherungslösung für die Biegelinie verwendet wird, dann erhält man auch nur eineNäherungslösung für die Eigenfrequenz:
Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer als die exakteEigenfrequenz ist:
Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz verwendet.
Als Näherungslösung für die Biegelinie kann die statische Biegelinie verwendet werden.
Je weniger die Näherungslösung von der exakten Biegelinie abweicht, desto genauer ist dieabgeschätzte Eigenfrequenz im Rayleigh-Verfahren.
Die Näherungslösung für die Biegelinie soll mindestens die geometrischen Randbedingungenerfüllen.
49
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Das Ritz-Verfahren ist eine Erweiterung des Rayleigh-Verfahrens (daher auch als Rayleigh-Ritz-Verfahren bekannt) , indem man einen mehrgliederigen Ansatz macht:
Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
1( ) ( )
n
i ii
W x a x
ai werden als verallgemeinerte Koordinaten und i(x) werden als Ritz-Basisfunktionen oderFormfunktionen bezeichnet. n entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade. Mit der Energiebetrachtungerhält man nun den Rayleigh-Quotienten:
2
012
2
01
( ) ( )( )
( ) ( )
nl
i ii
i nl
i ii
EI x a x dxUR aE
m x a x dx
Damit der Fehler minimal bleibt, muss gelten:
2
2
( ) 1 0 0 i
i i i i i
R a U U E U U Ea E a a a E aE
50
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
1 10
1 10
2 ( ) ( ) ( ) 2
2 ( ) ( ) ( ) 2
ln n
j j i ij jj ji
ln n
j j i ij jj ji
U a EI x x x dx k aa
E a m x x x dx m aa
Daraus ergibt sich:
2
1
0n
ij ij jj
k m a
Oder in Matrizenschreibweise:
2 0 K M a
51
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
l
ij i j
l
ij i j
k EI x x x dx
m m x x x dx
Die verallgemeinerte Steifigkeitsmatrix K und die verallgemeinerteMassenmatrix M können aus den folgenden Gleichungen bestimmtwerden:
52
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bemerkungen:Falls nur ein Glied im Ritz-Ansatz verwendet wird, dann ergibt sich als Sonderfall das Rayleigh-Verfahren.
Das Rayleigh-Verfahren ist nur für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz geeignet, während das Ritz-Verfahren auch für höhere Frequenzen geeignet ist.
Man kann zeigen, dass die Eigenfrequenzen aus dem Ritz-Verfahren immer größer als dieexakten Werte sind:
Je mehr Glieder verwendet werden, desto genauer sind die Ergebnisse, desto aufwendiger ist dieBerechnung.
Der Ritz-Ansatz muss mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen.
Wird das Ritz-Verfahren nicht auf die gesamte Struktur, sondern nur auf ein Element angewendet,dann ist das Ritz-Verfahren identisch mit der finiten Elemente Methode (FEM).
Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
2 2,i i exakt
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 53
UNIVERSITÄT SIEGEN
FEM
1 1 2 2 3 3 4 4
2 3
1
2
2
2 3
3
2
4
( )
( ) 1 3 2
( ) 1 2
( ) 3 2
( )
w x a a a a
x xxl l
x xx xl l
x xxl l
x xx xl l
1
2
3
41
1
/x l
1a
2a3a
4a, ,EI m l
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
FEM
0
2
( ) ( )
12 126 6
6 4 6 212 126 6
6 2 6 4
l
ij i jk EI x x dx
l ll lEI
ll l
l l
K
0
2 2
2 2
( ) ( )
156 22 54 1322 4 13 354 13 156 2242013 3 22 4
l
ij i jm m x x dx
l ll l l lm
l ll l l l
M
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3
(0) 1, (0) (0) (0) 0(0) 1, (0) (0) (0) 0( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0l l l ll l l l
Eigenschaften der Formfunktionen:
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 55
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.3 Gedämpfte freie Schwingungen
3.3.1 Eigenwertproblem
Baudynamik (Master) – SS 2017
56
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
0xMxDKx teAx
0AMDK ][ 2
0)(Det 2 MDK
,i 1 2 nj j d j (j , ,..., ) Komplex konjugierte Eigenwerte:
Eigenwertproblem
21 0+ + 0n
na a a
57
UNIVERSITÄT SIEGEN
Bemerkungen: Die Eigenwertberechnung bei gedämpften Systemen ist im Allgemeinen sehr
aufwendig.
Falls j positiv (schwache Dämpfung) ist, dann hat man eine gedämpfteSchwingung mit abklingenden Amplituden. Falls i negativ (starkeDämpfung) ist, dann hat man keine Schwingung (Kriechbewegung).
D ist im Allgemeinen symmetrisch.
Die Modalmatrix kann die Steifigkeitsmatrix K, aber nicht die Dämpfungs-matrix D diagonalisieren. D.h., eine Entkoppelung der Schwingungs-gleichungen ist durch eine Modaltransformation bei gedämpften Schwin-gungen im Allgemeinen nicht möglich.
Nur durch spezielle Annahmen für die Dämpfung (modale Dämpfung undRayleigh-Dämpfung, siehe später) können die Schwingungsgleichungendurch eine Modaltransformation entkoppelt werden.
Eigenwertproblem
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 58
UNIVERSITÄT SIEGEN
Φqx
0 K q D q M q
0xMxDKx
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Τ Τ Τ
diagonal i. A. nicht diagonal diagonal
0 K q D q M q
Entkoppelung der Gleichungen i. A. nicht möglich!
Eigenwertproblem
Dämpfung:• Stahlbeton: 5%• Stahl: etwa 1%-2%
Τ
Τ
Τ
modale Steifigkeitsmatrix: modale Massenmatrix: modale Dämpfungsmatrix
KMD
59
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.3 Gedämpfte freie Schwingungen
3.3.2 Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung
Baudynamik (Master) – SS 2017
60
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
0qωq 2
21 1 1 1 1 1
22 2 2 2 2 2
0
0
q 2D q ω q
q 2D q ω q
0qωqdq 2
1 1
2 2
2 0 0d 0 2 0
DD
Ungedämpft:
Gedämpft:
Modale Dämpfung!
Modale Dämpfung!
Modale Dämpfung
Modale Dämpfung: In jeder modalen Gleichung wird ein Dämpfungsterm addiert!
61
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1
2
1 1 1 1
2 2 2 2
cos( )
cos( )
t
t
q c e t
q c e t
Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen (pro Masse 2)!
01-1-
01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq
Φqx Rücktransformation:
Lösung:
Modale Dämpfung
Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auchnach der Rücktransformation durchgeführt werden!
62
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
KMD
Φqx
0qMΦΦq)KΦΦMΦΦqKΦΦIωIω 22
TTTT (
0qMqK)MqK (
d
0qωqdq 2
0xMxDKx
Rayleigh-Dämpfung
Rayleigh-Dämpfung: (Proportionale Dämpfung, Bequemlichkeitshypothese)
63
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
12j j
j
D
1 1
2 2
2 0 0d 0 2 0
DD
Rayleigh-Dämpfung
cos( ), ( 1, 2,..., n)iti i i iq c e t i
Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen (pro Masse 2)!
01-1-
01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq
Φqx Rücktransformation:
Lösung:
1 2 1 2 2 12 22 1
2 2 1 12 22 1
2 ( )
2( )
D D
D D
Im Modalraum ist die modale Dämpfung also
identisch mit der Rayleigh-Dämpfung!
64
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen
3.4.1 Direkte Lösungsmethode3.4.2 Methode der Modaltransformation
Baudynamik (Master) – SS 2017
65
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x x F ( ) cos( )t t F F
( ) cos( )p pt t x x
2
dyn
p K
x F
Dynamische Steifigkeitsmatrix
1
dyn
p dyn x K F
Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix
11 2dyn
( ) H( ) K K M Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix Hoder Übertragungsmatrix bezeichnet.
Harmonischer Lastvektor:
Direkte Lösungsmethode
( ) ( ) ( )t t t h px x xGesamtlösung:
Homogene Lösung: siehe freie Schwingungen!:
Partikularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Seite
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x x F
( ) cos( )t t F Fq q = F Harmonische Erregung
Methode der Modaltransformation
x q
2 Tq + q F
h p q q q
x q Rücktransformation
T Tq q = F
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( ) cos( )p t t q q
Methode der Modaltransformation
2 Tp p q + q F
Homogene Lösung: siehe freie Schwingungen!:
Partikularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Seite
n1 1 2 2 n n2 2 2 2 2 2 2 2
11 2 n
dyn
TT T TiM iMM M M M M M
pi i
A AA A A A A Ax F = F
2 2
TiM
ipi
q
A F
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Baudynamik (Master) – SS 2017
3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen
3.5.1 Direkte Lösungsmethode3.5.2 Methode der Modaltransformation
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h h h x Dx x 0
( )h tx
Direkte Lösungsmethode: Homogene Lösung
Bemerkung:Die homogene Lösung bei gedämpften Systemen klingt mit der Zeit rasch ab, so dass nach kurzer Zeit (im eingeschwungenen Zustand) nur die Partikularlösung maßgebend bleibt.
vgl.: Gedämpfte freie Schwingungen!
70
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p p p x Dx x F
2i p D - x F
( ) i tt e F F
Direkte Lösungsmethode: Partikularlösung
( ) i tp pt e x x
2i
dyn
p K
D x F
Dynamische Steifigkeitsmatrix
1
dyn
p dyn x K F
Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix
11 2idyn
( ) H( ) K K + M M Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix Hoder Übertragungsmatrix bezeichnet.
71
UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
x Dx x F
* *( ) cos( )t t F F
x q
2 *q + dq + q F
q D q + q F
*
T T F
q D q + q F ( ) cos( )t t F F
2 *2 cos( )i i i i i i iq D q q F t + +
2 * 22 / ) ( / ) cos( )i i i i i i i iq D q q F t / + ( +
Methode der Modaltransformation
(vgl. gedämpfter Einmassenschwinger!)
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h pq = q q
x q Rücktransformation
2 22 2 2
2 1tan( ) , 1 1 4
i ii i
ii i i
D VD
* 2( ) ( / ) cos( )ip i i i iq t V F t Partikularlösung
( )h tq
( )p tq
Methode der Modaltransformation
2( ) cos( )n
T ip iM iM i
i i
Vt t
x A A F
* Ti iMF A F
( )h ht x q
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Baudynamik (Master) – SS 2017
3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden
3.6.1 Modale Reduktion
3.6.2 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode
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Modale Reduktion
1 1 2 2 1 1( ) N N N N n nt q q q q q x q A A A A A
Modale Reduktion
Wichtig! Weniger wichtig!
1 1 2 2 ( )N N N Nq q q x A A A q
Die Lösung einer Schwingung ist die gewichtete Superposition derEigenschwingungen (Eigenformen, Eigenmoden). Daher wird die Methodeder Modaltransformation auch als Methode der Modalsuperposition oderModalsuperpositionsmethode bezeichnet.
Niedrige Eigenformen leisten größere Beiträge und höhere Eigenformen haben kleinere Beiträge.
Große Rechenaufwandsreduzierung falls N<<n!
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Modale Reduktion
Modale Reduktion reduziert den Rechenaufwand, aber wie bestimmt man dieGrenze N?
Faustregel:
min max
max
Frequenzband der Erregung: ,Obergrenze der Eigenfrequenzen: 1,5i
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Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode
Direkte Methode Modale Methode
Dämpfung Beliebig. Beliebig.
Entkoppelung Nein. Ja, nur mit Annahme (modal oder Rayleigh).
Aufwand Groß, da Kdyn für jede Anregungsfrequenz neu zu berechnen und zu invertieren ist.
Klein, wenn Entkoppelung oder modale Reduktion (N<<n).
Genauigkeit Hoch. Hoch wenn keine modale Reduktion. Niedrig bei modaler Reduktion.
Linearität Anwendbar auch bei Nichtlinearität.
Nur anwendbar bei Linearität.
Empfehlung Bei Stoß (schmallbandig) (direkte Zeit-Integration)
Bei Erdbeben, Wind (breitbandig)
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