- 1 - 1 Formelsammlung für das Fach Mathematik Stand: 21.04.2017 Mathematische Symbole = gleich ≠ ungleich < kleiner als ≦ kleiner oder gleich > größer ≧ größer oder gleich ≈ ungefähr gleich; rund ≅ deckungsgleich; kongruent ≙ entspricht ∥ parallel ⊥ senkrecht IaI Betrag der Zahl a rechter Winkel ∢ Winkel Strecke mit den Endpunkten A und B T n alle Teiler von n V n alle Vielfachen von n ℕ Menge der natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, … ℕ 0 Menge der natürlichen Zahlen einschl. Null: 0, 1, 2, 3, … ℤ Menge der ganzen Zahlen: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ℚ Menge der rationalen Zahlen …, 2 1 2 - , -1, 6 , 0 - , … +3 …. ℝ Menge der reellen Zahlen π Kreiszahl Pi (π ≈ 3,14) Griechische Buchstaben Alpha α Α Beta β Β Gamma γ Γ Delta δ ∆ Epsilon ε Ε Bezeichnungen Addition a + b = c Summand Summand Summe Multiplikation a ⋅ b = c Faktor Faktor Produkt Subtraktion a - b = c Minuend Subtrahend Differenz Division a : b = c Dividend Divisor Quotient
Transcript
- 1 - 1
Formelsammlung für das Fach Mathematik
Stand: 21.04.2017
Mathematische Symbole
= gleich
≠ ungleich
< kleiner als
≦≦≦≦ kleiner oder gleich
> größer
≧ größer oder gleich
≈ ungefähr gleich; rund ≅ deckungsgleich; kongruent
≙ entspricht
∥ parallel
⊥ senkrecht IaI Betrag der Zahl a
rechter Winkel
∢ Winkel
Strecke mit den Endpunkten A und B Tn alle Teiler von n Vn alle Vielfachen von n
1 km = 1000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm
Fläche 1 km
2 = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m
2
1 m2 = 100 dm
2
1 dm2 = 100 cm
2
1 cm2 = 100 mm
2
Volumen 1 m
3 = 1000 dm
3
1 dm3 = 1000 cm
3
1 cm3 = 1000 mm
3
1 Liter = 1 l = 1 dm3 1 Milliliter = 1 ml = 1 cm
3 1 hl = 100 l 1 l = 1000 ml
Gewichte 1 t = 1000 kg
1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg
Zeitspannen
1d = 24 h 1 h 60 min 1 min = 60 s
Maßstab Verkleinerung
1 : 100 Zeichnung Wirklichkeit (1cm) (100 cm)
Vergrößerung 3 : 1
Zeichnung Wirklichkeit (3 cm) (1 cm)
- 3 - 3
Bruchrechnung Erweitern Zähler und Nenner mit der
gleichen Zahl multiplizieren cb
ca
b
a
⋅
⋅=
Kürzen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren
cb
ca
b
a
:
:=
Multiplikation Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren db
ca
d
c
b
a
⋅
⋅=⋅
b
cac
b
a ⋅=⋅
Division Mit dem Kehrwert multiplizieren
cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
⋅
⋅=⋅=:
cb
ac
b
a
⋅=:
Addition und Subtraktion
Brüche mit gleichem Nenner: Zähler addieren (subtrahieren) und den Nenner beibehalten
b
ca
b
c
b
a +=+
b
ca
b
c
b
a −=−
Brüche mit verschiedenen Nennern: Durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen, dann die Brüche mit gleichen Nennern addieren (subtrahieren).
Bruch in Dezimalzahl umwandeln: Zähler durch den Nenner dividieren
nK = Kapital nach n Jahren nw = Wert nach n Jahren
n = Anzahl der Jahre
( )100
%P
p = = Zinssatz / Wachstumsrate (kann negativ sein!)
q = Zinsfaktor / Wachstumsfaktor
1001
pq +=
n
n qKK ⋅=0
n
n qww ⋅=0
- 4 - 4
Potenzbegriff Produkte aus gleichen Faktoren lassen sich als Potenzen schreiben. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss.
n = Exponent
naaaaa =⋅⋅⋅⋅ ... a = Basis
------------------ --- n Faktoren Potenz
Definitionen bei Potenzen
aa =1 1
0 =a n
n
aa
1=−
(a ≠ 0, n ganze Zahl)
Potenzgesetze Gleiche Basis
nmnmaaa
+=⋅ nmnm
aaa−=:
Gleiche Exponenten
( )nnnbaba ⋅=⋅
n
n
nnn
b
a
b
aba
==: ( )0≠b
( )nnn baba
111
⋅=⋅
nnn
b
aba
111
:
= ( )0≠b
Potenzieren
( ) nmnm aa ⋅=
Zehnerpotenzen
101 = 10 10
-1 = 0,1 10
2 = 100 10
-2 = 0,01 10
3 = 1000 10
-3 = 0,001
Abk Abk Abk Abk
deka hekto kilo
da h k
101
102
103
Mega Giga Tera
M G T
106
109
1012
dezi zenti milli
d c m
10-1
10
-2
10-3
mikro nano piko
µ n p
10-6
10
-9
10-12
Zusammenhänge bei Wurzeln
aa =2 ( ) aa =2 ( ) n m
mn aa = nmm n aa ⋅=
Umformung bei Wurzeln
nn aa =1
(a ≥ 0; n > 0); n mn
mn
m
aaa ==⋅1
(a ≥ 0; m ≥ 0; n > 0);
Rechengesetze bei Wurzeln
baba ⋅=⋅ nnn baba ⋅=⋅
b
a
b
a= (b ≠ 0) n
n
n
b
a
b
a= (b ≠ 0)
- 5 - 5
Quadratische Gleichungen Normalform: Lösung mit Lösungsformel
02 =++ qpxx
qpp
x −
+−=
2
122
qpp
x −
−−=
2
222
Die Anzahl der Lösungen hängt vom Wert der Diskriminante ab:
m: Steigung m > 0: die Gerade steigt m < 0: die Gerade fällt m = 0: die Gerade verläuft parallel zu x-Achse n: y-Achsenabschnitt n > 0: die Gerade schneidet die positive y-Achse n < 0: die Gerade schneidet die negative y-Achse n = 0: die Gerade ist Ursprungsgerade Berechnung der Steigung:
Allgemeine Form: cbxaxy ++= 2
wobei a; b; c konstant und a ≠ 0
Scheitelpunktform: ( ) edxay +−=2
wobei a, d, e konstant und a ≠ 0 Scheitelpunkt: S(d; e) Graph: Parabel a>1: nach oben offen; Streckung in y-Richtung a=1: nach oben offen; Normalparabel 0<a<1: nach oben offen; Stauchung in y-Richtung a<0: nach unten geöffnet
Winkelarten
spitzer Winkel
090>α
rechter Winkel
090=α
stumpfer Winkel 00
18090 << α
gestreckter Winkel
0180=α
überstumpfer Winkel
00360180 << α
Vollwinkel 0
360=α
12
12
xx
yym
−
−=
- 6 - 6
Dreiecke Winkelsumme:
0
180=++ γβα
Allgemeines Dreieck Flächeninhalt:
=A2
hg ⋅
=A2
aha ⋅ oder =A
2
bhb ⋅oder =A
2
chc ⋅
Gleichschenkliges Dreieck Zwei Seiten (die Schenkel) sind gleich lang: a = b Die dritte Seite heißt Basis.
Die Basiswinkel sind gleich: βα =
Gleichseitiges Dreieck Alle Seiten sind gleich lang: a = b = c
Alle Winkel sind gleich groß: 0
60=== γβα
Alle Höhen sind gleich lang: 32
ah =
Für den Flächeninhalt gilt: 34
2a
A =
Rechtwinkliges Dreieck Die dem rechten Winkel (90
0) gegenüberliegende Seite
heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
Ist 0
90=γ , dann gilt für den Flächeninhalt
=A2
ba ⋅oder auch =A
2
chc ⋅
Satz des Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck mit 0
90=γ gilt:
222
cba =+ 222 HypotenuseKatheteKathete =+
Höhensatz
qph ⋅=2
Kathetensatz
pca ⋅=2 oder qcb ⋅=2
Vierecke
Winkelsumme
0
360=+++ δγβα
Quadrat 2
aA =
au 4=
2ae =
Raute
=A2
fe ⋅
au 4=
Drachenviereck
2
feA
⋅=
bau 22 +=
Kreis und Kreisteile
Kreis
rd ⋅= 2
22
4dAoderrA ⋅=⋅=
ππ
duoderru ⋅=⋅⋅= ππ2
Kreisring
( )22
ia rrA −⋅= π
oder
22
ia rrA ⋅−⋅= ππ
- 7 - 7
Rechteck
baA ⋅=
bau 22 +=
bae22
+=
Parallelogramm
ba hbhaA ⋅=⋅=
bau 22 +=
Trapez
( );
2
hcaA
⋅+=
dcbau +++=
Kreisausschnitt (Sektor) und Kreisbogen
2
;360
0
2
rbA
rA
⋅=
⋅⋅=α
π
0360
2α
π ⋅⋅⋅= rb
Kreisausschnitt (Sektor) und Kreisbogen
A
- 8 - 8
Körperberechnungen V Körpervolumen G Grundfläche h Körperhöhe O Oberfläche M Mantelfläche Würfel
3aV =
26aO = 3ad =
Quader
cbaV ⋅⋅= ( )bcacabO ++= 2
Dreiecksprisma
2
ghgG
⋅= huM ⋅=
hGV ⋅= ⋅=+⋅= 22 MGO2
ghg ⋅+ u ∙ ℎ
Zylinder
2rG ⋅= π hdM ⋅⋅= π
hr ⋅⋅= 2π
hrV ⋅⋅= 2π MGO +⋅= 2
hrr ⋅⋅+⋅= ππ 22
Quadratische Pyramide
3
2ha
V⋅
= M = aha ⋅⋅2
2
42 ahaaO
⋅⋅+= = ahaa ⋅+ 2
2
Kegel
3
2hr
V⋅⋅
=π
srrO ⋅⋅+⋅= ππ 2
M = sr ⋅⋅π
Kugel
3
43
rV
⋅⋅=
π
24 rO ⋅⋅= π
- 9 - 9
Trigonometrie Rechtwinklige Dreiecke Die Gegenkathete ist stets die Kathete, welche dem betrachteten Winkel gegenüberliegt. Die Ankathete ist stets die Kathete, welche dem betrachteten Winkel anliegt.
Sinus = Hypotenuse
teGegenkathe
sin α = c
a
sin β = c
b
Kosinus = Hypotenuse
Ankathete
cos α =c
b cos β =
c
a
Tangens = Ankathete
teGegenkathe
tan α = b
a
tan β = a
b
Abbildung 1 aus Sicht von �
Abbildung 2 aus Sicht von �
Strahlensätze
1. Strahlensatz: Werden zwei Strahlen, mit einem gemeinsamen Anfangspunkt, von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf dem anderen Strahl. 2. Strahlensatz: Werden zwei Strahlen, mit einem gemeinsamen Anfangspunkt, von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann verhalten sich die Parallelenabschnitte zueinander wie die zugehörigen Strahlenabschnitte ein und desselben Strahls.
Es gilt: ZA
ZA` =
ZB
ZB ` =
AB
BA `` = k ebenfalls gilt:
`AA
ZA =
`BB
ZBund :
`
`
AA
ZA =
`
`
BB
ZB
Beliebige Dreiecke Sinussatz
β
α
sin
sin=
b
a
γ
α
sin
sin=
c
a
γβα sinsinsin
cba==
Kosinussatz
αcos2222 ⋅−+= bccba
βcos2222 ⋅−+= accab
γcos2222 ⋅−+= abbac
Beschreibende Statistik/Stochastik
Arithmetisches Mittel (Durchschnitt
xxx
+= 1
Median(Zentralwert) In einer Stichprobe, deren Werte nach der Größe geordnet sind, stehen links und rechts vom Median gleich viele Werte. Der Median ist also die Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten nimmt man dann das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden WerBoxplots Das Boxplot ist eine Möglichkeit, die Verteilung von Daten und die statistischen Kenngrößen (Maximum, Minimum und Median) graphisch darzustellen. Um ein Boxplot zu erstellen benötigt man fünf Werte: Minimum, Maximum, Median und die beiden Quartile (oberer und unterer Viertelwert). Die Viertelwerte werden nach dem gleichen Verfahren bestimmt wie der Median, nur eben auf die obere und untere Hälfte (vom Median aus gesehen) bezogen. Bei ungerader Anzahl von Daten wird der Median zu beiden Hälftenmitgezählt. Die Viertelwerte bilden dann die Begrenzung der Box. In der Box befinden sich also die mittleren 50% der Daten. Durch die Begrenzung der beiden von der Box ausgehenden Antennen wird die gesamte Spannweite dargestellt.
Laplace – Versuch Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z.B. Münzwurf).Die Wahrscheinlichkeit P für das Eintreten eines Ereignisses
P
Spannweite (Intervallbereich) s
Häufigkeit Absolute Häufigkeit =
Relative Häufigkeit =
- 10 - 10
γ
β
sin
sin=
c
b
Beschreibende Statistik/Stochastik
Arithmetisches Mittel (Durchschnitt x )
n
xn+⋅⋅⋅+2
WertederAnzahl
WerteallerSummex =
Stichprobe, deren Werte nach der Größe geordnet sind, stehen links und rechts vom Median gleich viele Werte. Der Median ist also die Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten nimmt man dann das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte.
Das Boxplot ist eine Möglichkeit, die Verteilung von Daten und die statistischen Kenngrößen (Maximum, Minimum und Median) graphisch darzustellen. Um ein Boxplot zu erstellen benötigt man fünf Werte: Minimum, Maximum,
rtile (oberer und
Die Viertelwerte werden nach dem gleichen Verfahren bestimmt wie der Median, nur eben
Hälfte (vom Median bezogen. Bei ungerader Anzahl
von Daten wird der Median zu beiden Hälften
Die Viertelwerte bilden dann die Begrenzung der Box. In der Box befinden sich also die mittleren 50% der Daten. Durch die Begrenzung der beiden von der Box ausgehenden Antennen wird die gesamte
Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z.B. Münzwurf).für das Eintreten eines Ereignisses E berechnet man wie folgt:
EreignissemöglichenderAnzahl
EreignissegünstigenderAnzahl=
Spannweite (Intervallbereich) s s = größer Wert – kleinster Wert
Anzahl des Auftretens eines bestimmten Wertes
WertederGesamtzahl
WerteseinesHäufigkeitabsolute
Werte
Stichprobe, deren Werte nach der Größe geordnet sind, stehen links und rechts vom Median gleich viele Werte. Der Median ist also die Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten
Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z.B. Münzwurf). berechnet man wie folgt:
Anzahl des Auftretens eines bestimmten Wertes
- 11 - 11
1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades
21ppP ⋅=
2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
