FCRTI Florian Enzenberger, Friedrich Glenk, Daniel Ludwig, Matthias Pemsel & Sebastian Werner, 2005 Keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit! 1 Basiswissen 1.1 Konventionen • Index h = 1...L - Elemente • Index i = 1...N - Komponenten / Spezies • Index j = 1...M - Teilreaktionen • Exponent m i - Teilreaktionsordnung bezogen auf A i (Stöch. Koeffizient?!) • Stöchimetrische Koeffizienten ν i ; ν i < 0: Edukt, ν i > 0: Produkt • Elementkoeffient des Elements h in Spezies i: β hi • Geschwindigkeitskoeffizient k h mol 1-m s i • Bildungs- bzw. Verbrauchsgeschwindigkeit R Rate of formation / deplition • Reaktionsgeschwindigkeit r 1.2 Definitionen • Extensive Terme: Variablen eines Systems, welche sich bei Tei- lung des Systems in zwei Teilsysteme ändern. Bsp: V, m, n • Intensive Terme: Variablen eines Systems, die bei Teilung des Systems in Teilsysteme konstant bleiben. Bsp: T, p, ρ • Extensive Variablen können durch Normierung über m oder V zu Pseudo-Intensiven Variablen umgewandelt werden. • Massenerhaltung N X i=0 ν i M i = 0 1.2.1 Reaktionslaufzahl ξ = n i - n i0 ν i • ξ = 0: Reaktionsbeginn • c i = c i0 + ν i λ • m i = m i0 + M i ν i ξ • n i = n i0 + ν i ξ 1.2.2 Umsatz Umsatz = Anteil an bereits Reagierter Komponente Anfangsmenge der Komponente X i = ˙ n i0 - ˙ n i ˙ n i0 1.2.3 Ausbeute Ausbeute = Menge an gebildetem Produkt k Menge an zugegebener, limitierender Komponente i Y ki = ˙ n k - ˙ n k0 ˙ n i0 |ν i | |ν k | 1.2.4 Selektivität Selektivität = Menge an gebildetem Produkt k Menge an umgesetztem Reaktanden i S ki = ˙ n k - ˙ n k0 ˙ n i0 - ˙ n i |ν i | |ν k | = Y ki X i 1.2.5 Reaktorkenngrößen • Produktivität L = ˙ n k • Querschnittsbelastung G = m At • Raum-Zeit-Ausbeute STY = L V = ˙ n k V 1.3 Wichtige Umformungen D¨ -Zahl 1. Art DaI = r 0 c o τ 1. Ord = τk Ersetze dc mit dX dX dc = • 1 - c c 0 ‚ d dc = - 1 c 0 { dc = -c 0 dX 2 Beschreibung einfacher Reaktionen 2.1 Potenzansatz - Power Law Expressions Beachte: Ansatz ≡ Model r j = kc m 1 1 c m 2 2 = 1 ν ij dc ij dt bzw. allgemeiner: r = k N Y i c m i i 2.2 Temperaturabhängigkeit einer Reaktion - A-Law • A-Gleichung k = k 0 exp - E RT ¶ • im A-Plot: ln k gegen 1 T wegen ln k = - E R 1 T + ln k 0 • Aktivierungsenergie E liegt normalerweise im Bereich 40...200 kJ mol • Stoßfaktor k 0 h mol 1-m s i • Faustregel: Temperaturerhöhung um 10 K verdoppelt Reakti- onsgeschwindigkeit! 2.3 Definition der Reaktionsgeschwindigkeit Beachte: Definition , Realität r * = 1 ν i dn i dt = dξ dt Achtung: Extensive Größe! • Homogene Reaktionen (Normierung auf Reaktionsvolumen bzw. -Masse) r * V = 1 V dξ dt " mol m 3 s # r * m = 1 m dξ dt " mol kgs # • Heterogene Reaktionen (Normierung auf Katalysatoroberflä- che bzw. -Masse) r * A = 1 A dξ dt " mol m 2 s # r * m cat = 1 m cat dξ dt " mol kgs # • Sonderfall: Reaktionsvolumen V = const r = 1 ν i dc i dt • Achtung: Reaktionsgeschwindigkeit wird auf eine Reaktion bezogen, die Bildungs- bzw. Verbrauchsgeschwindigkeit wird hingegen auf eine Spezies bezogen! 2.4 Bildungs- bzw. Verbrauchsrate R i = dc i dt = M X j=1 ν ij r i bei V = const 1
Transcript
F C RT IFlorian Enzenberger, Friedrich Glenk, Daniel Ludwig, Matthias Pemsel & Sebastian Werner, 2005
Keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit oder Richtigkeit!
1 Basiswissen1.1 Konventionen• Index h = 1...L - Elemente• Index i = 1...N - Komponenten / Spezies• Index j = 1...M - Teilreaktionen• Exponent mi - Teilreaktionsordnung bezogen auf Ai (Stöch.
Koeffizient?!)• Stöchimetrische Koeffizienten νi; νi < 0: Edukt, νi > 0: Produkt• Elementkoeffient des Elements h in Spezies i: βhi
• Geschwindigkeitskoeffizient k[
mol1−m
s
]
• Bildungs- bzw. Verbrauchsgeschwindigkeit R Rate of formation/ deplition
• Reaktionsgeschwindigkeit r
1.2 Definitionen• Extensive Terme: Variablen eines Systems, welche sich bei Tei-
lung des Systems in zwei Teilsysteme ändern. Bsp: V, m, n• Intensive Terme: Variablen eines Systems, die bei Teilung des
Systems in Teilsysteme konstant bleiben. Bsp: T, p, ρ• Extensive Variablen können durch Normierung über m oder
V zu Pseudo-Intensiven Variablen umgewandelt werden.• Massenerhaltung
N∑
i=0
νiMi = 0
1.2.1 Reaktionslaufzahl
ξ =ni − ni0
νi
• ξ = 0: Reaktionsbeginn• ci = ci0 + νiλ• mi = mi0 +Miνiξ• ni = ni0 + νiξ
1.2.2 Umsatz
Umsatz =Anteil an bereits Reagierter Komponente
Anfangsmenge der Komponente
Xi =ni0 − ni
ni0
1.2.3 Ausbeute
Ausbeute =Menge an gebildetem Produkt k
Menge an zugegebener, limitierender Komponente i
Yki =nk − nk0
ni0
|νi||νk|
1.2.4 Selektivität
Selektivität =Menge an gebildetem Produkt k
Menge an umgesetztem Reaktanden i
Ski =nk − nk0
ni0 − ni
|νi||νk|=
Yki
Xi
1.2.5 Reaktorkenngrößen• Produktivität
L = nk
• Querschnittsbelastung
G =mAt
• Raum-Zeit-Ausbeute
STY =LV=
nk
V
1.3 Wichtige UmformungenD-Zahl 1. Art
DaI =r0
coτ
1. Ord= τk
Ersetze dc mit dX
dXdc=
[
1 − cc0
] ddc= − 1
c0{ dc = −c0dX
2 Beschreibung einfacher Reaktionen2.1 Potenzansatz - Power Law ExpressionsBeachte: Ansatz ≡Model
r j = kcm11 cm2
2 =1νi j
dci j
dt
bzw. allgemeiner:
r = kN∏
i
cmii
2.2 Temperaturabhängigkeit einer Reaktion - A-Law• A-Gleichung
k = k0 exp(
− ERT
)
• im A-Plot: ln k gegen 1T wegen
ln k = −ER
1T+ ln k0
• Aktivierungsenergie E liegt normalerweise im Bereich 40...200 kJmol
• Stoßfaktor k0
[mol1−m
s
]
• Faustregel: Temperaturerhöhung um 10 K verdoppelt Reakti-onsgeschwindigkeit!
2.3 Definition der ReaktionsgeschwindigkeitBeachte: Definition , Realität
r∗ =1νi
dni
dt=
dξdt
Achtung: Extensive Größe!• Homogene Reaktionen (Normierung auf Reaktionsvolumen
bzw. -Masse)
r∗
V=
1V
dξdt
[
molm3 s
]
r∗
m=
1m
dξdt
[
molkg s
]
• Heterogene Reaktionen (Normierung auf Katalysatoroberflä-che bzw. -Masse)
r∗
A=
1A
dξdt
[
molm2 s
]
r∗
mcat=
1mcat
dξdt
[
molkg s
]
• Sonderfall: Reaktionsvolumen V = const
r =1νi
dci
dt
• Achtung: Reaktionsgeschwindigkeit wird auf eine Reaktionbezogen, die Bildungs- bzw. Verbrauchsgeschwindigkeit wirdhingegen auf eine Spezies bezogen!
2.4 Bildungs- bzw. Verbrauchsrate
Ri =dci
dt=
M∑
j=1
νi jri
bei V = const1
2.5 Reaktionen 1. OrdnungUmwandlung eines Moleküls in ein anderes:
mol3. SO3-Absorption an Wasser SO3+H2O−→H2SO4 ∆HR =
−132, 5 kJmol
3.2 Methanolherstellung
CO+2H2−→←−CH3OH ∆HR = −92
kJmol
3.3 Ammoniakoxidation
NH3+5O2−→←−4NO+6H2O ∆HR = −906
kJmol
sehr stark exotherm→ Kontaktzeit: 1/1000 s (!)3.4 AmmoniakherstellungDer aufwändigste Teil ist hierbei die Bereitstellung des Synthese-gases! Dieses wird in mehreren Schritten ausgehend von Methanhergestellt:3.4.1 Steam-Reforming
CH4 +H2O−→←−CO + 3H2 ∆HR = 206kJ
molStark endothermer Prozess, welcher im Radiation-Convection-Ovendurchgeführt wird.3.4.2 Luftzugabe - Autothermal-Reforming
H2 +O2Lu f t−→←−H2O
Dient in Stand-Alone-Anlagen dazu, den Stickstoff bereitzustellen.Der Sauerstoffwird in einer Knallgasreaktion verbraucht. Die eben-falls anwesenden Edelgase sind inert. In integrierten Anlagen mitLuftzerleger wird oftmals direkt N2 zugegeben.3.4.3 Wasser-Gas-Shift
CO +H2O−→←−CO2 +H2 ∆HR = −41kJ
molHier ist zur Verschiebung des Gleichgewichts eine übermässigeZugabe von Wasser notwendig. Da die Reaktion leicht exothermist, muss die Temperatur niedrig gehalten werden. Technisch wirdmeist ein High-Temp und ein Low-Temp Reaktor mit intermediärerKühlung realisiert.3.4.4 Entfernung von CO2
Das entstandene CO2 wird durch das R-Absorptionsverfahren(Methanol als Absorbens bei sehr niedrigen Temperaturen −75◦Cund 25bar) abgetrennt.
3.4.5 Methanisierung
CO + 3H2−→←−CH4 +H2O ∆HR = −206
kJmol
Die stark exotherme Reaktion wird bei 620K / 30bar wird durchge-führt, um das Katalysator-Gift CO in den ppm-Bereich abzusenken.3.4.6 Ammoniaksynthese
N2+H2−→←−2NH3 ∆HR = −91
kJmol
Optimierungsproblem zwischen Temperatur (hoch: wenig NH3, nied-rige: Reaktionsgeschwindigkeit sinkt) und Druck (100 − 300bar).Als Katalysatoren dienen, sehr ähnlich denen von Haber/Bosch ge-fundenen, immer noch Eisen-basierte Mischungen.In der Praxis wählt man 675K am Inlet und 720..770K am Outletbei 100..300bar. Auf Grund der Exothermie ist eine Kühlung not-wendig. Hier wählt man meist Hordenreaktoren mit direkter oderindirekter Kühlung.Durch die geringen Umsätze (20..30%) wird das Synthesegas imLoop gefahren. Hierzu wird das entstandene NH3 kondensiert undabgezogen, während der Rest rückgeführt wird. Technisch bietensich verschiedenste Varianten der Verschaltung.3.5 Steamcracking• Das Streamcracken dient der Herstellung von kurzkettigen
Alkenen aus unreaktiven Alkanen• Der Dampf dient als Verdünnungsmedium, um höhere Um-
sätze (vgl L C) zu erzielen• Streamcracking erzeugt einen Zoo von Produkten, deren Antei-
le je nach Betriebsbedingung stark variieren
3.5.1 Thermodyn. Aspekte• Steamcracking ist stark endotherm→ Hohe Temperaturen• Je höher die Temperatur, desto kurzkettiger die Alkene
3.5.2 MechanismusDer Prozess folgt einer Radikalkettenreaktion ohne Katalysator.Start:
H3C CH3−→2 H3C·
Fortpflanzung:
H3C · +H3C CH3−→H3C CH2
H3C CH2−→H2C = CH2 +H·
H · +H3C CH3−→H3C CH2
Abbruch: Rekombination beliebiger Radikale.3.5.3 KinetikStreamcracken ist Reaktion 1. Ordnung: r ∼ pFeed.Aber: hoher pFeed begünstig Zweitreaktionen und die Bildung vonVerkokungsprodukten. Zudem wird die Einstellung des Gleichge-wichts nicht begünstigst.→Partialdruck und Umsatz gering halten! Reaktivität beim Crackensteigt mit C-Zahl.3.5.4 Industrielle AusführungAus den Vorüberlegungen folgt:• hoher Wärmeübergang, hohe Temperatur• geringer Partialdruck• kurze Kontakt-/Verweilzeiten• schnelles Quenchen, um Zusammensetzung zu erhalten
Daraus ergibt sich das Bauprinzip des Radiation-Convection-Ovens.• Vorwärmen (auf 870K) von Naphta (C8...C10-Schnitt, Sp. 50...180 ◦C)
in der Konvektionszone• Kurze Kontaktzeit (< 1s) bei sehr hoher Temperatur ( 1120K)
in der Radiation-Zone• Quenchen auf etwa 700K• Re-Zahlen von 106, Länge der Rohre 50-200m.
3.6 Fischer-Tropsch-SyntheseDas in den 20er Jahren von Fund Tam Kaiser-Wilhelm-Institut entwickelte Verfahren dient dazu aus Synthesegasen belie-biger Herkunft (Erdgas, Kohle, Biomasse: "BTL-Diesel", ...) alipha-tische Kohlenwasserstoffe zu erzeugen.
2
3.6.1 Mechanismus
CO + 2H2−→− (CH2)n − +H20 ∆HR = −152KJmol
Auch wenn der Mechanismus nicht in letzter Wahrheit geklärt ist,wird wohl folgendes ablaufen:• Adsorption CO• Dissoziation CO• Dissoziative Adsorption von H2
• Transfer 2H an Kohlenstoff• Transfer von 2H an Sauerstoff• Desorption von H2O• Bildung einer C − C-Bindung• Desorption des Alkans
Hierbei bestimmt die Kennzahl α die Kettenlänge:
α =kgrowth
kgrowth + kdiss.+hydr.
α ist abhängig von Temperatur, CO/H2-Verhältnis, Druck, Art desKatalysators, Promotoren.Bei α < 0, 85 werden eher C5..C10 erzeugt, bei α > 0, 85 eher Wachse.3.6.2 KatalysatorenFür die FT bieten sich Eisen, Cobalt, Nickel und Ruthenium alsKatalysatoren an. In der Praxis werden aber nur Eisen und Co-balt verwendet, da die Gefahr der Austragung bei Nickel hochist (Carbonyl-Nickel!) und Ruthenium als seltenes, teures Materialnicht in großen Anlagen eingesetzt werden kann.3.6.3 ReaktorenGrundsätzlich muss bedacht werden, dass die Reaktion exothermist. Somit muss die entstehende Wärme zuverlässig abgeführt wer-den, da Hot-Spots zu einer schnellen Desaktivierung des Kataly-sators führen und zudem vermehrt Methan gebildet wird. Manunterscheidet zwischen Low-Temp und High-Temp FT-Synthese:
Als Reaktoren werden in der Praxis realisiert.Synthol Zirkulierende Wirbelschicht für HT-FT-Synthese. Kenn-zeichen:• Hohe Gasgeschwindigkeit• Kleine Katalysator-Körner (100µm-Bereich)• Zwei Kühlzonen im Riser• Klassisches Verfahren seit 1955
Sasol Advanced Synthol Stationärer Wirbelschichtreaktor für HT-FT-Synthese.• Wesentlich einfachere Konstruktion• Geringerer Druckverlust• Höhere Kapazität• Katalysator permanent im Reaktor
ARGE Festbett-Multitubular-Reaktor für LT-FT-Synthese.• Geringer Umsatz pro Durchlauf, um moderates Temperatur
und Konzentrationsprofil entlang des Rohres zu realisieren• Wärmeabfuhr durch Wasserverdampfung• Aktuell 2050 Rohre mit 12m Länge bei 5cm Innendurchmesser
Slurry Slurry aus hochsiedenden Wachsen, in welchem Katalysa-tor "rumschwimmt" und Gas eingeblasen wird.• Einfache Bauweise• Isothermie durch Kühlschlangen• Geringer Druckverlust• Optimale Umgebung für Katalysator• Kontinuierlicher Wechsel des Katalysators möglich
3.6.4 BedeutungUm einen Schnitt mit möglichst wertvollen Produkten zu erzielen,muss eine hohe Selektivität eingestellt werden.Hier kann das Beispiel der 1-Olefine genannt werden, welche einen6x höheren Marktpreis als Benzin erzielen. Diese können optimalin einer Wirbelschicht mit Fe-Katalysator erzeugt werden (70% 1-Olefine in C5..C10-Fraktion!).Besonders reizvoll ist die hohe Reinheit der Produkte, welche dieeinzelnen Fraktionen für Einsatz in Polymer-Herstellung oder auchfür Hochleistungskraftstoffe ("Shell-V-Power") oder Ultra-Low-Sulfur-Diesel prädestiniert. Hierzu wird z.B. eine LT-FT genutzt, hinterwelcher ein Hydrocracker geschaltet ist, so das bis zu 80% Ausbeu-te erzielt werden kann.Eine andere Variante ist, statt Erdgas als LPG/LNG zum Markt zutransportieren, einfach eine FT zu nutzen.4 Konzentrationsverläufe spezieller Reaktionen4.1 Reversible Reaktion 1. Ordnung
5 Stöchiometrie chemischer Reaktionen5.1 AllgemeinesN Komponenten: A1...AN chemische SpeziesSchlüsselkomponenten: Moländerungen müssen bekannt /messbarsein, um eine Aussage über die Moländerungen der anderen Kom-ponenten zu bekommen. Schlüsselreaktionen:
dci
dt=
M∑
j=1
νi jr j
Anzahl der Mole eines Elements:
bh =
N∑
i=1
βhini
N∑
i=1
βhi∆ni = 0
5.2 Element-Spezies-Matrix
N = 7h Elem i→ 1 2 3 4 5 6 7
Spez→ C CH4 H2O H2 CO CO2 C2H6
1 C 1 1 0 0 1 1 22 H 0 4 2 2 0 0 63 O 0 0 1 0 1 2 0L = 3 gebunden frei
Matrix B hat den Rang Rβ = 3.Anzahl der Spezies meist größer als Anzahl der Elemente. Deswe-gen dann Rβ = L.
R = N − Rβ
• R Zahl der Schlüsselkomponenten - Freie Unbekannte• Rβ gebundene Unbekannte - werden berechnet• Anzahl Schlüsselreaktionen=Anzahl Schlüsselkomponenten
Das System kann von unten gelöst werden: ∆nH2 = −∆nCO−2∆nCO2
etc.
5.3 Ermittlung der Schlüsselreaktionen5.3.1 Über homogene LösungErmittle über Linearkombination der gebundenen Komponentenderen stöchiometrische Koeffizienten:νCH4 νH2O νH2 νCO νCO2 νC νC2H6
Diese Gleichungen stellen die Schlüsselreaktionen dar.5.3.2 Aus einem Satz bekannter Reaktionen - Reverse ApproachIn der Praxis ist oftmals bekannt, welche Teil-Reaktionen ablaufen.Somit kann über den G-Algorithmus gelöst werden. Beim o.g.Beispiel:
Hier sind die Schlüsselreaktionen direkt ersichtlich.5.4 Beziehungen zwischen Stöchiometrie und ReaktionskinetikUm sinnvolle Erkenntnisse aus den Berechnungen zu erhalten, wel-che den Reaktionsverlauf oder Reaktionsmechanismus beschreibt,ist eine Bewertung notwendig.
1. M = Rν = N − Rβ - Anzahl der wirklichen Reaktionen ent-spricht der Anzahl der Schlüsselreaktionen.Bsp. 3 Isomere, 1 SchlüsselreaktionParallelreaktion (A1 → A2 und A1 → A3)Folgereaktion (A1 → A2 → A3)Entscheidung durch Konzentrationsmessung von A3 an t = 0.Wenn dc3
dt = 0, dann 2.2. M > Rν = N−Rβ - Mehr ablaufende Reaktionen als Schlüssel-
reaktionen3. M < Rν = N − Rβ - Eine oder mehrere Schlüsselreaktionen
sind kinetisch unmöglich.Bsp. Rohrzuckerinversion.
6 Einführung in die Katalyse6.1 GrundlagenEin Katalysator• beschleunigt eine chemische Reaktion, ohne das thermodyna-
mische Gleichgewicht der Reaktion zu verschieben.• eröffnet einen neuen Reaktionsweg mit geringerer Aktivie-
rungsenergie.• vermeidet stabile Zwischenprodukte durch den katalytischen
Reaktionsweg.4
Vorteile sind demnach:• milde Reaktionsbedingungen• Kosteneffizienz• Umweltfreundlichkeit
Die Güte eines Katalysators wird durch folgende Merkmale be-stimmt:
6.2 Katalytischer Kreislauf1. Aktivierung des Katalysators2. Aktiver Katalysator bindet an Substrat I3. Der Katalysator-Substrat-Komplex bindet an Substrat II4. Es bildet sich ein Übergangszustand, welcher in einen Kata-
lysator - Produkt - Komplex übergeht5. Produkt und Katalysator trennen sich und es geht bei (2) wei-
ter.6.3 Homogene und Heterogene Katalyse
Homogen HeterogenAktivität hoch variabelSelektivität hoch variabelReakt.bed. mild hartLebensdauer variabel langVergift.Gefahr niedrig hochDiff.prob. niedrig hochKosten f. Reg. hoch null
6.4 Heterogene KatalyseBei der der heterogenen Katalyse muss ein spezielles Augenmerkauf Massen- und Wärmetransportvorgänge, Phasengleichgewichteund Löslichkeitseffekte, also die Makrokinetik achten.Die Einzelschritte der Heterogenen Katalyse umfassen
1. Transport Bulkphase zu Katalysatoroberfläche (Filmdiffusi-on)
2. Transport im Katalysator (Porendiffusion)3. Adsorption an aktivem Zentrum4. Oberflächenreaktion5. Desorption6. Transport vom aktiven Zentrum weg7. Transport in Bulk-Phase
Somit sind 4 Transport- (makrokinetische) und 3 Reaktions- (mikro-kinetische) Vorgänge beteiligt.6.5 Deaktivierung heterogener Katalysatoren→ Änderung der Aktivität a(t′) und Selektivität mit der Zeit
a(t′) =r(t′)
r(t′ = 0)Mechanismen der Deaktivierung:• Vergiftung (H2S)• Ablagerungen (Verkokung, Teer)• Versinterung (Cluster backen zusammen→Verringerung der
aktiven Oberfläche)• Austrag über die Gasphase ("Mondprozess")
Deaktivierungsgeschwindigkeit: rd =dadt′ =
dLdt′
• Temperatur• Konzentration deaktivierender Substanzen• Aktivität selbst
7 Grundlagen der AdsorptionBei der Adsorption unterscheidet man zwischen• Physisorption• Chemisorption
7.1 Eigenschaften
Physisorption ChemisorptionAdsorbens (s) Alle WenigeAdsorpt (g) Alle Reaktive GaseWärme kJ
mol 8-25 20-420Geschwindigkeit sehr schnell variabelEads < 4 akt: 84, non akt: <4Temperatur niedrig hochBelegung auch Mehrlagig EinlagigReversibilität hoch meist niedrig
7.2 BeschreibungL-Adsorptions-Isotherme beschreibt den Belegungsgradθ.Annahmen hierbei: Homogene Oberfläche, keine Interaktion zwi-schen adsorbierten Molekülen.
θ =Kp
1 + Kp
Grenzfälle: Kp¿ 1→ θ ≈ KpKpÀ 1→ θ ≈ 1
K kann über die V’ H’sche Reaktionsisochore beschriebenwerden
K = K∞ exp(−∆Hads
RT
)
Der Gesamtbelegungsgrad ergibt sich aus der Summe der Einzel-belegungen
θ =N∑
i=1
θi
7.3 Sorptionsisothermen
Autor Isotherme AnwendungL ν/νm = Kp/(1 + Kp) P + CH ν = ap P + CF ν = kp1/n P + CS-F ν/νm = k1 ln(k2p) CBET p
ν(p0−p) =1
νmb +b−1νmb
pp0
P (multilayer)
8 Mikrokinetik• L-H:
A B A B A· · ·B C· · ·D C D↘ ↙ → | | → | | → | | → ↖ ↗
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
• E-R:A B A ← B A· · ·B C· · ·D C D↘ → | → | → | → ↖
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
8.1 Prinzip des geschwindigkeitsbestimmenden Schrittes (RDS)Bsp.: L-H:
|ν1|A1+|ν2|A2−→←−|ν3|A3+|ν4|A4
mit ν1 = ν2 = −1; ν2 = ν4 = 1Annahme macht Sinn, da Oberflächenreaktion maximal bimoleku-lar sind.• jeder Reaktand ist an einem Zentrum adsorbiert; Reaktion im
adsorbierten Zustand• jedes Produkt an einem Zentrum• Anzahl der aktiven Zentren = konstant über die Zeit• alle Reaktionen werden als Gleichgewichtsreaktionen behan-
delt
5
8.2 Ablauf• Sorption der Reaktanden
Ai + l0−→←−Ail mit i = 1, 2
• Oberflächenreaktion
A1l + A2l−→←−A3l + A4l
• Sorption der Produkte
Ai−→←−Ai + l0 mit i = 3, 4
8.3 GeschwindigkeitsgleichungenFür die Elementarreaktionen ergeben sich:• Adsorption:
rads,i = kads,ip1θ0 miti = 1, 2, 3, 4
• Desorption:
rdes,i = kdes,iθi miti = 1, 2, 3, 4
• Hinreaktion:
r1 = k1θ1θ2
• Rückreaktion:
r2 = k2θ3θ4
N∑
i=1
θi + θ0 = 1
8.4 RDSEntwicklung einer Geschwindigkeitsgleichung auf Basis des RDS• nur die Geschwindigeitsgleichung des RDS wird formuliert• die unbekannten Belegungsgrade werden durch die Annah-
me bestimmt, dass alle anderen Teilschritte im Gleichgewichtsind.
Drei Fälle werden unterschieden:• Oberflächenreaktion ist RDS
r = k1θ1θ2 − k2θ3θ4
mit rSor,Edukt = rSor,Produkt = 0• Sorption von Reaktand A1 ist RDS
r = kads,1p1θ0 − kdes1θ1
• Sorption von Produkt A3 ist RDS
r = kads,3p3θ0 − kdes3θ3
Allgemeine Sorptionsisotherme für L-H - Me-chanismus:
θi =Kipi
1 +∑N
q=1 Kqpqmit Ki =
kads,i
kdes,i
9 Makrokinetik• eingeschränkte Transportgeschwindigkeit im Pellet→ c , cbulk
• Temperaturgradient im Pellet→ T , Tbulk
→mittlere ReaktionsgeschwindigkeitWichtig: Nur die Parameter in der Bulk-Phase können gemessenwerden.Einfachster Fall: keine Filmdiffusion
(ci,T)b︸Ã︷︷Ã︸
bulk-Bedingungen
= (ci,T)s︸︷︷︸
Oberflächenbedingungen
Faustregel:Hauptwiderstand für den Massentransport→ im PelletHauptwiderstand für den Wärmetransport→ im Film
Wirkungsgrad:
η =re
rs=
mittlere Reaktionsgeschw. im PelletReaktionsgeschw. bei Oberflächenbedingungen
9.1 Porendiffusion im isothermen KatalysatorkornAnnahmen:• keine Filmdiffusion (bulk=surface)• isotherm• gleichmäßige Porenstruktur De = const.• A1 → Produkte (c1 = c)• kugelförmiges Katalysatorpartikel• Katalysatorpartikel ist pseudo-homogenes System
= Verbr. d. Rkt. im Vol.-element︸ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︷︷ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︸
Γ
Mit:
f =ccb
x =x′
R
Nach Vereinfachung:
d2 fdx2 +
2x
d fdx= φ2 f n
Randbedingungen:x′ = R → c = csx′ = 0 → dc
dx′ = 0T-Modul:
φ = R ·
√
k · cn−1s
De=√
DaII =ReaktionDiffusion
DaII: D-Zahl 2. Ordnungφ klein: niedrige Reaktionsgeschwindigkeit; Reaktion limitiert Ge-samtgeschwindigkeitφ groß: hohe Reaktionsgeschwindigkeit; Diffusion limitiert Gesamt-geschwindigkeitFür andere Geometrien→modifiziertes Thiele-Modul:
φP =VP
OP·
√
k · cn−1s
De
VP: Volumen des PelletsOP: Äußere Oberfläche des PelletsWirkungsgrad im Pellet:
η =3φ
(
1tanhφ
− 1φ
)
Für φ > 3 ist tanhφ ≈ 1 und es gilt:
η =3φ
sowie φ =Φ
3+ 1
6
Mit steigender Reaktionsordnung sinkt die Wirkungsgradkurvenach unten.
A: Kat mit geringer Aktivität: großer De, kleiner R (großer Wir-kungsgrad, aber hoher Druckverlsut)
B: angestrebter Betriebszustand: hoher Wirkungsgrad bei großemΦ
C: Kat mit hoher Aktivität: niedriger De, großer R (Diffusionhemmt Reaktionsgeschwindigkeit)
Je größer das T-Modul, desto steiler fällt das Konzentrati-onsprofil zum Pelletmittelpunkt hin ab. Bei starker Diffusionshem-mung findet die Reaktion deahalb nur in der Randzone statt. Des-wegen schnellere Desaktivierung, da Katalysator unvollständig ge-nutzt.9.2 Einfluss der Partikelgröße
9.3 Einfluss der Filmdiffusion auf die heterogene KatalyseFluid mit Geschwindigkeit u, Dichte ρ und Viskosität ν umströmtKatalysatorkorn.Molekulare Diffusion durch die laminare Grenzschicht mit der Film-dicke:
W-H-Kriterium:→ Pellet nicht isotherem, ausschließlich PorendiffusionKeine Massen- und Wärmelimitierung falls
Φ · exp(
γ · βPr
1 + βPr
)
< 1
7
9.6 Zweifilm-Theorie9.6.1 Basis• Stagnierende Filme• Konzentrationsgradienten• Gleichgewicht an Phasengrenzfläche (µG = µL)• Diffusion bewirkt Transport durch Grenzfläche
Ji,g = −Di,g∆ci,g
δg= Ji,l = −Di,l
∆ci,l
δl
Treibende Kraft: Chemisches Potential bzw. ∆ci = c∗i − ci!Stoffübergangskoeffizienten:
K =Di,PδP
H Gesetz (verdünnte Lösung Gas in Flüssigkeit:
p∗i = Hic∗i
N’sches Gesetz (Liquid/Liquid)
c∗i,I = KNc∗i,II9.6.2 BilanzAcc = In - Out + Reactstationär: Acc = 0
(J1a)y + (J1a)y+dy = k′c1c2ady
J1 = −D1,ldcdy
∣∣∣∣∣y
dc1
dy
∣∣∣∣∣y+dy=
dc1
dy+
dc2
dydy
→ D1,ld2c1
dy2 = kc1c2 D2,l =d2c2
dy2 = kc1c2
Vereinfachungen:
p∗1 = p1,g c∗1 =
p1,g
H1k = k′c2
y = 0 : c1 = c∗1 c2 = c2,l
y = δl : c1 = c1,l c2 = c2,l
d1,ld2c2
dy2 = kc1
Mit Hilfe der dimensionslosen H-Zahl:
Ha = δ
√
kc∗n−11
D1,l
Das analoge T-Modul stellt das Verhältnis von Reaktion zuDiffusion bei Fluid-Fest (Katalysator) Reaktionen dar, während dieH-Zahl selbiges für Fluid-Fluid Reaktionen quantifiziert.
Ha = δl
√
kD1,l
=δl
D1,l
√
kD1,l =1
k1,l
√
kD1,l
9.6.3 Chemische Reaktion und Stofftransport1. Chemische Reaktion im Bulk2. Stofftransport durch Flüssigkeitsfilm ist langsamer als Reak-
tion→ Reaktion im Film
10 Auswertung kinetischer Daten10.1 Scale-UpProblem beim Scale-Up von der Laboranlage zur großtechnischenAnlage sind:• Form des Reaktors• Wärmezu- und abfuhr• Strömungsbedingungen• Vermischungsverhalten
Als Methoden für den Scale-Up ergeben sich:klassisch modern
emprische Betrachtung Detailverständnis +Modellbildungstufenweiser Scale-Up in einem Schritt
Makrokinetik• Effektivkinetik mit Transporteinfluss• nicht getrennt von Transport• Beschreibung durch Scale-down
10.3 Prinzipien von Betriebsweise und BauartIst der Reaktor• komplex oder einfach?• isotherm, adiabat oder polytrop?• Homogen oder Heterogen?
Lösung: Bestimmung von Konzentrationen in Abhängigkeit vonder Zeit (c = f (τ) bzw c = f (tR))!BSTR: Zeitkonstante = tRPFTR: Zeitkonstante = τ10.3.1 DifferentialreaktorenBei Differentialreaktoren kann bei kleinen Umsätzen die Reaktions-geschwindigkeit direkt bestimmt werden:
νir =ci0 − (ci0 − dci)
dt= −ci0
dXi
dt
In der Praxis ist allerdings dXidt schwer bestimmbar. Damit ist das
Ergebnis einem T bzw. c nicht mehr genau zuzuordnen!10.3.2 SchlaufenreaktorEin idealer CSTR verhält sich wie ein Schlaufenreaktor - Also großerRecycle Strom, gradientenlos.Die Stoffmengenänderungsgeschwindigkeit ergibt sich zu:
Ri = −ni0 − ni
VRk =
nk0dXk
mcat
10.4 Beispiele für spezielle Rohrreaktoren10.4.1 Heterogen Katalysierte ReaktionenHier wählt man meist• Rohrreaktor mit Füllung→ Festbettreaktor• Schlaufenreaktor mit innerem und äußerem Kreislauf
r =1νi
dndt
1mkat
10.4.2 Fluid-Fluid-ReaktorenHier ist der Stofftransport von sehr großer Bedeutung!• Mikrokinetik oder Transportlimitierung bestimmen• Bestimmung der Makrokinetik in Reaktor mit bekannter Fluid-
dynamik und Austauschfläche
1. Laminarer FallfilmabsorberEs werden Eingangs- und Ausgangskonzentrationen gemes-sen. Sehr interessant, wegen definierter Verweilzeit und Pha-sengrenzfläche.Besonders gut geeignet bei schnellen Reaktionen (sehr großeHa-Zahl!)
2. LaminarstrahlabsorberDurch die wechselnden Strömungsprofile ist die Verweilzeitberechenbar durch
τ =πd2L4Vl
8
10.5 Methoden der AuswertungAufstellen eines Modell, wobei dessen Parameter bestimmt werdenmüssen.
1. Kinetische Modellrechnung
rX...= f
cipiTmcat...
2. Parameterabschätzung3. Struktur des Reaktionsschemas ermitteln (bei komplexen Re-
aktionen)In der Vergangenheit dominierten eher graphische Methoden, heutesind es eher statistische.10.6 DifferentialmethodeReaktionsrate wird aus c − t-Plot mit Hilfe graphischer oder nume-rischer Differentiation ermittelt. Vorteil ist die generelle Anwend-barkeit und der geringe Aufwand der Berechnung. Demgegenübersteht der Nachteil, dass die Reaktionsrate sehr schwer messbar istund dass die Differentation prinzipbedingt einen gewissen Fehleraufweist.10.6.1 bei Potenzansätzen
Wichtig hierbei: Parameter m wird angepasst, bis sich eine Geradeergibt!11 Typen von Reaktionsapparaten11.1 Nach Art der Betriebsweise11.1.1 Diskontinuierlicher Batch-ReaktorZusammensetzung der Komponenten im Apparat ändern sich stän-dig. Reaktor arbeitet instationär für eine definierte Zeit.Vorteile:• Flexibilität• hohe Umsätze durch beliebig lange Reakionszeiten
Nachteile:• Totzeiten durch Füllen, Entleeren, Säubern• hoher Steuer und Regelungsaufwand
Anwendungen sind somit die Specialties mit < 1000 t/a.11.1.2 Kontinuierliche BetriebsweiseEdukte werden kontinuierlich zugeführt, Produkte kontinuierlichabgezogen. Alle Prozessparameter sind konstant. Reaktor arbeitetsomit statinonär. Vorteile:• Gut Automatisierbar• Geringe Stillstandszeiten• gleichbleibende Produktqualität
Nachteile:• geringere Flexibilität• Eduktqualität muss gleichbleibend sein• hohe Investitionskosten
Anwendung sind Großproduktionen. Allerdings werden zuneh-men auch kontinuierliche Mikroreaktoren an Stelle von Batchreak-toren eingesetzt.
11.1.3 Halbkontinuierliche Prozesse1. Ein Reaktand liegt im Überschuss zu, der andere wird suk-
zessive zugegeben.Bsp. Nitrierung von Benzol
2. Ein Produkt wird kontinuierlich abgezogen, zwecks Verschie-bung des Gleichgewichts.Bsp. Abziehen von Wasser bei der Veresterung
3. Ein Reaktand liegt vor, anderer wird zugegeben, Produkt wirdkontinuierlich abgezogen.
11.2 nach Art der Phasen11.2.1 Einphasige SystemeRührkessel• sowohl Batch/Fed-Batch oder Konti einsetzbar• Dampf/Kühlwasser für Wärmetausch durch Heiz- oder Kühl-
schlangen• Verschiedene Reaktoren mit unterschiedlichen Leistungs- und
MischzeitcharakteristikaWichtig hier, ist besonders die Auswahl des geeigneten Misch bzw.Rührgerätes. Hierbei ist das wichtigste Auswahlkriterium die Vis-kosität. Zusätzlich ist noch nach der gewünschten vorherrschendenStrömungsrichtung (radial oder axial) auszuwählen.Kriterium für die Eignung eines Rührers ist:• Batch-Reaktor: Mischzeit sollte kleiner als die Zeitkonstante
der Reaktion sein:
tm ≤ 0, 1c1,0
r0
• Konti-Reaktor: Mischzeit sollte kleiner als die hydrodyn. Ver-weilzeit sein:
tm ≤ 0, 1τ
Strömungsrohre Analogie: Strömungsrohr ↔ diskont. Rührkes-sel! Vergleiche cPFTR-τ und cBSTR-tR, diese sind identisch!Strömungsrohre eignen sich vor allem bei• stark exo-/endothermen Reaktionen, da Wärmeaustauschflä-
che bezogen auf Volumen sehr groß ist• Reaktionen mit hohem Durchsatz
Einsatzbeispiel: Streamcracking11.2.2 Mehrphasige SystemeIn mehrphasigen Systemen spielen Wärme- und Stofftransport ei-ne entscheidende Rolle für Umsatz und Selektivität. EntscheidendeEntscheidende Parameter hierbei sind vor allem: Stoff- / Wärme-übergangskoeffizienten und die Austauschfläche.Fluid-Feststoff Reaktion an Oberfläche mit Verbrauch des Fest-stoffes oder Katalyse.Festbettreaktoren können isotherm, polytrop oder adiabat betrie-ben werden.Zur Begrenzung der Temperatur bieten sich an:• Rohrbündelreaktor (Multitubular Reactor)• Hordenreaktor (Rack-type Reactor)
Wirbelschichtreaktoren Vorteile von Wirbelschichtreaktoren sind• Feststoff ist im fluidisierten Zustand einfach zu handlen• Nutzung sehr kleiner Partikel leicht möglich. Dadurch gerin-
ge Makrokinetische Limitierung• Gute radiale und axiale Vermischung• Guter Wärmeübergang
Übliches Einsatzgebiet ist: 2 · 10−4 < B < 10−1.• Für kleine Ha-Zahlen sorgt ein größeres B (Oberfläche!) nicht
für größere Kapazitäten (Reaktion im Bulk!)• Für schnelle Reaktionen (große Ha) muss eine große Oberflä-
che (B!) bereitgesetllt werden, da sonst η sehr klein wird.Dreiphasige Systeme Hier treten Gas, Flüssigkeit und Feststoff inWechselwirkung.• Blasensäule mit Packung• Rieselbettreaktor• Dreiphasige Wirbelschicht• Suspensionsreaktoren
Divergenz div transformiert Vektor in SkalarGradient grad transformiert Skalar in Vektor
12.2 idealer RührkesselVollkommene Gleichheit der Konzentrationen und der Temperatur→ Terme für Dispersion und Wärmeleitung entfallen.Massenbilanz:
dci
dt︸︷︷︸
Akkumulation
=V0
Vci0
︸︷︷︸
Zustrom
− Ve
Vci
︸︷︷︸
Abstrom
+∑
νi jr j︸ÃÃ︷︷ÃÃ︸
Reaktion
Wärmebilanz:
ρcpdTdt
︸Ã︷︷Ã︸
Akk.
=V0
VρcpT0
︸ÃÃÃÃ︷︷ÃÃÃÃ︸
Zustrom
− Ve
VρcpT
︸ÃÃ︷︷ÃÃ︸
Abstrom
+∑
j
(−∆HR) j r j
︸ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︷︷ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︸
Reaktion
− Q(T)︸︷︷︸
Wärmezu/-abfuhr
Vereinfachungen:stationärer Zustand: dc
dt = 0konstantes Volumen: V = Ve = V0
ci − ci,0 = τ∑
j
νi jr j
Umsatz für Reaktion 1. Ordnung:
X =τk
1 + τk=
DaI1 +DaI
12.2.1 RührkesselkaskadeMassenbilanz für den k-ten Kessel:
dci,k
dt=
1τk
ci,k−1 −1τk
ci, k +∑
j
νi jr j
Umsatz der Rührkesselkaskade kann grafisch über Treppenzugver-fahren bestimmt werden.Ein PFTR gleicht einer Rührkesslekaskade mit unendlich vielen Kes-seln.
10
Der Umsatz einer Rührkesselkaskade bleibt immer in den Grenzenzwischen Rührkessel (K = 1) und idealem Strömungsrohr (K = ∞).
• Für Reaktionen erster und zweiter Ordnung sind die Um-sätze in Strömungsrohren immer größer als in einem idealenRührkessel mit dem selben Volumen.
• Für gleiche DaI sind die Umsätze für Reaktionen 1. Ordnungimmer größer als für Reaktionen 2. Ordnung.
Gewöhnlich werden in der Technik Kaskaden mit zwei bis fünf Kes-seln realisiert. Hier liegt das Optimum zwischen höherem Umsatzund Investitionskosten.12.2.2 Halbkontinuierliche (semi-batch) BetriebsweiseEin Reaktand wird im Reaktor vorgelegt, der andere wird kontinu-ierlich hinzugegeben.Diese Betriebsweise wird für stark exotherme Reaktionen, wie z.B.Nitrierungen, verwendet.Stoffmengenbilanz für den kontinuierlich zugegebenen ReaktandenA1:Ve = 0; Reaktionsvolumen V(t) ist zeitabhängig
dn1
dt= V1ci,0 − V(t) · r
12.2.3 Diskontinuierliche (batch) BetriebsweiseEs entfallen die Terme für Konvektion und Dispersion.Massenbilanz:
dci
dt=
∑
j
νi jr j
Wärmebilanz:
ρcpdTdt=
∑
j
(−∆HR) j r j − Q(T)
Bestimmung der Reaktionszeit tR:
tR = n1,0
∫ XR
X=0
dXrV
Zur grafischen Bestimmung von tR: Auftragung von 1rV gegen X.
→ Integral von 0 bis XR entspricht tRn1,0
.
12.3 Ideales Strömungsrohr (PFTR)Es entfällt der Term für Dispersion.Massenbilanz:
∂ci
∂t= −∂ (ciu)
∂z+
∑
j
νi jr j
Üblicherweise stationärer Betrieb→ dcidt = 0
Wärmebilanz:
dTdz
︸︷︷︸
Konvektion
=1
uρcp
∑
j
(
−∆H j
)
r j
︸ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︷︷ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︸
Wärmequelle/-senke
− kWAV
(T − TK))
︸ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︷︷ÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃÃ︸
Wärmetransport
Beim adiabaten Strömungsrohr entfällt der Wärmetransport durchdie Wand (einzige Wärmeveränderung durch Reaktion). Für eineeinzelne Reaktion folgt durch Verknüpfung mit dem Umsatz undEinführung der adiabaten Temperaturerhöhung ∆Tad
dT =c1,0 (−∆HR)ρ0 · cp
︸ÃÃÃÃÃÃÃÃ︷︷ÃÃÃÃÃÃÃÃ︸
∆Tad
dX = ∆TaddX
Adiabate Trajektorie:
X =T − T0
∆Tad
12.4 Verknüpfung von Masse- und Wärmebilanz im nichtisother-men STR
Bedingung für stationären Betrieb:
qgen︸︷︷︸
Wärmeproduktion
= qrem︸︷︷︸
Wärmeabfuhr
CPH: curve of production of heat→ nichtlinear wegen ARHL: removal of heat line→ lineare Funktion der Temperaturϑ = T
T0: Temperaturerhöhung im Reaktor (Bulk-/Eingangstemperatur)
Drei Betriebsweisen:a) gelöschtes System
Temperaturveränderung verursacht von selbst einen Rück-gang zu einem einzigen stabilen Betriebspunkt.
b) gezündetes SystemWie a) jedoch auf hohem Temperaturniveau
c) instabiles SystemMinimale Temperaturabweichung verursacht Zünden oderErlöschen→ stabiler Betriebspunkt stellt sich ein.
Instabiler Betriebspunkt wenn:
dqrem
dϑ<
dqgen
dϑ
Analoge Darstellung ist im X − T-Diagramm möglich: hier sindRHL’s parallel. Umsätze im instabiler Bereich können nicht erreichtwerden.13 Reale ReaktorenReale Reaktoren unterscheiden sich von idealen Reaktoren hinsicht-lich:• Radiale Konzentrations- oder Temperaturprofile• Axiale Dispersion (Rückvermischung)• Ausbildung von Kanälen• Toträume• Kurzschluss-Ströme
Untersuchungen zum Strömungsverhalten können selten am tat-sächlichen Reaktor durchgeführt werden. In den meisten Fällenwird hierfür ein Modellreaktor im Labormaßstab herangezogen.
11
13.1 VerweilzeitverteilungIn realen Reaktoren entspricht die tatsächliche Verweilzeit (VWZ)nicht der hydrodynamischen VWZ τ = V
V , sondern folgt einer ent-sprechenden Altersverteilung.VWZ-Verteilung am Reaktorausgang () durch Stoßmarkierungmit der definierten Menge n0:
E(t) =nn0=
Vc(t)∫ ∞
0Vc(t)dt
∫ ∞
0E(t)dt = 1
Das Integral der VWZ-Verteilung zwischen t = 0 und t = t1 ent-spricht dem Anteil an Molekülen, die kürzer als t1 im Reaktor ver-weilen.
13.2 Modelle realer Reaktoren13.2.1 DispersionsmodelleDispersion ist ein makroskopischer Prozess, verursacht durch Varian-zen des Strömungsverhaltens (Turbulenz, etc.).Massenbilanz mit Dispersionsterm für das eindimensionale Strö-mungsrohr:
∂c∂t= −U
∂c∂z+Dz
∂2c∂z2
Dz oder Dax: DispersionskoeffizientB-Zahl:
Bo =L ·UDz
=erzwungene Konvektion
Dispersion
Bo→ 0: VWZ-Kurve nähert sich dem idealen STRBo→∞: VWZ-Kurve nähert sich dem PFTRAxiale P-Zahl zur Bestimmung von Dax mittels empirischenKorrelationen:
Peax =udR
Dax
13.2.2 KaskadenmodelleDas VWZ-Verhalten realer Reaktoren kann mit einer Reihenschal-tung N gleicher, ideal gemischter Zellen angenähert werden.
E(Θ) =N (N ·Θ)N−1
(N − 1)!exp (−NΘ)
Der Parameter N wird durch Fitting der errechneten VWZ-Kurvemit der experimentell bestimmten VWZ-Kurve erhalten.Für Bo > 50 gilt Bo ≈ 2N.13.2.3 Gemischte ModelleIn manchen Fällen reichen die beiden Modelle mit jeweils nur ei-nem Parameter nicht aus, um das beobachtete VWZ-Verhalten zubeschreiben. In diesen Fällen werden gemischte Modelle (Kombi-nation idealer Reaktoren) angewandt.
