Institut für Arbeitsmarkt- und Berufsforschung

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LASER Workshop

Mehrebenenanalyse

Nürnberg, 30. Oktober 2008Uwe BlienPhan thi Hong Van

Methoden der MehrebenenanalyseZur Untersuchung der sozialen und ökonomischen

Einbindung von Subjekten und Organisationen

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Gliederung

1. Einführung: Einige typische Fragestellungen der

Mehrebenenanalyse

2. Kapitel: Konzeptionelle Mehrebenenanalyse

3. Kapitel: Statistische Mehrebenenanalyse

4. Kapitel: Ein empirisches Beispiel

5. Fazit

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Einführung: Einige typische Fragestellungen der Mehrebenenanalyse

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1. Einführung: Einige typische Fragestellungen der Mehrebenenanalyse

• Wie hängt der Erfolg von Schülern in Leistungstests von eigenen Merkmalen und von solchen ihrer Klassen, Schulen und Nachbarschaften ab?

• Wie wird der Lohn von Arbeitskräften von der regionalen Arbeitslosenquote beeinflusst?

• Haben Kinderbetreuungseinrichtungen in der Nachbarschaft Einfluss auf die Erziehungsmotivation von Müttern?

Zur Untersuchung all dieser Fragestellungen sind Modellenotwendig, Modelle der Mehrebenenanalyse

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Ausgangspunkt: Ein einfaches Regressionsmodell 

 

 

0: Regressionskonstante, Achsenabschnitt, Intercept

1: Steigung der Regressionsgeraden, Slope

r: Fehlerterm

Das Modell spezifiziert einen Zusammenhang zwischen der

abhängigen und den unabhängigen Variablen und einen

Zufallsprozess für den Fehlerterm.

ijijij rXY 10

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Hierarchie der Ebenen

Häufig sind die Beziehungen zwischen Individual- undKollektiveinheiten genestet, d. h. von hierarchischer Natur:

- Mütter leben in Familien in Gemeinden in Regionen- Arbeitskräfte arbeiten in Firmen in Gemeinden in Regionen- Schüler lernen in Klassen in Schulen in Bundesländern

Darüber hinaus gibt es soziale Kontexte, die keine Hierarchie bilden, sondern „kreuzklassifiziert“ sind:

- Schüler haben eine soziale Umgebung in einer Klasse und eine in ihrer Wohngegend, die sich teilweise überschneiden.

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Typisierung von Mehrebenenansätzen

Konzeptionelle Ansätze Methodische Ansätze

Rational Choice Ansätze (i.e.S.)

Modelle mit zufälligen Effekten & Koeffizienten

Modelle mit fixen Effekten und

Interaktionstermen

Systemtheoretische Mehrebenenansätze

Verallgemeinerte individuelle Wahl

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Konzeptionelle Mehrebenenanalyse

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2. Kapitel: Konzeptionelle Mehrebenenanalyse

Von konzeptioneller Mehrebenenanalyse wird gesprochen, wenn in einer Forschungsfragestellung Individuen mit größeren sozialen Einheiten verbunden werden, die ihrerseits wieder in hierarchischen oder überkreuzten Bezie-hungen stehen können.

Derartige Fragestellungen betreffen den Kern der soziologi-schen und ökonomischen Analyse (Stichworte „Individuum und Gesellschaft“, „Handlung und Struktur“, „Akteur und Kontext“, „Mikrofundierung der Makroökonomie“ etc.).

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Mehrebenenanalyse im Rational Choice Ansatz oder in vergleichbaren Arbeiten

 

 

Mikrofundierung von gesellschaftlichen Phänomenen

Individueller „Umweg“ zur Erklärung von Makrophänomenen

Schema nach McClelland (1961), Coleman (1990), Esser (1988/1993):

Makrobedingungen Makroresultat

Individuelle Akteure Individuelle Handlungen

Individuelle Akteure

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Mehrebenenanalyse im Ansatz verallgemeinerter individueller Wahl

 

 

Zusätzliche Makrofundierung individuellen Handelns

Bedingungen, Sozialisation etc.

Nicht nur Bedingungen beeinflussen das individuelle Kallkül, auch die Präferenzen sind endogen:

Makroresultat

Individuelle Akteure Individuelle Handlungen

Individuelle Akteure

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Systemtheoretische Mehrebenenanalyse 

 

 

Systeme handeln, nicht Individuen (hier nicht weiter verfolgt)

Z. B. Huinink (1989)

Beliebige Einflüsse zwischen den Ebenen zulässig

Makrobedingungen Makroresultat

Individueller Akteur Individuelle Handlung

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Statistische Mehrebenenanalyse

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Grundlegende Typologie von Mehrebenenmodellen

Modellart Einsatzbereich bei Mehrebenenproblemen

Pooled Regression Nur zu empfehlen, wenn Gruppenstruktur keine Rolle spielt

Zufällige Effekte (“Mehrebenenmodelle“)

Keine Korrelation zwischen exogenen Variablen und Störtermen

Gruppeneinheiten Zufallsstichprobe

Fixe Effekte Wenn keine Multikollinearität zwischen Gruppenvariablen mit fixen Effekten

3. Kapitel: Statistische Mehrebenenanalyse

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Wozu Mehrebenenanalyse?

• Verbindung von Individual- und Aggregatdaten auf der Ebene der Individuen (oder „kleiner“ Aggregate): Aggregatmerkmale werden zu Individualdaten dazugespielt

• Schätzen von Regressionsmodellen• Interpretation der Resultate für Individual- und Aggregat-

variablen

• Wo ist das Problem?

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Ein erster Hinweis auf ein Problem kann den unterschiedlichen Fallzahlen auf den Ebenen entnommen werden

• Aggregatebene mit viel weniger Beobachtungen als Individualebene

• Wird in der Schätzung von Modellen nirgendwo berücksichtigt• Signifikanztests basieren nicht auf (z. B.) 326 Kreisen West,

sondern auf den Beobachtungen auf der Individualebene

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Statistische Mehrebenenmodelle sind notwendig, wenn Untersuchungseinheiten systematisch von den gleichen unbeobachteten Einflüssen betroffen sind

Moulton (1990)fand in einer Regression mit dem Lohn als abhängiger Variablen „signifikante“ Effekte von exogenen Regionalvariablen, die keine sinnvolle Interpretation aufweisen (z. B. Seengrößen oder Zufallszahlen)

Korrelieren die Störgrößen von Beobachtungen innerhalb der übergeordneten Einheiten, z. B. innerhalb von Regionen, werden die Koeffizienten ineffizient und ihre Standardfehler verzerrt geschätzt.

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Regressionsanalyse mit zufällig variierender Steigung (slope) der Regressionsgeraden (II)

Schulleistung

Index soziale Herkunft

Regressionsgeraden

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x x x x x x x x x x x x

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Modelle mit variierendenSlopes werdenhier nicht weiter verfolgt!

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Einige Annahmen, die bei Mehrebenenmodellen mit zufälligen Effekten oder Koeffizienten notwendig sind

- Spezifikation der funktionalen Form des Modells- Spezifikation der Verteilung der Zufallsvariablen - Unkorreliertheit der Störterme zwischen den Ebenen- Unkorreliertheit der exogenen Variablen von den Störter- men auf den verschiedenen Ebenen (kritische Annahme)

Wenn die letzte Annahme verletzt ist, werden die Modellpara-meter verzerrt geschätzt. In den Sozialwissenschaften und dersie beratenden Statistik wird dies im allgemeinen als nicht beson-ders problematisch eingestuft, anders in der Ökonometrie.

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Modelle mit fixen oder mit zufälligen Effekten? (1)

Für zufällige Effekte spricht:- Elementareinheiten den Einheiten auf höheren Ebenen zufällig zugeordnet- Einheiten auf höheren Ebenen Zufallsauswahl- E. auf höheren Ebenen „austauschbar“, gegeben X- E. auf höheren Ebenen „klein“ (< 50 Elementareinheiten)- Effekte von Aggregatvariablen wichtig

ijjijY 2i1ij βXβX0

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Modelle mit fixen oder mit zufälligen Effekten? (2)

Für fixe Effekte spricht:- Elementareinheiten den Einheiten auf höheren Ebenen nicht zufällig zugeordnet- Einheiten auf höheren Ebenen mit klarer Identität- Größe der fixen Effekte wichtig- Keine Aggregatvariablen relevant (diese sind in der Grundform des Modells multikollinear mit den fixen Effekten)- Erklärende Variablen mit fixen Effekten korreliert

ijjijY 1ijβX0

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Modelle mit fixen oder mit zufälligen Effekten? (3)

Problem: Fixe und zufällige Effekte führen im Zweifelsfall zu unterschiedlichen Ergebnissen, welches Modell ist „richtig“?Außerdem: Gibt es eine Möglichkeit, die jeweils zu Grunde gelegten Annahmen zu überprüfen?

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Hausman (1978) Spezifikationstest zum Test Random versus Fixed (1)

- Random-Effects Schätzer effizient und konsistent, wenn Unkorre-

liertheitsannahme (etc.) zutreffend

- Fixed-Effects Schätzer nicht effizient, aber konsistent auch bei

Korrelation zwischen X und dem Störterm auf Aggregatebene

- Unterschiede bei Zutreffen der U.annahme nur zufällig

- Vergleich der Vektoren der geschätzten Koeffizienten zwischen

dem Random und dem Fixed Effects Modell im Hausman-Test

- Wenn signifikanter Unterschied, Unkorreliertheitshypo. abgelehnt

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Hausman (1978) Spezifikationstest zum Test Random versus Fixed (2)

- Test, ob der Wahrscheinlichkeitslimes der Differenz von FE und RE-Schätzer von Null verschieden ist- Teststatistik:

mit:

- Die Kovarianz der Schätzer kann in der folgenden Weise angegeben werden, wenn einer der beiden Schätzer effizient ist:

- Bei Gültigkeit der Nullhpypothese folgt H asymptotisch einer χ2 –Verteilung.

)ˆˆ()'ˆˆ( 1REFEREFEH ββΣββ

)ˆˆ( REFECov ββΣ

)ˆ()ˆ()ˆˆ( REFEREFE CovCovCov ββββΣ

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Hausman-Test Diskussion

- Unterschied FE- und RE-Schätzer kann durch Korrelation

zwischen Errorterm und erklärender Variable hervorgerufen sein.

- Unterschied kann auf Fehlspezifikation beider Modelle zurück-

zuführen sein.

- Bei Heteroskedastie oder serieller Korrelation ist die RE-Schätzung

nicht mehr effizient.

- Teststatistik gilt nur asymptotisch: Im praktischen Fall ständige

Probleme mit „negativen Varianzen“ und nicht positiv-def. Matrix

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Lehrbücher zur Mehrebenenanalyse mit einer klaren Präferenz für Random Effects:

(Auszug)

De Leeuw, Meijer (2008), Gelman, Hill (2007), Schwetz, Subram-

anian (2005), Langer (2004), Snijders, Bosker (2004), Goldstein (2003),

Hox (2002), Little, Schnabel, Baumert (2000), Kreft, De Leeuw (1998),

Engel (1998), Ditton (1998), Hox (1994), Longford (1993), Searle,

Casella, McCulloch (1992), Bryk, Raudenbush (1992)

Der Hausman-Test wird jeweils nicht erwähnt

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Lehrbücher zur Ökonometrie mit einer Darstel-lung von Random und Fixed-Effects Modellierung

(sehr kleiner Auszug)

Baltagi (2005), Greene (2003), Wooldridge (2002)

Der Hausman-Test wird jeweils behandelt

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Die Bezeichnung Mehrebenenmodell in erster Linie in den Sozialwissenschaften üblich

In den Sozialwissenschaften sind Mehrebenenmodelle und Modellemit zufälligen Effekten (und Koeffizienten) nahezu synonym.

In der Ökonometrie wird bei der Anwendung eines Modells mit zufälligen Effekten ein Hausman-Test verlangt; dieser verwirft sehr häufig das Modell mit zufälligen Effekten.

Sofern er korrekt funktioniert!

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4. Ein empirisches Beispiel

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4. Kapitel: Ein empirisches Beispiel: Auswirkungen der regionalen Arbeitslosigkeit auf das Lohnniveau

Blanchflower/ Oswalds (1994, 2006) "empirisches Gesetz“:

Die Elastizität des Lohns im Hinblick auf die regionale Arbeitslosigkeit ist -0,1

ln Wr = -0,1 ln Ur + weitere Terme

(Lohnkurvenbeziehung)

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Die Lohnkurve

U1 U2

W2

W1

regionale Arbeitslosenquote

Löhne

Lohnkurve

Arbeitsnachfrage Region 1

Arbeitsnachfrage Region 2

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Bedeutung der Lohnkurvenbeziehung

In der Volkswirtschaftslehre:

Untersuchung einer Beziehung zwischen zwei fundamentalen ökonomischen Größen

Untersuchungen zur „Flexibilität“

In der Soziologie:

Verbindung zwischen zwei zentralen Dimensionen sozialer Ungleichheit

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Theoretische Begründungen der Lohnkurve

Verhandlungsansätze:Arbeitslosigkeit schwächt die Position von Gewerkschaften und einzelnen Arbeitskräften in Lohnverhandlungen (Sanfey 1992)

Effizienzlohnansätze:Hohe Löhne und hohe Arbeitslosigkeit sind Substitute für die Firmen, um sich eine leistungsbereite und qualifizierte Belegschaft zu sichern (Shapiro/ Stiglitz 1984)

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Hauptunterschied zwischen den wichtigsten Typen von Mehrebenenmodellen

Modelle mit zufälligen Effekten:Aufspaltung des Fehlerterms in zufällige Effekte, die verschiedenen Ebenen zugeordnet sind

Annahmen zur Unkorreliertheit von explanatorischen und Störvariablen

Modelle mit fixen Effekten:Schätzung der Effekte unbeobachteter Variabler höherer Ebenen als fixe Effekte von Dummyvariablen, Paneldaten vorausgesetzt

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Modellspezifikationen: Mehrebenenmodelle mit fixen und zufälligen Effekten

Blanchflower/ Oswald: Individualdaten mit fixen Effekten:

Blanchflower/ Oswald: Aggregatdaten mit fixen Effekten:

Mehrebenenmodell (Individualdaten) mit zufälligen Effekten:

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Daten der IAB-Beschäftigtenstichprobe (IABS)

1993-2004: 3 870 048 BeobachtungenRelevante Variablen:- Bruttolöhne- Geschlecht- Alter- Beruf- Qualifikation etc.

Zusammengefügt mit Arbeitslosenquoten und Gebietstypen für Kreise

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Einige Untersuchungen zur deutschen Lohnkurve

Gerlach, Wagner (1994) Fixed Effects Blanchflower, Oswald (1994, 1996) Pooled/ Fixed EffectsBlien (1995) Random EffectsBellmann, Blien (1996/2001) Random EffectsBüttner (1996) Fixed EffectsBaltagi, Blien (1998) Fixed effectsBaltagi, Blien, Wolf (2000) Fixed Effects, OstdeutschlandPannenberg, Schwarze (2000) Fixed EffectsBaltagi, Blien, Wolf (2008) Fixed Effects

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Ergebnisse (nur der Koeffizient für die Arbeitslosenquote)

Pooled RE FGLS RE ML FE

Individual o. R. -0,043 -0,027 -0,022 -0,020

Individual m. R. -0,079 -0,032 -0,025

Aggregat o. R. -0,050 -0,017 -0,011 -0,009

Aggregat m. R. -0,051 -0,018 -0,013

R: Regionstyp

Kürzere Zeitperioden:RE FGLS (2004): -0,067, RE FGLS (2001-04): -0,040, FE (2001-04): 0,028Alle Effekte sind hoch signifikant.

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Hausman-Test

Prüfgröße: 1384,55Das Random Effects Modell wird abgelehnt

Aber: Aus der in der aktuellen Stata-Version ausgegebenen Information über die Konstruktion des Tests ist zu entnehmen, dassder Rang der Differenzen-Varianzmatrix nicht der Zahl der Variablen entspricht. Außerdem treten „negative Varianzen“ auf.

Verschiedene Optionen zur Variation der Berechnung des Testsverbessern das Ergebnis nur unwesentlich.

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Ergebniszusammenfassung (1)

- Fixed Effects Modell nur möglich, weil durch den Einbezug der Zeit- dimension auch Aggregatvariablen aufgenommen werden können- Kombination von Aggregat- und Individualdaten im Mehrebenen- modell der Aggregatmodellierung überlegen- Fixed und Random Effects Modell der Pooled Regression überlegen- Kaum Unterschiede für Individualvariablen in den Varianten des Mehrebenenmodells- Beobachtung eines langen Zeitraums wichtig zur Identifikation der Lohnkurvenbeziehung

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Ergebniszusammenfassung (2)

- Hausman-Test zur Prüfung des Random Effects Modells nicht in rationaler Weise realisierbar- Anwendung des Fixed Effects Modells erfordert weniger starke Annahmen

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5. Fazit

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5. Kapitel: Fazit

- Mehrebenenanalyse mächtiges Instrument zur Analyse

der sozialen und ökonomischen Eingebundenheit von Subjekten

- Unterschiede zwischen Fixed und Random Effects Modellen

sollten rational diskutiert werden, die Abgrenzung der Disziplinen

ist kein geeignetes Kriterium

- Die Diskussion über die Vorzüge der jeweiligen Ansätze sollte

fortgesetzt werden.