Risikoteilung in der Schadenversicherungsmathematik

Frank Anna

21.12. 2011

Themenübersicht

Gründe zur Risikoteilung Risikoteilung zwischen VU und VN

– proportionale Risikoteilung– nichtproportionale Risikoteilung

Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer

Einfluss auf die Schadenvariablen

Warum Risikoteilung?

Der Ausschluss von Kleinschäden

Die Beeinflussung des moralischen Risikos

Weitere Gründe

Der Ausschluss von Kleinschäden

Im beiderseitigen Interesse

Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten und Regulierungsaufwand

Mehrkosten hat VN über Prämie auszugleichen

Die Beeinflussung des moralischen Risikos

VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf zu beeinflussen

Motivation an Schadenverhütung durch finanzielle Selbstbeteiligung

Weitere Gründe

Der Versicherungsnehmer hält sich für „überdurchschnittliches“ Risiko

Er ist an Reduktion der Kosten interessiert Er möchte nicht ganz auf

Versicherungsschutz verzichten

Formen für Risikoteilung zwischen VN und VU

Proportionale Risikoteilung

Nichtproportionale Risikoteilung

Proportionale Risikoteilung

X = cX + (1-c)X , 0<c<1

X…Schadenvariable (Schadenhöhe pro Schadenfall oder Jahresgesamtschaden)

Proportionale Risikoteilung

Prozenttarife in der Krankenversicherung Unterversicherung Mitversicherung

Nichtproportionale Risikoteilung

X = min(X, a) + max(X-a, 0) , a>0

a…Teilungsgrenze min(X, a)…Erstrisiko max(X-a, 0)…Zweitrisiko

Nichtproportionale Risikoteilung

Abzugsfranchise Erstrisikodeckung Jahresfranchise Jahreslimits

Formen für Risikoteilung zwischen Erst- und Rückversicherer

VU, das anderem VU Versicherungsschutz gewährt, nennt man Rückversicherer

VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt man Erstversicherer

Man unterscheidet wieder zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung

Formen der proportionalen RV

Quoten-Rückversicherung Summenexzedenten-Rückversicherung

Formen der nichtproportionalen RV

Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung

Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung

Jahresüberschaden-Rückversicherung oder Stop Loss

Kombination von RV-Formen

RV-Formen werden oft kombiniert, um– Schutz gegen Frequenzrisiko– Schutz gegen Großschadenrisiko

zu erreichen

Einfluss der Risikoteilung auf die Schadenvariablen

Problem bei nichtprop. Risikoteilung:Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus?(nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden definiert)

bei proportionalen Risikoteilung hingegen handelt es sich um Aufteilung von Prämien und Schäden

Einfluss bei prop. Risikoteilung

an der Schadenzahlverteilung ändert sich nichts

Schadenhöhen werden proportional kleiner Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):

Momente bei prop. Risikoteilung

Variationskoeffizient und Schiefe

mit Momenten leicht berechenbar: Variationskoeffizient:

Schiefe:

Sie verändern sich durch proportionale Risikoteilung nicht.

Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung

Einfluss auf die Schadenzahl

Einfluss auf die Schadenhöhe

Einfluss auf den Gesamtschaden

Einfluss auf die Schadenzahl

Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0)Erstrisiko:=Zweitrisiko:=

…Schadenzahl ohne Risikoteilung …Schadenzahl des Zweitrisikos

und haben oft selbe Verteilungstypen

Einfluss auf die Schadenzahl

Ist negativ-binomial verteilt, ist bei wachsender Schadengröße immer mehr poissonverteilt.

Dies sieht man wegen:

wird bei wachsendem a kleinerje seltener Zweitrisikoschäden, umso eher poissonverteilt

Einfluss auf die Schadenhöhe

Schadenhöhe des Erstrisikos

Verteilungsfunktion des Erstrisikos

Einfluss auf die Schadenhöhe

Momente:

Beziehung:

Variationskoeffizient: Schiefe:

Beziehungen:

Einfluss auf Schadenhöhe

Schadenhöhe des Zweitrisikos

Verteilungsfunktion

Einfluss auf den Gesamtschaden

Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko

Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos

Einfluss auf Gesamtschaden

Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos

Beziehung: wegen und folgt:

Einfluss auf Gesamtschaden

Beziehung der Varianzen:

Wegen

und weil und , werden die Varianzen immer kleiner, d.h.:

und .

Einfluss auf Gesamtschaden

Für die Standardabweichung gilt:

Diese Eigenschaft ist insbesondere im Vergleich zur proportionalen Risikoteilung, bei der gilt, interessant.

bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei Zusammenhänge

Einfluss auf Gesamtschaden

Bei nichtproportionaler Teilung: Variationskoeffizienten des Erstrisikos

Variationskoeffizienten des Zweitrisikos

in folgender Beziehung:

Fazit

proportionale Risikoteilungwenig Einfluss auf Schadenvariablen

nichtproportionale Risikoteilungbedeutender Einfluss auf Schadenvariablen– verschiedene Manipulationen der

Verteilungsfunktionen– erfordert teilweise numerische Integration

VIELEN DANK FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT!!!