Berechnung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten mit dem Programm HQ-EX

Aufgabenteil 1

Hydroinformatik IProf. Schöniger (TU)SS 2005

HQ-Ex

Das Programm dient der Berechnung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten. Es entstand inÜbereinstimmung mit der Neufassung der DVWK-Regel 101 „Empfehlung zur Berechnungder Hochwasserwahrscheinlichkeiten“.

Abflussdaten

Kurzbeschreibung des Programms:

Die Ermittlung eines Bemessungshochwassers erfolgt im Programmin drei Stufen:

Stichprobenmomente, die für die Parameterschätzung und die Berechnung von Konfidenzintervallen benötigt werden, sind zu ermitteln (1)

(2) Parameterwerte für alle sieben analytische Verteilungsfunktionen werden geschätzt. Die Parameterschätzung erfolgt abgesehen von Ausnahmen bei der ME und LP3 für alle Verteilungsfunktionen nach der Momentenmethode Maximum-Likelihood-Methode Methode der wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente

Berechnung der Anpassungsmasse für alle analytischen Vertei- lungsfunktionen und Schätzmethoden nach

• Anpassungsmass D nach Lolmogorov• n2-Anpassungsmass• Quantil-Korrelation rp.

Es werden Stichproben analysiert!

Zugehörige empirische Verteilungsfunktionen werden durch 7verschiedene analytische Verteilungsfunktionen (aF) in der Regel mitdrei unterschiedlichen Schätzmethoden für die Verteilungsparameterapproximiert.

Die Auswahl der aF erfolgt nach ihrer Bewährung in der hydrologischenBemessungspraxis sowie für einzelne besondere Anwendungsfälle

Beispiel für eine Charakterisierung einer Verteilungsfunktion:Dreiparametrische Pearson-Typ 3-Verteilung

P3

Dichtefunktion:

Verteilungsfunktion

(1)

aΓdd

cxexp

dcx

xf

1a

aΓd

cxaΓ

xF

Für die Darstellung der empirischen Verteilung der Stichprobewird ausschließlich die Eintragungswahrscheinlichkeit

nach Cunnane verwendet

DVWK-Merkblatt 251 (1999) gibt verschiedene Hinweise zur Daten-gewinnung und -prüfung, nämlich zu:

• Trendanalyse und -bereinigung,• Ausreiserbehandlung,• Prüfung auf Homogenität und Repräsentanz der Stichprobe,• Einbindung historischer Hochwasserereignisse,•Verwendung von partiellen Serien

(1)

0,2n

0,4iPi

Beispiel für eine Charakterisierung einer Verteilungsfunktion:Dreiparametrische Pearson-Typ 3-Verteilung

P3

Gültigkeitsbereich:

Form:

Empirische Unterschreitungs-wahrscheinlichkeit

(2)

0dbeicx0,dbeicx0,a

0,2n

0,4-iPi

B

Beispiel für eine Charakterisierung einer Verteilungsfunktion:Dreiparametrische Pearson-Typ 3-Verteilung

P3

Parameterschätzung: bei q3<0 Spiegelung an F-Achse (x -x) bei n>50, q3

*>0,15

1. Momentenmethode:

weitere Angaben s. DVWK-251/1999 (3)

damc,qm2

1d,

q

4a *

32

1

22*3

Wahrscheinlichkeitsanalyse

... mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsanalyse soll den beobachtetenHochwasserscheitelabflüssen eines bestimmten Zeitraumes eineÜberschreitungswahrscheinlichkeit zugeordnet und eine Extrapolationüber den Beobachtungszeitraum hinaus ermöglicht werden. Zu-nächst wird die Unterschreitungswahrscheinlichkeit P(x) ermittelt, ausder sich die Überschreitungswahrscheinlichkeit (1-P(x)) und die zu-gehörige Wiederholungszeitspanne Tn = 1/(1-P(x)) bestimmen läßt.

Wahl des Typs der VerteilungsfunktionArt der Parameterschätzung ... ... haben entscheidenden Einfluss auf das Ergebnis

erwartungstreue – effizient – robust

Nach DVWK-Merkblatt 251/1999: Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen

stehen drei bekannte Parameterschätzungen zur Verfügung:

Momentenmethode (MM) unter Verwendung des arithmetischen Mittels, der Standardabweichung und des Schiefekoeffizienten.

Methode der wahrscheinlichkeitsgewichteten Momente (WGW)

Maximum – Likelihood – Methode (MLM)

HQ-EX – Programmablauf:

1. Schätzung aller Stichprobenmomnete, die für die Parameter-Schätzung und die Berechnung von Konfidenzgrenzen benötigtwerden.

2. Schätzung der Parameter der sieben analytischen Verteilungs-funktionen

Extremwertverteilung Typ 1(Gumbel – Verteilung) - E1Allgemeine Extremwertverteilung - AEGemischte Extremwertverteilung (Rossi – Verteilung) - MELogarithmische Normalverteilung - LN3Pearson – Typ 3-Verteilung - P3Logarithmische Pearson-Typ e-Verteilung -LP3Weibull – Verteilung - WB3

3. Berechnung der drei AnpassungsmaßeAnpassungsmaß D nach Kolmogorovn2-AnpassungsmaßQuantil-Korrelation rp

Aufgabenstellung für Extremwertprognose mit HQ-EX

1) Wie groß sind die 50- und 100-jährlichen HochwasserabflüsseHQ 50 und HQ 100?

2) Welche Wiederholungszeitspannen Tn sind dem größten beobachteten Jahreshöchstabflüssen max HQ = 78 m3s-1 und dem Abfluss HQ = 95 m3s-1 zuzuordnen?

3) Wie groß ist das stochastische Risiko, dass der Abfluss max HQ = 78 m3s-1 in der angenommenen Funktionsdauer von 30 Jahren einmal erreicht oder überschritten wird?

Tab. enthält für alle angepassten Verteilungen F die Quantile Q(P) = F[-1](P)Für die zehn gebräuchlichen Wiederkehrintervalle T oder Unterschreitungswahrscheinlichkeiten P:

T (Jahre) 2 5 10 20 25 50 100 200 500 1000P (%) 50 80 90 95 96 98 99 99,5 99,8 99,9

In der Tabelle sind für alle Verteilungen und erfolgreich abgeschlossenen Schätzmethoden die Werte derParameter und der drei Anpassungsmaße D, n ² und rp

2 verzeichnet:

Parameter der Verteilungsfunktion Ergebnisse der statistischen Tests

Die Tabelle enthält die aus der jeweiligen Stichprobe berechneten Momente bis zur vierten Ordnung, gegliedert in drei Gruppen: (Normale) Momente, Momentenquotienten und Wahrscheinlichkeitsgewichtete Momente. Zusätzlich werden vier weitere Stichprobencharakteristika angegeben: Mittelwert, Standardabweichung, Variationskoeffizient und Schiefekoeffizient:

x

x(P)

x(i)

Pi P

k sx(P)

Verteilungsfunktion

Vertrauensbereichvon x(P)

empirische UnterschreitungswahrscheinlichkeitUnterschreitungswahrscheinlichkeit P

Verteilungsfunktion und Konfidenzgrenzen