Hydrostatics (1)
Mohsen SoltanpourEmail: [email protected]
URL: http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
(Stress): تنش
) quantity(کمیت
نظیر درجه حرارت،. کمیت مشخص می شود مقدارتنها با ):scalar(اسکالر ...زمان، جرم،
ه س. ي کمیت نیز باید مشخص گرددراستاعالوه بر مقدار ): vector(بردار ردار براي تعریف ب) مولفه هاي بردار در سه راستاي متعامد( کمیت اسکالر
...نظیر سرعت، شتاب، نیرو،. الزم است
. یا بیشتر نیاز داردمولفه اسکالر 9توصیف این کمیتها به ): tensor(تانسور ...نظیر تنش، کرنش، ممان اینرسی،
.دانست) 13=3(و مرتبه یک ) 03=1(کمیات اسکالر و برداري را می توان به ترتیب تانسور مرتبه صفر
continuous( اي پیوسته توزیع )field( میدان distribution( با که است تانسوري یا برداري اسکالر، کمیت یک از :مثال.شود بیان )x,y,z,t( زمان و فضا مختصات از اي پیوسته توابع
),,,( tzyxTدما
ktzyxhjtzyxgitzyxftzyxv
),,,(),,,(),,,(),,,( سرعت
تنش رمولفه اسکال 9
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
توزیع نیرو
)force distribution (
surface( سطحی force(: مبناي بر و شده ناشی اطراف محیط با جسم تماس از .شود می بیان کند می اثر آن به که اي ماده سطح واحد
body( حجمی force(: بیان کند می اثر آن بر نیرو که اي ماده جرم واحد مبناي بر .)مغناطیس و ثقل نظیر( نیست نیاز مستقیم تماس ماده روي بر تاثیر براي و شود می
),,,( tzyxT
),,,( tzyxB
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:(Nonviscous flow)و جریان غیر لزج (Stationary fluid)تنش در سیال ساکن
برشی نشت نیوتن لزجت قانون طبق )دارند یکسان سرعت المانها تمام( یکنواخت جریان داراي سیال و ساکن سیال در
:است صفر
2
dxdydzg
x
y
znn
yy
xx
0
0cos
0
dydzdydz
dsdzdydz
F
nnxx
nnxx
x
nnxx
02
0sin2
0
dy
dsdzdxdydz
dxdz
F
nnyy
nnyy
y
g
g
nnyy )dy کوچک است (
dx
dsdy
dz
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
اسکالر و لذا کمیتی( ) بنابراین در سیال ساکن و داراي حرکت یکنواخت تنش مستقل از جهت بوده نیز نامیده ک تنش هیدرواستاتیاین تنش همان فشار ترمودینامیکی با جهت مخالف می باشد که ). قانون پاسکال(است
:در حال حرکتغیر لزج در سیال .می شود
xnnxx
xnnxx
xx
adx
adxdydz
dsdzdydz
maF
2
2cos
xxnn
)(2
2sin
2
ynnyy
ynnyy
yy
ady
adxdydz
dsdzdxdydz
dxdz
maF
g
g
yynn )dy کوچک است (
)dx کوچک است (
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
zzyyxx
. نیز تنش کمیتی اسکالر استغیر لزج بنابراین در سیال
سیارب برشی تنش بدلیل( است کردن صرفنظر قابل لزجت تاثیرات سیال از اي عمده بخشهاي در که آنجایی از
.کرد استفاده حاالت اغلب در کننده ساده فرض این از توان می ،)کوچک
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
: (Properties of stress)خواص تانسورتنش
x
y
z
zx
zz
zy
ij i که تنش اعمال می شود) یا صفحه اي(راستاي عمود بر سطحی .
j راستاي تنش
xx
xz
xy
yx
yz
yy
zx
zz
zy
yxyz
yy
xx
xy
xz
با برابر )رنگ قرمز( مکعب پشت وجوه تنشهاي آنها جهت خالف در و مکعب روبروي سطوح تنشهاي
.*)است کوچک المان ابعاد( هستند
dxdydzg
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
dy
dz
zzzz
zy
yz
yz
zy
yy
yy :Xدید در جهت مثبت y
z
*0 OM
0)()( dzdydxdydzdx zyyz
dxdydzgO
zyyz
:گربه همین ترتیب با لنگرگیري در جهات دی
yxxy zxxz
باالتر یلبدل حجمی نیروي نظیر اما شود می وارد رابطه در نیز اینرسی جمله باشد، نداشته وجود تعادل حالت اگر * تانسور همواره جامدات نظیر نیز )نیوتنی غیر نیوتنی،( سیاالت در بنابراین .گردد می حذف دیفرانسیل مرتبه بودن
.دارد مستقل مولفه 6 تنها تنش
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
قائم هايتنش نتیجه در و شده ایجاد برشی تنش سیال در ها الیه نسبی حرکت وجود صورت در متحرك لزج سیال در - میحج تنش( :قائم تنشهاي حسابی میانگین از استفاده صورت در .بود نخواهد یکسان معموال مختلف جهات در
Bulk stress(
)(3
1zzyyxx
:در سیال غیر لزج. *است اسکالرتنش حجمی بستگی به جهت نداشته و کمیتی
zzyyxx
عدم و تعادل حالت کمیت( تنش جاي به )تعادل حالت به مربوط کمیت( ترمودینامیکی فشار از استفاده صورت در
:)تعادلp
با توجه به منفی بودن تنش
قائم سیاالت در اکثر حاالت
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:تنش هاي عمومی وارد بر یک وجه مایل
zx
zz
zy
yxyz
yy
xx
xy
xz
x
y
z
dy
A
C
B
dx
dz
n
s
:n راستاي عمود بر سطح مایل
:s یکی از دو راستاي متعامد تنش برشی وارده بر سطح مایل
ABC
nx a: کسینوس هادي راستايn نسبت بهi
ny a: کسینوس هادي راستايn نسبت بهj
nz a: کسینوس هادي راستايn نسبت بهk
nxABCOCB aSS )()(
O
iو nیا کسینوس زاویه بین
nzABCOAC aSS )()(
nyABCOAB aSS )()(
(I)
nn
ns
),cos( xnanx
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
y
z
C
B
A
H
O
)(OAHBC
),cos( xnanx
2)(BCOHS OCB
α
OHBC
)(zOyAO
x
n
OHxAHn &
cos),cos( OHAHanx
nxABC
ABCOCB
aS
SS
)(
)()( cos2)(
BCAHS ABC
cos AHOH
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
BCAO
AOBC
یا BCAH
: ( )عمود شده است BCبر Oاز نقطه OHخط
از طرف دیگر
OHBC
):حذف جمالت اینرسی و نیروي ثقل( nقانون تعادل در راستاي
)( ABCnnS
0)()()(
)()()(
)()()(
nzOACzznyOACzynxOACzx
nzOAByznyOAByynxOAByx
nzOCBxznyOCBxynxOCBxx
aSaSaS
aSaSaS
aSaSaS
:(I) با جایگذاري از معادالتnznxxznynxxynxxxnn aaaaa 2
)(2222
2
2
nznyyznznxxznynxxynzzznyyynxxx
nzzznynzzynxnzzx
nznyyznyyynxnyyx
aaaaaaaaa
aaaaa
aaaaa
:بدست آورد ’x’y’zمی توان تنش را در سیستم متعامد nبه جاي ’zو’x’ ،yبا جایگذاري
)(2
)(2
)(2
''''''2'
2'
2'''
''''''2
'2
'2
'''
''''''2'
2'
2'''
zzyzyzzzxzxzyzxzxyzzzzyzyyxzxxzz
zyyyyzzyxyxzyyxyxyzyzzyyyyxyxxyy
zxyxyzzxxxxzyxxxxyzxzzyxyyxxxxxx
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:را بر روي سطح عمود بر بدست آورد s دلخواهبه طریق مشابه می توان تنش برشی در راستاي
)( ABCnsS
0)()()(
)()()(
)()()(
szOACzzsyOACzysxOACzx
szOAByzsyOAByysxOAByx
szOCBxzsyOCBxysxOCBxx
aSaSaS
aSaSaS
aSaSaS
:(I) با جایگذاري از معادالت
sznxxzsynxxysxnxxxns aaaaaa
)()()( synzsznyyzsxnzsznxxzsxnysynxxy
sznzzzsynyyysxnxxx
sznzzzsynzzysxnzzx
sznyyzsynyyysxnyyx
aaaaaaaaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:بدست آورد z’y’x’را در سیستم متعامد z’xτ’میتوان تنش sبه جاي z ’و nبه جاي x ’با جایگذاري
)()()( ''''''''''''
''''''''
yzzxzzyxyzxzzxzzxxxzxzyxyzxxxy
zzzxzzyzyxyyxzxxxxzx
aaaaaaaaaaaa
aaaaaa
:نیز روابط مشابهی بدست آورد z’yτ’و y’xτ’میتوان براي تنشهاي
)()()( ''''''''''''
''''''''
yyzxzyyxyzxyzxzyxxxzxyyxyyxxxy
zyzxzzyyyxyyxyxxxxyx
aaaaaaaaaaaa
aaaaaa
)()()( ''''''''''''
''''''''
yzzyzzyyyzxzzyzzxyxzxzyyyzxyxy
zzzyzzyzyyyyxzxyxxzy
aaaaaaaaaaaa
aaaaaa
x مختصات در تنش دوم مرتبه تانسور مولفه 9 بودن معلوم با بنابراین y z دوران سیستم در را تنش تانسور میتوان .آورد بدست ’x’y’z یافته
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
ضرائب 3I و 1I ، 2I (دارند وجود تنش تانسور هاي مولفه مابین و بوده مختصات سیستم دوران از مستقل زیر ثابت 3:)هستند pσ اصلی تنشهاي تعیین جهت معادله
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
xzyzxyzzyyzzxxyyxx
zzyyxx
I
I
I
3
2222
1
0322
13 III ppp
:به عنوان نمونه
)(2
)(2
)(2
)()()(
''''''
''''''
''''''
2'
2'
2'
2'
2'
2'
2'
2'
2'
''''''1
zzyzzyyyzxyxyz
zzxzzyxyzxxxxz
yzxzyyxyyxxxxy
zzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx
zzyyxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaaaaa
I
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
( ):اما با توجه به خواص ماتریس کسینوس هادي
0
0
0
1
1
1
''''''
''''''
''''''
2'
2'
2'
2'
2'
2'
2'
2'
2'
zzyzzyyyzxyx
zzxzzyxyzxxx
yzxzyyxyyxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
aaa
aaa
aaa
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
aaa
aaa
aaa
R
'''
'''
'''
cte
I
zzyyxx
zzyyxx
''''''1
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:در حالت دو بعدي
:13و 11با جایگذاري در روابط اسالیدهاي . می باشد که همان ماتریس دوران به اندازه
cossin
sincos
cos)2
cos(
)2
cos(cos
''
''
yyxy
yxxx
aa
aaR
2
2
'x
y
'y
x
)sin(coscossin)(
)(
22
''''''''''
xyxxyy
xyyxyyxxxyyyyxyyxyxxxxyx aaaaaaaa
cossin2cossin2
cossin2sincos2
22''
2'
2'''
22''
2'
2'''
xyyyxxyyxyxyyyyyxyxxyy
xyyyxxyxxxxyyxyyxxxxxx
aaaa
aaaa
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:بود خواهد 2 درجه اصلی تنشهاي بر حاکم معادله و بوده صفر 3I ثابت بعدي دو درحالت
03
22
1
I
I
I
xyyyxx
yyxx
22
22
22
2,1
22
212
)2
(2
)(
2
4)()(
2
)(4)()(
0)(
0
xy
yyxxyyxx
xyyyxxyyxx
xyyyxxyyxxyyxx
xyyyxxpyyxxp
pp II
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
.*است صفحه در المان حرکت در اصلی تنشهاي تعیین روابط همان که
(Fluid statics): استاتیک سیاالت
x
y
z
dxdzdy
y
Pp )
2(
حالت ینا در .دارد استاتیکی تعادل سیال باشند، یکسانی ثابت سرعت داراي یا و بوده ساکن سیال ذرات تمام اگر.دارد وجود سیال در فشار اسکالر کمیت تنها و نداشته وجود برشی تنش
مرکز در p فشار گرفتن نظر در با .شوند می اعمال المان بر )ثقل نیروي صرفا اینجا در( حجمی و سطحی نیروهاي:] [ تیلور بسط از استفاده با و المان
dxdydzg
dy
dx
dzdxdz
dy
y
Pp )
2(
dydzdx
x
Pp )
2(
dydzdx
x
Pp )
2(
dxdydz
z
Pp )
2(
dxdydz
z
Pp )
2(
dxxzyxfzyxfzydxxf )),,((),,(),,(
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
: zو x ،yاز معادالت تعادل در راستاهاي
dxdydzz
dxdydzy
dxdydzx
z
y
x
:با برابر استجزء نیروي وارد بر جزء حجم بنابراین بردار
dxdydzkkz
Pj
y
Pi
x
P
kdFjdFidFFd zyx
)(
g
( ):در نظر گرفته شود نیروي وارد بر واحد حجم اگر
kP
kkz
Pj
y
Pi
x
P
dv
Fdfd
g
g
)(
dxdydzdv
:به شکل زیر تعریف می شود) Operator) (del(که عملگر
kz
jy
ix
grad
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
:برآیند نیروي فشار وارد بر یک نقطه می باشد که در سیال بدون شتاب باید صفر باشد
0 kPfdg
g
z
P
y
P
x
P
0
0
y و x از تابعی P .کند می تغییر )است شده فرض جاذبه خالف آن مثبت جهت که( z راستاي در تنها فشار بنابراین:لذا نیست،
gdz
dP
atmP
P
z
zdPdz
0
g
atmP
P
z
z Pz 0g
PPzz atm )( 0g
)ثابت γ -با فرض سیال تراکم ناپذیر(
dP
zzPP
atm
atm
g
g
)( 0
z=z
z=z0
P=Patm
d
dPP atm g
(datum) تراز مبنا
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
fd
: بنامیم) Gage pressure(را فشار نسبی atmP-Pاگر
dPPP atmg g
gP آن مقدار کمترین ( است منفی اتمسفر فشار از کمتر فشارهاي در atmP- چنین در .)مطلق صفر یا کامل خال در Vacuum( خال فشار شود می منفی نسبی فشار که وضعیتهایی pressure( شود می تعریف:
extra( زمین از بیرون فضاي در فشار terrestrial( است صفر )absolute zero(. شده گیري اندازه فشارهاي تمام absolute( شود می نامیده مطلق فشار که فشار این به نسبت pressure( شوند می سنجیده.
. بسیاري از تجهیزات مهندسی فشار نسبی را اندازه گیري می کنند
PPPP atmgvac
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
Absolute Pressure, Gage Pressure and Vacuum (example)
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
مطلق صفر فشار
ینسب صفر فشار
رفشا افزایش
. را نشان می دهداختالف فشار مانومترها وسایلی هستند که با توجه به ستونهاي مایعات
A Hg v
B atm
A B
P h P
P P
P P
g
خلیه شده و در بارومتر انتهاي لوله بسته بوده، از هوا ت. استفاده می شودتعیین فشار مطلق هوا بارومتر جیوه اي براي
. آب بندي میشود
(Manometers): مانومترها
(Pressure measurement-Manometery): مانومتري-اندازه گیري فشار
(Barometer): بارومتر
pv~0 pressure of Hg vaporsat normal temperature
PB=Patm
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
فشار بخار جیوه
Aatm HgP hg
و
B
PiezometerhgP
hPP
A
atmA
g
g
)(
است، مثبت نسبی فشار که هنگامی سیاالت فشار گیري اندازه براي که هستند اي ساده مانومترهاي پیزومترها فشار بودن یمنف صورت در که است بدیهی .باشد می باز لوله انتهاي پیزومترها در بارومتر، خالف بر .شوند می استفاده
.کرد گیري اندازه را فشار توان نمی و شده آب وارد لوله راه از هوا نسبی،
(Piezometer): پیزومتر
P=Patm
A
در این حالت امکان . شکل استفاده کرد Uبراي اندازه گیري فشارهاي نسبی منفی یا مثبت کوچک می توان از لوله . قرارگیري مایع لوله در ترازي کمتر از تراز متوسط ظرف نیز وجود دارد
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
اولیه سیال با دبای مایع این .شود می استفاده بیشتري چگالی داراي مایع از بزرگتر، مثبت یا منفی نسبی فشارهاي در
:باشد اختالط قابل غیرp2=p3 (same elevation)
p2=p1+ gm Δh= gm Δh
p3= p4+gl
p4=p1+ gm Δh- gl در مثال فوق با حرکت از نقطه 1 به سمت 4:
= gm Δh - gl
و کرده شروع n نقطه از( آورد بدست را دلخواه نقطه هر فشار کرده استفاده نیز زیر رابطه از توان می کلی حالت در منتهی فشار کاهش به باال به حرکت و فشار افزایش به پایین سمت به حرکت کنیم، می حرکت m نقطه سمت به
:)شود می
i higupΣ-ihigdown+Σnp=mp
p4 + gl = gm Δh
p4= gm Δh - gl
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
Differential) تفاضلی مانومترهاي manometer) فشار که حالی در دهند می نشان را نقاط بین فشار اختالف :آورد بدست توان نمی را سیستم از نقطه هیچ در واقعی
p2= p1+ gw(Δy+Δh) – gmΔh - gw(Δy+z2-z1)
) Differential manometer(تفاضلی مانومترهاي
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
(Pressure variation for a static compressible fluid) :تغییرات فشار در سیال قابل تراکم
:اگر بحث را به گازهاي کامل محدود کنیم. در سیال تراکم پذیر، وزن مخصوص ثابت نیست
RT
p
T
p
11
1
(Isothermal perfect gas): گاز کامل ایزوترمال -الف
cteT
cpp
1
1
c
gppg
1
11
ggو یا
'1
1 cpp
gg
gdz
dp )م ناپذیرمعادله اصلی تغییر فشار در سیال تراکم پذیر و تراک(
1
1
P
p
dz
dp g
dzPP
dp
1
1g Z
Z
P
Pdz
PP
dp
111
1g z
z
P
P zP
P
1
1
1
1ln
g
)(exp[ 1
1
11 zz
PPP
g
)(ln 1
1
1
1
zzPP
p
g
یر کند،با فرض اینکه محدوده تغییرات ارتفاع به گونه اي نباشد که شتاب ثقل تغی
، فشار 1zدر ارتفاع 1γو وزن مخصوص 1Pبا استفاده از این رابطه معلوم بودن فشار .بدست می آید z در ارتفاع
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
kzTT 1
:رابطه دما و ارتفاع خطی است -ب
T
T
kR
g
T
T
kR
g
p
p 1
11
lnlnln
Lapse(نرخ تنزل rate(k
dTdz
gdz
dp
)1T 0دماي مبنا در=z(
k
dT
RT
pg
dzdp
g
T
dT
kR
g
P
dp
T
T
P
P T
dT
kR
g
P
dp
11
T
T
P
P TkR
gP
1
1lnln
: ( ) در معادله اصلی فشار سیال) II(و )I(با قرار دادن معادالت
1T 1وp 0به ترتیب دما و فشار در تراز مبناz=
و یا
RT
p
RT
pg
g RT
pgg
)I(
)II(
و یا
kRg
kRg
kzT
Tp
T
Tpp )()(
1
11
11
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
U.S.National Weather Service: 45oN latitude in July
تغییرات دماي اتمسفر زمین با افزایش ارتفاع
رابطه خطی در
مقدار تقریبا ثابت درجه حرارت در
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/
شود، اعمال خارجی فشار ساکن و )confined( محبوس )تراکم قابل غیر یا تراکم قابل( سیالی مرز از قسمتی به اگر عدم به توجه اب اثبات، براي .)پاسکال قانون( می شود منتقل سیال نقاط تمام به فشار این حرکات کردن فروکش از پس
وجه یک رب وارده فشار که گرفت نظر در سیال در قائم و افقی المانهایی می توان ساکن سیال در برشی تنش تحمل قائم فشار ییرتغ از بیشتر مراتب به شده اعمال فشار اغلب که آنجایی از .شود می منتقل المان انتهاي به مستقیما آنها
.تگرف نظر در یکسان تقریبا نقاط تمام در را سیال داخلی فشار مقدار توان می می باشد، سیال وزن از ناشی
(Pressure transmission): انتقال فشار
F1
:تاین اصل اساس کار ترمز و جک هیدرولیکی اس
1
2
1
2
1
2
A
A
AP
AP
F
F
)P∆ افزایش فشار اعمال شده به سیال است(
.ودمشاهده می شود که مزیت مکانیکی باالیی ایجاد می ش
1212 FFAA
∆P
∆P
http://sahand.kntu.ac.ir/~soltanpour/