5. Kritische Drehzahl - wandinger.userweb.mwn.dewandinger.userweb.mwn.de/LA_Dynamik_2/v6_5.pdf ·...

Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik 2 6.5-1

5. Kritische Drehzahl

z

y

c/4

c/4

c/4

c/4

m

O O S

ex

y

Ω

● Aufgabenstellung:



– Der starre Körper mit der Masse m dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω um die ortsfeste z-Achse.

– Der Körper ist elastisch gelagert, wobei die Steifigkeit der Lagerung in allen Richtungen in der xy-Ebene den gleichen Wert hat.

– Der Schwerpunkt des Körpers hat den Abstand e von der Drehachse.

– Gesucht ist die Auslenkung u des starren Körpers im sta-tischen Gleichgewicht.



● Statisches Gleichgewicht:– Das statische Gleichgewicht wird in einem mitrotierenden

Koordinatensystem Oξηζ untersucht, dessen ζ-Achse mit der ortsfesten z-Achse übereinstimmt.

– Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass der Schwer-punkt auf der ξ-Achse liegt.

– Der Ursprung des mitrotierenden Koordinatensystems liegt auf der Drehachse.



– Gleichgewicht in der ausgelenkten Lage:

u

e

S

O FZ

FF

ξ

η

F Z=m2ue

F F=c u

−F FF Z=0

● Zentrifugalkraft:

● Federkraft:

● Gleichgewicht:



– Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt für die statische Auslenkung:

– Mit gilt:

−cum2ue =0 u=

m2ec−m

2

c2=cm

ue=

/c 2

1−/c 2



ue=

/c 2

1−/c 2



F Z /c=0,50

F Z /c=0,75

F Z /c=1,25

F Z /c=1,50

F F



● Kritische Drehzahl:– Die Drehzahl

wird als kritische Drehzahl bezeichnet.

– Die kritische Winkelgeschwindigkeit Ωc stimmt mit der

Eigenkreisfrequenz des elastisch gelagerten starren Kör-pers überein.

nc=c

2



– Unterkritischer Bereich:● Die Drehzahl ist kleiner als die kritische Drehzahl.● Die statische Auslenkung ist positiv.● Die statische Auslenkung nimmt mit zunehmender Drehzahl

zu.– Kritische Drehzahl:

● Wenn die Drehzahl mit der kritischen Drehzahl überein-stimmt, wird die statische Auslenkung unendlich groß.

● Ein Betrieb mit der kritischen Drehzahl führt zur Zerstörung des Bauteils.



– Überkritischer Bereich:● Die Drehzahl ist größer als die kritische Drehzahl.● Die statische Auslenkung ist negativ.● Die statische Auslenkung nimmt mit zunehmender Drehzahl

ab.



● Selbstzentrierung:– Für sehr große Drehzahlen gilt:

– Die statische Verschiebung stellt sich so ein, dass der

Schwerpunkt auf der Drehachse liegt.– Dieser Effekt wird als Selbstzentrierung bezeichnet.

lim∞

ue= lim

∞

/c 2

1−/c 2=−1



– Bauteile, bei denen sich eine statische Unwucht nicht vermeiden lässt, werden weich gelagert und überkritisch betrieben.

– Beim Ein- und Ausschalten muss der kritische Bereich schnell durchfahren werden.

– Beispiel: Waschmaschine



● Biegewellen:– Eine starre Scheibe sitzt auf einer elastischen Welle, die um

die z-Achse rotiert.

z

y

L/2 L/2

EIEI



– Anstelle der Lagersteifigkeit ist die Biegesteifigkeit für die Auslenkung der Welle an der Stelle, an der sich die Scheibe befindet, zu nehmen.

– Für eine beidseitig gelenkig gelagerte Welle, bei der sich die Scheibe in der Mitte befindet, gilt z.B.

– Die kritische Drehzahl bei Biegewellen wird als biegekri-tische Drehzahl bezeichnet.

c=48 EIL3



– Überkritisch laufende Wellen wurden zuerst von Gustav de Laval im Jahre 1883 experimentell untersucht.

– Der theoretische Nachweis für die Stabilität wurde von Föppl (1895) und Stodola (1904) erbracht.



● Stabilität:– Zur Untersuchung der Stabilität wird die Bewegungsglei-

chung im mitrotierenden Bezugssystem verwendet.– Es muss untersucht werden, wie das System auf eine

kleine Störung der statischen Ruhelage reagiert.– Im mitrotierenden Bezugssystem lautet die Bewegungsglei-

chung:

– Für die Relativbeschleunigung gilt:– Die einzige äußere Kraft ist die Federkraft:

mar=FF fFc

ar=u bv b

F=−c u bv b



– Wenn das Bauteil mit einer konstanten Winkelgeschwindig-keit rotiert, stimmt die Führungskraft mit der Zentrifugalkraft überein:

– Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:– Für den Ortsvektor des Schwerpunkts gilt:

– Damit berechnet sich die Zentrifugalkraft zu

F f=−m××r S

=b

rS=eu bv b

F f=−m2b×[b×eubv b ]

=−m2 b×[ eu b−v b ]

=m2[ eu bv b ]



– Für die Corioliskraft gilt:

– Damit lautet die Bewegungsgleichung:

– In der statischen Ruhelage gilt:

– Für den gestörten Zustand gilt:

F c=−2m× vSB

=−2mb×u bv b =−2m ub−v b

mu = −c−m2 u 2m v m2e

m v = −c−m2 v − 2mu

u=uS=const. und v=0

ut =uSut und v t =v t



– Mit folgt:

– Lösungsansatz:– Eingesetzt:

c−m2 uS=m

2e

m u − 2m v c−m2 u =0

m v 2m u c−m2 v =0

ut =U expi t , v t =V exp it

[c−m 2

2 ]U − 2i mV = 0

2 imU [c−m 2

2 ]V = 0



– Mit folgt:

– Dieses homogene Gleichungssystem hat nur dann von Null verschiedene Lösungen, wenn die Determinante Null ist:

– Daraus folgt die charakteristische Gleichung

c /m=c2

[c2−

2−

2−2i

2 i c2−

2−

2][UV ]=[00]

∣c2−

2−

2−2i

2 i c2−

2−

2∣=0

[ c2−

2 −2 ]2−42

2=0



– Die charakteristische Gleichung lässt sich umformen zu

– Die ersten beiden Lösungen berechnen sich aus

zu– Die verbleibenden beiden Lösungen berechnen sich aus

zu

c2−

2−

2=2

22−c

2−

2 =0

[ c2−

2 −2 ]2=42

2

1 /2=−±2c

2−

2=−±c

c2−

2−

2=−2

2−2−c

2−

2 =0

3/4=±2c

2−

2=±c



– Für Ω ≠ Ωc existieren immer vier verschiedene reelle Lö-

sungen.– Damit bleibt die Störung beschränkt. Das System ist stabil.

– Für Ω = Ωc gibt es keine statische Gleichgewichtslage. Die

Bewegungsgleichungen vereinfachen zu

– Integration der zweiten Gleichung ergibt:

u = 2c v c2e

v = −2c u

v=−2cuC 1



– Einsetzen in die erste Gleichung führt auf

– Diese Gleichung hat die Lösung

– Daraus folgt:

u=2c −2cuC 1 c2e u4c

2u=2cC1c2e

ut =U s sin 2c t U c cos2c t 2cC1c

2e

4c2

v t =U s cos2C t −U c sin 2c t −2cC1c

2e

2c

tC2



– Einsetzen in die Bewegungsgleichung ergibt

– Aus folgt: – Damit lautet die Lösung:

– Die Verschiebung v(t) nimmt unbeschränkt zu.

−2CC1−c2ec

2e=0 C1=0

ut =U s sin 2c t U c cos2c t e4

v t =U s cos2c t −1−U c sin 2c t −e2c t

v 0=0 C 2=−U s

Date post:	30-Aug-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

5. Kritische Drehzahl - wandinger.userweb.mwn.dewandinger.userweb.mwn.de/LA_Dynamik_2/v6_5.pdf ·...

Documents