„Gekoppelte Oszillatoren“

Inhalt

• Gekoppelte Pendel

• Gekoppelte elektrische Schwingkreise

• Gekoppelte Schwingungen in den Bausteinen der Materie– Orbitale der Elektronen– Molekülschwingungen– Schwingungen in Festkörpern

Feder und Massenpunkt

Einheit Bezeichnung

1 N Federkraft

1 N Trägheitskraft

1 NSchwingungs-gleichung

skF

smF d‘ Alembertsches Prinzip

smsk

Erste Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren

Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht

Symmetrische Auslenkungen

Zweite Eigenschwingung der über eine Feder gekoppelten Oszillatoren

Höhere Frequenz: Kopplungsfeder wird stark beansprucht

Anti-Symmetrische Auslenkungen

Versuch: Gekoppelte Pendel

• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feder• Schwebungen durch Überlagerung von zwei

Schwingungen unterschiedlicher Frequenz• Suche nach den Eigenfrequenzen durch

spezielle Startbedingungen• Unterschiedliche Eigenschwingungen zeigen

unterschiedliche Symmetrie

SchwingungartSymmetrie bei

SpiegelungMuster

Erste

EigenschwingungSymmetrisch

Zweite Eigenschwingung

„Anti“-symmetrisch

Beliebig, das ist eine Überlagerung beider

Eigenschwingungen

Unsymmetrisch

„Schlüsselexperiment“ Doppelpendel

Effekt der Kopplung

• Ohne Kopplung: Beide Oszillatoren zeigen die gleiche Eigenfrequenz

• Mit Kopplung: – Zwei „Schwingungsmoden“ mit

unterschiedlichen Eigenfrequenzen– Die Symmetrie der Auslenkungen beider

Moden ist unterschiedlich

Versuch: Gekoppelte elektrische Schwingkreise

• Verhalten eines einzelnen Schwingkreises• Kopplung über die Feldstärken• Schwebungen durch Überlagerung von

zwei Schwingungen unterschiedlicher Frequenz

• Suche nach den Eigenfrequenzen mit Fourier-Analyse

Kopplung von zwei elektrischen Schwingkreisen über das magnetische Feld

Kopplung ohne Materie gibt es nur in elektromagnetischen Feldern!

Über das Magnetfeld gekoppelte Schwingkreise

• Schwebungen aufgrund des Austauschs der Energie zwischen den Schwingkreisen

• Grund: Überlagerung der beiden Eigenschwingungen mit– leicht unterschiedlichen Frequenzen– unterschiedlichen Symmetrie-Eigenschaften

• Erste Eigenschwingung mit „gleichphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen

• Zweite Eigenschwingung mit „gegenphasigen“ Feldstärken in beiden Kreisen

Gekoppelte Schwingungen in der Materie

• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“

• Bei Teilchenzahl n wächst - im dreidimensionalen Raum - die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n

• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten

• An jeder Eigenschwingung sind immer alle Oszillatoren beteiligt

Beispiele

• „Gekoppelte Pendel“

• Orbitale des Elektronensystems

• Molekülschwingungen

• Schwingungen im Festkörper, „Phononen“

Orbitale

• Die Elektronen in einer „Schale“ n eines Atoms bilden ein System identischer, gekoppelter Oszillatoren– Hier verlässt man das Bohrsche Atommodell

• Die Eigenschwingungen dieses Systems werden mit den Quantenzahlen l, m bezeichnet– und zeigen unterschiedliche Symmetrie-Eigenschaften

• Orbitale zeigen die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen– was bei Oszillatoren sinnvoll ist

Drehung erlaubt? X-Achse Y-Achse Z-Achse

Ja Nein Nein

Nein Ja Nein

Nein Nein Ja

Symmetrie der drei p Orbitale einer Unterschale (l=1)

bei beliebiger Drehung um eine Achse

Orbitale mit ihren Quantenzahlen

Symmetrie

0m 1m 1m

gt1

1l

Haupt-quantenzahl

Drehimpuls- oder Nebenquantenzahl

Orientie-rungs-Quanten-zahl

Max. Zahl der Zustände

Form derOrbitale

N SchaleSchale, Orbital

TypSpin

1 K 0 s 0 2

2 L

0 s 0 2

1 p

-1

60

1

Beispiel: Orbitale im Neon

1N0 l lml

Molekülschwingungen, Beispiel CO2, erste Streckschwingung, symmetrisch

z

x

Beispiel CO2, zweite Streckschwingung antisymmetrisch

z

x

Beispiel CO2, erste Deformationsschwingung

z

x

Beispiel CO2, erste Deformationschwingungen, Ansicht von der Längs-Seite

z

y

Beispiel CO2, zweite Deformationschwingung, Ansicht von der Längs-Seite

z

y

1

ja ja ja ja

ja nein nein ja

ja nein ja nein

Symmetrieeigenschaften dieser Schwingungen bei der Einheitsoperation, Drehung und Spiegelung

Ist die Schwingung invariant gegenüber der Symmetrieoperation?

Beispiel: Anregung der ersten Deformationsschwingung von CO2 im

Infrarot-Bereich

Kristalline Festkörper

• Bei n Teilchen gibt es n „Schwingungsmoden“ mit Auslenkungsmuster unterschiedlicher Symmetrie

• Die n Eigenfrequenzen der Moden liegen zum Teil sehr dicht beisammen, es entstehen Energiebänder

Modell für die Einheitszelle eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle mit Federn anstelle der Coulomb-Kräfte

Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

Translation Innere Schwingung

Beispiel für die Eigenschwingungen eines Kristalls mit zwei Atomen in der Elementarzelle

Freiheitsgrade eines Kristallgitters mit 2 Atomen in der Elementarzelle

Beispiel für eine Eigenschwingung

Phononen

• Zu jedem Auslenkungsmuster gehört eine „Eigenfrequenz“

• Normalschwingungen der Teilchen in kristallinen Festkörpern werden „Phononen“ genannt

• Die Schwingungen der Teilchen, die Phononen, koppeln an die Anregung der Elektronen

Wirkung der Kopplung: Vergleich der Spektren von

Gasen/Flüssigkeiten/Festkörpern

C6H6

Beispiele für Emission und Absorption an freien Atomen und im Vergleich dazu – an heißen Festkörpern

Abbildung: Emissionsspektrum der Quecksilberdampflampe und Absorptionslinien im Sonnenspektrum. Quelle: Meyers Enzyklopädisches Lexikon

Absorptionslinien von Wasserstoff vor der „Weissen“ Strahlung der Sonne (an der Oberfläche ca. 6000 K)

Zuammenfassung

• Alle durch Wechselwirkungskräfte verbundenen Teile sind – bei entsprechender Anregung – „gekoppelte Pendel“

• Bei Teilchenzahl n wächst die Zahl der „Freiheitsgrade“ auf 3n

• Es gibt deshalb 3n Eigenschwingungen mit unterschiedlichen– Symmetrie-Eigenschaften– Energie-Werten

Finis

Leicht erhöhte Frequenz: Kopplungsfeder wird wenig beansprucht

Symmetrische Auslenkungen