Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Prozessidentifikation

Systeme 2. Ordnung / Systeme 2. Ordnung / SemesterabschlußSemesterabschluß

10. Juli 2002

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Parameterschätzung

Identifikationsaufgabe

SystemNicht bekannt

Störeinflüsse

um(t) ym(t)

u(t) y(t)

Modell e(t)

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Rekursive Parameterschätzung

^Bk+1 = ^Bk + Pkxk+1(xk+1TPkxk+1+1)-1 {yk+1

T - xk+1T ^Bk}

Damit kann ^Bk+1 kann damit aus ^Bk Pk xk+1 und yk+1 ermittelt werden.^Bk+1 = f(^Bk, Pk,xk+1, yk+1)

Ergebnis beinhaltet:Pk = (Xk

TXk)-1 für Auswertung von k-Messwertpaarenxk+1

T zusätzliche Zeile des X-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (x-Werte und Operationen)

yk+1 zusätzliche Zeile des Y-Vektors unter Berücksichtigungeines weiteren Messwertes (y-Wert)

^Bk Schätzvektor unter Auswertung von k-Messwertpaaren

Pk+1 = Pk - Pkxk+1(xk+1TPkxk+1+1)-1xk+1

T Pk

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Anwendung der rekursivenRegressionsformel

^B1 = (X1TX1)-1X1

TY1 = P1X1TY1

^B2 = ^B1 + P1x2(x2TP1x2+1)-1 {y2

T – x2T ^B1}

P2 = P1 – P1x2(x2TP1x2+1)-1x2

T P1

^B3 = ^B2 + P2x3(x3TP2x3+1)-1 {y3

T – x3T ^B2}

P3 = P2 – P2x3(x3TP2x3+1)-1x3

T P2

Start für k=1

1. Iteration

2. Iteration

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für rekursive Rekursion

Gegeben: Datensatz: (1,1) (1,0) (2,0) Gesucht: Math. Modell / Funktion mit Abstand der

Punkte zur Kurve nach minimalem Fehlerquadratoptimiert.

Lösung: Parameterschätzung nach Regressionsformel unter Berücksichtigung aller Messwerte (One-Shot)Parameterschätzung nach rekursiver Regressionsformel mit Start k=1.

Modellansatz y(k) = ax(k)

Lösung Tafel

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Systeme 2. Ordnung

Zusammenhang Pol- Nullstellenverteilung / Bodediagramm

Fallunterscheidungen• D > 1• D = 1• 0 < D < 1• D = 0

Untersuchung für Fall 0 < D < 1:• Betragsbildung für G(j )• Phasenbestimmung • Wert für = 0 • Wert für = 0(1-D2)

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Quelle: ISS, Meyr, Aachen

Bodediagramm System 2. Ordnung

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NYQUIST-Kriterium

Beurteilung der Stabilität des Regelkreise im Frequenzgang oder Orts-Kurve des offenen Regelkreis G0.Vorteile:• Messkurve liegt oft vor• Anwendung auch für totzeitbehaftete Regelkreise

Die Stabilität des Regelkreises:• Eigenschaft des Kreises selber• Keine Eigenschaft der Eingangs- oder Störgrößen

Bild 7.9 Walter, S.152

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsfunktion G0

Stabilitätsgrenze

0

0

( ) ( ) ( )( )

1 ( ) ( ) 1 ( )SR

WSR

G s G s G sG s

G s G s G s

Charakteristisches Polynom ist 1+GoP(s) = 1+Go(s) = 0 -> Go(s) = -1

Stabilitätsgrenze ist dann gegeben wenn Go(s) = -1 wirdPräziser: Re{Go(s)} = -1 und Im{Go(s)} = 0

Re{Go(j)} = -1 und Im{Go(j)} = 0

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Stabilitätsgrenze

Re{Go(j)} = -1 und Im{Go(j)} = 0

Diese graphische Darstellung stellt die Ortskurve von Go(j) dar.Aus der Lage der Ortskurve zum Punkt (–1, j0) kann die Systemstabilitätdes geschlossenen Regelkreises beurteilt werden.

Regel (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn der kritische Punkt (-1, j0) beimDurchlaufen der Ortskurve mit steigendem links liegt.

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Stabilitätsgrenze

Weitere Aussagen & Größen:• Amplitudenreserve AR

• Phasenreserve R

• Phasendurchtrittsfrequenz D

Interpretation der Größen:• Amplitudenreserve

Faktor um den man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreis vergrößern kann, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird.

• Phasenreservepositiv für stabile SystemeEntspricht der Phase mit dem ein Totzeit-glied die Phase bis zur Stabilitätsgrenze weiterdrehen kann.

0

1( 2)RA G j

0180 ( 1)R

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Interpretation

Für stabile Systeme gilt:0

1( 2)RA G j

AR > 1 und |Go(j)| < 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt links hiervon.Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises vergrößern, bis die Stabilitätsgrenzeerreicht wird.

Für instabilie Systeme gilt:AR < 1 und |Go(j)| > 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt rechts hiervon.Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises verkleinern (absenken) muß, um wiederdie Stabilitätsgrenze zu erreichen.

Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vereinfachtes Nyquist-Kriterium im Bodediagramm

Zusammenhang Ortskurve und BodediagrammDer Punkt (–1, j0) bedeutet betragsmäßig 1 und Phase von –180°

Betrag 1 bedeutet A = 0 dB

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Fälle Stabilitätsgrenze / Instabil und Stabil

Wendt S. 233 Bild 7.3-1

Wendt S. 233 Bild 7.3-2

Wendt S.234 Bild 7.3-3