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Eigenwerte des Laplace-Operators - Seite 21Eine Karriere bei der Munich Re - Seite 13
Mathe-LMU.deNr. 36 – JaNUar 2018
Carathéodory-GeseLLsChaft zUr förderUNG der MatheMatik iN WirtsChaft,UNiversität UNd sChULe aN der LMU MüNCheN e.v.
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Liebe Leserinnen und Leser, Liebes Vereinsmitglied,
in diesem Heft spannen wir wieder einen Bogen von der Schulzeit bis ins Renten- alter, einerseits mit einem Artikel über eine „Summer Academy“ zur Erstellung von Lern-materialien für Schülerinnen und Schüler und andererseits einem Rückblick auf das Festkol-loquium, mit dem das Institut Professor Otto Forster feierte, einen Kollegen, der auch mit 80 Jahren noch regelmäßig äußerst beliebte Vorlesungen anbietet.Mit besonderem Interesse habe ich den Kar-riere-Artikel von Herrn Kreuss gelesen, zeigt er doch, wie spannend und weltumfassend ein Berufsleben als Mathematiker sein kann.Beim mathematischen Artikel hat sich Herr Morozov sehr erfolgreich bemüht, ein äu-ßerst anspruchsvolles Thema so weit „he-runterzukochen“, dass es für Studierende nach dem dritten Semester gut verständlich ist. Doch auch ohne Kenntnisse von partiel-len Ableitungen und Differentialgleichungen oder von Volumenintegralen kann man die Faszination erahnen, die von der mathema-tischen Durchdringung komplexer physikali-scher Sachverhalte ausgeht.
Mit den besten Wünschen für ein glückliches und erfolgreiches Jahr 2018
Heiner Steinlein
Titelbild: In „Mathematik am Samstag“ führte Prof. Nikita Semenov u.a. ein in die Welt der Platonischen Körper und die Euler-Charakteristik.
Impressum mathe-lmu.deHerausgeber Carathéodory-Gesellschaft zur Förderung der Mathematik in Wirtschaft, Universität und Schule an der LMU München e.V. Mathematisches Institut, Universität München, Theresienstr. 39, 80333 München [email protected] Commerzbank München, BIC: COBADEFFXXX IBAN: DE34 7004 0041 0664 0676 00 ViSdP Manfred Feilmeier Sendlinger Straße 21, 80331 München, [email protected]
Redaktion Katharina Belaga, Bernhard Emmer, Daniel Rost, Heinrich Steinlein, Anna WarlimontAuflage 5000 Layout Gerhard Koehler, München, [email protected] WirmachenDruck.de
Die Redaktion bedankt sich bei den Firmen, die mit ihren Anzeigen die Herausgabe dieser Zei-tung ermöglichten. Wir bitten die Leser um freundliche Beachtung der Anzeigen.
eine der ersten größeren Veranstaltungen, die wir in den letzten Jahren durchführen konnten, fand im Mai 2015 statt und han-delte von Big Data und den entsprechenden Algorithmen. Die Begriffsbildung hat sich seither geändert; man spricht heutzutage ein-fach von „Data Science“. Es gibt mittlerweile eine Reihe von Veranstaltungen zu diesem Thema. Die Deutsche Aktuarvereinigung DAV hat eine eigene Fachgruppe „Actuarial Data Science“ eingerichtet, die ich zusammen mit zwei Kollegen leite. Und an der LMU gibt es einen eigenen Studiengang Data Science! Er-freulicherweise kann ich Sie heute auf eine Veranstaltung hinweisen und dazu einladen, die vom Studiengang Data Science der LMU in Kooperation mit der o.g. Fachgruppe der DAV und den Datageeks e.V. – der Mün-chener Data Science Community – am 20. und 21. März 2018 veranstaltet wird: die „German Data Science Days 2018“. Auf der Website www.datasciencedays.de finden Sie das Programm der Veranstaltung; auf dieser Website können Sie sich auch zu dieser Ver-anstaltung anmelden. Das Programm umfasst Vorträge aus den wichtigsten Branchen und branchenübergreifende Themen. Die Veran-staltung bietet insbesondere einen aktuellen Überblick über die wichtigsten Anwendungs-bereiche von Data Science, und wir dürfen Sie herzlich dazu einladen.
Ihr Manfred Feilmeier
www.lmu.de/deutschlandstipendium
Ichmöchte einStipendiumstiften
Meine Eltern mussten selbst vor dem Krieg fliehen. Daher unterstütze ich mit meinem Verein »Students4Refugees« Flüchtlinge dabei, ein Studium beginnen oder fortsetzen zu können – vier haben bereits ihren Abschluss geschafft.
Sinksar Ghebremedhin,Medieninformatik
Neben dem Studium Geld zu verdienen ist wegen meiner Mukoviszidose-Erkrankung unmöglich. Durch das Deutschlandstipendi-um habe ich bald trotzdem meinen Master in der Tasche. Das ist ein kleiner Sieg im Kampf gegen die unheilbare Krankheit.
Caroline Schambeck,Geowissenschaft
Ich engagiere mich für Minderheiten wieStraßenkinder oder Flüchtlinge. Am meisten Freude bereitet mir aber der Einsatz als Spre-cher für queere Studierende an der LMU. Ich weiß aus eigener Erfahrung, welche Probleme ein Outing mit sich bringen kann.
Daniel Meierhofer,Zahnmedizin
Nach meiner Ausbildung zum Wirtschaftsme-diator habe ich neben meinem Studium einen Verein gegründet. Darin engagieren sich jetzt Juristen aus ganz Deutschland, um mittellosen Menschen durch Mediation bei der außerge-richtlichen Streitschlichtung zu helfen.
Gideon Arnold,Jura
Ein Baby während des Studiums bekommen?Das hat bei mir funktioniert – dank des Deutschlandstipendiums. Jetzt helfe ich als Fachschaftsgruppenleiterin anderen Stu-dierenden mit Kind beim Organisieren des Studienalltags.
Sybille Veit,Medizin
Nach dem Tod meines Vaters lernte ich viel, um es von Usbekistan in die große, weite Welt zu schaffen. In München kann ich meinen Traum jetzt verwirklichen: lernen und lehren. Wenn ich für immer an der Uni bleiben dürfte, würde ich das sofort tun.
Polina Larina,Interkulturelle Kommunikation
Ein Stipendium –viele GesichterDeutschlandstipendium an der LMU München
Verantwortung übernehmen, Vielfalt fördern: Unterstützen jetzt auch Sie besonders engagierte und talentierte Studierende mit 150 Euro im Monat.Zum Dank verdoppelt der Bund Ihre steuerlich absetzbare Spende.
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EhrungenProf. Peter Pickl wurde mit dem Preis für gute Lehre 2016 des Staatsministers für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst ausge-zeichnet. Gewürdigt wurde damit vor allem sein Gespür für die Anliegen der Studieren-den und die Interaktion mit ihnen während der Vorlesungen. Die Preisverleihung fand am 23. November in Regensburg statt.
Für seine Forschung auf dem Gebiet der Gra-phentheorie erhielt Prof. Konstantinos Pana-giotou einen Consolidator Grant des ERC. Mit dem hoch dotierten Preis wird sein For-schungsprojekt „Phase Transitions in Random Constraint Satisfaction Problems“ über einen Zeitraum von fünf Jahren gefördert.
PersonalienMit Frau Prof. Sabine Jansen (Nachfolge Dürr) und Herrn Prof. Stefan Schreieder (Nachfolge Donder) konnten zu diesem Semester zwei W2-Professuren neu besetzt werden. Sie stel-len sich auf der folgenden Seite vor.Den Ruf auf eine weitere W2-Stelle (Nach-folge Goertsches) hat Herr Dr. Sebastian Hensel von der Universität Bonn angenom-men. Er wird zum Sommersemester an unser Institut kommen.
Berichte aus dem Mathematischen Institut
Die Preisträger mit Prof. Peter Pickl (helles Hemd)
EinschreibungDie Einschreibungszahlen für die mathema-tischen Studiengänge könnte man mit dem Begriff „Punktlandung“ umschreiben: Es wie-derholten sich weitestgehend die Zahlen vom Vorjahr mit Abweichungen von ma-ximal knapp 12 %. Leichte Tendenzen er-kennt man bei der etwas stärkeren Nachfrage nach dem Bachelorstudiengang Mathema-tik und dem „nichtvertieften“ Lehramtsstudi-engang sowie einer geringen Einbuße beim Wirtschaftsmathematik-Bachelor.Weniger aussagekräftig sind die Neuein-schreibungszahlen für die Masterstudien-gänge, da hier auch ein Studienbeginn im Sommersemester möglich ist, erfahrungs-gemäß aber mit geringeren Zahlen als im Wintersemester.
VeranstaltungenIn der Woche vom 3. bis 7. Juli fand am Ma-thematischen Institut eine Konferenz zum Thema „Motives: arithmetic, algebraic geo-metry and topology under the white-blue sky“ statt.Zu Ehren des 80. Geburtstages von Prof. Otto Forster hatte das Mathematische Insti-tut am 14. Juli zu einem Festkolloquium ein-geladen. Einen Bildbericht zu dieser Veran-staltung finden Sie auf Seite 7.In der letzten Woche der bayerischen Som-merferien konnten Schülerinnen und Schüler im beliebten Probestudium wieder einen Ein-blick in das Mathematikstudium gewinnen. Unter der Leitung von Prof. Vogel wurden Vorlesungen und Übungen zum Thema „Ein Fraktal, was ist das eigentlich?“ angeboten.
Zur Vorbereitung auf das Studium der Mathe-matik fand Ende September unter der Leitung von Prof. Ufer wieder der zweiwöchige Brü-ckenkurs statt. Dabei hatten die Studienan-fänger/innen Gelegenheit, sowohl Inhalte der Schulmathematik zu wiederholen als auch neue Themenbereiche und mathematische Arbeitsweisen kennenzulernen.Einen erfolgreichen Start in das Studium ermöglichte auch die Orientierungsphase der Gruppe Aktiver Fachschaftika (GAF). In einem dreitägigen Programm konnten neue Studierende kurz vor Beginn des Winterse-mesters die LMU kennenlernen, zahlreiche Informationen zu ihrem Studium erhalten und gleichzeitig neue Kommilitonen/innen kennenlernen.
In der Vortrags-Reihe „Mathematik am Sams-tag“ stellte Prof. Nikita Semenov am 9. De-zember unter dem Titel „Platonische Körper, Euler-Charakteristik und Vektorfelder auf Sphären“ drei klassische Themen der Mathe-matik vor. Dazu waren Oberstufenschüler/innen und alle an Mathematik Interessierten herzlich eingeladen.Zur jährlichen Arbeitstagung Bern-Mün-chen hat die Arbeitsgruppe „Mathematische Logik“ am 14. und 15. Dezember wieder in das Mathematische Institut eingeladen.
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Mathematik am Samstag
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Prof. Sabine Jansen Prof. Stefan Schreieder Neu am Institut Neu am Institut
Zum Wintersemester 2017/18 wurde Stefan Schreieder als W2-Pro-fessor für Reine Ma-thematik an die LMU München berufen.Herr Schreieder wurde am 4. September 1987 in Eggenfelden gebo-ren und studierte von 2008 bis 2011 Ma-thematik an der LMU München. Nach Aus-landsaufenthalten am Trinity College in Cam-bridge und am Institute for Advanced Study in Princeton wurde er 2015 am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn promoviert. Seine Dissertation zum Thema „Construc-tion problems in algebraic geometry and the Schottky problem“ wurde mit dem Haus-dorff-Gedächtnispreis 2016 ausgezeichnet. Von 2015 bis 2017 arbeitete er als Assis-tent in der Arbeitsgruppe Komplexe Geome-trie am Mathematischen Institut der Univer-sität Bonn.In seiner Forschung beschäftigt sich Herr Schreieder mit Themen aus der algebraischen und komplexen Geometrie. Er untersucht zum Beispiel die Topologie und Hodge-The-orie von Kähler-Mannigfaltigkeiten und inte-ressiert sich für Fragen zur birationalen Geo-metrie von algebraischen Varietäten. Neben Problemen, die im Zusammenhang mit der Hodge-Vermutung stehen, eines der 7 Mil-lenniums Probleme und das wohl bekann-teste offene Problem in der komplexen alge-braischen Geometrie, interessiert er sich vor allem für konkrete geometrische Fragestel-lungen und versucht, diese mit Methoden aus der Hodge-Theorie, der algebraischen Geo-metrie und der Topologie zu beantworten.Im Sommersemester wird Herr Schreieder eine Fortsetzung der Vorlesung „Komplexe Geometrie“ des Wintersemesters anbieten.
Seit 1. Oktober 2017 ist Sabine Jansen W2-Professorin für Ange-wandte Mathematik am Mathematischen Insti-tut der LMU, in der Ar-beitsgrupppe Stochas-tik und Finanzmathematik. Sie studierte und promovierte an der TU Berlin. Ihre Disserta-tion „Laughlin's wave function, plasma ana-logies and the fractional quantum Hall effect on infinite cylinders“ (2007) wurde mit dem Tiburtius-Preis des Landes Berlin ausgezeich-net. Nach der Promotion war sie u.a. als Post-doc in Princeton (2008-2009), am Weier-strass-Institut in Berlin (2009-2012) und an der Universität Leiden (2012-2013) sowie als Juniorprofessorin an der Ruhr-Universität Bochum (2013-2016) und als Lecturer an der University of Sussex (2017).Ihr mathematisches Interesse gilt vorwiegend Fragestellungen aus der Stochastik und Ma-thematischen Physik, die aus der statistischen Mechanik heraus motiviert sind. Diese bear-beitet sie teils mit genuin stochastischen Me-thoden, teils mit analytischen Hilfsmitteln etwa aus der Funktionalanalysis. Bindeglied zwischen den verschiedenen Themen ist stets der Versuch, wechselwirkende Systeme mit vielen Freiheitsgraden zu verstehen. Im Vor-dergrund stehen Existenz und Dynamik von Phasenübergängen innerhalb der klassischen statistischen Mechanik und die damit ver-knüpften stochastischen Grenzwertsätze und Markovprozesse.An der LMU hält Sabine Jansen Vorlesungen im Bereich der Stochastik und ihrer Anwen-dung in den Naturwissenschaften und möchte sowohl eher theoretisch interessierte Studie-rende als auch solche mit einem Interesse an physikalischen Fragestellungen ansprechen.
Festkolloquium anlässlich des 80. Geburtstages von Prof. Dr. Otto Forster
Am 14. Juli 2017 ehrte unser Institut Prof. Otto Fors-ter anlässlich seines 80. Geburtstages mit einem Fest-kolloquium, zu dem auch viele frühere Kollegen, Mitar-beiter, Absolventen und Freunde, zum Teil von weit her, erschienen. Als Festredner konnten Herr Prof. Gerhard Frey (Essen; Bild oben Mitte) und Prof. Franc Forstnerič (Ljubljana; Bild unten links) gewonnen werden. Gruß-worte sprachen Herr Vizepräsident Prof. Martin Wir-sing als Vertreter der Hochschulleitung und Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch für den Springer-Verlag (Bilder in der oberen Reihe). Um die Organisation dieser Festver-anstaltung hat sich insbesondere Prof. Martin Schotten-loher verdient gemacht.
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Die Tutorenausbildung im Sommersemester 2017oder wie ich mein Tutorium noch besser mache
Die LageEin jeder Mathematikstudent kennt es: das Tutorium. Ohne dessen Hilfe würden wir das Mathematikstudium wohl nicht meistern können, doch leider unterscheiden sich Tu-torien ganz wesentlich in ihrer Qualität. Hier stellen sich einige Fragen: Reicht das Beste-hen einer Klausur, um ein gutes Tutorium geben zu können? Wie genau hält man so ein Tutorium? Kann man das einfach so, oder hilft ein wenig Training? Und was ist über-haupt ein gutes Tutorium?Der KursEs funktioniert: Man kann seine Lehrskills trainieren. Dafür trafen sich im Sommer- semester 21 angehende Tutoren (Lehramts-, Bachelor- und Masterstudenten) unter der Leitung von Dr. Daniel Sommerhoff zur Tutorenausbildung.Die ErwartungViel Geschwafel: Das ist es, was sich der gewöhnliche Mathematiker unter Didaktik der Mathematik vorstellt. Doch sobald man dieses Stereotyp überwindet, stellt man fest, dass so eine Tutorenausbildung auch richtig Spaß machen kann.Die Inhalte TheorieGanz ohne Theorie geht es nicht, und so wendeten wir uns am Anfang folgenden Fragen zu: Wie soll ein Tutorium aufgebaut sein? Wie kann ich meine Studenten mo-tivieren aktiv mitzuarbeiten, um den größ-ten Lernerfolg mitzunehmen? Wie schaffe ich es, mit einer inhomogenen Gruppe zurecht- zukommen? Als besonders anspruchsvoll und wichtig stellte sich die Frage heraus, was man beim Sprechen und Erklären in einem Tutorium alles beachten muss, damit bei den Studenten auch das Richtige ankommt.In diesem Teil durften wir spannende Infor-
mationen über das Lehren und Lernen in einem Tutorium sammeln, die auch wissen-schaftlich abgesichert sind.Praxis Doch schnell ging es von der Theorie in die Praxis, denn nur weil ich weiß, wie ein gutes Tu-torium aussehen kann, muss ich es noch lange nicht gut machen. Und dass es kein Patent-rezept für das Halten von Tutorien gibt, muss jedem bewusst sein. Also haben wir in ver-schiedenen Übungen Methoden ausprobiert, wie wir die theoretisch begutachteten Problem-stellungen lösen können. Hierzu haben wir uns auch immer wieder mit den Herausforderungen unserer eigenen Tutorien auseinandergesetzt, verschiedene Lösungsstrategien gesucht und erstaunlich oft auch gute gefunden.Der VideobeweisUm uns aber verbessern zu können, müssen wir auch sehen, was wir „verbrechen“. In Zeiten der digitalen Revolution ist das auch kein Problem: Dank Videobeweises konnten wir jeweils ein Tutorium von uns selbst be-trachten und mit Feedback von Daniel und der Gruppe analysieren, was bereits gut läuft, was man ausprobieren könnte und wo man noch etwas dran verbessern sollte. Ein sol-ches Video ist übrigens auch sehr gut zur Vorbereitung von Präsentationen und Semi-naren, also einfach mal selbst ausprobieren!RhetorikseminarAls große Herausforderung befanden wir unsere rhetorischen Skills, so dass wir uns zusätzlich zu einem vierstündigen Rhetorik- seminar trafen. Hier lernten wir von einer professionellen Referentin viel über Sprach-bildung und verschiedene Methoden, wie man sich mit einfachen Kniffen Vorteile ver-schafft. Doch auch hier gilt wieder, ruhig und authentisch auftreten ist besser, als sich in eine fremde Rolle drängen zu wollen.
Das ResultatGute Lehre ist ein Schlüssel für erfolgreiches Studieren. Mit der Neukonzeption der Tuto-renausbildung ist wieder ein wichtiger Schritt in die richtige Richtung gemacht worden. Die LMU lebt von ihren Studenten. Diese müssen möglichst gut ausgebildet sein, damit sowohl Lehre als auch Forschung brillant sein können. Hierbei fällt gerade den Tutorien die wichtige Aufgabe zu, das in der Vorlesung gesammelte Wissen zu vertiefen, zu festigen und anwenden zu können. Zusätzlich werden durch diese Schulung nicht nur für das Tuto-rium wichtige Fähigkeiten mitgegeben, son-dern auch Qualifikationen, die außerhalb der Universität gern gesehen sind.
Falls hierbei noch eine Sache angemerkt werden muss, dann ist es, dass viele Wege nach Rom führen. Es gibt kein Patentrezept, aber ein paar Grundregeln: • Sei authentisch. • Bereite dich gut vor. • Ermuntere zu Fragen. • Binde deine Studenten ein. • Traue dich, neue Ideen umzusetzen.
Herzliche EinladungFalls du dir nun denkst: „Cool, warum habe ich das nicht gemacht?“, so kannst du ein-fach bei der nächsten Ausbildung teilneh-men. Suche doch einfach bei einer Such- maschine deiner Wahl nach „TutorInnenaus-bildung Mathematik LMU“ und schon wirst du weitere Informationen finden.
Marius Fracarolli, Teilnehmer
Im Mathematiktutorium ist es wichtig, dass die Stu-denten sehen, worüber gesprochen wird. Doch worauf sollte der Tutor beim Tafelanschrieb achten?
Wie gestaltet man Wissensweitergabe möglichst effektiv? Ein Tutor muss sich viele Gedanken machen, wie er den Stoff am besten vermitteln kann.
Wie in einem Tutorium auch diskutierten die Studen-ten häufig in Kleingruppen. Hier wurden verschiedene Methoden evaluiert.
Das BIB+ Schema erleichtert es, konstruktivesFeedback geben zu können. Dies verbessert die Qua-lität, belastet aber nicht die Atmosphäre!
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Wie ließe sich meine Zeit in Cambridge wohl am besten beschreiben? „Ein Jahr ohne Lan-geweile“ würde passen, oder „Newton, Dyson und nun ich?“. Das hätte ich natürlich gerne, aber fangen wir doch am Anfang an. Am Frei-tag, dem 30. September 2016, einige Zeit nachdem die Briten sich entschlossen hatten, die EU zu verlassen, verließ ich Deutsch-land und überquerte den Kanal, um meine Studien in Großbritannien fortzusetzen. Ich reiste nach Cambridge, zu einer Stadt und einer Universität, von der ich schon zahl-reiche Beschreibungen gehört hatte: schöne alte Architektur, Ruderwettbewerbe mit Oxford, hervorragend in Mathematik, eng-lischer Dauerregen, sehr kompetitiv, so wie bei Harry Potter und ganz viele Traditionen. Für die Matrikulation brauchte ich dann auch gleich einen schwarzen Umhang, den ich mir am Tag nach meiner Ankunft natürlich flugs
kaufte (Zauberstab und -hut waren fakulta-tiv). In einer feierlichen Zeremonie wurden wir so wenig später in unser College aufge-nommen, und nach ein paar Tagen voller Ein-führungsveranstaltungen ging auch schon das erste Trimester los.Die Auswahl an Vorlesungen, die wir belegen konnten, war famos. Von Analysis, Geome-trie und Algebra, Zahlentheorie und Logik, über alles Mögliche in Stochastik bis hin zur Mathematischen und Theoretischen Physik war alles vorhanden. Und es gab keine Vor-schriften bei der Auswahl! Keine Wahlmo-dule, Pflichtmodule oder Wahlpflichtmodule, wir hatten einfach freie Wahl. Das war defini-tiv eines der Highlights. Als Lowlight emp-fand ich dementgegen die Aussicht auf eine Sechstagewoche. In Cambridge, so hatte ich nämlich früh erfahren müssen, gab es auch samstags Vorlesungen. Und das Tempo der Vorlesungen war ohne Übertreibung hoch. Da ein Trimester aus nur acht Wochen be-steht, darin aber ähnlich viel Stoff durchge-nommen wird wie in einem deutschen Se-mester, standen die Dozenten während der Vorlesung sprichwörtlich unter Strom.Außerhalb des Studiums kam freilich auch keine Langeweile auf. Neben den ganzen Ver-anstaltungen der Mathematik, den zahlrei-chen Sportangeboten und den noch vielfälti-geren Societies, versorgten uns die Colleges mit unzähligen Events und einem sozialen Umfeld aus ganz verschiedenen Fachrichtun-gen. In Cambridge ist jeder Student Mitglied in einem von ungefähr 30 Colleges und wird von diesem mit allem versorgt, was man so außerhalb des Studiums braucht – und noch mehr natürlich. Mein College stellte zum Bei-spiel meine Unterkunft, hatte ein kleines kostenloses Fitnessstudio, eine Kantine und einen Billardtisch und sorgte sogar dafür,
dass die ganzen Studentenzimmer wöchent-lich gereinigt wurden. Das Beste an den Col-leges waren jedoch die Veranstaltungen und die vielen sozialen Kontakte, die so geknüpft werden konnten. Wie sagte noch gleich ein Studienkollege? So schwierig wie es für ihn an der Universität in Deutschland war, ein soziales Leben zu haben, so schwierig war es für ihn in Cambridge, kein soziales Leben zu haben. Dafür gibt es in Cambridge aller-dings recht hohe Mieten und noch höhere Studiengebühren: knapp zehntausend Pfund für EU-Bürger, ansonsten fast das Doppelte. Ein Glück, dass ich das Auslandsstipendium der Studienstiftung erhielt! (Sollte es der ein oder andere Leser in Erwägung ziehen, auch in England zu studieren, ist Eile geboten, da EU-Bürger nach dem Brexit gegebenenfalls auch die höheren Gebühren zahlen müssen.)Tatsächlich wäre es in Cambridge gut mög-lich gewesen, das ganze Jahr mit den vielen angebotenen Aktivitäten zu füllen, was das Studienpensum natürlich unmöglich machte. Zwischen den Trimestern hatten wir zwar einige Wochen frei, aber aufgrund von Haus-aufgaben, Wiederholung des Vorlesungs-stoffes und PhD-Bewerbungen gab es auch in dieser Zeit genug zu tun. Im dritten Tri-mester widmeten sich die meisten Studen-ten dann auschließlich der Klausurvorberei-tung. Die Mathematikklausuren sind in Cam-bridge nämlich alle erst im Juni, sodass wir die meiste Zeit keine benotete Leistung er-brachten und dann zuletzt alle Klausuren in etwa zehn Tagen schrieben – was die ohne-hin schon nicht gerade leichten Klausuren noch schwerer machte. Dafür gab es nach den Klausuren dann eine Woche voller May Balls, in denen wir das erfolgreiche Bestehen feiern konnten – so aufwendig und pompös, wie ich es noch nie erlebt hatte.
Part III of Mathematics – Meine Zeit in Cambridge
St John‘s College
Der Fluss Cam
St John‘s Chapel
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Letztendlich erwiesen sich fast alle oben ge-nannten Beschreibungen von Cambridge als zutreffend (abgesehen von dem Wetter, das zum Glück viel besser als erwartet war). Die Stadt selbst ist zwar nicht sehr groß, die
Anz
eige
A B B CD EG IM MM P S V
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Anzahl und Vielfalt der Angebote dafür umso mehr. Insgesamt war meine Zeit in Cambridge eine intensive, herausfordernde und einma-lige Erfahrung, bei der ich viel gelernt habe und die ich nicht missen möchte.
Lukas Emmert
Formal Dinner at St John‘s
Der heutige Rückblick auf die Mathematik, die mein Leben wie ein roter Faden durch-webt, beginnt mit dem Schulunterricht. So erfuhren ein Klassenkamerad und ich frühe Förderung. Unser Lehrer hatte die Leiden-schaft für Algebra, Denksportaufgaben wie auch für die Beweisführung der euklidischen Geometrie entflammt. Er brachte uns mit weiteren Mathe-Schülern in Kontakt, mit denen ein reger Austausch entstand. Unver-gesslich bleiben die Diskussionen zu Poly-nomen, Differentialgleichungen, Relativitäts- theorie und dem Aufbau von Atomen.Eine Sternstunde war der Besuch des CERN in Genf, wo unsere Gruppe auf wasch-echte Wissenschaftler stieß. Sie erklärten uns Aufbau- und Funktionsweise des Teilchenbe-schleunigers und den Laborbereich, in dem die Elementarteilchen aufeinandertreffen. Man bestätigte mir die Gabe, in offener Art weiterführende Fragen zu stellen und gewon-nene Erkenntnisse übersichtlich zusammen-zufassen. Das bestärkte den Wunsch, meine Mathematikkenntnisse voranzubringen, denn ich wollte die Naturgesetze verstehen. Spora-disch besuchte ich bereits als Elftklässler An-fängervorlesungen, darunter „Lineare Alge-bra“: Staubtrocken und einen Hauch entrückt dozierte Professor Roelcke über lineare Glei-chungssysteme. Auch wenn die Art der Stoff-vermittlung verunsicherte, traf ich die Ent-scheidung, nach dem Abitur Mathematik zu studieren. Parallel hatte ich angefangen, mich aufgrund der Freundschaft zu einem libane-sischen Mönch intensiv mit dem Arabischen zu beschäftigen; zunächst hatte ich die Spra-che mit ihren Kehllauten für undurchschau-bar gehalten, und gerade das weckte meinen Forschergeist.Im Herbst 1990 schrieb ich mich für das Lehramt Mathematik mit Nebenfach Physik
an der LMU ein. Schnell sattelte ich mit dem Erwerb erster Scheine auf das Mathe-Dip-lom um. Da es Anfang der Neunziger kaum Vorlesungen zu Finanzmathematik und kein Aktuarsstudium gab, spezialisierte ich mich „zweckfrei“ auf Differentialgeometrie, um die Raumzeit nach der Relativitätstheorie tiefer zu verstehen. Als Wegblumen pflückte ich Mengenlehre, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Algebra. In Übungen zu „Finiten Elemen-ten“ erwarb ich Programmierkenntnisse.Nach fünf Jahren Studium schloss ich im De-zember 1995 mit dem Diplom ab. Vor dem Einstieg in das Berufsleben reiste ich zur Ver-tiefung des Arabischen in den Orient: zuerst Maskat im Oman, danach Beirut, um bei den Mönchen im Kloster „Deer-el-Kreem“ an der Vervollkommnung dieser Sprache zu arbeiten: Ora et labora!Wieder zu Hause intensivierte ich die Suche nach der ersten Stelle. Mit guten Englisch- und Arabisch-Kenntnissen sah ich mich in einer internationalen Firma und meldete mich auf eine telefonische Rekrutierung der Münche-ner Rückversicherungs-Gesellschaft (heute kurz Munich Re). Das Profil des „arabisch sprechenden Diplommathematikers“ führte dann auch zu meiner Anstellung ab dem 1.10.1996 in der Lebensrückversicherung.Die Mathematik geriet im arabischen Kon-text in den Hintergrund, da die Kunden an biometrischen Statistiken nicht interessiert waren. Daher wechselte ich zu den Aktua-
Liebe LeserInnen
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lung weiterer Produkte in einem Team ver-sierter Kollegen, die sich aus der systemati-schen und kreativen Auswertung von [Big] Data als Folge von Design Thinking Work-shops ergeben. Einen besonderen Impuls konnte ich zu-sammen mit einem Topmanager aus unse-rer IT setzen: Gemeinsam und unkompliziert denken wir regelmäßig darüber nach, wie sich Geschäftsprozesse mittels moderner Techni-ken verbessern lassen. Am Ende eines Pro-jekts stand dann der Einsatz von SAP-Hana (einer sehr rechenstarken Software mit enor-mem Arbeitsspeicher), was eine effiziente Da-tenvisualisierung auf Landkarten ermöglicht. Damit kann Munich Re Kundenportefeuilles und deren Schadenpotenzial errechnen und graphisch mit dynamischen Filtern veran-schaulichen, um sich auf des Pudels Kern, die kritischen Zonen und Risikoakkumulati-onen, hindurch zu klicken. Überdies lassen sich durch Variation der Heftigkeit von Na-turereignissen aufschlussreiche Sensitivitäts-analysen zur Schadenanfälligkeit durchführen.Demnächst werde ich mit dem IT-Kollegen den Einsatz künstlicher Intelligenz auslo-ten. Ziel ist es, Portefeuille- Informationen, die jeder Kunde in einem ihm ei-genen Excel-Format lie-fert, automatisiert auswert-bar zu machen. Es geht darum, Matrizen und Vek-toren „auf einen (elektro-nischen) Blick zu erken-nen“ und diese in gän-gige Datenbankformate überzuführen.Lassen Sie mich kurz be-merken, dass die allzu the-oretische, gar schemati-
sche Anwendung der Mathematik, ohne auf die Belange des Geschäftspartners einzuge-hen, einen Geschäftsabschluss verhindern kann. Systematik, Logik und Programmie-rung gehören zweifelsohne zur technischen Grundfertigkeit; daneben helfen Fremdspra-chen und nur die Bereitschaft, den Kunden zuzuhören und sich im neugierigen Dialog auf ihre Sicht der Dinge einzustellen, ge-paart mit einem Schuss Wagemut zum Ge-schäftserfolg. Gerade wenn nicht alle In-formationen vorliegen, nützt es nur wenig, das Risiko als mathematisch nicht bewert-bar zu abzutun. Vielmehr geht es in diesen Situationen darum, vernünftige Annahmen und pragmatische Abschätzungen zu treffen. Wollen Kunden ihr Problem gelöst bekom-men, wissen sie, dass Unsicherheiten einen Aufpreis kosten.Ich darf also auf meinem beruflichen Weg jeden Tag das spannende Gleichgewicht von „cifras frías“ und „amistades“, kühlen Zahlen und freundschaftlichen Beziehungen, wie es mexikanische Geschäftspartner trefflich aus-drückten, immer wieder neu erfinden. Ein bisschen sehe ich mich wie das große weiße
Symbol der Munich Re in der Leopoldstraße: der Walking Man. Neugierig und unternehmungslustig zieht er in die Welt hinaus, auf seine Partner zu, mit dem Ziel stets Möglichkei-ten aufzutun, die sich in profitables Geschäft um-münzen lassen. Genügend Risikokapital ist von der Geschäftsleitung hinter-legt, gegen das ich zeich-nen kann.
Martin Kreuss
ren: Das Team sollte eine Absterbeordnung für Pflegefälle entwickeln. Hier waren sta-tistisches Geschick, Datenmanagement und Programmierung erforderlich. Nach Vorlage einer Sterbetafel mit Tarifierungssystematik für Pflege(zusatz)versicherungen wechselte ich in die Marketingabteilung zuständig für Nordamerika. Hier ging es um Bilanzoptimie-rung und Kapitalmanagement von internatio-nalen Versicherungskonzernen und Tochter-gesellschaften der Munich Re. Quantitative Risiko-Analysen spielten nur im Zusammen-arbeit mit Underwriters eine Rolle. [Definition: Ein Underwriter ist ein Rück-versicherer „an der Front“, also am Kunden, der Risiken mathematisch, betriebswirt-schaftlich und juristisch bewertet . Durch Unterzeichnung eines Dokuments nimmt er ein Risiko nach Kalkül und Verhand-lung in gängigen Geschäftssprachen in die Unternehmensbilanz.] Wichtig waren hier einerseits die Beziehungs-pflege zu Geschäftspartnern wie auch das Monitoring ihrer Bonität, andererseits die Vor-bereitung von Vorstandssitzungen mit Reprä-sentanten der internationalen Organisation.Ein weiterer Höhepunkt stellte der Erkun-dungsbesuch zur Anbahnung von Credit En-hancement Geschäft in der Wall Street dar, in das Munich Re mangels Transparenz und technischer Stimmigkeit nicht einstieg, was die Gesellschaft im Gegensatz zu manchem Konkurrenten vor Ungemach in der Finanz-krise 2008 bewahrte.Nach zwei Jahren wechselte ich in die Retro-zessionsabteilung, in der ich Rückversicherung für die gesamte Munich Re Gruppe nach zu optimierenden Rahmenkriterien strukturierte, Verkaufsinformationen aufbereitete und die Risiken, unter anderem in verbriefter Form, am [Kapital-]Markt platzierte. Ich bündelte model-
lierte Verteilungen für verschiedene Naturge-fahrenszenarien in Pakete, die dem Risikoap-petit unserer Rückversicherer, darunter Lloyds, oder Berkshire Hathaway – Warren Buffets Rückversicherungsarm – entsprachen.Noch vor der Hochzeit mit meiner peruani-schen Frau erlernte ich die spanische Spra-che, was den Sprung in das Underwriting der Sach(rück)versicherung in Lateinamerika und der Karibik ermöglichte. Dieser Teil der Welt ist einer extremen Naturgefahrenexpo-nierung durch Hurrikane, Starkregen, Über-schwemmung, Erdbeben, Vulkanismus und Tsunamis ausgesetzt. Zur Ermittlung risikoad-äquater Prämien wende ich stochastische Si-mulationen in Zusammenarbeit mit Geophy-sikern und Meteorologen an. Versicherungs-unternehmen in industrialisierten Ländern wie Mexiko sehen sich auch mit Großbrän-den konfrontiert, gegen die sie sich ebenfalls bei Munich Re absichern. Auch diese Scha-den-Verteilungen wollen errechnet sein. Sogar alternative Märkte konnte ich erschlie-ßen: So bin ich der erste Underwriter in der Munich Re, der direkt mit einem Staat eine Transaktion zum Risikotransfer ausgestal-tete. Die mexikanische Regierung zediert nun schon im siebten Jahr Infrastrukturschäden als Folge von Katastrophen an Munich Re. Im Rahmen größerer Neuerungen gerät man schnell an Grenzen „bewährter“ Denkmuster, seien es eigene oder diejenigen der Entschei-dungsträger; zunächst befindet man sich mit einem neuen Produkt ohne belastbare Statistik und keinerlei Schadenerfahrung im Halbfinster der selbst erdachten Modelle. So dauert es, bis mit dem Eintreten erster Schäden, die sich nie ganz so verhalten, wie es das Modell will, eine Neuerung als gut erachtet wird … Auch wenn ich ungern ohne Historie agiere, freue ich mich immer wieder auf die Entwick-
Karrieren
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Lösungen zu den Rätseln von Ausgabe 35
Magisches QuadratGibt es ein 3x3 Magisches Quadrat von Primzahlen kleiner als 300, so dass der Abzug der Zahl 2 von jeder der 9 Zahlen wiederum ein Magisches Quadrat aus Primzahlen ergibt?
Sowohl die blauen wie auch die roten Zahlen ergeben ein magisches Quadrat von Primzahlen.
GummiringeUnter dem Deckel liegen je drei rote und drei blaue Gummiringe, die einander nicht berühren. Genau einer der Gummiringe ist vollständig von dem Deckel verdeckt. Welche Farbe hat dieser Gummiring?
Kongruente TeileSchneide die Figur in zwei gleiche Teile.
StadtmauerIn einer alten Stadtmauer is t ein Stein von einer ungewöhnlichen Form eingebaut. Den Stein könnte man auch so einbauen, dass die Mauer oben gerade wird. Welche Form hat der Stein? Das Bild zeigt den fraglichen Ausschnitt der Mauer.
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Ein Kreuz zu WeihnachtenDer Gemeinderat hat beschlossen, die Vorderseite des Altarkreuzes mit Halbedelsteinen verschönern zu lassen (die Vorderseite hat eine Fläche
aus 6 gleichen Quadraten). Der beauf-tragte Künstler hat fünf verschiedene
Halbedelsteine in gleicher Menge, die zu-sammen genau die Fläche der Vorderseite
des Kreuzes haben. Aus diesem Grund hat er entschieden, das Kreuz in fünf (symmetrisch angeordnete) konvexe
Fünfecke gleichen Flächeninhalts aufzuteilen und diese jeweils mit einer Sorte Halbedelsteine zu verzieren. Wie könnte die Aufteilung aussehen?
DemutsmeditationFür eine Demutsmeditation in einem buddhistischen Kloster werden die n Besucher (n 4) so auf die Meditationsräume verteilt, dass die Besu-
cher, die im selben Raum meditieren, sich gleichwertig fühlen. Die Befragung hat ergeben, dass jeder Besucher sich genau drei anderen Besuchern überlegen und den anderen gleichwertig fühlt. a) Auf mindestens wie viele Räume müssen die Besucher aufgeteilt werden?b) Mit wie vielen Räumen kommt man in jedem Fall aus?
WasserholenIm buddhistischen Kloster werden zwei Novizen zur Quelle zum Wasserholen geschickt. Dort ist zum Wasserschöpfen ein großer Eimer angekettet. Der erste Novize bekommt ein 3-Liter-Gefäß und der zweite ein 5-Liter-Gefäß. Jeder Novize muss genau einen Liter Wasser holen. Können die Novizen ihre Aufgabe erfüllen?
FledermäuseBei der Fledermauspopulation auf einer entfernten Insel haben die Forscher 2018 mutierte Gene entdeckt. Weitere Tests an allen Tieren haben ergeben, dass jede dieser bislang un-bekannten Mutationen bei mehr als der Hälfte der Fledermäuse der Population vorkommt. Die Forscher nahmen eine geringstmögliche Anzahl der Tiere mit ins heimische Labor, um alle mutierten Gene untersuchen zu können. Maximal wie viele Fledermäuse mussten die Insel verlassen?
Rätselecke
1918
diesen lernten wir, wie man mit einfachen Mitteln am Computer Lernvideos erstellt . Außerdem hatten wir die Möglichkeit, Schü-lerInnen über ihr Lernverhalten zu intervie-wen und herauszufinden, welche Lernres-sourcen sie nutzen. In der „Movement Buil-ding“ AG konnten wir kreativ sein und uns überlegen, wie wir in Zukunft möglichst viele Menschen für unsere Vision von freier Bil-dung begeistern. Auch der Spaß kam nie zu kurz: Zwischen re-daktioneller Arbeit, AGs und Vorträgen blieb jeden Nachmittag Zeit für eine Runde „Ul-timate Frisbee“ mit dem ganzen Team, um wieder ausreichend Sauerstoff in die Ge-hirnzellen zu pumpen. Wir organisierten jede Woche einen Spieleabend mit „Wer-wolf“, „Wizard“ und Co. oder ein gemeinsa-mes Kochen und verbrachten auch nach der
Frisbee-Pause vor der Pinakothek der Moderne
Arbeit schöne gemeinsame Stunden.Die Summer Academy war somit eine sehr abwechslungsreiche Zeit, in der wir nicht nur unsere Studieninhalte anwenden und festi-gen konnten, sondern auch viel über freies Lernmaterial im Internet und über die Lern-plattform serlo.org erfahren haben. Wir sind als Team zusammengewachsen und konn-ten gleichzeitig zur Vision von Serlo Educa-tion beitragen, Bildung weltweit frei verfüg-bar zu machen. Hast du Lust beim nächsten Mal selbst dabei zu sein? Dann mach doch mit bei der kommenden Spring Academy vom 5. März bis 30. März 2018. Schicke deine Bewerbung einfach an Katharina Radstorfer ([email protected]).
Monika WirthlTeilnehmerin der Digital Summer Academy 2017
Präsentation der Academy TeilnehmerInnen vor dem Team
Wie kann man sich als Lehramts-StudentIn besser auf den Lehrberuf vorbereiten? Welche Möglichkeiten gibt es für Studierende der Mathematik, den Uni-Stoff sinnvoll und viel-leicht sogar mit Spaß zu vertiefen? Und dabei etwas Gutes zu bewirken? Nicht nur ich habe mir solche Fragen im Laufe meines Studiums gestellt, sondern auch die mathematische Fa-kultät der LMU und die gemeinnützige Or-ganisation Serlo Education e.V. In diesen Se-mesterferien, vom 28. August bis zum 22. September, fand daher erstmals die Digital Learning Summer Academy statt. In diesem Kooperationsprojekt durfte ich mit ande-ren Mathematik-StudentInnen nicht nur Teil einer Mathe-Redaktion werden, sondern wir haben auch viel über das Projektmanagement in einem Startup-ähnlichen Umfeld erfahren und gelernt, im Team kreativ zu sein. Dabei hatten wir eine Menge Spaß!Während der Academy erstellten wir im Team Kurse zu den Themen Quadratwurzeln, Nä-herungsverfahren zu deren Bestimmung und einen Kurs über die reellen Zahlen. Kurse sind schrittweise Erklärungen eines Themas. Sie sind daher analog zu einer Unterrichts-stunde aufgebaut . Wir mussten uns also zum Beispiel beim Thema „Quadratwurzeln“ Fragen stellen wie: Wie motiviere ich einen Schüler oder eine Schülerin für das Thema? Welche Definition einer Wurzel ist am leich-testen zu verstehen und mathematisch kor-rekt? Wie baue ich sinnvoll Aufgaben in den Kurs ein, um die neu erworbenen Inhalte zu festigen? Das Resultat dieser Überlegungen ist nun auf der freien Lernplattform serlo.org veröffentlicht. So können SchülerInnen von überall in der Welt mit unseren Kursen in ihrem eigenen Tempo lernen – und das auch noch werbefrei und kostenlos. Wir Teilneh-merInnen der Academy können daher wirk-
lich stolz sein, was wir in unserem 4-wöchi-gen Betriebspraktikum alles erreicht haben.Beim Erstellen der Kurse merkten wir Aca-demy-Teilnehmer schnell, wie wichtig es ist, sich im Vorhinein einen roten Faden zu über-legen. Wir wussten, wenn wir diesen konse-quent verfolgen, verbessern wir den Lernfluss und der Kurs wird verständlicher. Durch die Arbeit in Zweierteams an den verschiedenen Kursseiten mussten wir uns häufig untereinan-der abstimmen. So habe ich meine Teamkom-petenzen erweitert und gelernt, wie wichtig die Kommunikation untereinander ist.In großen Feedbackrunden diskutierten wir über unsere neuen Inhalte. Dank erfahrenen Teammitgliedern haben wir viel über das ein-fache und dennoch mathematisch korrekte Erklären von Schulthemen gelernt. Außerdem machten wir uns viele Gedanken über ein ansprechendes Layout, um die Inhalte noch schülerfreundlicher zu gestalten. Durch Dis-kussionen in der großen Runde konnten wir viele neue Ideen für unsere Kurse erlangen. Außerdem haben wir gelernt, wie wir uns gegenseitig konstruktives Feedback geben können und wie wichtig Lob ist.Neben der redaktionellen Arbeit durften wir viele interessante Vorträge genießen. Wir haben nicht nur eine Menge über freie Li-zenzen, Medienkompetenz und die Recher-che im Internet erfahren, sondern auch Pro-gramme wie Geogebra, Gimp und Inkspace kennengelernt . Sogar ein Workshop des Schreibzentrums der LMU zum Thema „Zeit-management und Motivation“ wurde ange-boten. Dieses Wissen hat uns nicht nur in der Erstellung von Lernmaterialien geholfen, son-dern ist auch im späteren Berufsleben oder in unserem studentischen Alltag hilfreich. Ein weiterer Bestandteil der Summer Aca-demy waren die Arbeitsgruppen (AGs). In
Digital Learning Summer Academy 2017Das etwas andere Betriebspraktikum
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Gerhard Koehler · Medien
Gerhard Koehler · MedienDreisesselbergstraße 44
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Grafische Gestaltung Prospekte, Kalender, Kataloge, Flyer, Plakate, Bücher, Zeitschriften
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WebSeiten grafisch gestaltet und funktionell
Fotografie Natur- und Landschaftsfotografie
Partner mit Kompetenz
2018©Fotografie von
Gerhard Koehler
Gerhard Koehler · MedienA
nzei
ge
Unse re sehr ge -schätzte , langjäh-rige Kollegin Con-stanze Niederauer ist zum Jahresende 2017 in den Ruhe-stand gegangen. Sie studierte zunächst Mathematik an der LMU und begann dann 1981 eine Ausbildung zur Mathematisch-Technischen Assistentin. Seit dieser Zeit war sie mit kurzen Unter- brechungen durch Familienzeiten am Institut tätig und hat dabei die rasante IT-Entwick-lung in den letzten Jahrzehnten aktiv mit-erlebt. Ihr Tätigkeitsfeld erstreckte sich von der Programmierung von Großrechnern über die Administration der ersten PCs am Insti-
tut und die Betreuung von Unix/Linux-Work-stations bis zur Konfiguration von Laptops und Tablets. Einen großen Teil ihrer Arbeits-zeit widmete sie der Unterstützung der Mit-arbeiter bei IT-Problemen, der Wartung der Arbeitsplatzrechner und der Benutzerver-waltung für die verschiedenen Rechnernetze am Institut. Gelegentlich betätigte sie sich auch als Grafikerin und erstellte unter ande-rem die Zeichnungen für das Numerik-Lehr-buch von Prof. Hämmerlin und Hoffmann – damals vor 30 Jahren noch mit einem Stift-plotter. Die Studiengangsstatistiken in der Zeitschrift stammen ebenfalls von ihr. Die Kollegen und die Redaktion möchten ihr für die geleistete Arbeit herzlich danken und wünschen ihr einen aktiven, stressfreien und abwechslungsreichen Ruhestand.
Walter Spann, Johanna Gumberger-Happach
Abschied nach 37 Dienstjahren im Rechenzentrum des Mathematischen Instituts
Eigenwerte des Laplace-Operators in beschranktenMengen und die Weyl-Asymptotik
Sergey Morozov
”Die Anwendung der gewonnenen Resul-
tate auf die Differentialgleichung ∆u +λu = 0 (Satz X) liefert insbesonderedie Losung eines Problems, auf dessenWichtigkeit neuerdings A. Sommerfeld
(auf der Naturforscherversammlung zuKonigsberg) und H. A. Lorentz (in sei-nen hier in Gottingen zu Beginn diesesSemesters gehaltenen Vortragen) nach-drucklich hingewiesen haben.“
Hermann Weyl, [We], 1911
Einfuhrung
Hermann Weyl (1885 – 1955) war ein deut-scher Mathematiker, Physiker und Philo-soph, der in vielen Forschungsbereichen ei-ne Reihe fundamentaler Ergebnisse erzielthat. In diesem Artikel beschaftigen wir unsmit einem seiner ersten großen Resultate,in welchem er die asymptotische Verteilungder Eigenwerte der Laplace-Gleichung be-stimmt hat.
Randwertprobleme fur die Laplace-Gleichung
Sei Ω eine offene Menge mit stuckwei-se glattem Rand ∂Ω und endlichem Volu-men |Ω| im Raum Rd beliebiger Dimensi-on d 1. Der Laplace-Operator ∆ wirktauf die zweimal differenzierbaren Funktio-nen auf Ω als Summe zweiter partieller Ab-leitungen nach den kartesischen Koordina-ten (x1, x2, . . . , xd) in Rd:
∆u =∂2u
∂x21
+∂2u
∂x22
+ · · ·+ ∂2u
∂x2d
. (0.1)
Abbildung 1: Hermann Weyl
Dieser Differentialausdruck ist aus vielenAnwendungen in Mathematik und Physikbekannt. So werden Schwingungen einerMembran, Wellenausbreitung oder kineti-sche Energien der Quantenteilchen mit sei-ner Hilfe beschrieben.
Wir betrachten nun das Spektralproblem
−∆u = λu (0.2)
fur den Laplace-Operator in Ω. Dies bedeu-tet, dass wir nach Paaren (λ, u) suchen,die aus einer reellen Zahl λ und einer zwei-mal differenzierbaren Funktion u ≡ 0 aufΩ bestehen, fur welche die Gleichung (0.2)erfullt ist.
Die Problemstellung ist analog zu dem, wasman aus der linearen Algebra kennt. Nurarbeiten wir jetzt mit Funktionen u an-stelle von Vektoren, und die Rolle einerMatrix spielt nun der Differentialoperator∆ (mit einem Minus-Vorzeichen, das uns
2322
Der Laplace-Operator (0.1) mit derDirichlet- oder Neumann-Randbedingungbesitzt jeweils eine eindeutige selbst-adjungierte Erweiterung. Wegen derEndlichkeit des Volumens von Ω gibt eszwei Orthonormalbasen in L2(Ω) vonEigenfunktionen (uD
j )∞j=1 und (uNj )∞j=1
des Dirichlet- bzw. Neumann-Problems,sodass die Folgen der zugehorigen (reellen)Eigenwerte (λD
j )∞j=1, (λNj )∞j=1 nichtfallend
sind. Das ist analog zur Tatsache, dass jedehermitesche Matrix diagonalisierbar ist undnur reelle Eigenwerte hat. Es kann sein,dass manche Eigenwerte einander gleichsind, d.h. zu einem λ gibt es mehrere linearunabhangige Eigenfunktionen. Im Spaterenwerden solche mehrfachen Eigenwerte mitVielfachheit gezahlt, d.h. so viel mal, wiees linear unabhangige Eigenfunktionengibt.
Aus der Gleichheit von (0.5) und (0.8)folgt, dass alle Eigenwerte des Dirichlet-bzw. Neumann-Problems nichtnegativ sind.Dafur genugt es, fur beide u und v dieentsprechende Eigenfunktion einzusetzen.Im Weiteren wollen wir die Folgen derDirichlet- und Neumann-Eigenwerte unter-suchen. Der erste Eigenwert des Neumann-Problems ist immer λN
1 = 0 mit derentsprechenden konstanten Eigenfunktionu := |Ω|−1/2 auf Ω.
Wichtiger Spezialfall
Um die obigen abstrakten Uberlegungenanschaulich zu machen, betrachten wir alsΩ einen Quader
Ω = (0, l1)× (0, l2)× · · · × (0, ld) (0.11)
mit l1, . . . , ld > 0. Seien N0 und N1
die Mengen naturlicher Zahlen mit undohne Null. Fur jeden Vektor m =(m1, . . . ,md) ∈ Nd
1 ist es einfach zu sehen,
dass die Funktion
um(x1, . . . , xd) =
d∏j=1
√2
ljsin
(πmjxj
lj
)
(0.12)
eine Eigenfunktion des Dirichlet-Problemsist, und zwar zum Eigenwert
λm = π2
(m2
1
l21+m2
2
l22+· · ·+m2
d
l2d
). (0.13)
Dabei ist (0.12) eine Orthonormalbasis inL2(Ω) als Produkt der Orthonormalbasenauf L2
((0, lj)
), j = 1, . . . , d. Deswegen ha-
ben wir alle Dirichlet-Eigenwerte mit denentsprechenden Eigenfunktionen gefunden.
Analog liefert fur m ∈ Nd0
um(x1, . . . , xd)
=
d∏j=1
√min2,mj + 1
ljcos
(πmjxj
lj
)
(0.14)
eine Orthonormalbasis aus Eigenfunktionendes Neumann-Problems mit den Eigenwer-ten, die durch die gleiche Formel (0.13) ge-geben sind! Ordnen wir alle diese Eigenwer-te des Dirichlet- bzw. Neumann-Problemsals nichtfallende Folgen an, so sehen wir,dass wegen des Unterschieds der Indexmen-gen Nd
1 und Nd0 die Ungleichung
λNj λD
j fur alle j ∈ N1 (0.15)
gilt.
Weyl-Asymptotik und das Gitter-punktzahlproblem
Eine weitere Frage, die wir uns stellenkonnen, ist die folgende: Gegeben sei λ >0. Wie viele Eigenwerte des Dirichlet- bzw.Neumann-Problems gibt es in (−∞, λ)?Wir bezeichnen diese Anzahl als N(Ω, λ).
Die Frage lasst eine rein geometrische In-terpretation zu, falls die Eigenwerte durch
spater die Nichtnegativitat der Eigenwertegarantiert).
Es stellt sich heraus, dass ohne weitereEinschrankungen (0.2) zu viele nichttrivia-le Losungen hat. Die Frage wird aber vielsinnvoller, wenn wir das Verhalten von uauf dem Rand ∂Ω vorschreiben. Dadurchbekommen wir ein Randwertproblem. ZweiTypen davon sind besonders wichtig. Beimhomogenen Dirichlet-Problem wird die ste-tige Fortsetzbarkeit von u auf Ω = Ω∪ ∂Ωverlangt mit
u := 0 auf ∂Ω. (0.3)
Denken wir z.B. an Schwingungen einerMembran, so entspricht (0.3), dass sie amRand festgehalten wird.Die Neumann-Randbedingung bekommenwir durch Vorschreiben der Werte der Nor-malableitung von u auf ∂Ω. Um diesen Be-griff zu verstehen, erinnern wir uns, dassin fast jedem Punkt von ∂Ω ein außererNormalvektor n existiert, d.h. n ist ortho-gonal zu ∂Ω und zeigt
”nach außen“. Die
Normalableitung von u, die wir als ∂nu be-zeichnen, ist die partielle Ableitung von uin der Richtung von n. Im Fall des homoge-nen Neumann-Problems verlangen wir also
∂nu = 0 auf ∂Ω. (0.4)
Streng genommen sprechen wir auch hiervon einer stetigen Fortsetzung der Ablei-tung von u auf den Rand. Fur die Schwin-gungen einer Membran bedeutet (0.4), dassder Rand frei schwingen kann.
Das Problem (0.2) zusammen mit einerder Randbedingungen (0.3) oder (0.4) lasstsich nur fur spezielle Werte von λmit u ≡ 0losen. Solche λ heißen Eigenwerte und ent-sprechende u Eigenfunktionen.
Fur alle zweimal stetig differenzierbarenFunktionen u, v auf Ω, die eine der Rand-bedingungen (0.3) oder (0.4) erfullen, gilt
〈u,−∆v〉 = 〈−∆u, v〉. (0.5)
Das ist analog zur Symmetrie einer Matrixin der linearen Algebra. Hierbei verstehenwir das Skalarprodukt zweier Funktionen uund v folgendermaßen:
〈u, v〉 =∫
Ω
u(x)v(x) dx, (0.6)
wobei u(x) das komplex Konjugierte vonu(x) bezeichnet (fur reellwertige u giltu(x) = u(x)). Fur jede stetige (sogar mess-bare) Funktion u auf Ω ist dann
‖u‖ := 〈u, u〉1/2 =
(∫
Ω
∣∣u(x)∣∣2 dx)1/2
(0.7)die Norm von u, und ‖u − v‖ gilt als Ab-stand zwischen u und v. Wir nennen zweimessbare Funktionen u und v aquivalent,falls ‖u− v‖ = 0 gilt. Der unendlichdimen-sionale Hilbertraum der Aquivalenzklassenmessbarer Funktionen, fur welche die Norm(0.7) endlich ist, heißt L2(Ω). Die Gleich-heit (0.5) folgt aus der Tatsache, dass wirbeide Seiten von (0.5) mithilfe partieller In-tegration als die sesquilineare Form
q[u, v] =
∫
Ω
〈∇u(x),∇v(x)〉d dx (0.8)
schreiben konnen (die Randterme ver-schwinden wegen der Randbedingungen).Dabei sei
∇u =( ∂u
∂x1,∂u
∂x2, . . . ,
∂u
∂xd
)(0.9)
der Gradient von u, also der Vektor aus al-len ersten partiellen Ableitungen, und furzwei Vektoren a, b ∈ Cd sei
〈a,b〉d = a1b1+a2b2+ · · ·+adbd (0.10)
ihr Skalarprodukt in Cd.
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Nach dem semiklassischen Prinzip soll esetwa einen Zustand (d.h. Eigenvektor) proPhasenvolumen von (2π)d geben. Also solldie Anzahl der Zustande mit Energien unterλ circa (2π)−d|Ω|
∣∣B√λ(0)
∣∣ sein, was gera-de dem ersten Term auf der rechten Seitevon (0.18) entspricht. Diese physikalischeUberlegung soll aber nicht nur fur Quader,sondern auch fur beliebige Gebiete Ω mitendlichem Volumen gelten! Genau das wardie Vermutung von Physikern, die HermannWeyl erfolgreich bewiesen hat:
Theorem (Weyl). Sei Ω ein beschrank-tes Gebiet in Rd. Die Anzahl der Eigen-werte des homogenen Dirichlet-Problemsauf Ω in (−∞, λ) (mit Vielfachheitgezahlt) hat die Asymptotik (0.18) furgroße λ > 0.
Das Minimaxprinzip
Um den Satz von Weyl zu beweisen, ver-wenden wir ein nutzliches Werkzeug derSpektraltheorie: das Minimaxprinzip. Dasbesagt, dass man fur jeden selbstadjungier-ten Operator T , fur welchen man alle Ei-genwerte als nichtfallende Folge
λ1 λ2 λ3 . . .
anordnen kann, sodass die entsprechendenEigenfunktionen eine Orthonormalbasis bil-den, die Eigenwerte folgenderweise bestim-men kann:
λj = supM⊂L2(Ω),dimM=j−1
infϕ∈Q(T ),‖ϕ‖=1,ϕ⊥M
qT [ϕ, ϕ]. (0.19)
Was diese Formel bedeutet, erklaren wiranhand unserer konkreten Anwendung.Dabei nehmen wir als T die Dirichlet- undNeumann-Laplace-Operatoren ∆Ω
D und∆Ω
N , fur welche die Voraussetzungen desMinimaxprinzips erfullt sind.
Nun: j ist eine naturliche Zahl, die Num-mer des Eigenwerts λj . Das Supremumwird uber alle (j − 1)-dimensionalen Un-terraume M von L2(Ω) genommen. qTist die sesquilineare Form (0.8). Das In-fimum wird uber alle Funktionen ϕ ausQ(T ) genommen, die Norm 1 haben undzu allen Funktionen aus M orthogonalsind – und das bezuglich der Norm (0.7)und des Skalarprodukts (0.6). Und was istQ(T )? Diese Menge heißt der determinie-rende Formbereich der sesquilinearen FormqT . Es stellt sich heraus, dass folgendeWahl moglich ist: Q(∆Ω
D) := C20 (Ω), al-
so die Menge aller Funktionen auf Ω, diezweimal stetig differenzierbar sind und ineiner Umgebung des Randes ∂Ω identischnull werden. Damit erfullen sie auch dieDirichlet-Randbedingung. Interessanter ist,dass wir die Wahl Q(∆Ω
N ) := C2(Ω) ma-chen konnen, also die Menge aller zwei-mal stetig differenzierbaren Funktionen aufΩ. Die Annahme uber die Normalableitungbrauchen wir nicht. In dem Sinne ist dieNeumann-Randbedingung
”naturlich“.
Wir sehen, dass der einzige Unterschiedzwischen den Minimaxwerten des Dirichlet-und des Neumann-Problems in der Tatsa-che liegt, dass die MengeQ(∆Ω
D) kleiner alsQ(∆Ω
N ) ist. Folglich, falls wir eine Funkti-on uber Q(∆Ω
D) minimieren, dann ist dasErgebnis nicht kleiner als das Infimum dergleichen Funktion uber Q(∆Ω
N ). Insbeson-dere gilt:
Lemma. Die Ungleichung (0.15) zwi-schen den Eigenwerten der Dirichlet- undNeumann-Probleme gilt in jeder offenenMenge Ω.
Monotonie nach der Menge
Was passiert, wenn wir Ω durch eine große-re offene Menge Ω′ ⊃ Ω ersetzen? Auch
die explizite Formel (0.13) gegeben sind.Namlich, wie viele Punkte aus ANd
1 bzw.ANd
0 liegen innerhalb der offenen KugelB√
λ(0) um den Nullpunkt in Rd mit dem
Radius√λ, wobei A die diagonale Matrix
A = diag( π
l1,π
l2, . . . ,
π
ld
)(0.16)
ist? Diese Frage ist auf eine ahnliche re-duzierbar, wobei die Mengen Nd
1 und Nd0
durch Zd ersetzt werden, kann aber auchgleichzeitig auf alle regularen Matrizen Averallgemeinert werden. Im Fall d = 2 istdas als gaußsches Kreisproblem bekannt.
Abbildung 2: Anschauliche Darstellungdes Zahlproblems
Es stellt sich heraus, dass wir im Falle einesQuaders relativ einfach die fuhrende Asym-ptotik von N(Ω, λ) fur große λ bestimmenkonnen. Es gibt namlich genau einen Git-terpunkt ausAZd in jeder Verschiebung desQuaders
Q0 =[0,
π
l1
)×[0,
π
l2
)× · · · ×
[0,
π
ld
).
(0.17)Uberlegen wir uns, wie viele Verschiebun-gen von Q0 auf die Vektoren aus AZd ge-braucht werden, um die Kugel B√
λ(0) zu
uberdecken und wie viele davon vollstandigin B√
λ(0) enthalten sind, so bekommenwir fur die Anzahl der Dirichlet- bzw.Neumann-Eigenwerte in (−∞, λ)
N(Ω, λ) = (2π)−d|Ω|Vdλd/2
+O(λ(d−1)/2),(0.18)
wobei
Vd =πd/2
Γ((d+ 1)/2
)
das Volumen der Einheitskugel B1(0) in Rd
ist und O(λ(d−1)/2) ein Fehlerterm, sodassein C > 0 existiert mit
∣∣O(λ(d−1)/2)∣∣ Cλ(d−1)/2
fur alle λ groß genug.
Die Formel (0.18) lasst sich folgenderma-ßen interpretieren: Es gibt genau einen Git-terpunkt pro Volumen
|Q0| =d∏
j=1
( π
lj
)=
πd
|Ω|,
und das Gesamtvolumen der Menge, in wel-cher wir die Gitterpunkte zahlen, ist circadas Volumen des Schnittes von B√
λ(0) mit
der Menge [0,∞)d, also 2−dVdλd/2. Dabei
ist der Fehlerterm von der Großenordnungdes Oberflacheninhalts des Randes letzte-rer Menge, also O(λ(d−1)/2). Der Quoti-ent beider Volumina ist die rechte Seite von(0.18).
Es gibt auch eine physikalische Er-klarung furs Resultat (0.18): Nach Fourier-Transformation entspricht −∆ der Multi-plikation mit |k|2 = k21+k22+ · · ·+k2d, wo-bei k = (k1, k2, . . . , kd) den Impulsvektordarstellt. Dann ist B√
λ(0) die Menge aller
Impulse, fur welche |k|2 < λ gilt. Im Pha-senraum ist dann die Menge aller moglichenKoordinaten und Impulse mit Energien un-terhalb von λ durch Ω×B√
λ(0) gegeben.
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Dirichlet-Neumann-Bracketing
Wir haben nun alle Zutaten parat, umden Satz von Weyl zu beweisen. Wir wer-den aber extra annehmen, dass Ω einenstuckweise glatten Rand hat. Das Verfah-ren heißt
”Dirichlet-Neumann-Bracketing“.
Zuerst beweisen wir die Ungleichung
ND(Ω, λ) (2π)−d|Ω|Vdλd/2
+O(λ(d−1)/2).(0.28)
Unter den Annahmen, die wir gemacht ha-ben, konnen wir Ω mit endlich vielen dis-junkten offenen Quadern (Qn)
Nn=1 von in-
nen so approximieren, dass
Ω ⊃N⋃
n=1
Qn (0.29)
und
N∑n=1
|Qn| |Ω| − ε (0.30)
gelten. Laut (0.21), (0.24) und (0.22) gilt
ND(Ω, λ) ND
( N⋃n=1
Qn, λ
)
=N∑
n=1
ND(Qn, λ).
(0.31)
Jeder Term auf der rechten Seite ist abernun durch (0.18) mit Qn anstelle von Ωgegeben, was uns zusammen mit (0.30)
ND(Ω, λ) (2π)−d(|Ω| − ε
)Vdλ
d/2
+O(λ(d−1)/2)
(0.32)
liefert. Dabei ist ε > 0 beliebig, und wirkonnen (0.28) folgern.
Andererseits konnen wir Ω fur jedes ε >0 mit abgeschlossenen Quadern (Qn)
Nn=1
uberdecken, sodass die (Qon)
Nn=1 disjunkt
sind,
Ω ⊂ Ω′ :=
( N⋃n=1
Qn
)o
(0.33)
undN∑
n=1
|Qn| |Ω|+ ε (0.34)
gilt. Dann gilt nach (0.21), Lemma, (0.25)und (0.22)
ND(Ω, λ) ND(Ω′, λ) NN (Ω′, λ)
NN
( N⋃n=1
Qon, λ
)
=N∑
n=1
NN (Qon, λ).
(0.35)
Wieder konnen wir die rechte Seite mithil-fe von (0.18) und (0.34) abschatzen undwegen der Beliebigkeit von ε > 0 auf
ND(Ω, λ) (2π)−d|Ω|Vdλd/2
+O(λ(d−1)/2)(0.36)
kommen. Die Ungleichungen (0.36) und(0.28) zusammen liefern die Aussage desSatzes.
Literatur
[We] H. Weyl, Ueber die asymptotischeVerteilung der Eigenwerte, Nachrich-ten von der Gesellschaft der Wissen-schaften zu Gottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1911) 110–117.
[CH] R. Courant und D. Hilbert,Methodender mathematischen Physik: mit be-sonderer Berucksichtigung der Anwen-dungsgebiete, Vol. I., §VI.4, Springer,Berlin (1924).
dafur liefert das Minimaxprinzip eine Ant-wort. Wir konnen eben jede Funktion ϕaus Q(∆Ω
D) auf Ω′ mit Null fortsetzen und
dadurch eine Funktion ϕ aus Q(∆Ω′
D ) be-kommen. Ferner gilt ‖ϕ‖L2(Ω′) = ‖ϕ‖L2(Ω)
und q∆Ω′D[ϕ, ϕ] = q∆Ω
D[ϕ, ϕ]. Damit wird
das Infimum in (0.19) nicht großer, wennwir Ω durch Ω′ ersetzen. Da die Anzahlder Orthogonalitatsbedingungen durch Ein-schranken von Ω′ auf Ω nur kleiner werdenkann, bekommen wir
λDj (Ω′) λD
j (Ω), Ω ⊂ Ω′ (0.20)
fur alle j ∈ N1, woraus
ND(Ω′, λ) ND(Ω, λ) (0.21)
fur alle λ ∈ R folgt.
Besteht Ω aus zwei disjunkten offenen Teil-mengen Ω1 und Ω2, so erhalten wir eineEigenfunktionenbasis fur −∆ in L2(Ω) da-durch, dass wir die Eigenfunktionen in Ω1
bzw. Ω2 mit Null auf Ω fortsetzen. DieEigenwerte sind dabei gleich den entspre-chenden Eigenwerten in Ω1 bzw. Ω2. Es giltdann auch
N(Ω1 ∪ Ω2, λ) = N(Ω1, λ) +N(Ω2, λ).(0.22)
Lass uns noch die Situation betrachten,wenn Ω aus zwei Komponenten besteht, diemit einer stuckweise glatten Grenze vonein-ander getrennt sind:
Ω = (Ω1 ∪ Ω2 ∪G)o, (0.23)
wobei Ω1, Ω2 zwei disjunkte Mengen mitstuckweise glatten Randern sind und G :=∂Ω1 ∩ ∂Ω2 das gemeinsame Randstuck ist.Fur jede Menge X bezeichne das SymbolXo das Innere von X, also X ohne Rand.Wir konnen nun die Eigenwerte der homo-genen Randwertprobleme in Ω und Ω1∪Ω2
vergleichen. Dabei unterscheiden sich diebeiden Mengen im wesentlichen nur durch
Entfernen des gemeinsamen Randstucks G,also wird Ω entlang G in zwei Komponen-ten Ω1 und Ω2 zerschnitten. Wir behaup-ten, dass die Ungleichungen
λDj (Ω) λD
j (Ω1 ∪ Ω2), (0.24)
λNj (Ω) λN
j (Ω1 ∪ Ω2) (0.25)
fur alle j ∈ N1 gelten. Also gehen durchZerschneiden der Menge die Dirichlet-Eigenwerte nach oben, aber die Neumann-Eigenwerte nach unten!
Um die Ungleichungen (0.24) und (0.25)zu beweisen, verwenden wir wieder das Mi-nimaxprinzip (0.19). Dabei sind die Werteder Form (0.8) identisch auf Ω und Ω1∪Ω2,da G nach Voraussetzung eine Nullmengeist und damit keine Rolle bei der Integrati-on spielt. Das gleiche gilt fur die Orthogo-nalitatsbedingungen bezuglichM . Es bleibtnur noch zu verstehen, in welchem Verhalt-nis die determinierenden Formbereiche zu-einander stehen. Es gilt
Q(∆ΩD) ⊃ Q(∆Ω1∪Ω2
D ), (0.26)
da auf Ω1 ∪ Ω2 die Funktionen ausQ(∆Ω1∪Ω2
D ) am extra Randstuck G ver-schwinden mussen. Andererseits gilt
Q(∆ΩN ) ⊂ Q(∆Ω1∪Ω2
N ), (0.27)
da die Bedingung der stetigen Differen-zierbarkeit auf G fur die Funktionen ausQ(∆Ω1∪Ω2
N ) im Vergleich zu denen ausQ(∆Ω
N ) aufgegeben wird. Daher wird imDirichlet-Fall das Infimum in (0.19) ubereiner kleineren, im Neumann-Fall aber ubereiner großeren Menge genommen, wenn wirΩ durch Ω1∪Ω2 ersetzen. Die Ungleichun-gen (0.24) und (0.25) folgen daraus direkt.
Die Ergebnisse dieses Abschnitts lassen sichauch sofort auf Teilungen von Ω in mehrere(endlich viele) Stucke verallgemeinern.
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