Physik IV SS 2005 6. Viel-ElektronenAtome

6.1

6. Viel-Elektronen Atome6.1 Periodensystem der Elemente6.2 Schwerere Atome6.3 L·S und j·j Kopplung

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6.2

6.1 Periodensystem der Elemente

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6.3

Auffüllen der Elektronen-Orbitale …

Pauliprinzip: je 1 Elektron je Zustand (n,ℓ,mℓ,ms):

Haupt-Quantenzahl n = 1, 2 ,3, … genannt K, L, M, … -Hauptschaleergibt n. Reihe in der Periodentafel

Bahndrehimpuls-Quantenzahl ℓ = 0, 1, 2, …, n−1 genannt s, p, d, … -Unterschale

Magnet-Quantenzahl mℓ = −ℓ, …, +ℓSpin-Quantenzahl ms = ≤½

Unterschale: hat 2(2ℓ+1) Elemente,Hauptschale: hat Sℓ=0

n-1 2(2ℓ+1) = 2n2 Elementein der energetisch günstigsten Reihenfolge:

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6.4

… ergibt das Periodensystemn ℓ 2(2ℓ+1) 2n2 bis Z: 2(2ℓ+1) Elemente

2 28

18

32

50

5 1 6 54 Indium - Xenon … 5s2 4p2 5p1-6

72

2Wasserstoff, Helium2

410121820303638

6

48

Lithium, BerylliumBor - Neon

Natrium, Magnesium1 6 Aluminium - Argon 1s2 2s2 2p6 3s2 3p1- 6

4 0 2 Kalium, Calcium 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1-2

3 2 10 Selen - Zink … 3p6 4s2 3d1-10

…6 1 2 … …

Gallium - Krypton

3 0 2 1s2 2s2 2p6 3s1-2

4 1 6 … 4s2 3d10 4p1-6

Rubidium, StrontiumVanadium -Cadmium

5 0 2 … 3d10 4p6 5s1-2

10

und ihre Orbitale nℓν

1 0 1s1,1s2

1s2 2s1, 1s2 2s2

1 1s2 2s2 2p1-6

… 4p6 5s2 4p1-2

2 0

4 2

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6.5

In n. Schale: Bis zu 2n2 Elektronen, d.h. 2n2 versch. Elemente

Auffüllen derart, dass:

1. Pauliprinzip gilt: antisymmetrische Gesamtwellenfunktion

2. Gesamtenergie minimiert wird. Unregelmäßige Reihenfolgefür Übergangselemente:En+1(s2) < En(d1…10) etc.

n 2n2

7

6

5 50

4 32

3 18

2 8

1 2

Übergangsmetalle

Seltene Erden

Transurane

6.2 Schwerere Atome

Chemische Ähnlichkeiten

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6.6

Die chemischen Eigenschaften sind hauptsächlich bestimmt durch die Leuchtelektronen der Hülle, kaum durch die Elektronenim Rumpf, der Edelgaskonfiguration besitzt.

Elektronen mit gleicher Anzahl Leuchtelektronen stehen im Perioden-System der Elemente untereinander und haben ähnliche chemischeEigenschaften.

Ebenso sind sich Elemente, die sich nur in den inneren Schalenunterscheiden, einander sehr ähnlich (Beispiel: Seltene Erden).

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6.7

äußere Eigenschaften der Atome

Bohr: Atomvolumen Vn~ rn3 ~ n6/Zeff3 Ionisationsenergie En ~ Zeff

2/n2

Zeff: ist groß für Edelgase = gefüllte n. Hauptschale,ist klein für Alkalis = abgeschlossene Hauptschale + 1Elektron,

empirisch: mittleres Zeff≈ n.

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6.8

'Schalen'-Anordnung der ElektronenGesamt-Elektronendichte:

1. Schale:

2. Schale:

3. Schale:

Nomenklatur

die Konfiguration eines Zustands wird geschrieben als n 2S+1LJmit den Quantenzahlen:

Haupt: n = 1, 2, 3, …

Spin: 2S+1 = Multiplizität: S=0 'Singulett', S=½ 'Dublett', S=1 'Triplett', …

Bahn-: L = S, P, D, F, … für Bahndrehimpuls 0, 1, 2, 3, …

Gesamtdrehimpuls: J = L−S, … , L+S

Beispiele: H-Atom g.s. n=1, S=½, L=0, J=½: 12S½-ZustandAtom mit n=3, S=1, L=2, J=2: 33D2-Zustand

Hunds Regel:in den Unterschalen stehen möglichst viele Elektronenspins parallel.(Dies ist energetisch günstigster, da die Ladungen dann wegen Paulis Prinzip räumlich getrennt sein müssen)

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6.9

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6.10

Konfiguration des Grundzustands

1 Wasserstoff H S=½ L=0 J=½ 2S½2 Helium He S=0 L=0 J=0 1S03 Lithium Li S=½ L=0 J=½ 2S½4 Beryllium Be S=0 L=0 J=0 1S05 Bor B S=½ L=1 J=½ 2P½6 Kohlenstoff C S=1 L=1 J=0 3P07 Stickstoff N S=3/2 L=0 J=3/2 4S3/28 Sauerstoff O S=1 L=1 J=2 3P29 Fluor F S=½ L=1 J=3/2 2P3/210 Neon Ne S=0 L=0 J=0 1S011 Natrium Na S=½ L=0 J=½ 2S½

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6.11

Konfiguration der angeregten ZuständeBeispiel Stickstoff Quartett

Grundzustand:1s2 2s2 2p3 4S3/2(↑ nicht gezeigt)

1. angeregter Zustand:1s2 2s2 2p2 3s1 4P1/2,3/2,5/2

2. angeregter Zustand:1s2 2s1 2p4 4P1/2,3/2,5/2

3. angeregter Zustand:1s2 2s1 2p3 3p1 4D1/2,3/2,5/2,7/2(N.B.: Wenn L≠0 und S≠0: J=Min(2S+1,2L+1))

s pn=3:

n=2: ↑ ↑↑↓ ↑

s pn=3:

n=2:

↑

↑↓ ↑ ↑

n=2:

n=3:

↑↑↑↓↑

ps

n=2:

n=3: ↑

↑↑↓↑

ps

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6.12

TermschemaStickstoff

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6.13

6.3 L·S und j·j Kopplung

Beispiel 2 Elektronen:

1. Kopplung der Bahndrehimpulse zu L=ℓ1+ℓ2durch Kopplung der zugehörigen magnetischen Momente µ1=γℓ1, µ2=γℓ2

(gyromagnetisches Verhältnis γ=gℓµB/ħ)mit Wechselwirkungs-Energie Eℓℓ = −µ1·B2 ~ µ1·µ2 ~ ℓ1·ℓ2

2. Kopplung derSpins zu S=s1+s2durch Kopplung der zugehörigen magnet. Momente µ1'=γs1, µ2'=γs2mit Wechselwirkungs-Energie Ess = −µ1'·B2' ~ µ1'·µ2' ~ s1·s2

3. Spin-Bahn Kopplung von ℓ1 und s1 zu j1= ℓ1+s1mit Wechselwirkungs-Energie Eℓs = −µ1'·Bind1~ µ1'·υ1× E1~ s1·υ1× r1 ~ s1·ℓ1

im Bohr Modell war: υ/c ~ αZ/n, α ≈ 1/137 ~ 1%:Die Elektronen leichter Atome sind nicht-relativistisch: υ<<c, die Elektronen schwerer Atome können relativistisch werden: υ~c.

ℓ1 µ1ℓ2 µ2

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6.14

L·S Kopplung leichter Atome

In leichten Atomen mit nicht-relativistischen Elektronen ist Eℓℓ und Ess groß gegen Eℓs.Die Elektronen koppeln zuerst ihren Gesamt-Bahndrehimpuls zu L = ∑i ℓiund ihren Gesamtspin zu S = ∑i si.

Erst dann werden L und S schwach gekoppeltzum Gesamt-Drehimpuls J = L+S

(J,L,S,Jz,Lz,Sz) sind gute Quantenzahlen

d.h. Nomenklatur 2S+1LJ ist sinnvollL

JS

Lz

Sz

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6.15

Energieniveaus bei L·S Kopplung

ΨSym(r1,r2): energetisch ungünstig

ΨAntisym(r1,r2): energetisch günstig

Aufspaltung nach: | Gesamt-Spin S | -Bahndrehimpuls L | Gesamtdrehimpuls J |

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6.16

j·j Kopplung schwerer Atome

In schweren Atomen mit teilweise relativistischen Elektronen (υ/c ~ αZ/n→ 1) wird Eℓs groß gegen Eℓℓ und Eℓs.

Die einzelnen Elektronen koppeln zuerst ihren Bahndrehimpulsund Spin zum Gesamt-Drehimpuls des Einzelelektrons ji = ℓi+si

Dann werden diese Einzel-Drehimpulse relativ schwach gekoppeltzum Gesamt-Drehimpuls des Atoms J = ∑i ji

L,S,Lz,Sz sind keine gute Quantenzahlen mehr,d.h. die Nomenklatur 2S+1LJ ist nicht mehr sehr sinnvoll

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6.17

Vergleich L·S und j·j Kopplung

C s pn=3

n=2 ↑↑↓ ↑

Beispiel leichtes Element C:Grundzustand: L-S Kopplung1s2 2s2 2p2 S=1, L=1, J=0: 3P0

(↑ Hunds Regel)

angeregte Zustände:1s2 2s2 2p1 3s1 S=0, L=1, J=1: 1P1

S=1, L=1, J=0,1,2:3P0,1,2mit schwacher Feinstrukturaufspaltung der EJ

Beispiel schweres Element Pb:erster angeregter Zustand: j-j Kopplung…. 6s2 6p1 7s1 s1=½, ℓ1=1: j1=½ oder 3/2

s2=½ ,ℓ2=0: j2= ½starke Aufspaltung zwischen j1 und j2dann schwache Kopplung zu J=0,1 und 1,2

n=2

n=3C

↑

↑↑↓

ps

n=6

n=7Pb

↑

↑↑↓

ps

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6.18

Übergang L·S zu j·j