Kapitel 1.1: Marktgleichgewicht und E zienz - Fakultät - WiWi · 1.Eine Situation X ist pareto-e...

Kapitel 1.1:

Marktgleichgewicht und Effizienz1

Dr. Jorg Franke

Technische Universitat Dortmund

Sommersemester 2011

1Diese Folien dienen der Erganzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor- undNachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewahr fur Richtigkeitund/oder Vollstandigkeit ubernommen.

Kapitel 1Markt und PreisExperiment 1

Markt und Preis

Wo realisieren sich uberhaupt Preise?

Haushalte

Konsum

Unternehmen

Produktion

Faktor Guter

Schematische Darstellung: Wirtschaftskreislauf

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Preise realisieren sich auf Markten:

▸ Konsumguter → Gutermarkte.

▸ Produktionsfaktoren (Arbeit, Kapital) → Faktormarkte.

Allokative Funktion: Preise als Knappheitsindikator?

Aggregation von privaten Informationen:

▸ Wunsche/Bedurfnisse der Haushalte, z.B. Trends, Moden,Preisanstieg auf Tantal-Markt.

▸ Produktionstechnologien, inkl. Erwartungen derMarktteilnehmer.

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Beispiel: Kursverlauf von Apple Inc. am 17.01.2011:

▸ Vortag: 260,20 EU▸ Schlusskurs: 242,10 EU▸ Aktienanzahl: 906 Mio.

Gesamter Tagesverlust: 7,96 % → 16,4129 Mrd. EU.3 / 14


Preise transformieren private in offentliche Information:

private Information:- Produktionstechnologien/-kosten- Bedurfnisse/Erwartungen

Wettbewerbsmarkt

offentliche Information: Preise- Grenzkosten- Reservationspreise

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Marktpreise ermoglichen dezentrale Faktor-/Guterallokation:

▸ Bewertungsmaßstab fur Guter und Leistungen

▸ Lenkung der Produktionsfaktoren → produktivsteVerwendung

▸ Lenkung des Konsums → Zahlungsbereitschaft (hoherNutzen)

▸ Ausgleich von Marktangebot und -nachfrage

▸ Generieren Einkommen (distributive Funktion)

Frage: Wie bilden sich Preise im Wettbewerbsmarkt?

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Beispiel eines Wettbewerbsmarkts: Parketthandel

Chicago Board of Trade.

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Preisfindung im Wettbewerbsmarkt

Realitat: Dezentrale Preisverhandlung zwischen individuellenAnbieter und Nachfrager.

Theoretisches Resultat: Im Marktpreis entsprichtMarktangebot der Marktnachfrage.

Vorhersagekraft der Theorie experimentell uberprufbar!

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Simulation des Preisfindungsprozeß als Experiment:

▸ Handelbar ist die TU-Aktie.

▸ Sie sind Nachfrager oder Anbieter einer TU-Aktie.

▸ 50 Nachfrager mit Reservationspreis PN (Maximalpreis).

▸ 50 Anbieter mit Reservationspreis PA (Minimalpreis).

▸ Je ein Anbieter und Nachfrager einigen sich auf Preis P:

PA ≤ P ≤ PN .

▸ Berechnung des individuellen Transaktionsgewinns:▸ Nachfrager: PN − P ≥ 0▸ Anbieter: P − PA ≥ 0.

▸ Erfolgsbeteiligung: Zufallig bestimmter Teilnehmer erhaltFunftel seines Transaktionsgewinns in EU!

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Beispielrechnung:

▸ Nachfrager mit Maxmimalpreis PN = 90 trifft auf

▸ Anbieter mit Minimalpreis PA = 30

▸ Einigung auf Transaktion zu Preis P = 40.

Berechnung individueller Transaktionsgewinn:

▸ fur Nachfrager: PN − P = 90 − 40 = 50.

▸ fur Anbieter: P − PA = 40 − 30 = 10.

Erfolgsbeteiligung:

▸ Nachfrager erhalt (falls zufallig bestimmt) 10 EU.

▸ Anbieter erhalt (falls zufallig bestimmt) 2 EU.

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Verteilung der Reservationspreise:

Verteilung Reservationspreise

0

2

4

6

8

10

12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Reservationspreis

Häu

figke

it

Nachfrager Anbieter

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Ablauf des Experiments:

▸ Jeder Teilnehmer erhalt einen Transaktionsbogen.

▸ Wichtig: Daten sollten privat bleiben!

▸ Experiment besteht aus 2 Transaktionsrunden.

▸ Jeder Teilnehmer ist Nachfrage in einer und Anbieter inder anderen Runde.

▸ Teilen Sie Ihren Bogen mittig: Obere Teil ausschließlichfur Runde 1 bestimmt!

▸ Vermerken Sie auf beiden Teilen ihre Matrikelnr.!

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▸ Jede Runde dauert 15 min.

▸ Bei erfolgreicher Transaktion notieren Anbieter undNachfrager jeweils:

▸ Matrikelnr. des Transaktionspartners,▸ Transaktionspreis,▸ Realisierter Transaktionsgewinn,▸ Beide Transaktionsbogen werden gemeinsam abgegeben!

▸ Nach Abschluss einer Runde sind alle (auch unbenutzte)Transaktionsbogen fur die entsprechende Rundeabzugeben!

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Theoretische Analyse des TU-Aktienmarkts

1. Reservationspreis → Individuelle Nachfrage- bzw. Angebotsfunktion:

xNi (P) = {1 falls P ≤ PNi ,

0 falls P > PNi .

xAi (P) = {1 falls P ≥ PAi ,

0 falls P < PAi .

2. Summation der ind. Nachfrage-/Angebotsfunktionen →Marktnachfrage bzw. Marktangebot:

XN(P) =∑i∈N

xNi (P) XA(P) =∑i∈A

xAi (P)

3. Marktgleichgewicht → Marktnachfrage entspricht Marktangebot.

Fur Gleichgewichtspreis P∗ gilt dann:

P∗ ∶ XN(P∗) = XA(P∗).

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Preis-Mengen Diagramm TU-Aktienmarkt

X

P

0 10 20 X ∗ = 30 40 50

102030405060

8070

90100 PN(X )

PA(X )

P∗ ∈ [50,60]

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Kapitel 1.2:


Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 1

Experiment 1: AuswertungPareto-EffizienzEffizienz des MarktmechanismusDezentralisierbarkeit

Theoretische Analyse des TU-Aktienmarkts

1. Reservationspreis → Individuelle Nachfrage- bzw. Angebotsfunktion:

xNi (P) = {

1 falls P ≤ PNi ,

0 falls P > PNi .

xAi (P) = {

1 falls P ≥ PAi ,

0 falls P < PAi .

2. Summation der ind. Nachfrage-/Angebotsfunktionen →Marktnachfrage bzw. Marktangebot:

XN(P) =∑

i∈N

xNi (P) XA

(P) =∑i∈A

xAi (P)

3. Marktgleichgewicht → Marktnachfrage entspricht Marktangebot.

Fur Gleichgewichtspreis P∗ gilt dann:

P∗ ∶ XN(P∗) = XA

(P∗).

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Kapitel 1


Verteilung der Reservationspreise Runde 1:


0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Reservationspreis

Häufigkeit

Nachfrager Anbieter

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Kapitel 1


Preis-Mengen Diagramm TU-Aktienmarkt: Runde 1:

X

P

0 2 4 6 X ∗ = 9 12 14 16

10203040

P∗ = 5060

8070

90100 PN

(X )

PA(X )

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Kapitel 1


Marktgleichgewicht: (P∗ = 50,X∗ = 9)

▸ Konsumentenrente: Summe der Transaktionsgewinneder (aktiven) Nachfrager N : ∑i∈N(P

Ni − P

∗) = 270

▸ Produzentenrente: Summe der Transaktionsgewinneder (aktiven) Anbieter A: ∑i∈A(P

∗ − PAi ) = 200

Eigenschaften des Gleichgewichtspreises P∗:

Marktpreis P∗ maximiert Summe aus Konsumenten- undProduzentenrente (hier: Aggregierte Transaktionsgewinne):

P∗ = arg maxP ∑i∈N(PNi − P) +∑i∈A(P − P

Ai ) = 50

maxP ∑i∈N(PNi − P) +∑i∈A(P − P

Ai ) = 470

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Kapitel 1


Auswertung Runde 1

Erwartetes Marktgleichgewicht:

▸ Marktpreis: P∗ = 50

▸ Transaktionen: X ∗ = 9

▸ Summe Transaktionsgewinne: 470

Experimentell realisierte Transaktionen:

▸ Realisierte Transaktionspreise: Min=30, Max=60

▸ Durchschnittlicher Transaktionspreis: P = 48,33

▸ Realisierte Transaktionen: X ∗ = 9

▸ Realisierte ind. Transaktionsgewinne: Min=5,Max=70

▸ Realisierte Summe Transaktionsgewinne: 450

5 / 26

Kapitel 1


Verteilung der Reservationspreise Runde 2:


0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Reservationspreis

Häufigkeit

Nachfrager Anbieter

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Kapitel 1


Preis-Mengen Diagramm TU-Aktienmarkt: Runde 2:

X

P

0 2 4 6 X ∗ = 9 12 14 16

10203040

P∗ = 5060

8070

90100 PN

(X )

PA(X )

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Kapitel 1


Auswertung Runde 2

Erwartetes Marktgleichgewicht:

▸ Marktpreis: P∗ = 50

▸ Transaktionen: X ∗ = 9

▸ Summe Transaktionsgewinne: 450

Experimentell realisierte Transaktionen:

▸ Realisierte Transaktionspreise: Min=30, Max=70

▸ Durchschnittlicher Transaktionspreis: P = 52,22

▸ Realisierte Transaktionen: X ∗ = 9

▸ Realisierte ind. Transaktionsgewinne: Min=0,Max=50

▸ Realisierte Summe Transaktionsgewinne: 430

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Kapitel 1


Zusammenfassung Experiment 1

1. Abstraktes Modell eines spezifischen Wettbewerbsmarktmit vereinfachenden Modellannahmen.

2. Ableitung testbarer Hypothesen.

3. Experimentelle Resultate bestatigen (weitestgehend)theoretisch abgeleitete Vorhersagen:

▸ Marktpreis,▸ Gehandelte Menge,▸ ”Wohlfahrt”→ Aggregierte Transaktionsgewinne

Fazit: Theoretisches Modell hat Vorhersagekraft!

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Kapitel 1


Eigenschaften des Marktgleichgewichts (P∗,X∗)

Bei P∗ existiert weder Uberschussnachfrage noch -angebot:

Fur P ′ < P∗ ∶ xN(P ′) > xA(P ′) → Uberschussnachfrage

Fur P ′ > P∗ ∶ xN(P ′) < xA(P ′) → Uberschussangebot

Beobachtung 1: Im Marktgleichgewicht gibt es keinAnbieter-Nachfrager-Paar, das bereit ware weitereTransaktionen zu P ′ >=< P∗ durchzufuhren.

Beobachtung 2: Fur Alternativpreis P ′ ≠ P∗ gilt: ZusatzlicheTransaktionsgewinne im Markt realisierbar.

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Kapitel 1


Implikation: Marktpreis P∗ ist pareto-effizient → Keinezusatzlichen Transaktionsgewinne durch Wahl einesAlternativpreises P ′ ≠ P∗ realisierbar.

Definition Pareto-Prinzip

1. Eine Situation X ist pareto-effizienter als Situation Y,wenn niemand sich in X schlechter stellt als in Y undmindestens eine Person in X besser gestellt ist als in Y.

2. Eine Situation X ist pareto-effizient, wenn keine andereSituation pareto-effizienter ist als Situation X.

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Kapitel 1


Markt fur TU-Aktien ist sehr speziell. Problem:

1. Konsumenten/Produzentenrente gemessen in EU, d.h.Einkommen. Aber: Einkommen hat unterschiedlicheBedeutung fur Individuen.

2. Individuelle Nachfrage-/Angebotsfunktion resultiert ausdem Nutzenkalkul des Konsumenten:

▸ Experiment: xi(P) = {1 falls P≤PN

i ,

0 falls P>PNi .

▸ generell: xi(px ,py , . . .) = arg maxxi ui(xi , yi , . . .)u.d.B. pxxi + pyyi + . . . ≤ wi

⇒ Konsument maximiert Nutzen bei gegebenem Budget.

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Kapitel 1


Losung: Evaluierung der Allokation im Nutzenraum:

”Person i ist unter Allokation X besser gestellt als unter Y“

⇔

ui(xi) > ui(yi)

Definition Pareto-Prinzip im Nutzenraum

1. Eine Allokation X ist pareto-effizienter als Allokation Y ,wenn:

ui(xi) ≥ ui(yi) fur alle i ∈ N und

ui(xi) > ui(yi) fur mind. ein i ∈ N .

2. Eine Allokation X ist pareto-effizient, wenn keine andereSituation pareto-effizienter ist als Allokation X.

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Kapitel 1


Bemerkungen zum Pareto-Kriterium:

1. Existenz mehrerer pareto-effizienten Allokationen moglich.

2. Pareto-Effizienz macht keine Aussagen uber Verteilungs-gerechtigkeit ⇒ Neutralitat gegenuber distributivenZielen.

3. Pareto-effiziente Allokationen sind”verschwendungsfrei“.

Fazit: Pareto-Effizienz ist schwaches (relativ unumstrittenes)Optimalitatskriterium.

14 / 26

Kapitel 1


Exkurs: Verteilungsgerechtigkeit und Effizienz

▸ Aufteilung von 10 Apfeln auf Person A und B:

0 ≤ xA + xB ≤ 10.

▸ Nutzen: uA(xA) = xA, uB(xB) =√xB .

Situation 1: Nutzen beschreibt Vitamin-C-Umwandlung.

Distributives Kriterium: Egalitare Verteilung, d.h.

→ Nutzen fur beide identisch: uA(xA) = uB(xB).

15 / 26

Kapitel 1


Situation 2: Nutzen beschreibt Produktionstechnologie.

Distributives Kriterium: Utilitaristische Verteilung, d.h.

→ Nutzensumme wird maximiert:

max0≤xa+xB≤10

uA(xA) + uB(xB).

Distributiver Grundsatz:

Jeder nach seinen Fahigkeiten, jedem nach seinenBedurfnissen.

Problem: Distributives Kriterium ist situationsabhanig.

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Kapitel 1


uA(xA)

uB(xB)

0 2 5 6 10

√

10√

4

√

0.25

5egalitare Allokation

Y

Z

X Isonutzensummenlinie

Pareto-effiziente Allokationen (PA)

▸ Y ist egalitar, aber nicht pareto-effizient.

▸ X ist pareto-effizient und insbesondere pareto-effizienterals Y: uA(XA) > uA(YA) und uB(XB) = uB(YB).

▸ Z ist pareto-effizient und utilitaristisch.

17 / 26

Kapitel 1


Pareto-Effizienz impliziert:

▸ optimale Ressourcenverwendung unter Kriterium derVerschwendungsfreiheit.

▸ Problem der Nichteindeutigkeit: Zusatzliche (normative)Kriterien notig.

Frage: Ist das Marktgleichgewicht generell pareto-effizient?

Vermutung basierend auf Experiment 1: Ja.

18 / 26

Kapitel 1


Theoretisch herleitbares Resultat (Details spater):

1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie

Markte unter vollkommenem Wettbewerb fuhren zupareto-effizienten Ressourcen-Allokationen.

Implikation: Das Marktgleichgewicht liegt auf PA.

uA

uB


19 / 26

Kapitel 1


Effizienz des Marktmechanismus

Beobachtung: Eigennutzorientiertes individuelles Verhalten aufMarkten fuhrt zu effizienten Allokationen.

1. Eigennutzorientiertes Verhalten:It is not from the benevolence of the butcher, the

brewer or the baker, that we expect our dinner, but fromtheir regard to their own self interest.

2. Effizienz... he intends only his own gain, and he is in this, as

in many other cases led by an invisible hand to promotean end which was not part of his intention. By pursuinghis own interest he frequently promotes that of thesociety more effectually than when he really intends topromote it.

Adam Smith, The Wealth of Nation, 1776.

20 / 26

Kapitel 1


Festellung:

1. Eigennutzorientiertes Handeln auf Markten befordert auchdas Gemeinwohl. (

”unsichtbare Hand“)

Behauptung:

2. Eigennutzorientiertes Handeln auf Wettbewerbsmarkten istoft gemeinwohlfordernder als direktes - gut gemeintes -Streben nach Gemeinwohl. (

”Anreizwirkung“)

21 / 26

Kapitel 1


Dezentralisierbarkeit von Pareto-effizienten Allokation

▸ Welche pareto-effiziente Allokation realisiert sich alsMarktgleichgewicht?

▸ Wovon hangt dies ab?

▸ Sind alle pareto-effizienten Allokationen alsMarktgleichgewicht realisierbar?

Lage des Marktgleichgewichts auf PA abhangig von ursprung-licher Vermogensverteilung E (Anfangsausstattung).

22 / 26

Kapitel 1



Jede pareto-effiziente Allokation kann als Marktgleichgewichtrealisiert werden, falls eine geeignete ursprungliche Vermogens-verteilung vorliegt.

Im Beispiel:

uA

uB


E

X ∗

E ′X ′∗

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Kapitel 1


Implikation des 2. Wohlfahrtssatzes:

1. Pareto-effiziente Allokationen dezentralisierbar, d.h. alsMarktgleichgewicht realisierbar:

▸ Durch Umverteilung Anderung der ursprunglichenVermogensausstattung moglich.

▸ Jede pareto-effiziente Allokation erreichbar.

2. Trennung der Allokations- und Distributionsziele.Distributives Zielsetzung kann delegiert werden:

▸ Politischen Prozeß,▸ Gesellschaftliche Verhandlungen (Details: Vorlesung

”Okonom. Verhandlungstheorien“).

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Kapitel 1


Grenzen der Umverteilung:

1. Veranderung der Eigentumsrechte durch Eingriff inPrivateigentum:

▸ Nur in Ausnahmefallen akzeptabel bzw. durchsetzbar,z.B. Enteignung der HRE-Aktionare.

▸ Erbschafts- und Schenkungssteuer.

2. Umverteilung des im Markt realisierten Effizienzgewinnsdurch Steuern und Transfers, z.B. MWSt, Lohnsteuer:

▸ Politisch eher durchsetzbar bzw. akzeptabel, aber▸ allokative Verzerrungen (Details: Kapitel 2).

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Kapitel 1


Hauptsatze der Wohlfahrtstheorie gultig in:

ideal funktionierenden Wettbewerbsmarkten.

Voraussetzungen:

▸ Vollstandige Information: Markteilnehmer verfugen uberalle relevanten Informationen → Vorlesung

”Informations-

okonomie“

▸ Keine Marktmacht oder marktbeherrschende Stellung →Vorlesung

”Industrieokonomie”

▸ Konvexitatsannahme fur Produktionstechnologie→ Kapitel 2

▸ Nutzen/Gewinn der Marktteilnehmer nicht mittelbarabhangig von Entscheidungen anderer Marktteilnehmer→ Kapitel 3,4

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Kapitel 1.3:


Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 1

Marktmodell und MarktgleichgewichtEffizienzeigenschaften von GleichgewichtenHauptsatze der WohlfahrtstheorieZusammenfassung

Formales Marktmodell mit Produktionssektor

I. Allgemeine Beschreibung einer Okonomie:

▸ Liste von l Gutern (Inputs & Outputs) : h = 1, . . . , l .

▸ Fur jedes Gut h existiert Preis ph.

▸ Wert eines Guterbundels x = (x1, . . . , xl) bei Preisenp = (p1, . . . ,pl):

p ⋅ x = p1x1 + . . . + phxh + . . .plxl

1 / 27

Kapitel 1


I. a) Konsumenten

Okonomie besteht aus n Konsumenten i = 1, . . . ,n.

Konsument i beschrieben durch:

▸ Konsummenge: Xi ⊆Rl+.

▸ Einkommen: Wi , resultierend aus Erstausstattungei ⊂Rl+: Wi = p ⋅ ei .

▸ Praferenzen, reprasentiert durch Nutzenfunktionui ∶Rl+ →R.

Damit lautet die Budgetmenge Bi(p,Wi) folgendermaßen:

Bi(p,Wi) = {xi ∈ Xi ∶ p ⋅ xi ≤Wi}

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Kapitel 1


Verhaltenshypothese Konsument: Nutzenmaximierung

▸ Konsument wahlt bestes (nutzenmaximierenden) Elementaus Budgetmenge, gegeben Preissystem p = (p1, . . . ,pl).

▸ individuelle Nachfragefunktion:

x∗i (p,Wi) = arg maxxi∈Bi(p,Wi)

ui(xi)

Standardannahmen an Nutzenfunktion ui :

▸ Monotonie: ui steigend in jedem xih▸ Praferenzen konvex ⇒ Nutzenfunktion quasi-konkav

(Konsumenten praferieren ausgeglichene anstatt extremeGuterbundel)

▸ Differenzierbarkeit

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Kapitel 1


Marginalbedingung fur Nutzenmaximum:

GRSxih,xik =∂ui∂xih∂ui∂xik

= phpk

fur alle h, k ∈ {1, . . . , l} und i = 1, . . . ,n.

Implikationen:

▸ Nutzenmaximierende Konsumentscheidungen allerKonsumenten durch Preissystem determiniert.

▸ Keine weiteren Tauschmoglichkeiten, da individuelleSubstitutionsraten ausgeglichen.

▸ Entscheidend sind relative Preise, bzw. Preisverhaltnisse.

4 / 27

Kapitel 1


I. b) Produzenten

Okonomie mit m Produzenten (Unternehmen) j = 1, . . . ,m.

Produzent j wahlt Produktionsplan yj aus abgeschlossener undkonvexer Technologiemenge Yj ∈Rl :

yj = (yj1, . . . , yjl) ∈ Yj , wobei

yjh > 0 ∶ Output

yjh < 0 ∶ Input

Y ej bezeichne Rand der Technologiemenge Yj

5 / 27

Kapitel 1


Produktionsfunktion Fj ∶ Yj →R folgendermaßen definiert:

▸ Fj(yj) ≤ 0⇔ yj ∈ Yj

▸ Fj(yj) = 0⇔ yj ∈ Y ej

Produktionsgewinn (Erlos - Kosten) determiniert durchPreissystem p = (p1, . . . ,pl) und Produktionsplan yj ∈ Yj :

π(yj) = p ⋅ yj = p1yj1 + . . . + plyjl

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Kapitel 1


Verhaltenshypothese Produzenten: Gewinnmaximierung

Produzent wahlt besten (gewinnmaximierenden)Produktionsplan y∗j aus Technologiemenge, gegebenPreissystem p = (p1, . . . ,pl).

Da Yj abgeschlossen und konvex muss gelten:

1. y∗j ∈ Y ej

2. Isogewinnlinie tangential zu Y ej in y∗j

Gewinnmaximierungsproblem des Produzenten J :

y∗j = arg maxπ(yj) u.d.B. Fj(yj) = 0

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Kapitel 1


Marginalbedingung fur Gewinnmaximum:

∂Fj(y∗j )∂yjh

∂Fj(y∗j )∂yjk

= phpk

fur alle h, k ∈ {1, . . . , l} und j = 1, . . . ,m.

Guterkombinationen:

▸ h, k Inputs: ∣GRTSyjh,yjk ∣ = phpk

Grenzrate der technischen Substitution=Preisverhaltnis

▸ h, k Outputs: ∣TRSyjh,yjk ∣ = phpk

Grenzrate der Transformation=Preisverhaltnis

▸ h Input, k Output:∂Fj(y∗j )∂yjh

= phpk

Grenzprodukt des Inputfaktors=Preisverhaltnis:

8 / 27

Kapitel 1


Implikationen:

▸ Preissystem”bestimmt“ durch obige Bedingung die

gewinnmaximierende Produktionsentscheidung allerProduzenten.

▸ Alle Produzenten realisieren dieselbe Substitutionsraten⇒ optimale Faktorallokation und optimaleProduktionsstruktur.

▸ Entscheidend sind relative Preise, bzw. Preisverhaltnisse.

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Kapitel 1


Beispiel: Cobb-Douglas- Produktionsfunktion

Ubliche Formulierung: y = f (x1, x2) = xα1 x1−α2 ,

wobei y Output, und x1, x2 Produktionsfaktoren (Inputs).

jetzt:

▸ Technologiemenge:

Yj = {(y1, y2, y3) ∈R3 ∶ y1 ≤ (−y2)α(−y3)1−α}

▸ Effiziente Allokationen (y e1 , y

e2 , y

e3 ) erfullen:

Fj(y e1 , y

e2 , y

e3 ) = y1 − (−y2)α(−y3)1−α = 0

⇒ y1 = (−y2)α(−y3)1−α

10 / 27

Kapitel 1


Gewinnverwendung der Unternehmen

Modellannahme:

▸ Firmen in Privatbesitz,

▸ Konsument i halt Anteil θij an Unternehmen j .

Konsument i :

▸ Erstsaustattung (Vermogen): (ei , θi), wobei ei ∈Rl+ Guterim Besitz von i und θi = (θi1, . . . , θin) ∈ [0,1]mUnternehmensanteile von i

▸ Einkommen, gegeben Preissystem p:

Wi(p) = p ei +m

∑j=1

θij p yj

11 / 27

Kapitel 1


Frage:

Unter Modellannahmen der Verhaltenshypothesen, d.h.Nutzen- bzw. Gewinnmaximierung:

▸ Existiert ein allgemeines Gleichgewicht, d.h. einPreissystem p∗, so dass alle Markte geraumt werden?

▸ Sind Nutzen- und Gewinnmaximierung mit Gleichgewichtauf allen Markten vereinbar?

▸ Welche Eigenschaften hat dieses in Bezug aufPareto-Effizienz?

12 / 27

Kapitel 1


I. c) Allgemeines Gleichgewicht

Definition: Wettbewerbsgleichgewicht

Allokation und Preissystem {(x∗i )ni=1, (y∗j )mj=1,p∗} sind ein

Gleichgewicht, falls gilt:

▸ Nutzenmaximierung: x∗i ∈ Bi (p∗,p∗ei +∑mj=1 θij p

∗ y∗j ) undui(x∗i ) ≥ ui(xi) fur alle xi ∈ Bi (p∗,W ∗

i ) fur i = 1, . . . ,n.

▸ Gewinnmaximierung: y∗j ∈ Yj und p∗y∗j ≥ p∗yj fur alleyj ∈ Yj ; fur j = 1, . . . ,m.

▸ Marktraumung auf allen l Gutermarkten:

∑ni=1 x

∗ih = ∑

ni=1 ei +∑m

j=1 y∗jh fur alle h = 1, . . . , l .

Existenz Wettbewerbsgleichgewicht

Seien ui(xi), i = 1, . . . ,n und yj , j = 1, . . . ,m wie beschrieben,dann existiert ein Gleichgewicht {(x∗i )ni=1, (y∗j )mj=1,p

∗}.13 / 27

Kapitel 1


2. Effizienzeigenschaften von Gleichgewichten

a) Pareto-Optimalitat des Wettbewerbsgleichgewichts

Definition: Erreichbare Allokation

Allokation {(xi)ni=1, (yj)mj=1)} ist erreichbar, falls:

∑ni=1 (xih − eih)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶”Netto-Transaktionen“

= ∑mj=1 yjh fur alle h = 1, . . . , l .

Menge der erreichbaren Allokationen entspricht der sozialenAlternativmenge der Okonomie.

14 / 27

Kapitel 1


Definition: Pareto-Optimalitat

Eine Allokation {(xi)ni=1, (yj)mj=1)} ist pareto-optimal, falls es

keine andere erreichbare Allokation {(xi)ni=1, (yj)mj=1)} gibt, sodaß:

▸ ui(xi) ≥ ui(xi) fur alle i = 1, . . . ,n.

▸ ui(xi) > ui(xi) fur mind. ein i = 1, . . . ,n.

Implikation:

▸ Bewertungskriterium der Pareto-Optimalitat basiertausschließlich auf Nutzenerwagungen → alleiniger Zweckder Produktion ist daraus erzeugter Nutzengewinn.

▸ Pareto-Optimalitat nicht abhangig von Existenz einesPreissystems p.

15 / 27

Kapitel 1


Herleitung einer pareto-effizienten Allokation

Perspektive eines fiktiven sozialen Planers:▸ globaler Standpunkt: fiktiver

”sozialer Planer“ kontrolliert

alle Produktions- und Konsumplane▸ Implementierungsproblem! Zu zeigen: Marktsystem mit

dezentralen Entscheidungsstrukturen fuhrt zu (PO) alsGleichgewichtsallokation.

(PO) max{(xi)ni=1,(yj)mj=1)}

u1(x1) u.d.B. ui(xi) ≥ ui fur i = 2, . . . ,n

Fj(yj) = 0 fur j = 1, . . . ,mn

∑i=1

(xih − eih) =m

∑j=1

yjh fur h = 1, . . . , l

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Kapitel 1


Losung von (PO) resultiert in Marginalbedingungen furPareto-Optimum:

GRSi ∣hk = GRSi ′ ∣hk fur alle i , i ′ ∈ {1, . . . ,n}= =

GRTSj ∣hk = GRTSj ′ ∣hk fur alle j , j ′ ∈ {1, . . . ,m}

Interpretation: Pareto-Optimalitat verknupft Produktions-mit Konsumsphare:

1. Optimale Allokation der Guter auf Konsumenten.

2. Effiziente Produktion basierend auf zur Verfugungstehenden Produktionstechnologien.

3. Optimale aggregierte Produktionsniveaus: Marktnachfragewird durch produziertes Marktangebot gedeckt.

17 / 27

Kapitel 1


Beobachtung:

Im Wettbewerbsmarkt ergaben sich die folgendenMarginalbedingungen:

▸ Nutzenmaximierung der Konsumenten impliziert:

∣GRSi ∣hk = ∣GRSi ′ ∣hk =phpk

fur alle i , i ′ ∈ {1, . . . ,n}

▸ Gewinnmaximierung der Unternehmen impliziert:

∣GRTSj ∣hk = ∣GRTSj ′ ∣hk =phpk

fur alle j , j ′ ∈ {1, . . . ,m}

Fazit: Dies entspricht genau den Marginalbedingungen desPareto-Optimums mit δhk = ph

pk.

18 / 27

Kapitel 1



Sei {(x∗i )ni=1, (y∗j )mj=1,p∗)} ein Wettbewerbsgleichgewicht.

Dann ist {(x∗i )ni=1, (y∗j )mj=1)} pareto-optimale Allokation.

Interpretation 1:Fiktiver sozialer Planer kann Preise zentral setzen, so daßPareto-Optimalitat erreicht wird (Lange & Lerner: MarketSocialism)

Interpretation 2:Adam Smiths

”unsichtbare Hand“ lost das Problem der

zentralen Planung uber Preissystem des dezentralenWettbewerbmarktes.

19 / 27

Kapitel 1


Fazit:

▸ Keine zentrale Planung zur Erzeugung pareto-optimalerAllokationen notwendig.

▸ Existenz des Preissystems im Wettbewerbsmarktermoglicht dezentrale und indirekte Koordination derWirtschaftssubjekte.

▸ Preise als Knappheitsindikator induzieren auch sozialerwunschtes Ergebniss, i.e. Pareto-Effizienz.

20 / 27

Kapitel 1


Problem:

▸ Pareto-Optimalitat unabhangig von distributiven Zielen.

▸ Umverteilung der ursprunglichen Vermogensverteilung &Wettbewerbsmarkt. ⇒ Marktgleichgewicht induziertverteilungspolitisch gewunschte und pareto-effizienteAllokation.

Frage: Ist Erstaustattung so manipulierbar, daß sich jedemogliche pareto-optimale Allokation als Marktgleichgewichtrealisieren lasst?

21 / 27

Kapitel 1



Sei (ei , θi)ni=1 Anfangsausstattung und {(xi)ni=1, (yj)mj=1)}pareto-optimale Allokation. Dann existiert ein Preissystemp = (p1, . . . , pl) und (Kopf-) Steuern T = (t1, . . . , tn), so daß{(xi)ni=1, (yj)mj=1, p)} Wettbewerbsgleichgewicht nach Steuern:

1. Nutzenmaximierung: xi ∈ Bi (p, pei +∑mj=1 θij p yj − ti) und

ui(xi) ≥ ui(xi) fur alle xi ∈ Bi (p, pei +∑mj=1 θij p yj − ti) fur

i = 1, . . . ,n.

2. Gewinnmaximierung: yj ∈ Yj und p yj ≥ p yj fur alle yj ∈ Yj ;fur j = 1, . . . ,m.

3. Marktraumung auf allen l Gutermarkten:

∑ni=1 xih = ∑n

i=1 ei +∑mj=1 yjh fur alle h = 1, . . . , l .

22 / 27

Kapitel 1


Exkurs: Bemerkungen zur Kopfsteuer

▸ Kopfsteuer ti fix fur jede Person i = 1, . . . ,n und basiertnicht auf Konsum, Einkommen o.a. (engl.: poll tax).

▸ Da Guter nicht unterschiedlich besteuert werden, bleibtGRS, GRTS und TRS unverandert. ⇒ Pareto-Optimalitatbleibt gewahrleistet, kein Wohlfahrtsverlust durchIneffizienz.

▸ Kopfsteuer dient nur der Umverteilung: ∑ni=1 ti = 0: ti > 0

ist Steuer, ti < 0 ist Transfer (Subvention).

▸ Aber: In der Realitat sind reine Kopfsteuern wederpraktikabel (Zwangsarbeit), noch gesellschaftspolitischdurchsetzbar (M. Thatcher 1990).

23 / 27

Kapitel 1


Ausblick:

Modellannahmen des Wettbewerbsmarkts nicht gegeben:

▸ 1. und 2. Hauptsatz nicht garantiert.

▸ Marktgleichgewicht nicht effizient (Marktversagen).

▸ Verzerrende Staatseingriffe konnen ineffizientesMarktgleichgewicht in ’effizientere’ Richtung lenken(Lenkungswirkung von Steuern).

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Kapitel 1


Zusammenfassung Kapitel 1: Marktgleichgewicht undPareto-Effizienz

Abstrakte Beschreibung einer Okonomie mit:

▸ Vielzahl von Konsumenten: Nutzenmaximierunggegeben Praferenzen & Erstaustattung.

▸ Vielzahl von Produzenten: Gewinnmaximierunggegeben Produktionstechnologie (Technologiemenge).

▸ Vollstandige Information, reine Konsumguter, bzw.Produktionsfaktoren, keine Marktmacht.

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Kapitel 1


Eigenschaften des ideal funktionierender Wettbewerbsmarkts:

▸ Vielzahl an Marktteilnehmern macht Preisbeeinflussungunmoglich ⇒ Jeder Marktteilnehmern betrachtetPreisvektor als Datum, agiert als Preisnehmer.

▸ Wettbewerbsgleichgewicht existiert: Konsumentenmaximieren Nutzen, Produzenten maximieren Gewinn,alle Gutermarkte sind geraumt.

▸ Preise reflektieren relative Knappheiten.

▸ Preissystem erlaubt dezentrale Koordinierung dereinzelwirtschaftlichen Plane aller Wirtschaftssubjekte.

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Kapitel 1


In ideal funktionierenden Wettbewerbsmarkten gilt:

1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie:

Jedes Marktgleichgewicht ist pareto-effizient.

Dezentraler, auf Freiwilligkeit beruhenderWettbewerbsmarkt mit Preissystem fuhrt zu sozialerwunschtem Ergebnis.

2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie:

Jede pareto-effiziente Allokation lasst sich nachgeeigneter Umverteilung durch Kopfsteuern als

Marktgleichgewicht implementieren.

Allokations- und Distributionsziele trennbar: NormativeDistributionsziele konnen politischen Entscheidungsprozeßbzw. gesellschaftlichen Verhandlungen ubertragen werden.

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Kapitel 2.1:

Probleme der Dezentralisierung und die

Theorie des Zweitbesten1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 2Dezentralisierung von ProduktionsentscheidungenExperiment 2

Dezentralisierung von Produktionsentscheidungen

2. Hauptsatz der Wohlfahrtsokonomie: Jede pareto-optimaleAllokation unter bestimmten Voraussetzungen alsWettbewerbsgleichgewicht realisierbar, d.h. dezentralisierbar.

Voraussetzungen bzgl. Technologiemenge Yj :

▸ Yj ist konvex und abgeschlossen.

▸ Effizienter Rand der Technologiemenge Y ej ist konkav in

Produktionsfaktoren (Inputs).

▸ Produktionstechnologie mit abnehmenden Skalenertragen.

1 / 9


Beispiel: 1 Output, 1 Input:Produktionsfunktion y = f (l), wobei:

▸ Produzierter Output y > 0,

▸ Input l (Produktionsfaktor Arbeit),

▸ f (⋅) konkave Funktion.

Bemerkung: Produktionsplan gemaß Kapitel 1 lautet:F (y , z) = y − f (16 − z) = 0, wobei z ≈ tagliche Freizeit.

Frage: Existieren Preise, so daß gewinnmaximierende Firmajeden Punkt (y∗, l∗) auf Y e

j produzieren wird?

2 / 9


Losung: Preise (py ,pl) sind so zu wahlen, daß Isogewinnlinieund f (l) tangential in (y∗, l∗) verlaufen.

l

y

y = f (l)

π∗/py

Isogewinnlinie:π = pyy + pl l =konst.

y∗

l∗

▸ Steigung der Isogewinnlinie: dydl =

plpy

▸ Steigung der Produktionsfunktion in l∗: dydl = f ′(l∗)

Daraus folgt: py f′(l∗) = pl

Wertgrenzprodukt des Faktors l = Faktorpreis

3 / 9


Intuition:Bedingung py f ′(l∗) = pl entspricht Bedingung erster Ordnungaus Gewinnmaximierungsproblem der Firma.

Alternative Betrachtungsweise:Unternehmen wird Produktion solange ausdehnen bzw.einschranken bis py f ′(l∗) = pl erfullt:

▸ Falls l < l∗⇒ f ′(l) > plpy⇒ Produktionsausweitung:

py (f (l + ε) − f (l)) > pl((l + ε) − l)⇒ π(l + ε) > π(l).

▸ Falls l > l∗⇒ f ′(l) < plpy⇒ Produktionseinschrankung:

py ∣f (l − ε) − f (l)∣ < pl ∣l − ε − l ∣⇒ π(l − ε) > π(l).

4 / 9


Frage: Wie restriktiv sind Annahmen bzgl. Technologiemenge(hier: Konvexitat)?

Beispiel: Produktionsfunktion mit fixen Kosten.

y = {f (l) − l falls l ≥ l ,

0 falls l < l .

l

y

y

l

Mit fixen Kosten ist Konvexitatsannahme verletzt!5 / 9


Experiment 2: Der Markt fur Restaurants

Konsument i :

▸ fragt Menu in beliebigem Restaurant j zum Preis pj nach

▸ ist bereit bis zu pi ∈ {15,10,8} zu bezahlen

▸ erzielt Nutzen von ui = pi − pj bei Preis pj

Restaurant j :

▸ Beschrankte Sitzplatzkapazitat, d.h. maximal xj = 4Menus pro Abend

▸ Preisanpassungen 3 mal pro Abend (Runde) zufestgelegten Zeitpunkten moglich

▸ Kostenstruktur: K(xj) = 20 + 5xj , d.h.:▸ Fixkosten in Hohe von 20 EU,▸ variable Kosten in Hohe von 5 EU pro Menu.

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Beispielrechnung:

▸ 4 Konsumenten mit (p1,p2,p3,p4) = (15,15,15,10)

▸ Preissetzung: Fur Konsument 1,2 gilt pj = 15, furKonsument 3,4 gilt p′j = 10

Endabrechnung:

▸ Fur Konsumenten: u1 = u2 = 15 − 15 = 0, u3 = 15 − 10 = 5,u4 = 10 − 10 = 0.

▸ Fur Restaurant j : πj = 15 ∗ 2 + 10 ∗ 2 − 4 ∗ 5 − 20 = 10.

Anreiz: Ein zufallig ausgewahlter Teilnehmer erhalt seinenNutzen/ Gewinn in EU ausgezahlt.

7 / 9


Ablauf des Experiments:

▸ Jeder Teilnehmer erhalt einen Transaktionsbogen.

▸ Wichtig: Personliche Daten sollten privat bleiben!

▸ Teilen Sie Ihren Bogen mittig: Obere Teil ausschließlichfur Runde 1 bestimmt!

▸ Vermerken Sie auf beiden Teilen ihre Matrikelnr.!

▸ Das Experiment besteht aus 2 Runden mit jeweils 4zweiminutigen Perioden. In jeder Periode bleibt der Preisunverandert!

▸ Die zugeteilte Rolle (Gast oder Restaurant) bleibtdieselbe in jeder Runde!

8 / 9


▸ Restaurants veroffentlichen jeweiligen Preis an der Tafel

▸ Konsumenten entscheiden sich fur ein (oder kein)Restaurant.

▸ Jeder Gast sowie Restaurantbesitzer notiert die folgendenAngaben:

▸ Matrikelnr. des Gasts bzw. Nr. des Restaurants▸ Preis des Abendessens▸ Realisierter Nutzen bzw. Gewinn

▸ Nach Abschluss einer Runde sind alle (auch unbenutzte)Transaktionsbogen fur die entsprechende Rundeabzugeben!

9 / 9

Kapitel 2.2:

Probleme der Dezentralisierung und die


Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 2FixkostentechnologieExperiment 2Steuern

Lockerung der Konvexitatsannahme:Fixkostentechnologie

Woher stammen Fixkosten? Beispiel: Restaurant

▸ Restaurant j stellt Koch zum Stundenlohn von pl = 5 ein

▸ Tagliche Offnung bzw. Vor- und Nachbereitung erfordert4 Stunden Arbeitszeit des Kochs, unabhangig von Anzahlder zubereiteten Menus

▸ Zubereitung eines Menus erfordert eine (zusatzliche)Stunde Arbeitszeit

▸ Platzmangel im Restaurant: 4 Gaste pro Abend moglich

1 / 23


Produktionsfunktion fur Restaurant:

xj(lj) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0 fur lj < 4

lj − 4 fur 4 ≤ lj < 8

4 fur lj ≥ 8

Produktionsfunktion entspricht nicht-konvexerTechnologiemenge:

lj

xj

4

xj(lj)

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Konsequenzen nicht-konvexer Technologiemengen

Angenommen, Restaurant j ist in Markt eingestiegen beifolgenden Marktpreisen:

(pM = 8,pl = 5)

Kostenfunktion lautet (wg. Markteintritt gilt lj ≥ 4):

K(lj) = pl(lj − 4)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

variable Kosten

+ pl ∗ 4²

Fixkosten

= 5(lj − 4) + 20 = 5lj .

Alternativ (ausgedruckt in Outputeinheiten):

K(xj) = pl ∗ xj²

variable Kosten

+ pl ∗ 4²

Fixkosten

= 5xj + 20.

3 / 23


Restaurant j maximiert Gewinn (uber lj ≥ 4):

πj(lj) = pM ∗ xj(lj) −K(lj)

Daraus folgt: (lj = 8, xj = 4), aber: πj(lj) = −8.

lj

xj

4

xj = 4

lj = 8

xj(lj)

πj(lj)

pM= −1

Isogewinnlinie: πj = 8xj − 5lj = −8

Problem: Restaurant j macht bei Preisen (pM ,pl) Verluste!

4 / 23


Konsequenzen fur Dezentralisierbarkeit

Angenommen, pareto-effiziente Allokation sei:

(x∗j = 2, l∗j = 6)

Beobachtung: Es existieren keine Marktpreise (p∗M ,p∗l ), sodaß Restaurant freiwillig x∗j = 2, l∗j = 6 wahlen wurde:

▸ Falls pMpl

> 1 ⇒ (lj = 8, xj = 4)▸ Falls pM

pl< 1 ⇒ (lj = 4, xj = 0) mit πj(lj) < 0 (kurzfristig),

d.h. (lj = 0, xj = 0) (langfristig)

▸ Falls pMpl

= 1 ⇒ (lj = 6, xj = 2) mit πj(lj) < 0 (kurzfristig),

d.h. (lj = 0, xj = 0) (langfristig)

Fazit: 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie nicht gultig!

5 / 23


Experiment 2: Der Markt fur Restaurants

Konsumenten:▸ 21 Nachfrager, die jeweils in einem beliebigen Restaurant

ein Abendessen konsumieren mochten:▸ Verteilung der Reservationspreise:

▸ 5 Nachfrager mit pi = 15▸ 6 Nachfrager mit pi = 10▸ 10 Nachfrager mit pi = 8

Restaurants:▸ 6 Restaurants mit beschrankter Platzkapazitat (4 Platze).▸ Preis fur ein Abendessen ist offentlich und kann pro

Abend (Runde) 3 mal geandert werden.▸ Kostenstruktur offentlich: K(xj) = 20 + 5xj , d.h.:

▸ Fixkosten in Hohe von 20 EU,▸ variable Kosten in Hohe von 5 EU pro Abendessen.

6 / 23


Strategische Uberlegungen der Restaurantinhaber:

1. Preisdiskriminierung (i.e. Abschopfung der Konsumenten-rente) nicht moglich, da Reservationspreise privateInformation.

2. Hoher Wettbewerbsdruck unter Restaurants:▸ Fixkostendeckung erzwingt niedrige Preise im Zeitablauf▸ offentliche Preisstellung

Strategische Uberlegungen der Nachfrager:

1. Nachfrager ist Kostenfunktion der Restaurants bekannt(insbesondere Fixkostenblock) ⇒ Strategischer Vorteil derNachfrager (

”Geduld“)

2. Durch beschrankte Platzkapazitat Wettbewerbsdruckunter Nachfragern.

7 / 23


Auswertung: Theoretische Vorhersagen I

Approximation des Restaurantmarkts durch einenWettbewerbsmarkt mit Fixkostentechnologie.

Modellannahmen:

▸ Fixe Kosten sind ’sunk costs’ ⇒ fur kurzfristiges Ent-scheidungsproblem des Restaurantbesitzers unerheblich

▸ Marktteilnehmer sind Preisnehmer (aufgrund desWettbewerbsdrucks).

▸ Zum Marktpreis sind Markte geraumt.

8 / 23


Auswertung: Theoretische Vorhersagen II

Herleitung der aggregierten Angebots- & Nachfragefunktion:

▸ Nachfragefunktionen:

xi(p) = {1 falls p ≤ pi ,

0 falls p > pi .XN(p) =

20

∑i=1

xi(p)

▸ Angebotsfunktionen:

xj(p) = {4 falls p ≥ 5,

0 falls p < 5.XR(p) = {24 falls p ≥ 5,

0 falls p < 5.

▸ Im Marktgleichgewicht gilt: XR(p∗) = XN(p∗).

9 / 23


Preis-Mengen Diagramm Experiment 2

X0 5 10 15 X ∗ = 21 24

15

10

8

p∗ = 5

p

pN(X ) pA(X )

▸ Marktgleichgewicht: p∗ = 5,X ∗ = 21.

▸ Das Marktgleichgewicht ist pareto-effizient (siehe Ubung).

10 / 23


Auswertung: Theoretische Vorhersagen III

▸ Im Marktgleichgewicht ist Nachfrage vollstandig gedeckt:

X ∗ = 21

▸ Gleichgewichtspreis: p∗ = 5.

▸ Gleichgewichtspreis geringer als Durchschnittskosten:

p∗ = 5 < K(x)x

∈ {25,15,112

3,10} fur x = 1, . . . ,4.

▸ Im Marktgleichgewicht sind Kosten nicht gedeckt:

πj(p∗, x∗j ) = 4p∗ − 4x∗j − 20 = −20

▸ Jedes Restaurant macht im Marktgleichgewicht Verluste!

11 / 23


Auswertung: Experimentelle Beobachtung - Runde 1

Restaurants Preis Umsatz Gewinn

R1 10 4 0

R2 12,11,10 - -20

R3 14,8 1+3 -2

R4 12,10,8 4 -8

R6 13,11,11 - -20

R9 12,12,10 - -20

⊘ 9.16 ∑ 12 -11.7

Beobachtungen:

▸ Preise oberhalb der Nullgewinngrenze pj > 10 generierenkaum (keinen) Umsatz

12 / 23


Auswertung: Experimentelle Beobachtung - Runde 2

Restaurants Preis Umsatz Gewinn

R1 8 4 -8

R2 9 4 -4

R3 12,10,7 4 -12

R4 11,10,8 3 -11

R6 11,10.8,10.5 - -20

R9 11,10,7.5 4 -10

⊘ 7.9 ∑ 19 -10.8

Beobachtungen:

▸ durchschnittlicher Marktpreis sinkt, jedoch: P⊘ > P∗ = 5

▸ Gesamtumsatz steigt, wobei ∑ xi = 19 < X ∗ = 2113 / 23


Interpretation:

▸ Alle Restaurants machen Verluste

▸ Grund: Zu viele Restaurants im Markt

▸ Langfristig wird Marktaustritt erfolgen

Vergleich Theorie mit Experiment:

▸ Theoretische Vorhersage: P∗ = 5,X ∗ = 21

▸ Runde 1: P⊘ = 9.16,∑ x1i = 12

▸ Runde 2: P⊘ = 7.9,∑ x2i = 19

Grunde fur Abweichungen?

14 / 23


Erklarungsansatz 1:

▸ Korrekte Tendenz in Richtung Marktgleichgewicht imZeitablauf beobachtbar

▸ Nicht genugend Runden zur Adaption

Erklarungsansatz 2:

▸ Tatsachliches Verhalten von R6 irrational (Verlust-zuweisung nicht glaubwurdig?)

▸ Nachfrageverhalten von R6: xj(p) = {4 falls p≥10,

0 falls p<10.

▸ Integration in theoretisches Modell:▸ Neues Marktgleichgewicht: P∗ = 8,X ∗ = 20▸ Beobachtetes Resultat: P⊘ = 7.9,∑ x2

i = 19

15 / 23


Generelles Problem:

▸ Im Marktgleichgewicht machen Produzenten Verluste!

▸ Marktgleichgewicht langfristig nicht aufrechtzuerhalten!

▸ Grund: Gewinnmaximierungshypothese verletzt!

▸ Pareto-effiziente Allokation (p∗, x∗) nicht als Markt-gleichgewicht realisierbar (nicht dezentralisierbar)!

Fazit: 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie bei nicht-konvexen Technolgiemengen nicht unbeschrankt gultig!

16 / 23


Konsequenz aus Verlusten: Marktaustritt

Restaurants werden so lange aus dem Markt austreten bisnicht-negative Gewinne moglich sind, i.e. bis:

(p ≥ 10, xj = 4) ⇒ π(p, xj) ≥ 0.

lj

xj

4

xj = 4

lj = 8

xj(lj)Isogewinnlinie:πj = 10 xj − 5 lj = 0

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Langfristige Perspektive

Marktaustritt kann zu folgenden Situationen fuhren:

1. Nur eine/wenige Firmen verbleiben im Markt: NaturlichesMonopol oder Duopol

▸ Preisnehmerannahme verletzt,▸ Ineffizienz durch Marktmacht.

2. Bei sehr hohen Fixkosten verbleibt keine Firma im Markt:

▸ Ineffizienz durch Marktzusammbruch.

Fazit: 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie bei nicht-konvexen Technolgiemengen auch langfristig nichtunbeschrankt gultig!

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Losungsmoglichkeit: Staatliche Eingriffe

Falls dezentrale Produktion nicht moglich, aber trotzdemerwunscht (z. B. wegen Pareto-Optimalitat) ⇒Zentrale (staatliche) Bereitstellung:

1. Staatliche Regulierung des naturlichen Monopols, z.B.Dt. Bahn, Gasversorger

▸ Kontrolle der Marktmacht,▸ Kostendeckung statt Gewinnmaximierung.

2. Direkte Verstaatlichung, bzw. staatliche Bereitstellung,z.B. HRE, Eisenbahnnetz, Grundlagenforschung.

Problem: Verluste durch hohe Fixkosten mussen trotzdemgedeckt werden!

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Zusammenfassung / Generelles Problem:

1. Erstbestes Ergebnis (pareto-effiziente Allokation) unterbestimmten Bedingungen (Fixkostentechnologie) nichtlangfristig als Marktgleichgewicht realisierbar

2. Zentrale Bereitstellung erfordert Deckung der Verlustestaatlicher Produktion

3. Finanzierung durch verzerrende Steuern, da Kopfsteuernnicht praktikabel

4. Forderung: Moglichst geringe Verzerrungen durchSteuern, um Wohlfahrtsverluste zu minimieren ⇒Zweitbestes Ergebnis (Allokation).

Frage: Wie lassen sich solche Steuern gestalten?

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Typologie der Steuerarten: Direkte und Indirekte Steuern

1. Direkte Steuern: Steuerschuldner (juristisch verpflichtet)identisch mit Steuertrager (wirtschaftlich belastet)

▸ Beispiele: Einkommensteuer, Korperschaftsteuer,Zinsabschlagssteuer, Hundesteuer, KfZ-Steuer

▸ Variation entsprechend individueller Charakteristika ⇒Verteilungspolitisches Ziel: Steuergerechtigkeit, d.h.Besteuerung nach wirtschaftlicher Leistungsfahigkeit

▸ Erzielbares Steuervolumen durch Steuervermeidung(-hinterziehung) & Anreizvertraglichkeitsproblem begrenzt

21 / 23


2. Indirekte Steuern: Steuerschuldner und Steuertrager nichtidentisch, Uberwalzung auf Steuertrager moglich

▸ Beispiele: Umsatzsteuer, Tabaksteuer, Stromsteuer,Biersteuer, Kaffeesteuer, Alkopopsteuer, Mineralolsteuer

▸ Indirekte Steuern nicht individuell variierbar, eherungeeignetes verteilungspolitisches Instrument.

▸ Großere Flexibilitat zur Aufbringung eines bestimmtenSteueraufkommens: Praktikabilitat und Ergiebigkeit.

22 / 23


Steueraufkommen 2010

Quelle: Bundesministerium der Finanzen 23 / 23

Kapitel 2.3:


Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 2 Zweitbeste Steuern

Theorie der zweitbesten Steuern

▸ Primarziel: Erzielung eines bestimmten Steuerertrags zurDeckung der Fixkosten bei staatlicher (regulierter)Produktion

▸ Sekundarziel: Moglichst verzerrungsfreie Besteuerung(Kopfsteuern und direkte Steuern nicht praktikabel bzw.durchsetzbar).

▸ Problem: Indirekte Steuern bzw. Verbrauchssteuernfuhren zu Verzerrungen

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Wieso gibt es Verzerrungen bei Verbrauchssteuern?

Beispiel: Mengensteuer im (einfachen) Wettbewerbsmarkt:

1. Ohne Steuer gilt im Marktgleichgewicht:

XN(P∗) = XA(P∗)PN(X ∗) = PA(X ∗)

X

P

PA(X)

PN(X)

P∗

X∗

2 / 32


2. Einfuhrung einer Mengensteuer▸ in Hohe von t pro verkaufter Einheit, abzufuhren durch

Konsumenten▸ Produzentenpreis: PA = Pt

▸ Konsumentenpreis: PN = Pt + t▸ Neues Marktgleichgewicht (P∗

t ,X∗

t ) nach Steuern:

XN(PN∗) = XA(P∗

A) → XN(P∗

t + t) = XA(P∗

t )PN(X ∗

t ) = PA(X ∗

t ) + t → PN(X ∗

t ) − t = PA(X ∗

t )

X

P

PA(X)

PN(X)

P∗

X∗

PN(X) − t

P∗N = P∗t + t

X∗t

P∗A = P∗t

3 / 32


3. Wohlfahrtsvergleich

X

P

PA(X)

PN(X)

P∗

X∗

PN(X) − t

P∗NA

C

BP∗A

X∗t

▸ Verlust an Konsumentenrente: P∗

NACP∗

▸ Produzentengewinn sinkt um: P∗CBP∗

A

▸ Steueraufkommen: t X ∗

t = P∗

NABP∗

A < P∗

NACP∗ + P∗CBP∗

A

▸ Differenz aus gesamtem Verlust und Steueraufkommen:ABC= ‘toter Verlust’ (excess burden, deadweight loss).

4 / 32


4. Fixkostentechnologie

0 X

P

PA(X)

PN(X)

P∗ C

X∗

P∗t + t A

X∗t

P∗t B

▸ Im Marktgleichgewicht ohne Steuern ist Produzentenrente P∗COnicht ausreichend um Kosten zu decken.

▸ Mengensteuern t werden so gesetzt, dass Deckungsbeitrag(P∗t + t)ABO (Produzentenrente + Steuerbetrag)=Fixkosten⇒ Nullgewinne der Produzenten.

▸ Falls KR nach Steuern > Wohlfahrtsverlust ABC⇒ Staatliche Bereitstellung gerechtfertigt.

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Staatliche Produktion bei Fixkostentechnologie

▸ Aufgrund hoher Fixkosten keine dezentrale Bereitstellung

▸ Staatliche Bereitstellung sollte erfolgen, falls

Nettowohlfahrtsbeitrag aus Produktion des Gutes positiv:

Konsumentenrente nach Steuern+ Produzentenrente nach Steuern− Fixkosten+ Steuerbetrag− WohlfahrtsverlustNettowohlfahrtsbeitrag

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Steuern im allgemeinen Marktmodell

1. Problem: Durch Steuereinfuhrung gelten fur Konsumentenund Produzenten unterschiedliche Preise.

Beispiel: Mengensteuer auf Gut h: PAh = P t

h ≠ PNh = P t

h + t.

Marginalbedingung fur Pareto-Optimalitat:

GRSi ∣h,k = GRTSj ∣h,k =Ph

Pk

Nach Steuern gilt jedoch:

PNh

Pk

= P th + tPk

= GRSi ∣h,k ≠ GRTSj ∣h,k =PAh

Pk

= P th

Pk

Resultat 1: Marktgleichgewicht nicht pareto-effizient!

7 / 32


2. Problem: Marktinterdependenzen

▸ Guter sind Substitute, Markte sind interdependent

▸ Verbrauchssteuer th auf Gut h ⇒ Veranderungen aufanderen Markten:Nachfragefunktion von Konsument i nach Gut k :

xNik (p∗1 , . . . ,p∗h ,p∗k , . . . ,p∗l ,Wi) ≠ xNik (p∗1 , . . . ,pth,p∗k , . . . ,p∗l ,Wi)

Resultat 2: Einfuhrung einer verzerrenden Steuer in Markt h(mit Fixkostentechnologie) fuhrt zu weiteren Ineffizienzen aufanderen (effizienten) Markten

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Berucksichtigung der Marktinterdependenzen: Total-statt Partialanalyse

Beispiel mit 2 Gutern (x1,x2)Individuelle Nachfragefunktionen:

xN = (xN1 , xN2 ) = (xN1 (p1,p2) , xN2 (p1,p2))

= arg max{x1,x2}∈B(p1,p2,W )

u(x).

Damit hangt xN1 (p1,p2) nicht nur von p1 sondern auch von p2

ab, dasselbe gilt fur xN2 (p1,p2):▸ Guter sind Substitute, falls:

∂xNi∂pj

> 0,

▸ Guter sind Komplemente, falls:∂xNi∂pj

< 0.

9 / 32


Mengensteuer auf Gut 1:

1. Anderung des Gleichgewichtspreises im Markt fur Gut 1:p∗1 → p∗1 +∆ mit ∆ > 0 :

xN1 (p∗1 ,p∗2)→ xN1 (p∗1 +∆,p∗2)

2. Nachfrageveranderung fur Gut 2:

xN2 (p∗1 ,p2)→ xN2 (p∗1 +∆,p2) fur alle p2 > 0

Annahme: Gut 1 und 2 sind Substitute.Daraus folgt fur das neue Marktgleichgewicht:

Nachfragereduktion bei Gut 1: xN1 (p∗1 +∆,p∗2) < xN1 (p∗1 ,p∗2)Nachfrageerhohung bei Gut 2: xN2 (p∗1 +∆,p2) > xN2 (p∗1 ,p2)

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xN1 , xN2

p1,p2

p∗1 +∆p∗1

x∗1

xN1 (p1,p∗

2 )

p∗2

∆xN1 ∆xN2

x∗2

xN2 (p∗

1 ,p2)

xN2 (p∗

1 +∆,p2)

1. Im Markt fur Gut 1: Preiserhohung auf P∗1 +∆⇒ Nachfrage-reduktion um ∆xN1 , d.h. Wanderung auf xN1 (p1,p

∗

2 )

2. Gut 1 wird substituiert: Verschiebung der Nachfragekurve fur Gut 2⇒ Bei konstanten p∗2 Nachfrageerhohung um ∆xN2 .

3. Uberschussnachfrage nach Gut 2 impliziert Anderung desGleichgewichtspreises p∗2 ⇒ Ruckkopplung auf Markt fur Gut 1⇒ Verschiebung der Nachfragekurve fur Gut 1 etc.

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Konsequenzen der Marktinterdependenz:

1. Verbrauchssteuer im ineffizienten Markt fur Gut h (Fix-kostentechnologie) ⇒ Wohlfahrtsverluste im Markt fur h

2. Beeitrachtigung anderer (potentiell effizienter) Marktedurch Substitutionseffekte

3. Ruckkopplung auf Markt h ⇒ zusatzlicheWohlfahrtsverluste

Fazit: Isolierte Besteuerung eines Marktes (ohneBeeintrachtigung weiterer Markte) nicht moglich!

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Zweitbeste (wohlfahrsverlustminimierende) Steuern

Ziel: Generierung eines Steueraufkommens T zurFixkostendeckung der Bereitstellung von Gut h

Alternative Besteuerung: Einfuhrung von (indirekten)Verbrauchssteuern t ′h, t

′

k , t′

m auf mehrere Guter h, k ,m:

▸ Wohlfahrtsverluste im Markt fur h geringer, da t ′h < th▸ Zusatzliche Wohlfahrtsverluste in Markten fur k und m

▸ Vorteil: Anpassung Steuersatz an potentielle Ineffizienz imrelevanten Sektor moglich:

▸ Hohere Besteuerung in Sektor k falls Wohlfahrtsverlustedurch Besteuerung vergleichsweise gering.

▸ Niedrige Besteuerung in Sektor k falls Wohlfahrtsverlustedurch Besteuerung vergleichsweise groß.

13 / 32


Konsequenzen der Besteuerung auf mehreren Markten:

1. Kein Gut kann prinzipiell von moglicher Besteuerungausgeschlossen werden

2. Einfuhrung von verzerrenden Steuern auch in ex-anteeffizienten Markten

3. Besteuerung mit Zielsetzung der Minimierungaggregierter Wohlfahrtsverluste

⇒ Theorie der Zweitbesten Steuern

Zu klaren: Geeignetes Kriterium zur Evaluierung der relativenIneffizienz einer Steuer im Markt h, k ,m

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Langfristige Perspektive: Wohlfahrtsanalyse in Markt furGut i bei Steuerveranderung von t auf t:

Xi

Pi

PAi (X)

PNi (X)

PiPi +∆Pi

∆XNi

tt = t +∆t

▸ Erhohung von t auf t fuhrt zu teilweiser Uberwalzung derSteuer: Pi steigt auf Pi +∆Pi .

▸ Verringerung der Nachfrage um ∆XNi .

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Wohlfahrtsanalyse (bei staatlich betriebener Produktion):

1. Zusatzlicher Wohlfahrtsverlust (toter Verlust):

−∆XNi ⋅t = −∆XN

i ⋅(Pi−PAi (XN

i )) = −∆XNi ⋅(Pi−GKi(XN

i ))

2. Verlust an Konsumentenrente ≈ Zunahme desSteueraufkommens als zusatzlicher Deckungsbeitrag:

∆Pi ⋅XNi

3. Verlust an Produzentenrente ≈ Zunahme desSteueraufkommens lasst Deckungsbeitrag unverandert

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Exkurs: Herleitung der inversen Angebotsfunktion PAi (XN

i )bei staatlicher Bereitstellung:

▸ Staatsbetrieb ist Monopol, verhalt sich aber wiegewinnmaximierende Firma im Wettbewerbsmarkt:

π(X ) =l

∑h=1

PhXh −K(X ) wobei X = (X1, . . .Xl)

▸ Gewinnmaximierung impliziert B.1.O. fur Markt i :

Pi =∂K(X )∂Xi

= GKi(Xi)

▸ Angebotsfunktion: XAi = GK−1

i (Pi)▸ Inverse Angebotsfunktion: PA

i = GKi(Xi)

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Evaluationskriterium:

▸ Steuerertrag (proportional zum Verlust anKonsumentenrente) in Relation zum

▸ toten Verlust (als Mass fur Besteuerungskosten)

▸ unter Berucksichtigung der Marktinterdependenzen:

ci =∆Pi ⋅XN

i

−∆XNi ⋅ (Pi −GKi(XN

i ))> 0

System von optimalen (zweitbesten) Steuern:

▸ Kriterium ci in allen Markten gleich groß:

ci = c fur i = 1, . . . , l

▸ In allen Markten Abweichung von Grenzkostenpreisen:

Pi > GKi(XNi )

18 / 32


Warum nimmt das Vergleichskriterium bei optimalenSteuern in allen Markten den gleichen Wert an?

Sei ci > cj :

▸ Steuererhohung auf Gut i bei gleichzeitiger Senkung derSteuer auf Gut j wobei gesamter Steuerertrag unverandert

▸ Gesamte Besteuerungskosten (toter Verlust) geringer, dazusatzliche Besteuerungskosten fur Gut i betragsmaßiggeringer als fur j

▸ Weitere entsprechende Steuerveranderung solangeoptimal bis gilt: ci = cj fur alle i , j .

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Eigenschaften des Systems zweitbester Steuern:

▸ Suboptimale (ineffiziente) Produktionsstruktur:

GRSk ∣i ,j =Pi +∆Pi

Pj

≠ GRTSl ∣i ,j =PAi

Pj

▸ Konsumenten: Optimale (interpersonale) Guterallokation:

GRSk ∣i ,j = GRSk ′ ∣i ,j =Pi +∆Pi

Pj +∆Pj

fur alle k , k ′ und i , j

▸ Produzenten: Optimale Faktorallokation:

GRTSk ∣i ,j = GRTSk ′ ∣i ,j =PAi

PAj

fur alle k , k ′ und i , j

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Satz

In einem System zweitbester Steuern ist das Vergleichs-kriterium c in jedem Markt identisch.

Alternative Darstellung:

Aus c = ∆Pi ⋅XNi

−∆XNi ⋅(Pi−GKi(X

Ni ))

folgt durch Umformung:

−∆XNi

∆Pi

Pi

XNi´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

”Elastizitat“

= 1

c

Pi

Pi −GKi(XNi )´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

”Steuern auf Gut i“

21 / 32


Extreme Annahme: Keine Marktinterdepenz

▸ Keine Ruckkopplungeffekte: Preisveranderung resultiert inNachfrageveranderung nur im jeweilig betroffenen Markt.

▸ (Eigen-)Preiselastizitat der Nachfrage:

∣εii ∣ = −∂XN

i (Pi)∂Pi

Pi

XNi

= −∆XNi

∆Pi

Pi

XNi

Optimalitatsbedingung fur zweitbeste Steuern in diesem Fall:

∣εii ∣ =1

c

Pi

Pi −GKi(XNi ).

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Interpretation: Ramsey-Preise

▸ Abweichung des (Ramsey-)Preises von Grenzkostenentspricht Hohe des Steuersatzes auf Gut i :

Pi −GKi(XNi ) = ti .

▸ Kriterium c identisch fur alle Guter und bestimmt durchHohe des insgesamt zu erzielenden Steuerbetrags R .

▸ Negative Beziehung zwischen Nachfrageelastizitat undHohe des relevanten Steuersatzes:

▸ Je großer εii desto kleiner Abweichung pi −GKi(XNi ).

▸ Optimaler (zweitbester) Steuersatz auf i sollte dannrelativ gering sein.

▸ Optimale Steuersatze fur unterschiedliche Guter in allerRegel verschieden.

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Zweitbeste Steuern ohne Marktinterdependenz:

Elastizitatensregel I

Je geringer die Preiselastizitat eines Gutes, desto hoher solltesein Steuersatz ausfallen.

Intuition:

▸ Je geringer Preiselastizitat der Nachfrage, desto wenigerreagieren Nachfrager auf steuerinduzierte Preiserhohung

▸ Je geringer Reaktion der Nachfrager auf steuerinduziertePreiserhohung, desto geringer tote Verlust ausBesteuerung

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Alternative Formulierung der Elastizitatenregel:

Elastizitatenregel II

Fur zwei Guter i und j gilt: Verhaltnis der relativenAbweichung der Preise von den Grenzkosten entsprichtumgekehrtem Verhaltnis der Preiselastizitaten:

εiiεjj

=Pj−GKj(X

Nj )

Pj

Pi−GKi(XNi )

Pi

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Extremfall: Vollkommen unelastische Nachfrage nach Gut i

Xi

Pi

PAi (X)

PNi (X)

P∗i

X∗i = X ti

PNi = P∗i + ti

▸ Kein toter Verlust: Keine Ineffizienz durch Besteuerungvon Gut i

▸ Verbrauchssteuer auf i wirkt in diesem Fall wie Kopfsteuer

▸ Ausschließlich Gut i sollte besteuert werden!

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Diskussion der Elastizitatsregel

▸ Hohere Besteuerung von Gutern mit geringerNachfrageelastizitat

▸ Konflikt von Effizienz und Verteilungsgerechtigkeit:▸ Grundnahrungsmittel werden unelastisch nachgefragt⇒ Elastizitatenregel induziert relativ hohe Besteuerung.

▸ Nachfrage nach Luxusgutern relativ elastisch⇒ Elastizitatenregel induziert niedrige Besteuerung.

▸ Ramsey-Besteuerung kaum relevant in der Praxis

Implikation: Staatlich bereitgestellte Guter nicht finanziertdurch Besteuerung der jeweiligen Nutzer

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Praktische Anwendung: Preissetzung von Postdiensten

Quelle: Scott (1986)”Assessing USA Postal Ratemaking: An

Application of Ramsey Prices“, Journal of Industrial Economics

34(3), S. 279-290.

United States Postal Service:

▸ Unabhangige Behorde der Vereinigten Staaten

▸ Naturliches Monopol: Hohe Fixkosten & Wettbewerbs-d.h. Grenzkostenpreise ⇒ Defizit

▸ Bereitstellung diverser Postdienstleistungen, z.B. Briefe,Postkarten, Pakete

▸ Preissetzung oberhalb Grenzkosten zur Kostendeckungerlaubt

▸ Zweitbeste (Ramsey-) Preise minimieren Verzerrungen

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Bestimmung der Ramsey-Preise:

−∆XNi

∆Pi

Pi

XNi

= 1

c

Pi

Pi −GKi(XNi )

▸ Bestimmung von c : implizit durch Nullgewinnbedingung(Kostendeckung)

▸ Annahme A: Dienstleistungen nicht substituierbar:

PAi = 1

1 − 1c ∣εii ∣

GKi(XNi )

▸ Annahme B: Dienstleistungen substituierbar:

PBi = 1

1 − 1

−c∆XN

i∆Pi

PiXNi

GKi(XNi )

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Analyse der realisierten Preisgestaltung

▸ Bekannt: Preise Pi fur diverse Postdienstleistungen

▸ Schatzungen: Grenzkosten, Umsatz und Ertrage, Elastizitaten derPostdienste

Realisierter Preis P vs. Ramsey Preis PA,PB

Postdienst GKi Umsatz Ertrag εii Pi PAi PB

i

Standardbrief 0,16 58.583 11.783 -0.31 0,20 (25%) 0,21 (27,3%) 0,20 (26,7%)

Postkarte 0,10 2.417 331 -0.61 0,137 (33%) 0,117 (13,6%) 0,138 (34%)

Paket 2,26 172 412 -0.81 2,40 (6,1%) 2,46 (8,6%) 2,43 (7,4%)

Quelle: Scott (1986), S. 283

Interpretation:

▸ Ramsey-Prinzip: Geringere Elastizitat ⇒ Hoherer relativerPreisaufschlag

▸ Postkarte: Hohe Substituierbarkeit ⇒ PBi > P

Ai

▸ Paket: Hoher Wettbewerb mit privater Konkurrenz: Pi < PAi ,P

Bi

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Zusammenfassung Kapitel 2

1. Probleme der Dezentralisierung

▸ Abweichung von Modellannahmen ⇒ Ineffizienzen undWohlfahrtsverluste im Marktgleichgewicht

▸ Hier: Hohe Fixkosten (konvexe Technologiemenge):▸ Marktgleichgewicht kurzfristig nicht aufrechtzuerhalten▸ Gewinnmaximierungshypothese verletzt▸ Langfristig ist Existenz des Wettbewerbsmarkts

gefahrdet (naturliches Monopol)

▸ Pareto-effiziente Allokation nicht dezentralisierbar ⇒zentrale (staatliche) Bereitstellung

▸ Produktionskostendeckung (statt Gewinnmaximierung)durch Steuererhebung finanziert

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2. Theorie der zweitbesten Steuern

▸ Erstbeste Steuern (Kopfsteuer) nicht praktikabel, d.h.Ruckgriff auf indirekte Verbrauchssteuern

▸ Indirekte Steuern induzieren Wohlfahrtsverluste, daOptimalitatsbedingungen verletzt

▸ Ausweitung der Steuerbasis (Besteuerung aller Guter)erlaubt Anpassung an Markte

▸ Zweitbeste Steuern minimieren Wohlfahrtsverluste(Anwendung der Elastizitatenregel)

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Kapitel 3.1:

Externe Effekte1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 3: Externe EffekteExterne Effekte in der ProduktionOptimale Allokation mit ExternalitatenMarktgleichgewicht mit Externalitaten

Einordnung

1. Hauptsatz der Wohlfahrtsokonomie:Wettbewerbsgleichgewicht fuhrt unter bestimmtenAnnahmen zu pareto-effizienten Allokationen

Individuelle Entscheidungen ⇒”soziale”(Pareto-)Effizienz

Implizite Annahme:Produzentengewinn und Konsumentennutzen hangen lediglichvon Variablen ab, die jeweils der eigenen Kontrolle unterliegen.

1 / 18


Konsequenzen dieser Annahme:

▸ Konsument: Nur eigener Konsum ist von Interesse, nichtderjenige anderer Konsumenten.Ausgeschlossen: Neid bzw. Geltungskonsum, sozialePraferenz

▸ Produzent: Nur eigene Inputs und Technologie bestimmenjeweiligen Gewinn.Ausgeschlossen: Zwischenprodukte, Marktmacht,schadliche Nebenprodukte etc.

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Problem: Annahme haufig nicht gegeben!

Negative Externalitaten:

▸ Raucher/Nichtraucher

▸ Dungung in Landwirtschaft/Produktion von Frischwasser

▸ Verwendung fossiler Brennstoffe/Erderwarmung

Positive Externalitaten:

▸ Obstanbau/Honigproduktion

▸ Netzwerkeffekte

▸ Bildung/Universitaten

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Definition (Externer Effekt, Externalitat)

Eine Externalitat (externer Effekt) liegt vor, falls:

▸ Produzentengewinn, bzw. Konsumentengewinn abhangigvon Gutern, die nicht ausschließlich eigener Kontrolleunterliegen.

▸ formal: Produktionsfunktion bzw. Nutzenfunktionenenthalt Variable, die von anderen Markteilnehmern nachderen Praferenzen festgelegt wird.

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Konsequenzen von Externalitaten:

Externalitat im Wettbewerbsmarkt:

▸ Verletzung der (marginalen) Bedingungen optimalerAllokation im Marktgleichgewicht

▸ Marktgleichgewicht nicht mehr pareto-effizient⇒ 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie verletzt⇒ Marktversagen

Fragen:

1. Wieso kommt es bei Externalitaten zu Ineffizienzen?

2. Wie lasst sich durch Externalitaten verursachtesMarktversagen korrigieren?

5 / 18


Frage 1: Externe Effekte in der Produktion

Beispiel: Produktion mit einem Zwischenprodukt

▸ Firma 1 produziert Gut x mit Prod.-funktion x = f (l1),wobei x Konsumgut fur Konsument und gleichzeitigZwischenprodukt fur Firma 2

▸ Firma 2 produziert Gut y mit Prod.-funktion y = g(x , l2),wobei:

▸ Positiver externer Effekt, falls gx > 0▸ Negativer externer Effekt, falls gx < 0

▸ Konsument mit Nutzenfunktion u(x , y , l), wobeiux > 0,uy > 0,ul > 0 und Ressourcenbeschrankung:l = L − l1 + l2.

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Pareto-optimale Allokation

Pareto-optimale Allokation O = (xO , yO , lO1 , lO2 , l

O) maximiert

Nutzen uber alle erreichbaren Allokationen:

maxx ,y ,l ,l1,l2

u(x , y , l) unter NB: x = f (l1)

y = g(x , l2)

L = l1 + l2 + l

x

y

f (L − l)

g(L − l ,0)

u Rand der Technologiemenge

O

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Optimaler Faktoreinsatz

Einsatz des Inputsfaktors l1:

▸ direkter Effekt auf die Produktion von x = f (l1),

▸ indirekter Effekt wegen Externalitat bzgl. Produktion vony = g(l2, x) durch Veranderung des Zwischenprodukts x .

Im Pareto-Optimum (xO , yO) gilt:

GRS∣xy = GRT∣xy

Steigung Indifferenzkurve = Steigung Rand der Technologiemenge

dy

dx∣

u=u=

dy

dx∣

F(x ,y ,l1,l2)=0

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Intuitive Herleitung der GRT∣xy

Frage: Wie wird Gut x in Gut y transformiert?

▸ Marginale Reduzierung von x fuhrt zu:▸ Freisetzung von 1

∂f∂l1

Einheiten Arbeit

▸ Reduzierung der Produktion von y um ∂g∂x Einheiten

▸ Einsatz der freigesetzten 1∂f∂x

Einheiten an Arbeit fuhrt zu

Produktionsausweitung um 1∂f∂x

∂g∂l2

Einheiten von Output y

Gesamte Veranderung des Ouputs y :

∂g∂l2∂f∂l1

−

∂g

∂x= GRT ∣xy

9 / 18


Herleitung der Substitutionsbeziehungen zwischen Gutern⇒ Folgende Optimalitatsbedingungen:

1. GRS∣xy = GRT∣xy :∂u∂x∂u∂y

=

∂g∂l2∂f∂l1

−∂g∂x

2. GRS∣yl = GRT∣yl :∂u∂y∂u∂l

=1∂g∂l2

3. GRS∣xl = GRT∣xl :∂u∂x∂u∂l

=1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

Interpretation: Angleichung der Substitutionsraten (Konsumund Produktion) unter Berucksichtigung der Externalitat!

Bemerkung: Bedingung 1. - 3. entspricht den Bedingungenerster Ordnung des folgenden Lagrangeproblems:

L = u(x , y , l)+λ1(x−f (l1))+λ2(y−g(f (l1), l2))+λ3(l1+l2+l−L)

10 / 18


Frage: Gibt es Preise, die zur pareto-effizienten Allokation Ofuhren wurden?

Antwort: Optimalitatsbedingungen wurden Preise (px ,py ,pl)induzieren:

1. GRS∣xy = GRT∣xy =pxpy⇒

pxpy=

∂g∂l2∂f∂l1

−∂g∂x

2. GRS∣yl = GRT∣yl =pypl⇒

pypl=

1∂g∂l2

3. GRS∣xl = GRT∣xl =pxpl⇒

pxpl=

1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

11 / 18


Interpretation der Optimalitatsbedingungen

Definition Wertgrenzprodukt WGP

Das Wertgrenzprodukt WGPx ,l eines Faktors l fur Gut xbezeichnet den Marktwert aus Erhohung von x durchzusatzliche Einheit von l : WGPx ,l = px

∂f∂l .

Fur Faktor Arbeit l1 ergibt sich:

WGPx ,l1 ∶ px∂f

∂l1=

⎛

⎝

1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

⎞

⎠

pl∂f

∂l1

⇒

” soziales”WGPx,l1

³¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹·¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹µ

px∂f

∂l1²

”privates”WGPx,l1

+py∂g

∂x

∂f

∂l1= pl

®Faktorpreis

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Frage: Realisieren sich im Marktgleichgewicht(x∗, y∗, l∗1 , l

∗

2 , l∗) die Optimalitatsbedingungen?

Gewinnmaximierung der Firmen im Wettbewerbsmarkt:

▸ Firma 1: maxl1 px ⋅ f (l1) − pl ⋅ l1

⇒ px∂f

∂l1= pl ⇒

pxpl

=

1∂f∂l1

▸ Firma 2: maxl2 py ⋅ g(f (l1), l2) − pl ⋅ l2

⇒ py∂g

∂l2= pl ⇒

pypl

=

1∂g∂l2

Fur beide Firmen gilt:

Privates Wertgrenzprodukt = Faktorpreis

13 / 18


Fazit:

Firma 1 ignoriert Auswirkung ihrer Entscheidung auf Firma 2!

Im Wettbewerbsmarkt gilt fur Firma 1:Produktionsausweitung bis Preis des Inputfaktors Arbeit genauprivatem Wertgrenzprodukt entspricht:

px∂f

∂l1= pl

privates WGPx,l1 = Inputpreis

Alternative (outputbasierte) Betrachtungsweise:

px =

1∂f∂l1

pl

Outputpreis = (private) Grenzkosten

14 / 18


Im Pareto-Optimum gilt fur Firma 1:Produktionsausweitung bis Preis des Inputfaktors Arbeit genausozialem Wertgrenzprodukt entspricht:

px∂f

∂l1+ py

∂g

∂x

∂f

∂l1= pl

soziales WGPx,l1 = Inputpreis

Alternative (outputbasierte) Betrachtungsweise:

px =

⎛

⎝

1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

⎞

⎠

pl

Outputpreis = (soziale) Grenzkosten

15 / 18


Konsequenzen der Externalitat:

Fall 1: Positiver externer Effekt von x auf y : ∂g∂x > 0

1∂f∂l1

>

1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

private Grenzkosten > soziale Grenzkosten

Firma 1 wird im Wettbewerbsmarkt zu jedem Marktpreis pxweniger von x produzieren als sozial erwunscht:

Unterproduktion: x∗ < xO und p∗x > pOx

x

p

pN(x)

private Grenzkosten (inv. Angebotsfunktion)

p∗x

x∗

soziale GrenzkostenpOx

xO16 / 18


Fall 2: Negativer externer Effekt von x auf y : ∂g∂x < 0

1∂f∂l1

<

1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

private Grenzkosten < soziale Grenzkosten

Firma 1 wird im Wettbewerbsmarkt zu jedem Marktpreis pxmehr von x produzieren als sozial erwunscht:

Uberproduktion: x∗ > xO und p∗x < pOx

x

p

pN(x)

soziale Grenzkosten

pOx

xO

private Grenzkosten (inv. Angebotsfunktion)p∗x

x∗

17 / 18


Zusammenhang Externalitat vs. 1. Hauptsatz

▸ Pareto-Optimalitat impliziert: Marktpreis eines Gutesentspricht jeweiligen sozialen Grenzkosten

▸ Marktgleichgewicht: Firmen und Konsumenten orientierensich an privaten Grenzkosten

▸ Im Wettbewerbsmarkt ohne Externalitaten gilt:▸ Soziale und private Grenzkosten identisch▸ 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie gultig!

▸ Bei Vorliegen von Externalitaten gilt:▸ Private und soziale Grenzkosten nicht identisch▸ Marktgleichgewicht nicht pareto-effizient!

18 / 18

Kapitel 3.2:

Externe Effekte1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 3: Externe Effekte

KorrekturmoglichkeitenPigou-SteuernLimitierung per DekretCoase-Theorem

Korrekturmoglichkeiten beim Vorliegen externer Effekte

1. Alternative: Fusion

2. Alternative: Steuern und Subventionen

3. Alternative: Limitierung per Dekret

4. Alternative: Verhandlungen

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1. Alternative: Fusion

Im Beispiel:

▸ Produktion der Firma 2 abhangig vom Zwischenprodukt xvon Firma 1

▸ Abhangigkeitsbeziehung bei Produktionsentscheidung vonFirma 1 nicht berucksichtigt

Was passiert bei einer Fusion der beiden Firmen?

▸ Gemeinsame Produktion erlaubt Kontrolle allerInputfaktoren

▸ Internalisierung des externen Effekts, da Zwischen-produktabhangigkeit in Gewinnfunktion der fusioniertenFirma entsprechend berucksichtigt

2 / 28



Formale Herleitung am Beispiel:

Gewinn der fusionierten Firma:

πF(xF , yF , l1, l2) = pxxF + pyyF − pl l1 − pl l2

maxl1,l2 px f (l1) + pyg(l2, f (l1)) − pl l1 − pl l2

B .1.O. ∶ py∂g

∂l2= pl

px∂f

∂l1+ py

∂g

∂x

∂f

∂l1= pl

Umformen fuhrt zu:

px

py

=

∂g∂l2∂f∂l1

−∂g

∂x

py

pl

=1∂g∂l2

px

pl

=1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

3 / 28



Konsequenz:

▸ Private und soziale Grenzkosten des fusioniertenUnternehmens identisch ⇒ Externalitat durch Fusionvollstandig internalisiert

▸ 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie dann gultig▸ Marktgleichgewicht (x∗F , y

∗

F , l∗) ist pareto-effizient:

x∗F = xO , y∗F = yO , l∗ = lO

x

p

pN(x)

private Grenzkosten von Unternehmen 1

p∗

x∗1

soziale Grenzkosten = Grenzkosten desfusionierten Unternehmensp∗F = p

O

x∗F = xO

4 / 28



Frage: Konsequenzen der Fusion fur Profitabilitat der Firma?

Beobachtung: Gesamtgewinn der fusionierten Firma mind. sohoch wie Summe der Gewinne der beiden Einzelfirmen.

Grund: Fusionierte Firma kann Entscheidung der beidenEinzelfirmen potentiell imitieren ⇒ Abweichung von diesemVerhalten muss daher profitabel sein!

Generelles Problem:

▸ Fusionen aus wettbewerbspolitischer Perspektivefragwurdig (Monopolbildung)

▸ Existenz von Externalitaten als Pseudolegitimation furFusion mißbrauchbar

5 / 28



Praktisches Beispiel:

1. Chemieunternehmen: Abwasser (Nebenprodukt desProduktionsprozesses) werden in Fluss geleitet

2. Wasserwerk: Trinkwasserversorgung basierend auf Fluss-wasser (unter Berucksichtigung der Trinkwasserqualitat)

Annahme: Kosten der Flusswasserreinigung hoher alsAbwasservermeidungskosten des Chemieunternehmens:

▸ Marktpreis fur Chemieprodukte zu niedrig,Ausbringungsmenge fur Chemieprodukte zu hoch

▸ Wasserpreis zu hoch, angebotene Wassermenge zu niedrig

6 / 28



Paretoverbesserung:

▸ Produktionseinschrankung des Chemiewerks verringertzwar Gewinn des Chemieunternehmens, aber

▸ mehr und gunstigere Wasserbereitstellung erhoht denGewinn des Wasserwerks

▸ Zweiter Effekt dominiert den ersten Effekt:▸ Vermeidungskosten des Chemieunternehmens geringer

als Reinigungskosten des Wasserwerks▸ Gesamtgewinn ist hoher: Anreiz zu Fusion, bzw.

Verhandlungslosungen

Bemerkung: Schadliches Verhalten in pareto-effizienterAllokation nicht vollstandig ausgeschlossen, sondern ineffizienterweise Weise reduziert

7 / 28



2. Alternative: Internalisierung durch Steuern (Pigou)

Im Marktgleichgewicht fuhren:

▸ Negative Externalitaten zu Uberproduktion⇒ Einfuhrung verzerrender Steuern induziert Reduzierungder Produktion.

▸ Positive Externalitaten zu Unterproduktion⇒ Einfuhrung verzerrender Subventionen induziertAusweitung der Produktion.

8 / 28



Beispiel: Negative Externalitat ∂g∂x < 0

Idee: Mengensteuer auf x , so daß Produzent korrektePreisanreize bekommt

Frage: Wie lautet der adaquate Mengensteuersatz t∗?

x

p

pN(x)

soziale Grenzkosten

p∗t = pO

x∗t = xO

private Grenzkosten (Angebotsfunktion)

private Grenzkosten + t

t∗ p∗

x∗

9 / 28



Beobachtungen:

▸ Im Marktgleichgewicht nach Steuern (x∗t ,p∗

t ) gilt:soziale Grenzkosten = private Grenzkosten + t∗

▸ Steuersatz t∗ ist optimal gesetzt: Verzerrende Wirkungder Mengensteuer internalisiert Externalitat

▸ Resultierendes Marktgleichgewicht ist trotz Externalitatpareto-effizient

▸ Doppelte Dividende: Zusatzlich generierteSteuereinnahmen

10 / 28



Formale Herleitung des optimalen Steuersatzes t∗

Mengensteuer t auf die Produktion von x durch Firma 1.

Gewinn von Firma 1: π1(x , l1) = (px − t)x − pl l1

maxl1 (px − t)f (l1) − pl l1

B .1.O. ∶ (px − t)∂f

∂l1= pl

⇒px

pl

=1∂f∂l1

+t

pl

Hinweis: Bedingung fur Pareto-Optimum lautet:

px

pl

=1∂f∂l1

−

∂g∂x∂g∂l2

11 / 28



Optimaler Pigou-Steuersatz h gegeben durch:

t∗ = −

∂g∂x∂g∂l2

pl

praziser: t∗ = −

∂g(lO2 ,xO)

∂x

∂g(lO2 ,xO)

∂l2

pl

Bemerkungen:

▸ Hinweis: Optimaler Steuersatz basiert nicht auf Unter-schieden zwischen privaten und sozialen Grenzkosten imMarktgleichgewicht sondern in effizienter Allokation!

▸ Hohe Informationsanforderungen: Kenntnisse derNachfragefunktion & sozialen und privaten Grenzkosten(Produktionstechnologien)

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3. Alternative: Korrektur der Fehlallokation per Dekret

Staat setzt per Dekret Produktionsober- bzw. -untergrenzen:

▸ Obergrenze: x < xO bei negativer Externalitat

▸ Untergrenze: x > xO bei positiver Externalitat

Beispiel Wasserwerk/Chemiewerk:

▸ Gesetzlicher Grenzwert fur Schadstoffe(Einleitungsobergrenzen)

▸ Wasserwerke werden zu bestimmter Trinkwasserqualitatverpflichtet (Trinkwasserverordnung)

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Probleme:

▸ Hohe Informationsanforderungen

▸ Starker Eingriff in Autonomie der Marktteilnehmer

▸ Trinkwasserqualitat per Dekret:▸ Zu hohe Abwassereinleitung des Chemiewerks bleibt

potentiell bestehen▸ Ineffizient hohe Preise fur Trinkwasser wegen (relativ)

hoher Reinigungskosten des Wasserwerks

▸ Einleitungsobergrenzen per Dekret:▸ Potentielle effiziente Reinigungstechnologie des

Wasserwerks nicht berucksichtigt▸ Produktionseinschrankung des Chemiewerks impliziert

ineffizient hohe Preise fur Output des Chemiewerks

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4. Alternative: Internalisierung durch Verhandlungen

Frage: Staatseingriffe zur Internalisierung externer Effektenotwendig?

Hypothese: Freiwillige Internalisierung der Externalitat durchVerhandlungen betroffener Marktteilnehmer (R. Coase)

Argumentation:

1. Externalitaten wurden durch Fusion internalisiert ⇒Gesamtgewinn der fusionierten Firma hoher als Summeder Einzelgewinne

2. Anreize zu Verhandlungen:▸ Betroffene Firmen verhalten sich wie fusionierte Firma▸ Aufteilung des (hoheren) Gewinns▸ Koordination der Firmen in Bezug auf Ausbringungs-

menge durch Kompensationszahlungen

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Frage: Wie sollten Kompensationen spezifiziert werden?

Idee: Kompensation in Hohe der Pigou-Steuer hat denselbenEffekt auf Verursacher-Firma

Fortsetzung Beispiel: Kompensation von Firma 1 an 2 durchZahlung von Schadensersatz: k pro produzierter Einheit von x

Gewinn Firma 1: π1(l1) = px f (l1) − pl l1 − kf (l1)

B.1.O.: (px − k)∂f

∂l1= pl

Falls k = t∗⇒ l∗1 = lO1 , x∗ = xO

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Gewinn Firma 2: π2(l2) = pyg(l2, f (l1)) − pl l2 + kf (l1)

B.1.O.: py∂g

∂l2= pl

l∗2 = lO2 , y∗ = yO

Firma 2 genau in Hohe der negativen Externalitat

k = t∗ = −∂g∂x∂g∂l2

pl kompensiert!

Frage: Wie kann man Firma 1 dazu bringen, tatsachlichKompensationszahlungen i.H.v. t∗ zu leisten?

Idee: Etablierung von eindeutigen Eigentums- bzw. Verfu-gungsrechten: Rechtsverletzung ⇒ Schadensersatzanspruch

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Frage: Was passiert, wenn Firma 1 Verfugungsrechte besitzt⇒ Firma 2 hat keinen Schadensersatzanspruch

Alternative fur Firma 2: Pramienzahlung an Firma 1 furfreiwillig vorgenommene Outputreduktion um x − x Einheiten.

Gewinn Firma 1: π1(l1) = pxx − pl l1 + b(x − x)

B.1.O.: (px − b)∂f

∂l1= pl

Falls b = t∗⇒ l∗1 = lO1 , x∗ = xO

Gewinn Firma 2: π2(l2) = pyg(l2, x) − pl l2 − b x

B.1.O.: py∂g

∂l2= pl

l∗2 = lO2 , y∗ = yO

Intuition: Outputreduktion von Firma 1 fuhrt zu wenigerSchadigung von Firma 2, die dadurch Firma 1 pramieren kann!

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Zwischenfazit:

▸ Vollstandige Internalisierung durch Kompensation oderPramie moglich

▸ Unterschied betrifft Aufteilung der Effizienzgewinne

Problem: Wie lasst sich Einigung auf eine Methode erreichen?

Losung:

▸ Staat garantiert Ein- und Durchsetzung vonVerfugungsrechten und Vereinbarungen

▸ Kompensation bzw. Pramie dann rechtlich durchsetzbar!

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Coase Theorem:

Falls Verfugungs- bzw. Eigentumsrechte eindeutig definiert, sowerden Marktteilnehmer auch bei Externalitaten durch frei-willige Verhandlungen pareto-effiziente Allokation erreichen

Konsequenzen:

▸ Staat sollte sich auf Implementierung und Durchsetzungvon Eigentums- und Verfugungsrechten konzentrieren

▸ Pareto-effiziente Allokation durch Verhandlungen erreichtunabhangig von der Zuteilung der Verfugungsrechte

▸ Empirische Relevanz: Obstgarten und Honigproduktion ⇒Implizite Vertrage zwischen Imker und ObstbauerQuelle: Cheung (1973):

”The Fable of the Bees: An Economic

Investigation“, Journal of Law and Economics 16.

20 / 28



Problematische Aspekte des Coase-Theorems

Notwendige Voraussetzungen fur Gultigkeit:

▸ Keine Transaktions- und Verhandlungskosten ⇒Freifahrerproblem bei grossen Gruppen

▸ Vollstandige Information (auch uber die Externalitat)

▸ Abschluss vollstandiger und bindender Vertrage moglich

▸ Einsetzung von Eigentums- und Verfugungsrechten ingewissen Fallen problematisch

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Frage: Wie gravierend ist Annahme bzgl. vollstandigerInformation?

Theoretische Anwendung:

▸ Nicht-informierter Regulator trifft auf informierteMarktteilnehmer

▸ Verfahren zur Aufdeckung/Implementierung der korrektenPigou-Steuersatze

▸ Verfahren interpretierbar als Verhandlung im Sinn desCoase-Theorems

Quelle: Varian (1994)”A Solution to the Problem of Externalities

when Agents are well-informed“, American Economic Review

84(5), S. 1278-1293.

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Modell:

▸ Firma 1: π1(x) = p x − c(x) mit c() steigend & konvex

▸ Firma 2: π2 = −e(x) mit e() steigend & konvex

▸ Beide Firmen sind vollstandig ubereinander informiert

▸ Regulator kennt weder π1(x) noch π2 ⇒ Setzung vonPigou-Steuern nicht moglich

▸ Negative Externalitat: Firma 1 berucksichtigt nicht Effektvon x auf π2: Uberproduktion x∗ > xO, wobei:

x∗ = argmaxx π1(x) mit B.1.O.: p − c ′(x∗) = 0

xO = argmaxx π1(x) + π2 mit B.1.O.: p − c ′(xO) − e ′(xO) = 0

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Regulator implementiert folgenden Mechanismus:

▸ Firma 1 wahlt Steuersatz t1, Firma 2 wahlt Steuersatz t2

▸ Danach entscheidet Firma 1 uber Produktionsmenge x

▸ Firma 2 erhalt t1 x ⇒ π2 = t1 x − e(x)

▸ Firma 1 zahlt t2 x + (t1 − t2)2⇒

π1(x , t1) = p x − c(x) − t2 x − (t1 − t2)2

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Gleichgewichtsanalyse:

1. Schritt: Firma 1 wahlt x∗ = arg maxx π1(x , t1) mit B.1.O.:p − c ′(x∗) − t2 = 0⇒ x∗(t2)

2. Schritt: Firma 1 wahlt t∗1 = arg maxt1 π1(x∗, t1) mitB.1.O.: t∗1 = t2

3. Schritt: Firma 2 wahlt t∗2 = arg maxt2 π2(x∗(t2)) mitB.1.O.: [t∗1 − e ′(x∗))]x ′(t∗2 ) = 0⇒ t∗1 = e ′(x)

Zusammenfassung: p − c ′(x∗) − t∗2 = 0

⇒ p − c ′(x∗) − t∗1 = 0

⇒ p − c ′(x∗) − e ′(x∗) = 0

p − c ′(xO) − e ′(xO) = 0

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Fazit:

▸ Im Gleichgewicht gilt: x∗ = xO

▸ Mechanismus implementiert pareto-effiziente Allokationohne das Regulator uber Externalitat informiert sein muss

▸ Gewahlte Steuer t∗1 entspricht genau Pigou-Steuer!

▸ Im Gleichgewicht sind Zahlungen ausgeglichen:Firma 1 transferiert t∗1 xO = t∗2 xO an Firma 2

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Zusammenfassung: Externe Effekte

▸ Externalitaten entstehen falls Produktions- bzw.Konsumentscheidungen (nicht berucksichtigte)Auswirkungen auf andere Marktteilnehmer haben.

▸ Konsequenz: Private und soziale Grenzkosten (-ertrage)stimmen nicht uberein.

▸ Marktallokation ist ineffizient da Externalitaten nichtinternalisiert werden ⇒ Uber- oder Unterproduktion.

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Gegenmaßnahmen: Internalisierung externer Effekte

▸ Fusion der betroffenen Unternehmen: Produktionsent-scheidung des fusionierten Unternehmens berucksichtigtExternalitaten

▸ Staatliche Festsetzung der Produktionsmenge per Dekret.

▸ Pigou-Steuer: Verzerrende Steuer i.H.d. Differenz vonprivaten und sozialen Grenzkosten bei effizienterProduktion

▸ Verhandlungen bei definierten Verfugungsrechten:Effiziente Allokation durch freiwillige Vereinbarungenbasierend auf Kompensation oder Pramien

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Kapitel 4.1:

Offentliche Guter1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 4: Offentliche Guter (Kollektivguter)

DefinitionExperiment 3Theoretische AnalyseEffiziente Bereitstellung: Samuelson’sche Bedingung

Offentliche Guter versus private Guter

Kennzeichen privater Guter:

(i) Rivalitat im Konsum

(ii) Moglichkeit des Ausschlusses vom Konsum

▸ Liegt (i) & (ii) vor:”reines“ privates Gut.

▸ Liegen weder (i) noch (ii) vor:”reines“ offentliches Gut.

Ausschluss moglich Ausschluss nicht moglich

Rivalitat reines privates Gut: Allmendegut: Autobahnen,

im Konsum Kleidung, Nahrung Weiden, Fischbestande

keine Riv. Club-Gut: Kabelfernsehen, reines offentliches Gut:

im Konsum religiose Gruppen, Landesverteidigung,

halbleeres Stadion Radioprogramm, Atemluft

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Reine private Guter

▸ Im Marktgleichgewicht: Private Guter von privatenProduzenten in effizienter Weise bereitgestellt

▸ Grund: Rivalitat und Ausschließbarkeit vom Konsumgarantieren, dass Knappheiten durch Marktpreise korrektsignalisiert

Problem: Nicht-Rivalitat oder Nicht-Ausschließbarkeit ⇒Funktion der Preise als Knappheitsindikator eingeschrankt

Konsequenz: Marktgleichgewicht ist ineffizient!

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Experiment 3: Das Investment-Spiel

▸ Individuelles Anfangsvermogen: 100 EU

▸ Anzahl der Teilnehmer am Experiment: n

▸ 2 mogliche Anlageformen fur jeden Teilnehmer:▸ Festverzinsliche Anlage X mit 50 Prozent Rendite:

Investition von xi in X fuhrt zu Auszahlung von 1,5 ⋅ xi .▸ Gemeinsames Investitionsprojekt Y:

Gesamtinvestition von y = ∑nj=1 yj fuhrt zu indiv.

Auszahlung von (unabhangig von indiv. Beteiligung):

vi(y) = 30

¿ÁÁÀ1

n

n

∑j=1

yj = 30

√y

nfur alle i = 1 . . .n

▸ Budgetbeschrankung: xi + yi ≤ 100

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Details zum Gemeinsamen Investitionsprojekt Y:

Annahme: n = 25 Teilnehmer insgesamt

Gesamte Einzahlung Individuelle Ruckzahlung Rendite

y = ∑30j=1 yj vi(y) fur i = 1 . . .n bei yi = 100

100 60 -40 Prozent,

200 84,85 -15,15 Prozent

500 134,16 34,16 Prozent

1000 189,74 89,74 Prozent

1500 232,38 132,38 Prozent

2000 268,33 168,33 Prozent

2500 300,00 200,00 Prozent

Zum Vergleich: Rendite der festverzinslichen Anlage: 50 Prozent.

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Durchfuhrung

Bitte folgende Angaben auf Investitionsbogen eintragen:

1. Ihre Matrikelnr.

2. Exakte Aufteilung (xi , yi) des Anfangsvermogens aufbeide Anlageformen

3. Ihren Studiengang: VWL, BWL, WiMa, Lehramt,Naturwissenschaft, sonstige Sozialwissenschaft, sonstiges.

4. Ihr Geschlecht: mannlich/weiblich.

5. Ihre Augenfarbe: blau, grun, braun, sonstiges.

Erfolgsbeteiligung: 5 Prozent des individuellen Ertrags anzufallig bestimmten Teilnehmer

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Theoretische Analyse: Offentliche Guter

Private Bereitstellung offentlicher Guter problematisch:

▸ Fur Produzent gilt wegen Nicht-Rivalitat: ZusatzlicherKonsument des offentlichen Gutes irrelevant

▸ Wegen Nicht-Auschließbarkeit kann jeder Konsument amoffentlichen Gut teilnehmen

▸ Konsumenten nicht bereit fur offentliches Gut zu zahlen

▸ Produzent kann Kosten nicht decken ⇒ Keine privateBereitstellung

▸ Offentliche Bereitstellung haufig einzige Moglichkeit

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Bemerkung: Nichtrivalitat des offentlichen Gutes ist extremeForm von Externalitat im Konsum.

Beispiel: Einfaches Modell zur Verdeutlichung

▸ n Konsumenten mit Nutzenfunktion ui(xi , yi)▸ privates Gut X, offentliches Gut Y▸ Konsument i wunscht Konsum yi = y⇒ Guterbundel: (xi , yi) = (xi , y)

▸ dann mussen (durfen) alle j ≠ i ebenfalls yj = ykonsumieren:

u1 = u1(x1, y)u2 = u2(x2, y)

. . .

un = un(xn, y)Fazit: Keine Kontrolle von j ≠ i uber y ⇒ Externalitat!

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Problem: Wieviel offentliches Gut Y soll produziert werden?

Modellannahmen:

▸ Produktionstechnologie des offentlichen Gutes:

y = f (x) = x

Bemerkung: 1 Einheit y impliziert Verzicht auf 1 Einheit x

▸ Quasi-lineare Nutzenfunktion von Konsument i = 1, . . . ,n:

ui(xi , y) = vi(y) + xi ,

mit vi(y) steigend und konkav.

▸ Individuelle Anfangs-/Erstausstattung: ei = (xei ,0)

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1. Pareto-Optimale Produktion

Fur dieses Modell mit offentlichem Gut y gilt:

Definition (Erreichbarkeit)

Eine Allokation {(xi)ni=1, y)} ist erreichbar, falls

y +n

∑i=1

xi =n

∑i=1

xei

Herleitung der pareto-optimalen Allokation:

max{(xi)ni=1,y)}

v1(y) + x1

u.d.NB.: vi(y) + xi ≥ ui fur i = 2, . . . ,n

xi ≥ 0 fur i = 1, . . . ,n

y +∑ni=1 xi = ∑n

i=1 xei

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Bemerkung: Bei quasi-linearen Nutzenfunktionen maximiertpareto-optimale Allokation yO aggregierten Surplus (Differenzaus Summe der Nutzengewinne und Herstellungskosten):

maxy

n

∑i=1

vi(y) − y

Losung: Notwendige Bedingung fur Pareto-Optimalitat:n

∑j=1

v ′j (yO) = 1

Interpretation:▸ Linke Seite:

∑nj=1 GRSj ∣yx = ∑n

j=1

∂uj∂y∂uj∂xj

= ∑ni=1

v ′i (yO)1 = ∑n

i=1 v′i (yO)

▸ Rechte Seite: GRTS ∣yx =∂f∂y∂f∂x

= 11 = 1

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Allgemein: Fur Marktmodell mit x1, . . . , xn privaten Guternund offentlichen Gut y gilt:

Definition (Samuelson’sche Bedingung)

Pareto-effiziente Allokation {(xOi )ni=1, yO)} erfullt die folgende

Bedingung:n

∑i=1

∂ui∂y

∂ui∂xi

=∂f∂y

∂f∂x

,

d.h.n

∑i=1

GRSi ∣yx = GRTS ∣yx .

Zum Vergleich: Pareto-optimale Bereitstellung privaterGuter (x , z) erfordert: GRSi ∣xz = GRTS ∣xz .

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Implikationen bei pareto-optimaler Bereitstellung:

▸ Grenzraten der Substitution nicht identisch:

GRSi ∣yx ≠ GRSj ∣yx

▸ Extremfall: Grenzrate der Substitution fur spezifischeIndividuen (potentiell) negativ ⇒ Offentliches Gut ist‘schlecht’:

GRSi ∣yx < 0⇒ ∂ui∂y

< 0

▸ Pigou-Besteuerung wirkungslos: Steuerungswirkung vonPreisen identisch fur dasselbe Gut fur jeden Konsumenten

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Kapitel 4.2:

Offentliche Guter1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3

2. Dezentrale Bereitstellung im Markt

Verfahren:

▸ Konsument i finanziert Anteil yi am offentliches Gutdurch freiwilligen Konsumverzicht des privaten Gutes

▸ Gesamte Bereitstellung offentliches Gut: y = ∑ni=1 yi .

Aus der Perspektive von Konsument i :

maxxi ,yi

vi(y) + xi

NB: xi + yi = xeiy = ∑

ni=1 yi

⇒ maxyi

vi(yi +∑j≠i yj) + xei − yi

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Losung des Nutzenmaximierungsproblems:

Nutzenmaximierender Anteil yi erfullt B.1.O.:

v ′i (y∗i +∑

j≠iyj) = 1

Wie reagiert Konsument j ≠ i? 3 Falle:

1. v ′j (y∗i + yj +∑k≠i ,j yk) = 1: Konsument j lasst yj unverandert

2. v ′j (y∗i + yj +∑k≠i ,j yk) < 1: Konsument j reduziert yj auf y∗j

bis entweder: y∗j = 0 oder v ′j (y∗i + y

∗j +∑k≠i ,j yk) = 1

3. v ′j (y∗i + yj +∑k≠i ,j yk) > 1: Konsument j erhoht yj auf y∗j

solange bis v ′j (yji + y∗j +∑k≠i ,j yk) = 1

Fortsetzung des Anpassungsprozesses: Konsument i wird y∗iwiederum anpassen, genauso wie Konsument k ≠ j

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Beispiel:

y

vi(y)

v1(y)

v2(y)

v3(y)

1. Konsument 1 setzt y1 so daß v ′1(y1) = 1

2. Konsument 2 setzt y2 so daß v ′2(y1 + y2) = 1

3. Konsument 3 setzt y3 so daß v ′3(y1 + y2 + y3) = 1

4. Konsument 1 reduziert auf y∗1 = 0 da v ′1(y∗1 + y2 + y3) < 1

5. Konsument 2 reduziert auf y∗2 = 0 da v ′2(y∗1 + y

∗2 + y3) < 1

6. Konsument 3 erhoht auf y∗3 so daß v ′3(y∗3 ) = 1

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Ende des Anpassungsprozesses

Bereitgestellte Menge des offentlichen Gutes y∗ = ∑i∈N y∗icharakterisiert durch:

▸ Beitragende Konsumenten (mit hochstem Nutzen aus y):▸ Ein Beitragender i : y∗i > 0 wobei v ′i (y

∗i ) = 1

▸ Mehrere Beitragende i , j : y∗i + y∗j > 0 wobei

v ′i (y∗i + y

∗j ) = v ′j (y

∗i + y

∗j ) = 1

▸ Trittbrettfahrer: Alle Konsumenten k die nicht beitragenwahlen:

y∗k = 0 wobei 0 < v ′k(y∗i + y

∗j ) < 1

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Konsequenz:

▸ Summation uber alle i = 1, . . . ,n ergibt ∑ni=1 v

′i (y

∗) > 1

▸ Vergleich mit pareto-optimaler Bereitstellung yO ,charakterisiert durch Samuelson-Bedingung:

n

∑i=1

v ′i (yO) = 1

Fazit: Unterproduktion des offentlichen Gutes: y∗ < yO .

y

v ′i (y)

v ′3(y)

∑ni=1 v

′

i (y)1

yOy∗

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Satz

Dezentrale Bereitstellung eines offentlichen Gutes im Markt istsuboptimal (Unterproduktion).

Grund: Trittbrettfahrerverhalten (Freerider)

▸ Ein (wenige) Marktteilnehmer stellt offentliches Gutbereit (Beitragende) und verzichtet freiwillig auf privatenKonsum

▸ Alle anderen Marktteilnehmer agieren Trittbrettfahrer undprofitieren von Bereitstellung des offentlichen Gutes ohneauf privaten Konsum zu verzichten

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Auswertung Exerperiment 3

Theoretische Analyse:

▸ Induzierte Nutzenfunktion quasi-linear:

ui(xi , yi) = 30

√∑

nj=1 yj

n+ 1,5xi

▸ Budgetrestriktion: xi + yi = 100

Einsetzen der Restriktion ergibt:

ui(yi) = 30

√∑

nj=1 yj

n+ 150 − 1,5yi

7 / 10


1. Herleitung der effizienten Allokation:

Definition: Aggregierter Surplus (AS):

AS(y) =n

∑i=1

⎛

⎝30

√∑

nj=1 yj

n+ 150 − 1,5yi

⎞

⎠= 30√n y+150n−1,5 y

Pareto-optimale Menge des offentlichen Gutes:

maxy

AS(y) = 30√n y + 150n − 1,5 y

NB: 0 ≤ y ≤ 100n

B.1.O.: 30n2√n y − 1,5 = 0

▸ Optimale Menge des offentlichen Gutes: yO = 100n.▸ Teilnehmer i sollte gesamte Erstausstattung in Y

investieren: yOi = 100.

8 / 10


2. Herleitung der Marktallokation:

Marktteilnehmer i maximiert Nutzen:

maxyi

30

√∑

nj=1 yj

n+ 150 − 1,5yi

B.1.O.:30

2√n y− 1,5 = 0

▸ Nutzenmaximierende Menge des offentlichen Gutes:y∗ = 100

n

▸ Individueller nutzenmaximierende Beitrag:y∗i = max{100

n −∑j≠i yj,0}

▸ Unter Annahme symmetrischen Verhaltens: y∗i =100n2

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Theoretische Vorhersagen:

▸ Suboptimale Bereitstellung des offentl. Gutes im Markt:y∗ = 100

n < yO = 100n.

▸ Trittbrettfahrerverhalten: y∗i = 100n2 < yO

i = 100.

▸ Grad des Trittbrettfahrerverhalten ausgedruckt durchTrittbrettfahrer-Index yi (realisiertes Investment von iin Y ):

▸ extremes Trittbrettfahrerverhalten: yi =100n2

▸ kein Trittbrettfahrerverhalten: yi = 100

10 / 10

Kapitel 4.3:

Offentliche Guter1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 4.3: Offentliche Guter (Kollektivguter)

Auswertung Experiment 3Lindahl-PreiseAbstimmungen/WahlenZusammenfassung

Auswertung Experiment 3

Theoretische Vorhersagen:

▸ Suboptimale Bereitstellung des offentl. Gutes im Markt:

Fur n=29: y∗ = 100/n = 3,45 ≤ yO= 100n = 2900

▸ Trittbrettfahrerverhalten: y∗i =100n2 = 0,12 < yO

i = 100.

▸ Grad des Trittbrettfahrerverhalten von Person i gemessendurch Trittbrettfahrer-Index yi (ind. Investment in Y ):

▸ extremes Trittbrettfahrerverhalten: yi =100n2 = 0,12

▸ kein Trittbrettfahrerverhalten: yi = 100

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Auswertung 1:▸ Durchschnittlicher Trittbrettfahrer-Index: yi = 42,70▸ Signifikant unterschieden von yO

i = 100 und y∗i = 0,12

Histogramm: Freifahrer-Index

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Y

Häu

figke

it

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Auswertung 2: Studiengange

Studiengang Anzahl (%) Mittelwert Standard-Abweichung

VWL 7 (24 %) 38,29 11,18

BWL 10 (34 %) 51,9 8,19

WiMa 8 (28 %) 46,88 12,28

Nat 4 (14 %) 19 11,84

Resultat 1:

▸ Trittbrettfahrer-Index fur BWLer am großten undNaturwissenschaftler & Sonstige am geringsten

▸ Lediglich Unterschied zwischen Nat und BWL statistischsignifikant

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Auswertung 3: Geschlecht

Geschlecht Anzahl (%) Mittelwert Standard-Abweichung

W 13 (45 %) 46,88 7,69

M 16 (55 %) 39,56 7,96

Differenz 6,98 11,23

Resultat 2:

▸ Trittbrettfahrer-Index fur mannliche geringer als furweibliche Teilnehmer

▸ Unterschied allerdings nicht statistisch signifikant

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Auswertung 4: Augenfarbe (genetische Disposition)

Augenfarbe Anzahl (%) Mittelwert Standard-Abweichung

Blau 14 (48 %) 37,07 5,56

Braun 14 (48 %) 44,21 9,20

Resultat 3:

▸ Trittbrettfahrer-Index fur Blauaugige geringer als furBraunaugige

▸ Unterschied allerdings nicht statistisch signifikant

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Zusammenfassung Experiment 3

▸ Pareto-effiziente Allokation nicht freiwillig (dezentral)realisiert

▸ Trittbrettfahrerverhalten experimentell beobachtbar:▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden von

purem eigennutzbasierten Vorhersagen▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden von

pareto-effizientem Verhalten

▸ Aggregierte Daten: Signifikante Geschlechtsunterschiede⇒ Weibliches Freifahrerverhalten deutlich geringer

▸ Resultate bestatigen bisherige Ergebnisse: yi ∈ (40,60)

Quelle: Marwell and Ames (1981)”Economists free ride, does

anyone else?“, Journal of Public Economics 15, S. 195-310

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Staatliche Bereitstellung des Offentlichen Gutes

▸ Private (dezentrale) Bereitstellung des offentliches Gut ynicht effizient ⇒ Unterproduktion

▸ Ausweg: Staatliche (zentrale) Bereitstellung

▸ Kostendeckung durch anteilige Besteuerung des Konsums⇒ Intuition: Hoherer Nutzen aus Konsum von y implizierthoheren individuellen Finanzierungsbeitrag

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Intuition

▸ Preis fur offentl. Gut y bei privater Bereitstellung zu hoch

▸ Subventionierung des Konsums von y (effektivePreissenkung), so dass Ausbringungsmenge steigt

▸ Individuelle Besteuerung von Konsument i :▸ Anteil von i an Kosten aus Produktion von y: ti▸ Produktion (Konsum) von y ⇒ Steuerschuld des i : tiy

▸ Staatliche Bereitstellung erfordert Kostendeckung:

n

∑

i=1

tiy = y ⇒n

∑

i=1

ti = 1

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Frage: Welche Steuern ti induzieren pareto-effizienteAusbringungsmenge yO des offentlichen Gutes?

▸ Effiziente Ausbringungsmende bestimmt durchSamuelson-Bedingung:

n

∑

i=1

v ′i (yO) = 1

▸ Behauptung: Bei Steuerersatz ti = v ′i (yO) fragen

Konsumenten im Gleichgewicht y∗t = yO nach

▸ In diesem Fall ware Kostendeckung bei staatlicherBereitstellung gewahrleistet:

n

∑

i=1

ti =n

∑

i=1

v ′i (yO) = 1

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Frage: Welche Menge y∗t fragt i bei Steuersatz ti nach?

maxxi ,y

vi(y) + xi

NB: xi + tiy = xei⇒ max

yvi(y) + xei − tiy

Nutzenmaximum charakterisiert durch B.1.O.: v′i(y∗t ) = ti

Implikation: Falls ti = v ′i (yO) gilt daher:

v ′i (y∗t ) = ti = v ′i (y

O) ⇒ y∗t = yO

Fazit: Alle Konsumenten i = 1 . . .n fragen offentliches Gut inpareto-optimaler Hohe yO nach!

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Definition: Lindahl Gleichgewicht

System von personalisierten Steuern (Preisen) (t1 . . . tn, y∗t )heisst Lindahl Gleichgewicht, wenn:

▸ Konsument i fragt genau y∗t nach bei gegebenerpersonalisierter Steuer ti

▸ Ausbringungsmenge y∗t kann durch Steuereinnahmenkostendeckend bereitgestellt werden:

n

∑

i=1

tiy∗t = y∗t

Satz

Die Ausbringungsmenge des offentlichen Gutes in einemLindahl-Gleichgewicht ist pareto-optimal!

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Intuition

Individualisierte Steuer ti interpretierbar als individualisierter(Lindahl-)Preis fur Konsum des offentlichen Gutes:

▸ Private Bereitstellung des offentlichen Gutes ohneLindahl-Besteuerung: v ′i (y

∗) = 1 fur min. ein i ,

0 < v ′j (y∗) < 1 fur i ≠ j

▸ Im Lindahl-Gleichgewicht: ∑ni=1 ti = ∑

ni=1 v

′i (y

∗t ) = 1.

Daraus folgt: ∑ni=1 v

′i (y

∗t ) = 1 < ∑

ni=1 v

′i (y

∗)

▸ Unterproduktion reduziert: y∗t > y∗.▸ Sogar: Unterproduktion vollstandig reduziert ⇒y∗t erfullt Samuelson-Bedingung ⇒ y∗t = yO

▸ Hohere Wertschatzung impliziert hohere Steuerbeitrage:

v ′i (yO) > v ′j (y

O)⇒ ti > tj .

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Praktische Relevanz des Lindahl-Gleichgewichts:

▸ Hohe Informationsanforderung: Lindahl-Steuersatz basiertauf individueller Nutzenfunktionen der Konsumenten

▸ Anreiz zu nicht wahrheitsgemaßer Aufdeckung derPraferenzen (Nutzenfunktion) ⇒ Anreizproblem

▸ Lindahl-Preise fur dasselbe offentliche Gut verschieden furunterschiedliche Konsumenten:Wer zahlt freiwillig hohere Preise fur dasselbe Gut?

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Alternative zum Lindahlgleichgewicht: Entscheidung uberHohe/Bereitstellung des offentlichen Gutes durch

Abstimmung/Wahl

Beispiel: Investment-Spiel (Experiment 3)

▸ Theoretische Analyse: yO= 100 gegenuber jeder anderen

(symmetrischen) Alternative yj = yi ≠ yO praferiert:

ui(yO) = 300 > ui(yi) = 30

√

∑nj=1 yj

n+ 150 − 1,5yi

▸ Paarweise Abstimmungen uber unterschiedlicheAlternativen y ⇒ Alternative yO gewinnt gegen jedeandere Alternative y ≠ yO

▸ Abstimmung fuhrt zu pareto-effizienter Allokation14 / 22



Frage: Fuhren Abstimmungen im allgemeinen zur pareto-effizienten Allokation?

Fallbeispiel: Festlegung der Raumtemperatur

▸ Modellannahme: Funktionierende und exakt regelbareKlimaanlage

▸ Kostendeckung durch n Benutzer: Jeder zahlt 1/n derKosten

▸ Unter Berucksichtigung der Kostenverteilung hat jederNutzer i Wunschtemperatur yi

15 / 22



Spezifikation des Beispiels:▸ n = 11 Teilnehmer mit folgenden Wunschtemperaturen:

(y1; . . . ; yi ; . . . ; y11) = (16; 16,5; 17; . . . ; 21)

▸ Entscheidung durch paarweise Abstimmungen zwischenalternativen Temperaturen

▸ Endgultige Raumtemperatur: Alternative, die beipaarweisen Abstimmungen gegen jede andere gewinnt

▸ Pro Abstimmung hat Wahler i eine Stimme:▸ Erfolgt Abstimmung uber yi ⇒ Wahler i wahlt

Wunschtemperatur yi▸ Erfolgt Abstimmung uber (yj , yk) mit j , k ≠ i⇒ Wahler i wahlt Alternative die naher anWunschtemperatur yi liegt:

minx∈{j ,k}

∣yx − yi ∣ .

16 / 22



Frage: Existiert eine Alternative, die bei (allen moglichen)paarweisen Abstimmungen immer gewinnt?

Medianwahler-Resultat

Die bevorzugte Alternative des”Medianwahlers“ gewinnt alle

paarweisen Abstimmungen.

Wer ist der”Medianwahler“ im Beispiel?

Betrachte i = 6 mit y6 = 18,5:

▸ Genau 5 Wahler bevorzugen kaltere Raumtemperatur

▸ Genau 5 Wahler bevorzugen warmere Raumtemperatur

▸ Wahler i = 6 bildet Median der Reihung der Wahlerentsprechend jeweiliger Wunschtemperatur

17 / 22



Implikation: Wahler i = 6 musste mit y6 = 18,5 jedepaarweise Abstimmung gewinnen

Test:

▸ y6 = 18,5 vs. y9 = 20. Fur Wahler i = 1, . . . ,5 gilty6 − yi < y9 − yi ⇒ Alternative y6 erhalt mind. 6 Stimmenund gewinnt Abstimmung

▸ y6 = 18,5 vs. y5 = 18. Fur Wahler i = 7, . . . ,11 giltyi − y6 < yi − y5 ⇒ Alternative y6 erhalt 6 Stimmen undgewinnt Abstimmung

▸ Generell gilt fur Abstimmung yi vs. y6: Mindestens 6Wahler stimmen fur y6 ⇒ Alternative y6 gewinnt allepaarweisen Abstimmungen

18 / 22



Paarweise Abstimmungsregel

Vorteile: einfach verstandlich, praktikabel

Nachteile:

(i) Durchfuhrung zahlreicher Abstimmungen notwendig

(ii) Ergebnis im Allgemeinen nicht pareto-effizient:

11

∑

i=1

v ′i (y6) ≠ GRTSy EU = GK(y6)

Ausnahme: Identische Praferenzen (Investment-Spiel)

(iii) Manipulierbarkeit der Abstimmungsregel?

⇒ Theorie der Kollektiventscheidungen (Social Choice)

19 / 22



Zusammenfassung: Offentliche Guter

Offentliche Guter gekennzeichnet durch:

▸ Nicht-Rivalitat im Konsum

▸ Nicht-Ausschließbarkeit vom Konsum

▸ Implikationen:▸ Keine individuellen Eigentums- und Verfugungsrechte uber

offentliche Guter gegeben▸ Extreme Form von Externalitat: Alle Konsumenten profitieren

in gleicher Weise vom offentlichen Gut

▸ Beispiele: Landesverteidigung, Radioprogramm,wissenschaftlicher Fortschritt, etc.

20 / 22



Problem: Externalitat des offentlichen Gutes imMarktgleichgewicht nicht internalisiert

Private Bereitstellung uber freiwillige Beitrage nicht effizient:

▸ Lediglich Konsument mit hochstem Grenznutzen stelltoffentliches Gut bereit

▸ Alle anderen Konsumenten agieren als Trittbrettfahrer

▸ Trittbrettfahrerverhalten experimentell nachgewiesen (mitsignifikanten Geschlechterunterschieden)

21 / 22



Ausweg: Effiziente private Bereitstellung durch Lindahlpreise:

▸ Geringere Preise erhohen Konsumbereitschaft

▸ Individuelle Preisspezifikation erlaubt:▸ Kostendeckende Bereitstellung▸ Ausgleich der unterschiedlichen privaten Grenznutzen ⇒

Samuelson-Bedingung im Marktgleichgewicht erfullt

▸ Nachteil: Hohe Informationsanforderungen (Anreiz-probleme), unterschiedliche Preise fur dasselbe Gut

Alternative Entscheidungsregel: Abstimmungen

▸ Paarweise Abstimmungen uber Alternativen gemaßMehrheitswahl

▸ Abstimmungsverfahren fuhrt nicht unbedingt zueffizienter (kollektiver) Entscheidung

22 / 22

Kapitel 5.1:

Kollektiventscheidungen1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 5.1: KollektiventscheidungenMarktgleichgewicht als KollektiventscheidungWohlfahrtsfunktionMehrheitsprinzip

Was sind Kollektiventscheidungen?

▸ Mehrere Alternativen/Allokationen stehen zur Auswahl

▸ Individuen haben (unterschiedliche) Praferenzen uberAlternativen

▸ Gemeinsam (im Kollektiv) wird anhand bestimmterRegeln eine Alternative/Allokation ausgewahlt

▸ Beispiele: Diskussion mit Einstimmigkeitsregel,Mehrheitswahl, etc.

1 / 20


Marktgleichgewicht als Kollektiventscheidung

▸ Auswahl der Allokation: Marktgleichgewicht erzeugtdurch

”Unsichtbare Hand“

▸ Kollektiv: Marktgleichgewicht ist Ergebnis von dezentralen& freiwilligen Transaktionen der Marktteilnehmer

▸ Allokationsregel hat (u. U.) erwunschte Eigenschaft:Pareto-Effizienz

Interpretation des Marktprozesses:

▸ Markt als”Black Box“ aggregiert individuelle Praferenzen

uber Allokationen

▸ Marktgleichgewicht: Kollektiv erzielte Allokation

2 / 20


Markt und Praferenzaggregation

Konsumenten (Praferenzen):u1,u2, . . . ,un

Markt alsAggregationsmechanismus

Marktgleichgewicht:Allokation x∗

Weitere Parameter: Erstausstattung (Ressourcen), Technologie

3 / 20


Theorie der Kollektiventscheidung (Social Choice Theory)

▸ Aggregation der individuellen Praferenzen zu einer

”sozialen“ Praferenz bzw. kollektiven Nutzenfunktion

bzw. Wohlfahrtsfunktion

▸ Existenz soziale Praferenz, bzw. Wohlfahrtsfunktion

▸ Eigenschaften der Wohlfahrtsfunktion

Typische Einflussfaktoren auf soziale Praferenz:

▸ Experten, Diktatoren/Charismatische Fuhrer

▸ Offentliche Meinung

▸ Kulturelle, religiose, sonstige Kriterien (Werte)

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Fur demokratische Gesellschaften gilt:

▸ Kollektive Entscheidung (direkt oder indirekt) durchWahlverfahren bzw. Abstimmungen getroffen

▸ Konsequenz: Wahlverfahren als Aggregations-mechanismus individueller Praferenzen

Fragen der Social Choice Theory:

1. Welche wunschenswerte Eigenschaften sollten Wohlfahrts-funktionen und Aggregationsmechanismen aufweisen?

2. Erfullen (bestimmte) Wahlverfahren diese Eigenschaften?

3. Lassen sich durch Abstimmungsverfahren Wohlfahrts-funktionen rekonstruieren?

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1. Wohlfahrtsfunktionen

▸ Beschrankung auf okonomisches Allokationsproblem

▸ Perspektive der Gesellschaft: Wahlproblem uber alleerreichbare Allokationen x ∈ X :

▸ N = 1, . . . ,n Mitglieder einer Gesellschaft▸ L = 1, . . . , l private Guter▸ Allokation:x = {x1, . . . , xn} = {(x11, . . . , x1l) , . . . , (xn1, . . . , xnl)}

▸ Wohlfahrtsfunktion W ∶ X →R evaluiert”soziale

Gewunschtheit“ der Alternative x▸ Interpretation: Allokation x ist

”sozial besser“ als x ′ falls

gilt: W (x) >W (x ′).

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Wunschenswerte Eigenschaften fur Wohlfahrtsfunktion W :

▸ W sollte individualistisch sein:

W =W (u1, . . . ,un) =W (u1(x1), . . . ,un(xn)) =Wu(x)

▸ W sollte Pareto-Optimalitat erfullen

▸ Formal: Fur zwei Alternativen x und x ′ sollte gelten:

Falls ui(xi) ≥ ui(x ′i ) fur alle i = 1 . . .n dann Wu(x) ≥Wu(x ′)

▸ W erfullt Pareto-Optimalitat, wenn gilt: ∂W∂ui

> 0▸ Steigt Nutzen eines Individuums (ceteris paribus) dannsollte sich Wohlfahrt der Gesellschaft nicht verringern

Bemerkung. Kollektiventscheidung hier interpretierbar alsAuswahl der Alternative die Wohlfahrtsfunktion maximiert!

7 / 20


Satz

Eine Allokation x∗, die eine individualistische Wohlfahrts-funktion Wu(x) maximiert, ist pareto-effizient.


Wohlfahrtsfunktion:maxx Wu(x)

Allokation x∗

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Beweisskizze (fur Tauschokonomie ohne Produktion)

maxx

W (u1(x1), . . . ,un(xn))

NB: ∑ni=1 xij = ∑

ni=1 xij fur alle j ∈ L

B.1.O.:∂ui∂xij∂ui∂xik

=

∂ui′

∂xi′j∂ui′

∂xi′k

fur alle i , i ′ ∈ N ; j , k ∈ L

B.1.O. entspricht Marginalbedingung fur Pareto-Optimum:

GRSi ∣jk = GRSi ′ ∣jk fur alle i , i ′ ∈ N ; j , k ∈ L

9 / 20


Spezifische Wohlfahrtsfunktionen

▸ Gesellschaftliche (normative) Wertvorstellungen inter-pretierbar als spezifischere Wohlfahrtsfunktionen

▸ Beispiele:▸ utilitaristische Wohlfahrtsfkt.: W U

u (x) = ∑ni=1 ui(xi)

▸ egalitaristische Wohlfahrtsfkt.: W Eu (x) = mini∈N ui(xi)

ui(xi)

uj(xj) egalitare Allokation

x∗U

x∗EIsonutzensummenlinie


10 / 20


2. Abstimmungsverfahren: Das Mehrheitsprinzip

Gesellschaft definiert wie zuvor:

▸ N = {1, . . . ,n} Individuen

▸ Praferenzen uber Guterallokationen reprasentiert durchNutzenfunktion ui(xi) fur alle i = 1 . . .n

▸ Abstimmung erfolgt (paarweise) uber erreichbareAllokationen (Alternativen) x ∈ X

Das Mehrheitsprinzip:

▸ Alternative x gesellschaftlich bevorzugt gegenuber x ′,falls Mehrheit fur x anstatt x ′ votiert

▸ Mehrheitsprinzip induziert kollektive Praferenz uberalternative Allokationen

11 / 20


Definition: Mehrheitsprinzip

Gemaß Mehrheitsprinzip M ist Alternative/Allokation xgegenuber x ′ gesellschaftlich (sozial) praferiert, falls gilt:

x ≿M x ′ ⇔ #{i ∣ui(xi) > ui(x′

i )} ≥ #{i ∣ui(x′

i ) > ui(xi)}

x ≻M x ′ ⇔ #{i ∣ui(xi) > ui(x′

i )} > #{i ∣ui(x′

i ) > ui(xi)}

Eigenschaften der Relation ≿M :

1. Relation ≿M erfullt Pareto-Optimalitat:

Falls ui(xi) ≥ ui(x ′i ) fur alle i ∈ N , so gilt: x ≿M x ′, da#{i ∣ui(xi) > ui(x ′i )} ∈ [0,n] ≥ #{i ∣ui(x ′i ) > ui(xi)} = 0

12 / 20


Fortsetzung: Eigenschaften der Relation ≿M :

2. Relation ≿M ist vollstandig: Fur zwei beliebige Alternativegilt entweder x ≿M x ′ oder x ′ ≿M x

3. Relation ≿M ist intransitiv (nicht transitiv): Aus x ≻M x ′

und x ′ ≻M x ′′ folgt nicht (unbedingt) x ≻M x ′′

Bemerkungen:

▸ Eigenschaft (3) problematisch ⇒ Moglichkeit einesintransitiven Zykels:

x ≻M x ′ ≻M x ′′ ≻M x

▸ Intransitiver Zykel (Condorcet-Paradox) sogar moglich,falls Praferenzen aller Individuen transitiv!

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Beispiel 1: Intransitiver Zykel mit transitiven individuellenPraferenzen

Demokratische Familie

Vater V , Mutter M , Kind K haben Praferenzen uberAlternativen Spielplatz S , Basteln B und Mittagsschlaf MS :

▸ Vater V : MS ≻V S ≻V B

▸ Mutter M : B ≻M MS ≻M S

▸ Kind K : S ≻K B ≻K MS

Familienentscheidung durch paarweise Abstimmungen:

▸ MS vs. S ⇒ 2:1 ⇒ MS ≻F S

▸ S vs. B ⇒ 2:1 ⇒ S ≻F B

▸ B vs. MS ⇒ 2:1 ⇒ B ≻F MS

Resultat: Intransitiver Zykel MS ≻F S ≻F B ≻F MS

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Beispiel 2: Condorcet-Paradox hat politische Relevanz

Reform des Abtreibungsrechts §218 (1974)

Zur Abstimmung standen 3 Alternativen:

▸ A = status quo (keine Anderung des restriktiven § 218)

▸ B = Indikationslosung (Abtreibung bei Vorliegenbestimmter Grunde)

▸ C = Fristenlosung (generelle Erlaubnis innerhalbzeitlicher Fristen)

Verteilung der Praferenzen: 3 ungefahr gleich starke Gruppen:

1. Gruppe (”Konservative“): u1(A) > u1(B) > u1(C)

2. Gruppe (”Gemaßigte“): u2(B) > u2(C) > u2(A)

3. Gruppe (”Progressive“): u3(C) > u3(A) > u1(B)

15 / 20


Abstimmungsmodalitaten

1. Einfache Mehrheitswahl: Keine Alternative bekommtabsolute Mehrheit, da Gruppen gleich stark

2. Paarweise Abstimmungen: 3 mogliche Reihenfolgen

▸ A vs. B: 2:1 → A gewinnt; A vs. C 1:2 → C gewinnt⇒ C ist Gewinner

▸ B vs. C: 2:1 → B gewinnt; B vs. A 1:2 → A gewinnt⇒ A ist Gewinner

▸ A vs. C: 1:2 → C gewinnt; C vs. B 1:2 → B gewinnt⇒ B ist Gewinner

Fazit: Vorliegen eines Intransitiven Zykels!

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Konsequenzen:

▸ Alternative uber die nicht in erster Abstimmungabgestimmt wird, gewinnt

▸ Gewinner bestimmt durch Reihenfolge der Abstimmungen

▸ Geschaftsordnungsproblem: Macht uber Geschaftsordnungimpliziert (indirekt) Macht uber Abstimmungsgewinner!

▸ Wahrscheinlichkeit eines intransitiven Zykels abhangigvon bestimmten Praferenzkonstellationen

Frage: Was passiert bei okonomischen Allokationsproblemen?

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Beispiel 3: Okonomisches Allokationsproblem

▸ Aufteilung von 100 EU auf 3 Personen durch Abstimmung

▸ Alle Alternativen (x1, x2, x3) mit x1 + x2 + x3 = 100 sindzugelassen (Pareto-Prinzip erfullt!)

▸ 1 schlagt Koalition aus 1 und 2 vor: x12 = (51,49,0)




Verteilungsproblem hat Struktur des Condorcet-Paradox:

▸ Praferenz von Person 1: x12 ≻1 x13 ≻1 x23



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Hinweis: Keine Allokation ist gegen diese Art vonKoalitionsbildung immun

Folge: Keine Alternative gewinnt alle paarweisenAbstimmungen gegen alle anderen Allokationen

▸ Tritt jede mogliche Praferenzordnungen mit gleicherWahrscheinlichkeit auf, ist Wahrscheinlichkeit einesCondorcet-Zykels relativ gering.

▸ Fur Verteilungs- und Allokationsprobleme ist Wahrschein-lichkeit eines Condorcet-Zykels (wie gesehen) relativ hoch!

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Mehrheitsprinzip und Wohlfahrtsfunktion

Vorliegen von Condorcet-Zykel ⇒ Nicht-Existenz der Wohl-fahrtsfunktion W F , reprasentiert durch Mehrheitsprinzip

Beispiel 1: Demokratische Familie

▸ MS vs. S ⇒ 2:1 ⇒ W Fu (MS) >W F

u (S)

▸ S vs. B ⇒ 2:1 ⇒ W Fu (S) >W F

u (B)

▸ B vs. MS ⇒ 2:1 ⇒ W Fu (B) >W F

u (MS)

Resultat: Keine Funktion W Fu erfullt diese 3 Ungleichungen!

Frage: Existiert Aggregationsregel, die transitive sozialePraferenzordnung aus individuellen Praferenzen erzeugt?

20 / 20

Kapitel 5.2:

Kollektiventscheidungen1

Dr. Jorg Franke


Sommersemester 2011


Kapitel 5.2: KollektiventscheidungenArrows UnmoglichkeitstheoremMehrheitsprinzip

3. Frage der Social Choice Theory: Existiert Aggregations-regel A, durch die sich konsistente soziale Praferenzordnungrekonstruieren lasst?


Aggregationsregel A

Soziale Praferenz ≿, bzw.Wohlfahrtsfunktion W (u1 . . .un)

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Anforderungen (Axiome) an Aggregationsregel A:

1. Transitivitat und Vollstandigkeit. Aus A resultierendesoziale Praferenz ≿ sollte vollstandig (fur jedes x , x ′: x ≿ x ′

oder x ′ ≿ x) und transitiv sein: Falls x ≿ x ′ und x ′ ≿ x ′′

dann x ≿ x ′′

2. Universalitat. A sollte universal anwendbar sein: Fur allemoglichen individuellen Nutzenfunktionen u1, . . . ,un solltesoziale Praferenz ≿ ableitbar sein

3. Pareto. A sollte Pareto-Optimalitat erfullen: Fallsui(x) ≥ ui(x ′) fur alle i ∈ N , dann x ≿ x ′

4. Kein Diktator. Unter A sollte kein Individuum i fur alleAlternativen die soziale Praferenz ≿ bestimmen

5. Unabhangigkeit. Unter A sollte Anordnung zweier Alter-nativen nicht von irrelevanten sonst. Alternativen abhangen

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Exkurs: Transitivitat

Definition Transitivitat

Falls x ≿ x ′ und x ′ ≿ x ′′ dann muss gelten: x ≿ x ′′

Gegenbeispiel: Intransitiver Zykel:

x ≻ x ′ und x ′ ≻ x ′′ und x ′′ ≻ x ⇒ x ≻ x ′ ≻ x ′′ ≻ x

Hinweis: Folgende Relation muss nicht ein intransitiver Zykel sein:

x ≿ x ′ und x ′ ≿ x ′′ und x ′′ ≿ x

Grund: Folgende Relation erfullt obige Bedingung & Transitivitat:

x ∼ x ′ und x ′ ∼ x ′′ und x ′′ ∼ x

3 / 24


Unmoglichkeitssatz von Arrows (1950)

Es gibt keine Aggregationsregel A, die alle Anforderungen 1 - 5gleichzeitig erfullt.

Alternative Version

Jede Aggregationsregel A, die die Anforderungen 1 - 3 & 5erfullt, muss diktatorisch sein.

Direkte Implikation: Diktator-Allokationsregel erfulltAnforderungen 1 - 3 & 5!

Welche Anforderungen erfullt die Mehrheitsregel?

▸ Anforderung 1 nicht erfullt: Condorcet-Zykel sindintransitiv!

▸ Alle anderen Anforderungen 2 - 5 erfullt4 / 24


Fazit: Arrows Unmoglichkeitssatz impliziert Nicht-Existenzvon Aggregationsregeln, die bestimmte (als notwendigangesehene) Eigenschaften aufweisen

Frage: Sind demokratische, auf Wahlen basierendeProzeduren, damit konzeptionell unmoglich?

Ausweg: Einschrankung der Universalitats-Anforderung ⇒Beschrankung auf bestimmte (

”realistische“) Praferenzen, die

Aggregation unter Berucksichtigung der anderen Forderungenermoglicht

5 / 24


Konkretes Beispiel einer Aggregationsregel: Mehrheitsprinzip

▸ Mehrheitsprinzip verletzt (u.U.) Transitivitatsanforderung:Intransitiver Zykel

▸ jetzt: Beschrankung auf spezifische individuellePraferenzen (Verletzung der Universalitatsanforderung)

▸ Durch welche individuellen Praferenzeigenschaften wirdMehrheitsprinzip transitiv?

▸ Beispiel 1 (Demokratische Familie): ExistierenRestriktionen fur Praferenzen der Familienmitglieder, sodaß intransitive Zykel ausgeschlossen werden konnen?

6 / 24


Praferenzen: u1, . . . ,un ∈ UU = {U ∣U erfullt zusatzliche Bedingungen}

Mehrheitsprinzip

Transitive Soziale Praferenz ≿M

7 / 24


Restriktion der Universalitat: Eingipflige Praferenzen

Erlauterung: Praferenzen sind eingipflig, wenn von derbevorzugten Alternative

”weiter entfernte“ Allokation weniger

praferiert werden (schlechter sind)

Voraussetzung: Alternativen konnen auf eindimensionalerAchse geordnet werden

Beispiel fur eingipflige Praferenz: ui(B) > ui(A) > ui(C)

Alternative

ui

A B C

8 / 24


Beispiel: Demokratische Familie mit Condorcet-Zykel▸ Vater V : MS ≻V S ≻V B▸ Mutter M : B ≻M MS ≻M S▸ Kind K : S ≻K B ≻K MS

Bemerkung: Nicht-eingipflige Praferenzen induzierenCondorcet-Zykel

Alt.

ui

V

M

K

MS S BAlt.

ui

M

K

V

B MS S

Fazit: Unabhangig von der Reihung der Alternativen ist mind.eine Praferenz nicht eingipflig

9 / 24


Behauptung: Existiert Reihung der Alternativen, so daß allePraferenzen eingipflig, so tritt bei Mehrheitsabstimmungenkein Condorcet-Zykel auf (keine Intransivitat)

Beispiel:▸ Vater V : MS ≻V S ≻V B▸ Mutter M : B ≻M S ≻M MS▸ Kind K : S ≻K B ≻K MS

Alt.

ui

V

M

K

MS S B

Fur Reihung MS ,S ,B sind alle Praferenzen eingipflig.10 / 24


Mehrheitsabstimmung:

Familienentscheidung durch paarweise Abstimmungen:

▸ MS vs. S ⇒ 1:2 ⇒ S ≻MS

▸ S vs. B ⇒ 2:1 ⇒ S ≻ B

▸ B vs. MS ⇒ 2:1 ⇒ B ≻MS

Resultat: Transitive soziale Praferenzordnung: S ≻ B ≻MS

Theorem (Black 1948)

Sei n = ∣N ∣ ungerade. Falls Alternativen so geordnet werdenkonnen, daß alle individuellen Praferenzen eingipflig sind, soist die Mehrheitsrelation transitiv und damit auch die durchpaarweise Mehrheitsabstimmungen erzeugte sozialePraferenzordnung.

11 / 24


Bemerkung: Eingipflige Praferenzen & n ungerade ⇒Mehrheitsprinzip erfullt Anforderungen 1 & 3-5

Implikation aus Black-Theorem:

Existenz Condorcet-Gewinner und Wohlfahrtsfunktion

Sei n = ∣N ∣ ungerade und Praferenzen eingipflig darstellbar:

1. Es existiert eine Alternative (Condorcet-Gewinner), diein paarweisen Mehrheitswahlen gegen alle anderenAlternativen gewinnt.

2. Es existiert eine Wohlfahrtsfunktion Wu(x), die sozialePraferenz ≻M (rekonstruiert durch Mehrheitsprinzip)reprasentiert: Falls x ≻M x ′ dann Wu(x) >Wu(x ′).

12 / 24


Frage: Was passiert wenn n gerade & Praferenzen eingipflig?

Fur n gerade ist soziale Praferenz ≻ quasi-transitiv, d.h. Zykelsind ausgeschlossen.

Beispiel: Demokratische Familie ohne Kind

▸ Vater V : MS ≻V S ≻V B

▸ Mutter M : B ≻M MS ≻M S

Alt.

ui

M

V

B MS S

13 / 24


Paarweise Abstimmungen:

▸ MS vs. S ⇒ 2:0 ⇒ MS ≻ S

▸ S vs. B ⇒ 1:1 ⇒ B ∼ S

▸ B vs. MS ⇒ 1:1 ⇒ B ∼MS

Fazit: Soziale Praferenzordnung nicht strikt transitiv. Aber esexistieren Alternativen (MS und B), die gegen keine andereAlternative verlieren

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Politische Relevanz

Bemerkung: Blacks Resultat verlangt Eingipfeligkeit aufeindimensionaler Skala!

Interpretation aus Perspektive der politischen Theorie:

▸ Wahlerpraferenzen auf rechts-links-Spektrum ⇒Praferenzen eingipflig

▸ Blacks Resultat: Condorcet-Gewinner existiert

▸ Condorcet-Gewinner entspricht der vom Medianwahlerpraferierter Alternative

▸ Parteien positionieren sich entsprechend dieser Alternative(”in der Mitte“ des politischen Spektrums)

Evidenz: Parteien behaupten in”Mitte der Gesellschaft“ zu

sein (”Neue Mitte“) & stellen andere Parteien als extrem dar!

15 / 24


Frage: Was passiert bei mehrdimensionalen pol. Spektrum?

Politisches Beispiel: Grundung der Grunen erweitertpolitisches Spektrum um Dimension

”Okologie“.

Ideologie einer Partei P ∈ (G ,S ,C) beschrieben durchzweidimensionalen Vektor (xP , yP), wobei:

▸ xP ∈ [0,1] okologisches Spektrum,

▸ yP ∈ [0,1] traditionelles links-rechts Spektrum.

Bemerkung: Konzept der Eingipfeligkeit ubertragbar auf zweiDimensionen:

”Weiter entfernte“ Allokation weniger praferiert

16 / 24


Wahlerpraferenzen im zweidimensionalen pol. Spektrum:

y

x

G

SC

Annahmen:

▸ 3 gleich große Bevolkerungsgruppen

▸ Praferenz jeder Bevolkerungsgruppe genau durch einePartei (G ,S ,C) reprasentiert: Gruppen- undParteipraferenz identisch

17 / 24


Beispiel 1: Wahl zwischen politischen Alternativen A,B ,C

y

x

G

S

C

BA

Fur diese Konstellation gilt folgende Praferenzrelation:

▸ C ≻C B ≻C A

▸ B ≻S A ≻S C

▸ A ≻G B ≻G C

18 / 24


Paarweise Mehrheitswahl ergibt:

▸ A vs. B ⇒ 1:2 ⇒ B ≻ A

▸ B vs. C ⇒ 2:1 ⇒ B ≻ C

▸ A vs. C ⇒ 2:1 ⇒ A ≻ C

Fazit: In diesem Fall ist resultierende soziale Praferenzordnungstrikt transitiv: B ≻ A ≻ C .

Grund:

▸ Fur Alternativen A,B ,C sind Voraussetzungen aus BlacksTheorem erfullt.

▸ Schnitt entlang Gerade erlaubt eindimensionale undeingipflige Reprasentation der Wahlerpraferenzen.

19 / 24


Beobachtung: Ind. Praferenzen eindimensional darstellbar:

▸ C ≻C B ≻C A

▸ B ≻S A ≻S C

▸ A ≻G B ≻G C

Alt.

ui

G C

S

A B C

Fazit: Praferenzen uber A,B ,C sind eingipflig.

Frage: Gilt dies auch fur andere moglichen Alternativen?

20 / 24


Beispiel 2: Wahl zwischen politischen Alternativen A′,B ′,C ′

y

x

G

SC

B’A’

C’

Fur diese Konstellation gilt folgende Praferenzrelation:

▸ B ′ ≻C C ′ ≻C A′

▸ C ′ ≻S A′ ≻S B ′

▸ A′ ≻G B ′ ≻G C ′

21 / 24


Paarweise Mehrheitswahl ergibt:

▸ A′ vs. B ′ ⇒ 2:1 ⇒ A′ ≻ B ′

▸ B ′ vs. C ′ ⇒ 2:1 ⇒ B ′ ≻ C ′

▸ C ′ vs. A′ ⇒ 2:1 ⇒ C ′ ≻ A′

Fazit:

▸ Resultierende soziale Praferenzordnung hier intransitiv:A′ ≻ B ′ ≻ C ′ ≻ A′.

▸ Condorcet-Zykel trotz Eingipfeligkeit!

▸ Resultat: Blacks Resultat gilt (uneingeschrankt) nur fureindimensionales Alternativenspektrum!

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Zusammenfassung Kapitel 5: Kollektiventscheidungen

▸ Bei Marktversagen: Kollektiventscheidungen konnen zupareto-effizienteren Allokationen fuhren (z.B.Bereitstellung offentl. Guter)

▸ Kollektiventscheidung interpretierbar als Aggregationindividueller Praferenzen zu sozialer Praferenzordnung

▸ Arrows Unmoglichkeitsresultat: Nicht-Existenz einerAllokationsregel, die folgende Anforderungen erfullt:Vollstandigkeit und Transitivitat, Universalitat,Pareto-Prinzip, kein Dikator, Unabhangigkeit

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▸ Beispiel fur Relevanz des Unmoglichkeitsresultats:Condorcet-Zykel bei paarweiser Mehrheitswahl

▸ Resultierende soziale Praferenzordnung intransitiv▸ Ergebnis der paarweisen Mehrheitswahl arbitrar, d.h.

abhangig von Abstimmungsreihenfolge

▸ Beschrankung der Anforderung der Universalitat:▸ Restriktion der zugelassenen Praferenzen fuhrt zu

Moglichkeitsresultat▸ Eingipflige Praferenzen auf eindimensionaler Skala ⇒

transitive sozialer Praferenz: Sozial bevorzugteAlternative entspricht derjenigen des Medianwahlers

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Kapitel 1.1: Marktgleichgewicht und E zienz - Fakultät - WiWi · 1.Eine Situation X ist pareto-e...

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