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3 Gleichstromkreise 3.1 Begriffe 3.1.1 Netzwerk
Der Lernende kann - den Begriff Netzwerk definieren und Netzwerkbeispiele aus der Gleich. und Wechselstromtechnik angeben - die Begriffe Zweig, Knoten und Masche im Netzwerk definieren - den Begriff spannungsbildendes Schaltelement In der elektrischen Energietechnik und in der Nachrichtentechnik bestehen reale Schaltungen oder Stromkreise aus realen Schalelementen, die in einer dem Zweck entsprechenden Art und Weise miteinander elektrisch verbunden sind. Elektrische Schaltungen werden durch Schaltzeichen dargestellt. Um diese Schaltungen einer Berechnung zugänglich zu machen, werden sie durch ideale Schalelemente modelliert. Dieses Modell bezeichnet man als Netzwerk.
Leitung Einschalter Schließer
Kreuzung ohne Verbindung
Ausschalter Öffner
leitende Verbindung
Umschalter Wechsler
lösbare Verbindung
Batterie
linearer Widerstand Leitwert
Spannungsquelle
Spule
(Spannungsquelle)
Kondensator
Stromquelle
stetig veränderbar
(Stromquelle)
stetig veränderbarer Widerstand
(Stromquelle)
Schleifkontakt
gerichtete Leitung Diode
Widerstand mit Schleifkontakt
V
Spannungs- messer
nichtlinearer Widerstand
A
Strommesser
W
Leistungsmesser
Abb. 3.1.1 Zusammenstellung wesentlicher Schaltelemente nach DIN 40700 bis 40717
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R4R3
R1
Uq1
R2
Uq2
R5
Abb. 3.1.2 a) Gleichstromnetzwerk
uq1
R1
L
C
R2
uq2
b) Wechselstromnetzwerk
Das Netzwerk besteht aus einzelnen Zweigen, die an den Knotenpunkten miteinander verbunden sind und auf diese Weise Maschen bilden. Ein Knotenpunkt ist ein Verzweigungspunkt im Netzwerk, wobei im allgemeinen mindestens drei Verbindungsleitungen zusammenkommen. Knotenpunkte mit zwei Verbindungsleitungen werden für spezielle Fälle definiert. Zwischen zwei Knotenpunkten muss sich immer ein aktives oder passives Schaltelement befinden. Das sind Spannungs- oder Stromquellen, Widerstände, Kondensatoren, Spulen. Befinden sich zwischen zwei oder drei leitenden Verbindungspunkten eines Netzwerkes keine Schaltelemente, müssen diese Verbindungspunkte zu einem Knoten zusammengefasst werden..
Uq1
Uq2
R2
R3IqR1
A
B
K1
K2
1 2 3
K1
K2
Iq
Iq
Abb. 3.1.3 Netzwerk Netzwerkstruktur (Graf)
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Ein Zweig ist die elektrische Verbindung zwischen zwei Knotenpunkten und muss mindest ein aktives oder passives Schaltelement enthalten.
R4R2
R1
Uq1
Uq2
R3
I5R5K1 K2
K3
K1 K2
K3
1 2
5
34M1
M2M3
b)
a) Abb. 3.1.4 Netzwerk a) und Netzwerkstruktur b) mit eingetragenen Maschen
Kein Zweig ist demzufolge die widerstandslose Verbindung zwischen zwei Netzwerksschaltpun
kten. Diese Schaltpunkte werden zu einem Knotenpunkt usammengefasst.
in sich geschlossener Umlauf entlang von Zweigen oder pannungspfeilen.
r aus mindestens zwei Zweigen oder einem Zweig nd dessen Klemmenspannung
tungen
(Vorzeichen) sowie Zählrichtung von Spannung und Strom unterscheiden
werkberechnung notwendigen Spannungs- und Stromzählpfeile in ein Netzwerk
ver ie Richtung vom höheren
positiveren) Potenzial zum niedrigern Potenzial.
z
Eine Masche ist ein S
Eine Masche besteht daher immeu 3.1.2 Zählrich
Der Lernende kann - die Begriffe Richtung und definieren - die für die Netz eintragen
Mit den Richtungen von Strömen und Spannungen wurde das Vorzeichen der Größen festgelegt. Positive Stromrichtung war die Bewegungsrichtung positiLadungsträger, positive Spannungsrichtung war d(
Bei der allgemeinen Untersuchung von Schaltungen und Netzwerken muss man den Wechsel der Strom- bzw. Spannungsrichtung zulassen und eine Betrachtungsweise wählen, die die jeweils zutreffende Stromri
chtung als Ergebnis der Rechnung liefert.
Ra
RiG RiB
UqGUqB
I
Generator Batterie
Ra
RiG RiB
UqGUqB
I
Generator Batterie
Abb. 3.1.5 Stromrichtung a) beim Starten b) beim Betrieb
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Bei der Netzwerksberechnung wird, wenn mehrere Quellen in einem Netzwerk vorhanden sind, die positive Richtung des Stromes und der Spannung in einem Zweig sich aus der Wirkung aller Quellen ergeben und sich erst als Ergebnis der Berechnung feststellen lassen. Es werden deshalb für alle Zweige Stromrichtungen angenommen (positiv gezählt) und durch Richtungspfeile gekennzeichnet. Da es sich hier nicht um die tatsächlichen Stromrichtungen handelt, sondern um positiv zu zählende Richtungen, werden diese Richtungspfeile des Stromes Zählpfeile genannt. Ergibt die Rechnung einen positiven Wert des Stromes, so fließt der Strom tatsächlich in die Zählpfeilrichtung, wird ein negativer Wert errechnet, fließt er entgegen der positiven Zählrichtung. Es hat also wenig Sinn, sich vor der Berechnung Gedanken zu machen, wie der Strom fließen könnte. In den Aufgaben werden deshalb die Stromzählpfeile nach einheitlichem Muster eingetragen:
In waagerecht liegenden Zweigen von links nach rechts, in senkrechten Zweigen von oben nach unten Die Richtungspfeile der Quellen sind die tatsächlichen Richtungen der Quellengrößen und durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Durch ihre Richtung werden die Richtungen aller Zweigströme bestimmt.
Uq1 I2
Uq2
R2
R3IqR1
A
B
I1
I3
R4R2
R1
Uq1
Uq2
R3
I5R5
I1 I2
I3
I4
A
bb. 3.1.6 Eintragung der Quellenspannungen-Richtungspfeile und der Stromzählpfeile
zu versehen
ummerieren )
Beispiel 3.1.01 a) Das Netzwerk ist mit den Zählpfeilen aller Ströme und Spannungen b) Alle Knoten des Netzwerks sind zu markieren und zu nummerieren c) Alle Zweige des Netzwerks sind zu markieren und zu nd In das Netzwerk sind mögliche Maschen einzutragen
R4R2RqIq
UqR3R1
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R4R2
RqIq
UqR3R1K1
K3
K2
Rq RqI ;U1 1I ;U
2 2I ;U 3 3I ;U
4 4I ;Uq
1
2
3
Ma MbMc
3.1.3 Zählpfeilsysteme
Der Lernende kann - die Begriffe aktiver und Passiver Zweipol definieren - Strom- und Spannungszählpfeil nach dem Verbraucherzählpfeilsystem an einem Zweipol antragen - den Begriff Erzeugerzählpfeilsystem an einem Zweipol erklären - die Begriffe Kettenzählpfeilsystem und symmetrisches Zählpfeilsystem an einem Vierpol erläutern
Analog zu den Stromzählpfeilen werden Spannungszählpfeile eingeführt. Spannungsquellen müssen im mit ihrer Polarität bekannt sein. Hier bestimmt die Polarität die Richtung des Spannungspfeils vom höhern zum niedrigeren Potenzial. Für die Spannungsfälle als Ergebnis des Stromes werden Zählpfeile eingeführt.
Werden Spannungs- und Stromzählpfeile, die funktionell voneinander abhängen, in einem Netzwerk eingetragen, sind deren Zählpfeile nicht mehr frei wählbar. Die Gleichung zwischen Spannung und Strom bestimmt deren Vorzeichen.
u und i haben gleiches Vorzeichen u R= ⋅ i R 0>
Werden Klemmenpaare (lösbare Verbindungen) in eine Schaltung eingeführt und zwischen diesen Klemmen eine Klemmenspannung definiert und durch einen Zählpfeil richtungsmäßig festgelegt, erhält man für den Strome mehrere Zählpfeil-Eintragungsmöglichkeiten. Das führt zu Zählpfeilsystemen Hat ein Schaltelement oder ein Netzwerksteil ein Klemmenpaar, spricht man von einem Zweipol oder Eintor. Enthält der Zweipol nur Widerstände ist es ein passiver Zweipol, enthält der Zweipol außerdem Quellen ist es einaktiver Zweipol.
a
b
a
b Abb. 3.1.7 a) passiver Zweipol b) aktiver Zweipol
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Für einen Zweipol gibt es zwei Möglichkeiten der Zuordnung von Spannung und Strom am Klemmenpaar:
1. Spannungs- und Stromzählpfeil haben über dem Zweipol gleiche Richtung und damit gleiches Vorzeichen. p = u⋅i > 0 Leistung wird positiv: Verbraucherzählpfeile
I
U
Abb. 3.1.8 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Verbraucher-Zählpfeilsystem
2. Spannungs- und Stromzählpfeil haben über dem Zweipol entgegengesetzte Richtung, entgegengesetztes Vorzeichen. p = u⋅i < 0 Leistung wird negativ: Erzeugerzählpfeile
I
U
Abb. 3.1.9 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Erzeuger-Zählpfeilsystem
Ordnet man einem Netzwerk zwei Klemmenpaare zu (im Sinne Eingang; Ausgang) erhält man einen Vierpol oder nach DIN 40124 Zweitor. Für Vierpole sind zwei Zählpfeilsysteme üblich:
Kettenzählpfeilsystem: Eingang: Verbraucherzählpfeile, Ausgang: Erzeugerzählpfeile. (Angewendet bei der Beschreibung von Leitungen, Übertragungsgliedern)
I2
U2
I1
U1
Abb. 3.1.10 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Ketten-Zählpfeilsystem
Symmetrisches Zählpfeilsystem: Verbraucherzählpfeile auf beiden Seiten. Immer dann, wenn Eingang und Ausgang wechselseitig vertauschbar sind. (Transformator im Netzeinsatz). Es entstehen gleichartige Gleichungs-systeme zur Beschreibung.
I2
U2
I1
U1
Abb. 3.1.11 Zählpfeile von Strom und Spannung nach dem Ketten-Zählpfeilsystem
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Beispiel 3.1.02 a) Das Grundschema der elektrischen Energieübertragung durch Zusammenschaltung eines Quellenzweipols, eines Übertragungskanal-Vierpols und eines Verbraucherzweipols darzustellen b) Die Zählpfeile für Spannung und Strom sind für die beiden Zweipole als Verbraucherzählpfeilsystem und für den Vierpol als symmetrisches Zählpfeilsystem einzutragen
QuelleÜbertra-gungs-vierpol
Verbrau-cher
EI 1I
EU 1U 2U BU
2I BI
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3.2 Kirchhoffsche Gesetze 3.2.1 Knotensatz
Der Lernende kann - die Knotensatz gleichungsmäßig und verbal angeben - die Vorzeichenvereinbarung für die Knotengleichung angeben - den Knotensatz auf Netzwerksknoten anwenden - den Knotensatz auf Netzwerksbereiche anwenden
In einem abgeschlossenen Raum (Volumen) befindet sich eine endliche Zahl Ladungsträger mit der Gesamtladung Q. Für dieses Volumen gilt der Satz von der Erhaltung der Ladung (Naturgesetz)
In einem abgeschlossenen Volumen kann sich eine Ladung nur durch Zufluss oder Abfluss von Ladungen durch die Oberfläche ändern. Ladungen können nicht erzeugt oder vernichtet werden.
0dt
dQdt
dQdtdQ.konstQ pn =+==
Bilanzgleichung positiver und negativer Ladungen
(3.2.01)
Schließt man innerhalb des Volumens Speichermöglichkeiten aus (keine Kondensatoren oder Spulen), so müssen über die Oberfläche zugeführte Ladungen unmittelbar wieder über die Oberfläche abfließen.
Q=konst.dQ/dt=0
A
Abb. 3.2.1 Ladungserhaltungssatz
dQ/dt=-iz+ia
Aiz ia
zufließender Konvektionsstrom dt
dQi zz = (3.2.02)
abfließender Konvektionsstrom dt
dQi aa = (3.2.03)
az ii0dtdQ
+−== (3.2.03)
Daraus ergibt sich der Knotensatz Die vorzeichenbehaftete Summe aller Ströme, die durch die Hüllfläche eines Volumens fließen ist zu jedem Zeitpunkt gleich Null
∑ (3.2.04) µ
µ = 0i
Vorzeichenvereinbarung: Ströme, deren Zählpfeil aus der Hüllfläche zeigt, werden im Knotensatz mit positivem Vorzeichen summiert.
Kirchhoff, deutscher Physiker 1824-1887
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Der Knotensatz ist allgemeingültig, er ist nicht auf bestimmte Materialien, Schaltungen oder Baugruppen beschränkt, es sind auch keine Detailkenntnisse der Schaltung innerhalb des Volumens erforderlich. Für Netzwerke oder Schaltungen gilt:
1. An jedem Knoten der Schaltung/Netzwerk ist die algebraische Stromsumme gleich Null.
2. Die algebraische Stromsumme durch jede ein bestimmtes Volumen der Schaltung einhüllende Oberfläche (Hüllfläche) ist Null.
IA IB
IC ID
I1I2 I3
I4
K1 K2
K3 K4
K5
Abb. 3.2.2 Anwendung des Knotensatz auf Netzwerksknoten und Netzwerksgebiet
K1: -IA+I1+I2=0 K2: -I1 +IB +I3 = 0 K3: .I2 +IC +I4 = 0 K4: -I4 - I3 - ID = 0 K5: -IA +IB +I3 +I2 = 0
Beispiel 3.2.01 Für alle Knoten des Netzwerks des Beispiels 3.1.01 sind die Knotengleichungen aufzustellen
R4R2RqIq
UqR3R1K1
K3
K2
RqI1I
2I3I
4I
K1: K2: − + K3: I Iq 1 RqI I I− + + = 0 0 01 2 3I I I+ = q Rq 2 3I I− − − =
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3.2.2 Maschensatz
Der Lernende kann - den Maschensatz gleichungsmäßig und verbal angeben - den Begriff Masche erklären - den Umlaufsinn und die Quellenpfeile und die Spannungszählpfeile in einer Masche eintragen und den Maschensatz anwenden
Eine Masche ist ein geschlossener Umlauf im Raum entlang von Spannungspfeilen. Im Netzwerk ist eine Masche ein geschlossener Umlauf entlang einer beliebigen Anzahl von Zweigen.
In der Masche sind die Potentiale der Knotenpunkte a, b, c, d bekannt oder einfach messbar. Für die Zweigspannungen gilt:
adda
dccd
CBbc
BAab
UUUU
ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ=
ϕ−ϕ=
(3.2.05)
0UUUU dacdbcab =+++ (3.2.06)
IA IB
IC ID
I1I2 I3
I4
R2R3
Uq2
R4
R1
Uq1a b
cd
Uab
Ubc
Ucd
Uda
Abb. 3.2.3 Ableitung des Maschensatzes mittels der Knotenpotenziale
Die Zweigspannungen lassen sich in gleicher Weise aus den im Zweig vorhandenen Spannungen (Quellenspannungen, Spannungsabfälle) ermitteln. Daraus ergibt sich der Maschensatz:
Die vorzeichenbehaftete Summe aller Spannungen einer Masche ist Null.
∑ν
ν = 0u (3.2.07)
Anwendungen, Richtungsfestlegungen:
1. Jedem spannungsbildenden Element einer Masche muss ein Richtungspfeil zugeordnet werden. Quellen sind durch ihre Polarität richtungsmäßig festgelegt Spannungsabfälle erhalten einen Zählpfeil und im Ergebnis der Berechnung im Spannungswert ein Vorzeichen, das in Verbindung mit dem Zählpfeil die Spannungsrichtung bestimmt. 2. Bei der Summenbildung der Spannungen einer Masche, muss die Masche in einem vorher definierten Umlaufsinn durchlaufen werden. Dieser Umlaufsinn wird durch einen Pfeil in der Masche markiert. Im Sinne einer einheitlichen Behandlung sollte vorzugsweise der Rechtsumlauf angewendet werden. Ein Spannungspfeil in Umlaufrichtung ist bei der Summenbildung eine positive Spannung, ein Spannungspfeil entgegen der Umlaufrichtung ist eine negative Spannung.
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Energetisch interpretiert sagt der Maschensatz aus, dass ein positiver Ladungsträger beim Herumführen in der Masche in jedem spannungsführenden Element der Masche seine potentielle Energie verändert und die Summe dieser Energieänderungen Null ist. Anwendung des Maschensatzes
1. Spannungspfeile der Quellenspannungen eintragen 2. Zählpfeile der Spannungsabfälle eintragen 3. Maschen entlang von Zweigen und deren Umlaufrichtung festlegen (Ma, Mb, Mc) 4. Maschensätze der Maschen aufstellen Ma: -U3 + U1 –Uq1+U4+Uq2-U2 = 0 Mb: U2 – Uq2 – U5 = 0 Mc: -U3 + U1 –Uq1+U4 – U5 = 0
R1
R2
R3 R4
R5
U1
U2
U3U4
U5
Uq1
Uq2Ma
MbMc
Abb. 3.2.4 Anwendung des Maschensatzes auf eine Netzwerkmasche
Beispiel 3.2.02
R3
R5
R2R1
R4Uq1 Uq2
R6 Uq3
a) Das Netzwerk ist mit den Zählpfeilen aller Spannungen zu versehen b) Im Netzwerk sind möglichst viele Maschen zu markieren und deren Umlaufsinn eunzutragen c) Für die ausgewählten Maschen sind die Maschengleichungen aufzustellen
R3
R5
R2R1
R4Uq1 Uq2
R6Uq3
U1 U2 U3
U4U5
U6
Ma Mb
Mc
Md
Me
Mf
U U− + − = U U U U+ − − = Ma: U U Mb: q1 1 2 4 0 2 3 q2 5 0−
U U U U+ + − = U U U− + − + − = Mc: d: U U U4 5 q3 6 0 4 2 3 q2 q3 6 0 Me: q1 1 2 5 q3 6 0 Mf: q1 1 3 q2 q3 6 0U U U U U U− + + + − = U U U U U U− + − + − =
M
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3.3 Widerstandsschaltungen 3.3.1 Reihenschaltung, Parallelschaltung von Widerständen
Der Lernende kann - erklären, dass jeder passive Widerstandszweipol durch einen Ersatzwiderstand beschrieben werden kann - den Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung angeben - den Ersatzleitwert einer Parallelschaltung angeben - den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung zweier Widerstände angeben
Energieerhaltungssatz führte zum Knotensatz der Leistungen für abgeschlossenes Volumen (3.3.01) 0P =∑ ν
0dt
dWkonstW
=
=pzu pab
Abb. 3.3.1 Energieerhaltungssatz Knotensatz der Leistungen
Der passive Zweipol wird als abgeschlossenes Volumen betrachtet. Befinden sich im Zweipol n Widerstände, dann gilt unabhängig von deren Zusammenschaltung:
P = P1 + P2 + ... + Pn (3.3.02)
Die zugeführte Leistung wird in den n Wider-ständen des Zweipols umgesetzt.
U
I
R1 R2Rn
P
P1 P2 Pn
Abb. 3.3.2 Anwendung des Knotensatzes der Leistung auf einen Widerstandszweipol
Da an den Klemmen des passiven Zweipols Spannung und Strom definiert sind, kann jeder passive Zweipol durch nur einen Widerstand (Ersatzwiderstand) darge- stellt werden.
IUR = (3.3.03)
RURIIUP
22 =⋅=⋅= (3.3.04)
U
I
R
P
P
Abb. 3.3.3 Ersatzwiderstand eines passiven Zweipols
Reihenschaltung Strom durch alle Widerstände gleich I P = P1 + P2 + ... + Pn n
22
21
22 RI...RIRIRI ⋅++⋅+⋅=⋅ R = R1 + R2 + ... + Rn
(3.3.05)
∑ ν=n
1RR
R1 R2 Rn
U
I
P
P1 P2Pn
Abb. 3.3.4 Reihenschaltung von n Widerständen
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Gesamtwiderstand einer Reihenschal-tung ist die Summe der Teilwiderstände, dabei ist R > Rν In der Leitwertdarstellung ergibt sich:
n21 G1...
G1
G1
G1
+++= (3.3.06)
Für zwei in Reihe geschaltete Widerstände ergibt sich: R = R1 + R2 (3.3.07)
21
21
GGGG+⋅
=G (3.3.08)
Beispiel 3.3.01 Die Widerstände R 11 0= Ω , R 2 und R 32 0= Ω 3 0= Ω sind in Reihe geschaltet. Gesamtwiderstand und Gesamtleitwert der Schaltung sind zu bestimmen G 1 2 3R R R R 10 20 30 60= + + = Ω + Ω + Ω = Ω
G1 2 3
1 1 1G 1R R R 10 20 30 60
= = = =+ + Ω + Ω + Ω Ω
6.7mS
Parallelschaltung Bei Parallelschaltung ist die Spannung über allen Widerständen gleich U P = P1 + P2 + ... + Pn U2 G = U2 G1 + U2 G2 + ... + U2 Gn G = G1 + G2 + .... + Gn
(3.3.09) Gesamtleitwert einer Parallelschaltung von n Teilwiderständen ist die Summe derer Teilleitwerte, dabei ist:
G>Gν R<Rν
In Widerstandsdarstellung ergibt sich:
n21 R
1...R1
R1
R1
+++= (3.3.10)
∑=G ν
n
1G
G1G2 Gn
U
I
P
P1 P2 Pn
Abb. 3.3.4 Parallelschaltung von n Widerständen Für zwei parallele Widerstände ergibt sich:
1 21 2
1 1 1G G GR R R
= + = = + (3.3.11)
1 2
1 2
R RRR R
=+
(3.3.12)
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Beispiel 3.3.02 Die Widerstände R 11 0= Ω , R 2 und R 32 0= Ω 3 0= Ω sind parallel geschaltet. Gesamtleitwert und Gesamtwiderstand der Schaltung sind zu bestimmen
G1 2 3
1 1 1 1 1 1G 0R R R 10 20 30
= + + = + + =Ω Ω Ω
.183S
G
1 2 3
1 1R 51 1 1 1 1 1R R R 10 20 30
= = =+ + + +
Ω Ω Ω
.45Ω
3.3.2 Gemischte Schaltungen
Der Lernende kann - Widerstandsnetzwerke durch Anwendung der Reihen- und Parallelschaltbeziehung schrittweise zusammenfassen und den Ersatzwiderstand des Zweipols bestimmen Auch für Kombinationen von Reihen- und Parallelschaltungen muss sich für den passiven Zweipol, da an den Klemmen U und I gegeben sind, ein Gesamtwiderstand
IUR = oder ein Gesamtleitwert
UI
=G bilden lassen.
Der Gesamtwiderstand wird dabei schrittweise durch das Zusammenfassen von in Reihe oder parallel geschalteter Widerstände ermittelt. Beispiel 3.3.03 Für das nachstehend gegebene Widerstandsnetzwerk ist der Widerstand zwischen den Anschlussklemmen zu bestimmen R1 = 40 Ω R2 = 12 Ω R3 = 10 Ω R4 = 125 Ω R5 = 72 Ω R6 = 50 Ω UI
R1
R2 R3
R4
R5
R6
RA = R2 + R3 = 12 Ω + 10 Ω = 22 Ω RB = R4 || R5 || R6 GB = G4 + G5 + G6
S0419.050
172
1125
1GB =Ω
+Ω
+Ω
=
Ω=== 9.23S0419.0
1G1R
BB
UI
R1
RA
RB
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RC = R1|| RA GC = G1 + GA
S0705.022
140
1GC =Ω
+Ω
=
Ω=== 2.14S0705.0
1G1R
CC
R = RC+RB = 14.2 Ω + 23.9 Ω R = 38.1 Ω
UI
RC RB
UI
R
3.3.3 Stern-Dreieck-Umwandlung
Der Lernende kann - den Begriff der Gleichwertigkeit von Widerstandsschaltungen mit drei Anschlussklemmen erklären - die Gleichungsbedingung der Gleichwertigkeit einer Stern- und einer Dreieckschaltung von Widerständen angeben - mit den Umrechnungsgleichungen eine Sternschaltung von Widerständen in eine Dreieckschaltung und umgekehrt durchführen
Es gibt Widerstandsschaltungen, bei denen der Gesamtwiderstand des Zweipols nicht durch Anwendung von Reihen- und Parallelschaltungen ermittelt werden kann. Es existiert aber ein messbarer
Gesamtwiderstand an den Klemmen IUR =
Zur rechnerischen Bestimmung des Gesamtwider-standes wird ein Teil der Schaltung herausgelöst und durch eine andere Schaltung ersetzt. Mit der veränderten Schaltung wird die Bestimmung des Gesamtwiderstandes möglich Der herausgelöste Schaltungsteil ist ein „passiver Dreipol“ mit den Klemmen A,B,C. Dieser Dreipol weist zwischen jeweils zwei Klemmen die Widerstände RAB; RBC; RCA auf. Für das verbleibende Netzwerk ist dann die innere Schaltung des Dreipols ohne Bedeutung, wenn an den Klemmen die gleichen Widerstandswerte RAB; RBC; RCA auftreten.
R1
R2
R3
R4
R5U
I
A
B
C
A
B
C
Abb. 3.3.5 Herauslösen einer Schaltung mit drei Anschlussklemmen (Dreipol) aus einem Widerstandsnetzwerk
Einfache Innenschaltungen des Dreipols sind:
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79
Sternschaltung (T-Schaltung) mit den Widerständen R10; R20; R30
A
B
C
1
2
3
0
R10
R20
R30
Abb. 3.3.6 a) Sternschaltung der Widerstände
Dreieckschaltung (π-Schaltung) mit den Widerständen: R12; R23; R13
A
B
C
1
2
3
R12
R13
R23
b) Dreieckschaltung der Widerstände
Für die Umwandlung gilt die oben formulierte Bedingung, dass die Klemmen-widerstände RAB; RBC; RCA für beide Schaltungen identisch sind.
Sternschaltung
Dreieckschaltung
RAC = R10 + R20 R12||(R23 + R13) = 132312
132312
RRR)RR(R
+++ = E
RBC = R20 + R30 R23||(R12 + R13) = 132312
131223
RRR)RR(R
+++ = F
RAB R10 + R30 R31||(R12 + R23) = 132312
231231
RRR)RR(R
+++ = H
Tab. 3.3.1 Gleichungsbedingungen für die Umrechnung Sternschaltung-Dreieckschaltung Auflösung nach den Sternwiderständen: (G1) R10 + R20 + 0 = E (G2) 0 + R20 + R30 = F (G3) R10 + 0 + R30 = H (G4) = (G3)⋅(-1) + (G2) __________________________________ (G1) R10 + R20 + 0 = E (G4) -R10 + R20 + 0 = F - H (G5) = (G1)+ (G4)) __________________________________ (G5) 0 +2R20 + 0 = E + F -H
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80
2R20 = 312312
233112313123122331122312
RRRRRRRRRRRRRR
++−−+++R
2R20 = 312312
2312
RRRRR2++
R20 = 312312
2312
RRRRR
++ R10 =
312312
3112
RRRRR++
R30 = 312312
2331
RRRRR
++ Auflösung nach den Dreieckwiderständen: Benutzung der Ergebnisse R10; R20;R30
23
12
30
10
31
12
30
20
23
31
20
10
RR
RR
RR
RR
RR
RR
===
R23 = R12 R30/R10 R31 = R12 R30/R20
R10 + R20 = 312312
312312
RRR)RR(R
+++
R10 + R20 =
10
3012
20
301212
10
3012
20
301212
RRR
RRRR
RRR
RRR(R
++
+ = R12
10
30
20
30
10
30
20
30
RR
RR1
RR
RR
++
+
R10 + R20 = R12 )
R1
R1
R1(R
)R1
R1(R
10203030
102030
++
+= R12
102030
1020
R1
R1
R1
R1
R1
++
+
Übergang zu Leitwerten:
302010
2010
122010 GGGGG
G1
G1
G1
+++
⋅=+ 2010
2010
GGGG + =
302010
2010
12 GGGGG
G1
+++
⋅
G12 = 302010
2010
GGGGG++
G23 = 302010
3020
GGGGG++
G31 = 302010
3010
GGGGG++
30
2010201012 R
RRRRR ⋅++=
10
3020302023 R
RRRRR ⋅++=
20
1030103031 R
RRRRR ⋅++=
Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-1
81
Beispiel 3.3.04 Zu berechnen ist der Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen! R1 = 10 Ω R2 = 20 Ω R3 = 40 Ω R4 = 50 Ω R5 = 100 Ω
R1
R2
R3
R4
R5U
I
A
B
C
1
0
3
2
R10 = R1 = 10 Ω R20 = R5 = 100 Ω R30 = R2 = 20 Ω
30
2010201012 R
RRRRR ⋅++=
R12 = Ω=Ω
Ω⋅Ω+Ω+Ω 160
201001010010
10
3020302023 R
RRRRR ⋅++=
Ω=Ω
Ω⋅Ω+Ω+Ω= 320
1020100
20100R 23
20
1030103031 R
RRRRR ⋅++=
Ω=ΩΩ⋅Ω
+Ω+Ω= 32100
10201020R31
R31
R23
R3
R4
R12
U
I A
B
C
1
2
3
R = R31|| (R12||R3 + R23||R4)
Ω=Ω+ΩΩ⋅Ω
=+
= 324016040160
RRRRIIRR
312
312312
Ω=Ω+ΩΩ⋅Ω
=+
= 24.435032050320
RRRRIIRR
423
423423
R = R13||(32.0 Ω + 43.24 Ω) = R31||75.24Ω]
Ω=Ω+ΩΩ⋅Ω
= 45.2224.753224.7532R
R31
R23IIR4
R12IIR3
U
I
A
B
C
1
2
3
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82
3.3.4 Spannungsteilerregel
Der Lernende kann - die Spannungsteilerregel gleichungsmäßig und verbal angeben - nachweisen, dass die Spannungsteilerregel nur auf Widerstände angewendet werden kann, die in Reihe geschaltet sind und vom gleichen Strom durchflossen werden
Eine Reihenschaltung von Widerständen wird vom gleichen Strom I durchflossen. Durch den Strom I fällt über jedem Widerstand eine Spannung Uν = I Rν ab. Wegen des gleichen Stromes verhalten sich die Spannungen über den Widerständen wie die zugehörigen Widerstände. Das gilt für den einzelnen Widerstand, aber auch für Gruppen dieser Widerstände und auch für den Gesamtwiderstand.
1R 2R nR
1U2U nU
U
I
Abb. 3.3.7 Spannungsteilung an der Reihenschaltung von Widerständen In der Reihenschaltung von Widerständen wird die Spannung geteilt:
1 1
2 2 1 2
U R U RU RU R U R U R R ... R
µ µ µ µ
ν ν
= = =+ + + n
(3.3.15)
Der Spannungsteiler ist die schaltungstechnische Realisierung der Spannungsteilerregel. Diese Schaltung wird in der Elektronik oft angewendet. Die Widerstände des Spannungsteilers müssen vom gleichen Strom durchflossen werden U = 12 V; R1 = 10 kΩ; R2 = 2 kΩ (leer laufender Spannungsteiler)
21
220
RRR
UU
+=
V2k2k10
k2V12RR
RUU21
220 =
Ω+ΩΩ
⋅=+
⋅=
U
R1
I
R2
U1
U20
Abb. 3.3.8 Leerlaufender Spannungsteiler
Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-1
83
Wird der Spannungsteiler durch einen Widerstand RB belastet, muss zunächst die Reihenschaltung der vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände hergestellt werden.
2 BA 2 B
2 B
R RR R IIRR R
⋅= =
+
BR 15k= Ω 2 B
A2 B
R R 2k 15kR 1R R 2k 15k
⋅ Ω ⋅ Ω= = =
+ Ω + Ω.76kΩ
U
R1
I
R2
U1
U2RB
Abb. 3.3.9 Belasteter Spannungsteiler
2 A
A 1
U R 1.76k 0.15U R R 1.76k 10k
Ω= = =
+ Ω + Ω
2
2UU U 0.15 12V 1.8VU
= ⋅ = ⋅ =
U
R1
I
RA
U1
U2
Abb. 3.3.10a Ersatzschaltung des belasteten Spannungsteilers
Liegt eine Schaltung nach Abb. 3.3.10b vor, wird das gleiche Ergebnis erhalten. In die Anwendung der Spannungsteiler- regel werden nur die vom gleichen Strom I1 durchflossenen Widerstände R1 und RA einbezogen. Widerstand R3 hat keinen Einfluss auf die Spannungsteilung.
2 A
A 1
U R 1.76k 0.15U R R 1.76k 10k
Ω= = =
+ Ω + Ω
2
2UU U 0.15 12V 1.8VU
= ⋅ = ⋅ =
U
R1
RA
U1
U2
3R
I 3I 1I
Abb. 3.3.10b Ersatzschaltung des belasteten Spannungsteilers
Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-1
84
Beispiel 3.3.05 Gegeben ist nebenstehender Spannungsteiler.
Uq = 30 V; R1 = 10 kΩ; RB = 47 kΩ a) Für Leelauf (Schalter S offen) für UB = 12 V ist der Widerstand R2 zu bestimmen b) Zu bestimmen ist UB bei Belastung (Schalter S geschlossen)!
Uq
R1
R2 RBUB
S
a)
q 1 2 1
B0 2 2
U R R R 1U R R
+= = +
12
q
B0
R 10kR 6U 30V 11 12VU
Ω= = =
−−. Ω67
b) 2 B
B 2 B 2 B
2 Bq 1 2 B1
2 B
R RU R IIR R R
R RU R R IIR RR R
⋅+
= =⋅+ ++
( )B 2 B
q 1 2 B 2 B
U R R 0.369U R R R R R
⋅= =
+ + ⋅
BU 0.369 30V 11.1V= ⋅ =
3.3.5 Stromteilerregel
Der Lernende kann - die Stromteilerregel gleichungsmäßig und verbal angeben - nachweisen, dass die Stromteilerregel nur auf Widerstände angewendet werden kann, die parallel geschaltet sind und über denen die gleiche Spannung anliegt die besondere Form der Stromteilerregel für zwei parallel Widerstände unter Verwendung der Widerstandswerte angeben
Über jedem Widerstand einer Parallelschaltung von Widerständen fällt die gleiche Spannung U ab. Durch einen Widerstand der Parallelschal-tung fließt der Strom
νν
ν ⋅== GURUI (3.3.16)
Wegen der gleichen Spannung U verhalten sich die Ströme wie die zugehörigen Leit- werte. Das gilt für den einzelnen Leitwert aber auch für Gruppen und den Gesamt- leitwert.
1 1
2 2 1 2
II GI G GI G I G I G G ... G
µν ν
µ µ
µ= = =
+ + + n
(3.3.17) In der Parallelschaltung von Widerständen wird der Strom im Verhältnis der Leitwerte geteilt.
I1I
I2
In
G1
G2
Gn Abb. 3.3.11 Stromteilerschaltung
Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 1etv3-1
85
Beispiel 3.3.06 I = 1A R1 = 10Ω R2 = 20Ω R3 = 50Ω Zu berechnen sind die Teilströme I1; I2; I3!
UI1I
I2
G1
G2
;R1
;R2
G3;R3I3
1 2 31 2
1 1 1G 0.1S G 0.05S G 0.02SR R R
= = = = = =3
1 1
1 2 3
I G 0.1S 0.588I G G G 0.1S 0.05S 0.02S= = =
+ + + +
2 2
1 2 3
I G 0.05S 0.294I G G G 0.1S 0.05S 0.02S= = =
+ + + +
3 3
1 2 3
I G 0.02S 0.118I G G G 0.1S 0.05S 0.02S= = =
+ + + +
I1 = 0.588 I = 0.588A I2 = 0.294 I = 0.294A I3 = 0.118 I = 0.118A Knotensatz: I = I1 + I2 +I3 = 0.588A + 0.294A + 0.118A = 1.000A Oft wird die Stromteilerregel auf zwei parallel Widerstände angewandt.
1
2
2
1
2
1
RR
GG
II
==
2RR
RGG
GII
RRR
RRRR
R1
R1
R1
R1
GGG
II
1
1
21
22
21
2
21
12
1
21
1
21
11
+=
+=
+=
⋅+
=+
=+
=
U
I1I
I2G1
G2
R1
R2 Abb. 3.3.12 Stromteilung bei zwei parallelen Widerständen
Für die Anwendung der Stromteilerregel wird nur der Bereich der Schaltung betrachtet, über dem die gleiche Spannung abfällt. Es ist zweckmäßig, den übrigen Teil des Netzwerks abzudecken. Außer den beiden Widerständen dürfen in der Teilung des Gesamtstromes keine weiteren Widerstände enthalten sein!!
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86
3.3.6 Berechnung von Widerstandsnetzwerken mit den Teilerregeln
Der Lernende kann - die Teilerregeln für die Berechnung von Netzwerken mit nur einer Quelle anwenden
Widerstandsnetzwerke, die nur eine Quelle enthalten oder mit einer Klemmen-spannung versehen sind, lassen sich vollständig mit den Teilerregeln berechnen. a) Berechnung mit der Spannungsteilerregel:
In dem Netzwerk sollen die Spannungen U1 und U2 berechnet werden. R1 = 10 Ω R2 = 8 Ω R3 = 2 Ω Uq = 29 V R3R2Uq
R1
U1
U2
Da nur eine Spannungsquelle gegebenen und deren Polarität bekannt ist, können die Spannungsabfälle über den Widerständen vorzeichenrichtig eingetragen werde. Der Spannungsabfall über R1 zeigt von rechts nach links.
2 32
q 1 2
R IIRUU R R IIR
=+ 3
2 32 3
2 3
R RR IIRR R
=+
( )
2 3 2 3
2 3 2 3 2 32
2 3 1 2 3 2 3q 11
2 3 2 3
R R R RR R R R R RU
R R R R R R RU R R R R R RRR R R R
+ += = =
+ + + +++ +
2 1 3 2 3
2 32
q 1 2 1 3 2 3
R RU 8 2 0.138U R R R R R R 10 8 10 2 8 2
Ω⋅ Ω= =
+ + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω=
22 q
q
UU U 0.138 29V 4.00VU
= ⋅ = ⋅ =
b) Berechnung mit der Stromteilerregel In dem Netzwerk sollen die Ströme I1, I2 und I3 berechnet werden. R1 = 10 Ω R2 = 8 Ω R3 = 2 Ω Uq = 29 V R3R2Uq
R1
I1
I3I2
3 3 2
1 2 3 2 3
I G R 8 0.8I G G R R 8 2
Ω= = = =
+ + Ω + Ω
32 2
1 2 3 2 3
RI G 2 0.2I G G R R 8 2
Ω= = = =
+ + Ω + Ω
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87
( )
( )( )q q q 2 3 q 2
12 31 2 3 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2
12 3
U U U R R U R RI R RR R IIR R R R R R R R R R R RR
R R
+ += = = =
+ + +++
3
3+ +
( )1
29V 8 2I 2
10 8 10 2 8 2Ω+ Ω
= =Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω + Ω ⋅ Ω
.5A
2
2 11
II I 0.2 2.5A 0.5AI
= ⋅ = ⋅ = 33 1
1
I 0.8 2.5A 2.I
= ⋅ = ⋅ =I I 0A
Beispiel 3.3.07 Zu berechnen sind: a) U7/U mit der Spannungsteilerregel b) I7/I mit der Stromteilerregel
R1 = 25 Ω R2 = 50 Ω R3 = 10 Ω R4 = 30 Ω R5 = 20 Ω R6 = 8 Ω R7 = 12 Ω
R5R2
R3
I7
R6
R4
R1
R7 U7U
I U1U2
U3
U4
U5
U6
RAR2
R3
R4
R1
UI U1
U2
U3
U4
U5
576A R)RR(R +=
Ω=++
+= 10
RRRR)RR(R
576
576A
RB
R1
UI U1
U2
24A3B R)RRR(R ++=
Ω= 25RB
57 7 A
5 6 7 2 3 A 4
52 B 7 7 2
1 B 5 2
UU R R12 100.6 0.2U R R 8 12 U R R R 10 10 30
UU R U U U25 0.5 0.6 0.2 0.5 0.06U R R 25 25 U U U U
Ω Ω= = = = = =
+ Ω + Ω + + Ω + Ω + Ω
Ω= = = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
+ Ω + Ω
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88
b)
R5R2
R3
I7
R6
R4
R1
R7U
II2
I3
I4
I5
RAR2
R3
R4
R1
UI
I2I3
I4
576A R)RR(R +=
Ω=++
+= 10
RRRR)RR(R
576
576A
RB
R1
UI
24A3B R)RRR(R ++=
Ω= 25RB
25.05.05.0II
II
II
5.030101050
50RRRR
RII
5.012820
20RRR
RII
3
3
77
4A32
23
765
5
3
7
=⋅=⋅=
=Ω+Ω+Ω+Ω
Ω=
+++=
=Ω+Ω+Ω
Ω=
++=