Kapitel 4:Symmetrieelemente ohne Translation

4.1 Symmetrieeigenschaften4.2 Drehachsen4.3 Drehinversionsachsen

Symmetrieeigenschaften

Symmetrie bedeutet gesetzmäßige Wiederholung eines Motivs.

(Alle Deckoperationen heißen Symmetrieoperationen.)

Sind ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene dadurch ausgezeichnet, daß sie nach Einwirkung einer

Symmetrieoperation am Ort verbleiben, so nennt man sie das zugehörige Symmetrieelement.

Die Kenntnis der Symmetrieelemente bringt erhebliche

Vorteile.

Symmetrieeigenschaften

Allen Gittern gemeinsam ist die Translationssymmetrie.(Einwirkung von 3 nicht komplanaren Gitter-Translationen auf

einen Punkt Raumgitter)

Andere Symmetrieeigenschaften treten nicht notwendigerweise in jedem Gitter auf.

Die Translationssymmetrie schränkt die Zahl denkbarer

Symmetrieelemente drastisch ein.

Symmetrieoperationenr´ = M r + t

Drehung Translation

• 2 Gruppen von Symmetrieoperationen:• t = 0

• Bestimmen die Kristallmorphologie.• Sind makroskopisch erkennbar.• Sind auf Objekte endlicher Ausdehnung streng anwendbar.

• t 0 • Bechreiben die Kristallstruktur. • Sind makroskopisch nicht erkennbar. • Sind streng nur auf -ausgedehnte Objekte anwendbar.

Symmetrieoperationen

Gitterpunkt transformierter Gitterpunkt Drehung

r = x a + y b + z c r´ = x´ a + y´ b + z´ c r´ = M r

x´ x y´ = M y z´ z

Drehwinkel: 360°Symbol: 1 (nach Hermann-Mauguin)graphisches Symbol: -

Identität

Identität

Orientierungsmöglichkeiten:

Symbol Symbol nach Int. Tables

Koordinatensysteme

1 1 a,m,o,r,h,t,c

1 0 0

M1 = 0 1 00 0 1

Zweizählige Drehachse

Drehwinkel: 180°Symbol: 2graphisches Symbol:

Afrikanisches MosaikAlmandin (Sammlung TU Clausthal-Z.)

Zweizählige Drehachsen

Symbol Symbol nach Int. Tables

Koordinatensysteme

2a 2 x,0,0 o, t, c 2a 2 x,0,0 h 2b 2 0,y,0 m, o, t, c 2b 2 0,y,0 h 2c 2 0,0,z m, o, t, h, c 2[110] 2 x,x,0 t, h, c 2[1-10] 2 x,-x,0 t, r, h, c 2[101] 2 x,0,x c 2[-101] 2 -x,0,x r, c 2[011] 2 0,x,x c

Orientierungsmöglichkeiten:

Dreizählige Drehachse

Drehwinkel: 120°Symbol: 3graphisches Symbol:

Gebrauchsgrafik

Molekül

Almandin-Einkristall

Dreizählige DrehachsenOrientierungsmöglichkeiten:

SymSymbol Symbol nach Int. Tables

Koordinatensysteme

31c 3+ 0,0,z h

32c 3- 0,0,z h

31[111] 3+ x,x,x r, c

32[111] 3- x,x,x r, c

31[1-1-1] 3+ x,-x,-x c

32[1-1-1] 3- x,-x,-x c

31[-11-1] 3+ -x,x,-x c

32[-11-1] 3- -x,x,-x c

31[-1-11] 3+ -x,-x,x c

32[-1-11] 3- -x,-x,x c

0 -1 0

M(31c)= 1 -1 0

0 0 1

Vierzählige DrehachseDrehwinkel: 90°Symbol: 4graphisches Symbol:

EdelsteinschliffAlmandin-Granatoeder

Vierzählige DrehachsenOrientierungsmöglichkeiten:

Symbol Symbol nach Int. Tables

Koordinatensysteme

41c 4+ 0,0,z t, c

43c 4- 0,0,z t, c

41a 4+ x,0,0 c

43a 4- x,0,0 c

41b 4+ 0,y,0 c

43b 4- 0,y,0 c

0 -1 0

M(41c)= 1 0 0

0 0 1

Sechszählige Drehachse

Drehwinkel: 60°Symbol: 6graphisches Symbol:

Edelsteinschliff

Sechszählige Drehachsen

Orientierungsmöglichkeiten:

Symbol Symbol nach Int. Tables

Koordinatensysteme

61c 6+ 0,0,z h

65c 6- 0,0,z h

5-7-...

5-, 7- und höherzählige Drehachsen genügennicht der Translationssymmetrie. Deshalb sind sie in dreidimensional-periodischen Strukturen verboten.

Parallele Gittergeraden müssen gleiche Translationsperiode haben.

Kontinuierliche Drehung

Drehwinkel: beliebigSymbol: graphisches Symbol: -

Fujiyama

Kreisel

Kontinuierliche Drehung

Repräsentiert u.a. Feldsymmetrien.

Matrix einer Drehung um c mit

cos -sin 0 M = sin cos 0

0 0 1

Grundwissen Drehachsen

1 in allen

2 monoklin, rhombisch, trigonal, hexagonal, tetragonal, kubisch

3 trigonal, hexagonal, kubisch

4 tetragonal, kubisch

6 hexagonal

5 nur in Quasikristallen

-

Drehachsen können in folgenden Kristallsystemen auftreten:

SymmetrieeigenschaftenDrehung und Translation sind eigentliche, kongruente

SymmetrieoperationenI. Art.

(Sie bringen Objekte mit sich selbst zur Deckung.)

Drehinversionen sind uneigentliche, enantiomorphe

SymmetrieoperationenII. Art.

(Sie überführen ein Objekt in sein Spiegelbild.)

Man kann sie als Kopplung von Drehung und Inversion

veranschaulichen.

Drehinversion

Gitterpunkt transformierter Drehung + Inversion Gitterpunkt

r = x a + y b + z c r´ = x´ a + y´ b + z´ c

r´ = M r

-1 0 0 0 -1 0 0 0 -1

Inversion

Drehwinkel: 360°Symbol: 1 (nach Hermann-Mauguin)

graphisches Symbol: o

Inversionszentrum

¯

SpiegelebeneDrehwinkel: 180°Symbol: m = 2graphisches Symbol:

¯

Afrikanischer Geist

Muschel

Almandin (kubisch)

Dreizählige Drehinversionsachse

Drehwinkel: 120°Symbol: 3graphisches Symbol:

¯Blick:von vorn

von hinten

Almandin (Fe3Al2[SiO4]3

Vierzählige DrehinversionsachseDrehwinkel: 90°Symbol: 4graphisches Symbol:

¯

Almandin - {100}- und {110}Flächen

Sechszählige Drehinversionsachse

Drehwinkel: 60°Symbol: 6graphisches Symbol:

¯

Stereogramm einer trigonalen Dipyramide

5-7-...

5-, 7- und höherzählige Drehinversionsachsen genügen nicht der Translationssymmetrie. Deshalb sind sie in dreidimensional-periodischen Strukturen verboten.

Kontinuierliche Drehung

Drehwinkel: beliebigSymbol: graphisches Symbol: -

¯

Grundwissen Drehinversionsachsen

1 in allen

2=m monoklin, rhombisch, trigonal, hexagonal, tetragonal, kubisch

3 trigonal, hexagonal, kubisch

4 tetragonal, kubisch

6 hexagonal

5 nur in Quasikristallen

-

Drehinversionsachsen können in folgenden Kristallsystemen auftreten:

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

• Bestimmen Sie die Lage aller 13 einfachen Drehachsen eines Würfels !• Welchen Querschnitt hat ein Prisma, das eine 2-, 3-, 4- oder 6-zählige

Drehachse zeigt ?• Welche Drehinversionsachsen enthalten ein Inversionszentrum ?• Formulieren Sie die Matrizen für die folgenden Symmetrieoperationen:

• 2b (2 0,y,0)

• 3c2 (3- 0,0,z)

• 4b1 (4+ 0,y,0)

• Geben Sie an, für welche Koordinatensysteme die Matrizen gültig sind !

• Bestimmen Sie an ausgewählten Kristallmodellen (Holzklötzchen) die Symmetrieelemente !

Hinweis: M·( ) => neue Koordinaten

xyz

Übung 4