Hydroinformatik II

”Prozesssimulation und Systemanalyse”

Einführung in die Lehrveranstaltung

Olaf Kolditz

*Helmholtz Centre for Environmental Research – UFZ1Technische Universität Dresden – TUDD

2Centre for Advanced Water Research – CAWR

www.ufz.de/cawr

24.04.2020 - WebLecture

BHYWI-08-02: Grundlagen der Kontinuumsmechanik // 24.04.2020 1 / 22

Zeitplan: Hydroinformatik II

Datum V Thema .17.04.2020 01 Einführung in GoToMeeting (Web-Conferencing)17.04.2020 02 Einführung in die Lehrveranstaltung24.04.2020 03 Grundlagen: Kontinuumsmechanik08.05.2020 04 Grundlagen: Hydromechanik15.05.2020 05 Grundlagen: Partielle Partialgleichungen22.05.2020 06 Installation: Python, Qt C++29.05.2020 07 Programmierung: Einführung in Python05.06.2020 08 Numerik: Finite-Differenzen-Methode (explizit)12.06.2020 09 Numerik: Finite-Differenzen-Methode (implizit)19.06.2020 10 Anwendung: Diffusion (Übung)26.06.2020 11 Anwendung: Gerinnehydraulik (Theorie)03.07.2020 12 Anwendung: Gerinnehydraulik (Übung)10.07.2020 13 Anwendung: Grundwassermodellierung (daten-

basierte Methoden)17.07.2020 14 Beleg: Besprechung zur Vorbereitung

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Fahrplan für heute ...

I MotivationI Lagrange KonzeptI Euler KonzeptI Reynolds Transport TheoremI FluxesI BilanzgleichungenI Erhaltungsgrößen

=⇒ viel Theorie - vor allem die mathematische Schreibweiseverstehen ”zu lesen”

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Skalen

Quellen: Kobus et al. (1995), Kolditz (2002)

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Lagrange Konzept (1.1.1)

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Euler Konzept (1.1.1)

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KontinuumsmechanikIntegral- und Differentialrechnung

I Volumenintegral (Zeichnung)∫Ω

dΩ (1)

b∫a

f (x)dx = lim(xk+1−xk)→0

∞∑k=1

(f (xk+1 − f (xk)) (xk+1 − xk)

(2)

I Oberflächen-(Ring)-Integral (Zeichnung)∮∂Ω

n · dS (3)

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KontinuumsmechanikIntegral- und Differentialrechnung

I Materielle Ableitung

dψdt

=∂ψ

∂t+ v · ∇ψ (4)

I Gradient (Vektor)

∇ = ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z (5)

I Divergenz (Skalar)

∇ · v = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y + ∂vz/∂z (6)

Aufgabe: Was ist v · ∇ψ?

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Reynolds Transport Theorem (Lagrange) (1.1.3)

ddt

∫Ω

ψdΩ =

∫Ω

∂ψ

∂tdΩ +

∮∂Ω

ψ(t)v · dS =

∫Ω

qψdΩ (7)

Beweisführung:Siehe SkriptAbschn. 1.1.3

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Reynolds Transport Theorem (Euler) (1.1.3)

Φψx = ∂ψ/∂x , Φψ = ∇ψ

Frage: Ist Φψ eine skalare oder vektorielle Größe ?

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Reynolds Transport Theorem (Euler) (1.1.3)

∮∂Ω

Φψ · dS =

∫Ω

∇ · ΦψdΩ (8)

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Reynolds Transport Theorem (Euler) (1.1.3)Divergence

∮∂Ω

Φψ · dS =

∫Ω

∇ · ΦψdΩ (9)

limΩ→0

1Ω

∮∂Ω

Φ · dS = ∇ · Φ (10)

Point-Flux

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Reynolds Transport Theorem (Euler) (1.1.3)General Balance Equation

ddt

∫Ω

ψdΩ =∂

∂t

∫Ω

ψdΩ

︸ ︷︷ ︸1

+

∮∂Ω

Φψ · dS

︸ ︷︷ ︸2

=

∫Ω

qψdΩ

︸ ︷︷ ︸3

(11)

with:1 Rate of change of total amount of quantity ψ in the controlvolume,

2 Net rate of increase / decrease of ψ due to fluxes,3 Rate of increase / decrease of ψ due to sources.

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Reynolds Transport Theorem (Euler) (1.1.3)

ddt

∫Ω

ψdΩ =∂

∂t

∫Ω

ψdΩ

︸ ︷︷ ︸1

+

∮∂Ω

Φψ · dS

︸ ︷︷ ︸2

=

∫Ω

qψdΩ

︸ ︷︷ ︸3

(12)

using ∮∂Ω

Φψ · dS =

∫Ω

∇ · ΦψdΩ (13)

ddt

∫Ω

ψdΩ =

∫Ω

∂ψ

∂tdΩ +

∫Ω

∇ · ΦψdΩ =

∫Ω

qψdΩ (14)

BHYWI-08-02: Grundlagen der Kontinuumsmechanik // 24.04.2020 14 / 22

Reynolds Transport Theorem

ddt

∫Ω

ψdΩ =

∫Ω

∂ψ

∂tdΩ +

∫Ω

∇ · ΦψdΩ =

∫Ω

qψdΩ (15)

∀Ω :dψdt

=∂ψ

∂t+∇ · Φψ = qψ (16)

BHYWI-08-02: Grundlagen der Kontinuumsmechanik // 24.04.2020 15 / 22

Reynolds Transport Theorem

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Fluxes (1.1.6)

The total flux Φψ of a quantity ψ is defined as

Φψ = vEψ (17)

BHYWI-08-02: Grundlagen der Kontinuumsmechanik // 24.04.2020 17 / 22

Fluxes (1.1.6)

dψdt

=∂ψ

∂t+∇ · Φψ = qψ (18)

Φψ = vEψ (19)

dψdt

=∂ψ

∂t+∇ · (vEψ) = qψ (20)

BHYWI-08-02: Grundlagen der Kontinuumsmechanik // 24.04.2020 18 / 22

Fluxes (1.1.6)

Φψ = vEψ = vψ︸︷︷︸ΦψA

+ (vE − v)ψ︸ ︷︷ ︸ΦψD

(21)

and, therefore, decomposed into two parts: an advective flux ΦψA

and a diffusive flux ΦψD relative to the mass-weighted velocity:

I advective flux of quantity ψ

ΦψA = vψ (22)

I diffusive flux of quantity ψ (Fick’s law)

ΦψD = −Dψ∇ψ (23)

BHYWI-08-02: Grundlagen der Kontinuumsmechanik // 24.04.2020 19 / 22

Fluxes (1.1.6)Velocities

vE = ∪ vivE = v + v

v = vE − v

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General Balance Equation (1.1.7)

I Integral form∫Ω

dψdt

=

∫Ω

∂ψ

∂t+

∫Ω∇ · (vψ)−

∫Ω∇ · (Dψ∇ψ) =

∫ΩQψ

(24)

I Differential form

dψdt

=∂ψ

∂t+∇ · (vψ)−∇ · (Dψ∇ψ) = Qψ (25)

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Conservation Quantities (1.1.2)

The amount of a quantity in a defined volume Ω is given by

Ψ =

∫Ω

ψdΩ(t) (26)

where Ψ is an extensive conservation quantity (i.e. mass,momentum, energy) and ψ is the corresponding intensiveconservation quantity such as mass density ρ, momentum densityρv or energy density e.

Extensive quantity Symbol Intensive quantity SymbolMass M Mass density ρLinear momentum m Linear momentum density ρvEnergy E Energy density e = ρi + 1

2ρv2

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