Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-1
2. Lagrange-Gleichungen
● Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen.
● Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Auf-stellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht.
● Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme. Konservative Systeme sind Sys-teme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind.
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-2
2. Lagrange-Gleichungen
2.1 Lagrange-Gleichungen für allgemeine Systeme
2.2 Lagrange-Gleichungen für konservative Systeme
2.3 Beispiel: Federpendel
2.4 Beispiel: Hallenkran
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-3
2.1 Allgemeine Systeme
● Verallgemeinerte Koordinaten:– Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der
Massenpunkte durch n Ortsvektoren ri beschrieben.
– Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallge-meinerten Koordinaten q
j :
– Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die linearisierten Beziehungen
r i=r i q1 , , q f , i=1, , n
r i=∂ r i∂q1
q1∂ r i∂q f
q f=∑j
∂ r i∂q j
q j , i=1, ,n
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-4
2.1 Allgemeine Systeme
● Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte:– Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt:
– Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden:
– Mit den verallgemeinerten Kräften
folgt:
P=∑i
F ie⋅ r i=∑
i
F ie ⋅∑
j
∂ r i∂q j
q j=∑i∑j
F ie ⋅∂ r i∂q j
q j
P=∑j∑i
F ie ⋅∂ r i∂q j
q j
Q j=∑i
F ie ⋅∂ r i∂q j
P=∑j
Q j q j
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-5
2.1 Allgemeine Systeme
– Beispiel: Pendelx
z
Rφ
mg
r =R sinexcose z
F e =mg e z
∂ r∂
=R cose x−sine z
Q=Fe ⋅∂ r∂
=mg e z⋅R cos e x−sine z =−mg R sin
P=Q=−mg R sin
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-6
2.1 Allgemeine Systeme
● Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:– Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt:
– Wegen
gilt:
PT=−∑i
mi r i⋅ r i=−∑i
mi r i⋅∑j
∂ r i∂q j
q j
=−∑i∑j
mi r i⋅∂ r i∂q j
q j=−∑j∑i
mi r i⋅∂ r i∂q j
q j
ddt r i⋅
∂ r i∂q j = r i⋅
∂ r i∂q j
r i⋅∂ r i∂q j
mi r i⋅∂ r i∂q j
=middt r i⋅
∂ r i∂q j −mi r i⋅
∂ r i∂q j
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-7
2.1 Allgemeine Systeme
– Aus
folgt:
– Ableiten nach führt auf
– Damit gilt:
r i=r i q1 , , q f , i=1, , n
r i=∂ r i∂q1
q1∂ r i∂q f
q f=∑j
∂ r i∂q j
q j
q j∂ r i∂ q j
=∂ r i∂q j
mi r i⋅∂ r i∂q j
=middt r i⋅
∂ r i∂q j −mi r i⋅
∂ r i∂q j
=ddt mi r i⋅
∂ r i∂ q j −mi r i⋅
∂ r i∂q j
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-8
2.1 Allgemeine Systeme
– Wegen
gilt:
– Für die kinetische Energie eines Massenpunktes gilt:
∂
∂ q jmi r i⋅r i =mi
∂ r i∂ q j
⋅r imi r i⋅∂ r i∂ q j
=2mi r i⋅∂ r i∂ q j
∂
∂q jmi r i⋅r i =mi
∂ r i∂q j
⋅r imi r i⋅∂ r i∂q j
=2mi r i⋅∂ r i∂q j
mi r i⋅∂ r i∂q j
=ddt [ ∂
∂ q j 12mi r i
2]− ∂
∂q j 12mi r i
2
T i=12mi v i
2=12mi r i
2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-9
2.1 Allgemeine Systeme
– Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:
– Mit der kinetischen Energie des Gesamtsystems folgt:
PT=−∑j∑i
mi r i⋅∂ r i∂q j
q j=−∑j∑i ddt
∂T i∂ q j
−∂T i∂q j q j
T=∑i
T i
PT=−∑j [ddt
∂T∂ q j −
∂T∂q j ] q j
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-10
2.1 Allgemeine Systeme
● Prinzip der virtuellen Leistung:– Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung
folgt damit:
– Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig vonein-ander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für belie-bige virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summand für sich verschwinden.
PPT=0
∑j [Q j−
ddt
∂T∂ q j
∂T∂q j ] q j=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-11
2.1 Allgemeine Systeme
● Ergebnis:– Das Prinzip der virtuellen Leistung muss für beliebige virtu-
elle Geschwindigkeiten gelten.– Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig vonein-
ander sind, müssen die folgenden f Gleichungen erfüllt sein:
– Diese Gleichungen werden als Lagrangesche Gleichungen 2. Art bezeichnet.
ddt
∂T∂ q j −
∂T∂q j
=Q j , j=1, , f
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-12
2.1 Allgemeine Systeme
● Beispiel: Pendel– Kinetische Energie:
– Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt:
– Ableitungen der kinetischen Energie:
– Bewegungsgleichung:
T=12m x2z2
x=R cos , z=−R sin T=12m R22
∂T∂
=m R2 ,ddt
∂T∂
=m R2 ,∂T∂
=0
m R2=Q=−mg R sin
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-13
2.2 Konservative Systeme
● Konservative Systeme:– Ein System heisst konservativ, wenn alle eingeprägten
Kräfte konservativ sind.– Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an
einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt, aber unabhängig von der Bahnkurve ist.
C1
C2
P1
P2
W 12=∫C1
F⋅d r=∫C 2
F⋅d r
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-14
2.2 Konservative Systeme
– Die Gewichtskraft ist eine konservative Kraft:
– Die Kraft einer linear elastischen Feder ist eine konservative Kraft:
x
y
z
GP
1
P2
C1
C2
W G=−mg z2−z1
F
s1
s2
r
W F=−12c s2
2−s1
2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-15
2.2 Konservative Systeme
● Potenzial:– Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einem
Ort P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einem Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festen Bezugspunkt P
0 verschoben wird:
P0
P
C0
V P =W 0=∫C 0
F⋅d r
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-16
2.2 Konservative Systeme
– Potenzial der Gewichtskraft:● Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für
das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche:
– Potenzial der Federkraft:● Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann
gilt für das Potenzial der Federkraft:
V G x , y , z =mg z
V F s=12c s2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-17
2.2 Konservative Systeme
● Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial:– Für eine infinitesimale Änderung des Ortes gilt:
– Auf dem Weg vom Punkt mit den Koordinaten (x, y, z) an den Punkt mit den Koordinaten (x+dx, y+dy, z+dz) verrich-tet die Kraft die Arbeit
V xdx , ydy , zdz =V x , y , z dV
=V x , y , z ∂V∂ xdx∂V
∂ ydy∂V
∂ zdz
dV=∂V∂ xdx
∂V∂ ydy
∂V∂ zdz
dW=F⋅d r=F x dxF ydyF z dz
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-18
2.2 Konservative Systeme
– Aus folgt:
– Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten des Potentials.
– Schwerkraft:
– Federkraft:
dV=−dWF x=−
∂V∂ x
F y=−∂V∂ y
F=−∂V∂ r
F z=−∂V∂ z
V G x , y , z =mg z G z=−∂V G
∂ z=−mg
V F s=12c s2 F s=−
∂V F
∂ s=−c s
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-19
2.2 Konservative Systeme
● Systeme von Massenpunkten:– Für ein System von Massenpunkten ist die potenzielle
Energie gleich der Summe der potenziellen Energien der Massenpunkte:
– Für die Kraft auf einen Massenpunkt folgt:
– Damit gilt für die verallgemeinerten Kräfte:
V r1 , , r n=∑i
V i r i
F ie =−
∂V i∂ r i
=−∂V∂ r i
Q j=∑i
F ie⋅∂ r i∂q j
=−∑i
∂V∂ r i
⋅∂ r i∂q j
=−∂V∂q j
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-20
2.2 Konservative Systeme
– Dabei ist
● Lagrangesche Gleichungen für konservative Systeme:– Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind,
lauten die Lagrangeschen Gleichungen:
– Die Funktion
wird als Lagrangesche Funktion bezeichnet.
V q1 , ,q f =V r1q1 , ,q f , , rn q1 , ,q f
ddt
∂T∂ q j −
∂T∂q j
=−∂V∂q j
ddt
∂T∂ q j −
∂
∂q jT−V =0
L=T−V
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-21
2.2 Konservative Systeme
– Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeiten abhängt, erfüllt die Lagrangesche Funktion die Gleichungen
– Das sind die Lagrangeschen Gleichungen 2. Art für konser-vative Systeme.
– Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen müssen nur die kinetische und die potenzielle Energie berechnet werden.
– Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzieren nach den verallgemeinerten Koordinaten.
ddt
∂ L∂ q j −
∂ L∂q j
=0, j=1, , f
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-22
2.2 Konservative Systeme
● Beispiel: Pendel x
z
Rφx=R sin , z=R cos
V=−mg z=−mg R cos
L=T−V=12m R2 2mg R cos
∂ L∂
=m R2 ,ddt
∂ L∂ =m R2
∂ L∂
=−mg R sin m R2mg R sin=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-23
2.2 Konservative Systeme
● Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte:– Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte,
dann können die konservativen Kräfte in der Lagrange-Funktion berücksichtigt werden.
– Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verall-gemeinerten dissipativen Kräfte:
ddt
∂ L∂ q j −
∂ L∂q j
=Q jd , j=1, , f
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-24
2.3 Beispiel: Federpendel
● Aufgabenstellung:– Der abgebildete Schwinger besteht aus
einem Massenpunkt der Masse m und einer Feder mit der Federkonstanten c.
– Die augenblickliche Länge der Feder ist R.
– Die Länge der Feder im entspannten Zustand ist R
0.
– Gesucht sind die Bewegungsglei-chungen, wenn vorausgesetzt wird, dass der Schwinger sich nur in der Ebene bewegt.
c
m
P
R
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-25
2.3 Beispiel: Federpendel
● Verallgemeinerte Koordinaten:– Die Lage des Massenpunktes liegt
eindeutig fest, wenn die aktuelle Länge R der Feder und der Winkel φ gegeben sind.
– Als verallgemeinerte Koordinaten werden gewählt:
m
P
R φ
z
x
q1=RR0, q2=
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-26
2.3 Beispiel: Federpendel
– Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Ko-ordinaten besteht der Zusammenhang
– Daraus folgt für die Geschwindigkeit:
x=R sin=R0q1sin q2 , z=R cos=R0q1cosq2
v x= x=R0 q1sinq2q1 q2cosq2
vz= z=R0 q1cosq2−q1 q2sinq2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-27
2.3 Beispiel: Federpendel
● Kinetische Energie:– Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt:
T q1 ,q2 , q1 , q2=12m v x
2v z
2
=12mR0
2 [ q1sinq2q1 q2cosq2 2 q1cosq2−q1 q2sinq2
2]
=12mR0
2 q12q1
2 q22
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-28
2.3 Beispiel: Federpendel
● Potenzielle Energie:– Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der po-
tenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft.
– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft wird die entspannte Feder gewählt.
– Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:
V F q1 , q2=12c R−R0
2=12c R0
2q1−1
2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-29
2.3 Beispiel: Federpendel
– Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Ge-wichtskraft wird Punkt P gewählt.
– Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft:
V G q1 , q2=−mg z=−mg R0q1cosq2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-30
2.3 Beispiel: Federpendel
● Lagrange-Funktion:– Für die Lagrange-Funktion gilt:
– Dabei ist
– Die Lagrange-Funktion ist also gegeben durch
Lq1 ,q2 , q1 , q2=T q1 ,q2 , q1 , q2−V q1 ,q2
V q1 ,q2=V F q1 ,q2V G q1 ,q2
L=12mR0
2 q12q1
2 q22 −12c R0
2q1−1
2mg R0q1cosq2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-31
2.3 Beispiel: Federpendel
● Ableitungen der Lagrange-Funktion:
∂L∂ q1
=mR02 q1
ddt
∂L∂ q1 =mR0
2 q1
∂ L∂ q2
=m R02q1
2 q2 ddt
∂ L∂ q2 =mR0
2 2q1 q1 q2q12 q2
∂ L∂q1
=mR02q1 q2
2−c R0
2q1−1 mg R0 cosq2
∂ L∂q2
=−mg R0q1sin q2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-32
2.3 Beispiel: Federpendel
● Lagrange-Gleichungen:
ddt
∂ L∂ q1 −
∂ L∂q1
=0
m R02 q1−m R0
2q1 q22c R0
2q1−1 −mg R0cosq2=0
ddt
∂ L∂ q2 −
∂ L∂q2
=0
m R02 2q1 q1 q2q1
2 q2 mg R0q1sin q2=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-33
2.3 Beispiel: Federpendel
– Die Bewegungsgleichungen lauten also:
q1−q1 q22cm
q1−1 −gR0cosq2=0
q1 q22 q1 q2gR0sinq2=0
R=R0q1 , =q2
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-34
2.3 Beispiel: Federpendel
● Spezialfall: Geradlinige Bewegung– Für die Anfangsbedingungen ist
eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung.– Die erste Bewegungsgleichung lautet dann
– Die statische Lösung dieser Gleichung ist
q20=0, q20=0
q2t =0
q1cm
q1−1 −gR0
=0 q1cmq1=
cmgR0
q1s=1mgc R0
R s=R0mgc
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-35
2.3 Beispiel: Federpendel
– Rs ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in
der Ruhelage hat.– Mit folgt:
– Daraus folgt:
– Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der sta-tischen Ruhelage.
– Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassen-schwingers.
q1=q1 sx xcm
q1 sx =cmgR0
xcmx=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-36
2.3 Beispiel: Federpendel
● Grenzfall: Sehr steife Feder– Für folgt aus der ersten Gleichung:
– Damit lautet die zweite Gleichung:
– Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels.
c /m∞ q11
q2gR0sin q2=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-37
2.4 Beispiel: Hallenkran
m2
m1c
H
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-38
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Berechnungsmodell:– Der Hallenkran besteht aus einem als starr angenommenen
Träger, auf dem sich die Laufkatze bewegt.
– Die Laufkatze hat eine Gesamtmasse m1.
– Die Elastizität des Antriebs wird durch eine lineare Feder mit der Federkonstanten c abgebildet.
– An der Laufkatze hängt an einem dehnstarren masselosen Seil der Länge H die Traglast der Masse m
2.
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-39
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Die Laufkatze läuft auf vier Rädern. – Das Massenträgheitsmoment eines jeden Rades um seine
Achse ist J.– Jedes Rad hat den Radius R.
● Aufgabenstellung:– Es sind die Bewegungsgleichungen aufzustellen für den
Fall, dass der Antrieb ausgeschaltet ist.
RJ
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-40
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Wahl der Koordinaten:
m2
m1c
x
z
φ
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-41
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Physikalische Koordinaten:● Die Position der Laufkatze wird durch die Koordinate x
1 be-
schrieben, die ab der Ruheposition gemessen wird.● In der Ruheposition ist die Feder entspannt.● Die Stellung der Räder wird durch den Winkel φ beschrieben,
der ab der Stellung der Räder in der Ruheposition gemessen wird.
● Es wird angenommen, dass die Räder rollen. Daher haben alle Räder den gleichen Winkel φ.
● Die Position der Traglast wird durch die Koordinaten x2 und z
2
beschrieben.
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-42
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Zwangsbedingungen:● Die Räder der Laufkatze rollen, ohne zu gleiten. Daher gilt:
● Die Länge des Seils ist konstant:
x 1=R =x1R
x2−x 1 2z 2
2=H 2
R
x 1
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-43
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Verallgemeinerte Koordinaten:● Das System hat 2 Freiheits-
grade.● Als verallgemeinerte Koordina-
ten werden die Position x1 der
Laufkatze und der Winkel ψ, der die Lage der Traglast beschreibt, gewählt.
– Zusammenhang zwischen den Koordinaten:
x
z
ψ
x1
x 2=x1H sin , z 2=H cos
x2= x1H cos , z2=−H sin
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-44
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Kinetische Energie:– Die kinetische Energie setzt sich zusammen aus der trans-
latorischen kinetischen Energie der Laufkatze, der rotato-rischen kinetischen Energie der vier Räder und der kine-tischen Energie der Traglast.
– Translatorische kinetische Energie der Laufkatze:
– Kinetische Energie der vier Räder:
T 1T=12m1 x1
2
T 1 R=4⋅12J 2
=2J
R2x12
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-45
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Kinetische Energie der Traglast:
– Gesamte kinetische Energie:
T 2=12m2 x 2
2 z 2
2 =12m2 [ x1H cos
2
2H 2sin2 ]
=12m2 x1
22 x1H cosH 2
2
T=T 1TT 1 RT 2
=[12
m1m2 2J
R2 ] x1212m2 H
222 x1H cos
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-46
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Potenzielle Energie:– Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der po-
tenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen Energie der Gewichtskraft.
– Die potenzielle Energie der Federkraft wird ab der Ruhe-lage, in der die Feder entspannt ist, gemessen. Dann gilt
– Der Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Ge-wichtskraft wird in den Ursprung des Koordinatensystems gelegt. Dann gilt:
V F=12c x1
2
V G=−m2 g z 2=−m2 g H cos
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-47
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Gesamte potenzielle Energie:
● Lagrange-Funktion:
V=V FV G=12c x1
2−m2 g H cos
L=T−V
L=[12
m1m2 2J
R2 ] x1212m2 H
222 x1H cos
−12c x1
2m2 g H cos
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-48
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Mit folgt:
– Ableitungen:
m1=m14 J /R2
L=12 m1m2 x1
212m2 H
222 x1H cos
−12c x1
2m2 g H cos
∂ L∂ x1
= m1m2 x1m2H cos
ddt
∂L∂ x1 = m1m2 x1m2H cos−
2sin
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-49
2.4 Beispiel: Hallenkran
∂ L∂
=m2H H x1cos
ddt
∂ L∂ =m2H H x1cos− x1 sin
∂ L∂ x1
=−c x1 ,∂ L∂
=−m2H x1g sin
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-50
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Lagrange-Gleichungen:
ddt
∂ L∂ x1 −
∂ L∂ x1
=0
m1m2 x1m2H cos−2sin c x1=0
ddt
∂ L∂1
−∂ L∂
=0
m2H H x1cos− x1sin m2H x1g sin=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-51
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Die Bewegungsgleichungen lauten also:
H x1cosg sin=0
m1m2 x 1m2H cos−2sin c x1=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-52
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Grenzfall: Sehr steife Feder– Für folgt aus der ersten Gleichung:
– Damit lautet die zweite Gleichung:
– Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen Pendels.
c∞ x10
gHsin=0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-53
2.4 Beispiel: Hallenkran
● Linearisierung:– Für kleine Winkel ψ gilt:
– Damit vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu
– Dieses System von zwei gekoppelten homogenen linearen Differentialgleichungen beschreibt die freien Schwingungen eines Systems mit zwei Freiheitsgraden.
cos≈1, sin≈ , 2sin≈
2≈0
m1m2 x1 m2H c x1 = 0
x1 H g = 0
Prof. Dr. Wandinger 5. Prinzipien der Mechanik Dynamik 2 5.2-54
2.4 Beispiel: Hallenkran
– Für den Spezialfall c = 0 folgt aus der ersten Gleichung:
– Damit lautet die zweite Gleichung:
– Wenn die Trägheit der Laufkatze groß gegenüber der Masse der Traglast ist, gilt
– Damit ergibt sich die linearisierte Gleichung für das mathe-matische Pendel:
x1=−m2H
m1m2
gH
m1m2m1
=0
m1m2
m1m2m1
=1m2m1
≈1
gH
=0