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Physikpraktikum Gruppenarbeit zum Thema: Differenzialgleichungen Von Thomas Krienbühl Manuel Mazenauer Sarine Rauber Dozent: Dr. O. Merlo Studiengang: SBCH 10 Abgabedatum: 13.04.2010
Physikpraktikum
Gruppenarbeit zum Thema:
Differenzialgleichungen
Von
Thomas Krienbühl
Manuel Mazenauer
Sarine Rauber
Dozent: Dr. O. Merlo
Studiengang: SBCH 10
Abgabedatum: 13.04.2010
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Inhaltsverzeichnis 1 Differenzialgleichungen ................................................................................................................................ 3
1.1 Mischungsprozess ................................................................................................................................ 3
1.2 Reaktion 2. Ordnung ............................................................................................................................ 5
2 Exotherme Reaktion 1. Ordnung .................................................................................................................. 8
2.1 Kesseltemperatur und Konzentration von B ........................................................................................ 8
2.2 Euler-Verfahren .................................................................................................................................. 10
3 Quadrupel Massenspektrometer ............................................................................................................... 13
3.1 Die DGL der Bewegung und anschliessender Vereinfachung ............................................................ 13
3.2 Bahnuntersuchung und Funktionsweise eines Quadrupol-MS .......................................................... 15
4 Feldlinien .................................................................................................................................................... 18
5 Dipol ........................................................................................................................................................... 20
6 Maschen- und Knotenregel in der Elektrotechnik ..................................................................................... 22
6.1 Die Maschenregel ............................................................................................................................... 22
6.2 Die Knotenregel .................................................................................................................................. 23
6.3 Strom in Abhängigkeit der Zeit ........................................................................................................... 24
6.4 Praktische Messung am Stromkreis ................................................................................................... 26
7 Fadenpendel ............................................................................................................................................... 29
7.1 Lösung der DGL ................................................................................................................................... 29
7.2 Bestimmung der Erdbeschleunigung ................................................................................................. 30
8 Gravitationsfeld .......................................................................................................................................... 32
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1 Differenzialgleichungen
1.1 Mischungsprozess
Ein Tank mit 1000 Liter Wasser, in dem 100 Kg Salz gelöst sind. Beginnend mit der Zeit t0 = 0 sollen ständig
pro Minute 10 Liter der Lösung ausfliessen, aber auch 10 Liter mit einem Salzgehalt von 0.2kg hinzu fliessen.
Ein Superrührgerät mische das ganze sofort und vollständig durcheinander. Wie gross ist der Salzgehalt zur
Zeit t >= 0.
Gegeben:
Anfangsvolumen des Inhaltes: V0= 1000 l Anfangskonzentration: c0= 0.1 kg/l
Zuflussrate: vZ= 10 l/min Abflussrate: vA= 10 l/min
Salzgehalt des Zuflusses: cZ= 0.02 kg/l
Um die gesuchte Konzentration in Abhängigkeit von der Zeit zu berechnen, müssen wir eine Differenzial-
gleichung (DGL) aufstellen. Die Konzentrationsänderung ist von der Konzentration der zufliessenden Lösung
und der abfliessenden Lösung abhängig.
Dabei ist die Konzentrationsänderung aufgrund des Zufluss gegeben durch:
Die Konzentrationsänderung aufgrund des Abfluss ist gegeben durch:
cA ist dabei die Konzentration der Lösung im Tank. Die Konzentration im Tank ist von der Zeit abhängig.
Fügen wir nun die Gleichung des Zuflusses und des Abflusses zusammen, erhalten wir folgende Gleichung für
die Konzentrationsänderung im Tank:
Abgeleitet:
Seite 4 von 34
Da die DGL nicht separierbar ist, wird sich durch Variation der Konstanten gelöst. Hierfür wird der Term
0.0002 kg/(l*min) vorerst weggelassen. Um die DGL zu lösen wird zuerst separiert:
Nun wird die Gleichung umgeformt und integriert.
∫
∫
( )
( )
Nach cA aufgelöst gibt das:
( )
( )
Nun können wir den Term in die Ursprungsgleichung einsetzen. Dies ergibt folgende Gleichung:
( )
( )
( )
( )
( )
Die Gleichung kann nun erneut separiert und integriert werden:
∫ ∫
( )
Nun setzt man ( ) in die Gleichung für cA ein. Dies ergibt folgendes:
( )
(
)
Weil wir die Anfangskonzentration kennen, können wir bestimmen.
( )
Seite 5 von 34
Wenn wir nun den Wert für oben einsetzen erhalten wir die Formel die Konzentration in Abhängigkeit der
Zeit:
( )
1.2 Reaktion 2. Ordnung
Stellen sie sich einen Reaktionskessel mit Volumen V vor. Dieser sei mit einer 5%igen Lösung von einem
Edukt A gefüllt. Das Edukt A reagiere nach der Regel A + A → B zum Produkt B und die DGL der
Konzentrationsänderung der Reaktion von A sei durch gegeben. Man habe nun einen
permanenten Zufluss von β Liter pro Sekunde an Lösung vom Edukt A einer Konzentration von cA0 und einen
Abfluss von β Liter pro Sekunde. Stellen sie die DGL der Konzentration von A im Kessel auf und zeigen sie,
dass die Lösung der DGL durch ( ) ( ( )), mit geeingneten Koeffizienten a, b, c und d
gegeben ist.
Hinweise:
Der tanh(x) ist der Tangenshyperbolicus. Die Ableitung ist durch 1- tanh2(x) gegeben und man kann den tanh
auch mit Hilfe der Exponentialfunktion ( )
schreiben.
Die Konzentration an A im Kessel ist gegeben durch den Zufluss von A, den Abfluss von A und die Umsetzung
von A zu B. Die Funktion der Umsetzung ist schon in der Aufgabenstellung durch gegeben.
Die Änderung durch den Zufluss ist gegeben durch:
( )
Die Änderung durch den Abfluss ist gegeben durch:
( )
( )
Für die Gesamtänderung subtrahiert man vom Zufluss den Abfluss und die Umsetzung zu B. So erhält man
folgende Formel:
( )
( )
( )
Da die Lösung der DGL gegeben ist durch:
( ) ( ( ))
Seite 6 von 34
Können wir nun diese ableiten und erhalten:
( ) ( ( ) )
Nun können wir die Lösung resp. deren Ableitung in die DGL einsetzen und erhalten:
( ( ) )
( ( ))
( ( ))
( ( )) ( ) ( )
Mit dieser Formel lassen sich nun die Konstanten a, c, d und b berechnen. Dafür müssen wir die Formel. Nun
isolieren alle Teile die mit tanh0, tanh1 resp. tanh2 von den restlichen Teilen und erhalten folgende 3
Gleichungen:
Für den Teil tanh0:
Für den Teil tanh1:
( )
( )
Für den Teil tanh2:
( ) ( )
Berechnung der Konstanten:
Berechnung für a:
( )
( )
( ) ( )
Berechnung für c:
( ) ( )
Seite 7 von 34
Im Moment ist c noch von b abhängig. Wir müssen nun b bestimmen um c unabhängig von b zu formulieren.
Berechnung für b:
a können wir ersetzen:
(
)
c können wir ersetzen:
(
)
Nun können wir nach b auflösen:
√
(
)
√
√
√
√
Nun können wir auch c unabhängig von b formulieren.
√
√
Um d berechnen zu können, schauen wir die Lösungsformel bei t = 0 an. So ist cA(t) = cA0. Die Konstanten
eingesetzt erhalten wir für d folgende Formel:
( ) ( ( )) (
)
(
√
)
(
√
)
Seite 8 von 34
Somit zeigt sich, dass die Konstanten a,b,c und d durch die Parameter der Aufgabe ausgedrückt werden
können und somit die Lösung durch ( )
( )
( ) gegeben ist:
( )
√
(
(
√
)
√
)
2 Exotherme Reaktion 1. Ordnung
Stellen sie sich nun einen quaderförmigen Reaktionskessel (Kantenlänge a) mit einem Edukt B vor. Dieses
reagiert gemäss c(t) = -kc(t). Die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit ist nach Arhenius
gegeben durch
, mit R der Gaskonstanten und EA der Aktivierungsenergie. Der Wärmeabfluss
von einem Reaktionskessel ist gegeben durch , wobei A die Oberfläche des Reaktorkessels, ΔT
der Temperaturunterschied zwischen dem Kessel und der Aussentemperatur und ς eine Konstante ist.
2.1 Kesseltemperatur und Konzentration von B
Leite die Differentialgleichungen für die Temperatur im Kessel und die Konzentration von B her.
Um die Konzentration an B im Kessel zu berechnen benötigen wir folgende Formel:
Nun können wir k mit der Temperaturgeschwindigkeit nach Arhenius ersetzen und erhalten folgende
Gleichung:
Da wir bei dieser Aufgabe weder einen Zu- noch einen Abfluss haben, ist dies schon die DGL für die
Konzentrationsänderung.
Um die Temperatur zu berechnen brauchen wir die Formel für den Wärmeunterschied. Der
Wärmeunterschied ist abhängig von der Temperaturdifferenz (ΔT), der Masse (m) und des spezifischen
Wärmekoeffizienten (cv).
Seite 9 von 34
Die Wärme- und die Temperaturdifferenz kann man auch ausdrücken als Wärme resp. Temperatur zur Zeit t
minus Anfangswärme resp. Temperatur.
( ) ( ( ) )
Nun können wir die Gleichung nach T(t) auflösen und die Formel nach t ableiten und erhalten folgende
Formel:
( ) ( )
( )
( ) ( )
Nun wissen wir, dass ist. Da wir aber noch einen Wärmezufluss durch die Reaktion haben,
müssen wir die Wärmeänderung folgendermassen definieren:
Nun setzen wir diese Formel in die Formel für und erhalten:
Nun können wir noch die Masse durch „Dichte mal Volumen“ ersetzen und die Oberfläche und das Volumen
durch ihre geometrische Definition. Daraus erhalten wir die DGL der Temperatur:
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2.2 Euler-Verfahren
Benutze das Euler-Verfahren um die DGL’s zu integrieren. Beschreibe das Verhalten der Reaktion bei
verschiedene Kantenlängen des Kessels. Gib verschiedene Verläufe der Reaktion (Δa = 10-6)? Wie gross ist die
relative Volumendifferenz? Könnt ihr dieses verschiedene Verhalten physikalisch erklären?
Annahme: ς= 107 W/(K*m2), EA= 40.9 kJ/mol, cw= 4.19kJ/(kg*K), k0= 225*103 s-1, T0= 300 K, ΔE= 5*107 J/kg, c0=
100 kg/m3, TA= 300K, ρ= 1000 kg/m3, quaderförmiger Kessel, Wärme zum Aufheizen des Kessels
vernachlässigen.
Die Rechnungen für diese Aufgabe wurden mit dem Exel Sheet „Aufgabe 2b Projekt 2“ gemacht.
Für alle Diagramme wurde die Zeitspanne von 0-60 Sekunden mit einem ΔT von 0.01 Sekunden gewählt (ein
Δa = 10-6 hat physikalisch einen zu geringen Einfluss, deshalb wurde ein grösseres Δa gewählt).
Diagramm1: Verlauf bei a = 5m
0
20
40
60
80
100
120
298
300
302
304
306
308
310
312
314
0 20 40 60 80
Tem
pe
ratu
r/K
Kesseltemperatur
Massenkonzentration
Temperatur - und Massenkonzentrationsdiagramm
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
Seite 11 von 34
Diagramm2 : Verlauf bei a = 1m
Diagramm3: Verlauf bei a= 6.11 m
Durch die kleinere Kantenlänge wird das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen verändert. So haben wir bei
einer Kantenlänge von 1 m ein Verhältnis von 1 m3 zu 6 m2. Bei 5 m Kantenlänge ein Verhältnis von 125 m3 zu
130 m2. Weil bei 1 m Kantenlänge die Oberfläche im Verhältnis viel grösser ist, ist der Kühleffekt viel stärker.
Bei einer Kantenlänge von 6.11 m ist der Kühleffekt noch kleiner als der Kühleffekt bei 5 m. Dies bestätigt,
dass das Verhältnis zwischen Oberfläche und Volumen für den Kühleffekt massgeblich beiträgt.
0
20
40
60
80
100
120
299.8
300
300.2
300.4
300.6
300.8
301
301.2
301.4
301.6
301.8
0 20 40 60 80
Tem
pe
ratu
r/K
Kesseltemperatur
Massenkonzentration
Temperatur - und Massenkonzentrationsdiagramm
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
0
20
40
60
80
100
120
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
0 20 40 60 80
Tem
pe
ratu
r/K
Kesseltemperatur
Massenkonzentration
Temperatur - und Massenkonzentrationsdiagramm
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
Seite 12 von 34
Diagramm4: Verlauf bei a = 6.12 m
Diagramm5: Verlauf bei a = 0.07 m
Das Euler Verfahren hat gewisse Grenze. Wenn die Kantenlänge den Wert 0.08 m unterschreitet oder den
6.11 m überschreitet wird der Fehler durch das Eulerverfahren zu gross wie man auf Diagramm 4 bzw.
Diagramm 5 sieht.
Um Reaktionen mit grösserer bzw. kleinerer Kantenlänge darzustellen müsste das Δt noch kleiner gewählt
werden.
-1E+298
0
1E+298
2E+298
3E+298
4E+298
5E+298
6E+298
7E+298
8E+298
-1E+296
-5E+295
0
5E+295
1E+296
1.5E+296
2E+296
2.5E+296
3E+296
3.5E+296
4E+296
4.5E+296
0 20 40 60 80
Tem
pe
ratu
r/K
Kesseltemperatur
Massenkonzentration
Temperatur - und Massenkonzentrationsdiagramm
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
-5E+299
0
5E+299
1E+300
1.5E+300
2E+300
-2E+297
0
2E+297
4E+297
6E+297
8E+297
1E+298
0 20 40 60 80
Tem
pe
ratu
r/K
Kesseltemperatur
Massenkonzentration
Temperatur - und Massenkonzentrationsdiagramm
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
Temperatur - und Massenkonzentrationsdiagramm
Mas
sen
kon
z. /
kg*
m-3
Zeit / sek.
Seite 13 von 34
3 Quadrupel Massenspektrometer
Ein Quadrupel MS hat zwischen den Elektroden ein elektrisches Potential der Form
( ( ))
( ). Das geladene Teilchen wird dann in der -Richtung durch dieses Feld geschickt.
3.1 Die DGL der Bewegung und anschliessender Vereinfachung
Gebe die Differentialgleichungen der Bewegung an. Bringe anschliessend mittels der folgenden Abkürzungen
die DGL’s auf die einfachere Form
( ( )) und
( ( )) . Mit
und . Beachte dabei, dass
durch
(
)
gegeben ist.
Das elektrische Potential wird nach x abgeleitet um die Energie zu erhalten, die auf das Teilchen wirkt:
( ( ))
( )
Die Kraft wird definiert durch:
Die Ladung q ist negativ, da es sich um Elektronen handelt.
Nun wird eingesetzt:
( ) ( ( ))
( )
Die DGL wird auf eine einfachere Form gebracht:
( ( ))
( )
Für
setzt man
ein und dies wiederum ist durch
(
) gegeben.
( )
( ( ))
( )
Seite 14 von 34
Die Gleichung wird mit (
)
multipliziert:
(
)
( ( ))
( )
(
)
( ( ))
( )
(
)
( ( ))
( )
(
)
( ( )) ( )
( ( )) ( )
Nun wird alles der DGL auf eine Seite genommen:
( ( ))
( ( ))
= ,
werden in die DGL substituiert:
( ( ))
Man erhält die Vereinfachte Form der Gleichung, welche von x abhängt.
Für y ist die Ableitung des Potentials gegeben als:
( ( ))
( )
Die Gleichung lautet deshalb:
( ( ))
Seite 15 von 34
3.2 Bahnuntersuchung und Funktionsweise eines Quadrupol-MS
In einem MS sind , und geräte-spezifische Grössen. Es ist einfacher die DGL’s mit Hilfe von und zu
untersuchen, als mit allen anderen Parametern. Fixiere nun
, dies fixiert das Verhältnis von zu und
untersuche die Bahn für die Teilchen mit Anfangsbedingungen ( ) ( ) und und ( ) ( )
verschiedenen Werten von und ( ). Was fällt auf? (Tipp: Integriere bis . Betrachte die
beiden Achsen getrennt.) Erkläre die Funktionsweise eines Quadrupol-MS mit Hilfe von diesem Resultat.
Um die Bahn für die Teilchen zu untersuchen, wird die Eulermethode angewandt. Für b werden 5
verschiedene Werte von gewählt und danach werden 5 Teilchenbahnen bis erstellt. Das
Verhältnis von a und b ist:
α ist die Beschleunigung. Für b werden folgende Werte verwendet:
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Danach wird die mit der Eulermethode die Teilchenbahn für x- und y-Richtung bestimmt.
Berechnen der Teilchenbahn in x-Richtung:
τ x(t) vx αx a b
0 1 1 -(a+2b*cos(2τ))x
=-0.44 a=0.2b =0.04
0.2
0.5
vorherige Strecke +
Zeitintervall * Geschwindigkeit
=1.39
vorige Geschwindigkeit
+ Zeitintervall *vorherige
Beschleunigung =0.78
-(a+2b*cos(2τ))x =-0.36
a=0.2b =0.04
0.2
Berechnen der Teilchenbahn in y-Richtung:
τ y(t) vy αy a b
0 1 1 (a+2b*cos(2τ))y
0.44 a=0.2b
0.04 0.2
0.5
vorherige Strecke +
Zeitintervall * Geschwindigkeit
=0.61
vorige Geschwindigkeit
+ Zeitintervall *vorherige
Beschleunigung =1.22
-(a+2b*cos(2τ))x =0.41
a=0.2b =0.04
0.2
Seite 16 von 34
Dies ergibt folgende Teilchenbahnen (die Werte können der Excel-Datei „Aufgabe 3 MS“ entnommen werden):
Abbildung 1 Bahn der Teilchen mit b=0.2
Das Quadrupol-MS kann hier nicht funktionieren, da die Bahn der Teilchen in y(t) Richtung , ab 60 s extrem steigt. Die Bahn ist räumlich begrenzt.
Abbildung 2 Bahn der Teilchen mit b=0.4
Das Quadrupol-MS funktioniert bei einer solchen Teilchenbahn, da die Teilchen nicht ausreissen und sinusförmig verlaufen.
-1000000
0
1000000
2000000
3000000
4000000
0 20 40 60 80 100Zurü
ckge
legt
e S
tre
cke
Zeit in s
Teilchenbahn in x- und y-Richtung (mit a=0.04, b=0.2)
x(t)
y(t)
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 20 40 60 80 100
Zurü
ckge
legt
e S
tre
cke
Zeit in s
Teilchenbahn in x- und y-Richtung (mit a=0.08, b=0.4)
x(t)
y(t)
Seite 17 von 34
Abbildung 3 Bahn der Teilchen mit b=0.6
Der Quadrupol-MS funktioniert bei einer solchen Teilchenbahn, da die Teilchen nicht ausreissen und sinusförmig verlaufen.
Abbildung 4 Bahn der Teilchen mit b=0.8
Das Quadrupol-MS kann hier nicht funktionieren, da die Bahn der Teilchen in x Richtung ab ca. 90 s beginnt auszureissen. Die Bahn ist räumlich begrenzt.
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 20 40 60 80 100
Zurü
ckge
legt
e S
tre
cke
Zeit in s
Teilchenbahn in x- und y-Richtung (mit a=0.12, b=0.6)
x(t)
y(t)
-8E+08
-6E+08
-4E+08
-2E+08
0
200000000
400000000
600000000
0 20 40 60 80 100
Zurü
ckge
legt
e S
tre
cke
Zeit in s
Teilchenbahn in x- und y-Richtung (mit a=0.16, b=0.8)
x(t)
y(t)
Seite 18 von 34
Abbildung 5 Bahn der Teilchen mit b=1.0
Das Quadrupol-MS kann hier nicht funktionieren, da die Bahn der Teilchen in x Richtung ab ca. 95 s beginnt auszureissen. Die Bahn ist räumlich begrenzt. Obwohl b durch eingeschränkt ist, hat die Definition von b für die Teilchenbahn einen hohen
Stellenwert. So können laut diesen Diagrammen nur Teilchen mit b= 0.4 bis 0.6 vom Massenspektrometer
erfasst werden, da die Teilchenbahn räumlich begrenzt ist. Durch ausprobieren wurde festgestellt, dass die
Teilchen für ein b von 0.38 bis 0.75 gemessen werden können. Dabei spielt in diesem Bereich die Höhe der
sinus-förmigen Kurve keine Rolle. Räumliche „Ausreisser“ landen vor dem Ende der Strecke in den
Magneten des MS.
4 Feldlinien
Berechnen Sie die Feldlinien des Vektorfeldes (
) mittels der DGL.
Jedem Punkt (x/y) kann man eine Steigung
zuordnen. Da sich aus x und y+x zusammensetzt, ist
und . Mit ( )
hat man die DGL des Vektorfeldes:
-1E+18
-8E+17
-6E+17
-4E+17
-2E+17
0
2E+17
4E+17
0 20 40 60 80 100
Zurü
ckge
legt
e S
tre
cke
Zeit in s
Teilchenbahn in x- und y-Richtung (mit a=0.2, b=1.0)
x(t)
y(t)
α
= Gegenkathete
= Anakathete
.
Seite 19 von 34
Um eine separierbare DGL zu bekommen kommen, wird das +1 weggelassen:
∫
∫
( ) ( )
( )
( ) ( )
Nun setzen wir in die Ursprüngliche DGL ein:
( ) ( ) ( )
( )
Die Gleichung wird nun erneut separiert und integriert:
∫ ∫
( )
wird nun in die Lösung für y eingesetzt:
( ( ) )
Seite 20 von 34
ist eine Konstante. Es können verschiedene Werte für sie eingesetzt werden. Für werden nun -100, -50,
50 und 100 eingesetzt um 4 Feldlinien zu zeichnen:
Abbildung 6 Feldlinien der Formel )
Alle Feldlinien entspringen aus demselben Punkt. Der x-Wert kann wegen dem ln nicht negativ sein.
Deshalb existieren nur im rechten Teil der Abbildung Feldlinien.
5 Dipol
Unter einem elektrischen Dipol muss man sich 2 Ladungen vorstellen, die fest miteinander verbunden sind
(Abstand ). Die Ladungen sind gleich gross mit umgekehrtem Vorzeichen. Erklären Sie, wie sich ein solcher
Dipol in einem inhomogenen elektrischen Feld verhält und warum er sich so verhält. (Tipp: Drehmomente
und Kräfte beachten).
Es müssen verschiedene Fälle betrachtet werden (violett ist der Abstand l):
Fall 1:
Abbildung 7 Gleichgrosse Kräfte wirken auf den Dipol
Kein Drehmoment, da sich die Kräfte F1 und F2 gegenseitig aufheben.
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Abbildung 8 Eine 3. Kraft würde einen Drehmoment erzeugen
Würde eine 3. Kraft auf den Dipol wirken und ihn somit aus der Ruhelage bringe, würde er rotieren. Es würde
ein instabiles Gleichgewicht entstehen.
Fall 2:
Abbildung 9 Der Dipol richtet sich waagrecht auf der x-Achse aus
Während der Mittelpunkt an Ort bleibt, richtet sich der Dipol waagrecht auf der x-Achse aus (kurzer
Drehmoment). Danach bleibt er in Ruhelage, da sich danach F1 und F2 gegenseitig aufheben.
Fall 3:
Abbildung 10 Die grössere Kraft stösst den Dipol entlang der x-Achse
Der Dipol läuft waagrecht die x-Achse entlang, da F1 grösser ist, wie F2. Es entsteht kein Drehmoment.
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Fall 4:
Abbildung 11 Der Dipol dreht und verschiebt sich zur gleichen Zeit entlang der x-Achse
Der Dipol richtet sich auf der x-Achse aus mit gleichzeitiger Verschiebung (der Mittelpunkt bleibt nicht an Ort
und Stelle). Danach läuft der Dipol waagrecht entlang der x-Achse. Es entsteht kein Drehmoment.
Sobald eine 3. Kraft auf den Dipol wirkt, entsteht ein Drehmoment. In diesen Fällen würde somit auch ein
instabiles Gleichgewicht entstehen. In Fall 1 und 2 (F1=F2) würde er nur Rotiere. In Fall 3 und 4 (F1>F2) würde er sich
zusätzlich noch in x-Richtung verschieben.
6 Maschen- und Knotenregel in der Elektrotechnik
6.1 Die Maschenregel
Die Maschenregel in einer Schlaufe lautet, dass die Summe über alle Spannungen in einer Masche
gleich 0 ist. Erklären sie warum dies so sein muss.
Mathematisch besagt die Maschenregel:
U1 ist in diesem Fall negativ da es eine Spannungsquelle ist und deshalb das entgegengesetzte Vorzeichen der
Verbraucher (Spule und Widerstand) haben muss.
V U1
U2
U3
Abbildung 12 Stromkreis mit einer Spule und einem Widerstand
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Spannung ist eine Potentialdifferenz. Betrachte man die Masche unter dem Ansatz der Energieerhaltung
potentieller Energie ist die Spannungsquelle auf einem Berg und der Abstieg entspricht den Widerständen.
Am Schluss erreicht man wieder die Spannungsquelle, welche auf dem Berg ist, und hat somit wieder die
potentielle Energie, die man am Anfang schon hatte. Da das Potential am Anfang und Ende der Masche
gleich ist, ist auch die Spannung gleich und damit die Summe der Spannungen 0.
6.2 Die Knotenregel
Die Knotenregel lautet, dass die Summe der Ströme an einem Knoten in einem Schaltbild gleich 0 ist.
Erklären sie warum dies so sein muss.
Mathematisch besagt die Knotenregel für den Knoten K:
Man kann sich einen Knoten als volles Glas vorstellen in welches man Flüssigkeit füllt. Jeder Tropfen fliesst
direkt wieder aus dem Glas hinaus. In die Elektrotechnik spricht man in diesem Fall von Ladungserhaltung. Da
der Knoten keine Ladung aufnehmen oder speichern kann sind die Abgehenden Ströme gleich den
einkommenden Strömen. Die einkommenden Ströme erhalten ein positives Vorzeichen (I2), die abgehenden
ein negatives (I3 und I4). Somit ist die Ladung am Knoten immer 0.
I3
V I1
I2
I4
I5 I6
K
Abbildung 13 Stromkreis mit 2 Knoten
Seite 24 von 34
6.3 Strom in Abhängigkeit der Zeit
Stellen sie eine Differenzialgleichung für den zeitlichen Verlauf des Stroms für einen Widerstand und
eine Spule in Serie, welche an eine Gleichspannungsquelle angeschlossen sind. Lösen sie
anschliessend die Differenzialgleichung.
Die Strommessung erfolgt bei der Spule. Als Ausgangsbedingung wird die Maschenregel verwendet. Die
Spannungen sind wie folgt gegeben:
( )
( )
( )
Die Maschenregel für diesen Stromkreis lautet:
Substituiert man nun die Spannungen erhält man:
Somit hat man eine Differenzialgleichung 1.Ordnung für den Strom in Abhängigkeit der Zeit. Der
Lösungsansatz ist, da die DGL nicht separierbar ist, die Variation der Konstanten.
Im ersten Schritt wir U0 vernachlässigt und die DGL separiert:
∫(
) ∫
( )
( )
Abbildung 14 Stromkreis gemäss Aufgabenstellung
V U0
U1
U2 Messung von I(t)
Seite 25 von 34
( ) ( )
( )
Da es sich anfangs um eine DGL 1.Ordnung gehandelt hat, wird I nach t abgeleitet (Produkteregel):
( )
( )
( )
(
)
Nun werden I und I‘ in die Ausgangsgleichung eingesetzt:
( ) ( )
( )
Kürzt man beim 3.Term L, sind der 1. und 3.Term identisch mit entgegengesetztem Vorzeichen und fallen aus
der Gleichung:
( )
Diese Gleichung wird nun für erneut separiert:
∫
∫
( )
Die Lösung der zweiten Separation wird in die Lösung der ersten eingesetzt:
( )
( )
Die Lösung der DGL zeigt, dass der zeitliche Verlauf des Stroms im Stromkreis mit einer Spule und einem
Widerstand in Serie, einem Exponentialgesetz folgt.
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6.4 Praktische Messung am Stromkreis
Messt mit Hilfe eines 100Ω Widerstandes und einer Spule mit ca. 10mH beim Stromkreis aus
Aufgabe 6.3., den Strom in Abhängigkeit der Zeit. Zeigt mit Hilfe der Daten dass der Strom einem
Exponentialgesetz und nicht einem Potenzgesetz folgt. Bestimme anschliessend die Induktivität der
Spule.
Beweis Exponentialgesetz:
Als erstes werden die Messwerte einmal graphisch aufgetragen:
Abbildung 15 Messwerte des Stromkreises
Die Messwerte ergeben eine Abnahme, welche gegen 0 konvergiert.
Dies kann also entweder ein e-x-Gleichung (wie in Aufgabe 6.3. gezeigt) oder eine x-z-Gleichung sein. Die
Auswahl kann mithilfe eines Logarithmus naturalis getroffen werden.
Algebraisch würde dies so aussehen:
( ) ( ) ( )
Ist also der ln(y) gegen x aufgetragen eine Gerade folgt I(t) einem Exponentialgesetz. Ist ln(y) gegen ln(x) eine
Gerade handelt es sich um ein Potenzgesetz.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006
gem
ess
en
er
Str
om
Zeit/s
y gegen x
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Abbildung 16 Messwerte als Logarithmus naturalis aufgetragen
Da ln(y) gegen ln(x) keine Gerade ergibt, ist I(t) wahrscheinlich eine e-x Funktion. Die Kurvenform kommt
zustande, da die x-Werte eigentlich jetzt doppelt logarithmiert wurden.
Abbildung 17 Messwerte als Gerade aufgetragen
Da ln(y) gegen x eine Gerade ist, handelt es sich bei I(t) fast sicher um ein Exponentialgesetz. Die zeigt sich
noch deutlicher, wenn man die Messpunkte exponentiell fittet und die Gleichung mit der Geradengleichung
des ln(y) gegen x Diagrammes vergleicht:
y = 156.22e-8687x
y = -8686.7x + 5.0513
Die Steigung der Geraden entspricht genau dem Faktor vor dem x der Exponentialformel, was beim
logarithmieren einer Exponentialfunktion so sein muss.
0
1
2
3
4
5
6
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0
ln(I
)
ln(t)
ln(y) gegen ln(x)
y = -8686.7x + 5.0513
0
1
2
3
4
5
6
0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006
ln(I
)
Zeit/s
ln(y) gegen x
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Induktivität:
Um eine Kontrolle über die Berechnungen zu haben, werden die Einheiten jeweils kontrolliert:
[ ] ( ) [ ]
Betrachtet man nun die Lösung aus 6.3. für jeden Zeitpunkt einzeln (
) und logarithmiert:
(
)
( )
(
) ( )
Erhält man genau die Geradengleichung, wobei
die Steigung und (
) ( ) die Konstante ist. Die
Induktivität der Spule ist also gegeben durch:
y = -8686.7x + 5.0513 (Geradengleichung)
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7 Fadenpendel
Die Differenzialgleichung zur Beschreibung der Bewegung eins Fadenpendels mit der Fadenlänge l im
Gravitationsfeld der Erde ist für kleine Auslenkungen (Winkel α) durch ( )
( ) gegeben.
7.1 Lösung der DGL
Wie muss ω gewählt werden, damit die Lösung der DGL durch α=A*sin(ωt)+B*cos(ωt) gegeben ist.
In der Gleichung für α sind A und B die Integrationskonstanten. Da die Gleichung zwei Mal abgeleitet werden
muss, dürfen diese nicht im Ergebnis für ω vorkommen, sondern müssen wieder rausfallen.
Die Gleichung für α wird zunächst abgeleitet:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Um zu überprüfen, ob α die Lösung für die DGL ist, wird eingesetzt:
( )
( )
( ) ( )
( ( ) ( ))
α ist dann die Lösung für die DGL, wenn die eingesetzte Gleichung erfüllt ist. ω wird so gewählt, dass die
Gleichung erfüllt ist:
( ) ( )
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
√
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7.2 Bestimmung der Erdbeschleunigung
Benutzen sie ein Fadenpendel um die Erdbeschleunigung zu bestimmen (Zürich g=9.806m/s2).
Messen sie dazu Periodendauer τ in Abhängigkeit der Fadenlänge l. Tragen sie anschliessend das
Quadrat der Periodendauer gegen die Fadenlänge auf.
Das Pendel wir 15s lang schwingen gelassen. Dabei wird die Anzahl Schwingungen gezählt. Die
Periodendauer berechnet sich aus der Anzahl der Schwingungen geteilt durch die Zeit (15s) und beschreibt
wie lange das Pendel für eine ganze Schwingung (vor und zurück) benötigt.
Tabelle 1 Messwerte der Pendelschwingung
l in m τ2 in s2 τ in s Schwingungen
0.18 0.88 0.94 16
0.32 1.44 1.20 12.5
0.51 2.49 1.58 9.5
0.72 3.11 1.76 8.5
0.87 3.52 1.88 8
0.9 4.00 2.00 7.5
Abbildung 18 Messwerte graphisch aufgetragen
Es ergibt sich eine lineare Abhängigkeit von der Länge und dem Quadrat der Periodendauer:
Y=4.0671*x+0.2011
y = 4.0671x + 0.2011 R² = 0.9832
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Qu
adra
t d
er
Pe
rio
de
nd
aue
r/s2
Länge des Fadens/m
Pendelschwingung
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Um nun die Erdbeschleunigung zu bestimmen wird die Lösung der DGL nochmals betrachtet:
( ) ( )
Man erkennt, dass die Periodendauer durch den cos und den sin als 2π gegeben ist:
Mit ω aus Aufgabe 7.1. kann eine Formel für τ2 aufgestellt werden:
√
Die erhaltene Beziehung entspricht genau der Geradengleichung (Einheitenkontrolle):
Y=4.0671*x+0.2011
Somit kann g aus der Steigung der Geraden errechnet werden:
Die Abweichung ist auf Messunsicherheit zurückzuführen. Zudem wurde der Luftwiderstand des Pendels,
welcher zwar gering aber vorhanden ist, nicht berücksichtigt.
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8 Gravitationsfeld
Eine Kugel der Masse M und dem Radius R besitzt innerhalb der Kugel im Abstand r vom
Massenmittelpunkt ein Potential von ( )
. Zeichne einige Äquipotentiallinien für
eine Fläche welche durch den Massenmittelpunkt der Kugel geht und berechne für diese Fläche die
Feldlinien.
Äquipotentiallinien
Man denkt sich die Kugel zur Vereinfachung der Aufgabe als Kreis mit Radius R im Koordinatensystem,
welcher durch den Massenmittelpunkt geht.
Die Formel für das Potential wird nach dem Radius der Äquipotentiallinien r umgeformt:
( )
Gemäss Pytagoras kann man den Radius r im Koordinatensystem schreiben als:
√
Setz man dies in die Gleichung ein erhält man eine Funktion für den Kreis (positiver Halbkreis):
x
r R
y
Abbildung 19 Kugel als Kreis dargestellt
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Daher sind die Äquipotentiallinien gegeben als Kreise mit dem Radius:
√
Mit der Änderung des Potentials werden die Verschiedenen Äquipotentiallinien gezeichnet. Je grösser das
der Radius wird, sich am Kugelradius annähert, umso näher beieinander liegen die Äquipotentiallinien (folgt
auch der Wurzelabhängigkeit vom Potential).
Feldlinien
Das Gravitationsfeld ist gegeben als:
( )
(
)
Das( -1) ist wegen der Richtung gegen den Massenmittelpunkt. Das Potential wird mit Hilfe von x und y
geschrieben (Pytagoras):
( )
Das Potential wird nun separat nach x und nach y abgeleitet:
Abbildung 20 Äquipotentiallinien im inneren der Kugel
Kugel
Äquipotentiallinien
y
x
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(
)
Für die DGL der Feldlinien wird die Beziehung verwendet:
( )
Die x und y Abschnitte sind durch das Vektorfeld gegeben:
Die erhaltene Gleichung wird nun separiert und aufgelöst:
∫
∫
( ) ( )
Feldlinien sind gegeben als Geraden durch den Massenmittelpunkt mit unterschiedlichen Steigungen. Alle
Feldlinien zeigen in den Massenmittelpunkt.
x
y
Abbildung 21 Feldlinien des Massenmittelpunktes
