Kanonische Transformationen. 73

zieren auf folgende Aufgabe: Es ist eine Funktion 8 so zu be­stimmen, daß

(11)

eine Diagonalmatrix wird; dann lautet die Lösung der kano­nischen Gleichungen

P = 8 Po 8-t, q = 8 qo 8-1 •

Man hat damit ein vollständiges Analogon zur HAMILTON-JACOBI­

sehen Differentialgleichuug,. S entspricht der Wirkungstunktion.

12. Vorlesung. Beispiel des harmonischen Oszillators. Die Störungstheorie.

Es ist nun an der Zeit, daß wir diese abstrakten Über­legungen durch ein Beispiel erläutern. Wir wollen hierzu den harmonischen Oszillator betrachten, für welchen

H 1 2+Y. 2 =?,p,P 2 Q •

Die kanonischen Gleichungen

P = - y.Q

(1)

(2)

liefern durch Elimination von p (mit der Abkürzung!:. = (2 'Jl '1'0)2): ft

ii+(2'Jl'PO)2 q =Ü. (3) Das bedeutet ausführlich:

('1'2 (n m) - '1'02) q (n, m) = Ü. (4 ) Dazu tritt die Vertauschungsrelation, die hier lautet:

.};('P(nk) - 'P(km))q(nk)q(km) = j- 4~ p,' k Ü ,

n=m, (5)

n+m.

Aus der Bewegungsgleichung folgt, daß q(nm) nur von Null verschieden sein kann, wenn

(6)

ist. In einer Zeile m der Matrix gibt es also höchstens zwei

M. Born, Probleme der Atomdynamik© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1926

74 Die Struktur des Atoms. 12. Vorlesung,

nicht verschwindende Elemente, nämlich die, für die

Wn=Wm+hvo oder Wn=Wm-hvo ist.

Nun kommt es offenbar auf die Numerierung der Elemente in der Diagonale einer Matrix gar nicht an; wenn man Zeilen und Kolonnen der gleichen Permutation unterwirft, bleiben alle Matrizengleichungen erhalten. Wir können also Wm = Wo irgend­wie annehmen und Wo + h Vo und Wo - h Vo als "Nachbarwerte" von Wo mit W1 und W_1 bezeichnen; jeder von diesen hat wieder Nachbarwerte im Abstand hvo und so fort. Auf diese Weise gelangen wir zu einer arithmetischen Reihe von Energie­stufen

(7) DieDiagonalelemente der Vertauschungsrelation (5) liefern nun

h Sn'Jp, = -f v (nk)[q(nk)12

= Vo (I q (n, n + 112 _1 q (n, n -1 n (8)

Daraus folgt, daß auch die 1 q (n, n + 1) 12 eine arithmetische h

Reihe mit der Differenz -2- bilden; da diese Größen alle Sn p,vo

positiv sind, muß diese Reihe abbrechen. Daher haben wir:

I ( ) I' h j q 1,0 "= 8 n'J ;;':;'0'

h Iq(n+l,n)j2=lq(n,n-l)[2+ s 2---' n=1,2,3, ... ,

n p,vo also

[q(n+l,n)12=(n+l)sn2hp,vo' (9)

Man sieht sofort, daß die übrigen Elemente der Matrix p q - q P wirklich Null sind. Ferner verifiziert man den Energie­satz:

H(n, m) = 2 n'J p,27 (V02 - v(nk) v (km))q(n k) q(km) (10) k

wird Null für n =l= m, und man hat

H(nn) = 4 n '.l p,vo'J([ q(n + 1, n) ['.I + 1 q(n, n - 1) 1'.1)

=hvo·H2n+l)=hvo(n+l). (11)

Harmonischer Oszillator. 75

Die oben eingeführte Größe Wo hat also den Wert ~ h 1'0.

Die "Nullpunktsenergie " , die bereits von PLANCK und NERNST bei statistischen Problemen der Quantentheorie betrachtet wor­den ist, ergibt sich also hier ganz von selbst.

Die Formel für die komplexen Amplituden

q (n + 1, n) e2"i "ot = 1/ __ ,.-:-_ (n + 1) eH2 ;rYot+'Pn) (12) , r 8 n"!{ 1'0

enthält willkürliche Phasen CfJn ' die für das statistische Ver­halten des Resonators von großer Bedeutung sind. Übrigens geht die Formel für große n in die klassische

J=hn (131

über. Diese Theorie des harmonischen Oszillators kann als Aus­

gangspunkt dienen für die Behandlung allgemeiner Systeme, indem man diese durch Variation eines Parameters aus dem harmonischen Oszillator entstanden denkt. Das dabei gebrauchte Verfahren kann in enger Analogie zur klassischen Störungs­theorie entwickelt werden.

Wir denken uns die Energiefunktion gegeben als Potenz­reihe nach dem Parameter ).:

H = Ho (p q) +}. H l (p q) +}.2 H 2 (p q) +.... (14) Das durch Ho (p q) definierte mechanische Problem sei gelöst; wir kennen die Lösung Po qo' die der Bedingung

h Po qo - qopo = 2 ni

genügt und Ho (Po qo) zu einer Diagonalmatrix Wo macht. Dann suchen wir eine Transformation 8 so zu bestimmen,

daß durch (15)

H (p q) in eine Diagonalmatrix W übergeführt wird, d. h. daß 8 der HAMILToN-JAcoBIschen Gleichung

H(p q) = 8H(po qo) 8- 1 ~= W (16) genügt. Wir machen zur Lösung den Ansatz:

W = Wo + }.W(l) + }.2W(2) + ... , \ 8 = 1 + }. 81 + }.2 82 + ... ; J (17)

76 Die Struktur des Atoms. 12. Vorlesung.

dann wird S-1 = 1 - 2 S1 + 22 (S1 2 - 82) - + ....

Dies setzen wir in unsere Gleichung ein:

(1 + 2 S1 + 22 S2 + ... ) (Ho (Po qo) + 2 H 1 (Po qo) + 22 H 2 (Po qo) + ... ) (1 - 2 S1 + 22 (S1 2 - S2) + ... )

= Wo + 2W(1) + 22W(2) + ... und setzen die Koeffizienten der einzelnen Potenzen von 2 gleich Null; dann erhalten wir folgende Näherungsgleichungen:

S1Ho - H oS1 + H 1 == W(l), Ho (Po qo) = Wo, 1

S2 Ho - Ho S2 + Ho S12 - 81 B 0 S1 + 8 1 H 1 - H 1 S1 (18) +H2 = W(2), j

Sr Ho - Ho Sr + Fr (Ho , ... , H r; So, ... , Sr-1) = W(r),

wobei Ho, H 1, .. ' stets mit den Argumenten Po' qo zu nehmen sind.

Die erste Gleichung ist erfüllt; die übrigen lassen sich der Reihe nach auflösen, und zwar in ganz analoger Weise, wie in der klassischen Theorie: Man bildet erst den Mittelwert zur Festlegung der Energiekonstante; da

Sr Ho -HOSr = - (WOSr - Sr WO)

keine Diagonalelemente hat, so folgt allgemein

W(T)=Fr , d. h. W~T)=Fr(nn).

Sodann hat man

oder _ Fr(mn)

S,:(mn) - h--( -)(1- 15m »), '1'0 mn

(19)

wo '1'0 (mn) die Frequenzen der ungestörten Bewegung sind. Diese Lösung genügt der Bedingung

SS· = 1, (20) wo das Zeichen '" Vertauschung von Zeilen und Kolonnen

Störungstheorie. 77

(Transposition) bedeutet und * den Übergang zur konjugiert komplexen Größe. Da 8 nur durch sukzessive Berechnung der Näherungen 8 1 , 8 2 , ••• erhalten wird, kann man dtese Relation auch nur Schritt für Schritt bestätigen; wir begnügen uns mit der ersten Näherung. Wenn

8 S* = (1 + l 8 1 + ... ) (1 + l SI * + ... ) = 1

sein soll, so hat man

8 1 + S/ = 0;

nun gibt unsere allgemeine Formel (19)

H1 (mn) 8 1 (mn) = -h (-)-(1 - bmn),

')10 mn also

8- * ( ) 8 * ( ) H/ (nm)( .l:) 1 mn = 1 nm = -h (--) 1- u nm ,

')10 nm (21)

und da H1 eine hermitesche Matrix ist: H/ (nm) = H1 (mn), so folgt

- * () H 1 (m n) ( .l:) () 8 1 mn = h ( ) 1 - u mn = - 8 1 mn • - ')10 mn

Die Bedeutung der Relation 8 S* = 1 beruht darauf, daß aus ihr der hermitesche Charakter der Matrizen p, q folgt.

Es gilt nämlich die Rechenregel

(a b) = b a, (22) wie aus der Definition des Produkts abzulesen:

,2a(nk)b(km) =,2b(mk)~(kn). k k

Daher hat man

q* = 8* qo* 8*-1 = 8-1 iio 8.= ii, (23) und analog für p.

Setzt man

q = qo + l ql -+- ... ~. (1 + l81 + ... ) qo (1 - l81 + ... ), P = Po + lP l + ... = (1 + l81 + . ")Po (1- l 8 1 ... ),

so hat man in erster Näherung

ql = 81 qo - qo 8 1 ,

P; = 81 Po - Po 81

78 Die Struktur des Atoms. 13. Vorlesung.

oder ausführlich:

ql (mn) = ~ 2)' (H1 (mk).qo(.k.n~. - qo(mk)Ht (kn)) , 1 h k yo(mk) Yo(kn)

(24) PI (mn) = ~ 2)' (H1(mje)'[Jo(krb) _po(mk)H1 (kn)).

. h k Yo(mk) 'Po (kn)

Für die Energie bekommt man in zweiter Näherung die Korrektion:

oder W(2) = HOS12 - Si Ho SI + SlHl - H 1 S 1 + H 2

Wn (2) =.2}' {WnO 8 1 (nk) 81 (kn) - 8 1 (nk) 8 1 (kn) WkO

k

+ 8 1 (nk)H1 (kn) - H1 (nk) 8 1 (kn)} + H2 (nn),

W (2) = H (nn)· + ~ '"" I!l(11,_~) H1 (knL (25) n 2 h"f 'Po (nk)

13. Vorlesung. Die Bedeutung der äußeren Kräfte in der Quantentheorie und die ent­sprechenden Störungsformeln. Ihre Anwendung auf die Theorie der

Dispersion.

Ehe wir die Bedeutung dieser Formeln diskutieren, wollen wir noch eine Verallgemeinerung in Betracht ziehen, nämlich den Fall, daß die HAMILToNsche Funktion die Zeit t explizite enthält. Formal kann man diesen leicht berücksichtigen: Man wähle in H statt t das Argument cos 2 n'P t und er­setze dieses dann durch eine neue Koordinate q', zu der der Impuls p' gehört. So dann betrachte man die HAMILToNsche Funktion

H' = H(p, q,p') + 2 n'P t 1- q'~ .p', (1)

in der die Zeit nicht mehr explizite vorkommt. Die kano­nischen Gleichungen für p, q bleiben unverändert, nur steht für cos 2 n'P t stets q'. Dazu kommen die neuen Gleichungen für q',p':

., 'OH' .. ---q''' 1 q = --;;-, = 2 n'P 11- -, op

j/ ~= ~~' = - '0/: + 2~'P 1"1 q' q'2 P '. J (2)