Lagrange-Multiplikatoren-Methode

Extremwert-Problem mit Nebenbedinungung: f (~x) ! Extr.! unter derNB: g(~x) = �.

Vorgehen:

�. Bilde die Lagrange-Funktion L(~x, �) = f (~x) + �g(~x).�. Bestimme alle ~x mit grad L(~x, �) = ~�.�. Untersuche welche Stellen (globale) Maxima bzw. Minima sind.Nützlich sind dabei die Niveaulinien f (~x) = const.

Die Lösung ~x hängt nicht von � ab! Alle Lösungen ~x vongrad L(~x, �) = ~� sind stationäre Stellen.

��

Beispiel f (x, y) = y � x mit Nebenbed. g(x, y) = x� + y� � � = �

Lagrange-Funktion L(x, y,�) = y � x + �(x� + y� � �). Die stationärenStellen ergeben sich auch grad L(x, y,�) = ~�, d.h.

Lx = ��+ ��x = �,Ly = �+ ��y = �,

L� = x� + y� � � = �.

x = � bzw. y = � ergeben keine stationären Stellen. Deshalb lösenwir die ersten beiden Gleichungen nach � auf und erhalten�� = �

x = � �y () y = �x und setzen das in die dritte Gleichung

ein: �x� = � und wir erhalten � stationäre Stellen P�⇣p

�� ,�

p��

⌘und

P�⇣�

p�� ,

p��

⌘.

��

Erläuterung zum Beispiel

Abbildung ��: Nebenbedingung undNiveaulinien

Ob ein Extremum und welchesvorliegt erkennt man an denNiveaulinien

f (x, y) = y � x = c = const.

Es ergibt sich , dass in⇣p�� ,�

p��

⌘das globale Minimum

vorliegt und in⇣

�p�

� ,p��

⌘das

globale Maximum.

��

Lagrange-Multiplikator-Methode mit mehreren NB

Sind f , g�, . . . , gk einmal stetig (partiell) di�erenzierbar und dieGradienten

gradg�(~x), . . . , gradg�(~x)

für alle ~x 2 M mit

M := {~x 2 Rn : g�(~x) = . . . = gk(~x) = �}

linear unabhängig, dann �ndet man die Lösung desExtremalproblems mit Nebenbedingungen:

f (x�, x�, . . . , xn) ! Extr!

NB :g�(x�, x�, . . . , xn) = . . . = gk(x�, x�, . . . , xn) = �unter den stationären Punkten der Lagrange-Funktion:

L(x�, x�, . . . , xn,��, . . . ,�k) = f (~x) + ��g�(~x) + . . .+ �ngn(~x).

��

Beispiel mit � Nebenbedingungen

f (x, y, z) = x� + y� + z� ! Extr.!

unter den Nebenbedingungeng�(x, y, z) = x� + y� � � = �

(Zylinder)g�(x, y, z) = x + y + z� � = �

(Ebene).

Beide Nebenbedingungen gel-ten gleichzeitig auf der blauenSchnittkurve. Abbildung ��: � Nebenbedingungen

Ansatz: LagrangefunktionL(x, y, z,�, ⌫) = f (x, y, z) + �g�(x, y, z) + µg�(x, y, z), zu lösen:

grad L(x, y, z,�, ⌫) = ~�. ��

Lösung, Teil �

Lx = �x + ��x + ⌫ = � (�)Ly = �y + ��y + ⌫ = � (�)Lz = �z+ ⌫ = � (�)L� = x� + y� � � = � (�)L⌫ = x + y + z� � = � (�)

(�), (�), (�) nach µ au�ösen und gleichsetzen

�µ = �(�+ �)x = �(�+ �)y = �z =) (�+ �)(x � y) = �.

Der Fall � = �� ergibt µ = z = � und (�),(�),(�) sind erfüllt,(�) ergibt y = �� x eingesetzt in (�)x� + (�� x)� = � () �x(x � �) = � ergibt x� = � und x� = �und die Punkte P� = (�; �;�), P� = (�;�;�).

��

Lösung, Teil �

Der Fall x = y ergibt in (�) �x��� = � ()x�/� = ±

p�� = y�/� und

(�) ergibt z = �� �x = �⌥p� die Punkte

P� = (p�� ,

p�� , ��

p�) und

P� = (�p�� ,�

p�� , �+

p�).

Bemerkung: µ ergibt sich dann aus (�) unddann � aus (�) bzw. (�).

P� und P� sind mit f (P�) = �globale Minima,P� ist mit f (P�) = �� �

p� ⇡ �, �� ein

lokales Maximumund P� ist mit f (P�) = �+ �

p� ⇡ �, ��

das globale Maximum.

Abbildung ��: Abstand vomUrsprung � Radius der Kugel,Blaue Kurve entsprichtbeiden Nebenbedingungen

��

�. Extrema in berandeten Bereichen

��

Extrema in berandeten Bereichen B

Als erstes wird die Di�erentialrechnung, so es möglich ist, angewandtund wir untersuchen

�. das freie Extremwertproblem f (~x) ! Extr.!. Liegen dieermittelten stationären Stellen innerhalb von B, dann behaltenwir sie, liegen sie außerhalb oder auf dem Rand von B, dannsind sie nicht von Interesse.

�. Untersuchung einer Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungauf jedem Randstück. Man beachte dabei den Bereich desRandstücks.

Weiterhin sind zu berücksichtigen

�. alle Ecken von B, dass sind die Schnittpunkte von Randkurven(allgemein Schnitt�ächen von Randmengen).

�. Alle Stellen, wo die Di�erentialrechnung nicht anwendbar ist.

��

Beispiel

f (x, y) = �x� + (y � �)�

im Bereich B, der von

x = y,x = � �

�y,x� + (y � �)� = �.

berandet wird. Abbildung ��: Berandeter Bereich

��

Beispiel

f (x, y) = �x� + (y � �)� im Bereich B, der von x = y, x = � ��y und

x� + (y � �)� = � berandet wird.

Abbildung ��: Alle wesentlichenPunkte

��