21.6.2015 Tag der offenen Tür
Haus der Astronomie & MPIA
Bus 39 alle 15 Min. ab Bismarckplatz > 10:45 Uhr
3. Identität
1. Closure
2. Assoziativität
Was ist eine Gruppe in der Physik ?
a b G
Eine Gruppe { G, } ist Menge G mit Multiplikation so dass a, b, c G ,
a b c a b c a b c
unique I G I a a I a
4. Inverse 1 1 1a G a a a a I
Gruppe { G, } heißt normalerweise einfache Gruppe
(simple group) G und a b = ab.
SO(2): Rotation Einheits-Kreis
cos sin
sin cos
x x
y y
r R r
Rotation in der x-y Ebene um den Winkel : RTR = I
0I R R R R
R R
1-D kontinuierliche Abelsche Lie-Gruppe.
1R R
,G R
3
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
R
2
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
R
1
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
R
SO(3) - Rotationen in 3D
ds² = (dx)T . (dx)
bleibt invariant
R()TR() = I
Jede Rotation
kann in 3 Rot
zerlegt werden
Unitäre Gruppen
operieren in komplexen Räumen
Jeder Punkt der Ebene steht für eine komplexe Zahl. Die
gewöhnlichen reellen Zahlen kommen da auch vor, die
horizontale Achse ist die gewohnte Zahlengerade.
det U = exp i (trH)
SU(n): det U = 1 tr H = 0
MatrizennnSU )1(:)( 2
U = exp (iH) H: Hermite n x n Matrix
000
010
001
000
00
00
000
001
010
321 i
i
010
100
000
00
000
00
001
000
100
654
i
i
200
010
001
3
1
00
00
000
87
i
i
Diagonale Matrizen: su(2) in su(3) Bestimmen die Eigenwerte: Isospin t3 & Hyperladung Y
Isospin su(2) Unter-Algebra
Fermionenbündel einer SU(N) Eichtheorie
Spinor mit N Ladungszuständen, sog. Eich-Ladungen
xψ N
2
1
ψ
ψ
ψ
Jede der N
Komponenten ist ein
Spinor mit 4
Komponenten!
Freies Teilchen: xψmγixψ μ
μ L
Kurzschreibweise für
N
1k
k
μ
μk xψmγixψL
Forderung: Lokale SU(N)-Invarianz bei Komp-Drehung
Kovariante Ableitung aus Symmetrie-Forderung:
U(1)-Symmetrie SU(N)-Symmetrie
1 Photon xAμ
ψDeψD
ψeψ
μ
Qxαi
μ
Qxαi
Eichtransformation:
N2 1 EichBosonen xAa
μ
μμμ ieQAD
Kovariante Ableitung:
a
μμμ AigTID a
Kovariante Ableitung:
Ladungszahl-Operator
Generator der U(1)
Eichtransformation:
ψDeψD
ψeψ
μ
Txαi
μ
Txαi
Kopplungskonstante
Ta : Generatoren von su(N)
Eichtheorie: Was sind Eichbosonen?
• Sei n = Dim(G) und Ta eine Basis der Lie-Algebra g von G, a=1, .., n. Dann beschreiben Matrizen Aµ(t,x) = Aµ
a Ta (mit Einstein Summationskon-vention) einen Zusammenhang des Vektor-bündels n Vektorfelder (1-Formen).
• Diese Vektorfelder entsprechen den Eich-bosonen Es gibt genau Dim(G)-viele Eich-bosonen in einer Eichtheorie: 3 in SU(2), 8 in SU(3)
• Die kovariante Ableitung Dµ der Spinorfelder beschreibt die Kopplung der Eichbosonen an die Fermionen.
• Der Kommutator [Am,An] beschreibt die Wechselwirkung der Eichbosonen untereinander.
Wechselwirkung =
lokale Eich-Symmetrie Konstruktion: Lagrangefunktion ist
invariant unter lokalen Eichtrans-
formationen, die eine Gruppe bilden:
Elektromagnetismus : U(1) Phasentrafo
Schwache WW : SU(2) schwacher Isospin
Starke WW : SU(3) Farbtrafo
GUT-WW : SU(8) Grand Unification
Lisi`s Modell : E(8) Dim = 248 !
Gravitation : Lorentz-Gruppe SO(1,3)
q1
q2
q3
Y =
Y(x) U(x) Y(x) Jedes q-Feld Dirac-Spinor
Lokale Eichsymmetrie
(„Natur nur Farb-invariante
Zustände beobachtet“)
Lagrangedichte bleibt
lokal invariant.
q sind Quarkfelder mit
Farbladung U SU(3)
spezielle unitäre Gruppe
Rotation im komplexen C³
Yang-Mills-Eichtheorie zu SU(3)
νμa
νμ41
μ
μ xψγxψ aFFmIDi L
Quanten-Chromo-Dynamik
a
μμμ AigTID a
c
ν
b
μ
a
μν
a
νμ
a
μν AAfgAAF abc
a = 1,…,n=Dim(SU(3)): Eichfreiheitsgrade; SU(3): Mannigfalt.
n 8: Eichladung Farbe QuantenChromoDynamik 8 Gluonen
Eichtheorie der starken Wechselwirkung des Quarks
N x N Matrix
Der QCD Lagrange
a
as Ggi mmm 21D
aa
abcs
aaa
μν GGfgGGG nmmnnm
mn
mnm
m a
a
q
k
q
j
k
qjk
q
j
q GGmi41) (DLQCD
(j,k = 1,2,3 refer to colour; q = u,d,s refers to flavour; a = 1,..,8 to gluon fields)
Covariant derivative:
Gluon kinetic
energy term
Gluon self-
interaction
Free
quarks
200
010
001
3
1
00
00
000
010
100
000
00
000
00
001
000
100
000
010
001
000
00
00
000
001
010
8765
4321
i
i
i
i
i
iqg-interactions
SU(3) generators:
)],([21
cabcba fi
Studium der Hadronen-Physik (Proton, Neutron etc) aus der Sicht der QCD mittels Computer-Simulationen.
Gitter Eich-Theorie
The QCD Lava Lamp: The typical four-dimensional structure of gluon-field configurations averaged over in describing the
vacuum properties of QCD. The volume of the box is 2.4 by 2.4 by 3.6 fm, big enough to hold a couple of protons. Contrary to
the concept of an empty vacuum, QCD induces chromo-electric and chromo-magnetic fields throughout space-time in its lowest
energy state. Shown is the action density (similar to an energy density).
Simulation:
Derek Leinweber/Adelaide
Framerate: 1 pro 10-25 s Box:
2,4x2,4x3,6 fm
Vakuumfluktuationen Gluonenfeld
Diese Box könnte ein paar Protonen enthalten. Das Vakuum ist nicht
leer, sondern lebt wie ein Ameisenhaufen. Dies zeigt die Energie-
Dichte chromoelektrischer und chromomagnetischer Felder in SUC(3).
QCD Computer-Simulation:
Derek Leinweber Me
so
ne
n =
Qu
ark
-An
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rk
+
ch
ch
rom
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lek
tr.
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eso
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st
Fe
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rgie
1 Fermi
Gluonen-Felder
Meson: m = E/c²
QCD Computer-Simulation:
Derek Leinweber Qu
ark
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eb
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n d
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ch
ch
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lek
tr.
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Ma
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s P
roto
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Fe
lde
ne
rgie
1 Fermi
Gluonen verdrängt
Proton: mp = E/c²
Quarks werden
im frühen Universum in Freiheit geboren,
jedoch heute in Ketten gelegt.
“Gott schuf die Quarks frei”
F. Wilczek, Nobel talk 2004
The Nobel Prize in Physics 2004 - QCD
David J. Gross, H. David Politzer und Frank Wilczek
The Nobel Prize in Physics 2004 was
awarded "für die Entdeckung der
asymptotischen Freiheit in der Theorie
der Starken Wechselwirkung der Quarks
(QCD, 1975)".
Quark-Hadronen Phasenübergang
Ene
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ed
# DoF = 8 Gluonen + 6 Quarks
Asymptotische Freiheit QCD
Feinstrukturkonstante der QElektroDynamik:
Feinstrukturkonstante der QuantenChromoDynamik:
as = gs2/4
Proton-Proton Kollisionen Jets
The jets emerging from the collisions originally consist of partons (= quarks & gluons), which quickly combine to form hadrons, a process called hadronization. Only the resulting hadrons can be directly observed. The hot, dense medium produced in the collisions is also composed of partons, known as a QGP.