Date post: | 06-Apr-2016 |
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IT-Kompaktkurs in BR-Alpha Wirtschaftsmathematik Folge 5
Differentiation von Funktionen mit
einer unabhängigen Variablen
Prof. Dr. Dieter BaumsFachhochschule Gießen-Friedberg
Fachbereich IEM
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 3
1. Differenzenquotient und Differentialquotient
2. Differentiationsregeln 3. Höhere Ableitungen 4. Untersuchung von Funktionen mit
Hilfe der Differentialrechnung
Differentiation
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 4
1. Differenzenquotient und Differentialquotient 1. Lineare Funktionen 2. Nichtlineare Funktionen
Differentiation
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 5
Steigung der Linearen Funktion
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
y
P1
P2
x2-x1
f(x2)-f(x1)
m f x f xx x
tan ( ) ( ) 2 1
2 1
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 6
Steigung der Nichtlinearen Funktion
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
P1
P 2
P 2 P2
m f x f xx xSekante
( ) ( )2 1
2 1
mf x f x
x xTangentex x
2 1
2 1
2 1
lim ( ) ( )
f xf x f x
x xx x( )
( ) ( )lim12 1
2 12 1
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 7
000
00
0
20
2
0
0 2)())(()()(limlimlimlim
000
xxxxx
xxxxxxxx
xxxfxf
xxxxxxxx
2)1(1
)1)(1(11
1)1()(
212
22
12
22
12
2
1limlimlimlim2222
xx
xxxx
xfxf
xxxx
nxxff )(: 1)(: nxnxff
2)(: xxff xxxff 22)(: 1
xexff )(: xexff )(:
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 8
2. Differentiationsregeln 1. Konstantenregel 2. Summenregel 3. Produktregel 4. Quotientenregel 5. Kettenregel 6. Umkehrfunktion
Differentiation
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 9
Konstantenregel
)()(: xfxhh )()(: xfxhh
23)(: xxhh xxxhh 623)(: 1
0127127)(: xxhh 00127)(: xhh
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 10
)()()(: xgxfxhh
)()()(: xgxfxhh
xxxh 715)( 2
73017215)( xxxh
Summenregel
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 11
Produktregel )()()(: xgxfxhh
)()()()()(: xgxfxgxfxhh
xexxh 6)(
)6(6)( 6565 xxeexexxh xxx
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 12
Quotientenregel
)()()(:
xgxfxhh
)()()()()()(: 2 xg
xgxfxgxfxhh
2)(xexh
x
34
2 )2(2)(xxe
xxexexh
xxx
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 13
Kettenregel ))(()(: xfgxhfgh
)())(()))((()( xfxfgxfgxh
1002 )3()( xxxh
)32()3(100)( 992 xxxxh
42
)( xexh xexexh xz 22)( 42
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 14
Umkehrfunktion
)(: 11 zff )(xfz )(
1)()( 1
xfzf
zzf ln)(1
xez zee
zfz xx
11)(1)()()(nl 1
zzf )(1
2xz zxx
zfz21
21
)(1)()( 2
1
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Folie Nr. 15
3. Höhere Ableitungen 1. f‘ : f‘(x) erste Ableitung 2. f“ : f“(x) zweite Ableitung 3. f(n) : f(n)(x) n-te Ableitung
Differentiation
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 16
Höhere Ableitungen f‘ : f‘(x) erste Ableitung
• ist wieder eine Funktion • bedeutet graphisch die Steigung
f“ : f“(x) zweite Ableitung • ist die Ableitung der Ableitungsfunktion • bedeutet graphisch die Krümmung
f(n) : f(n)(x) n-te Ableitung • ist wieder eine Funktion
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 17
Steigung
• Linkskümmung, konvex f‘‘(x) > 0• Rechtskrümmung, konkav f‘‘(x) < 0
Krümmung
• monoton steigend f‘(x) > 0• monoton fallend f‘(x) < 0 • streng monoton steigend f‘(x) > 0 • streng monoton fallend f‘(x) < 0
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Folie Nr. 18
4. Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung
1. Extrema 2. Sattel- und Wendepunkte 3. Kurvendiskussion
Differentiation
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Folie Nr. 19
Lokale Extremwerte
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4
x
y
P1
P2
x1 x2
0)(0)()()(
1
1
1
xfxf
xfxf Lokales Maximum
0)(0)()()(
2
2
2
xfxf
xfxf
Lokales Minimum
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 20
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
y
P0
x0
Sattel- und Wendepunkte
0)(0)(0)(
0
0
0
xfxfxf
Sattelpunkt
0)(0)(0)(
0
0
0
xfxfxf
Wendepunkt
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 21
1. Bestimmung des Definitionsbereichs 2. Bestimmung der Definitionslücken 3. Untersuchung der Funktion für x 4. Bestimmung der Nullstellen f(x)=0 5. Bestimmung der Extremwerte und
Sattelpunkte f‘(x)=0 6. Bestimmung der Wendepunkte f“(x)=0 7. Untersuchung der Steigung f‘(x) und
der Krümmung f“(x) 8. Skizze
Kurvendiskussion
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 22
f(x) = x² (3x² - 8x + 6)
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
x
yKurvendiskussion
1. Definitionsbereich: unbegrenzt 2. Definitionslücken: keine 3. x f(x)
x f(x)
4. Nullstellen: x1=0
5. lokale Extrema: f‘(x)=0 x1=0 , x3=1
5. lokale Extrema: f‘(x)=0 x1=0 , x3=1
6. Wendepunkte: f“(x)=0 x2=1/3 , x3=1
7. Krümmung und Steigung: x [ ; x1[ : f(x) streng monoton fallend, konvex x ]x1 ; x2] : f(x) streng monoton steigend, konvex x [x2 ; x3[ : f(x) streng monoton steigend, konkav x ] x3 ; [ : f(x) streng monoton steigend, konvex
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 23
Literatur 1. H.Holland und D.Holland: Mathematik
im Betrieb, 6. Aufl. Gabler 2001 2. J.W.Bishir und D.W.Drewes:
Mathematics in the Behavioural and Social Sciences, Harcourt, Brace & World 1970
©Prof.Dr.D.Baums 2002
Folie Nr. 24
Prof. Dr. Dieter Baums
Praktische Informatik, MedieninformatikFachhochschule Gießen-Friedberg Fachbereich Informationstechnik -
Elektrotechnik - Mechatronik Wilhelm-Leuschner-Straße 13 D-61169 Friedberg Tel.: +49 6031 604 247 Fax.: +49 6031 604 [email protected]