M.Sc. Maximilian Sperber€¦ · 10.1 - Vektorräume und Unterräume Angenommen V ist ein...

Vorkurs Mathematik

M.Sc. Maximilian Sperber

TU Dortmund, Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2019

10 - Vektorräume und Matrizenrechnung

Kapitel 10

Vektorräume und Matrizenrechnung

2/22 M.Sc. Maximilian Sperber Vorlesung - Vorkurs Mathematik für BCI/BW/MB

10.1 - Vektorräume und Unterräume

Definition (10.1)

Für einen Körper K (zum Beispiel R oder C) bilden die Vektoren

a =

a1...

an

, a1, ..., an ∈ K

den K -Vektorraum V mit der komponentenweise definierten Addition undSkalarmultiplikation mit a, b ∈ V :

a + b =

a1...

an

+

b1...

bn

=

a1 + b1...

an + bn

∈ V und λ ·

a1...

an

=

λ · a1...

λ · an

∈ V

mit λ, a1, ..., an, b1, ..., bn ∈ K , wenn die sogenannten Vektorraumaxiome erfülltsind. V ist also eine Menge von Elementen, welche mit der obigen Addition undSkalarmultiplikation bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen.



Beispiel (10.2)

Betrachten wir einmal die folgende Menge:

R3 :=

v =

v1

v2

v3

∣∣∣∣∣ v1, v2, v3 ∈ R

ist mit der obigen Addition und Skalarmultiplikation (λ ∈ R) ein R-Vektorraum. Würde

man auch (λ ∈ C) zulassen, dann wäre es ein C-Vektorraum.

Das gleiche gilt dann allgemein auch für den Rn mit festem n ∈ N:

Rn :=

v =

v1...

vn

∣∣∣∣∣ v1, ..., vn ∈ R

Wir haben es zwar nicht nachgewiesen, aber diese Mengen erfüllen dieVektorraumaxiome mit der obigen Addition und Skalarmultiplikation.



Bemerkung (10.3)

WICHTIG: Die obige Addition und Skalarmultiplikation funktioniert natürlich nur, wenndie Elemente aus der Menge V auch diese Gestalta1

...an

besitzen. Besitzen die Elemente aus V eine andere Gestalt dann muss man dieAddition zweier Elemente und die Skalarmultiplikation anders definieren und damitdann die Vektorraumaxiome nachprüfen.

Im weiteren Verlauf des Kapitels werden wir noch weitere Vektorräume kennenlernen.



Angenommen V ist ein K -Vektorraum. Nun betrachten wir eine Teilmenge U von V ,also U ⊂ V , dann stellt sich die Frage, ob es sich bei der Menge U wieder um einenVektorraum handelt.

Hier wäre es natürlich wirklich viel Arbeit wieder alle Axiome nachzuprüfen. Da U ⊂ Vgilt, ”erbt” glücklicherweise die Menge U alle Vektorraumaxiome.

Man muss nur noch nachprüfen, ob die dazu definierte Addition undSkalarmultiplikation auch für U gilt:

Satz (10.4)

Sei V ein K -Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊂ V ist ein Unterraum von V genau dann,wenn gilt:

1) U 6= ∅2) Für alle u, v ∈ U gilt: u + v ∈ U

3) Für alle u ∈ U und alle λ ∈ K gilt: λ · v ∈ U

Die Besonderheit: Ein Unterraum eines Vektorraumes ist auch selbst wieder einVektorraum.



Ihr habt bereits in der Schule einige Unterräume des R3 kennengelernt ohne eswirklich zu wissen. Hat jemand eine Idee?

Zum Beispiel sind Geraden im R3 durch den Ursprung oder auch Ebenen im R3 durchden Ursprung jeweils Unterräume des R3.

Das wollen wir hier nicht genauer nachprüfen, allerdings werden wir uns die Gestaltvon Geraden und Ebenen genauer ansehen.

Beispiel (10.5)

1) Die folgende Menge ist ein Beispiel für eine Gerade durch den Ursprung im R3:

G1 =

x ∈ R3

∣∣∣∣∣ x =

000

+ t ·

132

, t ∈ R

Eine Gerade besteht also aus einem Ortsvektor (hier: (0, 0, 0)T ) und einemRichtungsvektor (hier: (1, 3, 2)T ). Setzt man t = 0, dann sieht man, dass auchx = (0, 0, 0)T in G1 enthalten ist. Also verläuft die Gerade durch den Ursprung.



Die obige Gestalt der Geraden nennt man auch Parameterdarstellung. Aber wie kannman eine Gerade im R3 überhaupt bestimmen? Dazu betrachten wir folgendeAufgabe:

Beispiel (10.6)

Aufgabe: Bestimmen Sie die Gerade, die durch die Punkte A = (2, 1, 3) undB = (1, 3,−1) verläuft.

Als Ortsvektor wählen wir einfach einen Vektor, der auf den Punkt A oder B zeigt. Hieralso zum Beispiel:

~0A =

213

Für den Richtungsvektor wählen wir den Vektor, der von A und B definiert wird durch:

~AB = ~0B − ~0A =

13−1

−2

13

=

−12−4



Beispiel (10.6)

Wir haben also unsere Gerade durch die Punkte A und B gefunden:

G2 =

x ∈ R3

∣∣∣∣∣ x = ~0A + t · ~AB =

213

+ t ·

−12−4

, t ∈ R

Eine Gerade ist also eine Mengen von Vektoren.

Nun kann man auch die Probe machen und schauen, ob A und B wirklich auf G2

liegen.

Man setzt für x also ~0B bzw. ~0A ein und überprüft, ob es dann ein t ∈ R gibt, welchesdie Gleichung erfüllt. Wählt man t = 0 bzw. t = 1, dann gilt:2

13

=

213

+ 0 ·

−12−4

und

13−1

=

213

+ 1 ·

−12−4

A und B liegen somit auf der Geraden. Die Gerade verläuft allerdings nicht durch den

Ursprung.



Beispiel (10.5 - Fortsetzung)

2) Die folgende Menge ist ein Beispiel für eine Ebene durch den Ursprung im R3:

E1 =

x ∈ R3

∣∣∣∣∣ x =

000

+ t ·

122

+ s ·

−240

, s, t ∈ R

Eine Ebene besteht also aus einem Stützvektor/Ortsvektor (hier: (0, 0, 0)T ) undzwei Richtungsvektoren (hier: (1, 2, 2)T und (−2, 4, 0)T ). Die beidenRichtungsvektoren dürfen kein Vielfaches voneinander sein.

Setzt man hier s = t = 0, dann sieht man, dass auch x = (0, 0, 0)T in E1

enthalten ist. Also muss die Ebene durch den Ursprung verlaufen.

E1 und G1 sind also Unterräume des R3. Warum wären sie keine Unterräume mehr,wenn sie nicht durch den Ursprung verlaufen würden? Was würde schief gehen?

Ganz genau! Das 3. Axiom aus Satz 10.4 ist nicht für alle λ ∈ R erfüllt. Und zwar fürλ = 0 gilt es dann nicht mehr.



Die Konstruktion einer Ebene verläuft analog zu der Konstruktion einer Geraden,allerdings benötigt man zwei Richtungsvektoren, die keine Vielfachen voneinandersind!

Wir möchten uns jedoch noch weitere Darstellungsmöglichkeiten einer Ebene im R3

anschauen. Dafür brauchen wir den Begriff des Normalenvektors.

Definition (10.7)

Ein Vektor ~n ∈ R3 heißt Normalenvektor, wenn er senkrecht/orthognal auf einerGerade oder auf einer Ebene steht. Man sagt auch, dass die Vektoren ~n, ~m ∈ R3

zueinander orthogonal sind, wenn ~n · ~m = 0 gilt.

Wie ist die Multiplikation von zwei Vektoren ~n · ~m eigentlich definiert?

Beispiel (10.8)

Es gilt zum Beispiel:

14−2

·3

01

= 1 · 3 + 4 · 0 + (−2) · 1 = 3 + 0− 2 = 1



Beispiel (10.9)

Wenn wir erneut die Ebene von oben betrachten, dann benötigen wir also einenVektor ~n ∈ R3 für den gilt:

~n ·

122

= 0 und ~n ·

−240

= 0

Wir können also als Normalenvektor zum Beispiel

~n =

21−2

wählen. Damit können wir E1 nun in der Hesse-Normalform angeben:

E1 =

x ∈ R3

∣∣∣∣∣x −

000

· 2

1−2

= 0



Beispiel (10.9)

Mit Hilfe der Hesse-Normalform lässt sich die Koordinatenform einer Ebene herleiten.Und zwar multipliziert man dazu einfach die Vektoren miteinander. Damit erhält man:

E1 =

{x ∈ R3

∣∣∣∣∣ 2x1 + x2 − 2x3 = 0

}

Aufgabe: Überführen Sie die folgende Ebene E2 aus dem R3 in die Koordinatenform:

E2 =

x ∈ R3

∣∣∣∣∣ x =

124

+ t ·

10−1

+ s ·

−2−13

, s, t ∈ R

Hinweis: Versuchen Sie den Normalenvektor durch scharfes Hinsehenherauszufinden!



Das war es mit einer kurzen Wiederholung zu Geraden und Ebenen. Nun schauen wiruns einen weiteren Vektorraum an.

Die Elemente dieses Vektorraums sehen nun anders aus. Daher müssen wir dieAddition bzw. Skalarmultiplikation erneut für diese Elemente definieren.

Beispiel (10.10)

Die Menge aller Matrizen mit m Zeilen und n Spalten bezeichnen wir mit Rm×n. Siebildet mit der Matrizenaddition und Skalarmultiplikation einen R-Vektorraum. Wählenwir zur besseren Übersicht m = 2 und n = 3, dann bedeutet das konkret:

A+B =

(a11 a12 a13

a21 a22 a23

)+

(b11 b12 b13

b21 b22 b23

)=

(a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13

a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23

)und

λ · A = λ ·(

a11 a12 a13

a21 a22 a23

)=

(λ · a11 λ · a12 λ · a13

λ · a21 λ · a22 λ · a23

)

Aber was sind Matrizen eigentlich und wie geht man mit ihnen um?


10.2 - Matrizenrechnung

Wir haben gerade die folgenden Rechenoperationen für Matrizen eingeführt:

1. für A,B ∈ Rm×n die Addition: A + B

2. für λ ∈ R und A ∈ Rm×n die skalare Multiplikation: λ · AWir benötigen noch die Multiplikation zweier Matrizen. Dafür müssen die Matrizen einebestimmte Form haben!

Bemerkung (10.11)

Das Matrizenprodukt ist nur definiert, wenn die Größen der Matrizen zusammenpassen:

Es gilt folgende Regel zur Größe der Matrizen beim Matrix–Matrix–Produkt:

A · B −→ C(m × p) · (p× n) −→ (m × n)

Merke: Die erste Matrix muss genau so viele Spalten haben wie die zweite MatrixZeilen hat.

Wir sehen uns mal an der Tafel an, wie man Matrizen miteinander multipliziert!



Beispiel (10.12)

Wir betrachten die Matrix

A =

(1 −1 22 0 1

)∈ R2×3

A darf also von rechts nur mit einer Matrix B mit genau 3 Zeilen multipliziert werden,also zum Beispiel mit

B =

1 0−1 1

1 1

∈ R3×2

Dann ist

A · B =

(1 −1 22 0 1

)·

1 0−1 1

1 1

=

(4 13 1

)∈ R2×2

Hinweis: B · A kann hier auch gebildet werden, da die Größen passen! WelcheGröße hätte die Matrix?



Beispiel (10.13)

Betrachten wir erneut die Matrix A:

A =

(1 −1 22 0 1

)∈ R2×3

A darf von links nur mit einer Matrix C mit genau 2 Spalten multipliziert werden, alsoz.B. mit

C =

(1 2−1 3

)∈ R2×2

Dann ist

C · A =

(1 2−1 3

)·(

1 −1 22 0 1

)=

(5 −1 45 1 1

)∈ R2×3

Hinweis: Hier ist das Produkt A · C nicht bildbar, da die Größen nicht passen.



Bemerkung (10.14)

Die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation darf im Allgemeinen nicht vertauschtwerden.

Auch wenn beide Produkte definiert sind, gilt das Kommutativgesetz i.A. nicht:

Beispiel (10.15)

1.

A =

(1 0 2−1 1 1

)∈ R2×3, B =

2 −11 10 −1

∈ R3×2

Dann ist

A · B =

(2 −3−1 1

)∈ R2×2 und B · A =

3 −1 30 1 31 −1 −1

∈ R3×3

Beide Produkte sind definiert, aber offensichtlich nicht gleich... sie haben sogarandere Matrizen-Größen im Ergebnis !



Beispiel (10.15)

2. Selbst bei ”gleich großen” Matrizen gilt das Kommutativgesetz i.A. nicht:

A =

(1 −1−1 1

)∈ R2×2, B =

(0 10 1

)∈ R2×2

Dann istA · B =

(0 00 0

)∈ R2×2 und B · A =

(−1 1−1 1

)∈ R2×2

Auch hier sehen wir:Das Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen bei Matrizen nicht!

3. Ein Produkt A · B kann gleich der Nullmatrix sein (siehe oben), obwohl keine derbeiden Matrizen A und/oder B selbst die Nullmatrix ist: Weiteres Beispiel:

A =

(0 10 0

), B =

(1 00 0

)mit A · B =

(0 00 0

)



Bei dem folgenden Satz lassen wir mal aus Übersichtsgründen die detailliertanzugebenen Größen der Matrizen weg und schreiben ”geeigneter Größe”.

Satz (10.16)

Für Matrizen A,B,C geeigneter Größe (!) und Skalare α ∈ R gelten:

1. Distributivgesetze:

(A + B) · C = A · C + B · C, A · (B + C) = A · B + A · C

2. Multiplikation mit Skalaren:

α · (A · B) = (α · A) · B = A · (α · B)

3. Assoziativgesetz:

A · B · C = A · (B · C) = (A · B) · C



Definition (10.17)

Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt invertierbar (oder auch regulär) genau dann, wenn eineMatrix B ∈ Rn×n existiert mit:

A · B = B · A = En = diag (1, . . . , 1) =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . . 0

0 0 · · · 1

Existiert so eine Matrix B mit diesen Eigenschaften (was nicht immer klappt), so heißtdiese die inverse Matrix (von A) oder kurz Inverse (von A). Bezeichnung: A−1

Nicht-invertierbare Matrizen heißen auch singulär.



Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !


Date post:	16-Oct-2019
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