Korrelationskoeffizient von

Bravais und Pearson

20.06.2005 Kity Rojas Ropain Fachhochschule Bonn-Rhein-Sieg, Fach Statistik

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Karl Pearson

• 1857-1936 England• Studierte Mathematik, Physik, Metaphysik,

Mittelhochdeutsch und Folklore in Cambridge, Heidelberg und Berlin.

• Veröffentlichung von vielen Bücher u. a. „Grammar of Science“

• Der Korrelationskoeffizient hat Pearson in seinen Studien sozialwissenschaftlichen Phänomene angewendet.

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Skalierung

X Y

Nominal Ordinal Metrisch

Nominal K* K* K*

Ordinal K* Rsp Rsp

Metrisch K* Rsp r

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Korrelationskoeffizient nach Bravis- Pearson

Gegeben sind zwei Merkmale X und Y, die metrisch skaliert und nicht unabhängig sind.

Es wird das arithmetische Mittel, die Varianz , die Standardabweichung für beide Merkmale benötigt. Zusätzlich wird ein weiteres Streuungsmaß eingeführt: Die Kovarianz, welche eine Beziehung zu X und Y herstellt. Sie ist ein Maß für die gemeinsame Streuengsmerkmale.

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Der Korrelationskoeffizient von Pearson drückt den Grad der Linearität des Zusammenhangs zwischen 2 metrischen Merkmalen X und Y aus.

• r=1: Alle Beobachtungen liegen auf einer steigenden Geraden.

• r=-1: Alle Beobachtungen liegen auf einer fallenden Geraden.

• r>0: Die Merkmale sind positiv korreliert. Regressionsgerade ist steigend

• r<0: Die Merkmale sind negativ korreliert. Regressionsgerade ist fallend.

• r=0: Die Merkmale sind unkorreliert. Es besteht kein linearer Zusammenhang.

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FormelnStichprobe Grundgesamtheit

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))((

n

yyixxiSxy

SxSy

Sxyrxy

N

yyixxixy

))((

yx

xyxy

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Aufgabe

• In einem Unternehmen wurden für n=12 Beobachtungszeiträume folgende Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge festgestellt:

 Beobachtungs

zeitraumProduktions

mengeGesamtkosten

1 45 2052 30 1283 35 1654 40 1755 20 1046 55 2407 65 2758 58 2509 30 14210 60 26511 25 11212 49 214

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Aufgabe

1 45 205 15,42 237,67 2,33 5,44 35,972 30 128 -61,58 3792,51 -12,67 160,44 780,063 35 165 -24,58 604,34 -7,67 58,78 188,474 40 175 -14,58 212,67 -2,67 7,11 38,895 20 104 -85,58 7324,51 -22,67 513,78 1939,896 55 240 50,42 2541,84 12,33 152,11 621,817 65 275 85,42 7296,01 22,33 498,78 1907,648 58 250 60,42 3650,17 15,33 235,11 926,399 30 142 -47,58 2264,17 -12,67 160,44 602,7210 60 265 75,42 5687,67 17,33 300,44 1307,2211 25 112 -77,58 6019,17 -17,67 312,11 1370,6412 49 214 24,42 596,17 6,33 40,11 154,64

512,00 2275,00 40226,92 2444,67 9874,33

42,67 189,58 3352,24 203,72 822,86

57,90 14,27

n/1

XXi )(2

XXi YYi )(2

YYi ))(( YYiXXi YiXii

Sxy (Kovarianz)Sy

(Standardabweichung)Sx (Standardabweichung)

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Aufgabe

SxSy

Sxyrxy

90,5727,14

86,822

xyr

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9

Aufgabe

• Es steht ein sehr starker positiver linear Zusammenhang zwischen die Produktionsmenge und die Gesamtkosten.

9957,0r

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Streuungsdiagramm

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50 60 70

Produktionsmenge (in Tsd. Stück)

Ges

amtk

oste

n (in

Tsd

. €)

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Extra Aufgabe

7 48 108 -7,63 58,14 -4,38 19,14 33,361 50 108 -7,63 58,14 -2,38 5,64 18,113 50 117 1,38 1,89 -2,38 5,64 -3,275 52 115 -0,63 0,39 -0,38 0,14 0,238 53 118 2,38 5,64 0,63 0,39 1,484 54 115 -0,63 0,39 1,63 2,64 -1,026 54 122 6,38 40,64 1,63 2,64 10,362 58 122 6,38 40,64 5,63 31,64 35,86

419 925 205,875 67,875 95,125

52,375 115,625 25,734375 8,484375 11,890625

5,072905972 2,912795049

n/1

XXi )(2

XXi YYi )(2

YYi ))(( YYiXXi YiXii

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Vielen Dank!

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