5

Einführung

betrachten als Beispiel (Fredholm1sche) Integralgleichung (zweiter Art),

f(s)−∫ 1

0

k(s, t)f(t) dt = g(s), s ∈ [0, 1], (1)

mit g : [0, 1] → R, k : [0, 1]× [0, 1] → R stetig; suchen f : [0, 1] → R stetig als Lösung 99K können (1) alsSystem unendlich vieler Gleichungen (für jedes s ∈ [0, 1]) mit unendlich vielen Unbekannten f(s) auffassen, diestetig ‘zusammengehören’ 99K formalisieren, um prinzipielle Ideen linearer Algebra (zum Lösen endlich vielerGleichungssysteme) auszunutzen; dazu

Kf(s) :=

∫ 1

0

k(s, t)f(t) dt, s ∈ [0, 1],

wobei K : C[0, 1]→ C[0, 1], f 7→ Kf , linear,

(1) ⇐⇒ f(s)−Kf(s) = g(s), s ∈ [0, 1],

bzw. als Funktionen betrachtet

⇐⇒ f −Kf = g ⇐⇒ ( id−K)︸ ︷︷ ︸A

f = g ⇐⇒ Af = g

und A : C[0, 1]→ C[0, 1], f 7→ Af = ( id−K)f , linear

in der linearen Algebra für n× n Matrizen A: Ax = y genau dann eindeutig lösbar, wenn detA 6= 099K Ersatz für n→∞? 99K Fredholmsche Alternative, Bedingungen an K und Grundraum C[0, 1]

1 Banachräume

1.1 Grundbegriffe

1.1.1 Normierte Vektorräume und metrische Räume

sei X Vektorraum über K, Skalare K =

R ; reeller Vektorraum

C ; komplexer Vektorraum

• x1, . . . , xn ⊂ X linear unabhängig ⇐⇒ ∀ λi ∈ K :n∑

i=1

λixi = 0 =⇒ λ1 = · · · = λn = 0;

sonst: x1, . . . , xn ⊂ X linear abhängig

M ⊂ X linear unabhängig ⇐⇒ Jede endliche Teilmenge von M ist linear unabhängig.

• x ∈ X Linearkombination von x1, . . . , xn ⊂ X ⇐⇒ ∃ λ1, . . . , λn ∈ K : x =n∑

i=1

λixi

Menge aller Linearkombinationen von x1, . . . , xn: lineare Hülle,

span x1, . . . , xn =

n∑

i=1

λixi : λi ∈ K

Unterraum von X

für beliebiges M ⊂ X, M 6= ∅, setzt man

spanM =

x ∈ X : ∃ k ∈ N ∃ λj ∈ K, xj ∈M : x =

k∑

j=1

λjxj

“von M erzeugter Teilraum”

1Erik Ivar Fredholm (∗ 7.4.1866 Stockholm † 17.8.1927 Stockholm)

6 1 Banachräume

• U Unterraum von X, x1, . . . , xk ∈ U , k ∈ Nx1, . . . , xk heißt Basis von U ⇐⇒ x1, . . . , xk ⊂ X linear unabhängig und U = span x1, . . . , xkAnzahl der Elemente einer Basis von U : Dimension von U , dimU = k = #x1, . . . , xkdimU =∞ ⇐⇒ ∀ n ∈ N ∃ n linear unabhängige Elemente in U

Bemerkung : • spanM =⋂U Teilraum von X : U ⊃M ‘kleinster Teilraum, der M enthält’

• dimU = n ⇐⇒ Es existieren n linear unabhängige Elemente in M , aber n + 1Elemente aus M sind stets linear abhängig.

• Ist x1, . . . , xn Basis von U ⊂ X, so lässt sich jeder Vektor x ∈ U in eindeutiger Weiseals Linearkombination der xi, i = 1, . . . , n, schreiben, d.h. jedes x ∈ U besitzt eineDarstellung

x = λ1x1 + · · ·+ λnxn

für eindeutig bestimmte Zahlen λ1, . . . , λn ∈ K.

Beispiel : Für C[a, b] = f : [a, b] → K stetig, [a, b] ⊂ R, gilt dimC[a, b] = ∞: betrachten1, x, . . . , xn y linear unabhängig für alle n ∈ N

Definition 1.1 Es sei X ein Vektorraum über K und

‖ · ‖ : x ∈ X 7−→ ‖x‖ ∈ R+ = [0,∞)

eine Abbildung von X nach R+ mit folgenden Eigenschaften :

(i) ‖x‖ ≥ 0 für alle x ∈ X, ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

(ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ für alle λ ∈ K, x ∈ X

(iii) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ für alle x, y ∈ X

Dann heißen [X, ‖ · ‖] normierter Raum und ‖ · ‖ Norm.

Beispiele : • Rn und Cn mit

‖x‖1 =n∑

k=1

|xk|, ‖x‖2 =( n∑

k=1

|xk|2)1/2

, ‖x‖∞ = maxk=1,...,n

|xk| für x = (x1, . . . , xn)

• C[a, b] mit ‖f‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)| = maxx∈[a,b]

|f(x)|

• ℓp(N), p = 1, 2,∞, mit

ℓ1(N) =

a = (aj)

∞j=1 ⊂ K,

∞∑

j=1

|aj | <∞

, ‖a‖1 =

∞∑

j=1

|aj |,

ℓ2(N) =

a = (aj)

∞j=1 ⊂ K,

∞∑

j=1

|aj |2 <∞

, ‖a‖2 =

∞∑

j=1

|aj |2

1/2

,

und

ℓ∞(N) =

a = (aj)

∞j=1 ⊂ K, sup

j∈N

|aj | <∞, ‖a‖∞ = sup

j∈N

|aj |

Es gelten: dim ℓ1(N) = dim ℓ2(N) = dim ℓ∞(N) =∞

1.1 Grundbegriffe 7

Übung I-1 : Zeigen Sie, dass ‖ · ‖p auf ℓp(N) für p ∈ 1, 2,∞ eine Norm definiert.

Bemerkung : A ⊂ X beschränkt ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ a ∈ A : ‖a‖ ≤ c

Übung I-2 : Man kann auf C[a, b] auch die Normen ‖f‖p =( b∫

a

|f(x)|p dx) 1

p

, 1 ≤ p <∞, betrachten.

• Für 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ gibt es ein c = c(p, q) > 0, so dass für alle f ∈ C[a, b] gilt‖f‖p ≤ c ‖f‖q; die Umkehrung ist falsch.

• Für f ∈ C[a, b] ist ‖f‖∞ = limp→∞

‖f‖p.

Wiederholung: metrischer Raum

M 6= ∅ beliebig, d : M ×M −→ R+ Metrik, falls für alle x, y, z ∈M gilt

• d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

• d(x, y) = d(y, x)

• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Bemerkung : • Mit d(x, y) = ‖x− y‖ wird jeder normierte Raum zu einem metrischen Raum.

• Eine ‘Grundmenge’ M kann mit verschiedenen Metriken ausgestattet sein.

• Rn , d2 = ‖x− y‖2 . . . euklidische Metrik

Grundbegriffe im metrischen Raum

• Kε(a) = K(a, ε) := b ∈M : d(a, b) < ε offene ε-Kugel um a ∈M , ε > 0

• a ∈M innerer Punkt von A ⇐⇒ ∃ ε > 0 : K(a, ε) ⊂ A, A . . . Menge der inneren Punkte von A

• a ∈M Berührungspunkt von A ⇐⇒ ∀ ε > 0 : K(a, ε) ∩ A 6= ∅a ∈M isolierter Punkt zu A ⇐⇒ ∃ ε > 0 : K(a, ε) ∩ A = aa ∈M Häufungspunkt von A ⇐⇒ ∀ ε > 0 : #K(a, ε) ∩ A =∞A = A ∪ a ∈M : a Häufungspunkt zu A . . . Abschluss von A

• a ∈M Randpunkt von A ⇐⇒ ∀ ε > 0 : K(a, ε) ∩ A 6= ∅ und K(a, ε) ∩ (M \A) 6= ∅∂A . . . Menge der Randpunkte von A

• A offen ⇐⇒ A = A; A abgeschlossen ⇐⇒ M \A offen ⇐⇒ A = A

Bemerkung : A =⋂B ⊃ A : B abgeschlossen, A =

⋃B ⊂ A : B offen, A = A ∪ ∂A,∂A = A \ A

• (xn)∞n=1 ⊂M konvergent ⇐⇒ ∃ x0 ∈M ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0(ε) : d

(xn, x

0)< ε

• (xn)∞n=1 ⊂ M Cauchy2-Folge (Fundamentalfolge) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n,m ≥ n0(ε) :

d (xn, xm) < ε

Definition 1.2 Sei[X, ‖ · ‖

]ein normierter Raum.

(i) Eine Folge (xn)∞n=1 ⊂ X heißt konvergent ⇐⇒ ∃ x0 ∈ X ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0(ε) : ‖xn−x0‖ < ε.

(ii) Eine Folge (xn)∞n=1 ⊂ X heißt Cauchy-Folge (Fundamentalfolge) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n,m ≥

n0(ε) : ‖xn − xm‖ < ε.

2Augustin Louis Cauchy (∗ 21.8.1789 Paris † 23.5.1857 Paris)

8 1 Banachräume

Bemerkung : x0 ∈ X heißt Grenzwert/Limes von (xn)n, man schreibt z.B. limn→∞

xn = x0, oder xn −−−−→n→∞

x0, oder xn −→ x0 für n→∞, bzw. xnin X−−−−→n→∞

x0

Lemma 1.3 Sei [X, ‖ · ‖] ein normierter Raum.

(i) Jede konvergente Folge (xn)∞n=1 ⊂ X ist eine Cauchy-Folge.

(ii) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

(iii) Aus xn −−−−→n→∞

x0 folgt ‖xn‖ −−−−→n→∞

‖x0‖ (Stetigkeit der Norm).

Be w e i s : Wiederholung/Übung

Definition 1.4

(i) Ein metrischer Raum[M,d

]heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in

[M,d

]konvergiert.

(ii) Ein normierter Raum[X, ‖ · ‖

]heißt vollständig , wenn der (zugehörige) metrische Raum

[X, d

]mit

d(x, y) = ‖x− y‖ ein vollständiger metrischer Raum ist.

(iii) Ein vollständiger normierter Raum heißt Banach3-Raum.

Beispiele : • Rn, Cn mit ‖ · ‖1, ‖ · ‖2, ‖ · ‖∞ vollständig

• Q, Qn mit ‖ · ‖1, ‖ · ‖2, ‖ · ‖∞ nicht vollständig

• C[a, b] mit ‖ · ‖∞ vollständig

• C[a, b] mit ‖ · ‖1 nicht vollständig, z.B. [a, b] = [0, 1], ‖f‖1 =∫ 1

0

|f(t)| dt

betrachten fn(x) = xn ∈ C[0, 1], n ∈ N; sei n > m

y ‖fn − fm‖1 =

∫ 1

0

(xm − xn) dx ≤ 1

m+ 1−−−−→m→∞

0

y Cauchy-Folge

fn(x) −−−−→n→∞

0 , 0 ≤ x < 11 , x = 1

= f(x)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y ‖fn − f‖1 =

∫ 1

0

xn dx =1

n+ 1−−−−→n→∞

0, aber f 6∈ C[0, 1]

• P = p : [a, b] → K, p Polynom ⊂ C[a, b] . . . (algebraische) Polynome, Teilraum vonC[a, b]

P mit ‖ · ‖∞ nicht vollständig: betrachten pm(x) =

m∑

k=0

xk

k!∈ P , (pm)∞m=0 Cauchy-Folge,

pmin C[a, b]−−−−−−→m→∞

f ∈ C[a, b], f(x) = exp(x) = ex 6∈ P

Bemerkung : • Nicht jeder normierte Raum ist vollständig.

• Vollständigkeit kann von gewählter Norm abhängen.

• Unterräume vollständiger Räume müssen nicht vollständig sein.

3Stefan Banach (∗ 30.3.1892 Kraków † 31.8.1945 Lvov)

1.1 Grundbegriffe 9

Satz 1.5 Sei [X, ‖ · ‖] ein normierter Vektorraum. Dann ist X vollständig genau dann, wenn für alle Folgen

(xk)k ⊂ X mit∞∑

k=1

‖xk‖ <∞ gilt, dass x = limm→∞

m∑

k=1

xk =

∞∑

k=1

xk ∈ X.

Übung I-3 : Beweisen Sie Satz 1.5.

Satz 1.6 Sei A 6= ∅. Dann ist der Raum der beschränkten Funktionen,

B(A) = f : A→ K : ‖f‖∞ = supx∈A|f(x)| <∞

ein Banachraum.

Be w e i s : verwenden Satz 1.5: sei (fk)k ⊂ B(A) Folge mit∞∑

k=1

‖fk‖∞ < ∞; z.z.: f =

∞∑

k=1

fk ∈ B(A),

d.h.

supx∈A

∣∣∣∞∑

k=1

fk(x)∣∣∣ <∞

Sei x ∈ A ==⇒Vor.

∀ ε > 0 ∃ m > n > n0:

∣∣∣∣∣

m∑

k=n

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤m∑

k=n

‖fk‖∞ < ε

y

(m∑

k=1

fk(x)

)

m

Cauchy-Folge in K =======⇒K vollständig

∃ ax ∈ K : ax =

∞∑

k=1

fk(x), setzen f(x) := ax, x ∈ A

y f : A→ K, |f(x)| ≤∞∑

k=1

‖fk‖∞ <∞ für alle x ∈ A ==⇒sup

‖f‖∞ <∞ ⇐⇒ f ∈ B(A)

Folgerung 1.7 Die Räume ℓ1(N), ℓ2(N) und ℓ∞(N) sind vollständig.

Be w e i s : Aussage zu ℓ∞(N) folgt aus Satz 1.6; hier ℓ1(N); ℓ2(N) analog (als Übung);

sei (an)n ⊂ ℓ1(N) Cauchy-Folge

y ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ m > n ≥ n0 : ‖am − an‖1 =

∞∑

k=1

|amk − ank | < ε (2)

y ∀ k ∈ N :(ank)n

Cauchyfolge in K =======⇒K vollständig

∀ k ∈ N ∃ bk = limn→∞

ank ; setzen b = (bk)k∈N

g.z.z.: (an)n −−−−→n→∞

b in ℓ1(N)

sei j ∈ N, (2) yj∑

k=1

|amk − ank | < ε für m > n ≥ n0 ====⇒m → ∞

j∑

k=1

|ank − bk| < 2ε für n ≥ n0

====⇒j → ∞

∞∑

k=1

|ank−bk| ≤ 2ε für n ≥ n0 y∞∑

k=1

|bk| ≤∞∑

k=1

|ank−bk|+∞∑

k=1

|ank | ≤ 2ε+‖an‖1 <∞ y b ∈ ℓ1(N),

(an)n −−−−→n→∞

b in ℓ1(N)

10 1 Banachräume

Übung I-4 : Zeigen Sie, dass die folgenden normierten Räume nicht vollständig sind:

• ℓp(N), 1 ≤ p <∞, mit ‖ · ‖∞,

• C[a, b] mit ‖·‖p, 1 ≤ p <∞,

• C1[a, b] = f : [a, b]→ K : f (m) ∈ C[a, b],m = 0, 1 mit ‖f‖∞ = supx∈[a,b]

|f(x)|,

• ℓ1(N) mit der Norm ‖a‖ = supn∈N

∣∣∣n∑

k=1

ak

∣∣∣.

Definition 1.8 Sei [X, ‖ · ‖] ein normierter Vektorraum.

(i) M ⊂ X heißt dicht (in X) ⇐⇒ ∀ x ∈ X ∃ (xj)j ⊂M : xjin X−−−→j→∞

x

(ii) X heißt separabel genau dann, wenn eine abzählbare dichte Teilmenge in X existiert.

Bemerkung : • Q dicht in R, Qn dicht in Rn

• analoge Definition gilt allgemeiner für metrische Räume: A ⊂M dicht ⇐⇒ ∀ x ∈M ∀ ε > 0 ∃ xε ∈ A : d(x, xε) < ε, d.h. xε ∈ K(x, ε)

Beispiel : ℓ1(N) ist separabel (analog: ℓ2(N) separabel):

betrachten c00(N) = a = (aj)j ⊂ K : ∃ m ∈ N ∀ n > m : an = 0 y dicht in ℓ1(N):

a ∈ ℓ1(N) y∞∑

k=m

|ak| < ε, m ≥ m0 y ∃ a0 = (a1, . . . , am0 , 0, . . . ) ∈ c00(N) : ‖a− a0‖1 < ε;

zudem ist jedes a ∈ c00(N) durch Folgen aus cQ00(N) = a ∈ c00(N) : an ∈ Q approximierbar, undcQ00(N) abzählbar

Übung I-5 : Zeigen Sie, dass ℓ∞(N) nicht separabel ist.

Bemerkung : • Teilraum U heißt abgeschlossen ⇐⇒ [U, ‖ · ‖] vollständig

• U dicht in X ⇐⇒ U = X

Beispiele : (a) U1 = x ∈ Rn : xn = 0 ⊂ Rn Hyperebene; abgeschlossen

U2 = x ∈ R2 : a1x1 + a2x2 = 0 ⊂ R2, (a1, a2) 6= 0 Gerade durch Ursprung;abgeschlossen

U3 = x ∈ R3 : a1x1+a2x2+a3x3 = 0 ⊂ R3, (a1, a2, a3) 6= 0 Ebene durch Ursprung;abgeschlossen

(b) c0(N) = a ∈ ℓ∞(N) : limj→∞

aj = 0 ⊂ ℓ∞(N) Nullfolgen; abgeschlossener Teilraum,

denn: sei (an)n ⊂ c0(N) ⊂ ℓ∞(N) mit an −−−−→n→∞

a ∈ ℓ∞(N); z.z.: a ∈ c0(N), d.h.

limj→∞

aj = 0; sei ε > 0

y |aj | ≤ |aj − anj |+ |anj | ≤ ‖a− an‖∞︸ ︷︷ ︸<ε, n>n0(ε)

+|anj | < ε+ |anj |︸︷︷︸<ε, j>j0(ε,n)

< 2ε, j ≥ j0

analog zur Argumentation für ℓ1(N) y c0(N) separabel

(c) c00(N) = a ∈ ℓ∞(N) : ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : aj = 0 ⊂ ℓ∞(N) Teilraum, nicht abgeschlossen;Es gilt: c00(N) = c0(N) ( ℓ∞(N);

klar: c00(N) ⊆ c0(N) y c00(N) ⊆ c0(N) =(b)

c0(N); n.z.z.: c0(N) ⊆ c00(N)

1.1 Grundbegriffe 11

Beispiele : sei a ∈ c0(N) ==⇒Def.

limj→∞

aj = 0 ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : |aj | < ε; setzen

bj = (a1, . . . , aj, 0, . . . , 0) y bj ∈ c00(N), ‖a− bj‖∞ = supk∈N

|ak − bjk| = supk>j|ak| < ε, j ≥ j0

1.1.2 Vervollständigung

sei [X, ‖ · ‖] normierter Vektorraum, U ⊂ X Teilraum

Frage: Kann man für jeden beliebigen Teilraum U eines Banachraumes X, bzw. sogar für jeden normiertenVektorraum Y eine ‘Vervollständigung’ finden, d.h. einen Banachraum W mit Y = W?

Definition 1.9 Seien [X, ‖·‖X] und [Y, ‖·‖Y] normierte Vektorräume. X und Y heißen isometrisch-isomorphgenau dann, wenn eine lineare Abbildung L : X→ Y existiert, für die gilt

(i) ‖Lx‖Y = ‖x‖X für alle x ∈ X

(ii) L surjektiv, L(X) = Y.

Die Abbildung L heißt isometrischer Isomorphismus.

Bemerkung : L : X→ Y linear, surjektiv, isometrisch y L−1 : Y→ X existiert, isometr. Isomorphismus

Satz 1.10 (i) Jeden normierten Vektorraum kann man isometrisch-isomorph auf eine dichte Teilmengeeines geeigneten Banachraumes abbilden.

(ii) Sämtliche Banachräume mit dieser Eigenschaft sind untereinander isometrisch-isomorph.

Be w e i s : 1. Schritt: zu (i); sei [X, ‖ · ‖X] normierter Vektorraum; konstruieren Banachraum [Y, ‖ · ‖Y] undIsomorphismus L : X→ L(X) ⊆ Y mit L(X) = Y

führen auf der Menge aller Cauchyfolgen (xn)n in X Äquivalenzrelation ein:

(xn)n ∼X (zn)n ⇐⇒ (xn − zn)n ∈ c0(X,N) Nullfolge, d.h. limn→∞

‖xn − zn‖X = 0

betrachten für Cauchy-Folge x = (xn)n deren Äquivalenzklasse

[x]X = (zn)n Cauchy-Folge in X : (xn)n ∼X (zn)n

setzen Y = [x]X : (xn)n Cauchy-Folge in X; linearer Vektorraum:

• [0]X = (zn)n ⊂ X : limn→∞

zn = 0 = c0(X,N)

• x = (xn)n, y = (yn)n Cauchy-Folgen, λ, µ ∈ K y λ[x]X + µ[y]X = [λx+ µy]X

Unabhängigkeit von der Auswahl der Repräsentanten: seien (ξn)n ∈ [x]X, (ηn)n ∈ [y]X

y λξn + µηn = λxn + λ (ξn − xn)︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞

0

+µyn + µ (ηn − yn)︸ ︷︷ ︸−−−−→n→∞

0

∼X λxn + µyn

führen nun Norm ein auf Y: sei [x]X ∈ Y, setzen∥∥[x]X

∥∥Y= lim

n→∞‖xn‖X

• existiert nach Lemma 1.3(iii), da (‖xn‖X)n Cauchy-Folge in K und K vollständig;

• unabhängig von Auswahl des Repräsentanten: seien (xn)n, (zn)n ∈ [x]X y (xn)n ∼X (zn)n

y∣∣∣ ‖xn‖X − ‖zn‖X

∣∣∣ ≤ ‖xn − zn‖X −−−−→n→∞0 y lim

n→∞‖xn‖X = lim

n→∞‖zn‖X = ‖[x]X‖Y

12 1 Banachräume

y [Y, ‖ · ‖Y] normierter Vektorraum;

Isomorphismus L: sei für x ∈ X, x = (x, x, . . . ) = (xn)n mit xn ≡ x, n ∈ N; setzen Lx = [x]X

y ‖Lx‖Y = ‖[x]X‖Y = limn→∞

‖x‖X = ‖x‖X

y L : X→ L(X) ⊂ Y isometrisch-isomorph

z.z.: L(X) dicht in Y: sei [y]X ∈ Y y ∃ (yk)k ∈ [y]X Cauchyfolge in X, setzen ηk = Lyk = [yk]X, k ∈ N

y ηk ∈ L(X),∥∥∥ηk − [y]X

∥∥∥Y=∥∥∥[yk]X − [y]X

∥∥∥Y= lim

n→∞‖yk − yn‖X < ε für k ≥ k0

z.z.: [Y, ‖ · ‖Y] vollständig

sei (yk)k Cauchy-Folge in Y =========⇒L(X) dicht in Y

∃ (ξk)k ⊂ L(X), Cauchy-Folge, mit ‖yk − ξk‖Y ≤ 2−k, k ∈ N

y ‖ξk − ξm‖Y ≤ ‖ξk − yk‖Y︸ ︷︷ ︸<2−k<ε, k≥k0

+ ‖yk − ym‖Y︸ ︷︷ ︸<ε, m>k≥m0

+ ‖ym − ξm‖Y︸ ︷︷ ︸<2−m<ε, m≥m1

< 3ε, m, k ≥ k1

y (ξk)k Cauchyfolge in Y, ξk ∈ L(X), setzen xk = L−1ξk ∈ X, k ∈ N

=======⇒L isometrisch

‖ξk‖Y = ‖Lxk‖Y =∥∥[xk]X

∥∥Y= ‖xk‖X

y x = (xk)k Cauchy-Folge in X; betrachten y = [x]X

y ‖y − yk‖Y ≤ ‖y − ξk‖Y︸ ︷︷ ︸lim

n→∞‖xn−xk‖X

+ ‖ξk − yk‖Y︸ ︷︷ ︸

≤2−k

≤ limn→∞

‖xn − xk‖X︸ ︷︷ ︸

≤ε, k≥k0

+ 2−k

︸︷︷︸≤ε, k≥k1

≤ 2ε, k ≥ k2

y ∃ y = [x]X ∈ Y mit ‖y − yk‖Y −−−−→k→∞

0 y Y vollständig

2. Schritt: zu (ii); seien Y1, Y2 Banachräume gemäß (i), für die Isomorphismen L1, L2 existieren mit

L1 :X→ L1(X) ⊂ Y1, und L1(X) = Y1,

L2 :X→ L2(X) ⊂ Y2, und L2(X) = Y2;

betrachtenL = L2 L−1

1 : L1(X)→ L2(X) isometrisch-isomorph,

da L1, L2 Isometrien: y ∈ L1(X) y ∃ x ∈ X : y = L1x y L2x = Ly ∈ L2(X),

‖Ly‖Y2 = ‖L2x‖Y2 = ‖x‖X = ‖L1x‖Y1 = ‖y‖Y1, y ∈ L1(X)

Erweiterung auf L : Y1 → L(Y1) ⊂ Y2:

y ∈ Y1 =======⇒L1(X) = Y1

∃ (ηk)k ∈ L1(X) : ηk −−−−→k→∞

y, insbesondere (ηk)k Cauchyfolge in L1(X)

=============⇒L Isometrie auf L1(X)

(Lηk)k = (L2(L−11 ηk))k Cauchy-Folge in L2(X) ⊂ Y2

========⇒Y2 vollständig

∃ η ∈ Y2 : Lηkin Y2−−−−→k→∞

η, setzen Ly := η

L wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Auswahl der Folge (ηk)k: sei (ξk)k ∈ L1(X) : ξk −−−−→k→∞

y

=====⇒wie oben

∃ ξ ∈ Y2 mit Lξkin Y2−−−−→k→∞

ξ,

‖η − ξ‖Y2≤ ‖η − Lηk‖Y2︸ ︷︷ ︸

<ε, k≥k0

+ ‖Lηk − Lξk‖Y2︸ ︷︷ ︸=‖ηk−ξk‖Y1

, L isom.

+ ‖Lξk − ξ‖Y2︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k1

< 2ε+ ‖ηk − y‖Y1︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k2

+ ‖y − ξk‖Y1︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k3

< 4ε, k ≥ k4 y η = ξ in Y2

1.1 Grundbegriffe 13

L surjektiv, L(Y1) = Y2: sei y ∈ Y2 =======⇒L2(X) = Y2

∃ (ηk)k ⊂ L2(X) : ηk −−−−→k→∞

y

======⇒L isomorph

∃ (zk)k ⊂ L1(X) : Lzk = ηk; (ηk)k Cauchy-Folge in L2(X) ======⇒L Isometrie

(zk)k Cauchy-Folge in

L1(X) ⊂ Y1 ========⇒Y1 vollständig

∃ x ∈ Y1 : zk −−−−→k→∞

x ==⇒s.o.

Lx = y

L isometrisch auf Y1: seien y ∈ Y1 mit (ηk)k ∈ L1(X) : ηk −−−−→k→∞

y und Lηk −−−−→k→∞

Ly;

wissen bereits: L : L1(X)→ L2(X) Isometrie, d.h. ‖ Lηk︸︷︷︸∈L2(X)

‖Y2 = ‖ ηk︸︷︷︸∈L1(X)

‖Y1 , k ∈ N

y ‖Ly‖Y2 = limk→∞

‖Lηk‖Y2 = limk→∞

‖ηk‖Y1 = ‖y‖Y1

Bemerkung : • Den Banachraum gemäß (i) nennt man Vervollständigung des normierten Vektorraumes.

• Banachräume in (ii) heißen Kopien und werden im folgenden nicht weiter unterschieden.

• analoges Resultat auch für metrische Räume

1.1.3 Kompaktheit

Definition 1.11 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X. A heißt kompakt (folgenkompakt) genau dann,wenn jede Folge aus A eine in A konvergente Teilfolge besitzt.

Bemerkung : • früher: A ⊂ Kn kompakt ⇐⇒ A beschränkt und abgeschlossen; i.a. nur =⇒

• A ⊂ X kompakt, f : A ⊂ R stetig y mina∈A

f(a),maxa∈A

f(a) existieren

• A ⊂ X kompakt, f : A→ K stetig y f gleichmäßig stetig

Definition 1.12 Seien I eine beliebige Indexmenge und die Mengen Uα, α ∈ I, offen, und A ⊂ X.

(i) Das System Uαα∈I heißt offene Überdeckung von A, falls gilt A ⊂ ⋃α∈I Uα.

(ii) Sei I0 ⊂ I. Dann heißt Uγγ∈I0 offene Teilüberdeckung von A, falls gilt A ⊂ ⋃γ∈I0Uγ .

(iii) A heißt überdeckungskompakt, wenn zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckungexistiert.

Satz 1.13 (Heine4- Borel5)Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X. Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) A (folgen)kompakt

(ii) A überdeckungskompakt

(iii) Jede unendliche Teilmenge von A besitzt einen Häufungspunkt in A.

Be w e i s : 1. Schritt: seien A (folgen)kompakt, Uαα∈I eine offene Überdeckung; zeigen zunächst

∃ ε > 0 ∀ x ∈ A ∃ α ∈ I : Kε(x) ⊂ Uα (3)

indirekt, Annahme: (3) falsch, d.h. (mit ε = 1n )

∀ n ∈ N ∃ xn ∈ A ∀ α ∈ I : K1/n(xn) 6⊂ Uα

4Heinrich Eduard Heine (∗ 16.3.1821 Berlin † 21.10.1881 Halle)5Félix Edouard Justin Emile Borel (∗ 7.1.1871 Aveyron/Frankreich † 3.2.1956 Paris)

14 1 Banachräume

(xn)n ⊂ A ======⇒A kompakt

∃ (xnk)k ⊂ (xn)n in A konvergente Teilfolge, d.h. xnk

−−−−→k→∞

x0 ∈ A

x0 ∈ A ⊂⋃

α∈I

Uα y ∃ α0 ∈ I : x0 ∈ Uα0 =====⇒Uα0 offen

∃ ε0 > 0 : Kε0(x0) ⊂ Uα0

xnk−−−−→k→∞

x0 y ∃ k0 ∀ k ≥ k0 : d(xnk, x0) <

ε02,

1

nk<ε02

sei x ∈ Kε0/2(xnk), k ≥ k0

y d(x, x0) ≤ d(x, xnk) + d(xnk

, x0) <ε02

+ε02

= ε0

y K1/nk(xnk

) ⊂ Kε0/2(xnk) ⊂ Kε0(x

0)

y K1/nk(xnk

) ⊂ Kε0(x0) ⊂ Uα0 , k ≥ k0 zur Annahme

Uα0

A

x0

Kε0(x0)

K1/nk(xnk

)

2. Schritt: (i) ⇒ (ii) seien A 6= ∅ (folgen)kompakt, Uαα∈I offene Überdeckung; wählen ε > 0 aus (3);

sei x1 ∈ A =⇒(3)∃ α1 ∈ I : Kε(x1) ⊂ Uα1 ;

wählen x2 ∈ A \Kε(x1) y d(x2, x1) ≥ ε, ∃ α2 ∈ I : Kε(x2) ⊂ Uα2 ;

Iteration y wählen xn ∈ A\n−1⋃

k=1

Kε(xk) y mink 6=i

d(xk, xi) ≥ ε, ∃ α1, . . . , αn ∈ I :n⋃

k=1

Kε(xk) ⊂n⋃

k=1

Uαk;

g.z.z.: ∃ m ∈ N : A \m⋃

k=1

Kε(xk) = ∅ (Folge bricht ab)

indirekt, Annahme: ∀ m ∈ N : A \m⋃

k=1

Kε(xk) 6= ∅ y ∃ (xk)k∈N ⊂ A : d(xi, xk) ≥ ε > 0, i 6= k

y ∃ (xk)k∈N ⊂ A : (xk)k∈N hat keine konvergente Teilfolge zu A kompakt

y ∃ m ∈ N : A ⊂m−1⋃

k=1

Kε(xk) ⊂m−1⋃

k=1

Uαk

3. Schritt: (ii) ⇒ (iii) sei M ⊂ A unendlich, z.z.: M hat Häufungspunkt in A

indirekt, Annahme: M hat keinen Häufungspunkt in A ====⇒M = M

M abgeschlossen,

∀ m ∈M ∃ εm > 0 : M ∩Kεm(m) = m y M ⊂⋃

m∈M

Kεm(m) ⊂ X

X \M offen y A ⊂ (X \M) ∪⋃

m∈M

Kεm(m) =:⋃

α∈IM

Uα offene Überdeckung

=⇒(ii)∃ Uαini=1 ⊂ Uαα∈IM : A ⊂

n⋃

i=1

Uαi y #x ∈ X : x ∈ A ∩M ≤ n <∞

4. Schritt: (iii) ⇒ (i) sei (xk)k ⊂ A beliebige Folge

falls #xk : k ∈ N <∞ (nur endlich viele verschiedene Werte) y es existiert eine konvergente Teilfolge

falls #M = xk : k ∈ N =∞ ==⇒(iii)∃ x0 Häufungspunkt für (xk)k y ∃ (xkl

)l∈N ⊂ (xk)k∈N : xkl−−−→l→∞

x0

Bemerkung : ausreichend zur Bezeichnung: A kompakt

Folgerung 1.14 Seien [X, d] metrischer Raum, und X kompakt. Dann ist X separabel.

Be w e i s : betrachten offene Überdeckung von X mit Uα = K1/j(x), α = x ∈ X = I, j ∈ N fest

y ∀ j ∈ N : X ⊂⋃

x∈X

K1/j(x) =====⇒Satz 1.13

∀ j ∈ N ∃ xjknj

k=1 ⊂ X : X ⊂nj⋃

k=1

K1/j(xjk) (4)

1.1 Grundbegriffe 15

g.z.z.: M := xjk, j ∈ N, k = 1, . . . , nj ⊂ X abzählbare dichte Teilmenge in X

M dicht: seien x ∈ X, ε > 0, wählen j0 > 1ε =⇒

(4)x ∈ X ⊂

nj0⋃

k=1

K1/j0(xj0k )

y ∃ k ∈ 1, . . . , nj0 : x ∈ K1/j0(xj0k ) y d(x, xj0k ) <

1

j0< ε

Definition 1.15 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X.

(i) Die Menge A heißt präkompakt genau dann, wenn für jede Folge in A eine (in X) konvergente Teilfolgeexistiert.

(ii) Sei ε > 0. M ⊂ X heißt ε-Netz für A, falls A ⊂ ⋃x∈M Kε(x) gilt.

Folgerung 1.16 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X.

(i) A kompakt ⇐⇒ A abgeschlossen und präkompakt.

(ii) A präkompakt =⇒ A beschränkt.

Be w e i s : zu (i): folgt unmittelbar aus Definitionen, bis auf: A kompakt ⇒ A abgeschlossen:

sei (an)n∈N ⊂ A konvergente Folge, limn→∞

an = a ∈ X y g.z.z.: a ∈ A

(an)n∈N ⊂ A ======⇒A kompakt

∃ (ank)k∈N ⊂ (an)n∈N : lim

k→∞ank∈ A =======⇒

lim eindeutiga = lim

n→∞an = lim

k→∞ank∈ A

zu (ii): A präkompakt =⇒(i)

A beschränkt, für x0 ∈ X gilt A ⊂⋃

n∈N

Kn(x0)

=====⇒Satz 1.13

∃ m ∈ N : A ⊂m⋃

k=1

Knk(x0) ⊂ Knmax(x0), nmax = max

k=1,...,mnk y A ⊂ Knmax(x0)

Bemerkung : A endlich =====⇒Satz 1.13

A kompakt =====⇒Folg. 1.16

A präkompakt & abgeschlossen

Satz 1.17 Seien [X, d] ein vollständiger metrischer Raum, A ⊂ X. Dann ist A präkompakt genau dann,wenn für jedes ε > 0 ein endliches ε-Netz für A existiert.

Be w e i s : 1. Schritt: =⇒ sei ε > 0 y A ⊂⋃

a∈A

Kε(a) y A ist ε-Netz für A; analog zum 2. Schritt

des Beweises von Satz 1.13 folgt: ∃ m ∈ N, a1, . . . , am ⊂ A : A ⊂m⋃

j=1

Kε(aj)

2. Schritt: ⇐=sei (xj)j ⊂ A beliebig, o.B.d.A. xj 6= xk für j 6= k; konstruieren Teilfolge (xjk )k mit xjk −−−−→

k→∞x ∈ X

ε = 1 y ∃ y1, . . . , ym : xj : j ∈ N ⊂m⋃

k=1

K1(yk) y ∃ yk1 , Teilfolge (x1j )j ⊂ (xj)j mit x1j 6= x1l , j 6= l :

(x1j )j∈N ⊂ K1(yk1)

ε = 12 y ∃ yk2 , Teilfolge (x2j )j ⊂ (x1j )j mit x2j 6= x2l , j 6= l : (x2j )j∈N ⊂ K1/2(yk2)

...ε = 1

n y ∃ ykn , Teilfolge (xnj )j ⊂ (xn−1j )j mit xnj 6= xnl , j 6= l : (xnj )j∈N ⊂ K1/n(ykn)

16 1 Banachräume

betrachten Diagonalfolge (xjj)j , Teilfolge von (xj)j : ∀ j ≥ n : xjj ∈ K1/n(ykn)

y d(xjj , xll) ≤ d(xjj , ykn) + d(ykn , x

ll) <

2

n, j, l ≥ n

y (xjj)j Cauchy-Folge in X =======⇒X vollständig

∃ x ∈ X : xjj −−−→j→∞

x

Bemerkung : für =⇒ Vollständigkeit von [X, d] nicht notwendig (1. Schritt)

Folgerung 1.18 Seien [X, d] metrischer Raum, A ⊂ X. Dann ist A präkompakt genau dann, wenn für jedesε > 0 ein präkompaktes ε-Netz für A existiert.

Be w e i s : =⇒ A präkompakt =====⇒Satz 1.17

∀ ε > 0 ∃ Mε endliches ε-Netz für A =====⇒Bem. s.o.

Mε präkom-

paktes ε-Netz

⇐= Seien ε > 0 und Mε präkompaktes ε-Netz für A; Satz 1.17 y ∃ Nε endliches ε-Netz für Mε y Nε

ist endliches 2ε-Netz für A =====⇒Satz 1.17

A präkompakt

Beispiel : betrachten Standardbasis E = ej = (

j−1︷ ︸︸ ︷0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . . ), j ∈ N ⊂ ℓ1(N)

y E beschränkt in ℓ1(N), aber E nicht präkompakt, da∥∥ej − ek

∥∥1= 2, j 6= k y es kann keine

konvergente Teilfolge geben

analog für ℓ2(N), ℓ∞(N), c0(N), . . .

Lemma 1.19 A ⊂ ℓ1(N) präkompakt genau dann, wenn A beschränkt ist und supa∈A

∞∑

j=n

|aj | −−−−→n→∞

0 gilt.

Be w e i s : =⇒ A präkompakt =====⇒Folg. 1.16

A beschränkt;

sei ε > 0 =====⇒Satz 1.17

∃ m1, . . . ,mr ⊂ ℓ1(N) endliches ε-Netz für A;

mj ∈ ℓ1(N) y ∀ j = 1, . . . , r ∃ nj(ε) :

∞∑

k=nj

|mjk| < ε ==⇒

max∃ nε ∀ j = 1, . . . , r :

∞∑

k=nε

|mjk| < ε

sei a ∈ A y∞∑

k=n

|ak| ≤∞∑

k=n

|ak −mjk|

︸ ︷︷ ︸∃j: ≤‖a−mj‖1<ε

+

∞∑

k=n

|mjk|

︸ ︷︷ ︸<ε, n≥nε

< 2ε, n ≥ nε ========⇒a ∈ A beliebig

supa∈A

∞∑

k=n

|ak| < 2ε, n ≥ nε

⇐= sei (ak)k∈N Folge in A, konstruieren in ℓ1(N) konvergente Teilfolge

A beschränkt y (ak)k∈N beschränkt in ℓ1(N) y (akj )k∈N ⊂ K beschränkt für j ∈ N; verwenden Satz von

Bolzano6-Weierstraß7: j = 1 y ∃ (a1,k)k∈N ⊂ (ak)k∈N, b1 ∈ K : a1,k1 −−−−→k→∞

b1

j = 2 y ∃ (a2,k)k∈N ⊂ (a1,k)k∈N, b2 ∈ K : a2,k2 −−−−→k→∞

b2, a2,k1 −−−−→

k→∞b1

...j = m y ∃ (am,k)k∈N ⊂ (am−1,k)k∈N, bm ∈ K : am,k

l −−−−→k→∞

bl, l = 1, . . . ,m

betrachten Diagonalfolgen (dk)∞k=r = (ak,k)∞k=r ⊂ (ar,k)∞k=r, r ∈ N, Teilfolgen von (ak)k∈N ⊂ A;

r ∈ N y dkr = ar,lkr −−−−→lk→∞

br, d.h. ∀ ε > 0, n ∈ N ∃ k0 = k0(ε, n) ∀ k ≥ k0 : |dkr − br| <ε

2n

y ∀ ε > 0, n ∈ N ∃ m0 = m0(ε, n) ∀ k ≥ m ≥ m0 : |dkr − dmr | <ε

n6Bernhard Bolzano (∗ 5.10.1781 Prag † 18.12.1848 Prag)7Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (∗ 31.10.1815 Ostenfelde/Westfalen † 19.2.1897 Berlin)

1.1 Grundbegriffe 17

y ‖dk − dm‖1 =∞∑

r=1

|dkr − dmr | =n−1∑

r=1

|dkr − dmr |︸ ︷︷ ︸<ε, k≥m≥m0

+∞∑

r=n

|dkr − dmr |︸ ︷︷ ︸

≤2 supc∈A

∞∑

j=n

|cj |<2ε, n≥n0

< 3ε für k ≥ m ≥ m0

y (dk)k Cauchyfolge in ℓ1(N) ==========⇒ℓ1(N) vollständig

(dk)k konvergent

Übung I-8 : Beweisen Sie, dass eine Menge A ⊂ c0(N) genau dann präkompakt ist, wenn es eine Nullfolge(xn)n∈N gibt, so dass für alle (an)n∈N ∈ A gilt: |an| ≤ xn, n ∈ N.

1.1.4 Endlich-dimensionale Vektorräume

Beispiele : • Kn, dimKn = n

• Pn =p(x) =

n∑

j=0

ajxj , aj ∈ K

Raum der algebraischen Polynome mit deg(p) ≤ n;

dimPn = n+ 1, Basis 1, x, . . . , xn

• Tn =t(x) =

n∑

k=−n

ckeikx, ck ∈ K

Raum der trigonometrischen Polynome mit

deg(t) ≤ n; dim Tn = 2n+ 1, Basis eikx, k = −n, . . . , n

Bemerkung : • alternative Darstellung von Tn mit cos(kx), sin(kx), k = 0, . . . , n

• lineare Algebra: V Vektorraum über K mit dimV = n ⇐⇒ V ≃ Kn isomorph (d.h.es existiert ein bijektiver, linearer Endomorphismus)

Definition 1.20 Sei X ein linearer Vektorraum. Zwei Normen ‖ · ‖1 und ‖ · ‖2 heißen äquivalent auf X falls

∃ c1 > 0, c2 > 0 ∀ x ∈ X : c1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ c2‖x‖1.

Bemerkung : Äquivalente Normen erzeugen gleichen Konvergenzbegriff und gleiche Topologie, d.h. A offenbzgl. d1 ∼ ‖ · ‖1 ⇐⇒ A offen bzgl. d2 ∼ ‖ · ‖2

Lemma 1.21 Sei [X, ‖ · ‖X] normierter Vektorraum über K, x1, . . . , xn linear unabhängig. Dann existiertein c > 0, so dass für alle a ∈ Kn gilt

‖a|ℓn1‖ =n∑

j=1

|aj | ≤ c∥∥∥

n∑

j=1

ajxj

∥∥∥X.

Be w e i s : betrachten g : Kn → X, g(x) =n∑

j=1

ajxj y g linear und stetig; sei ξ = maxk=1,...,n

‖xk‖X

y ‖g(a)‖X ≤n∑

j=1

|aj |‖xj‖X ≤ ξ‖a|ℓn1‖, a ∈ Kn

betrachten Sn1 = a ∈ Kn : ‖a|ℓn1‖ = 1 ⊂ Kn y Sn

1 beschränkt und abgeschlossen in Kn ⇐⇒ Sn1

kompakt in Kn ====⇒g stetig

g(Sn1 ) ⊂ X kompakt ======⇒

‖ · ‖X stetig‖g(a)‖X : a ∈ Sn

1 kompakt in R

===========⇒Satz vom Minimum

∃ γ := min‖g(a)‖X : ‖a|ℓn1‖ = 1 (5)

γ > 0, denn: γ = 0 ⇐⇒ ∃ a0 ∈ Kn, ‖a0|ℓn1‖ = 1,n∑

j=1

a0jxj = 0 ========⇒xi lin. unabh.

a01 = · · · = a0n = 0

18 1 Banachräume

sei a ∈ Kn, a 6= 0 ya

‖a|ℓn1‖∈ Sn

1

=⇒(5)

γ ≤∥∥∥∥g(

a

‖a|ℓn1‖

)∥∥∥∥X

=∥∥∥

n∑

j=1

aj‖a|ℓn1‖

xj

∥∥∥X⇐⇒ γ ‖a|ℓn1‖ ≤

∥∥∥n∑

j=1

ajxj

∥∥∥X

===⇒γ > 0

‖a|ℓn1‖ ≤ c∥∥∥

n∑

j=1

ajxj

∥∥∥X

mit c =1

γ

Satz 1.22 Sei X ein Vektorraum über K mit dimX = n.

(i) Alle Normen auf X sind untereinander äquivalent.

(ii) X ist isomorph zum Raum Kn (bei geeigneter Normierung).

(iii) X ist vollständig und separabel.

Be w e i s : 1. Schritt: betrachten [X, ‖ · ‖X], mit ‖ · ‖X beliebig, dimX = n, Basis x1, . . . , xnbetrachten

‖x‖1 = ‖a|ℓn1‖ =n∑

j=1

|aj | für x =

n∑

j=1

ajxj , a ∈ Kn

y ‖ · ‖1 Norm auf X,

=======⇒Lemma 1.21

∃ c = c−11 > 0 : ‖x‖1 ≤

1

c1‖x‖X ≤

n∑

j=1

|aj |‖xj‖X ≤ maxj=1,...,n

‖xj‖X‖x‖1 =: c2‖x‖1

y ‖ · ‖1 ∼ ‖ · ‖X auf X für beliebige ‖ · ‖X y (i)

2. Schritt: betrachten [X, ‖ · ‖1] und [Kn, ‖ · |ℓn1‖], setzen

L : X −→ Kn, x =n∑

j=1

ajxj 7−→ Lx = (a1, . . . , an)

y L linear, surjektiv, isometrisch, da ‖Lx|ℓn1‖ = ‖a|ℓn1‖ = ‖x‖1 y bijektiv y (ii)

3. Schritt: [Kn, ‖ · |ℓn1‖] vollständig y X = L−1(Kn) vollständig (da L Isometrie)

M =x ∈ X : ∃ (a1, . . . , an) ∈ Qn : x =

n∑j=1

ajxj

abzählbar, dicht in X y X separabel y (iii)

Satz 1.23 (Riesz8)

Sei [X, ‖ · ‖X] ein normierter Vektorraum über K. Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) X ist endlich-dimensional.

(ii) Jede beschränkte Menge ist präkompakt.

(iii) Die abgeschlossene Einheitskugel in X,

UX = K1(0) = x ∈ X : ‖x‖X ≤ 1

ist kompakt.

8Frigyes (Frederic) Riesz (∗ 22.1.1880 Györ † 28.2.1956 Budapest)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 19

B e w e i s : (i) ⇒ (ii) folgt aus Isomorphie mit [Kn, ‖ · |ℓn1‖] und entsprechender Aussage für Kn

(ii) ⇒ (iii) folgt aus Folg. 1.16(i)

(iii) ⇒ (i) sei UX kompakt =====⇒Satz 1.13

∃ y1, . . . , ym ∈ X : UX ⊂m⋃

j=1

K1/2(yj), setzen Y := spany1, . . . , ym

y Y ⊆ X linearer abgeschlossener Teilraum, dimY ≤ m y g.z.z.: X = Y

indirekt, Annahme: Y ( X y ∃ x0 ∈ X \Y y dist (x0,Y) = infy∈Y‖x0− y‖X = d > 0 (da Y abgeschlossen)

=⇒inf∃ y0 ∈ Y : 0 < d ≤ ‖x0 − y0‖X ≤

3

2d (6)

sei z0 =x0 − y0‖x0 − y0‖X

∈ X y z0 ∈ UX y ∃ yj ∈ Y : ‖z0 − yj‖X <1

2

y x0 = y0 + ‖x0 − y0‖X z0 = y0 + ‖x0 − y0‖X yj︸ ︷︷ ︸=:u∈Y

+‖x0 − y0‖X (z0 − yj)

y ‖x0 − y0‖X ‖z0 − yj‖X︸ ︷︷ ︸< 1

2

= ‖x0 − u‖X ≥ infy∈Y‖x0 − y‖X = d y ‖x0 − y0‖X > 2d zu (6)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume

1.2.1 Die Räume ℓp

Definition 1.24 Für 0 < p <∞ definiert man

ℓp(N) =a = (aj)

∞j=1 ⊂ K,

∞∑

j=1

|aj |p <∞, ‖a‖p =

( ∞∑

j=1

|aj |p)1/p

,

und

ℓ∞(N) =a = (aj)

∞j=1 ⊂ K, sup

j∈N

|aj | <∞, ‖a‖∞ = sup

j∈N

|aj |.

Bemerkung : in Kn betrachtet man analog ℓnp , 0 < p ≤ ∞: ‖a|ℓnp‖ =

( n∑

j=1

|aj |p)1/p

, p <∞

supj=1,...,n

|aj |, p =∞

Lemma 1.25 (Young9sche Ungleichung)

Sei für 1 < p <∞ die Zahl p′ durch 1p + 1

p′ = 1 definiert. Dann gilt für alle p ∈ (1,∞),

xy ≤ xp

p+yp

′

p′, x, y ≥ 0.

9William Henry Young (∗ 20.10.1863 London † 7.7.1942 Lausanne)

20 1 Banachräume

Be w e i s : siehe ÜS I-1; z.B.

xy ≤∫ x

0

tp−1 dt

︸ ︷︷ ︸1px

p

+

∫ y

0

u1

p−1 du

︸ ︷︷ ︸p−1p y

pp−1

=xp

p+yp

′

p′

dap

p− 1= p′

y

0

f(t) = tp−1

x

Satz 1.26 (Hölder10sche Ungleichung)

Sei für 1 < p < ∞ die Zahl p′ durch 1p + 1

p′ = 1 definiert, für p = 1 setzt man p′ = ∞. Dann gilt für allep ∈ [1,∞) und a, b ∈ Kn,

∣∣∣n∑

k=1

akbk

∣∣∣ ≤n∑

k=1

|ak||bk| ≤( n∑

k=1

|ak|p) 1

p

( n∑

k=1

|bk|p′) 1

p′

für p > 1, p′ <∞,

supk=1,...,n

|bk| für p = 1, p′ =∞.

Be w e i s : p = 1, p′ =∞ klar; o.B.d.A. p > 1, a 6= 0, b 6= 0

setzen αk =ak‖a|ℓnp‖

, βk =bk‖b|ℓnp′‖

yn∑

k=1

|αk|p =

n∑

k=1

|βk|p′

= 1

=======⇒Lemma 1.25

∣∣∣n∑

k=1

αkβk

∣∣∣ ≤n∑

k=1

|αk||βk| ≤1

p

n∑

k=1

|αk|p +1

p′

n∑

k=1

|βk|p′

=1

p+

1

p′= 1

========⇒·‖a|ℓnp‖‖b|ℓ

np′‖

∣∣∣n∑

k=1

akbk

∣∣∣ ≤ ‖a|ℓnp‖‖b|ℓnp′‖

Satz 1.27 (Minkowski11sche Ungleichung)

Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Dann gilt für alle a, b ∈ Kn,

( n∑

k=1

|ak + bk|p) 1

p ≤( n∑

k=1

|ak|p) 1

p

+( n∑

k=1

|bk|p) 1

p

.

Be w e i s : p = 1 und p =∞ (mit sup statt∑

) klar; o.B.d.A. 1 < p <∞n∑

k=1

|ak + bk|p ≤n∑

k=1

|ak + bk|p−1(|ak|+ |bk|) =n∑

k=1

|ak + bk|p−1

︸ ︷︷ ︸γk

|ak|+n∑

k=1

|ak + bk|p−1

︸ ︷︷ ︸γk

|bk|

≤Hölder

( n∑

k=1

γp

p−1

k︸ ︷︷ ︸|ak+bk|p

) p−1p( n∑

k=1

|ak|p) 1

p

+( n∑

k=1

γp

p−1

k︸ ︷︷ ︸|ak+bk|p

) p−1p( n∑

k=1

|bk|p) 1

p

=p

p−1 = p′

( n∑

k=1

|ak + bk|p) 1

p′

︸ ︷︷ ︸o.B.d.A. > 0

[( n∑

k=1

|ak|p) 1

p

+( n∑

k=1

|bk|p) 1

p

]

10Otto Ludwig Hölder (∗ 22.12.1859 Stuttgart † 29.8.1937 Leipzig)11Hermann Minkowski (∗ 22.6.1864 Alexotas/Russland † 12.1.1909 Göttingen)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 21

y( n∑

k=1

|ak + bk|p) 1

p ≤( n∑

k=1

|ak|p) 1

p

+( n∑

k=1

|bk|p) 1

p

Bezeichnungen:

c(N) = a ∈ ℓ∞(N) : ∃ a ∈ K : limj→∞

aj = a ⊂ ℓ∞(N) konvergente Folgen; abgeschlossener Teilraum

c0(N) = a ∈ ℓ∞(N) : limj→∞

aj = 0 ⊂ c(N) Nullfolgen; abgeschlossener Teilraum

c00(N) = a ∈ ℓ∞(N) : ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : aj = 0 ⊂ c0(N) Teilraum, nicht abgeschlossen

Satz 1.28 (i) Die Räume [ℓp(N), ‖ · ‖p], 1 ≤ p ≤ ∞, sind Banachräume. Für 1 ≤ p < ∞ ist ℓp(N)separabel, ℓ∞(N) ist nicht separabel.

(ii) A ⊂ ℓp(N), 1 ≤ p <∞, ist genau dann präkompakt, wenn A beschränkt ist und zusätzlich gilt

supa∈A

∞∑

j=n

|aj |p −−−−→n→∞

0.

(iii) Die Räume [c(N), ‖ · ‖∞] und [c0(N), ‖ · ‖∞] sind abgeschlossene, separable Teilräume von ℓ∞(N).

Be w e i s : zu (i):

• ‖ · ‖p Norm auf ℓp(N): Dreiecksungleichung folgt aus Minkowski-Ungleichung, Satz 1.27 mit n→∞• Vollständigkeit von [ℓp(N), ‖ · ‖p]: für p = 1 und p =∞ in Folg. 1.7, für 1 < p <∞ analoger Beweis

• Separabilität: für ℓ1(N) in Beispiel nach Def. 1.8, analog für 1 < p < ∞; ℓ∞(N) nicht separabel: sieheÜA I-5

zu (ii): analog zu Lemma 1.19 für p = 1

zu (iii): c0(N) abgeschlossener Teilraum, separabel: Beispiel (b) nach Def. 1.8

analog für c(N): sei (an)n ⊂ c(N) ⊂ ℓ∞(N) mit an −−−−→n→∞

a ∈ ℓ∞(N); z.z.: a ∈ c(N)

an ∈ c(N) y ∃ bn ∈ K : anj −−−→j→∞

bn, n ∈ N; g.z.z.: aj −−−→j→∞

b = limn→∞

bn

b = limn→∞

bn existiert: |bn − bm| ≤ |bn − ank |︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k1

+ |ank − amk |︸ ︷︷ ︸≤‖an−am‖∞

+ |amk − bm|︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k2

< 3ε, m > n ≥ n0

y (bn)n Cauchy-Folge in K =======⇒K vollständig

∃ b ∈ K : b = limn→∞

bn

n.z.z.: limj→∞

aj = b: |aj − b| ≤ |aj − anj |︸ ︷︷ ︸≤‖a−an‖∞<ε,n≥n0

+ |anj − bn|︸ ︷︷ ︸<ε, j≥j0(n0,n1,ε)

+ |bn − b|︸ ︷︷ ︸<ε, n≥n1

< 3ε, j ≥ j0

analog zur Argumentation für ℓ1(N) y c(N) separabel

Lemma 1.29 Seien x, y ≥ 0, 0 < p <∞. Dann gilt

(x+ y)p ≤2p−1(xp + yp), 1 ≤ p <∞,xp + yp ≤ 21−p(x+ y)p, 0 < p ≤ 1.

Be w e i s : o.B.d.A. x, y > 0 y äquivalente Aussage für t > 0:

(1 + t)p ≤2p−1(1 + tp), 1 ≤ p <∞1 + tp ≤ 21−p(1 + t)p, 0 < p ≤ 1

22 1 Banachräume

o.B.d.A. p 6= 1; betrachten g(t) =(1 + t)p

1 + tpy lim

t↓0g(t) = lim

t→∞g(t) = 1, g(1) = 2p−1

g′(t) = p(1 + t)p−1

(1 + tp)2(1− tp−1) y g′(t) = 0 ⇐⇒ t = 1

y g hat lokales Minimum in t = 1 für 0 < p < 1 bzw. lokales Maximum in t = 1 für 1 < p < ∞, d.h. füralle t > 0 gilt

1 ≤ g(t) ≤ 2p−1, 1 ≤ p <∞2p−1 ≤ g(t) ≤ 1, 0 < p ≤ 1

⇐⇒1 + tp ≤ (1 + t)p ≤ 2p−1(1 + tp), 1 ≤ p <∞2p−1(1 + tp) ≤ (1 + t)p ≤ 1 + tp, 0 < p ≤ 1

Bemerkung : Beweis mittels Jensen12scher Ungleichung:

f(x) = xp

konvex, p ≥ 1

konkav, p ≤ 1=⇒

f

(x+ y

2

)≤ f(x) + f(y)

2, p ≥ 1

f

(x+ y

2

)≥ f(x) + f(y)

2, p ≤ 1

=⇒(x+ y)p ≤ 2p−1(xp + yp), p ≥ 1

(x+ y)p ≥ 2p−1(xp + yp), p ≤ 1

Folgerung 1.30 (i) Sei 0 < p < q ≤ ∞. Dann gilt

ℓp(N) ⊂ ℓq(N) mit ‖a‖q ≤ ‖a‖p für alle Folgen a = (ak)k∈N ⊂ K.

(ii) Seien 0 < p < 1 und a = (ak)k∈N, b = (bk)k∈N ∈ ℓp(N). Dann gilt für a+ b = (ak + bk)k∈N,

‖a+ b‖p ≤ 21p−1 (‖a‖p + ‖b‖p) ,

‖a+ b‖pp ≤ ‖a‖pp + ‖b‖pp.

Be w e i s : zu (i): sei n ∈ N y( n∑

k=1

|ak|q) 1

q

=

( ( n∑

k=1

|ak|q) p

q

︸ ︷︷ ︸≤

n∑

k=1

|ak|p, p<q

) 1p

≤Lemma 1.29

( n∑

k=1

|ak|p) 1

p ≤ ‖a‖p

n→∞ y ‖a‖q ≤ ‖a‖pzu (ii): folgt unmittelbar aus Lemma 1.29

Bemerkung : Eine Abbildung ‖ · ‖ : X → R+, die Definition 1.1(i),(ii) genügt, aber anstelle von Definiti-on 1.1(iii) nur erfüllt

∃ c > 1 ∀ x, y ∈ X : ‖x+ y‖ ≤ c (‖x‖+ ‖y‖) ,

heißt Quasinorm, und [X, ‖ · ‖] quasinormierter Raum; falls anstelle von Definition 1.1(iii) gilt

∃ ∈ (0, 1] ∀ x, y ∈ X : ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖,

so nennt man ‖ · ‖ eine -Norm, und [X, ‖ · ‖] -normierten Raum. Ist [X, ‖ · ‖] vollständigbezüglich dieser Quasi- bzw. -Norm, so nennt man [X, ‖·‖] einen Quasi- bzw. -Banachraum.

Es gilt: ‖ ·‖ ist -Norm y ‖ ·‖ Quasinorm. Für jede Quasinorm ‖ ·‖ existiert eine äquivalente-Norm ‖·‖ für passendes ∈ (0, 1], siehe z.B. [Köt60, §15.10], [DL93, Chapter 2, Thm. 1.1].

12Johan Ludwig William Valdemar Jensen (∗ 8.5.1859 Nakskov/Dänemark † 5.3.1925 Kopenhagen)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 23

Folgerung 1.31 ℓp(N) ist für 0 < p < 1 ein Quasi-Banachraum bzw. ein p-Banachraum.

1.2.2 Räume stetiger Funktionen

Definition 1.32 Seien [X, d] ein metrischer Raum und [Y, ‖ · ‖Y] ein normierter Raum. Dann ist

B(X,Y) = f : X→ Y : f beschränkt auf X

der Raum der (Y-wertigen) beschränkten Funktionen,

C(X,Y) = f : X→ Y : f stetig auf X

der Raum der (Y-wertigen) stetigen Funktionen, und

UCB(X,Y) = f ∈ B(X,Y) : f gleichmäßig stetig auf X

der Raum der (Y-wertigen) gleichmäßig stetigen und beschränkten Funktionen, versehen mit der Norm

‖f‖∞ = ‖f |B(X,Y)‖ = ‖f |C(X,Y)‖ = supx∈X

‖f(x)‖Y.

Bemerkung : Schreibweise für Y = K: B(X,K) = B(X), C(X,K) = C(X), UCB(X,K) = UCB(X)

Satz 1.33 Seien [X, d] ein metrischer Raum und [Y, ‖ · ‖Y] ein Banachraum.

(i) [B(X,Y), ‖ · |B(X,Y)‖] ist ein Banachraum.

(ii) [C(X,Y) ∩ B(X,Y), ‖ · ‖∞] ist ein abgeschlossener Teilraum von B(X,Y).

(iii) [UCB(X,Y), ‖ · ‖∞] ist ein abgeschlossener Teilraum von B(X,Y) bzw. von C(X,Y) ∩ B(X,Y).

Be w e i s : zu (i): analog zu Satz 1.6 (mit X = A, Y = K)zu (ii): sei (fj)j Cauchy-Folge in C(X,Y)∩B(X,Y) y (fj)j Cauchy-Folge in B(X,Y) =⇒

(i)∃ f ∈ B(X,Y) :

‖fj − f‖∞ −−−→j→∞

0; sei ε > 0 y ∃ j0 ∀ j ≥ j0 : ‖fj − f‖∞ < ε sei x0 ∈ X

y ‖f(x)− f(x0)‖Y ≤ ‖f(x)− fj(x)‖Y︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε

+‖fj(x) − fj(x0)‖Y + ‖fj(x0)− f(x0)‖Y︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε

< 2ε+ ‖fj(x) − fj(x0)‖Y︸ ︷︷ ︸<ε,d(x,x0)<δ(ε,x0,j)

< 3ε für d(x, x0) < δ(x0, ε)

y f ∈ C(X,Y) ∩ B(X,Y)

zu (iii): analog zum Beweis von (ii), gleichmäßige Stetigkeit von fj benutzen

Bemerkung : falls [X, d] kompakter metrischer Raum y UCB(X,Y) = C(X,Y) ∩ B(X,Y) = C(X,Y)

speziell: Y = K, Ω ⊂ Rn offen, beschränkt y X = Ω kompakt y UCB(Ω) = C(Ω)

jetzt: Ω ⊂ Rn offen, betrachten C(Ω), UCB(Ω) bezüglich ihrer stetigen Fortsetzungen, d.h.

UCB(Ω) = UCB(Ω) in dem Sinne, dass

f ∈ UCB(Ω) 99K f |Ω ∈ UCB(Ω)

g ∈ UCB(Ω) 99K ∃ ! f ∈ UCB(Ω) : f |Ω = g

24 1 Banachräume

Schreibweise: analog zu X = Ω schreibt man für Ω ⊂ Rn offen: C(Ω) = C(Ω,K), UCB(Ω) = UCB(Ω,K)

Bemerkung : bei obiger Interpretation gilt für Ω ⊂ Rn offen, beschränkt:

UCB(Ω) = UCB(Ω) = C(Ω)

Definition 1.34 Für eine offene Menge Ω ⊂ Rn setzt man

C(Ω) = UCB(Ω).

Bemerkung : • Satz 1.33(iii) y [C(Ω), ‖ · ‖∞] Banachraum

• Ω ⊂ Rn offen und beschränkt y C(Ω) = C(Ω) (bei entsprechender Interpretation)

Rechtfertigung der Bezeichnung: sei u ∈ C(Ω) = UCB(Ω), z.z.: u ∈ C(Ω), d.h. fürξ ∈ ∂Ω y u (eindeutig) stetig fortsetzbar in ξ

sei ξ ∈ ∂Ω y ∃ (xk)k ⊂ Ω : d(xk, ξ) −−−−→k→∞

0 y (xk)k Cauchyfolge in

Ω ====⇒u stetig

∃ k0 ∀ k, l ≥ k0(δ(ε)) : d(xk, xl) < δ y |u(xk)−u(xl)| < ε y (u(xk))k

Cauchyfolge in K =======⇒K vollständig

∃ η ∈ K : u(xk) −−−−→k→∞

η =: u(x)

Unabhängigkeit von der Auswahl der Folge: sei (yk)k ⊂ Ω, yk −−−−→k→∞

ξ, u(yk) −−−−→k→∞

η

u gleichmäßig stetig in Ω y |u(xk)− u(yk)| < ε für d(xk, yk) < δ(ε)

y |η − η| ≤ |η − u(xk)|︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k0

+ |u(xk)− u(yk)|︸ ︷︷ ︸<ε, d(xk,yk)<δ(ε)

+ |u(yk)− η|︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k1

< 3ε für k ≥ k2 y η = η

Übung I-13 : Für a > 0 und I ⊂ R kompakt heißt f : I → K Lipschitz13- (bzw. Hölder-) stetig mit Ordnunga > 0, falls gilt ∃ M > 0 ∀ h ∈ R ∀ x, x+ h ∈ I : |f(x+ h)− f(x)| ≤ M |h|a.Man definiert Lipa(I) als die Menge aller f ∈ C(I), für die

‖f‖Lipa(I) = supy∈I|f(y)| + sup

h 6=0,x,x+h∈I

|f(x+ h)− f(x)||h|a

endlich ist. Es gilt:

• Lipa(I), 0 < a ≤ 1, ist mit ‖ · ‖Lipa ein Banachraum.

• C1[0, 1] ( Lipa[0, 1] ( C[0, 1], 0 < a ≤ 1

Definition 1.35 Sei [X, d] ein kompakter metrischer Raum. Eine Teilmenge A ⊂ C(X) heißt gleichgradigstetig, falls

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ X, d(x, y) < δ : supf∈A|f(x)− f(y)| < ε.

Beispiel : (a) Lipa[0, 1], 0 < a < 1, A = f ∈ Lipa[0, 1] : ‖f‖Lipa(I) < 1 gleichgradig stetig in C[0, 1]:

f ∈ A y |f(x)− f(y)| < |x− y|a < ε für |x− y| < δ = ε1/a

13Rudolf Otto Sigismund Lipschitz (∗ 14.5.1832 Königsberg † 7.10.1903 Bonn)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 25

Beispiele : (b) C([0, 1],R), A = f ∈ C([0, 1],R) : 0 = f(0) ≤ f(t) ≤ f(1) = 1, t ∈ [0, 1] nichtgleichgradig stetig:

wählen ε0 = 12 , δ ∈ (0, 1) beliebig, x0 = 1, y0 = 1 − δ

2 , f0(s) = sn0 mit n0 = n0(δ) so,dass (1− δ

2 )n0 < 1

2 y ∃ ε0 > 0 ∀ δ ∈ (0, 1) ∃ x0, y0 ∈ [0, 1], |x0−y0| < δ ∃ f0 ∈ A :

|f0(x0)− f0(y0)| = 1− (1− δ

2)n0 >

1

2= ε0

analog: A = xn : n ∈ N ⊂ C([0, 1],R) nicht gleichgradig stetig in C([0, 1],R)

(c) C([0, 1],R), A = xγ : 0 < γ ≤ 1 ⊂ C([0, 1],R) nicht gleichgradig stetig (ÜA I-16)

Satz 1.36 (Arzelà14-Ascoli15)

Sei [X, d] ein kompakter metrischer Raum. Dann ist A ⊂ C(X) präkompakt genau dann, wenn A beschränktund gleichgradig stetig ist.

Be w e i s : =⇒ A präkompakt =====⇒Satz 1.17

A beschränkt, ∀ ε > 0 ∃ Mε endliches ε-Netz für A

seien ε > 0, Mε = f1, . . . , fm ⊂ C(X) ======⇒glm. stetig

∃ δ = minj=1,...,m

δj(ε) ∀ x, x′ ∈ X, d(x, x′) < δ :

maxj=1,...,m

|fj(x)− fj(x′)| < ε

seien x, x′ ∈ X mit d(x, x′) < δ, f ∈ A

|f(x)− f(x′)| ≤ |f(x)− fj(x)|︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε, j=j(f)

+ |fj(x) − fj(x′)|︸ ︷︷ ︸<ε, d(x,x′)<δ

+ |fj(x′)− f(x′)|︸ ︷︷ ︸<‖f−fj‖∞<ε, j=j(f)

< 3ε

========⇒f ∈ A beliebig

supf∈A|f(x)− f(x′)| < 3ε y A gleichgradig stetig

⇐= sei (fk)k ⊂ A, z.z.: ∃ (gr)r ⊂ (fk)k konvergente Teilfolge

sei ε > 0, wählen δ aus Definition 1.35 y ∀ x, y ∈ X, d(x, y) < δ ∀ k ∈ N : |fk(x) − fk(y)| < ε

[X, d] kompakt =====⇒Folg. 1.14

∃ M = xj , j ∈ N ⊂ X mit M = X y X =⋃

j∈NKδ(xj)

======⇒X kompakt

∃ m ∈ N : X =

m⋃

j=1

Kδ(xj)

(fk(xj))k ⊂ K, j ∈ N beschränkt, wenden iterativ Satz von Bolzano-Weierstraß an:

y ∃ (f1k )k ⊂ (fk)k ∃ y1 ∈ K : f1

k (x1) −−−−→k→∞

y1

∃ (f2k )k ⊂ (f1

k )k ∃ y2 ∈ K : f2k (x2) −−−−→

k→∞y2

...∃ (f r

k )k ⊂ (f r−1k )k ∃ yr ∈ K : f r

k (xr) −−−−→k→∞

yr

sei (gr)r Diagonalfolge, (gr)r = (f rr )r y (gr)

∞r=l ⊂ (f l

r)∞r=1, l ∈ N y gr(xl) −−−→

r→∞yl, l = 1, . . . ,m

C(X) vollständig y g.z.z.: (gr)r Cauchy-Folge in C(X), d.h. ‖gr − gj‖∞ < ε für r, j ≥ j0(ε)

Wahl von δ = δ(ε) > 0, (gr)r ⊂ (fk)k y ∀ x, y ∈ X, d(x, y) < δ ∀ j ∈ N : |gj(x)− gj(y)| < ε

sei x ∈ X =m⋃

k=1

Kδ(xk) =⇒ ∃ k ∈ 1, . . . ,m ∀ j ∈ N : |gj(x)− gj(xk)| < ε (7)

14Cesare Arzelà (∗ 6.3.1847 La Spezia/Italien † 15.3.1912 La Spezia/Italien)15Giulio Ascoli (∗ 20.1.1843 Trieste † 12.7.1896 Milano)

26 1 Banachräume

gj(xk) −−−→j→∞

yk, k = 1, . . . ,m y ∃ j0 = j0(ε) ∀ j, r ≥ j0 ∀ k = 1, . . . ,m : |gj(xk)− gr(xk)| < ε (8)

y |gj(x) − gr(x)| ≤ |gj(x) − gj(xk)|︸ ︷︷ ︸<ε, (7)

+ |gj(xk)− gr(xk)|︸ ︷︷ ︸<ε, (8), j,r≥j0

+ |gr(xk)− gr(x)|︸ ︷︷ ︸<ε, (7)

< 3ε

==⇒sup

‖gj − gr‖∞ ≤ 3ε, j, r ≥ j0

y (gr)r ⊂ C(X) Cauchyfolge =========⇒C(X) vollständig

(gr)r konvergent

Bemerkung : wesentlich: [X, d] kompakt

betrachten u(x) =

x, x ∈ [0, 12 ]

1− x, x ∈ [ 12 , 1]

0, sonst

y u ∈ Lip1, |u(x)− u(y)| ≤ |x− y|; 1 212

12 u2u1

u = u0

betrachten uk(x) = u(x − k), k ∈ N0 y A = uk : k ∈ N0 ⊂ C(R), A beschränkt undgleichgradig stetig, aber A nicht präkompakt, da ‖uk − ul‖∞ = 1, k 6= l

Beispiele : (a) Lipa[0, 1], 0 < a < 1, A = f ∈ Lipa[0, 1] : ‖f‖Lipa(I) < 1 präkompakt in C[0, 1]

(b) C([0, 1],R), A = f ∈ C([0, 1],R) : 0 = f(0) ≤ f(t) ≤ f(1) = 1, t ∈ [0, 1] beschränkt,nicht präkompakt in C([0, 1],R)

betrachten jetzt C(X) nicht nur als normierten Vektorraum, sondern als Algebra

Definition 1.37

(i) Eine Algebra A ist eine Menge, auf der Addition und Multiplikation definiert sind, und die unter diesenOperationen abgeschlossen ist.

(ii) Eine Subalgebra (Unteralgebra) U ⊂ A einer Algebra A ist eine Teilmenge von A, die unter Additionund Multiplikation abgeschlossen ist.

Beispiele : • A Unteralgebra der Algebra C(X) ⇐⇒ A Teilraum, sowie ∀ f, g ∈ A : fg ∈ A

• P =⋃

n Pn algebraische Polynome (beliebiger Ordnung) y P Unteralgebra von C(I)

• Pn ⊂ C(I) Subalgebra von C(I) ⇐⇒ n = 0

Übung I-17 : Zeigen Sie, dass für eine Algebra A ⊂ C(X) stets gilt A Algebra.

Satz 1.38 (Stone16-Weierstraß)

Seien [X, d] ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X,R) eine Unteralgebra mit den Eigenschaften

(i) A ist punktetrennend, d.h.

∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ f ∈ A : f(x) 6= f(x′)

(ii) 1 ∈ A

Dann ist A dicht in C(X,R).

16Marshall Harvey Stone (∗ 8.4.1903 New York † 9.1.1989 Madras)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 27

Bemerkung : • A dicht in C(X) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∀ f ∈ C(X) ∃ a ∈ A : ‖f − a‖∞ < ε ⇐⇒ A = C(X)

• Forderung (i) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig : sei A nicht punktetren-nend, d.h.

∃ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∀ a ∈ A : a(x) = a(x′)

sei jetzt f ∈ C(X) mit f(x) 6= f(x′)17 y

0 < |f(x)− f(x′)| ≤ |f(x)− a(x)|+ |a(x)− a(x′)|︸ ︷︷ ︸0

+|f(x′)− a(x′)| ≤ 2 ‖f − a‖∞

=⇒inf

dist (f,A) = infa∈A

‖f − a‖∞ ≥ 1

2|f(x)− f(x′)| > 0

y A nicht dicht in C(X)

noch einige Vorbereitungen vor dem Beweis von Satz 1.38

Lemma 1.39 Ein Vektorraum V ⊂ C(X,R) mit 1 ∈ V ist genau dann punktetrennend, wenn es zubeliebigen x, x′ ∈ X mit x 6= x′, und y, y′ ∈ R eine Funktion f ∈ V gibt, so dass gilt

f(x) = y, f(x′) = y′.

Be w e i s : ⇐= klar=⇒ seien jetzt x, x′ ∈ X, x 6= x′, y, y′ ∈ R gegeben, g.z.z. : ∃ f ∈ V : f(x) = y, f(x′) = y′

V punktetrennend =⇒(ii)∃ g ∈ V : g(x) 6= g(x′), setzen f(t) := y′

g(t)− g(x) · 1(t)g(x′)− g(x) + y

g(t)− g(x′) · 1(t)g(x)− g(x′)

Lemma 1.40 Es existiert eine Folge von Polynomen (pn)n∈N0 , für die gilt

pn(0) = 0, n ∈ N0, sowie limn→∞

sup|x|≤1

∣∣∣pn(x)− |x|∣∣∣ = 0.

Be w e i s∗ : ÜA I-12; betrachten z.B. induktiv definierte Folge

p0 ≡ 0, pn+1(x) = pn(x) +1

2

(x2 − p2n(x)

)= pn(x) +

1

2(|x| − pn(x)) (|x|+ pn(x)) , n ∈ N0

man kann (mittels vollständiger Induktion) zeigen: 0 ≤ pn(x) ≤ |x|, n ∈ N0, |x| ≤ 1, sowie

|x| − pn+1(x) = (|x| − pn(x))(1− |x|+ pn(x)

2

)

︸ ︷︷ ︸≤ 2+n|x|

2+(n+1)|x|

≤ (|x| − pn(x))2 + n|x|

2 + (n+ 1)|x|

≤ (|x| − pn−1(x))2 + n|x|

2 + (n+ 1)|x|2 + (n− 1)|x|

2 + n|x|...≤ (|x| − p0(x))︸ ︷︷ ︸

|x|

2 + n|x|2 + (n+ 1)|x|

2 + (n− 1)|x|2 + n|x| · · · 2

2 + |x|︸ ︷︷ ︸

22+(n+1)|x|

=2|x|

2 + (n+ 1)|x| ≤2

n+ 1−−−−→n→∞

0

17Existenz von f : x ∈ V , x′ ∈ V ′, V ∩ V ′ = ∅, o.B.d.A. V, V ′ ⊂ X abgeschlossen, f(y) :=dist (y, V )

dist (y, V ) + dist (y, V ′)y f(x) = 0, f(x′) = 1; i.a. : Lemma von Urysohn, siehe z.B. [Köt60, §6.4]

28 1 Banachräume

Bezeichnungen : seien f, g ∈ C(X,R) =⇒ |f |, max(f, g), min(f, g) ∈ C(X,R), gegeben durch

|f |(x) = |f(x)|, max(f, g)(x) = maxf(x), g(x), min(f, g)(x) = minf(x), g(x), x ∈ X

Lemma 1.41 Sei A ⊂ C(X,R) eine Unteralgebra zu C(X,R) mit 1 ∈ A.

(i) f ∈ A =⇒ |f | ∈ A

(ii) f, g ∈ A =⇒ max(f, g) ∈ A, min(f, g) ∈ A

(iii) Sei F ⊂ A eine endliche Teilmenge, dann gilt max f : f ∈ F ∈ A, min f : f ∈ F ∈ A

Be w e i s : zu (i) : sei f ∈ A, o.B.d.A. f 6= 0 mit ‖f‖∞ = 1 (sonst g = ‖f‖−1∞ f betrachten); verwenden

Lemma 1.40 mit h(x) = |x| auf [−1, 1]

y ∃ (pn)n, pn ∈ P : ‖pn − h‖∞glm.−−−−→n→∞

0; f ∈ A ====⇒Algebra

pn(f) ∈ A

y∥∥∥pn(f)− |f |︸︷︷︸

h(f)

∥∥∥∞

= supx∈X

|pn (f(x))− h (f(x))| ≤ξ = f(x)

sup|ξ|≤‖f‖∞=1

|pn(ξ)− h(ξ)|︸ ︷︷ ︸

‖pn−h‖∞

Lemma 1.40−−−−−−−→n→∞

0

======⇒pn(f) ∈ A

|f | ∈ A

zu (ii), (iii) : max(f, g) =f + g + |f − g|

2, min(f, g) =

f + g − |f − g|2

außerdem : A Algebra ====⇒ÜA -17

A Algebra =⇒(i)

(ii) ==⇒Ind.

(iii)

B e w e i s : (von Satz 1.38)

sei f ∈ C(X,R), z.z.: f ∈ A =========⇒A abgeschlossen

g.z.z. : ∀ ε > 0 ∃ aε ∈ A : ‖aε − f‖∞ < ε

seien ε > 0, x, ξ ∈ X, x 6= ξ =======⇒Lemma 1.39

∃ hx,ξ ∈ A ⊂ C(X,R) : hx,ξ(x) = f(x), hx,ξ(ξ) = f(ξ)

setzenΩx,ξ :=

y ∈ X : hx,ξ(y) < f(y) +

ε

2

⊂ X, x, ξ ∈ X

y x, ξ ⊂ Ωx,ξ, Ωx,ξ offen (als Urbild offener Mengen unter stetigen Funktionen), und

X ⊇⋃

ξ∈X, ξ 6=x

Ωx,ξ ⊇⋃

ξ∈X, ξ 6=x

x, ξ︸ ︷︷ ︸

X

=⇒ X︸︷︷︸

kompakt

=⋃

ξ∈X, ξ 6=x

Ωx,ξ

︸︷︷︸offen

, x ∈ X

=====⇒Satz 1.13

∀ x ∈ X ∃ Fx ⊂ X, #Fx <∞ : X =⋃

ξ∈Fx

Ωx,ξ

setzen hx := minhx,ξ : ξ ∈ Fx, x ∈ X =========⇒Lemma 1.41(iii)

hx ∈ A, hx(y) ≤ f(y) +ε

2, x, y ∈ X

definieren jetzt

Ωx :=y ∈ X : hx(y) > f(y)− ε

2

⊂ X, x ∈ X

y x ∈ Ωx, Ωx offen, und

X ⊇⋃

x∈X

Ωx ⊇⋃

x∈X

x︸ ︷︷ ︸

X

=⇒ X︸︷︷︸

kompakt

=⋃

x∈X

Ωx

︸︷︷︸offen

=⋃

x∈F

Ωx für ein F ⊂ X, #F <∞

mit aε := maxhx : x ∈ F =========⇒Lemma 1.41(iii)

aε ∈ A, aε(y) ≥ f(y)− ε

2, y ∈ X

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 29

y f(y)− ε < aε(y) < f(y) + ε, y ∈ X ⇐⇒ ‖f − aε‖∞ < ε

Schreibweise: Multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 , |α| =

n∑

i=1

αi, ξα = ξα11 · · · ξαn

n , ξ ∈ Rn

Folgerung 1.42 Sei Ω ⊂ Rn offen, beschränkt. Dann liegt die Menge aller reellen Polynome

P =⋃

m∈N0

Pm =p(x) =

m∑

|α|=0

aαxα, aα ∈ R, m ∈ N0, α ∈ Nn

0

dicht in C(Ω,R).

Be w e i s : X = Ω, P ⊂ C(X,R) Unteralgebra aller reellen Polynome mit

• 1P = p0 ∈ P , p0(x1, . . . , xn) ≡ 1

• x, ξ ∈ Ω ⊂ Rn, x 6= ξ y ∃ j ∈ 1, . . . , n : xj 6= ξj ; setzen f := pj ∈ P mit pj(y1, . . . , yn) = yj ,j = 1, . . . , n

y P punktetrennend =====⇒Satz 1.38

P dicht in C(Ω,R)

Bemerkung : auch PQ =p(x) =

m∑

|α|=0

aαxα, aα ∈ Q, m ∈ N0, α ∈ Nn

0

dicht in C(Ω,R)

speziell für n = 1, Ω = [a, b] klassisches Resultat:

Folgerung 1.43 (Weierstraß 1885)Sei f ∈ C[a, b]. Dann existiert eine Polynomfolge (pn)n, die gleichmäßig auf [a, b] gegen f konvergiert.

Bemerkung : zahlreiche verschiedene Beweise, konstruktiver Beweis mit Bernstein18-Polynomen Bnf ∈ Pn,n ∈ N0, gegeben für f : [0, 1] −→ R als

(Bnf) (x) =n∑

k=0

(n

k

)f

(k

n

)xk(1− x)n−k, x ∈ [0, 1]

siehe ÜA -18

Beispiel : Seien X = R ∪ ∞ (1-Punkt-Kompaktifizierung), und

C(X,R) =

f ∈ C(R) : −∞ < lim

x→∞f(x) = lim

x→−∞f(x) <∞

,

A =

g ∈ C(X,R) : ∃ p(x) ∈ P ∃ n ∈ N0 : g(x) =

p(x)

(1 + x2)n

„rationale Funktionen“

y A ⊂ C(X,R) Unteralgebra,

(i) 1A = g0 ∈ A, g0 ≡ 1 =p0

(1 + x2)0

(ii) x, ξ ∈ X, x 6= ξ, A ∋ f(y) :=

y

1 + y2, xξ 6= 1 ∧ (x, ξ) 6= (0,∞)

1− y21 + y2

, xξ = 1 ∨ (x, ξ) = (0,∞)

y A punktetrennend =====⇒Satz 1.38

A dicht in C(X,R)

18Sergi Natanovich Bernstein (∗ 5.3.1880 Odessa † 26.10.1968 Moskau)

30 1 Banachräume

Satz 1.44 (Stone-Weierstraß)

Seien X ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X,C) eine Unteralgebra mit den Eigenschaften

(i) A ist punktetrennend,

(ii) 1 ∈ A,

(iii) f ∈ A =⇒ f ∈ A.

Dann ist A dicht in C(X,C).

Be w e i s : sei f ∈ A ==⇒(iii)

f ∈ A y ℜe f, ℑm f ∈ A; sei AR = ℜe g : g ∈ A ∪ ℑmh : h ∈ A

y AR Unteralgebra von C(X,R), 1 ∈ AR, punktetrennend

=====⇒Satz 1.38

∃ (gj)j ⊂ AR, (hj)j ⊂ AR : ‖gj −ℜe f‖∞ −−−→j→∞0, ‖hj −ℑm f‖∞ −−−→j→∞

0

===========⇒fj = gj + ihj , (iii)

∃ (fj)j ∈ A : ‖fj − f‖∞ −−−→j→∞0

Bezeichnungen: C2π(K) =

f : R −→ K, f stetig, 2π − periodisch, ‖f‖∞ = sup

x∈R

|f(x)| <∞

Folgerung 1.45 Die Menge der trigonometrischen Polynome

T =⋃

m∈N0

Tm =t(x) =

m∑

k=−m

akeikx, ak ∈ C, m ∈ N0

ist dicht in C2π(C).

Be w e i s : sei X = S1 = z ∈ C : |z| = 1, A =h(z) =

m∑

k=−m

akzk, ak ∈ C, m ∈ N0

⊂ C(X,C),

1 ∈ A, punktetrennend (da id ∈ A),

h ∈ A y h(z) =

m∑

k=−m

akzk y h(z) =

m∑

k=−m

ak zk︸︷︷︸|z|kz−k

=|z| = 1

m∑

k=−m

akz−k y h ∈ A

=====⇒Satz 1.44

A dicht in C(X,C); betrachten natürliche Isomorphie

f ∈ C(X,C) ←→ f ∈ C2π(C), f(eix)

= f(x), x ∈ R; h ∈ A ←→ h ∈ T

y T dicht in C2π(C)

Folgerung 1.46 Die Menge der trigonometrischen Polynome

TR =t(x) =

a02

+

m∑

k=1

(ak cos(kx) + bk sin(kx)) , ai, bi ∈ R, m ∈ N0

ist dicht in C2π(R).

Be w e i s : analog zum Beweis von Folg. 1.45 mit A = span cos(kx), sin(kx), k ∈ N0 ⊂ C2π(R)

1.2 Funktionenräume und Folgenräume 31

Bemerkung : konstruktive Beweise u.a. mit Fejér19-Polynomen Fnf oder de la Valleé-Poussin20-PolynomenVnf :

Fnf =1

n

n−1∑

k=0

Sk[f ], bzw. Vnf =1

n

2n−1∑

k=n

Sk[f ], f ∈ C2π(R), n ∈ N,

mit den Fourier21-Partialsummen

Sn[f ](x) =a0(f)

2+

n∑

k=1

(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx)) , x ∈ [−π, π],

und ak(f) =1

π

π∫

−π

f(x) cos(kx) dx, bk(f) =1

π

π∫

−π

f(x) sin(kx) dx, k ∈ N0

1.2.3 Räume differenzierbarer Funktionen

Schreibweise: Multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn0 , |α| =

n∑

i=1

αi, Dα =∂|α|

∂α1x1 . . . ∂

αnxn

in Abschnitt 1.2.2: C(Ω,K) = C(Ω), C(Ω), C(Ω); setzen C(Ω) = C0(Ω)

Definition 1.47 Seien Ω ⊂ Rn offen, m ∈ N0.

(i) Cm(Ω) = f : Ω→ K : ∀ α ∈ Nn0 , |α| ≤ m ∃ Dαf ∈ C(Ω); C∞(Ω) =

⋂

m∈N0

Cm(Ω)

(ii) Für f : Rn → K nennt man supp f = x ∈ Rn : f(x) 6= 0 Träger der Funktion f . Man setzt

C∞0 (Ω) = f ∈ C∞(Ω) : supp f ⊂ Ω kompakt .

(iii) Cm(Ω) = f ∈ Cm(Ω) : ∀ α ∈ Nn

0 , |α| ≤ m : Dαf beschränkt und gleichmäßig stetig

‖f‖Cm(Ω) =

∑

|α|≤m

‖Dαf‖∞

(iv) Für Ω ⊂ Rn beschränkt und offen setzt man

Cm(Ω) =

f ∈ C(Ω) : ∀ α ∈ Nn

0 , |α| ≤ m ∃ stetige Fortsetzung von Dαf auf Ω

Bemerkung : analog zu früheren Betrachtungen: Cm(Ω) = Cm(Ω) für Ω ⊂ Rn offen, beschränkt

Satz 1.48 Seien Ω ⊂ Rn offen, m ∈ N0. Dann ist Cm(Ω) mit der Norm ‖ · ‖

Cm(Ω) ein Banachraum.

Be w e i s : sei (fk)k ⊂ Cm(Ω) Cauchyfolge y ∀ α ∈ Nn

0 , |α| ≤ m : (Dαfk)k ⊂ C(Ω) Cauchyfolge=======⇒Satz 1.33(iii)

C(Ω) vollständig y ∀ α ∈ Nn0 , |α| ≤ m ∃ fα ∈ C(Ω) : ‖Dαfk − fα‖∞ −−−−→k→∞

0

sei f = f(0,...,0); g.z.z.: Dαf = fα, α ∈ Nn0 , |α| ≤ m

19Lipót Fejér (∗ 9.2.1880 Pécs (Ungarn) † 15.10.1959 Budapest)20Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Valleé-Poussin (∗ 14.8.1866 Louvain / Belgien † 2.3.1962 Louvain)21Jean Baptiste Joseph Fourier (∗ 21.3.1768 Auxerre, Bourgogne/Frankreich † 16.5.1830 Paris)

32 1 Banachräume

sei α1 = (1, 0, . . . , 0) y Dα1fk =∂fk∂x1

===⇒k→∞

fα1

fk(x01 + h, x2, . . . , xn)− fk(x01, x2, . . . , xn)

h

︸ ︷︷ ︸⇓ k → ∞

=1

h

x01+h∫

x01

∂fk∂x1

(s, x2, . . . , xn) ds

︸ ︷︷ ︸⇓ k → ∞

f(x01 + h, x2, . . . , xn)− f(x01, x2, . . . , xn)h

=1

h

x01+h∫

x01

fα1(s, x2, . . . , xn) ds

===⇒h → 0

∂f

∂x1(x01, x2, . . . , xn) = fα1(x

01, x2, . . . , xn) existiert 99K Iteration

Beispiel : betrachten

ω(x) :=

c e

− 11−|x|2 , |x| < 1,

0, |x| ≥ 1,x ∈ Rn, (9)

mit c =( ∫

K1(0)

e− 1

1−|x|2 dx)−1

y∫

Rn

ω(x) dx = 1,

supp ω = x ∈ Rn : |x| ≤ 1

Beh. : ω(x) ∈ C∞0 (Rn)

Rn

ω(x)ce−1

0

∂ω(x)

∂xj= c e

− 11−|x|2

−2xj(1− |x|2)2

99K · · · 99K Dγω(x) = c e− 1

1−|x|2

Polynom︷ ︸︸ ︷pγ(x)

(1− |x|2)2|γ|, γ ∈ Nn

0

lim|x|↑1

Dγω(x) = lim|x|↑1

e− 1

1−|x|2c pγ(x)

(1− |x|2)2|γ|=

t = 11−|x|2

limt→∞

e−t t2|γ| pγ(t) = 0

c

ω(x)

ωh(x)

Rn1 0 1

sei jetzt h > 0, setzen

ωh(x) :=1

hnω(xh

), x ∈ Rn (10)

supp ω = x ∈ Rn : |x| ≤ 1 = K1(0)

y supp ωh = y ∈ Rn : |y| ≤ h = Kh(0)

y ωh ∈ C∞0 (Rn),

∫

Rn

ωh(x) dx =1

hn

∫

Rn

ω(xh

)dx

=y = x

h

∫

Rn

ω(y) dy = 1

Lemma 1.49 Seien Ω ⊂ Rn offen und Γ ⊂ Ω kompakt. Dann gibt es ein ϕ ∈ C∞0 (Rn) mit suppϕ ⊂ Ω,

ϕ(x) = 1 für x ∈ Γ, und 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1, x ∈ Ω.

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 33

B e w e i s : seien 0 < ε < 12dist (Γ, ∂Ω), Γε = y ∈ Rn : dist (Γ, y) ≤ 2ε kompakt y Γ ⊂ Γε ⊂ Ω

Γ ⊂⋃

x∈Γ

Kε(x) =====⇒Satz 1.13

∃ x1, . . . , xm ∈ Γ : Γ ⊂m⋃

j=1

Kε(xj) ⊂ Γε ⊂ Ω

sei ω gegeben durch (9)

y ψ(x) =

m∑

j=1

ω

(x− xjε

)∈ C

∞0 (Rn), suppψ ⊂

m⋃

j=1

Kε(xj) ⊂ Γε ⊂ Ω,

Ω

Γ

Γε

x ∈ Γ y ∃ j ∈ 1, . . . ,m : x ∈ Kε(xj) y ψ(x) > ω

(x− xjε

)> 0 y h0 = min

x∈Γψ(x) > 0

betrachten auf R: ωh(· − h), h > 0, mit ωh aus (10)

suppωh = [−h, h] y suppωh(· − h) = [0, 2h],∫

R

ωh(t− h) dt =∫ 2h

0

ωh(t− h) dt = 1; setzen

ηh(t) =

∫ t

0

ωh(s− h) ds, t > 0,

0, t ≤ 0,

y ηh ∈ C∞(R), supp ηh ⊂ [0,∞), mit ηh(t)

= 1 t ≥ 2h,

∈ [0, 1], 0 < t < 2h,

= 0, t ≤ 0 2h

ηh1

0

ϕ1

Γ Ω

Ω

Γ

Rn

setzen

ϕ = ηh0/2 ψ : Rn → [0, 1] y ϕ ∈ C∞(Rn)

x ∈ Γ y ψ(x) ≥ miny∈Γ

ψ(y) = h0 > 0 y ηh0/2(ψ(x)) = 1

x ∈ Ω \ Γε ⊂ Rn \ Γε y ψ(x) = 0 y ηh0/2(ψ(x)) = 0

y ϕ ∈ C∞0 (Rn), suppϕ ⊂ Γε ⊂ Ω, ϕ(x)

= 1 x ∈ Γ,

∈ [0, 1], x ∈ Γε,

= 0, x ∈ Ω \ Γε

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω)

1.3.1 Maße und messbare Funktionen

Definition 1.50 Sei Ω 6= ∅ eine beliebige Menge. Ein System von Teilmengen A von Ω heißt σ-Algebra,falls gelten

(i) Ω ∈ A, ∅ ∈ A

(ii) A ∈ A y Ω \A ∈ A

(iii) (Ak)k∈N ⊂ A y⋃

k∈N

Ak ∈ A

Bemerkung : • sei (Ak)k∈N ⊂ A =⇒(ii)

(Ω \Ak)k∈N ⊂ A ==⇒(iii)

⋃

k∈N

(Ω \Ak) = Ω \⋂

k∈N

Ak ∈ A

=⇒(ii)

⋂

k∈N

Ak ∈ A

• Potenzmenge P(Ω) ist σ-Algebra

34 1 Banachräume

Definition 1.51 Sei A eine σ-Algebra über Ω. Eine Abbildung µ : A→ [0,∞] heißt Maß auf A, falls gelten

(i) µ(∅) = 0

(ii) Für alle Mengen Ak ∈ A, k ∈ N, mit Ak ∩ Aj = ∅, k 6= j, gilt

µ( ⋃

k∈N

Ak

)=

∞∑

k=1

µ(Ak).

Jedes A ∈ A heißt (µ−)messbare Menge, das Tripel [Ω,A, µ] nennt man Maßraum.

Bemerkung : • µ(A) =∞ möglich

• aus (ii) folgt Monotonie: seien A,B ∈ A mit A ⊂ B y B \A = B ∩ (Ω \A) ∈ A

=⇒(ii)

µ(B) = µ(A) + µ(B \A)︸ ︷︷ ︸≥0

≥ µ(A)

Definition 1.52 Sei [Ω,A, µ] ein Maßraum.

(i) µ heißt σ-endliches Maß, falls es ein System (Ak)k∈N ⊂ A gibt mit

µ(Ak) <∞, k ∈ N, und Ω =⋃

k∈N

Ak.

In diesem Fall nennt man [Ω,A, µ] einen σ-endlichen Maßraum.

(ii) µ heißt endliches Maß, falls µ(Ω) <∞ gilt.

(iii) µ heißt vollständig, falls für alle N ∈ A mit µ(N) = 0 und alle A ⊂ N folgt A ∈ A. In diesem Fallnennt man [Ω,A, µ] einen vollständigen Maßraum.

Bemerkung : wegen der Monotonie impliziert (iii) unmittelbar 0 ≤ µ(A) ≤ µ(N) = 0, d.h. µ(A) = 0

Beispiel : Ω = N, A = P(N), µ = ν Zählmaß, d.h. ν(A) = #A = card(A) y [N,P(N), ν] vollständigerσ-endlicher Maßraum

wichtigstes Beispiel hier: Lebesgue22-Maß auf Rn

Definition 1.53 Eine Menge B ⊂ Rn heißt Borel-Menge, falls B durch abzählbar viele Mengenoperationen(Vereinigung, Durchschnitt, Komplementbildung) offener Mengen entstanden ist.

Bezeichnung: seien a, b ∈ Rn mit aj < bj , j = 1, . . . , n

Q =n¡

j=1

(aj , bj) = (a1, b1)× · · · × (an, bn) ⊂ Rn offener Quader (Intervall)

Lemma 1.54 (i) Die Familie der Borelmengen Bn ist die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Teilmengendes Rn enthält.

(ii) Eine offene Menge Ω ⊂ Rn ist die abzählbare Vereinigung einer Folge offener Quader, Ω =⋃

m∈NQm.

Bemerkung : • Darstellung in (ii) nicht eindeutig

• Ein Maß µ auf [Rn,Bn] heißt Borel-Maß.

22Henri Léon Lebesgue (∗ 28.6.1875 Beauvais, Picardie/Frankreich † 26.7.1941 Paris)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 35

Ziel: spezielles Borelmaß λn : Bn → [0,∞] mit

λn(Q) =

n∏

j=1

(bj − aj), Q =n¡

j=1

(aj , bj)

Satz 1.55 Sei Bn die σ-Algebra der Borelmengen auf Rn. Es existiert genau ein σ-endliches Maß λ aufBn, so dass

λ(Q) =n∏

j=1

(bj − aj)

für alle offenen Quader Q =n

j=1

(aj , bj) gilt.

Bemerkung : • elementargeometrisches Volumen∏n

j=1(bj−aj) ist (Lebesguesches) Prämaß, d.h. erfülltEigenschaften (i) und (ii) aus Definition 1.51, aber auf Halbring23H statt σ-Algebra A

• dann: äußeres Maß24 µ∗ : P(X)→ [0,∞]A ⊂ X µ∗-messbar ⇐⇒ ∀ B ⊂ X : µ∗(B) ≥ µ∗(B ∩A) + µ∗(B \A)Satz von Carathéodory25: sei µ∗ : P(X)→ [0,∞] äußeres Maß

y A∗ = A ⊂ X : A µ∗-messbar σ-Algebra, µ∗|A∗Maß

• Fortsetzungssatz: sei µ : H→ [0,∞] Prämaß y µ∗ : P(X)→ [0,∞], gegeben durch

µ∗(A) = inf

∑

k∈N

µ(Ak) : Ak ∈ H, A ⊂⋃

k∈N

Ak

äußeres Maß, alle Mengen aus H sind µ∗-messbar, µ∗|H = µ y µ∗|A∗Fortsetzung von

µ zu Maß auf σ-Algebra, die H umfasst

• speziell: Konstruktion von λ∗ zu λ:

λ∗(Ω) = inf

∑

k∈N

λ(Ωk) : Ω ⊂⋃

k∈N

Ωk, Ωk ∈ Bn

, Ω ⊂ Rn

möglich: Ωk = Qk offene Quader, abgeschlossene Quader, . . .

• [Rn,Bn, λ] nicht vollständig

• Satz26von Hahn27: Jedes Maß besitzt eine kleinste vollständige Erweiterung.

Satz 1.56 Es gibt eine kleinste vollständige Erweiterung [Rn,Ln, λn] von [Rn,Bn, λ], d.h.

(i) [Rn,Ln, λn] ist ein vollständiger, σ-endlicher Maßraum,

(ii) λn setzt λ auf Ln ⊃ Bn fort: ∀ A ∈ Bn : λn(A) = λ(A) ⇐⇒ λn|Bn= λ,

(iii) für alle Maßräume [Rn,A, µ] mit den Eigenschaften (i) und (ii) folgt Ln ⊂ A sowie µ|Ln= λn.

Bezeichnungen: – [Rn,Ln, λn] aus Satz 1.56: Lebesguescher Maßraum, λn Lebesgue-Maß– A ⊂ Rn Lebesgue-messbar ⇐⇒ A ∈ Ln, |A| = λn(A), A ∈ Ln

– N ∈ Ln Lebesguesche Nullmenge ⇐⇒ λn(N) = 0

23∅ ∈ H; A,B ∈ H y A ∩ B ∈ H; A,B ∈ H y ∃ C1, . . . , Cm ∈ H, Cj ∩ Ci = ∅, i 6= j : A \B =⋃m

k=1Ck

24µ∗(∅) = 0, A ⊂ B ⊂ X y µ∗(A) ≤ µ∗(B), (An)n ⊂ X y µ∗(⋃

n An) ≤∑

n µ∗(An)25Constantin Carathéodory (∗ 13.9.1873 Berlin † 2.2.1950 München)26Jedes σ-endliche Prämaß µ0 lässt sich zu einem eindeutig bestimmten vollständigen Maß µ erweitern, das auch σ-endlich ist.27Hans Hahn (∗ 27.9.1879 Wien † 24.7.1934 Wien)

36 1 Banachräume

Satz 1.57 (i) N ⊂ Rn ist eine Lebesguesche Nullmenge genau dann, wenn

∀ ε > 0 ∃ (Qk)k∈N, N ⊂⋃

k∈N

Qk :∑

k∈N

|Qk| < ε

(ii) Jede abzählbare Menge in Rn ist Lebesguesche Nullmenge.

(iii) Das Lebesgue-Maß ist invariant bezüglich Translation und Rotation im Rn:

∀ x0 ∈ Rn ∀ A ∈ Ln ∀ T ∈ O(n) : λn(x0 +A) = λn(A) = λn(Tx : x ∈ A)

(iv) Das Lebesgue-Maß λn ist regulär, d.h.

∀ A ∈ Ln ∃ B ⊂ Rn offen ∃ F ⊂ Rn abgeschlossen : F ⊂ A ⊂ B, λn(B\A) < ε, λn(A\F ) < ε

Bemerkung : • Translationsinvarianz in (iii) charakteristisch: sei µ translationsinvariant auf Ln mitµ((0, 1]n) = 1 y µ = λn

• Verallgemeinerung der Rotationsinvarianz in (iii): sei Φ : Rn → Rn bijektive, affineAbbildung, A ∈ Ln y Φ(A) ∈ Ln, λn(Φ(A)) = | detΦ|λn(A)

Beispiel : seien a1, . . . , an ∈ Rn, V = γ1a1 + · · ·+ γnan, γi ∈ [0, 1] = Φ(Q0) Parallelepiped

Q0 Einheitswürfel, Φ = (a1, . . . , an) : Rn → Rn betrachtet als n× n-Matrix

y vol(V ) = λn(V ) = | det(a1, . . . , an)|

bzw. mittels Gram28-Determinante

g(a1, . . . , an) =

∣∣∣∣∣∣∣

〈a1, a1〉 〈a1, a2〉 · · · 〈a1, an〉...

...〈an, a1〉 〈an, a2〉 · · · 〈an, an〉

∣∣∣∣∣∣∣y vol(V ) =

√g(a1, . . . , an)

Bemerkung : • anstelle von (iv) gilt sogar für A ⊂ Rn: A ∈ Ln genau dann, wenn

∀ ε > 0 ∃ B ⊂ Rn offen, F ⊂ Rn abgeschlossen : F ⊂ A ⊂ B, λn(B \ F ) < ε

• A ∈ Ln y λn(A) = infλn(B) : B ⊃ A, B offen= supλn(F ) : F ⊂ A, F abgeschlossen= supλn(K) : K ⊂ A, K kompakt

• A ∈ A von innen regulär ⇐⇒ µ(A) = supµ(K) : K ⊂ A, K ∈ A, K kompaktA ∈ A von außen regulär ⇐⇒ µ(A) = infµ(B) : A ⊂ B, B ∈ A, B offenA ∈ A regulär ⇐⇒ A von innen & außen regulär; µ regulär ⇐⇒ ∀ A ∈ A : A regulär

• Es gilt Ln ( P(Rn), d.h. ∃ M ⊂ Rn : M /∈ Ln (Vitali 1905)

Bezeichnungen

• charakteristische Funktion χB(x) =

1, x ∈ B0, x 6∈ B

• [Ω,A, µ] vollständig, σ-endlich;Eigenschaft H gilt auf A ⊂ Ω µ-fast überall (µ-f.ü.) ⇐⇒ ∃ N ∈ A, µ(N) = 0 : H gilt auf A \N

28Jorgen Pedersen Gram (∗ 27.6.1850 Nustrup/Dänemark † 29.4.1916 Kopenhagen)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 37

Definition 1.58 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.

(i) Eine Funktion s : A → K heißt einfache Funktion oder Treppenfunktion, falls m ∈ N, αj ∈ K,Aj ∈ A, j = 1, . . . ,m, existieren mit

A ⊂m⋃

j=1

Aj und s(x) =m∑

j=1

αjχA∩Aj(x), x ∈ A.

(ii) Eine Funktion f : A→ K heißt µ-messbar, falls eine Folge von Treppenfunktionen (sk)k∈N existiert,so dass sk −−−−→

k→∞f µ-f.ü. auf A gilt.

Beispiele : (a) [Ω,A, µ] Maßraum, A ⊂ X, α ∈ K \ 0; f = αχAµ-messbar ⇐⇒ A ∈ A

(b) [Ω,A, µ] = [R,L1, λ1]; f(x) =

1, x ∈ [0, 1] ∩Q

0, x ∈ [0, 1] \Q spezielle “Treppenfunktion”

Satz 1.59 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, f : A → K. Folgende Aussagensind äquivalent:

(i) f ist µ-messbar

(ii) Die Urbilder offener Mengen in K unter f sind µ-messbar.

(iii) Die Urbilder von Borelmengen in K unter f sind µ-messbar.

Bezeichnung: f : A→ R y f+ = max(f, 0), f− = −min(f, 0) y f = f+ − f−

Satz 1.60 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.

(i) Für f, g : A→ K µ-messbar sind auch f + g, fg, fg , |f |α für α ∈ R µ-messbar.

(ii) Seien fk : A→ K µ-messbar, k ∈ N, mit fk −−−−→k→∞

f µ-f.ü. Dann ist auch f µ-messbar.

(iii) Für f, g : A→ R µ-messbar sind auch f+, f−, max(f, g) und min(f, g) µ-messbar.

(iv) Für fk : A→ R µ-messbar, k ∈ N, sind supk∈N

fk, infk∈N

fk, lim supk→∞

fk und lim infk→∞

fk µ-messbar.

Satz 1.61 (Egorov29)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A mit µ(A) < ∞, fk : A → K µ-messbar fürk ∈ N. Dann gilt:

fk −−−−→k→∞

f µ-f.ü. auf A ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ Aε ∈ A : µ(A \Aε) < ε ∧ fk ===⇒k→∞

f gleichmäßig auf Aε

Satz 1.62 Seien [Rn,Ln, λn] der Lebesguesche Maßraum, A ⊂ Rn.

(i) Falls f : Rn → K λn-f.ü. stetig ist, so ist f λn-messbar.

(ii) Falls ∂A eine Lebesgue-Nullmenge ist, d.h. ∂A ∈ Ln mit λn(∂A) = 0, so ist A ∈ Ln.

(iii) f : A→ K ist λn-messbar, falls fA λn-f.ü. stetig ist auf Rn, wobei fA =

f, auf A,

0, sonst.

29Dimitri Fedorovich Egorov (∗ 22.12.1869 Moskau † 10.9.1931 Kazan)

38 1 Banachräume

Bemerkung : Satz von Lusin30: Sei f : Rn → K λn-messbar. Dann existieren für alle ε > 0 und A ∈ Ln

eine kompakte Menge K ⊂ A, so dass λn(A \K) ≤ ε gilt, sowie eine stetige Fortsetzung f ,die auf K mit f übereinstimmt.

1.3.2 Das Lebesgue-Integral

Definition 1.63 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.

(i) Für eine einfache Funktion s =m∑j=1

αjχA∩Aj, αj ∈ K, Aj ∈ A, j = 1, . . . ,m, setzt man

∫

A

s(x) dµ =

m∑

j=1

αjµ(A ∩ Aj).

(ii) Eine µ-messbare Funktion f : A→ K heißt µ-integrierbar, falls für eine Folge von Treppenfunktionen(sk)k∈N mit sk −−−−→

k→∞f µ-f.ü. auf A gilt

∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n,m ≥ n0(ε) :

∫

A

|sn(x) − sm(x)| dµ < ε.

Man setzt in diesem Fall ∫

A

f(x) dµ = limn→∞

∫

A

sn(x) dµ

(unabhängig von der Auswahl der Folge (sn)n∈N).

Bemerkung : • seien f = g µ-f.ü. und f µ-integrierbar y g µ-integrierbar,∫Af dµ =

∫Ag dµ

•∫A1 dµ =

∫Adµ = µ(A), A ∈ A

• sei f : Ω→ K µ-messbar y∫Af dµ =

∫Ωfχ

Adµ, falls das Integral existiert

• anderer Zugang:

– zunächst f : A→ [0,∞] µ-messbar y∫

A

f dµ = sup0≤s≤f

∫

A

s dµ, falls existent

– f : A→ R µ-messbar ========⇒f = f+ − f−

∫

A

f dµ =

∫

A

f+ dµ−∫

A

f− dµ

– f : A→ C µ-messbar ===========⇒f = ℜe f + i ℑm f

∫

A

f dµ =

∫

A

ℜe f dµ+ i

∫

A

ℑm f dµ

Beispiel : f(x) =

1, x ∈ [0, 1] ∩Q

0, x ∈ [0, 1] \Q λ1-messbar 99K ∃∫ 1

0

f dλ1 = 0

Satz 1.64 (Lebesgue/Vitali31)

Sei Q ⊂ Rn ein offener Quader. Eine beschränkte Funktion f : Q → K ist Riemann-integrierbar genaudann, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitspunkte eine λn-Nullmenge ist; in diesem Fall gilt

∫

Q

f(x) dx =

∫

Q

f dλn.

30Nikolai Nikolaevich Lusin (∗ 9.12.1883 Irkutsk † 25.2.1950 Moskau)31Guiseppe Vitali (∗ 26.8.1875 Ravenna † 29.2.1932 Bologna)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 39

Geometrische Deutung der beiden Integrale

x1 x2 xn−1a b

U(f,Z)

O(f,Z)

f

Riemann32-Integral∫ b

a

f(x) dx

Zerlegung Z des Integrationsgebietes,

[a, b] =

n⋃

j=1

Ij

mit Ij = [xj , xj+1)

U(f,Z) =n∑

j=1

infx∈Ij

f(x) |Ij |

O(f,Z) =n∑

j=1

supx∈Ij

f(x) |Ij |

falls U(f) = supZ

U(f,Z) = infZO(f,Z) = O(f)

y ∃∫ b

a

f(x) dx = U(f) = O(f)

f

a b

y1

ym

y2

OL(f,ZL)

UL(f,ZL)

A2A1

Lebesgue-Integral∫

[a,b]

f dλ1

Zerlegung ZL des Wertebereiches,[

infx∈[a,b]

f(x), supx∈[a,b]

f(x)

]=

m−1⋃

j=1

[yj , yj+1)

und Aj = x ∈ [a, b] : yj ≤ f(x) < yj+1

UL(f,ZL) =

m−1∑

j=1

yj λ1(Aj)

OL(f,ZL) =

m−1∑

j=1

yj+1 λ1(Aj)

falls UL(f) = supZL

UL(f,ZL) = infZL

OL(f,ZL) = OL(f)

y ∃∫

[a,b]

f dλ1 = UL(f) = OL(f)

Wiederholung: Jordan33-Messbarkeit für Ω ⊂ Rn, Ω beschränkt

S ⊂ Rn Q-Gebiet ⇐⇒ ∃ Q1, . . . , Qm, Qj ∩Qk = ∅, j 6= k :

S =

m⋃

k=1

Qk

setzen |Ω|i = sup |S| : S Q-Gebiet, S ⊆ Ω|Ω|a = inf |T | : T Q-Gebiet, T ⊇ Ω

T

Ω

S

Ω Jordan-messbar ⇐⇒ |Ω|i = |Ω|a = |Ω|(n) Jordan-Inhalt (bzw. Peano34-Inhalt)

⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ Qε Q-Gebiet : ∂Ω ⊂ Qε, |Qε|(n) < ε ⇐⇒ |∂Ω|(n) = 0

⇐⇒ χΩ

bezüglich beliebigem Quader Q ⊃ Ω integrierbar; dann ist∫Q

χΩ(x) dx = |Ω|(n)

Bemerkung : • sei Ω ⊂ Rn Jordan-messbar, f : Ω → K beschränkt ===⇒früher

∃∫Ωf(x) dx Riemann-

Integral; andererseits: Ω Jordan-messbar y Ω ∈ Ln y ∃∫Ωf dλn, es gilt:

∫

Ω

f(x) dx =

∫

Ω

f dλn

• absolut konvergente (uneigentliche) Riemann-Integrale auch identisch mit Lebesgue-Integralen

32Georg Friedrich Bernhard Riemann (∗ 17.9.1826 Hannover † 20.7.1866 Selasca/Italien)33Marie Ennemond Camille Jordan (∗ 5.1.1838 Lyon † 22.1.1922 Paris)34Giuseppe Peano (∗ 27.8.1858 Cuneo/Italien † 20.4.1932 Turin)

40 1 Banachräume

Schreibweise: [Rn,Ln, λn] Lebesguescher Maßraum, A ∈ Ln:∫Af dλn =

∫Af(x) dx

Satz 1.65 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A mit µ(A) > 0.

(i) Für µ-integrierbare Funktionen f, g : A→ K und α, β ∈ K existiert∫A(αf + βg) dµ, es gilt

∫

A

(αf + βg) dµ = α

∫

A

f dµ+ β

∫

A

g dµ

(ii) Für µ-integrierbare Funktionen f, g : A→ R, für die f ≤ g µ-f.ü. gilt, ist∫

A

f dµ ≤∫

A

g dµ.

(iii) f : A→ K ist genau dann µ-integrierbar, wenn |f | : A→ R µ-integrierbar ist; es gilt∣∣∣∫

A

f dµ∣∣∣ ≤

∫

A

|f | dµ

(iv) Sei f : A→ K µ-integrierbar. Dann gilt∫

A

|f | dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-f.ü.

(v) Für eine messbare Funktion f : A→ K und eine µ-integrierbare Funktion g : A→ K, für die |f | ≤ |g|µ-f.ü. gilt, ist auch f µ-integrierbar mit∫

A

|f | dµ ≤∫

A

|g| dµ.

Bemerkung : • insbesondere: f : A→ K µ-integrierbar, g : A→ K messbar mit f = g µ-f.ü.

y g µ-integrierbar,∫

A

f dµ =

∫

A

g dµ

• für Riemann-Integrale keine Äquivalenz in (iii), z.B. f(x) =

1, x ∈ [0, 1] ∩Q

−1, x ∈ [0, 1] \Q

∃∫ 1

0

f dλn = −1, ∃∫ 1

0

|f | dλn = 1 =

∫ 1

0

|f(x)| dx, aber: ∄∫ 1

0

f(x) dx

Beispiele : (a) f(x) =

0, x ∈ [0, 1] \Q1q , x ∈ [0, 1] ∩Q, x = p

q mit minimalem p ∈ N0, q ∈ N

y λ1(Q ∩ [0, 1]) = 0 =====⇒Satz 1.64

f Riemann-integrierbar,

∫ 1

0

f(x) dx =

∫ 1

0

f dλ1 =Satz 1.65(iv)

0

(b) f(x) =sinx

x, x > 0 ====⇒

bekannt∃∫ ∞

0

sinx

xdx, ∄

∫ ∞

0

∣∣∣sinx

x

∣∣∣dx

=====⇒Satz 1.64

∄∫ ∞

0

|f | dλ1 =======⇒Satz 1.65(iii)

∄∫ ∞

0

f dλ1

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 41

Satz 1.66 Sei [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum.

(i) Falls f : Ω→ K µ-integrierbar und A ∈ A sind, so gilt∫

Ω

f dµ =

∫

A

f dµ+

∫

Ω\A

f dµ

(ii) Seien f : Ω→ R µ-integrierbar, A ∈ A, f > 0 auf A sowie∫

A

f dµ = 0. So folgt µ(A) = 0.

Folgerung 1.67 Sei [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum.

(i) Für eine Folge A1 ⊂ A2 ⊂ · · · mit Ω =⋃

k∈N

Ak, Ak ∈ A, gilt∫

Ω

f dµ = limk→∞

∫

Ak

f dµ.

(ii) Seien w : Ω→ [0,∞) µ-integrierbar, A ∈ A. Dann ist ν(A) =∫

A

w dµ ein endliches Maß auf A.

jetzt: Konvergenzsätze ; limk→∞

∫A fk dµ =

∫A lim

k→∞fk dµ ?

Satz 1.68 (Lebesgue)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A → K µ-messbar. Es existiereneine µ-integrierbare Funktion g : A → R, so dass für alle k ∈ N gilt |fk(x)| ≤ g(x) µ-f.ü. in A, sowielimk→∞

fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A. Dann ist f µ-integrierbar auf A, es gilt

limk→∞

∫

A

fk dµ =

∫

A

limk→∞

fk dµ =

∫

A

f dµ.

Bemerkung : Satz von der majorisierten Konvergenz bzw. integrierbaren Majorante

wesentlich: g µ-integrierbar!

betrachten fk(x) =

k, x ∈ [0, 1k ]

0, sonst

y∫ ∞

0

fk(x) dx = 1 =

∫ ∞

0

fk dλ1,

limk→∞

fk(x) = 0 ≡ f λ1-f.ü.

y 1 =

∫ ∞

0

fk(x) dx 6=∫ ∞

0

limk→∞

fk(x) dx = 0

da g nicht λ1-integrierbar15

12

18

13

f3

f5

f4

1

3

1

2

4

5

8

14

f1f2

f8

g

Folgerung 1.69 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, f : A→ K µ-integrierbar,sowie (Ak)k eine Zerlegung von A, d.h. Ak ∈ A, Ak ∩ Aj = ∅, k 6= j, A =

⋃k Ak. Dann gilt

∫

A

f dµ =

∞∑

k=1

∫

Ak

f dµ.

42 1 Banachräume

Beispiel : sei f : [a, b] → K differenzierbar, f ′ beschränkt (nicht notwendig stetig!) y f ′ λ1-integrierbarauf [a, b] mit ∫ b

a

f ′ dλ1 = f(b)− f(a)

denn: fn(x) =f(x+ 1

n )− f(x)1n

−−−−→k→∞

f ′(x) auf [a, b], fn stetig =========⇒Sätze 1.60, 1.62

f ′ λ1-messbar

|fn(x)| =MWS

|f ′(ξ)| ≤M = g(x) =====⇒Satz 1.68

f ′ λ1-integrierbar,

∫ b

a

f ′ dλ1 = limn→∞

∫ b

a

fn(x) dx

= limn→∞

[F (b+ 1

n )− F (a+ 1n )

1n

− F (b)− F (a)1n

]

= limn→∞

[F (b+ 1

n )− F (b)1n

− F (a+ 1n )− F (a)1n

]= F ′(b)− F ′(a) = f(b)− f(a)

Satz 1.70 (B. Levi35)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A → [0,∞) monoton wachsendeFolge µ-integrierbarer Funktionen, für die deren Integralfolge (

∫A fk dµ)k beschränkt ist. Dann existiert

limk→∞

fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A, f ist µ-integrierbar, es gilt

limk→∞

∫

A

fk dµ =

∫

A

limk→∞

fk dµ =

∫

A

f dµ.

Bemerkung : • Satz von der monotonen Konvergenz

• Monotonie wichtig, z.B. [Ω,A, µ] = [R,L1, λ1], fn(x) =1nχ[0,n]

Folgerung 1.71 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A→ R µ-integrierbar

mit fk(x) ≥ 0, sowie∞∑k=1

∫A fk dµ < ∞. Dann konvergiert

∞∑k=1

fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A, f ist

µ-integrierbar, es gilt∞∑

k=1

∫

A

fk dµ =

∫

A

∞∑

k=1

fk dµ =

∫

A

f dµ.

Beispiel : [Ω,A, µ] = [N,P(N), ν] Zählmaß, f : N→ [0,∞] y∫

Ω

f dν =

∞∑

n=1

f(n)

Satz 1.72 (Lemma von Fatou36)Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, fk : A→ R µ-integrierbarer Funktionen mitfk(x) ≥ 0 auf A. Es sei lim inf

k→∞

∫Afk dµ <∞. Dann ist lim inf

k→∞fk(x) µ-f.ü. endlich und µ-integrierbar auf

A, es gilt

lim infk→∞

∫

A

fk dµ ≥∫

A

lim infk→∞

fk dµ.

Existiert insbesondere limk→∞

fk(x) = f(x) µ-f.ü. auf A, so ist f µ-integrierbar, sowie

lim infk→∞

∫

A

fk dµ ≥∫

A

f dµ.

35Beppo Levi (∗ 14.5.1875 Turin † 28.8.1961 Rosario/Argentinien)36Pierre Joseph Louis Fatou (∗ 28.2.1878 Lorient/Frankreich † 10.8.1929 Pornichet/Frankreich)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 43

1.3.3 Die Räume Lp(A, µ)

Definition 1.73 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.

(i) Für 0 < p <∞ definiert man

Lp(A, µ) = f : A→ K : f µ-messbar, |f |p µ-integrierbar über A

sowie

‖f |Lp(A, µ)‖ =(∫

A

|f |p dµ) 1

p

, f ∈ Lp(A, µ).

(ii) Für p =∞ setzt man

L∞(A, µ) = f : A→ K : f µ-messbar, |f | µ-f.ü. beschränkt auf A

sowie

‖f |L∞(A, µ)‖ = inf c > 0 : µ (x ∈ A : |f(x)| > c) = 0 , f ∈ L∞(A, µ).

Bemerkung : (a) f ∈ L∞(A, µ): ess supx∈A

|f(x)| := infA ∋ N ⊂ Aµ(N) = 0

supx∈A\N

|f(x)| wesentliches Supremum

Es gilt: ‖f |L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A

|f(x)|, denn:

sei ε > 0 =⇒inf

µ(x ∈ A : |f(x)| > ‖f |L∞(A, µ)‖ + ε︸ ︷︷ ︸=:N

) = 0

y ∃ N ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0 : supx∈A\

|f(x)| ≤ ‖f |L∞(A, µ)‖+ ε

=⇒inf

ess supx∈A

|f(x)| ≤ ‖f |L∞(A, µ)‖ + ε ==⇒ε ↓ 0

ess supx∈A

|f(x)| ≤ ‖f |L∞(A, µ)‖

umgekehrt: ∀ ε > 0 ∃ Nε ⊂ A,Nε ∈ A, µ(Nε) = 0 : supx∈A\Nε

|f(x)| < ess supx∈A

|f(x)|+ ε

y µ(x ∈ A : |f(x)| > ess supx∈A

|f(x)|+ ε) ≤ µ(Nε) = 0

y ess supx∈A

|f(x)| + ε > ‖f |L∞(A, µ)‖ ==⇒ε ↓ 0

ess supx∈A

|f(x)| ≥ ‖f |L∞(A, µ)‖

(b) f ∈ L∞(A, µ) y ∃ N ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0 : ‖f |L∞(A, µ)‖ = supx∈A\N

|f(x)|:

Definition & (a) y ∀ k ∈ N ∃ Nk ∈ A, Nk ⊂ A, µ(Nk) = 0 :

‖f |L∞(A, µ)‖ ≤ supx∈A\Nk

|f(x)| < ‖f |L∞(A, µ)‖ + 2−k

y ∃ N :=⋃

kNk ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0:

‖f |L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A

|f(x)| ≤ supx∈A\N

|f(x)| ≤ supx∈A\Nk

|f(x)| < ‖f |L∞(A, µ)‖+2−k

====⇒k → ∞

∃N ∈ A, N ⊂ A, µ(N) = 0 : ‖f |L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A

|f(x)| = supx∈A\N

|f(x)|

Problem: für 0 < p ≤ ∞ gilt ‖f |Lp(A, µ)‖ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-f.ü. auf A, d.h. ‖·|Lp(A, µ)‖ keine Norm,sondern nur Halbnorm (bzw. Quasi-Halbnorm für 0 < p < 1) 99K Ausweg: betrachten

N = f : A→ K : f µ-messbar, f = 0 µ-f.ü. auf A ⊂ Lp(A, µ), 0 < p ≤ ∞Teilraum y können Quotientenraum bilden

Lp(A, µ) := Lp(A, µ)/N = [f ] = f +N : f ∈ Lp(A, µ), 0 < p ≤ ∞

44 1 Banachräume

mit Äquivalenzklassen [f ], wobei für g : A→ K µ-messbar gilt

g ∈ [f ] ⇐⇒ f − g ∈ N ⇐⇒ f − g = 0 µ-f.ü. in A

y ∀ f, g ∈ [f ] : ‖f |Lp(A, µ)‖ = ‖g|Lp(A, µ)‖, setzen∥∥[f ]

∣∣Lp(A, µ)∥∥ := ‖g|Lp(A, µ)‖ für ein g ∈ Lp(A, µ), 0 < p ≤ ∞

y∥∥[f ]

∣∣Lp(A, µ)∥∥ = 0 ⇐⇒ f ∈ N ⇐⇒ [f ] = 0

Vereinbarung: Man schreibt meist f ∈ Lp(A, µ) bzw. ‖f‖p := ‖f |Lp(A, µ)‖, 0 < p ≤ ∞, anstelle von

[f ] ∈ Lp(A, µ) bzw. ‖[f ]|Lp(A, µ)‖, muss aber die entsprechende Interpretation (Äquivalenzklassen stattFunktionen, Wahl eines Repräsentanten) beachten

Beispiele : (a) [Ω,A, µ] = [N,P(N), ν], g : N→ K, mit g(n) =: gn 99K g ∼ (gn)n∈N Folge

Bsp. nach Folg. 1.71 99K

∫

Ω

g dν =

∞∑

n=1

gn y Lp(N, ν) = ℓp(N)

(b) [Ω,A, µ] = [Rn,Ln, λn], G ⊆ Rn offen, G ∈ Ln

y Lp(G, λn) =: Lp(G), speziell: Lp(Rn, λn) = Lp(Rn)

Erinnerung: 1 ≤ p ≤ ∞ y p′ gegeben durch 1p + 1

p′ = 1, 1 < p <∞, bzw. p′ =

∞, p = 1

1, p =∞

Satz 1.74 (Hölder- und Minkowski-Ungleichung)

Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A.

(i) Seien 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(A, µ), g ∈ Lp′(A, µ). Dann ist fg ∈ L1(A, µ) mit

‖fg|L1(A, µ)‖ ≤ ‖f |Lp(A, µ)‖ ‖g|Lp′(A, µ)‖.

(ii) Seien 0 < p ≤ ∞, sowie f, g ∈ Lp(A, µ). Dann gilt f + g ∈ Lp(A, µ) sowie

‖f + g|Lp(A, µ)‖ ≤ ‖f |Lp(A, µ)‖ + ‖g|Lp(A, µ)‖, 1 ≤ p ≤ ∞,

bzw.

‖f + g|Lp(A, µ)‖p ≤ ‖f |Lp(A, µ)‖p + ‖g|Lp(A, µ)‖p, 0 < p ≤ 1.

Be w e i s : zu (i): Messbarkeit von fg folgt aus Satz 1.60; o.B.d.A. 1 < p < ∞, f 6≡ 0, g 6≡ 0, sowie‖f |Lp(A, µ)‖ = ‖g|Lp′(A, µ)‖ = 1 (sonst Skalierung)

Lemma 1.25 y |f(x)g(x)| ≤ |f(x)|p

p+|g(x)|p′

p′µ-f.ü. in A ============⇒

Satz 1.65 & Def. 1.73fg µ-integrierbar, d.h.

fg ∈ L1(A, µ), mit∫

A

|f(x)g(x)| dµ(x) ≤ 1

p

∫

A

|f(x)|p dµ(x)︸ ︷︷ ︸‖f |Lp(A,µ)‖p=1

+1

p′

∫

A

|g(x)|p′

dµ(x)

︸ ︷︷ ︸‖g|Lp′(A,µ)‖p′=1

= 1 = ‖f |Lp(A, µ)‖ ‖g|Lp′(A, µ)‖

zu (ii): Messbarkeit von f + g folgt aus Satz 1.60; verwenden Lemma 1.29, ansonsten analog zum Beweisvon Satz 1.27 und (i)

Folgerung 1.75 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A mit µ(A) < ∞, 0 < q ≤p ≤ ∞. Dann gilt

Lp(A, µ) → Lq(A, µ) mit ‖f |Lq(A, µ)‖ ≤ µ(A)1q−

1p ‖f |Lp(A, µ)‖, f ∈ Lp(A, µ).

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 45

B e w e i s : o.B.d.A. q < p; f ∈ Lp(A, µ) y |f |q ∈ Lr(A, µ) mit r = pq > 1; g = χ

A∈ Lr′(A, µ),

‖χA|Lr′(A, µ)‖ =

(∫

A

dµ) 1

r′

= µ(A)1r′

======⇒Satz 1.74(i)

‖f |Lq(A, µ)‖ =( ∫

A

|f(x)|qχA(x) dµ(x)

) 1q

≤( ∫

A

|f(x)|rq dµ(x)) 1

rq

︸ ︷︷ ︸‖f |Lp(A,µ)‖, p=rq

(∫

A

χr′

A(x) dµ(x)

) 1r′q

︸ ︷︷ ︸∥

∥

∥χA|Lr′(A,µ)

∥

∥

∥

1/q

= ‖f |Lp(A, µ)‖ µ(A)1q (1−

qp ) = ‖f |Lp(A, µ)‖ µ(A)

1q−

1p

Satz 1.76 Seien [Ω,A, µ] ein vollständiger σ-endlicher Maßraum, A ∈ A, 1 ≤ p ≤ ∞.

(i) Lp(A, µ) ist ein Banachraum.

(ii) Für 1 ≤ p <∞ liegen die Treppenfunktionen dicht in Lp(A, µ).

Be w e i s : 1. Schritt: zu (i); nach Vorbemerkung (zu Lp(A, µ) und Lp(A, µ) und entsprechenden Normen)ist ‖ · |Lp(A, µ)‖ eine Norm y n.z.z.: Vollständigkeit, d.h. alle Cauchy-Folgen (fk)k ⊂ Lp(A, µ) mit

∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ m > n ≥ n0 : ‖fn − fm|Lp(A, µ)‖ < ε

sind in Lp(A, µ) konvergent

zuerst 1 ≤ p <∞, verwenden Satz 1.5: sei (fk)k ⊂ Lp(A, µ) mit

∞∑

k=1

‖fk|Lp(A, µ)‖ <∞ (11)

z.z.: ∃ f ∈ Lp(A, µ) :

∥∥∥∥∥f −m∑

k=1

fk|Lp(A, µ)

∥∥∥∥∥ −−−−→m→∞0

wollen Folgerung 1.75 mit q = 1 anwenden 99K nur für µ(A) < ∞ möglich y betrachten ZerlegungA =

⋃k Ak mit Ak ∈ A, µ(Ak) <∞ (da µ σ-endlich)

=====⇒Folg. 1.75

∀ k ∈ N ∀ n ∈ N : ‖fn|L1(Ak, µ)‖ ≤ µ(Ak)1p′

︸ ︷︷ ︸=:ck

‖fn|Lp(Ak, µ)‖ ≤ ck‖fn|Lp(A, µ)‖

y ∀ k ∈ N ∀ m ∈ N :

∫

Ak

m∑

n=1

|fn(x)| dµ(x) ≤ ck

∞∑

n=1

‖fn|Lp(A, µ)‖ <(11)∞

=====⇒Folg. 1.71

∃∞∑

n=1

|fn(x)| =: g(x) µ-f.ü. und ist µ-integrierbar auf Ak, k ∈ N, mit

∞∑

n=1

∫

Ak

|fn(x)| dµ(x) =∫

Ak

∞∑

n=1

|fn(x)| dµ(x) =∫

Ak

g(x) dµ(x)

=======⇒A =

⋃

k Ak

∃ g(x) =∞∑

n=1

|fn(x)| µ-f.ü. auf A =====⇒Satz 1.65

∃ f(x) =∞∑

n=1

fn(x) µ-f.ü. auf A, µ-integrierbar

nach Satz 1.74(ii) gilt wegen p ≥ 1 für alle m ∈ N,

∥∥∥m∑

n=1

|fn|∣∣∣Lp(A, µ)

∥∥∥ ≤m∑

n=1

‖fn|Lp(A, µ)‖ <(11)∞

46 1 Banachräume

=====⇒Folg. 1.71

∃( ∞∑

n=1

|fn(x)|)p

= g(x)p µ-f.ü., µ-integrierbar auf A, mit

∫

A

g(x)p dµ(x) =

∫

A

( ∞∑

n=1

|fn(x)|)p

dµ(x) <∞

|f(x)|p ≤ g(x)p µ-f.ü. & gp µ-integrierbar über A =======⇒Satz 1.65(v)

|f |p µ-integrierbar über A,

‖f |Lp(A, µ)‖p =

∫

A

|f(x)|p dµ(x) ≤∫

A

g(x)p dµ(x) <∞

y f ∈ Lp(A, µ); außerdem: |f(x) −m∑

n=1

fn(x)|p ≤( ∞∑

n=m+1

|fn(x)|)p≤ g(x)p, gp µ-integrierbar über A

===========⇒Satz 1.68/Lebesgue

limm→∞

∥∥∥f −m∑

n=1

fn|Lp(A, µ)∥∥∥p

= limm→∞

∫

A

∣∣∣f(x)−m∑

n=1

fn(x)∣∣∣p

dµ(x)

=

∫

A

limm→∞

∣∣∣f(x)−m∑

n=1

fn(x)∣∣∣p

︸ ︷︷ ︸=0,µ-f.ü.

dµ(x) = 0

2. Schritt: Vollständigkeit für p =∞; sei (fj)j ⊂ L∞(A, µ) mit ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖ −−−−−→k,j→∞

0

‖fj−fk|L∞(A, µ)‖ = ess supx∈A

|fj(x)−fk(x)| =Bem.(b)

supA\Njk

|fj(x)−fk(x)| für passendesNjk ∈ A, µ(Njk) = 0

sei N :=⋃

j,k∈NNjk y N ∈ A, µ(N) = 0

y ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖ ≤inf

supA\N

|fj(x)− fk(x)| ≤Njk ⊂ N

supA\Njk

|fj(x)− fk(x)| = ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖

y ‖fj − fk|L∞(A, µ)‖ = supA\N

|fj(x)− fk(x)| y (fj)j Cauchyfolge in B(A \N,K) = B(A \N)

====⇒Satz 1.6

∃ f ∈ B(A \N) : ‖fj − f |L∞(A, µ)‖ −−−→j→∞

0, setzen f(x) =

f(x), x ∈ A \Nbeliebig, x ∈ N

y f ∈ L∞(A, µ) mit ‖fj − f |L∞(A, µ)‖ −−−→j→∞

0

3. Schritt: zu (ii), Dichtheit der Treppenfunktionen für p = 1

f ∈ L1(A, µ) ========⇒Def. 1.63, 1.73

∃ (sk)k Treppenfunktionen: sk −−−−→k→∞

f µ-f.ü.,∫

A

|sk − sl| dµ −−−−→k,l→∞

0,∫

A

f dµ = limk→∞

∫

A

sk dµ y limm→∞

|sk(x) − sm(x)| = |sk(x) − f(x)| µ-f.ü., |sk − f | ∈ L1(A, µ), d.h.

‖f − sk|L1(A, µ)‖ =∫

A

|f − sk| dµ =

∫

A

limm→∞

|sm − sk| dµ

=

∫

A

lim infm→∞

|sm − sk| dµ ≤Satz 1.72

lim infm→∞

∫

A

|sm − sk| dµ

< ε für k ≥ k0(ε)

4. Schritt: zu (ii), Dichtheit der Treppenfunktionen für p > 1

seien f ∈ Lp(A, µ), θ ∈ (0, 1), Aθ =x ∈ A : θ ≤ |f(x)| ≤ θ−1

∈ A y µ(A \Aθ) −−−→

θ→00,

‖f |Lp(A, µ)‖p =

∫

A

|f |p dµ ≥∫

Aθ

|f |p dµ ≥ θpµ(Aθ) y µ(Aθ) <∞, θχAθ∈ Lp(A, µ)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 47

y χAθ∈ L1(A, µ), χ

Aθ|f | ≤ θ−1χ

Aθy χ

Aθf ∈ L1(A, µ) =====⇒

3. Schritt∃ (sθk)k Treppenfunktionen:

∥∥∥χAθf − sθk

∣∣L1(Aθ, µ)∥∥∥ −−−−→

k→∞0, sθk −−−−→

k→∞χAθf µ-f.ü. auf Aθ (12)

setzen σθk(x) :=

sθk(x), x ∈ Aθ ∧ |sθk(x)| ≤2

θ2

θ

sθk(x)

|sθk(x)|, x ∈ Aθ ∧ |sθk(x)| >

2

θ

0, x ∈ A \Aθ

Treppenfunktion, |σθk(x)| ≤

2

θ, x ∈ A

sei x ∈ Aθ mit |sθk(x)| > 2θ−1 ========⇒|f(x)| ≤ θ−1

|sθk(x)| > θ−1+|f(x)| y |sθk(x)−f(x)| ≥ |sθk(x)|−|f(x)| > θ−1

y |σθk(x) − f(x)| ≤ |f(x)|︸ ︷︷ ︸

≤θ−1

+ |σθk|︸︷︷︸

≤2θ−1

≤ 3θ−1 < 3|sθk(x) − f(x)| =x ∈ Aθ

3|sθk(x) − χAθf(x)|

==⇒(12)

‖σθk − χAθ

f |L1(A, µ)‖ = ‖σθk − χAθ

f |L1(Aθ , µ)‖ ≤ 3∥∥∥χ

Aθf − sθk|L1(Aθ, µ)

∥∥∥ −−−−→k→∞

0

y ‖f − σθk|Lp(A, µ)‖p =

∫

A

|f(x)− σθk(x)| dµ(x)

=

∫

A\Aθ

|f(x)− σθk(x)︸ ︷︷ ︸0

|p dµ(x) +∫

Aθ

|χAθf(x)− σθ

k(x)|︸ ︷︷ ︸

≤ 3θ

p−1|f(x)− σθk(x)| dµ(x)

≤∫

A\Aθ

|f(x)|p dµ(x)

︸ ︷︷ ︸<ε, θ<θ0(ε), µ(A\Aθ)→0

+

(3

θ

)p−1 ∥∥∥σθk − χAθ

f |L1(A, µ)∥∥∥

︸ ︷︷ ︸<ε, k≥k0(θ0,ε)

< 2ε für k ≥ k0

da∫

A\Aθ

|f(x)|p dµ(x) =∫

A

|f(x)|pχA\Aθ

(x) dµ(x), |f |pχA\Aθ

≤ |f |p µ-integrierbare Majorante

===========⇒Satz 1.68/Lebesgue

limθ→0

∫

A\Aθ

|f(x)|p dµ(x) =∫

A

|f(x)|p limθ→0

χA\Aθ

(x)︸ ︷︷ ︸

=0, µ-f.ü.

dµ(x) = 0

Bezeichnung: sei Ω ⊆ Rn offen, f : Ω→ K mit supp f = x ∈ Rn : f(x) 6= 0f : Ω→ K heißt finit (in Ω), falls supp f beschränkt ist, supp f ( Ω

Satz 1.77 Seien Ω ⊂ Rn offen, 1 ≤ p <∞.

(i) Die Menge der finiten Treppenfunktionen ist dicht in Lp(Ω).

(ii) Die Menge der finiten und stetigen Funktionen ist dicht in Lp(Ω), C∞0 (Ω) ist dicht in Lp(Ω).

(iii) Lp(Ω) ist separabel und dimLp(Ω) =∞.

Be w e i s : 1. Schritt: wählen spezielle Überdeckung von Ω:

Ωk =x ∈ Ω : |x| < k, dist (x, ∂Ω) > 1

k

⊂ Ω, k ∈ N

y Ωk ⊂ Ωk+1,⋃

k∈N

Ωk = Ω

sei f ∈ Lp(Ω) =======⇒Folg. 1.67(ii)

∫

Ω

|f(x)|p dx = limk→∞

∫

Ωk

|f(x)|p dx

y∫

Ω\Ωk

|f(x)|p dx −−−−→k→∞

0 ⇐⇒∫

Ω

|f(x)− f(x)χΩk

(x)︸ ︷︷ ︸

gk, finit

|p dx −−−−→k→∞

0

0

∂ΩΩk

Ω

Ωk+1

48 1 Banachräume

y ∃ (gk)k ⊂ Lp(Ω), supp gk ⊂ Ωk ⊂ Ω finit: ‖f − gk|Lp(Ω)‖ −−−−→k→∞

0

f ∈ Lp(Ω) y gk ∈ Lp(Ωk) =======⇒Satz 1.76(ii)

∃ (skj )j ⊂ Lp(Ωk) Treppenfunktionen, supp skj ⊂ Ωk ⊂ Ωk+1:

‖gk − skj |Lp(Ω)‖ −−−→j→∞

0 y finite Treppenfunktionen dicht in Lp(Ω)

2. Schritt: sei f ∈ Lp(Ω) =⇒(i)

o.B.d.A. f(x) =m∑

k=1

αkχAkfinite Treppenfunktion, m ∈ N, αk ∈ K, Ak ∈ Ln

mit Ak ⊂ supp f ⊂ Ω, k = 1, . . . ,m ===============⇒endliche Summe, Linearität

o.B.d.A. f = χA, A ∈ Ln, A ⊂ Ω

A ∈ Ln =======⇒Satz 1.57(iv)

∃ Bε ⊂ Rn offen : A ⊂ Bε ⊂ Bε ⊆ Ω, λn(Bε \A) < ε

Bε ⊂ Rn offen ========⇒Lemma 1.54(ii)

∃ (Qεj)j offene Quader: Bε =

⋃

j

Qεj y approximieren χ

Qfür einQ ∈ Qε

jj∈N

sei Q offener Quader, Q ⊂ Ω =======⇒Lemma 1.49

∃ ϕh ∈ C∞0 (Rn): 0 ≤ ϕh ≤ 1, ϕh(x) = 1, x ∈ Q, suppϕh ⊂ Qh,

wobei Qh = x ∈ Rn : dist (x,Q) ≤ h, h > 0 y Q ⊂ Qh ⊂ Ω für 0 < h ≤ h0, λn(Qh\Q) ≤ chn −−−→h→0

0

∫

Ω

|χQ(x) − ϕh(x)|p dx =

∫

Qh\Q

ϕh(x)p

︸ ︷︷ ︸≤1

dx ≤ λn(Qh \Q) −−−→h→0

0 y C∞0 (Ω) dicht in Lp(Ω)

3. Schritt: sei F = span m∑

j=1

αjχQj, Qj offene Würfel, Qj ⊂ Ω, αj ∈ K, m ∈ N

y F ⊂ Lp(Ω),

dimF =∞ y dimLp(Ω) =∞

====⇒(i), (ii)

F = Lp(Ω), d.h. F dicht in Lp(Ω); approximieren F durch

FQ = span m∑

j=1

(αj + iβj)χRj, Rj =

n¡k=1

(ck, dk) ⊂ Ω, ck, dk, αj , βj ∈ Q, m ∈ N

y FQ = Lp(Ω), FQ abzählbar y Lp(Ω) separabel

Bemerkung : • L∞(Ω) nicht separabel

• C∞0 (Ω) nicht dicht in L∞(Ω), z.B. f ≡ 1 ∈ L∞(Ω).

Wiederholung aus der Maßtheorie:

Satz 1.78 (Fubini37)Seien f : Rn+m → K λn+m-messbar, f = f(x, y), x ∈ Rn, y ∈ Rm, und es existiere eines der Integrale

I1 =

∫

Rn+m

|f(x, y)| d(x, y), I2 =

∫

Rn

( ∫

Rm

|f(x, y)| dy)dx, I3 =

∫

Rm

(∫

Rn

|f(x, y)| dx)dy.

Dann gelten(i) f(·, y) ∈ L1(Rn) für λm-f.a. y ∈ Rm, f(x, ·) ∈ L1(Rm) für λn-f.a. x ∈ Rn

(ii)∫

Rm

f(·, y) dy ∈ L1(Rn),

∫

Rn

f(x, ·) dx ∈ L1(Rm)

(iii)∫

Rn+m

|f(x, y)| d(x, y) =∫

Rn

( ∫

Rm

|f(x, y)| dy)dx =

∫

Rm

( ∫

Rn

|f(x, y)| dx)dy

(iv)∫

Rn+m

f(x, y) d(x, y) =

∫

Rn

( ∫

Rm

f(x, y) dy)dx =

∫

Rm

(∫

Rn

f(x, y) dx)dy

37Guido Fubini (∗ 19.1.1879 Venedig † 6.6.1943 New York)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 49

Koordinatentransformation: Ω ⊂ Rn ∼ (x1, . . . , xn) ←→ Ω ∼ (y1, . . . , yn)

speziell: yj = Φj(x) = Φj(x1, . . . , xn), j = 1, . . . , n, Ω = Φ(Ω), Φ = (Φ1, . . . ,Φn)

y betrachten Jacobi38- bzw. Funktionaldeterminante in x0 ∈ Ω

∂ (Φ1, . . . ,Φn)

∂(x1, . . . , xn)

(x0)= detJ

(Φ, x0

)= det

∂Φ1

∂x1(x0) . . .

∂Φ1

∂xn(x0)

......

∂Φn

∂x1(x0) . . .

∂Φn

∂xn(x0)

Satz 1.79 Seien Ω ⊂ Rn offen, Φ : Ω → Φ(Ω) ein C1-Diffeomorphismus, d.h. Φj ∈ C1(Ω), j = 1, . . . , n,Φ injektiv, detJ (Φ, x) 6= 0, x ∈ Ω, f : Rn → K. Dann existiert

∫Φ(Ω) f(y) dy genau dann, wenn∫

Ω(f Φ)(x)| detJ (Φ, x)| dx existiert, und es gilt∫

Φ(Ω)

f(y) dy =

∫

Ω

f(Φ(x))| detJ (Φ, x)| dx.

Beispiel : Oberflächeninhalt und Volumen der Einheitskugel im Rn

Kn = Kn(0) . . . n−dimensionale Einheitskugel, ωn = ∂Kn . . . Sphäre, Oberfläche der n-dimensionalen Einheitskugelverallgemeinerte Kugelkoordinaten : x1 = r cosϕ sinϑ1 sinϑ2 . . . sinϑn−2

x2 = r sinϕ sinϑ1 sinϑ2 . . . sinϑn−2

x3 = r cosϑ1 sinϑ2 . . . sinϑn−2

.... . .

...xn−1 = r cosϑn−3 sinϑn−2

xn = r cosϑn−2

︸ ︷︷ ︸x = Φn (r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)

Π : 0 ≤ r <∞, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ ϑj ≤ π, j = 1, . . . , n− 2

∣∣∣∣∂(r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)

∂(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ =∣∣detJ

(Φn, (r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)

)∣∣ = rn−1 sinϑ1 (sinϑ2)2 · · · (sinϑn−2)

n−2

y Φn : Ω := (0,∞) × (0, 2π) × (0, π)n−2 −→ Rn \ x ∈ Rn : x1 ≥ 0 ∧ x2 = 0 =: Φn(Ω)C1-Diffeomorphismus

|ωn| =∫

ωn

dσ =

∫

Π∣∣r=1

∣∣∣∣∂(1, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)

∂(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ d(ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)

=

2π∫

0

π∫

0

· · ·π∫

0

sinϑ1 (sinϑ2)2. . . (sinϑn−2)

n−2dϑn−2 . . . dϑ1 dϕ︸ ︷︷ ︸

dω

|Kn| =∫

Kn

dx =

∫

Π

∣∣∣∣∂(r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2)

∂(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ d(r, ϕ, ϑ1, . . . , ϑn−2) =

1∫

0

∫

ωn

rn−1 dω dr

= |ωn|1∫

0

rn−1 dr

︸ ︷︷ ︸1n

=|ωn|n

38Carl Gustav Jacob Jacobi (∗ 10.12.1804 Potsdam † 18.2.1851 Berlin)

50 1 Banachräume

Lemma 1.80 Seien n ≥ 2 und Kn = x ∈ Rn : x21 + · · ·+x2n < 1 ⊂ Rn die n-dimensionale Einheitskugelmit ωn = ∂Kn. Für ihr Volumen |Kn| und den Oberflächeninhalt |ωn| gelten

|ωn| =2√π n

Γ(n2

) und |Kn| =2√π n

n Γ(n2

) .

Be w e i s : früher: Γ(y) =

∞∫

0

e−t ty−1 dt, y > 0, Γ(m+ 1) = m!, m ∈ N

berechnen In :=

∫

Rn

e−|x|2 dx direkt und mit Sätzen 1.78, 1.79:

y In =

∞∫

0

∫

ωn

e−r2 rn−1 dω dr︸ ︷︷ ︸dx

= |ωn|∞∫

0

e−r2rn−1 dr =u = r2

|ωn|2

∞∫

0

e−uun2 −1 du =

|ωn|2

Γ(n2

)(13)

andererseits ist In =

∫

Rn

e−(x21+···+x2

n) d(x1, . . . , xn) =Satz 1.78

∫

R

e−y2

dy

n

= In1 ==⇒(13)

|ωn| =2In1Γ(n2

)

bekannt: |ω2| = 2π y I21 =|ω2|2

1︷︸︸︷Γ(1) = π y I1 =

√π y |ωn| =

2√π n

Γ(n2

) ; vorher: |Kn| =|ωn|n

Bemerkung : n = 3 y 4π = |ω3| =2√π3

Γ(32

) ⇐⇒ Γ

(3

2

)=

1

2Γ

(1

2

)=

√π

2⇐⇒ Γ

(1

2

)=√π

|ωn|

|Kn|5

10

15

20

25

30

35

2 6 8 10 12 14 16 18 2040

|ωn| =

2 πm

(m− 1)!, n = 2m

2m+1 πm

(2m− 1)!!, n = 2m+ 1

|ω1| = 2, |ω2| = 2π,

|ω3| = 4π, |ω4| = 2π2,

|ω5| = 83π

2, |ω6| = π3,

|ω7| = 1615π

3, |ω8| = 13π

4, . . .

limn→∞

|ωn| = 0, |ωmax| = |ω7|

|Kn| =

πm

m!, n = 2m

2m+1 πm

(2m+ 1)!!, n = 2m+ 1

y

|K1| = 2, |K2| = π, |K3| = 43π, |K4| = 1

2π2,

|K5| = 815π

2, |K6| = 16π

3, |K7| = 16105π

3, |K8| = 124π

4

limn→∞

|Kn| = 0, |Kmax| = |K5|

1.3.4 Faltung und Glättung

Satz 1.81 Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), h ∈ Rn, Thf(x) = f(x+ h), x ∈ Rn.

(i) Es gilt Th : Lp(Rn)→ Lp(Rn) mit ‖Thf |Lp(Rn)‖ = ‖f |Lp(Rn)‖, h ∈ Rn.

(ii) lim|h|→0

‖Thf − f |Lp(Rn)‖ = 0

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 51

Bemerkung : (ii) ∼ Stetigkeit im p-ten Mittel, Th . . . Translationsoperator

Be w e i s : zu (i): klar, da λn translationsinvariant (Satz 1.57(iii))

zu (ii): seien ε > 0, f ∈ Lp(Rn) =======⇒Satz 1.77(ii)

∃ ϕ0 ∈ C∞0 (Rn), suppϕ0 = K kompakt: ‖f − ϕ0|Lp(Rn)‖ < ε

o.B.d.A. |h| ≤ 1 y supp (Thϕ0 − ϕ0) ⊂ K ′ = x ∈ Rn : dist (x,K) ≤ 1

‖Thf − f |Lp(Rn)‖ ≤ ‖Thf − Thϕ0|Lp(R

n)‖︸ ︷︷ ︸=‖f−ϕ0|Lp(Rn)‖<ε, (i)

+‖Thϕ0 − ϕ0|Lp(Rn)‖ + ‖ϕ0 − f |Lp(R

n)‖︸ ︷︷ ︸<ε

< 2ε+

(∫

K′

|ϕ0(x + h)− ϕ0(x)|︸ ︷︷ ︸≤ε, |h|≤h0(ε)

p dx

) 1p

≤ ε(2 + λn(K

′)1p

)für |h| ≤ min(h0, 1)

Bemerkung : (Th)h∈Rn ‘stark stetige Halbgruppe von Operatoren’:

Th1Th2 = Th1+h2 , h1, h2 ∈ Rn, lim|h|→0

Thf = f

Definition 1.82 Seien f, g : Rn → K λn-messbare Funktionen, und es existiere∫Rn f(x − y)g(y) dy für

λn-f.a. x ∈ Rn. Dann heißt

(f ∗ g)(x) =∫

Rn

f(x− y)g(y) dy, x ∈ Rn,

Faltung von f und g.

Erinnerung: 1 ≤ p <∞ y p′ =

p

p−1 , p > 1

∞, p = 1

Satz 1.83 Seien f, g, k : Rn → K λn-messbar.

(i) Die Faltung ist linear und symmetrisch, d.h. falls f ∗ g existiert, so auch g ∗ f , es gilt f ∗ g = g ∗ f .Für λ ∈ K existiert stets f ∗ (λg) = λ(f ∗ g). Falls zusätzlich f ∗ k existiert, so existiert f ∗ (g + k)mit f ∗ (g + k) = f ∗ g + f ∗ k.

(ii) Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ Lp′(Rn). Dann existiert f ∗ g ∈ C(Rn), es gilt

‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f |Lp(Rn)‖ ‖g|Lp′(Rn)‖ .

(iii) Für 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ L1(Rn) existiert f ∗ g ∈ Lp(Rn), mit

‖f ∗ g|Lp(Rn)‖ ≤ ‖f |Lp(R

n)‖ ‖g|L1(Rn)‖ .

(iv) Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ Lp′(Rn) oder g ∈ L1(Rn), h ∈ Rn. Dann gelten

supp (f ∗ g) ⊂ supp f + supp g sowie Th(f ∗ g) = (Thf) ∗ g = f ∗ (Thg).

Bemerkung : Eigenschaft (iii) für p = 1 y L1(Rn) ‘Faltungsalgebra’:

f, g ∈ L1(Rn) y f ∗ g ∈ L1(Rn), ‖f ∗ g|L1(Rn)‖ ≤ ‖f |L1(Rn)‖ ‖g|L1(Rn)‖

52 1 Banachräume

Be w e i s : zu (i): folgt aus Koordinatentransformation, Substitutionsregel, Linearität des Integrals

zu (ii): Ungleichung folgt aus Hölder-Ungleichung (Satz 1.74); zu f ∗ g ∈ C(Rn), d.h. gleichmäßig stetig:

|(f ∗ g)(x+ h)− (f ∗ g)(x)| ≤∫

Rn

|f(x+ h− y)− f(x− y)||g(y)| dy

=z = x − y

∫

Rn

|f(z + h)− f(z)||g(x− z)| dz

≤Satz 1.74

(∫

Rn

|f(z + h)− f(z)|p dz) 1

p(∫

Rn

|g(x− z)|p′

dz

) 1p′

= ‖Thf − f |Lp(Rn)‖︸ ︷︷ ︸

−−−−→|h|→0

0, Satz 1.81

‖g|Lp′(Rn)‖ < ε für |h| ≤ h0 = h0(ε)

zu (iii): p = 1 y f, g ∈ L1(Rn) y ∃∫

Rn

(∫

Rn

|f(x− y)g(y)| dx)

︸ ︷︷ ︸|g(y)|‖f |L1(Rn)‖

dy = ‖f |L1(Rn)‖ ‖g|L1(R

n)‖

=========⇒Satz 1.78/Fubini

∃∫

Rn

f(· − y)g(y) dy für λn-f.a. x ∈ Rn,

‖f ∗ g|L1(Rn)‖ =

∫

Rn

∣∣∣∣∫

Rn

f(x− y)g(y) dy︸ ︷︷ ︸

(f∗g)(x)

∣∣∣∣dx ≤∫

Rn

(∫

Rn

|f(x− y)g(y)| dy)dx

=

∫

Rn

(∫

Rn

|f(x− y)g(y)| dx)dy = ‖f |L1(R

n)‖ ‖g|L1(Rn)‖

sei jetzt 1 < p <∞, f ∈ Lp(Rn), g ∈ L1(Rn)

|(f ∗ g)(x)| ≤∫

Rn

|f(x− y)g(y)| dy

=

∫

Rn

|f(x− y)||g(y)| 1p |g(y)|1p′ dy

≤Satz 1.74

(∫

Rn

|f(x− y)|p|g(y)| dy) 1

p(∫

Rn

|g(y)| dy) 1

p′

︸ ︷︷ ︸‖g|L1(Rn)‖1/p′

und somit

‖f ∗ g|Lp(Rn)‖p ≤ ‖g|L1(R

n)‖p

p′

∫

Rn

∫

Rn

|f(x− y)|p|g(y)| dy dx

=Satz 1.78

‖g|L1(Rn)‖

p

p′

∫

Rn

∫

Rn

|f(x− y)|p|g(y)| dx︸ ︷︷ ︸

|g(y)|‖f |Lp(Rn)‖p

dy

= ‖gL1(Rn)‖

pp′

+1‖f |Lp(Rn)‖p =

p

p′+ 1 = p

‖gL1(Rn)‖p‖f |Lp(R

n)‖p

zu (iv): sei x ∈ Rn \ supp f + supp g y ∃ δ > 0 : Kδ(x) ∩ supp f + supp g = ∅y ∀ y ∈ Kδ(x) : y /∈ supp f + supp g =========⇒

y = (y − z) + z∀ y ∈ Kδ(x) ∀ z ∈ supp g : y − z /∈ supp f

y ∀ y ∈ Kδ(x) ∀ z ∈ supp g : f(y − z) = 0

y ∀ y ∈ Kδ(x) : (f ∗g)(y) =∫

Rn

f(y−z)g(z) dz =∫

supp g

f(y − z)︸ ︷︷ ︸0

g(z) dz = 0 ======⇒x ∈ Kδ(x)

x /∈ supp (f ∗g)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 53

Satz 1.84 (i) Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), m ∈ N0, ϕ ∈ Cm(Rn) mit suppϕ kompakt. Dann gilt

f ∗ ϕ ∈ Cm(Rn) sowie ∀ α ∈ Nn

0 , |α| ≤ m : Dα(f ∗ ϕ) = f ∗Dαϕ.

(ii) Seien ϕ ∈ L1(Rn) mit∫Rn ϕ(x) dx = 1, ϕh(x) = h−nϕ(xh), h > 0, x ∈ Rn. Dann gilt für f ∈ Lp(Rn),

1 ≤ p <∞,

‖f − f ∗ ϕh|Lp(Rn)‖ −−−→

h→00,

sowie für g ∈ C(Rn)

‖g − g ∗ ϕh‖∞ −−−→h→0

0.

Be w e i s : zu (i): ϕ ∈ Cm(Rn), suppϕ kompakt =======⇒Satz 1.77(ii)

Dαϕ ∈ Lp′(Rn), |α| ≤ m

=====⇒Satz 1.83

∃ f ∗Dαϕ ∈ C(Rn), |α| ≤ m

g.z.z.:∂

∂xj(f ∗ ϕ) existiert mit

∂

∂xj(f ∗ ϕ) = f ∗ ∂ϕ

∂xj, j = 1, . . . , n, dann: Iteration

suppϕ kompakt y ∃ R > 0 : suppϕ ⊂ KR(0)

o.B.d.A. seien ej = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), x ∈ Rn, 0 < h < 1

limh→0

(f ∗ ϕ)(x + hej)− (f ∗ ϕ)(x)h

= limh→0

∫

Rn

ϕ(x + hej − y)− ϕ(x − y)h︸ ︷︷ ︸

=0, |x−y|≥R+1

f(y) dy

= limh→0

∫

KR+1(x)

ϕ(x + hej − y)− ϕ(x − y)h︸ ︷︷ ︸

|·|≤‖ ∂ϕ∂xj

‖∞

f(y) dy

︸ ︷︷ ︸===⇒Hölder

∫

KR+1(x)

|·|dy ≤ ‖f |Lp(Rn)‖ ‖ ∂ϕ∂xj

‖∞ |KR+1|1/p′

und damit nach Satz 1.68/Lebesgue

=

∫

Rn

limh→0

ϕ(x + hej − y)− ϕ(x − y)h

f(y) dy

=

∫

Rn

∂ϕ

∂xj(x− y) f(y) dy =

(f ∗ ∂ϕ

∂xj

)(x)

y∂(f ∗ ϕ)∂xj

(x) existiert,∂(f ∗ ϕ)∂xj

(x) =

(f ∗ ∂ϕ

∂xj

)(x), x ∈ Rn

zu (ii): seien f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p <∞, ε > 0

=====⇒Satz 1.81

∃ δ > 0 ∀ y ∈ Rn, |y| ≤ δ : ‖f − f(· − y)|Lp(Rn)‖ < ε (14)

|f(x)− f ∗ ϕh(x)| ≤∫

Rn

|f(x)− f(x− y)||ϕh(y)|1p |ϕh(y)|

1p′ dy

≤Satz 1.74

(∫

Rn

|f(x)− f(x− y)|p|ϕh(y)| dy) 1

p(∫

Rn

|ϕh(y)| dy) 1

p′

︸ ︷︷ ︸‖ϕh|L1(Rn)‖

1p′ =‖ϕ|L1(Rn)‖

1p′

y ‖f − f ∗ ϕh|Lp(Rn)‖p ≤

∫

Rn

∫

Rn

|f(x)− f(x− y)|p|ϕh(y)| dy dx ‖ϕ|L1(Rn)‖

p

p′

54 1 Banachräume

=

∫

Rn

|ϕh(y)|∫

Rn

|f(x) − f(x− y)|p dx︸ ︷︷ ︸

‖T−yf−f |Lp(Rn)‖p

dy ‖ϕ|L1(Rn)‖

p

p′

=

∫

|y|<δ

|ϕh(y)| ‖T−yf − f |Lp(Rn)‖p︸ ︷︷ ︸

<εp, (14)

dy ‖ϕ|L1(Rn)‖

p

p′

+

∫

|y|>δ

|ϕh(y)| ‖T−yf − f |Lp(Rn)‖p︸ ︷︷ ︸

≤2p‖f |Lp(Rn)‖p

dy ‖ϕ|L1(Rn)‖

p

p′

< εp‖ϕ|L1(Rn)‖p + 2p‖f |Lp(R

n)‖p‖ϕ|L1(Rn)‖

p

p′

∫

|y|>δ

|ϕh(y)| dy

=y = hz

εp‖ϕ|L1(Rn)‖p + 2p‖f |Lp(R

n)‖p‖ϕ|L1(Rn)‖

p

p′

∫

|z|>δh−1

|ϕ(z)| dz︸ ︷︷ ︸

<εp für h<h0(ε,δ), ϕ∈L1(Rn)

< C εp für h < h0(ε)

sei g ∈ C(Rn), ε > 0 y ∃ δ > 0 ∀ y ∈ Rn, |y| < δ : supx∈Rn

|g(x)− g(x− y)| < ε

y ‖g − g ∗ ϕh‖∞ ≤∫

|y|<δ

supx∈Rn

|g(x)− g(x− y)|︸ ︷︷ ︸

<ε

|ϕh(y)| dy +∫

|y|≥δ

supx∈Rn

|g(x)− g(x− y)|︸ ︷︷ ︸

≤2‖g‖∞

|ϕh(y)| dy

< ε‖ϕ|L1(Rn)‖+ 2‖g‖∞

∫

|z|>δh−1

|ϕ(z)| dz︸ ︷︷ ︸<ε für h<h0(ε,δ), da ϕ∈L1(Rn)

< C′ε für h < h0(ε)

Sobolev 39sches Mittelungsverfahren / Friedrichs 40sches Glättungsverfahrenzur Erinnerung:

ω(x) =

c e

− 11−|x|2 , |x| < 1

0, |x| ≥ 1∈ C∞

0 (Rn)

ωh(x) =1

hnω(xh

)∈ C∞

0 (Rn), h > 0

mit

suppω = K1(0), supp ωh = Kh(0)

und

∫

Rn

ω(x) dx =

∫

Rn

ωh(y) dy = 1

c

ω(x)

ωh(x)

Rn1 0 1

sei f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞. setzen

fh(x) = (f ∗ ωh)(x) =

∫

Rn

f(x− y)ωh(y) dy =

∫

|z|≤1

f(x− hz)ω(z) dz, x ∈ Rn, h > 0 (15)

39Sergei Lvovich Sobolev (∗ 6.10.1908 St. Petersburg † 3.1.1989 Leningrad)40Kurt Otto Friedrichs (∗ 28.9.1901 Kiel † 31.12.1982 New York)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 55

Folgerung 1.85 Seien 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Rn), fh gegeben durch (15), h > 0. Dann gelten

(i) fh ∈ Lp(Rn) ∩ C∞(Rn), ‖fh|Lp(Rn)‖ ≤ ‖f |Lp(Rn)‖

(ii) limh→0‖f − fh|Lp(Rn)‖ = 0

(iii) f ∈ C(Rn) impliziert ‖f − fh‖∞ −−−→h→0

0, fh ∈ C∞(Rn).

Be w e i s : folgt aus Definition (15) und Sätzen 1.83, 1.84

Bemerkung : spezielle Gestalt von ω nicht notwendig, nur ω ∈ C∞0 (Rn),

∫Rn ω(x) dx = 1, ω ≥ 0

Folgerung 1.86 Seien Ω ⊂ Rn offen, 1 ≤ p <∞, f ∈ Lp(Ω), f(x) =

f(x), x ∈ Ω,

0, x ∈ Rn \Ω.

(i) supp fh ⊂ Ω +Kh(0), fh = fh|Ω ∈ Lp(Ω) ∩ C(Ω), limh→0‖f − fh|Lp(Ω)‖ = 0

(ii) Falls supp f ⊂ Ω kompakt ist, so existiert ein h0 > 0, so dass fh ∈ C∞0 (Ω), 0 < h < h0, sowie

‖f − fh|Lp(Ω)‖ −−−→h→0

0.

Be w e i s : zu (ii): sei f ∈ Lp(Ω), supp f ⊂ Ω kompakt, x ∈ Ω

fh(x) =

∫

|x−y|≤h

ωh(x− y)f(y) dy

dist(x, supp f) ≤ h =⇒i.a.

fh(x) 6= 0, dist(z, supp f) > h y fh(z) = 0

y supp fh ⊂ z ∈ Rn : dist (z, supp f) ≤ h

Ωfh(x) 6= 0

z fh(z) = 0

supp fh

supp f

x

dist(supp f, ∂Ω) > 0 y wählen h0 > 0 so, dass supp fh ⊂ Ω, 0 < h ≤ h0 y supp fh kompakt

Bemerkung : mit diesem Verfahren 99K alternative Beweise von Lemma 1.49 und Satz 1.77(ii) möglich:

seien Γ ⊂ Ω, Γ kompakt, Ω offen, Γh = y ∈ Rn : dist(Γ, y) < h, h > 0

=======⇒Sobolev-Mitt.

(χΓh

)h∈ C∞

0 (Ω),(χΓh

)h(x) = 1, x ∈ Γ, 0 ≤

(χΓh

)h≤ 1, mit

supp(χΓh

)h⊂ Γ2h ⊂ Ω für h < 1

2dist(Γ,Rn \ Ω)

Bezeichnung: sei Ω ⊂ Rn, f : Ω→ K; f ∈ Lloc1 (Ω) ⇐⇒ ∀ K ⊂ Ω, K kompakt : f ∈ L1(K)

Bemerkung : f ∈ Lloc1 (Ω) ∼ f ‘lokal integrierbar’ in Ω; L1(Rn) ( Lloc

1 (Rn), z.B. f ≡ 1

Satz 1.87 Seien Ω ⊂ Rn offen, f ∈ Lloc1 (Ω) mit

∫Ω f(x)ϕ(x) dx = 0 für alle ϕ ∈ C∞

0 (Ω). Dann giltf(x) = 0 f.ü. in Ω.

Be w e i s : Seien Γ ⊂ Ω ein beliebiges beschränktes (offenes) Gebiet mit Γ ⊂ Ω, ϕ ∈ C∞0 (Γ),

ϕh(x) =

∫

Ω

ωh(x− y)ϕ(y) dy =

∫

|y|≤1

ω(y)ϕ(x − hy) dy

56 1 Banachräume

dist(Γ, ∂Ω) > 0 y ∃ hΓ > 0 ∀ h, 0 < h ≤ hΓ : ϕh ∈ C∞0 (Ω) ==⇒

Vor.

∫

Ω

f(x)ϕh(x) dx = 0

setzen f und ϕ auf Rn fort, f(x) =

f(x), x ∈ Ω,

0, x ∈ Rn \ Ω, ϕ(x) =

ϕ(x), x ∈ Ω,

0, x ∈ Rn \ Ω,y ϕ ∈ C∞

0 (Rn), f ∈ Lloc1 (Rn)

y 0 =

∫

Rn

f(x)

∫

Rn

ωh(x− y)ϕ(y) dy︸ ︷︷ ︸

ϕh(x)

dx =Fubini

∫

Rn

(∫

Rn

ωh(x − y)f(x) dx)ϕ(y) dy

=ωh(z) = ωh(−z)

∫

Rn

(∫

Rn

ωh(y − x)f(x) dx)

︸ ︷︷ ︸fh(y)

ϕ(y) dy =

∫

Rn

fh(y)ϕ(y) dy

analog mit ϕ ∈ C∞0 (Γ) y 0 =

∫

Rn

ℜe fh(y)ϕ(y) dy = 0 für alle ϕ ∈ C∞0 (Γ)

z.z.: ℜe fh ≡ 0 in Γ; indirekt, Annahme: ∃ x0 ∈ Γ : ℜe fh(x0) 6= 0, o.B.d.A. ℜe fh(x0) > 0

========⇒fh ∈ C

∞(Rn)∃ > 0 ∀ y ∈ K(x0) : ℜe fh(y) > 0, o.B.d.A. K(x0) ⊂ Γ y ∃ ω(· − x0) ∈ C∞

0 (Γ) :

∫

Rn

ℜe fh(y) ω(y − x0)︸ ︷︷ ︸supp (·)⊂K(x0)

dy =

∫

K(x0)

ℜe fh(y)︸ ︷︷ ︸>0

ω(y − x0)︸ ︷︷ ︸>0 auf K/2(x0)

dy > 0

y ℜe fh ≡ 0 in Γ, analog: ℑm fh ≡ 0 in Γ y fh ≡ 0 in Γ

Γ ⊂ Ω kompakt =======⇒f ∈ Lloc

1 (Ω)f ∈ L1(Γ), fh = fh|Γ ∈ L1(Γ), 0 < h ≤ hΓ =====⇒

Folg. 1.86‖f − fh|L1(Γ)‖ −−−→

h→00

y ‖f |L1(Γ)‖ =∥∥∥f − fh︸︷︷︸

0

|L1(Γ)∥∥∥ −−−→

h→00 y ‖f |L1(Γ)‖ = 0 ⇐⇒

∫

Γ

|f(x)| dx = 0

=⇒ f(x) = 0 f.ü. in Γ =========⇒Γ ⊂ Ω beliebig

f(x) = 0 f.ü. in Ω

Bemerkung : „Fundamentallemma der Variationsrechnung“ :

f = 0 f.ü. in Ω ⇐⇒ ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω) :

∫

Ω

f(x)ϕ(x) dx = 0

zur Erinnerung: [X, ‖ · ‖X] normierter Raum, A ⊂ X beschränkt ⇐⇒ ∃ c > 0 ∀ a ∈ A : ‖a‖X ≤ c <∞

Bezeichnung: f ∈ Lp(Ω), Ω ⊂ Rn offen und beschränkt, h ∈ Rn, x ∈ Rn; setzen f(x) =

f(x), x ∈ Ω,

0, x ∈ Rn \ Ωsowie Thf = Thf

Satz 1.88 Seien 1 ≤ p <∞, Ω ⊂ Rn offen und beschränkt. Sei M ⊂ Lp(Ω) beschränkt und gleichgradigLp-stetig, d.h.

lim|h|→0

supf∈M

‖Thf − f |Lp(Ω)‖ = 0.

Dann ist M präkompakt in Lp(Ω).

Be w e i s : 1. Schritt: sei Mh = fh : f ∈M, h > 0 =====⇒Folg. 1.86

Mh ⊂ C(Ω) = C(Ω)

zeigen: Mh präkompakt in C(Ω) =============⇒Satz 1.36/Arzelà-Ascoli

g.z.z.: Mh beschränkt und gleichgradig stetig in C(Ω)

1.3 Die Lebesgue-Räume Lp(Ω) 57

‖fh‖∞,Ω ≤Satz 1.83

‖f |Lp(Ω)‖ ‖ωh|Lp′(Rn)‖︸ ︷︷ ︸ch

≤ ch supf∈M

‖f |Lp(Ω)‖ y Mh ⊂ C(Ω) beschränkt

Mh gleichgradig stetig: ωh ∈ C∞0 (Rn) y ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ z, z′, |z − z′| < δ : |ωh(z)− ωh(z

′)| < ε

y |fh(x) − fh(y)| ≤∫

Rn

|ωh(x− z)− ωh(y − z)||f(z)| dz

≤ ‖ωh(x− ·)− ωh(y − ·)|Lp′(Rn)‖︸ ︷︷ ︸=‖ωh(x−y+·)−ωh|Lp′(R

n)‖<ε|suppωh|1/p′=εch

‖f |Lp(Ω)‖

< ε supf∈M

‖f |Lp(Ω)‖ch = Cε für |x− y| < δ

y supfh∈Mh

|fh(x) − fh(y)| < Cε für x, y ∈ Ω, |x− y| < δ

2. Schritt: Mh ⊂ C(Ω) präkompakt ========⇒C(Ω) ⊂ Lp(Ω)

Mh ⊂ Lp(Ω) präkompakt

n.z.z.: M präkompakt in Lp(Ω) =====⇒Folg. 1.18

g.z.z.: Mh ist ε-Netz für M

‖f − fh|Lp(Ω)‖p =

∫

Ω

|f(x)− fh(x)|p dx

=

∫

Ω

∣∣∣∫

|z|≤1

ω(z)(f(x)− f(x − hz)) dz∣∣∣p

︸ ︷︷ ︸≤‖ω|Lp′(R

n)‖p∫

|z|≤1|f(x)−f(x−hz)|p dz

dx

≤ ‖ω|Lp′(Rn)‖p∫

|z|≤1

∫

Ω

|f(x)− f(x− hz)|p dx

︸ ︷︷ ︸‖f−f(·−hz)|Lp(Ω)‖p

dz

≤ ‖ω|Lp′(Rn)‖p∫

|z|≤1

supf∈M

‖f − T−hzf |Lp(Ω)‖p︸ ︷︷ ︸

<εp, |hz|≤h<h0

dz

≤ |Kn|‖ω|Lp′(Rn)‖pεp für h < h0, da M gleichgradig Lp-stetig